| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Когерентные пучки, классы Чженя и суперсвязности на компактных комплексно-аналитических многообразиях А. И. Бондалabc, А. А. Рослыйdef a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Центр фундаментальной математики, Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), г. Долгопрудный, Московская обл. c Kavli Institute for the Physics and Mathematics of the Universe (WPI), University of Tokyo, Japan d Сколковский институт науки и технологий, г. Москва e Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва f Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9386e 
Реферативные базы данных:
    Памяти Игоря Ростиславовича Шафаревича к его 100-летнему юбилею § 1. ВведениеХорошо известно, что производная категория когерентных пучков является важным гомологическим инвариантом алгебраического многообразия. Исходной мотивацией авторов настоящей работы было понять в какой степени эта производная категория может быть хорошим инвариантом для комплексно-аналитического многообразия. Пусть $X$ – гладкое компактное комплексно-аналитическое многообразие и $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}} (X)$ – производная категория $\mathcal{O}_X$-модулей с ограниченными когерентными когомологиями. Имеются свидетельства того, что эта категория не столь хороша, как в случае алгебраического многообразия. Во-первых, из результата работы [1] следует, что $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}}(X)$ эквивалентны для всех К3-поверхностей $X$, на которых нет компактных кривых. Следовательно, производная категория “не чувствует” общую К3-поверхность. Эта ситуация очень отличается от случая алгебраических многообразий. Если канонический или антиканонический класс $X$ обилен, то многообразие однозначно восстанавливается из производной категории [2]. Число абелевых многообразий, производно эквивалентных данному, всегда конечно [3]. Кроме того, в данном классе производной эквивалентности имеется не более счетного числа алгебраических многообразий ([4]). Примером проективного многообразия с бесконечным числом производных партнеров является трехмерное проективное пространство, раздутое в восьми подходящим образом выбранных точках [5]. Во-вторых, замечательным свойством производной категории когерентных пучков на гладком собственном алгебраическом многообразии является то, что для нее выполнен аналог теоремы Брауна о представимости. А именно, она насыщена, т. е. все ограниченные когомологические функторы из нее в категорию векторных пространств представимы (см. [6], [7]). В то же время, в [7] было показано, что для производной категории гладкой компактной поверхности без кривых (к примеру, для общей К3-поверхности) это свойство не выполнено. В [7] была также сформулирована гипотеза, что если производная категория насыщена, то многообразие является аналитизацией алгебраического пространства. Эта гипотеза была доказана Тоэном и Вакье в [8], при несколько более сильном предположении DG-насыщенности категории. Возможно, под воздействием этих фактов сформировалось мнение, что производная категория – не особенно значимый гомологический инвариант в комплексно-аналитическом случае. Формально говоря, это верно. Однако имеется некоторый произвол в том, какого рода естественную структуру стоит фиксировать на производной категории. В частности, давно уже было отмечено, что триангулированные категории имеет смысл рассматривать вместе с DG-оснащениями [9]. Результаты настоящей работы показывают, что некоторые хорошие (твист-замкнутые) оснащения особенно релевантны в комплексно-аналитической геометрии многообразий. Мы строим DG-оснащение $\mathcal{C}_X$ категории $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}} (X)$ с помощью $\overline\partial$-суперсвязностей. Его объектами являются DG-модули над пучком DG-алгебр форм Дольбо с подходящими свойствами. Наш первый результат заключается в том, что гомотопическая категория этой DG-категории эквивалентна $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}}(X)$. Похожее оснащение независимо рассматривал Дж. Блок в [10]. Мы обсуждаем, в частности, строгую полноту функтора, который дает эквивалентность. Кроме того, мы не предполагаем, что каждый объект $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}} (X)$ имеет представление конечным комплексом локально свободных пучков $\mathcal{O}_X$-модулей (как в доказательстве леммы 4.6 в [10]). Контрпример К. Вуазен [11] показывает, что это выполнено не для всех комплексно-аналитических многообразий. Стоит отметить, что работы Н. Пале [12], [13], где он обсуждает когерентные пучки в терминах $\overline\partial$-связностей на специальных пучках модулей над гладкими функциями, вдохновляли нас на раннем этапе нашей работы над этим проектом. Важным свойством категории $\mathcal{C}_X$ является ее твист-замкнутость, которая означает, что любой функтор, построенный с помощью скрученных комплексов, представим. Скрученные комплексы – это решения уравнения Маурера–Картана со значениями в эндоморфизмах (степени $1$) объектов категории. Заметим, что твист-замкнутые категории предтриангулированы, т. е. так называемые односторонние скрученные комплексы в таких категориях представимы, но для построения пространства модулей объектов в комплексно-аналитической теории существенную роль играет представимость любых скрученных комплексов. Мы строим характер Чженя для объектов $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}}(X)$, используя DG-оснащение с помощью суперсвязностей. Для этого мы достраиваем произвольную $\overline\partial$-суперсвязность до (неплоской) суперсвязности Де Рама в смысле Квиллена [14] с помощью подходящего выбора эрмитовых метрик. Мы показываем, что $p$-й характер Чженя для любого объекта $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}}(X)$ представляется замкнутой $(p,p)$-формой. Это наводит на мысль определить характеристические классы объектов $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}}(X)$ со значениями в когомологиях Ботта–Чженя. Техника, развитая для классов Чженя суперсвязностей, легко переносится на этот случай. Дальнейшее развитие теории для $\overline\partial$-суперсвязностей некомпактных многообразий и применения к построению пространств модулей объектов в $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}}(X)$ будут темой дальнейших публикаций. При доказательстве теоремы о DG-оснащении с помощью $\overline\partial$-суперсвязностей мы следуем нашему препринту Kavli IPMU 2011-го года [15]. Применение этого подхода к характеристическим классам Чженя и Ботта–Чженя представлялось вторым автором настоящей публикации в докладе1 на российско-японской конференции “Категорные и аналитические инварианты в алгебраической геометрии II” в Институте физики и математики Вселенной им. Кавли при Токийском университете в 2015 г. Нам приятно посвятить эту работу памяти выдающегося математика и сильной личности, каким являлся Игорь Ростиславович Шафаревич. Когда эта работа была готова к публикации, мы узнали о большом препринте Дж.-М. Бисмута, Шу Шена и Жаотинг Вея [16], где рассматриваются схожие вопросы, а также обсуждается теорема Римана–Роха–Гротендика. Было бы интересно сравнить подходы наших работ. § 2. DG-оснащенияВ этом параграфе мы напомним некоторые факты о DG-категориях и введем понятие твист-замкнутой DG-категории. DG-категории можно рассматривать как специальный класс $A_{\infty}$-категорий. Обсуждаемая теория имеет прямое обобщение на $A_{\infty}$-случай. Мы не будем здесь обсуждать этот более общий контекст, потому что естественные оснащения, которые возникают в комплексной геометрии, имеют DG-структуру. Пусть $\mathcal{C}$ – аддитивная DG-категория над полем. Это означает, что существуют конечные прямые суммы любых объектов, морфизмы между любыми двумя объектами образуют $\mathbb{Z}$-градуированный комплекс векторных пространств над полем, и выполнено правило Лейбница для композиции морфизмов. Мы обозначаем пространство морфизмов степени $i$ в $\mathcal{C}$ через $\mathbb{R}\mathrm{Hom}^i$. Два объекта $A,B\in \mathcal{C}$ называются DG-изоморфными, если существует обратимый замкнутый морфизм степени 0 в $\mathbb{R}\mathrm{Hom}^0(A, B)$. Соответствующим образом определяется и DG-изоморфизм функторов. Мы предполагаем, что категория снабжена эквивалентностью $T\colon \mathcal{C}\to \mathcal{C}$, называемой функтором сдвига, и DG-изоморфизмом функторов где степень $\mu$ равна $-1$.Если $\mathcal{C}$ есть DG-категория, то ее гомотопическая категория $\mathcal{H}o\, \mathcal{C}$ определяется как категория с теми же объектами, что в $\mathcal{C}$, а морфизмы – как нулевые когомологии комплексов морфизмов в $\mathcal{C}$. Теперь объясним идеологию (основанную на [9]) скрученных комплексов и функторов, которые ими представляются. Скрученный комплекс в DG-категории $\mathcal{C}$ – это пара $W=(E, \alpha)$, где $E$ – объект в $\mathcal{C}$, а $\alpha$ (скрученная коцепь) лежит в $\mathbb{R}\mathrm{Hom}^1(E, E)$ и удовлетворяет уравнению Маурера–Картана: Любой скрученный комплекс $T=(E, \alpha)$ определяет контравариантный функтор
$$
\begin{equation*}
h^W\colon \mathcal{C}\to \mathrm{C}^{\bullet}(\mathrm{Vect}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathrm{C}^{\bullet}(\mathrm{Vect})$ обозначает категорию комплексов векторных пространств. Функтор определяется на $A\in \mathcal{C}$ по правилу но дифференциал в $\mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(A, E)$ скручен с помощью $\alpha$:
$$
\begin{equation*}
\mathrm{d}_{\alpha}=\mathrm{d}_{\mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet} (A, E)} +\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Из уравнения Маурера–Картана для $\alpha$ следует, что $\mathrm{d}_{\alpha}^2=0$. Мы также рассматриваем скрученные комплексы специальной формы. Скрученный комплекс $W=(E, \alpha)$ называется односторонним, если объект $E$ раскладывается в конечную прямую сумму $E=\bigoplus E_i$, а $\alpha$ задается строго верхнетреугольной матрицей по отношению к этому разложению. Базовый пример одностороннего скрученного комплекса получается, если взять $E$ вида а $\alpha$ – элемент из $\mathbb{R}\mathrm{Hom}^1(E_1, E_2)$ как подпространства в $\mathbb{R}\mathrm{Hom}^1(E, E)$. Заметим, что тогда $\alpha^2$ автоматически равен нулю. Следовательно, уравнение Маурера–Картана редуцируется к $\mathrm{d} \alpha =0$. Таким образом, $\alpha$ можно рассматривать как замкнутый морфизм $E_1\to E_2[1]$ степени $0$.В следующем определении DG-категории предполагаются аддитивными и снабженными функтором сдвига. Определение 2.1. (i) DG-категория называется твист-замкнутой, если функтор $h^W$ представим для любого скрученного комплекса $W$. (ii) DG-категория называется предтриангулированной, если функтор $h^W$ представим для любого одностороннего скрученного комплекса $W$. Следующая теорема доказана в [9]. Теорема 2.2. Если $\mathcal{C}$ предтриангулирована, то $\mathcal{H}o\, \mathcal{C}$ естественным образом триангулирована. Идея, лежащая в основе этой теоремы, состоит в том, что скрученная коцепь $\alpha$ в одностороннем скрученном комплексе вида (1) определяет морфизм ${\widetilde \alpha}\colon E_1\to E_2[1]$ в $\mathcal{H}o\, \mathcal{C}$, а объект, который представляет функтор $h^W$, задает конус ${\widetilde \alpha}$ в гомотопической категории. Тем самым, родовая травма аксиоматики триангулированных категорий, состоящая в том, что конусы морфизмов не являются каноническими, разрешается путем поднятия морфизмов в триангулированной категории до замкнутых морфизмов в подходящей DG-категории. Другая причина, почему DG-контекст выглядит более удобным, заключается в том, что предтриангулированность является свойством DG-категории, а чтобы сделать категорию триангулированной, необходимо привлечь дополнительную структуру – фиксировать класс точных треугольников. Цена, которую мы вынуждены платить за переход в DG-мир, – приходится рассматривать DG-категории с точностью до подходящего отношения эквивалентности, т. е. всегда имеется некоторый выбор из квазиэквивалентных DG-категорий, “представляющих” данную триангулированную категорию. Определение 2.3. Если $\mathcal{D}$ – триангулированная категория, то предтриангулированная категория $\mathcal{C}$ вместе с триангулированной эквивалентностью $\mathcal{H}o\, \mathcal{C}\to \mathcal{D}$ называется оснащением $\mathcal{D}$. Про категорию $\mathcal{D}$ мы тогда говорим, что она оснащена. Функтор между двумя DG-категориями называется квазиэквивалентностью, если он индуцирует эквивалентность соответствующих гомотопических категорий. Из определения ясно, что твист-замкнутая DG-категория предтриангулирована, следовательно, ее гомотопическая категория естественно триангулированна. Для наших дальнейших рассмотрений будет важно иметь твист-замкнутые оснащения. Важно! Твист-замкнутость не сохраняется при квазиэквивалентностях. Следующий пример показывает, что стандартное оснащение производной категории когерентных пучков на алгебраическом многообразии не твист-замкнуто. Пример 2.4. Пусть $X$ – алгебраическое многообразие со структурным пучком $\mathcal{O}_X$ и $\mathcal{D} =\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}} (X)$ – производная категория комплексов $\mathcal{O}_X$-модулей с ограниченными когерентными когомологиями. Рассмотрим DG-категорию $\mathcal{C}=\mathrm{I}(X)$ ограниченных снизу комплексов инъективных $\mathcal{O}_X$-модулей с ограниченными когерентными когомологиями. По определению это полная подкатегория в DG-категории $C^{\bullet}(\mathcal{O}_X\text{-mod})$ комплексов $\mathcal{O}_X$-модулей. Известно, что $\mathrm{I}(X)$ (но не $C^{\bullet}(\mathcal{O}_X\text{-mod})$) является оснащением $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}} (X)$ [9], [17]. Пусть $E$ – комплекс в $\mathrm{I}(X)$ с дифференциалом $\mathrm{d}$ такой, что какие-то члены комплекса – некогерентные $\mathcal{O}_X$-модули (в типичной ситуации ни один из них когерентным не будет). Рассмотрим скрученный комплекс $W=(E,\alpha)$ с $\alpha =-\mathrm{d}$. Легко видеть, что функтор $h^W$ не представим. В самом деле, он представим объектом из $C^{\bullet}(\mathcal{O}_X\text{-mod})$, который есть комплекс с теми же градуировочными членами, что и $E$, но с тривиальным дифференциалом. Его когомологии некогерентны. А вот пример твист-замкнутого оснащения. Пример 2.5. Пусть $\mathcal{D}=\mathcal{D}^b (\text{mod-}A)$ ограниченная производная категория конечномерных правых модулей над конечномерной ассоциативной алгеброй $A$ конечной глобальной размерности. Рассмотрим DG-категорию $\mathcal{C}=\mathcal{P}(A)$, состоящую из совершенных комплексов, т. е. конечных комплексов конечнопорожденных проективных $A$-модулей. Это полная подкатегория в DG-категории $C^{\bullet}(\text{mod-}A)$ всех комплексов $A$-модулей. Опять $\mathcal{P}(A)$ (а не $C^{\bullet}(\text{mod-}A)$) является оснащением $\mathcal{D}^b(\text{mod-}A)$. Любой скрученный комплекс $W=(E,\alpha)$ над этой категорией дает функтор $h^W$, который представляется тем же градуированным модулем $E$, но с новым дифференциалом Это совершенный комплекс. Следовательно, оснащение твист-замкнуто. § 3. Оснащение с помощью $\overline\partial$-суперсвязностейВсюду ниже в этом параграфе $X$ будет комплексным многообразием. Здесь мы построим твист-замкнутое оснащение $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}} (X)$. Это будет DG-категория $\mathcal{C}=\mathcal{C}_X$, чья гомотопическая категория эквивалентна $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}} (X)$. Идею конструкции можно объяснить с помощью кошулевой двойственности, примененной к алгебре дифференциальных операторов (см. также [18]). Поясним в каком виде кошулева двойственность работает в нашей ситуации. 3.1. Кошулева двойственностьОбозначим через $\mathcal{A}^{i,j}=\mathcal{A}^{i,j}_X$ пучок гладких комплексно-значных $(i,j)$-форм на $X$. Ради простоты мы также используем обозначение $\mathcal{A}^i=\mathcal{A}^i_X =\mathcal{A}^{0,i}$. В частности, $\mathcal{A}^0_X$ – это пучок гладких функций на $X$. Мы рассматриваем $\mathcal{A}^{\bullet}=\bigoplus \mathcal{A}^i$ как пучок DG-колец, снабженный дифференциалом Дольбо $\overline\partial$, и используем обозначение $\mathcal{A}^\natural$ для того же пучка колец, но рассмотренных как градуированные кольца без дифференциала. Мы используем обозначение $\mathcal{A}^+=\mathcal{A}_X^+=\bigoplus_{i>0} \mathcal{A}^{i}_X$ для положительной части комплекса Дольбо. Если $\mathcal{E}$ – локально свободный $\mathcal{A}^0$-модуль, то $\mathcal{A}^{i,j}(\mathcal{E})=\mathcal{A}_X^{i,j}(\mathcal{E}) =\mathcal{A}_X^{i,j}\otimes_{\mathcal{A}^0}\mathcal{E}$ обозначает пучок гладких $(i,j)$-форм на $X$ со значениями в $\mathcal{E}$. Аналогично, положим $\mathcal{A}(\mathcal{E})=\mathcal{A}_X(\mathcal{E})=\mathcal{A}_X\otimes\mathcal{E}$. Локально свободный когерентный пучок $E$ на $X$ задается гладким векторным расслоением $\mathcal{E} $ на $X$ и плоской $\overline\partial$-связностью $\overline\nabla$, при этом пучок $E$ – это пучок $\overline\nabla$-горизонтальных сечений. Такую связность можно интерпретировать как левый модуль над пучком алгебр $\mathcal{D}^{\overline\partial}_X$ $\overline\partial$-дифференциальных операторов на $X$. Алгебра $\mathcal{D}^{\overline\partial}_X$ фильтрована по степеням операторов. Присоединенная градуированная алгебра – это симметрическая алгебра $S^{\bullet}(T_X^{0,1})$ над $\mathcal{A}^0_X$ пучка $T_X^{0,1}$ векторных полей типа $(0,1)$ на $X$. Квадратично-двойственная над $\mathcal{A}^0_X$ к ней алгебра – это пучок градуированных алгебр гладких $(0,i)$-форм на $X$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}_X^{\natural}= \bigoplus \mathcal{A}^{i}_X.
\end{equation*}
\notag
$$
Версия неоднородной кошулевой двойственности (см. также [18]) означает, что кошулево-двойственной алгеброй к самой $\mathcal{D}^{\overline\partial}_X$ является
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}^{\bullet}_X=(\mathcal{A}_X^{\natural}, \overline\partial ),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\mathcal{A}^{\bullet}_X$, рассматриваемая как пучок DG-алгебр, снабженных дифференциалом Дольбо $\overline\partial$. Отметим, что $\mathcal{A}^0_X$ имеет естественную структуру левого $\mathcal{D}^{\overline\partial}_X$-модуля. Кроме того, $\mathcal{A}^0_X$ – это $0$-компонента фильтрации алгебры $\mathcal{D}^{\overline\partial}_X$. Тогда кошулева двойственность на уровне алгебр воплощается в следующем утверждении. Лемма 3.1. Если $X$ – гладкое комплексно-аналитическое многообразие размерности $n$, то имеется квазиизоморфизм пучков $\mathrm{DG}$-алгебр Доказательство. Рассмотрим ${\overline\partial}$-версию комплекса Спенсера (см. [19]), т. е. локально свободную резольвенту $\mathcal{A}^0_X$ как левого $\mathcal{D}^{\overline\partial}_X$-модуля:
$$
\begin{equation*}
0\to \mathcal{D}^{\overline\partial}_X\otimes_{\mathcal{A}^0_X} \Lambda^nT_X^{0,1}\to\dots \to \mathcal{D}^{\overline\partial}_X\otimes_{\mathcal{A}^0_X} \Lambda^2T_X^{0,1} \to \mathcal{D}^{\overline\partial}_X\otimes_{\mathcal{A}^0_X} T_X^{0,1} \to \mathcal{D}^{\overline\partial}_X \to \mathcal{A}^0_X\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя эту резольвенту к вычислению $\mathbb{R}\mathcal{H}om_{\mathcal{D}^{\overline\partial}_X} (\mathcal{A}^0_X, \mathcal{A}^0_X)$, получаем требуемый ответ. Лемма доказана. Результат Н. Пали (в слегка модифицированной форме) отождествляет абелеву категорию когерентных $\mathcal{O}_X$-модулей с подходящей подкатегорией $\mathcal{D}^{\overline\partial}_X$-модулей. Теорема 3.2 (см. [12]). Для комплексно-аналитического многообразия $X$ категория когерентных $\mathcal{O}_X$-модулей эквивалентна категории $\mathcal{D}^{\overline\partial}_X$-модулей, которые, как $\mathcal{A}^0_X$-модули, локально имеют конечную резольвенту свободными $\mathcal{A}^0_X$-модулями конечного ранга. Кошулева двойственность обычно утверждает, что подходящие производные категории (DG-)модулей над кошулево-двойственными алгебрами эквивалентны. Таким образом, лемма 3.1 вместе с теоремой 3.2 дает основание искать оснащение $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}}(X)$ среди DG-категорий подходящих $\mathcal{A}_X$-DG-модулей. Отметим, что доказательство Пали использует выбор норм и операторы Лере–Коппельмана для доказательства существования решений сложной системы дифференциальных продвинутой аналитической техники. В случае локально свободного $\mathcal{O}_X$-модуля $E$ возьмем $\mathcal{E}=\mathcal{A}^0\otimes_{\mathcal{O}_X}E$. Тогда $\overline\partial$-связность $\overline\nabla \colon \mathcal{E}\to \mathcal{A}^{0,1}(\mathcal{E} )$ может быть расширена до дифференциала на $\mathcal{A}(\mathcal{E})$ стандартным способом. В результате $\mathcal{A}(\mathcal{E} )$ приобретает естественную структуру DG-модуля над $\mathcal{A}$. Это тот модуль, который соответствует при кошулевой двойственности пучку $\overline\nabla$-горизонтальных сечений $E$. Мы распространяем это соответствие на произвольные объекты $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}}(X)$. Естественно называть $\mathcal{A}$-модули подходящего типа $\overline\partial$-суперсвязностями (см. ниже). Легко построить суперсвязность, соответствующую произвольному объекту из $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}}(X)$, в случае когда любой когерентный пучок на $X$ имеет резольвенту локально свободными пучками $\mathcal{O}_X$-модулей, что верно в случае, если $X$ является аналитизацией алгебраического многообразия (резольвента может быть построена с помощью обильной системы линейных расслоений [20]), или когда $X$ – компактная комплексно-аналитическая поверхность, что доказал Х.-В. Шустер [21]. В общем случае локально свободных резольвент может не существовать. К. Вуазен [11] построила контрпример на общем компактном комплексном торе. Этот пример показывает, что проблема требует иных подходов. 3.2. Категория $\overline\partial$-суперсвязностейПрежде всего, договоримся о некоторых обозначениях относительно градуированных модулей над суперкоммутативными градуированными кольцами. Пусть $\mathcal{R}$ будет таким кольцом, а $\mathcal{M}$ и $\mathcal{N}$ – двумя градуированными левыми модулями над $\mathcal{R}$. Мы обозначим через $\operatorname{Hom}_{\mathcal{R}}(\mathcal{M},\mathcal{N})$ левый градуированный модуль гомоморфизмов из $\mathcal{M}$ в $\mathcal{N}$, которые удовлетворяют соотношению $\forall\, \phi\in\operatorname{Hom}_{\mathcal{R}}(\mathcal{M},\mathcal{N})$, $\forall\, \mu\in\mathcal{M}$, $\forall\, \omega\in\mathcal{R}$,
$$
\begin{equation*}
\phi(\omega\cdot\mu)=(-1)^{\deg\phi\cdot\deg\omega}\omega\cdot\phi(\mu).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что любой градуированный левый $\mathcal{R}$-модуль может быть превращен в правый модуль с помощью следующего действия:
$$
\begin{equation*}
\mu\cdot\omega:=(-1)^{\deg\mu\cdot\deg\omega}\omega\cdot\mu.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $M$ – ограниченный левый DG-модуль над $\mathcal{A}$ (точнее, пучок модулей). Тогда для дифференциала $\overline D$ в $M$, сечения $s$ модуля $M$ и элемента $\omega$ из $\mathcal{A}$ выполнено правило Лейбница:
$$
\begin{equation}
\overline D(\omega\cdot s)=\overline\partial\omega \cdot s+(-1)^{\deg \omega}\omega\cdot \overline D s.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Забывая дифференциал (но не градуировку) на $M$, получаем градуированный модуль $M^{\natural}$ над $\mathcal{A}^{\natural}$. Определим объекты категории $\mathcal{C}=\mathcal{C}_X$ как DG-модули $M$ над $\mathcal{A}$, для которых $M^{\natural}$ локально свободные градуированные модули конечного ранга над $\mathcal{A}^{\natural}$. Если $M$ из $\mathcal{C}$, тогда он, в частности, ограниченный комплекс локально свободных $\mathcal{A}^{0}$-модулей. Мы говорим, что объекты $\mathcal{C}$ – плоские2 $\overline\partial$-суперсвязности, что соответствует терминологии Квиллена в [14]. Если $M$ и $N$ лежат в $\mathcal{C}$, то градуированный пучок ${\mathcal Hom}_{\mathcal{A}^{\natural}}(M^{\natural},N^{\natural})$ снабжен структурой левого $\mathcal{A}^{\natural}$-модуля и дифференциалом $\overline D_{\mathcal{H}om}(\phi)=\overline D_N\circ\phi-(-1)^{\deg\phi}\phi\circ\overline D_M$, которые связаны правилом Лейбница. Другими словами, сечения $\phi\in {\mathcal Hom}^{\bullet}_{\mathcal{A}}(M,N)$, $\omega\in \mathcal{A}$ и $s\in M$ удовлетворяют следующим уравнениям:
$$
\begin{equation}
\phi (\omega\cdot s) =(-1)^{\deg\phi\cdot\deg\omega}\omega\cdot\phi(s),
\end{equation}
\tag{3}
$$
$$
\begin{equation}
\overline D_{\mathcal{H}om}(\omega\cdot\phi) =\overline\partial\omega\cdot\phi+ (-1)^{\deg\omega}\omega\cdot\overline D_{\mathcal{H}om}(\phi).
\end{equation}
\tag{4}
$$
Таким образом, комплекс ${\mathcal Hom}^{\bullet}_{\mathcal{A}}(M, N)=({\mathcal Hom}_{\mathcal{A}^{\natural}}(M^{\natural},N^{\natural}),\overline D_{\mathcal{H}om})$ также является объектом категории $\mathcal{C}$. Мы определяем морфизмы в DG-категории $\mathcal{C}$ как комплекс глобальных сечений ${\mathcal Hom}_\mathcal{A}^{\bullet}(M, N)$:
$$
\begin{equation*}
\mathbb{R}\operatorname{Hom}^{\bullet}_{\mathcal{C}}(M, N):=\Gamma (X, {\mathcal Hom}^{\bullet}_{\mathcal{A}}(M, N)),
\end{equation*}
\notag
$$
снабженный дифференциалом $\overline D_{\mathbb{R}\mathrm{Hom}}$, унаследованным из $\overline D_{\mathcal{H}om}$. Доказательство. Функтор сдвига определяется сдвигом градуировки в DG-$\mathcal{A}$-модулях. Остается только доказать, что любой скрученный комплекс в $\mathcal{C}$ представим.
Пусть $M$ – объект из $\mathcal{C}$, $\overline D$ – дифференциал в $M$, а $\alpha\in \mathbb{R}\operatorname{Hom}^1_{\mathcal{C}}(M,M)$ – решение уравнения Мауэра–Картана, т. е. $\overline D_{\mathcal{H}om}\alpha+\alpha^2=0$. Так как $\alpha$ удовлетворяет правилу знаков (3) с $\deg\alpha=1$, то $\overline D+\alpha$ удовлетворяет правилу Лейбница (2) и $(\overline D+\alpha)^2=0$. Следовательно, $M(\alpha)$ – тот же $\mathcal{A}^{\natural}$-модуль $M^{\natural}$, но с новым дифференциалом $\overline D+\alpha$ – также является DG-$\mathcal{A}$-модулем. Ясно, что он лежит в $\mathcal{C}$ и является представляющим объектом для скрученного комплекса, определенного парой $(M, \alpha)$. Утверждение доказано. Следствие 3.4. Категория $\mathcal{C}$ предтриангулирована. Гомотопическая категория $\mathcal{H}o (\mathcal{C} )$ триангулирована. Произвольный объект из $\mathcal{C}_X$ путем ограничения вдоль вложения $\mathcal{O}_X\,{\to}\,\mathcal{A}^0_X$ становится комплексом $\mathcal{O}_X$-модулей, так как $\mathcal{O}_X$ $\overline\partial$-горизонтальна. Если $M$ и $N$ объекты $\mathcal{C}_X$, то замкнутый морфизм из $\mathbb{R} \operatorname{Hom}^0_{\mathcal{C}} (M, N)$ очевидно определяет морфизм комплексов соответствующих $\mathcal{O}_X$-модулей. Гомотопически эквивалентные замкнутые морфизмы определяют изоморфные морфизмы в $\mathcal{D}^b(\mathcal{O}_X\text{-mod})$, так как производная категория факторизуется через гомотопическую категорию комплексов $\mathcal{O}_X$-модулей. Таким образом, мы получаем функтор
$$
\begin{equation}
\Phi \colon \mathcal{H}o (\mathcal{C}_X) \to\mathcal{D}^b(\mathcal{O}_X\text{-mod}).
\end{equation}
\tag{5}
$$
Остаток этого параграфа посвящен доказательству того, что $\mathcal{C}_X$ определяет оснащение $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}}(X)$ с помощью функтора $\Phi$. Теорема 3.5. Пусть $X$ – гладкое компактное комплексно-аналитическое многообразие. Тогда $\Phi$ – триангулированная эквивалентность между гомотопической категорией $\mathcal{H}o (\mathcal{C}_X)$ и $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}} (X)$. Стратегия доказательства следующая. Во-первых, мы показываем, что любая $\overline\partial$-суперсвязность является комплексом $\mathcal{O}_X$-модулей с ограниченными когерентными когомологиями. Во-вторых, мы покажем, что функтор $\Phi$ строго полный, т. е. сохраняет гомоморфизмы между объектами категории $\mathcal{H}o(\mathcal{C}_X)$. В-третьих, мы доказываем, что любой объект из $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}} (X)$ квазиизоморфен $\overline\partial$-суперсвязности. Доказательство основано на описании локальной структуры $\overline\partial$-суперсвязностей. 3.3. Локальная структура $\overline\partial$-суперсвязностейЛюбой конечный комплекс локально свободных $\mathcal{O}_X$-модулей $E^{\bullet}$ задает $\overline\partial$-суперсвязность путем взятия тензорного произведения комплексов: с $\overline\partial\otimes\operatorname{id}_E$ в качестве дифференциала. Здесь мы докажем техническое утверждение, что любая $\overline\partial$-суперсвязность локально изоморфна (калибровочно эквивалентна) $\overline\partial$-суперсвязности такого вида. Нам кажется, что этот факт имеет самостоятельный интерес.Пусть $M$ – $\overline\partial$-суперсвязность. Так как $M^{\natural}$ локально свободна над $\mathcal{A}^{\natural}$, она может быть не канонически представлена в виде
$$
\begin{equation}
M^{\natural}=\mathcal{A}^{\natural}\otimes_{\mathcal{A}_X^0}\mathcal{E}^{\bullet},
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $\mathcal{E}^{\bullet}=M/\mathcal{A}^+M$ – конечно порожденный локально свободный градуированный $\mathcal{A}_X^0$-модуль ($\mathcal{A}^+=\bigoplus_{i>0} \mathcal{A}^{i}_X$). Чтобы построить такое представление, выберем $\mathcal{A}_X^0$-линейное расщепление проекции $M\to \mathcal{E}^{\bullet}$ и используем $\mathcal{A}^{\natural}$-модульную структуру $M^{\natural}$. Каждый $\mathcal{E}^i$ можно понимать как гладкое комплексное векторное расслоение на $X$. Рассмотрим (неканоническую) биградуировку на $M^{\natural}$, в которой $\mathcal{A}^i\otimes \mathcal{E}^j$ имеет бистепень $(i, j)$. Исходная (каноническая) градуировка $\mathcal{A}^i\otimes \mathcal{E}^j$ в $M$ – это тотальная степень $i+j$. Дифференциал $\overline D$ в этом модуле имеет следующее разложение по отношению к биградуировке3:
$$
\begin{equation}
\overline D=\overline\gamma+\overline\nabla+\sum_{i\geqslant 2}\overline \beta_i.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Здесь $\overline\gamma$ – это компонента бистепени $(0,1)$, $\overline\nabla$ – компонента бистепени $(1,0)$, а $\overline\beta_i$ – компонента степени $(i,1-i)$. Из правила Лейбница следует, что $\overline\gamma$ – это эндоморфизм $M^{\natural}$ тотальной степени $1$, следовательно, он подчиняется правилу знаков (3). Таким образом, $\overline\gamma$ полностью определена $\mathcal{A}_X^0$-модульными гомоморфизмами $\overline\gamma_j\colon \mathcal{E}^j\to \mathcal{E}^{j+1}$. Можно понимать $\overline\nabla$ как множество $\overline\partial$-связностей $\overline\nabla_j$ на $\mathcal{E}^j$. Важный момент здесь то, что эти связности не обязательно плоские (можно сказать, что они гомотопически плоские в совокупности, см. третье уравнение в (9) ниже), что не позволяет нам на этом этапе снабдить $\mathcal{E}^j$ структурой голоморфных расслоений. Опять по правилу Лейбница, компоненты $\overline\beta_i$ соответствуют $\mathcal{A}_X^0$-морфизмам $ \mathcal{E}^j\to \mathcal{A}^i\otimes\mathcal{E}^{j-i+1}$. В этих обозначениях (би)градуированные компоненты условия выливаются в последовательность следующих уравнений:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \overline\gamma^2=0, \qquad [\overline\gamma,\overline\nabla]=0, \qquad \overline\nabla^2+[\overline\gamma,\overline\beta_2] = 0, \\ [\overline\nabla, \overline\beta_2]+[\overline\gamma, \overline\beta_3] = 0, \qquad [\overline\nabla, \overline\beta_3] +\overline\beta_2^{2}+[\overline\gamma, \overline\beta_4] = 0 \end{gathered}
\end{equation}
\tag{9}
$$
и так далее. Отметим, что здесь и в дальнейшем скобки $[\,{\cdot}\,,{\cdot}\,]$ обозначают суперкоммутатор, поэтому в уравнениях (9) она означает фактически антикоммутатор, потому что все члены в них имеют нечетную степень, например, $[\overline\gamma,\overline\nabla]= \overline\gamma\,\overline\nabla + \overline\nabla\overline\gamma$. Заметим, что если все $\overline\beta_i$ равны нулю, то уравнения (9) означают, что $\overline\nabla$ задает голоморфные структуры (т. е. плоские $\overline\partial$-связности) на всех векторных расслоениях $\mathcal{E}^j$, и тогда $\overline\gamma$ становится голоморфным дифференциалом в комплексе голоморфных векторных расслоений. Теперь выберем точку $x\in X$ и открытую окрестность $x$ в аналитической топологии на $X$. Рассмотрим локальные калибровочные преобразования вида
$$
\begin{equation}
\overline{D}^{\,\prime}=e^{-\phi}\,\overline De^{\phi},
\end{equation}
\tag{10}
$$
где $\phi$ – $\mathcal{A}^{\natural}$-модульный эндоморфизм $M^{\natural}$ степени $0$ по отношению к канонической градуировке. Ясно, что $\phi$ определен своими значениями на $\mathcal{E}^{\bullet}$. Поэтому мы можем интерпретировать $\phi$ как элемент $\operatorname{Hom}^0_{\mathcal{A}^0} (\mathcal{E}^{\bullet},\, \mathcal{A}^{\natural}\otimes\mathcal{E}^{\bullet})$. Мы говорим, что калибровочный параметр $\phi$ строгий, если он имеет разложение где $\phi_i\in\bigoplus_j\operatorname{Hom}^0_{\mathcal{A}^0}(\mathcal{E}^{j}, \mathcal{A}^{i}\otimes\mathcal{E}^{j-i})$, на выбранной окрестности $x$. Другими словами, для строгого калибровочного параметра компонента $\phi_0\in \operatorname{Hom}^0_{\mathcal{A}^0}(\mathcal{E}^{\bullet}, \mathcal{E}^{\bullet}) $ нулевая. Заметим, что это условие не зависит от неканонического расщепления (6). Соответствующее калибровочное преобразование $\exp\phi$ также будем называть строгим. Такое калибровочное преобразование можно рассматривать как замену неканонической биградуировки на $M$, что равнозначно выбору изоморфизма $\mathcal{A}^{\natural}\otimes\mathcal{E}^{\bullet} \xrightarrow{\sim} M^{\natural}$, который, в свою очередь, есть то же самое, что автоморфизм $\mathcal{A}^{\natural}\otimes\mathcal{E}^{\bullet} \xrightarrow{\sim}\mathcal{A}^{\natural}\otimes\mathcal{E}^{\bullet}$, тривиальный на $\mathcal{E}^{\bullet} =\mathcal{A}^0\otimes\mathcal{E}^{\bullet}$. Преобразование (10) для компонент $\overline{D}^{\,\prime}$ выглядит так: т. е. $\gamma$ не меняется,
$$
\begin{equation*}
\overline\nabla '=\overline\nabla + [\overline\gamma, \phi_1],
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\overline\beta_2'=\overline\beta_2+[\overline\gamma,\phi_2]+\frac12\overline\gamma\phi_1^2+ \frac12\phi_1^2\overline\gamma-\phi_1\overline\gamma \phi_1+[\overline\nabla,\phi_1 ]
\end{equation}
\tag{12}
$$
и так далее. Следующая лемма подтверждает, что любая $\overline\partial$-суперсвязность локально изоморфна комплексу голоморфных векторных расслоений (см. также [10; лемма 4.5]). Локальная Лемма 3.6. Любая плоская $\overline\partial$-суперсвязность на полидиске может быть преобразована строгим калибровочным преобразованием формы (10) к виду (7), где все ${\overline \beta_i}$ равны нулю. Доказательство легко следует из технической леммы 3.8 ниже. Немедленным следствием локальной леммы является следующее утверждение. Следствие 3.7. (i) Любая $\overline\partial$-связность на полидиске изоморфна $\mathcal{A}_X{\kern1pt}{\otimes_{\mathcal{O}_X}}{\kern1pt} E^{\bullet}$, где $E^{\bullet}$ – конечный комплекс свободных $\mathcal{O}_X$-модулей. (ii) Пучки когомологий любой $\overline\partial$-суперсвязности являются когерентными пучками $\mathcal{O}_X$-модулей. Доказательство. Согласно лемме 3.6 для любой $\overline\partial$-суперсвязности $M$ можно найти строгое калибровочное преобразование, которое даст оператор $\overline{D}$ вида (7) со всеми ${\overline \beta_i}$, равными нулю. Отсюда следует, что $M$ изоморфна $\mathcal{A}_X\otimes_{\mathcal{O}_X}E^{\bullet}$, где $\overline\gamma$ играет роль дифференциала в $E^{\bullet}$ и $\overline\nabla$ состоит из плоских $\overline\partial$-связностей на всех $\mathcal{A}_X\otimes_{\mathcal{O}_X}E^i$.
Утверждение (ii) локально, поэтому можно предполагать, что $M= \mathcal{A}_X\otimes_{\mathcal{O}_X} E^{\bullet}$, как в (i). Легко видеть, что как комплекс $\mathcal{O}_X$-модулей он квазиизоморфен $E^{\bullet}$, следовательно, его когомологии когерентны. Следствие доказано. 3.4. Относительные суперсвязности на произведении полидисковПусть $U$, $W$ – комплексные многообразия, а $\pi\colon U\to W$ – проекция с гладкими слоями. Обозначим через $\mathcal{A}_\pi^{\bullet}=\bigoplus \mathcal{A}_\pi^i$ пучок колец на $U$ относительных $(0,i)$-форм. $\mathcal{A}_\pi^{\bullet}$ является DG-алгеброй с дифференциалом $\overline\partial_\pi$, который задается относительным оператором Дольбо $\overline\partial_\pi\colon \mathcal{A}_\pi^i\to\mathcal{A}_\pi^{i+1}$. Пусть $M^{\bullet}$ – это DG-модуль над $\mathcal{A}_\pi^{\bullet}$. Мы говорим, что $M^{\bullet}$ – относительная $\overline\partial$-суперсвязность, если $M^\natural$ локально свободен над $\mathcal{A}_\pi^\natural$. Если заданы $U$, $W$, $\pi$, как выше, то рассмотрим градуированное гладкое векторное расслоение $\mathcal{E}^{\bullet}$ на $U$, снабженное относительной $\overline\partial$-связностью $\overline\nabla\colon \mathcal{E}^i\to\mathcal{A}_\pi^1\otimes\mathcal{E}^i$, где $\overline\nabla$ удовлетворяет $\overline\partial_\pi$-правилу Лейбница. Можно расширить $\overline\nabla$ до $\mathcal{A}_\pi^\natural\otimes\mathcal{E}^{\bullet}$ с помощью градуированного правила Лейбница по отношению к $\mathcal{A}_\pi^{\bullet}$. Если $\overline\nabla$ плоская, т. е. $\overline\nabla^2=0$, то мы получим относительную $\overline\partial$-суперсвязность вида $(\mathcal{A}_\pi^\natural\otimes\mathcal{E}^{\bullet},\overline\nabla)$. Назовем суперсвязность этого специального вида обыкновенной относительной $\overline\partial$-суперсвязностью. В лемме 3.8 ниже нам понадобится следующая конструкция. Если $U=V\times W$, а $\pi_V$, $\pi_W$ – две проекции на факторы произведения, то имеются очевидные изоморфизмы относительных и абсолютных форм: $\mathcal{A}_{\pi_V}^{\bullet}=\pi_W^*\mathcal{A}_W$, $\mathcal{A}_{\pi_W}^{\bullet}=\pi_V^*\mathcal{A}_V$, и изоморфизм $\mathcal{A}_U^{\bullet}=\mathcal{A}_V^{\bullet}\boxtimes_{\mathcal{A}_U^0}\mathcal{A}_W^{\bullet}$. Это разложение согласовано с дифференциалами, потому что оператор Дольбо $\overline\partial_U$ на $U$ очевидно раскладывается в сумму $\overline\partial_U=\overline\partial_V+\overline\partial_W$ ($\overline\partial_V$ действует “вдоль $V$”, т. е. повышает на $1$ только градуировку в $\mathcal{A}_{\pi_W}^{\bullet}$; и аналогично $\overline\partial_W$ действует “вдоль $W$”.) Пусть $\mathcal{E}^{\bullet}$ – это градуированное гладкое векторное расслоение на $U$. Предположим, что у нас имеется две относительных $\overline\partial$-суперсвязности вида $(\mathcal{A}_{\pi_W}^\natural\otimes\mathcal{E}^{\bullet},\overline D_V)$ и $(\mathcal{A}_{\pi_V}^\natural\otimes\mathcal{E}^{\bullet}, \overline D_W)$, где $\overline D_V$ и $\overline D_W$ подчиняются правилам Лейбница по отношению к соответствующим проекциям. В таком случае мы можем распространить $\overline D_V$ с $\mathcal{A}_{\pi_W}^{\natural}\otimes\mathcal{E}^{\bullet}$ на $\mathcal{A}_U^{\natural}\otimes\mathcal{E}^{\bullet}$ с помощью $\overline\partial_V$-правила Лейбница, и аналогично для $\overline D_W$. Тем самым мы построим оператор $\overline D=\overline D_V+\overline D_W$ на $\mathcal{A}_U^\natural\otimes\mathcal{E}^{\bullet}$, удовлетворяющий $\overline\partial_U$-правилу Лейбница. Если дополнительно выполнено $[\overline D_V,\overline D_W]=0$, то мы получим $\overline\partial$-суперсвязность $(\mathcal{A}_U^\natural\otimes\mathcal{E}^{\bullet},\overline D)$ на $U$. Теперь рассмотрим $n$-мерный полидиск $U$, который представлен в виде произведения полидисков: $U=V\times W$, где $V$ имеет координаты $z^1,\dots,z^m$, $m>1$, а $W$ – координаты $z^{m+1},\dots,z^n$. Пусть $V'$ – это полидиск с $m-1$ координатами $z^1,\dots,z^{m-1}$. Таким образом, $V$ является произведением $V=V'\times V_1$, где $V_1$ – это одномерный полидиск с координатой $z^m$. Обозначим через $W'$ полидиск $W'=V_1\times W$. Тогда мы имеем новое разложение в композицию: $U=V'\times W'$. Лемма 3.8. Пусть $M$ – $\overline\partial$-связность на полидиске $U=V\times W$, как выше, и $\dim V > 1$. Предположим, что дифференциал в $M$ имеет форму где $\overline\nabla_W$ – обыкновенная относительная $\overline\partial$-связность вдоль $W$, а $\overline D_V$ – относительная $\overline\partial$-суперсвязность вдоль $V$. Тогда существует строгое калибровочное преобразование $\overline{D}^{\,\prime}=e^{-\phi}\,\overline De^{\phi}$ такое, что где $\overline\nabla_{W'}$ – это обыкновенная относительная $\overline\partial$-связность вдоль $W'$, а $\overline D_{V'}$ – относительная $\overline\partial$-суперсвязность вдоль $V'$. Доказательство. Так как $\overline D=\overline D_V+\overline\nabla_W$, он может быть записан (см. (7)) как где $\overline\gamma$, $\overline\nabla$, $\overline\beta_i$ — операторы степени $1$ на сечениях $M^\natural$, определенных морфизмами а $\overline\nabla$ – дифференциальный оператор первого порядка, отображающий $\mathcal{E}^{j}$ в $\pi_V^*\mathcal{A}_V^1\otimes\mathcal{E}^j$.
Все эти операторы – $\overline\gamma$, $\overline\nabla$, $\overline\beta_i$ – (анти)коммутируют с $\overline\nabla_W$, так как $[\overline D_V,\overline\nabla_W]= 0$. Мы будем говорить, что они голоморфно зависят от $W$. Теперь рассмотрим $V$ как произведение $V=V'\times V_1$. Любая $(0,i)$-форма на $V$ раскладывается как где
$$
\begin{equation*}
\omega_{i-1,1}=\eta_{i-1,0}\,\mathrm{d}\overline z^m,
\end{equation*}
\notag
$$
а $\omega_{i,0}$ и $\eta_{i-1,0}$ – формы Дольбо на $V'$ степени $i$ и $i-1$ соответственно.
Аналогично, имеется разложение для $\overline D_V=\overline\gamma+\overline\nabla+\sum_{i=2}^m\overline\beta_i$. В частности,
$$
\begin{equation*}
\overline\nabla=\overline\nabla_{1,0} + \overline\nabla_{0,1},\qquad \overline\beta_k=(\overline\beta_k)_{k,0}+(\overline\beta_k)_{k-1,1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что так как $V_1$ одномерен, любая $\overline\partial$-связность вдоль $V_1$ автоматически плоская, т. е. $(\overline\nabla_{0,1})^2=0$. Более того, дифференциал $\overline\nabla_{0,1}$ имеет тривиальные $(0,1)$-когомологии на диске (он, в сущности, совпадает с оператором Дольбо).
Теперь докажем, что существует строгое калибровочное преобразование $\overline{D}^{\,\prime}_V=e^{-\phi}\, \overline D_Ve^{\phi}$, где $\phi=\phi_1+\phi_2+\cdots$ такое, что $\phi_i=(\phi_i)_{i,0}$ ($\phi_i$ не содержит дифференциала $d\overline z^m$, т. е. $(\phi_i)_{i-1,1}=0$), и что для $\overline{D}^{\,\prime}_V=\overline\gamma+\overline\nabla'+\sum\overline{\beta}^{\,\prime}_i$ выполнено $(\overline{\beta}^{\,\prime}_i)_{i-1,1}=0$ для $i\geqslant 2$. Более того, можно потребовать, чтобы $\phi_i$ коммутировали с $\overline\nabla_W$ (т. е. зависели голоморфно от $W$). Из формул (12) преобразования для компонент $\overline D$ получаем следующее уравнение:
$$
\begin{equation*}
(\overline{\beta}^{\,\prime}_2)_{1,1}=(\overline\beta_2)_{1,1}+[\overline\nabla_{0,1},(\phi_1)_{1,0}]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Как мы уже отмечали, $\overline\nabla_{0,1}$ ацикличен в положительных степенях, следовательно, уравнение выше имеет решение $\phi_1=(\phi_1)_{1,0}$. Заметим, что условия $\phi_0=0$ и $\phi_i=(\phi_i)_{i,0}$ гарантируют, что $\overline\nabla'_{0,1}=\overline\nabla_{0,1}$.
Теперь используем этот результат как базу индукции по $k$ и предположим, что $(\overline\beta_s)_{s-1,1}=0$ для $s\leqslant k$. Тогда уравнение обнуления $(\overline{\beta}^{\,\prime}_{k+1})_{k,1}$ имеет вид
$$
\begin{equation}
(\overline\beta_{k+1})_{k,1}+[\overline\nabla_{0,1},(\phi_k)_{k,0}]=0.
\end{equation}
\tag{13}
$$
У этого уравнения опять есть решение. Более того, так как $\overline\beta_k$ зависят голоморфно от $W$, и то же верно для $\overline\nabla_{0,1}$, то решения $\phi_k$ уравнения (13) могут быть выбраны коммутирующими с $\overline\nabla_W$.
Таким порядком можно убить $(\overline\beta_i)_{i-1,1}$ для всех $i=2,\dots,m$. В конце мы получим
$$
\begin{equation*}
\overline{D}^{\,\prime}_V=e^{-\phi}\,\overline D_V e^\phi=\overline{D}^{\,\prime}_{1,0}+\overline\nabla_{0,1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $(\overline{D}^{\,\prime}_{1,0})^2=0$, $(\overline\nabla_{0,1})^2=0$ и $[\overline{D}^{\,\prime}_{1,0},\,\overline\nabla_{0,1}]=0$. Так как $\phi$ коммутирует с $\overline\nabla_W$, также получаем
$$
\begin{equation*}
\overline{D}^{\,\prime}=e^{-\phi}(\overline D_V+\overline\nabla_W) e^\phi =\overline{D}^{\,\prime}_{1,0}+\overline\nabla_{0,1}+\overline\nabla_W.
\end{equation*}
\notag
$$
Переписывая это в виде
$$
\begin{equation*}
\overline{D}^{\,\prime}=\overline D_{V'}+\overline\nabla_{W'},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline D_{V'}=\overline{D}^{\,\prime}_{1,0}$ и $\overline\nabla_{W'}=\overline\nabla_{0,1}+\overline\nabla_W$, получаем требуемый результат. Лемма 3.8 доказана. 3.5. Строгая полнотаПусть $M$ и $N$ – $\overline\partial$-суперсвязности. Здесь мы рассматриваем их как комплексы $\mathcal{O}_X$-модулей. Кроме того, рассмотрим комплекс производных локальных гомоморфизмов $\mathbb{R}\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X} (M, N)$, который также является объектом из $D(\mathcal{O}_X\text{-mod})$. Зафиксируем комплекс $I(N)$ инъективных $\mathcal{O}_X$-модулей вместе с квазиизоморфизмом $N\to I(N)$. Он индуцирует морфизм комплексов
$$
\begin{equation*}
\mu \colon {\mathcal Hom}^{\bullet}_{\mathcal{O}_X}(M, N)\to {\mathcal Hom}^{\bullet}_{\mathcal{O}_X}(M, I(N)).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим композицию $\varphi$ естественного отображения ${\mathcal Hom}^{\bullet}_{\mathcal{A}}(M, N)\to {\mathcal Hom}^{\bullet}_{\mathcal{O}_X}(M, N)$ с $\mu$. Так как инъективные пучки ацикличны по отношению к функтору ${\mathcal Hom}(\mathcal{U},-)$ для любого $\mathcal{O}_X$-модуля $\mathcal{U}$ (см. также [22; следствие 2.4.2]), то мы имеем функториальный изоморфизм в $\mathcal{D}(\mathcal{O}_X\text{-mod})$:
$$
\begin{equation}
\mathbb{R}\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X} (M,N)\simeq {\mathcal Hom}^{\bullet}_{\mathcal{O}_X}(M, I(N)).
\end{equation}
\tag{14}
$$
Следовательно, имеется коммутативная диаграмма: Доказательство. Нам надо показать, что $\varphi$ индуцирует изоморфизм на пучках когомологий. Это локальное утверждение. Следовательно, мы можем считать, что $X$ – полидиск. Согласно следствию 3.7 можно заменить $M$ и $N$ бикомплексами Дольбо конечных комплексов $E_1^{\bullet}$ и $E_2^{\bullet}$ свободных $\mathcal{O}_X$-модулей:
Тогда комплекс ${\mathcal Hom}_{\mathcal{A}}^{\bullet}(M, N)$ изоморфен комплексу Дольбо от комплекса пучков локальных гомоморфизмов $\mathcal{A}\otimes_{\mathcal{O}_X} {\mathcal Hom}_{\mathcal{O}_X}(E_1^{\bullet}, E_2^{\bullet})$. Если $E_1^{\bullet}$ и $E_2^{\bullet}$ оба состоят из одного локально свободного пучка, $E_1$ и $E_2$ соответственно, то этот комплекс очевидно квазиизоморфен ${\mathcal Hom}_{\mathcal{O}_X}(E_1, E_2)$. С другой стороны, $M$ и $N$ квазиизоморфны соответственно $E_1$ и $E_2$, следовательно, $\mathbb{R}\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X} (M, N)={\mathcal Hom}_{\mathcal{O}_X}(E_1, E_2)$, и $\varphi$ – квазиизоморфизм в этом случае. Теперь мы будем использовать индукцию по длине комплексов $E_1^{\bullet}$ и $E_2^{\bullet}$. Если один из них, скажем $E_1^{\bullet}$, имеет длину больше $1$, то разложим его в короткую точную последовательность комплексов
$$
\begin{equation*}
0\to E_1^{\prime \bullet}\to E_1^{\bullet}\to E_1^{\prime \prime \bullet}\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $E_1^{\prime \bullet}$ и $E_1^{\prime \prime \bullet}$ есть комплексы свободных пучков меньшей длины. Так как $\mathcal{A}$ плоский над $\mathcal{O}_X$ по теореме 5.12 из § 5, то функтор $\mathcal{A}\otimes_{\mathcal{O}_X} (-)$ точен на производных категориях. Пусть будет разложением объекта $M$, индуцированным короткой точной последовательностью выше.
По индукции нам известно, что $\varphi$ индуцирует следующие квазиизоморфизмы:
$$
\begin{equation*}
{\mathcal Hom}_{\mathcal{A}}^{\bullet}(M', N) \simeq \mathbb{R}\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X} (M', N),\qquad {\mathcal Hom}_{\mathcal{A}}^{\bullet}(M'', N) \simeq \mathbb{R}\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X} (M'', N).
\end{equation*}
\notag
$$
Пучки когомологий для ${\mathcal Hom}_{\mathcal{A}}^{\bullet}(M, N)$ и $\mathbb{R}\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X} (M, N)$ включаются в две длинные точные последовательности, которые получаются применением функторов ${\mathcal Hom}_{\mathcal{A}}^{\bullet}(-, N)$ и $\mathbb{R}\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X}(-, N)$ к треугольнику (15), а $\varphi$ задает морфизм этих длинных последовательностей. Квазиизоморфизм для $M$ следует из леммы о пяти гомоморфизмах, примененной к этой диаграмме. Лемма 3.9 доказана. Утверждение 3.10. Функтор $\Phi \colon \mathcal{H}o(\mathcal{C}_X)\to\mathcal{D}^b(\mathcal{O}_X\textrm{-mod})$ строго полный. Доказательство. Глобальные гомоморфизмы восстанавливаются из локального $\mathbb{R}\mathcal{H}om$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}(\mathcal{O}_X\text{-mod})}(M, N)={\mathbb{H}}^0 (X, \mathbb{R}\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X} (M, N)),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb{H}^i$ обозначает гипергомологии комплекса $\mathcal{O}_X$-модулей. Ввиду леммы 3.9 можно заменить правую часть этого равенства и получить Имеем стандартную спектральную последовательность, сходящуюся к гиперкогомологиям:
Так как пучки ${\mathcal Hom}^{j}_{\mathcal{A}}(M, N)$ тонкие, то когомологии $\operatorname{H}^i(X,{\mathcal Hom}^{j}_{\mathcal{A}}(M, N))$ тривиальны для $i\geqslant 0$. Спектральная последовательность вырождается и дает равенство $\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}(\mathcal{O}_X\text{-mod})}(M, N)$ с нулевыми когомологиями комплекса глобальных сечений $\Gamma (X, {\mathcal Hom}^{\bullet}_{\mathcal{A}}(M,N))$, что есть в точности ${\operatorname{Hom}}_{\mathcal{H}o\, \mathcal{C}}(M,N)$. Утверждение 3.10 доказано. 3.6. Любой когерентный пучок квазиизоморфен $\overline\partial$-суперсвязностиВ этом пункте мы построим $\overline\partial$-суперсвязность, которая квазиизоморфна данному пучку. Пусть $\mathcal{A}_{\omega}$ – это пучок комплексно-значных вещественно аналитических функций на комплексном многообразии $X$, рассматриваемом как вещественно аналитическое многообразие. Так как пучок $\mathcal{A}_{\omega}$ отождествляется с ограничением на диагональ $X\subset X\times{\overline X}$ пучка голоморфных функций $\mathcal{O}_{X\times\overline X}$, который когерентен, то $\mathcal{A}_{\omega}$ также когерентен. Пусть $F$ – когерентный пучок $\mathcal{O}_X$-модулей, другими словами, он локально конечно представим. Тогда $\mathcal{F}_{\omega}=\mathcal{A}_{\omega}\otimes_{\mathcal{O}_X}F$ также локально конечно представим (так как функтор $\otimes$ точен справа). Следовательно, $\mathcal{F}_{\omega}$ когерентен как $\mathcal{A}_{\omega}$-модуль. Лемма 3.11. Для когерентного пучка $\mathcal{O}_X$-модулей $F$ пучок $\mathcal{A}^0$-модулей $\mathcal{F} =\mathcal{A}^0\otimes_{\mathcal{O}_X}F$ имеет локально свободную резольвенту $\mathcal{E}^{\bullet}$ над $\mathcal{A}^0$: Доказательство. Как объяснили Атья и Хирцебрух в [23], из знаменитого результата Грауэрта [24] о существовании фундаментальной системы штейновых окрестностей любого вещественно аналитического многообразия $X$ в его комплексификации и теорем А и Б Картана легко следует существование конечной локально свободной резольвенты для любого когерентного $\mathcal{A}_{\omega}$-модуля на компактном $X$. Зафиксируем такую резольвенту для $\mathcal{F}_{\omega}$:
Согласно результату Мальгранжа [25] $\mathcal{A}^0$ – плоское кольцо над $\mathcal{A}_{\omega}$. Следовательно, взяв тензорное произведение с $\mathcal{A}^0$ над $\mathcal{A}_{\omega}$, получим $\mathcal{A}^0$-резольвенту $\mathcal{E}^{\bullet}=\mathcal{A}^0\otimes_{\mathcal{A}_{\omega}}\mathcal{E}_{\omega}^{\bullet}$ для $\mathcal{F}$ вида (16). Для удобства читателя мы дадим другую, в определенном смысле более явную конструкцию резольвенты вида (16), которая, однако, тоже использует результаты из [25]. В достаточно малой окрестности $U$ любой точки $x\in X$ пучок $\mathcal{F} |_U$ имеет конечную резольвенту конечно порожденными свободными $\mathcal{A}^0_U$-модулями. В самом деле, пучок $F|_U$ имеет конечную резольвенту свободными $\mathcal{O}_U$-модулями. Пучок $\mathcal{A}^0_U$ плоский над $\mathcal{O}_U$ согласно предложению 5.13. Таким образом, можно взять тензорное произведение резольвенты с $\mathcal{A}^0_U$ и получить требуемую локальную резольвенту. На компактном многообразии каждый $\mathcal{A}^0$-модуль, который локально порожден конечным числом сечений, также и глобально порождается конечным числом сечений, потому что $\mathcal{A}^0$ – тонкий пучок. Ясно, что это соображение можно применить к пучкам, которые локально имеют свободные резольвенты. Далее, если имеется эпиморфизм между двумя пучками, у которых есть локальные резольвенты, то ядро – это пучок, который также имеет такую резольвенту. Применим это утверждение к эпиморфизму $(\mathcal{A}^0)^s\to \mathcal{F}$, который существует, так как $\mathcal{F}$ порожден конечным числом глобальных сечений. Мы получим, что ядро также имеет свободные резольвенты локально на $X$ и порождено над $\mathcal{A}^0$ конечным числом сечений. Следовательно, можно итерировать этот процесс и строить резольвенту до тех пор, пока ядро не станет локально свободным. Это должно произойти после конечного числа итераций, так как многообразие компактно, следовательно, покрывается конечным числом открытых множеств, на каждом из которых существует конечная резольвента. Достаточно взять резольвенту длины, равной максимуму длин этих свободных резольвент на конечном числе открытых множеств. Лемма доказана. Теперь обозначим через $\overline\nabla_F$ дифференциал $\overline\partial$, действующий на $\mathcal{A}\otimes_{\mathcal{A}^0} \mathcal{F}=\mathcal{A}\otimes_{\mathcal{O}_X}F$ по первому тензорному аргументу. Он превращает $\mathcal{A}\otimes_{\mathcal{O}_X}F$ в DG-модуль над $\mathcal{A}$. Это не $\overline\partial$-суперсвязность, потому что, вообще говоря, он не локально свободный как $\mathcal{A}^\natural$-модуль, но мы построим $\overline\partial$-суперсвязность, квазиизоморфную $\mathcal{A}\otimes_{\mathcal{O}_X}\!F$. Выберем резольвенту $\mathcal{E}^{\bullet}$ как в (16) и положим $M^{\natural}=(\mathcal{A}\otimes \mathcal{E}^{\bullet})^{\natural}$ как градуированный модуль над $\mathcal{A}^\natural$ с градуировкой, задаваемой суммой градуировок на $\mathcal{A}$ и $\mathcal{E}^{\bullet}$. Пусть $\overline\gamma$ – дифференциал в резольвенте $\mathcal{E}^{\bullet}$. Мы также будет обозначать через $\overline\gamma$ его $\mathcal{A}^\natural$-линейное (как оператора степени 1) расширение на $M^{\natural}$. Обозначим через $\overline\gamma_0$ отображение $\mathcal{E}^0\to\mathcal{F}$, его $\mathcal{A}^\natural$-линейное расширение до отображения $(\mathcal{A}\otimes \mathcal{E}^0)^{\natural}\to (\mathcal{A}\otimes\mathcal{F})^{\natural}$ и расширение до отображения $M^{\natural}\to (\mathcal{A}\otimes\mathcal{F})^{\natural}$, которое равно нулю на других компонентах: $(\mathcal{A}\otimes \mathcal{E}^i)^{\natural}\to (\mathcal{A}\otimes\mathcal{F})^{\natural}$ для $i\ne 0$. Теорема 3.12. Модуль $M^{\natural}$ может быть снабжен структурой $\overline\partial$-суперсвязности таким образом, что $\overline\gamma_0$ оказывается квазиизоморфизмом $\overline\gamma_0\colon M\to\mathcal{A}\otimes_{\mathcal{O}_X} F$. Доказательство. Мы утверждаем, что существует система (вообще говоря, неплоских) $\overline\partial$-суперсвязностей $\overline\nabla_i$ на $\mathcal{E}^{i}$, которые коммутируют с $\overline\gamma$ и таких, что Сначала мы построим $\overline\partial$-суперсвязность на $\mathcal{E}^0$, согласованную в этом смысле с $\overline\gamma_0$ и $\overline\nabla_F$.
Применение функтора $\Gamma (X,\mathcal{A}^1\otimes_{\mathcal{A}^0} (-))$ к последовательности (16) дает точную последовательность, потому что пучок $\mathcal{A}^1$ плоский над $\mathcal{A}^0$ и все пучки в последовательности тонкие, следовательно, ацикличные. В частности, $\Gamma (X, \mathcal{A}^1\otimes_{\mathcal{A}^0}\mathcal{E}^0)\to \Gamma (X, \mathcal{A}^1\otimes_{\mathcal{A}^0}\mathcal{F})$ – эпиморфизм. Если $\mathcal{E}^0$ – свободный $\mathcal{A}^0$-модуль, т. е. тривиальное гладкое расслоение, то рассмотрим базис $\{s_i\}$ его сечений и определим $\overline\nabla (s_i)$ как любой элемент в $\mathcal{A}^1\otimes \mathcal{E}^0$ такой, что $\overline\gamma_0\overline\nabla (s_i)=\overline\nabla_F\overline\gamma_0(s_i)$. Такой элемент существует ввиду рассмотренного выше эпиморфизма на глобальных сечениях. Если $\mathcal{E}^0$ – нетривиальное расслоение, то рассмотрим прямую сумму $S=\mathcal{E}^0\oplus \mathcal{G}$, которая является тривиальным векторным расслоением. Возьмем, как выше, связность $\overline\nabla_S \colon S\to \mathcal{A}^1\otimes S$ на $S$, согласованную с композицией $S\stackrel{p}\to \mathcal{E}^0\stackrel{\overline\gamma_0}{\to}\mathcal{F}$, где $p\colon S\to \mathcal{E}^0$ – оператор проекции. Тогда имеем
$$
\begin{equation*}
\overline\gamma_0 p_0\overline\nabla_S = \overline\nabla_F\overline\gamma_0p_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Ограничение $\overline\nabla_0=p_0\overline\nabla_S |_{\mathcal{E}^0}$ связности на $\mathcal{E}^0$ определяет связность на $\mathcal{E}^0$, согласованную с $\overline\gamma_0$, т. е. $\overline\gamma_0\overline\nabla_0= \overline\nabla_F\overline\gamma_0$.
Связности $\overline\nabla_i$ на остальных $\mathcal{E}^i$, коммутирующие с $\overline\gamma$, строятся, последовательно понижая индекс $i$ и используя то же соображение с заменой последовательности (16) ее обрезанием
$$
\begin{equation*}
0\to \mathcal{E}^{-n}\to \dots \to \mathcal{E}^{-i}\to \mathcal{F}_i\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{F}_1$ – это ядро $\overline\gamma_0$, а $\mathcal{F}_i$ для $i\geqslant 2$ – ядро $\overline\gamma\colon \mathcal{E}^{-i+1}\to \mathcal{E}^{-i+2}$.
Используя правило Лейбница, расширим $\overline\nabla$ до дифференциального оператора (обозначим его также через $\overline\nabla$) на $M^{\natural}=\mathcal{A}\otimes \mathcal{E}^{\bullet}$, который имеет бистепень $(1,0)$ и (анти)коммутирует с $\overline\gamma$. Мы хотим найти дифференциал в $M^{\natural}$ вида $\overline{D}=\overline\gamma +\overline\nabla + \sum_{i\geqslant 2} \overline\beta_i$, где $\overline\beta_i$ являются $\mathcal{A}^0$-модульными эндоморфизмами $M$ бистепени $(i,1-i)$. Напомним, что уравнение $\overline{D}^2=0$ влечет серию уравнений (9) на компоненты $\overline{D}$. Будем доказывать по индукции. Предположим, что мы уже нашли $\overline\beta_i$ для $i=2, \dots, k-1$, которые удовлетворяют первым $k-1$ уравнениям из (9). Тогда $k$-е уравнение выглядит так: где $u_k$ зависит от $ \overline\nabla$, $\overline\beta_2,\dots,\overline\beta_{k-1}$.Заметим, что $u_k\in \Gamma (X, \mathcal{A}^k\otimes_{\mathcal{A}^0}\mathcal{E}nd^{2-k}_{\mathcal{A}^0}\mathcal{E}^{\bullet})$, и из тождества Бьянки следует, что $[\overline\gamma, u_k]=0$. Точную последовательность (16) можно интерпретировать как квазиизоморфизм $\mathcal{E}^{\bullet}$ с $\mathcal{F}$, что влечет изоморфизм в $\mathcal{D}^b(\mathcal{A}^0\text{-mod})$:
$$
\begin{equation}
\mathcal{E}nd^{\bullet}_{\mathcal{A}^0}\mathcal{E}^{\bullet}={\mathbb R}\mathcal{E}nd_{\mathcal{A}^0}\mathcal{F}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Следовательно, $[\overline\gamma,\bullet]$-комплекс $\mathcal{E}nd^{\bullet}_{\mathcal{A}^0}\mathcal{E}^{\bullet}$ имеет тривиальные когомологии во всех отрицательных степенях. Так как $\mathcal{A}^k$ – плоский пучок над $\mathcal{A}^0$, и все пучки в комплексе тонкие, следовательно, ацикличные, комплекс $\Gamma (X, \mathcal{A}^k\otimes_{\mathcal{A}^0}\mathcal{E}nd^{\bullet}_{\mathcal{A}^0}\mathcal{E}^{\bullet})$ имеет тривиальные когомологии во всех отрицательных степенях для любого $k$. Дифференциал в этом комплексе – это, в точности, $[\overline\gamma,\bullet]$. Отсюда следует, что уравнение (19) имеет решение для любого $k\geqslant 3$, потому что тогда $u_k$ – замкнутый элемент отрицательной степени $2-k$ в этом комплексе.
Нам осталось разобраться с третьим уравнением в (9), где $u_2=\overline\nabla^2\in \Gamma (X, \mathcal{A}^2\otimes_{\mathcal{A}^0}\mathcal{E}nd^0_{\mathcal{A}_0}\mathcal{E})$. Препятствие к решению уравнения $[\overline\gamma, \overline\beta_2]+u_2=0$ лежит в 0-х когомологиях комплекса $\Gamma (X, \mathcal{A}^2\otimes_{\mathcal{A}^0}\mathcal{E}nd^{\bullet}_{\mathcal{A}^0}\mathcal{E}^{\bullet})$, которые, согласно рассмотрениям выше, равны $\Gamma (X, \mathcal{A}^2\otimes_{\mathcal{A}^0}\mathcal{E}nd_{\mathcal{A}^0}\mathcal{F} )$. Заметим, что $\overline\nabla$ является цепным представлением для ${\overline\nabla}_F$, потому что $\overline\nabla$ коммутирует с $\overline\gamma$, а также ввиду уравнения (18). Отсюда следует, что при идентификации 0-х когомологий комплекса $\Gamma (X, \mathcal{A}^1\otimes_{\mathcal{A}^0}\mathcal{E}nd_{\mathcal{A}^0}\mathcal{E}^{\bullet})$ с $\Gamma (X, \mathcal{A}^1\otimes_{\mathcal{A}^0}\mathcal{E}nd^{\bullet}_{\mathcal{A}^0}\mathcal{F} )$, связность $\overline\nabla$ соответствует ${\overline \nabla}_F$. Тогда класс когомологий $u_2=\overline\nabla^2$ отождествляется с ${\overline \nabla}_F^2=0$. Следовательно, препятствие к решению уравнения $[\overline\gamma, \overline\beta_2]+u_2=0$ по отношению к $u_2$ также обнуляется. Теперь проверим, что $\overline\partial$-суперсвязность $M$, построенная таким образом, квазиизоморфна $F$. У нас имеется цепное отображение $\overline\gamma_0\colon M\to \mathcal{A}\otimes F$. Фильтрация на $M$, индуцированная стандартной фильтрацией на $\mathcal{A}$, дает спектральную последовательность, из которой следует, что $\overline\gamma_0$ – квазиизоморфизм. То, что когомологии $\mathcal{A}\otimes F$ равны $F$, можно проверять локально. Возьмем произвольную локально резольвенту $E^{\bullet}$ пучка $F$ свободными $\mathcal{O}_X$-модулями. Рассмотрим бикомплекс $\mathcal{A}\otimes E^{\bullet}$. Сравнение двух стандартных спектральных последовательностей бикомплекса завершает доказательство теоремы. Теорема 3.12 доказана. Так как функтор $\Phi$ строго полный по предложению 3.10, то его образ – это полная подкатегория в $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}} (X)$, которая содержит все когерентные пучки. Следовательно, существенный образ совпадает с $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}} (X)$. Этим завершается доказательство теоремы 3.5. § 4. Классы Чженя суперсвязностейОдин способ определить классы Чженя со значениями в когомологиях де Рама для когерентного пучка $F$ на гладком комплексном многообразии состоит в том, чтобы выбрать подходящую вещественно аналитическую или гладкую резольвенту пучка $\mathcal{F}=\mathcal{A}^0\otimes_{\mathcal{O}_X}F$ как в лемме 3.11, применить стандартную конструкцию Чженя–Вейля к членам резольвенты и альтернировать их. Согласно примеру К. Вуазен [11] не каждый когерентный пучок имеет резольвенту, состоящую из голоморфных расслоений. Тем самым, классы Чженя членов резольвенты могут оказаться не $(p,p)$-типа. Мы усовершенствуем этот подход с помощью суперсвязностей с целью установить, что классы Чженя $F$ все-таки имеют $(p,p)$-тип, а затем применим эту технику для определения классов Ботта–Чженя когерентных пучков и, более того, для любых объектов $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}} (X)$. Классы Чженя определяются для объектов производной категории $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}} (X)$, используя представление их с помощью ${\overline {\partial}}$-суперсвязностей. Мы увидим, что это позволяет относительно легко установить свойство классов Чженя быть диагонального типа. Альтернативный подход к определению классов Чженя когерентных пучков состоит в том, чтобы сначала избавиться от кручения индукцией по размерности носителя, а затем выбрать подходящее бирациональное преобразование многообразия, которое редуцирует проблему к случаю, когда когерентный пучок локально свободный (см. также [26]). 4.1. Классы Чженя суперсвязностей де РамаЗдесь мы следуем идеям Квиллена [14] и Фрида [27]. Также обратим внимание читателя на подходы работ [16], [32]. В этом пункте рассматривается гладкое вещественное многообразие $X$ и пучок $\Lambda^{\bullet}$ гладких комплексно-значных форм на $X$. Мы рассматриваем $\Lambda^{\bullet}$ как $\mathbb{Z}/2$-градуированный пучок алгебр. Пусть $\mathcal{M}$ – $\mathbb{Z}/2$-градуированный модуль, локально свободный над этой алгеброй, а $\mathcal{D}\colon \mathcal{M}\to \mathcal{M}$ – нечетный дифференциальный оператор (не обязательно в квадрате равный нулю), удовлетворяющий обычному правилу Лейбница для локальных сечений $s$ модуля $\mathcal{M}$ и $\alpha $ алгебры $\Lambda^{\bullet}$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}(\alpha s)=\mathrm{d}{\alpha}\cdot s +(-1)^{|\alpha |}\alpha \mathcal{D}(s),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathrm{d}$ – дифференциал де Рама. Мы называем $(\mathcal{M},\mathcal{D})$ суперсвязностью де Рама. Отметим важное отличие в нашей терминологии: для суперсвязностей де Рама мы не требуем $\mathcal{D}^2=0$, в то время как для $\overline\partial$-суперсвязностей $\overline{D}^2=0$. Определим кривизну $(\mathcal{M},\mathcal{D})$ формулой Это четный $\Lambda^{\bullet}$-эндоморфизм $\mathcal{M}$. На эндоморфизмах локально свободного модуля над (супер)коммутативной алгеброй $\Lambda^{\bullet}$ определен функционал суперследа $\operatorname{tr}$, который принимает значения в $\Lambda^{\bullet}$.Рассмотрим форму $\omega_k\in \Lambda^{\mathrm{even}}$, равную суперследу $k$-й степени $\mathcal{F}$: Заметим, что $\omega_k$ – это сумма форм различных четных степеней. С помощью того же аргумента, что и для стандартных классов Чженя, получаем, что $\omega_k$ – замкнутая форма. Действительно:
$$
\begin{equation*}
\mathrm{d}(\operatorname{tr}\mathcal{F}^k)=\operatorname{tr}[\mathcal{D}, \mathcal{F}^k]=k\operatorname{tr}([\mathcal{D}, \mathcal{F}]\mathcal{F}^{k-1})=0,
\end{equation*}
\notag
$$
в силу тождества Бьянки:
$$
\begin{equation*}
[\mathcal{D}, \mathcal{F}]=[\mathcal{D}, \mathcal{D}^2]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее мы обозначаем через $[\,\bullet\,,\bullet\,]$ суперкоммутатор по отношению к градуировке на формах. Определим $k$-й коэффициент характера Чженя $\mathcal{M}$ с помощью класса когомологий $\omega_k$:
$$
\begin{equation}
\operatorname{ch}_k\mathcal{M}=\frac1{k!}\biggl(\frac{\mathrm{i}}{2\pi}\biggr)^k[\omega_k].
\end{equation}
\tag{21}
$$
Замена $\mathcal{D}$ на другой нечетный оператор $\mathcal{D}'$ в $\mathcal{M}$, удовлетворяющий тому же правилу Лейбница, не меняет класс когомологий формы $\omega_k$. В самом деле, множество таких операторов образует аффинное пространство, следовательно, мы можем рассмотреть гладкий путь $\mathcal{D}(t)$, соединяющий $\mathcal{D}$ с $\mathcal{D}'$. Положим $a(t)=\mathrm{d}\mathcal{D}(t)/\mathrm{d}t$. Тогда опять в силу тождества Бьянки получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\omega_k(t)= k\, \operatorname{tr}\bigl([\mathcal{D}(t), a(t)]\mathcal{F}^{k-1}(t)\bigr)=k\, \mathrm{d}\bigl(\operatorname{tr}a(t)\mathcal{F}^{k-1}(t)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. производная является точной формой, что означает, что класс когомологий $\omega_k(t)$ постоянен вдоль пути. Рассмотрим $\mathcal{E}=\mathcal{M}/\Lambda^+\mathcal{M}$, где $\Lambda^+$ – часть $\Lambda^{\bullet}$ положительной степени. Это $\mathbb{Z}/2$-градуированное векторное расслоение: $\mathcal{E}=\mathcal{E}^+\oplus \mathcal{E}^-$. Выбирая расщепление $\mathcal{E}\to \mathcal{M}$ для отображения факторизации $\mathcal{M}\to \mathcal{E}$, получаем неканонический изоморфизм $\Lambda^{\bullet}$-модулей $\mathcal{M}=\Lambda^{\bullet}\otimes \mathcal{E}$. Мы можем выбрать в качестве $\mathcal{D}$ прямую сумму обычных связностей в $\mathcal{E}^+$ и $\mathcal{E}^-$, распространенных стандартным способом на $\Lambda^{\bullet}\otimes\mathcal{E}^+ $ и $\Lambda^{\bullet}\otimes \mathcal{E}^-$. Отсюда следует, что кривизна $\mathcal{D}$ является прямой суммой кривизн этих связностей на $\mathcal{E}^+$ и $\mathcal{E}^-$. Тогда в соответствии с определением Чженя–Вейля классов Чженя векторных расслоений класс когомологий $(1/k!)(\mathrm{i}/(2\pi))^k[\omega_k]$ лежит в $\operatorname{H}_{\mathrm{dR}}^{2k}(X, {\mathbb C})$ и равен $k$-й компоненте характера Чженя градуированного расслоения $\mathcal{E}$:
$$
\begin{equation}
\operatorname{ch}_k\mathcal{M}=\operatorname{ch}_k\mathcal{E}^+-\operatorname{ch}_k\mathcal{E}^-.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Заметим, что правая часть равенства – это не что иное как $\operatorname{ch}_k\mathcal{E}$ для $\mathbb{Z}/2$-градуированного векторного расслоения $\mathcal{E}$. Хорошо известно, что $\operatorname{ch}_k{\mathcal{E}}$, а следовательно, и $\operatorname{ch}_k\mathcal{M}$, в действительности, принадлежит $H^{2k}_{\mathrm{dR}}(X,\mathbb{Q})$. 4.2. Классы Чженя $\overline\partial$-суперсвязностейПусть теперь $X$ – это комплексное многообразие, а $ M$ – плоская $\overline\partial$-суперсвязность с дифференциалом $\overline{D}_M\colon M\to M$ на $X$. Определим факторрасслоение $\mathcal{E}=M/\mathcal{A}^{0,+}\!M$. У него имеется $\mathbb{Z}$-градуировка: $\mathcal{E}=\mathcal{E}^{\bullet}$. Рассмотрим $X$ как вещественно аналитическое многообразие и заменим $M$ модулем $\mathcal{M}$ над алгеброй гладких комплексно-значных форм, биградуированных стандартным способом своим $(p,q)$-типом ${\Lambda}^{\bullet}=\mathcal{A}^{\bullet, \bullet}$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{M}=\mathcal{A}^{\bullet, \bullet}\otimes_{\mathcal{A}^{0,{\bullet}}}M.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим оператор $\overline{D}\colon \mathcal{M}\to \mathcal{M}$ как расширение $\overline{D}_M$ с $M$ на $\mathcal{M}$, следуя правилу Лейбница для локальных форм $\alpha\in \mathcal{A}^{\bullet, \bullet}$ и локальных сечений $s$ модуля $M$:
$$
\begin{equation*}
\overline{D}(\alpha s)={\overline {\partial}}\alpha \cdot s +(-1)^{|\alpha |}\alpha\, \overline{D}_M(s).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы определяем характер Чженя $\overline{\partial}$-суперсвязности $M$ как характер Чженя произвольной суперсвязности де Рама в $\mathcal{M}$, т. е. $\operatorname{ch}_k(M)=\operatorname{ch}_k(\mathcal{M})$. Мы докажем, что $\operatorname{ch}_k$-компонента этого характера имеет $(k,k)$-тип, что означает (на не обязательно кэлеровом многообразии) класс в когомологиях де Рама, представленный $(k,k)$-формой. Выбор расщепления $\mathcal{E}^{\bullet} \to M$ для факторотображения $M\to \mathcal{E}^{\bullet}$ определяет неканонический $\mathcal{A}^{\bullet}$-модульный изоморфизм $M=\mathcal{A}^{\bullet}\otimes_{\mathcal{A}^{0}}\mathcal{E}^{\bullet}$ и $\mathcal{A}^{\bullet,\bullet}$-модульный изоморфизм:
$$
\begin{equation}
\mathcal{M}=\mathcal{A}^{\bullet,\bullet}\otimes_{\mathcal{A}^{0}}\mathcal{E}^{\bullet}.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Мы будем рассматривать $\mathcal{M}$ как $\mathbb{Z}/2$-градуированный модуль $\mathcal{M}=\mathcal{M}_+\oplus\mathcal{M}_-$, где
$$
\begin{equation}
\mathcal{M}_+=\bigoplus_{p+q+i\in2\mathbb{Z}}\mathcal{A}^{p,q}\otimes\mathcal{E}^i,\qquad \mathcal{M}_-=\bigoplus_{p+q+i\in2\mathbb{Z}+1}\mathcal{A}^{p,q}\otimes\mathcal{E}^i.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Выберем произвольную эрмитову форму $h_i$ на каждом из векторных расслоений $\mathcal{E}^i$. Обозначим через $(\,\bullet,\bullet\,)$ полуторалинейное спаривание, определенное посредством всех $h_i$ на $\mathcal{E}^{\bullet}=\bigoplus\mathcal{E}^i$. Мы используем то же обозначение для его расширения до градуированного $\mathcal{A}^{\bullet,\bullet}$-значного спаривания на $\mathcal{M}$, которое $\mathcal{A}^{\bullet,\bullet}$-полуторалинейно по отношению к комплексному сопряжению на формах из $\mathcal{A}^{\bullet,\bullet}$. Другими словами, для любых $s_1, s_2\in\mathcal{M}$ у нас имеется спаривание $(s_1, s_2)\in \mathcal{A}^{\bullet,\bullet}$, и для любой $\alpha \in \mathcal{A}^{\bullet,\bullet}$ оно удовлетворяет соотношениям:
$$
\begin{equation*}
(s_1, \alpha s_2)=(-1)^{|\alpha ||s_1|}\alpha (s_1, s_2),\qquad (\alpha s_1, s_2 )={\overline \alpha} (s_1, s_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $D$ – оператор на $\mathcal{M}$, однозначно определенный следующим уравнением на произвольные локальные сечения $s_1$ и $s_2$ модуля $\mathcal{M}$:
$$
\begin{equation}
\overline{\partial}(s_1, s_2)=(Ds_1, s_2)+(-1)^{|s_1|}(s_1, \overline{D}s_2),
\end{equation}
\tag{25}
$$
или, что эквивалентно:
$$
\begin{equation}
\partial(s_1, s_2)=(\overline{D}s_1, s_2)+(-1)^{|s_1|}(s_1, Ds_2).
\end{equation}
\tag{26}
$$
Существование и единственность такого $D$ аналогичны существованию и единственности эрмитовой связности на голоморфном векторном расслоении, совместимой с $\overline \partial$-оператором на локальных сечениях этого расслоения. Заметим, что $D$ удовлетворяет правилу Лейбница:
$$
\begin{equation*}
D(\alpha s)={\partial}\alpha \cdot s +(-1)^{|\alpha|}\alpha D(s).
\end{equation*}
\notag
$$
Превратим $\mathcal{M}$ в суперсвязность де Рама с помощью нечетного (в $\mathbb{Z}/2$ градуировке) дифференциального оператора $\mathcal{D}$ на $\mathcal{M}$: Тогда $\mathcal{D}$ удовлетворяет равенству:
$$
\begin{equation*}
\mathrm{d}(s_1, s_2 )= (\mathcal{D}s_1, s_2)+(-1)^{|s_1|}(s_1, \mathcal{D}s_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\overline{D}^2=0$, мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 =\partial^2(s_1, s_2) &= (D^2s_1, s_2)+(-1)^{|s_1|+1}(Ds_1, \overline{D}s_2) \\ &\qquad+(-1)^{|s_1|} (Ds_1, \overline{D}s_2)+(s_1, \overline{D}^2 s_2)= (D^2s_1, s_2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из того, что равенство выполняется для любых $s_1, s_2\in \mathcal{E}^{\bullet}$, следует, что $D^2\,{=}\,0$. Можно говорить, что $D$ определяет плоскую ${\partial}$-суперсвязность на модуле $\widetilde{M}=\mathcal{A}^{\bullet, 0}\otimes_{\mathcal{A}^{0,0}}\mathcal{E}^{\bullet}$. Тогда кривизна $\mathcal{F}$ суперсвязности де Рама $\mathcal{D}$ выражается так: Теперь фиксируем (неканонический) изоморфизм $\mathcal{M}=\mathcal{A}^{\bullet,\bullet}\otimes_{\mathcal{A}^{0,0}}\mathcal{E}^{\bullet}$ как в (23) и разложим (не обязательно $\mathcal{A}^{\bullet,\bullet}$-линейно) операторы, действующие на сечениях $\mathcal{M}$ в их однородные компоненты по отношению к тристепени, где операторы степени $(p,q,r)$ действуют так: $\mathcal{A}^{a,b}\otimes_{\mathcal{A}^{0,0}}\mathcal{E}^{c}\to\mathcal{A}^{a+p,\,b+q}\otimes_{\mathcal{A}^{0,0}}\mathcal{E}^{c+r}$, т. е. сдвигают градуировку по правилу Обозначим через $\deg(A)=(d_1(A),d_2(A),d_3(A))$ тройную степень однородного оператора $A$. Аналогично, тристепень сечения $s$ модуля $\mathcal{A}^{a,b}\otimes_{\mathcal{A}^{0,0}}\mathcal{E}^{c}$ будем обозначать так: Кроме того, для формы $\omega$ из $\mathcal{A}^{a,b}$ мы будем использовать следующее обозначение для бистепени:
$$
\begin{equation*}
\deg (\omega )= \bigl(d_1(\omega ), d_2(\omega)\bigr):=(a,b).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как спаривание $(\,\bullet\,,\bullet\,)$ на $\mathcal M$ полуторалинейно, то для любых двух однородных сечений $s_1$ и $s_2$ модуля $\mathcal M$ выполнено следующее:
$$
\begin{equation}
\deg((s_1, s_2))= \bigl(d_2(s_1)+d_1(s_2), d_1(s_1)+d_2(s_2)\bigr).
\end{equation}
\tag{28}
$$
Чтобы упростить изложение, мы обозначим через ${\overline \beta_0}:=\overline \gamma$ и $\overline \beta_1:=\overline \nabla$ компоненты выражения (7) для суперсвязности $\overline{D}$. Тогда разложение по степеням для $\overline D$ выглядит так: где ${\overline \beta_i}$ – однородный элемент степениЛемма 4.1. Оператор $D$ имеет следующее разложение по степеням: где $\beta_i$ имеет степень $(i,0, i-1)$. Доказательство. Пусть $\omega_{(P,Q)}$ обозначает компоненту бистепени $(P,Q)$ неоднородной формы $\omega$ в $\mathcal{A}^{\bullet,\bullet}$. Рассмотрим разложение $D$ в трехстепенные компоненты: Выберем однородные локальные сечения $s_1,\, s_2$ модуля $\mathcal{M}$ и обозначим $\deg((s_1,s_2))=(A,B)$. Из формулы (25) следует:
$$
\begin{equation}
\sum_{p,q,i}(D^{p,q,j}s_1, s_2)_{(P,Q)}=\overline\partial(s_1,s_2)_{(P,Q)}- \sum_i(-1)^{|s_1|}(s_1,\overline\beta_is_2)_{(P,Q)}.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Далее, отметим, что все члены в правой части обнуляются за исключением случая, когда $P=A$ и $Q=B+d_3(s_2)-d_3(s_1)+1$. В самом деле, заметим, что $(s_1,s_2)=0$, если только не $d_3(s_1)=d_3(s_2)$, следовательно, $\deg(\overline\partial(s_1,s_2))=(A,B+1)=(A, B+d_3(s_2)-d_3(s_1)+1)$. Также, $(s_1,\overline\beta_is_2)=0$, если $d_3(s_1)\neq d_3(\overline\beta_is_2)$, в то время как $d_2(s_1,\overline\beta_is_2)=B+i$ и $d_3(\overline\beta_is_2)=d_3(s_2)+1-i$, откуда следует такая же формула для степени последнего члена в (32).
Так как $\deg((D^{p,q,j}s_1, s_2))=(A+q,B+p)$ и $d_3(D^{p,q,j}s_1)=d_3(s_1)+j$, получаем, что $(D^{p,q,j}s_1, s_2)_{(P,Q)}=0$, если не выполнены равенства: $q=0$, $p=d_3(s_2)-d_3(s_1)+1$ и $d_3(s_1)+j=d_3(s_2)$. Раз $s_1,s_2$ произвольные, то заключаем отсюда, что $D^{p,q,j}=0$, за исключением случая, когда $q=0$ и $p=j+1$, что и завершает доказательство. Лемма доказана. В силу формул (27), (29) и (31) кривизна имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}=\sum_{i,j\geqslant 0}[\beta_i,\overline{\beta_j}].
\end{equation}
\tag{33}
$$
Разложим форму Чженя $\omega_k=\operatorname{tr}\mathcal{F}^k$ в $(p,q)$-компоненты $\omega_k= \sum \omega_k^{p,q}$. Мы покажем, что у этой формы все недиагональные члены тривиальны. Доказательство. Согласно (29) и (31) возможные степени для $D$ – это $(p, 0, p-1)$, где $p\geqslant 0$, а степени для $\overline{D}$ – это $(0, q, -q+1)$, где $q\geqslant 0$. Тогда возможные степени для $\mathcal{F}=[D, \overline{D}]$ и его степеней $\mathcal{F}^k$ – это $(p, q, p-q)$ для некоторых $p,q\geqslant 0$.
Заметим, что след эндоморфизма равен нулю на компонентах степеней $(p,q,r)$, если $r\ne 0$, что и дает требуемый результат. Лемма доказана. Теперь проварьируем эрмитовы формы в векторных расслоениях $\mathcal{E}^j$ вдоль параметра $t$ по следующему правилу: Это определяет вариацию суперсвязности де Рама $\mathcal{D}(t)$ и ее кривизны $\mathcal{F}(t)$. Посмотрим, как варьируется форма Чженя $\omega_k(t)=\operatorname{tr}\mathcal{F}(t)^k$. Разложим форму $\omega_k(t)$ в ее $(p,p)$-компоненты с учетом леммы 4.2:
$$
\begin{equation*}
\omega_k(t)= \sum_{p\ \geqslant 0} \omega_k^{p,p}(t).
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, $\omega_k=\omega_k(1)= \sum \omega_k^{p,p}$. Доказательство. Заметим, что $\overline{D}$ не меняется при вариации метрики. Оператор $D(t)$ определяется уравнением (25) из $\overline D$ и $h_i(t)$, и мы выясним, как он зависит от $t$. Для этого мы выделим различные однородные компоненты (25) так же, как мы это делали при доказательстве леммы 4.1 (см. также (32)).
Во-первых, возьмем $s_1$, $s_2$ такие, что $d_3(s_1)=d_3(s_2)=j$. Тогда эрмитова форма $(s_1,s_2)$ определяется метрикой $h_j(t)$ только в одной компоненте $\mathcal{E}^j$ расслоения $\mathcal{E}^{\bullet}$, и мы запишем его в виде $(s_1,s_2)(t)=t^j(s_1,s_2)_j$ в соответствии с (34). Теперь рассмотрим следующую компоненту уравнения (25):
$$
\begin{equation}
\overline\partial(s_1, s_2)(t)=(\beta_1(t)s_1, s_2)(t)+(-1)^{|s_1|}(s_1,\overline\beta_1s_2)(t),
\end{equation}
\tag{35}
$$
откуда следует:
$$
\begin{equation}
t^j\overline\partial(s_1, s_2)_j=t^j(\beta_1(t)s_1, s_2)_j +(-1)^{|s_1|}t^j(s_1,\overline\beta_1s_2)_j.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Из этого соотношения заключаем, что $\beta_1$ не зависит от $t$, т. е. получаем часть утверждения леммы.
Во-вторых, чтобы найти $\beta_i(t)$ для $i\neq 1$, возьмем $d_3(s_2)=j$, $d_3(s_1)=j+1-i$. Левая часть уравнения (25) обнуляется, и у нас получается следующее уравнение:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(\beta_i(t)s_1, s_2)(t)+(-1)^{|s_1|}(s_1,\overline\beta_is_2)(t) \\ &\qquad=t^j(\beta_i(t)s_1, s_2)_j+(-1)^{|s_1|}t^{j+1-i}(s_1,\overline\beta_is_2)_{j+1-i}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда мы выводим, что для всех $i$ выполняется Теперь обратимся к $\omega_k^{p,p}$ и заметим, что по определению
$$
\begin{equation*}
\omega_k^{p,p}(t)=\sum\prod_{s=1,\dots,k}[\beta_{p_s}(t),\overline\beta_{q_s}],
\end{equation*}
\notag
$$
где сумма берется по всем $k$-наборам пар $(p_1,q_1),\dots,(p_k,q_k)$ таких, что $\sum p_s=p$ и $\sum q_s=q$.
Отсюда замечаем, что $\omega_k^{p,p}(t)=t^N\omega_k^{p,p}$, где $N=\sum_{s=1}^k(p_s-1)=p-k$, вследствие чего и получаем результат. Лемма доказана. Пусть $H^{p,p}_{dR}(X)$ обозначает классы когомологий де Рама, которые имеют представление замкнутыми $2p$-формами типа $(p,p)$. Так как класс когомологий $\omega_k$ не зависит от связности, он не может, в частности, варьироваться по $t$, когда эрмитова структура меняется в соответствии с уравнением (34). Тогда из лемм 4.2 и 4.3 вытекает следующее утверждение. Утверждение 4.4. $k$-й характер Чженя $\overline\partial$-суперсвязности имеет тип $(k,k)$, т. е. $\operatorname{ch}_k(M)\in H^{k,k}_{dR}(X)$. Замечание 4.5. На самом деле это предложение сразу следует из одной только леммы 4.2 и общих свойств характера Чженя суперсвязности, описанных в п. 4.1, а именно, что $k$-й характер $\operatorname{ch}_k\mathcal{M}$ лежит в $H^{2k}_{\mathrm{dR}}(X,\mathbb{Q})$, см. также (22). Поэтому, в принципе, нам не требуется лемма 4.3, чтобы доказать предложение 4.4. Однако технический результат этой леммы нам понадобится в дальнейшем. 4.3. Характер Чженя когерентного аналитического пучкаПокажем, что определение характера Чженя, данное в п. 4.2, спускается на $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}} (X)$ с помощью эквивалентности категорий $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}} (X)\cong\mathcal{H}o(\mathcal{C}_X)$. Для начала напомним следующее утверждение. Лемма 4.6. Пусть $\mathcal{E}^{\bullet}_1\xrightarrow{\varphi}\mathcal{E}^{\bullet}_2$ – морфизм комплексов гладких векторных расслоений (локально свободных $\mathcal{A}^{0}$-модулей в терминологии настоящей статьи). Если $\varphi$ – квазиизоморфизм, то $\operatorname{ch}(\mathcal{E}^{\bullet}_1)=\operatorname{ch}(\mathcal{E}^{\bullet}_2)$, где $\operatorname{ch}(\mathcal{E}^{\bullet})=\sum(-1)^i\operatorname{ch}(\mathcal{E}^i)$. Доказательство. Обозначим через $\gamma_1$, $\gamma_2$ дифференциалы в $\mathcal{E}^{\bullet}_1$ и $\mathcal{E}^{\bullet}_2$ соответственно и рассмотрим конус $\varphi$, реализованный комплексом $C^i=\mathcal{E}^{i+1}_1\oplus\mathcal{E}^i_2$ с дифференциалом, который отображает $(a,b)\in C^i$ в $(-\gamma_1(a),\,\varphi(a)+\gamma_2(b))\in C^{i+1}$. Очевидно, $\operatorname{ch}(C^{\bullet})=\operatorname{ch}(\mathcal{E}^{\bullet}_2)-\operatorname{ch}(\mathcal{E}^{\bullet}_1)$. С другой стороны, если $\varphi$ – квазиизоморфизм, то комплекс $C^{\bullet}$ ацикличен, и, следовательно, $\operatorname{ch}(C^{\bullet})=0$, откуда следует утверждение леммы. Лемма доказана. Пусть $M_1$ и $M_2$ – это два объекта в категории $\mathcal{C}_X$, т. е. две $\overline\partial$-суперсвязности на $X$. Положим $\mathcal{E}_\alpha:=M_\alpha/\mathcal{A}^+M_\alpha$, $\alpha=1,2$. Это комплексы гладких векторных расслоений. Теперь предположим, что $M_1$ и $M_2$ изоморфны в категории $\mathcal{H}o(\mathcal{C}_X)$. Отсюда следует существование морфизма комплексов $M_1\xrightarrow{\varphi}M_2$, который является квазиизоморфизмом. Он спускается до квазиизоморфизма $\mathcal{E}^{\bullet}_1\xrightarrow{\varphi}\mathcal{E}^{\bullet}_2$. С другой стороны, $\operatorname{ch}(M_\alpha)=\operatorname{ch}(\mathcal{E}_\alpha)$, как это было определено в (22). Следовательно, согласно лемме 4.6 $\operatorname{ch}(M_1)=\operatorname{ch}(M_2)$, и мы выводим, что характер Чженя зависит только от класса изоморфизма в $\mathcal{H}o(\mathcal{C}_X)$. В силу эквивалентности категорий это означает, что характер Чженя также определен на классах изоморфизма объектов в $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}} (X)$. В частности, так получается определение характера Чженя для когерентных пучков на $X$. 4.4. Когомологии Ботта–ЧженяМы видели выше, что если задан $\mathbb{Z}/2$-градуированный модуль $\mathcal{M}$ над алгеброй $\Lambda^{\bullet}=\mathcal{A}^{\bullet,\bullet}$ с суперсвязностью $\mathcal{D}$ на нем, то можно определить классы когомологий де Рама $\operatorname{ch}_k(\mathcal{M})=[(1/k!)\operatorname{tr}((\mathrm{i}/(2\pi))\mathcal{F})^k]\in H^{2k}_{\mathrm{dR}}(X,\mathbb{Q})$, где $\mathcal{F}=\mathcal{D}^2$ – кривизна, и $\operatorname{ch}_k(\mathcal{M})$ не зависят от суперсвязности, а только от самого $\mathcal{M}$. Теперь покажем, что если $(\mathcal{M},\mathcal{D})$ приходит из $\overline\partial$-суперсвязности на $(M,\overline D)$ как в п. 4.2, то можно определить $\operatorname{ch}_k(M)$ как элемент из более тонких групп когомологий. Рассмотрим следующие группы когомологий для комплексного многообразия $X$:
$$
\begin{equation}
H^{p,p}(X) :=\frac{\{d\text{-замкнутые комплексные }(p,p)\text{-формы на } X\}}{\{d\text{-точные }(p,p)\text{-формы}\}}
\end{equation}
\tag{37}
$$
и
$$
\begin{equation}
H^{p,p}_{\mathrm{BC}}(X) :=\frac{\{d\text{-замкнутые комплексные }(p,p)\text{-формы на } X\}}{\{\overline\partial\partial\text{-точные }(p,p)\text{ формы}\}}.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Последние известны как когомологии Ботта–Чженя. Имеется очевидная сюръекция $H^{p,p}_{\mathrm{BC}}(X) \twoheadrightarrow H^{p,p}(X)$. На кэлеровом многообразии, согласно теории Ходжа и $\partial\overline\partial$-лемме, имеем равенства: $H^{p,p}_{\mathrm{BC}}(X)=H^{p,p}(X)=H^p(X,\Omega^p_X)$, что не обязательно верно на комплексном многообразии (см. также [28]). В п. 4.2 мы видели, что для $\overline\partial$-суперсвязности $M$ выполняется $\operatorname{ch}_k(M)\in H^{k,k}(X)$. Известно, что для голоморфного расслоения $E$ его классы Чженя, или характер Чженя, могут быть определены как элементы когомологий Ботта–Чженя (38). Мы покажем, что то же верно для $\overline\partial$-суперсвязностей, следовательно, для любых когерентных пучков на комплексно-аналитических многообразиях. Пусть $(M,\overline D)$ – $\overline\partial$-суперсвязность на $X$. Напомним (п. 4.2), что для того, чтобы определить $\operatorname{ch}(M)$, мы выбрали расщепление
$$
\begin{equation}
\mathcal{M}:=\mathcal{A}^{\bullet,\bullet}\otimes_{\mathcal{A}^{0, \bullet}}M\xrightarrow{\sim} \mathcal{A}^{\bullet,\bullet}\otimes_{\mathcal{A}^0}\mathcal{E}^{\bullet}
\end{equation}
\tag{39}
$$
и эрмитовы метрики на $\mathcal{E}^i$. Затем, мы получили на $\mathcal{M}$ суперсвязность де Рама $\mathcal{D}=D+\overline D$, где $D$ зависит от выбора метрик и удовлетворяет (см. также (25))
$$
\begin{equation}
\overline\partial(\phi,\psi)=(D\phi,\psi)+(-1)^{|\phi|}(\phi,\overline{D}\psi).
\end{equation}
\tag{40}
$$
Здесь $\phi$ и $\psi$ – сечения $\mathcal{M}$, а $(\,,\,)$ – $\mathcal{A}^{\bullet,\bullet}$-значное спаривание, определенное метрикой в $\mathcal{E}^{\bullet}$. Пусть $\mathcal{F}=\mathcal{D}^2$. Рассмотрим форму Чженя $\omega_k=\operatorname{tr}\mathcal{F}^k$ и обсудим, как все зависит от выбора расщепления, т. е. от расщепления (39) и эрмитовых метрик в $\mathcal{E}^{\bullet}$. Замена расщепления – это то же самое, что $\mathcal{A}^{\bullet,\bullet}$-автоморфизм $\mathcal{A}^{\bullet,\bullet}\otimes_{\mathcal{A}^0}\mathcal{E}^{\bullet}$, что в свою очередь есть то же самое, что строгое калибровочное преобразование. Форма $\omega_k$ очевидно инвариантна относительно него. Теперь рассмотрим инфинитезимальную вариацию метрики. Она может быть описана эрмитовым сечением $\delta h$ пучка $\mathcal{E} nd\,\mathcal{E}^{\bullet}$ как
$$
\begin{equation*}
\delta (\phi,\psi)=(\phi,\delta h\,\psi)=(\delta h\,\phi,\psi).
\end{equation*}
\notag
$$
Инфинитезимальная вариация (40) имеет вид (напомним, что $\overline D$ не меняется с $\delta h$)
$$
\begin{equation}
\overline\partial(\delta h\phi,\psi)=(\delta h D\phi,\psi)+(-1)^{|\phi|}(\delta h\phi,\overline{D}\psi) + (\delta D\,\phi,\psi).
\end{equation}
\tag{41}
$$
С другой стороны, уравнение (40) с заменой $\phi$ на $\delta h\phi$ дает
$$
\begin{equation}
\overline\partial(\delta h\phi,\psi)=(D\delta h\phi,\psi)+(-1)^{|\phi|}(\delta h\phi,\overline{D}\psi).
\end{equation}
\tag{42}
$$
Сравнивая (41) и (42), мы получаем, что $\delta D=D\delta h-\delta h D$. Так как $D^2=\overline D^{\,2}=0$, кривизна суперсвязности $D+\overline D$ равна $[\overline D,D]$, и мы получаем $\delta\mathcal{F}=[\overline D,[D,\delta h]]$. Отсюда, вспоминая, что $[D,\mathcal{F}]=[\overline D,\mathcal{F}]=0$, выводим
$$
\begin{equation*}
\delta \operatorname{tr}\mathcal{F}^k=k\operatorname{tr}\delta\mathcal{F}\mathcal{F}^{k-1}= k\operatorname{tr}\bigl[\overline D,[D,\delta h]\bigr]\mathcal{F}^{k-1}= k\overline\partial\partial\operatorname{tr}\delta h\mathcal{F}^{k-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это показывает, что $\delta\omega_k$ является $\overline\partial\partial$-точной формой, следовательно, замкнутая форма $\omega_k$ дает корректно определенный класс в $H^{k,k}_{\mathrm{BC}}(X)$. Отметим, что a priori форма $\omega_k$ имеет компоненты: $\omega_k=\sum_{p=0}^k\omega_k^{(p,p)}$, где $\omega_k^{(p,p)}$ – это $(p,p)$-форма. Однако аргумент с масштабированием метрик из п. 4.2 (см. также лемму 4.3) вместе с рассуждением выше показывают, что $\omega_k^{(p,p)}$ является $\overline\partial\partial$-точной для $p<k$. В результате мы получаем следующую теорему. Теорема 4.7. Характер Чженя $\overline\partial$-суперсвязности $M$ корректно определен как элемент когомологий Чженя–Ботта § 5. ПриложениеДля удобства читателя в этом приложении мы докажем, что на гладком комплексном многообразии $X$ размерности $n$ пучок колец $\mathcal{A}^0_X$ плоский над пучком колец $\mathcal{O}_X$ голоморфных функций на $X$, тем самым, функтор $F\mapsto F\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{A}^0_X$ точен на категории пучков $\mathcal{O}_X$-модулей. Для пучков быть плоским является свойством локальных колец в каждой точке $X$. По этой причине мы перейдем к локальным кольцам. Выберем произвольную точку $x\in X$ и обозначим через $\mathcal{O}=\mathcal{O}_{X,x}$ локальное кольцо голоморфных функций, $\mathcal{C}^{\infty}=\mathcal{A}^0_X$ – локальное кольцо комплексно-значных гладких функций и $\mathcal{C}^{\omega}$ – локальное кольцо комплексно-значных аналитических функций в точке $x$. Мы докажем, что кольцо $\mathcal{C}^{\infty}$ плоское над подкольцом $\mathcal{O}\subset\mathcal{C}^{\infty}$. По определению это означает, что для любой короткой точной последовательности $\mathcal{O}$-модулей точна соответствующая последовательность
$$
\begin{equation*}
0\to M_1\otimes_\mathcal{O}\mathcal{C}^{\infty}\to M_2\otimes_\mathcal{O}\mathcal{C}^{\infty}\to M_3\otimes_\mathcal{O}\mathcal{C}^{\infty}\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Наше доказательство будет основано на комбинации результатов из литературы, наиболее существенная часть которых принадлежит Мальгранжу (см. [25] и разъяснения ниже). В действительности, мы докажем более сильное свойство пары $\mathcal{O}\subset\mathcal{C}^{\infty}$. Все кольца и гомоморфизмы колец ниже предполагаются унитальными. Определение 5.1. Пусть $E$ – модуль над коммутативным кольцом $A$. Тогда $E$ называется строго плоским, если выполнены следующие условия: (i) $E$ – $A$-плоский модуль; (ii) для любого $A$-модуля $M$ равенство $E\otimes_AM=0$ влечет $M=0$. Другими словами, функтор $M\mapsto E\otimes_AM$ на $A$-модулях (i) точный и (ii) строгий. Следующие полезные свойства строго плоских алгебр можно найти, к примеру, в [29; гл. 3, упражнение 16]. Утверждение 5.2. Пусть $\rho\colon A\to B$ – гомоморфизм коммутативных колец. Предположим, что $B$ является плоским $A$-модулем. Тогда следующие утверждения эквивалентны: (i) $B$ строго плоский $A$-модуль; (ii) для любого идеала ${\mathfrak a}\subset A$, выполнено $\rho^{-1}(\rho(\mathfrak{a})B)=\mathfrak{a}$; (iii) индуцированное отображение $\operatorname{Spec} B\to \operatorname{Spec} A$ сюръективно; (iv) для любого максимального идеала $\mathfrak{m}\subset A$, имеем: $\rho(\mathfrak{m})B\neq B$; (v) для любого $A$-модуля $M$, отображение $x\mapsto x\otimes 1\colon M\to M\otimes_A B$ инъективно. Другое полезное необходимое и достаточное условие строгой плоскости дается следующим предложением, заимствованным из [25; гл. III, § 4]. Утверждение 5.3. Если задано подкольцо $A\subset B$, то кольцо $B$ строго плоское над $A$, если и только если $A$-модуль $B/A$ плоский. Доказательство. Предположим для начала, что $A$-модуль $B/A$ плоский. Из короткой точной последовательности следует, что модуль $B$ также $A$-плоский. Возьмем тензорное произведение последовательности (43) с произвольным $A$-модулем $M$: Так как $B/A$ плоский, последовательность точна, откуда следует условие (ii) определения 5.1 для $M=B$ (см. также (v) в предложении 5.2).
Теперь предположим, что $B$ – строго плоская $A$-алгебра. Выбирая произвольную короткую точную последовательность $A$-модулей и тензорно умножая ее на последовательность (43), получаем следующую коммутативную диаграмму: Верхняя строчка точна по предположению. Вторая строчка точна в силу плоскости $B$ над $A$. Столбцы точны в силу строгой плоскости $B$ и утверждения 5.2, (v). Все вместе это влечет точность нижней строчки, а значит, и $A$-плоскость $B/A$. Утверждение доказано.Плоскость обладает свойством транзитивности. То есть для трех колец, вложенных друг в друга $A\subset B\subset C$, если $B$ плоское над $A$, а $C$ плоское над $B$, то $C$ плоское над $A$. Аналогичное утверждение выполнено для строгой плоскости. Лемма 5.4. Если для трех колец $A\subset B\subset C$, $B$ строго плоское над $A$, а $C$ строго плоское над $B$, то $C$ строго плоское над $A$. Доказательство. Так как обычная плоскость наследуется при транзитивности, утверждение следует из 5.2, (iii). Другое доказательство получится, если рассмотреть короткую точную последовательность $A$-модулей Мы знаем, что $B/A$ и $C/B$ плоские над $A$. Отсюда следует, что $C/A$ плоский над $A$. Лемма доказана. Следующая лемма является слегка ослабленной версией [25; предложение 4.7]. Лемма 5.5. Если для трех колец $A\subset B\subset C$, $C$ строго плоское над $A$, и $C$ строго плоское над $B$, то $B$ строго плоское над $A$. Доказательство. В короткой точной последовательности (*) мы знаем, что $C/A$ и $C/B$ плоские над $A$. Отсюда следует $A$-плоскость $B/A$. Лемма доказана. Наше следующее рассуждение будет основываться на результатах Мальгранжа [25], в первую очередь, на следующем сильном результате [25; гл. III, § 4, теорема 1.1 и гл. VI, следствие 1.12]. Теорема 5.6. Локальное кольцо гладких функций $\mathcal{C}^{\infty}$ строго плоское над подкольцом $\mathcal{C}^{\omega}$ локальных вещественно аналитических функций. В действительности, в [25] эта теорема сформулирована для вещественнозначных функций. Ее, однако, легко распространить на комплексно-значные функции (см. [30]). Пусть $\mathcal{C}^{\infty}_{\mathbb{R}}$ и $\mathcal{C}^{\omega}_{\mathbb{R}}$ обозначают локальные кольца вещественнозначных гладких и вещественно аналитических функций соответственно. Теорема Мальгранжа утверждает, что $\mathcal{C}^{\infty}_{\mathbb{R}}$ строго плоское над $\mathcal{C}^{\omega}_{\mathbb{R}}$, а значит, $\mathcal{C}^{\infty}_{\mathbb{R}}/\mathcal{C}^{\omega}_{\mathbb{R}}$ является $\mathcal{C}^{\omega}_{\mathbb{R}}$-плоским. Для любого гомоморфизма колец $A\to B$ и любого плоского $A$-модуля $M$, $B$-модуль $B\otimes_AM$ плоский над $B$. Следовательно, модуль $(\mathcal{C}^{\infty}_{\mathbb{R}}/\mathcal{C}^{\omega}_{\mathbb{R}} )\otimes_{\mathcal{C}^{\omega}_{\mathbb{R}}}\mathcal{C}^{\omega}$ будет $\mathcal{C}^{\omega}$-плоским. С другой стороны, выполнены равенства
$$
\begin{equation*}
(\mathcal{C}^{\infty}_{\mathbb{R}}/\mathcal{C}^{\omega}_{\mathbb{R}}) \otimes_{\mathcal{C}^{\omega}_{\mathbb{R}}}\mathcal{C}^{\omega} =(\mathcal{C}^{\infty}_{\mathbb{R}}/\mathcal{C}^{\omega}_{\mathbb{R}}) \otimes_{\mathcal{C}^{\omega}_{\mathbb{R}}}(\mathcal{C}^{\omega}_{\mathbb{R}} \otimes_\mathbb{R}\mathbb{C})= (\mathcal{C}^{\infty}_{\mathbb{R}}/\mathcal{C}^{\omega}_{\mathbb{R}}) \otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}=\mathcal{C}^{\infty}/\mathcal{C}^{\omega},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем, что $\mathcal{C}^{\infty}/\mathcal{C}^{\omega}$ является $\mathcal{C}^{\omega}$-плоским, что доказывает строгую плоскость $\mathcal{C}^{\infty}$ над $\mathcal{C}^{\omega}$. В силу транзитивности остается доказать, что локальное кольцо вещественно аналитических функций $\mathcal{C}^{\omega}$ является строго плоским над своим подкольцом голоморфных функций $\mathcal{O}$. Плоскость и строгая плоскость согласуются с пополнением нётеровых колец, а именно (см. [29; предложение 10.14], [31; гл. III, § 3, п. 4, теорема 3, (iii)]) справедливо следующее. Утверждение 5.7. Пусть $A$ – нётерово кольцо. Выберем любой идеал ${\mathfrak a}\subset A$ и обозначим через $\widehat A$ ${\mathfrak a}$-адическое пополнение $A$. Тогда $\widehat A$ – плоская $A$-алгебра. В случае локальных нётеровых колец мы имеем более сильное утверждение (см. [25; гл. III, теорема 4.9] и [31; гл. III, § 3, п. 5]). Утверждение 5.8. Пусть $A$ – локальное нётерово кольцо с максимальным идеалом $\mathfrak{m}\subset A$. Обозначим через $\widehat A$ его $\mathfrak{m}$-адическое пополнение. Тогда $\widehat A$ – строго плоская $A$-алгебра. Следующее утверждение можно найти в [29; гл. 10, упражнение 12]. Утверждение 5.9. Пусть $A$ – нётерово кольцо, а $B=A[[x_1,\dots,x_n]]$ – $A$-алгебра формальных рядов от $n$ переменных. Тогда $B$ строго плоская над $A$. Доказательство. Кольцо $B$ можно рассматривать как ${\mathfrak a}$-адическое пополнение кольца многочленов $A[x_1,\dots,x_n]$, где ${\mathfrak a}=(x_1,\dots,x_n)$ – идеал многочленов без свободного члена. Тогда плоскость $B$ над $A$ следует из утверждения 5.7. Строгая плоскость следует теперь из утверждения 5.2, (iv). Утверждение доказано. Нам понадобятся некоторые свойства колец $\mathcal{O}$ и $\mathcal{C}^{\omega}$. Оба кольца локальные нётеровы [25; гл. III, теорема 3.8]. Обозначим через $\widehat{\mathcal{O}}=\mathbb{C}[[z_1,\dots,z_n]]$ кольцо формальных рядов от $n$ переменных (пополнение кольца $\mathcal{O}$) и через $\widehat{\mathcal{C}}^{\omega}=\mathbb{C}[[z_1,\dots,z_n,\overline z_1,\dots,\overline z_n]]$ кольцо формальных рядов от $2n$ переменных (пополнение локального кольца $\mathcal{C}^{\omega}$). Оба кольца $\widehat{\mathcal{O}}$ and $\widehat{\mathcal{C}}^{\omega}$ также локальные нётеровы кольца. Более того, справедливо следующее утверждение. Утверждение 5.10. Выполнены следующие свойства: (i) $\widehat{\mathcal{O}}$ строго плоское над $\mathcal{O}$; (ii) $\widehat{\mathcal{C}}^{\omega}$ строго плоское над $\mathcal{C}^{\omega}$; (iii) $\widehat{\mathcal{C}}^{\omega}$ строго плоское над $\widehat{\mathcal{O}}$. Доказательство. Утверждения (i) и (ii) следуют из 5.8, а (iii) следует из изоморфизма $\widehat{\mathcal{C}}^{\omega}\simeq\widehat{\mathcal{O}}[[\overline z_1,\dots,\overline z_n]]$ и 5.9. Утверждение доказано. Доказательство. Вложения колец $\mathcal{O}\subset\widehat{\mathcal{O}}\subset\widehat{\mathcal{C}}^{\omega}$ показывают, что $\widehat{\mathcal{C}}^{\omega}$ строго плоское над $\mathcal{O}$ согласно утверждению 5.10, (i) и (iii) и транзитивности 5.4. Тогда результат следует из вложений $\mathcal{O}\subset\mathcal{C}^{\omega}\subset\widehat{\mathcal{C}}^{\omega}$ в силу утверждения 5.10, (ii) и леммы 5.5. Утверждение доказано. Из этого предложения и теоремы Мальгранжа (утверждение 5.6) с помощью свойства транзитивности 5.4 получаем следующее утверждение. Следствие 5.13. На комплексно-аналитическом многообразии $X$ пучок $\mathcal{A}^0_X$ колец гладких функций строго плоский над пучком колец $\mathcal{O}_X$ голоморфных функций. Авторы благодарны М. М. Капранову и М. Л. Концевичу за полезные замечания на тему этой статьи.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BonRos23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|