| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
О локальной фундаментальной группе дополнения к кривой в нормальной поверхности Вик. С. Куликов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9357e 
Реферативные базы данных:
    Автор благодарен рецензенту за ценные замечания. ВведениеОбозначим через $(S,C)$ пару, в которой $S$ – это нормальная комплексная (не обязательно компактная) поверхность и $C\subset S$ – эффективный приведенный (возможно обращающийся в нуль) дивизор Вейля на поверхности $S$ (далее именуемый кривой, лежащей на поверхности $S$), удовлетворяющий следующим условиям: (i) $C$ является связным множеством, (ii) если $C$ – нулевой дивизор, то $C=o\in S$ – это точка, (iii) если неприводимая компонента кривой $C$ не является компактом (далее такие компоненты будем называть ростками кривых), то она гомеоморфна диску $\mathbb D_1=\{ z\in\mathbb C\mid |z|< 1\}$, имеет не более одной особой точки и эта точка является образом центра диска $\mathbb D_1$ (будем называть образ центра диска $\mathbb D_1$ центром ростка кривой), (iv) каждый неприводимый росток кривой пересекается с другими неприводимыми компонентами кривой $C$ только в его центре. Обозначим через $C_0$ объединение всех неприводимых компактных компонент кривой $C$ (если $C$ не имеет одномерных компактных компонент, то $C_0$ – это точка, общая для всех неприводимых компонент кривой $C$). Пусть $U\subset S$ – некоторая открытая окрестность (в комплексно-аналитической топологии) кривой $C_0$. Назовем собственное голоморфное отображение $\nu\colon X\to U$ разрешением особенностей кривой $C$, если 1) $X$ – неособая поверхность, и $\nu\colon X\setminus \nu^{-1}(C)\to U\setminus C$ – биголоморфное отображение, 2) $\widetilde C=\nu^{-1}(C)$ – дивизор с нормальными пересечениями в $X$, 3) каждая неприводимая компонента дивизора $\widetilde C$ является неособой кривой, 4) любые две неприводимые компоненты дивизора $\widetilde C$ пересекаются максимум в одной точке, 5) если $C=o$ – это точка, или если все неприводимые компоненты кривой $C$ не компактны, то $\nu\colon X\to U$ не является биголоморфным отображением. Обозначим $\widetilde C_0=\nu^{-1}(C_0)\subset X$. Из 5) следует, что $\widetilde C_0$ – непустое объединение компактных кривых, а из теоремы Штейна о факторизации (см. [1]), примененной к отображению $\nu$, и связности множества $C$ следует, что $\widetilde C$ и $\widetilde C_0$ также являются связными множествами. В [2] (см. также [3]) было определено понятие “трубчатой” окрестности кривой $C_0\subset S$, основанное на существовании полиномиальной вещественнозначной функции $\alpha \colon X\to \mathbb R$ такой, что $\alpha(x)\geqslant 0$ для $x\in X$ и $\alpha(\widetilde C_0)=0$. В настоящей статье мы используем слегка измененное определение множества $\mathcal U_C$ “трубчатых” окрестностей $U_{\varepsilon}\subset S$ кривой $C_0$, основанное на существовании хороших (по отношению к кривой $\widetilde C$) эрмитовых метрик (т. е. положительно определенных эрмитовых квадратичных форм) $(ds)^2$ на $X$, так что множество $\mathcal U_C$ обладает следующими свойствами: – множество $\mathcal U_C$ является базой открытых в $S$ подмножеств, содержащих кривую $C_0$, – фундаментальные группы $\pi_1(U_{\varepsilon}\setminus C)$ изоморфны для всех $U_{\varepsilon}\in \mathcal U_C$. Назовем группу $\pi_1^{\mathrm{loc}}(S,C):=\pi_1(U_{\varepsilon}\setminus C)$, $U_{\varepsilon}\in \mathcal U_C$, локальной фундаментальной группой дополнения к кривой $C$ в $S$. Скажем, что эрмитова метрика $(ds)^2$, определенная в некоторой окрестности $\widetilde U\subset X$ кривой $\widetilde C_0$ является хорошей (по отношению к кривой $\widetilde C$), если для особых точек $p$ кривой $\widetilde C$ существуют окрестности $V_p\subset \widetilde U$ такие, что (i) в каждой $V_p$ существуют локальные координаты $(z_1,z_2)$ такие, что $p=(0,0)$ и
$$
\begin{equation*}
V_p\simeq\mathbb B_2=\{(z_1,z_2)\in \mathbb C^2\mid \sqrt[2]{|z_1|^2+|z_2|^2}<2\},
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) $z_1z_2=0$ – уравнение кривой $\widetilde C\cap V_p$, (iii) метрика $(ds)^2$ задана в $V_p$ формулой $(ds)^2=dz_1\,d\overline z_1+dz_2\,d\overline z_2$, (iv) $V_{p_1}\cap V_{p_2}=\varnothing$ для $p_1\neq p_2$. Для того чтобы определить множество “рубчатых” окрестностей $\mathcal U_C$, рассмотрим окрестность $U\subset S$ кривой $C_0$ такую, что: во-первых, если $p\in \operatorname{Sing} S\cap U$, то $p\in C$ и, во-вторых, пара $(U,U\cap C)$ удовлетворяет условиям (i)–(iv). В п. 1.1 доказано существование хороших метрик в компактно вложенных в $X$ окрестностей $\widetilde U$ кривой $\widetilde C_0$. В § 2 доказано, что для заданной хорошей метрики $(ds)^2$ в $\widetilde U\subset X$ существует положительное число $\varepsilon_0:=\varepsilon_0((ds)^2)\ll 1$ такое, что множества $\widetilde U_{\varepsilon_1}\setminus \widetilde C_0$ и $\widetilde U_{\varepsilon_2}\setminus \widetilde C_0$ гомеоморфны друг другу, если $\varepsilon_1,\varepsilon_2 <\varepsilon_0$, где
$$
\begin{equation*}
\widetilde U_{\varepsilon}= \{ p\in \widetilde U\mid \operatorname{dist}_{(ds)^2}(\widetilde C_0, p)<\varepsilon\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\mathcal U_{\widetilde C,\nu, (ds)^2}:=\{ \widetilde U_{\varepsilon}\mid \varepsilon<\varepsilon_0((ds)^2)\}$ множество всех окрестностей $\widetilde U_{\varepsilon}$ кривой $\widetilde C_0$ с $\varepsilon<\varepsilon_0$ и назовем $\widetilde U_{\varepsilon}\in \mathcal U_{\widetilde C,\nu, (ds)^2}$ (см. определение 2 в п. 1.2) трубчатой окрестностью кривой $\widetilde C_0\subset X$ (определенной с помощью хорошей метрики $(ds)^2$). Обозначим через $\mathcal U_{\widetilde C, \nu}:= \bigsqcup_{(\widetilde ds)^2}\mathcal U_{\widetilde C,\nu, (ds)^2}$ дизъюнктное объединение множеств $\mathcal U_{\widetilde C,\nu, (ds)^2}$, взятое по всем хорошим метрикам $(ds)^2$, через $\mathcal U_{\widetilde C}:=\bigsqcup_{\nu}\mathcal U_{\widetilde C,\nu}$ – дизъюнктное объединение множеств $\mathcal U_{\widetilde C,\nu}$, взятое по всем разрешениям $\nu\colon X\to U$ особенностей кривой $C\subset S$. Открытые в $S$ множества $U_{\varepsilon}$, принадлежащие одному из множеств $\mathcal U_{C,\nu}:=\{ U_{\varepsilon}=\nu(\widetilde U_{\varepsilon})\subset S\mid \widetilde U_{\varepsilon}\in \mathcal U_{\widetilde C,\nu}\}$ назовем “трубчатыми” окрестностями кривой $C_0\subset S$. Обозначим через $\mathcal U_{C}:=\bigsqcup_{\nu}\mathcal U_{C,\nu} $ и через ${\mathcal U}:=\bigsqcup_{C}\mathcal U_{\widetilde C}$ дизъюнктное объединение множеств $\mathcal U_{\widetilde C}$, взятое по всем парам $(S,C)$. Граница $\partial U_{\varepsilon}\subset S$ окрестности $U_{\varepsilon}\in \mathcal U_{C}$ является связным компактным трехмерным $C^0$-многообразием без границы. В § 2 доказана следующая теорема. Теорема 1. Пусть $C\subset S$ – компактная кривая в нормальной комплексной поверхности $S$. Тогда 1) для $U_{\varepsilon} \in \mathcal U_{C,\nu, (ds)^2}$ существует гомеоморфизм $\rho_{\varepsilon}\colon U_{\varepsilon}\setminus C\to \partial U_{\varepsilon}\times (0,\varepsilon)$ (здесь $(0,\varepsilon)=\{ t\in \mathbb R\mid 0< t< \varepsilon\})$ такой, что $\rho^{-1}_{\varepsilon}(\partial U_{\varepsilon}\times \{\varepsilon_1\}) =\partial U_{\varepsilon_1}\subset U_{\varepsilon}$ для $0<\varepsilon_1<\varepsilon$ и, в частности, $\pi_1(U_{\varepsilon}\setminus C)\simeq \pi_1(\partial U{_\varepsilon})$; 2) группы $\pi_1(U_{\varepsilon}\setminus C)$ и $\pi_1(U'_{\varepsilon'}\setminus C)$ изоморфны для всех $U_{\varepsilon}$, $U'_{\varepsilon'}\in \mathcal U_{C}$. Обозначим через $\Gamma(\widetilde C)$ двойственный частично двувзвешенный граф кривой $\widetilde C=\nu^{-1}(C)=C_1\cup\dots\cup C_{m+k}$, где $C_1,\dots,C_m$ – неприводимые компактные компоненты кривой $\widetilde C$ и $C_{m+1},\dots, C_{m+k}$ – ее неприводимые некомпактные компоненты. Множество вершин графа $\Gamma(\widetilde C)$ – это $\{ v_{1,0},\dots, v_{m,0}\}\cup \{ v_{m+1,1},\dots, v_{m+k,1}\}$. Вершины $v_{j,0}$, $j=1,\dots, m$, соответствуют компактным компонентам $C_j$, и их веса – это $(w_{1,j},w_{2,j})$, где $w_{1,j}=(C_{j}^2)_{X}$ – индекс самопересечения и $w_{2,j}=g_j$ – род кривой $C_j$. Вершины $v_{j,1}$, $j=m+1,\dots, n=m+k$, соответствуют некомпактным компонентам кривой $\widetilde C$ и не имеют весов. Вершины $v_{j_1,\delta_{j_1}}$ и $v_{j_2,\delta_{j_2}}$ соединены ребром $e_{j_1,j_2}:=(v_{j_1,\delta_{j_1}},v_{j_2,\delta_{j_2}})$ тогда и только тогда, когда $C_{j_1}\cap C_{j_2}\neq \varnothing$. Отметим, что $\Gamma(\widetilde C)$ является связным графом, так как $\widetilde C$ – связное множество. Обозначим через $\mathcal G$ множество всех связных конечных частично двувзвешенных графов $\Gamma$, удовлетворяющих следующим условиям:
Нетрудно показать (см. п. 2.1), что имеет место следующее предложение. Предложение 1. Отображение $\gamma\colon (\widetilde U_{\varepsilon},\widetilde C)\in \mathcal U\mapsto \Gamma(\widetilde C)\in\mathcal G$ является сюръекцией. Обозначим через $\Gamma_0$ подграф графа $\Gamma\in \mathcal G$, множество вершин $V(\Gamma_0)$ которого – это $V(\Gamma_0)=\{ v_{1,0},\dots, v_{m,0}\}$, и множество ребер графа $\Gamma_0$ – это множество ребер графа $\Gamma$, которые соединяют вершины из $V(\Gamma_0)$. Отметим, что фундаментальные группы $\pi_1(\Gamma(\widetilde C),v_{1,0})$ и $\pi_1(\Gamma(\widetilde C_0),v_{1,0})$ являются свободными группами одного и того же ранга $r\geqslant 0$, так как валентности $\operatorname{v}_j$ вершин $v_{j,1}$ равны $1$ для $j>m$. Будем рассматривать граф $\Gamma\in \mathcal G$ как геометрический граф. Выберем $r$ ребер $E_1,\dots, E_r$ графа $\Gamma_0$ так, что $\pi_1\bigl(\Gamma\setminus \bigcup_{l=1}^sE_{l},v_{1,0}\bigr)$ являются свободными группами ранга $r-s$ для $s=1,\dots, r$. Пусть вершины $v_{j(E_s,1),0}$ и $v_{j(E_s,2),0}$ соединены ребрами $E_s$. Для каждого $s=1,\dots,r$ выберем две точки $v_{j(E_s,1),1}$ и $v_{j(E_s,2),1}$ на ребре $E_s$ так, что мы встречаем сначала точку $v_{j(E_s,2),1}$, если мы двигаемся от точки $v_{j(E_s,1),0}$ к $v_{j(E_s,2),0}$ вдоль ребра $E_s$. Обозначим $\widetilde E=\{ E_1,\dots, E_r\}$, и пусть ${\Gamma}_{\widetilde E}$ – граф (называемый деревом графа $\Gamma$), полученный из графа $\Gamma$ после присоединения точек $v_{j(E_s,1),1}$ и $v_{j(E_s,2),1}$, $s=1,\dots,r$, к множеству вершин графа $\Gamma$ и удаления ребер $(v_{j(E_s,2),1},v_{j(E_s,2),1})$, соединяющих вершины $v_{j(E_s,2),1}$ и $v_{j(E_s,2),1}$ (см. рис. 1). По определению, вершины $v_{j(E_s,i),1}$ не имеют весов при $i=1,2$. Для каждой пары вершин $v_{i,\delta_i}$ и $v_{j,\delta_j}$ графа ${\Gamma}_{\widetilde E}$ положим
$$
\begin{equation*}
\Delta_{(i,\delta_i),(j,\delta_j)}=\begin{cases} 1, &\text{если } v_{i,\delta_i}\text{ и }v_{j,\delta_j}\text{ соединены ребром в } {\Gamma}_{\widetilde E}, \\ 0, &\text{если }v_{i,\delta_i}\text{ и }v_{j,\delta_j}\text{ не соединены ребром в } {\Gamma}_{\widetilde E}, \\ 0, &\text{если }v_{i,\delta_i}=v_{j,\delta_j}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\operatorname{v}_{j_0}:=\operatorname{v}(v_{j_0,0})$ валентность вершины $v_{j_0,0}\in {\Gamma}_{\widetilde E}$, и пусть
$$
\begin{equation*}
\Upsilon_{j_0}=\{ v_{i_1,\delta_{i_1}},\dots, v_{i_{\operatorname{v}_{j_0}},\delta_{i_{\operatorname{v}_{j_0}}}}\}
\end{equation*}
\notag
$$
есть множество вершин $v_{j,\delta_j}\in {\Gamma}_{\widetilde E}$, соединенных с $v_{j_0,0}$ ребрами. Обозначим через $I_{j_0}$ множество индексов $(j,\delta_j)$ вершин $v_{j,\delta_j}\in \Upsilon_{j_0}$ и выберем биекцию
$$
\begin{equation*}
\overline o_{j_0}=(o_{j_0},d_{j_0})\colon \{ 1,\dots, \operatorname{v}_{j_0}\}\to I_{j_0}, \qquad (o_{j_0}(i),d_{j_0}(i))\in I_{j_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сопоставим вершинам $v_{j,0}$, $j=1,\dots, m$, имеющим веса $(w_1,w_2)=(k_j,g_j)$, слова
$$
\begin{equation}
\mathcal W_j:= x_{j,0}^{k_j}\prod_{i=1}^{g_{j}}[\mu_{j,i},\lambda_{j,i}] \prod_{i=1}^{\operatorname{v}_{j}}x_{\overline{o}_{j}(i)}
\end{equation}
\tag{1}
$$
в алфавите $\mu_{j,1},\lambda_{j,1},\dots, \mu_{j,g_{j}},\lambda_{j,g_{j}}$, $x_{j,0}$, $x_{\overline{o}_{j}(1)},\dots,x_{\overline{o}_{j}(\operatorname{v}_{j})}$, в которых $[\mu_{j,i},\lambda_{j,i}]=\mu_{j,i}\lambda_{j,i}\mu_{j,i}^{-1}\lambda_{j,i}^{-1}$. В следующем определении мы используем введенные выше обозначения. Определение 1. Для выбранного дерева $\Gamma_{\widetilde E}$ графа $\Gamma\in\mathcal G$ обозначим через $\pi^w_1(\Gamma_{\widetilde E})$ группу, заданную копредставлением: она порождается $m+k+3r+2\sum_{j=1}^mg_j$ элементами $(\mathrm{g}_1)$ $x_{j,0}$, $\mu_{j,i}$, $\lambda_{j,i}$, $1\leqslant j\leqslant m$, $1\leqslant i\leqslant g_j$, $(\mathrm{g}_2)$ $x_{m+1,1},\dots, x_{m+k,1}$, $(\mathrm{g}_3)$ $x_{j(E_s,1),1}$, $x_{j(E_s,2),1}$, $y_s$, $1\leqslant s\leqslant r$, связанными определяющими соотношениями $(\mathrm{r}_1)$ $\mathcal W_{j} =1$, $1\leqslant j \leqslant m$, $(\mathrm{r}_2)$ $[x_{j,0}, \mu_{j,i}]=[x_{j,0}, \lambda_{j,i}] =1$, $1\leqslant j\leqslant m$, $1\leqslant i\leqslant g_j$, $(\mathrm{r}_3)$ $[x_{j_1,\delta_1}, x_{j_2,\delta_2}] =1$, $\Delta_{(j_1,\delta_1),(j_2\delta_2)}=1$, $(\mathrm{r}_4)$ $x_{j(E_s,1),0}^{-1}y_sx_{j(E_s,1),1}y_s^{-1} =1$, $1\leqslant s\leqslant r$, $(\mathrm{r}_5)$ $x_{j(E_s,2),1}^{-1}y_s^{-1}x_{j(E_s,2),0}y_s =1$, $1\leqslant s\leqslant r$, где слова $\mathcal W_{j}$ определены в (1). Теорема 2. Пусть $\Gamma_{\widetilde E_1}$ и $\Gamma_{\widetilde E_2}$ – два дерева графа $\Gamma\in\mathcal G$. Тогда $\pi^w_1(\Gamma_{\widetilde E_1})$ и $\pi^w_1(\Gamma_{\widetilde E_2})$ являются изоморфными группами. Пусть $\Gamma_{\widetilde E}$ – дерево графа $\Gamma\,{\in}\,\mathcal G$. Ввиду теоремы 2 назовем $\pi_1^w(\Gamma)\,{:=}\,\pi_1^w(\Gamma_{\widetilde E})$ фундаментальной группой частично двувзвешенного графа $\Gamma$, а группу $\pi_1(\Gamma,v_{1,0})$ будем называть просто фундаментальной группой графа $\Gamma$. Теорема 3. Для $U_{\varepsilon}\in \mathcal U_{C,\nu}$ и дерева ${\Gamma}_{\widetilde E}(\widetilde{C})$ графа $\Gamma(\widetilde C)$, $\widetilde C=\nu^{-1}(C)$, группа $\pi_1(U_{\varepsilon}\setminus C)$ изоморфна группе $\pi_1^w(\Gamma_{\widetilde E})$. Группы $\pi_1(U_{\varepsilon}\setminus C)$ и $\pi_1(U'_{\varepsilon'}\setminus C)$ изоморфны для всех $U_{\varepsilon}$, $U'_{\varepsilon'}\in \mathcal U_{C}$. Ввиду предложения 1 легко видеть, что теорема 2 является прямым следствием теоремы 3. Когда $C=o$ – это особая точка нормальной поверхности $S$ и $\Gamma(\widetilde C)$ – дерево, теорема 3 была доказана Мамфордом в [2] для случая, когда $\widetilde C$ – объединение рациональных кривых, и Вагрейхом в [4] для общего случая, т. е. когда неприводимые компоненты кривой $\widetilde C$ не обязательно рациональны1. Доказательство теоремы 3 содержится также в [5] для случая, когда $C$ – компактная кривая, и содержится в [6] для случая, когда $C_0$ является особой точкой нормальной поверхности. Отметим, что теорема 3 была сформулирована и для случая, когда $C_0$ является особой точкой нормальной поверхности, граф $\Gamma(\widetilde C)$ является деревом и $\widetilde C_0$ – объединение рациональных кривых, и использована в [7] и [8] при описании связи между множеством рациональных пар Белого и множеством жестких ростков конечных морфизмов гладких поверхностей, разветвленных в ростках кривых, имеющих особенности $ADE$ типов. Пусть $\mathcal S$ – подмножество множества $\mathcal G$, и $\Pi_w(\mathcal S)=\{\pi^w_1(\Gamma)\mid \Gamma\in \mathcal S\}$ – множество фундаментальных групп частично двувзвешенных графов $\Gamma\in \mathcal S$, рассматриваемых с точностью до изоморфизма групп. Следующая теорема (доказательство которой приведено в § 3) является следствием из теоремы 3. Теорема 4. 1. Пусть $\mathcal Ch^0_i\subset \mathcal G$, $i=0,1,2$, – множество частично двувзвешенных цепей с $i$ вершинами, не имеющими весов, и вершины $v_{j,0}$ которых имеют веса $(k_j,0)$. Тогда 2. Пусть $\mathcal L\subset \mathcal G$ – множество частично двувзвешенных петель, вершины $v_{j,0}$ которых имеют веса $(k_j,0)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\Pi_w(\mathcal L)=\{ \mathbb Z^2\ltimes_M\mathbb F_1\mid M\in \operatorname{SL}(2,\mathbb Z)\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb Z^2\ltimes_{M}\mathbb F_1=\langle (z_1,z_2),t\mid (z_1,z_2)\in \mathbb Z^2,\, t^{-1}(z_1,z_2)t=(z_1,z_2)M\rangle$ – полупрямые произведения групп $\mathbb Z^2$ и $\mathbb F_1\simeq \mathbb Z$, и $M\in \operatorname{SL}(2,\mathbb Z)$ действуют справа на $\mathbb Z^2$. 3. Пусть $\Gamma\in\mathcal G$ содержит $n_i$ вершин $v_{j,0}$ с весами $(k_j,i)$, и $i_0$ – такое число, что $n_i=0$ для $i>i_0$, и пусть $\pi_1(\Gamma,v_{1,0})\simeq \mathbb F_r$ – свободная группа ранга $r$, тогда существует эпиморфизм на свободное произведение фундаментальных групп $\mathcal R_g=\pi_1(R_g)$ римановых поверхностей $R_g$ рода $g$ и группы $\mathbb F_r$.Далее мы свободно используем введенные выше обозначения. § 1. Доказательство теоремы 31.1. Хорошие метрикиТак как кривая $\widetilde C_0$ является компактом, то мы можем выбрать разбиение единицы $\{\rho_i\}$, подчиненное конечному открытому в $X$ покрытию $\{ W_i\}$ кривой $\widetilde C_0$ такое, что $\sum_i \rho_i(p)=1$ для всех точек $p\in\widetilde C_0$. Пусть $(z_{i,1},z_{i,2})$ – локальные координаты в окрестности $W_i$. Тогда
$$
\begin{equation*}
(d\widetilde s)^2 =\sum_{i}\rho_i(dz_{i,1}\, d\overline z_{i,1}+dz_{i,2}\, d\overline z_{i,2})
\end{equation*}
\notag
$$
является эрмитовой метрикой в некоторой окрестности $\widetilde U\subset \bigcup_iW_i$ кривой $\widetilde C_0$. Пусть $W\subset \widetilde U$ – окрестность точки $p\in \widetilde U$ с локальными координатами $z_1$, $z_2$ такими, что $W$ биголоморфна шару $\mathbb B_{r}=\{ (z_1,z_2)\in\mathbb C^2\mid \sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2}<r\}$ радиуса $r$, и $p$ – это центр шара $\mathbb B_{r}\simeq W$. Тогда метрика $(d\widetilde s)^2$ в окрестности $W$ задана равенством
$$
\begin{equation}
(d\widetilde s)^2=h_{1}\,dz_1\, d\overline z_1+h_{2}\, dz_2\, d\overline z_2+(a+ib)\, dz_1\, d\overline z_2 +(a-ib)\, d\overline z_1\, dz_2,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $h_{1}:=h_{1}(z_1,z_2)$, $h_{2}:=h_{2}(z_1,z_2)$, $a:=a(z_1,z_2)$ и $b:=b(z_1,z_2)$ – вещественнозначные функции в $W$. Кроме того, из критерия Сильвестра положительной определенности квадратичной формы следует, что форма, заданная равенством (2), является положительно определенной тогда и только тогда, когда $h_{1}$, $h_{2}$, $a$, $b$ удовлетворяют неравенствам в каждой точке окрестности $W$. Не ограничивая общности изложения, мы можем считать, что $r=4$ и для $\varepsilon\leqslant 4$ будем рассматривать шары $\mathbb B_{\varepsilon}=\{ (z_1,z_2)\in\mathbb C^2\mid \sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2}<\varepsilon\}$ как открытые подмножества в $W\simeq \mathbb B_{4}$. Доказательство. Выберем монотонные $C^{\infty}$-функции $f_1(t)$ и $g_1(t)$ такие, что
$$
\begin{equation*}
f_1(t)= \begin{cases} 2, &\text{если }t\leqslant 3, \\ 1, &\text{если }t\geqslant \dfrac{7}{2}, \end{cases} \qquad g_1(t)= \begin{cases} 0, &\textrm{если }t\leqslant 3, \\ 1, &\textrm{если }t\geqslant \dfrac{7}{2}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, применяя (3), легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
(ds_1)^2= \begin{cases} f_1(\sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2})(h_{1}\, dz_1\, d\overline z_2+h_{2}\, dz_2\, d\overline z_2) \\ \quad +\,g_1(\sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2})((a+ib)\, dz_1\, d\overline z_2+(a-ib)\, d\overline z_1\, dz_2) &\text{в }\mathbb B_{7/2}\subset W, \\ (d\widetilde s)^2 &\text{в }\widetilde U\setminus \mathbb B_{7/2} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
есть эрмитова метрика в $\widetilde U$ такая, что $(ds_1)^2=2h_{1}\, dz_1\, d\overline z_1+2h_{2}\, dz_2\, d\overline z_2$ в $\mathbb B_{3}\,{\subset}\,W$.
После этого выберем монотонные $C^{\infty}$-функции $f_0(t)$ и $g_0(t)$ такие, что
$$
\begin{equation*}
f_0(t)= \begin{cases} 1, &\text{если }t\leqslant 2, \\ 0, &\textrm{если } t\geqslant \dfrac{5}{2}, \end{cases}\qquad g_0(t)= \begin{cases} 0, &\text{если }t\leqslant 2, \\ 1, &\text{если }t\geqslant \dfrac{5}{2}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
(ds_0)^2= \begin{cases} \bigl(f_0(\sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2})+2g_0(\sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2})h_{1}\bigr)\, dz_1\, d\overline z_2 \\ \ \ +\,\bigl(f_0(\sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2})+2g_0(\sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2})h_{2}\bigr)\, dz_2\, d\overline dz_2 &\text{в }\mathbb B_{5/2}\subset W, \\ (ds_1)^2 &\textrm{в }\widetilde U\setminus \mathbb B_{5/2} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
есть эрмитова метрика в $\widetilde U$ такая, что $(d\widetilde s_0)^2=dz_1\, d\overline z_1+dz_2\, d\overline z_2$ в $\mathbb B_{2}\subset W$. Лемма 1 доказана. Для точек $p_{j_1,j_2}=C_{j_1}\cap C_{j_2}\subset \operatorname{Sing} \widetilde C$, $1\leqslant j_1 < j_2\leqslant n$, выберем попарно непересекающиеся окрестности $W_{j_1,j_2}\subset \widetilde U\subset X$ точек $p_{j_1,j_2}$, биголоморфные шару $\mathbb B_{4}=\{ (z_1,z_2)\in\mathbb C^2\mid \sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2}< 4\}$, и такие, что в координатах $(z_1,z_2)$ в $W_{j_1,j_2}$ кривая $W_{j_1}:=C_{j_1}\cap W_{j_1,j_2}$ (соответственно кривая $W_{j_2}:=C_{j_2}\cap W_{j_1,j_2}$) задана уравнением $z_1=0$ (соответственно $z_2=0$). Применяя лемму 1, в каждой окрестности $W_{j_1,j_2}$ заменим метрику $(d\widetilde s)^2$ на $(ds_0)^2$ и получим хорошую метрику ($ds)^2$ (относительно кривой $\widetilde C$) в $\widetilde U\subset X$. 1.2. Трубчатые окрестностиВыберем окрестность $\widetilde U\subset X$ и в ней хорошую метрику $(ds)^2$. Для положительного $\varepsilon\ll 1$ и для $j=1,\dots,m$ обозначим через
$$
\begin{equation*}
U_{j,\varepsilon}= \{ p\in X\mid \operatorname{dist}_{(ds)^2}(C_j, p)<\varepsilon\}
\end{equation*}
\notag
$$
$\varepsilon$-окрестность компактной кривой $C_j$, через $\overline U_{j,\varepsilon}$ – ее замыкание в $X$ и через
$$
\begin{equation*}
\partial U_{j,\varepsilon}= \{ p\in X\mid \operatorname{dist}_{(ds)^2}(C_j, p)=\varepsilon\}
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим ее границу. Очевидно, существует положительное число $\varepsilon_j\ll 1$ такое, что если $\varepsilon<\varepsilon_j$, то $\overline U_{j,\varepsilon}\subset \widetilde U$ и множество $\{ U_{j,\varepsilon}\}$ является базой открытых в $X$ подмножеств, содержащих кривую $C_j$. Рассмотрим ограничение $T_{X\mid C_j}$ касательного расслоения $T_X$ поверхности $X$ на $C_j$ как расслоение четырехмерных векторных пространств, определенных над $\mathbb R$. Тогда метрика $(ds)^2$ определяет расщепление расслоения $T_{X\mid C_j}$ в прямую сумму $T_{C_j}\bigoplus N_{C_j,(ds)^2}$ касательного расслоения $T_{C_j}$ кривой $C_j$ и нормального расслоения
$$
\begin{equation*}
N_{C_j,(ds)^2}=\{ (p,v) \mid p\in C_j,\, v\in T_{X\mid C_j,p},\, v\perp T_{C_j,p}\}
\end{equation*}
\notag
$$
над $C_j$ векторных пространств, трансверсальных в $T_{X\mid C_j,p}$ к касательным пространствам $T_{C_j,p}$ относительно скалярного произведения
$$
\begin{equation*}
(v_1,v_2)=\frac{1}{2}[(ds)^2(v_1+v_2)-(ds)^2(v_1)-(ds)^2(v_2)].
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\operatorname{pr}_j\colon N_{C_j,(ds)^2}\to C_j$ проекцию расслоения $N_{C_j,(ds)^2}$ на $C_j$, и через $S_{j,0}=\{ (p,0)\in N_{C_j,(ds)^2}\mid p\in C_j\}$ – нулевое сечение. Для $p\in C_j$ рассмотрим ограничение $\operatorname{Exp}_{p\mid N_{C_j,(ds)^2}}\colon N_{C_j,(ds)^2}\to \widetilde U\subset X$ на $N_{C_j,(ds)^2}$ экспоненциального отображения $\operatorname{Exp}_p\colon T_{X,p}\to \widetilde U\subset X$, отображающего сегменты одномерных векторных пространств в $N_{C_j,(ds)^2}$ в геодезические линии, перпендикулярные кривой $C_j$ в точке $p$. Хорошо известно, что для каждой точки $p\in C_j$ существуют окрестности $W_p\subset C_j$ точки $p$ и $V_p\subset \operatorname{pr}_j^{-1}(W_p)\subset N_{C_j,(ds)^2}$ точки $S_{j,0}\cap \operatorname{pr}_j^{-1}(W_p)$ такие, что отображение $\varphi_{j,p}\colon V_p \to \widetilde U$, полученное в каждой точке $(q,v)\in V_p$ с помощью экспоненциального отображения $\operatorname{Exp}_{q\mid N_{C_j,(ds)^2}}\colon T_{X,q}\to \widetilde U$, является диффеоморфизмом между $V_p$ и ее образом $\varphi_{j,p}(V_p)$. Так как для $1\leqslant j\leqslant m$ кривые $C_j$ являются компактами, то легко видеть, что существуют окрестности $V_j\subset N_{C_j,(ds)^2}$ нулевых сечений $S_{j,0}$ такие, что $\varphi_j\colon V_j\to \widetilde U$, заданные формулой $\varphi_j((p,v))=\varphi_{j,p}((p,v))$, являются диффеоморфизмами окрестностей $V_j$ и их образами. Не ограничивая общности изложения, можем предполагать, что $U_{j,\varepsilon}\subset \varphi_j(V_j)$ при $\varepsilon<\varepsilon_j$. Обозначим $N_{C_j,(ds)^2}(\varepsilon):=\varphi_j^{-1}(U_{j,\varepsilon})$. Ниже мы будем отождествлять $N_{C_j,(ds)^2}(\varepsilon)\subset N_{C_j,(ds)^2}$ с $U_{j,\varepsilon}\subset X$, если это не будет приводить к недоразумениям. В частности, проекция $\operatorname{pr}_j$ определяет на $\overline U_{j,\varepsilon}$ структуру $C^{\infty}$-локально тривиального расслоения на замкнутые диски радиуса $\varepsilon$ и определяет на $\partial U_{j,\varepsilon}\subset \overline U_{j,\varepsilon}$ структуру $C^{\infty}$-локально тривиального расслоения на окружности радиуса $\varepsilon$. Для $p\in C_j$ множество $\operatorname{pr}_j^{-1}(p)\cap \overline U_{j,\varepsilon}$ диффеоморфно диску $\mathbb D_{\varepsilon}=\{ z\in\mathbb C\mid |z|\leqslant\varepsilon\}$, оно является объединением отрезков длины $\varepsilon$ геодезических линий в $\overline {U}_{j,\varepsilon}$, перпендикулярных кривой $C_j$ и выходящих из точки $p\in C_j$. Введем следующие обозначения: $d_0=\min_{1\leqslant j\leqslant m} \varepsilon_j> 0$ и
$$
\begin{equation*}
d_j = \operatorname{dist}_{ds^2}\biggl(C_j\setminus \biggl(\bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j} V_{j,o_j(i)}\biggr), \widetilde C\setminus C_j\biggr)>0
\end{equation*}
\notag
$$
для $1\,{\leqslant}\, j\,{\leqslant}\, m$, где $V_{j,o_j(i)}:=V_{p_{j,o_j(i)}}$ – это окрестности точек $p_{j,o_j(i)}\,{=}\, C_j\cap C_{o_j(i)}$, участвующие в определении хорошей метрики $(ds)^2$ (см. введение); а также $\varepsilon_0=\frac{1}{2}\min(1,d_0,d_1,\dots,d_m)>0$. Определение 2. Открытые в $X$ множества $\widetilde U_{\varepsilon}=\bigcup_{j=1}^mU_{j,\varepsilon}$, $\varepsilon<\varepsilon_0$, называются трубчатыми окрестностями кривой $\widetilde C_0\subset X$. Рассмотрим кривую $C_j$, $j\leqslant m$, и кривую $C_{o_j(i)}$ с некоторым $i\leqslant \operatorname{v}_j$. По определению хорошей метрики $(ds)^2$, существует окрестность $V:=V_{p_{j,o_j(i)}}$ точки $p_{j,o_j(i)}=C_{j}\cap C_{o_j(i)}$, биголоморфная шару $\mathbb B_2\,{=}\,\{ (z_1,z_2)\,{\in}\,\mathbb C\mid \sqrt{|z_1|^2\,{+}\,|z_2|^2}\,{<}\,2\}$ и такая, что в координатах $(z_1,z_2)$ в $V_{p_{j,o_j(i)}}$ имеем $(ds)^2= dz_1\, d\overline z_1+dz_2\, d\overline z_2$, и, кроме того, кривая $C_{j}\cap V_{p_{j,o_j(i)}}$ задана уравнением $z_1=0$, а $C_{o_j(i)}\cap V_{p_{j,o_j(i)}}$ задана уравнением $z_2=0$. Замечание 1. Ниже, если $j_1=o_j(i)\leqslant m$, то мы будем предполагать, что $V\,{=}\,V_{p_{j_1,j}}\,{=}\,V_{p_{j,j_1}}\subset X$ и отождествление окрестности $V$ с шаром $\mathbb B_2=\{ (z_1,z_2)\in\mathbb C\mid \sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2}<2\}$ определяет биголоморфный автоморфизм шара $\mathbb B_2$, отображающий $(z_1,z_2)$ в $(z_2,z_1)$. Имеет место следующее утверждение. Утверждение 1. Для $1\leqslant j_i\leqslant m$, $i=1,2$, и для $\varepsilon<\varepsilon_0$ имеем 1) $U_{j_1,j_2,\varepsilon}:=U_{j_1,\varepsilon} \cap U_{j_2,\varepsilon}\subset V_{p_{j_1,j_2}}=V$,
$$
\begin{equation*}
U_{j_1,j_2,\varepsilon}\simeq \mathbb D^2_{\varepsilon}=\{\mathbb (z_1,z_2)\in \mathbb B_2\mid |z_1|<\varepsilon,\,\,|z_2|<\varepsilon\}\subset\mathbb B_2\simeq V_{p_{j_1,j_2}},
\end{equation*}
\notag
$$
и в координатах $(z_1,z_2)$ проекции $\operatorname{pr}_{j_i\mid U_{j_1,j_2,\varepsilon}}\colon U_{j_1,j_2,\varepsilon}\to W_{j_i,\varepsilon}$, $i=1,2$, заданы формулой $\operatorname{pr}_{j_i\mid U_{j_1,j_2,\varepsilon}}\colon (z_1,z_2)\mapsto z_{\overline i}$, где $W_{j_i,\varepsilon}=C_{j_i}\cap U_{j_1,j_2,\varepsilon}$ и $\{ i,\overline i\}=\{1,2\}$, и, в частности, $U_{j_i,\varepsilon}\cap C_{j_{\overline i}}= \operatorname{pr}_{j_i\mid U_{j_1,j_2,\varepsilon}}^{-1}(p_{j_1,j_2})$; 2) отрезки геодезических линий, лежащих в $V_{p_{j_1,j_2}}$ и перпендикулярных кривой $C_{j_1}$ (соответственно $C_{j_2})$ и выходящих из точки $p=(0,z_{2,0})\in C_{j_1}$ (соответственно $p=(z_{1,0},0)\in C_{j_2}$), есть где $z_1\in\mathbb C$, $|z_1|=1$ (соответственно $z_2\in\mathbb C$, $|z_2|=1$).1.3. О нормальных расслоениях кривыхРассмотрим кривую $\mathcal C:=C_{j}$, соответствующую вершине $v_{j,0}\in \Gamma(\widetilde C)$, $j=1,\dots ,m$. Если $X$ и $\mathcal C$ рассматриваются как комплексные многообразия, то $T_X$ и $T_{\mathcal C}$ являются определенными над $\mathbb C$ векторными расслоениями, и нормальное расслоение $N_{\mathcal C}$ кривой $\mathcal C$ в $X$ определяется с помощью точной последовательности
$$
\begin{equation}
0\to T_{\mathcal C}\to T_{X \mid \mathcal C}\xrightarrow{\psi} N_{\mathcal C}\to 0.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Обозначим $\operatorname{v}:=\operatorname{v}_j$ и $p_i:=p_{j,o_{j}(i)}=C_{j}\cap C_{o_{j}(i)}$. Пусть $M:=M_j$, $K:=K_j$ – два неотрицательных целых числа таких, что $(\mathcal C^2)_X=M-K$ и дивизор
$$
\begin{equation*}
D:=D_j=(p_{\operatorname{v}+1}+\dots + p_{\operatorname{v}+M})-(p_{\operatorname{v}+M+1}+\dots+ p_{\operatorname{v}+M+K})\in \operatorname{Pic}(\mathcal C)
\end{equation*}
\notag
$$
эквивалентен ограничению $\mathcal C_{\mid \mathcal C}$ дивизора $\mathcal C\in \operatorname{Pic}(X)$ на кривую $\mathcal C$. Тогда $N_{\mathcal C}=L_{\mathcal C,D}$, где $L_{\mathcal C,D}$ – линейное расслоение, ассоциированное с дивизором $D$. Мы можем предполагать, что $p_{i}\notin \operatorname{Supp}(D)$ для $i=1,\dots, \operatorname{v}$. Выберем окрестности $W_i\subset \mathcal C$ точек $p_i$, $i=1,\dots, \operatorname{v}+M+K$, биголоморфные диску $\mathbb D_2=\{ w\in\mathcal C\mid |w|< 2\}$ и такие, что $W_{i_1}\cap W_{i_2}=\varnothing$ при $i_1\neq i_2$. Отождествим $\mathcal C$ с нулевым сечением $S_0$ расслоения $L_{\mathcal C,D}$. Мы можем компактифицировать $L_{\mathcal C,D}$, добавив “бесконечно удаленное” сечение $S_{\infty}$, и получить относительно минимальную линейчатую поверхность $\overline L_{\mathcal C,D}$ над кривой $\mathcal C$ со слоями $F_p=\operatorname{pr}^{-1}(p)\simeq\mathbb P^1$ над точками $p\in\mathcal C=S_0$ проекции $\operatorname{pr}\colon \overline L_{\mathcal C,D}\to \mathcal C$. В $\operatorname{Pic}(\overline L_{\mathcal C,D})$ имеет место равенство
$$
\begin{equation}
S_0= S_{\infty}+ \sum_{i=1}^MF_{p_{\operatorname{v}+i}} -\sum_{i=1}^KF_{p_{\operatorname{v}+M+i}}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Для $\mathcal C=C_j$ добавим вложение $\iota_j\colon N_{C_j,(ds)^2}\to T_{X\mid C_j}$ к точной последовательности (4): Тогда $\psi_j\circ \iota_j\colon N_{C_j,(ds)^2}\to N_{C_j}$ является $\mathbb R$-линейным изоморфизмом линейных расслоений, $\mathbb C$-линейным над $W_i$ для $i=1,\dots,\operatorname{v}_j$. Обозначим $\widetilde U_{j,\varepsilon}:=\psi_j\circ \iota_j(N_{C_j,(ds)^2}(\varepsilon))\subset N_{C_j}$. Очевидно, множество $\widetilde{\mathcal U}_{j}=\{ \widetilde U_{j,\varepsilon}\mid \varepsilon< \varepsilon_0 \}$ является базой открытых (в комплексно-аналитической топологии) множеств в нормальном расслоении $N_{C_j}$, содержащих нулевое сечение $S_{j,0}\subset N_{C_j}$. Применяя утверждение 1, имеем следующее утверждение.Утверждение 2. Диффеоморфизмы $\psi_j\circ \iota_j\circ \varphi_j^{-1}\colon U_{j,\varepsilon}\to \widetilde U_{j,\varepsilon}$ определяют диффеоморфизмы между $U_{j,\varepsilon}\setminus \widetilde C$ и $\widetilde U_{j,\varepsilon}\setminus \bigl(S_{j,0}\cup \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{p_{j,o_j(i)}}\bigr)$. В частности, имеем изоморфизмы фундаментальных групп $\pi_1(U_{j,\varepsilon}\setminus \widetilde C)\simeq \pi_1\bigl(\widetilde U_{j,\varepsilon}\setminus \bigl(S_{j,0}\cup \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{p_{j,o_j(i)}}\bigr)\bigr)$. 1.4. Элементарные преобразованияДля точки $p\in S_0$ (соответственно $\widetilde p=F_p\cap S_{\infty}$) обозначим через $\operatorname{elm}_{p}\colon \overline L_{\mathcal C,D}\dashrightarrow \overline L_{\mathcal C,D'}$ (соответственно $\operatorname{elm}_{\widetilde p}\colon \overline L_{\mathcal C,D}\dashrightarrow \overline L_{\mathcal C,\widetilde D'}$) бирациональное преобразование (называемое элементарным преобразованием линейчатой поверхности $\overline L_{\mathcal C,D}$), состоящее из раздутия точки $p$ (соответственно $\widetilde p$) и последующего стягивания собственного прообраза слоя $F_p$. Лемма 2. Пусть $\operatorname{elm}_{p}\colon \overline L_{\mathcal C,D}\dashrightarrow \overline L_{\mathcal C,D'}$ (соответственно $\operatorname{elm}_{\widetilde p}\colon \overline L_{\mathcal C,D}\dashrightarrow \overline L_{\mathcal C,\widetilde D'}$) – элементарное преобразование поверхности $\overline L_{\mathcal C,D}$. Тогда $D'=D-p$ (соответственно $\widetilde D'=D+p$). Доказательство. Докажем лемму только в случае, когда элементарное преобразование – $\operatorname{elm}_{p}$, так как доказательство во втором случае аналогично. Не ограничивая общности изложения, можем считать, что $p\not\in \operatorname{Supp} D$.
Имеем $\operatorname{elm}_{p}= \sigma\circ\sigma^{-1}_p\colon \overline L_{\mathcal C,D}\dashrightarrow \overline L_{\mathcal C,D'}$, где $\sigma_p\colon Y\to \overline L_{\mathcal C,D}$ – это $\sigma$-процесс с центром в точке $p= S_0\cap F_p$ и $\sigma\colon Y\to \overline L_{\mathcal C,D'}$ – это $\sigma$-процесс, стягивающий собственный прообраз $\sigma^{-1}_p(F_p)$ слоя $F_p$. Обозначим $F'_p=\sigma^{-1}_p(p)$ и обозначим теми же буквами собственные прообразы (и соответственно образы при отображении $\sigma$) сечений $S_0$, $S_{\infty}$ и слоев $F_q$ над точками $q\in \operatorname{Supp} D$. Имеем $\sigma^*_p(S_0)=S_0+F'_p$ и, учитывая равенство (5), получаем, что
$$
\begin{equation*}
\sigma^*_p(S_0)=S_0+F'_p= S_{\infty}+\sum_{i=1}^MF_{p_{\operatorname{v}+i}} -\sum_{i=1}^KF_{p_{\operatorname{v}+M+i}}
\end{equation*}
\notag
$$
в $\operatorname{Pic}(Y)$ и
$$
\begin{equation*}
\sigma_*(S_0)=S_0= S_{\infty}+\sum_{i=1}^MF_{p_{\operatorname{v}+i}} -\sum_{i=1}^KF_{p_{\operatorname{v}+M+i}}-F'_p
\end{equation*}
\notag
$$
в $\operatorname{Pic}(\overline L_{\mathcal C,D'})$. Следовательно, $D'=D-p\in \operatorname{Pic}(\mathcal C)$. Лемма 2 доказана. Применяя лемму 2, получаем бирациональное отображение
$$
\begin{equation*}
T=\operatorname{elm}_{p_{\operatorname{v}+1}}\cdots \operatorname{elm}_{p_{\operatorname{v}+M}} \operatorname{elm}_{\widetilde p_{\operatorname{v}+M+1}}\cdots \operatorname{elm}_{\widetilde p_{\operatorname{v}+M+K}}\colon \overline L_{\mathcal C,D}\dashrightarrow \overline L_{\mathcal C,0}\simeq \mathbb P^1\times \mathcal C
\end{equation*}
\notag
$$
и обратное к нему отображение
$$
\begin{equation}
T^{-1}=\operatorname{elm}_{\widetilde p_{\operatorname{v}+1}}\cdots \operatorname{elm}_{\widetilde p_{\operatorname{v}+M}} \operatorname{elm}_{p_{\operatorname{v}+M+1}}\cdots \operatorname{elm}_{p_{\operatorname{v}+M+K}}\colon \overline L_{\mathcal C,0}\dashrightarrow \overline L_{\mathcal C,D}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Рассмотрим локальный случай элементарных преобразований, т. е. случай
$$
\begin{equation*}
\operatorname{elm}_p\colon \mathbb P^1\times \mathbb D_2\dashrightarrow \mathbb P^1\times \mathbb D_2\quad (\text{соответственно} \operatorname{elm}_{\widetilde p}\colon \mathbb P^1\times \mathbb D_2\dashrightarrow \mathbb P^1\times \mathbb D_2),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb D_2=\{ w\in \mathbb C\mid |w|< 2\}$ – это диск в $\mathbb C$ и $\mathbb P^1$ – проективная прямая. Пусть $(z_1:z_2)$ – однородные координаты в $\mathbb P^1$ и $p=\{ (0,1)\}\times \{ w=0\}$ (соответственно $\widetilde p=\{ (1,0)\}\times \{ w=0\}$). Как и выше, обозначим через $S_0=\{ z_1=0\}\times \mathbb D_2$ нулевое сечение и через $S_{\infty}=\{ z_2=0\}\times \mathbb D_2$ – сечение в “бесконечности” проекции на $\mathbb D_2$. Отображение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{elm}_p \text{ (соответственно } \operatorname{elm}_{\widetilde p})\colon \mathbb P^1\times \mathbb D_2\setminus (S_0\cup S_{\infty}\cup F_p)\to \mathbb P^1\times \mathbb D_2\setminus (S_0\cup S_{\infty}\cup F_p)
\end{equation*}
\notag
$$
является биголоморфным отображением. Следовательно, отображение $\operatorname{elm}_p$ (соответственно $\operatorname{elm}_{\widetilde p}$) индуцирует изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{elm}_{p*} \text{ (соответственно } \operatorname{elm}_{\widetilde p*}) \colon \pi_1\bigl(\mathbb P^1\times \mathbb D_2\setminus (S_0\cup S_{\infty}\cup F_p)\bigr) \\ &\qquad\qquad\qquad\to \pi_1\bigl(\mathbb P^1\times \mathbb D_2\setminus (S_0\cup S_{\infty}\cup F_p)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $z=z_1/z_2$ – координата в $\mathbb C=\{ (z_1:z_2)\in \mathbb P^1\mid z_2\neq 0\}$. Фундаментальная группа $\pi_1(\mathbb P^1\times \mathbb D_2\setminus (S_0\cup S_{\infty}\cup F_p))=\pi_1(\mathbb C\times \mathbb D_2\setminus (S_0\cup F_p), q)$ является свободной абелевой группой, порожденной двумя элементами $x_0$, $x_1$, представленных соответственно петлями
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \gamma_0 &=\{ z=e^{2\pi\sqrt{-1}\, t},\, 0\leqslant t\leqslant 1 \}\times \{ w=1\}, \\ \gamma_1 &=\{ z=1 \}\times \{ w=e^{2\pi\sqrt{-1}\,t},\, 0\leqslant t\leqslant 1\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство прямо следует из [9; лемма 7]. 1.5. Копредставление фундаментальной группы неприводимой кривой с проколамиОбозначим, как и выше, $N:=\operatorname{v}+M+K$, и пусть
$$
\begin{equation*}
W_i\simeq \mathbb D_2=\{ w_i\in \mathbb C\mid |w_i|<2\}
\end{equation*}
\notag
$$
есть попарно непересекающиеся $N$ окрестностей точек $p_i=\{ w_i=0\}\in W_i$, $i=1,\dots, N$, в кривой $\mathcal C=C_j$. Кривая $\mathcal C$ рода $g$, рассматриваемая как риманова поверхность, является сферой с $g$ ручками. Хорошо известно, что мы можем выбрать $g$ “меридиан” $\widetilde{\mu}'_i:=\widetilde{\mu}'_{j,i}$ и $g$ “параллелей” $\widetilde{\lambda}'_i:=\widetilde{\lambda}'_{j,i}$, $i=1,\dots, g$, т. е. $\widetilde{\mu}'_1,\dots, \widetilde{\mu}'_g$, $\widetilde{\lambda}'_1,\dots, \widetilde{\lambda}'_g$ – это ориентируемые гладкие петли, пересекающиеся только в точке $q'_0:=q'_{j,0}\in \mathcal C$ и такие, что если мы разрежем риманову поверхность $\mathcal C$ вдоль этих петель, то получим $2g$-угольник $P_{\widetilde{\mu}',\widetilde{\lambda}'}(\mathcal C)$. Тогда фундаментальная группа $\pi_1\bigl(\mathcal C\setminus \bigl(\bigcup_{i=1}^N p_i\bigr),q'_0\bigr)$ римановой поверхности $\mathcal C$ с $N$ проколами имеет следующее копредставление:
$$
\begin{equation}
\pi_1\biggl(\mathcal C\setminus \biggl(\bigcup_{i=1}^N p_i\biggr),q'_0\biggr)= \biggl\langle \mu'_{1},\lambda'_{1},\dots,\mu'_g,\lambda'_{g},x'_{1},\dots,x'_{N} \biggm| \prod_{i=1}^{g}[\mu'_{i},\lambda'_{i}]\prod_{i=1}^{N}x'_{i}=1 \biggr\rangle,
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $\mu'_i$ и $\lambda'_i$ представлены петлями $\widetilde{\mu'_i}$ и $\widetilde{\lambda}'_i$, а $x'_{i}$ представлены петлями $\widetilde x'_i$, состоящими из путей $l'_i$ от точки $q'_0$ до точек $q'_i=\{ w_i=1\}\in W_i$, обходов вдоль окружностей $\gamma'_i=\{ w_i=e^{2\pi\sqrt{-1}\, t},\, 0\leqslant t\leqslant 1\}\subset \mathbb D_2=\{ w_i\in \mathbb C\mid |w_i|<2\}\simeq W_i$ и возврата в точку $q'_0$ вдоль путей $l'_i$ (см. рис. 2). 1.6. Копредставление фундаментальной группы дополнения к объединению нулевого сечения и слоев в нормальном расслоении неприводимой кривойПоверхность $\overline L_{\mathcal C,0}\setminus \bigl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \bigl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\bigr)\bigr)\subset \overline L_{\mathcal C,0}$ изоморфна произведению $\mathbb C^*_{z}\times \bigl(\mathcal C\setminus \bigl(\bigcup_{i=1}^N p_i\bigr)\bigr)$, где $\mathbb C^*_{z}=\{ z\in\mathbb C \mid z\neq 0\}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\pi_1\biggl(\overline L_{\mathcal C,0}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr),q_0\biggr)\simeq \pi_1(\mathbb C^*_{z},1)\times\pi_1\biggl(\mathcal C\setminus \biggl(\bigcup_{i=1}^N p_i\biggr),q'_0\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
$q_0=\{z=1\}\times q'_0$, и группа $\pi_1\bigl(\overline L_{\mathcal C,0}\setminus \bigl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \bigl(\bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\bigr)\bigr),q_0\bigr)$ имеет следующее копредставление:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\pi_1\biggl(\overline L_{\mathcal C,0}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr),q_0\biggr) \nonumber \\ &\qquad= \biggl\langle \mu_{1},\lambda_{1},\dots,\mu_g,\lambda_{g},x_0,x_{1},\dots,x_{N} \biggm| \prod_{i=1}^{g}[\mu_{i},\lambda_{i}]\prod_{i=1}^{N}x_{i}=1, \nonumber \\ &\qquad\qquad [x_0,\mu_j]=[x_0,\lambda_j]=1 \text{ для } 1\leqslant j\leqslant g, \ [x_0,x_i]=1 \text{ для }1\leqslant i\leqslant N \biggr\rangle, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
где элемент $x_0$ представлен петлей $\widetilde x_0=\bigl\{ z=e^{2\pi\sqrt{-1}\,t},\, 0\leqslant t\leqslant 1\bigr\}\times q'_0$; $\mu_{i}$ и $\lambda_i$ представлены петлями $\widetilde{\mu}_i=\{ z=1\}\times \widetilde{\mu}'_i$ и $\widetilde{\lambda}_{i}=\{ z=1\}\times \widetilde{\lambda}'_i$, полученными в результате подъема в сечение $S_1=\{ z=1\}\times \mathcal C\subset \overline L_{\mathcal C,0}$ петель, представляющих элементы $\mu'_i$ и $\lambda'_{i}$; и $x_i$ – это элементы, представленные петлями $\widetilde x_i$, состоящими из путей $l_i=\{ z=1\}\times l'_i$ из точки $q_0$ до точек $q_i=\{ z=1\}\times q'_i$, обходов вдоль окружностей $\gamma_i =\{ z=1\}\times \gamma'_i$ в $\{ z=1\}\times W_i$,
$$
\begin{equation*}
\gamma_i =\{ z=1\}\times \bigl\{ w_i=e^{2\pi\sqrt{-1}\,t},\, 0\leqslant t\leqslant 1\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и возвратов в точку $q_0$ вдоль путей $l_i$. Биголоморфное отображение (см. (6))
$$
\begin{equation*}
T^{-1}\colon \overline L_{\mathcal C,0}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl(\bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr)\to \overline L_{\mathcal C,D}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl(\bigcup_{i=1}^NF_{p_i})\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
определяет изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &T^{-1}_*\colon \pi_1\biggl(\overline L_{\mathcal C,0}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl(\bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr),q_0\biggr) \\ &\qquad \to \pi_1\biggl(\overline L_{\mathcal C,D}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr),\widetilde q_0\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde q_0=T^{-1}(q_0)$. Положим $\widetilde l_i=T^{-1}(l_i)$. В обозначениях, использованных в п. 1.4, отождествим окрестности $W_i\subset\mathcal C$ с окрестностью $W$, рассмотренной в п. 1.4 ($w_i:=w$) и обозначим через
$$
\begin{equation*}
y_i\in \pi_1\biggl(\overline L_{\mathcal C,0}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr),q_0\biggr),\qquad i=\operatorname{v}+1,\,\dots,\,\operatorname{v}+(M+K),
\end{equation*}
\notag
$$
элементы, представленные петлями, состоящими из путей $\widetilde l_i=T^{-1}(l_i)$, обходов вдоль окружностей $\gamma_i =\{ z'=1\}\times \{ w_i=e^{2\pi\sqrt{-1}\,t},\, 0\leqslant t\leqslant 1\}$ в $\mathbb C_{z'}\times W_i=\mathbb C_{z'}\times W$ и возвратов в точку $\widetilde q_0$ вдоль путей $\widetilde l_i$. Обозначим теми же буквами $\mu_1,\lambda_1,\dots,\mu_g,\lambda_g$ и $x_0,\dots, x_{\operatorname{v}}$ образы $T_*^{-1}(\mu_i)$, $T_*^{-1}(\lambda_i)$, $T_*^{-1}(x_i)$ элементов
$$
\begin{equation*}
\mu_1,\lambda_1,\dots,\mu_g,\lambda_g,x_0,\dots, x_{\operatorname{v}}\in \pi_1\biggl(\overline L_{\mathcal C,0}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr),q_0\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из леммы 3 следует, что $ T_*^{-1}(x_i)=x_0y_i$ при $i=\operatorname{v}+1,\dots,\operatorname{v}+M$ и $T_*^{-1}(x_i)=x_0^{-1}y_i$ при $i=\operatorname{v}+M+1,\dots,\operatorname{v}+M+K$. Применяя копредставление (8), группа $\pi_1\bigl(\overline L_{\mathcal C,D}\setminus \bigl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \bigl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\bigr)\bigr),\widetilde q_0\bigr)$ имеет следующее копредставление:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl\langle \mu_{1},\lambda_{1},\dots,\mu_g,\lambda_{g},x_0,x_{1},\dots,x_{\operatorname{v}}, y_{\operatorname{v}+1},\dots, y_{\operatorname{v}+M+K} \biggm| \nonumber \\ &\qquad x_0^{\omega}\prod_{i=1}^{g}[\mu_{i},\lambda_{i}] \prod_{i=1}^{\operatorname{v}}x_{i}\prod_{i=1}^{M+K}y_{\operatorname{v}+i}=1,\ [x_0,\mu_j]=[x_0,\lambda_j]=1\text{ для }1\leqslant j\leqslant g, \nonumber \\ &\qquad [x_0,x_i]=1 \text{ для } 1\leqslant i\leqslant \operatorname{v},\ [x_0,y_{\operatorname{v}+i}]=1 \text{ для } 1\leqslant i\leqslant M+K \biggr\rangle, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $\omega= M-K$. Вложение
$$
\begin{equation*}
i\colon \overline L_{\mathcal C,D}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr)\hookrightarrow \overline L_{\mathcal C,D}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}}F_{p_i}\biggr)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
определяет эпиморфизм
$$
\begin{equation*}
i_*\colon \pi_1\biggl(\overline L_{\mathcal C,D}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr),\widetilde q_0\biggr)\twoheadrightarrow \pi_1\biggl(\overline L_{\mathcal C,D}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}}F_{p_i}\biggr) \biggr),\widetilde q_0\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, ядро эпиморфизма $i_*$ является нормальным замыканием в
$$
\begin{equation*}
\pi_1\biggl(\overline L_{\mathcal C,D}\setminus \biggl(S_0 \cup S_{\infty}\cup \biggl( \bigcup_{i=1}^NF_{p_i}\biggr)\biggr),\widetilde q_0\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
подгруппы, порожденной элементами $y_{\operatorname{v}+1},\dots, y_{\operatorname{v}+M+K}$. Поэтому, применяя копредставление (9) в случае, когда $\mathcal C=C_j$, мы получаем предложение 2, в котором использованы следующие обозначения: $x_{j,0}=i_*(x_0)$, $x_{o_j(l),1}=i_*(x_l)$ при $l=1,\dots, \operatorname{v}_j$, $\mu_{j,l}=i_*(\mu_l)$ и $\lambda_{j,l}=i_*(\lambda_l)$ при $l=1,\dots,g_j$. Предложение 2. Для $N_{C_j}=L_{C_j,D}$ группа 1.7. Копредставления фундаментальных групп дополнений к $\widetilde C$ в трубчатых окрестностях ее компактных неприводимых компонентДля $\varepsilon< \varepsilon_0$ вложения $i_{j,\varepsilon}\colon \widetilde U_{j,\varepsilon}\hookrightarrow N_{C_j}$ (см. п. 1.3) определяют гомоморфизмы
$$
\begin{equation*}
i_{j,\varepsilon*}\colon \pi_1\biggl(\widetilde U_{j,\varepsilon}\setminus \biggl(S_{j,0}\cup \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{p_{j,o_j(i)}}\biggr)\biggr)\to \pi_1\biggl(N_{C_j}\setminus \biggl(S_{j,0}\cup \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{p_{j,o_j(i)}}\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 3. Для каждого $j$ и для каждого $\varepsilon<\varepsilon_0$ гомоморфизм Доказательство. Выберем конечное покрытие $\{ W_{i}\}$ кривой $C_j$, $C_j=\bigcup_iW_{i}$, такое, что линейное расслоение $N_{C_j}$ тривиально над каждой окрестностью $W_{i}$. Отождествим $\operatorname{pr}_j^{-1}(W_{i})\subset N_{C_j}$ с $N_{C_j\mid W_{i}}=\mathbb C_z\times W_{i}$ и положим $N_{C_j\mid W_{i}}(\delta):=\{ (z,p)\in \mathbb C_z\times W_{i}\mid |z|<\delta\}\subset N_{C_j}$. Тогда множество $\bigl\{ N_{C_j}(\delta):=\bigcup_iN_{C_j\mid W_{i}}(\delta)\bigr\}_{\delta>0}$ является базой открытых в $N_{C_j}$ множеств, содержащих нулевое сечение $S_{j,0}$. Очевидно, для каждого $\varepsilon<\varepsilon_0$ существует $\delta_{\varepsilon}>0$ такое, что $N_{C_j}(\delta)\subset \widetilde U_{j,\varepsilon}$ для каждого $\delta\leqslant\delta_{\varepsilon}$.
Группа автоморфизмов $\operatorname{Aut}(N_{C_j})$ содержит подгруппу
$$
\begin{equation*}
A_j=\{ a_{j,r}\in \operatorname{Aut}(N_{C_j})\mid a_{j,r}(z,w)=(rz,w) \text{ для } (z,w)\in\mathbb C_z\times \widetilde W_{j,i}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем $a_{j,r}(N_{C_j}(\delta))=N_{C_j}(r\delta)$.
Согласно копредставлению (10) группа
$$
\begin{equation*}
\Pi_j:=\pi_1\biggl(N_{C_j}\setminus \biggl(S_{j,0}\cup \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{p_{j,o_j(i)}}\biggr),\widetilde q_0\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
является конечно представленной группой. Следовательно, для каждого соотношения $\mathcal W(\overline{\mu}_j,\overline{\lambda}_j,\overline x_j)=1$ в (10) существует такое непрерывное отображение $\theta_{\mathcal W}\colon \overline{\mathbb D}_1\to N_{C_j}\setminus \bigl(S_{j,0}\cup \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{p_{j,o_j(i)}}\bigr)$ замкнутого диска $\overline{\mathbb D}_1=\{ z\in \mathbb C\mid |z|\leqslant 1\}$, что петля
$$
\begin{equation}
\mathcal W\bigl(\widetilde{\mu}_{j,1}, \widetilde{\lambda}_{j,1},\dots, \widetilde{\mu}_{j,g_j}, \widetilde{\lambda}_{j,g_j}, \widetilde x_{j,0},\widetilde x_{o_j(1),1},\dots, \widetilde x_{o_j(\operatorname{v}_j),1}\bigr)=\theta_{\mathcal W}(\partial \overline{\mathbb D}_1)
\end{equation}
\tag{11}
$$
является образом границы $\partial \overline{\mathbb D}_1=\{ z=e^{2\pi \sqrt{-1}\, t}\mid 0\leqslant t\leqslant 1\}$ диска $\overline{\mathbb D}_1$ (здесь в случае $\mathcal C=C_j$ петли $\widetilde{\mu}_{j,i}:=\widetilde{\mu}_i$, $\widetilde{\lambda}_{j,i}:=\widetilde{\lambda}_i$ при $i=1,\dots, g_j$, $\widetilde x_{j,0}:=\widetilde x_0$ и $\widetilde x_{o_j(i),1}:=\widetilde x_i$ при $i=1,\dots, \operatorname{v}_j$, где петли $\widetilde{\mu}_{i}$, $\widetilde{\lambda}_{i}$, $\widetilde x_0$ и $\widetilde x_{i}$, лежащие в $\mathcal C$, были определены в п. 1.6).
Так как $\theta_{\mathcal W}(\overline{\mathbb D}_1)$ являются компактами, то существует константа $r_{C_j}>0$ такая, что
$$
\begin{equation}
\theta_{\mathcal W}(\overline{\mathbb D}_1)\subset N_{C_j}(r_{C_j})
\end{equation}
\tag{12}
$$
для всех соотношений $\mathcal W$ в (10). Следовательно, если $\delta<\delta_{\varepsilon}/r_{C_j}$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &a_{j,\delta}\bigl(\mathcal W\bigl(\widetilde{\mu}_{j,1}, \widetilde{\lambda}_{j,1},\dots, \widetilde{\mu}_{j,g_j}, \widetilde{\lambda}_{j,g_j}, \widetilde x_{j,0}, \widetilde x_{o_j(1),1},\dots, \widetilde x_{o_j(\operatorname{v}_j),1}\bigr)\bigr) \\ &\qquad\subset \widetilde U_{j,\varepsilon}\setminus \biggl(S_{j,0}\cup \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{p_{j,o_j(i)}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и из (11) и (12) легко следует, что $i_{\varepsilon*}$ является изоморфизмом для $\varepsilon<\varepsilon_0$. Предложение 3 доказано. 1.8. Копредставление фундаментальной группы дополнения к $\widetilde C$ в трубчатой окрестности кривой $\widetilde C_0$Пусть $\widetilde{\mathcal U}_{\nu,\varepsilon}=\{ \widetilde U_{1,\varepsilon},\dots,\widetilde U_{m,\varepsilon}\}$ – множество окрестностей $\widetilde U_{j,\varepsilon}\subset N_{C_j}$ нулевых сечений $S_{j,0}\subset N_{C_j}$. Обозначим через
$$
\begin{equation*}
E'=\{ (v_{j_1,0},v_{j_2,0}) \mid 1\leqslant j_1<j_2\leqslant m, \, \Delta_{(j_1,0),(j_2,0)}=1\}
\end{equation*}
\notag
$$
подмножество множества ребер графа $\Gamma_{\widetilde E}(\widetilde C)$, и для $(v_{j_1,0},v_{j_2,0})\in E'$ рассмотрим окрестности $U_{j_1,j_2,\varepsilon}\subset U_{j_1,\varepsilon}$ и $U_{j_2,j_1,\varepsilon}\subset U_{j_2,\varepsilon}$, определенные в утверждении 1. Согласно замечанию 1 имеем равенство $U_{j_1,j_2,\varepsilon}=U_{j_2,j_1,\varepsilon}$ как множеств в $X$. Поэтому, применяя отождествление $U_{j,\varepsilon}$ с $\widetilde U_{j,\varepsilon}$, заданное диффеоморфизмами $\psi_j\circ\iota\circ\varphi_j^{-1}\colon U_{j,\varepsilon}\to\widetilde U_{j,\varepsilon}$, окрестности $\widetilde U_{j_1,\varepsilon}$ и $\widetilde U_{j_2,\varepsilon}$, $(v_{j_1,0},v_{j_2,0})\in E'$ могут быть склеены вдоль $U_{j_1,j_2,\varepsilon}\subset U_{j_1,\varepsilon}$ и $U_{j_2,j_1,\varepsilon}\subset U_{j_2,\varepsilon}$, и в результате мы получим комплексную поверхность $U'_{\varepsilon}$. В обозначениях, использованных в доказательстве предложения 3 (и отождествляя $\widetilde U_{j,\varepsilon}$ с $U_{j,\varepsilon}$), обозначим $Q_{j,0}:=a_{j,\epsilon}(\widetilde q_{j,0})$ и $Q_{j,o_j(i)}:=a_{j,\epsilon}(\widetilde q_{j,o_j(i)})\in U_{j,\varepsilon}\subset U'_{\varepsilon}$, $i=1,\dots,\operatorname{v}_j$. Кроме того, не ограничивая общности изложения, мы можем предполагать, что $Q_{j_1,j_2}=Q_{j_2,j_1}\in U_{j_1,j_2,\varepsilon}$, если $C_{j_1}\cap C_{j_2}\neq\varnothing$. Обозначим также через $L_{j,o_j(i)}:=a_{j,\epsilon}(\widetilde l_{j,o_j(i)})$, $i=0,1,\dots,\operatorname{v}_j$, пути в $U_{j,\varepsilon}$, соединяющие точку $Q_{j,0}$ с точками $Q_{j,o_j(i)}$. Так как $\Gamma_{\widetilde E}(\widetilde C)$ является деревом, то мы можем предполагать, что пути $\widetilde l_{j,o_j(i)}$ выбраны таким образом, что
$$
\begin{equation*}
L=\bigcup_{j=1}^m\bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}L_{j,o_j(i)}
\end{equation*}
\notag
$$
является деревом. Для $j=1,\dots,m$ и $i=1,\dots, \operatorname{v}_j$ обозначим через $L_{0,j,o_j(i)}$ пути в $L$ из точки $Q_{1,0}$ в точки $Q_{j,o_j(i)}$. Далее, если это не приводит к недоразумению, мы будем снова обозначать через $\mu_{j,i}$, $\lambda_{j,i}$ и через $x_{j,0}$ для $j=1,\dots, m$ и $i=1,\dots,g_j$, а также мы обозначим через $x_{o_j(i),1}$ при $i=1,\dots \operatorname{v}_j$ элементы в $\pi_1(U'_{\varepsilon}\setminus \widetilde C,Q_{1,0})$, представленные петлями. 1. Идем из точки $Q_{1,0}$ к $Q_{j,0}$ вдоль пути $L_{0,j,0}$. 2. Один раз проходим вдоль $a_{j,\epsilon}(\widetilde \mu_{j,i})$ (соответственно $a_{j,\epsilon}(\widetilde \lambda_{j,i})$, $a_{j,\epsilon}(\widetilde x_{j,0})$ и $a_{j,\epsilon}(\widetilde x_{j,o_j(i)}$). 3. Возвращаемся к точке $Q_{1,0}$ вдоль пути $L_{0,j,0}$. Выбор путей $L_{0,j,0}$ и вложений $\alpha_j\colon U_{j,\varepsilon}\setminus \widetilde C\hookrightarrow U'_{\varepsilon}\setminus \widetilde C$ определяют гомоморфизмы
$$
\begin{equation*}
\alpha_{j*}\colon \pi_1(U_{j,\varepsilon}\setminus \widetilde C,Q_{j,0}) \to \pi_1(U'_{\varepsilon}\setminus \widetilde C,Q_{1,0})
\end{equation*}
\notag
$$
и равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha_{j*}(a_{j,\epsilon}(\mu_{j,i}))=\mu_{j,i},\qquad \alpha_{j*}(a_{j,\epsilon}(\lambda_{ji}))=\lambda_{j,i},\qquad \alpha_{j*}(a_{j,\epsilon}(x_{j,0}))=x_{j,0}, \\ \alpha_{j*}(a_{j,\epsilon}(x_{j,o_j(i)}))=x_{o_j(i),1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что для $U_{j,o_j(i),\varepsilon}\subset U_{j,\varepsilon}$ группа $\alpha_{j*}(\pi_1(U_{j,o_j(i),\varepsilon}\setminus\widetilde C))$ порождается элементами $x_{j,0}=\alpha_{j*}(a_{j,\epsilon}(x_{j,0}))$ и $x_{o_j(i),1}=\alpha_{j*}(a_{j,\epsilon}(x_{j,o_j(i)}))$, и легко видеть, что для $1\leqslant j_i\leqslant m$, $i=1,2$, таких, что $\Delta_{(j_1,0),(j_2,0)}=1$, имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
\alpha_{j_1*}\bigl(\pi_1(U_{j_1,j_2,\varepsilon}\setminus\widetilde C)\bigr)=\alpha_{j_2*}\bigl(\pi_1(U_{j_2,j_1,\varepsilon}\setminus\widetilde C)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
$x_{j_1,0}=x_{j_2,1}$ и $x_{j_2,0}=x_{j_1,1}$. Так как $L$ является деревом, то, используя пути $L_{0,j,o_j(i)}$ и применяя теорему Зайферта–ван Кампена (см. [10], [11]) последовательно $m-1$ раз, мы получим копредставление группы $\pi_1(U'_{\varepsilon}\setminus \widetilde C)$ в виде свободного произведения групп $\alpha_{j*}(\pi_1(U_{j_,\varepsilon}\setminus\widetilde C,Q_{j,0}))$ с объединением групп
$$
\begin{equation*}
\alpha_{j_1*}\bigl(\pi_1(U_{j_1,j_2,\varepsilon}\setminus\widetilde C, Q_{j_1,j_2})\bigr)=\alpha_{j_2*}\bigl(\pi_1(U_{j_2,j_1,\varepsilon}\setminus\widetilde C,Q_{j_2,j_1})\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
$\Delta_{(j_1,0),(j_2,0)}=1$. В результате получаем предложение 4. Предложение 4. Группа $\pi_1( U'_{\varepsilon}\setminus \widetilde C,Q_{1,0})$ имеет следующее копредставление: она порождается $m+k+2\sum_{j=1}^mg_j+2r$ элементами а определяющие соотношения – это $(r_1)$–$(r_3)$ (здесь элементы $x_{j,\delta}$ взаимно однозначно соответствуют вершинам $v_{j,\delta}$ графа $\Gamma_{\widetilde E}(\widetilde C)$). Чтобы из $U'_{\varepsilon}$ получить поверхность $\widetilde U_{\varepsilon}$, мы должны последовательно склеить открытые множества $U_{j(E_s,1),\varepsilon}\subset U'_{\varepsilon}$ с $U_{j(E_s,2),\varepsilon}\subset U'_{\varepsilon}$ по их “пересечениям” $U_{j(E_s,1),j(E_s,2),\varepsilon}=U_{j(E_s,1),\varepsilon}\cap U_{j(E_s,2)\varepsilon}\subset \widetilde U_{\varepsilon}$, $s=1,\dots,r$. Пути $L_{0,j(E_s,1),j(E_s,2)}$ и $L_{0,j(E_s,2),j(E_s,1)}$ определяют два вложения
$$
\begin{equation*}
\alpha_{j(E_s,i),j(E_s,\overline i),\varepsilon} \colon \pi_1(U_{j(E_s,1),j(E_s,2),\varepsilon}\setminus \widetilde C,Q_{j(E_s,1),j(E_s,2)})\to \pi_1(\widetilde U_{\varepsilon}\setminus \widetilde C, Q_{1,0}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $i=1,2$ и $\{ i,\overline i\}=\{ 1,2\}$. Поэтому, чтобы получить копредставление группы $\pi_1(\widetilde U_{\varepsilon}\setminus \widetilde C)$, достаточно последовательно применить $r$ раз $HNN$-расширение группы of $\pi_1(U'_{\varepsilon}\setminus \widetilde C, Q_{1,0})$ относительно этих вложений, т. е. достаточно добавить $r$ порождающих элементов $y_1,\dots, y_r$ и добавить соотношения $(i_4)$, $(r_5)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} x_{j(E_s,1),0}^{-1}y_sx_{j(E_s,1),1}y_s^{-1} &=1 &\quad &\text{для} &\quad &1\leqslant s\leqslant r, \\ x_{j(E_s,2),0}^{-1}y_s^{-1}x_{j(E_s,2),1}y_s &=1 &\quad &\text{для} &\quad &1\leqslant s\leqslant r, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
к копредставлению, приведенному в предложении 4 (здесь $y_s$ – элементы группы $\pi_1(\widetilde U_{\varepsilon}\setminus \widetilde C)$, представленные петлями $L_{0,j(E_s,1),j(E_s,2)}\circ L^{-1}_{0,j(E_s,2),j(E_s,1)}$). В результате мы получаем копредставление, существование которого утверждается в теореме 3. Поэтому, чтобы завершить доказательство теоремы 3, достаточно доказать, что группы $\pi_1(U_{\varepsilon}\setminus C)$ и $\pi_1(U'_{\varepsilon'}\setminus C)$ изоморфны для всех $U_{\varepsilon}$, $U'_{\varepsilon'}\in \mathcal U_{C}$. 1.9. Завершение доказательства теоремы 3Отметим, что для всех $U_{\varepsilon}\in \mathcal U_{C,\nu}$ и выбранного дерева ${\Gamma}_{\widetilde E}(\widetilde{C})$ для кривой $\widetilde C=\nu^{-1}(C)$ копредставления фундаментальных групп $\pi_1(U_{\varepsilon}\setminus C)$, приведенных в теореме 3, не зависят от выбора окрестности $\widetilde U\subset X$, от хорошей метрики $(ds)^2$ в $\widetilde U$ и от $\varepsilon<\varepsilon_0$. Кроме того, из доказанного выше вытекает следующее замечание. Замечание 2. Два копредставления, полученные с помощью выбора двух различных подмножеств $\widetilde E=\{ E_1,\dots,E_r\}$ (участвующих в определении дерева $\Gamma_{\widetilde E}(\widetilde C)$) в множестве ребер графа $\Gamma(\widetilde C)$, являются копредставлениями одной и той же группы $\pi_1(U_{\varepsilon}\setminus C)$. Пусть $\nu\colon X\to S$ – разрешение особенностей кривой $C$, и $\sigma\colon X'\to X$ – $\sigma$-процесс с центром в точке $p\in\widetilde C \subset X$. Тогда $\widetilde C'=(\nu\circ\sigma)^{-1}(C)=\sigma^{-1}(\widetilde C)\cup C_p$, где $C_p=\sigma^{-1}(p)$, а дерево $\Gamma_{\widetilde E'}(\widetilde C')$ может быть получено из дерева $\Gamma_{\widetilde E}(\widetilde C)$ следующим образом. Мы добавляем еще одну вершину $v_{p,0}$ к множеству вершин графа $\Gamma_{\widetilde E}(\widetilde C)$. Веса вершины $v_{p,0}$ – это $(w_{p,1},w_{p,2})=(-1,0)$. Затем, если $p\in C_{j_0}$ и $p\notin \operatorname{Sing}(\widetilde C)$, то мы добавляем одно ребро, соединяющее вершину $v_{j_0,0}\in\Gamma_{\widetilde E}(\widetilde C)$ с $v_{p,0}$, и заменяем веса вершины $v_{j_0,0}$ на $(w_{j_0,1}-1,w_{j_0,2})$. Если $p=p_{j_1,j_2}=C_{j_1}\cap C_{j_2}$, то согласно замечанию 2 мы можем предполагать, что ребро $(v_{j_1,0},v_{j_2,0})$ не принадлежит множеству $\{ E_1,\dots,E_r\}$, удаляем его, добавляем два ребра $(v_{j_1,0},v_{p,0})$ и $(v_{p,0},v_{j_2,0})$ и заменяем веса вершин $v_{j_i,0}$ на $(w_{j_i,1}-1,w_{j_i,2})$, $i=1,2$. Пусть $\langle \mathcal A \mid \mathcal R\rangle$ и $\langle \mathcal A' \mid \mathcal R'\rangle$ (здесь $\mathcal A$ и $\mathcal A'$ – алфавиты, и $\mathcal R$ и $\mathcal R'$ – множества определяющих соотношений) – копредставления групп, полученных с помощью графов $\Gamma_{\widetilde E}(\widetilde C)$ и $\Gamma_{\widetilde E'}(\widetilde C')$. Тогда в первом случае $\mathcal A'=\mathcal A\cup\{x_{p,0}\}$, и множество определяющих соотношений $\mathcal R'$ может быть получено из множества $\mathcal R$ следующим образом: в $\mathcal R$ мы заменяем соотношение $x_{j_0,0}^{\omega_{j_0,2}}\mathcal W_{g_{j_0},\operatorname{v}_{j_0} }=1$ на $x_{j_0,0}^{\omega_{j_0,2}-1}\mathcal W_{g_{j_0},\operatorname{v}_{j_0} }x_{p,0}=1$ и добавляем два соотношения $x_{p,0}^{-1}x_{j_0,0}=[x_{j_0,0},x_{p,0}]\,{=}\,1$. Очевидно, $\langle \mathcal A \mid \mathcal R\rangle$ и $\langle \mathcal A' \mid \mathcal R'\rangle$ являются изоморфными группами. Во втором случае $\mathcal A'=\mathcal A\cup\{x_{p,0}\}$ и множество определяющих соотношений $\mathcal R'$ может быть получено из множества $\mathcal R$ следующим образом: в $\mathcal R$ мы заменяем три соотношения
$$
\begin{equation}
x_{j_1,0}^{\omega_{j_1,2}}\mathcal W_{g_{j_1},\operatorname{v}_{j_1}} =x_{j_2,0}^{\omega_{j_2,2}}\mathcal W_{g_{j_2},\operatorname{v}_{j_2}} =[x_{j_1,0},x_{j_2,0}]=1
\end{equation}
\tag{14}
$$
на
$$
\begin{equation}
x_{j_1,0}^{\omega_{j_i1,2}-1}\mathcal W'_{g_{j_1},\operatorname{v}_{j_1}} =x_{j_2,0}^{\omega_{j_2,2}-1}\mathcal W'_{g_{j_2},\operatorname{v}_{j_i}} =[x_{j_1,0},x_{p,0}]=[x_{j_2,0},x_{p,0}]=1,
\end{equation}
\tag{15}
$$
где слово $\mathcal W'_{g_{j_1},\operatorname{v}_{j_1} }$ получено из слова $\mathcal W_{g_{j_1},\operatorname{v}_{j_1} }$ заменой буквы $x_{j_2,0}$ на $x_{p,0}$, а $\mathcal W'_{g_{j_2},\operatorname{v}_{j_2} }$ получено из $\mathcal W_{g_{j_2},\operatorname{v}_{j_2} }$ заменой буквы $x_{j_1,0}$ на $x_{p,0}$, и, кроме того, мы добавляем еще одно соотношение Из (16) и (15) получаем равенства $x_{p,0}=x_{j_1,0}x_{j_2,0}=x_{j_2,0}x_{j_1,0}$, и легко видеть, что мы получим соотношения (14) из (15) и (16), если в (15) подставим $x_{j_1,0}x_{j_2,0}$ в $W'_{g_{j_1},\operatorname{v}_{j_1} }$ и в $\mathcal W'_{g_{j_2},\operatorname{v}_{j_2} }$ вместо буквы $x_{p,0}$. Следовательно, во втором случае $\langle \mathcal A \mid \mathcal R\rangle$ и $\langle \mathcal A' \mid \mathcal R'\rangle$ также являются изоморфными группами. Для завершения доказательства теоремы 3 осталось заметить, что для любых двух разрешений особенностей $\nu_1\colon X_1\to S$ и $\nu_2\colon X_2\to S$ существуют $X$ и две последовательности раздутий точек $\widetilde{\nu}_1\colon X\to X_1$ и $\widetilde{\nu}_2\colon X\to X_2$ такие, что $\nu_i\circ\widetilde{\nu}_i\colon X\to S$, $i=1,2$, являются разрешениями особенностей. § 2. Доказательства предложения 1 и теоремы 12.1. Доказательство предложения 1Рассмотрим граф $\Gamma\in \mathcal G$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\{ v_{1,0},\dots, v_{m,0}\}\cup \{ v_{{m+1},1},\dots, v_{n,1}\}
\end{equation*}
\notag
$$
есть множество его вершин, и пусть $(k_j,g_j)$ – это веса вершин $v_{j,0}$ при $j\leqslant m$. Для каждой вершины $v_{j,o}$, $j\leqslant m$, с весами $(k_j,g_j)$ обозначим через $C_j$ нулевое сечение (и базу) комплексного линейного расслоения $\operatorname{pr}_j\colon L_j:=L_{C_j,D}\to C_j$, ассоциированного с дивизором $D$ степени $k_j$ на проективной кривой $C_j$ рода $g_j$. Имеем $(C_j^2)_{L_j}=k_j$. Затем выберем $\operatorname{v}_{v_{j,0}}$ слоев проекции $\operatorname{pr}_j$, обозначим их через $F_{j,o_j(1)},\dots, F_{j,o_j(\operatorname{v}_j)}$, и выберем эрмитову метрику $(ds_j)^2$ в $L_j$, являющуюся хорошей по отношению к кривой $C_j\cup \bigl(\bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}F_{j,o_j(i)}\bigr)$. Пусть $\varepsilon _j$ – положительное число такое, что множества
$$
\begin{equation*}
U_{j,\varepsilon}= \{ p\in L_j\mid \operatorname{dist}_{(ds_j)^2}(C_j, p)<\varepsilon\leqslant\varepsilon_j\}
\end{equation*}
\notag
$$
являются трубчатыми окрестностями кривой $C_j$. По определению хорошей метрики, для каждого $i=1,\dots, \operatorname{v}_j$ существует окрестность $V_{j,o_j(i)}\subset U_{j,\varepsilon}$ точки $p_{j,o_j(i)}=C_j\cap F_{o_j(i)}$ такая, что (i) существуют локальные координаты $z_1,z_2$ в $V_{j,o_j(i)}$ такие, что
$$
\begin{equation*}
V_{j,o_j(i)}\simeq \{ (z_{j,1},z_{j,2})\in\mathbb C^2\mid |z_{j,1}|<\varepsilon,\, |z_{j,2}|<\varepsilon\};
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) $z_{j,1}=0$ является уравнением кривой $C_j\cap V_{j,o_j(i)}$, а $z_{j,2}=0$ – уравнение кривой $F_{o_j(i)}\cap V_{j,o_j(i)}$; (iii) метрика $(ds_j)^2$ в $V_{j,o_j(i)}$ задана формулой $(ds_j)^2=dz_{j,1}\,d\overline z_{j,1}+dz_{j,2}\,d\overline z_{j,2}$. Обозначим $\varepsilon_0=\min_{1\leqslant j\leqslant m} \varepsilon_j$ и $C_{o_j(i)}=F_{o_j(i)}\cap V_{j,o_j(i)}\subset U_{j,\varepsilon_0}$, если $o_j(i)\,{>}\,m$. Если для $1\leqslant j_1\neq j_2\leqslant m$ существуют $i_1$ и $i_2$ такие, что $o_{j_1}(i_2)=j_2$ и $o_{j_2}(i_1)=j_1$, то мы склеиваем $U_{j_1,\varepsilon_0}$ с $U_{j_2,\varepsilon_0}$, отождествляя $V_{j_1,j_2}\subset U_{j_1,\varepsilon_0}$ с $V_{j_2,j_1}\subset U_{j_2,\varepsilon_0}$ с помощью биголоморфного изоморфизма окрестностей $V_{j_1,j_2}$ и $V_{j_2,j_1}$, заданного отображением $z_{j_1,1}\leftrightarrow z_{j_2,2}$, $z_{j_1,2}\leftrightarrow z_{j_2,1}$. В результате всех таких склеиваний мы получим трубчатую окрестность $\widetilde U_{\varepsilon_0}=\bigcup_{j=1}^mU_{j,\varepsilon_0}$ кривой $\widetilde C=\bigcup_{j=1}^nC_j$. Очевидно, двойственный частично двувзвешенный граф $\Gamma(\widetilde C)$ кривой $\widetilde C\subset \widetilde U_{\varepsilon_0}$ и частично двувзвешенный граф $\Gamma\in\mathcal G$ изоморфны как частично двувзвешенные графы. 2.2. Доказательство теоремы 1В обозначениях, использованных в п. 1.2, для каждой точки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, p_{j_1,j_2} &=C_{j_1}\cap C_{j_2}\subset V_{p_{j_1,j_2}}\simeq \mathbb B_2 \\ &=\bigl\{ (z_1,z_2)\in \mathbb C^2\bigm| \sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2}<2\bigr\}, \qquad 1\leqslant j_1,j_2,\leqslant m, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
рассмотрим в $V_{p_{j_1,j_2}}\cap \partial U_{\varepsilon}$ подмножество
$$
\begin{equation*}
\partial U_{j_1,j_2,\varepsilon}\simeq \{ (z_1,z_2)\mid |z_1|= \varepsilon,\, \varepsilon\leqslant |z_2|\leqslant 1\}\cup \{ (z_1,z_2)\mid \varepsilon \leqslant |z_1|\leqslant 1,\, |z_2|=\varepsilon\},
\end{equation*}
\notag
$$
и пусть $M_{j_1,j_2,\varepsilon}\,{=}\,\{ (|z_1|,|z_2|)\in\mathbb R^2\mid (z_1,z_2)\in\partial U_{j_1,j_2,\varepsilon}\}\subset \mathbb R^2$ – множество модулей координат точек, лежащих в $\partial U_{j_1,j_2,\varepsilon}$. Для $\varepsilon_1<\varepsilon_2<\varepsilon_0$ рассмотрим отображение $\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\colon \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_2}\to \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_1}$,
$$
\begin{equation*}
\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\colon (z_1,z_2)\in \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_2}\mapsto \bigl(\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(z_1),\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(z_2)\bigr)\in \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_1},
\end{equation*}
\notag
$$
заданное следующим образом: $\operatorname{arg}(\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(z_i))=\operatorname{arg}(z_i)$ для $i=1,2$, и индуцированное отображением $\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}$ отображение $|\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}|\colon M_{j_1,j_2,\varepsilon_2}\to M_{j_1,j_2,\varepsilon_1}$ является проекцией из точки $(1,1)\in\mathbb R^2$ множества $M_{j_1,j_2,\varepsilon_2}$ в $M_{j_1,j_2,\varepsilon_1}$ (см. рис. 3). Легко видеть, что $\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}$ задается формулами
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(z_1,z_2) &= \biggl(\frac{(1-\varepsilon_1)(|z_1|-1)+(1-\varepsilon_2)}{(1-\varepsilon_2)|z_1|}z_1, \, \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}z_2\biggr), &\quad &\text{если } |z_2|=\varepsilon_2, \\ \rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(z_1,z_2) &= \biggl(\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}z_1, \, \frac{(1-\varepsilon_1)(|z_2|-1)+(1-\varepsilon_2)}{(1-\varepsilon_2)|z_2|}z_2\biggr), &\quad &\text{если } |z_1|=\varepsilon_2. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{17}
$$
Очевидно, для $C_{j_1}\cap C_{j_2}\neq \varnothing$ отображения $\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\colon \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_2}\to \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_1}$ являются гомеоморфизмами. Для того чтобы показать, что гомеоморфизмы $\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\colon \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_2}\to \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_1}$ продолжаются до гомеоморфизма $\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\colon \partial \widetilde U_{\varepsilon_2}\to \partial \widetilde U_{\varepsilon_1}$, рассмотрим объединение $\bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}\partial U_{j,o_j(i),\varepsilon}$, взятое по всем $o_j(i)$ таким, что $\overline o_j(i)=(o_j(i),0)$. Применяя утверждение 1, из (17) следует, что для точек $q=(z_1,z_2)\in \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_2}$ таких, что $|z_1|=1$ и $|z_2|=\varepsilon_2$ (соответственно $|z_1|=\varepsilon_2$ и $|z_2|=1$), образы $\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(q)$ принадлежат геодезическим линиям $\gamma\subset V_{j_1,j_2}$, трансверсальным к кривой $C_{j_2}$ (соответственно $C_{j_1}$) и проходящим через точки $q$. Поэтому гомеоморфизмы $\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\colon \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_2}\to \partial U_{j_1,j_2,\varepsilon_1}$ могут быть продолжены до гомеоморфизма $\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\colon \partial \widetilde U_{\varepsilon_2}\to \partial \widetilde U_{\varepsilon_1}$ такого, что его ограничения
$$
\begin{equation*}
\rho_{j,\varepsilon_1,\varepsilon_2}\colon \partial U_{j,\varepsilon_2}\setminus \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}\partial U_{j,o_j(i),\varepsilon_2}\to \partial U_{j,\varepsilon_1}\setminus \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}\partial U_{j,o_j(i),\varepsilon_1}
\end{equation*}
\notag
$$
на $\partial U_{j,\varepsilon_2}\setminus \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}\partial U_{j,o_j(i),\varepsilon_2}$ определяются следующим образом: гомеоморфизмы $\rho_{j,\varepsilon_1,\varepsilon_2}$ отображают точки $q\in \partial U_{j,\varepsilon_2}\setminus \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}\partial U_{j,o_j(i),\varepsilon_2}$ в точки $\rho_{j,\varepsilon_1,\varepsilon_2}(q)=\gamma_q\cap \bigl(\partial U_{j,\varepsilon_1}\setminus \bigcup_{i=1}^{\operatorname{v}_j}\partial U_{j,o_j(i),\varepsilon_1}\bigr)$, где $\gamma_q$ – геодезические линии, трансверсальные к кривым $C_j$ и проходящие через точки $q$. В результате мы получаем гомеоморфизм $\rho_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\colon \partial U_{\varepsilon_2}\simeq \partial \widetilde U_{\varepsilon_2}\to \partial \widetilde U_{\varepsilon_1}\simeq \partial U_{\varepsilon_1}$. Для $q\in \widetilde U_{\varepsilon}$ обозначим через $d(q)=\operatorname{dist}_{(ds)^2}(q,\widetilde C)$ расстояние от точки $q$ до кривой $\widetilde C$. Имеем гомеоморфизм $U_{\varepsilon}\setminus C\simeq \widetilde U_{\varepsilon}\setminus\widetilde C$, и легко видеть, что отображение
$$
\begin{equation*}
\rho_{\varepsilon}\colon U_{\varepsilon}\setminus C\simeq \widetilde U_{\varepsilon}\setminus \widetilde C \to \partial \widetilde U_{\varepsilon}\times (0,\varepsilon)\simeq \partial U_{\varepsilon}\times (0,\varepsilon),
\end{equation*}
\notag
$$
заданное формулой $\rho_{\varepsilon}(q)=(\rho^{-1}_{d(q),\varepsilon}(q),d(q))$ для $q\in \widetilde U_{\varepsilon}\setminus \widetilde C$, является гомеоморфизмом. Следовательно, группы $\pi_1(U_{\varepsilon}\setminus C)$ и $\pi_1(\partial U_{\varepsilon})$ изоморфны, и утверждения 1) и 2) теоремы 1 следуют из теоремы 3.
§ 3. Доказательство теоремы 43.1. Расширенный алгоритм ЕвклидаПусть $\mathbb Z[u_1,\dots,u_n,\dots]$ – кольцо многочленов от переменных $u_1,\dots,u_n,\dots$ с коэффициентами в $\mathbb Z$, и $\mathbb Q(u_1,\dots, u_n,\dots)$ – его поле частных. Рассмотрим рациональные функции
$$
\begin{equation}
R_n(u_1,\dots, u_n)=u_n-\frac{1}{u_{n-1}-\cfrac{1}{u_{n-2}- \cfrac{1}{\dots -\cfrac{1}{u_1}}}}\in \mathcal R= \mathbb Q(u_1,\dots,u_n,\dots)
\end{equation}
\tag{18}
$$
и $R_0=P_0=1$. Применяя индукцию, легко проверить, что $R_n(u_1,\dots,u_n)=P_n(u_1,\dots,u_n)/P_{n-1}(u_1,\dots,u_{n-1})$, где многочлены $P_n(u_1,\dots,u_n)$ заданы рекурсивно:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P_0:=1,\qquad P_1:=P_1(u_1)=u_1, \nonumber \\ P_2:=P_2(u_1,u_2)= u_2P_1-P_0=u_1u_2-1, \nonumber \\ P_3:=P_3(u_1,u_2,u_3)=u_3P_2-P_1=u_1u_2u_3-u_1-u_3, \nonumber \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots
\end{gathered}\end{equation}
\notag
$$
Обозначим также $Q_n:=P_{n-1}(u_2,\dots,u_n)$ и $Q_{0}:=0$, и рассмотрим множество $(2\times 2)$-матриц
$$
\begin{equation*}
\mathcal M=\biggl\{ M_m=(-1)^m\begin{pmatrix} -Q_{m-1}, & Q_{m} \\ -P_{m-1}, & P_m \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(2,\mathcal R) \biggm| m\in\mathbb N \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
M_1(u_m):=(-1)\begin{pmatrix} 0, & 1 \\ -1, & u_m \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(2,\mathcal R),\qquad m\in\mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
в частности, $M_1=M_1(u_1)$. Лемма 4. Множество матриц $\mathcal M=\{ M_m=M_1(u_1)\cdots M_1(u_m)\mid m\in \mathbb N\} \subset \operatorname{SL}(2,\mathcal R)$. Доказательство. Используя индукцию по $m$ и применяя равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_m M_1(u_{m+1}) &= (-1)^{m+1} \begin{pmatrix} -Q_{m-1}, & Q_{m} \\ -P_{m-1}, & P_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0, & 1 \\ -1, & u_{m+1} \end{pmatrix} \\ &=(-1)^{m+1} \begin{pmatrix} -Q_{m}, & -Q_{m-1}+u_{m+1}Q_{m} \\ -P_{m}, & -P_{m-1}+u_{m+1}P_m \end{pmatrix} \\ &\!\!\stackrel{(19)}= (-1)^{m+1} \begin{pmatrix} -Q_{m}, & Q_{m+1} \\ -P_{m}, & P_{m+1} \end{pmatrix}=M_{m+1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
получаем, что $M_m=M_1(u_1)\cdots M_1(u_m)$.
Имеем $M_m\in \operatorname{SL}(2,\mathcal R)$, так как $\det M_1(u_n)=1$. Лемма 4 доказана. Обозначим через $\overline k^{\,m}=(k_1,\dots,k_m)$, $k_j\in\mathbb Z$, элементы решетки $\mathbb Z^m$. Матрицы $M_m\in \mathcal M$ определяют отображения $\mu_m \colon \mathbb Z^m\to \operatorname{SL}(2,\mathbb Z)$, заданные формулой
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mu_m \colon \overline k^{\,m}=(k_1,\dots,k_m) \\ &\qquad\qquad\mapsto M_{\overline k^{\,m}}=(-1)^m\begin{pmatrix} -Q_{m-1}(k_2,\dots, k_{m-1}), & Q_{m}(k_2,\dots, k_m) \\ -P_{m-1}(k_1,\dots,k_{m-1}), & P_m(k_1,\dots, k_m) \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Хорошо известно, что группа $\operatorname{SL}(2,\mathbb Z)$ порождается матрицами
$$
\begin{equation*}
T_{1,2}(m)=\begin{pmatrix} 1, & m \\ 0, & 1 \end{pmatrix},\qquad T_{2,1}(m)= \begin{pmatrix} 1, & 0 \\ m, & 1 \end{pmatrix},\qquad m\in\mathbb Z,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. любая матрица $A\in \operatorname{SL}(2,\mathbb Z)$ является произведением $A=T_1(m_1)\cdots T_n(m_n)$ для некоторого $n\in\mathbb N$, где каждая матрица $T_i(m_i)$ – это либо $T_{1,2}(m_i)$, либо $T_{2,1}(m_i)$ и, если $T_i(m_i)=T_{1,2}(m_i)$, то $T_{i+1}(m_{i+1})=T_{2,1}(m_{i+1})$, а если $T_i(m_i)=T_{2,1}(m_i)$, то $T_{i+1}(m_{i+1})=T_{1,2}(m_{i+1})$. С другой стороны, согласно лемме 4 легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{(0,0,0,-k_4)} &=M_1(0)^3M_1(k_4)=T_{1,2}(k_4)\in \mu_4(\mathbb Z^4), \\ M_{(k_1,0,0,0)} &=M_1(k_1)M_1(0)^3=T_{2,1}(k_1)\in \mu_4(\mathbb Z^4). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя еще раз лемму 4, получаем, что $A=T_1(m_1)\cdots T_n(m_n)\in \mu_{4n}(\mathbb Z^{4n}).$ Предложение 5 доказано. 3.2. Доказательство утверждения 1) теоремы 4Рассмотрим частично двувзвешенный граф $\Gamma_{m,2}\in\mathcal Ch_2^0$, изображенный на рис. 4, где $(k_j,0)$ – это веса вершин $v_{j,0}$. Согласно теореме 2 группа $\pi_1^w(\Gamma_{m,2})$ имеет следующее копредставление:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \pi_1^w(\Gamma_{m,2}) &=\langle x_{1,0},\dots,x_{m,0},x_{m+1,1},x_{m+2,1}\mid x_{1,0}^{k_1}x_{m+1,1}x_{2,0}=x_{2,0}^{k_2}x_{1,0}x_{3,0} \nonumber \\ &\qquad\qquad =\dots=x_{m-1,0}^{k_{m-1}}x_{m-2,0}x_{m,0}=x_{m,0}^{k_m}x_{m-1,0}x_{m+2,1}=1, \nonumber \\ &\qquad\qquad [x_{1,0},x_{m+1,1}]=[x_{1,0},x_{2,0}]=[x_{2,0},x_{3,0}] \nonumber \\ &\qquad\qquad=\dots=[x_{m-1,0},x_{m,0}]=[x_{m,0},x_{m+2,1}]=1\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Из (20) получаем, что
$$
\begin{equation*}
x_{2,0}=x_{m+1,1}^{-1}x_{1,0}^{-k_1}\quad\text{и}\quad [x_{2,0},x_{m+1,1}]=1,
\end{equation*}
\notag
$$
так как $[x_{1,0},x_{m+1,1}]=1$. Затем получаем
$$
\begin{equation*}
x_{3,0}=x_{1,0}^{-1}x_{2,0}^{-k_2}=x_{m+1,1}^{k_2}x_{1,0}^{k_1,k_2-1}\quad\text{и}\quad [x_{1,0},x_{3,0}]=[x_{m+1,1},x_{3,0}]=1
\end{equation*}
\notag
$$
и так далее, получаем
$$
\begin{equation}
x_{j,0}=x_{m+1,1}^{(-1)^{j-1}Q_{j-1}}x_{1,0}^{(-1)^{j-1}P_{j-1}},\qquad j=2,\dots,m,
\end{equation}
\tag{21}
$$
$$
\begin{equation}
x_{m+2,1}=x_{m+1,1}^{(-1)^{m}Q_{m}}x_{1,0}^{(-1)^{m}P_m},
\end{equation}
\tag{22}
$$
где $P_j=P_j(k_1,\dots,k_j)$ и $Q_{j}=P_{j-1}(k_2,\dots,k_j)$. Из (21) и (22) следует, что $\pi_1^w(\Gamma_{m,2})=\langle x_{1,0},x_{m+1,1}\mid [x_{1,0},x_{m+1,1}]=1\rangle$ является свободной коммутативной группой ранга $2$, и $\Pi_w(\mathcal Ch^0_2)=\{ \mathbb Z\times\mathbb Z\}$. Пусть $\Gamma_{m,1}\in\mathcal Ch_1^0$ – частично двувзвешенный граф, изображенный на рис. 5. Чтобы получить копредставление группы $\pi_1^w(\Gamma_{m,1})$, достаточно добавить соотношение $x_{m+2,1}=1$ к копредставлению (20) и получить, что
$$
\begin{equation}
\pi_1^w(\Gamma_{m,1})=\bigl\langle x_{1,0},x_{m+1,1}\bigm| [x_{1,0},x_{m+1,1}]=x_{m+1,1}^{Q_{m}}x_{1,0}^{P_m}=1\bigr\rangle.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Следовательно, $\pi_1^w(\Gamma_{m,1})=\mathbb Z$, так как согласно лемме 4 числа $Q_m$ и $P_m$ взаимно просты. Пусть $\Gamma_{m,0}\in\mathcal Ch_0^0$ – частично двувзвешенный граф, изображенный на рис. 6. Чтобы получить копредставление группы $\pi_1^w(\Gamma_{m,}0)$, достаточно добавить соотношения $x_{m+1,1}=x_{m+2,1}=1$ в копредставление (20). Получим, что
$$
\begin{equation*}
\pi_1^w(\Gamma_{m,0})=\bigl\langle x_{1,0}\bigm| x_{1,0}^{P_m}=1\bigr\rangle \simeq \mathbb Z/|P_m|\mathbb Z
\end{equation*}
\notag
$$
является циклической группой. Если $m=1$, то $P_1=k_1$ и, следовательно, $\Pi_w(\mathcal Ch^0_0)=\{ \mathbb Z/n\mathbb Z\mid n\geqslant 0\}$. 3.3. Доказательство утверждения 2) теоремы 4Пусть $\Gamma_{m}\in\mathcal L$ – частично двувзвешенная петля, множество вершин $V(\Gamma_m)$ которой – это множество $\{ v_{1,0},\dots,v_{m,0}\}$ ($m\geqslant 3$ согласно условию (G4)). Чтобы задать копредставление группы $\pi_1^w(\Gamma_m)$, мы должны выбрать множество ребер $\widetilde E$ и рассмотреть дерево $\Gamma_{m,\widetilde E}$ графа $\Gamma_m$. Положим $\widetilde E=\{ (v_{1,0},v_{m,0})\}$. Тогда вершины дерева $\Gamma_{m,\widetilde E}$ – $\{ v_{1,0},\dots,v_{m,0}\}\cup \{v_{1,1},v_{m,1}\}$, и граф $\Gamma_{m,\widetilde E}$ совпадает с графом $\Gamma_{m,2}$, изображенном на рис. 4, где $v_{1,1}=v_{m+2,1}$ и $v_{m,1}=v_{m+1,1}$. Поэтому, чтобы получить копредставление группы $\pi_1^w(\Gamma_m)$, достаточно к копредставлению (20) добавить еще один порождающий элемент $y$ и два определяющих соотношения $y^{-1}x_{1,0}y=x_{m+2,1}$ и $y^{-1}x_{m+1,1}y=x_{m,0}$. Из (21) и (22) следует, что $\pi_1^w(\Gamma_m)$ имеет копредставление
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \pi_1^w(\Gamma_m) &=\bigl\langle x_{1,0}, x_{m+1,1}, y\bigm| [x_{1,0},x_{m+1,1}]=1, \\ &\qquad\qquad y^{-1}x_{1,0}y =x_{1,0}^{(-1)^{m}P_m}x_{m+1,1}^{(-1)^{m}Q_{m}}, \\ &\qquad\qquad y^{-1}x_{m+1,1}y=x_{1,0}^{(-1)^{m-1}P_{m-1}}x_{m+1,1}^{(-1)^{m-1}Q_{m-1}}\bigr\rangle \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
или, в аддитивной форме,
$$
\begin{equation*}
\pi_1^w(\Gamma_m)\simeq\mathbb Z^2\ltimes_{M^t_{\overline k^{\,m}}}\mathbb F_1= \bigl\langle (z_1,z_2),t\bigm| (z_1,z_2)\in \mathbb Z^2,\, t^{-1}(z_1,z_2)t=(z_1,z_2)M^{\tau}_{\overline k^{\,m}}\bigr\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
есть полупрямое произведение групп $\mathbb Z^2$ и $\mathbb F_1\simeq \mathbb Z$, где (согласно предложению 5)
$$
\begin{equation*}
M^{\tau}_{\overline k^{\,m}}= (-1)^m \begin{pmatrix} P_m, & Q_{m} \\ -P_{m-1}, & -Q_{m-1} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
есть произвольный элемент группы $\operatorname{SL}(2,\mathbb Z)$, действующий на $\mathbb Z^2$ справа. 3.4. Доказательство утверждения 3) теоремы 4Рассмотрим копредставление группы $\pi_1^w(\Gamma)$ графа $\Gamma\in\mathcal G$, данное в определении 1. Обозначим через $N$ нормальное замыкание в $\pi_1^w(\Gamma)$ подгруппы, порожденной элементами
$$
\begin{equation*}
x_{1,0},\ \dots,\ x_{m,0},\ x_{m+1,1},\ \dots,\ x_{m+k,1},\ x_{j(E_1,1),1},\ x_{j(E_1,2),1},\ \dots,\ x_{j(E_r,1),1},\ x_{j(E_r,2),1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда факторгруппа $\pi_1^w(\Gamma)/N$ имеет следующее копредставление:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \pi_1^w(\Gamma)/N &=\biggl\langle y_1,\dots, y_r, \mu_{j,i},\lambda_{j,i},\ 1\leqslant j\leqslant m,\, 1\leqslant i\leqslant g_j\biggm| \\ &\qquad\prod_{i=1}^{g_{j}}[\mu_{j,i},\lambda_{j,i}]=1,\ 1\leqslant j \leqslant m,\, 1\leqslant g_j \biggr\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\pi_1^w(\Gamma)/N \simeq \bigl(\prod^{n_1}\mathcal R_1*\cdots*\prod^{n_{i_0}}\mathcal R_{i_0}\bigr)*\mathbb F_r$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kul23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|