Аннотация:
Для случая алгебраических кривых (компактных римановых поверхностей) показано, что группа когомологий де Рама $H^1_{\mathrm{dR}}(X,\mathbb{C})$ римановой поверхности $X$ рода $g$ имеет естественную структуру симплектического векторного пространства. Выбор неспециального эффективного дивизора $D$ степени $g$ на $X$ задает симплектический базис $H^1_{\mathrm{dR}}(X,\mathbb{C})$, состоящий из голоморфных дифференциалов и дифференциалов второго рода с полюсами в $D$. Этот результат, алгебраическая теорема де Рама, позволяет описать касательное пространство к многообразиям Пикара и Якоби римановой поверхности $X$ в терминах дифференциалов второго рода и определить естественные векторные поля на многообразии Якоби, отвечающие движению точек дивизора $D$. В терминах формализма Лакса на алгебраических кривых эти векторные поля соответствуют уравнениям Дубровина в теории интегрируемых систем, а функция Бейкера–Ахиезера естественным образом получается
интегрированием вдоль интегральных кривых.
Библиография: 14 наименований.
Ключевые слова:римановы поверхности, дивизоры, линейные расслоения, теорема Римана–Роха, дифференциалы второго рода, алгебраическая теорема де Рама, многообразия Пикара и Якоби, векторные поля на многообразии Якоби, представление Лакса, уравнения Дубровина, функция Бейкера–Ахиезера.
Поступило в редакцию: 16.08.2023 Исправленный вариант: 17.10.2023
Образец цитирования:
И. М. Кричевер, Л. А. Тахтаджян, “Алгебраическая теорема де Рама и функция Бейкера–Ахиезера”, Изв. РАН. Сер. матем., 88:3 (2024), 101–110; Izv. Math., 88:3 (2024), 506–514