| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) О гриновой энергии дискретного заряда на концентрических окружностях В. Н. Дубинин Институт прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук, г. Владивосток
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9343e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение и формулировка основного результатаСимметрия экстремального объекта всегда привлекала внимание исследователей. Однако в ряде случаев, даже в простой постановке задачи, установить эту симметрию не всегда представляется возможным. Сказанное в полной мере относится к экстремальной задаче об энергии дискретного заряда, сосредоточенного на равном удалении от заданной точки. Сложным задачам для различных видов энергий дискретных зарядов как на плоскости, так и в пространствах большего числа измерений посвящено немало исследований (см., например, работы [1]–[6] и библиографию в них). В меньшей степени изучены экстремальные свойства гриновой энергии, т. е. энергии, порожденной ядром Грина $g_B (z,\zeta)$ [7]. Здесь $g_B (z,\zeta)$ означает классическую функцию Грина области $B \subset \overline{\mathbb C}$, доопределенную нулем вне $B$. Вместе с тем интерес к поведению гриновой энергии мотивируется приложениями в геометрической теории голоморфных функций [8]. Естественным образом возникают следующие вопросы. Для каких областей $B$ гриновая энергия дискретного заряда, сосредоточенного в симметричных точках, минимальна? Как меняется разность между энергией произвольного и экстремального зарядов при изменении области $B$? Что можно сказать об энергии дискретного заряда, сосредоточенного в точках семейства концентрических окружностей, причем заряда, принимающего значения разных знаков? Какими экстремальными свойствами обладает взаимная энергия дискретных зарядов? Частично ответы на перечисленные выше вопросы содержатся в [9] и [10]. Мы приводим здесь доказательство усиленной версии теоремы 1, анонсированной в [10]. Рассмотрим следующую конфигурацию. Фиксируем натуральное число $m \geqslant 1$ и неотрицательные числа
$$
\begin{equation*}
0 \leqslant s_1 \leqslant t_1<\rho_1<\rho_2<\dots<\rho_m<t_2 \leqslant s_2 \leqslant \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Для произвольных вещественных чисел $\theta_j$, $j=1,\dots,n$, $n \geqslant 2$, удовлетворяющих условию обозначим через $Z=\{z_k\}_{k=1}^{mn}$ совокупность всевозможных различных точек плоскости $\mathbb C $, по которым окружности $ |z|=\rho_k$, $k=1,\dots,m$, пересекаются с лучами $\arg z= \theta_j$, $j=1,\dots,n$. Пусть $\Delta=\{\delta_k\}_{k=1}^{mn}$ – произвольный дискретный заряд, принимающий в точках $z_k$ значения $\delta_k$ и такой, что $\delta_k=\delta_{k'}$ при $|z_k|= |z_{k'}|$, $1 \leqslant k, k' \leqslant mn$. Гринову энергию этого заряда относительно кругового кольца $B(s_1, s_2):= \{z\colon s_1<|z|<s_2\}$ обозначим через
$$
\begin{equation*}
E (Z, \Delta, B(s_1, s_2))=\sum_{k=1}^{mn} \sum_{\substack{{l=1} \\ {l \neq k}}}^{mn} \delta_k \delta_l g_{B(s_1, s_2)} (z_k, z_l).
\end{equation*}
\notag
$$
Основным результатом настоящей статьи является следующая теорема. Теорема 1.1. В принятых выше обозначениях справедливо неравенство где различные симметричные точки совокупности $Z^*=\{z^*_k\}^{mn}_{k=1}$ заданы соотношениями: $|z^*_k|=|z_{k}|$, $\operatorname{arg}(z^*_k)^n=0$, $k=1,\dots,mn$. Из [8; теорема 4.15] следует, что обе разности в неравенстве (1.1) являются неотрицательными. Таким образом, мы устанавливаем изменение отклонения гриновой энергии от экстремальной при расширении кольца $B(t_1,t_2)$. Кроме того, мы рассматриваем заряды, принимающие значения разных знаков и сосредоточенные не на одной, а на нескольких окружностях (ср. [9]). Отметим не элементарный характер соотношения (1.1), который виден, например, из аналитического представления функции Грина кругового кольца через тета-функции [11; п. 55]. Доказательство теоремы 1.1 приводится в § 3 данной статьи. Оно опирается на геометрическое преобразование типа диссимметризации [8; п. 4.4] и асимптотическую формулу для емкости обобщенного конденсатора [8; п. 2.2], [12] (см. § 2). Наш подход позволяет также получить аналог теоремы 1.1 в ситуации, описанной в теореме 2 работы [10]. Полагая в (1.1) $s_1 =0$ либо $t_1 =0$, приходим к неравенствам для разности дискретных гриновых энергий относительно круга и кольца, либо круга и другого круга. В § 4 рассматриваются некоторые соотношения для комплексных чисел, вытекающие из этих неравенств. Энергетическая интерпретация полученных неравенств приводит, в частности, к сравнению взаимной логарифмической энергии дискретных зарядов, сосредоточенных на двух концентрических окружностях, с взаимной энергией симметричных зарядов, а также к сравнению взаимных гриновых энергий относительно круга. Нерешенные проблемы приводятся в § 5. Результаты данной статьи обсуждались 12 ноября 2018 г. на семинаре МИАН по комплексному анализу (семинаре Гончара). § 2. Вспомогательные утвержденияВсюду ниже запись $(\gamma,\Gamma)$ будет означать двусвязную область плоскости $\mathbb C$, ограниченную замкнутыми кривыми $\gamma$ и $\Gamma$. Предположим, что кривые $\gamma$ и $\Gamma$ аналитические и ориентируемые в положительном направлении по отношению к области $(\gamma,\Gamma)$, и пусть $\varphi(z)$ – вещественная непрерывно дифференцируемая функция на $\gamma$. Для произвольного достаточно малого $\varepsilon>0$ рассмотрим “деформацию” кривой $\gamma$ вида
$$
\begin{equation}
\delta n(z):=\varepsilon\varphi(z)+O(\varepsilon^2),
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
при которой $\gamma$ переходит в кривую
$$
\begin{equation*}
\gamma'=\biggl\{z'=z+\frac{\delta n(z)i\,dz}{|dz|},\, z\in \gamma\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\delta n(z)$ – непрерывно дифференцируемая функция на $\gamma$, и $O(\varepsilon^2)$ оценивается равномерно на $\gamma$. Следующее утверждение является, по существу, частным случаем вариационной формулы Адамара для интегралов Дирихле от гармонических мер [13; A3.11], которая, в свою очередь, вытекает из вариационной формулы для функций Грина (см. [13; A3.3] и [14]). Лемма 2.1. В приведенных выше условиях для модулей двусвязных областей справедлива асимптотическая формула при $\varepsilon\to 0$ где $\omega(z)$ – гармоническая мера кривой $\gamma$ относительно области $(\gamma,\Gamma)$, вычисленная в точке $z$, и $\delta n=\max\{|\delta n(z)|\colon z\in \gamma\}$. Далее примем обозначение Из асимптотической формулы для емкостей конденсаторов [12, теорема 1] вытекает следующее утверждение. Лемма 2.2. Пусть область $D$ имеет классическую функцию Грина, $\{\zeta_k\}_{k=1}^N$ – совокупность различных конечных точек в $D$ и Многочисленные приложения диссимметризации, описываемой ниже, можно найти в книге [8]. Пусть $n\geqslant 2$ – натуральное число, и пусть
$$
\begin{equation*}
L^*_j=\biggl\{z\colon \operatorname{arg}z=\frac{2\pi j}{n}\biggr\},\qquad j=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\Phi$ группу симметрий в $\overline{\mathbb C}$, состоящую из суперпозиций отражений относительно прямых, проходящих через лучи $L^*_j$, $j=1,\dots,n$, а также относительно прямых, проходящих через биссектрисы углов, образованных этими лучами. Понятно, что в случае нечетного $n$ последнее требование можно опустить. Группа $\Phi$ есть “dihedral group”. Всюду в этой статье симметрия означает инвариантность при отображениях группы $\Phi$. Множество $A\subset \overline{\mathbb C}$ назовем симметричным (относительно группы $\Phi$), если $\varphi(A)=A$ для любых изометрий $\varphi\in \Phi$. Вещественная функция $v$, заданная на симметричном множестве $\Omega$, называется симметричной, если она удовлетворяет тождеству $v(z)\equiv v(\varphi(z))$ для любых отображений $\varphi\in \Phi$. Совокупность замкнутых углов с вершинами в начале координат назовем разбиением комплексной сферы $\overline{\mathbb C}$, если любые два угла из этой совокупности не имеют общих внутренних точек, а объединение всех углов совпадает с $\overline{\mathbb C}$. Пусть $\{P_j\}_{j=1}^{j_0}$ – симметричное разбиение $\overline{\mathbb C}$, т. е. $\{\varphi(P_j)\}_{j=1}^{j_0}=\{P_j\}_{j=1}^{j_0}$ для любых изометрий $\varphi\in \Phi$. Совокупность поворотов $\{\lambda_j\}_{j=1}^{j_0}$ вида $\lambda_j(z)=e^{i\varphi_j}z$, $j=1,\dots,j_0$, назовем диссимметризацией симметричного разбиения $\{P_j\}_{j=1}^{j_0}$, если множество образов $\{S_j\}_{j=1}^{j_0}$, $S_j=\lambda_j(P_j)$, $j=1,\dots,j_0$, также является разбиением $\overline{\mathbb C}$ и выполняется следующее условие: $*)$ для любого непустого пересечения $S_j\cap S_{j'}$, $1\leqslant j,j'\leqslant j_0$, существует изометрия $\varphi\in \Phi$ такая, что $\varphi(\lambda^{-1}_j(S_j\cap S_{j'}))=\lambda^{-1}_{j'}(S_j\cap S_{j'})$. Пусть $A$ – произвольное подмножество сферы $\overline{\mathbb C}$ и $v$ – симметричная функция, заданная на симметричном множестве $\Omega$. Введем обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{Dis} A=\bigcup_{j=1}^{j_0}\lambda_j(A\cap P_j), \\ \operatorname{Dis} v(z)=v(\lambda_j^{-1}(z)),\qquad z\in S_j\cap \operatorname{Dis}\Omega,\quad j=1,\dots,j_0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду симметрии функции $v$ и условия $*)$ функция $\operatorname{Dis} v$ однозначно определена на $\operatorname{Dis} \Omega$. Будем говорить, что множество $A$ (функция $v$) переходит в множество $\operatorname{Dis} A$ (функцию $\operatorname{Dis} v$) при диссимметризации $\{\lambda_j\}_{j=1}^{j_0}$. Лемма 2.3 (см. [8; лемма 4.2]). Пусть $\theta_j$, $j=1,\dots,n$, $n\geqslant 2$, – произвольные числа из теоремы 1.1, и пусть $\psi$ – минимальный положительный угол между лучами $L_j$. Тогда существуют симметричное разбиение $\{P_j\}^{j_0}_{j=1}$, $j_0\geqslant n$, и диссимметризация $\{\lambda_j\}^{j_0}_{j=1}$ такие, что каждый луч $L_j^*$ является биссектрисой угла $P_j$ величины $\psi$ и $\operatorname{Dis}L_j^*=L_j$, $j=1,\dots,n$. § 3. Доказательство теоремы 1.1Можно считать, что $0<s_1<t_1$, $t_2=s_2=1$ и $\delta_k\neq 0$, $k=1,\dots,mn$. Рассмотрим разность энергий зарядов в левой части (1.1) в кольце $B(s,1)$ ($s_1=s$, $s_2=1$) как функцию параметра $s$, $0\leqslant s<\rho_1$. Достаточно показать, что производная этой функции неположительная на промежутке $(0,\rho_1)$. Фиксируем $s$ и $\Delta s$, $0<s<s+\Delta s<s+2\Delta s<\rho_1$, и введем следующие обозначения1:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, t=s+\Delta s,\qquad \tau =s+2\Delta s,\qquad T(R)\equiv T_z(R)=\{z\colon |z|=R\},\qquad T=T(1); \\ g^*_s(z)=\sum_{k=1}^{mn}\delta_k\sum_{l=1}^{mn}\beta_{lk}g(z,z^*_k),\qquad z\in B(s,1)=(T(s),T), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\beta_{lk} = \begin{cases} -\dfrac{g(z^*_l, z^*_k)}{(\log r)^2}, &l\ne k, \\ -\dfrac{1}{\log r}\biggl[ 1+\dfrac{\log r((T(s),T),z^*_k)}{\log r} \biggr], &l=k, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
$g(z,\zeta)$ – функция Грина области $(T(s),T)$, $r((T(s),T),z)$ – внутренний радиус этой области относительно точки $z$ и $r>0$ достаточно мало;
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathscr{E}(z^*_k,r) &=\biggl\{z\colon \frac{g^*_s(z)}{\delta_k}\geqslant 1\biggr\},\qquad k=1,\dots,mn, \\ \mathscr{E}^*(r) &=\bigcup_{k=1}^{mn}\mathscr{E}(z^*_k,r)\subset (T(s),T). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $b(z):=\log |z|$, и пусть Нашей ближайшей целью является построение такой перестановки в области значений аргумента функции $u^*$, при которой новая функция $v^*$ (3.7) имеет тот же интеграл Дирихле, что и $u^*$, множество уровня $v^*=b(t)$ является окружностью с центром в начале координат и $v^*\equiv u^*$ в окрестности множества $\mathscr{E}^*(r)$. Учитывая строение функции $g_s^*$, заключаем, что расстояние (по Хаусдорфу) между кривой и окружностью $T(t)$ есть величина2 $O'(\Delta s/\log r)$. Более того, при $r\to 0$ нормали к кривым $\gamma_t^*$ и $T(t)$ в соответствующих точках сближаются так, что деформация $\delta n(z)$ окружности $T(t)$ в кривую $\gamma_t^*$ имеет вид (2.1), где $\varepsilon=-1/\log r$ и $\delta n=O'(\Delta s/\log r)$. В дальнейшем будем иметь дело только с такими деформациями кривых, не оговаривая это обстоятельство специально. Все сказанное выше относится к кривой $\gamma_{\tau}^*\colon u^*=b(\tau)$ и окружности $T(\tau)$. Кривая $\gamma_t^*$ является линией уровня гармонической меры $\gamma_{\tau}^*$ относительно области $(T(s),\gamma_{\tau}^*)$. По лемме Гретша (см., например, [8; теорема 1.14])
$$
\begin{equation}
\operatorname{mod}(T(s),\gamma_t^*)+\operatorname{mod}(\gamma_t^*,\gamma_{\tau}^*) =\operatorname{mod}(T(s),\gamma_{\tau}^*).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation}
\operatorname{mod}(T(s),T(t))+\operatorname{mod}(T(t),T(\tau)) =\operatorname{mod}(T(s),T(\tau)).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
По лемме 2.1
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{mod}(T(s),\gamma_t^*)=\operatorname{mod}(T(s),T(t)) \\ &\qquad-\bigl(\operatorname{mod}(T(s),T(t))\bigr)^2\int_{T(t)} \biggl(\frac{\partial\omega}{\partial n}\biggr)^2\delta n(z)\, |d(z)| +O'\biggl(\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr)^2\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mod}(T(s),T(t))=\frac{1}{2\pi}\log \frac{t}{s},\qquad \omega(z)=\frac{\log(|z|/s)}{\log(t/s)},\qquad \delta n (z)=O'\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation}
\operatorname{mod}(T(s),\gamma_t^*)=\operatorname{mod}(T(s),T(t))+O'\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Аналогично показывается, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mod}(T(s),\gamma_\tau^*)=\operatorname{mod}(T(s),T(\tau))+O'\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (3.1), (3.2) и (3.3), имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{mod}(\gamma_t^*,\gamma_\tau^*) =\operatorname{mod}(T(t),T(\tau))+O'\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
В силу непрерывности и монотонности модуля для каждого $r$ существует такое значение $t(r)$, при котором
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mod}(T(t(r)),\gamma_\tau^*)=\operatorname{mod}(\gamma_t^*,\gamma_{\tau}^*),
\end{equation*}
\notag
$$
причем отклонение окружности $T(t(r))$ от кривой $\gamma_t^*$ (и от $T(t)$) есть величина $O'(\Delta s/\log r)$. В частности, $t(r)=t+O'(\Delta s/\log r)$. Кроме того, из определения кривой $\gamma_t^*$ видно, что
$$
\begin{equation*}
t(r)=t+\frac{c}{\log r}+O\biggl(\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2\biggr),\qquad r\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c$ – некоторая постоянная. Вновь по лемме Гретша
$$
\begin{equation}
\operatorname{mod}\bigl(T(s),T(t(r))\bigr)+\operatorname{mod}\bigl(T(t(r)),\gamma_{\tau}^*\bigr) \leqslant \operatorname{mod}(T(s),\gamma_{\tau}^*).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Пользуясь (3.3) и (3.4), покажем сейчас, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{mod}\bigl(T(s),T(t(r))\bigr)+\operatorname{mod}\bigl(T(t(r)),\gamma_{\tau}^*\bigr)= \operatorname{mod}(T(s),\gamma_{\tau}^*)+O'\biggl(\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr)^2\biggr).
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Сложность применения формулы Адамара (2.2) в случае второго модуля в (3.6) вызвана тем, что при $r\to 0$ меняются обе граничные компоненты области $(T(t(r)),\gamma_{\tau}^*)$. Поэтому мы рассмотрим конформную версию (3.6). Пусть функция $\zeta=F_r(z)$ конформно и однолистно отображает область $(T(s),\gamma_{\tau}^*)$ на кольцо вида $R_s(r)<|\zeta|<R_{\tau}(r)$ так, что $F_r(T(s))=T_\zeta(R_s(r))$, $F_r(\gamma_{t}^*)=T_\zeta(t)$, $F_r(s)>0$. Равенства (3.3) и (3.4) дают
$$
\begin{equation*}
\frac{s}{R_s(r)}=1+O'\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr),\qquad \frac{\tau}{R_\tau(r)}=1+O'\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $F_r(z)\rightrightarrows z$, $r\to 0$, равномерно в фиксированной окрестности $T(t)$, то расстояние между кривыми $\Gamma(r):=F_r(T(t(r)))$ и $T_\zeta(t)$ есть $O'(\Delta s/\log r)$. Пусть $\delta n (\zeta)$ – деформация окружности $T_\zeta(t)$, при которой она переходит в кривую $\Gamma(r)$ в направлении внутренней нормали по отношению к кругу $|\zeta|<t$ (деформация в сторону внешней нормали есть $-\delta n (\zeta)$). Для применения формулы Адамара необходимо, чтобы обе граничные окружности исходной области были фиксированы. Поэтому проведем дополнительно гомотетию
$$
\begin{equation*}
\frac{s\zeta}{R_s(r)}\colon \bigl(T_\zeta(R_s(r)),T_\zeta(t)\bigr)\to \biggl(T_w(s),T_w\biggl(\frac{s t}{R_s(r)}\biggr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
при которой кривая $\Gamma(r)$ перейдет в некоторую кривую $\Gamma_s(r)$, получающуюся из окружности $T_w(s t/R_s(r))$ с помощью деформации $(s/R_s(r))\delta n (R_s(r)w/s)$. Обозначим через $\delta n_s(w)=t-s t/R_s(r)$ деформацию, переводящую окружность $T_w(t)$ в окружность $T_w(s t/R_s(r))$ так, что кривую $\Gamma_s(r)$ можно рассматривать как результат преобразования $T_w(t)$ с помощью деформации
$$
\begin{equation*}
\delta n_s(w)+\frac{s}{R_s(r)}\,\delta n (w),\qquad w\in T(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Гармоническая мера окружности $T_w(t)$ относительно кольца $s<|w|<t$ имеет вид Поэтому $(\partial \omega/\partial n)^2=(t \log (t/s))^{-2}$ на $T_w(t)$ и конформная инвариантность модуля вместе с формулой (2.2) приводит к равенствам:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{mod}\bigl(T(s),T(t(r))\bigr)=\operatorname{mod}\bigl(T_\zeta(R_s(r),\Gamma(r))\bigr) = \operatorname{mod}(T_w(s),\Gamma_s(r)) \\ &\ =\operatorname{mod}(T_w(s),T_w(t)) \\ &\ \ \ -[\operatorname{mod}(T_w(s),T_w(t))]^2\int_{T_w(t)}\biggl(\frac{\partial \omega}{\partial n}\biggr)^2\biggl(\delta n_s(w)+\frac{s \delta n(w)}{R_s(r)}\biggr)\, |dw| \,{+}\,O'\biggl(\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr)^2\biggr) \\ &\ =\frac{1}{2\pi}\log\frac{t}{s}-\frac{1}{t(2\pi)^2}\int_0^{2\pi}\biggl(\delta n_s(t e^{i\theta})+\frac{s}{R_s(r)}\, \delta n(t e^{i\theta})\biggr)\, d \theta+O'\biggl(\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr)^2\biggr) \\ &\ =\frac{1}{2\pi}\log\frac{t}{R_s(r)}-\frac{1}{t(2\pi)^2}\int_0^{2\pi}\frac{s}{R_s(r)}\, \delta n(t e^{i\theta})\, d \theta+O'\biggl(\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr)^2\biggr) \\ &\ = \frac{1}{2\pi}\log\frac{t}{R_s(r)}-\frac{1}{t(2\pi)^2}\int_0^{2\pi}\delta n(t e^{i\theta})\, d \theta+O'\biggl(\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr)^2\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично гомотетия
$$
\begin{equation*}
\frac{\tau\zeta}{R_\tau(r)}\colon \bigl(T_\zeta(t),T_\zeta(R_\tau(r))\bigr)\to \biggl(T_w\biggl(\frac{\tau t}{R_\tau(r)}\biggr),T_w(\tau)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
переводит $\Gamma(r)$ в кривую $\Gamma_\tau(r)$, получающуюся из $T_w(t\tau/R_\tau(r))$ деформацией $-(\tau/R_\tau(r))\delta n(R_\tau(r)w/\tau)$. Пусть $\delta n_\tau(w)$ переводит $T_w(t)$ в $T_w(t\tau/R_\tau(r))$ так, что кривая $\Gamma_\tau(r)$ получается из окружности $T_w(t)$ с помощью деформации
$$
\begin{equation*}
\delta n_\tau(w)-\frac{\tau}{R_\tau(r)}\, \delta n(w),
\end{equation*}
\notag
$$
и формула (2.2) приводит к равенствам:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{mod}\bigl(T(t(r)),\gamma_\tau^*\bigr) &=\operatorname{mod}\bigl(\Gamma(r),T_\zeta(R_\tau(r))\bigr)= \operatorname{mod}(\Gamma_\tau(r),T_w(\tau)) \\ &=\frac{1}{2\pi}\log\frac{R_\tau(r)}{t}+\frac{1}{t(2\pi)^2}\int_0^{2\pi}\delta n(t e^{i\theta})\, d \theta+O'\biggl(\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr)^2\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{mod}\bigl(T(s),T(t(r))\bigr)+\operatorname{mod}\bigl(T(t(r)),\gamma_\tau^*\bigr) &=\frac{1}{2\pi}\log\frac{R_\tau(r)}{R_s(r)}+O'\biggl(\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr)^2\biggr) \\ &=\operatorname{mod}(T(s),\gamma_\tau^*)+O'\biggl(\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr)^2\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и равенство (3.6) доказано. Из равенства (3.1) и неравенства (3.5) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mod}\bigl(T(s),T(t(r))\bigr)\leqslant \operatorname{mod}(T(s),\gamma_t^*).
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (3.1) и (3.6), имеем также
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mod}\bigl(T(s),T(t(r))\bigr)=\operatorname{mod}(T(s),\gamma_t^*) +O'\biggl(\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr)^2\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует существование такого $R(r)$, что выполняется
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{mod}\bigl(T(R(r)),T(t(r))\bigr)=\operatorname{mod}(T(s),\gamma_t^*), \\ R(r)\leqslant s,\qquad s-R(r)=O'\biggl(\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr)^2\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы готовы определить искомую функцию $v^*$, заданную на множестве $\overline{(T(R(r)),T)}.$ Пусть $f^{-}$ – некоторое конформное отображение области $(T(R(r))$, $T(t(r)))$ на $(T(s),\gamma_t^*)$, и пусть $f^+$ – конформное отображение $(T(t(r)),\gamma_\tau^*)$ на $(\gamma_t^*,\gamma_\tau^*)$ так, что $f^-(T(t(r)))=f^+(T(t(r)))=\gamma_t^*$. Положим
$$
\begin{equation}
v^*(z) = \begin{cases} u^*(f^-(z)), &z\in \overline{(T(R(r)),T(t(r)))}, \\ u^*(f^+(z)), &z\in \overline{(T(t(r)),\gamma^*_\tau)}, \\ u^*(z), &z\in \overline{(\gamma^*_\tau,T)}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Заметим, что функция $v^*$ локально липшицева в области определения, и поэтому для нее определен интеграл Дирихле вида (2.3). Для оценок интегралов Дирихле нам понадобятся вспомогательные функции
$$
\begin{equation*}
\omega_r(z)=\frac{\log s}{\log R(r)}\log|z|\quad\text{и}\quad \sigma_r(z)=\frac{\log t}{\log t(r)}\log|z|.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим следующие свойства этих функций:
$$
\begin{equation}
\omega_r(z) =b(z)+O'\biggl(\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr)^2\biggr), \qquad \frac{s}2\leqslant|z|\leqslant 1,
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
$$
\begin{equation}
\sigma_r(z) =b(z)+O'\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr), \qquad \frac{s}2\leqslant|z|\leqslant 1,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
и, кроме того,
$$
\begin{equation}
b(z_k^*)-\sigma_r(z^*_k)=\frac{c_k}{\log r}+O\biggl(\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2\biggr),
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
где постоянные $c_k$ принимают одинаковые значения для точек $z_k^*$, лежащих на одной окружности, $k=1,\dots,mn$. При достаточно малых $r>0$ определим множества
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &E(z_k^*,r) \\ &=\begin{cases} \{z\colon v^*(z)\geqslant \delta_k+b(z_k^*)-\sigma_r(z_k^*)+\sigma_r(z)-(\log r)^{-2},\, |z-z_k^*|\leqslant \sqrt{r}\}, &\delta_k>0, \\ \{z\colon v^*(z)\leqslant\delta_k+b(z_k^*)-\sigma_r(z_k^*)+\sigma_r(z)+(\log r)^{-2},\, |z-z_k^*|\leqslant\sqrt{r}\}, &\delta_k<0, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$k=1,\dots,mn$. Заметим, что при малых $r$ выполняются включения $\mathscr{E}(z_k^*,r)\subset E(z_k^*,r)$, $ k=1,\dots,mn$. Пусть $D:=(T(s),T)$. На границе множеств $E(z_k^*,r)$ и $\mathscr{E}(z_k^*,r)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\delta_k+O\biggl(\biggl(\frac1{\log r}\biggr)^2\biggr) \\ &\ =-\frac{\delta_k}{\log r}\biggl[1+\frac{\log r(D,z_k^*)}{\log r}\biggr][\log r(D,z^*_k)-\log|z-z_k^*|+ O(|z-z_k^*|)] \\ &\ \qquad- \sum^{mn}_{\substack{j=1\\j\neq k}}\delta_j\biggl\{\frac{g_D(z_j^*,z_k^*)}{(\log r)^2}[\log r(D,z_k^*)-\log|z-z_k^*|+O(|z-z_k^*|)]+\frac{g_D(z_k^*,z_j^*)}{\log r}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1 &=\frac{\log|z-z_k^*|}{\log r}\Biggl\{1+\frac{\log r(D,z_k^*)}{\log r}+\sum^{mn}_{\substack{j=1 \\j\neq k }}\frac{\delta_j}{\delta_k}\, \frac{g_D(z_j^*,z_k^*)}{\log r}\biggr\}-\frac{\log r(D,z_k^*)}{\log r} \\ &\qquad -\sum^{mn}_{\substack{j=1 \\j\neq k}} \frac{\delta_j}{\delta_k}\, \frac{g_D(z_j^*,z_k^*)}{\log r}+O\biggl(\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
1=\frac{\log|z-z_k^*|}{\log r}+O\biggl(\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и на множествах $\partial E(z_k^*,r)$, $\partial\mathscr{E}(z_k^*,r)$ выполняется асимптотическое равенство
$$
\begin{equation}
|z-z_k^*|=r\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)\biggr),\qquad r\to 0.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Положим $E^*(r)=\bigcup_{k=1}^{mn}E(z_k^*,r)$ и перейдем к сравнению интегралов Дирихле вида (2.3). Из конформной инвариантности интеграла Дирихле и принципа Дирихле имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I\bigl(u^*,(T(s),T)\setminus \mathscr{E}^*(r)\bigr) &\geqslant I\bigl(v^*,(T(R(r)),T)\setminus E^*(r)\bigr) \\ &\geqslant I\bigl(v^*,(T(R(r)),T(t(r)))\bigr)+I\bigl(h^*,(T(t(r)),T)\setminus E^*(r)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $h^*$ – гармоническая на множестве $(T(t(r)),T)\setminus E^*(r)$ функция, непрерывная в замыкании этого множества и равная $v^*$ на его границе. Отметим симметрию функции $h^*$ в смысле § 2 и тот факт, что окружности $T(R(r))$ и $T$ не меняются при диссимметризации $\operatorname{Dis}$ леммы 2.3. Используя вновь принцип Дирихле, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I\bigl(h^*,(T(t(r)),T)\setminus E^*(r)\bigr) &=I\bigl(\operatorname{Dis}h^*,(T(t(r)),T)\setminus E(r)\bigr) \\ &\geqslant I\bigl(h,(T(t(r)),T)\setminus E(r)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $E(r)=\operatorname{Dis}E^*(r)$ и функция $h$ гармоническая на множестве $(T(t(r)),T)\setminus E(r)$, непрерывна в замыкании этого множества и равна $\operatorname{Dis}h^*$ на его границе. Снова принцип Дирихле дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &I\bigl(v^*,(T(R(r)),T(t(r)))\bigr)+I\bigl(h,(T(t(r)),T)\setminus E(r)\bigr) \\ &\qquad \geqslant I\bigl(u,(T(R(r)),T)\setminus E(r)\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для гармонической в $(T(R(r)),T)\setminus E(r)$ функции $u$, непрерывной в замыкании этого множества, равной $h$ на $\partial E(r)\cup T$ и равной $\log s$ на $T(R(r))$. Из выписанных выше неравенств вытекает основное неравенство в доказательстве теоремы 1.1:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &I\bigl(u^*,(T(s),T)\setminus \mathscr{E}^*(r)\bigr)- I\bigl(u,(T(R(r)),T)\setminus E(r)\bigr) \nonumber \\ &\qquad \geqslant I\bigl(h^*,(T(t(r)),T)\setminus E^*(r)\bigr)-I\bigl(h,(T(t(r)),T)\setminus E(r)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Перейдем теперь к оценкам интегралов, входящих в (3.12). По формуле Грина с последующим применением теоремы Гаусса и леммы 2.2 (с учетом (3.11)) получаем, что первый слева интеграл в (3.12) есть
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &I\bigl(u^*,(T(s),T)\setminus \mathscr{E}^*(r)\bigr) \nonumber \\ &= I\bigl(b,(T(s),T)\setminus \mathscr{E}^*(r)\bigr)+I\bigl(g_s^*,(T(s),T)\setminus \mathscr{E}^*(r)\bigr)-2\int_ {\partial\mathscr{E}^*(r)}g_s^*\, \frac{\partial b}{\partial n}\, ds \nonumber \\ &= I\bigl(b,(T(s),T)\setminus \mathscr{E}^*(r)\bigr) -2\pi\sum_{k=1}^{mn}\frac{\delta_k^2}{\log r} \nonumber \\ &\ -2\pi\biggl\{\sum_{k=1}^{mn}\delta_k^2\log r((T(s),T),z^*_k)+E(Z^*,\Delta,(T(s),T))\biggr\}\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2 {+}\,o\biggl(\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Для вычисления второго интеграла в левой части (3.12) рассмотрим следующее представление функции $u$: где функция $g_s$ гармоническая на множестве $(T(R(r)),T)\setminus E(r)$, непрерывная в замыкании этого множества, равная нулю на $T\cup T(R(r))$ и $g_s=h-\omega_r$ на $\partial E(r)$. Учитывая (3.8) и (3.9), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_ {\partial E(r)} g_s\, \frac{\partial \omega_r}{\partial n}\, ds \\ &=\sum_{k=1}^{mn}\int_ {\partial \operatorname{Dis}E(z^*_k,r)}\biggl[\delta_k+b(z_k)-\sigma_r(z_k)+\sigma_r(z) -\frac{\delta_k}{|\delta_k|}(\log r)^{-2}-\omega_r(z)\biggr]\, \frac{\partial \omega_r}{\partial n}\, ds \\ &=o\biggl(\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2\biggr),\qquad r\to 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому формула Грина дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &I\bigl(u,(T(R(r)),T)\setminus E(r)\bigr)=I\bigl(\omega_r,(T(R(r)),T)\setminus E(r)\bigr) \nonumber \\ &\qquad+I\bigl(g_s,(T(R(r)),T)\setminus E(r)\bigr)+o\biggl(\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Далее по определению функций $\omega_r$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I\bigl(\omega_r,(T(R(r)),T)\setminus E(r)\bigr) &=I\bigl(b,(T(s),T)\setminus E(r)\bigr)+O'\biggl(\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr)^2\biggr) \nonumber \\ &\geqslant I\bigl(b,(T(s),T)\setminus E(r)\bigr)-d\biggl(\frac{\Delta s}{\log r}\biggr)^2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
где $d$ – некоторая положительная постоянная. На протяжении последующего доказательства теоремы 1.1 дополнительно к заданному $\Delta s$ добавим фиксированное достаточно малое число $\varepsilon>0$. При малых $r>0$ и достаточно большом $\beta$ на границе множества $\operatorname{Dis}E(z^*_k,r)$ выполняется $g_s>\delta_k-\beta/(\log r)^2$, если $\delta_k>0$, и $g_s<\delta_k+\beta/(\log r)^2$ при $\delta_k<0$ (см. (3.8)). Введем функцию $\widetilde g_s^{\,\varepsilon}$, гармоническую на множестве $(T(s-\varepsilon),T)\setminus E(r)$, непрерывную в замыкании этого множества, равную нулю на $T(s-\varepsilon)\cup T$ и равную $\delta_k-\beta(\delta_k/|\delta_k|)/(\log r)^2$ на $\partial\operatorname{Dis}E(z^*_k,r)$, $k=1,\dots,mn$. По принципу Дирихле легко заключаем, что при малых значениях $r$
$$
\begin{equation*}
I\bigl(g_s,(T(R(r)),T)\setminus E(r)\bigr)\geqslant I\bigl(\widetilde g_s^{\,\varepsilon},(T(s-\varepsilon),T)\setminus E(r)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя эту оценку и неравенство (3.15) в (3.14) и применяя лемму 2.2 (с учетом (3.11)), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &I\bigl(u,(T(R(r)),T)\setminus E(r)\bigr)\geqslant I\bigl(b,(T(s),T)\setminus E(r)\bigr) \nonumber \\ &\ \quad-2\pi\sum_{k=1}^{mn}\frac{\delta_k^2}{\log r} -2\pi\biggl\{\sum_{k=1}^{mn}\delta_k^2\log r\bigl((T(s-\varepsilon),T),z_k\bigr) \nonumber \\ &\ \quad+E\bigl(Z,\Delta,(T(s-\varepsilon),T)\bigr) +\frac{d}{2\pi}(\Delta s)^2\biggr\}\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2 +o\biggl(\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Для вычисления первого интеграла в правой части (3.12) представим функцию $h^*$ в виде где $g_t^*$ гармоническая в $(T(t(r)),T)\setminus E^*(r)$, непрерывная в замыкании этого множества, равная нулю на $T(t(r))\cup T$ и
$$
\begin{equation*}
g_t^*=\delta_k+b(z_k^*)-\sigma_r(z_k^*)-\frac{\delta_k/|\delta_k|}{(\log r)^2}=\delta_k+\frac{c_k}{\log r}+O\biggl(\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
на $\partial E(z_k^*,r)$, $k=1,\dots,mn$ (см. (3.10)). Вновь по формуле Грина и теореме Гаусса
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I\bigl(h^*,(T(t(r)),T)\setminus E^*(r)\bigr) &=I\bigl(\sigma_r,(T(t(r)),T)\setminus E^*(r)\bigr) \nonumber \\ &\qquad+I\bigl(g_t^*,(T(t(r)),T)\setminus E^*(r)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Пусть $r$ настолько мало, что область $(T(t-\varepsilon),T)$ содержит $(T(t(r)),T)$, и пусть функция $g_t^{*\varepsilon}$ гармоническая в $(T(t-\varepsilon),T)\setminus E^*(r)$, непрерывная в замыкании этого множества, равная нулю на $T(t-\varepsilon)\cup T$ и $g_t^{*\varepsilon}=g_t^*$ на $\partial E(z_k^*,r)$, $k=1,\dots,mn$. По принципу Дирихле и лемме 2.2 (с учетом (3.10) и (3.11)) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &I\bigl(g_t^*,(T(t(r)),T)\setminus E^*(r)\bigr)\geqslant I\bigl(g_t^{*\varepsilon},(T(t-\varepsilon),T)\setminus E^*(r)\bigr) \nonumber \\ &\qquad=-2\pi\sum_{k=1}^{mn}\frac{\delta_k^2}{\log r} -2\pi\biggl\{\sum_{k=1}^{mn}\bigr[2c_k\delta_k+\delta_k^2\log r\bigl((T(t-\varepsilon),T),z^*_k\bigr)\bigr] \nonumber \\ &\qquad\qquad+E\bigl(Z^*,\Delta,(T(t-\varepsilon),T)\bigr)\biggr\}\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2+o\biggl(\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Второй интеграл в правой части (3.12) оцениваем сверху с помощью представления где $g_t$ гармоническая в $(T(t(r)),T)\setminus E(r)$, непрерывная в замыкании этого множества, равная нулю на $T(t(r))\cup T$ и $g_t=\delta_k+b(z_k)-\sigma_r(z_k)-(\delta_k/|\delta_k|)/(\log r)^2$ на $\partial \operatorname{Dis} E(z_k^*,r)$, $k=1,\dots,mn$. Пусть $\varepsilon>0$, как выше, и пусть $r$ таково, что область $(T(t+\varepsilon),T)$ содержится в $(T(t(r)),T)$. Обозначим через $g_t^\varepsilon$ функцию, гармоническую на множестве $(T(t+\varepsilon),T)\setminus E(r)$, непрерывную на замыкании этого множества, равную нулю на $T(t+\varepsilon)\cup T$ и $g_t^\varepsilon=g_t$ на $\partial\operatorname{Dis} E(z_k^*,r)$, $k=1,\dots,mn$. Принцип Дирихле дает
$$
\begin{equation*}
I\bigl(g_t,(T(t(r)),T)\setminus E(r)\bigr)\leqslant I\bigl(g_t^{\varepsilon},(T(t+\varepsilon),T)\setminus E(r)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя вновь формулу Грина и лемму 2.2 (с учетом (3.10) и (3.11)), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &I\bigl(h,(T(t(r)),T)\setminus E(r)\bigr) \nonumber \\ &\qquad= I\bigl(\sigma_r,(T(t(r)),T)\setminus E(r)\bigr) +I\bigl(g_t,(T(t(r)),T)\setminus E(r)\bigr) \nonumber \\ &\qquad\leqslant I\bigl(\sigma_r,(T(t(r)),T)\setminus E(r)\bigr)-2\pi\sum_{k=1}^{mn}\frac{\delta_k^2}{\log r} \nonumber \\ &\qquad\qquad-2\pi \biggl\{\sum_{k=1}^{mn}\bigl[2c_k\delta_k+\delta_k^2\log r\bigl((T(t+\varepsilon),T),z_k\bigr)\bigr] \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad\quad+E\bigl(Z,\Delta,(T(t+\varepsilon),T)\bigr)\biggr\}\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2+o\biggl(\biggl(\frac{1}{\log r}\biggr)^2\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Подставляя (3.13), (3.16)–(3.19) в неравенство (3.12), после очевидных сокращений и $r\to 0$ приходим к соотношению
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{d}{2\pi}(\Delta s)^2-\sum_{k=1}^{mn}\delta_k^2\log r((T(s),T),z_k^*) -E\bigl(Z^*,\Delta,(T(s),T)\bigr) \\ &\qquad\qquad+\sum_{k=1}^{mn}\delta_k^2\log r\bigl((T(s-\varepsilon),T),z_k\bigr)+E\bigl(Z,\Delta,(T(s-\varepsilon),T)\bigr) \\ &\qquad\geqslant-\sum_{k=1}^{mn}\delta_k^2\log r\bigl((T(t-\varepsilon),T),z_k^*\bigr)-E\bigl(Z^*,\Delta,(T(t-\varepsilon),T)\bigr) \\ &\qquad\qquad+\sum_{k=1}^{mn}\delta_k^2\log r\bigl((T(t+\varepsilon),T),z_k\bigr)+E\bigl(Z,\Delta,(T(t+\varepsilon),T)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Устремим $\varepsilon$ к $0$. Сходимость функций Грина и, следовательно, внутренних радиусов областей к соответствующим функциям Грина и внутренним радиусам предельных областей вытекает, например, из вариационной формулы Адамара для функций Грина [13; А3.3] и теоремы Гарнака для гармонических функций. Полученное в итоге неравенство приводит к дифференциальному неравенству для гриновых энергий, из которого следует (1.1). Теорема 1.1 доказана. § 4. Неравенства для комплексных чиселРассмотрим сперва частный случай теоремы 1.1, о котором упоминалось во введении. Следствие 4.1. Пусть $0<\rho<t<1$, и пусть $z_k$, $k=1,\dots,n$, – произвольные точки на окружности $|z|=\rho$, а $z_k^*=\rho \exp (2\pi i k/n)$, $k=1,\dots,n$, – симметричные точки на этой окружности. Тогда Доказательство. Можно считать, что при некоторых значениях аргументов выполняется
$$
\begin{equation*}
\operatorname{arg} z_1<\operatorname{arg} z_2<\dots<\operatorname{arg} z_n<\operatorname{arg} z_1+2\pi.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим теорему 1.1 к совокупностям $Z\,{=}\,\{z_k\}_{k=1}^n$, $\Delta\,{=}\,\{1,\dots,1\}$ и $s_1\,{=}\,t_1\,{=}\,0$, $s_2=1$, $t_2=t$, $\rho_1=\rho$ ($m=1$). В результате получим неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{k=1}^n\sum^{n}_{\substack{l=1 \\l\neq k}} \log\biggl|\frac{1-z_k\overline{z}_l}{z_k-z_l}\biggr| -\sum_{k=1}^n\sum^{n}_{\substack{l=1 \\l\neq k}}\log\biggl|\frac{1-z^*_k\overline{z^*_l}}{z^*_k-z^*_l}\biggr| \\ &\qquad\geqslant\sum_{k=1}^n\sum^{n}_{\substack{l=1 \\l\neq k}} \log\biggl|\frac{t^2-z_k\overline{z}_l}{t(z_k-z_l)}\biggr| -\sum_{k=1}^n\sum^{n}_{\substack{l=1 \\l\neq k}} \log\biggl|\frac{t^2-z^*_k\overline{z^*_l}}{t(z^*_k-z^*_l)}\biggr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда немедленно следует неравенство (4.1). Следствие 4.1 доказано. Для фиксированных чисел $\theta_k$, $k=1,\dots,n$, $n\geqslant2$, $\theta_1<\theta_2<\dots<\theta_n<\theta_1+2\pi$, и фиксированного $\rho$, $1<\rho<\infty$, положим
$$
\begin{equation*}
f(\rho)=\frac{\prod_{k=1}^n\prod_{l=1}^n|z_k-\zeta_l|}{\prod_{k=1}^n\prod_{l=1}^n|z^*_k-\zeta^*_l|},
\end{equation*}
\notag
$$
где $z_k=\exp(i\theta_k)$, $\zeta_k=\rho\exp(i\theta_k)$, $z^*_k=\exp(2\pi i k/n)$, $\zeta^*_k=\rho\exp(2\pi i k/n)$, $k=1,\dots,n$, и пусть
$$
\begin{equation*}
f(1):=\lim_{\rho\to 1}f(\rho)=\frac{\prod_{k=1}^n\prod^{n}_{\substack{l=1 \\ l\neq k}} |z_k-z_l|}{\prod_{k=1}^n\prod^{n}_{\substack{l=1 \\l\neq k }}|z^*_k-z^*_l|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Пусть $1<\rho_1<\rho_2$. Перепишем неравенство (4.1) для $\rho=\sqrt{1/\rho_2}$, $t=\sqrt{\rho_1/\rho_2}$ и $z_k\mapsto z_k\rho$ в виде
$$
\begin{equation}
\prod_{k=1}^n\prod_{l=1}^n\biggl|\frac{1-z_k\overline{z}_l\rho^2}{1-z^*_k\overline{z^*_l}\rho^2} \biggr|\geqslant\prod_{k=1}^n\prod_{l=1}^n \biggl|\frac{t^2-z_k\overline{z}_l\rho^2}{t^2-z^*_k\overline{z^*_l}\rho^2}\biggr|.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Левая часть (4.2) равна
$$
\begin{equation*}
\prod_{k=1}^n\prod_{l=1}^n\biggl|\frac{z_k-\rho_2/\overline{z}_l}{z^*_k-\rho_2/\overline{z^*_l}} \biggr|=f(\rho_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично правая часть (4.2) равна
$$
\begin{equation*}
\prod_{k=1}^n\prod_{l=1}^n\biggl|\frac{z_k-t^2\rho_2/\overline{z}_l} {z^*_k-t^2\rho_2/\overline{z^*_l}}\biggr|=\prod_{k=1}^n\prod_{l=1}^n \biggl|\frac{z_k-\rho_1/\overline{z}_l}{z^*_k-\rho_1/\overline{z^*_l}}\biggr|=f(\rho_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому неравенство (4.2) дает $f(\rho_2)\geqslant f(\rho_1)$. Следствие 4.2 доказано. Следствие 4.3. Для произвольных точек $z_k$, $k=1,\dots,n$, на окружности $|z|=1$ и для любого числа $\rho>1$ справедливо неравенство где $\zeta_k=z_k\rho$, $\zeta_k^*=z^*_k\rho$ и $z_k^*=\exp(2\pi i k/n)$, $k=1,\dots,n$. Доказательство. Неравенство в левой части (4.3) вытекает из следствия 4.2, так как $f(\rho)\to 1$ при $\rho\to \infty$. Равенство в правой части (4.3) проверяется непосредственно либо путем сравнения емкости подходящего $n$-кратно симметричного конденсатора с емкостью его образа при отображении степенной функцией $w=z^n$ (см. [8; п. 2.15]). Следствие 4.3 доказано. Неравенство (4.3) является естественным обобщением классического неравенства Полиа–Шура [15; § 3]:
$$
\begin{equation}
\prod_{k=1}^n\prod^{n}_{\substack{l=1 \\l\neq k}} |z_k-z_l|\leqslant\prod_{k=1}^n\prod^{n}_{\substack{l=1 \\l\neq k}}|z^*_k-z^*_l|=n^n.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Соотношение (4.4) эквивалентно неравенству $f(1)\leqslant 1$ для функции $f$ из следствия 4.2 и получается также из (4.3) делением обеих частей (4.3) на $(\rho-1)^n$ и последующим предельным переходом при $\rho\to 1$. Другие обобщения, а также дополнения неравенства (4.4), полученные с помощью емкостей конденсаторов, представлены в [8; п. 5.1]. Среди известных усилений неравенства Полиа–Шура отметим результат Л. Фейеша Тота [16], который в 1956 г. показал, что для симметричных точек окружности реализуется максимум суммы Существует элементарное доказательство неравенства (4.4), но мне неизвестно элементарное доказательство неравенства (4.3) и, тем более, следствия 4.2. Следующее наблюдение показывает, что при $\rho>1$ доказательство неравенства (4.3) существенно сложнее, чем (4.4). Действительно, элементарно убеждаемся, что для $\rho>1$ и достаточно большом $n$ выполняется
$$
\begin{equation*}
|z^*_1-\zeta^*_2|\, |\zeta^*_2-z^*_3|<|z^*_1-\zeta_2|\, |\zeta_2-z^*_3|
\end{equation*}
\notag
$$
для любой точки $\zeta_2$, расположенной на окружности $|z|=\rho$ строго между $\zeta^*_1$ и $\zeta^*_3$. В то же время при $\rho=1$ ($\zeta^*_k=z_k^*$, $k=1,2,3$) справедливо неравенство в другую сторону. Следствие 4.4. Пусть $0<\rho_1<\rho_2<1$, $z_k$, $k=1,\dots,n$, – произвольные точки на окружности $|z|=\rho_1$ и $\zeta_k$, $k=1,\dots,n$, – точки на окружности $|z|=\rho_2$, удовлетворяющие условию $\operatorname{arg} \zeta_k=\operatorname{arg} z_k$, $k=1,\dots,n$. Тогда где $z_k^*=\rho_1\exp(2\pi i k/n)$, $\zeta_k^*=\rho_2\exp(2\pi i k/n)$, $ k=1,\dots,n$. Доказательство. Определим функцию $f(\rho)$ для значений $\theta_k=\operatorname{arg} z_k$, $k=1,\dots,n$, $\rho>1$, и воспользуемся неравенством
$$
\begin{equation*}
f\biggl(\frac{\rho_2}{\rho_1}\biggr)\leqslant f\biggl(\frac{1}{\rho_2\rho_1}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
вытекающим из следствия 4.2. В результате получим неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\prod_{k=1}^n\prod_{l=1}^n|z_k/\rho_1-(\zeta_l/\rho_2)(\rho_2/\rho_1)|} {\prod_{k=1}^n\prod_{l=1}^n|z^*_k/\rho_1-(\zeta^*_l/\rho_2)(\rho_2/\rho_1)|} \leqslant\frac{\prod_{k=1}^n\prod_{l=1}^n|z_k/\rho_1-(\zeta_l/\rho_2)(1/(\rho_1\rho_2))|} {\prod_{k=1}^n\prod_{l=1}^n|z^*_k/\rho_1-(\zeta^*_l/\rho_2)(1/(\rho_1\rho_2))|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что $\zeta_l/\rho^2_2=1/\overline{\zeta}_l$, $l=1,\dots,n$, приходим к (4.5). Следствие 4.4 доказано. Устремляя в (4.5) $\rho_2$ к $\rho_1$, получаем неравенство работы [17; следствие 3]:
$$
\begin{equation}
\prod_{k=1}^n\prod^{n}_{\substack{l=1 \\l\neq k}} \biggl|\frac{z_k-z_l}{1-z_k\overline{z}_l}\biggr| \leqslant\prod_{k=1}^n\prod^{n}_{\substack{l=1 \\l\neq k}} \biggl|\frac{z^*_k-z^*_l}{1-z^*_k\overline{z^*_l}}\biggr|.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Заметим, что ввиду (4.3) выполняется
$$
\begin{equation*}
\prod_{k=1}^n\prod^{n}_{\substack{l=1 \\l\neq k}}|1-z_k\overline{z}_l|\leqslant \prod_{k=1}^n\prod^{n}_{\substack{l=1 \\l\neq k}}|1-z^*_k\overline{z^*_l}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, (4.6) является усилением неравенства Полиа–Шура (4.4). Неравенство (4.3) означает, что взаимная логарифмическая энергия
$$
\begin{equation*}
E_{\mathrm{log}}(\{z_k\}_{k=1}^n,\{\zeta_k\}_{k=1}^n):=-\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n\log|z_k-\zeta_l|
\end{equation*}
\notag
$$
двух дискретных зарядов, один из которых сосредоточен в точках окружности $|z|=1$, а другой на окружности $|z|=\rho$, достигает наименьшего значения в случае симметрично расположенных точек. Аналогично неравенство (4.5) можно интерпретировать как уменьшение (не увеличение) взаимной гриновой энергии относительно круга $|z|<1$ двух дискретных зарядов на окружностях $|z|=\rho_1$ и $|z|=\rho_2$ при переходе от произвольных точек к симметричным.
§ 5. Контрпримеры и нерешенные проблемыНачнем с двух предположений относительно поведения взаимной энергии зарядов при симметризации. Как было показано ранее, взаимная логарифмическая энергия и взаимная гриновая энергия относительно круга $|z|<1$ не возрастает при переходе к симметричным зарядам. Можно предположить, что в случае гриновой энергии в этом утверждении круг $|z|<1$ можно заменить на более сложную область. Покажем, что это предположение неверно уже в случае круга с радиальными разрезами, причем рассмотрим упрощенную версию задачи. Пусть $r$ и $\theta$ – фиксированные числа, $0<r<1$, $ 0<\theta<\pi$. Введем обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, E &=\{z\colon r\leqslant|z|\leqslant 1,\, \operatorname{arg} z=0\text{ либо }\operatorname{arg} z=\theta\}, \\ E^* &=\{z\colon r\leqslant|z|\leqslant 1,\, \operatorname{arg} z=0\text{ либо } \operatorname{arg} z=\pi\}, \end{aligned} \\ U =\{z\colon |z|< 1\},\qquad B=U\setminus E,\qquad B^*=U\setminus E^*. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\rho$, $r<\rho<1$, и достаточно малого $\varepsilon>0$ рассмотрим два заряда. Один из них, пусть величины $1$, сосредоточен в начале координат, а другой – в четырех точках $z_1=\rho e^{i \varepsilon}$, $z_2=\rho e^{-i \varepsilon}$, $z_3=\rho e^{i (\theta+\varepsilon)}$, $z_4=\rho e^{i (\theta-\varepsilon)}$ принимает одинаковые значения, также равные единице. Взаимная гриновая энергия относительно области $B$ этих двух зарядов равна Аналогично введем симметричную пару зарядов с взаимной энергией где $z_1^*=z_1$, $z_2^*=z_2$, $z_3^*=-\rho e^{i \varepsilon}$, $z_4^*=-\rho e^{-i\varepsilon}$. Предположим, что для всех $\rho$, $r<\rho<1$, и всех достаточно малых $\varepsilon>0$ взаимная энергия симметричных зарядов не превышает взаимную энергию первых двух зарядов. Тогда для любого $\rho$, $r<\rho<1$, суммарная плотность гармонической меры относительно области $B^*$ и точки $z=0$ в точках пересечения окружности $|z|=\rho$ с множеством $E^*$ не больше, чем такая плотность гармонической меры относительно области $B$ и $z=0$. Следовательно, гармоническая мера множества $E^*$ относительно области $B^*$, вычисленная в начале, меньше либо равна гармонической мере $E$ относительно $B$, вычисленной также в начале координат. Это противоречит решению задачи Гончара о гармонической мере [18], [8; теорема 4.17]. Заметим, что в отличие от взаимной энергии, гриновая энергия относительно области $B$ заряда, сосредоточенного в точках $\{z_k\}_{k=1}^4$, больше либо равна гриновой энергии относительно $B^*$ заряда в точках $\{z^*_k\}_{k=1}^4$ для любых $\rho$, $r<\rho<1$, и малых $\varepsilon>0$ (см. [8; теорема 4.15]). Вернемся теперь к гриновой энергии относительно круга $U$. Положив в (4.5) $\rho_1=\rho$ и устремив $\rho_2$ к $\rho$, приходим к заключению, что логарифмическая энергия дискретного заряда, сосредоточенного на окружности $|z|=\rho$, минус взаимная энергия этого заряда и заряда на окружности $|z|=1/\rho$ при переходе к симметричному случаю не возрастает. Естественно предположить, что последнее утверждение справедливо при замене логарифмической энергии на гриновую относительно круга $U$ и для окружностей $|z|=\rho_k$, $k=1,2$, $0<\rho_1<\rho_2<1$. Однако это предположение неверно. Действительно, сравним указанную разность в произвольном и симметричном случае для двух четверок точек $z_1=\rho_1 e^{i \theta}$, $z_2=\rho_1$, $\zeta_1=\rho e^{i \theta}$, $\zeta_2=\rho$, $(\rho\equiv \rho_2>\rho_1$, $0<\theta<\pi)$, $z^*_1=-\rho_1$, $z^*_2=\rho_1$, $\zeta_1^*=-\rho$, $\zeta_2^*=\rho$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2g_{U}(\zeta_1,\zeta_2)-[g_{U}(z_1,\zeta_1)+g_{U}(z_1,\zeta_2)+g_{U}(z_2,\zeta_1) +g_{U}(z_2,\zeta_2)] \\ &\qquad\qquad -2g_{U}(\zeta^*_1,\zeta^*_2)+[g_{U}(z^*_1,\zeta^*_1) +g_{U}(z^*_1,\zeta^*_2)+g_{U}(z^*_2,\zeta^*_1)+g_{U}(z^*_2,\zeta^*_2)] \\ &\qquad=2[g_{U}(\zeta_1,\zeta_2)-g_{U}(\zeta^*_1,\zeta^*_2)]-2[g_{U}(z_2,\zeta_1) -g_{U}(z^*_2,\zeta^*_1)]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Каждое слагаемое в левой квадратной скобке есть величина $O((1-\rho)^2)$ при $\rho\to 1$. Например,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_{U}(\zeta_1,\zeta_2) &= \log\biggl|\frac{1-\zeta_1\overline{\zeta}_2}{\zeta_1-\zeta_2}\biggr| =\log\biggl|\frac{1-\rho^2 e^{i\theta}}{\rho(1- e^{i\theta})}\biggr| \\ &=\log\biggl|\frac{2(1-\rho)e^{i\theta}/(1-e^{i\theta})+O((1-\rho)^2)}{1-(1-\rho)}\biggr| \\ &=(1-\rho)\operatorname{Re}\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}+O((1-\rho)^2)=O((1-\rho)^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично показывается, что разность в правой квадратной скобке есть величина порядка $(1-\rho)$. Таким образом, знак разности при $\rho\to 1$ определяется величиной в правой скобке. С другой стороны, выполняется строгое неравенство в чем легко убедиться непосредственно, либо воспользовавшись известным свойством поляризации относительно луча $\operatorname{arg} z=(\pi-\theta)/2$ (см. [8; теорема 3.6, формула (2.16)]). Поэтому исследуемая разность отрицательная при $\rho$ близких к единице, что противоречит сделанному предположению. Из нерешенных проблем выделим следующие задачи. 1. Пусть $B=\{z\colon s<|z|<t\}$, $0<s<\rho_1<\rho_2<t<\infty$; $z_k$, $k=1,\dots,n$, – произвольные точки на окружности $|z|=\rho_1$, $\zeta_k=\rho_2z_k/|z_k|$, $k=1,\dots,n$. Доказать, что взаимная энергия принимает минимальное значение в случае симметрично расположенных точек $z_k=\rho_1\exp(2\pi i k/n)$, $k=1,\dots,n$.2. Пусть область $B$ определена выше; $z_k$, $k=1,\dots,n$, – произвольные точки на окружности $|z|=\rho_1$, а $\zeta_k$, $k=1,\dots,n$, – произвольные точки на окружности $|z|=\rho_2$. Верно ли, что взаимная энергия (5.1) принимает наименьшее значение в случае $z_k=\rho_1\exp(2\pi i k/n)$, $\zeta_k=\rho_2\exp(i(\pi+2\pi k)/n)$, $k=1,\dots,n$? 3. В условиях задачи 2 что можно сказать о минимуме взаимной логарифмической энергии $E_{\mathrm{log}}(\{z_k\}_{k=1}^n,\{\zeta_k\}_{k=1}^n)$? 4. В условиях задачи 2 найти минимальную гриновую энергию относительно кольца $B$ заряда, принимающего значение $1$ в точках $z_k$, $k=1,\dots,n$, и значение $-1$ в точках $\zeta_k$, $k=1,\dots,n$, либо значение $1$ в точках $z_k$ и $\zeta_k$, $k=1,\dots,n$. 5. Найти минимальную гриновую энергию относительно кольца $B$ заряда, принимающего одинаковое значение в произвольных $n$ точках на каждой окружности $|z|=\rho_k$, $k=1,\dots,m$, $m\geqslant 3$, $0\leqslant s<\rho_1<\rho_2<\dots<\rho_m<t\leqslant \infty$. 6. Рассмотреть аналогичные задачи для энергий, порожденных ядрами Рисса. Например, доказать аналог неравенства (4.3). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dub23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|