| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) О стабилизации решений полулинейных параболических уравнений второго порядка на замкнутых многообразиях Д. В. Туницкий Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9354e 
Реферативные базы данных:
    ВведениеПолулинейные параболические уравнения второго порядка вида где
$$
\begin{equation}
Lq=-\sum_{l,m=1}^n\frac{\partial}{\partial x^l} \biggl(a^{l,m}(x)\, \frac{\partial q}{\partial x^m}\biggr)+ \sum_{l=1}^n b^l(x)\, \frac{\partial q}{\partial x^l}
\end{equation}
\tag{0.2}
$$
– эллиптический линейный дифференциальный оператор, часто применяются при построении математических моделей, связанных с описанием процессов реакции–диффузии. Среди многочисленных работ, посвященных этим уравнениям, прежде всего следует отметить знаменитые статьи А. Н. Колмогорова, Г. И. Петровского, Н. С. Пискунова [1] и Р. А. Фишера [2], в которых изучается случай однородных оператора $L$ и правой части $f$:
$$
\begin{equation*}
L=-\sum_{l=1}^n\frac{\partial^2}{(\partial x^l)^2},\qquad f(x,q)=f(q).
\end{equation*}
\notag
$$
Упомянем также статью [3], в которой содержится информация по истории и библиографии работ, посвященных уравнениям (0.1), (0.2), и монографию [4], в которой приведен ряд приложений этих уравнений к биологии. В [3] изучаются уравнения (0.1), (0.2) с оператором $L$, имеющим периодические коэффициенты. Этот случай сводится к уравнениям на $n$-мерном торе $\mathbb{T}^n$ и представляет значительный интерес с прикладной точки зрения. Большое значение имеют аналоги уравнений (0.1), (0.2) и на других замкнутых многообразиях, в частности, на многообразиях, диффеоморфных $n$-мерной сфере $\mathbb{S}^n$. Как известно, согласно обобщенной гипотезе Пуанкаре сфере $\mathbb{S}^n$ гомеоморфны все гомотопически эквивалентные ей замкнутые многообразия. Наибольшие затруднения при установлении истинности этой гипотезы возникают при $n=3$. Доказательство, предложенное Г. Я. Перельманом, связано с исследованием потоков Риччи на замкнутых трехмерных многообразиях, см. [5]–[7]. Именно этот подход позволил доказать гипотезу Пуанкаре и тем самым решить одну из “проблем миллениума”. Причем с помощью трюка Детурка, см. [8], нахождение потоков Риччи, по сути, сводится к решению соответствующих параболических уравнений. Это наглядно показывает, что изучение решений нелинейных параболических уравнений на замкнутых многообразиях представляет интерес не только с прикладной, но и с общематематической точки зрения. Существованию, единственности и стабилизации решений аналогов уравнения (0.1) на произвольных замкнутых многообразиях конечной размерности посвящена данная статья. Важно заметить, что в ряде прикладных задач правые части уравнений (0.1), (0.2) могут содержать члены, которые не являются непрерывными. Например, такая ситуация характерна для задач управления. Поэтому желателен выбор такого класса допустимых решений, который позволял бы построить удовлетворительную теорию разрешимости рассматриваемых уравнений при минимальных требованиях на регулярность их коэффициентов. В качестве такого класса в данной работе выступают слабые решения. В этом классе удается исследовать решения аналогов неоднородного уравнения (0.1) на замкнутых многообразиях при довольно низких требованиях на регулярность его коэффициентов. В частности, некоторые из этих коэффициентов могут быть обобщенными функциями. § 1. Постановка задачи1.1. Функциональные пространства тензорных полейБудем обозначать через $X$ $n$-мерное гладкое замкнутое риманово многообразие, т. е. связное хаусдорфово компактное многообразие без края с метрикой $g\colon TX\times TX \to \mathbb{R}$. Метрики, индуцированные на тензорных расслоениях $(TX)^{\otimes^m}\otimes (T^* X)^{\otimes^l}$, $m,l=0,1,2,\dots$, этого многообразия посредством $g$, будем обозначать той же буквой $g$, при этом под $(TX)^{\otimes^0}\otimes (T^* X)^{\otimes^0}$ понимается тривиальное расслоение $X \times \mathbb{R}$ с $g(r,t)=rt$ для $r,t \in \mathbb{R}$. Метрика $g$ индуцирует на многообразии $X$ меру $V=V_g$, в локальных координатах $x^1,\dots,x^n$ где $g=\det\bigl(g(\partial/\partial x^m,\partial/\partial x^l)\bigr)$, и связность Леви-Чивита со взаимно однозначно определяемым ею оператором ковариантного дифференцирования $\nabla=\nabla_g$.Для заданных на $X$ вещественнозначных функций $u$ и $v$ положим
$$
\begin{equation*}
\langle u,v\rangle=\int_X u(x)v(x)\,dV, \qquad \operatorname*{ess\,sup}_{x \in X} u(x)= \inf_{\substack{S\subseteq X\\ V(S)=0}}\, \sup_{x \in X\setminus S} u(x).
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью метрики $g$ и меры $V$ обычным образом конструируются пространства функций $L^p(X)$ и тензорных полей $L^p\bigl((TX)^{\otimes^m} \otimes (T^* X)^{\otimes^l}\bigr)$ для $p \geqslant 1$ и $m,l=0,1,2,\dots$ . Аналогично с привлечением ковариантного дифференцирования $\nabla$ конструируются пространства Соболева $W^{k,p}(X)$ и $W^{k,p}\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes (T^* X)^{\otimes^l}\bigr)$ для $k=0,1,2,\dots$ и пространства Гёльдера $C^{k,\alpha}(X)$ и $C^{k,\alpha}\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr)$ для $0<\alpha \leqslant 1$; см. [9; п. 10.2.4], [10; § 1]. На касательном расслоении декартова произведения $[0,T)\times X$, где $T \in (0,+\infty]$, определена метрика
$$
\begin{equation*}
g_{[0,T)\times X}\colon T([0,T)\times X)\ni (\tau,\xi)\mapsto \tau^2+g(\xi,\xi)\in \mathbb{R}
\end{equation*}
\notag
$$
и соответствующие ей мера $V_{g_{[0,T)\times X}}$ и ковариантное дифференцирование $\nabla_{g_{[0,T)\times X}}$, с помощью которых аналогичным образом конструируются функциональные пространства
$$
\begin{equation*}
L^p([0,T)\times X),\qquad L^p\bigl(\bigl(T([0,T) \times X)\bigr)^{\otimes^m} \otimes \bigl(T^*([0,T)\times X)\bigr)^{\otimes^l}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
W^{k,p}([0,T)\times X),\qquad W^{k,p}\bigl(\bigl(T([0,T) \times X)\bigr)^{\otimes^m} \otimes \bigl(T^*([0,T)\times X)\bigr)^{\otimes^l}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
а также
$$
\begin{equation*}
C^{k,\alpha}([0,T)\times X),\qquad C^{k,\alpha} \bigl(\bigl(T([0,T) \times X)\bigr)^{\otimes^m} \otimes \bigl(T^*([0,T)\times X)\bigr)^{\otimes^l}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $B$ – произвольное банахово пространство с нормой ${\|\,{\cdot}\,\|_B}$, то для $T \in (0,+\infty]$ стандартным образом определяются банаховы пространства $L^p(T;B)$ с нормами
$$
\begin{equation*}
\|q\|_{L^p(T;B)}=\biggl(\int_0^T\|q(t)\|_B^p\,dt\biggr)^{1/p}, \quad p\geqslant 1, \qquad \|q\|_{L^\infty(T;B)}= \operatorname*{ess\,sup}_{t\in [0,T)}\|q(t)\|_B,
\end{equation*}
\notag
$$
см. [11; гл. III, § 1], [12; гл. II, § 2]. Пространства $L^2(T;W^{1,2}(X))$ и $W^{1,2}(T;L^2(X))$ являются гильбертовыми, со скалярными произведениями
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle q,p\rangle_{L^2(T;W^{1,2}(X))}&= \int_0^T\langle q(t),p(t)\rangle_{W^{1,2}(X)}\,dt, \\ \langle q,p\rangle_{W^{1,2}(T;L^2(X))}&= \int_0^T\bigl(\langle q(t),p(t)\rangle+ \langle q'(t),p'(t)\rangle\bigr)\,dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а их пересечение $L^2(T;W^{1,2}(X))\cap W^{1,2}(T;L^2(X))$ изоморфно гильбертову пространству $W^{1,2}([0,T)\times X)$ со скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
\langle q,p\rangle_{W^{1,2}([0,T)\times X)}= \int_0^T\bigl(\langle q(t),p(t)\rangle+\langle dq(t),dp(t)\rangle_{L^2(T^* X)} +\langle q'(t),p'(t)\rangle\bigr)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и в нижеследующем изложении $q(t,\,\cdot\,)$ отождествляется с $q(t)$. Положим – это банахово пространство с нормой
$$
\begin{equation*}
\|q\|_{W(T;X)}^2=\operatorname*{ess\,sup}_{t\in [0,T)} \langle q(t),q(t)\rangle+\int_0^T\langle dq(t),dq(t)\rangle_{L^2(T^* X)}\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Как обычно, для всякого линейного полулокального подпространства $E \,{\subseteq}\, \mathcal{D}'([0,T)\times X)$ через $E_{\mathrm{loc}}$ обозначается наименьшее локальное подпространство $\mathcal{D}'([0,T)\times X)$, содержащее $E$, см. [13; п. 10.1]. В частности, $L_{\mathrm{loc}}^2([0,T)\times X)$ для $L^2([0,T)\times X)$, $L_{\mathrm{loc}}^\infty([0,T)\times X)$ для $L^\infty([0,T)\times X)$ и $W_{\mathrm{loc}}(T;X)$ для $W(T;X)$. 1.2. Эллиптические уравненияДля краткости будем использовать сокращение п. в., когда речь идет о выполнении каких-либо свойств почти всюду по мере $V$ (1.1). Предположим, что наряду с $g$ на римановом многообразии $X$ задана еще одна метрика $a$. Пусть она измерима и существуют такие положительные числа $a_0$ и $a_1$, что п. в.
$$
\begin{equation}
a_0 g(\eta,\eta) \leqslant a(\eta,\eta) \leqslant a_1 g(\eta,\eta)
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
при всех $\eta \in T^* X$. Рассмотрим операторы $d_a^*$ и $d_g^*$, формально сопряженные с оператором внешнего дифференцирования $d$ относительно метрик $a$ и $g$ соответственно, см. [14; гл. VIII, § 1]. В частности, $\langle a(du,v),1\rangle=\langle a(u,d_a^* v),1\rangle$ для всех дифференциальных $k$-форм $u$ и $(k+1)$-форм $v$, $k=0,1,\dots,n-1$, и если многообразие $X$ ориентируемо, то на $k$-формах $d_a^*=(-1)^{n(k+1)+1}*d\,*$, где $* = *_a$ – оператор Ходжа, индуцированный метрикой $a$. Определим на функциях $u\in C^\infty(X)$ линейный дифференциальный оператор второго порядка где $\Delta=\Delta_a=d_a^*\circ d$ – геометрический лапласиан (оператор Лапласа–де Рама), см. [15; гл. IV, § 5], а $b$ и $c$ – измеримые и ограниченные относительно метрики $g$ векторное поле и линейная дифференциальная форма на $X$ соответственно. В локальных координатах $x^1,\dots,x^n$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Lu&=-\frac{1}{\sqrt{a}} \sum_{l,m=1}^n \frac{\partial}{\partial x^l} \biggl(\sqrt{a}\,a(dx^l,dx^m)\, \frac{\partial u}{\partial x^m}\biggr)+ \sum_{l=1}^n b(dx^l)\,\frac{\partial u}{\partial x^l} \\ &\qquad-\frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{l,m=1}^n \frac{\partial}{\partial x^l} \biggl(\sqrt{g}\,g(dx^l,dx^m) uc\biggl(\frac{\partial}{\partial x^m}\biggr)\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $a=\det\bigl(a(\partial/\partial x^m,\partial/\partial x^l)\bigr)$ и $g=\det\bigl(g(\partial/\partial x^m,\partial/\partial x^l)\bigr)$; ср. с (0.2). В этом контексте условие (1.2) означает, что оператор (1.3) равномерно эллиптичен на многообразии $X$. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
f\colon X \times \mathbb{R} \ni (x,r)\mapsto f(x,r)\in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
которая удовлетворяет локальному условию Липшица по переменной $r$, т. е. для любого $r\in \mathbb{R}$ найдется такая положительная постоянная $\mu_0=\mu_0(r)$, что для $r_1,r_2 \in [-r,r]$ п. в.
$$
\begin{equation}
|f(\,\cdot\,,r_1)-f(\,\cdot\,,r_2)| \leqslant \mu_0(r)|r_1-r_2|.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Слабым или обобщенным решением уравнения где $h$ – измеримая ограниченная линейная дифференциальная форма на многообразии $X$, называется такая функция $u \in W^{1,2}(X)$, что $f(\,\cdot\,,u) \in L^2(X$) и
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}(u,v)=\langle f(\,\cdot\,,u),v\rangle+ \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
для всякой функции $v \in C^\infty(X)$, где $\mathcal{L}$ – непрерывная билинейная форма
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}\colon W^{1,2}(X) \times C^\infty(X) \ni (u,v)\mapsto \langle a(du,dv),1\rangle+\langle bu,v\rangle+ \langle uc,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Замечание 1. Согласно (1.8) для всякого $r{\kern0.8pt}{\in}{\kern0.8pt} \mathbb{R}$ имеем $\mathcal{L}(r,v){\kern0.9pt}{=}{\kern1pt}r\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)}$, и поэтому по определению (1.7) постоянная функция $u=r$ тогда и только тогда является слабым решением уравнения (1.6), когда $\theta(r,v)=0$ для любой функции $v \in C^\infty(X)$, где Замечание 2. При фиксированном $r$ функционал $\theta(r,\,\cdot\,)$ является линейной формой на $C^\infty(X)$. Поскольку пространство $C^\infty(X)$ плотно в $W^{1,2}(X)$, то и линейную форму $\theta(r,\,\cdot\,)$ (1.9), и билинейную форму $\mathcal{L}$ (1.8) по непрерывности можно однозначно продолжить на функции $v \in W^{1,2}(X)$. При этом из выполнения равенства $\theta(r,v)=0$ или равенства (1.7) для всех функций $v \in C^\infty(X)$ вытекает его выполнение и для всех функций $v \in W^{1,2}(X)$. Очевидно, что выполнение указанных равенств для всех $v \in W^{1,2}(X)$ эквивалентно их выполнению для одних лишь неотрицательных $v \in W^{1,2}(X)$. 1.3. Параболические уравненияПоскольку оператор $L$ (1.3) эллиптичен, то эволюционное уравнение параболично. Слабым или обобщенным решением уравнения (1.10) на полуинтервале $[0,T)$, $T \in (0,+\infty]$, принимающим начальное значение $q_0\,{\in} L^2(X)$, назовем такую функцию $q\,{\in}{\kern1pt} W_{\mathrm{loc}}(T;X)$, что $f(\,\cdot\,,q)\,{\in}L_{\mathrm{loc}}^2([0,T){\kern1pt}{\times}{\kern1pt}X)$ и
$$
\begin{equation}
\langle q(t),p(t)\rangle+\mathcal{L}^t(q,p)=\langle q_0,p(0)\rangle+ \int_0^t\bigl(\langle f(\,\cdot\,,q(\tau)),p(\tau)\rangle+ \langle h,dp(\tau)\rangle_{L^2 (T^* X)}\bigr)\,d\tau
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
для всякого $p \in C^\infty([0,T) \times X)$ и $t \in [0,T)$, где
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}^t \colon W(T;X) \times C^\infty([0,T)\times X) \ni (q,p) \mapsto \int_0^t\bigl(\mathcal{L}(q(\tau),p(\tau))- \langle q(\tau),p'(\tau)\rangle\bigr)\,d\tau \in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Замечание 3. По определениям (1.7) и (1.12), если начальное значение $q_0$ (1.11) – решение уравнения (1.6), то $q=q_0$ – решение задачи Коши (1.10), (1.11) на полуинтервале $[0,+\infty)$. Поэтому в случае постоянного начального значения $q_0=r \in \mathbb{R}$, согласно замечанию 1, постоянная функция $q=r$ тогда и только тогда является слабым решением задачи Коши (1.10), (1.11), когда $\theta(r,v)=0$ для любой функции $v \in C^\infty(X)$. Замечание 4. Поскольку пространство $C^\infty([0,T) \times X)$ плотно в $W^{1,2}([0,T) \times X)$, то аналогично замечанию 2 билинейную форму $\mathcal{L}^t$ (1.13) по непрерывности можно однозначно продолжить на функции $p \in W^{1,2}([0,T) \times X)$, причем такие функции имеют следы $p(0),p(t) \in L^2(X)$. При этом выполнение равенства (1.12) для $p \in W^{1,2}([0,T) \times X)$ эквивалентно его выполнению лишь для неотрицательных $p \in W^{1,2}([0,T) \times X)$. § 2. Основные результаты2.1. Существование, единственность и регулярностьИсследуем условия, при которых слабое решение задачи Коши (1.10), (1.11) существует и единственно. Функция $u \in W^{1,2}(X)$ называется слабым или обобщенным субрешением (суперрешением) уравнения (1.6), если $f(\,\cdot\,,u) \in L^2(X)$ и для неотрицательных функций $v \in C^\infty(X)$
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}(u,v) \leqslant \langle f(\,\cdot\,,u),v\rangle+ \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}\qquad \bigl(\mathcal{L}(u,v)\geqslant \langle f(\,\cdot\,,u),v\rangle+ \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $q \in W_{\mathrm{loc}}(T;X)$ называется слабым или обобщенным субрешением (суперрешением) задачи Коши (1.10), (1.11) на полуинтервале $[0,T)$, $T \in (0,+\infty]$, если $f(\,\cdot\,,q)\in L_{\mathrm{loc}}^2([0,T) \times X)$ и для всех неотрицательных функций $p \in C^\infty([0,T) \times X)$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\langle q(t),p(t)\rangle+\mathcal{L}^t(q,p) \\ &\,\leqslant \langle q_0,p(0)\rangle \,{+}\int_0^t\bigl(\langle f(\,\cdot\,,q(\tau)),p(\tau)\rangle \,{+}\,\langle h,dp(\tau)\rangle_{L^2(T^* X)}\bigr)\,d\tau \\ &\biggl(\langle q(t),p(t)\rangle+ \mathcal{L}^t(q,p) \\ &\,\geqslant\langle q_0,p(0)\rangle \,{+}\int_0^t\bigl(\langle f(\,\cdot\,,q(\tau)),p(\tau)\rangle \,{+}\,\langle h,dp(\tau)\rangle_{L^2(T^* X)}\bigr)\,d\tau\biggr),\qquad t \,{\in}\, [0,T). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Слабое субрешение (суперрешение) задачи (1.10), (1.11), которое не является его слабым решением, будем называть строгим. В дальнейшем изложении, если явно не оговорено противное, все встречающиеся решения, субрешения и суперрешения предполагаются слабыми, и определение “слабое” для краткости будет опускаться. Замечание 5. Ясно, что всякое решение является одновременно субрешением и суперрешением. Обратно, если функция является одновременно субрешением и суперрешением, то согласно заключительным рассуждениям замечаний 2 и 4 она является решением. Нетрудно заметить, что если $w \in W^{1,2}(X)$ – субрешение (суперрешение) уравнения (1.6) и $w \leqslant q_0$ ($w \geqslant q_0$) п. в., то $q=w$ – субрешение (суперрешение) задачи (1.10), (1.11) на полуинтервале $[0,+\infty)$. Далее, по аналогии с замечанием 1 постоянная функция $u=r$, $r \in \mathbb{R}$, тогда и только тогда является субрешением (суперрешением) уравнения (1.6), когда $\theta(r,v) \leqslant 0$ ($\theta(r,v) \geqslant 0$) для всякой неотрицательной функции $v \in C^\infty(X)$. Соответственно, по аналогии с замечанием 3, если $r \leqslant q_0$ ($r \geqslant q_0$) п. в. и $\theta(r,v) \leqslant 0$ ($\theta(r,v) \geqslant 0$) для всякой неотрицательной функции $v \in C^\infty(X)$, то $q=r$ является субрешением (суперрешением) задачи (1.10), (1.11). Справедливо следующее утверждение. Теорема 1 (существование и единственность решения). Пусть метрика $a\in L^\infty\bigl((T^* X)^{\otimes^2}\bigr)$ удовлетворяет оценке (1.2), векторное поле $b\in L^\infty(TX)$, линейные дифференциальные формы $c,h \in L^\infty(T^* X)$, существует такое число $\mu \in \mathbb{R}$, что Известно, что решения задачи Коши (1.10), (1.11) локально непрерывны по Гёльдеру. Более точно, справедливо следующее утверждение. Теорема 2 (регулярность решения). Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (1.10) удовлетворяют всем условиям теоремы 1, кроме (2.2). Если $q$ – решение задачи Коши (1.10), (1.11) класса $L^\infty([0,T) \times X)$, $T \in (0,+\infty)$, то $q \in C(T;L^2(X))$ и для всякой точки $(t,x) \in (0,+T] \times X$ найдутся такие ее окрестность $U$ и число $0<\alpha<1$, что $q_{|U\cap [0,T) \times X}\in C^{0,\alpha}(U \cap [0,T)\times X)$. Доказательство теоремы 2 при ограничениях, наложенных на коэффициенты дифференциального оператора $L$ (1.3) и функцию $f$ (1.4), вытекает из известных свойств решений линейных параболических уравнения, см. [16; гл. VI, § 7], [17; § 1.5]. Естественно, что при дальнейшем повышении регулярности коэффициентов уравнения (1.10) соответствующим образом повышается и регулярность его решений, см. [16; гл. VI, § 2]. Из теорем 1 и 2 понятным образом вытекает следующий результат. Теорема 3 (глобальные существование и единственность). Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (1.10) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Если $q_1$ и $q_2$ – субрешение и суперрешение задачи (1.10), (1.11) на $[0,T)$, $T \in (0,+\infty]$, и $q_1,q_2 \in L_{\mathrm{loc}}^\infty ([0,T) \times X)$, то на $[0,T)$ существует единственное решение $q$ задачи (1.10), (1.11). Решение $q$ локально непрерывно по Гёльдеру на $(0,T) \times X$, $q \in C(T;L^2(X))$, и $q_1(t) \leqslant q(t) \leqslant q_2(t)$ п. в. при $t \in [0,T)$. 2.2. Стабилизация решенийВыясним условия, при которых решение $q$ задачи Коши (1.10), (1.11) при $t\to +\infty$ стремится к решению $u$ стационарного уравнения (1.6). Функция $f$ (1.4) называется строго вогнутой в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ справа (слева), если
$$
\begin{equation}
(1-\alpha)f(\,\cdot\,,r_0)+\alpha f(\,\cdot\,,r)< f\bigl(\,\cdot\,,(1-\alpha) r_0+\alpha r\bigr)
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
п. в. для $r>r_0$ ($r<r_0$) и $0<\alpha<1$. Аналогичным образом, функция $f$ строго выпукла в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ справа (слева), если
$$
\begin{equation}
f\bigl(\,\cdot\,,(1-\alpha)r_0+\alpha r\bigr)<(1-\alpha)f(\,\cdot\,,r_0)+ \alpha f(\,\cdot\,,r)
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
п. в. для $r>r_0$ ($r<r_0$) и $0<\alpha<1$. Решения задачи (1.10), (1.11) обладают следующими асимптотическими свойствами. Теорема 4 (стабилизация к стационарному решению). Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (1.10) удовлетворяют всем условиям теоремы 1, и пусть заданы числа $r_0,N \in \mathbb{R}$, $r_0 \ne N$, и такие функции $q_0 \in L^2(X)$ и $w \in W^{1,2}(X)\cap L^\infty(X)$, что $w \geqslant 0$ п. в., $V(x \in X\mid w \ne 0)>0$ и $V(x \in X \mid q_0 \ne r_0)>0$. Тогда справедливы следующие утверждения. (a) Предположим, что функция $f$ строго вогнута в точке $r_0$ справа, $r_0$ и $N$ – субрешение и суперрешение уравнения (1.6) соответственно, для начального значения (1.11) выполняются неравенства $r_0 \leqslant q_0 \leqslant N$ п. в., и существует такое $\delta$, что $r_0+\alpha w$ – субрешение уравнения (1.6) при $0<\alpha<\delta$. Тогда уравнение (1.6) и задача Коши (1.10), (1.11) имеют единственные решения $u$ и $q$, которые непрерывны, $r_0<u$, $q(t) \leqslant N$ при $0<t<+\infty$, и выполнено предельное соотношение (b) Предположим, что функция $f$ строго выпукла в точке $r_0$ слева, $N$ и $r_0$ – субрешение и суперрешение уравнения (1.6) соответственно, для начального значения (1.11) выполняются неравенства $N \leqslant q_0 \leqslant r_0$ п. в., и существует такое $\delta$, что $r_0-\alpha w$ – суперрешение уравнения (1.6) для $0<\alpha<\delta$. Тогда уравнение (1.6) и задача Коши (1.10), (1.11) имеют единственные решения $u$ и $q$, которые непрерывны, $N \leqslant u,q(t)<r_0$ при $0<t<+\infty$, и справедливо соотношение (2.5). Замечание 6. По сути доказательство сводится к построению такой невозрастающей по $t$ функции $\widetilde{q} \in C([0,+\infty)\times X)$, что Теорема 5 (стабилизация к постоянному решению). Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (1.10) удовлетворяют всем условиям теоремы 1, и пусть заданы числа $r_0,A \in \mathbb{R}$, $A>0$, и функции $q_0 \in L^2(X)$, $w \in W^{1,2}(X) \cap L^\infty(X)$, $w \geqslant 0$ п. в. Тогда справедливы следующие утверждения. (a) Предположим, что для начального значения (1.11) выполняются неравенства $r_0 \leqslant q_0 \leqslant r_0+Aw$ п. в., $r_0$ – решение, а $r_0+\alpha w$ – строгое суперрешение уравнения (1.6) при $0<\alpha \leqslant A$. Тогда задача Коши (1.10), (1.11) имеет решение $q$, которое единственно, непрерывно, $r_0 \leqslant q \leqslant r_0+Aw$ п. в. при $0<t<+\infty$, а единственным решением $u$ уравнения (1.6), для которого $r_0 \leqslant u \leqslant r_0+Aw$ п. в., является $u=r_0$, и справедливо предельное соотношение (b) Предположим, что для начального значения (1.11) выполняются неравенства $r_0-Aw \leqslant q_0 \leqslant r_0$ п. в., $r_0$ – решение, а $r_0-\alpha w$ – строгое субрешение уравнения (1.6) при $0<\alpha \leqslant A$. Тогда задача Коши (1.10), (1.11) имеет решение $q$, которое единственно, непрерывно, $r_0-Aw \leqslant q \leqslant r_0$ п. в. при $0<t<+\infty$, а единственным решением $u$ уравнения (1.6), для которого $r_0-Aw \leqslant u \leqslant r_0$ п. в., является $u=r_0$, и справедливо предельное соотношение (2.7). Замечание 7. При выполнении условий теорем 4 и 5 из них и стандартных априорных оценок решений линейных параболических уравнений второго порядка, см. [16; гл. VI, § 1], [17; § 1.5], вытекает асимптотическая устойчивость решений задачи (1.10), (1.11). 2.3. Задача на собственные значенияДопустим, что функция $f$ (1.4) п. в. обладает в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ правой (левой) производной
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\partial f}{\partial r}(\,\cdot\,,r_0+0)=\lim_{r \to r_0+0} \frac{f(\,\cdot\,,r)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r-r_0} \\ \biggl(\frac{\partial f}{\partial r}(\,\cdot\,,r_0-0)= \lim_{r\to r_0-0}\frac{f(\,\cdot\,,r)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r-r_0}\biggr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и поставим для дифференциального оператора $L$ (1.3) задачу на собственные значения с потенциалом
$$
\begin{equation}
F(x)=\frac{\partial f}{\partial r}(x,r_0+0)\qquad \biggl(F(x)=\frac{\partial f}{\partial r}(x,r_0-0)\biggr).
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Будем называть функцию $w \in W^{1,2}(X)$ собственной функцией, принадлежащей собственному значению $\lambda \in \mathbb{R}$, если она удовлетворяет равенству (2.8) в слабом смысле, т. е. для всех функций $v \in C^\infty(X)$. Известен следующий результат. Теорема 6. Пусть выполнены все условия, наложенные в теореме 1 на коэффициенты оператора $L$ (1.3). Если $F \in L^\infty(X)$, то задача (2.8)–(2.10) обладает единственным простым собственным вещественным значением $\lambda_1$, которому принадлежит вещественная и не обращающаяся на $X$ в нуль собственная функция $w \in C^{0,\alpha}(X)$, $0<\alpha<1$. Доказательство следует из теоремы Крейна–Рутмана, см. [18; п. 6.5.2], [19; § 6, п. 4], [20; гл. 11, § C] и [21; гл. I, § 7], и регулярности решений эллиптических уравнений, см. [22; § 8.9]. Собственное значение $\lambda_1$ называется главным. Из определения (2.3) несложно вывести, что функция $f$ (1.4) тогда и только тогда строго вогнута в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ справа (слева), когда
$$
\begin{equation}
\frac{f(\,\cdot\,,r_1)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r_1-r_0}< \frac{f(\,\cdot\,,r)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r-r_0}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
п. в. для $r_0<r<r_1$ ($r_1<r<r_0$). Аналогично, из определения (2.4) несложно вывести, что функция $f$ тогда и только тогда строго выпукла в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ справа (слева), когда
$$
\begin{equation}
\frac{f(\,\cdot\,,r_1)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r_1-r_0}> \frac{f(\,\cdot\,,r)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r-r_0}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
п. в. для $r_0<r<r_1$ ($r_1<r<r_0$). Свойства монотонности разностных отношений (2.11) и (2.12) обеспечивают существование производных в правых частях выражений (2.9) и их принадлежность $L^\infty(X)$ и, как следствие, корректность постановки задачи (2.8)–(2.10). Имеют место следующие факты. Теорема 7. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (1.10) удовлетворяют всем условиям теоремы 1, и пусть главное собственное значение $\lambda_1<0$. Тогда справедливы следующие утверждения. (a) Предположим, что функция $f$ строго вогнута в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ справа, числа $r_0$ и $N$, $r_0<N$, являются субрешением и суперрешением уравнения (1.6) соответственно, а для начального значения (1.11) выполняются неравенства $r_0\leqslant q_0\leqslant N$ п. в. и $V(x\in X\mid q_0 \ne r_0)>0$. Тогда уравнение (1.6) и задача Коши (1.10), (1.11) имеют решения $u$ и $q$, которые единственны, непрерывны, $r_0<u,q(t)\leqslant N$ при $0<t<+\infty$, и справедливо предельное соотношение (2.5). (b) Предположим, что функция $f$ строго выпукла в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ слева, числа $r_0$ и $N$, $N<r_0$, являются суперрешением и субрешением уравнения (1.6), а для начального значения (1.11) выполняются неравенства $N\leqslant q_0\leqslant r_0$ п. в. и $V(x\in X\mid q_0 \ne r_0)>0$. Тогда уравнение (1.6) и задача Коши (1.10), (1.11) имеют решения $u$ и $q$, которые единственны, непрерывны, $N \leqslant u,q(t)<r_0$ при $0<t\leqslant +\infty$, и справедливо предельное соотношение (2.5). Теорема 8. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (1.10) удовлетворяют всем условиям теоремы 1, число $r_0 \in \mathbb{R}$ – решение уравнения (1.6), $q_0 \in L^\infty(X)$ и $\lambda_1 \geqslant0$. Тогда справедливы следующие утверждения. (a) Предположим, что функция $f$ строго вогнута в точке $r_0$ справа и начальное значение (1.11) удовлетворяет неравенству $q_0 \geqslant r_0$ п. в. Тогда задача Коши (1.10), (1.11) имеет решение $q$, которое единственно, непрерывно и $r_0 \leqslant q(t)$ при $0<t\leqslant +\infty$, а единственным решением $u$ уравнения (1.6) таким, что $r_0 \leqslant u$ п. в., является $u=r_0$, и справедливо соотношение (2.7). (b) Предположим, что функция $f$ строго выпукла в точке $r_0$ слева и начальное значение (1.11) удовлетворяет неравенству $q_0 \leqslant r_0$ п. в. Тогда задача Коши (1.10), (1.11) имеет решение $q$, которое единственно, непрерывно и $q(t)\leqslant r_0$ при $0<t\leqslant +\infty$, а единственным решением $u$ уравнения (1.6), для которого $u\leqslant r_0$ п. в., является $u=r_0$, и справедливо соотношение (2.7). Доказательство см. в § 5. При этом аналогично случаю теоремы 4 справедливо замечание 6 с $u=r_0$. Кроме того, по аналогии с замечанием 7 при выполнении условий теорем 7 и 8 из них вытекает асимптотическая устойчивость решений задачи (1.10), (1.11).
§ 3. Существование и единственность решений3.1. Вспомогательные утвержденияДля доказательства теоремы 1 потребуются два технических результата. Во-первых, следующий принцип сравнения. Лемма 1. Пусть выполнены все условия, наложенные в теореме 1 на коэффициенты дифференциального оператора $L$ (1.3) и функцию $f$ (1.4). Если для $q_1,q_2\in W(T;X)\cap L^\infty([0,T) \times X)$, $T\in (0,+\infty]$, и любой неотрицательной функции $p\in C^\infty([0,T) \times X)$ Доказательство. В силу условия Липшица (1.5) при
$$
\begin{equation*}
\mu_0=\mu_0(\max\{\|q_1\|_{L^\infty([0,T) \times X)}, \|q_2\|_{L^\infty([0,T) \times X)}\})
\end{equation*}
\notag
$$
п. в. выполняется оценка
$$
\begin{equation*}
f(\,\cdot\,,q_1(\tau))-f(\,\cdot\,,q_2(\tau))\leqslant \mu_0\bigl(q_1(\tau)-q_2(\tau)\bigr) \operatorname{sgn}\bigl(q_1(\tau)-q_2(\tau)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
из которой по условию для $q=q_1-q_2$ и неотрицательных $p\in C^\infty([0,T) \times X)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\langle q(t),p(t)\rangle+\mathcal{L}^t(q,p)-\langle q(0),p(0)\rangle- \int_0^t\langle \mu_0 q(\tau)\operatorname{sgn}q(\tau), p(\tau)\rangle\,d\tau \leqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно определению $\mathcal{L}$ (1.8) справедливо $\mathcal{L}(e^{\mu t}q,p)=\mathcal{L}(q,e^{\mu t}p)$, поэтому по определению $\mathcal{L}^t$ (1.13) после замен $q=e^{\mu t}\widetilde{q}$ и $\widetilde{p}=e^{\mu t}p$ последнее неравенство приобретает вид
$$
\begin{equation*}
\langle \widetilde{q}(t),\widetilde{p}(t)\rangle+ \mathcal{L}^t(\widetilde{q},\widetilde{p})- \langle q(0),\widetilde{p}(0)\rangle+\int_0^t \langle(\mu-\mu_0\operatorname{sgn}q(\tau)) \widetilde{q}(\tau),\widetilde{p}(\tau)\rangle\,d\tau \leqslant0
\end{equation*}
\notag
$$
с неотрицательным $\widetilde{p}\in C^\infty([0,T) \times X)$. При выборе достаточно большого $\mu>0$ из полученного неравенства (2.2) вытекают утверждения леммы в силу сильного параболического принципа максимума, см. [16; гл. VI, § 7], [17; § 1.5]. Лемма доказана. Заметим, что, в частности, лемма 1 верна при $q_1(0)=q_2(0)$ п. в., а также при $f \equiv 0$. Во-вторых, потребуется следующая априорная оценка. Лемма 2. Пусть выполнены все условия, наложенные в теореме 1 на коэффициенты дифференциального оператора $L$ (1.3). Если $q_0 \in L^2(X)$, $q,v \in W(T;X)$, $T\in (0,+\infty]$, и для любого $p\in C^\infty([0,T) \times X)$ выполняется равенство то найдется такая постоянная $C>0$, не зависящая от выбора $q_0$ и $v$, что Доказательство леммы 2 вытекает из известных априорных оценок для решений линейных параболических уравнений второго порядка, см. [16; гл. VI, § 1], [17; § 1.5]. Заметим, что, в частности, лемма 2 верна при $q_0 \equiv 0$. 3.2. Доказательство теоремы 1По условию теоремы и определению (2.1)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\langle q_1(t),p(t)\rangle+\mathcal{L}^t(q_1,p)-\langle q_0,p(0)\rangle- \int_0^t\langle f(\,\cdot\,,q_1(\tau)),p(\tau)\rangle\,d\tau \\ &\qquad\leqslant \langle q_2(t),p(t)\rangle+ \mathcal{L}^t(q_2,p)-\langle q_0,p(0)\rangle- \int_0^t\langle f(\,\cdot\,,q_2(\tau)),p(\tau)\rangle\,d\tau \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для неотрицательных функции $p \in C^\infty([0,T) \times X)$ и $t \in [0,T)$, и по лемме 1 $q_1(t) \leqslant q_2(t)$ п. в. при $t\in[0,T)$. Функция $f$ (1.4) п. в. удовлетворяет условию (1.5), поэтому для
$$
\begin{equation*}
\mu \geqslant \mu_0(\max\{\|q_1\|_{L^\infty([0,T) \times X)}, \|q_2\|_{L^\infty([0,T) \times X)}\})
\end{equation*}
\notag
$$
и функций $v_1$ и $v_2$, п. в. удовлетворяющих оценке $q_1\leqslant v_1 \leqslant v_2 \leqslant q_2$,
$$
\begin{equation*}
f(\,\cdot\,,v_1)+\mu v_1 \leqslant f(\,\cdot\,,v_2)+\mu v_2
\end{equation*}
\notag
$$
п. в., ср. [23; приложение к гл. IV, § 2] и [24], и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\langle f(\,\cdot\,,v_1)+\mu v_1,v\rangle \leqslant \langle f(\,\cdot\,,v_2)+\mu v_2,v\rangle
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
для неотрицательных функций $v \in C^\infty(X)$. Очевидно, что (1.10) эквивалентно уравнению
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial q}{\partial t}+Lq+\mu q=f(\,\cdot\,,q)+d_g^* h+\mu q.
\end{equation*}
\notag
$$
Построим по индукции последовательные приближения $\{q_{1,l}\}$ и $\{q_{2,l}\}$: положим $q_{1,0}=q_1$, $q_{2,0}=q_2$ и в качестве $q_{j,l}$ при $j=1,2$ и $l=1,2,\dots$ возьмем решение задачи Коши
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial q_{j,l}}{\partial t}+Lq_{j,l}+\mu q_{j,l}= f(\,\cdot\,,q_{j,l-1})+d_g^* h+\mu q_{j,l-1},\qquad q_{j,l}(0)=q_0,
\end{equation*}
\notag
$$
$l=1,2,\dots$, т. е. по определению (1.12) для любой функции $p\in C^\infty([0,T) \times X)$ и $t\in [0,T)$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\langle q_{j,l}(t),p(t)\rangle+\mathcal{L}^t(q_{j,l},p)+ \mu\int_0^t\langle q_{j,l}(\tau),p(\tau)\rangle\,d\tau \nonumber \\ &\ =\langle q_0,p(0)\rangle+\int_0^t \bigl(\langle f(\,\cdot\,,q_{j,l-1}(\tau))+\mu q_{j,l-1}(\tau),p(\tau)\rangle+ \langle h,dp(\tau)\rangle_{L^2(T^* X)}\bigr)\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Линейное уравнение (3.2) имеет единственное решение $q_{j,l}\in W(T;X)$, см. [16; гл. VI, § 1], [17; § 1.5]. Согласно монотонности (3.1) и построению (3.2)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\langle q_{j,l}(t),p(t)\rangle+\mathcal{L}^t(q_{j,l},p)+ \mu\int_0^t\langle q_{j,l}(\tau),p(\tau)\rangle\,d\tau \\ &\qquad\leqslant \langle q_{j,l-1}(t),p(t)\rangle+ \mathcal{L}^t(q_{j,l-1},p)+ \mu\int_0^t\langle q_{j,l-1}(\tau),p(\tau)\rangle\,d\tau, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда по лемме 1 при $t\in[0,T)$
$$
\begin{equation}
q_1(t)\leqslant q_{1,1}(t) \leqslant q_{1,2}(t)\leqslant\dots\leqslant q_{2,2}(t) \leqslant q_{2,1}(t) \leqslant q_2(t)
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
п. в. В силу монотонности и ограниченности $\{q_{1,l}\}$ и $\{q_{2,l}\}$ п. в. существуют пределы
$$
\begin{equation}
q_{1,\infty}=\lim_{l \to +\infty}q_{1,l},\qquad q_{2,\infty}=\lim_{l\to +\infty}q_{2,l},
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
для которых
$$
\begin{equation}
q_1(t) \leqslant q_{1,1}(t) \leqslant q_{1,2}(t)\leqslant\dots\leqslant q_{1,\infty}(t) \leqslant q_{2,\infty}(t)\leqslant\dots\leqslant q_{2,2}(t) \leqslant q_{2,1}(t) \leqslant q_2(t)
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
п. в. Поэтому по теореме Лебега о мажорированной сходимости равенства (3.4) имеют место и в норме $\|\,{\cdot}\,\|_{L^2([0,t)\times X)}$ при $t\in [0,T)$. Далее, по построению (3.2)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\langle q_{j,l+m}(t)-q_{j,l}(t),p(t)\rangle+\mathcal{L}^t(q_{j,l+m}- q_{j,l},p)+\mu\int_0^t\langle q_{j,l+m}(\tau)-q_{j,l}(\tau),p(\tau)\rangle\,d\tau \\ &=\int_0^t\langle f(\,\cdot\,,q_{j,l-1+m}(\tau))- f(\,\cdot\,,q_{j,l-1}(\tau))+\mu(q_{j,l-1+m}(\tau) -q_{j,l-1}(\tau)),p(\tau)\rangle\,d\tau, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому по лемме 2 найдется такое $C>0$, что при $j=1,2$ и $l,m=1,2,\dots$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|q_{j,l+m}-q_{j,l}\|_{W(t;X)} &\leqslant Ce^{Ct}\|f(\,\cdot\,,q_{j,l-1+m})- f(\,\cdot\,,q_{j,l-1})\|_{L^2([0,t)\times X)} \\ &\qquad+\mu Ce^{Ct}(\|q_{j,l-1+m}-q_{j,l-1}-q_{j,l+m}+ q_{j,l}\|_{L^2([0,t) \times X)}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу установленной сходимости последовательностей приближений $\{q_{1,l}\}$ и $\{q_{2,l}\}$ в норме $\|\,{\cdot}\,\|_{L^2([0,t)\times X)}$, а также свойств (3.3) и (1.5) заключаем, что эти последовательности фундаментальны и в норме $\|\,{\cdot}\,\|_{W(t;X)}$, см. (1.2), и в силу полноты $W(t;X)$ сходятся к функциям $q_{1,\infty}$ и $q_{2,\infty}$ (3.4). Следовательно, переходя в (3.2) к пределу, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle q_{j,\infty}(t),p(t)\rangle+L^t(q_{j,\infty},p)&= \langle q_0,p(0)\rangle \\ &\qquad+\int_0^t\bigl(\langle f(\,\cdot\,,q_{j,\infty}(\tau)),p(\tau)\rangle+ \langle h,dp(\tau)\rangle_{L^2(T^* X)}\bigr)\,d\tau \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для $j=0,1$, $p\in C^\infty([0,T) \times X)$ и $t\in[0,T)$, т. е. $q_{j,\infty}$ являются решениями задачи (1.10), (1.11), для которых $q_1(t) \leqslant q_{1,\infty}(t) \leqslant q_{2,\infty}(t) \leqslant q_2(t)$ п. в. в силу (3.5). По лемме 1 для любого решения $q$ задачи (1.10), (1.11) на полуинтервале $[0,T)$ выполняется $q_{1,\infty}=q=q_{2,\infty}$ п. в. Теорема 1 доказана. § 4. Стабилизация решений4.1. Вспомогательное утверждениеПри доказательстве теорем 4 и 5 используются следующие вспомогательные результаты. Лемма 3. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (1.10) удовлетворяют всем условиям теоремы 1, а $w_1$ и $w_2$ – субрешение и суперрешение уравнения (1.6) такие, что $w_1,w_2 \in L^\infty(X)$ и $w_1 \leqslant w_2$ п. в. Тогда существуют и единственны решения задач Доказательство. По условиям леммы и согласно замечанию 5 функции $w_1$ и $w_2$ – субрешение и суперрешение задачи (1.10), (1.11) соответственно. Следовательно, по теореме 3 на полуинтервале $[0,+\infty)$ существуют и единственны решения $q_1$ и $q_2$ задач Коши (4.1) и (4.2). При этом $q_1,q_2 \in C(+\infty;L^2(X))$, локально непрерывны по Гёльдеру на $(0,+\infty)\times X$ и $w_1 \leqslant q_1(t) \leqslant q_2(t) \leqslant w_2$ п. в. при $t\in[0,+\infty)$.
По лемме 1 выполняются неравенства $w_1\,{\leqslant}\, q_1(t') \,{\leqslant}\, q_1(t'')$ и $q_2(t'')\,{\leqslant}\, q_2(t')\,{\leqslant}\, w_2$ п. в. при $0 \leqslant t' \leqslant t''$. В силу поточечной монотонности $q_1$ и $q_2$ на многообразии $X$ существуют пределы (4.3) и (4.4). При этом по построению для функций $q_1$, $q_{1,\infty}$, $q_2$ и $q_{2,\infty}$ имеем (4.5). Согласно (4.5) по теореме Лебега о мажорированной сходимости равенства (4.3) и (4.4) имеют место и в норме $\|\,{\cdot}\,\|_{L^2(X)}$. А поскольку коэффициенты и правая часть уравнения (1.10) не зависят явно от $t$, то по определениям (1.12) и (1.13) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\langle q_j,p\rangle(t_0+t)-\langle q_j,p\rangle(t_0)+ \int_0^t\bigl(L(q_j,p)(t_0+\tau)- \langle q_j,p'\rangle(t_0+\tau)\bigr)\,d\tau \nonumber \\ &\qquad=\int_0^t\bigl(\langle f(\,\cdot\,,q_j),p\rangle(t_0+\tau)+ \langle h,dp(t_0+\tau)\rangle_{L^2(T^* X)}\bigr)\,d\tau \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
для $t_0 \geqslant 0$ и $p\in C^\infty([0,+\infty)\times X)$, так что при $0 \leqslant t' \leqslant t''$ выполняется
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\langle q_j(t''+t)-q_j(t'+t),p(t)\rangle \\ &\quad\qquad+ \int_0^t\bigl(\mathcal{L}(q_j(t''+\tau)-q_j(t'+\tau),p(\tau)) -\langle q_j(t''+\tau)-q_j(t'+\tau),p'(\tau)\rangle\bigr)\,d\tau \\ &\quad=\langle q_j(t'')-q_j(t'),p(0)\rangle+ \int_0^t\langle f(\,\cdot\,,q_j)(t''+\tau) -f(\,\cdot\,,q_j)(t'+\tau),p(\tau)\rangle\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, по лемме 2 найдется такая постоянная $C>0$, что для $t \in [0,+\infty)$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|q_j(t''+\,\cdot\,)-q_j(t'+\,\cdot\,)\|_{W(t;X)} \\ &\ \ \leqslant Ce^{Ct}\bigl(\|f(\,\cdot\,,q_j)(t''+\,\cdot\,) -f(\,\cdot\,,q_j)(t'+\,\cdot\,)\|_{L^2([0,t)\times X)}+ \|q_j(t'')-q_j(t')\|_{L^2(X)}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу установленной сходимости (4.3), (4.4) в норме $\|\,{\cdot}\,\|_{L^2(X)}$, а также свойств (4.6) и (1.5) заключаем, что функции $q_1(t_0+\,\cdot\,)$ и $q_2(t_0+\,\cdot\,)$ при $t_0 \to +\infty$ удовлетворяют условию Коши в норме $\|\,{\cdot}\,\|_{W(t;X)}$ и в силу полноты $W(t;X)$ сходятся там к функциям $q_{1,\infty}$ (4.3) и $q_{2,\infty}$ (4.4). И взяв в (4.5) $p \in W^{1,2}(X)$ и перейдя к пределу при $t_0\to +\infty$, получаем
$$
\begin{equation*}
\int_0^t \mathcal{L}(q_{j,\infty},p)\,d\tau= \int_0^t\bigl(\langle f(\,\cdot\,,q_{j,\infty}),p\rangle+ \langle h,dp\rangle_{L^2(T^* X)}\bigr)\,d\tau
\end{equation*}
\notag
$$
для $j=0,1$ и $t\in [0,T)$. Поскольку в полученном равенстве подынтегральные выражения не зависят от $\tau$, то $q_{1,\infty}$ и $q_{2,\infty}$ являются решениями уравнения (1.6). В силу известных свойств регулярности, см. [22; § 8.9], [10; п. 2.2], эти решения непрерывны, так что сходимость (4.4) имеет место также и в норме $\|\,{\cdot}\,\|_{C(X)}$ по признаку Дени. Лемма доказана. 4.2. Доказательство теоремы 4(a) По условиям теоремы и согласно замечанию 5 числа $r_0$ и $N$ являются субрешением и суперрешением задачи (1.10), (1.11). Следовательно, по теореме 3 на полуинтервале $[0,+\infty)$ существует единственное решение $q$ задачи (1.10), (1.11), причем $q \in C(+\infty;L^2(X))$, локально непрерывно по Гёльдеру на $(0,+\infty)\times X$ и $r_0 \leqslant q(t) \leqslant N$ при $t\in[0,+\infty)$. По определениям (1.12) и (2.1)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\langle r_0,p(t)\rangle+\mathcal{L}^t(r_0,p)-\langle r_0,p(0)\rangle- \int_0^t \langle f(\,\cdot\,,r_0),p(\tau)\rangle\,d\tau \\ &\qquad \leqslant\langle q(t),p(t)\rangle+\mathcal{L}^t(q,p)- \langle q(0),p(0)\rangle- \int_0^t\langle f(\,\cdot\,,q(\tau)),p(\tau)\rangle\,d\tau \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех неотрицательных $p \in C^\infty([0,+\infty)\times X)$, откуда $q(t)>r_0$ при $t \in (0,+\infty)$ по лемме 1. В частности, $q(1)>r_0$, и поэтому по условиям теоремы найдется такое $\delta_0>0$, что $r_0+\alpha w$ – субрешение уравнения (1.6), для которого $r_0+\alpha w \leqslant q(1)$ п. в. при $0<\alpha<\delta_0$. Далее, по лемме 3 при $w_1=r_0+\alpha w$ и $w_2=N$ существуют и единственны решения $q_1$ и $q_2$ задач Коши (4.1) и (4.2) на полуинтервале $[0,+\infty)$, причем $q_1,q_2\in C(+\infty;L^2(X))$ и локально непрерывны по Гёльдеру на $(0,+\infty)\times X$. При этом относительно нормы $\|\,{\cdot}\,\|_{C(X)}$ существуют пределы $q_{1,\infty}$ (4.3) и $q_{2,\infty}$ (4.4) – решения уравнения (1.6), для которых п. в. справедливы оценки (4.5). Из (4.5) вытекает, что $q_{1,\infty},q_{2,\infty}>r_0$ в силу сильного эллиптического принципа максимума, см. [22; § 8.7], и, следовательно, по теореме единственности $q_{1,\infty}=q_{2,\infty}$, см. [10; п. 2.3]. Причем для $t\,{\in}\, [0,+\infty)$ и $0<\alpha<\delta_0$ по лемме 1 имеем $q_1(t) \leqslant q(t+1)$ и $q(t) \leqslant q_2(t)$, а поэтому при $u=q_{1,\infty}=q_{1,\infty}$ и $\widetilde{q}(t)=\max\{u-q_1(t),q_2(t)-u\}$ выполняются соотношения (2.6) и, как следствие, предельное соотношение (2.5). Утверждение (b) устанавливается аналогично. Теорема 4 доказана. 4.3. Доказательство теоремы 5(a) По условиям теоремы и согласно замечанию 5 $r_0$ является субрешением, а $r_0+Aw$ – суперрешением задачи (1.10), (1.11). Следовательно, по теореме 3 и лемме 3 с $w_1=r_0$ и $w_2=r_0+Aw$ существуют и единственны решения $q$ и $q_2$ задач (1.10), (1.11) и (4.2) на полуинтервале $[0,+\infty)$, причем $q,q_2\in C(+\infty;L^2(X))$ и локально непрерывны по Гёльдеру на $(0,+\infty)\times X$. При этом по лемме 3 в норме $\|\,{\cdot}\,\|_{C(X)}$ существует предел $q_{2,\infty}$ (4.4), являющийся решением уравнения (1.6), и согласно (4.5) $r_0 \leqslant q_{2,\infty} \leqslant r_0+Aw$ п. в. Отсюда $q_{2,\infty}=r_0$ по известной теореме единственности, см. [10; п. 2.3], и поскольку по лемме 1 имеем $r_0 \leqslant q(t) \leqslant q_2(t)$ п. в. при $t\in [0,+\infty)$, то для $\widetilde{q}(t)=q_2(t)-r_0$ выполняются соотношения (2.6), а следовательно, и предельное соотношение (2.7). Утверждение (b) устанавливается аналогично. Теорема 5 доказана. § 5. Задача на собственные значения5.1. Доказательство теоремы 7(a) По теореме 6 принадлежащая $\lambda_1$ собственная функция $w\,{\in}\, C(X)$ и может быть выбрана так, чтобы $\inf_{x \in X}w(x)\,{>}\,0$. По условию $\lambda_1<0$, так что по определению правой производной найдется такое $\delta>0$, что для всех $0<\alpha<\delta$
$$
\begin{equation*}
\frac{\lambda_1}{2}\alpha w<f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w)- f(\,\cdot\,,r_0)-\alpha w\,\frac{\partial f}{\partial r}(\,\cdot\,,r_0+0)
\end{equation*}
\notag
$$
п. в. Отсюда и из соотношений (2.10), (2.9) выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&=\alpha\mathcal{L}(w,v)-\alpha\biggl\langle\frac{\partial f}{\partial r} (\,\cdot\,,r_0+0)w,v\biggr\rangle-\lambda_1\alpha\langle w,v\rangle \\ &\geqslant \alpha\mathcal{L}(w,v)-\langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),v\rangle+ \langle f(\,\cdot\,,r_0),v\rangle+ \frac{\lambda_1}{2}\alpha\langle w,v\rangle-\lambda_1\alpha\langle w,v\rangle \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для неотрицательных функций $v \in C^\infty(X)$, ср. с [3; п. 3.2]. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\alpha \mathcal{L}(w,v)+r_0\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)}- \langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),v\rangle- \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \\ &\qquad\leqslant r_0\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)}- \langle f(\,\cdot\,,r_0),v\rangle-\langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}+ \frac{\lambda_1}{2}\alpha\langle w,v\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда по определениям $\mathcal{L}$ (1.8) и $\theta$ (1.9) для всех $0<\alpha<\delta$
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}(r_0+\alpha w,v)-\langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),v\rangle- \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \leqslant \theta(r_0,v)+\frac{\lambda_1}{2}\alpha\langle w,v\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу замечания 5 число $r_0$ тогда и только тогда является субрешением уравнения (1.6), когда $\theta(r_0,v) \leqslant 0$ для всякой неотрицательной функции $v \in C^\infty(X)$. А так как $\inf_{x \in X}w(x)>0$ и $\lambda_1<0$, то при $0<\alpha<\delta$ функция $r_0+\alpha w$ является субрешением уравнения (1.6). Тем самым, выполнены все условия утверждения (a) теоремы 4, из которого вытекает доказываемое утверждение. Утверждение (b) устанавливается аналогично. Теорема 7 доказана. 5.2. Доказательство теоремы 8(a) По теореме 6 принадлежащая $\lambda_1$ собственная функция $w\,{\in}\,C(X)$ и может быть выбрана так, чтобы $\inf_{x\in X}w(x)\,{>}\,0$. Поэтому по свойству монотонности разностных отношений (2.11) при любом $\alpha>0$
$$
\begin{equation}
f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w)-f(\,\cdot\,,r_0)< \alpha w\,\frac{\partial f}{\partial r}(\,\cdot\,,r_0+0)
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
п. в. Отсюда и из соотношений (2.10), (2.9) выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&=\alpha\mathcal{L}(w,v)- \alpha\biggl\langle\frac{\partial f}{\partial r} (\,\cdot\,,r_0+0)w,v\biggr\rangle-\lambda_1\alpha\langle w,v\rangle \\ &\leqslant \alpha\mathcal{L}(w,v)-\langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),v\rangle+ \langle f(\,\cdot\,,r_0),v\rangle-\lambda_1\alpha\langle w,v\rangle \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для неотрицательных функций $v \in C^\infty(X)$, ср. с [3; п. 3.2]. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\alpha\mathcal{L}(w,v)+r_0\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)}- \langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),v\rangle-\langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \\ &\qquad\geqslant r_0\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)}- \langle f(\,\cdot\,,r_0),v\rangle-\langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}+ \lambda_1 \alpha\langle w,v\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда по определениям $\mathcal{L}$ (1.8) и $\theta$ (1.9) для любого $\alpha>0$ выводим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}(r_0+\alpha w,v)-\langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),v\rangle- \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \geqslant \theta(r_0,v)+\lambda_1 \alpha\langle w,v\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
причем в силу строгости неравенства (5.1) при $v=1$
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}(r_0+\alpha w,1)-\langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),1\rangle> \theta(r_0,1)+\lambda_1\alpha\langle w,1\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно замечанию 5 число $r_0$ тогда и только тогда является решением уравнения (1.10), когда $\theta(r_0,v)=0$ для всякой неотрицательной функции $v \in C^\infty(X)$, а так как $\inf_{x\in X}w(x)>0$ и $\lambda_1\geqslant 0$, то при $\alpha>0$ функция $r_0+\alpha w$ является строгим суперрешением уравнения (1.6). Выберем такое $A>0$, чтобы $r_0+Aw \geqslant q_0$ п. в., и тем самым удовлетворим всем требованиям утверждения (a) теоремы 5, из которого вытекает доказываемое утверждение. Утверждение (b) устанавливается аналогично. Теорема 8 доказана. Автор выражает благодарность А. А. Давыдову за постановку задачи и полезные обсуждения.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tun23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|