Задача Римана—Гильберта для эллиптических систем первого порядка на плоскости с постоянными старшими коэффициентами

В конечной области $D$ комплексной плоскости, ограниченной гладким контуром $\Gamma$ для эллиптической системы первого порядка с постоянными старшими коэффициентами
\begin{equation*} \frac{\partial U}{\partial y}-A\frac{\partial U}{\partial x} +a(z)U(z)+b(z)\overline{U(z)}=F(z), \end{equation*}
где постоянные матрицы $A_1, A_2 \in \mathbb{C}^{l\times l}$ и $(l\times l)$-матричные коэффициенты $a$, $b$ принадлежат классу Гельдера $C^{\mu}(D)$, $0<\mu<1$ и заданной $(l\times l)$-матрицы-функции $C\in C^\mu(\Gamma)$ рассматривается краевая задача Римана—Гильберта
\begin{equation*} \operatorname{Re} CU^+=f, \end{equation*}
где $+$ означает граничное значение функции $U$ на $\Gamma$. Установлено, что в классе $U\in C^\mu(\overline{D})\cap C^1(D)$ эта задача фредгольмова и ее индекс дается формулой
\begin{equation*} \varkappa=-\sum_{j=1}^m\frac{1}{\pi} \big[\arg\det G\big]_{\Gamma_j}+(2-m)l. \end{equation*}