О $\tau$-компактности произведения $\tau$-измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана

Пусть ${\mathcal M}$ — алгебра фон Неймана операторов в гильбертовом пространстве $\mathcal H$, $\tau$ — точный нормальный полуконечный след на $\mathcal{M}$. Получены неравенства для перестановок произведений $\tau$-измеримых операторов. Эти неравенства применены для получения новых субмажоризаций (по Харди—Литтлвуду—Полиа) произведений $\tau$-измеримых операторов и вывода достаточного условия ортогональности некоторых неотрицательных $\tau$-измеримых операторов. Установлены достаточные условия $\tau$-компактности произведений самосопряженных $\tau$-измеримых операторов. Получен критерий $\tau$-компактности произведения неотрицательного $\tau$-измеримого оператора с произвольным $\tau$-измеримым оператором. Приведен пример, показывающий существенность неотрицательности одного из сомножителей. Установлен критерий элементарности произведения неотрицательных операторов из $\mathcal{M}$. Результаты являются новыми и для *-алгебры $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ всех ограниченных линейных операторов в $\mathcal{H}$, снабженной каноническим следом $\tau =\operatorname{tr}$.