| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
О слабой разрешимости дробных моделей вязкоупругой жидкости высокого порядка В. Г. Звягин, В. П. Орлов Воронежский государственный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9380e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеРассмотрим движение несжимаемой жидкости, заполняющей область $\Omega$ в $\mathbb{R}^N$, $N=2,3$, на промежутке времени $[0,T]$, $T>0$. Будем предполагать, что $\Omega$ – ограниченная область с локально-липшицевой границей $\partial\Omega$, $Q_T=[0, T]\times \Omega$. Пусть $v(t,x)=(v_1,\dots,v_N)$ – вектор скорости в точке $x$ области $\Omega$ в момент времени $t$. Уравнение движения в форме Коши (см. [1])
$$
\begin{equation}
\rho\biggl(\frac{\partial v}{\partial t}+\sum_{i=1}^Nv_i \frac{\partial v}{\partial x_i}\biggr)+\nabla p-\operatorname{Div}\sigma=\rho f, \qquad (t,x)\in Q_T,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
содержит $\rho=\mathrm{const}>0$ – плотность жидкости (которая в исследуемой ниже модели предполагается постоянной и равной единице), $p=p(t,x)$ – давление в точке $x$ в момент времени $t$, $\sigma$ – девиатор тензора напряжений, $f$ – плотность внешних сил. Знак $\operatorname{Div}$ обозначает дивергенцию матрицы-функции, т. е. $\operatorname{Div}\sigma$ является вектором, координатами которого являются дивергенции векторов – строк матрицы $\sigma$. Уравнение (1.1) дополняется условием несжимаемости $\operatorname{div}v=0$ и реологическим соотношением, определяющем тип жидкости. Реологическое соотношение вида
$$
\begin{equation}
\biggl(1+\sum_{k=1}^Lp_kD_t^{a_k}\biggr)\sigma= \nu\biggl(1+\nu^{-1}\sum_{k=1}^{M}q_kD_t^{b_k}\biggr)\mathcal{E}(v),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
связывающее девиатор тензора напряжений $\sigma$ и тензор скоростей деформации $\mathcal{E}(v)$ определяет обширный класс вязкоупругих сплошных сред. Здесь $L$, $M$ – натуральные числа, $p_k,q_k\geqslant 0$, $a_k, b_k\in [k,k+1)$, $a_L,b_M> 0$, $\nu>0$, $D_t^r$ – дробная производная Римана–Лиувилля порядка $r$. Тензор скоростей деформаций $\mathcal{E}(v)$ определяется как матрица $\mathcal{E}(u)$=$\{\mathcal{E}_{ij}(u)\}_{i,j=1}^N$ с коэффициентами $\mathcal{E}_{ij}(u)=\frac12(\partial u_i/\partial x_j +\partial u_j/\partial x_i )$. В случае, когда $a_k$, $b_k$ являются целыми числами, в (1.2) $a_k=k$, $b_k=k$, а $D_t^r=d^r/dt^r$ являются обычными производными. Тогда (см. [2]) при $M=L\,{-}\,1$, $L=1, 2, \dots$, среда называется жидкостью Максвелла порядка $L$; при $M=L$, $L=1, 2, \dots$, среда называется жидкостью Олдройда порядка $L$; при $M=L+1$, $L=0, 1, \dots$, среда называется жидкостью Павловского порядка $L$. Целочисленные модели движения вязкоупругих сред порядка $b\leqslant 2$, $b=\max(a_L,b_M)$, изучены достаточно хорошо. Уравнение (1.2) в этом случае определяет многие известные модели (см., например, [3], [4] и ссылки в них). В частности, модели Ньютона, Максвелла, Фойгта, Олдройда имеют порядок $b=1$. Модели Зенера, анти-Зенера, Бюргерса имеют порядок $b=2$. В [3] дана механическая интерпретация стандартных моделей и приведен подробный библиографический обзор. Модели движения вязкоупругих сред порядка $b= 2$ изучались во многих работах (см., например, [5]–[8]). В них рассматривались различные постановки начально-граничных задач, исследовались их разрешимость и свойства решений. Уравнения движения линейных вязкоупругих жидкостей с конечным числом дискретно распределенных времен релаксации и времен запаздывания, подчиняющихся определяющему уравнению (1.2) высоких порядков (см. [2], [9]), можно получить либо в форме дифференциальных уравнений, либо в форме интегродифференциальных уравнений. Исключение $\sigma$ из уравнения (1.2) с помощью дифференцирования (1.1) по $t$ и подбора подходящей линейной комбинации результатов дифференцирования с использованием (1.2) приводит к начально-граничной задаче относительно неизвестных функций $v$ и $p$. При этом система уравнений содержит производные высоких порядков неизвестных функций по $t$ и $x$. Для получающихся таким образом начально-граничных задач в [10]–[13] установлены существование и единственность обобщенных решений в классах достаточно гладких функций при достаточно гладких данных. Другой тип начально-граничных задач, соответствующих уравнению (1.2) высокого порядка, получается с помощью интегрирования уравнения (1.2), нахождения $\sigma$ в виде
$$
\begin{equation}
\sigma(t,x)=\mu_0\mathcal{E}(t,x)+\int_0^tG(t-s)\mathcal{E}(v)(s,x)\,ds+f_*,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
либо
$$
\begin{equation}
\sigma(t,x)=\int_0^tG(t-s)\mathcal{E}(v)(s,x)\,ds+f_*
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
с последующей подстановкой $\sigma$ в (1.1) (см. [2]). Здесь $f_*$ содержит начальные значения $\sigma$ и $v$ и их производных. Для соответствующих интегродифференциальных уравнений установлены теоремы существования, аналогичные результатам для систем уравнений Навье–Стокса (см., например, [14], [15]). Уравнения (1.3) и (1.4) показывают (см. [4], [16]), что соответствующие жидкости являются средами с долговременной памятью по пространственным переменным $x$, так как состояние девиатора тензора напряжений $\sigma (t,x)$ в момент времени $t$ зависит от значений тензора скоростей деформаций $\mathcal{E}(v)(s,x)$ для всех $s\in [0, t]$. Большой интерес как более реалистичные с разных точек зрения представляют модели, учитывающие состояние среды вдоль траекторий поля скоростей, которые определяются как решения задачи Коши
$$
\begin{equation}
z(\tau; t, x)=x+\int_t^\tau v(s, z(s; t, x))\,ds, \qquad 0\leqslant t, \tau\leqslant T, \quad x\in\overline{\Omega}
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
(см., например, [17]). Слабая разрешимость начально-граничных задач для моделей типа Олдройда, Фойгта, анти-Зенер, Ньютона с памятью вдоль траекторий изучалась в [18]–[24]. Заметим, что при этом нахождение траекторий требует решения задачи Коши для системы ОДУ, определяемой полем скоростей $v$. В случае слабой разрешимости $v$ принадлежит соболевскому пространству, и, поскольку нет гарантии существования классического решения, разрешимость задачи Коши приходится устанавливать в классе регулярных лагранжевых потоков (РЛП), обобщающих понятие классического решения систем ОДУ (см. ниже § 4). Отметим, что к наличию траекторий поля скоростей в интегродифференциальных слагаемых приводит замена в целочисленном соотношении (1.2) обычной производной $D_t$ на субстанциональную (см. [19]). Однако целочисленные модели не могут адекватно описать поведение многих полимеров и сложных биофизических жидкостей. Переход к моделям с дробными производными в реологическом соотношении обусловлен необходимостью изучения большого класса материалов, в которых необходимо учитывать эффекты ползучести, релаксации и упругости (см. [3], [25]–[29]). Дробные модели представляют собой более обобщенную форму обычных вязкоупругих моделей и ближе соотносятся с реальными физико-механическими свойствами полимеров и физиологических жидкостей. Было установлено, что применение понятий и методов теории исчисления дробных производных является адекватным инструментом для моделирования вязкоупругого поведения механических динамических систем с памятью, целый ряд физических явлений, биологических процессов и наследственных упругой деформации (см. [5]–[8]). В [30]–[33] была установлена слабая разрешимость и исследованы свойства решений для дробных моделей порядка $b\leqslant 2$ с памятью. Ниже мы исследуем вопрос о слабой разрешимости дробных моделей Олдройда высоких порядков с памятью вдоль траекторий поля скоростей. При этом мы существенно используем свойства РЛП. Результат настоящей работы анонсирован в [34]. Структура работы следующая. В § 2 приводятся обозначения и вспомогательные факты. В § 3 дается постановка начально-граничной задачи для модели Олдройда высокого порядка. В § 4 приводятся необходимые сведения о регулярных лагранжевых потоках. В § 5 формулируется основной результат – теорема о слабой разрешимости начально-граничной задачи для модели Олдройда высокого порядка. В § 6 изучаются вспомогательные регуляризованные задачи. В § 7 дается доказательство основного результата. Доказательство утверждения 1 из § 3 вынесено в § 8. Константы в неравенствах и цепочках неравенств, не зависящие от существенных параметров, обозначаются одной буквой $M$, снабжаясь при необходимости индексами. § 2. Обозначения и вспомогательные утвержденияНам понадобятся функциональные пространства $V$ и $H$ (см. [35; с. 20]) соленоидальных функций. Пространство $V=\{v\colon v\in \mathring{W}_2^1(\Omega)^N$, $\operatorname{div} v=0\}$ является гильбертовым со скалярным произведением $(v,u)_V=\sum_{i,j=1}^N\int_\Omega\mathcal{E}_{ij}(u)\cdot\mathcal{E}_{ij}(v)\,dx$ и соответствующей нормой. Норма в пространстве $V$ эквивалентна норме $\|v\|_{W_2^1(\Omega)^N}=\|v\|_{L_2(\Omega)^N}+\sum_{i,j=1}^N\|\partial v_i/\partial x_j \|_{L_2(\Omega)^N}$, индуцированной из пространства $ W_2^1(\Omega)^N$, в силу неравенства Корна $\sum_{i,j=1}^N\int_\Omega\mathcal{E}_{ij}(v)\cdot\mathcal{E}_{ij}(v)\,dx +\|v\|^2_{L_2(\Omega)^N}\geqslant c \int_\Omega\sum_{i,j=1}^N|\partial v_i/\partial x_j|^2\,dx$, $c>0$ (см. [36]). Пространство $H$ является замыканием $V$ в норме пространства $L_2(\Omega)^N$, $V^{-1}$ – пространство, сопряженное к $V$. Знак $\langle g,u\rangle$ означает действие функционала $g\in V^{-1}$ на элемент $u\in V$. Нормы в пространствах $H$ и $V$ будем обозначать через $|\,{\cdot}\,|_0$ и $|\,{\cdot}\,|_1$ соответственно, норму в $L_2(0,T;V)$ будем обозначать как $\|\,{\cdot}\,\|_{0,1}$, а норму в $L_2(0,T;V^{-1})$ как $\|\,{\cdot}\,\|_{0,-1}$. Через $(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,)$ обозначается скалярное произведение в гильбертовых пространствах $L_2(\Omega)$, $H$, $V$, $L_2(\Omega)^N$, $L_2(\Omega)^{N\times N}$, в каких именно — ясно из контекста. § 3. Постановка начально-граничной задачиПусть в реологическом уравнении (1.2) $M=L$, а $m$ – их общее значение, так что $M=L=m$. Пусть порядки $a_m$ и $b_m$ старших производных в (1.2) равны, $b_m=a_m$ и $a_m\in (m,m+1)$, а коэффициенты при старших производных $p_m, q_m >0$. Тогда реологическое уравнение (1.2), определяющее модель Олдройда, примет вид
$$
\begin{equation}
\biggl(1+p_mD_t^{a_m}+\sum_{k=1}^{m-1}p_kD_t^{a_k}\biggr)\sigma =\nu\biggl(1+q_mD_t^{a_m}+\nu^{-1}\sum_{k=1}^{m-1}q_kD_t^{b_k}\biggr) \mathcal{E}(v), \qquad \nu>0.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Здесь $m$ – натуральное число, $a_k,b_k\in [k,k+1)$ при $k=1,\dots, m-1$. Напомним некоторые факты о дробных производных и интегралах (см., например, [3], [37; п. 1.2]). Дробные интегралы $I_{0t}^{\alpha}$ и производные $D_{0t}^{\alpha}$ Римана–Лиувилля положительного порядка $\alpha$ от функции $y(t)$ на $[0,T]$ определяются соответственно формулами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_t^{\alpha}y &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^t(t-s)^{\alpha-1}\,y(s)\,ds, \qquad \alpha>0, \\ D_t^{\alpha}y &= \frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\, \frac{d^n}{dt^n} \int_0^t(t-s)^{n-1-\alpha}\,y(s)\,ds, \qquad n= [\alpha]+1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $\Gamma(\alpha)$ – гамма-функция Эйлера. В частности, если $0<\alpha<1$, то
$$
\begin{equation*}
D_{0t}^{\alpha}y(t)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\, \frac{d}{dt}\, \int_0^t(t-s)^{-\alpha}\,y(s)\,ds,
\end{equation*}
\notag
$$
а для натурального числа $n$ получаем т. е. обычную производную порядка $n$. Оператор дробного дифференцирования $D_t^{\alpha}$ обратен оператору дробного интегрирования слева: $D_t^{\alpha}I_t^{\alpha}y(t)=y(t)$, а для $y(t)=I_t^{\alpha}z(t)$, $z(t)\in L_1(0,T)$, справедливо соотношение $I_t^{\alpha}D_t^{\alpha}y(t)=y(t)$. Имеет место полугрупповое свойство $I_t^{\alpha}I_t^{\beta}=I_t^{\alpha+\beta}$, $\alpha,\beta>0$. При $\alpha\leqslant \beta$ справедливо $D_t^{\alpha}I_t^{\beta}y(t)=I_t^{\beta-\alpha}y(t)$, а для $y(t)=I_t^{\beta}z(t)$, $z(t)\in L_1(0,T)$, при $\alpha\geqslant \beta$ справедливо $I_t^{\alpha}D_t^{\beta}y(t)=I_t^{\beta-\alpha}y(t)$. Выразим $\sigma$ из формулы (3.1) через $\mathcal{E}(v)$. Воспользуемся соотношением (см. [37; c. 50])
$$
\begin{equation}
I_t^aD_t^{a}y(t)=y(t)+ \sum_{k=1}^n\frac{y_{n-a}(0)t^{a-k}}{\Gamma (a-k+1)},\qquad y_{n-a}(t)=I_t^{n-a}y(t).
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathcal{I}(\alpha)=\{y: y=I_t^{a}w,\ w\in (L_1(0,T;L_2(\Omega)^{N\times N})\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $y\in \mathcal{I}(\alpha)$, то второе слагаемое в (3.3) равно нулю (см. [37; c. 49]). Утверждение 1. При $\sigma, \mathcal{E}(v) \in \mathcal{I}(\alpha)$ справедливо соотношение где $G(t-s)$ удовлетворяет оценке $|G(t-s)|\leqslant M(t-s)^{\gamma_1-1}$, $\gamma_1=\min (a_m-b_{m-1}, a_m-a_{m-1})$, $\mu_0=p_m^{-1}q_m$. Очевидно, $0<\gamma_1<2$. Доказательство утверждения 1 приводится в § 8 в конце работы. Предположение $\sigma, \mathcal{E}(v) \in \mathcal{I}(\alpha)$ приводит к тому, что мы не учитываем связи начальных значений $\sigma(0,x)$, $\mathcal{E}(v)(0,x)$ и их производных ($f_*$ в (1.3) и (1.4)) и обнуляем их. В противном случае выражение $f_*$ можно отнести к правой части $f$ в (1.1), на чем мы не останавливаемся. Определяющее уравнение (3.4) показывает, что жидкости Олдройда являются средами с долговременной памятью по пространственным переменным в том смысле, что в момент времени $t$ для любого $x\in \Omega$ состояние девиатора тензора напряжений $\sigma(t,x)$ зависит не только от состояния $\mathcal{E}(v)(t,x)$ тензора скоростей деформаций в момент времени $t$, но и от значений тензора скоростей деформаций $\mathcal{E}(v)(s,x)$ для всех $s\in [0, t]$ в той же точке $x\in \Omega$ (см. [4]). Подстановка (3.4) в (1.1) (здесь и далее мы для простоты полагаем $\rho=1$) приводит к уравнению
$$
\begin{equation}
\frac{\partial v}{\partial t}+\sum_{i=1}^nv_i\, \frac{\partial v}{\partial x_i} -\mu_0\Delta v -\operatorname{Div}\int_0^t G(t-s)\mathcal{E}(v)(s,x)\,ds+ \nabla p = f, \qquad (t,x)\in Q_T.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Учет памяти вдоль траекторий движения жидкости – кривых $z(\tau,t,x)$, являющихся решением задачи Коши (1.5), приводит к более реалистичной модели
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\frac{\partial v}{\partial t}+\sum_{i=1}^nv_i\, \frac{\partial v}{\partial x_i} -\mu_0\Delta v \\ &\qquad-\operatorname{Div}\int_0^tG(t-s)\mathcal{E}(v)(s, z(s,t,x))\,ds+ \nabla p= f,\qquad (t,x)\in Q_T, \end{split}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
$$
\begin{equation}
z(\tau; t, x)=x+\int_t^\tau v(s, z(s; t, x))\,ds, \qquad 0\leqslant t, \tau\leqslant T, \quad x\in\overline{\Omega},
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
$$
\begin{equation}
v(0, x)=v^0(x),\quad x\in \Omega, \qquad v(t, x)=0, \quad (t, x)\in [0, T]\times \partial\Omega.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Наша цель – установить разрешимость задачи (3.6)–(3.9) в классе функций $v\in L_2(0,T;V)$. В этом случае вопрос о разрешимости задачи Коши (3.7) совсем не очевиден. Выходом здесь является использование понятия регулярного лагранжева потока (РЛП), обобщения понятия классического решения. Нам понадобятся следующие факты о РЛП. § 4. Регулярные лагранжевы потокиПусть $v\colon [0, T]\times \overline{\Omega}\to \mathbb{R}^N$. Рассматривается задача Коши (в интегральной форме)
$$
\begin{equation}
z(\tau; t, x)=x+\int_t^\tau v(s, z(s; t, x))\,ds, \qquad 0\leqslant t, \tau\leqslant T, \quad x\in\overline{\Omega}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Определение РЛП приведено, например, в [38]–[40]. Здесь мы приводим это определение в частном случае ограниченной области $\Omega$ и для поля $v$ с $\operatorname{div}v=0$ и нулевым условием на границе. Определение 1. Пусть $v\in L_1(0, T;V)$. Регулярным лагранжевым потоком (РЛП), порожденным $v$, называется функция $z(\tau; t, x)$, $z\colon [0, T]\times [0, T]\times \overline{\Omega}\to \overline{\Omega}$, удовлетворяющая следующим условиям: 1) при п.в. $x$ и любом $t\in[0, T]$ функция $\zeta(\tau)=z(\tau; t, x)$ абсолютно непрерывна и удовлетворяет уравнению (4.1) и условию $z(t; t, x)=x$; 2) для любых $\tau, t \in[0, T]$ справедливо 3) при всех $t_1, t_2,t_3\in[0, T]$ и п.в. $x\in\overline{\Omega}$ Здесь $B\subset\overline{\Omega}$ – произвольное измеримое по Лебегу множество, а $m(B)$ – лебегова мера множества $B$. Заметим, что наличие единственного РЛП для поля $v$ не гарантирует, вообще говоря, однозначную разрешимость задачи Коши (3.7) в классическом смысле (см. [41]). Приведем следующий результаты о РЛП (см., например, [40]). Теорема 1. Пусть $v\in L_1(0, T; W_{p}^1(\Omega)^N)$, $1\leqslant p\leqslant +\infty$, $\operatorname{div}v(t, x)=0$ и $v(t, x)|_{\partial\Omega}=0$. Тогда существует единственный РЛП $z$, порожденный $v$. Теорема 2. Пусть $v,v^n\in L_1(0, T; W_{1}^p(\Omega)^N)$, $n=1, 2, \dots$, при некотором $p>1$. Пусть $\operatorname{div}v^n=0$, $v^n|_{\partial\Omega}=0$, $v|_{\partial\Omega}=0$. Пусть выполняются неравенства Пусть $v^n$ сходится к $v$ в $L_1(Q_T)^N$. Пусть $z^n(\tau; t, x)$ – РЛП, порожденные $v^n$. Тогда последовательность $z^n(\tau; t, x)$ сходится к $z(\tau; t, x)$, являющейся РЛП, порожденным $v$, по $(\tau, x)$-мере равномерно по $t\in [0, T]$. Здесь $v_x$ — матрица Якоби вектор-функции $v$. В более общей формулировке этот результат приведен в [39; пп. 3.6, 3.7, 3.9]. Перейдем к формулировке основного результата. § 5. Основной результатВведем функциональное пространство
$$
\begin{equation*}
W_1(0,T)\equiv \{v\colon v\in L_2(0,T;V)\cap L^{\infty}(0,T;H), \, v'\in L_1(0,T;V^{-1})\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $v\in W_1(0,T)$. Из теоремы 1 следует существование единственного РЛП $z(s, t,x)$, порожденного $v$. Зафиксируем $\tau,t\in [0,T]$. Введем оператор $Z_v[\tau,t]$, ставящий в соответствие функции $v\in W_1(0,T)$ функцию $Z_v[\tau,t](x)$ переменной $x$ по правилу $Z_v[\tau,t](x)=z(\tau, t,x)$. Определение 2. Пусть $ f\in L_1(0,T;V^{-1})$, $v^0\in H$. Слабым решением задачи (3.6)–(3.9) называется функция $v\in W_1(0,T)$, удовлетворяющая тождеству Скалярное произведение в третьем и четвертом слагаемых в (5.1) берется в гильбертовом пространстве $L_2(\Omega)^{N\times N}$ и определяется следующей формулой: $ (A,B)= \sum_{i,j=1}^N\int_{\Omega}a_{ij}b_{ij}\,dx$ для любых матриц-функций $A,B\in L_2(\Omega)^{N\times N}$ с коэффициентами $a_{ij}$ и $b_{ij}$ соответственно. Замечание 1. Отметим корректность интегрального слагаемого в (5.1). Действительно, из оценки на функцию $G$ из утверждения 1 и очевидного включения $\mathcal{E}(v)(s, y)\,ds\in L_2(0,T;L_2(\Omega)^{N\times N})$ следует справедливость включения $\int_0^tG(t-s)\mathcal{E}(v)(s, y)\,ds\in L_2(\Omega)^{N\times N}$. Заметим, что первый сомножитель $\int_0^t G(t-s)\,\mathcal{E}(v)(s, z(s;t,x))\,ds$ в скалярном произведении в интегральном слагаемом в (5.1) получается из предыдущего выражения заменой переменной $y=z(s, t,x)$. Свойства (4.2) и (4.3) РЛП (см. утверждение леммы 3 ниже) обеспечивают включение $\int_0^tG(t-s)\,\mathcal{E}(v)(s, z(s;t,x))\,ds\in L_2(\Omega)^{N\times N}$. Очевидно, что второй сомножитель $\mathcal{E}(\varphi)\in L_2(\Omega)^{N\times N}$, а скалярное произведение в интегральном слагаемом имеет смысл. Замечание 2. Известно, что $W_1(0,T)\subset C_{\mathrm{weak}}([0,T],H)$ (см. [35; теорема III.3.1]). Поэтому начальное условие из (3.9) понимается как $\lim_{t\to 0}(v(t),\varphi){\kern1pt}{=} (v^0,\varphi)$ при любой $\varphi\in H$. Следующий результат является основным. § 6. Регуляризованные задачиДля доказательства теоремы 3 сначала построим последовательность аппроксимативных регуляризованных задач для задачи (3.6)–(3.9). Обозначим через $\mathcal {P}$ оператор ортогонального проектирования в $L_2(\Omega)^N$ на $H$. Пусть $S\colon D(S) \to H $ – оператор Стокса, т. е. $S(u)=- \mathcal {P} \Delta u$, $u\in D(S)= W_2^2(\Omega)^N\cap\mathring{W}_2^1(\Omega)^N\cap H$. Оператор $S$ является самосопряженным, положительно определенным оператором в $ H $ (см. [42; II.4]). Рассмотрим последовательность регуляризованных задач, зависящих от числового параметра $ n=1,2, \dots$:
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\frac{\partial v^n}{\partial t}+\sum_{i=1}^ N v_i^n\, \frac{\partial((1+ n^{-1} |v^n|^2)^{-1} v^n)}{\partial x_i} - \mu_0 \operatorname{Div}\mathcal{E} (v^n) \\ &\ -\operatorname{Div} \int_0^{t} G \biggl(t\,{-}\, \tau\,{+}\, \frac1{n}\biggr) \mathcal{E}(v^n)(\tau, z^n(\tau; t, x)) \, d\tau\,{+}\, \nabla p^n\,{=}\,f, \qquad (t, x)\,{\in}\, Q_T; \end{split}
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
$$
\begin{equation}
v^n (0, x)=v^0 (x), \qquad x \in \Omega, \quad v^n |_{[0, T] \times \partial \Omega}=0;
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
$$
\begin{equation}
z^n(\tau; t, x)=x+\int_t^\tau \widetilde v^{\,n}(s, z^n(s;t, x))\,ds, \qquad 0\leqslant t, \tau\leqslant T, \quad x\in\overline{\Omega}.
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
Здесь $|v|=\bigl(\sum_{i=1}^N v_i^2\bigr)^{1/2}$ означает норму вектора $v$ из $\mathbb{R}^N$, оператор $ \widetilde{\ }$ (тильда) определяется соотношением $\widetilde u=S_n u$ для $u\in V$, так что
$$
\begin{equation}
\widetilde v^{\,n}=S_n v^n,\qquad S_n=(I+n^{-1}S)^{-1},
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
а $z^n$ – это РЛП, порожденный векторным полем $\widetilde v^{\,n}$. Отметим, что резольвентное неравенство $|(nI+S)^{-1}v|_0 \leqslant Mn^{-1} |v|_0$ влечет легко проверяемые равномерные по $ n=1,2,\dots$ неравенства
$$
\begin{equation}
|S_nv|_0\leqslant M |v|_0,\quad |S_nv|_1\leqslant M |v|_1,\quad |S_nv|_{-1}\leqslant M |v|_{-1},\qquad v\in V.
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Введем функциональное пространство
$$
\begin{equation*}
W(0,T)\equiv \{v:\ v\in L_2(0,T;V)\cap L^{\infty}(0,T;H), \ v'\in L_2(0,T;V^{-1})\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Слабое решение $v^n\in W(0,T)$ для задачи (6.1)–(6.4) определяется как функция $v^n \in W(0,T)$, удовлетворяющая начальному условию из (6.3) и тождеству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{d(v^n, \varphi)}{dt}-\sum_{i=1}^N\biggl(v_i^n( 1+n^{-1}|v^n|^2)^{-1}v^n, \frac{\partial \varphi}{\partial x_i}\biggr) +\mu_0(\mathcal{E}(v^n), \mathcal{E}(\varphi)) \nonumber \\ &\qquad+\biggl(\int_0^{t}G\biggl(t-\tau+\frac1{n}\biggr)\mathcal{E}(v^n)(\tau, Z_{\widetilde v^{\,n}}[\tau,t])\,d\tau, \mathcal{E}(\varphi)\biggr)=\langle f,\varphi\rangle \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
при любых $\varphi \in V$ и п.в. $ t\in [0, T]$. Здесь оператор $Z_{\widetilde v^{\,n}}[\tau,t]$ ставит в соответствие функции $\widetilde v^{\,n}$ функцию $Z_{\widetilde v^{\,n}}[\tau,t](x)$ переменной $x$ по правилу $Z_{\widetilde v^{\,n}}[\tau,t](x)=z^n(s, t,x)$, где $z^n(s, t,x)$ – РЛП, порожденный функцией $\widetilde v^{\,n}$. Поскольку $v^n \in W (0, T) $, то из (6.6) следует, что $\widetilde v^{\,n} \in W(0,T)$, и в силу теоремы 1 существует РЛП, порожденный $\widetilde v^{\,n}$. Теорема 4. Пусть $f\in L_2(0,T;V^{-1})$, $v^0 \in H$. Тогда для любого $n=1,2, \dots$ существует слабое решение $v^n \in W(0,T)$ задачи (6.1)–(6.4), и справедливы следующие оценки: где постоянная $M_0$ не зависит от $n$. 6.1. Доказательство теоремы 4Слабая разрешимость регуляризованных задач (6.1)–(6.4) для фиксированных $n$ вытекает из [19]. Отметим, что в [19] рассматривался случай ядра экспоненциального типа $G(t-\tau)$ и другого типа регуляризации $\widetilde v^{\,n}$. Но это не принципиально, так как регуляризованное ядро $G(t-\tau+1/n)$ в данном случае – гладкая функция, и регуляризация $\widetilde v^{\,n}$ обладает необходимыми свойствами (см., например, [20]). Установим оценки (6.8), (6.9). Запишем задачу (6.1)–(6.4) в операторной форме. Нам будет удобно трактовать $v$ как функцию переменной $t$ со значениями в $H$ и записывать как $v(t)$, обозначая через $v'(t)$ ее производную. Используя (6.7), введем действующие из $V$ в $V^{-1}$ операторы $B $ и $K_\varepsilon$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \langle B (u), h \rangle = \bigl(\mathcal{E} (u), \mathcal{E} (h)\bigr)_{L_2(\Omega)^{N \times N}}, \qquad u, h \in V; \\ \nonumber \langle K_\varepsilon(u), h \rangle=\sum_{i, j=1}^N \biggl(u_iu_j (1+ \varepsilon |u|^2)^{-1}, \, \frac{\partial h_i}{\partial x_j}\biggr)_{L_2 (\Omega)}, \qquad \varepsilon \geqslant 0, \quad u,h \in V. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
G_{k,n}(s)=\begin{cases} \exp(-ks)G\biggl(s+\dfrac1{n}\biggr), &s\geqslant 0, \\ 0, &s<0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
Заметим, что ядро $G_{k,n}(s)$ непрерывно дифференцируемо при $s\geqslant 0$. При $v,u\in L_2(0,T;V)$ при каждом фиксированном $t \in (0,T)$ введем функционал $C_{k,n}(u,Z_{v})\in V^{-1}$, действующий на элемент $h\in V$ по правилу
$$
\begin{equation}
\langle C_{k,n}(u,Z_{ v}), h \rangle = \biggl( \int_0^{t} G_{k,n}(t-\tau,n) \mathcal{E}(u)(\tau, Z_{\widetilde v}[\tau,t]) \, d \tau, \mathcal{E} (h)\biggr)_{L_2(\Omega)^{N \times N}}, \qquad h \in V.
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
Здесь оператор $Z_{\widetilde v}[\tau,t]$ ставит в соответствие функции $\widetilde v$ функцию $Z_{\widetilde v}[\tau,t](x)$ переменной $x$ по правилу $Z_{\widetilde v}[\tau,t](x)=z(s, t,x)$, где $z(s, t,x)$ – РЛП, порожденный функцией $\widetilde v$. Отметим, что при любом $\varepsilon>0$ (см. [19])
$$
\begin{equation}
\langle K_{\varepsilon}(v),v\rangle=(K_{\varepsilon}(v),v)=0,\qquad v\in V.
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
Для функций $v \in W_1(0, T)$ справедливо следующее соотношение (см. [35; раздел III, лемма 1.1]):
$$
\begin{equation*}
\langle v '(t), \varphi \rangle=\frac{d} {dt} (v (t), \varphi ) \quad \forall\, \varphi \in V.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда задача (6.1)–(6.4) может быть переписана в виде (см. [19])
$$
\begin{equation}
(v^n)'+K_{1/n}(v^n)+\mu_0 B(v^n)+ C_{0,n}(v^n,Z_{v^n}(v^n))=f,\qquad t\in[0,T],\quad v(0)=v^0.
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
Установим оценки решений задачи (6.14). Нам будет удобно рассматривать более общую, чем (6.14), задачу. Умножая формально уравнение (6.14) на $\exp(-kt)$, где $k>0$, с помощью несложных преобразований получаем задачу
$$
\begin{equation}
v'+\exp(-kt)K_{1/n}( v)+ k v+\mu_0 B(v)+C_{k,n}(v,Z_{v^n})= F,\qquad t\in[0,T], \quad v(0)=v^0.
\end{equation}
\tag{6.15}
$$
Здесь мы полагаем $v=\exp(-kt)v^n$, $F=\exp(-kt)f$ для удобства. Установим оценки решений задачи (6.15). Лемма 1. Пусть $k\geqslant k_0$, где $k_0$ достаточно велико. Тогда для слабых решений $v$ задачи (6.15) справедливы оценки где $M_0$ не зависит от $n$. Доказательство. Докажем оценку (6.16). Применим обе части уравнения (6.15) как функционал из $V^{-1}$ к $v$. Учитывая (6.13) и проводя несложные выкладки, получаем
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dt}| v(t)|_0^2 +|v|_1^2\leqslant M\biggl(|v(t)|_1|F(t)|_{-1}+ |v(t)|_1\int_0^tG_{k,n}(t-s)\,|v(s)|_1\,ds\biggr).
\end{equation}
\tag{6.17}
$$
Из (6.17) имеем при произвольном $\delta>0$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\, \frac{d}{dt} |v(t)|_0^2 +|v(t)|_1^2\leqslant \delta|v(t)|_1^2+C_1(\delta)|F(t)|_{-1}^2+ C_1(\delta) \biggl(\int_0^tG_{k,n}(t-s)|v(s)|_1\,ds\biggr)^2.
\end{equation}
\tag{6.18}
$$
Выбирая $\delta$ достаточно малым и перенося первое слагаемое справа в левую часть (6.18), получаем отсюда
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dt} |v(t)|_0^2 +|v(t)|_1^2\leqslant M_1\biggl(|F(t)|_{-1}^2 + \biggl(\int_0^tG_{k,n}(t-s)|v(s)|_1\,ds\biggr)^2\biggr).
\end{equation}
\tag{6.19}
$$
Интегрируя (6.19) на $[0,t]$, $0\leqslant t\leqslant T$, получаем
$$
\begin{equation}
|v(t)|_0^2 +\int_0^t|v(s)|_1^2\,ds\leqslant M_2\biggl(\|F\|_{0,-1}^2 +|v^0|_0^2+ \int_0^t\biggl(\int_0^{\xi}G_{k,n}(\xi-s)|v(s)|_1\,d\xi\biggr)^2\,ds\biggr).
\end{equation}
\tag{6.20}
$$
Обозначим Продолжая $v$ нулем вне интервала $[0,T]$ и делая замену переменной $\xi=t-s$, перепишем правую часть в (6.21) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g(t) &=\int_{-\infty}^{+\infty} G_{k,n}(t-s)|v(s)|_1\,ds \nonumber \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}G_{k,n}(\xi)|v(t-\xi)|_1\,d\xi= \int_{-\infty}^{+\infty}G_{k,n}(\xi)|v(t-\xi )|_1\,d\xi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.22}
$$
С помощью интегрального неравенства Минковского, использования инвариантности $L_2(-\infty,\infty)$ нормы относительно сдвига получаем, что справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|g\|_{L_2(-\infty,\infty)} \leqslant \int_{-\infty}^{+\infty}G_{k,n}(\xi)\||v(t-\xi )|_1 \|_{L_2(-\infty,\infty)}\,d\xi \nonumber \\ &\qquad\leqslant\int_{-\infty}^{+\infty}G_{k,n}(\xi)\,d\xi\, \||v(t)|_1 \|_{L_2(-\infty,\infty)}= \int_{-\infty}^{+\infty}G_{k,n}(\xi)\,d\xi\, \||v(t)|_1 \|_{L_2(0,T)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.23}
$$
Из (6.11) и (8.19) вытекает, что $G_{k,n}(s)=0$ при $s\leqslant 0$ и
$$
\begin{equation}
G_{k,n}(s)\leqslant M\exp(-ks)\biggl(s+\frac1{n}\biggr)^{\gamma_1-1} \quad\text{при}\quad s>0.
\end{equation}
\tag{6.24}
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty}G_{k,n}(\xi)\,d\xi=\int_0^{+\infty}G_{k,n}(\xi)\,d\xi\leqslant Mk_0^{-\gamma_1}.
\end{equation}
\tag{6.25}
$$
Из (6.23), (6.25) и соотношения $\||v(t)|_1 \|_{L_2(0, T)}\leqslant \|v\|_{0,1}$ вытекает, что
$$
\begin{equation}
\|g\|_{L_2(0, T)}\leqslant M_4k_0^{-\gamma_1}\|v\|_{0,1}.
\end{equation}
\tag{6.26}
$$
Из оценок (6.20) и (6.26) следует, что
$$
\begin{equation}
\sup_{0\leqslant t\leqslant T}| v(t)|_0^2 +\|v\|_{0,1}^2\leqslant M_4(\|F\|_{0,-1}^2 +|v^0|_0^2)+M_4k_0^{-\gamma_1}\|v\|_{0,1}.
\end{equation}
\tag{6.27}
$$
Выбирая $k_0$ достаточно большим так, чтобы $M_4k_0^{-\gamma_1}\leqslant q<1$, и перенося последнее слагаемое в (6.27) в левую часть, получаем отсюда оценку (6.16).
Лемма 1 доказана. Лемма 2. Пусть $k_0$ достаточно велико. Тогда при $k\geqslant k_0$ для слабых решений $v$ задач (6.15) справедливы оценки где постоянная $ M_0 $ не зависит от $n$. Доказательство. Докажем оценку (6.28). Пусть $v\in W_1(0,T)$ – слабое решение задачи (6.15). Тогда
$$
\begin{equation}
v '= F -\exp(-kt)K_{1/n}( v) -k v-\mu_0 B(v) - C_{k,n}(v,Z_{\widetilde v^{\,n}}).
\end{equation}
\tag{6.29}
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|v '\|_{L_1 (0,T;V^{-1})} \leqslant \|F\|_{L_1 (0,T;V^{-1})}+\|\exp(-kt)K_{1/n}( v)\|_{L_1 (0,T;V^{-1})} \nonumber \\ &\qquad+\|k v\|_{L_1 (0,T;V^{-1})}+ \mu_0 \|\operatorname{Div}\mathcal{E}(v)\|_{L_1 (0,T;V^{-1})} \nonumber \\ &\qquad+\biggl\|\operatorname{Div}\int_0^tG_{k,n}(t-s)\mathcal{E}(v)(s, Z_{\widetilde v^{\,n}}[s,t])\,ds\biggr\|_{L_1(0,T;V^{-1})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.30}
$$
В [19] установлено, что для любого $n>0$
$$
\begin{equation}
\|K_{1/n}(v)\|_{L_1 (0,T;V^{-1})} \leqslant M \|v\|_{L_2(0,T;V)}^2,
\end{equation}
\tag{6.31}
$$
$$
\begin{equation}
\|{\operatorname{Div}\mathcal{E}(v)}\|_{L_1 (0,T;V^{-1})} \leqslant M \|v\|_{L_2(0,T;V)}.
\end{equation}
\tag{6.32}
$$
Для продолжения доказательства леммы 2 нам понадобится оценка последнего слагаемого в (6.30).
Доказательство. Легко показать, что если ($N\times N$)-матрица $\mathcal{A}(x)$ принадлежит $L_2 (\Omega)^{N\times N}$, то (см., например, [18]) справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
|{\operatorname{Div}\mathcal{A}(x)}|_{-1} \leqslant M | \mathcal{A}(x)|_0.
\end{equation}
\tag{6.34}
$$
Ввиду (6.34) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl| \operatorname{Div}\int_0^tG_{k,n}(t-s)\mathcal{E}(v)(s, Z_{\widetilde v}[s,t])\,ds \biggr|_{-1}\leqslant M\biggl|\int_0^tG_{k,n}(t-s)\mathcal{E}(v)(s, Z_{\widetilde v}[s,t])\,ds\biggr|_0 \nonumber \\ &\qquad\leqslant M \int_0^tG_{k,n}(t-s)|\mathcal{E}(v)(s, Z_{\widetilde v}[s,t])|_0\,ds. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.35}
$$
Оценим $|\mathcal{E}(v)(s, Z_{\widetilde v^{\,n}}[s,t])|_0^2=\int_{\Omega} |\mathcal{E}(v)(s, z(s;t,x))|^2\, dx$, где $z(s, t,x)$ – РЛП, порожденный функцией $\widetilde v$.
Доказательство. Пусть $\chi_{B}$ – индикаторная функция измеримого множества $B\subset\Omega$. Так как $v$ соленоидальна, то из свойств (4.2), (4.3) определения 1 имеем Отсюда следует, что $\int_{\Omega}g(y)\,dy=\int_{\Omega}g(z (s; t, x))\,dx$ и для любой суммируемой функции $g$, что соответствует замене переменной $y=z(s; t, x)$ в первом интеграле.
Поэтому при замене переменных $x=z(t; s, y)$ в первом интеграле в (6.36) получаем в силу вытекающего из (4.3) равенства $z(s;t,z(t; s, y))=y$ соотношение
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega} |\mathcal{E}(v)(s, z(s;t,x))|^2 \, dx=\int_{\Omega} |\mathcal{E}(v)(s, z(s;t,z (t; s, y)))|^2 \, dx=\int_{\Omega} |\mathcal{E}(v)(s, y))|^2 \, dy
\end{equation*}
\notag
$$
или, что то же, формулу (6.36).
Лемма 3 доказана. Очевидно,
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega} |\mathcal{E}(v)(s, y))|^2 \, dy \leqslant M \sum_{i, j=1}^N \int_{\Omega} \biggl| \frac{\partial v_i(s, x)}{\partial x_j}\biggr|^2 \, dx\leqslant M|v(t)|_1.
\end{equation}
\tag{6.37}
$$
Следовательно, ввиду (6.35), (6.37) получаем
$$
\begin{equation}
\biggl| \operatorname{Div}\int_0^tG_{k,n}(t-s)\mathcal{E}(v)(s, Z_{\widetilde v}[s,t])\,ds \biggr|_{-1}\leqslant M \int_0^tG_{k,n}(t-s)|v(s)|_1\,ds.
\end{equation}
\tag{6.38}
$$
Используя (6.21), (6.26) и (6.38), получаем (6.33). Предложение 1 доказано. Из (6.31)–(6.33), (6.16) следует, что все члены правой части уравнения (6.29) принадлежат $L_1(0, T; V^{-1})$, и, следовательно, $v' \in L_1 (0,T;V^{-1})$. Установим оценку (6.28). Из уравнения (6.29), оценок (6.31)–(6.33), (6.16) и того, что $L_p{(0,T;V^{-1})}$-норма мажорируется $L_q{(0,T;V^{-1})}$-нормой при $q\,{>}\,p$, вытекает, что все члены правой части уравнения (6.29) принадлежат $L_2(0, T; V^{-1})$, и выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|v'\|_{L_1(0, T; V^{-1})} &\leqslant \|F\|_{L_1(0, T; V^{-1})}+\|K_{1/n}(v)\|_{L_1(0, T; V^{-1})} + \|{\operatorname{Div}\mathcal{E}(v)}\|_{L_1 (0,T;V^{-1})} \\ &\qquad+\biggl\| \operatorname{Div}\int_0^tG_{k,n}(t-s)\mathcal{E}(v)(s, Z_{\widetilde v^{\,n}}[s,t])\,ds \biggr\|_{L_1 (0,T;V^{-1})} \\ &\leqslant M(1+\|F\|_{L_2(0,T;V^{-1})}+|v|_0)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценка (6.28) доказана. Лемма 3 доказана. Для завершения доказательства теоремы 4 осталось закончить доказательство оценок (6.8) и (6.9). Ясно, что $v^n=\exp(kt)v$, $z=z^n$, $f=\exp(kt)F$ и $(v^n)'=\exp(kt)v'+k\exp(kt)v$. Отсюда и из неравенств (6.16) и (6.9) легко следуют оценки (6.8) и (6.9) с не зависящей от $n$, но зависящей от $k$ и $M$, константой $M_0$. Теорема 4 доказана. § 7. Доказательство теоремы 3Из теоремы 4 следует, что существует подпоследовательность $v^{n_k}$, $k=1,2,\dots$, последовательности $v^n$, $n=1,2,\dots$, которая сходится к некоторому $v\in W_1(0,T)$ слабо в $L_2(0,T;V)$, $*$-слабо в $L_{\infty}(0,T;H)$, сильно в $L_2(0,T;H)$, и $(v^{n_k})'$ сходится к $v'$ в смысле распределений. Без ограничения общности будем считать, что эта подпоследовательность совпадает с исходной последовательностью $v^n$. Лемма 4. Сходимость $v^n$ к $v$ в $L_2(0,T;H)$ влечет сходимость $\widetilde v^{\,n}$ к $v$ в $L_2(0,T;H)$. Доказательство. Ясно, что
$$
\begin{equation}
\widetilde v^{\,n}-v=S_n v^n-v=S_n( v^n-v)+ ( S_n-I) v.
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
Запишем $v^n-v$ в виде $v^n-v=\mathcal{M}_1(n)-\mathcal{M}_2(n)$, где
$$
\begin{equation*}
\mathcal{M}_1(n)=S_n( v^n-v),\qquad \mathcal{M}_2(n)=( S_n-I) v.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (6.6) вытекает, что $\|\mathcal{M}_1(n)\|_0\leqslant M \|v^n-v\|_0$ и, следовательно, Отметим, что мы можем рассматривать $S_n$ как ограниченный в $L_2(0,T;H)$ оператор. Далее, известно, что множество $X=L_2(0,T;{W_2 ^2}(\Omega)^N\cap H)$ функций плотно в $L_2(0,T;H)$.
Пусть $\varphi\in X$, так что $S\varphi\in L_2(0,T;H)$. Тогда в силу (6.6) имеем
$$
\begin{equation*}
|(S_n-I)\varphi|_0= n^{-1}|(I+n^{-1}S)^{-1}S\varphi|_0\leqslant M n^{-1}|S\varphi|_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это дает
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to +\infty}\|(S_n-I)\varphi\|_0=0,\qquad \varphi\in X.
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
Очевидная равномерная ограниченность норм операторов $S_n-I$ в $L_2(0,T;H)$ и (7.3) для $\varphi\in X$ дает (см. [43; III.4]) выполнение соотношения (7.3) для любой $\varphi\in L_2(0,T;H)$, и, в частности, при $\varphi =v$ имеем Интегрирование (6.7) на $[0,T]$ приводит к
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(v^n(T), \varphi)-\sum_{i=1}^N\int_0^T\biggl( v_i^n (1+n^{-1}|v^n|^2)^{-1}v^n, \frac{\partial\varphi}{\partial x_i}\biggr)\,ds + \mu_0\int_0^T(\mathcal{E}(v^n), \mathcal{E}(\varphi))\,ds \nonumber \\ &\qquad\qquad + \int_0^T\biggl(\int_0^{t}G\biggl(t-s+\frac1{n}\biggr)\mathcal{E}(v^n)(s, Z_{\widetilde v^{\,n}}[s,t])\,ds, \mathcal{E}(\varphi)\biggr)\,dt \nonumber \\ &\qquad=\int_0^T \langle f, \varphi\rangle\,ds+(v^0, \varphi) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
для любого $\varphi \in V$ и п.в. $t\in [0,T]$. Перейдем к пределу в (7.5). Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{P}_1(n) &=(v^n(T), \varphi), \\ \mathcal{P}_2(n) &=\sum_{i=1}^N\int_0^T\biggl( v_i^n (1+n^{-1}|v^n|^2)^{-1}v^n, \frac{\partial\varphi}{\partial x_i}\biggr)\,ds, \\ \mathcal{P}_3(n) &=\int_0^T(\mathcal{E}(v^n), \mathcal{E}(\varphi))\,ds, \\ \mathcal{P}_4(n) &=\int_0^T\biggl(\int_0^{t}G\biggl(t-s+\frac1{n}\biggr)\mathcal{E}(v^n)(s, Z_{\widetilde v^{\,n}}[s,t])\,ds, \mathcal{E}(\varphi)\biggr)\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Перепишем (7.5) в виде
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}_1(n)-\mathcal{P}_2(n)+\mu_0\mathcal{P}_3(n)+ \mathcal{P}_4(n)=\int_0^T \langle f, \varphi\rangle\,ds+(v^0, \varphi).
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
Пусть $\varphi$ гладкая. Из оценки (6.9) и [35; лемма 1.4] следует, что $H$-значная функция $v(t)$ слабо непрерывна, а $v^n(T)$ ограничена в $H$. Без ограничения общности считаем, что $v^n(T)$ слабо сходится к $v(T)$ в $H$, и $v^n$ сходится к $v$ слабо в $L_2(0,T;V)$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{P}_1 &=\lim_{n\to\infty}\mathcal{P}_1(n)=(v(T), \varphi), \\ \mathcal{P}_3 &= \lim_{n\to\infty}\mathcal{P}_3(n) =\int_0^T(\mathcal{E}(v), \mathcal{E}(\varphi))\,ds. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
Покажем, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}_2=\lim_{n\to\infty}\mathcal{P}_2(n)=\sum_{i=1}^N\int_0^T\biggl(v_iv, \frac{\partial\varphi}{\partial x_i}\biggr)\,ds.
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{P}_2(n)-\mathcal{P}_2 &=\sum_{i=1}^N\int_0^T\biggl(v^n_iv^n(1+n^{-1}|v^n|^2)^{-1}-v_iv, \frac{\partial\varphi}{\partial x_i}\biggr)\,ds \\ &= \sum_{i=1}^N\int_0^T\biggl((v^n_i-v_i) v^n(1+n^{-1}|v^n|^2)^{-1}, \frac{\partial\varphi}{\partial x_i}\biggr)\,ds \\ &= \sum_{i=1}^N\int_0^T\biggl(v_i(v^n-v) (1+n^{-1}|v^n|^2)^{-1}, \frac{\partial\varphi}{\partial x_i} \biggr)\,ds \\ &= \sum_{i=1}^N\int_0^T\biggl(v_iv n^{-1}|v^n|^2 (1+n^{-1}|v^n|^2)^{-1}, \frac{\partial\varphi}{\partial x_i}\biggr)\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\varphi$ гладкая, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\mathcal{P}_{2}(n)-\mathcal{P}_{2}| &\leqslant M\biggl(\sum_{i=1}^N\int_0^T\int_\Omega |v^n_i-v_i|\,|v^n|\,dx\,ds +\sum_{i=1}^N\int_0^T\int_\Omega |v^n_i|\,|v^n-v|\,dx\,ds \\ &\qquad\qquad +\sum_{i=1}^N\int_0^T \int_\Omega n^{-1}|v_i|\,|v |\,|v^n|^2 (1+n^{-1}|v^n|^2)^{-1}\,dx\,ds\biggr) \\ &=M\bigl(\mathcal{P}_{21}(n)+\mathcal{P}_{22}(n)+\mathcal{P}_{23}(n)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}_{21}(n)+\mathcal{P}_{22}(n)\leqslant M\|v^n-v\|_{ L_2 (0, T;H)}\|v^n\|_{ L_2 (0, T;H)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из сходимости $v^n$ к $v$ в $L_2(0, T;H)$ следует, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}_{21}(n)+\mathcal{P}_{22}(n)\to 0 \quad\text{при} \quad n\to+\infty.
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
Рассмотрим $\mathcal{P}_{23}(n)$. Легко видеть, что сходимость $v^n$ к $v$ в $L_2 (0, T;H)$ влечет сходимость $v^n(t,x)$ к $v(t,x)$ п.в. на $Q_T$. Отсюда следует, что подынтегральное выражение
$$
\begin{equation*}
\Phi^n(t,x)=n^{-1}|v_i(t,x)|\,|v (t,x)|\,|v^n(t,x)|^2 (1+n^{-1}|v^n(t,x)|^2)^{-1}
\end{equation*}
\notag
$$
в $\mathcal{P}_{23}(n)$ стремится к нулю при $n\to+\infty$ п.в. на $Q_T$. Очевидно, что $\Phi^n(t,x) \leqslant$$ M|v_i(t,x)|\,|v (t,x)|\equiv \Phi(t,x)$. Из $v\in L_2 (0, T;H)$ и неравенства Гёльдера следует, что $\Phi(t,x)\in L_1(Q_T)$. Применение теоремы Лебега дает
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}_{23}(n)\to 0 \quad\text{при} \quad n\to+\infty.
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
Соотношение (7.8) следует из (7.9) и (7.10). Для произвольных ($N\times N$)-матриц $A$ и $B$ с коэффициентами $a_{ij}$ и $b_{ij}$ соответственно введем обозначение $A:B=\sum_{i,j=1}^N a_{ij}b_{ij}$. Рассмотрим $\mathcal{P}_4(n)$ и запишем его в виде
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}_4(n)=\int_0^T\int_0^tG\biggl(t-s+\frac1{n}\biggr)\,\int_\Omega\mathcal{E}(v^n)(s, z^n(s;t,x)):\mathcal{E}(\varphi)( x)\,dx\,ds\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $z^n(s,t,x)=Z_{\widetilde v^{\,n}}[s,t](x)$. Выполним замену переменной $y=z^n(s,t,x)$ (обратная замена $x=z^n(t, s, y)$). Используя тот факт, что поле $v^n$ соленоидально, и учитывая свойства РЛП (4.2), (4.3) из определения 1, находим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{P}_4(n) &=\int_0^T\int_0^tG\biggl(t-s+\frac1{n}\biggr)\int_\Omega\mathcal{E}(v^n)(s, z^n(s;t,x)):\mathcal{E}(\varphi)(x)\,dx\,ds\,dt \\ &=\int_0^T\int_\Omega\int_0^tG\biggl(t-s+\frac1{n}\biggr)\mathcal{E}(v^n)(s, y):\mathcal{E}(\varphi)(z^n(t;s,y))\,dy\,ds\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя это соотношение и изменив порядок интегрирования, мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{P}_4(n) &= \int_0^T\int_\Omega\mathcal{E}(v^n)(s, y):\int_s^TG\biggl(t-s+\frac1{n}\biggr)\mathcal{E}(\varphi)(z^n(t, s, y))\,dt\,dy\,ds \\ &=\int_0^T\int_\Omega\mathcal{E}(v^n)(s, y):\psi^n(s, y)\,dy\,ds, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\psi^n(s, y)=\int_s^TG\biggl(t-s+\frac1{n}\biggr)\mathcal{E}(\varphi)(z^n(t, s, y))\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим $\psi^n$. Благодаря равномерным оценкам (6.9) и (6.6) имеем равномерную ограниченность последовательности $\|\widetilde v^{\,n}\|_{L_2(0,T; W_2^1 (\Omega)^N)}$. Из теоремы 2 и из леммы 4 следует, что последовательность $z^n$ сходится (с точностью до подпоследовательности) по $(0, T]\times\Omega$-мере Лебега равномерно относительно п.в. $t \in [0, T] $ к РЛП $z(\tau; t, x)$, порожденному $v$. Благодаря гладкости $\varphi$ функция $\mathcal{E}(\varphi)(z^n(t, s, y))$ ограничена и сходится п.в. на $Q_T$ ограниченной функции $\mathcal{E}(\varphi)(z(t, s, y))$. В силу теоремы Лебега равномерно ограниченная последовательность $\psi^n(s, y)$ сходится п. в. на $Q_T$ к ограниченной функции
$$
\begin{equation*}
\psi(s, y)=\int_s^TG(t-s)\mathcal{E}(\varphi)(z(t,s, y))\,\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в подынтегральном выражении
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}_4(n)=\int_0^T\int_\Omega\mathcal{E}(v^n)(s, y):\psi^n(s, y)\,dy\,ds
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
первый множитель слабо сходится в $L_2(Q_T)^{N\times N}$, а второй множитель сходится п.в. в $Q_T$. Это означает, что в (7.11) можно перейти к пределу при $n\to +\infty$ и получить
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{P}_4 &= \lim_{n\to+\infty}\mathcal{P}_4(n)=\int_0^T\bigl(\mathcal{E}(v)(s,y), \psi(s, y)\bigr)\,ds \nonumber \\ &= \int_0^T\int_s^TG(t-s)\bigl(\mathcal{E}(v)(s,y), \mathcal{E}(\varphi)(Z_{v}[t,s])\bigr)\,dt\,ds. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
Изменив порядок интегрирования и сделав замену переменной $y=z(s,t,x)$, получим
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}_4=\int_0^T\int_0^t\bigl(\mathcal{E}(v)(s, Z_{v}[s,t]),\mathcal{E}(\varphi)\bigr)\,ds\,dt.
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
Из установленной сходимости (7.7), (7.8) и (7.12) слагаемых $\mathcal{P}_i(n)$ из (7.6) следует, что функция $v(t, x)$ удовлетворяет тождеству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(v(T), \varphi)- \sum_{i=0}^N\int_0^T\biggl(v_iv, \frac{\partial\varphi}{\partial x_i}\biggr)\,ds+\mu_0\int_0^T\bigl(\mathcal{E}(v)(t), \mathcal{E}(\varphi)\bigr)\,dt \nonumber \\ &\qquad+ \int_0^T\int_0^tG(t-s)\bigl(\mathcal{E}(v)(s, Z_{ v}[s,t])\,ds, \mathcal{E}(\varphi)\bigr)\,dt = \int_0^T \langle f, \varphi\rangle\,dt \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
для любой гладкой $\varphi$. Пусть теперь $\varphi \in V$ произвольна. Выберем последовательность гладких $\varphi_m \in V$, $m=1,2,\dots$, таких, что $\varphi_m$ cходится в $V$ к $\varphi$ при $m\to +\infty$. Полагая $\varphi=\varphi_m $ в (7.14) и переходя к пределу при $m\to +\infty$, получаем (7.14) для произвольной $\varphi \in V$. Предельный переход возможен, так как из сходимости $\varphi_m$ к $\varphi$ в $V$ следует сходимость $\mathcal{E}(\varphi_m)$ к $\mathcal{E}(\varphi)$ в $L_2(\Omega)^{N\times N}$, и, кроме того, скалярные произведения в (7.14) непрерывны относительно своих сомножителей. Очевидно, что из справедливости тождества (7.14) вытекает справедливость тождества
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(v(t), \varphi)- \sum_{i=0}^N\int_0^t\biggl(v_iv, \frac{\partial\varphi}{\partial x_i}\biggr)\,ds+ \mu_0\int_0^t\bigl(\mathcal{E}(v)(s), \mathcal{E}(\varphi)\bigr)\,ds \nonumber \\ &\qquad+ \int_0^t\int_0^\tau G(\tau -s)\bigl(\mathcal{E}(v)(s, Z_v[s,t])\,ds, \mathcal{E}(\varphi)\bigr)\,d\tau = \int_0^t \langle f, \varphi\rangle\,d\tau \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.15}
$$
при всех $0\leqslant t \leqslant T$. Используя дифференцирование (7.15) по $t$ получаем, что $v$ удовлетворяет тождеству (5.1). Покажем, что $v\in W_1(0,T)$. Запишем (5.1) в виде
$$
\begin{equation}
\frac{d(v,\varphi)}{dt} - \sum_{i=1}^N \biggl(v_iv, \frac{\partial \varphi}{\partial x_i}\biggr) +\mu_0\bigl( (\mathcal{E}),\mathcal{E}(\varphi)\bigr)=\langle w, \varphi \rangle,
\end{equation}
\tag{7.16}
$$
где
$$
\begin{equation}
w=f -\mathcal{P}\operatorname{Div}\int_0^tG(t-s)\mathcal{E}(v)(s, Z_v[s,t])\,ds.
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
Из оценок (6.33) следует, что второе слагаемое в (7.17) принадлежит пространству $L_2(0,T;V^{-1})$, и, следовательно, $w\in L_2(0,T;V^{-1})$. Таким образом, $v$ удовлетворяет уравнению Из [19] следует неравенство $\| K_0 (v)\|_{L_1 (0, T; V^{-1})}\leqslant M\| v \|_{L_2(0,T;V)}^2$. Используя этот факт, (7.18) и оценки (6.8), (6.9), получаем неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \| v'\|_{L_1 (0, T; V^{-1})} &\leqslant M (1+ \|w\|_{ L_2 (0, T; V^{-1})}+|v^0|_0)^2 \nonumber \\ &\leqslant M (1+ \| f \|_{ L_2 (0, T; V^{-1})}+|v^0|_0)^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.19}
$$
Из (7.19) и неравенств (6.8), (6.9) вытекает, что $v\in W_1(0,T)$. Следовательно, в силу (5.1) $v$ является слабым решением задачи (3.6)–(3.9). Теорема 3 доказана. § 8. Доказательство утверждения 1Из (3.3) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, I_t^{a_m}D_t^{a_m}\sigma=\sigma,\qquad I_t^{a_m}D_t^{a_m}\mathcal{E}(v)=\mathcal{E}(v),\qquad I_t^{a_m}D_t^{a_k}\sigma=I_t^{a_m-a_k}\sigma, \\ I_t^{a_m}D_t^{b_k}\mathcal{E}(v)=I_t^{a_m-b_k}\mathcal{E}(v). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
Применяя к (3.1) оператор $I_t^{a_m}$ и используя (3.3)–(8.1), получаем
$$
\begin{equation}
\sigma={\mu_0}\mathcal{E}(v)+ p_m^{-1}\sum_{k=0}^{m-1}q_kI_t^{a_m-b_k} \mathcal{E}(v) - p_m^{-1}\sum_{k=0}^{m-1}p_kI_t^{a_m-a_k}\sigma.
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
Здесь $\mu_0=p_m^{-1}q_m$, $p_0=1$, $a_0=0$, $q_0=\nu$, $b_0=0$. Обозначим
$$
\begin{equation}
F= {\mu_0}\mathcal{E}(v)+ p_m^{-1}\sum_{k=0}^{m-1}q_kI_t^{a_m-b_k} \mathcal{E}(v),\qquad K(\sigma)=-p_m^{-1}\sum_{k=1}^{m-1}p_kI_t^{a_m-a_k}\sigma.
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
Тогда (8.2) перепишется в виде Рассмотрим сначала уравнение (8.4) относительно $\sigma$ в $L_2(0,T;L_2(\Omega)^{N\times N})$ и установим его разрешимость.
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K(\sigma) &= \int_0^t \biggl(-p_m^{-1}\sum_{k=0}^{m-1}p_k\Gamma^{-1}(a_m-a_k)(t-s)^{a_m-a_k-1}\biggr)\sigma(s)\,ds \nonumber \\ &=\int_0^t\biggl(-p_m^{-1}\sum_{k=0}^{m-1}p_k\Gamma^{-1}(t-s)^{a_{m-1}-a_k}\biggr) (t-s)^{a_m-a_{m-1}-1}\sigma(s)\,ds. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.5}
$$
Полагая
$$
\begin{equation}
G_0(t-s)=- p_m^{-1}\sum_{k=0}^{m-1}p_k\Gamma^{-1}(t-s)^{a_{m-1}-a_k},
\end{equation}
\tag{8.6}
$$
получаем, что оператор $K$ имеет вид
$$
\begin{equation}
K(\sigma)=\int_0^tG_0(t-s)(t-s)^{\gamma_0-1}\sigma(s)\,ds,\qquad \gamma_0=a_m-a_{m-1}.
\end{equation}
\tag{8.7}
$$
Здесь $G_0(z)$ – непрерывная на $[0,T]$ функция, а $\gamma_0\in (0,2)$. Таким образом, $K$ является оператором вольтерровского типа с ядром, имеющим слабую особенность при $\gamma_0\in (0,1)$. Установим обратимость в $L_2(0,T;L_2(\Omega)^{N\times N})$ оператора $I-K$. Пусть $\overline{y}=y\exp(-kt)$, где $k>0$, $y$ – произвольная функция из пространства $L_2(0,T;L_2(\Omega)^{N\times N})$. Определим оператор $\overline K$ как
$$
\begin{equation}
\overline{K}\overline{\sigma}=\int_0^t\exp(k(s-t))G_0(t-s)(t-s)^{\gamma_0-1} \overline{\sigma}(s)\,ds.
\end{equation}
\tag{8.8}
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\overline{K}\overline{\sigma}| &\leqslant M_0\int_0^t\exp(k(s-t))(t-s)^{\gamma_0-1}|\overline{\sigma}(s)|\,ds \nonumber \\ &=M_0\int_0^t\exp(-k\tau)\tau^{\gamma_0-1}|\overline{\sigma}(t-\tau)|\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.9}
$$
Используя (8.9) и интегральное неравенство Минковского, нетрудно показать, что справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\overline{K}\overline{\sigma}\|_{L_2(0,T;L_2(\Omega)^{N\times N})} &\leqslant M_0\int_0^{+\infty}\exp(-k\tau)\tau^{\gamma_0-1}\,d\tau\, \|\overline{\sigma}\|_{L_2(0,T;L_2(\Omega)^{N\times N})} \nonumber \\ &=M_0k^{-\gamma_0}\int_0^{+\infty}\exp(-s)s^{\gamma_0-1}\,ds\, \|\overline{\sigma}\|_{L_2(0,T;L_2(\Omega)^{N\times N})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.10}
$$
Напомним, что $\|\,{\cdot}\,\|_0$ обозначает норму в $L_2(0,T;L_2(\Omega)^{N\times N})$. Пользуясь (8.8) и выбирая $k$ достаточно большим, получаем
$$
\begin{equation}
\|\overline{K}\overline{\sigma}\|_{L_2(0,T;L_2(\Omega)^{N\times N})}\leqslant \overline q\|\overline{\sigma}\|_{L_2(0,T;L_2(\Omega)^{N\times N})},
\end{equation}
\tag{8.11}
$$
где $0<\overline q<1$. Введем в $L_2(0,T;L_2(\Omega)^{N\times N})$ эквивалентную норму $]y[=\|\overline{y}\|_{L_2(0,T;L_2(\Omega)^{N\times N})}$, $\overline{y}=y\exp(-kt)$. Перепишем неравенство (8.11) в виде Из (8.12) вытекает, что оператор $(I-K)$ имеет ограниченный обратный $(I- K)^{-1}=\sum_{l=0}^{+\infty}K^l$, где сходимость понимается в смысле операторной нормы, индуцированной нормой $]\,{\cdot}\,[$.Из эквивалентности $]\,{\cdot}\,[$ и $\|\,{\cdot}\,\|_{L_2(0,T;L_2(\Omega)^{N\times N})}$ норм вытекает обратимость $(I- K)$ и ограниченность оператора $(I-K)^{-1}$ в $L_2(0,T;L_2(\Omega)^{N\times N})$. Отсюда следует, что уравнение (8.4) однозначно разрешимо, и его решение имеет вид $\sigma=(I-K)^{-1}F$. Пользуясь явным видом $F$ из (8.3), перепишем это решение в виде
$$
\begin{equation}
\sigma=F+\sum_{l=1}^{+\infty}K^l(F)=\mu_0\mathcal{E}(v)+ \mathcal{Z}(\mathcal{E}(v)),
\end{equation}
\tag{8.13}
$$
где $\mathcal{Z}(\mathcal{E}(v))=Z_1(\mathcal{E}(v))+Z_2(\mathcal{E}(v))+Z_3(\mathcal{E}(v))$, а
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Z_1(\mathcal{E}(v)) &=p_m^{-1}q_{m-1}I_t^{a_m-b_{m-1}} \mathcal{E}(v), \qquad Z_2(\mathcal{E}(v)) =\mu_0K^1(\mathcal{E}(v)), \\ Z_3(\mathcal{E}(v)) &=p_m^{-1}\sum_{k=0}^{m-2}q_kI_t^{a_m-b_k} \mathcal{E}(v)+\sum_{l=2}^{+\infty}\mu_0K^l(\mathcal{E}(v)) \\ &\qquad+ p_m^{-1}\sum_{l=1}^{+\infty}\sum_{k=0}^{m-1}q_k K^l (I_t^{a_m-b_k} (\mathcal{E}(v)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.14}
$$
Из (3.2) и (8.7) следует, что ядра $\overline G_1(t-s)$ и $\overline G_2(t-s)$ интегральных операторов, порожденных слагаемыми $Z_1$ и $Z_2$, удовлетворяют неравенствам
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |\overline G_1(t-s)|\leqslant M(t-s)^{\gamma},\qquad |\overline G_2(t-s)|\leqslant M(t-s)^{\gamma_0}, \\ \gamma =a_m-b_{m-1},\qquad \gamma_0= a_m-a_{m-1}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.15}
$$
Перейдем к $Z_3$. Рассмотрим операторы $R_i(y)=\int_0^tQ_i(t-s)y(s)\,ds$, $i=1,2$, где $|Q_i(t-s)|\leqslant M_i(t-s)^{-\alpha_i}$, $\alpha_i<1$. Нетрудно показать, что суперпозиция $R_3=R_1R_2$ операторов $R_1$, $R_2$ имеет вид $R_3(y)=\int_0^tQ_3(t-s)y(s)\,ds$, $|Q_3(t-s)|\leqslant M_3(t-s)^{1-\alpha_1-\alpha_2}$. Отсюда и из (8.7) вытекает, что ядра $G_r(t-s)$ операторов $K^r$, $r=2,3,\dots$, удовлетворяют неравенству $|G_r(t-s)|\leqslant M_r(t-s)^{r\gamma_0-1}$. Тогда при $r$, больших некоторого $r_0>0$, ядра операторов $K^r$ будут ограниченными, а наибольший порядок сингулярности среди операторов $K^r$ будет при $r=1$. Отметим, что при $\gamma_0\in [1,2)$, $\gamma_0=a_m-a_{m-1}$, ядро оператора $K$ ограничено. Из тех же формул (3.2), (8.7) и вышеприведенных рассуждений следует, что оператор $\mathcal{Z}$ является интегральным оператором вольтерровского типа и имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathcal{Z}(\mathcal{E}(v))=\int_0^tG_1(t-s) \mathcal{E}(v) (s)\,ds,
\end{equation}
\tag{8.16}
$$
где $G_1(t)$ удовлетворяет оценке
$$
\begin{equation}
|G_1(t-s)|\leqslant M(t-s)^{\gamma_1-1},\qquad 0\leqslant s \leqslant T,\quad \gamma_1=\min (\gamma, \gamma_0).
\end{equation}
\tag{8.17}
$$
$$
\begin{equation}
\sigma=\mu_0\mathcal{E}(v)+ \int_0^tG(t-s)\mathcal{E}(v) (s)\,ds,
\end{equation}
\tag{8.18}
$$
где ядро $G(t-s)$ удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation}
|G(t-s)|\leqslant M (t-s)^{\gamma_1-1},\qquad 0\leqslant s \leqslant t,\quad \gamma_1=a_m-b_{m-1}.
\end{equation}
\tag{8.19}
$$
Утверждение 1 доказано. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZvyOrl24} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|