Аналитическое и численное решение задачи о брахистохроне в некоторых общих случаях

Аналитически и численно решена задача Я. Бернулли о брахистохроне в наиболее общем случае при учете, как вязкого, так и сухого трения. Предсказана точка «геометрического фазового перехода» $u_0=\ln({1}/{2k_2b})$, которая соответствует срыву траекторий с одного класса на качественно другой класс траекторий. Дан численный анализ движения в непосредственной окрестности от точек «геометрического фазового перехода». Доказано, что в отсутствии сил трения любое движение по криволинейному желобу под воздействием одной лишь силы тяжести и при условии минимальности времени движения всегда сводится к задаче о брахистохроне и решение можно найти без привлечения методов вариационного исчисления, а пользуясь лишь общими законами динамики криволинейного движения. Найдено решение классической задачи Бернулли, но при условии, что длина траектории фиксирована. Показано, что при этом изопериметрическом условии класс траекторий будет сильно отличаться от классической брахистохроны. Численно и аналитически прослежено вырождение этого класса траекторий в циклоиду.