|
Дискретные симметрии уравнений динамики с полиномиальными интегралами высших степеней
В. В. Козлов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Аннотация:
Рассматриваются системы с торическим конфигурационным пространством и кинетической энергией в виде “плоской” римановой метрики на торе. Потенциальная энергия $V$ – гладкая функция на конфигурационном торе. Динамика таких систем описывается “натуральными” гамильтоновыми системами дифференциальных уравнений. Если заменить $V$ на $\varepsilon V$, где $\varepsilon$ – малый параметр, то исследование таких гамильтоновых систем при малых значениях $\varepsilon$ относится к “основной проблеме динамики” по Пуанкаре. Обсуждается известная гипотеза об однозначных полиномиальных по импульсам интегралах уравнений движения: если имеется полиномиальный по импульсам интеграл степени $m$, то обязательно найдется линейный или квадратичный по импульсам первый интеграл. Эта гипотеза полностью доказана для $m=3$ и $m=4$. Обсуждаются случаи “высших” степеней, когда $m=5$ и $m=6$. Следуя теории возмущений гамильтоновых систем, вводятся резонансные прямые на плоскости импульсов. Если система допускает полиномиальный интеграл, то число этих прямых конечно. Найдены симметрии множества резонансных прямых, что дает, в частности, необходимые условия интегрируемости. Получены некоторые новые критерии существования однозначных полиномиальных интегралов.
Библиография: 11 наименований.
Ключевые слова:
конфигурационный тор, гамильтонова система, спектр, резонансные прямые, полиномиальные интегралы.
Поступило в редакцию: 13.05.2022
Образец цитирования:
В. В. Козлов, “Дискретные симметрии уравнений динамики с полиномиальными интегралами высших степеней”, Изв. РАН. Сер. матем., 87:5 (2023), 124–139; Izv. Math., 87:5 (2023), 972–986
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/im9378https://doi.org/10.4213/im9378 https://www.mathnet.ru/rus/im/v87/i5/p124
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 398 | PDF русской версии: | 5 | PDF английской версии: | 35 | HTML русской версии: | 63 | HTML английской версии: | 126 | Список литературы: | 83 | Первая страница: | 19 |
|