Полугруппы преобразований пространства функций, квадратично интегрируемых по трансляционно инвариантной мере на банаховом пространстве

Изучаются меры на банаховом пространстве $E$, инвариантные относительно сдвигов на произвольные векторы пространства и являющиеся аддитивным продолжением функции множества, заданной на совокупности брусов со сходящимся произведением длин ребер, однако не удовлетворяющие условию $\sigma$-конечности и, быть может, счетной аддитивности. Определено гильбертово пространство $\mathcal{H}$ комплекснозначных функций на пространстве $E$, квадратично интегрируемых по инвариантной относительно сдвигов мере. Исследованы свойства полугрупп операторов сдвига в пространстве $\mathcal{H}$ и соответствующих им генераторов и резольвент. Получен критерий сильной непрерывности таких полугрупп. Определены и исследованы математические ожидания операторов сдвига вдоль случайных векторов по однопараметрическому семейству гауссовских мер, образующих полугруппу относительно свертки. Установлено, что рассмотренное семейство математических ожиданий образует однопараметрическую полугруппу линейных самосопряженных сжатий пространства $\mathcal{H}$, найдены инвариантные подпространства операторов этой полугруппы и получены условия ее сильной непрерывности.