| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
О нетривиальной разрешимости одной системы нелинейных интегральных уравнений на всей прямой Х. А. Хачатрянab, А. С. Петросянcb a Ереванский государственный университет b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова c Национальный аграрный университет Армении
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9348e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеРассмотрим следующую систему нелинейных интегральных уравнений на множестве $\mathbb{R}:=(-\infty,+\infty)$:
$$
\begin{equation}
Q_i(\varphi_i(x))=\sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\lambda_{ij}(|t|)\varphi_j(t)\, dt,\qquad i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
относительно искомой измеримой и ограниченной вектор-функции $\varphi(x)=(\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x))^\top$ ($\top$ – знак транспонирования). В системе (1.1) $\{\mu_j(u)\}_{j=1}^n$, $\{\lambda_{ij}(u)\}_{i,j=1}^{n\times n}$ – измеримые функции на множестве $\mathbb{R}^+:=[0,+\infty)$ и удовлетворяют следующим условиям: a) существуют числа $\varepsilon_j\in(0,1)$, $j=1,\dots,n$, такие, что
$$
\begin{equation*}
0<\varepsilon_j\leqslant\mu_j(u)\leqslant1,\qquad \mu_j(u)\not\equiv1,\quad u\in \mathbb{R}^+, \quad j=1,\dots,n;
\end{equation*}
\notag
$$
b) $\lambda_{ij}(u)\geqslant1$, $u\in \mathbb{R}^+$, $i,j=1,\dots, n$, $\lim_{u\to +\infty}\mu_j(u)=\lim_{u\to +\infty}\lambda_{ij}(u)=1$, $j=1,\dots, n$; c) $1-\mu_j\in L_1(0,+\infty)\cap C(\mathbb{R}^+)$, $\lambda_{ij}-1\in L_1(0,+\infty)$, $\lambda_{ij}(t)=\lambda_{ji}(t)$, $ t\in\mathbb{R}$, $i,j=1,\dots, n$. Элементы матриц-функции $K(x):=(K_{ij}(x))_{i,j=1}^{n\times n}$ определены на множестве $\mathbb{R}$ и удовлетворяют следующим ограничениям: A) $K_{ij}(x)>0$, $K_{ij}(x)=K_{ji}(x)$, $K_{ij}(-u)=K_{ij}(u)$, $x\in\mathbb{R}$, $u\in \mathbb{R}^+$, $i,j=1,\dots, n$; B) $K_{ij}(x)$ монотонно убывает по $x$ на множестве $\mathbb{R}^+$, $i,j=1,\dots, n$; C) $K_{ij}\in L_1(\mathbb{R})\cap M(\mathbb{R})$, $r(A)=1$, где $r(A)$ – спектральный радиус матрицы $A:=\bigl(\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x)\, dx\bigr)_{i,j=1}^{n\times n}$, т. е. наибольшее абсолютное значение собственных значений матрицы $A$, а $M(\mathbb{R})$ – пространство существенно ограниченных функций на множестве $\mathbb{R}$. По теореме Перрона–Фробениуса [1] существует вектор $\eta:=(\eta_1, \dots, \eta_n)^\top$ с положительными координатами $\eta_j$, $j=1,\dots,n$, такой, что
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j=\eta_i,\qquad i=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
a_{ij}:= \int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x)\, dx,\qquad i,j=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Введем обозначение
$$
\begin{equation}
\eta_j^*:= \frac{\eta_j}{\min_{1\leqslant i\leqslant n}\{\eta_i\}},\qquad j=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Относительно нелинейностей $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$ (см. рис. 1 ) предположим выполнение следующих условий: 1) $Q_i(u)$ монотонно возрастает по $u$ на множестве $\mathbb{R}$, $i=1,\dots,n$; 2) $Q_i\in C(\mathbb{R})$, $Q_i(-u)=-Q_i(u)$, $u\in \mathbb{R}^+$, $i=1,\dots,n$; 3) $Q_i(u)$ – выпуклая вниз функция на множестве $\mathbb{R}^+$, $i=1,\dots,n$; 4) число $\eta_j^*$ является неподвижной точкой отображения $y=Q_j(u)$, т. е. $Q_j(\eta_j^*)=\eta_j^*$, $j=1,\dots,n$; 5) уравнение $Q_j(u)=\varepsilon^2 u$ имеет положительный корень $\xi_j^*$, $ j=1,\dots,n$, где $\varepsilon:= \min \{\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n\}\in (0,1)$. Исследование системы (1.1), кроме теоретического интереса, представляет также прикладной интерес в различных направлениях естествознания. В частности, такие системы нелинейных интегральных уравнений возникают в динамической теории $p$-адических открыто-замкнутых струн, в математической теории пространственно-временного (географического) распространения эпидемии, в кинетической теории газов, в теории переноса излучения в спектральных линиях (см. [2]–[9]). В том частном случае, когда $\lambda_{ij}\equiv1$ и $ \mu_j\equiv1$, $i,j=1,\dots,n$, система (1.1) достаточно подробно исследована в работе [10]. Указанная работа в основном посвящена вопросам существования знакопеременного ограниченного и монотонного решения, а также изучению асимптотического поведения построенного решения в $\pm\infty$. Соответствующее скалярное интегральное уравнение $(n=1)$ при различных ограничениях на ядро и на нелинейность изучено в работах [2]–[7] и [10]–[14]. В настоящей работе при условиях a)–c), A)–C), 1)–5) мы займемся вопросами существования ограниченного решения системы (1.1) и исследования его асимптотического поведения на $\pm\infty$. В частности, будет доказано, что система (1.1) имеет неотрицательное нетривиальное и ограниченное решение, причем $\eta_j^*-\varphi_j\in L_1^0(\mathbb{R})$, $j=1,\dots,n$, где $L_1^0(\mathbb{R})$ – пространство суммируемых функций по Лебегу на множестве $\mathbb{R}$, имеющих нулевой предел на $\pm\infty$. В конце работы приведем конкретные прикладные примеры функций $\{\mu _j (u)\}_{j=1}^n$, $\{\lambda_{ij}(u)\}_{i,j=1}^{n\times n}$, $\{K_{ij}(x)\}_{i,j=1}^{n\times n}$ и $\{Q _i (u)\}_{i=1}^n$ для иллюстрации важности полученных результатов. § 2. Обозначения и вспомогательные фактыНаряду с системой (1.1) рассмотрим вспомогательную систему нелинейных интегральных уравнений с суммарно-разностным ядром на полуоси
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q_i(\psi_i(x))=\sum_{j=1}^n\mu_j(x)\int_{0}^\infty (K_{ij}(x-t)-K_{ij}(x+t))\psi_j(t)\, dt, \\ i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}^+, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
относительно искомой вектор-функции $\psi(x)=(\psi_1(x),\dots,\psi_n(x))^\top$. Для системы (2.1) введем последовательные приближения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q_i(\psi_i^{(m+1)}(x))=\sum_{j=1}^n\mu_j(x)\int_{0}^\infty (K_{ij}(x-t)-K_{ij}(x+t))\psi_j^{(m)}(t)\, dt, \\ \psi_i^{(0)}(x)=\eta_i^*,\quad i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}^+,\quad m=0,1,\dots\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Индукцией легко можно доказать, что
$$
\begin{equation}
\psi_i^{(m)}(x)\geqslant0,\quad \psi_i^{(m)}\in C(\mathbb{R}^+),\quad x\in \mathbb{R}^+, \quad i=1,\dots,n,\quad m=0,1,\dots,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
\psi_i^{(m)}(x)\text{ монотонно убывают по } m,\qquad i=1,\dots,n,\quad x\in \mathbb{R}^+.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Из результатов работы [10] следует, что имеет место оценка снизу
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sum_{j=1}^n \eta_j^*\int_{0}^\infty (K_{ij}(x-t)-K_{ij}(x+t))(1-e^{-p^* t})\, dt\geqslant \eta_i^*\varepsilon_i (1-e^{-p^* x}), \\ x\in \mathbb{R}^+,\quad i=1,\dots,n, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $p^*=\min \{p_1,\dots, p_n\}$, а числа $\{p_i\}_{i=1}^n$ единственным образом определяются из следующих характеристических уравнений:
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^n\eta_j^*\int_{0}^\infty K_{ij}(t)e^{-pt}\, dt= \frac{\varepsilon_i\eta_i^*}{2},\qquad i=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Используя оценку (2.5) и свойство выпуклости вниз функций $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$ на множестве $\mathbb{R}^+$, для последовательных приближений $\{\psi_i^{(m)}(x)\}_{m=0}^\infty$, $i=1,\dots,n$, индукцией по $m$ несложно доказать следующую оценку снизу:
$$
\begin{equation}
\psi_i^{(m)}(x)\,{\geqslant} \min_{1\leqslant j\leqslant n}\biggl( \frac{\xi_j^*}{\eta_j^*} \biggr)\eta_i^* (1-e^{-p^* x}),\qquad x\,{\in}\, \mathbb{R}^+,\quad i\,{=}\,1,\dots,n,\quad m\,{=}\,0,1,\dots\,.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Из полученных выше свойств (2.3), (2.4) и (2.7) следует, что последовательность непрерывных вектор-функций $\psi^{(m)}(x)=(\psi_1^{(m)}(x),\dots, \psi_n^{(m)}(x))^\top$, $m=0,1,\dots$, имеет поточечный предел, когда $m\to \infty$: $\lim_{m\to \infty}\psi^{(m)}(x)=\psi(x)$, $x\in\mathbb{R}^+$, причем предельная вектор-функция $\psi(x)=(\psi_1(x),\dots, \psi_n(x))^\top$ согласно теореме Б. Леви (см. [15]) удовлетворяет системе (2.1). Из (2.4) и (2.7) для предельной вектор-функции $\psi(x)$ следует также двойная оценка
$$
\begin{equation}
\min_{1\leqslant j\leqslant n}\biggl( \frac{\xi_j^*}{\eta_j^*} \biggr)\eta_i^* (1-e^{-p^* x})\leqslant \psi_i(x)\leqslant \eta_i^*,\qquad x\in \mathbb{R}^+,\quad i=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Используя технику, разработанную в работе [10], и проводя рассуждения, аналогичные приведенным в [10], можно доказать, что
$$
\begin{equation}
\eta_i^*-\psi_i\in L_1(0,+\infty),\qquad i=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Учитывая неравенство (2.8), условия c), C), 1), 2) и тот факт, что свертка суммируемой и ограниченной функций является непрерывной функцией (см. [16]), из (2.1) получаем также, что Следовательно, сходимость последовательности вектор-функций $\{\psi_{m}(x)\}_{m=0}^\infty$ к $\psi(x)=(\psi_1(x),\dots, \psi_n(x))^\top$ равномерна на каждом компакте из $\mathbb{R}^+$. Прямой проверкой можно убедиться, что функции
$$
\begin{equation}
f_i(x)= \begin{cases} \psi_i(x), &\text{если }x\in \mathbb{R}^+, \\ -\psi_i(-x), &\text{если }x\in (-\infty,0), \end{cases} \qquad i=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
удовлетворяют следующей системе нелинейных интегральных уравнений на всей прямой:
$$
\begin{equation}
Q_i(f_i(x))=\sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\int_{\mathbb{R}} K_{ij}(x-t) f_j(t)\, dt,\qquad i=1,\dots,n,\quad x\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Из (2.8)–(2.11) непосредственно следует, что
$$
\begin{equation}
f_i(-x)=-f_i(x),\qquad x\in \mathbb{R}^+,\quad f_i\in C(\mathbb{R}),\quad i=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
$$
\begin{equation}
\min_{1\leqslant j\leqslant n}\biggl( \frac{\xi_j^*}{\eta_j^*} \biggr)\eta_i^* (1-e^{-p^* x})\leqslant f_i(x)\leqslant \eta_i^*,\qquad x\in \mathbb{R}^+,\quad i=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
$$
\begin{equation}
\eta_i^*\pm f_i\in L_1(\mathbb{R}^{\mp}),\qquad \mathbb{R}^-:=\mathbb{R}\setminus\mathbb{R}^+, \quad i=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Введем обозначение
$$
\begin{equation}
b_{ij}:=2\sup_{x\in\mathbb{R}}(K_{ij}(x))\int_0^\infty (\lambda_{ij}(t)-1)\, dt,\qquad i,j=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Рассмотрим вспомогательную систему нелинейных алгебраических уравнений
$$
\begin{equation}
Q_i(\xi_i)= \sum_{j=1}^n (a_{ij}+b_{ij})\xi_j,\qquad i=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
относительно искомого вектора $\xi:=(\xi_1,\dots,\xi_n)^\top$, где $a_{ij}$ и $b_{ij}$, $i,j=1,\dots,n$, задаются согласно (1.3) и (2.16) соответственно. Наша ближайшая цель – доказать существование и единственность решения системы (2.17). Имеет место следующая лемма. Лемма 1. Пусть элементы матрицы $A=(a_{ij})_{i,j=1}^{n\times n}$ положительны, причем $r(A)=1$, а элементы матрицы $B=(b_{ij})_{i,j=1}^{n\times n}$ неотрицательны. Тогда, если функции $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$ удовлетворяют условиям 1)–5), то система (2.17) обладает покомпонентно положительным решением $\xi:=(\xi_1,\dots,\xi_n)^\top$. Более того, $\xi_i\geqslant \eta_i^*$, $i=1,\dots,n$. Доказательство. Введем последовательные приближения
$$
\begin{equation}
Q_i(\xi_i^{(p+1)})= \sum_{j=1}^n (a_{ij}+b_{ij})\xi_j^{(p)},\qquad i=1,\dots,n, \quad \xi_i^{(0)}=\eta_i^*,\quad p=0,1,\dots\,.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Сперва индукцией по $p$ докажем, что
$$
\begin{equation}
\xi_i^{(p)}\uparrow \text{ по }p,\qquad i=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Учитывая равенство (1.2), неотрицательность элементов матрицы $B$, монотонность функций $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$ по $u$ и соотношения 4), из (2.18) будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &Q_i(\xi_i^{(1)})= \sum_{j=1}^n (a_{ij}+b_{ij})\eta_j^*\geqslant \sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j^*=\eta_i^*=Q_i(\eta_i^*) \\ &\qquad \Longrightarrow \quad \xi_i^{(1)}\geqslant \eta_i^*=\xi_i^{(0)},\qquad i=1,\dots,n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предполагая, что $\xi_i^{(p)}\geqslant \xi_i^{(p-1)}$, $i=1,\dots,n$, при некотором натуральном $p$, из (2.18) с учетом положительности элементов матрицы $A+B$ и монотонности функций $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$ получаем, что $\xi_i^{(p+1)}\geqslant \xi_i^{(p)}$. Теперь докажем, что существует число $c>1$ такое, что
$$
\begin{equation}
\xi_i^{(p)}\leqslant c\eta_i^*,\qquad i=1,\dots,n,\quad p=0,1,\dots\,.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
С этой целью сперва рассмотрим следующие характеристические функции на множестве $[1,+\infty)$:
$$
\begin{equation}
\chi_i(u):=\frac{Q_i(u\eta_i^*)}{u\eta_i^*}-1-\frac{\alpha_i}{\eta_i^*},\qquad i=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
где
$$
\begin{equation}
\alpha_i:= \sum_{j=1}^n b_{ij}\eta_j^*,\qquad i=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Заметим, что из условия 4) следует, что $\chi_i(1)=-\alpha_i/\eta_i^*<0$, $i=1,\dots, n$. С другой стороны, в силу выпуклости вниз и монотонности функций $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$ на множестве $\mathbb{R}^+$ можем утверждать, что
$$
\begin{equation}
\chi_i(u)\uparrow \text{ по } u \text{ на } [1,+\infty),\qquad i=1,\dots, n,
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Следовательно, при каждом $i\in \{1,\dots, n\}$ существует число $c_i>1$ такое, что $\chi_i(c_i)=0$. Обозначим через $c:=\max\{c_1,\dots,c_n\}$. Тогда, учитывая (2.23) и (2.24), будем иметь
$$
\begin{equation}
\frac{Q_i(c\eta_i^*)}{c\eta_i^*}\geqslant \frac{Q_i(c_i\eta_i^*)}{c_i\eta_i^*}=1+\frac{\alpha_i}{\eta_i^*},\qquad i=1,\dots, n.
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Ниже, используя (2.25), перейдем к доказательству оценки (2.20). При $p=0$ неравенство (2.20) сразу следует из определения нулевого приближения с учетом того, что $c\geqslant c_i>1$, $i=1,\dots, n$. Предположим, что $\xi_i^{(p)}\leqslant c\eta_i^*$, $i=1,\dots, n$, при некотором $p\in \mathbb{N}$. Тогда в силу (2.25) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_i(\xi_i^{(p+1)}) &\leqslant c\biggl(\sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j^*+ \sum_{j=1}^n b_{ij}\eta_j^*\biggr) \\ &=c(\eta_i^*+\alpha_i)= c\eta_i^*\biggl(1+\frac{\alpha_i}{\eta_i^*}\biggr)\leqslant Q_i(c\eta_i^*),\qquad i=1,\dots, n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего неравенства сразу следует, что $\xi_i^{(p+1)}\leqslant c\eta_i^*$, $i=1,\dots, n$, ибо $Q_i(u)\uparrow$ по $u$ на $\mathbb{R}$, $i=1,\dots, n$.
Итак, последовательность векторов $\xi^{(p)}:=(\xi_1^{(p)}, \dots, \xi_n^{(p)})^\top$, $p=0,1,\dots$, имеет предел, когда $p\to \infty$: $\lim_{p\to \infty}\xi_i^{(p)}=\xi_i$, $i=1,\dots,n$, причем в силу непрерывности функций $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$ предельный вектор является решением системы (2.17) и $\xi_i\in [\eta_i^*, c\eta_i^*]$, $i=1,\dots,n$. Лемма 1 доказана. Имеет место также следующее утверждение о единственности решения системы (2.17). Лемма 2. При условиях леммы 1, если матрица $A+B$ симметрична, то система (2.17) не может иметь более одного решения в классе векторов Доказательство. Предположим обратное: пусть система (2.17) обладает двумя решениями $\xi, \widetilde{\xi}\in \mathfrak{M}$. Тогда в силу положительности элементов матрицы $A+B$ из (2.17) будем иметь
$$
\begin{equation}
|Q_i(\xi_i)-Q_i(\widetilde{\xi}_i)|\leqslant \sum_{j=1}^n (a_{ij}+b_{ij})|\xi_j-\widetilde{\xi}_j|, \qquad i=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
где $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)^\top$, $\widetilde{\xi}=(\widetilde{\xi}_1,\dots,\widetilde{\xi}_n)^\top$. Умножим обе части каждого из неравенств (2.26) на соответствующее $\xi_i$ и все полученные неравенства просуммируем по $i=1,\dots,n$. Тогда, учитывая симметричность матрицы $A+B$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{i=1}^n \xi_i |Q_i(\xi_i)-Q_i(\widetilde{\xi}_i)| &\leqslant \sum_{i=1}^n \xi_i \sum_{j=1}^n (a_{ij}+b_{ij})|\xi_j-\widetilde{\xi}_j| \\ &=\sum_{j=1}^n |\xi_j-\widetilde{\xi}_j|\sum_{i=1}^n (a_{ij}+b_{ij})\xi_i =\sum_{j=1}^n |\xi_j-\widetilde{\xi}_j| Q_j(\xi_j) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation*}
J:=\sum_{i=1}^n \bigl(\xi_i |Q_i(\xi_i)-Q_i(\widetilde{\xi}_i)|-|\xi_i-\widetilde{\xi}_i| Q_i(\xi_i)\bigr)\leqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно из свойств 1)–5) вытекает, что
$$
\begin{equation}
J=\sum_{i\in\mathcal{P}} (\xi_i |Q_i(\xi_i)-Q_i(\widetilde{\xi}_i)|-|\xi_i-\widetilde{\xi}_i| Q_i(\xi_i))\leqslant0,
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}:=\bigl\{i\in \{ 1,\dots,n\}\colon \xi_i\neq0,\, \xi_i\neq\widetilde{\xi}_i\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Согласно определению множества $\mathcal{P}$ неравенство (2.27) можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\sum_{i\in\mathcal{P}}\xi_i |\xi_i-\widetilde{\xi}_i| \biggl(\frac{|Q_i(\xi_i)-Q_i(\widetilde{\xi}_i)|}{|\xi_i-\widetilde{\xi}_i|} -\frac{Q_i(\xi_i)}{\xi_i} \biggr)\leqslant 0.
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
На основании выпуклости вниз функций $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$ на множестве $\mathbb{R}^+$ можно утверждать, что для всех $i\in\mathcal{P}$ имеет место строгое неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{|Q_i(\xi_i)-Q_i(\widetilde{\xi}_i)|}{|\xi_i-\widetilde{\xi}_i|}>\frac{Q_i(\xi_i)}{\xi_i}.
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
Поэтому ввиду (2.29) и (2.30) приходим к противоречию. Следовательно, лемма 2 доказана. § 3. О разрешимости системы (1.1)В настоящем параграфе мы перейдем к изучению вопроса существования нетривиального неотрицательного и ограниченного решения исходной системы (1.1). Отметим, что доказанные вспомогательные леммы 1 и 2, а также свойства (2.13)–(2.15) играют важную роль в достижении нашей цели – нахождении решения системы (2.12). Имеет место следующая теорема. Теорема 1. Пусть выполняются условия a)–c), A)–C) и 1)–5). Тогда система интегральных уравнений (1.1) имеет неотрицательное нетривиальное и ограниченное решение. Доказательство. Для системы (1.1) рассмотрим следующие последовательные приближения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q_i(\varphi_i^{(p+1)}(x))=\sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\lambda_{ij}(|t|)\varphi_j^{(p)}(t)\, dt, \\ \varphi_i^{(0)}(x)=\xi_i,\quad x\in \mathbb{R},\quad i=1,\dots, n,\quad p=0,1,\dots, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где числа $\{\xi_i\}_{i=1}^n$ единственным образом определяются из системы нелинейных алгебраических уравнений (2.17) (см. леммы 1 и 2).
Индукцией по $p$ докажем, что i) $\varphi_i^{(p)}(x)\downarrow$ по $p$, $i=1,\dots, n$, $x\in \mathbb{R}$, ii) $\varphi_i^{(p)}(x)\geqslant |f_i(x)|$, $i=1,\dots, n$, $p=0,1,\dots$, $x\in \mathbb{R}$, где $f(x)=(f_1(x),\dots, f_n(x))^\top$ – решение вспомогательной системы нелинейных интегральных уравнений (2.12), обладающее свойствами (2.13)–(2.15). Сперва докажем, что
$$
\begin{equation*}
|f_i(x)|\leqslant \varphi_i^{(1)}(x)\leqslant \xi_i,\qquad i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, учитывая (1.2), (2.16), условия a)–c), а также леммы 1 и 2, из (3.1) будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_i(\varphi_i^{(1)}(x)) &\leqslant \sum_{j=1}^n\xi_j\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\lambda_{ij}(|t|)\, dt \\ &= \sum_{j=1}^n\xi_j\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)(\lambda_{ij}(|t|)-1)\, dt+ \sum_{j=1}^n\xi_j\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\, dt \\ &\leqslant \sum_{j=1}^n\xi_j \sup_{x\in \mathbb{R}}(K_{ij}(x)) \int_{-\infty}^\infty (\lambda_{ij}(|t|)-1)\, dt+ \sum_{j=1}^n a_{ij}\xi_j \\ &= \sum_{j=1}^n\xi_j \biggl(2\sup_{x\in \mathbb{R}}(K_{ij}(x)) \int_{0}^\infty (\lambda_{ij}(t)-1)\, dt +a_{ij} \biggr) \\ &=\sum_{j=1}^n(a_{ij}+b_{ij})\xi_j=Q_i(\xi_i),\qquad i=1,\dots, n, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда в силу монотонности функций $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$ получаем, что
$$
\begin{equation*}
\varphi_i^{(1)}(x)\leqslant \xi_i=\varphi_i^{(0)}(x),\qquad i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 1 и свойств (2.13), (2.14) сразу следует, что $\xi_i\geqslant |f_i(x)|$, $ i=1,\dots, n$, $ x\in \mathbb{R}$.
Снова используя условия a)–c), соотношения (2.12), монотонность и нечетность функций $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$, из (3.1) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &Q_i(\varphi_i^{(1)}(x)) \geqslant \sum_{j=1}^n\mu_j(|x|) \xi_j\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\, dt \\ &\qquad\geqslant \sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)|f_j(t)|dt \geqslant \sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\biggl|\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)f_j(t)\, dt\biggr| \\ &\qquad\geqslant \biggl|\sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)f_j(t)\, dt\biggr| = |Q_i(f_i(x))|=Q_i(|f_i(x)|) \\ &\qquad\Longrightarrow\quad \varphi_i^{(1)}(x)\geqslant |f_i(x)|,\qquad i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предполагая, что $\varphi_i^{(p)}(x)\leqslant \varphi_i^{(p-1)}(x)$, $\varphi_i^{(p)}(x)\geqslant |f_i(x)|$, $ i=1,\dots, n$, $ x\in \mathbb{R}$, при некотором $p\in \mathbb{N}$, учитывая монотонность и нечетность функций $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$, а также положительность ядер $K_{ij}(x)$, $i,j=1,\dots, n$, аналогичными рассуждениями (как выше) из (3.1) получим, что
$$
\begin{equation*}
\varphi_i^{(p+1)}(x)\leqslant \varphi_i^{(p)}(x),\quad \varphi_i^{(p+1)}(x)\geqslant |f_i(x)|,\qquad i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя непрерывность функций $\{\mu_j(u)\}_{j=1}^n$, $\{Q_j(u)\}_{j=1}^n$, условие $1)$, а также тот факт, что свертка суммируемых и ограниченных функций является непрерывной функцией, индукцией по $p$ несложно доказать, что $\varphi_i^{(p)}\in C(\mathbb{R})$, $ i=1,\dots, n$, $ p=0,1,\dots$ . Таким образом, из i) и ii) заключаем, что последовательность непрерывных вектор-функций $\varphi^{(p)}(x)=(\varphi_1^{(p)}(x),\dots, \varphi_n^{(p)}(x))^\top$, $p=0,1,\dots$, имеет поточечный предел, когда $p\to \infty$: $\lim_{p\to \infty}\varphi_i^{(p)}(x)=\varphi_i(x)$, $ i=1,\dots, n$, $ x\in \mathbb{R}$. Согласно теореме Б. Леви предельная вектор-функция $\varphi(x)=(\varphi_1(x),\dots, \varphi_n(x))^\top$ удовлетворяет системе (1.1). Из свойств i), ii) следует также, что
$$
\begin{equation}
|f_i(x)|\leqslant \varphi_i(x)\leqslant \xi_i,\qquad i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
С учетом (2.13)–(2.15) из (3.2) получаем $\varphi_i(x)\geqslant0$, $\varphi_i(x)\not\equiv0$, $ i=1,\dots, n$, $ x\in \mathbb{R}$. Итак, теорема 1 полностью доказана. § 4. Асимптотическое поведение решения на $\pm \infty$Пусть $\varphi(x)=(\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x))^\top$ – любое решение системы (1.1), удовлетворяющее следующему двойному неравенству:
$$
\begin{equation}
\min_{1\leqslant j\leqslant n}\biggl(\frac{\xi_j^*}{\eta_j^*}\biggr)\eta_i^*(1-e^{-p^*|x|})\leqslant \varphi_i(x)\leqslant \xi_i,\qquad i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Существование такого решения следует из теоремы 1. Ниже докажем, что тогда $\eta_i^*-\varphi_i\in L_1(\mathbb{R})$, $i=1,\dots, n$. Справедлива следующая теорема. Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1. Тогда для любого решения $\varphi(x)=(\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x))^\top$ системы (1.1), удовлетворяющего двойному неравенству (4.1), имеет место интегральная асимптотика $\eta_i^*-\varphi_i\in L_1(\mathbb{R})$, $i=1,\dots, n$. Доказательство. Для начала заметим, что $\varphi_i\in C(\mathbb{R})$, $i=1,\dots,n$. Действительно, эти включения следуют из непрерывности свертки суммируемых и ограниченных функций с учетом того, что $\mu_j\in C(\mathbb{R}^+)$, $Q_j\in C(\mathbb{R})$ и $Q_j(u)\uparrow$ по $u$ на $\mathbb{R}$, $j=1,\dots,n$.
Учитывая соотношение (1.2), теперь оценим следующую разность:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\eta_i^*-Q_i(\varphi_i(x))|=\biggl|\sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j^*-\sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\lambda_{ij}(|t|)\varphi_j(t)\, dt\biggr| \\ &\qquad =\biggl|\sum_{j=1}^n\biggl(\eta_j^*\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\, dt- \mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\lambda_{ij}(|t|)\varphi_j(t)\, dt\biggr)\biggr| \\ &\qquad =\biggl|\sum_{j=1}^n \eta_j^*\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\, dt+\sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j^*(1-\mu_j(|x|)) \\ &\qquad \qquad -\sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\lambda_{ij}(|t|)\varphi_j(t)\, dt\biggr| \\ &\qquad\leqslant \sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j^*(1-\mu_j(|x|))+ \biggl| \sum_{j=1}^n \eta_j^*\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\, dt \\ &\qquad\qquad -\sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\varphi_j(t)\, dt \\ &\qquad\qquad- \sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)(\lambda_{ij}(|t|)-1)\varphi_j(t)\, dt\biggr| \\ &\qquad\leqslant \sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j^*(1-\mu_j(|x|))+ \sum_{j=1}^n\xi_j\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)(\lambda_{ij}(|t|)-1)\, dt \\ &\qquad\qquad+ \biggl|\sum_{j=1}^n \mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t) (\eta_j^*-\varphi_j(t))\, dt\biggr| \\ &\qquad\leqslant \sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j^*(1-\mu_j(|x|))+ \sum_{j=1}^n\xi_j\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)(\lambda_{ij}(|t|)-1)\, dt \\ &\qquad\qquad+ \sum_{j=1}^n \mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t) |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt \\ &\qquad=g_i(x)+\sum_{j=1}^n \mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t) |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt, \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, g_i(x):=\sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j^*(1-\mu_j(|x|))+ \sum_{j=1}^n\xi_j\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)(\lambda_{ij}(|t|)-1)\, dt, \\ i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Из условий c) и C) по теореме Фубини (см. [15]) получаем, что Итак, мы получили следующую оценку сверху:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |\eta_i^*-Q_i(\varphi_i(x))|\leqslant g_i(x)+\sum_{j=1}^n \mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t) |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt, \\ i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Пусть $R>1$ – произвольное число. Введем измеримые множества
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, E_R^i &:=\{x\in [1,R]\colon \varphi_i(x)\leqslant \eta_i^*\}, \\ \widetilde{E}_R^i &:=\{x\in [1,R]\colon \varphi_i(x)> \eta_i^*\}, \end{aligned} \qquad i=1,\dots, n,
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где $\varphi(x)=(\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x))^\top$ – решение системы (1.1), удовлетворяющее оценке (4.1).
Проинтегрируем обе части неравенства (4.4) по $x$ в пределах от $1$ до $R$. Тогда, учитывая (4.1) и следующие легко проверяемые оценки для $\{\varphi_i(x)\}_{i=1}^n$ (вытекающие из выпуклости вниз функций $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$ на $\mathbb{R}^+$ и из левой части неравенства (4.1)): $\bullet$ для $x\in E_R^i$
$$
\begin{equation*}
\eta_i^*-Q_i(\varphi_i(x))\geqslant \alpha_i(\eta_i^*-\varphi_i(x)),
\end{equation*}
\notag
$$
$\bullet$ для $x\in \widetilde{E}_R^i$
$$
\begin{equation*}
Q_i(\varphi_i(x))-\eta_i^*\geqslant \beta_i(\varphi_i(x)-\eta_i^*),\quad i=1,\dots, n,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha_i:= \frac{\eta_i^*-Q_i(\omega_i)}{\eta_i^*-\omega_i},\qquad \omega_i:=\min_{1\leqslant j\leqslant n}\biggl(\frac{\xi_j^*}{\eta_j^*}\biggr)\eta_i^*(1-e^{-p^*}), \\ \beta_i:=\frac{2(\eta_i^*-Q_i(\eta_i^*/2))}{\eta_i^*},\qquad i=1,\dots, n, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
из (4.4) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\alpha_i\int_{E_R^i}\bigl(\eta_i^*-\varphi_i(x)\bigr)\, dx+ \beta_i\int_{\widetilde{E}_R^i}\bigl(\varphi_i(x)-\eta_i^*\bigr)\, dx \\ &\ \leqslant \int_{E_R^i}\bigl(\eta_i^*-Q_i(\varphi_i(x))\bigr)\, dx+ \int_{\widetilde{E}_R^i}\bigl(Q_i(\varphi_i(x))-\eta_i^*\bigr)\, dx =\int_1^R|\eta_i^*-Q_i(\varphi_i(x))|\, dx \\ &\ \leqslant \int_1^R g_i(x)\, dx+ \sum_{j=1}^n \int_1^R \int_{-\infty}^{\infty} K_{ij}(x-t)|\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt\, dx \\ &\ \leqslant \int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j) \int_1^R \int_{-\infty}^1 K_{ij}(x-t)\, dt\, dx \\ &\ \qquad+\sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j) \int_1^R \int_R^{\infty} K_{ij}(x-t)\, dt\, dx \\ &\ \qquad + \sum_{j=1}^n \int_1^R \int_1^R K_{ij}(x-t)|\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt\, dx \\ &\ \leqslant \int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j) \int_1^R \int_{x-1}^{\infty} K_{ij}(y)\, dy\, dx \\ &\ \qquad + \sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j) \int_1^R \int_{-\infty}^{x-R} K_{ij}(y)\, dy\, dx \\ &\ \qquad+\sum_{j=1}^n \int_1^R |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\biggl( \int_{-\infty}^{\infty} K_{ij}(x-t)\, dx\biggr)\, dt \\ &\ \leqslant \int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j) \int_1^\infty \int_{x-1}^{\infty} K_{ij}(y)\, dy\, dx \\ &\ \qquad + \sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j) \int_0^R \int_{-\infty}^{x-R} K_{ij}(y)\, dy\, dx + \sum_{j=1}^n a_{ij} \int_1^R |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt \\ &\ =\int_1^\infty g_i(x)\, dx+\sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j)\int_0^\infty xK_{ij}(x)\, dx \\ &\ \qquad +\sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j)\int_{-R}^0\int_{-\infty}^x K_{ij}(z)\, dz\, dx+ \sum_{j=1}^n a_{ij} \int_1^R |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt \\ &\ \leqslant \int_1^\infty g_i(x)\, dx+\sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j)\int_0^\infty xK_{ij}(x)\, dx \\ &\ \qquad + \sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j)\int_{-\infty}^0 \int_{-\infty}^x K_{ij}(z)\, dz \, dx + \sum_{j=1}^n a_{ij} \int_1^R |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt \\ &\ =\int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j)\int_{-\infty}^{\infty} |x|K_{ij}(x)\, dx \\ &\ \qquad + \sum_{j=1}^n a_{ij} \int_1^R |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt,\qquad i=1,\dots,n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, мы получили следующее неравенство:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\alpha_i\int_{E_R^i}(\eta_i^*-\varphi_i(x))\, dx+ \beta_i\int_{\widetilde{E}_R^i}(\varphi_i(x)-\eta_i^*)\, dx \nonumber \\ &\ \leqslant \int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{j=1}^n m_{ij}(\eta_j^*+\xi_j) +\sum_{j=1}^n a_{ij} \int_1^R |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt,\qquad i=1,\dots,n, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где $m_{ij}:= \int_{-\infty}^{\infty} |x|K_{ij}(x)\, dx,\quad i,j=1,\dots,n$.
Умножим обе части каждого из неравенств (4.6) на соответствующее $\eta_i^*$ и просуммируем по всем $i=1,\dots,n$. Тогда, учитывая симметричность матрицы $A$ и соотношение (1.2), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^n \eta_i^* \biggl( \alpha_i\int_{E_R^i}(\eta_i^*-\varphi_i(x))\, dx+ \beta_i\int_{\widetilde{E}_R^i}(\varphi_i(x)-\eta_i^*)\, dx \biggr) \\ &\leqslant \sum_{i=1}^n \eta_i^*\int_1^\infty g_i(x)\, dx\,{+} \sum_{i=1}^n \eta_i^*\sum_{j=1}^n m_{ij}(\eta_j^*\,{+}\,\xi_j)\,{+}\sum_{j=1}^n \int_1^R |\eta_j^*\,{-}\,\varphi_j(t)|\, dt \biggl(\sum_{i=1}^n a_{ji}\eta_i^*\biggr) \\ &=\sum_{i=1}^n \eta_i^*\int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{i=1}^n \eta_i^*\sum_{j=1}^n m_{ij}(\eta_j^*+\xi_j)+\sum_{j=1}^n \eta_j^* \int_1^R |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
из которого сразу следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^n \eta_i^* \biggl( (\alpha_i-1)\int_{E_R^i}(\eta_i^*-\varphi_i(x))\, dx+ (\beta_i-1)\int_{\widetilde{E}_R^i}(\varphi_i(x)-\eta_i^*)\, dx \biggr) \nonumber \\ &\qquad\leqslant \sum_{i=1}^n \eta_i^*\int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{i=1}^n \eta_i^*\sum_{j=1}^n m_{ij}(\eta_j^*+\xi_j). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Учитывая выпуклость вниз функций $\{Q_i(u)\}_{i=1}^n$ на $\mathbb{R}^+$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\alpha_i-1=\frac{\omega_i-Q_i(\omega_i)}{\eta_i^*-\omega_i}>0,\quad \beta_i-1=\frac{\eta_i^*-2Q_i(\eta_i^*/2)}{\eta_i^*}>0,\qquad i=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, из (4.7) приходим к оценке
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n \eta_i^* \int_1^R |\eta_i^*-\varphi_i(x)|\, dx\leqslant \frac{\sum_{i=1}^n \eta_i^*\int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{i=1}^n \eta_i^*\sum_{j=1}^n m_{ij}(\eta_j^*+\xi_j)}{\min\{\min_{1\leqslant i\leqslant n}(\alpha_i-1), \min_{1\leqslant i\leqslant n}(\beta_i-1)\}}.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Так как $\eta_i^*\geqslant 1$, $i=1,\dots,n$, то из (4.8), в частности, получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_1^R |\eta_i^*-\varphi_i(x)|\, dx \nonumber \\ &\ \leqslant \frac{\sum_{i=1}^n \eta_i^*\int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{i=1}^n \eta_i^*\sum_{j=1}^n m_{ij}(\eta_j^*+\xi_j)}{\min\{\min_{1\leqslant i\leqslant n}(\alpha_i-1), \min_{1\leqslant i\leqslant n}(\beta_i-1)\}},\qquad i=1,\dots,n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
В (4.9) устремляя число $R\to +\infty$ получаем, что $\eta_i^*-\varphi_i\in L_1(1,+\infty)$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_1^\infty |\eta_i^*-\varphi_i(x)|\, dx \\ &\ \leqslant \frac{\sum_{i=1}^n \eta_i^*\int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{i=1}^n \eta_i^*\sum_{j=1}^n m_{ij}(\eta_j^*+\xi_j)}{\min\{\min_{1\leqslant i\leqslant n}(\alpha_i-1), \min_{1\leqslant i\leqslant n}(\beta_i-1)\}},\qquad i=1,\dots,n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичными рассуждениями можно доказать, что $\eta_i^*-\varphi_i\in L_1(-\infty,-1)$, $i=1,\dots,n$. Так как $\varphi_i\in C(\mathbb{R})$, то $\eta_i^*-\varphi_i\in L_1(-1,1)$, $i=1,\dots,n$. Таким образом, $\eta_i^*-\varphi_i\in L_1(\mathbb{R})$, $i=1,\dots,n$. Теорема 2 доказана. Замечание 2. Несложно убедиться, что Замечание 3. К сожалению, вопрос единственности решения системы (1.1) в классе ограниченных функций на множестве $\mathbb{R}$ до сих пор остается открытым. § 5. ПримерыВ последнем параграфе настоящей работы приведем конкретные примеры прикладного характера функций $\{K_{ij}(x)\}_{i,j=1}^{n\times n}$, $\{\mu_{j}(t)\}_{j=1}^{n}$, $\{\lambda_{ij}(t)\}_{i,j=1}^{n\times n}$ и $\{Q_{i}(u)\}_{i=1}^{n}$, удовлетворяющих всем условиям доказанных утверждений. Примеры ядер $\{K_{ij}(x)\}_{i,j=1}^{n\times n}$. В динамической теории $p$-адических открыто-замкнутых струн для скалярного поля тахионов и в математической теории пространственно-временного распространения пандемии система (1.1) встречается с конкретными представлениями ядер $\{K_{ij}(x)\}_{i,j=1}^{n\times n}$ вида (см. [2]–[6]) где $\delta>0$ – произвольный числовой параметр, а $a_{ij}>0$ – элементы матрицы $A$ с единичным спектральным радиусом. В кинетической теории газов и в теории переноса излучения ядра $\{K_{ij}(x)\}_{i,j=1}^{n\times n}$ имеют следующую структуру (см. [7]–[9]):
$$
\begin{equation}
K_{ij}(x)=\int_a^b e^{-|x|s}G_{ij}(s)\, ds,\qquad x\in \mathbb{R},\quad i,j=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где $\{G_{ij}(s)\}_{i,j=1}^{n\times n}$ – непрерывные и положительные функции на интервале $[a,b)$, $ 0<a<b\leqslant+\infty$, причем спектральный радиус матрицы
$$
\begin{equation*}
G:=\biggl(2\int_a^b \frac{G_{ij}(s)}{s}\, ds\biggr)_{i,j=1}^{n\times n}
\end{equation*}
\notag
$$
равен единице и $G_{ij}(s)=G_{ji}(s)$, $s\in[a,b)$. Несложно проверить, что условия A)–C) для ядер (5.1) и (5.2) автоматически выполняются. Примеры функций $\{\mu_{i}(t)\}_{i=1}^{n}$. Примерами функций $\{\mu_{i}(t)\}_{i=1}^{n}$ могут служить следующие функции: $\mathrm{p}_1)$ $\mu_{i}(t)=1-(1-\varepsilon_i)e^{-t}$, $t\in\mathbb{R}^+$, $i=1,\dots,n$; $\mathrm{p}_2)$ $\mu_{i}(t)=1-(1-\varepsilon_i)e^{-t^2/\delta}$, $\delta>0$, $t\in\mathbb{R}^+$, $i=1,\dots,n$, где $\varepsilon_i\in(0,1)$ – некоторые числовые параметры. Отметим, что примеры $\mathrm{p}_1)$ встречаются в приложениях кинетической теории газов и теории переноса, а примеры $\mathrm{p}_2)$ – математической биологии. Примеры функций $\{\lambda_{ij}(t)\}_{i,j=1}^{n\times n}$. Приведем также примеры сингулярных в нуле функций $\{\lambda_{ij}(t)\}_{i,j=1}^{n\times n}$: $\mathrm{q}_1)$ $\lambda_{ij}(t)=1+(d_{ij}/\sqrt{t})e^{-t}$, $i,j=1,\dots,n$, $t>0$, где $d_{ij}=d_{ji}>0$ – произвольные параметры; $\mathrm{q}_2)$ $\lambda_{ij}(t)=1+(c_{ij}/t^\alpha)e^{-t^2}$, $i,j=1,\dots,n$, $t>0$, где $c_{ij}=c_{ji}>0$, $\alpha\in(0,1)$ – числовые параметры. Для полноты изложения в конце приведем также несколько прикладных примеров нелинейностей $\{Q_{i}(u)\}_{i=1}^{n}$. Примеры функций $\{Q_{i}(u)\}_{i=1}^{n}$. В математической эпидемиологии часто встречаются следующие конкретные представления нелинейностей $\{Q_{i}(u)\}_{i=1}^{n}$ (см. [5], [6]): где $Q_j^{-1}$ – обратная функция к функции $Q_j$, а $\gamma_j>1$ – числовые параметры, причем неравенства $\gamma_j>1$ в данной теории называются пороговым условием и представляют собой критические значения числа инфицированных, выше которых эпидемию невозможно остановить без серьезного медицинского вмешательства. Заметим также, что неравенства $\gamma_j>1$, $j=1,\dots,n$, гарантируют выполнение условий 1)–5). В теории $p$-адических открыто-замкнутых струн и в кинетической теории газов нелинейности $\{Q_{i}(u)\}_{i=1}^{n}$ имеют следующие виды: $\mathrm{r}_1)$ $Q_i(u)=\delta_i u^p$, $u\in \mathbb{R}$, $j=1,\dots,n$, где $\delta_i>0$ – числовые параметры, а $p>2$ – произвольное нечетное число; $\mathrm{r}_2)$ $Q_i(u)=q_iu^p/(\eta_i^*)^{p-1}+(1-q_i)u$, $u\in \mathbb{R}$, $i=1,\dots,n$, где $q_i\in (0,1]$ – параметры, а числа $\{\eta_i^*\}_{i=1}^n$ определяются из (1.2)–(1.4). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KhaPet23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|