Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 1

Со времени изобретения первых оптических приборов в физике утвердилась идея, что видимый образ изучаемого объекта зависит от инструментов наблюдения. Одним из способов формализовать это в математике является конструкция, которая каждому объекту $A$ данной категории $K$ ставит в соответствие его оболочку $\operatorname{Env}^{\Omega}_{\Phi}A$ в данном классе морфизмов (представлений) относительно данного класса морфизмов (инструментов наблюдения) $\Phi$. Оказывается, что если в качестве $K$ выбирается достаточно широкая категория топологических алгебр, то каждый выбор классов $\Omega$ и $\Phi$ определяет “проекцию функционального анализа в геометрию”, и стандартные “геометрические дисциплины”, такие как комплексная геометрия, дифференциальная геометрия и топология, являются частными случаями этой конструкции. Это приводит к формальной схеме “категорного построения геометрий” с многочисленными приложениями, в частности, “геометрическими обобщениями понтрягинской двойственности” (на классы некоммутативных групп). В настоящей работе описывается действие этой схемы в топологии и в дифференциальной геометрии.