| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Топологические фазы в теории твердого тела А. Г. Сергеев, Е. А. Тепляков Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9349e 
Реферативные базы данных:
    Посвящается 100-летию со дня рождения Василия Сергеевича Владимирова ВведениеВасилий Сергеевич Владимиров всегда живо интересовался последними достижениями в математике и теоретической физике. Он настойчиво рекомендовал своим ученикам вникать в такие нововведения и докладывать о них на семинаре. Именно по предложению Василия Сергеевича я1 начал заниматься теорией твисторов и ее приложениями в дифференциальной геометрии и математической физике. В последнее время внимание мое и моего соавтора привлекли продвижения в теории диэлектриков и сверхпроводников, связанные с применением топологических методов. Эта тема развивается и в настоящем обзоре, посвященном теории топологических фаз, в основе которой также лежат топологические идеи. Думаю, что она заинтересовала бы Василия Сергеевича, 100-летию со дня рождения которого посвящается наш обзор. Данную статью можно рассматривать как продолжение работ [1], [2], посвященных математическим аспектам теории топологических диэлектриков. Топологические диэлектрики представляют собой нетривиальный пример теории топологических фаз, в основе которой лежит гомотопический подход к исследованию свойств твердых тел. Роль топологии в теории твердого тела проявилась, по-видимому впервые, при исследовании квантового эффекта Холла, открытого в 1980 г. Топологические методы играют ведущую роль в исследовании диэлектриков, которые характеризуются наличием энергетической щели, устойчивой к малым деформациям. Наличие подобной щели является важнейшим условием и в теории топологических фаз, рассматриваемой в настоящем обзоре. Обозначим через $G$ группу симметрии и рассмотрим множество $\mathrm{Ham}_G$ классов гомотопической эквивалентности $G$-симметричных гамильтонианов, удовлетворяющих упомянутому щелевому условию. На этом множестве можно ввести естественную операцию наложения, относительно которой $\mathrm{Ham}_G$ становится абелевым моноидом (т. е. абелевой полугруппой с нейтральным элементом). Группа обратимых элементов этого моноида и называется топологической фазой. Оказывается, что семейство $(F_d)$ $d$-мерных топологических фаз образует $\Omega$-спектр. Так называется набор топологических пространств $F_d$, обладающих тем свойством, что пространство петель $\Omega F_{d+1}$ гомотопически эквивалентно пространству $F_d$. Это открывает путь к широкому использованию достижений алгебраической топологии для исследования топологических фаз. Более конкретно, каждому $\Omega$-спектру отвечает обобщенная теория когомологий, задаваемая функтором $h^d$, сопоставляющим топологическому пространству $X$ множество $[X,F_d]$ классов гомотопически эквивалентных отображений $X\to F_d$. Пространства $[X,F_d]$ подробно исследованы в алгебраической топологии, что дает надежду на то, что полученные результаты позволят получить полную классификацию топологических фаз. Помимо указанного подхода к исследованию топологических фаз имеются и другие, также основанные на достижениях алгебраической топологии. Упомянем те из них, которые не рассмотрены в данной статье. Это интерпретации топологических фаз в терминах кобордизмов [3], [4], теории когомологий групп [5]–[7] и топологической теории поля [8]. Коротко о содержании работы. В § 1 дается определение топологических фаз и операции наложения, лежащей в основе их теории. Вводятся важные для дальнейшего понятия $\mathrm{SRE}$-состояний и $\mathrm{SPT}$-фаз. Для описания многочастичных состояний строится бозонное фоковское пространство. Приводится интерпретация топологических фаз в терминах решеток, а также описываются возможные группы симметрий и их ковариантные и градуированные представления. В изложении § 1 мы опираемся на статью [9] и диссертацию [10]. В § 2 приводится формулировка теории топологических фаз в терминах $\Omega$-спектров и связанных с ними обобщенных теорий когомологий. Приводятся физически мотивированные примеры двумерных и трехмерных систем, обладающих различными типами симметрий. Последний § 3 посвящен связи топологических фаз с $K$-теорией, представленной в статье [11]. Определение $K$-функтора, приведенное в этом параграфе, базируется на понятии спектрального уплощения гамильтонианов. Рассмотрен ряд примеров систем, обладающих $\mathrm{CT}$-симметриями, и описываются их градуированные представления, тесно связанные с представлениями клиффордовых алгебр. § 1. Топологические фазы1.1. Класс допустимых гамильтониановРассматриваются квантово-механические системы, описываемые гамильтонианами $H$, инвариантными относительно действия группы симметрии $G$. Гамильтониан $H$ задается самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве $\mathcal H$, а группа $G$ действует на $\mathcal H$ унитарными или антиунитарными операторами. Помимо условия $G$-инвариантности на гамильтонианы $H$ могут накладываться различные ограничения, из которых важнейшим является щелевое условие (gap condition), состоящее в том, что $\operatorname{Ker}H=\{0\}$. Будем называть $G$-симметричные щелевые гамильтонианы допустимыми. Рассмотрим далее непрерывные деформации допустимых гамильтонианов, т. е. непрерывные пути вида $H_t$, $0\leqslant t\leqslant 1$, в классе допустимых гамильтонианов. Допустимые гамильтонианы характеризуются своими основными состояниями, т. е. собственными состояниями с минимальной энергией. Поэтому наряду с допустимыми гамильтонианами естественно рассматривать отвечающие им допустимые основные состояния. Введем на множестве допустимых основных состояний операцию наложения (stacking). Пусть заданы два основных допустимых состояния $\Phi_0$ и $\Phi_1$, отвечающие допустимым гамильтонианам $H_0$ и $H_1$, действующим в гильбертовых пространствах $\mathcal H_0$ и $\mathcal H_1$ соответственно. Наложением этих двух состояний называется основное состояние вида отвечающее гамильтониану $H$, действующему в тензорном произведении Группа симметрии $G$ действует в $\mathcal H$ как тензорное произведение представлений $G$ в гильбертовых пространствах $\mathcal H_0$ и $\mathcal H_1$, а оператор $H$ задается равенством Построенное основное состояние $\Phi$ и гамильтониан $H$ являются $G$-симметричными и щелевыми, если таковыми были исходные основные состояния $\Phi_0$, $\Phi_1$ и гамильтонианы $H_0$, $H_1$.1.2. Определение топологических фазОбозначим через $\mathrm{Ham}_G$ множество классов гомотопической эквивалентности допустимых гамильтонианов и отвечающих им основных состояний. Введенная выше операция наложения спускается до бинарной операции на $\mathrm{Ham}_G$. Обозначим через $[\Phi]$ класс в $\mathrm{Ham}_G$, содержащий основное состояние $\Phi$, а операцию наложения основных состояний $[\Phi_1]$ и $[\Phi_2]$ через $[\Phi_1]+[\Phi_2]$. Эта операция обладает следующими свойствами: 1) ассоциативность: для любых допустимых основных состояний $[\Phi_1]$, $[\Phi_2]$, $[\Phi_3]$ справедливо соотношение
$$
\begin{equation*}
([\Phi_1]+[\Phi_2])+[\Phi_3]=[\Phi_1]+([\Phi_2]+[\Phi_3]);
\end{equation*}
\notag
$$
2) коммутативность: для любых допустимых основных состояний $[\Phi_1]$, $[\Phi_2]$ имеет место равенство 3) основное состояние $[0]$ такое, что для любого допустимого основного состояния $[\Phi]$ справедливо равенство Назовем SRE (short range entangled)-состоянием допустимое основное состояние, которое гомотопно в классе допустимых гамильтонианов тривиальному. Вспоминая о $G$-симметрии, определим SPT (symmetry protected topological)-фазу как класс в $\mathrm{Ham}_G$, любой представитель которого является SRE-состоянием, иначе говоря, каждый представитель этой фазы можно соединить с тривиальным, если отказаться от условия $G$-симметричности. Топологические фазы можно также определить следующим более формальным образом. Как было отмечено выше, пространство $\mathrm{Ham}_G$, наделенное операцией наложения, является абелевым моноидом. Группа обратимых элементов моноида $\mathrm{Ham}_G$ называется SPT-фазой, являющейся, тем самым, абелевой группой относительно операции наложения. Ниже мы рассмотрим конкретный пример топологических фаз, связанных с решеточными системами. Здесь же отметим связь приведенной конструкции с $K$-теорией. Обозначим через $\operatorname{Vect}_s(X)$ полугруппу векторных расслоений конечного ранга над топологическим пространством $X$, определенных с точностью до стабильной эквивалентности (т. е. с точностью до добавления тривиальных расслоений). Тогда функтор $K(X)$ отождествляется с абелевой группой Гротендика, построенной по полугруппе $\operatorname{Vect}_s(X)$. Следуя аналогии между топологическими фазами и $K$-функтором, операция наложения должна отвечать прямой сумме расслоений, а тривиальное состояние – тривиальному расслоению. 1.3. Бозонное фоковское пространствоДля описания многочастичных состояний нам понадобится бозонное фоковское пространство. Бозонное фоковское пространство над гильбертовым пространством $\mathcal H$ определяется как пополнение
$$
\begin{equation*}
\mathcal B(\mathcal H)=\overline{\mathfrak S(\mathcal H)}
\end{equation*}
\notag
$$
алгебры симметричных полиномов $\mathfrak S(\mathcal H)$ относительно естественной нормы, порождаемой скалярным произведением на $\mathfrak S(\mathcal H)$. Указанное скалярное произведение порождается скалярным произведением на $\mathcal H$ и строится следующим образом. На мономах одинаковой степени оно задается формулой
$$
\begin{equation*}
(v_1\otimes\dots\otimes v_p, v'_1\otimes\dots \otimes v'_p) =\sum_{\sigma}(v_1,v'_{i_1})\cdot\ldots\cdot(v_p,v'_{i_p}),
\end{equation*}
\notag
$$
где суммирование ведется по всем перестановкам $\sigma=\{i_1,\dots,i_p\}$ множества $\{1,\dots,p\}$ (скалярное произведение мономов разных степеней полагается равным нулю). Скалярное произведение на мономах продолжается по линейности на всю алгебру $\mathfrak S(\mathcal H)$ симметричных полиномов. Теперь бозонное фоковское пространство $\mathcal B(\mathcal H)$ определяется как пополнение алгебры $\mathfrak S(\mathcal H)$ по введенной норме. Если $\{w_n\}$, $n=1,2,\dots$, есть ортонормированный базис пространства $\mathcal H$, то мы можем взять в качестве ортонормированного базиса фоковского пространства $\mathcal B(\mathcal H)$ семейство мономов вида
$$
\begin{equation*}
P_K(v)=\frac1{\sqrt{K!}}\,(v,w_1)^{k_1}\cdot\ldots\cdot(v,w_n)^{k_n},
\end{equation*}
\notag
$$
где $v\in\mathcal H$, $K=(k_1,\dots,k_n)$, $k_i\in\mathbb N$, и $K!=k_1!,\dots,k_n!$. Обозначим через $a_i^\unicode{8224}$ оператор рождения частицы в состоянии $w_i$, задаваемый оператором умножения на внутреннее произведение с $w_i$. Сопряженный оператор уничтожения частицы в состоянии $w_i$ совпадает с оператором $-\partial_{w_i}$, где $\partial_{w_i}$ – оператор дифференцирования в направлении $w_i$. Эти операторы удовлетворяют стандартным коммутационным соотношениям (другие коммутаторы равны нулю). Произвольный линейный оператор $O\colon \mathcal H\,{\to} \mathcal H$ продолжается до линейного оператора $\widehat O\colon \mathcal B(\mathcal H)\to\mathcal B(\mathcal H)$, задаваемого на мономах формулой
$$
\begin{equation*}
\widehat O(v_1\otimes\dots\otimes v_p)=(Ov_1)\otimes\dots\otimes(Ov_p)
\end{equation*}
\notag
$$
с последующим продолжением по линейности и замыканию на все пространство $\mathcal B(\mathcal H)$. В терминах операторов рождения и уничтожения этот оператор записывается в виде Наряду с бозонным фоковским пространством нам понадобится его фермионный аналог. Фермионное фоковское пространство определяется аналогичным образом (его определение можно найти, например, в [2]). Для нас важно, что фермионный гамильтониан $H$ задается, как и бозонный, суммой вида (1) по фермионным операторам рождения и уничтожения, действующим в фермионном фоковском пространстве $\mathcal F(\mathcal H)$. 1.4. Решеточная интерпретацияПредположим теперь, что нам задана решетка $\mathcal L$ в пространстве $\mathbb R^d$, т. е. дискретная абелева группа, изоморфная $\mathbb Z^d$, действующая на $\mathbb R^d$ трансляциями на векторы $\gamma\in\mathcal L$. Обозначим через $G$ группу симметрии гамильтониана. Класс допустимых гамильтонианов $H$ будет состоять в этом случае из $d$-мерных $G$-симметричных щелевых локальных самосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве $\mathcal H$ и фоковском пространстве $\mathcal B(\mathcal H)$. При этом каждому узлу $\gamma$ решетки $\mathcal L$ сопоставлено гильбертово пространство $\mathcal H_\gamma\equiv\mathcal H$, так что $H$ является суммой тензорных произведений операторов на копиях $\mathcal H_\gamma$. Допустимые операторы задаются формулой (1), в которой число членов в сумме не превосходит общей константы $k$ (условие локальности). Тривиальное состояние, называемое также тривиальным произведением, есть состояние вида
$$
\begin{equation*}
\bigotimes_{\gamma\in\mathcal L}\Phi_\gamma\in\bigotimes_{\gamma\in\mathcal L}\mathcal H_\gamma.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждой пары таких состояний существует непрерывная траектория, соединяющая их в пространстве тривиальных состояний. 1.5. Группы симметрииНапомним, что группа симметрии $G$ действует на гильбертовом пространстве $\mathcal H$ унитарными или антиунитарными преобразованиями. Удобно ввести гомоморфизм $\phi\colon G\to\{\pm1\}$, указывающий на то, что при $\phi(g)=+1$ элемент $g\in G$ действует на $\mathcal H$ как унитарный оператор, а при $\phi(g)=-1$ как антиунитарный оператор. Кроме того, группа $G$ может содержать симметрию относительно обращения времени, задаваемую гомоморфизмом $T\colon G\to\{\pm1\}$, и симметрию зарядового сопряжения, задаваемую гомоморфизмом $C\colon G\to\{\pm1\}$. С условием $G$-симметрии тесно связано свойство функториальности SPT-фаз. Последнее означает, что если задан гомоморфизм $\varphi\colon G'\to G$ групп симметрий, то композиция $\varphi$ c представлением группы $G$ в гильбертовом пространстве $\mathcal H$ порождает представление группы $G'$ в том же гильбертовом пространстве, определяя, тем самым, $G'$-симметричную SPT-фазу. Расширим теперь исходную постановку, включив в нее $C^*$-алгебру $\mathcal A$. Рассмотрим пары $(G,\mathcal A)$, в которых действие группы $G$ на алгебре $\mathcal A$ задается гомоморфизмом $\alpha\colon G\to\operatorname{Aut}(\mathcal A)$ в группу линейных $*$-автоморфизмов алгебры $A$. Ковариантным представлением пары $(G,\mathcal A)$ называется невырожденное $*$-представление $\theta$ алгебры $\mathcal A$ ограниченными линейными операторами в гильбертовом пространстве $\mathcal H$. Предположим, что алгебра $\mathcal A$ градуирована, т. е. $\mathcal A=\mathcal A_0\oplus\mathcal A_1$, где $\mathcal A_0$, $\mathcal A_1$ – замкнутые самосопряженные подпространства, удовлетворяющие соотношениям
$$
\begin{equation*}
\mathcal A_i\mathcal A_j\subset\mathcal A_{(i+j)(\operatorname{mod}2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\operatorname{Aut}(\mathcal A)$ группу четных $*$-автоморфизмов алгебры $\mathcal A$, т. е. $*$-автоморфизмов алгебры $\mathcal A$, сохраняющих разложение $\mathcal A=\mathcal A_0\oplus\mathcal A_1$. Градуированным ковариантным представлением системы $(G,\mathcal A,c)$, где $c$ – гомоморфизм $G\to\{\pm1\}$, называется градуированное $*$-представление алгебры $\mathcal A$ в градуированном гильбертовом пространстве $\mathcal H=\mathcal H_0\oplus\mathcal H_1$, удовлетворяющее условию, что $\theta(g)$ является четным оператором при $c(g)=+1$ и нечетным при $c(g)=-1$.
§ 2. Спектры и обобщенные теории когомологий2.1. Понятие $\Omega$-спектраНапомним, что по определению $\Omega$-спектром называется семейство пунктированных топологических пространств $(T_n)$, $n\in\mathbb Z$, обладающих следующим свойством: для каждого $n\in\mathbb Z$ имеет место гомотопическая эквивалентность пунктированных топологических пространств где $\Omega T_{n+1}$ есть пространство петель топологического пространства $T_{n+1}$, рассматриваемое как пунктированное пространство.Понятие $\Omega$-спектра хорошо известно в топологии (см., например, [12]) и играет в ней важную роль. А именно, с каждым $\Omega$-спектром ассоциируется обобщенная теория когомологий, задаваемая контравариантным функтором $h^n$. Этот функтор сопоставляет каждой паре $(X,Y)$ пунктированных топологических пространств с $Y\subset X$ абелеву группу где справа стоит множество гомотопических классов непрерывных отображений $(X,Y)\to (T_n,*)$, переводящих $Y$ в отмеченную точку $*$.Для того чтобы учесть действие группы симметрии $G$, предположим, что она действует на паре $(X,Y)$ посредством непрерывного гомоморфизма $\varphi$. В этом случае можно ввести $G$-инвариантную обобщенную теорию когомологий, задаваемую функтором где $EG\to BG$ – классифицирующее расслоение, которое является главным $G$-расслоением над классифицирующим пространством $BG$, а пространство $EG$ стягиваемо. Само расслоение $EG\times_GX$ отождествляется с фактором $(EG\times X)/G$. В частности, при $X=*$ получаем2.2. SPT-фазы и $\Omega$-спектрыПонятие $\Omega$-спектра прекрасно подходит к описанию теории топологических фаз. А именно, обозначим через $F_d$ пространство $d$-мерных SRE-состояний. Утверждается, что для этих пространств выполняется свойство
$$
\begin{equation}
F_d\sim\Omega F_{d+1}\quad\text{при}\quad d\geqslant0.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Идея о том, что такое свойство должно выполняться для топологических фаз $(F_d)$, была высказана Китаевым [13]. Физические аргументы в пользу ее справедливости высказывались в ряде физических работ (см., например, [10]), однако строгого математического доказательства нам найти не удалось. Тем не менее, соотношение (2) выглядит вполне правдоподобным и в дальнейшем мы опишем результаты, которые можно получить с его помощью. Если это свойство выполнено при $d\geqslant0$, оно позволяет последовательно определить пространства $F_d$ при всех $d\in\mathbb Z$. Тем самым, семейство пространств $(F_d)_{d\in\mathbb Z}$ будет образовывать $\Omega$-спектр. Что известно о гомотопических группах пространств $F_d$? Группа $\pi_0(F_d)$ классифицирует $d$-мерные SPT-фазы без симметрии. В малых размерностях она равна
$$
\begin{equation*}
\pi_0(F_0)=0,\quad \pi_0(F_1)=0,\quad \pi_0(F_2)=\mathbb Z,\quad \pi_0(F_3)=0
\end{equation*}
\notag
$$
(группа $\mathbb Z$ в размерности $2$ порождается так называемой $E_8$-фазой). Пространство $F_0$ отождествляется с бесконечномерным проективным пространством а другие пространства $F_d$ малых размерностей можно описать в терминах пространств Эйленберга–Маклейна $K(\mathbb Z,n)$ как
$$
\begin{equation*}
F_1=K(\mathbb Z,3),\quad F_2=K(\mathbb Z,4)\times\mathbb Z,\quad F_3=K(\mathbb Z,5)\times\mathrm{U}(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Если обозначить через $\mathrm{SPT}^d(G)$ абелеву группу $d$-мерных $G$-защищенных SPT-фаз, а через $H^n(G,\mathbb Z)$ $n$-мерную группу когомологий группы $G$, то группы $\mathrm{SPT}^d(G)$ в малых размерностях вычисляются следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathrm{SPT}^0(G)=H^2(G,\mathbb Z),\quad \mathrm{SPT}^1(G)=H^3(G,\mathbb Z), \\ \mathrm{SPT}^2(G)=H^4(G,\mathbb Z)\oplus H^0(G,\mathbb Z),\quad \mathrm{SPT}^3(G)=H^5(G,\mathbb Z)\oplus H^1(G,\mathbb Z). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
2.3. ПримерыПриведем ряд примеров топологических фаз, заимствованных нами из физических работ (см., например, [10]). Начнем с фермионных систем, обладающих симметриями песочных часов (hourglass symmetries). Так называются группы симметрий, включающих симметрию зарядового сопряжения $\mathrm{U}(1)$, симметрию обращения времени $T$ с $T^2=-1$ и симметрию скольжения, задаваемую композицией трансляции с отражением относительно половины периода. В качестве примера систем, обладающих скользящей симметрией, можно взять трехмерную систему, в которой плоскости с фиксированной координатой $x\in\mathbb Z$ заняты двумерными системами (квантовыми спиновыми диэлектриками Холла), а плоскости с фиксированной координатой $x\in\mathbb Z+1/2$ их зеркальными отражениями. Полученная система инвариантна относительно скольжения, задаваемого отображением $(x,y,z)\mapsto (x+1/2,-y,z)$. Описанную процедуру будем называть конструкцией альтернируемых слоев. Ее построение можно изобразить с помощью диаграммы связывающей топологические диэлектрики в двух и трех измерениях. В размерности $2$ генератором первой группы $\mathbb Z_2$ является квантовый спиновый диэлектрик Холла (QSH-фаза). Мы можем сопоставить ему трехмерную систему, описанную выше, отвечающую группе $\mathbb Z_4$ и обладающую симметрией песочных часов. Переход от группы $\mathbb Z_4$ ко второй группе $\mathbb Z_2$ осуществляется с помощью “забывания” симметрии скольжения.Указанную конструкцию можно распространить на произвольные группы симметрии $G$. Обозначим, как и выше, через $\mathrm{SPT}^d(G)$ абелеву группу $d$-мерных $G$-защищенных SPT-фаз. Тогда имеется следующая точная последовательность гомоморфизмов:
$$
\begin{equation}
0 \to\mathrm{SPT}^{d-1}(G)/2\mathrm{SPT}^{d-1}(G)\xrightarrow{\alpha}\mathrm{SPT}^d(\mathbb Z\times G) \xrightarrow{\beta} \{[c]\in\mathrm{SPT}^d(G)\colon 2[c]=0\}\to 0.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Гомоморфизм $\beta$ в ней порождается отображением забывания, а гомоморфизм $\alpha$ – конструкцией альтернируемых слоев. В качестве еще одного примера приложения развитых методов приведем описание класса Вигнера–Дайсона A. В этом случае $d=3$ и группа $G=\mathrm{U}(1)$ отвечает сохранению заряда. В двумерном случае фермионные фазы этого типа классифицируются первым классом Черна блоховского расслоения над зоной Бриллюэна (см. [1]). Фазы с нечетными классами Черна представляют нетривиальные элементы в первом члене точной последовательности (3). Такие фазы можно поднять с помощью конструкции альтернируемых слоев до трехмерных фаз, включающих скольжение. Полученные трехмерные фазы характеризуются топологическим инвариантом $\kappa\in\mathbb Z_2$. Фазы с нетривиальным инвариантом $\kappa$ называются мебиусовыми. Пользуясь точной последовательностью (3), можно получить полную классификацию двумерных и трехмерных $\mathrm{U}(1)$-защищенных фермионных SPT-фаз. А именно,
$$
\begin{equation*}
\mathrm{SPT}^2(\mathrm{U}(1))\cong\mathbb Z\oplus\mathbb Z,\quad \mathrm{SPT}^3(\mathrm{U}(1))\cong0,
\end{equation*}
\notag
$$
где первая группа $\mathbb Z$ порождается фазой с нулевым классом Черна, а вторая группа $\mathbb Z$ отвечает $E_8$-фазе, упомянутой выше. Рассмотрим еще один класс Вигнера–Дайсона AII. Здесь $d=3$ и группа $G$ порождается $\mathrm{U}(1)$-симметрией и $T$-симметрией. В этом случае фермионные $G$-защищенные фазы допускают следующую классификацию:
$$
\begin{equation*}
\mathrm{SPT}^2(G)\cong\mathbb Z_2,\quad \mathrm{SPT}^3(G)\cong\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где группа $\mathbb Z_2$ в двумерном случае порождается QSH-фазой, а три группы $\mathbb Z_2$ в трехмерном случае отвечают топологическим диэлектрикам.
§ 3. Связь с $K$-теорией3.1. Спектрально плоские гамильтонианыРассмотрим гамильтонианы $H$, действующие в гильбертовом пространстве $\mathcal H$, которые удовлетворяют щелевому условию $\operatorname{Ker}H=\{0\}$. Обозначим через $\Gamma$ спектральное уплощение $\operatorname{sgn}H$ гамильтониана $H$. Иными словами, $\Gamma$ есть оператор градуировки, принадлежащий той же фазе, что и $H$, спектр которого состоит из двух точек $\{+1,-1\}$. (Непрерывная деформация гамильтониана $H$ в его спектральное уплощение $\Gamma=\operatorname{sgn}H$ может быть построена явным образом с помощью спектральной теоремы.) Пространство операторов $\operatorname{sgn}H$, действующих в гильбертовом пространстве $\mathcal H$, обозначается через $\operatorname{Grad}(\mathcal H)$. Два оператора градуировки $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ называются гомотопными, если их можно соединить непрерывным путем внутри $\operatorname{Grad}(\mathcal H)$. Тройку $(\mathcal H, \Gamma_1,\Gamma_2)$ с $\Gamma_1,\Gamma_2\in\operatorname{Grad}(\mathcal H)$ будем называть упорядоченной разностью между операторами градуировки $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ или отвечающими им гамильтонианами $H_1$, $H_2$. Если в этой тройке $\Gamma_1$ гомотопно $\Gamma_2$, будем называть тройку $(\mathcal H, \Gamma_1,\Gamma_2)$ тривиальной. Это определение можно обобщить, включив в рассмотрение группу симметрии $G$. А именно, через $\mathcal A$ обозначим $C^*$-алгебру, на которой группа $G$ действует с помощью представления $\alpha\colon G\to\operatorname{Aut}\mathcal A$. Пусть $W$ есть конечно порожденный $\mathcal A$-модуль и $\operatorname{Grad}_\mathcal A(W)$ обозначает пространство $\mathcal A$-совместимых щелевых операторов градуировки, действующих в $W$. Данные выше определения, относящиеся к $\operatorname{Grad}(\mathcal H)$, немедленно переносятся на случай $\operatorname{Grad}_\mathcal A(W)$. Операция прямой суммы наделяет $\operatorname{Grad}_\mathcal A(W)$ структурой абелева моноида. 3.2. Определение $K$-функтораТян [11] предложил следующее определение $K$-функтора. Обозначим через $K_0(\mathcal A)$ фактор моноида $\operatorname{Grad}_\mathcal A(W)$ по отношению эквивалентности, задаваемому тривиальными тройками. Более подробно, тройка $(W,\Gamma_1,\Gamma_2)$ эквивалентна тройке $(W',\Gamma'_1,\Gamma'_2)$, если найдутся тривиальные тройки $(V,\Delta_1,\Delta_2)$ и $(V',\Delta'_1,\Delta'_2)$ такие, что
$$
\begin{equation*}
(W\oplus V,\Gamma_1\oplus\Delta_1,\Gamma_2\oplus\Delta_2)= (W'\oplus V',\Gamma'_1\oplus\Delta'_1,\Gamma'_2\oplus\Delta'_2)
\end{equation*}
\notag
$$
в $\operatorname{Grad}_\mathcal A(W)$. Группа $K_0(\mathcal A)$ называется группой разностей $\mathcal A$-совместимых щелевых гамильтонианов. Эта группа абелева и $-[W,\Gamma_1,\Gamma_2]=[W,\Gamma_2,\Gamma_1]$. Она также удовлетворяет условию
$$
\begin{equation*}
[W,\Gamma_1,\Gamma_2]+[W,\Gamma_2,\Gamma_3]=[W,\Gamma_1,\Gamma_3]
\end{equation*}
\notag
$$
в $K_0(\mathcal A)$. 3.3. Группы симметрииКак уже указывалось выше, основными видами симметрий, возникающими в теории твердых тел, являются симметрия обращения времени $T$, симметрия зарядового сопряжения $C$ и киральная симметрия $S=CT=TC$. Обозначим через $G$ группу симметрии гамильтониана и наделим ее следующими гомоморфизмами: 1) $\phi\colon G\to\{\pm1\}$ отвечает за унитарность действия элемента $g\in G$: это действие унитарно, если $\phi(g)=+1$ и антиунитарно, если $\phi(g)=-1$; 2) $c\colon G\to\{\pm1\}$ отвечает за сохранение заряда: действие $g\in G$ коммутирует с гамильтонианом, если $c(g)=+1$ и антикоммутирует с ним, если $c(g)=-1$; 3) $\tau\colon G\to\{\pm1\}$ отвечает за сохранение направления времени: действие $g\,{\in}\, G$ сохраняет направление времени, если $\tau(g)=+1$ и обращает его, если $\tau(g)=-1$. Конкретным примером групп симметрии $G$ является так называемая CT-группа. Она порождается единицей и тремя образующими $T$, $C$, $S$, где 1) $\phi(T)=-1$, $c(T)=+1$; 2) $\phi(C)=-1$, $c(C)=-1$; 3) $\phi(S)=+1$, $c(S)=+1$. Нас интересуют градуированные представления CT-группы и ее подгрупп. Обозначим операторы, отвечающие образующим группы $G$, через $\widehat T$, $\widehat C$ и $\widehat S$ соответственно. Имеются следующие возможности: $\widehat T^2=\pm1$, $\widehat C^2=\pm1$ и $\widehat S=\widehat C\widehat T=\widehat T\widehat C$. Семейство попарно антикоммутирующих нечетных операторов $\{\widehat C,i\widehat C,i\widehat C\widehat T\}$ порождает градуированное представление вещественной клиффордовой алгебры $\operatorname{Cl}_{r,s}$, где $r$ (соответственно $s$) есть число отрицательно (соответственно положительно) определенных самосопряженных генераторов, так что представление полной CT-группы $G$ совпадает с градуированным $*$-представлением клиффордовой алгебры $\operatorname{Cl}_{r,s}$. Рассмотрим теперь представления подгрупп $A$ полной CT-группы. В случае подгруппы $A=\{1,C\}$ в качестве нечетных генераторов представления возьмем операторы $\{\widehat C,i\widehat C\}$ с $\widehat C^2=\pm1$. Они порождают градуированные представления клиффордовых алгебр $\operatorname{Cl}_{0,2}$ и $\operatorname{Cl}_{2,0}$. В случае подгруппы $A=\{1,S\}$ обязательно выполняется соотношение $\widehat S^2=+1$, поэтому полученное представление совпадает с градуированным представлением комплексной клиффордовой алгебры $\mathbb C\mathrm{l}_1$. А в случае подгруппы $A=\{1,T\}$ имеются две возможности для $\widehat T^2=\pm1$. Семейство операторов $\{i,\widehat T,i\widehat T\widehat\Gamma\}$, где $\widehat\Gamma$ – оператор градуировки, порождает (неградуированное) представление клиффордовой алгебры $\operatorname{Cl}_{1,2}$ при $\widehat T^2=+1$ и алгебры $\operatorname{Cl}_{3,0}$ при $\widehat T^2=-1$. В работе [11] получена полная классификация групп $K_0(\mathcal A)$ для CT-группы и ее подгрупп. Еще одним примером групп симметрий, возникающих в теории твердого тела, являются группы симметрии зонных диэлектриков, имеющие вид $G=\mathcal L\rtimes P$, где $\mathcal L$ – группа трансляций решетки $\mathcal L$, а $P$ – компактная точечная группа симметрии. В этом случае двойственная по Понтрягину группа $\widehat{\mathcal L}$ совпадает с тором Бриллюэна $\mathbb T^d$, а конечно порожденный градуированный $\mathcal A$-модуль совпадает с градуированным $C(\mathbb T^d)$-модулем сечений блоховского расслоения над $\mathbb T^d$ (см. [1], [2]). Если группа $G$ есть $G=\mathcal L\rtimes A$, где $A$ – одна из подгрупп CT-группа, так что алгебра $\mathcal A=\mathbb C\rtimes G$, то группа $K_0(\mathcal A)$ совпадает в случае комплексных клиффордовых алгебр с $K^{-n}(\mathbb T^d)$, а в случае вещественных клиффордовых алгебр $\operatorname{Cl}_{r,s}$ с $KR^{(r-s)(\operatorname{mod}8)}(\mathbb T^d)$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SerTep23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|