Обобщенные якобиевы матрицы и спектральный анализ дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами

Работа посвящена матричному представлению обыкновенных симметрических дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами на всей оси. Показано, что при этом возникают обобщенные якобиевы матрицы. Исследуется задача об индексах дефекта обыкновенных дифференциальных операторов и соответствующих им обобщенных якобиевых матриц в пространствах $\mathcal{L}^2(-\infty,+\infty)$ и $l^2$ соответственно, а также характер спектра самосопряженных расширений этих операторов (если они существуют). Этим способом обнаруживаются новые классы целых в смысле М. Г. Крейна дифференциальных операторов минимального типа с определенными дефектными числами. При этом дефектные числа указанных операторов могут быть меньше или равны, но, что особенно интересно, и больше порядка соответствующих дифференциальных выражений. В частности, в работе построены примеры целых дифференциальных операторов минимального типа, которые порождаются иррегулярными дифференциальными выражениями.