| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
О слабых решениях граничных задач для некоторых общих дифференциальных уравнений В. П. Бурский Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Московская обл., г. Долгопрудный
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9403e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеОсновы общей теории граничных задач для дифференциального уравнения без типа были заложены в работе М. Й. Вишика [1], где граничная задача понимается как задание области определения некоторого расширения минимального оператора. Затем в работе Л. Хёрмандера [2] появилось уточнение понятия граничной задачи вместе с доказательством условий М. Й. Вишика существования корректной граничной задачи для случая скалярной дифференциальной операции с постоянными коэффициентами. В это же время Я. Б. Лопатинским [3] было найдено условие фредгольмовости общей дифференциальной граничной задачи для эллиптического уравнения или системы. После бума всеобщего интереса 60-х годов к этой тематике и осознания трудностей, связанных с отсутствием серьезных продвижений в исследованиях, в интересе аналитиков к этой области наблюдался длительный спад. Отметим среди работ 60-х годов исследования М. С. Аграновича [4], Ю. М. Березанского (см. [5; с. 93–115]) и позже А. А. Дезина [6] по гладкопорожденным общим граничным задачам. В настоящее время изучение общих постановок граничных задач проходит в направлениях, заданных еще в середине XX в. И. Г. Петровским [7], когда постановки граничных задач увязывались с конкретным типом дифференциального уравнения, и среди таких постановок актуальным вопросом является выделение корректных постановок граничных задач (см., например, книгу А. В. Бицадзе [8], монографию А. П. Солдатова, начало в [9]). Возникли также различные обобщенные постановки граничных задач, в частности, теория обобщенных, или, что то же, слабых решений граничных задач, опирающаяся на теорию оснащенных пространств. Такие задачи изучаются для уравнений, в которых эллиптическая часть выражена дивергентными членами, т. е. развитие происходит в направлении, заданном еще в работах С. Л. Соболева и О. А. Ладыженской (см., например, [10; с. 91–114]). Идеология правильно эллиптического случая приучила к тому, что результаты о корректности граничных задач справедливы для широкого класса областей, в формулировках отмечаются, как правило, лишь ограниченность и гладкость границы. Аналогична ситуация в обобщенных постановках граничных задач, скажем, для дивергентных линейных и квазилинейных эллиптических уравнений. Стремление рассматривать наиболее общие уравнения и системы с такими свойствами привели автора к обобщенной постановке задачи Дирихле, Неймана, других граничных задач для уравнений и систем вида с общей, вообще говоря, матричной дифференциальной операцией $\mathcal L$ и некоторым линейным или нелинейным оператором $A$, действующим в векторных пространствах $L_2(\Omega)$. Граничным задачам для уравнений вида (1.1) посвящена статья автора [11], а задачи для уравнения (1.2) – предмет исследования настоящей работы.Здесь слабым решением, например, однородной задачи Дирихле называется функция из области определения минимального оператора $u\in D(L_0)$, для которой выполнено “интегральное” тождество
$$
\begin{equation}
\langle\mathcal{L}u,A\mathcal{L}\phi\rangle_\Omega=\langle f,\phi\rangle_\Omega
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
для любой $\phi\in C_0^\infty(\Omega)$. Аналогия с дивергентными уравнениями станет очевидной, если заметить, что для оператора $\mathcal{L}=\nabla$, где $\mathcal{L}^+=-\operatorname{div}$, область определения минимального расширения $D(L_0)$ совпадает с соболевским пространством $H^1_0(\Omega)$, и тождество (1.3), скажем, с оператором Немыцкого $A$ превращается в хорошо известное определение обобщенного (слабого) решения задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка. Методы, используемые автором в настоящей статье, наработаны в общей теории граничных задач. Приведены примеры. Одним из примеров является уравнение с волновым оператором $\Box (a(x,\Box u))=f$, задача Дирихле для которого в ограниченной области оказывается корректной. Настоящая работа продолжает исследования автора, вышедшие в работах [12]–[15]. § 2. Конструкции общей теории граничных задачПусть $\mathcal L = \sum_{|\alpha |\leqslant l} a_\alpha (x) D^\alpha$, где $a_\alpha \in C^{\infty,k\times j }(\overline\Omega)$, $D^\alpha=(-i\partial)^{|\alpha|}/\partial x^\alpha$, – дифференциальная операция общего вида с $(k\times j)$-матрицами $a_\alpha$, элементами которых являются гладкие комплекснозначные функции, и пусть $\Omega$ – произвольная ограниченная область в $\mathbb{R}^n$. Операция $\mathcal L$ порождает формально сопряженную операцию $\mathcal L^+ = \sum_{|\alpha |\leqslant l} D^\alpha (a^*_\alpha (x)\,{\cdot}\,)$, где $a^*_\alpha (x)$ – сопряженная матрица. Будем обозначать $H=L_2^j(\Omega)$, $H^+=L_2^k(\Omega)$, $H^l=(H^l(\Omega))^j$, $H^l_0=(H_0^l(\Omega))^j$, $H^{+l}=(H^l(\Omega))^k$, $H^{+l}_0=(H_0^l(\Omega))^k$ – соболевские пространства. Минимальный оператор $L_0$, определяемый как замыкание оператора $\mathcal L$, первоначально заданного на $(C_0^\infty(\Omega))^j$, в норме графика $\| u\|^2_L=\| u\|^2_{L_2^j(\Omega)}+ \| \mathcal L u\|^2_{L_2^k(\Omega)}$ и аналогичный минимальный оператор $L_0^+$ порождают максимальные операторы $L=(L_0^+)^*$, $L^+=L_0^*$ с помощью сопряжения в гильбертовых пространствах. Области определения $D(L_0)$, $D(L^+_0)$, $D(L)$, $D(L^+)$ этих операторов являются гильбертовыми пространствами в соответствующей норме графика. Введем граничное пространство $C(L)=D(L)/D(L_0)$ для оператора $L$, а также факторотображение $\Gamma\colon D(L)\to C(L)$ и аналогично $C(L^+)$ и $\Gamma^+$ для оператора $L^+$. Для максимального оператора $L$ мы имеем короткую точную последовательность (см. [16; с. 22]) Имеется похожая последовательность для минимального оператора и, кроме того, имеются точные последовательности факторизации $\operatorname{Im}L/\operatorname{Im}L_0$ и $C(L)= D(L)/D(L_0)$. Собрав это вместе, получим диаграмму где операторы $i_C$ и $L_C$ определены формулами $i_C(u+\ker L_0)=u+D(L_0)$, $L_C(u+D(L_0))=Lu+\operatorname{Im}(L_0)$, а оператор $\Gamma_{\ker}$: $\ker L \to C(\ker L):= \ker L/\ker L_0$ – отображение факторизации.Коммутативность всех квадратов очевидна. Таким образом, диаграмма (D1) коммутативна, все столбцы и две верхние строки точны. Из алгебраической $3\times3$-леммы (см. [16; с. 72]) получаем точность нижней строки. Доказано следующее утверждение. Утверждение 1. Диаграмма (D1) коммутативна, ее строки и столбцы точны. Диаграмма (D1) означает, очевидно, разложение в прямую сумму максимального оператора $L=L_0\oplus L_{C}$. Отметим, что все построения и диаграмму (D1) можно строить и для банахового центрального пространства вместо $L_2(\Omega)$, ограничением здесь является недоказанность условий Вишика (см. ниже). Рассмотрим следующие условия Вишика (см. [1]):
$$
\begin{equation}
-\text{ оператор }L_0\colon D(L_0)\to H^+\text{ имеет непрерывный левый обратный};
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
-\text{ оператор }L_0^+\colon D(L_0^+)\to H \text{ имеет непрерывный левый обратный}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Отметим, что, как это следует из стандартных рассуждений функционального анализа, эти утверждения эквивалентны соответственно утверждениям
$$
\begin{equation}
-\text{ оператор }L\colon D(L) \to H^+ \text{ сюрьективен};
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
-\text{ оператор }L^+\colon D(L^+) \to H \text{ сюрьективен}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Пример 1. В статье [13] были указаны некоторые классы дифференциальных операторов, для которых выполнены условия (2.1), (2.2) в ограниченной области. В этом списке находятся i) скалярные операторы с постоянными коэффициентами, ii) скалярные операторы главного типа, iii) скалярные операторы постоянной силы, iv) матричные операторы с постоянными комплексными коэффициентами со свойством Панеяха–Фугледе, v) матричные операторы, равномерно эллиптические по Дуглису–Ниренбергу в области с гладкой границей. Из условия (2.1) следует, что $\ker L_0=0$, а условие (2.2) влечет, что $\operatorname{Im}L= H^+$. Кроме того, известно, что для замкнутого $\operatorname{Im}L_0$ имеет место разложение $H^+=\operatorname{Im}L_0\oplus \ker L^+$. Таким образом, в условиях (2.1), (2.2) диаграмма (D1) превращается в диаграмму (D2): Аналогично строится диаграмма для операторов $L^+_0$, $L^+$ с проекторами $\Gamma^+$ и $\Gamma^+_{\mathrm{Im}}$.Однородной граничной задачей (см. [2; с. 24]) называется задача нахождения решения соотношений где $B$ – подпространство в граничном пространстве $C(L)=D(L)/D(L_0)$, определяющее граничную задачу. Задача (2.5) называется корректной, если оператор $L_B=L|_{D(L_B)}$, $D(L_B)= \Gamma^{-1} B$ является разрешимым расширением оператора $L_0$, т. е. если оператор $L_B\colon D(L_B)\to H^+$ имеет непрерывный обратный (который также является правым обратным к $L$). Хорошо известно следующее утверждение (М. Й. Вишик [1], в интерпретации Л. Хёрмандера [2; с. 24, 25]).Утверждение 2. У операторa $L_0$ существует разрешимое расширение (и для оператора $L$ существует корректная граничная задача (2.5)) тогда и только тогда, когда выполнены условия (2.1) и (2.2) вместе. Таким образом, в примере 1 приведены известные классы операторов, для которых существует корректная граничная задача в любой ограниченной области. Пример корректной граничной задачи для неэллиптического уравнения в ограниченной области дает следующее утверждение. Утверждение 3 (см. [13]). Следующая граничная задача в единичном круге $D_{0,1}=\{x\in {\mathbb{R}^2}\mid |x|<1\}$ корректна в $L_2(D_{0,1})$: где $\Gamma_1=\{|x|=1,\, \pi/2\leqslant \tau \leqslant 2\pi \}$, $\Gamma_2=\{|x|=1,\, \pi \leqslant \tau \leqslant 3\pi/2\}$, $\tau$ – угловая переменная. Сопряженной к задаче (2.5) называется граничная задача где пространство
$$
\begin{equation*}
B^+=\Gamma^+D^+_B,\qquad D^+_B=\{v\in D(L^+)\mid \forall\, u\in\Gamma^{-1}(B),\ [u,v]=0\}
\end{equation*}
\notag
$$
порождено формой Грина: $[u,v]=\int_\Omega(Lu \cdot \overline v-u \cdot \overline{L^+v})\, dx$.
§ 3. Обобщенно поставленные граничные задачиНиже будут использоваться обозначения из теории оснащенных пространств (см. [5]). Если $H$, $H^+$ – гильбертовы пространства и $H\supset H^+$ – плотное вложение с топологией, то $H^-=(H^+)^\prime$ – гильбертово пространство, сопряженное к $H^+$ по отношению к норме $H$, которое мы будем называть дуальным к $H^+$ (по отношению к центральному пространству $H$). Если таких пространств $H^+$ два и еще дан линейный непрерывный оператор $U\colon H^+_1\to H^+_2$, то соответствующий сопряженный оператор $U^*=U'\colon H^-_2\to H^-_1$ будем называть дуальным к $U$. Ниже $H=L_2^{k}(\Omega)$. Пусть теперь $A\colon H\to H$ – некоторый линейный или нелинейный непрерывный оператор. Рассмотрим уравнение Определение 1. Функцию $u\in D(L_B)$, удовлетворяющую интегральному тождеству для каждой функции $v\in D(L_B)$, будем называть слабым решением задачи $\Gamma u\in B$, $\Gamma^+ALu\in B^+$, порожденной задачей $Lu=f$, $\Gamma u\in B$ в области $\Omega$ для уравнения (2.1) с правой частью $f$ из $D'(L_B)$ и оператором $A$. Здесь пространство $B^{+}$ задает задачу $L^+v=g$, $\Gamma^+ v\in B^+$, сопряженную к задаче $Lu=f_1$, $\Gamma u\in B$ (см. (2.7)). Интегральное тождество (3.2) может быть записано как уравнение с дуальным к $L_B$ оператором $L_B^\prime$: В частности, задачу (3.2) будем называть обобщенной задачей Дирихле, если $B=0$ (т. e. $L_B=L_0$) и обобщенной задачей Неймана, если $B=C(L)$ (т. е. $L_B=L)$. Как и в предыдущем параграфе, основанием для таких определений являются аналогии со ставшими уже классическими определениями соответствующих задач для квазилинейного дивергентного эллиптического уравнения, где в качестве операции $\mathcal L$ выступают градиент $\nabla$ (для случая уравнения второго порядка) или обобщенный градиент $\nabla^2,\dots,\nabla^m$ (в случае высокого порядка), а в качестве оператора $A$ – оператор Немыцкого. Определение 2. Обобщенную граничную задачу (3.2) будем называть корректной, если оператор $\widetilde{L}_{BA}=L_B'\cdot A\cdot L_B\colon D(L_B)\to D'(L_B)$ имеет двусторонний обратный $M\colon D'(L_B)\to D(L_B)$, и нормально корректной, если для каждой функции $f\in D'(L_B)$, ортогональной ядру $\ker L_B$, существует единственная, с точностью до аддитивной составляющей $h\in \ker L_B$, функция $u\in D(L_B)$, являющаяся решением уравнения (3.3) и непрерывно зависящая от $f$. Функция $u\in D(L_B)$ при этом является слабым решением этой задачи. Имеет место следующее утверждение. Утверждение 4. Задача (3.2) с непрерывным в $L_2^{k}(\Omega)$ оператором $A$ является нормально корректной тогда и только тогда, когда оператор $L_B$ нормально разрешим и оператор $P\cdot A$ – гомеоморфизм из замкнутого пространства $\operatorname{Im}L_B$ в себя. Здесь $P\colon L^{k}_2(\Omega)\to \operatorname{Im}L_B$ – ортогональный проектор. Задача (3.2) является корректной тогда и только тогда, когда она нормально разрешима и $\ker L_B=0$. Доказательство. Достаточность очевидна. Докажем необходимость для случая корректности задачи (3.2). Предположим, что оператор $\widetilde{L}_{BA}$ является гомеомофизмом с обратным оператором $M$, и расширение $L_B$ произвольно. Заметим сначала, что равенства $ML_B'AL_Bu=u$, $L_B'AL_BMv=v$ влекут инъективность оператора $L_B$ и сюрьективность $L_B'$. Пространство $\operatorname{Im}L_B$, наделенное топологией, индуцированной инъекцией $\widetilde{L}_B\colon D(L_B)\to \operatorname{Im}L_B$ из $D(L_B)$, не является, вообще говоря, замкнутым подпространством в $H=L_2^{k}(\Omega)$, но оно является плотно вложенным в некоторое замкнутое подпространство $H_1\stackrel{J}{\subset} H$, и вложение $I\colon \operatorname{Im}L_B\subset H_1$ непрерывно. Дуальный к $I$ оператор также является непрерывным плотным вложением $I'\colon H_1\subset \operatorname{Im}'L_B$. Введем ортопроектор $P\colon L_2^{k}(\Omega)\to H_1$. Мы имеем теперь последовательность отображений $\operatorname{Im}L_B\xrightarrow{I}H_1 \xrightarrow{PAJ} H_1 \xrightarrow{I'}\operatorname{Im}'L_B$, композиция которых является гомеоморфизмом с обратным оператором $M_1=\widetilde{L}_BM\widetilde{L}_B'$. Теперь для любой функции $u\in I\operatorname{Im}L_B\subset H_1$ имеем равенство $IM_1I'PAJu=u$ и, учитывая непрерывность операторов, мы, аппроксимируя произвольную функцию $w\in H_1$ последовательностью $w_n\to w,w_n\in \operatorname{Im}L_B$, и переходя к пределу в последнем равенстве, получим справедливость того же равенства для всякой $w\in H_1$, т. е. сюрьективность $I$. Таким образом, оператор $L_B$ нормально разрешим и топология $\operatorname{Im}L_B$ совпадает с топологией, индуцированной из $H$. Наконец, так как операторы $I$ и $I'$ – изоморфизмы, то оператор $PA=PAJ$ является гомеоморфизмом на пространстве $\operatorname{Im}L_B$.
Для того чтобы рассмотреть случай нормальной корректности задачи (3.2), достаточно факторизовать пространства $D(L_B)$ и $D'(L_B)$ по $\ker L_B $ и $\bot \ker L_B$ соответственно и воспользоваться теми же рассуждениями. Замечание 1. Если задан нелинейный оператор $A$, дифференцируемый по Фреше, то для того чтобы получить существование локально непрерывного (на некотором $D\subset \operatorname{Im}L_B$) обратного к $PA$ оператора, достаточно доказать существование ограниченного обратного к производной Фреше $PA'(u)$ оператора $PA$ в точке $u\in D$ и применить теорему об обратной функции. В этом случае условие $\| PA'(u)h\| \ \geqslant \ C\| h\|$ существования ограниченного обратного к $PA'(u)$ оператора может быть записано как оценка или как неравенство: $\exists\, C>0$, $\forall\, u$, $\forall\, h$, $\exists\, w$, $\langle A'(u)h,w\rangle \geqslant C\|h\| \, \|w\|$. Последняя оценка имеет место, если существует оператор $V\colon D\times \operatorname{Im}L_B\to \operatorname{Im}L_B$ такой, что $\langle A'(u)h,V(u,h)\rangle \geqslant C\|h\| \, \|V(u,h)\|$. В простейшем случае линейного непрерывного оператора $V(u,h)=Vh$ мы получаем достаточное условие локальной гомеоморфности оператора $PA$ в виде положительной определенности композиции некоторого оператора $V^*$ и производной Фреше $A'(u)$ на $\operatorname{Im}L_B$: Утверждение 4 влечет следующий результат. Утверждение 5. Предположим, что оператор $A\colon H\to H$ непрерывен и расширение $L_B$ разрешимо. Тогда 1) задача (3.2) является корректной тогда и только тогда, когда оператор $A$ – гомеоморфизм, 2) задача (3.2) разрешима, т. е. она имеет слабое решение, если оператор $A$ сюрьективен. Пример 2. Рассмотрим в качестве оператора $\mathcal{L}$ произвольный скалярный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, а в качестве оператора $A$ – оператор Урысона где $\forall\, x,t\in \Omega$, $\forall\, \xi_1,\xi_2\in \mathbb{R}$, § 4. Операторы с подчиненными членамиОтметим, что предыдущие рассуждения непригодны для рассмотрения операторов, содержащих производные младших порядков. Так, в примере 2 мы не могли рассматривать уравнение с $K=K(x,t,u(t), \nabla u(t),\Delta u(t))$. Ниже приводится схема, позволяющая учитывать младшие члены. Заметим, что другой возможностью для этого является рассмотрение векторных операций типа $\mathcal{M}=(\mathcal{L},1)$, имея в виду, что тогда $\mathcal{M}^+(v_1,v_2)=\mathcal{L}v_1+ v_2$, $\mathcal{M}^+\mathcal{M} u=\mathcal{L}^+\mathcal{L}u+u$. Здесь в оператор $A$ мы включим младшие члены, входящие компактно. Рассмотрим оператор $\widetilde{L}_{BA}$, действующий по правилу $\widetilde{L}_{BA}u=$ $L_B'A(u,L_Bu)=L_B'\widetilde{A}(\mathcal{K}u,L_Bu)$, где $\mathcal{K}\colon D(L_B)\to L_2^m(\Omega)$ – некоторый компактный оператор, расширение $L_B$ – нормально разрешимо, $\widetilde{A}\colon L_2^m(\Omega)\times \operatorname{Im}L\to \operatorname{Im}L$ – непрерывный оператор такой, что $PA(u,w)=\widetilde{A}(\mathcal{K}u,w)$ с оператором $A\colon D(L_B)\times \operatorname{Im}L\to L_2^{k}(\Omega)$ и тем же ортопроектором $P\colon L_2^{k}(\Omega)\to \operatorname{Im}L$. Будем рассматривать следующие условия:
$$
\begin{equation}
{}-{}\forall\, v\in L_2^m(\Omega),\text{ оператор }\widetilde{A}(v,{\cdot}\, )\colon \operatorname{Im}L\to \operatorname{Im}L-\text{гомеоморфизм},
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
$$
\begin{equation}
{}-{}\text{гомеоморфизм }(\widetilde{A}(v,{\cdot}\,))^{-1}\colon \operatorname{Im} L\to \operatorname{Im}L\text{ равномерно ограничен},
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
т. е. существует монотонная функция $\beta \colon \mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}^{+}$, $\beta(r)=R$ такая, что образ $(\widetilde{A}(v,{\cdot}\,))^{-1}(S(0,r))$ всякого шара $S(0,r)$ $\subset \operatorname{Im}L$ радиуса $r$ вложен в шар $S(0,R)\subset \operatorname{Im}L$ для каждой $v\in L_2^m(\Omega)$. Заметим, чтобы проверить условие (4.2), достаточно показать, что отображение
$$
\begin{equation}
(\widetilde{A}(v,{\cdot}\,))^{-1}\colon L_2^{k}(\Omega)\to L^{k}_2(\Omega)
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
равномерно ограничено, если оператор $\widetilde{A}(v,\cdot )\colon L_2^{k}(\Omega)\to L_2^{k}(\Omega)$ задан во всем $L_2^{k}(\Omega)$ и обратим. Функцию $u\in D(L_B)$, удовлетворяющую интегральному тождеству для любой функции $v\in D(L_B)$, будем называть слабым решением задачи $\Gamma u\in B$, $\Gamma^{+}A(u,Lu)\in B^{+}$, порожденной задачей $\Gamma u\in B$, в области $\Omega$ для уравнения с произвольной функцией $f\in D'(L_B)$. Интегральное тождество (4.4) соответствует уравнению
$$
\begin{equation}
\widetilde{L}_{BA}u=L_B'\cdot\widetilde{A}(\mathcal{K}u,L_B\,u)=f.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Обобщенную граничную задачу (4.4) будем называть разрешимой, если для любой правой части $f\in D'(L_B)$ существует функция $u\in D(L_B)$, для которой имеет место равенство (4.6). Обобщенную граничную задачу (4.6) будем называть корректной, если оператор $\widetilde{L}_{BA}\colon D(L_B)\to D'(L_B)$ имеет двусторонний непрерывный обратный $M\colon D'(L_B)\to D(L_B)$. Эти определения приводят к следующим результатам. Утверждение 6. Предположим, что расширение $L_B$ нормально разрешимо и $\ker L_B=0$. Тогда 1) для того чтобы обобщенная задача (4.4) была разрешимой (корректной), необходимо и достаточно, чтобы уравнение имело решение для любой функции $f\in \operatorname{Im}L_B$ (было бы корректно для таких $f$, т. е. чтобы существовал непрерывный обратный у оператора этого уравнения);2) для того чтобы обобщенная задача (4.4) была разрешимой, достаточно выполнения условий (4.1), (4.2). Доказательство. Утверждение п. 1) (также как и в утверждении 4) следует из того, что отображение $L_B\colon D(L_B)\to L_2^{k}(\Omega)$ – изоморфизм на свой образ и $\ker L_B'\bot \operatorname{Im}L_B$.
2) Пусть $f\in D'(L_B)$ – произвольная функция. Из утверждения 5 и условия (4.1) следует, что отображение
$$
\begin{equation*}
T\colon D(L_B)\ni u\quad \to\quad L_B^{-1}(PA(u,\cdot ))^{-1}((L_B')^{-1}f)\in D(L_B)
\end{equation*}
\notag
$$
является вполне непрерывным оператором. Из условия (4.2) имеем, что для каждого шара $F\ni f$ существует шар $U\subset \operatorname{Im}L_B$, содержащийся в прообразе $(\widetilde{A}(\mathcal{K}u,{\cdot}\,))^{-1}((L_B')^{-1}F)$ $\forall\, u$. Тогда компактное отображение $L_BTL_B^{-1}$ переводит замыкание $\overline{U}$ шара $U$ в себя. Применяя принцип Шаудера, получаем, что отображение $L_BTL_B^{-1}$ имеет неподвижную точку и, таким образом, задача (4.4) разрешима. Замечание 2. Мы хотели бы иметь возможность видеть на месте $\mathcal{K}u$ набор каких-либо дифференциальных выражений, но мы должны требовать, чтобы операторы, порожденные этими выражениями, были бы компактными. Приходим к следующему определению. Дифференциальную операцию $\mathcal{M}$ будем называть $B$-подчиненной операции $\mathcal{L}$ и записывать $\mathcal{M}\,{\prec \prec_B}\, \mathcal{L}$, если $D(M)\supset D(L_B)$ и оператор $I\circ M|_{D(L_B)}\colon D(L_B)\to L_2(\Omega)$ с вложением $I\colon \operatorname{Im} M|_{D(L_B)}\to L_2(\Omega)$ является компактным. Здесь включение является плотным и означает выполнение априорной оценки В работе [2] были приведены условия на символы операторов, при которых такие сравнения имеют место. Конечно, получение каких-либо условий сравнения операторов различных классов является большой и трудной задачей. Пример 3. Рассмотрим уравнение § 5. Нелинейные задачи с оператором НемыцкогоВ качестве оператора $A(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,)$ предыдущего параграфа будем рассматривать оператор Немыцкого, порожденный конечномерным отображением $g\colon (Au)(x){\kern1pt}{=} g(x,u(x))$, $g\colon \Omega \times \mathbb{R}^r\to \mathbb{R}^r$, $\Omega \subset \mathbb{R}^n$, или $(AU)(x)=a(x,U(x))$, $a\colon \Omega \times \mathbb{R}^N=\Omega \times \mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^r\to \mathbb{R}^r$, $a(x,\eta,\xi)=\{A_\alpha(x,\eta,\xi)\}$ соответственно сорту уравнения, которое мы хотим рассмотреть: (3.1) или (4.5). 5.1. Некоторые известные результатыРассмотрим сначала оператор $A\colon L_2^r(\Omega)\to L_2^r(\Omega)$, порожденный отображением $g\colon (Au)(x)=g(x,u(x))$, где $g\colon \Omega \times \mathbb{R}^r\to $ $\mathbb{R}^r$ удовлетворяет условию Каратеодори: $g(x,\xi)$ непрерывно по $\xi$ для почти всех $x$ и измеримо по $x\in \Omega$ для всех $\xi$. Как известно, такой оператор является непрерывным и ограниченным в пространстве $L_2^r(\Omega)$ тогда и только тогда, когда имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\exists \,g_1\in L_2(\Omega),\ \exists\, C> 0,\ \forall\, x,\ \forall\, \xi\qquad |g(x,\xi)|\leqslant g_1(x)+C|\xi|.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующий факт сразу вытекает из приведенной выше оценки. Утверждение 7. Пусть отображение $g(x,u)$, $g\colon \Omega \times \mathbb{R}^r\to \mathbb{R}^r$, удовлетворяет условию Каратеодори. Тогда если отображение $g(x,{\cdot}\, )$ для почти всех $x$ имеет непрерывный обратный $g^{-1}(x,{\cdot}\,)$: $g^{-1}(x,g(x,\xi ))=g(x,g^{-1}(x,\xi))=\xi$ и удовлетворяет условию линейного роста на бесконечности: то соответствующий этому отображению оператор Немыцкого $A$ является гомеоморфизмом в пространстве $L_2^r(\Omega)$ и наоборот. Напомним некоторые известные определения, которые были введены для изучения операторов нелинейных граничных задач. Оператор $T\colon X\to X'$, действующий из рефлексивного банахова пространства в его сопряженное, называется (см. [17]): i) монотонным, если $\langle Tu-Tv,u-v\rangle\geqslant 0$ для всех $u$, $v$; ii) строго монотонным, если $\langle Tu-Tv,u-v\rangle >0$ для $u\neq v$; iii) радиально непрерывным, если для каждого $u,v\in X$ функция $s\to \langle T(u+ sv),v\rangle$ непрерывна на $[0,1]$; iv) коэрцитивным, если существует монотонная функция $\gamma \colon [0,\infty)\to \mathbb{R}$, $\lim_{s\to \infty}\gamma(s)=+\infty$ такая, что $\langle Tu,u\rangle \geqslant \gamma(\|u\|)\|u\|$; v) удовлетворяющим $S$-свойству Ф. Браудера (или условию $\alpha$ И. В. Скрыпника [18]), если из того, что $\langle Tu_n-Tu,u_n-u\rangle \to 0$ и $u_n\rightharpoonup u$, следует, что $u_n\to u$ в $X$. Эти свойства необходимы для существования непрерывного обратного оператора. В частности, справедливы следующие факты (см. [17]). Утверждение 8. 1. Из условия ii) для отображения $T$ или для отображения $(-T)$ следует инъективность $T$. 2. Пусть $T$ – радиально непрерывный, монотонный, коэрцитивный оператор. Тогда $T$ сюрьективен, и для всех $f$ из $X'$ множество $T^{-1}(f)$ является слабо выпуклым и замкнутым множеством (теорема Браудера–Минти). 3. Пусть $T$ – радиально непрерывный, монотонный, коэрцитивный оператор, удовлетворяющий $S$-свойству, тогда $T^{-1}$ непрерывен. Для уравнений вида $\mathcal{A}u\equiv \sum_{|\alpha |\leqslant m}D^\alpha [A_\alpha (x,u,\nabla u,\dots,\nabla^mu)-f_\alpha]=0$ (т. е. для уравнения (4.5) с оператором $A$, порожденным отображением $a\colon AU=a(x,U(x))$, $a\colon \Omega \times \mathbb{R}^N\to \mathbb{R}^N$, $a(x,\eta,\xi )=\{A_\alpha (x,\eta,\xi)\}$) существуют примеры классов отображений $a$ таких, что свойства i)–iv) имеют место, и мы можем изучать вопросы корректности соответствующих краевых задач ([17]–[19]). Свойства ii) (а также v) и iv)) показывают, что уравнения в таких задачах должны быть эллиптическими. Это одна из схем исследования (о других подходах см., например, [19]). Следующее важное наблюдение принадлежит Г. Гаевскому (см. [17]). Утверждение 9. Пусть $X$, $Y$ – банаховы пространства. Если $L\colon X\,{\to}\,Y$ – линейный изометрический изоморфизм и оператор $A\colon Y\to Y'$ удовлетворяет какому-либо из условий i)– v), то и оператор $L'AL\colon X\to X'$ удовлетворяет этому условию. Заметим, что требование изометричности $L$ может быть опущено при дальнейших рассмотрениях, поскольку при изучении вопросов непрерывности мы можем перейти к эквивалентной метрике. Следуя рассуждениям работы [17], рассмотрим пример оператора $A$, заданного формулой:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (Au)(x) &=\{a_1(x,u(x)),\dots,a_r(x,u(x))\}, \\ a_i(x,u) &=\varphi(x,|u|)\sum_{j=1}^rb_{i,j}(x)u_j. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Утверждение 10. Пусть функция $\varphi $ из формулы (5.2) ограничена и удовлетворяет условию Каратеодори. Пусть $(b_{i,j}(x))$ – симметрическая положительно определенная вещественнозначная матрица, состоящая из ограниченных элементов. Если, кроме того, функция $\varphi $ удовлетворяет оценке $\varphi(x,t)t-\varphi (x,s)s\geqslant m(t-s)$ для $t\geqslant s,m>0$, то предположения ii)– v) выполняются, и поэтому соответствующий оператор $A$ является гомеоморфизмом в $L_2^r(\Omega)$. 5.2. Приложения к задачам с сюрьективным расширениемВ настоящем пункте будет показано, какие выводы можно сделать из рассуждений предыдущего пункта, касающиеся оператора Немыцкого $A$. К сожалению, оператор Немыцкого чаще всего имеет производную Фреше только на плотном множестве в $L_2(\Omega)$, поэтому в этом случае мы не можем использовать концепцию замечания 3. Однако, действуя в соответствии с утверждением 7, можно обойти эту трудность или посредством построения явного выражения для обратного отображения оператора $PA$, или применением свойств монотонности оператора $PA$ (или, возможно, $PMAM^*$ с некоторым обратимым $M$). Рассмотрим сначала наиболее простой случай, когда оператор $L_B$ разрешим, т. е. $\operatorname{Im}L_B=L_2(\Omega)$, $P=\mathrm{id}$, $\ker L_B=0$. Пусть $a=g$ зависит только от $x$, $\xi$. Рассмотрим обобщенную граничную задачу (3.2) для квазилинейного уравнения (3.1), где $A\colon L_2^r(\Omega)\to L_2^r(\Omega)$ – оператор Немыцкого, удовлетворяющий предположениям утверждения 7. Используя утверждение 8, мы можем говорить о корректности этой задачи, если оператор $L_B$ обратим и наоборот. Подобные рассуждения можно использовать также, если гомеоморфизм $A$ задан c помощью формулы (5.2), функции $a_j$ в которой удовлетворяют условиям утверждения 10. Имеет место следующий результат. Утверждение 11. Предположим, что оператор $A\colon L_2^r(\Omega)\to L_2^r(\Omega)$ удовлетворяет либо предположениям утверждения 7, либо условиям утверждения 10. Тогда 1) обобщенная задача (3.2) корректна, если расширение $L_B$ разрешимо; 2) обобщенная задача Неймана (3.2), $B=C(L)$, нормально разрешима, если выполнено условие (2.3) о сюрьективности оператора $L$; в частности, она корректна для уравнения (3.1), в котором оператор $\mathcal{L}$ может быть любым из операторов, перечисленных в примере 1. Пример 4. Используя утверждение 3, а также предыдущие замечания, нетрудно получить корректность следующей нелинейной задачи в единичном круге $D_{0,1}=\{x\in \mathbb{R}^2\mid |x|<1\}$, порожденной задачей (2.6): Пусть теперь отображение $a$ таково, что $a\colon \Omega \times \mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^r\to \mathbb{R}^r$, $\Omega \subset \mathbb{R}^n$, $a(x,\eta,\xi)=\{A_\alpha(x,\eta,\xi),\, |\alpha|\leqslant m\}$. В этом случае мы будем использовать схему, предложенную в утверждении 9. Для того чтобы оператор $A$ удовлетворял условиям (4.1), (4.2), отображение $a(x,\eta,{\cdot}\,)$ должно удовлетворять предположениям из утверждения 7 или 10 равномерно по $\eta$, т. e. функция $g_1\in L_2(\Omega)$ и постоянная $C_1$ из утверждения 7 или постоянная $m>0$ и постоянная положительной определенности матрицы $(b_{i,j}(x))$ не должны зависеть от $\eta$. Как и выше, условие (4.1) выполняется. Свойство (4.3) является следствием построений обратного оператора в утверждениях 7 и 10. Используя утверждение 11, п. 2), приходим к следующим результатам. Утверждение 12. Рассмотрим уравнение с операторами $L_j\prec \prec_BL$, причем, последнее сравнение означает компактность композиции $I_j\circ L_j\colon D(L_B)\to L_2(\Omega)$ с оператором вложения $I_j$. Предположим, что отображение $a(x,\eta,{\cdot}\,)$ удовлетворяет упомянутым выше условиям из утверждений 7 или 10 равномерно по $\eta$. Тогда 1) порожденная таким оператором задача (4.4) разрешима, если расширение $L_B$ разрешимо; 2) соответствующая оператору $A(u,L_Bu)$ задача Неймана (4.4), $B=C(L)$, разрешима для каждой $f\in D'(L)$, $f\perp \ker L$, если выполнено условие (2.2), в частности, она разрешима для уравнения (4.5), в котором оператор $\mathcal{L}$ один из операторов примера 1. Пример 5. Из утверждения 12, учитывая утверждение 3 и пример 4, получаем разрешимость следующей нелинейной задачи: $\langle a(x,u,\Box_B\,u),\Box_B\,v\rangle=\langle f, v\rangle$, где функция $a(x,\eta,\xi )$ удовлетворяет условиям утверждения 7 или 10 равномерно по $\eta$, поскольку $D(\Box_B)\subset H^1(\Omega)\subset \subset L_2(\Omega)$. 5.3. Приложения к задачам с несюрьективным расширениемПусть пространство $\operatorname{Im}L_B$ не совпадает со всем пространством $L_2(\Omega)$. Для того чтобы мы могли воспользоваться результатами утверждений 7, 10, необходимо, чтобы оператор $PA$ был непрерывно обратим на $\operatorname{Im}L_B$. В общем случае схема, предложенная в утверждении 7, не подходит для того, чтобы сделать подобное заключение для всякого подпространства $\operatorname{Im}L_B$. Поэтому мы воспользуемся утверждением 8, в предположениях которого это возможно. Имеет место следствие из утверждений 8, 9. Утверждение 13. Пусть $H$ – гильбертово пространство, $G$ – его замкнутое подпространство, $I\colon G\to H$ – оператор вложения и $P\colon H\to G$ – ортопроектор. Если оператор $A\colon H\to H$ удовлетворяет некоторому из условий i)– v), то и оператор $PAI\colon G\to G$ обладает этим свойством. Если оператор $A$ удовлетворяет всем этим свойствам, то оператор $PA=PAI\colon G\to G$ – гомеоморфизм для каждого замкнутого $G\subset H$. Для доказательства достаточно предположить, что $H$ – центральное пространство оснащения (см. [16]), взять $L=I$ в утверждении 9, идентифицируя $G'=G$, а затем применить утверждение 8. Теперь мы можем использовать схему утверждений 7, 9. Утверждение 14. Предположим, что оператор $A\colon L_2^r(\Omega)\to L_2^r(\Omega)$, заданный формулой (5.2), удовлетворяет условиям утверждения 10. Тогда 1) обобщенная задача (3.2) нормально корректна, если расширение $L_B$ нормально разрешимо; задача является корректной, если, кроме того, $\ker L_B=0$; 2) обобщенная задача Дирихле (3.2), $B=\{0\}$, нормально корректна, если выполняется условие нормальности оператора $L$: подпространство $\operatorname{Im}L$ замкнуто в $H^+$; она является корректной, если имеет место условие (2.1), в частности, корректной является задача Дирихле для уравнения (3.1), в котором оператор $\mathcal{L}$ – один из операторов примера 1. Пример 6. Рассмотрим хорошо известную обобщенную постановку задачи Дирихле для квазилинейного уравнения в котором $A\colon L_2^n(\Omega)\to L_2^n(\Omega)$ – некоторое непрерывное отображение, удовлетворяющее условиям ii)–v). Таким отображением может служить, к примеру, оператор Немыцкого, заданный с помощью отображения $a$, действующего в $\mathbb{R}^n$ (см. утверждение 10). Тогда из утверждения 14, используя неравенство Фридрихса, мы получаем корректность этой задачи. Пример 7. Рассмотрим еще один пример задачи Дирихле в плоской области для квазилинейного уравнения с волновым оператором $\Box =\partial^2/(\partial x_1\partial x_2)$ и оператором $A\colon L_2(\Omega)\to L_2(\Omega)$, заданным с помощью отображения $a$ в $\mathbb{R}^1$ (см. утверждение 10). Из утверждения 14 следует корректность такой задачи при ограничениях утверждения 10. Если, более того, $a$ зависит от $u$, то задача разрешима. Замечание 3. Мы использовали здесь один набор (из возможных) предположений на оператор $A$, которые обеспечивают корректность или разрешимость уравнения $Av=g$ в пространстве $L_2(\Omega)$, что влечет корректность или разрешимость уравнения $L_B'AL_Bu=f$ в пространстве $D(L_B)$. Однако имеются также другие наборы предположений (например, условия ограниченности, полунепрерывности, коэрцитивности и псевдомонотонности оператора $A$), и каждое из них может быть использовано при формулировке результатов, аналогичных утверждению 14. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bur23} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|