Торическая геометрия и стандартная гипотеза для компактификации модели Нерона абелева многообразия над 1-мерным функциональным полем

Доказано, что если $\mathcal M\to C$  -  минимальная модель Нерона $(d-1)$-мерного абелева многообразия $\mathcal M_\eta$ с главной поляризацией над полем $\kappa(\eta)$ рациональных функций гладкой проективной кривой $C$,
$$ \End_{\overline{\kappa(\eta)}} (\mathcal M_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\overline{\kappa(\eta)})=\Z, $$
комплексификация алгебры Ли группы Ходжа $\Hg(M_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\C)$ является простой алгеброй Ли типа $C_{d-1}$, все плохие редукции абелева многообразия $\mathcal M_\eta$ полустабильные, для любых точек $\delta,\delta'$ плохих редукций $\Q$-пространство циклов Ходжа на произведении $\Alb(\overline{\mathcal M_\delta^0})\,\times \, \Alb(\overline{\mathcal M_{\delta'}^0})$ многообразий Альбанезе порождается классами алгебраических циклов, то существует такое конечное разветвленное накрытие $\widetilde{C}\to C$, что для любой компактификации Кюннемана $\widetilde{X}$ минимальной модели Нерона абелева многообразия $\mathcal M_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\kappa(\widetilde{\eta})$ верна стандартная гипотеза Гротендика $B(\widetilde{X})$ типа Лефшеца.