Суперинтегрируемые бертрановы натуральные механические системы

Задача поиска суперинтегрируемых систем (т.е. систем с замкнутыми траекториями в некоторой области) в классе натуральных механических систем, инвариантных относительно вращений, восходит к работам Бертрана и Дарбу. Системы типа Бертрана при разных ограничениях были описаны Ж. Бертраном, Г. Дарбу, В. Перликом, А. Бессе, О. А. Загрядским, Е. А. Кудрявцевой и Д. А. Федосеевым. Однако в полной общности вопрос оставался открытым из-за так называемой проблемы экваторов. В оставшемся трудном случае с экваторами мы описываем все натуральные механические системы Бертрана, а также решаем вопрос о связи между разными классами систем типа Бертрана (самый широкий класс локально бертрановых систем, класс систем Бертрана, узкий класс сильно бертрановых систем и т. п.), которые совпадают в изученном ранее случае конфигурационных многообразий без экваторов. В частности, мы показываем, что сильно бертрановы системы образуют тощее подмножество в множестве систем Бертрана, а системы Бертрана — тощее подмножество в множестве локально бертрановых систем.