Абстрактные свойства $S$-арифметических групп и конгруэнц-проблема

Пусть $G$ – простая односвязная алгебраическая группа над полем алгебраических чисел $K$, $S$ – конечное множество нормирований $K$, содержащее все архимедовы нормирования. В статье изучаются связи между абстрактными свойствами $S$-арифметической подгруппы $\mathbf\Gamma=G_{O(S)}$ и справедливостью для нее конгруэнц-свойства, т.е. конечностью соответствующего конгруэнц-ядра $C=C^S(G)$. В частности, показано, что если проконечное пополнение $\Delta=\widehat\Gamma$ удовлетворяет следующему условию $(\mathbf {PG})'$: для любого целого $n>0$ и любого простого $p$ существуют такие $c$ и $k$, что $|\Delta/\Delta^{np^\alpha}|\leqslant cp^{k\alpha}$ при всех $\alpha>0$, то $C$ конечно. Приводятся примеры, демонстрирующие возможность эффективной проверки условия $(\mathbf {PG})'$.