Гиперболические ковариантные эволюционные уравнения первого порядка для векторного поля в $\mathbb{R}^3$

Рассмотрен класс $\mathfrak{K}_1(\mathbb{R}^3)$ систем квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка. Такие системы $\dot{\boldsymbol{u}}=\mathsf{L}[\boldsymbol{u}]$ описывают изменение со временем $t\in\mathbb{R}$ векторных полей $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)$, $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^3$. Класс $\mathfrak{K}_1(\mathbb{R}^3)$ состоит из всех систем, инвариантных относительно трансляций времени $t\in\mathbb{R}$ и пространства $\mathbb{R}^3$, а также преобразующихся ковариантным образом при вращении $\mathbb{R}^3$. Дается описание этого класса нелинейных дифференциальных операторов $\mathsf{L}$ первого порядка, действующих в функциональном пространстве $C_{1,\operatorname{loc}}(\mathbb{R}^3)$, которые являются генераторами эволюции таких систем. Найдено необходимое и достаточное условие того, что оператор $\mathsf{L}$ из класса $\mathfrak{K}_1(\mathbb{R}^3)$ порождает гиперболическую систему.