| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Дискретные симметрии уравнений динамики с полиномиальными интегралами высших степеней В. В. Козлов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9378e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеОсновной объект настоящей заметки – гамильтонова система
$$
\begin{equation}
\dot{x}_k=\frac{\partial H}{\partial y_k},\quad \dot{y}_k=-\frac{\partial H}{\partial x_k},\qquad k=1,2,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
с функцией Гамильтона
$$
\begin{equation}
H=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^2 a_{ij} y_i y_j+V(x_1,x_2).
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Постоянная матрица $\|a_{ij}\|$ положительно определена и задает кинетическую энергию системы, а $V$ – гладкая $2\pi$-периодическая функция от $x_1$, $x_2$ – ее потенциальная энергия. Двумерный тор $\mathbb{T}^2=\{x_1,x_2\,\operatorname{mod} 2\pi\}$ будет конфигурационным пространством. Кинетическая энергия (определяющая внутреннюю метрику) задает скалярное произведение Речь пойдет об условиях существования “однозначных” первых интегралов $\Phi(x,y)$ гамильтоновой системы (1.1), (1.2), которые функционально независимы от интеграла энергии $H$ и являются многочленом по импульсам $y_1$, $y_2$ с гладкими и $2\pi$-периодическими по $x_1$, $x_2$ коэффициентами. Известна следующая гипотеза: если уравнения Гамильтона (1.1) с гамильтонианом (1.2) допускают дополнительный полиномиальный интеграл, то имеется полиномиальный по импульсам интеграл степени $\leqslant 2$. Эта гипотеза, по-видимому, впервые сформулирована в работах [1], [2]. В [1] рассматривалась “стандартная” метрика (когда $a_{ij}=\delta_{ij}$), а в [2] изучались системы с произвольной метрикой. Эту гипотезу можно переформулировать во вполне определенном конструктивном виде. Пусть есть ряд Фурье потенциальной энергии. Множество назовем спектром потенциальной энергии. Так как $V$ – вещественная функция, то $\mathfrak{M}$ переходит в себя при инволюции $m \mapsto -m$. По-видимому, дополнительный полиномиальный интеграл существует тогда и только тогда, когда спектр $\mathfrak{M}$ лежит на одной или двух прямых, проходящих через начало координат и пересекающихся под прямым углом (во внутренней метрике $\langle\,,\rangle$). Если спектр лежит на одной прямой, то имеется линейный по импульсам первый интеграл, а если на двух (ортогонально пересекающихся), то имеется дополнительный квадратичный интеграл. В первом случае интеграл будет нётеровым (обусловлен наличием группы симметрий), а во втором имеет место простое разделение переменных.Несмотря на простоту формулировки, эта гипотеза в полном объеме пока не доказана. Продвижения идут по двум путям – увеличение степени предполагаемого интеграла и усложнение структуры спектра. Эти два подхода имеют следующий общий момент: если система (1.1) допускает дополнительный полиномиальный интеграл степени $m$, то спектр потенциальной энергии лежит не более чем на $m$ различных прямых, проходящих через начало координат [2]. Гипотеза доказана для полиномиальных интегралов степени $m \leqslant 4$ и также для интегралов пятой степени в частном случае, когда матрица $\|a_{ij}\|$ единичная. Случаи $m=3$ и $m=4$ рассмотрены в полной общности в работах [3] и [4]. Им предшествовала работа М. Л. Бялого [1], в которой гипотеза была доказана для $m=3$ в предположении, что $a_{ij}=\delta_{ij}$, а также было показано, что при $m=4$ спектр $\mathfrak{M}$ лежит на четырех прямых, углы между которыми кратны $\pi/4$. При том же предположении в работе [5] рассмотрен случай $m=5$. Отметим еще один результат работы [3]: если рассматриваемая гамильтонова система имеет независимый от $H$ полиномиальный интеграл степени $m$ и спектр $\mathfrak{M}$ лежит ровно на $m$ прямых, то эти прямые образуют между собой углы
$$
\begin{equation*}
\frac{\pi}{m},\ \frac{2\pi}{m},\ \dots,\ \frac{(m-1)\pi}{m}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, пусть матрица $\|a_{ij}\|$ единичная. Так как $\operatorname{tg}(\pi/m)$ при целом $m \geqslant 3$ будет рациональным числом только при $m=4$, то (с учетом результата работы [4] об интегралах четвертой степени) в этом случае дополнительного интеграла не существует. Теперь упомянем известные результаты о связи между строением спектра $\mathfrak{M}$ и существованием дополнительного полиномиального интеграла. Во-первых, сформулированная выше гипотеза справедлива в случае конечности множества $\mathfrak{M}$ [2]. Кроме того, если спектр лежит всего на двух прямых, то эти прямые ортогональны, если дополнительный полиномиальный интеграл существует [2]. Наконец, гипотеза справедлива и в том случае, когда бесконечная часть спектра $\mathfrak{M}$ лежит на одной прямой (проходящей через начало координат) [6]. Цель настоящей заметки – дополнить эти результаты о структуре спектра интегрируемых гамильтоновых систем некоторыми новыми утверждениями. Ключевой момент связан с наличием дискретных симметрий спектра гамильтоновых систем (1.1), (1.2), допускающих полиномиальные интегралы. Основное внимание будет уделено случаям “высших” степеней, когда $m=5$ и $m=6$. Всюду дальше предполагается, что внутренняя метрика имеет “стандартный” вид (матрица $\|a_{ij}\|$ единичная). Общий случай евклидовой метрики требует отдельного рассмотрения. При этом предположении случай $m=5$ уже рассмотрен в работе [5]. Мы укажем другой путь к доказательству теоремы А. Е. Миронова. § 2. Две леммы о трех резонансахЗадача о дополнительных полиномиальных интегралах имеет прямое отношение к теории возмущений гамильтоновых систем и к теории Пуанкаре об условиях существования “однозначных” первых интегралов уравнений динамики. Действительно, введем малый параметр $\varepsilon>0$ с помощью подстановки
$$
\begin{equation}
t \mapsto \sqrt{\varepsilon}\,t,\qquad x \mapsto x,\qquad y \mapsto y\sqrt{\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
После этого уравнения Гамильтона (1.1) снова останутся гамильтоновыми, но только функция Гамильтона (1.2) станет равной
$$
\begin{equation}
H_\varepsilon=\frac{1}{2}\sum y_k^2+\varepsilon V(x).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Таким образом, потенциальная энергия $V$ играет роль “возмущающей” функции. При $\varepsilon=0$ имеем вполне интегрируемую гамильтонову систему, а переменные $y$, $x$ играют роль переменных действие–угол. Согласно Пуанкаре [7] изучение гамильтоновых систем с гамильтонианом (2.2) (в общем случае неинтегрируемых) относится к “основной проблеме динамики”. Пусть уравнения (1.1) допускают полиномиальный по импульсам интеграл степени $m$: где $\Phi_k$ – однородная форма по $y_1$, $y_2$ степени $k$. Легко показать, что в (2.3) суммы слагаемых четной и нечетной степеней также будут первыми интегралами системы (1.1). После подстановки (2.1) и умножения на $(\sqrt{\varepsilon}\,)^m$ интеграл $\Phi_m+\Phi_{m-2}+\Phi_{m-4}+\cdots$ станет равным Вообще, задача Пуанкаре об интегралах, аналитических по параметру $\varepsilon$, и задача о полиномиальных по импульсам первых интегралах эквивалентны (см. [2]).Соотношения
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{\partial H_0}{\partial y},k\biggr)=(y,k)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $k \in \mathbb{Z}^2 \setminus \{0\}$ и $k \in \mathfrak{M}$, называются резонансами. Соответствующая прямая называется резонансной. Она ортогональна прямой, проходящей через начало координат и через точку $k$ спектра $\mathfrak{M}$. Эта ортогональная прямая двойственна соответствующей резонансной прямой; назовем ее корезонансной. Как установил Пуанкаре (см. [7; гл. V]), функция $\Phi_m$ не зависит от $x_1$, $x_2$ и функции $\Phi_m$ и $H_0=(y_1^2+y_2^2)/2$ зависимы во всех точках резонансных прямых. Эти утверждения лежат в основе доказательства неинтегрируемости возмущенных гамильтоновых систем. В частности, если различных резонансных прямых бесконечно много, то уравнения Гамильтона вообще не допускают дополнительных полиномиальных интегралов, независимых от квадратичного интеграла энергии. Поэтому дальше предполагается, что число резонансных прямых конечно. Предположим теперь, что уравнения Гамильтона допускают дополнительный интеграл пятой степени. Оставим в стороне тривиальный случай, когда спектр $\mathfrak{M}$ лежит на одной прямой, и простой случай двух корезонансных прямых (тогда они ортогональны и уравнения допускают еще один интеграл, квадратичный по импульсам). Вообще, если имеется интеграл пятой степени, то спектр потенциальной энергии лежит не более чем на пяти прямых, проходящих через начало координат. Пусть $l_0$, $l_1$ и $l_2$ – три из них. Будем считать прямую $l_0$ “вертикальной”; пусть $\varphi_k\pmod{\pi}$ – углы, отсчитываемые от “горизонтали” до прямых $l_k$ при их вращении против часовой стрелки. В частности, $\varphi_0=\pi/2$. Если $z_k=\operatorname{tg}\varphi_k$ ($k=1,2$), то (как показано в [3]) выполнено одно из следующих условий:
$$
\begin{equation}
{\rm a)}\ z_1=-z_2;\qquad {\rm b)}\ 2z_1z_2+1=z_1^2\ \text{ либо }\ 2z_1z_2+1=z_2^2.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
В случае a) прямые $l_1$ и $l_2$ симметричны относительно $l_0$. Оказывается, в случае b) равенства (2.4) имеют аналогичный геометрический смысл. Лемма 1. Если уравнения Гамильтона допускают интеграл пятой степени, независимый от интеграла энергии, то из любых трех резонансных (корезонансных) прямых можно выбрать две, которые будут симметричны относительно третьей. Доказательство. Первое равенство из случая b) можно представить в виде $\varphi_2 \pm \pi/2=2\varphi_1$ (что было отмечено в [3]). Оно эквивалентно равенству Последнее означает, что $l_1$ является биссектрисой (одной из двух) угла между $l_0$ и $l_2$, или что $l_0$ и $l_2$ симметричны относительно прямой $l_1$. Аналогичный смысл имеет второе равенство. Лемма доказана. Лемма 2. Если уравнения Гамильтона допускают независимый от полной энергии интеграл шестой степени, то из любых трех резонансных (корезонансных) прямых либо найдутся две ортогональные, либо можно выбрать две, которые будут симметричны относительно третьей. Доказательство. Как показано в [3], в случае интеграла шестой степени к условиям (2.4) следует добавить два соотношения: $z_1z_2=0$ и $z_1z_2=-1$. Первое из них показывает, что одна из прямых $l_1$ или $l_2$ будет “горизонтальной”, а второе условие означает ортогональность прямых $l_1$ и $l_2$. Что и требовалось.
Итак, при наличии первых интегралов высших степеней любые три резонансные (корезонансные) прямые обладают следующим свойством: при отражении плоскости импульсов относительно одной из них либо одна из оставшихся резонансных прямых переходит в себя, либо оставшиеся резонансные прямые переходят друг в друга. Это совершенно неочевидное с самого начала свойство резонансных прямых (и спектра потенциальной энергии) указывает на скрытые дискретные симметрии в интегрируемых дифференциальных уравнениях Гамильтона. Данное обстоятельство будет использовано для классификации расположения остальных резонансных (корезонансных) прямых в случаях существования полиномиальных интегралов пятой и шестой степеней. Пусть имеются две прямые, проходящие через начало координат и содержащие другие точки стандартной решетки $\mathbb{Z}^2$ (например, две корезонансные прямые). Спрашивается, всегда ли биссектриса угла между ними также содержит точки решетки $\mathbb{Z}^2$, отличные от начала координат? В общем случае ответ отрицательный. Оказывается, возможность существования биссектрисы как корезонансной прямой тесно связана с пифагоровыми тройками. Действительно, пусть точки решетки с целыми координатами $(a_1,a_2)$ и $(b_1,b_2)$ лежат на прямых $l_1$ и $l_2$. Если $\varphi$ – угол между этими прямыми, то
$$
\begin{equation*}
\operatorname{tg}\varphi=\frac{b_2a_1-b_1a_2}{a_1b_1+a_2b_2}
\end{equation*}
\notag
$$
будет рациональным числом. Пусть это будет $\alpha=\alpha_1/\alpha_2$ ($\alpha_j$ – целые). Если биссектриса угла между $l_1$ и $l_2$ также проходит через точки из $\mathbb{Z}^2\setminus \{0\}$, то значение $\operatorname{tg}\varphi/2$ тоже должно быть рациональным. Ввиду известной тригонометрической формулы, $z=\operatorname{tg}\varphi/2$ удовлетворяет квадратному уравнению Следовательно, $\sqrt{1+\alpha^2}$ должно быть рациональным числом. Но тогда $\alpha_1^2+\alpha_2^2=\alpha_3^2$, где $\alpha_3$ целое.
Таким образом, $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$ образуют пифагоровы тройки целых чисел. Как известно, где $p$ и $q$ взаимно просты, $p>q$ и $p$, $q$ имеют противоположные четности. В итоге Следовательно, тангенс угла между корезонансными прямыми с биссектрисой в виде корезонансной прямой не может принимать произвольные рациональные значения.§ 3. Интегралы пятой степениТеорема 1. Пусть гамильтонова система имеет дополнительный интеграл пятой степени, независимый от интеграла энергии, и ее спектр лежит на четырех корезонансных прямых. Тогда имеется всего два случая их взаимного расположения: в первом из них углы между прямыми кратны $\pi/4$ (рис. 1), а во втором они кратны $\pi/5$ (рис. 2). Отметим, что случай расположения корезонансных прямых на рис. 1 самый сложный при доказательстве отсутствия неприводимых интегралов четвертой степени. Кроме того, поскольку кинетическая энергия имеет “стандартный” вид (матрица коэффициентов $\|a_{ij}\|$ единичная), то второй случай расположения корезонансных прямых (изображенный на рис. 2) на самом деле невозможен (поскольку $\operatorname{tg}(\pi/5)$ – иррациональное число). Доказательство теоремы 1. Пусть $l_1$, $l_2$ и $l_3$ – три корезонансные прямые, и $l_2$ – биссектриса угла между $l_1$ и $l_3$ (лемма 1). Как должна располагаться четвертая прямая $l_4$, чтобы каждый набор трех прямых из четырех $l_1$, $l_2$, $l_3$, $l_4$ удовлетворял заключению леммы 1? Надо рассмотреть несколько возможностей.
Предположим сначала, что $l_4$ расположена в углу между прямыми $l_2$ и $l_3$ (как показано на рис. 3). Случай расположения $l_4$ между $l_1$ и $l_2$ рассматривается аналогично. Рассмотрим три прямые $l_2$, $l_3$ и $l_4$. По лемме 1 одна из них – ось симметрии для двух остальных. Этой осью может быть только $l_4$. Действительно, пусть, например, $l_2$ – ось симметрии прямых $l_3$ и $l_4$. Но тогда угол между $l_2$ и $l_4$ (отсчитываемый против часовой стрелки) будет больше угла между $l_1$ и $l_2$. Чего, конечно, быть не может. Итак, $l_4$ – биссектриса угла между $l_2$ и $l_3$ (как показано на рис. 3). Теперь рассмотрим три прямые $l_1$, $l_2$ и $l_4$. Ясно, что $l_2$ не может быть осью симметрии (см. рис. 3). Если $l_1$ – ось симметрии, то $2\alpha=\pi-3\alpha$ и, следовательно, $\alpha=\pi/5$. Получаем конфигурацию четырех прямых, изображенную на рис. 2. Если же осью симметрии является прямая $l_4$, то $\alpha=\pi-3\alpha$ и $\alpha=\pi/4$. Но тогда прямые $l_1$ и $l_3$ совпадут, что невозможно. Осталось рассмотреть случай, когда $l_4$ лежит вне указанного выше угла между прямыми $l_2$ и $l_3$ (см. рис. 4). Легко показать, что тогда $l_3$ – биссектриса угла между $l_2$ и $l_4$. Возьмем теперь три прямые $l_1$, $l_2$ и $l_4$. Ясно, что $l_2$ не может быть осью симметрии $l_1$ и $l_4$. Если $l_1$ – ось симметрии $l_2$ и $l_4$, то $\alpha=\pi-3\alpha$ и, следовательно, $\alpha=\pi/4$. Получаем конфигурацию четырех прямых из теоремы 1, изображенную на рис. 1. Если $l_4$ – ось симметрии, то $\pi-3\alpha=2\alpha$ и поэтому $\alpha=\pi/5$. Этот случай уже рассмотрен; он отвечает конфигурации на рис. 2. Что доказывает теорему 1. Теорема 2. Пусть гамильтонова система имеет дополнительный полиномиальный интеграл пятой степени, и ее спектр лежит на пяти корезонансных прямых. Тогда эти прямые последовательно отстоят друг от друга на угол $\pi/5$. Это утверждение – частный случай общего результата о полиномиальных интегралах $m$-й степени гамильтоновой системы, спектр которой расположен ровно на $m$ корезонансных прямых [3]. Доказательство этого результата в [3] чисто аналитическое, основанное на свойствах биномиальных коэффициентов. Наша цель – вывести теорему 2 только из заключения леммы 1. Доказательство теоремы 2. Пусть спектр потенциальной энергии лежит на пяти прямых $l_1,\dots,l_5$, причем нумерация ведется от $l_1$ против часовой стрелки. Пусть $\varphi_{ij}$ – угол поворота (измеряемый от $0$ до $\pi$) от прямой $l_i$ до прямой $l_j$ против часовой стрелки. Рассмотрим наименьший из углов $\varphi_{ij}$; пусть, для определенности, это $\varphi_{1k}$. Тогда обязательно это будет $\varphi_{12}$, так как $\varphi_{12}<\cdots<\varphi_{15}$. Зафиксируем пару $l_1$ и $l_2$ и поймем, какие варианты возможны для расположения других прямых $l_3$, $l_4$ и $l_5$ так, чтобы тройка прямых $l_1$, $l_2$ и $l_i$ удовлетворяла заключению леммы 1. Возможные варианты для прямой $l_i$: либо прямая $l'_1$, симметричная $l_1$ относительно $l_2$, либо прямая $l'_2$, симметричная $l_2$ относительно $l_1$, либо биссектриса $l$ угла $\varphi_{21}$ (биссектрисой угла $\varphi_{12}$ она, очевидно, быть не может). Значит, $\{l_2,l_3,l_4\} \subset \{l'_1,l'_2,l\}$. Поэтому каждая из прямых $l'_1$, $l'_2$ и $l$ является некоторой $l_i$. Поскольку $\varphi_{23} \geqslant \varphi_{12}$ и угол от $l_2$ до $l'_1$ равен $\varphi_{12}$, то $l'_1=l_3$ и $\varphi_{23}=\varphi_{12}$. Далее, рассматривая угол $\varphi_{23}=\varphi_{12}$ как минимальный среди $\varphi_{ij}$, аналогично получим, что $\varphi_{34}=\varphi_{23}$. Продолжая эти рассуждения, в итоге получаем равенства $\varphi_{12}=\varphi_{23}=\varphi_{34}=\varphi_{45}=\varphi_{51}$. Что и требовалось.
§ 4. Интегралы шестой степениТеорема 3. Пусть гамильтонова система допускает дополнительный полиномиальный интеграл шестой степени, и ее спектр лежит на $n \leqslant 6$ различных корезонансных прямых. Тогда 1) при $n=4$ имеются четыре способа их взаимного расположения, изображенных на рис. 2 и 5–7;
2) при $n=5$ имеются два способа: в первом из них прямые отступают последовательно друг от друга на угол $\pi/5$, а конфигурация во втором случае показана на рис. 8; 3) при $n=6$ прямые последовательно отстоят друг от друга на угол $\pi/6$. На рис. 5 прямые $l_2$ и $l_4$ ортогональны, а $l_1$ и $l_3$ симметричны относительно прямой $l_2$ (и, конечно, $l_4$). Случай расположения из рис. 1, конечно, есть частный случай конфигурации, изображенной на рис. 5. Здесь представлено целое семейство конфигураций, которое естественным образом параметризуется множеством рациональных чисел: тангенс угла наклона симметричных прямых $l_1$ и $l_3$ к “горизонтали” $l_2$ может принимать любые рациональные значения. На рис. 6 прямые $l_1$, $l_3$ и $l_2$, $l_4$ ортогональны. С учетом предположения $\alpha_{ij}=\delta_{ij}$ из теоремы 3 сразу же вытекает следующее утверждение. Следствие. Если гамильтонова система допускает дополнительный полиномиальный интеграл шестой степени, то число резонансных (и корезонансных) прямых $\leqslant 4$. Заключения 1 и 2 теоремы 3 доказываются по той же схеме, что и теорема 1. Рассматриваются три прямые, которые удовлетворяют лемме 2: либо одна из них есть ось симметрии для двух других, либо найдутся среди них две ортогональные. Задача состоит в том, чтобы добавить еще одну прямую так, что любые три из этих четырех прямых снова будут удовлетворять заключению леммы 2. Как и в теореме 1, появляется конфигурация, изображенная на рис. 2. Конфигурация из рис. 5 (обобщающая изображенную на рис. 1) получается добавлением прямой $l_4$, ортогональной биссектрисе $l_2$. На рис. 6 прямые $l_1 {\bot}\, l_3$ и добавляется прямая, ортогональная $l_2$. Конфигурация из рис. 7 получается добавлением корезонансной прямой, ортогональной не биссектрисе. Наконец, на рис. 8 изображена картина взаимного расположения прямых, которая получается из самой “симметричной” конфигурации из шести прямых, отстоящих друг от друга на угол $\pi/6$. Других конфигураций нет. Это доказывается элементарным (но несколько громоздким) перебором всех возможных случаев выполнения заключения леммы 2, который мы опускаем. Следуя общей идее доказательства теоремы 2, докажем заключение 3. Пусть спектр $\mathfrak{M}$ лежит на шести прямых $l_1,\dots,l_6$, и пусть снова $\varphi_{ij}$ – угол поворота от прямой $l_i$ до прямой $l_j$ против часовой стрелки. Без ограничения для общности будем считать, что $\varphi_{12}$ – наименьший из углов $\{\varphi_{ij}\}$. Зафиксируем пару прямых $l_1$, $l_2$ и поймем, какие варианты возможны для остальных прямых $l_i$, $3 \leqslant i \leqslant 6$, чтобы тройка $l_1$, $l_2$ и $l_i$ удовлетворяла заключению леммы 2. Возможны пять вариантов: это либо прямая $l_1^\bot$, ортогональная $l_1$, либо прямая $l_2^\bot$, ортогональная $l_2$, либо прямая $l'_1$, симметричная $l_1$ относительно $l_2$, либо $l'_2$, симметричная $l_2$ относительно $l_1$, либо биссектриса $l$ угла $\varphi_{21}$ (биссектрисой угла $\varphi_{12}$ она быть не может). Значит, $\{l_2,l_3,l_4,l_5\} \subset \{l_1^\bot,l_2^\bot,l'_1,l'_2,l\}$. Заметим, что одновременно $l_1^\bot$ и $l$ не могут быть $l_i$, поскольку угол от $l_1^\bot$ до $l$ меньше $\varphi_{12}$. Точно также $l_2^\bot$ и $l$ не могут быть $l_i$ одновременно, так как угол от $l$ до $l_2^\bot$ меньше $\varphi_{12}$. Таким образом, однозначно получаем совпадение множеств прямых $\{l_2,l_3,l_4,l_5\}$ и $\{l_1^\bot,l_2^\bot,l'_1,l'_2\}$. Так как $\varphi_{23} \geqslant \varphi_{12}$ и угол от $l_2$ до $l'_1$ равен $\varphi_{12}$, то $l'_1=l_3$ и $\varphi_{23}=\varphi_{12}$. Далее, рассматривая $\varphi_{23}=\varphi_{12}$ как минимальный угол среди остальных $\varphi_{ij}$, получим аналогично, что $\varphi_{34}=\varphi_{23}$. Продолжая эти рассуждения, в итоге получаем равенства $\varphi_{12}=\varphi_{23}=\varphi_{34}=\varphi_{45}=\varphi_{51}$, доказывающие заключение 3. § 5. Условия неинтегрируемостиПредположим, что спектр $\mathfrak{M}$ лежит на конечном числе прямых, проходящих через начало координат. Это – необходимое условие существования дополнительного интеграла, полиномиального по импульсам. Следуя [2], введем спектральное множество $\mathfrak{M}'$ “второго порядка” (во втором порядке теории возмущений гамильтоновых систем). Положим
$$
\begin{equation}
v'_k=\sum_{\tau+\sigma=k}\frac{(\tau_1\sigma_1+\tau_2\sigma_2)v_\tau v_\sigma} {(\tau_2\sigma_1-\tau_1\sigma_2)^2}.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Здесь $k$, $\sigma=(\sigma_1,\sigma_2)$, $\tau=(\tau_1,\tau_2)$ – векторы из $\mathbb{Z}^2$, причем $k \ne 0$ и $\sigma$, $\tau$ неколлинеарны. Ясно, что векторы $\tau$ и $\sigma$ следует брать из множества $\mathfrak{M}$, иначе они не дают никакого вклада в сумму (5.1). Так как (по предположению) количество корезонансных прямых конечно, то сумма (5.1) также конечна. Положим теперь
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{M}'=\{k \in\mathbb{Z}^2\colon v'_k \ne 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3. Если множество точек $\mathfrak{M}' \subset \mathbb{Z}^2\setminus \{0\}$ лежит на бесконечном числе прямых, проходящих через начало координат, то гамильтонова система вообще не допускает полиномиальных по импульсам первых интегралов, независимых от полной энергии. Это утверждение доказано в [2] с помощью теории возмущений. Правда, в [2] формулировка соответствующего утверждения незначительно отличается от леммы 3; читателю не составит труда проверить их эквивалентность. Отметим еще, что формула (5.1) указана в предположении о единичности матрицы $\|a_{ij}\|$. Заметим, что если множество $\mathfrak{M}$ конечно (т. е. $V$ – тригонометрический многочлен), то $\mathfrak{M}'$ также будет конечным множеством, и поэтому лемма 3 не применима. Доказательство гипотезы из § 1 в этом случае требует введения и анализа спектральных множеств во всех порядках теории возмущений (см. [2]). В качестве приложения леммы 3 укажем достаточное условие неинтегрируемости при трех резонансах. Теорема 4. Предположим, что спектр $\mathfrak{M}$ лежит на трех прямых, проходящих через начало координат, и на одной из них имеется лишь конечное число точек спектра. Тогда гамильтонова система не допускает дополнительных полиномиальных интегралов. Доказательство. Если на каждой корезонансной прямой имеется конечное число точек из $\mathfrak{M}$, то заключение теоремы вытекает из [2]. Если бесконечная часть спектра лежит лишь на одной прямой, то неинтегрируемость гамильтоновой системы вытекает из общего результата работы [6]. Нам осталось рассмотреть случай, когда две прямые (скажем, $l_1$ и $l_2$) содержат бесконечные множества точек из $\mathfrak{M}$, а на третьей прямой $l_3$ их число конечно.
Сначала покажем, что в предположении существования нетривиального полиномиального интеграла прямые $l_1$ и $l_2$ ортогональны. Действительно, пусть точки $\sigma$ и $\tau$ решетки принадлежат $l_1$ и $l_2$ соответственно. Если $|\sigma|$ и $|\tau|$ достаточно большие, то $k=\sigma+\tau \in \mathfrak{M}'$ (поскольку в формуле (5.1) не участвуют точки решетки, лежащие на $l_3$), если, конечно, прямые $l_1$ и $l_2$ не ортогональны (поскольку тогда $v'_k \ne 0$). Следовательно, число корезонансных прямых второго порядка теории возмущений бесконечно и согласно лемме 3 гамильтонова система будет неинтегрируемой. Но это противоречит сделанному предположению. Пусть теперь точка $m$ из $l_3 \cap \mathfrak{M}$ лежит на максимально возможном расстоянии от начала координат (так как $-m \in \mathfrak{M}$, то таких точек две; возьмем любую из них). Рассмотрим точки $k=m+\sigma$, где $\sigma \in l_1 \cap \mathfrak{M}$. Так как $l_1 \mathbin{\bot} l_2$ и $m$ – самая удаленная точка спектра из лежащих на прямой $l_3$, то при достаточно больших $|\sigma|$ в сумме (5.1) присутствует лишь одно ненулевое слагаемое. Поэтому $m+\sigma \in \mathfrak{M}'$ и неинтегрируемость снова вытекает из заключения леммы 3. Замечание. Более обще, если бесконечная часть спектра $\mathfrak{M}$ лежит всего на двух прямых, то эти прямые ортогональны. § 6. Условия интегрируемости при трех резонансахВ этом параграфе обсуждаются условия неинтегрируемости гамильтоновых систем при наличии трех корезонансных прямых, удовлетворяющих леммам 1 и 2 из § 2. Теорема 5. Пусть имеются три корезонансные прямые, причем две из них ортогональны. Тогда гамильтонова система не допускает дополнительных полиномиальных интегралов. Доказательство. Пусть $l_1$, $l_2$ и $l_3$ – корезонансные прямые и $l_1 \mathbin{\bot} l_3$. Пусть $e_j$ – примитивный вектор подрешетки $l_j \cap \mathbb{Z}^2$; он определяет точку решетки на $l_j$, которая ближе всего к началу координат (таких точек, очевидно, две; $e_j$ отвечает одной из них).
Зафиксируем одну из точек $\sigma=me_1$ ($m \in \mathbb{N}$) спектра $\mathfrak{M}$ (из точек решетки на $l_1$). Рассмотрим точки решетки $\mathbb{Z}^2$, которые задаются векторами Будем считать, что число точек спектра $\mathfrak{M}$ на прямой $l_2$ бесконечно; в противном случае неинтегрируемость гамильтоновой системы вытекает из теоремы 4. Нам надо показать, что среди чисел $v'_k$ (которые определяются суммой (5.1)) будет бесконечно много отличных от нуля. Тогда (по лемме 3) гамильтонова система будет неинтегрируемой. Сразу же отметим, что в сумме (5.1) имеется не более двух ненулевых слагаемых (поскольку $l_1 \bot l_3$).При определенном условии точка решетки (6.1) может оказаться также суммой точек решетки, лежащих на прямых $l_2$ и $l_3$. Это условие сводится к равенству которое должно выполняться при некоторых целых $l$ и $n_1$. Оно эквивалентно равенству в котором коэффициенты справа – фиксированные рациональные числа. Следовательно, целое $l$ и разность $n-n_1$ определяются однозначно.Надо рассмотреть два случая. В первом из них равенство (6.2) не может выполняться при некотором целом $n$ (тогда таких значений $n$ бесконечно много). Мы предположили, что $me_1 \in \mathfrak{M}$. Если $ne_2$ также принадлежит спектру $\mathfrak{M}$, то (по формуле (5.1)) $k \in \mathfrak{M}'$. Следовательно, в этом случае прямая, проходящая через начало координат и точку (6.1), будет корезонансной прямой второго порядка. Второй случай предполагает выполнение равенства (6.2) при фиксированном $l$ и некотором $n_1$, которое отличается от $n$ на постоянную величину $a$ (как уже было сказано выше). Считаем снова, что $me_1$ и $ne_2$ принадлежат спектру $\mathfrak{M}$. Если $le_3 \notin \mathfrak{M}$, то мы имеем по существу уже разобранный случай: в сумме (5.1) имеется всего одно ненулевое слагаемое и поэтому $v'_k\neq0$. Если $le_3 \in \mathfrak{M}$, но $n_1e_2 \notin \mathfrak{M}$, то ситуация аналогична. Новая возможность возникает при условии, что $n_1e_2$ также принадлежит спектру $\mathfrak{M}$. При этом предположении равенство $v'_k=0$ принимает вид где ненулевая комплексная постоянная $\lambda$ не зависит от $n$. Мы опустили элементарные преобразования, приводящие к соотношению (6.3); явный вид $\lambda$ в дальнейшем не понадобится.Теперь делаем индуктивный шаг, заменяя в (6.1) $n$ на $n+1$. Рассуждая точно также, мы либо сразу же получаем еще одну корезонансную прямую второго порядка, либо получаем еще одно соотношение (6.3), в котором $n$ заменено на $n+1$. В итоге мы либо получаем бесконечно много различных корезонансых прямых второго порядка (и тогда неинтегрируемость гамильтоновой системы вытекает из леммы 3), либо имеем бесконечную цепочку равенств (6.3), справедливых при $|n| \geqslant n_0$. Если $|\lambda| \geqslant 1$, то, очевидно, отношение не стремится к нулю при $n\to+\infty$. Но это невозможно ввиду предположения о гладкости потенциальной энергии. Если же $|\lambda| < 1$, то $|\lambda^{-1}| > 1$ и поэтому отношение (6.4) не может быть ограниченным при $n\to-\infty$, а это не так. Таким образом, теорема полностью доказана.Случай, когда одна из корезонансных прямых является осью симметрии для двух других прямых, более сложный. Здесь пока не удается в полном объеме доказать отсутствие дополнительных полиномиальных интегралов. Мы рассмотрим частный случай этой задачи, который позволит уяснить возникающие трудности. Предположим, что примитивные векторы решетки, определяющие направления корезонансных прямых $l_1$ и $l_3$, имеют следующие компоненты: ($p$ и $q$ – взаимно простые целые числа). Точка с координатами $(p,0)$, лежащая на оси симметрии $l_2$, принадлежит решетке. В частности, решетке принадлежат и все точки $(rp,0)$, $r \in \mathbb{Z}$.Теорема 6. Пусть в указанных предположениях среди точек решетки $(rp,0)$, $r$ нечетно, есть хотя бы одна точка спектра потенциальной энергии $\mathfrak{M}$. Тогда гамильтонова система не допускает дополнительных полиномиальных первых интегралов. Для доказательства рассмотрим точки решетки $m$ фиксировано и $(rp,0) \in \mathfrak{M}$. Справа стоит сумма двух векторов; они определяют точки на прямых $l_1$ и $l_2$.Аналогично имеем Справа стоит сумма векторов, определяющих точки решетки на прямых $l_3$ и $l_2$.Покажем, что при суммировании векторов, параллельным прямым $l_1$ и $l_3$, нельзя получить точки (6.5). Действительно, пусть с целыми $k$, $s$. Поскольку $p,q \ne 0$, то Откуда $r=2s$, что противоречит предположению теоремы о нечетности $r$.Теперь можно воспользоваться леммой 3. Предположим, что гамильтонова система имеет дополнительный полиномиальный по импульсам первый интеграл. Потенциальная энергия $V$ есть сумма трех периодических функций $f$, $g$ и $h$, где
$$
\begin{equation*}
f=\sum f_ne^{in(px_1+qx_2)},\quad g=\sum g_ne^{in(px_1-qx_2)},\quad h=\sum h_ne^{inx_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Равенство нулю суммы (5.1) приводит к следующему соотношению на коэффициенты Фурье: При выводе этой формулы были учтены соотношения (6.5) и (6.6). Согласно лемме 3 и предположению о наличии дополнительного интеграла, равенство (6.7) должно выполняться при всех $|n| \geqslant n_0$. Используем тот факт, что $l_2$ – биссектриса угла между прямыми $l_1$ и $l_3$. Рассматривая точки решетки получаем формулу, аналогичную (6.7): Перемножая соотношения (6.7) и (6.8), получим следующее соотношение:
$$
\begin{equation}
|f_ng_n|\,\biggl|\frac{h_{rp}}{r}\biggr|=|f_{-n}g_{-n}|\, \biggl|\frac{h_{(2n+r)p}}{2n+r}\biggr|.
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
Поскольку потенциальная энергия – вещественная функция, то $f_{-n}=\overline{f}_n$, $g_{-n}=\overline{g}_n$ и, следовательно, Пусть $n \geqslant n_0$ и $f_n \ne 0$. Таких целых $n$ бесконечно много. Иначе функция $f$ будет тригонометрическим многочленом, и справедливость теоремы вытекает из теоремы 4. Если для этих значений $n$ (кроме, быть может, конечного числа) $g_n=0$, то равенство (6.7) несправедливо (поскольку $h_{rp} \ne 0$ согласно предположению теоремы). И поэтому неинтегрируемость гамильтоновой системы вытекает из заключения леммы 3. Итак, нам осталось рассмотреть возможность, когда для бесконечного числа целых $n$ имеем неравенство $f_ng_n \ne 0$. Но тогда из (6.9) (с учетом (6.10)) вытекает, что для бесконечного числа индексов
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{h_{(2n+r)p}}{2n+r}\biggr|=\biggl|\frac{f_{rp}}{r}\biggr|= {\rm const} \ne 0.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, отношение $h_{(2n+r)p/(2n+r)}$ не стремится к нулю, когда $|n| \to \infty$. Однако это противоречит свойству гладкости периодической функции $h$. Теорема доказана. § 7. Замечания и задачи$1^\circ$. Дополнительный интеграл пятой степени может существовать лишь в двух случаях: a) когда имеются три корезонансные прямые и одна из них – ось симметрии для двух других; b) когда имеются четыре корезонансные прямые и они расположены так, как показано на рис. 1. Случай b), по-видимому, более простой: в [8] получено доказательство отсутствия нетривиальных полиномиальных интегралов при дополнительном предположении о вещественности всех коэффициентов Фурье потенциальной энергии. Идея доказательства также основана на применении леммы 3. Не исключено, что дополнительное предположение о вещественности коэффициентов носит технический характер, и его можно преодолеть с помощью тех же идей. Было бы желательным дать доказательство теоремы 6 в общем случае без дополнительных предположений. Если эти вопросы удастся прояснить до конца, то мы получим другое доказательство теоремы А. Е. Миронова [5], основанное на иных идеях. $2^\circ$. Что касается условий существования интегралов шестой степени, то кроме случая a) из п. $1^\circ$, здесь имеются еще две возможности, когда четыре корезонансные прямые расположены так, как показано на рис. 5 и 6. $3^\circ$. По-видимому, задача о существовании нетривиальных полиномиальных интегралов степени $\geqslant 7$ также связана с анализом случаев, когда имеются всего три или четыре корезонансных прямых. $4^\circ$. Ситуация существенно усложняется, когда матрица кинетической энергии $\|a_{ij}\|$ уже не является единичной. Представление о возникающих здесь трудностях дает задача о существовании интегралов третьей и четвертой степеней в общем случае, рассмотренная в [3], [4]. $5^\circ$. Представляет также интерес задача о полиномиальных интегралах гамильтоновой системы (1.1) с гамильтонианом (1.2), в котором кинетическая энергия представляет невырожденную квадратичную форму с сигнатурой $+-$ (псевдоевклидова метрика). Первые результаты в этом направлении получены в работе [2]. В качестве примера рассмотрим систему в непотенциальном силовом поле
$$
\begin{equation}
\ddot{x}_1=\frac{\partial W}{\partial x_2},\qquad \ddot{x}_2=\frac{\partial W}{\partial x_1},
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
где $W$ – гладкая функция на двумерном торе $\mathbb{T}^2=\{x_1,x_2\mod 2\pi\}$. Эта система фигурирует в трактате Аппеля [9]. Уравнения (7.1) допускают квадратичный интеграл
$$
\begin{equation}
H=y_1y_2-W(x_1,x_2),\quad\text{где}\quad y_1=\dot{x}_2,\quad y_2=\dot{x}_1.
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
Легко проверить, что уравнения (7.1) эквивалентны гамильтоновой системе
$$
\begin{equation}
\dot{x}_k=\frac{\partial H}{\partial y_k},\quad \dot{y}_k=-\frac{\partial H}{\partial x_k},\qquad k=1,2.
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
В этом примере “кинетическая энергия” определяется как раз псевдоевклидовой метрикой. Отметим еще, что гамильтонова система (7.3) с гамильтонианом (7.2) изучалась в работе Драша [10] с точки зрения поиска первых интегралов третьей степени по импульсам. Исправленную версию списка интегрируемых случаев системы Драша можно найти в [11]. Среди них нет систем с периодической потенциальной энергией $W$. Автор дружески благодарит П. А. Кожевникова за обсуждение затронутых в статье вопросов комбинаторной геометрии. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Koz23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|