Пространства отображений и кольца непрерывных функций

Статья посвящена топологическим свойствам пространств отображений, связям между свойствами колец функций и свойствах пространств. В пространствах отображений рассматриваются естественные топологии – компактно-открытая, поточечной сходимости и равномерной сходимости. Достоинством более сильных топологий является их близость к метризуемым, достоинство более слабых топологий – в наличии большего запаса компактных множеств.
Рассмотрены вопросы, связанные с компактностью множеств отображений, включая фундаментальные теоремы Арцела–Асколи, Ала-Оглу, Гротендика, Намиоки и возникающую здесь классификацию компактов на компакты Эберлейна, Гулько, Корсона. Дан обзор теорем двойственности – о связях между топологическими свойствами пространств $C_p(X)$ и $C_k(X)$ и свойствами пространства $X$. Освещены идущие от Банаха вопросы, касающиеся гомеоморфной и линейно-гомеоморфной классификации функциональных пространств (в частности, теоремы Банаха–Стоуна, Кадеца, Пестова) и возникающих в связи с этим отношений $t$- и $l$-эквивалентности. Показана роль метода идеалов в исследовании колец функций (теоремы Гельфанда–Колмогорова, Хьюитта, Нагаты).
Дано также введение в теорию непрерывных экстендеров – операторов одновременного продолжения непрерывных функций с подпространств на все пространство (теоремы Дугунджи и Борхеса). Указаны приложения экстендеров в теории $l$-эквивалентности.
Библ. 72.