| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Преобразование ренормализационной группы в обобщенной фермионной иерархической модели М. Д. Миссаров, Д. А. Хайруллин Казанский (Приволжский) федеральный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9371e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеМетод ренормализационной группы (РГ) является одним из центральных методов современной статистической физики и квантовой теории поля. Основной математической проблемой при строгом обосновании теории РГ является нелокальность преобразования РГ. Последнее означает, что даже если первоначальный гамильтониан имеет простой вид и зависит от конечного числа констант связи, то итерации РГ-преобразования порождают все более сложные взаимодействия спинов в гамильтониане. Это делает невозможным математический анализ бесконечномерной динамической системы. Для строгого математического исследования проблем теории РГ полезными оказались модели статистической физики на иерархической решетке, введенные в математическую физику Ф. Дайсоном [1]. Преобразование РГ в бозонных иерархических моделях является локальным и сводится к нелинейному интегральному оператору в пространстве плотностей свободной меры [2]. Позже было установлено [3], что при определенных значениях количества точек в элементарной ячейке иерархической решетки она может быть реализована как решетка в $p$-адическом пространстве, а $p$-адические модели являются непрерывными версиями иерархических моделей. В работе [4] И. В. Воловичем был предложен $p$-адический аналог струнной амплитуды. Результаты первых исследований в различных областях $p$-адической математической физики изложены в монографии В. С. Владимирова, И. В. Воловича и Е. И. Зеленова [5]. Более поздние результаты обсуждаются в обзоре [6]. В работе [7] дан обзор исследований фермионной иерархической модели. В отличие от бозонного случая РГ-преобразование в иерархической фермионной модели может быть вычислено точно и представляется в виде бирационального отображения в двумерном пространстве констант связи модели. Заметим, что РГ в евклидовых моделях исследуется только в низших порядках теории возмущений в окрестности гауссовской неподвижной точки. Иерархическая фермионная модель уникальна тем, что в ней описывается глобальный поток РГ во всей плоскости констант связи [8]. Явное описание свойств РГ в рамках иерархической фермионной модели порождает ряд нетривиальных гипотез для иерархических и евклидовых бозонных моделей [9]. В работе [10] предложено обобщение фермионной модели. Рассматривается двумерная решетка, в которой элементарная ячейка представлена вершинами квадрата. В стандартной иерархической модели расстояния между всеми вершинами квадрата равны. В обобщенной модели расстояние между противоположными вершинами отличается от расстояния между соседними вершинами и фактически является параметром новой модели. В настоящей работе мы явно вычисляем преобразование РГ в пространстве плотностей свободной меры и описываем некоторые его свойства. Пусть $T=\{0,1,\dots\}$ и $V^s_k=\{j\in T\colon k\,{\cdot}\, 2^s\leqslant j<(k+1)\,{\cdot}\, 2^s\}$, где $k\in T$, $s\in N=\{1,2,\dots\}$. Иерархическое расстояние $d_2(i,j)$, $i,j\in T$, $i\ne j$, определено, как $d_2(i,j)=2^{s(i,j)}$, где
$$
\begin{equation*}
s(i,j)=\min\{ s\colon \text{есть } k\in T \text{ такое, что } i,j\in V^s_k\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $T^2=T\times T$, $k=(k_1,k_2)\in T^2$,
$$
\begin{equation*}
V^s_k=\{(j_1,j_2)\in T^2\colon k_1\cdot 2^s\leqslant j_1<(k_1+1)\cdot 2^s,\, k_2\cdot 2^s\leqslant j_2<(k_2+1)\cdot 2^s\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого $k=(k_1,k_2)\in T^2$, $l=(l_1,l_2)\in T^2$, $k\ne l$, определено $s(k,l)=\max(s(k_1,l_1), s(k_2,l_2))$. Иерархическое расстояние на $T^2$ определено как $d_2(k,l)=2^{s(k,l)}$. Рассмотрим четырехкомпонентное фермионное поле
$$
\begin{equation*}
\psi^*(i)=\bigl(\overline\psi_1(i), \psi_1(i),\overline\psi_2(i),\psi_2(i)\bigr),\qquad i\in T^2,
\end{equation*}
\notag
$$
все компоненты которого, являются образующими алгебры Грассмана. Переобозначим $V^N_0$ через $\Lambda_N$. Пусть $\Gamma_N$ – подалгебра Грассмана, порожденная $4\,{\cdot}\,4^N$ образующими $\overline\psi_1(i)$, $\psi_1(i)$, $\overline\psi_2(i)$, $\psi_2(i)$, $i \in \Lambda_N$. Действие РГ $r(\alpha)$ на $\psi^*$ определяется формулой
$$
\begin{equation}
{\psi^*}'(i)\equiv \bigl(r(\alpha)\psi^*\bigr)(i)=2^{-\alpha/2} \sum_{j\in V^1_i}\psi^*(j),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $\alpha\in R^1$ – параметр РГ. Гауссовское фермионное поле с нулевым средним и бинарной корреляционной функцией
$$
\begin{equation*}
\langle \psi_{n}(k)\overline\psi_{m}(l)\rangle=\delta_{n,m}b(k,l),\qquad n,m=1,2,\quad k,l\in T^2,
\end{equation*}
\notag
$$
определяется на всей решетке как квазисостояние (математическое ожидание) $\langle\,{\cdot}\, \rangle$ на алгебре всех мономов такое, что $\langle F\rangle$ для монома четной степени $F$ рассчитывается по правилам Вика, и $\langle F\rangle=0$ для любого монома нечетной степени, $\delta_{n,m}$ – символ Кронекера. Определим следующие функции на $T^2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{2} d(k,l;\lambda) &=d_2(k,l), &\quad &\text{если }\ s(k_1,l_1)\ne s(k_2,l_2), \\ d(k,l;\lambda) &=\lambda d_2(k,l), &\quad &\text{если }\ s(k_1,l_1)=s(k_2,l_2), \end{alignedat} \\ f(k,l;\lambda;\alpha)=d^{\alpha}(k,l;\lambda),\quad \text{если }\ k\ne l,\qquad f(k,k;\lambda;\alpha)=\frac{2+\lambda^{\alpha}}{4(1-2^{-(2+\alpha)})}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$\lambda$ – действительный параметр, $\lambda>0$. Пусть $b(k,l;\lambda;\alpha)=f(k,l;\lambda;\alpha-4)$. В работе [10] показано, что гауссовское фермионное поле с нулевым средним и бинарной корреляционной функцией
$$
\begin{equation*}
\langle \psi_{n}(k)\overline\psi_{m}(l)\rangle=\delta_{n,m}b(k,l;\lambda;\alpha),\qquad n,m=1,2,\quad k,l\in T^2,
\end{equation*}
\notag
$$
инвариантно относительно преобразования РГ с параметром $\alpha$ (1.1). Обозначим соответствующее гауcсовское квазисостояние как $\rho_0(\lambda;\alpha)$. Для построения негауссовских состояний мы используем гиббсовское описание поля. Рассмотрим ограничение гауссовского поля $\psi^*$ на объем $\Lambda_N$. Обозначим матрицу корреляций этого ограничения как $B_N(\lambda;\alpha)=(b(k,l;\lambda;\alpha))_{k,l\in\Lambda_N}$. Пусть $H_N(\lambda,\mu;\alpha)=(h_N(k,l;\lambda,\mu;\alpha))_{k,l\in\Lambda_N}$, где
$$
\begin{equation}
h_N(k,l;\lambda,\mu;\alpha) =g(\lambda,\mu;\alpha)h_0(k,l;\mu;\alpha)-C(N;\lambda,\mu;\alpha),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
$g(\lambda,\mu;\alpha)$ и $C(N;\lambda,\mu;\alpha)$ являются некоторыми нормализующими функциями [10]. В работе [10] доказано, если $\alpha>2$, $\alpha\ne 4$, то для всех $\lambda$, удовлетворяющих неравенству
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{3\cdot 2^{2-\alpha}}{1-2^{2-\alpha}}\biggr)^{1/(\alpha-4)}<\lambda< \biggl(\frac{4(1-2^{2-\alpha})}{3}\biggr)^{1/(\alpha-4)},
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
матрица $H_N(\lambda,\mu(\lambda);\alpha)$ является обратной к матрице $B_N(\lambda;\alpha)$, если
$$
\begin{equation}
\mu(\lambda)=\biggl(\frac{4(1-2^{2-\alpha})-3\lambda^{\alpha-4}} {\lambda^{\alpha-4}(1-2^{2-\alpha})-3\cdot 2^{2-\alpha}}\biggr)^{-1/\alpha}.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Пусть $\lambda$, $\mu$ удовлетворяют соотношениям (1.4), (1.5). Упростим обозначения следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a=g(\lambda,\mu(\lambda);\alpha),\qquad C(N)=C(N;\lambda,\mu(\lambda);\alpha), \\ h_{0,N}(k,l)=af(k,l;\mu(\lambda);-\alpha)-C(N). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $H_{0,N}(\psi^*;\lambda;\alpha)$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
H_{0,N}(\psi^*;\lambda;\alpha) =\sum_{k,l\in\Lambda_N}h_{0,N}(k,l)\bigl(\overline\psi_1(k)\psi_1(l)+\overline\psi_2(k)\psi_2(l) \bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим ограничение гауссовского состояния $\rho_0(\lambda;\alpha)$ на объеме $\Gamma_N$. Из [10; теорема 1] следует, что для любого $F(\psi^*)\in\Gamma_N$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \rho_0(\lambda;\alpha)(F(\psi^*))= Z^{-1}_N(\lambda;\alpha)\int F(\psi^*) \exp \{-H_{0,N}(\psi^*;\lambda;\alpha)\}\,d\psi^*, \\ d\psi^*=\prod_{i\in\Lambda_N}\,d\psi_1(i) \,d\overline\psi_1(i)\,d\psi_2(i)\,d\overline\psi_2(i), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
интегрирование ведется по правилам суперанализа,
$$
\begin{equation*}
Z_N(\lambda;\alpha)=\int\exp\{-H_{0,N}(\psi^*;\lambda;\alpha)\} \,d\psi^*.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим локальный потенциал (самодействие) для четырехкомпонентного фермионного поля:
$$
\begin{equation*}
L(\psi^*;r,g)=r\bigl(\overline\psi_1\psi_1+\overline\psi_2\psi_2\bigr)+ g\overline\psi_1\psi_1\overline\psi_2\psi_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $u(\psi^*(i))=\exp\{-L(\psi^*(i);r,g)\}$. Мы будем использовать обозначение $\rho_N(\lambda;\alpha;u)$ для состояния по алгебре $\Gamma_N$, определяемого формулой
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \rho_N(\lambda;\alpha;u)(F)=Z^{-1}_N(\lambda;\alpha;u) \int F\exp\{-H_{0,N} (\psi^*;\lambda;\alpha)\} \prod_{i\in \Lambda_N}u(\psi^*(i))\,d\psi^*, \\ Z_N(\lambda;\alpha;u)=\int \exp\{-H_{0,N}(\psi^*;\lambda;\alpha)\} \prod_{i\in \Lambda_N}u(\psi^*(i))\,d\psi^*. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\rho$ – состояние на $\Gamma_N$, тогда ренормализованное состояние $\rho'$ определено на $\Gamma_{N-1}$ согласно формуле
$$
\begin{equation*}
\rho'\bigl(F({\psi^*}')\bigr)=\rho\bigl(F(r(\alpha)\psi^*)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим квадратичную форму:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, a\sum_{i,j\in V^1_k} f(i,j;\mu(\lambda);-\alpha)\overline\eta^*(i)\eta^*(j)=Q_k(\eta^*), \qquad k\in\Lambda_{N-1}; \nonumber \\ f(i,j;\mu;-\alpha)= \begin{cases} \dfrac{2+\mu^{-\alpha}}{4(1-2^{\alpha-2})}, &\text{если } i= j, \\ 2^{-\alpha}, &\text{если } d_2(i,j)=1 \text{ и } s(i_1,j_1)\ne s(i_2,j_2), \\ (2\mu)^{-\alpha}, &\text{если } d_2(i,j)=1 \text{ и } s(i_1,j_1)= s(i_2,j_2). \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
В [10; теорема 2] доказано, что
$$
\begin{equation*}
\rho'_N(\lambda;\alpha;u)=\rho_{N-1}(\lambda;\alpha;{u}'),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
u'({\psi^*}')=\int\delta\biggl(\sum_{i\in V^1_0}\eta^*(i)\biggr)\exp\{-Q_0(\eta^*)\} \prod_{i\in V^1_0}u\bigl(2^{\alpha/2-2}{\psi^*}'+\eta^*(i)\bigr)\, d\eta^*(i).
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Обозначим преобразование в пространстве плотностей, задаваемое правой частью (1.7), как $R(\alpha)u$. Из этой формулы мы видим, что преобразование РГ $R(\alpha)$ является локальным и не зависит от $N$. § 2. Вычисление преобразования ренормализационной группыВ этом параграфе мы вместо регулярных плотностей вида будем использовать грассмановозначные плотности общего вида
$$
\begin{equation*}
u(\psi^*)=c_0+c_1(\overline\psi_1\psi_1+\overline\psi_2\psi_2) +c_2\overline\psi_1\psi_1\overline\psi_2\psi_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Наборы коэффициентов $c=(c_0,c_1,c_2)$, задающие плотности $u(\psi^*)$, будем рассматривать как точки двумерного проективного пространства, поскольку два набора, отличных между собой ненулевым константным множителем, задают одну и ту же модель. Коэффициенты квадратичной формы $Q_0$ задаются числами
$$
\begin{equation*}
s_1=a\cdot\frac{2+\mu(\lambda)^{-\alpha}}{4(1-2^{\alpha-2})},\qquad s_2=a\cdot 2^{-\alpha}, \qquad s_3=a\cdot (2\mu)^{-\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $t_1=2(s_1-s_2)$, $t_2=s_1-s_3$, $t_3=s_1-2s_2+s_3$, $\delta=t_1/t_2$, $\gamma=2^{\alpha - 2}$. Теорема 1. Пусть $u'(\psi^{*\prime})=R(\alpha)u$. Тогда Доказательство. Обозначим вершины $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$, $(0,1)$ квадрата $V_0^1$ номерами $1$, $2$, $3$, $4$ соответственно. Вместо обозначений $\eta^*(0,0)$, $\eta^*(1,0)$, $\eta^*(1,1)$, $\eta^*(0,1)$ будем использовать обозначения $\eta^*(1)\,{=}\,\eta^*(0,0)$, $\eta^*(2)\,{=}\,\eta^*(1,0)$, $\eta^*(3)=\eta^*(1,1)$, $\eta^*(4)=\eta^*(0,1)$.
Интегрируя грассманову $\delta$-функцию
$$
\begin{equation*}
\delta\bigl(\eta^*(1)+\eta^*(2)+\eta^*(3)+\eta^*(4)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
мы избавимся от четырехкомпонентной переменной $\eta^*(4)$, подставляя вместо нее выражение
$$
\begin{equation}
\eta^*(4)= - \bigl(\eta^*(1)+\eta^*(2)+\eta^*(3)\bigr).
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Тогда квадратичная форма $Q_0$ в формуле (1.7) представится в виде где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_k &=t_1\overline\eta_k(1)\eta_k(1)+t_2\overline\eta_k(1)\eta_k(2) +t_3\overline\eta_k(1)\eta_k(3)+2t_2\overline\eta_k(2)\eta_k(2) +t_2\overline\eta_k(2)\eta_k(1) \\ &\qquad +t_2\overline\eta_k(2)\eta_k(3)+t_1\overline\eta_k(3)\eta_k(3)+ t_2\overline\eta_k(3)\eta_k(2)+t_3\overline\eta_k(3)\eta_k(1), \qquad k=1,2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $2^{\alpha/2-2}\psi^{*\prime}=z^*$ и рассмотрим замену переменных В дальнейшем используем обозначения
$$
\begin{equation*}
a_k(0,0)=\overline z_k z_k,\ \ a_k(0,i)=\overline z_k\eta_k(i),\ \ a_k(i,j)=\overline\eta_k(i)\eta_k(j), \quad i,j=1,2,3,\ \ k=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в новых переменных формы $A_k$, $k=1,2$, запишутся в виде где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_k^1 &=t_1a_k(1,1)-2t_1\bigl(a_k(0,1)+a_k(1,0)\bigr)+ t_2\bigl(a_k(1,2)+a_k(2,1)\bigr) \\ &\qquad+t_3\bigl(a_k(1,3)+a_k(3,1)\bigr), \\ A_k^2 &=\bigl(4(t_1+t_2)\bigr)a_k(0,0)-4t_2\bigl(a_k(0,2)+a_k(2,0)\bigr) -2t_1\bigl(a_k(0,3)+a_k(3,0)\bigr) \\ &\qquad +t_2\bigl(a_k(2,3)+a_k(3,2)\bigr)-2t_1\bigl(a(0,3)+a(3,0)\bigr)+2t_2a(2,2)+t_1a(3,3). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что в форме $A_k^1$ все слагаемые зависят от переменных $\overline\zeta_k(1)$ или $\zeta_k(1)$, а в форме $A_k^2$ таких слагаемых нет. Обозначим Заметим, что
$$
\begin{equation*}
a_k(i_1,i_2) a_k(i_1,i_3)= a_k(i_2,i_1) a_k(i_3,i_1)=0
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $i_1$, $i_2$, $i_3$ и для любых $i_1$, $i_2$, $i_3$, $i_4$. Используя эти соотношения, получаем следующие разложения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_k^1 &=1+a_k(1,1)\bigl[-t_1-t_2^2a_k(2,2)-t_3^2a_k(3,3)-t_2t_3\bigl(a_k(2,3)+a_k(3,2)\bigr) \\ &\qquad-4t_1^2a_k(0,0)+ 2t_1t_2\bigl(a_k(0,2)+a_k(2,0)\bigr)+2t_1t_3\bigl(a_k(0,3)+a_k(3,0)\bigr)\bigr] \\ &\qquad -t_2\bigl(a_k(1,2)+a_k(2,1)\bigr)-t_3\bigl(a_k(1,3)+a_k(3,1)\bigr)+2t_1\bigr(a_k(0,1) +a_k(1,0)\bigr), \\ L_k^2 &= 1 - 4(t_1+t_2)a_k(0,0) - 2t_2a_k(2,2) - t_1a_k(3,3)+4t_2\bigl(a_k(0,2)+a_k(2,0)\bigr) \\ &\qquad- t_2\bigl(a_k(2,3)+a_k(3,2)\bigr)+2t_1\bigl(a_k(0,3)+a_k(3,0)\bigr) \\ &\qquad +8t_2(t_1-t_2)a_k(0,0)a_k(2,2) +4t_2(t_2-t_1)a_k(0,0)\bigl(a_k(2,3)+a_k(3,2)\bigr) \\ &\qquad +4t_2(t_2-t_1)a_k(2,2)\bigl(a_k(0,3) +a_k(3,0)\bigr)+ (2t_1t_2-t_1^2)a_k(2,2)a_k(3,3) \\ &\qquad - 4t_2^2(t_1+t_2)a_k(0,0)a_k(2,2)a_k(3,3)+ 4t_1t_2a_k(0,0)a_k(3,3). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
После замены переменных (2.5), (2.6) произведение плотностей примет вид
$$
\begin{equation*}
u\bigl(\zeta^*(1)\bigr)u\bigl(\zeta^*(2)\bigr)u\bigl(\zeta^*(3)\bigr)u\bigl(4z^* - \zeta^*(1) - \zeta^*(2) - \zeta^*(3)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим отдельно произведение плотностей, зависящих от $\zeta^*(1)$ и не зависящих от $\zeta^*(1)$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1 &=u\bigl(\zeta^*(1)\bigr)u\bigl(4z^* - \zeta^*(1) - \zeta^*(2) - \zeta^*(3)\bigr), \\ I_2 &=u\bigl(\zeta^*(2)\bigr)u\bigl(\zeta^*(3)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $c_0 \ne 0$, $b_1=c_1/c_0$, $b_2=c_2/c_0$. Тогда справедливо разложение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u(\zeta^*(1)) &= c_0\bigl[\bigl(1+b_1\overline\zeta_1(1)\zeta_1(1)\bigr)\bigl(1+b_1\overline\zeta_2(1)\zeta_2(1) \bigr){+}\,(b_2 \,{-}\, b_1^2)\overline\zeta_1(1)\zeta_1(1)\overline\zeta_2(1)\zeta_2(1)\bigr] \\ &= c_0\bigl[\bigl(1+b_1a_1(1,1)\bigr)\bigl(1+b_1a_2(1,1)\bigr)+(b_2-b_1^2)a_1(1,1)a_2(1,1) \bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation*}
u\bigl(\zeta^*(1)\bigr)u\bigl(4z - \zeta^*(1) - \zeta^*(2) - \zeta^*(3)\bigr)= c_0[(1+b_1T_1)(1+b_2T_2)+(b_2-b_1^2)T_1T_2],
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_k &=\bigl(4\overline z^* - \overline\zeta_k(1) - \overline\zeta_k(2) - \overline\zeta_k(3)\bigr)\bigl(4z_k - \zeta_k(1) - \zeta_k(2) - \zeta_k(3)\bigr)=M_k^1+M_k^2, \\ M_k^1 &=a_k(1,1)+a_k(1,2)+a_k(1,3)+a_k(2,1)+a_k(3,1) - 4(a_k(0,1)+a_k(1,0)), \\ M_k^2 &=16a_k(0,0) - 4\bigl(a_k(0,2)+a_k(0,3)+a_k(2,0)+a_k(3,0)\bigr) +a_k(2,2)+a_k(2,3) \\ &\qquad+a_k(3,2) + a_k(3,3)+a_k(3,2)+a_k(3,3) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $M_k^1$ содержит слагаемые, зависящие от $\zeta_k(1)$ или $\overline\zeta_k(1)$, а $M_k^2$ – все остальные слагаемые, $k=1,2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I^1 &=c_0^2\bigl[ \bigl(1+b_1a_1(1,1)\bigr)\bigl(1+b_1a_1(1,1)\bigr)+(b_2 - b_1^2)a_1(1,1)a_2(1,1) \bigr] \\ &\qquad\times [(1+b_1T_1)(1+b_1T_2)+(b_2-b_1^2)T_1T_2] \\ &=c_0^2 (P_1^1P_2^1+dP_1^2P_2^2+ dP_1^3P_2^3+d^2P_1^4P_2^4), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $d=b_2 - b_1^2$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_k^1 &=\bigl(1+b_1a_k(1,1)\bigr)(1+b_1T_k)=1+b_1a_k(1,1)+b_1M_k^1+b_1M_k^2 +b_1^2a_k(1,1)M_k^2, \\ P_k^2 &=\bigl(a+b_1a_k(1,1)\bigr)T_k=1+b_1a_k(1,1)+b_1M_k^1+b_1M_k^2+b_1^2a_k(1,1)M_k^2, \\ P_k^3 &=a_k(1,1)(1+b_1T_k)=a_k(1,1)+b_1a_k(1,1)M_k^2, \\ P_k^4 &=a_k(1,1)T_k=a_k(1,1)M_k^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично можно разложить произведение
$$
\begin{equation*}
I^2=u\bigl(\zeta^*(2)\bigr)u\bigl(\zeta^*(3)\bigr)=c_0^2(G_1^1G_2^1+dG_1^2G_2^2+dG_1^3G_2^3+ d^2G_1^4G_2^4),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} G_k^1 &=\bigl(1+b_1a_k(2,2)\bigr)\bigl(1+c_1a_k(3,3)\bigr), &\qquad G_k^2 &=\bigl(1+b_1a_k(2,2)\bigr)a_k(3,3), \\ G_k^3 &=a_k(2,2)\bigl(1+b_1a_k(3,3)\bigr), &\qquad G_k^4 &=a_k(2,2)a_k(3,3). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
R_k^i=\int L_k^1 P_k^i \,d\zeta_k(1)\, d\overline\zeta_k(1),\qquad k=1,2,\quad i=1,2,3,4.
\end{equation*}
\notag
$$
Выражения $R_k^i$ зависят уже только от переменных $\zeta_k(2)$, $\overline\zeta_k(2)$, $\zeta_k(3)$, $\overline\zeta_k(3)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int L_1^1L_2^1I^1\,d\zeta_1(1)\, d\overline\zeta_1(1)\, d\zeta_2(1)\, d\overline\zeta_2(1) \\ &\qquad= c_0^2 (R_1^1R_2^1+dR_1^2R_2^2+dR_1^3R_2^3+d^2R_1^4R_2^4). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\int R_k^{m} L_k^2 G_k^n \,d\zeta_k(2)\, d\overline\zeta_k(2)\, d\zeta_k(3)\, d\overline\zeta_k(3)=F_k^{n,m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда полный интеграл
$$
\begin{equation*}
R(\alpha)u =\int L_1^1L_2^1L_1^2L_2^2I^1I^2\prod_{i=1}^3 d\zeta_1(i)\, d\overline\zeta_1(i)\, d\zeta_2(i)\, d\overline\zeta_2(i) =c_0^4\sum_{\substack{0\leqslant i \leqslant4 \\ 0\leqslant j \leqslant4}} d_id_{j}F_1^{m,n}F_2^{m,n},
\end{equation*}
\notag
$$
где С учетом соотношения $t_3=t_1 - t_2$, получим следующие ответы для интегралов $F_k^{m,n}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_k^{1,1} &=a_k(0,0)(16c_1^4 - 16c_1^3\delta t_2 - 16c_1^3t_2+32c_1^2\delta t_2^2 - 16c_1^2t_2^2 - 16c_1\delta t_2^3+16c_1t_2^3) \\ &\qquad+4c_1^3 - 4c_1^2\delta t_2 - 4c_1^2t_2+8c_1\delta t_2^2 - 4c_1t_2^2 - 4\delta t_2^3+ 4t_2^3, \\ F_k^{1,2} &=F_k^{1,3}=F_k^{2,1}=F_k^{3,1}=a_k(0,0)(16c_1^3 - 12c_1^2\delta t_2 - 12c_1^2t_2+ 16c_1\delta t_2^2 - 8c_1t_2^2 \\ &\qquad - 4\delta t_2^3+4t_2^3)+ 3c_1^2 - 2c_1\delta t_2 - 2c_1t_2+2\delta t_2^2 - t_2^2, \\ F_k^{1,4} &=F_k^{2,2}=F_k^{3,3}=F_k^{4,1}=a_k(0,0)(16c_1^2 - 8c_1\delta t_2 - 8c_1t_2+ 4\delta t_2^2)+2c_1 - \delta t_2, \\ F_k^{2,3} &=F_k^{3,2}=F_k^{4,4}=a_k(0,0)(16c_1^2 - 8c_1\delta t_2 - 8c_1t_2+8\delta t_2^2 - 8t_2^2)+2c_1 - 2t_2, \\ F_k^{2,4}&=F_k^{3,4}=F_k^{4,2}=F_k^{4,3}=a_k(0,0)(16c_1 - 4\delta t_2 - 4t_2)+1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как набор коэффициентов ($c_0$, $c_1$, $c_2$), задающих плотность общего вида, определяется с точностью до ненулевого множителя, запишем преобразование РГ в виде
$$
\begin{equation*}
R(\alpha)u=\frac{1}{16} \cdot c_0^4\sum_{\substack{0\leqslant i \leqslant4 \\ 0\leqslant j \leqslant4}} d_id_{j}F_1^{m,n}F_2^{m,n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Возвращаясь к координатам ($c_0$, $c_1$, $c_2$) и учитывая, что $d=c_2/c_0 - (c_1/c_0)^2$,
$$
\begin{equation*}
a_k(0,0)=\overline z_kz_k=\bigl(2^{\alpha/2 - 2} \overline\psi_k^{\,\prime}\bigr)(2^{\alpha/2 - 2} \psi_k')= 2^{\alpha - 4}\overline\psi_k^{\,\prime}\psi_k',
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation*}
u'(\psi^{*\prime})= R(\alpha)u= c_0'+c_1'\bigl(\overline{\psi}^{\,\prime}_1\psi'_1 +\overline{\psi}^{\,\prime}_2\psi'_2\bigr) +c_2'\overline{\psi}^{\,\prime}_1\psi'_1\overline{\psi}^{\,\prime}_2\psi'_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_0'$, $c_1'$, $c_2'$ задаются формулами (2.2), (2.3), (2.4). Теорема доказана. § 3. Свойства отображения ренормализационной группыРассмотрим следующий оператор: Заметим, что в формулы (2.2)–(2.4), задающие отображение $R(\alpha)$, входят коэффициенты $t_2,\delta$ (зависящие от $\alpha$). Для дальнейших рассуждений переобозначим отображение РГ $R(\alpha)$ в пространстве $c= (c_0,c_1,c_2)$ как $R(\alpha;\delta, t_2)$:
$$
\begin{equation*}
R(\alpha;\delta, t_2)(c)=\bigl(f_0(c; \delta, t_2), f_1(c; \delta, t_2), f_2(c; \delta, t_2)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Легко увидеть, что отображение преобразования $R(\alpha;\delta, t_2)$ в проективном пространстве сопряжено преобразованию $R(\alpha;\delta, 1)$. Действительно, из (2.2), (2.3), (2.4) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_0(c;\delta, t_2)=t_2^6f_0(T(t_2)c; \delta, 1), \qquad f_1(c; \delta, t_2)=t_2^7f_1\bigl(T(t_2)c; \delta, 1\bigr), \\ f_2(c, \delta, t_2)=t_2^8f_2\bigl(T(t_2)c; \delta, 1\bigr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
тогда
$$
\begin{equation*}
R(\alpha;\delta,t_2)c=t_2^6T^{-1}(t_2)R(\alpha;\delta,1)T(t_2)c.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $t_2 \ne 0$, то получаем условие сопряженности в проективном пространстве
$$
\begin{equation*}
R(\alpha;t_2,\delta)c=T^{-1}(t_2)R(\alpha;\delta,1)T(t_2)c.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому далее мы будем рассматривать отображение $R(\alpha;\delta, 1)$, которое будем обозначать как $R(\alpha;\delta)$. Заметим, что если $\lambda=1$, то и $\mu=1$, и в этом случае $s_2=s_3$, и значит $\delta= t_2/t_1=2$. Случай, когда $\lambda=1$, соответствует стандартной иерархической решетке. Можно увидеть, что из формул для $f_0$, $f_1$, $f_2$ выделяется общий множитель $(c_0-2c_1+c_2)^2$, и отображение $R(\alpha;2)$ совпадает с отображением РГ в фермионной модели на стандартной иерархической решетке [10]. Далее рассмотрим представление нашей модели в $(r,g)$-координатах. Пусть
$$
\begin{equation*}
u(\psi^*)=\exp\bigl\{-r\bigl(\overline\psi_1\psi_1+\overline\psi_2\psi_2\bigr)+ g\overline\psi_1\psi_1\overline\psi_2\psi_2\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В проективном представлении такая плотность задается тройкой коэффициентов Преобразование РГ в плоскости констант связи $(r,g)$ также будем обозначать $R(\alpha; \delta)$: Лемма 1. Преобразование РГ $R(\alpha;\delta)$ в плоскости $(r,g)$ имеет вид Доказательство леммы производится прямым вычислением с помощью обратного преобразования
$$
\begin{equation*}
r=- \frac{c_1}{c_0},\qquad g=\frac{c_1^2 - c_2c_0}{c_0^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие. Области $\{(r,g)\colon g\,{>}\,0\}$ (верхняя полуплоскость), $\{(r,g)\colon g\,{<}\,0\}$ (нижняя полуплоскость) и $\{(r,g)\colon g=0\}$ являются инвариантными областями отображения $R(\alpha; \delta)$. Действие $R(\alpha,\delta)$ на прямой $\{(r,g):g=0\}$ является линейным: Рассмотрим особые точки Точки $A_0$ и $A_1$ являются неподвижными точками $R(\alpha,\delta)$ при всех $\alpha$ и $\delta$. Точка $A_2$ является сингулярной точкой отображения $R(\alpha; \delta)$ при всех $\alpha$ и $\delta$: В координатах $(r,g)$ точка $A_0$ записывается как $(0,0)$, поэтому назовем $A_0$ гауссовской неподвижной точкой. Точка $A_1$ не находится в регулярной плоскости $\{(r,g)\}$, и ей соответствует плотность $u(\psi^*)=\overline\psi_1\psi\overline\psi_2\psi_2$ (грассманова дельта-функция).Теорема 2. Неподвижная точка $A_0$ является отталкивающей при $\alpha>3$, седловой в интервале $2<\alpha<3$ и притягивающей при $\alpha<2$. Неподвижная точка $A_1$ является притягивающей при $\alpha>2$, седловой в интервале $1< \alpha< 2$ и отталкивающей при $\alpha<1$. Доказательство. Введем в окрестности точки $A_0=(1,0,0)$. В этих координатах точки $A_0$ имеет вид $(0,0)$. Из (2.2)–(2.4) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x' &=\frac{c_1'(c_0,c_1,c_2)} {c_0' (c_0,c_1,c_2)}=\frac{c_1' (1,x,y)} {c_0'(1,x,y)} = 2^{\alpha-2} \frac{x(\delta - 1)^2+y(-\delta^2/2+3\delta/4 - 1)+ P_1(x,y)}{(\delta - 1)^2+P_2(x,y)}, \\ y' &=2^{2(\alpha - 2)} \frac{y((\delta -1)^2/4)+P_3(x,y)}{(\delta -1)^2+ P_2(x,y)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь в полиномах $P_1(x,y)$ и $P_3(x,y)$ все мономы имеют степень больше $1$, а в полиноме $P_2(x,y)$ все мономы имеют степень больше $0$. Следовательно, дифференциал отображения $R(\alpha;\delta)$ в точке $x=0$, $y=0$ имеет вид
Собственные числа дифференциала $D_0$ равны $\gamma_1=2^{\alpha - 2}$, $\gamma_2= 2^{2\alpha - 6}$. Поэтому, если $\alpha>3$, то $\gamma_1>1$, $\gamma_2>1$ и неподвижная точка $A_0$ является отталкивающей. При $2<\alpha<3$ точка $A_0$ является седловой, а при $\alpha<2$ – притягивающей. Значение $\alpha=3$ является бифуркационным, и поэтому в окрестности точки $A_0$ должна существовать новая (негауссовская) ветвь неподвижных точек. В окрестности точки $A_1=(0,0,1)$ введем локальные координаты $u=c_1/c_2$, $v=c_0/c_2$.
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u' &=\frac{c_1'(c_0,c_1,c_2)}{c_2'(c_0,c_1,c_2)}=\frac{c_1'(v,u,1)} {c_2'(u,v,1)} =2^{-(\alpha-2)} \frac{u+v(-\delta/4 - 1/4)+P_4(u,v)}{1+P_5(u,v)}, \\ v' &=2^{-2(\alpha - 2)} \frac{v/4+P_6(u,v)}{1+P_5(u,v)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В полиномах $P_4(u,v)$ и $P_6(u,v)$ все мономы имеют степень больше $1$, а в полиноме $P_5(u,v)$ все мономы имеют степень больше $0$. Следовательно, дифференциал отображения $R(\alpha, \delta)$ в точке $u=0$, $v=0$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
D_1 =\begin{pmatrix} 2^{-(\alpha-2)} & 2^{\alpha-2} \biggl(-\dfrac{\delta}4 - \dfrac14\biggr) \\ 0 & 2^{-2\alpha+2} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Собственные числа дифференциала $D_1$ равны $\lambda_1=2^{-(\alpha - 2)}$, $\lambda_2= 2^{-2\alpha+2}$. Поэтому при $\alpha>2$ точка $A_1$ является притягивающей, в интервале $1<\alpha<2$ $A_1$ является седловой неподвижной точкой, а при $\alpha<1$ точка $A_1$ является отталкивающей. Значение $\alpha =1$ является бифуркационным, следовательно, в окрестности точки $A_1$ должна существовать новая ветвь неподвижных точек. Теорема 2 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MisKha23} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|