Н. А. Тюрин, “Специальная геометрия Бора–Зоммерфельда: вариации”, Изв. РАН. Сер. матем., 87:3 (2023), 184–205; Izv. Math., 87:3 (2023), 595

Аннотация: Продолжаются исследования специальной геометрии Бора–Зоммерфельда компактных симплектических многообразий. Используя естественные параметры деформации, мы обходим трудности, возникшие при определении многообразия модулей специальных циклов Бора–Зоммерфельда для компактных односвязных алгебраических многообразий. В качестве приложения представлены замечания о том, как предложенные конструкции могут быть использованы в исследованиях структур Вейнстейна и гипотез Элиашберга.
Библиография: 8 наименований.

Введение

Напомним основные конструкции специальной геометрии Бора–Зоммерфельда компактных симплектических многообразий (детали см. в [1]–[4]).

Пусть $(M, \omega)$ – компактное односвязное симплектическое многообразие размерности $2n$, такое что симплектическая форма $\omega$ целочисленна, т. е. ее класс когомологий целочисленный. Рассмотрим соответствующее комплексное линейное расслоение $L \to M$, так что $c_1(L)=[\omega]$, снабженное эрмитовой структурой $h$, при этом соответствующее пространство эрмитовых связностей $\mathcal{A}_h(L)$ содержит подмножество $\mathcal{O}(\omega)$, состоящее из решений уравнения $F_a=2 \pi i \omega$ (в односвязном случае множество $\mathcal{O}(\omega)$ является орбитой по действию калибровочной группы). Выберем некоторый элемент $a \in \mathcal{O}(\omega)$ и составим пару предквантования $(L, a)$, выполняющую ключевую роль в геометрическом квантовании (ГК); из ГК-конструкций возьмем гильбертово пространство $\Gamma (M, L)$, состоящее из гладких сечений $L$, причем эрмитово скалярное произведение $\langle s_1, s_2\rangle =\int_M (s_1, s_2)_h \,d \mu_L$ порождается $h$ и формой Лиувилля $d \mu_L$.

Зафиксируем топологический тип $\operatorname{top} S$ гладкого ориентируемого $n$-мерного многообразия и класс средних гомологий $[S] \in H_n(M, \mathbb{Z})$ и получим соответствующее многообразие модулей $\mathcal{B}_S$ бор–зоммерфельдовых (БЗ) лагранжевых циклов фиксированного типа (см. [5]), являющееся бесконечномерным многообразием гладким по Фреше, точки которого можно понимать как лагранжевы подмногообразия $S \subset M$ фиксированного топологического типа, удовлетворяющие условию Бора–Зоммерфельда: для любого $a \in \mathcal{O}(\omega)$ пара $(L,a)$ допускает ковариантно постоянные сечения, будучи ограниченной на $S$. Многообразие модулей $\mathcal{B}_S$ используется в другом подходе к ГК, получившему название лагранжев подход (см. [6]). Здесь и ниже мы рассматриваем только случай гладких лагранжевых подмногообразий.

Оставляя за рамками обсуждений мотивацию и коммуникационные конструкции ГК, определим некоторый универсальный объект $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$ в прямом произведении $\mathbb{P} \Gamma (M, L) \times \mathcal{B}_S$ по следующему правилу. Пара $(p=[\alpha], S)$, где $\alpha \in \Gamma(M, L)$ – гладкое сечение, представляющее класс эквивалентности $p$, принадлежит $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$, если коэффициент пропорциональности $\alpha|_S/\sigma_S$ имеет вид $e^{\imath c} f$, где $\sigma_S$ – некоторое ковариантно постоянное сечение $(L,a)|_S$, $c$ – вещественная константа и $f \in C^{\infty}(S, \mathbb{R}_+)$ – строго положительная вещественная функция на $S$. Заметим, что изменение $a \in \mathcal{O}(\omega)$ отражается в определении, так как ковариантно постоянное сечение $\sigma_S$ зависит от выбора $a$ при фиксированном БЗ-многообразии $S$.

По самому своему определению $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$ допускает две естественные проекции

обладающие следующими свойствами. Первая проекция $p_1\colon \mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a) \,{\to}\, \mathbb{P} \Gamma (M, L)$ имеет дискретные слои; образ ее есть открытое подмножество в $\mathbb{P}\Gamma (M, L)$; ее дифференциал нигде не вырождается (для этого важна гладкость $S$); ветвлений не имеется (детали доказательств см. в [1]). Поскольку проективное пространство $\mathbb{P} \Gamma (M, L)$ несет на себе стандартную кэлерову форму $\Omega_{\mathrm{FS}}$ метрики Фубини–Штуди, то в самой общей ситуации это влечет утверждение о том, что $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$ является кэлеровым в слабом смысле.

Вторая проекция $p_2\colon \mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a) \to \mathcal{B}_S$ расщепляется в композицию $\pi \circ \tau$, где $\pi\colon T \mathcal{B}_S \to \mathcal{B}_S$ – каноническая проекция касательного расслоения, а отображение $\tau\colon \mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a) \to T \mathcal{B}_S$ имеет кэлеровы слои (детали доказательств см. в [4]).

Если мы обратимся к естественной задаче, возникающей многократно и в симплектической геометрии и в математической физике, посвященной построению конечномерных многообразий модулей лагранжевых подмногообразий, обладающих какими-то специальными свойствами, то специальная геометрия Бора–Зоммерфельда (СБЗ-геометрия) может быть использована в этом направлении. А именно, предположим, что каким-то естественным образом выделено конечномерное проективное подпространство $\mathbb{P}^N$ в $\mathbb{P} \Gamma (M, L)$, тогда его прообраз относительно первой проекции $p_1^{-1}(\mathbb{P}^N)$ обязан быть конечномерным кэлеровым многообразием. Более того, выбор подходящего $\mathbb{P}^N \subset \mathbb{P} \Gamma (M, L)$ может быть сделан почти автоматически в случае, когда $(M, \omega)$ снабжено некоторой согласованной интегрируемой комплексной структурой $I$. В самом деле, вследствие компактности $M$ пространство голоморфных сечений $H^0(M_I, L)$ расслоения предквантования конечномерно, следовательно, можно взять $\mathbb{P}^N=\mathbb{P} H^0(M_I, L) \subset \mathbb{P} \Gamma (M, L)$ и естественным образом определить прообраз $p_1^{-1}(\mathbb{P} H^0(M_I, L))$ как выделенный геометрический объект, характеризующий кэлерову природу $(M, \omega, I)$.

Конструкция оказывается особенно естественной в случае алгебраических многообразий. В самом деле, компактное алгебраическое многообразие $X$ с очень обильным линейным расслоением $L$ (заметим, что такое $L$ обязано существовать по определению) с точки зрения вещественной геометрии представляется как $(M, \omega, I)$, где $c_1(L)=[\omega]$; это соответствие может быть реализовано выбором подходящей эрмитовой структуры $h$ на $L$, так что $\omega=-d I\, d (\ln | \alpha |_h)$ на дополнении к множеству нулей $D_{\alpha}=\{ \alpha=0 \} \subset X$ для голоморфного сечения $\alpha \in H^0(X, L)$. Очевидно, что такая $\omega$ не будет единственно возможной, но индуцируемые лагранжевы геометрии для разных форм такого типа эквивалентны (в то же время для разных главных поляризаций $L_1$ и $L_2$ соответствующие ответы могут быть различными). В присутствии комплексной структуры $I$ имеется выделенная эрмитова связность $a_I \in \mathcal{O}(\omega)$, согласованная с голоморфной структурой на $L$, и СБЗ-конструкция приводит к первому грубому определению: многообразие модулей $\mathcal{M}_{\mathrm{SBS}}(c_1(L))$ специальных БЗ лагранжевых подмногообразий есть $p^{-1}(\mathbb{P} H^0(M_I, L)) \subset \mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a_I)$.

Общая теория утверждает, что такое многообразие модулей должно быть конечномерным гладким кэлеровым многообразием, однако такой грубый прямой подход приводит к тривиальному ответу по следующей причине. В работе [2] было установлено, что БЗ лагранжево подмногообразие $S$ специально относительно голоморфного сечения $\alpha \in H^0(M_I, L)$ при выборе в качестве связности предквантования выделенной связности $a_I$ в определении $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}$, если и только если это подмногообразие содержится вейнстейновым скелетом дополнения $M_I \setminus D_{\alpha}$, составленным из конечных траекторий градиентного потока функции $-\ln | \alpha |_h$, в то время как дивизор нулей $D_{\alpha}$ сечения $\alpha$ притягивает все бесконечные траектории (см. [7]). Но даже в самых простых случаях не существует гладких лагранжевых компонент у вейнстейновых скелетов для голоморфных сечений (в [3] мы представили такой пример, рассмотрев $M_I=\mathbb{C} \mathbb{P}^1$ и $L=\mathcal{O}(3)$, даже в этом простейшем случае нет гладких петель, содержимых вейнстейновыми скелетами для общих голоморфных сечений!). Таким образом, грубое определение приводит к тривиальным ответам.

В то же время были получены параллельные результаты в [3]: для той же ситуации мы построили многообразия модулей $D$-точных лагранжевых подмногообразий, которые являются конечномерными кэлеровыми, расслоенными над открытой частью $\mathbb{P} H^0(M_I, L)$ с дискретными слоями. Такие многообразия модулей обозначались в [3] как $\widetilde{\mathcal{M}}_{\mathrm{SBS}} (c_1(L))$, в связи с тем что в этой же работе утверждалась связь этих многообразий модулей со СБЗ-геометрией.

Главная цель настоящей работы состоит в коррекции грубого определения многообразия модулей $\mathcal{M}_{\mathrm{SBS}}(c_1(L))$. Оказывается, такая коррекция естественна в связи с наличием большого пространства возможных деформаций в зависимости от выбора эрмитовой связности предквантования. Одновременно мы устанавливаем явное соответствие “специальные БЗ-циклы $=$ классы гамильтоново изотопных $D$-точных лагранжевых подмногообразий” и показываем, как это соответствие помогает в работе над главной гипотезой: многообразия модулей специальных БЗ-циклов для алгебраического многообразия не просто кэлерово, но и алгебраично.

В то же время проявившаяся связь СБЗ-геометрии с теорией лиувиллевых полей и структур Вейнстейна позволяет предложить некоторые новые подходы к имеющимся в этой теории задачам, в частности, гипотезам Элиашберга о гладких точных лагранжевых подмногообразиях. В случае, когда открытое симплектическое многообразие есть дополнение $M \setminus D_{\alpha}$ множества нулей некоторого регулярного сечения расслоения предквантования, а лиувиллево векторное поле $\lambda_{\alpha}$ может быть дополнено до структуры Вейнстейна $(\phi, \lambda_{\alpha})$, то компактное точное лагранжево подмногообразие $S \subset M \setminus D_{\alpha}$ обязано быть БЗ. Это означает, что исходное многообразие модулей $\mathcal{B}_S$ естественным образом распадается на связные компоненты $\mathcal{B}_S^i$, элементы которых есть лагранжевы подмногообразия, не пересекающиеся с $D_{\alpha}$. Если какой-то элемент $S$ точен, то и вся компонента $S \subset \mathcal{B}_S^i$ состоит из точных лагранжевых подмногообразий, и естественным образом может быть определена гладкая вещественная функция расстояния $N\colon \mathcal{B}_S^i \to \mathbb{R}_{\geqslant 0}$ до вейнстейнова скелета $W(M \setminus D_{\alpha})$. Значение функции $N(S)$ есть разность $\max_{p \in S} f-\min_{p \in S} f$, где $f \in C^{\infty}(S, \mathbb{R})$ определена условием $d f=\omega^{-1}(\lambda_{\alpha})|_S$ для точного $S$. Нулевое значение $N(S)=0$ эквивалентно $S \subset W(M \setminus D_{\alpha})$, т. е. регулярности $S$. Ниже в § 6 мы показываем, что функция $N(S)$ не имеет локальных минимумов, кроме глобального с нулевым значением, т. е. для любого $S$, не содержащегося в $W(M \setminus D_{\alpha})$, всегда найдется гамильтонова деформация $S'= \phi^t_H(S)$ такая, что $N(S')<N(S)$; если в дальнейшем удастся найти эффективную оценку на возможное уменьшение значений $N(S)$, то из этого будет следовать существование гамильтоновой изотопии $S_t$, $t \in [0, \infty)$, такой, что $S_0=S$ и, скажем, $N(S_t)=t^{-1}$, откуда в пределе мы должны были бы получить гомологически нетривиальный цикл в $W(M \setminus D_{\alpha})$, что дало бы положительный ответ на гипотезу Элиашберга о гомологической нетривиальности точных гладких лагранжевых подмногообразий.

§ 1. Геометрическая интерпретация

Рассмотрим компактное односвязное симплектической многообразие $(M, \omega)$ вещественной размерности $2n$. Пусть класс когомологий симплектической формы $[\omega]$ целочисленный. Тогда существует комплексное линейное расслоение $L \to M$ с первым классом Черна $c_1(L)=[\omega]$, называемое расслоением предквантования, и, выбирая на нем эрмитову структуру, мы получаем пространство эрмитовых связностей $\mathcal{A}_h(L)$ с выделенным подмножеством $\mathcal{O}(\omega)$, состоящим из таких $a$, что форма кривизны $F_a=2 \pi \omega$. Вследствие односвязности $M$ подмножество $\mathcal{O}(\omega)$ есть просто орбита по действию калибровочной группы. Для любого лагранжева подмногообразия $S \subset M$ и произвольной связности $a \in \mathcal{O}(\omega)$ ограничение $(L, a)|_S$ является плоским линейным расслоением, и мы называем $S$ БЗ, если $(L, a)|_S$ допускает ковариантно постоянное сечение $\sigma_S$, определенное однозначно с точностью до умножения на константу. БЗ-свойство $S$ не зависит от выбора связности $a \in \mathcal{O}(\omega)$, в то время как $\sigma_S$ зависит. В самом деле, для любой другой связности $a_1 \in \mathcal{O}(\omega)$ разница в индуцируемых ковариантных производных $\nabla_{a_1}-\nabla_a=\imath\, d \phi$, где $\phi \in C^{\infty}(M, \mathbb{R})$, и новое ковариантно постоянное сечение $\sigma^1_S$ будет иметь вид $e^{-\imath \phi} \sigma_S$.

Таким образом, и определение подмножества $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}} \subset \mathbb{P} \Gamma (M, L) \times \mathcal{B}_S$, где $\mathcal{B}_S$ – многообразие модулей БЗ лагранжевых подмногообразий, зависит от выбора связности предквантования $a \in \mathcal{O}(\omega) \subset \mathcal{A}_h (L)$, так как наше условие специальности

существенно зависит от ковариантно постоянного сечения $\sigma_S$ ограничения $(L, a)|_S$.

Для двух разных связностей $a_2, a_1 \in \mathcal{O}(\omega)$ соответствующие подмножества $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}} (a_i)$ имеют следующее пересечение:

Напомним, что любая гладкая функция $F$ на $M$ индуцирует некоторое векторное поле $\Theta(F)$ на многообразии модулей $\mathcal{B}_S$: в точке $S$ его значение дается точной формой $d (F|_S)$, и соответствующий поток, порождаемый $\Theta(F)$, есть в точности реализация движения $S$ в $M$ под действием потока, порождаемого гамильтоновым векторным полем $X_F$ (детали см. в [5], [6]). Таким образом, пересечение (1) может быть описано в геометрических терминах следующим образом: функция разности связностей $\phi$ индуцирует соответствующее векторное поле $\Theta(\phi) \in \operatorname{Vect} \mathcal{B}_S$, и если рассмотреть вторую каноническую проекцию $p_2\colon \mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a_1) \to \mathcal{B}_S$, то пересечение (1) есть прообраз $p_2^{-1}((\Theta(\phi))_0)$ множества нулей векторного поля $\Theta(\phi)$.

Отсюда видно, что условие пересечения по сути накладывается только на второй элемент пары $(p, S)$, что подсказывает геометрическую интерпретацию и самого множества $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$.

Оба прямых слагаемых $\mathbb{P} \Gamma(M, L)$ и $\mathcal{B}_S$ подлежат естественным $U(1)$-расслоениям. Для первого прямого слагаемого такое расслоение есть $\mathcal{O}(1)$, т. е. стандартное линейное расслоение над проективным пространством. Так как кэлерова структура на нашем проективном пространстве фиксирована (напомним, мы имеем эрмитово скалярное произведение на исходном векторном пространстве $\Gamma (M, L)$), это расслоение снабжено выделенной эрмитовой связностью $A$ с формой кривизны $F_A=2 \pi i \Omega_{\mathrm{FS}}$, где $\Omega_{\mathrm{FS}}$ есть соответствующая кэлерова форма метрики Фубини–Штуди. Заметим, что исходное $U(1)$-действие на расслоении предквантования $L \to M$ индуцирует соответствующее действие и на $\mathcal{O}(1)$.

С другой стороны, многообразие модулей $\mathcal{B}_S$ подлежит естественному $U(1)$-расслоению $\mathcal{P}_S(a) \to \mathcal{B}_S$, составленному из планковских циклов в контактном многообразии $\operatorname{tot} (S^1(L) \to M)$ (см. [5]): слой над точкой $S \in \mathcal{B}_S$ состоит из ковариантно постоянных подъемов $S$ в $(S^1(L),a)|_S$, и соответствующее $U(1)$-действие снова индуцируется тем же исходным $U(1)$-действием на $L \to M$; заметим, что расслоение $\mathcal{P}_S(a) \to \mathcal{B}_S$ зависит от выбора связности предквантования $a \in \mathcal{O}(\omega)$, поскольку его слои зависят от нее.

Таким образом, на прямом произведении $\mathbb{P} \Gamma (M, L) \times \mathcal{B}_S$ имеем два $U(1)$-расслоения $p_1^* \mathcal{O}(1)$ и $p_2^* \mathcal{P}_S(a)$. Тогда множество $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$ в прямом произведении может быть описано следующим образом.

В самом деле, слой первого расслоения над точкой $(p, S)$ представляется элементами $e^{\imath t} \alpha^*$, на $S \subset M$ поточечно двойственными сечению $\alpha$, такому что $p= [\alpha]$. В то же время слой второго расслоения задается элементами вида $e^{\imath t} \sigma_S$; поэтому, если в прямом произведении слоев $U(1) \times U(1)$ может быть каноническим образом выделена диагональная $U(1)$ не зависящим от дополнительных выборов условием, то мы получим именно каноническое отождествление. Таким естественным условием будет следующее: естественное спаривание $\alpha^*|_S(\sigma_S)\,{\in}\, C^{\infty}(S, \mathbb{R}_+)$ есть вещественная строго положительная функция вдоль всего $S$, но это есть в точности условие специальности, выполненное вдоль $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$ по определению последнего.

Более того, нетрудно видеть, что множество $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$ есть максимально возможное, над которым наши поднятые расслоения канонически изоморфны.

В частности, расслоение $\mathcal{L} \to \mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$ обладает эрмитовой связностью $\widetilde A=p_1^* A$ с формой кривизны $F_{\widetilde A}=2 \pi i p_1^* \Omega_{\mathrm{FS}}$, где последняя форма является кэлеровой в слабом смысле. Отсюда следует, что всякая другая эрмитова связность на $\mathcal{L}$ задается соответствующей 1-формой на $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$, и естественной задачей будет отыскание подходящей поправки к $\widetilde A$, поднятой с $\mathcal{B}_S$, так чтобы полученная связность обладала бы кривизной, пропорциональной некоторой кэлеровой в сильном смысле или симплектической форме.

§ 2. Трансформации

Нетрудно видеть, что все $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$ изоморфны друг другу. В самом деле, для произвольной гладкой вещественной функции $F \in C^{\infty}(M, \mathbb{R})$, глобально определенной на всем $M$, имеется соответствующее проективное преобразование $P(F) \in \operatorname{Aut} \mathbb{P} \Gamma (M, L)$, данное формулой $[\alpha] \mapsto [e^{\imath F} \alpha]$. Так как на уровне векторного пространства $\Gamma(M, L)$ это преобразование сохраняет эрмитово скалярное произведение

Для пары эрмитовых связностей предквантования $a_1$, $a_2$ таких, что разность $\nabla_{a_2}-\nabla_{a_1}=\imath\, d F$ с некоторой гладкой функцией $F \in C^{\infty}(M, \mathbb{R})$, имеем эквивалентность $([\alpha], S) \in \mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a_1)$, если и только если $(P(F)([\alpha]), S) \in \mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a_2)$. В самом деле, $\alpha|_S=e^{\imath c} f \sigma_S^1=e^{\imath c} f e^{-\imath F|_S} \sigma_S^2$, если и только если $e^{\imath F} \alpha|_S=e^{\imath c} f \sigma_S^2$, откуда следует предложение 2.

Здесь мы существенно используем то, что первая компонента принадлежит проективному пространству. Более трудным является вопрос о деформациях второй компоненты – БЗ лагранжева подмногообразия.

Множество всех таких преобразований $\mathbb{F}=\{ P(F),\, F \in C^{\infty}(M, \mathbb{R}) \}$ есть абелева подгруппа в $\operatorname{Aut} \mathbb{P} \Gamma (M, L)$, и нетрудно найти подпространства, инвариантные относительно действия этой подгруппы. Пусть $D \subset M$ – подмногообразие, представляющее класс гомологий $\mathrm{P.D.}[\omega] \in H_{2n-2}(M, \mathbb{Z})$. Тогда подпространство $\mathbb{P}(D)=\{ [\alpha] \mid (\alpha)_0=D \} \subset \mathbb{P} \Gamma (M, L)$ как раз искомого типа. При этом $D$ не обязано быть гладким, оно может состоять из нескольких компонент с кратностями. Подпространство $\mathbb{P}(D)$ не является проективным, так как мы требуем точного совпадения множества нулей $\alpha$ и подмногообразия $D$; однако, как мы легко убедимся, это пространство аффинно.

Назовем группу $\mathbb{F}$ группой смены фаз, так как ее элементы в точности меняют фазы сечений.

Группа смены фаз содержит однопараметрические подгруппы специального вида $\{ P(tF) \}$, откуда имеем для гладкой функции $F$ соответствующее индуцируемое векторное поле $\Theta_P(F)$ как инфинитезимальную часть $P(tF)$, и по своему определению это векторное поле обязано сохранять кэлерову структуру на $\mathbb{P} \Gamma (M, L)$. Поскольку $\mathbb{F}$ коммутативна, пространство всех таких $\Theta_P(F)$ составляет распределение на проективном пространстве $\mathbb{P} \Gamma (M, L)$. Нетрудно видеть, что это распределение интегрируемо. Найдем явно соответствующие интегральные подпространства.

Прежде всего, для сечения $\alpha \in \Gamma (M, L)$ преобразование $\alpha \mapsto e^{\imath F} \alpha$ сохраняет поточечную норму $| \alpha |_h$, поэтому проективная версия преобразования $P(F)$ должна сохранять вещественную 1-форму $d \ln | \alpha |_h$, корректно определенную на дополнении $M \setminus D$. Напомним конструкцию из [4], позволяющую построить естественное отображение компоненты $\mathbb{P}(D)$ по следующему правилу: классу $[\alpha] \in \mathbb{P}(D)$ сопоставляется комплекснозначная 1-форма $\rho(\alpha)=\nabla_a \alpha/\alpha$, корректно определенная на дополнении $M \setminus D$, такая, что $\operatorname{Re}(\rho(\alpha))$ точна, а $d \operatorname{Im} (\rho(\alpha))=2 \pi \omega$ (вещественная часть есть просто $d \ln | \alpha |_h$). Ключевое наблюдение состоит в том, что это взаимно однозначное соответствие: каждая комплексная 1-форма $\rho$ такого типа на дополнении $M \setminus D$ однозначно с точностью до константы определяет сечение $\alpha$, зануляющееся в $D$ (см. [4]).

В этих терминах действие $P(F)$ выглядит особенно просто: $\rho(P(F)(\alpha))= \rho(\alpha)+\imath\, d F$. Ключевой факт был установлен в [1]: в этих терминах СБЗ-условие означает просто, что $\operatorname{Im} \rho(\alpha)|_S \equiv 0$.

Отсюда получаем, что подпространство $\mathbb{P}(D)$ есть аффинное пространство, ассоциированное с комплексным векторным, составленным из точных комплексных 1-форм на дополнении $M \setminus D$. Это аффинное пространство расслоено посредством сопоставления $[\alpha] \mapsto \operatorname{Re} \rho(\alpha)$, и если обозначить как $\mathbb{P}^0 (D)$ слой над фиксированным элементом $\operatorname{Re} \rho(\alpha_0)$, то нетрудно видеть, что векторное поле $\Theta_P(F)$ должно быть касательным к слою, откуда имеем следующее предложение.

Заметим, что $\mathbb{P}^0(D)$ есть снова аффинное пространство, но на этот раз вещественное: оно ассоциировано с пространством точных вещественных 1-форм на дополнении. Однако, как было сказано выше, для СБЗ-конструкций важны только мнимые части от $\rho$-форм, поэтому имеем предложение 4.

В самом деле, в СБЗ-условии ничего не говорится о вещественной части $\operatorname{Re} \rho(\alpha)$, так что мы всегда можем редуцировать $p$ к $p'$, добавляя подходящую точную вещественную форму к $\rho(\alpha)$.

Следовательно, для изучения $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$ нам необходимы только компоненты $\mathbb{P}^0(D)$, а не все проективное пространство $\mathbb{P} \Gamma (M, L)$. В частности, интересно было бы найти какое-нибудь универсальное правило выбора вещественной части $\operatorname{Im} \rho$ для фиксированного подмногообразия $D \subset M$. В некоторых случаях такой выбор может быть сделан канонически: например, если наше симплектическое многообразие $(M, \omega)$ допускает существование интегрируемой комплексной структуры $I$, согласованной с $\omega$, а подмногообразие $D$ является комплексным. Тогда наше $(M, \omega, I)$ является комплексным кэлеровым многообразием с кэлеровой метрикой ходжева типа. Выбор эрмитовой связности $a_I$ в орбите $\mathcal{O}(\omega)$ индуцирует голоморфную структуру на $L$, и известно, что соответствующее пространство голоморфных сечений $H^0(M_I, L)$ является конечномерным подпространством в $\Gamma (M, L)$. Каждое голоморфное сечение $\alpha \in H^0(M_I, L)$ по модулю констант однозначно определяется своим дивизором нулей $D_{\alpha}$, составленным из комплексных подмногообразий с кратностями. Отсюда вытекает реализация проективного пространства $\mathbb{P} H^0(M_I, L)$ как полной линейной системы $|L|$.

Следовательно, имеется конечномерное семейство аффинных подпространств $\{ \mathbb{P}(D)^0 \mid D \in |L| \}$ с отмеченными точками $p_D \in \mathbb{P}(D)^0$. Заметим при этом, что такие аффинные подпространства $\mathbb{P}^0(D)$ не пересекаются по своему определению.

§ 3. Деформации

В предыдущем параграфе мы исследовали возможные преобразования первых элементов в наших парах $(p, S)$; теперь необходимо исследовать деформации вторых элементов – лагранжевых подмногообразий. В отличие от первых, они не составляют ни проективного, ни аффинного пространства, поэтому от трансформаций приходится переходить к деформациям.

В самом деле, если $S$ – СБЗ-подмногообразие относительно $\alpha$, то для произвольной окрестности Дарбу–Вейнстейна $\mathcal{O}_{\mathrm{DW}}(S) \subset M$ подмногообразия $S$ имеем соответствующую 1-форму $(1/(2\pi)) \operatorname{Im} \rho(\alpha)$ такую, что ее дифференциал есть $\omega$, а ее ограничение на $S$ тождественно равно нулю. Возьмем каноническую 1-форму действия $\alpha_{\mathrm{can}}$ на окрестности $\mathcal{O}_{\mathrm{DW}}(S)$ и рассмотрим разность $\alpha_{\mathrm{can}}-(1/(2\pi)) \operatorname{Im} \rho(\alpha)$. Эта разность замкнута, но поскольку окрестность $\mathcal{O}_{\mathrm{DW}}(S)$ может быть стянута к $S$, вдоль которого эта разность тождественно обращается в нуль по условию предложения, то найдется гладкая вещественная функция $F_0$ такая, что $d F_0=\alpha_{\mathrm{can}}- (1/(2\pi)) \operatorname{Im} \rho(\alpha)$ на $\mathcal{O}_{\mathrm{DW}}(S)$. Заметим, что по своему определению эта функция удовлетворяет условию $d F_0|_S \equiv 0$.

Рассмотрим новую эрмитову связность предквантования $a_0$ такую, что $\nabla_{a_0}\,{=} \nabla_a-\imath\, d F_0$; из предложения 1 следует, что пара $([\alpha], S)$ одновременно принадлежит обоим множествам $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$, $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a_0)$. В то же время локальная картина вблизи точки $([\alpha], S)$ в последнем множестве выглядит следующим образом. Так как здесь имеем $\alpha_{\mathrm{can}} \,{\equiv}\, (1/(2 \pi)) \operatorname{Im} \rho(\alpha)$, то для любой малой гамильтоновой деформации $S_{\delta}$ подмногообразия $S$, индуцируемой гладкой функцией $\phi\,{\in}\, C^{\infty}(S, \mathbb{R})$, как обычно в представлении Дарбу–Вейнстейна (см. [5]), имеем $(1/(2 \pi)) \operatorname{Im} \rho(\alpha)|_{S_\delta}=d \pi^* \phi$ (здесь $\pi\colon \mathcal{O}_{\mathrm{DW}}(S) \to S$ есть перенесенная с $T^*S \to S$ каноническая проекция на базу). Поэтому если рассмотреть гамильтонову деформацию $S_{\delta}$ нашего данного подмногообразия $S$, представляемую в окрестности Дарбу–Вейнстейна $\mathcal{O}_{\mathrm{DW}}(S)$ соответствующей гладкой функцией $\phi \in C^{\infty}(S, \mathbb{R})$, то ограничение $(1/(2\pi))\operatorname{Im} \rho(\alpha)|_{S_{\delta}}$ оказывается равным $d(\pi^* \phi)|_{S_{\delta}}$; далее вещественная функция $\pi^* \phi|_{S_{\delta}}$ может быть продолжена на всю окрестность Дарбу–Вейнстейна $\mathcal{O}_{\mathrm{DW}}(S)$ и далее на все $M$, и такое продолжение мы обозначим как $F_1 \in C^{\infty}(M, \mathbb{R})$. Заметим, что от продолжения $F_1$ мы требуем только совпадения с $\phi$ при ограничении на $S_{\delta}$, т. е. такое продолжение существует.

Далее, рассмотрим теперь пространство $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a_0+\imath \, d F_1)$; очевидным образом пара $([\alpha], S_{\delta})$ удовлетворяет СБЗ-условию относительно такой эрмитовой связности предквантования. Следовательно, та же пара $([\alpha], S_{\delta})$ содержится в $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a+ \imath \, d(F_0+ F_1))$, и если обозначить сумму гладких функций как $\delta=F_0+F_1$, то пара $(P(\delta) [\alpha], S_{\delta})$, состоящая из трансформированного первого элемента и деформированного второго, обязана содержаться в $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$, что и завершает доказательство предложения 5.

Заметим, что на протяжении всей конструкции первые элементы не покидали аффинного пространства $\mathbb{P}(D)$.

Представленные рассуждения приводят к следующей теореме.

Теорема (о $\mathcal{B}_S$-накрытии). Пусть $S_t,\, t \in [0,1]$, – гамильтонова изотопия некоторого бор–зоммерфельдова лагранжева подмногообразия $S_0$ такого, что $([\alpha_0], S_0) \in \mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$ для некоторой фиксированной связности предквантования $a$. Предположим, что для всех $t \in [0,1]$ пересечение $S_t \cap D_{\alpha_0}=\varnothing$ и каждое $S_t$ является гладким. Тогда существует соответствующее семейство $([\alpha_t], S_t) \in \mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$ такое, что все $[\alpha_t]$ содержатся в одном и том же аффинном подпространстве $\mathbb{P}^0(D_{\alpha_0})$.

В самом деле, так как гамильтоновы изотопии сохраняют условие Бора–Зоммерфельда, каждое $S_t$ является таковым; для каждого значения $t \in (0,1)$ соответствующее лагранжево подмногообразие $S_t$ обладает окрестностью Дарбу–Вейнстейна $\mathcal{O}_{\mathrm{DW}}(S_t)$, так что каждое из $S_{t'}$ при $t' \in (t-\varepsilon, t+ \varepsilon)$ содержится в этой окрестности. Отрезок $[0,1]$ компактен, поэтому может быть найден конечный набор подмногообразий $S_{t_i}$, $i=1, \dots, N$, так что объединение соответствующих окрестностей Дарбу–Вейнстейна $\bigcup_{i=1}^N \mathcal{O}_{\mathrm{DW}}(S_{t_i})$ содержит каждое $S_t$. Поэтому мы можем применить предложение 5 необходимое число раз, проходя весь отрезок, и установить, что подмногообразие $S_1$ может быть снабжено соответствующим классом $[\alpha_1]$ таким образом, что условие теоремы о $\mathcal{B}_S$-накрытии выполнено, что завершает доказательство.

В то же время мы могли воспользоваться другим методом, основанным на стабильности СБЗ-условия относительно потока, порождаемого гамильтоновым векторным полем. А именно, пусть $F$ – глобальная функция на $M$, $X_F$ – ее гамильтоново векторное поле и $\phi^t_{X_F}$ – соответствующий поток, порождаемый $X_F$. Тогда для пары $(p, S) \in \mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$ имеется соответствующая гамильтонова деформация $(\phi^t_{X_F}(p), \phi^t_{X_F} (S))$, причем имеет место предложение 6.

Для доказательства заметим, что действие потока $\phi^t_{X_F}$ на пару $(p, S)$ имеет очень простую и естественную переформулировку, если вместо проективизации связности $p=[\alpha]$ мы рассмотрим соответствующую комплексную 1-форму $\rho(\alpha)$, множество нулей $D_{\alpha}$ и собственно лагранжево подмногообразие $S$. Нетрудно видеть, что если $S$ не пересекалось с $D$, то и под действием потока подмногообразия $S_t=\phi^t_{X_F}(S)$ и $D_t =\phi^t_{X_F}(D)$ останутся непересекающимися, но тогда при фиксированном $D_t $ класс сечения однозначно восстанавливается по форме $\rho_t$, и при этом условие $\operatorname{Im}(\rho_t)|_{S_t} \equiv 0$ очевидно остается в силе для любого $t$, что завершает доказательство.

§ 4. Определение многообразия модулей

Рассмотрим односвязное гладкое компактное (проективное) алгебраическое многообразие $X$ с очень обильным линейным расслоением $L \to X$, обязанным существовать по определению. Выберем подходящую эрмитову структуру $h$ на $L$ и рассмотрим соответствующую кэлерову форму $\omega_h$, задаваемую набором кэлеровых потенциалов $\psi_{\alpha} = -\ln | \alpha |_h$, получаемых из голоморфных сечений $\alpha \in H^0(X, L)$ на дополнениях $X \setminus D_{\alpha}$. В то же время выбор $h$ в присутствии голоморфной структуры на $L$ выделяет связность $a_I \in \mathcal{O}(\omega_h)$.

Таким образом, выбор подходящей $h$ приводит нас к ситуации, исследуемой нами выше: имеем четверку предквантования $(M=X,\, \omega=\omega_h,\, I,\, L,\, a_I)$ и можем применять конструкции СБЗ-геометрии. При этом из [2] мы знаем детали этих конструкций в голоморфной ситуации, когда для любого класса голоморфных сечений $[\alpha] \in \mathbb{P} H^0(X, L) \subset \mathbb{P} \Gamma (X, L)$ прообраз $p_1^{-1}([\alpha] \in \mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a_I))$ может быть явно описан следующим образом. Возьмем соответствующий кэлеров потенциал $\psi_{\alpha}$ на дополнении $X \setminus D_{\alpha}$, рассмотрим его критические точки $x_1, \dots, x_N$ и выберем только конечные траектории градиентного потока, индуцируемого градиентным векторным полем $\operatorname{grad} \psi_{\alpha}$, соединяющим $x_i$-е (при этом бесконечные траектории убегают к полюсу в $D_{\alpha}$); тогда объединение всех таких конечных траекторий составляет вейнстейнов скелет дополнения $W(X \setminus D_{\alpha})$, и тогда гладкое БЗ-подмногообразие $S \subset X \setminus D_{\alpha}$ является специальным относительно класса $[\alpha]$, если и только если $S$ содержится в $W(X \setminus D_{\alpha})$ (детали см. в [2]). С другой стороны, как мы знаем из [7], даже в простейших случаях вейнстейнов скелет $W(X \setminus D_{\alpha})$ не допускает гладких старших компонент, поэтому непосредственный прообраз $p^{-1}_1([\alpha])$ попросту пуст.

Однако при этом та же голоморфная ситуация показывает, что если размерность вейнстейнова скелета равна $n$, то он содержит нетривиальные $n$-мерные циклы, которые являются гомологической основой специальных БЗ-подмногообразий. Если выделить примитивный класс в $W(M \setminus D_{\alpha})$ для общего голоморфного сечения, то и для любого другого общего сечения такой класс в соответствующем вейнстейновом скелете будет существовать.

Вернемся к предыдущим замечаниям: пустота прообраза есть следствие того, что приведенная выше ситуация слишком далека от того, чтобы быть общей, она очень специальна, поскольку выбор связности предквантования $a_I$ и голоморфного сечения $\alpha$ слишком тесно связаны между собой. Если рассмотреть малое возмущение $\delta\colon \mathbb{P} H^0(X, L) \to C^{\infty}(X \setminus D_{\alpha}, \mathbb{R})$ такое, что $[\alpha] \mapsto P(\delta([\alpha])) [\alpha]$, в том же самом аффинном пространстве $\mathbb{P}(D_{\alpha})$ естественно ожидать нетривиальности подправленного прообраза $p_1^{-1}(P(\delta ([\alpha])))$.

Термин “малое” в применении к рассматриваемым возмущениям мы определяем следующим образом: так как каждая функция $\delta([\alpha])$ является глобальной гладкой функцией на компактном многообразии $X$, мы можем использовать универсальную оценку $\max \delta(p)-\min \delta(p) \leqslant \varepsilon$ для каждого $p$ с некоторым малым $\varepsilon$; кроме того, мы будем рассматривать только те деформации, которые отличны от константы в достаточно малой окрестности вейнстейнова скелета $W(X \setminus D_{\alpha})$. Если мы обозначим как $\mathbb{P}H^0(X, L)_{\delta} \subset \mathbb{P} \Gamma (X, L)$ соответствующую деформацию исходного конечномерного проективного пространства, то нетрудно видеть, что такая деформация дает следующее предложение.

В самом деле, как мы видели выше, проективное пространство $\mathbb{P} H^0(X, L)$ ассоциировано с соответствующим семейством $\{ \mathbb{P}^0 (D_{\alpha}) \}$ попарно не пересекающихся аффинных подпространств, трансверсальных нашему проективному пространству. Преобразования, индуцируемые $\delta$, действуют вдоль “срезов” $\mathbb{P}(D_{\alpha})$, откуда следует гладкость, а из достаточной малости деформаций следует, что получающееся в результате подмногообразие $\mathbb{P} H_0(X, L)_{\delta}$ остается симплектическим.

Вернемся теперь к паре $(X, L)$, описанной выше. Для подходящей эрмитовой структуры $h$ мы предлагаем следующее определение.

Зависимость от эрмитовой структуры $h$ подробно обсуждалась в [2]; наша цель в настоящий момент состоит в том, чтобы показать независимость геометрии многообразия модулей от выбора малой деформации (в дальнейшем для краткости мы обозначаем его $\mathcal{M}_{\mathrm{SBS}}$, если из контекста понятны топологический тип и класс гомологий).

Доказательство корректности введенного определения 1, составляющее смысл предложения 8, основывается на материале, представленном в следующем параграфе, где мы покажем, что пространство $\mathcal{M}_{\mathrm{SBS}}$, определенное выше, естественным образом изоморфно некоторому универсальному объекту, не зависящему от деформации, а именно, стабильной компоненте многообразия модулей $D$-точных лагранжевых подмногообразий, введенной в [3].

Замечание. Прямое доказательство предложения 8 возможно и важно, однако интереснее было бы установить факт, который естественно назвать теоремой о $\mathbb{P}$-накрытии. Выше была доказана теорема о $\mathcal{B}_S$-накрытии для случая, когда однопараметрические семейства точек в многообразии модулей $\mathcal{B}_S$ накрываются естественными деформациями в $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$. Теперь рассмотрим деформации других элементов пар, принадлежащих проективному пространству $\mathbb{P} \Gamma (X, L)$: в этом случае ситуация кажется даже более простой, так как подпространство $\mathbb{P}(D_{\alpha})$ является аффинным, поэтому любые два элемента $p_1, p_2 \in \mathbb{P} (D_{\alpha})$ могут быть связаны соответствующим отрезком. В самом деле, в присутствии выделенной точки $[\alpha]$ любой другой элемент $p_i \in \mathbb{P}(D_{\alpha})$ однозначно представляется 1-формой $\operatorname{Im} \rho(\alpha)+d F$, где $F$ – некоторая гладкая функция на $X$, таким образом, отрезок с концами $p_1$ и $p_2$ задается как семейство $\operatorname{Im} \rho(\alpha)+t \, d F_1+(1-t) \, d F_2$; однако для такой деформации теорема о $\mathbb{P}$-накрытии не может быть верна, поскольку, если взять $F_2=-F_1$, то в середине в точке $p=[\alpha]$ получим разрыв. При этом пространство возможных деформаций огромно: в пространстве точных форм $d \Omega^0_X$ можно взять любой общий путь с концами в $d F_1$ и $d F_2$, и для общего пути такая теорема вроде бы должна быть верна. Однако и такая версия не является корректной, поскольку прообразы $p^{-1}_1([\alpha'])$ могут быть составлены из пар $([\alpha'], S_i)$, для которых вторые элементы – лагранжевы подмногообразия – могут оказаться деформационно не эквивалентными (например, представляющими разные классы гомологий в $H_n(W(X \setminus D_{\alpha}), \mathbb{Z})$), откуда видна невозможность построения накрывающего пути в $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$. Если в качестве дополнительного требования ввести, скажем, гамильтонову эквивалентность для вторых элементов, то и никакой новой теоремы не потребуется, достаточно уже доказанной теоремы о $\mathcal{B}_S$-накрытии.

§ 5. Точные лагранжевы подмногообразия

В работе [3] для такой же ситуации – алгебраическое многообразие $X$ и очень обильное линейное расслоение $L \to X$ – было построено многообразие модулей $D$-точных лагранжевых подмногообразий, которое обозначалось как $\widetilde{\mathcal{M}}_{\mathrm{SBS}}$, и затем в этом многообразии выделялась некоторая стабильная компонента $\mathcal{M}^{\mathrm{st}} \subset \widetilde{\mathcal{M}}_{\mathrm{SBS}}$. К конструкции прилагались некоторые аргументы в пользу использования аббревиатуры СБЗ, однако точной связи этих в общем-то разных конструкций предъявлено не было. Ниже мы устанавливаем эту связь.

Коротко повторим основные построения: для односвязного алгебраического многообразия $X$ и очень обильного линейного расслоения $L \to X$ выберем подходящую эрмитову структур $h$, порождая на $X$ соответствующую симплектическую форму $\omega_h$. Тогда элементу $p=[\alpha] \in \mathbb{P} H^0(X, L)$ сопоставляем множество $D$-точных гладких лагранжевых подмногообразий $\{ S \mid S \subset X \setminus D_{\alpha} \}$ фиксированного топологического типа $\operatorname{top} S$ и класса гомологий $[S] \in H_n(X, \mathbb{Z})$, представляющих нетривиальные классы гомологий дополнения $H_n(X \setminus D_{\alpha}, \mathbb{Z})$; затем факторизуем это множество по модулю гамильтоновых изотопий дополнения $X \setminus D_{\alpha}$, получая дискретное множество, а затем глобализуем такую конструкцию над всем $\mathbb{P} H^0(X, L)$, что и дает пространство модулей $\widetilde{\mathcal{M}}_{\mathrm{SBS}}$. В работе [3] доказывается, что это пространство есть открытое гладкое кэлерово многообразие, накрывающее открытое подмножество в $\mathbb{P} H^0(X, L)$ без ветвлений. Понятие $D$-точности в рассматриваемом случае совпадает со стандартным: лагранжево подмногообразие называют точным, если ограничение $\operatorname{Im} \rho(\alpha)|_S$ является точным; очевидным образом это свойство для фиксированного $S$ не зависит от выбора конкретного элемента из $\mathbb{P}(D_{\alpha})$. Условие $D$-точности вводится в [3] по следующей причине: в такой формулировке стабильность условия точности относительно деформаций $D_{\alpha}$ очевидна, а именно, если некоторое $S$ точно относительно $[\alpha] \in \mathbb{P} H^0(X, L)$ и не пересекается с дивизором нулей $D_{\alpha}$, то для любой деформации $[\alpha']$ подмногообразие $S$ остается точным, пока $D_{\alpha'}$ не пересечется с $S$. Ниже нам не понадобятся такого сорта деформации, и мы будем использовать стандартное определение точности.

Далее в [3] выделяется некоторая компонента в построенном многообразии модулей: скажем, что цикл $\Delta $, содержащийся в вейнстейновом скелете $W(X \setminus D_{\alpha})$, допускает БЗ-разрешение, если существует гомотопия $\{ S_t \}$, $t \in [0,1]$, так, что $S_0=\Delta$, и для каждого положительного значения $t \in (0,1]$ соответствующий элемент семейства $S_t \subset X \setminus D_{\alpha}$ есть гладкое лагранжево БЗ-подмногообразие. По самому определению такие $S_t$ представляют нетривиальный класс в $H_n(X \setminus D_{\alpha}, \mathbb{Z})$; более того, из стабильности условия точности следует, что все такие $S_t$ обязаны быть точными. Таким образом, из многообразия модулей $\widetilde{\mathcal{M}}_{\mathrm{SBS}}$ может быть выделена стабильная компонента $\mathcal{M}^{\mathrm{st}}$, представляемая классами, реализующими такие БЗ-разрешения.

Так как многообразие $\mathcal{M}^{\mathrm{st}}$ расслоено непосредственно над $\mathbb{P} H^0(M_I, L)$, а многообразие $\mathcal{M}_{\mathrm{SBS}}$ определено как прообраз над малой деформацией того же проективного пространства, то естественно рассмотреть произвольный элемент $[\alpha] \in \mathbb{P} H^0(M_I, L)$ и показать, что имеется соответствие над этим элементом и его малыми деформациями в случае второго многообразия модулей. Если соответствие будет установлено для произвольного $[\alpha]$, то утверждение теоремы будет следовать ввиду определений многообразий модулей через глобализацию картины над фиксированным $[\alpha]$ до всего $\mathbb{P} H^0(M_I, L)$.

Схема отождествления многообразий модулей опирается на следующие соотношения: при фиксированном $[\alpha]$ выбор деформации соответствует тому, что вместо класса сечения мы можем деформировать связность $a_I \mapsto a=a_I+\imath \, d \delta$, оставив неизменным $[\alpha]$; при этом согласно предложению 2 все $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$ изоморфны между собою, поэтому, если для какого-то $a$, не равного $a_I$, элемент $[\alpha]$ подлежит нетривиальному прообразу, то это верно для всех общих $a$; точность лагранжева подмногообразия не зависит от выбора связности предквантования, поэтому не зависит и от деформации.

Прежде всего заметим, что если вейнстейнов скелет $W(X \setminus D_{\alpha})$ допускает как компоненту гладкое лагранжево подмногообразие $S_{\alpha}$, то с одной стороны нет необходимости рассматривать малые деформации $[\alpha]$ для определения прообраза $p_1^{-1}([\alpha])$, так как он и так существует; с другой стороны, в этой ситуации для определения соответствующей точки в $\mathcal{M}^{\mathrm{st}}$ достаточно взять постоянную гомотопию $\Delta S_{\alpha} \equiv S_t$. Таким образом, в этом случае имеем тождественность элементов многообразий модулей.

Далее, пусть имеется $n$-мерный замкнутый цикл $\Delta \subset W(X \setminus D_{\alpha})$, не являющийся гладким лагранжевым подмногообразием. Если для общих допустимых малых деформаций $\delta_i$ имеется семейство соответствующих БЗ лагранжевых подмногообразий $S_i$, являющихся элементами одного и того же многообразия модулей $\mathcal{B}_S$, а значит, имеющих один и тот же топологический тип, то на эту последовательность можно “натянуть” гомотопию $S_t$, начинающуюся с $S_0=\Delta$. В работе [3] было подробно объяснено, почему эти БЗ лагранжевы подмногообразия являются точными; с другой стороны, размерность CW-комплекса $W(X \setminus D_{\alpha})$ не превышает $n$, поэтому он не может содержать другой цикл, представляющий тот же класс гомологий в $H_n(X \setminus D_{\alpha}, \mathbb{Z})$.

Заметим, что один и тот же замкнутый цикл $\Delta$ может иметь топологически разные БЗ-разрешения, однако в нашей конструкции мы ограничены зафиксированным топологическим типом лагранжевых подмногообразий.

Однако, если есть БЗ-гомотопия $S_t$ с начальным элементом $S_0=\Delta \subset W(X \setminus D_{\alpha})$, то каждое $S_t$ соответствует малой деформации $\delta_t$: в самом деле, ограничение $\rho(\alpha)$ на $S_t$ обязано быть точной 1-формой $d f_t$, и функцию $f_t$ можно продолжить до функции $F_{\delta_t}$ с носителем вблизи $W(X \setminus D_{\alpha})$, так как $S_t$ достаточно близко к $W(X \setminus D_{\alpha})$. Используя локальные гамильтоновы деформации $S_t$, мы получим достаточно плотное покрытие пространства возможных $\delta$-деформаций исходного элемента $[\alpha]$, что и влечет нетривиальность прообраза $p_1^{-1}$.

Таким образом, утверждение теоремы имеет простой геометрический смысл: БЗ-разрешение $n$-цикла $\Delta \subset W(X \setminus D_{\alpha})$ можно сопоставить или $\delta$-деформациям первых элементов, или гамильтоновым изотопиям вторых из пар $(p_t, S_t) \in \mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}$.

Замечание. В этом месте необходимо ответить на следующий естественный вопрос: зачем вообще рассматривать конструкции специальной геометрии Бора–Зоммерфельда, если у нас и так есть хорошее определение многообразия модулей точных лагранжевых подмногообразий из [3]? Главный аргумент можно извлечь из § 1 настоящей работы, где была представлена конструкция универсального расслоения $\mathcal{L} \to \mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a)$. По своему определению (см. § 4) многообразие модулей $\mathcal{M}_{\mathrm{SBS}}$ вложено в $\mathcal{U}_{\mathrm{SBS}}(a_I)$, откуда естественным образом взятое ограничение $\mathcal{L}_{\delta} \to \mathcal{M}_{\mathrm{SBS}}$ определено с точностью до выбора подходящей малой деформации $\delta$. Однако нетрудно видеть, что топологически ограничение $\mathcal{L}_{\delta}$ не зависит от выбора $\delta$, откуда мы получаем не просто некоторое многообразие $\mathcal{M}_{\mathrm{SBS}}$ (как в случае $\mathcal{M}^{\mathrm{st}}$), а пару вида “многообразие$+$расслоение”. Вариации $\delta$ для такого расслоения соответствуют вариациям эрмитовой структуры, поскольку могут быть переформулированы в терминах вариаций базовой связности $a_I$, а последние, как мы видели выше, соответствуют вариациям ковариантно постоянных сечений $\sigma_S$, которые, в свою очередь, соответствуют вариациям локального базиса вблизи рассматриваемой точки, что в результате и соответствует вариациям соответствующей эрмитовой структуры. С другой стороны, в работе [3] была представлена гипотеза о том, что стабильная компонента $\mathcal{M}^{\mathrm{st}}$ многообразия модулей точных лагранжевых подмногообразий есть не просто кэлерово многообразие, но имеет вид “алгебраическое многообразие минус обильный дивизор”. А именно, присутствие обильного линейного расслоения и отличает алгебраический случай от кэлерова, поэтому данная гипотеза может быть атакована в терминах пары $\mathcal{L} \to \mathcal{M}_{\mathrm{SBS}}$: если, зафиксировав подходящую кэлерову структуру на базе, мы найдем эрмитову связность на $\mathcal{L}$ с формой кривизны, пропорциональной кэлеровой форме, и сечение без нулей на базе $\mathcal{M}_{\mathrm{SBS}}$, то этим будет построена необходимая алгебраическая структура. Реализация этой программы требует разработки множества технических деталей, начиная с вопросов о связностях на $\mathcal{L}$, уже намеченных в § 1, и даже, если гипотеза не будет подтверждена, то, по крайней мере, наработанный в будущем на этом пути аппарат может оказаться полезным в исследованиях дифференциальной геометрии многообразия модулей $\mathcal{B}_S$ с прицелом на применение в конструкциях ГК.

§ 6. Структуры Вейнстейна и гипотезы Элиашберга

Специальная геометрия Бора–Зоммерфельда тесно связана с теорией структур Вейнстейна. Напомним (см. [6]), что векторное поле $\lambda$ на открытом симплектическом многообразии $M \setminus D_{\alpha}$ с симплектической формой $\omega$ называется лиувиллевым, если производная Ли $\mathcal{L}_{\lambda} \omega=\omega$. Как было показано выше, любое регулярное сечение $\alpha \in \Gamma (M, L)$ с множеством нулей $D_{\alpha}$, представленным комбинацией гладких $(2n-2)$-мерных компонент с кратностями, индуцирует соответствующее лиувиллево векторное поле $\lambda_{\alpha}=\omega^{-1}(\operatorname{Im} \rho(\alpha))$. Это поле зависит только от проективизации $[\alpha] \in \mathbb{P}\Gamma (M, L)$. С другой стороны, имеем вещественную функцию $\psi_{\alpha}=-\ln | \alpha |_h$ с полюсом вдоль $D_{\alpha}$. При этом заметим, что таким образом все пространство лиувиллевых полей на $M \setminus D_{\alpha}$ не исчерпывается: так как $H^1(M \setminus D_{\alpha}, \mathbb{Z})$ не тривиально (что следует из топологической нетривиальности расслоения предквантования), то к $\operatorname{Im} \rho(\alpha)$ можно прибавить любую замкнутую но не точную 1-форму и затем применить $\omega^{-1}$ к этой сумме. Поэтому геометрия Бора–Зоммерфельда связана, но не покрывает всю геометрию лиувиллевых векторных полей. Ниже мы обсуждаем исключительно случай лиувиллевых векторных полей, приходящих из сечений расслоения предквантования.

Для произвольного лиувиллева поля $\lambda$ назовем стержнем $\operatorname{Core}(\lambda)$ множество, составленное из конечных траекторий потока $\Phi^t_{\lambda}$; таким образом, $\Phi^t_{\lambda}(\operatorname{Core}(\lambda))=\operatorname{Core}(\lambda)$ для любого $t$. Следовательно, стержень $\operatorname{Core}(\lambda_{\alpha}) \subset M \setminus D_{\alpha}$, задаваемый регулярным сечением $\alpha$, может быть охарактеризован следующими своими свойствами: в гладкой точке $p \in \operatorname{Core}(\lambda_{\alpha})$ векторное поле $\lambda_{\alpha}$ касательно к $\operatorname{Core}(\lambda_{\alpha})$; стержень $\operatorname{Core}(\lambda_{\alpha})$ стабилен относительно потока $\Phi^t_{\lambda_{\alpha}}$; стержень $\operatorname{Core}(\lambda_{\alpha})$ не имеет пересечения с $D_{\alpha}$.

Отсюда для лиувиллева векторного поля $\lambda_{\alpha}$, задаваемого регулярным сечением $\alpha \in \Gamma (M, L)$, имеется следующее наблюдение: если гладкое лагранжево подмногообразие $S$ является СБЗ относительно $[\alpha]$, то $S$ необходимо содержится в $\operatorname{Core}(\lambda_{\alpha})$. Однако известно (см. [8]), что компоненты $\operatorname{Core}(\lambda)$ могут иметь большую размерность, чем $n$. Строгая оценка имеет место в случае, если лиувиллево векторное поле $\lambda$ является градиентноподобным для некоторой гладкой функции $\phi$, т. е. если найдется такая согласованная риманова метрика $g$, что

Базовые примеры структур Вейнстейна приходят из комплексной геометрии: если существует такая почти комплексная структура $I$, что сечение $\alpha \in \Gamma (M, L)$ является псевдоголоморфным относительно $I$, то это сечение задает структуру Вейнстейна на дополнении $M \setminus D_{\alpha}$: необходимая функция $\phi$ есть просто $\psi_{\alpha}=-\ln | \alpha |_h$, и соответствующее векторное поле $\lambda_{\alpha}$ является градиентным для этой функции относительно римановой метрики $g$, восстанавливаемой из $\omega$ и $I$. Однако, как мы видели выше, в случае интегрируемой $I$ соответствующий скелет оказывается не гладким и даже без гладких компонент. С другой стороны, любой замкнутый $n$-мерный цикл в $W(M \setminus D_{\alpha})$ представляет нетривиальный класс гомологий в $H_n(M \setminus D_{\alpha}, \mathbb{Z})$.

Одной из задач, естественно возникающих в рамках теории структур Вейнстейна, является следующая: можно ли найти более общее свойство сечений расслоения предквантования, нежели псевдоголоморфность, которое бы автоматически влекло возможность включения соответствующего лиувиллева векторного поля $\lambda_{\alpha}$ в пару, задающую структуру Вейнстейна на $ M \setminus D_{\alpha}$?

Другой круг задач исследует свойства лагранжевых подмногообразий в $M\,{\setminus}\, D_{\alpha}$ в случае, когда для $\lambda_{\alpha}$ может быть найдена подходящая функция $\phi$. В круг этих задач входят известные гипотезы Элиашберга о точных лагранжевых подмногообразиях. Мы сформулируем специальную версию этих гипотез в приложении к интересующему нас случаю компактных лагранжевых подмногообразий; полная версия гипотез Элиашберга может быть найдена в [8].

Как уже говорилось в предыдущем параграфе, лагранжево подмногообразие $S \subset M \setminus D_{\alpha}$ называется точным, если ограничение $\omega^{-1}(\lambda_{\alpha})|_S$ есть точная форма. Пусть пара $(\phi, \lambda_{\alpha})$ задает структуру Вейнстейна на $M \setminus D_{\alpha}$ и пусть $S \subset M \setminus D_{\alpha}$ есть гладкое компактное точное лагранжево подмногообразие. Тогда выдвигаем гипотезу 1.

Более сильное утверждение содержит гипотеза 2.

Вторая гипотеза эквивалентна тому, что $S$ содержится в вейнстейновом скелете, определенном $(\phi', \lambda')$, откуда следует первая гипотеза. Обе гипотезы сформулированы Я. Элиашбергом (см. [8]), и мы называем их гипотезами Элиашберга.

По существу обе эти гипотезы могут быть отнесены к специальной геометрии Бора–Зоммерфельда. Как было показано в § 5, из условия точности для лагранжева подмногообразия $S \subset M \setminus D_{\alpha}$ вытекает условие Бора–Зоммерфельда; более того, мы можем реализовать условие точности в терминах дифференциальной геометрии многообразия модулей $\mathcal{B}_S$.

А именно, пусть $S \subset M \setminus D_{\alpha}$ – гладкое точное лагранжево подмногообразие относительно лиувиллева векторного поля $\lambda_{\alpha}$. Тогда рассмотрим многообразие модулей $\mathcal{B}_S$ БЗ лагранжевых подмногообразий для фиксированного топологического типа $S$ как подмногообразия в полном $M$. Тогда подмножество нулей $D_{\alpha}$ выделяет детерминанталь

Тогда лиувиллево векторное поле $\lambda_{\alpha}$ индуцирует векторное поле $\Theta(\alpha)$ на компоненте $\mathcal{B}_S^i$ по следующему правилу: ограничение $\omega^{-1}(\lambda_{\alpha})|_S$ есть точная форма вида $d f$, $f \in C^{\infty}(S, \mathbb{R})$, а любая такая точная форма есть касательный вектор из $T_{[S]} \mathcal{B}_S$ (см. [5]). Для касательных векторов такого типа естественно определяется норма по правилу

В этих терминах гипотеза 1 тесно связана со следующей задачей.

Для наших построений положительное решение этой задачи означало бы, что многообразие модулей точных лагранжевых подмногообразий совпадает со своей стабильной компонентой (определения см. выше в § 5). В самом деле, поскольку по условию $S$ и $S'$ представляют элементы одной и той же компоненты связности, то они могут быть связаны отрезком в $\mathcal{B}_S^i$, а значит, и гамильтоновой деформацией. С другой стороны, норма $|\Theta(\alpha)([S])|$ показывает насколько $S$ далеко от $W(M \setminus D_{\alpha})$, и если задача 1 имеет положительное решение, то цепочка $S, S', \dots$ определяет гомотопию, которая стремится к некоторому предельному циклу, обязанному быть компонентой в вейнстейновом скелете $W(M \setminus D_{\alpha})$. Таким образом, мы бы построили элемент из $\mathcal{M}^{\mathrm{st}}$.

Однако это означало бы, что $S$ связано гамильтоновой деформацией с предельным циклом $\Delta \subset W(M \setminus D_{\alpha})$, который по топологическим соображениям не может быть тривиальным, т. е. этим гипотеза 1 была бы доказана в нашем специальном случае.

В свете трансформаций, описанных в § 2, естественным выглядит вопрос о локальных вариациях структур Вейнстейна. А именно, предположим, что лиувиллево векторное поле $\lambda_{\alpha_1}$ индуцировано сечением $\alpha_1$, псевдоголоморфным относительно некоторой согласованной почти комплексной структуры $I$, на дополнении $M \setminus D_{\alpha_1}$; таким образом, если взять $\phi=\psi_{\alpha_1}$, то пара $(\phi, \lambda_{\alpha_1})$ задает структуру Вейнстейна. Тогда можно рассмотреть вариации второго элемента в паре так, что в результате снова получится структура Вейнстейна. Например, подходящей вариацией будет $\lambda_t=\lambda_{\alpha_1}+(t-1) X_{\phi}$, $t \in [1,+\infty)$, где, как обычно, $X_{\phi}$ есть гамильтоново векторное поле функции $\phi$ (более того, можно рассмотреть любую сложную функцию от $\phi$): нетрудно видеть, что для любого $t \geqslant 1$ снова найдется положительная константа $C_t$, так что пара $(\phi, \lambda_t)$ удовлетворяет условию (2) относительно той же метрики. В самом деле, $d \phi(\lambda_t) \equiv d (\lambda_1)$ и $| \lambda_t |_g^2=(1+t^2) | \lambda_1 |^2_g$, так как $X_{\phi}$ и $\lambda_1$ связаны оператором почти комплексной структуры, будучи гамильтоновым векторным полем и градиентом одной и той же функции. Отсюда можно взять $C_t$ равным $C(1+t^2)$.

Геометрически это означает, что мы деформируем компоненты данной структуры Вейнстейна вдоль множеств уровней потенциала $\phi$, фиксируя ее критические точки, остающиеся неподвижными при данной деформации.

С другой стороны, из условия (2) с необходимостью следует, что лиувиллево векторное поле $\lambda$, включающееся в некоторую структуру Вейнстейна, обязано иметь много критических точек, так как, если $x \in M \setminus D$ есть критическая точка функции $\phi$ и при этом не является критической точкой $\lambda$, то это немедленно приводит к противоречию в условии (2). Отсюда имеем вложение множеств критических точек $\{ \operatorname{Crit} \phi \} \subseteqq \{ \operatorname{sing} \lambda \}$. Заметим, что если зафиксировать набор точек $\{p_1, \dots, p_l \} \subset M \setminus D$, то этим определена подалгебра в алгебре $C^{\infty}(M, \mathbb{R})$, составленная из гладких функций $F$ таких, что $\operatorname{Crit} F \supseteqq \{p_1, \dots, p_l \}$. В самом деле, если $d F_1 (p_i)=d F_2 (p_i)=0 $, то $d(F_1+c F_2)(p_i)=0$ и $d (F_1 \cdot F_2) (p)=0$. Отсюда для данной структуры Вейнстейна $(\phi, \lambda)$ имеется следующее пространство вариаций: набор нулей векторного поля задает подалгебру $\mathcal{A}(\lambda) \subset C^{\infty}(M, \mathbb{R})$, и найдется такая достаточно малая окрестность нуля в этой подалгебре, что для любой достаточно малой деформации $\delta \in \mathcal{A}(\lambda)$ пара $(\phi+\delta, \lambda)$ снова определяет структуру Вейнстейна.

Таким образом, возможная стратегия для перехода от задачи 1 к гипотезе 2 такова: сперва гамильтоново деформируем $S$ таким образом, чтобы соответствующее $S'$ было как можно ближе к вейнстейнову скелету $W(M \setminus D_{\alpha})$, а затем ищем подходящую деформацию самой вейнстейновой структуры так, чтобы гладкое подмногообразие $S'$ оказалось компонентой нового вейнстейнова скелета.

Такой подход предполагает введение некоторой функции расстояния на пространстве точных лагранжевых подмногообразий, иначе что означает фраза о близости $S'$ к $W(M \setminus D_{\alpha})$? Оказывается, что понятие нормы на векторном поле на многообразии модулей $\mathcal{B}_S$ или его компоненте, введенное выше, естественным образом обобщается на гладкие компактные точные лагранжевы подмногообразия в области Вейнстейна $M \setminus D_{\alpha}$.

Пусть, как и выше, пара $(\phi, \lambda)$ задает структуру Вейнстейна на открытом симплектическом многообразии $M \setminus D_{\alpha}$ (безотносительно того, что сечение $\alpha$ непосредственно связано с $\phi$ или $\lambda$). Тогда для произвольного компактного гладкого лагранжева подмногообразия $S \subset M \setminus D_{\alpha}$ имеем корректно определенное число: по определению ограничение $\omega^{-1}(\lambda)|_S=d f_{\lambda}$, где $f_{\lambda} \in C^{\infty}(S, \mathbb{R})$ определена однозначно с точностью до прибавления константы, и тогда имеем определение 2.

Нетрудно видеть, что $N_{\lambda}(S) \in \mathbb{R}_{\geqslant 0}$; кроме того, $N_{\lambda}(S)=0$, если и только если $S$ является компонентой вейнстейнова скелета $W(M \setminus D_{\alpha})$. В самом деле, $N_{\lambda}(S)=0 $ необходимо влечет $\omega^{-1}(\lambda)|_S \equiv 0$, откуда $\lambda$ обязано быть касательным к $S$ в каждой точке, откуда по основному свойству вейнстейнова скелета получаем необходимое утверждение. Этим объясняется название функции $N_{\lambda}(S)$.

Как было показано выше, любое гладкое точное лагранжево подмногообразие включается в соответствующую компоненту $\mathcal{B}_S^i \subset \mathcal{B}_S$, состоящую из гамильтоново эквивалентных на дополнении $M \setminus D_{\alpha}$ БЗ лагранжевых подмногообразий. Поэтому функция расстояния естественно определена на всей этой компоненте:

Поскольку данное утверждение локальное, то нам достаточно рассмотреть картину над некоторой окрестностью Дарбу–Вейнстейна произвольного $S \subset M \setminus D_{\alpha}$, так что $[S] \in \mathcal{B}_S^i$. По теореме Дарбу–Вейнстейна окрестность $\mathcal{O}_{\mathrm{DW}}(S) \subset \mathcal{B}_S^i$ симплектоморфна некоторой окрестности $\mathcal{O}_{\varepsilon}$ нулевого сечения в $T^*S$ со стандартной симплектической формой $\omega_{\mathrm{can}}=d a_{\mathrm{can}}$, где $a_{\mathrm{can}}$ – каноническая 1-форма (детали см. в [5]). Перенесем лиувиллево векторное поле $\lambda$ на $\mathcal{O}_{\varepsilon}$ и обозначим соответствующее поле как $\lambda_0$. Очевидным образом ограничение функции $N_{\lambda}|_{\mathcal{O}_{\mathrm{DW}}(S)}$ совпадает с функцией $N_0$, определенной на точных 1-формах вида $d f$, $f \in C^{\infty}(S, \mathbb{R})$, по следующему правилу. Во-первых, 1-форма $\rho_0=\omega_{\mathrm{can}}^{-1}(\lambda_0)$ на $\mathcal{O}_{\varepsilon}$ представляется в виде

Преобразование $A_{F_0}$ само по себе обладает многими интересными свойствами. Покажем, что $A_{F_0}$ инъективно. В самом деле, пусть для пары функций $f_1$, $f_2$ имеем $A_{F_0}(f_1) \equiv A_{F_0}(f_2)$. Если $d f_1=d f_2$, то мы немедленно приходим к противоречию, так как в этом случае $f_2-f_1=\mathrm{const}$, а ограничение $F_0(\Gamma(d f_i))$ одно и то же. Далее, если $d f_1 \neq d f_2$, то графики $\Gamma(d f_i)$ имеют как минимум две точки пересечения – в точках максимума и минимума разности $f_1-f_2$ соответственно. Обозначим эти точки как $p_+, p_-\in \mathcal{O}_{\varepsilon}$ соответственно и соединим эти точки путями $\gamma_i \subset \Gamma(d f_i)$ так, чтобы их проекции на нулевое сечение $\pi(\gamma_1)$, $\pi(\gamma_2)$ совпадали. Если $A_{F_0} (f_1) \equiv A_{F_0}(f_2)$, то интегралы $\int_{\pi(\gamma_i)} d A_{F_0}(f_i)$ обязаны совпадать. Но при этом

Образом нуля $A_{F_0}(0)$ является функция $f_{\lambda}$, определенная выше. Интересной отдельной задачей является следующая.

Иными словами для всякой ли функции, достаточно близкой к $f_{\lambda}$, найдется прообраз по действию $A_{F_0}$? По сути обратный оператор $A_{F_0}^{-1}$, в случае своего существования, позволял бы решать некоторые уравнения в частных производных и этим устанавливал бы обратимость дифференциала $d p_1$, что существенно продвинуло бы исследования специальной геометрии Бора–Зоммерфельда. С другой стороны, такой оператор отдаленно напоминает своим функционалом оператор Маслова, и если бы удалось установить более точную связь, то этим было бы получено важное обобщение техники квазиклассических приближений на случай произвольного компактного симплектического многообразия. В качестве дополнительной задачи можно рассмотреть линеаризацию нелинейного преобразования $A_{F_0}$, задаваемую линейным оператором вида $f \mapsto L_0(f)=f+ d f (Y_0)$, где $Y_0$ есть гладкое векторное поле на $S$, соответствующее горизонтальной компоненте гамильтонова векторного поля $X_{F_0}$ в точках нулевого сечения. На компактном многообразии оператор $L_0$ имеет тривиальное ядро, переводит константы в константы, поэтому естественно ожидать, что образ этого оператора всюду плотен, что влекло бы много полезных следствий.

Но вернемся к доказательству предложения 10. Для установления гладкости функции $N_0$ рассмотрим производную данной функции в касательном направлении $[S]+\delta \, d f $, где $f$ – произвольная гладкая функция на $S$. Тогда необходимое выражение имеет вид

Далее покажем, что функция $N_0$ может быть увеличена или уменьшена локальной деформацией нулевого сечения в $\mathcal{O}_{\varepsilon}$, если и только если $f_{\lambda} \neq \mathrm{const}$, что равносильно $N_0(0) \neq 0$. Для этого заметим, что лиувиллево векторное поле $\lambda_0$ действует на точные лагранжевы подмногообразия гамильтоново. В самом деле, поток $\phi^t_{\lambda_0}$ действует на 1-форму $\omega^{-1}_{\mathrm{can}}(\lambda_0)$ умножением на $e^t$, поэтому если ограничение $\omega^{-1}_{\mathrm{can}}(\lambda_0)|_S$ равнялось $f_{\lambda}$, то ограничением той же 1-формы на $\phi^t_{\lambda_0}(S)$ будет $e^t f_{\lambda}$. При этом норма $| e^t f_{\lambda} |_{\mathrm{sup}}$ очевидно отличается для $t \neq 0$ от нормы $| f_{\lambda} |_{\mathrm{sup}}$ в том и только том случае, когда последняя не равна нулю.

Рассмотрим в качестве $S$ нулевое сечение в $\mathcal{O}_{\varepsilon}$. Если $f_{\lambda}= \mathrm{const}$, то лиувиллево векторное поле $\lambda_0$ касательно к $S$, и поэтому $\phi^t_{\lambda_0}(S) \equiv S$. В случае непостоянной $f_{\lambda}$ мы можем деформировать нулевое сечение $S$ посредством потока $\phi^t_{\lambda_0}$ с положительным и отрицательным $t$, достаточно малым по модулю. В результате мы получим пару деформаций $S_{\pm}$ в зависимости от знака $t$ таких, что $N_0(S_+)>N_0(S)$ и наоборот $N_0(S_-)< N_0(S)$, что завершает доказательство предложения 10.

Предложение 10 является локальным решением задачи 1: перенося результат с помощью отождествляющего симплектоморфизма Дарбу–Вейнстейна, мы можем утверждать, что любое точное относительно лиувиллева векторного поля $\lambda$ лагранжево подмногообразие $S$ можно гамильтоново деформировать так, что норма ограничения $\omega^{-1}(\lambda)$ станет меньше. Главный вопрос – насколько может быть уменьшена норма? Если окажется возможным найти эффективную оценку, зависящую, скажем, от топологического типа $S$ и лиувиллева поля $\lambda$, возможного уменьшения нормы $| f_{\lambda} |_{\mathrm{sup}}$, то этим задача 1 окажется решенной, а следовательно, мы получим и необходимый результат для проверки первой из двух гипотез Элиашберга о точных лагранжевых подмногообразиях.

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Tyu23}

\by Н.~А.~Тюрин

\paper Специальная геометрия Бора--Зоммерфельда: вариации

\jour Изв. РАН. Сер. матем.

\yr 2023

\vol 87

\issue 3

\pages 184--205

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/im9374}

\crossref{https://doi.org/10.4213/im9374}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4640919}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1525.53079}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023IzMat..87..595T}

\transl

\jour Izv. Math.

\yr 2023

\vol 87

\issue 3

\pages 595--615

\crossref{https://doi.org/10.4213/im9374e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001063937600007}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85171833888}