О периоде разложения $\sqrt{d}$ в цепную дробь

Определим $T(d)$ при натуральном $d$, отличном от полного квадрата, как длину минимального периода разложения в цепную дробь числа $\sqrt{d}$, и положим $T(d) = 0$ в противном случае. В недавней работе (2024) Ф. Баттистони, Л. Гренье и Дж. Мольтени установили верхнюю оценку для второго момента величины $T(d)$ на промежутке $x<d\leqslant 2d$. одним из следствий этого оценки стала новая верхняя граница для количества чисел $d$ указанного промежутка, отвечающих условию $t(d)>\alpha\sqrt{x}$. В настоящей работе мы уточняем этот результат.