О наполненности подалгебры локальных операторов Гильберта—Шмидта

Под локальным оператором Гильберта—Шмидта понимается оператор вида
\begin{equation*} (Tx)(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}k(t,s)x(s)ds \end{equation*}
с измеримым ядром $k:\mathbb{R}^2\to\mathbb{C}$ в предположении, что при всех $-\infty<a<b<+\infty$
\begin{equation*} \int\limits_a^{b}\int\limits_a^{b}|k(t,s)|^2 ds dt<\infty. \end{equation*}
При некоторых дополнительных условиях, обеспечивающих, в частности, действие оператора $T$ в $L_2(\mathbb{R},\mathbb{C})$, устанавливается, что если оператор $\mathbf{1}+T$ обратим, то обратный оператор имеет вид $\mathbf{1}+T_1$, где $T_1$ — также локальный оператор Гильберта—Шмидта, причем ядро $S$ удовлетворяет тем же условиям.