Об операторах с разрывной областью значений и их применении

В статье дается краткий обзор результатов применения операторов с разрывной областью значений (будем называть их разрывными операторами) в задачах теории приближений и некорректно поставленных задачах. В теории приближений есть класс интегральных операторов с дельтаобразными ядрами. Применяя эти операторы к непрерывным функциям, заданным на отрезке, мы можем получить равномерные приближения к ним лишь внутри отрезка. С целью получения равномерных приближений на всем отрезке и предлагается конструировать из операторов с дельтаобразными ядрами разрывные операторы. Общая идея такого конструирования принадлежит А. П. Хромову и была использована автором для решения ряда задач: задачи аппроксимации производной любого порядка, задач восстановления непрерывной функции, задачи восстановления производных на отрезке по заданным среднеквадратичным приближениям к исходной функции. Наконец, для решения интегрального уравнения Абеля с приближенно заданной правой частью построен достаточно простой метод регуляризации, не требующий никакой дополнительной информации о точном решении (кроме его непрерывности). Далее, решена проблема выбора параметра регуляризации и оценки погрешности приближенного решения уравнения Абеля, если точное решение принадлежит классу Липшица. Кроме этого, приведен новый класс разрывных операторов с полиномиальными финитными ядрами, для которого рассмотрены вопросы приближения и восстановления функций и их производных.