Применение функций Лагерра для приближенного вычисления функции Грина дифференциального уравнения второго порядка

Рассматривается уравнение $\ddot x(t)=Ax(t)+f(t)$, $t\in\mathbb{R}$, с матричным коэффициентом $A$. Это уравнение имеет единственное ограниченное на $\mathbb{R}$ решение $x$ при любом непрерывном ограниченном свободном члене $f$ тогда и только тогда, когда спектр матрицы $A$ не пересекает полуось $\mathbb{R}_-=\{z\in\mathbb{R}: z\le0\}$. Решение $x$ при этом задается формулой
\begin{equation*} x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}G(t-s)f(s)\,ds, \quad G(t)=-\frac12 e^{-\sqrt{A}|t|}(\sqrt{A})^{-1}. \end{equation*}
Обсуждается задача приближенного нахождения функции Грина $G(t)$ с помощью разложения её в ряд Лагерра. Подбирается значение параметра масштабирования $\tau$ многочленов Лагерра, обеспечивающее наибольшую точность.