О двойственности в теории гладких многообразий

В настоящей заметке обсуждается важное и нетривиальное утверждение анализа о «гомоморфизмах вычисления». Утверждение сформулировано как каноническая двойственность между семейством всех гладких отображений $f\in \operatorname{Hom}(M,M')$ гладкого вещественного конечномерного многообразия $M$ в аналогичное многообразие $M'$ и семейством гомоморфизмов $\varphi$ алгебры $C^{\infty}(M')$ гладких скалярных функций на $M'$ в аналогичную алгебру $C^{\infty}(M)$ на $M$, $\varphi\in \operatorname{Hom}\big(C^{\infty}(M'),C^{\infty}(M)\big)$. Такая формулировка обладает максимальной естественной общностью и одновременно позволяет использовать ее в приложениях в стандартной канонической форме.