| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Т. Е. Пановabc, Г. С. Черныхadb a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва c Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва d Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9334e 
Реферативные базы данных:
     ВведениеКомплексные бордизмы, или $U$-бордизмы, – это теория бордизмов стабильно комплексных многообразий. Геометрически, стабильно комплексная структура ($U$-структура) на многообразии $M$ представляет собой комплексную структуру на стабильном касательном расслоении, т. е. редукцию структурной группы стабильного касательного расслоения к группе $U=U(\infty)$. Гомотопически, стабильно комплексная структура задается гомотопическим классом поднятия отображения $M\to BO$, классифицирующего стабильное касательное расслоение, до отображения $M\to BU$. Классы бордизма стабильно комплексных многообразий образуют градуированное кольцо по отношению к операциям дизъюнктного объединения и прямого произведения, называемое кольцом комплексных бордизмов и обозначаемое через $MU_*$. Это кольцо коэффициентов теории комплексных бордизмов, обобщенной теории (ко)гомологий, определяемой спектром Тома $ MU=\{MU(n)\}$, где $MU(n)$ – пространство Тома универсального $U(n)$-расслоения $EU(n)\to BU(n)$. Для $CW$-пары $(X,A)$ ее группы бордизмов и кобордизмов определяются как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, MU_n(X,A)&=\lim_{k\to\infty}\pi_{2k+n}\bigl((X/A)\wedge MU(k)\bigr), \\ MU^n(X,A)&=\lim_{k\to\infty}\bigl[\varSigma^{2k-n}(X/A), MU(k)\bigr] \quad \text{для конечной } CW\text{-пары }(X,A). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, $MU_*=\pi_*(MU)=MU_*(pt)= \lim_{k\to\infty}\pi_{2k+*}\bigl(MU(k)\bigr)$. Мы будем также обозначать $MU^*=MU^*(pt)$ — кольцо комплексных кобордизмов, градуированное неположительно. $SU$-бордизмы – это теория бордизмов гладких многообразий со специальной унитарной структурой в стабильном касательном расслоении. Геометрически, $SU$-структура на многообразии $M$ определяется редукцией структурной группы стабильного касательного расслоения на $M$ к группе $SU(N)$. Гомотопически, $SU$-структура – это гомотопический класс поднятия отображения $M\to BO(2N)$, классифицирующего стабильное касательное расслоение, до отображения $M\to BSU(N)$. Многообразие $M$ допускает $SU$-структуру тогда и только тогда, когда оно допускает стабильно комплексную структуру с $c_1(\mathcal TM)\,{=}\,0$. Кольцо $SU$-бордизмов $MSU_*=\pi_*(MSU)$ является кольцом коэффициентов теории $SU$-бордизмов, определяемой спектром Тома $ MSU=\{MSU(n)\}$. Детали построения теории $ SU$-бордизмов и описание ее кольца коэффициентов $MSU_*$ можно найти в [1]–[3]. (Стабильной) операцией $f$ степени $n$ в комплексных кобордизмах называется семейство аддитивных отображений функториальных по $(X,A)$ и коммутирующих с изоморфизмами надстройки. Множество всех операций образует $MU^*$-алгебру, обозначаемую $A^U$. Ее можно отождествить с множеством отображений спектра $MU$ в себя:
$$
\begin{equation*}
A^U\cong[MU, MU]_*=MU^*(MU)=\varprojlim MU^{*+2N}(MU(N)).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеется изоморфизм левых $MU^*$-модулей где $S$ – алгебра Ландвебера–Новикова, порожденная операциями $S_\omega=\varphi^*(s^{U}_\omega)$, являющимися образами при изоморфизме Тома $\varphi^*$ универсальных характеристических классов $s^{U}_\omega\in MU^*(BU)$, соответствующих симметризациям мономов $t_1^{i_1}\cdots t_k^{i_k}$, индексированных всевозможными разбиениями $\omega=(i_1,\dots,i_k)$. Таким образом, любой элемент $a\in A^U$ может быть единственным образом записан в виде бесконечного ряда $a = \sum_{\omega} \lambda_{\omega} S_{\omega}$, где $\lambda_{\omega}\in MU^*$. Структура алгебры Хопфа на $S$ была описана в [4] и [1; § 5]. Забывающий морфизм $ MSU\to MU$ снабжает спектр $ MU$ естественной структурой $ MSU$-модуля, и операция $f\colon MU\to MU$ называется $MSU$-линейной, если она является отображением $MSU$-модулей. Из стандартных свойств спектров, не имеющих кручения в гомологиях и гомотопических группах, вытекает, что $MSU$-линейность операции $f\colon MU\to MU$ достаточно проверять лишь на гомотопических группах $MU_*=\pi_*(MU)$. Точнее говоря, операция $f$ является $ SU$-линейной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию $f(ab)=a f(b)$ для любых элементов $a\in MSU_*$, $b\in MU_*$ (см. теорему 1.1). В работе [5] Коннером и Флойдом были определены геометрические операции $\partial_i\in[ MU, MU]_{-2i}=[MU,\Sigma^{2i} MU]$, впоследствии изученные С. П. Новиковым [1]. Операция $\partial_i$ сопоставляет классу комплексных бордизмов $[M]\in MU_{2n}$ класс бордизма подмногообразия $M_i\subset M$, двойственного к $(\det\mathcal T M)^{\oplus i}$ ($i$-кратная прямая сумма детерминанта касательного расслоения). В частности, $\partial_1=\partial\colon MU_{2n}\to MU_{2n-2}$ представляет собой “граничный оператор”, отправляющий $[M]$ в класс бордизма подмногообразия, двойственного к $c_1(\mathcal TM)$. Ясно, что $\partial[M]$ лежит в образе забывающего отображения $MSU_* \to MU_*$. Более того, можно убедиться, что операции $\partial_i$ являются $SU$-линейными. В § 1 мы описываем алгебру всех $ SU$-линейных операций в комплексных кобордизмах. Мы показываем, что операции $\partial_i$, $i=1,2,\dots$, образуют топологический базис левого $MU^*$-модуля $ SU$-линейных операций. Таким образом, любая $SU$-линейная операция $f \in [MU, MU]_{MSU,*}$ единственным образом записывается в виде ряда $f=\sum_{i \geqslant 0} \mu_i \, \partial_i$ с $\mu_i \in MU^{-2i-*}$ (см. теорему 1.2). В теореме 1.4 мы описываем мультипликативную структуру кольца $ SU$-линейных операций относительно композиции в терминах коэффициентов формальной группы комплексных кобордизмов. Коннер и Флойд [5] и Стонг [2] определили $c_1$-сферические бордизмы $W$, промежуточную теорию между $SU$- и $U$-бордизмами, следуя аналогичной конструкции Уолла для ориентированных бордизмов. Теория $W$ была ключевым техническим средством для вычисления Коннера и Флойда кручения в $SU$-бордизмах. В обеих работах [5] и [2] мультипликативная структура на $W$ определяется с помощью некоторого $ SU$-линейного проектора $\pi\colon MU\to W$. Стонг [2] показал, что кольцо коэффициентов теории $W$ полиномиально по отношению к умножению, заданному с помощью используемого им проектора. Хотя Коннер–Флойд и Стонг определили свои проекторы различным образом, в последующей литературе, касающейся $ SU$- и $c_1$-сферических бордизмов, эти два проектора использовались взаимозаменяемо, так как неявно предполагалось, что они совпадают. Как показано в [3; § 6], проекторы Коннера–Флойда и Стонга различны, несмотря на то что они определяют одно и то же умножение на $W$ (см. пример 2.1). В § 2 мы приводим несколько описаний проекторов $\pi\colon MU\to W$ и указываем условия, характеризующие $SU$-линейные проекторы. Мы выражаем $SU$-линейный проектор Стонга $\pi_0\colon MU\to W$ в виде ряда от операций $\partial_i$ в терминах коэффициентов формальной группы комплексных кобордизмов (предложение 2.7) и показываем, что любой другой проектор $\pi\colon MU\to W$ имеет вид $\pi_0(1+f\varDelta)$ для некоторой операции $f\in[MU,\Sigma^{-4} MU]$ (теорема 2.1), где $\varDelta\in[MU,\Sigma^{4} MU]$ – операция Коннера–Флойда, удовлетворяющая $W=\operatorname{Ker}\varDelta$. В этих терминах $ SU$-линейные проекторы соответствуют $ SU$-линейным операциям $f$. В теореме 2.3 мы описываем все $ SU$-линейные умножения в теории $c_1$-сферических бордизмов $W$ и приводим условие, выделяющее умножения, задаваемые $ SU$-линейными проекторами. В § 3 мы изучаем комплексные ориентации теории $W$ и соответствующие им формальные группы. Любая комплексная ориентация $w\in\widetilde W^2(\mathbb{C} P^{\infty})$ получается с помощью $SU$-линейного проектора из некоторой ориентации $\widetilde u \in \widetilde{MU}^2(\mathbb{C} P^{\infty})$ в комплексных кобордизмах (предложение 3.1). Умножение на $W$ вместе с комплексной ориентацией $w$ определяют формальную группу $F_W\in W_*[[u,v]]$. Эта формальная группа изучалась В. М. Бухштабером в [6], где приведено утверждение о том, что коэффициенты $F_W$ не порождают всего кольца $W_*$, в отличие от случая комплексных кобордизмов. Мы приводим полное доказательство этого утверждения в теореме 3.2. Показано, что коэффициенты $F_W$ не порождают $W_*$ ни для каких умножения и комплексной ориентации на $W$, а не только для стандартных, определяемых проектором Стонга. Мы также доказываем другое утверждение из [6]: для некоторой ориентации $w$ кольцо, порожденное коэффициентами $F_W$, после обращения $2$ совпадает с $W_*[1/2]$ (теорема 3.3). Представляет интерес геометрическое описание мультипликативного преобразования (рода) $MU\to W$, классифицирующего формальную группу $F_W$, например, в терминах геометрических порождающих колец $W_*$ и $ MSU_*[1/2]$, описанных в [3; ч. II]. Похожая конструкция полиномиальных образующих кольца $MSU_*[1/2]$, связанных с классифицирующим отображением для формальных групп Абеля, Бухштабера и Кричевера, была недавно предъявлена М. Бакурадзе [7] (формальная группа Кричевера приводит к комплексному эллиптическому роду Кричевера–Хона). § 1. $SU$-линейные операции в комплексных кобордизмах1.1. Эквивалентные определения $SU$-линейностиМы изучаем когомологические операции и их свойствами линейности по отношению к модульным спариваниям в теориях когомологий. Поэтому мы работаем в стабильной гомотопической категории (см. [8]–[12]) и не используем никакие строгие модели для спектров. Все модули, кольца и свойства линейности (как в определении 1.1) далее рассматриваются в гомотопическом смысле. Мы для этого используем только моноидальную структуру стабильной гомотопической категории и не используем никаких строгих моноидальных модельных категорий спектров (см., однако, замечание после предложения 1.3). Везде далее, когда мы говорим спектр или отображение (между спектрами), имеются в виду объекты и морфизмы в стабильной гомотопической категории. Для спектров $X$ и $Y$ обозначаем через $[X, Y]$ множество морфизмов (в стабильной гомотопической категории) между ними, являющееся абелевой группой, а через $\pi_*(X)$ обозначаем гомотопические группы спектра $X$. Определение 1.1. Пусть $R$ – коммутативный кольцевой спектр, а $E$ и $F$ – $R$-модули. Рассмотрим следующие условия на морфизм $f \in [E, F]$: a) $R$-линейность, т. е. коммутативность квадрата (в стабильной гомотопической категории) b) линейность относительно умножения на элементы $\pi_*(R)$, т. е. коммутативность (в стабильной гомотопической категории) диаграммы для любого $r \in \pi_k(R)$ c) $\pi_*(R)$-линейность гомоморфизма $\pi_*(f) \in \operatorname{Hom} (\pi_*(E), \pi_*(F))$. Доказательство. a) $\Rightarrow$ b). Диаграмму из пункта b) можно более подробно переписать в виде Левый квадрат коммутативен, а коммутативность правого квадрата есть в точности условие a). Коммутативность внешней диаграммы и означает выполнение свойства b).
b) $\Rightarrow$ c). Для $r \in \pi_k(R)$ и $a \in \pi_n(E)$ условие $\pi_*(f)(ra)=r\pi_*(f)(a)$ выражается в коммутативности следующей диаграммы: Левый треугольник здесь коммутативен, а коммутативность правой части как раз и утверждается в b).Предложение 1.1 доказано. Наряду с $[E,F]$ будем также рассматривать соответствующую градуированную абелеву группу $[E, F]_*$ с градуированными компонентами $[E, F]_k = [\Sigma^kE,F]=[E,\Sigma^{-k}F]=F^{-k}(E)$, $k\in\mathbb{Z}$. Мы интересуемся $SU$-линейными операциями $f\in[MU, MU]_*$ в комплексных кобордизмах, что соответствует $R= MSU$, $E= MU$ и $F=\Sigma^k MU$ в обозначениях определения 1.1. Оказывается, что этом случае три определения $SU$-линейности совпадают. Теорема 1.1. Для случая $SU$-линейных операций $f \in [MU, MU]_*$ в комплексных кобордизмах все три условия из определения 1.1 эквивалентны. Доказательство этого факта будет состоять из трех лемм. Во-первых, мы имеем следующий полезный результат, связывающий морфизмы между спектрами с их действием на гомотопических группах. Лемма 1.1 (см. [11; лемма VII.3.2]). Пусть $E$ и $F$ – связные спектры конечного типа такие, что $H_*(E)$ и $\pi_*(F)$ не имеют кручения. Тогда естественное отображение инъективно. Лемма 1.1 обобщается на морфизмы, включающие три спектра. Для любых спектров $E$, $F$, $G$ существует естественное отображение $q \colon [E \wedge F, G] \to \operatorname{Hom} (\pi_* (E) {\kern1pt}{\otimes}{\kern1pt} \pi_*(F), \pi_*(G))$, определяемое следующим образом: для $f{\kern0.8pt}{\in}{\kern0.8pt} [E{\kern1pt}{\wedge}{\kern1pt} F, G]$ и $a \in \pi_k(E)$, $b \in \pi_n(F)$ элемент $q(f)(a,b) \in \pi_{k+n}(G)$ представляется отображением $S^k \wedge S^n \xrightarrow{a \wedge b} E \wedge F \xrightarrow{f} G$. Лемма 1.2. Пусть $E$, $F$ и $G$ – связные спектры конечного типа такие, что $H_*(E)$, $H_*(F)$ и $\pi_*(G)$ не имеют кручения. Тогда естественное отображение инъективно. Доказательство. Применяя лемму 1.1 к спектрам $E\wedge F$ и $G$, получаем, что отображение инъективно. Следовательно, достаточно доказать инъективность отображения индуцированного естественным отображением $\pi_* (E)\otimes\pi_*(F)\to\pi_*(E\wedge F)$.
Мы имеем коммутативный квадрат Здесь левая стрелка представляется в виде композиции отображения $\operatorname{Hom} (\pi_* (E\wedge F), \pi_*(G)) \to \operatorname{Hom} (\pi_* (E\wedge F), \pi_*(G) \otimes \mathbb{Q})$, индуцированного гомоморфизмом $\pi_*(G) \to \pi_*(G)\otimes \mathbb{Q}$, который инъективен, так как $\pi_*(G)$ не имеет кручения, и естественного изоморфизма $\operatorname{Hom} (\pi_* (E\wedge F), \pi_*(G)\otimes \mathbb{Q}) \cong \operatorname{Hom} (\pi_* (E\wedge F) \otimes \mathbb{Q}, \pi_*(G) \otimes \mathbb{Q})$. Следовательно, левая стрелка в диаграмме инъективна.Далее, нижняя стрелка индуцирована отображением $\pi_*(E) \otimes \pi_*(F) \otimes \mathbb{Q} \to \pi_*(E \wedge F) \otimes \mathbb{Q}$, которое является изоморфизмом. Действительно, это естественное преобразование теорий гомологий $\pi_*(-) \otimes \pi_*(F) \otimes \mathbb{Q}$ и $\pi_*(- \wedge F) \otimes \mathbb{Q}$, которое является изоморфизмом на спектре сфер. Значит, нижняя стрелка в диаграмме выше является изоморфизмом. Отсюда следует, что верхняя стрелка в коммутативном квадрате инъективна, что и требовалось. Замечание. С помощью индукции утверждение леммы 1.2 обобщается на случай смеш-произведения любого количества спектров. Лемма 1.3. В обозначениях определения 1.1 пусть $R$, $E$ и $F$ – связные спектры конечного типа такие, что $H_*(R)$, $H_*(E)$ и $\pi_*(F)$ не имеют кручения. Тогда из свойства b) следует свойство a). Доказательство. Предположим, что $f \in [E, F]$ удовлетворяет условию c) из определения 1.1. Рассмотрим морфизмы $\varphi_1 \colon R \wedge E \xrightarrow{1 \wedge f} R \wedge F \to F$, $\varphi_2 \colon R \wedge E \to E \xrightarrow{f} F$ и положим $\varphi = \varphi_1-\varphi_2$. Надо доказать, что $\varphi = 0$.
Применяя отображение $q \colon [R \wedge E, F] \to \operatorname{Hom} (\pi_* (R) \otimes \pi_*(E), \pi_*(F))$ к $\varphi\colon R \wedge E \to F$, получаем $q(\varphi)(r, a) = r f_*(a) - f_*(ra)$, что равняется нулю для любых $r \in \pi_*(R)$, $a \in \pi_*(E)$ в силу свойства b). Тогда из леммы 1.2 вытекает, что $\varphi = 0$. Лемма доказана. Доказательство теоремы 1.1. Утверждение вытекает из леммы 1.3 для спектров $R= MSU$, $E= MU$ и $F =\Sigma^k MU$. 1.2. Описание $SU$-линейных операций в комплексных кобордизмахСледующее утверждение неявно содержится в работе Коннера и Флойда [5; гл. III] и для вещественного случая восходит к работе Атья [13]. Доказательство. Так как $\mathbb C P^\infty=MU(1)$, мы имеем отображение $MSU$-модулей
$$
\begin{equation*}
MSU \wedge \Sigma^{-2} \mathbb C P^\infty= MSU \wedge \Sigma^{-2} MU(1) \xrightarrow{1 \wedge i} MSU \wedge MU \to MU.
\end{equation*}
\notag
$$
Это отображение спектров Тома, индуцированное отображением пространств
$$
\begin{equation*}
BSU \times BU(1) \to BU \times BU \xrightarrow{\oplus} BU.
\end{equation*}
\notag
$$
Данная композиция отображений является гомотопической эквивалентностью со следующим гомотопически обратным:
$$
\begin{equation*}
BU\to BSU \times BU(1),\qquad \eta\mapsto (\eta - \det \eta) \times \det \eta.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому она индуцирует эквивалентность соответствующих спектров Тома. Предложение 1.2 доказано. Для $R$-модулей $E$, $F$ обозначим через $[E, F]_R$ абелеву группу $R$-линейных морфизмов. Для свободного $R$-модуля $R \wedge X$ имеется естественный изоморфизм абелевых групп $[R \wedge X, F]_R\cong[X, F]$, определяемый следующим образом. Морфизм $X \xrightarrow{f} F$ соответствует $R$-линейному морфизму $R \wedge X \xrightarrow{1 \wedge f} R \wedge F \to F$. Обратно, $R$-линейный морфизм $R \wedge X \xrightarrow{g} F$ соответствует морфизму $X \simeq S \wedge X \xrightarrow{e \wedge 1} R \wedge X \xrightarrow{g} F$, где $e \colon S \to R$ – единица спектра $R$. Мы имеем $MU^*(\mathbb{C} P^{\infty})=MU^*[[u]]$, где $MU^*=MU^*(pt)$ – кольцо кобордизмов точки, $u=c^{U}_1 \in \widetilde{MU}^2 (\mathbb{C} P^{\infty})$ – каноническая ориентация (универсальный первый класс Коннера–Флойда), определяемая гиперплоским сечением $\mathbb{C} P^{\infty-1}\subset\mathbb{C} P^\infty$. Элементы $\widetilde{MU}^* (\mathbb{C} P^\infty)$ представляются степенными рядами $f(u)$ от $u$ с нулевым постоянным членом. Предложение 1.3. Абелева группа $SU$-линейных операций $[MU, MU]_{MSU,k}$ изоморфна $\widetilde{MU}^{2-k} (\mathbb{C} P^\infty)$. Точнее говоря, если $u \in \widetilde {MU}^2(\mathbb{C} P^{\infty})$ – каноническая ориентация в комплексных кобордизмах, то отображение становится изоморфизмом при ограничении на подгруппу $[MU, MU]_{MSU,*}$. Доказательство. Мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [MU, MU]_{MSU,*} &\simeq[MSU \wedge \Sigma^{-2} MU(1), MU]_{MSU,*} \\ &\simeq [\Sigma^{-2} MU(1), MU]_*=\widetilde{MU}^{2-*} (\mathbb{C} P^\infty), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где первый изоморфизм следует из предложения 1.2, а второй – из обсуждения перед предложением 1.3. Под действием этих изоморфизмов $ SU$-линейная операция $f \colon MU \to \Sigma^{-k} MU$ переходит в композицию Поскольку $f$ является $ SU$-линейной, мы можем заменить в этой композиции два последних члена следующим образом: Так как $e$ – единица, композиция выше совпадает с $\Sigma^{-2} MU(1) \xrightarrow{i} MU \xrightarrow{f} \Sigma^{-k} MU$. Но отображение $\Sigma^{-2} MU(1) \xrightarrow{i} MU$ представляет каноническую ориентацию $u \in \widetilde{MU}^2(\mathbb{C} P^{\infty})$, и, следовательно, вся композиция представляет $f(u) \in \widetilde{MU}^{2-k}(\mathbb{C} P^{\infty})$, что и требовалось. Замечание. Хотя мы работаем в стабильной гомотопической категории, спектры бордизмов, такие как $ MU$ и $ MSU$, имеют строго коммутативные модели. Точнее говоря, существуют симметрическая моноидальная категория строгих $ MSU$-модулей $\mathcal M_{MSU}$ и ее гомотопическая (производная) категория $\mathcal D_{MSU}$ (см. [14]). Те же рассуждения, что и в предложении 1.2, показывают, что существует эквивалентность строгих $ MSU$-модулей $ MU\cong MSU \wedge \Sigma^{-2} \mathbb{C} P^{\infty}$, которая вместе с изоморфизмом сопряжения из [14; утверждение III.4.1] дает эквивалентность Согласно предложению 1.3 ряд $f(u) \in \widetilde{MU}^*(\mathbb{C} P^{\infty})$ однозначно определяет $ SU$-линейную операцию $f$. Следовательно, для окончательного описания $ SU$-линейных операций в комплексных кобордизмах нам нужно предъявить $SU$-линейные операции, действующие на $ MU^* (\mathbb{C} P^\infty)$ как $u\mapsto \sum_{i \geqslant 0} \lambda_i u^{i+1}$, где $\sum_{i \geqslant 0} \lambda_i u^{i+1}\in\widetilde{MU}^{2-2k}(\mathbb{C} P^\infty)$ – произвольный степенной ряд с $\lambda_i\in MU^{-2i-2k}$. Требуемые операции были построены С. П. Новиковым в [1]. Напомним их определение, следуя [3]. Стабильный изоморфизм Тома
$$
\begin{equation*}
\varphi^*\colon MU^n(BU) \xrightarrow{\cong} MU^n(MU)=[MU, MU]_{-n}
\end{equation*}
\notag
$$
отождествляет универсальные характеристические классы и когомологические операции в комплексных кобордизмах. Для двух комплексных одномерных расслоений $\xi$, $\eta$ с $u=c^{U}_1(\xi)$, $v=c^{U}_1(\eta)$ первый класс Коннера–Флойда их тензорного произведения выражается в виде степенного ряда от $u,v$ с коэффициентами из $ MU^*$, который называется формальной группой геометрических кобордизмов [1], [15] или просто формальной группой в комплексных кобордизмах:
$$
\begin{equation}
F_U(u,v)=c^{U}_1(\xi\otimes\eta)=u+v+\sum_{i\geqslant1,\,j\geqslant 1}\alpha_{ij}u^iv^j,\qquad \alpha_{ij}\in MU^{-2(i+j-1)}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Обозначим через $\overline u$ обратный ряд к $u$ по отношению к $F_U$; он определяется условием $F_U(u,\overline u)=0$. Конструкция 1.1 (операции $\varDelta_{(k_1, k_2)}$). Рассмотрим универсальный характеристический класс $d^{U}\in MU^2(BU)$, определяемый как $d^{U}(\xi)=c^{U}_1(\det\xi)$. Рассмотрим также класс $\overline{d}^{\,U}=c^{U}_1(\overline{\det\xi})$, который удовлетворяет соотношению $F_U(d^{U},\overline{d}^{\,U})=0$. Для неотрицательных целых чисел $k_1$, $k_2$ определим операцию
$$
\begin{equation*}
\varDelta_{(k_1, k_2)} = \varphi^* \bigl((\overline{d}^{\,U})^{k_1}(d^{U})^{k_2}\bigr) \in[MU, MU]_{-2(k_1+k_2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Геометрически операция $\varDelta_{(k_1, k_2)}$ отображает класс бордизма $[M]\in MU_*$ в класс $[M_{k_1, k_2}]$ подмногообразия, двойственного к $(\det\mathcal TM)^{\oplus k_1} \oplus (\overline {\det\mathcal TM})^{\oplus k_2}$. Действие $\varDelta_{(k_1, k_2)}$ на канонической ориентации $u \in \widetilde{MU}^2(\mathbb{C} P^{\infty})$ имеет вид Доказательство. Согласно теореме 1.1 достаточно проверить $SU$-линейность действия $\varDelta_{(k_1, k_2)}$ на гомотопических группах $\pi_*(MU)= MU_*$. Пусть $[M] \in MU_m$, $[N] \in MSU_n$. Докажем, что $\varDelta_{(k_1, k_2)}([N \times M])= [N] \cdot \varDelta_{(k_1, k_2)}([M])$.
Из определения следует, что где $D_U \colon MU^*(N \times M) \xrightarrow{\simeq} MU_{n+m-*} (N \times M)$ – оператор двойственности Пуанкаре–Атья, а $\varepsilon \colon MU_*(N \times M) \to MU_*(pt)$ – аугментация. Мы имеем $\det \mathcal T(N\times M)=\det \mathcal T N \otimes \det \mathcal T M = \det \mathcal T M$, так как $N$ есть $SU$-многообразие. Следовательно, Ясно, что в произведении $N \times M$ подмногообразием, двойственным к классу $\bigl(c^{U}_1(\det \mathcal T (M))\bigr)^{k_1} \bigl (c^{U}_1(\overline{\det \mathcal T (M)})\bigr)^{k_2}$, является $N \times \Delta_{(k_1, k_2)}([M])$, откуда следует доказываемое утверждение. Предложение доказано.Обозначим
$$
\begin{equation*}
\varDelta=\varDelta_{(1,1)}, \qquad \partial_k= \varDelta_{(k,0)}, \qquad \partial=\partial_1, \qquad \overline\partial_k=\varDelta_{(0, k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\partial_0$ есть тождественный оператор. Из определения следует, что все операции $\varDelta_{(k_1, k_2)}$ выражаются в виде ряда от $\partial_k$ (равно как и от $\overline \partial_k$). Лемма 1.4. Степенной ряд $\sum_{i \geqslant 0} \lambda_i u^{i+1} \in \widetilde{MU}^{2-2k}(\mathbb{C} P^{\infty})$ соответствует операции $\sum_{i \geqslant 0} \lambda_i\, \overline{\partial}_i$, $\lambda_i\in MU^{-2i-2k}$, при изоморфизме из предложения 1.3. Доказательство. Действительно, $\sum \lambda_i\, \overline \partial_i(u) = \sum \lambda_i u^{i+1}$ по формуле (1.2). Теперь мы можем сформулировать главный результат § 1. Теорема 1.2. Любая $ SU$-линейная операция $f \in [MU, MU]_{MSU,*}$ единственным образом выражается в виде ряда $f=\sum_{i \geqslant 0} \mu_i \, \partial_i$, где $\mu_i \in MU^{-2i-*}$. Доказательство. Из предложения 1.3 и леммы 1.4 следует, что любая $ SU$-линейная операция $f$ может быть представлена в виде ряда $\sum \lambda_i \, \overline{\partial}_i$. Так как операции $\overline{\partial}_i$ сами выражаются в виде ряда от $\partial_i$, мы также можем переписать $f$ как ряд $\sum \mu_i \, \partial_i$. Коэффициенты $\lambda_i$ и $\mu_i$ определяются однозначно из действия $f$ на канонической ориентации $u \in \widetilde{MU}^2(\mathbb{C} P^{\infty})$. А именно, $f(u)=\sum_{i\geqslant0}\lambda_iu^{i+1} =\sum_{i\geqslant0}\mu_iu\overline u^i$ согласно формуле (1.2). Теорема доказана. Теорема 1.2 легко переносится на случай $ SU$-мультилинейных операций. Теорема 1.3. Любая $ SU$-мультилинейная операция в комплексных кобордизмах единственным образом выражается в виде ряда $\sum \mu_{i_1, \dots, i_k} \partial_{i_1}\cdots \partial_{i_k}$. Мы используем этот результат, когда будем изучать $ SU$-билинейные умножения в п. 2.3. Мультипликативная структура (по отношению к композиции) кольца $ SU$-линейных операций $f=\sum_{i \geqslant 0} \beta_i \, \partial_i$ может быть описана в терминах коэффициентов формальной группы комплексных кобордизмов, как показано ниже. Для произвольного целого числа $k\in\mathbb{Z}$ ряд $k$-й степени $[k](u)$ по отношению к формальной группе $F_U$ определяется индуктивно следующим образом:
$$
\begin{equation*}
[0](u)=0, \qquad [k](u)=\begin{cases} F([k-1](u), u), &k > 0, \\ F([k+1](u), \overline u), &k < 0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы имеем $[k](c^{U}_1(\xi))=c^{U}_1(\xi^{\otimes k})$ и $[-k](c^{U}_1(\xi))=c^{U}_1(\overline{\xi}^{\otimes k})$, $k \geqslant 0$, для комплексного одномерного расслоения $\xi$. Теперь опишем мультипликативную структуру кольца $ SU$-линейных операций. Теорема 1.4. Для неотрицательных целых чисел $k$, $m$ рассмотрим два степенных ряда Тогда где $a,b\in[MU, MU]_*$ – произвольные операции, а $a\cdot b\in[MU\wedge MU, MU]_*$ обозначает их внешнее произведение. Доказательство. Согласно леммам 1.1 и 1.2 указанные тождества достаточно проверить на гомотопических группах спектра $ MU$, т. е. на элементах из $ MU_*=\pi_*(MU)$.
Пусть $a=[M], \, b=[N] \in MU_*$. Обозначим $u=c^{U}_1(\det \mathcal T M)$, $v = c^{U}_1(\det \mathcal T N)$. Тогда первое тождество вытекает из выкладки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_k([M \times N]) &= \varepsilon D_U \bigl(\bigl(c^{U}_1(\det \mathcal T (M \times N))\bigr)^k \bigr) = \varepsilon D_U \bigl(\bigl(c^{U}_1(\det \mathcal T M \otimes \det \mathcal T N)\bigr)^k \bigr) \\ &=\varepsilon D_U \bigl((F(u, v))^k \bigr) = \varepsilon D_U \biggl(\sum_{i,j} \alpha^{(k)}_{ij} u^i v^j\biggr) = \sum_{i,j} \alpha^{(k)}_{ij} \, \partial_i ([M]) \, \partial_j ([N]), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее равенство следует из того, что подмногообразие $\partial_i (M) \times \partial_j (N)$ двойственно к $u^i v^j$ в произведении $M \times N$.
Для второго тождества обозначим $\partial_m ([M]) = [N]$, где $i \colon N \hookrightarrow M$ – соответствующее вложение. Нормальное расслоение к $N$ изоморфно ограничению $i^* (\det \mathcal T M)^{\oplus m}$, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\det \mathcal T N \otimes i^*(\det \mathcal T M)^{\otimes m} =\det\bigl(\mathcal T N\oplus i^*(\det \mathcal T M)^{\oplus m}\bigr) \cong i^* \det \mathcal T M.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $\det \mathcal T N = i^*(\overline{\det \mathcal T M})^{\otimes(m-1)}$. Положим $u = c^{U}_1(\det \mathcal T M)$, тогда имеем $c^{U}_1(\det \mathcal T N) = i^* [1-m](u)$. С другой стороны, подмногообразие $N$ двойственно к $u^m$, т. е. $i_*[N] = D_U (u^m) = u^m \frown [M]$. Тогда следующая выкладка доказывает второе тождество:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_k[N] &=\bigl\langle \bigl(c^{U}_1(\det \mathcal T N)\bigr)^k, [N] \bigr\rangle = \bigl\langle i^* \bigl([1-m](u)\bigr)^k, [N] \bigr \rangle \\ &= \bigl\langle\bigl([1-m](u)\bigr)^k, i_* [N] \bigr\rangle =\bigl \langle \bigl([1-m](u)\bigr)^k, u^m \frown [M] \bigr\rangle \\ &= \bigl\langle \bigl([1-m](u)\bigr)^k u^m, [M] \bigr\rangle = \sum_i \beta_i^{(k,m)} \, \partial_i ([M]). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1.4 доказана. Из второго соотношения в (1.3) следует, что $\partial_k\, \partial=0$, так как все $\beta_i^{(k,1)}=0$. Впрочем, равенство $\partial_k\, \partial=0$ следует и из геометрического описания операций $\partial_k$. С помощью соотношений (1.3) можно уже записать произвольную композицию операций $f=\sum_i\lambda_i\, \partial_i$ в таком же виде. § 2. $c_1$-сферические бордизмы $W$, проекторы и умноженияЗдесь мы рассматриваем теорию $c_1$-сферических бордизмов $W$, описываем $ SU$-линейные умножения на ней и $ SU$-линейные проекторы $ MU \to W$. 2.1. Определение и $MSU$-модульная структураГеометрически теория $c_1$-сферических бордизмов $W$ определяется следующим образом [2; гл. VIII]. Рассматриваются замкнутые многообразия $M$ с $c_1$-сферической структурой, состоящей из – стабильно комплексной структуры на касательном расслоении $\mathcal T M$; – $\mathbb{C} P^1$-редукции детерминантного расслоения, т. е. отображения $f \colon M \to \mathbb{C} P^1$ и эквивалентности $f^*(\eta) \cong \det \mathcal T M$, где $\eta$ – тавтологическое расслоение над $\mathbb{C} P^1$. Это естественное обобщение $SU$-структуры, которая задается “$\mathbb{C} P^0$-редукцией”, т. е. тривиализацией детерминантного расслоения. Соответствующая теория бордизмов называется $c_1$-сферическими бордизмами и обозначается $W$. Как и в случае стабильно комплексной структуры, задание $c_1$-сферической комплексной структуры на стабильном касательном расслоении эквивалентно ее заданию на стабильном нормальном расслоении. Существуют естественные забывающие преобразования $MSU \to W \to MU$. Гомотопически, $c_1$-сферическая структура на стабильно комплексном расслоении $\xi \colon M \to BU$ задается поднятием до отображения $M \to X$, где $X$ замыкает (гомотопический) декартов квадрат: Так как $\mathbb{C} P^{\infty}$ является топологической абелевой группой, декартов квадрат в этой диаграмме можно заменить на следующий: Спектр Тома, соответствующий отображению $X \to BU$, определяет теорию бордизмов многообразий с $\mathbb{C} P^1$-редукцией в стабильном нормальном расслоении, т. е. теорию $W$. Мы будем обозначать этот спектр также через $W$.Замечание. Чтобы получить $\mathbb{C} P^1$-редукцию в стабильном касательном расслоении, необходимо заменить в декартовом квадрате выше вложение $i\colon\mathbb{C} P^1 \hookrightarrow \mathbb{C} P^{\infty}$ на $-i$. Заменяя при этом включение отмеченной точки $* \to \mathbb{C} P^{\infty}$ на расслоение $S^{\infty} \to \mathbb{C} P^{\infty}$, мы получаем определение, данное в [2; гл. 8]: Спектр $W$ обладает естественной структурой $ MSU$-модуля. Забывающие морфизмы $ MSU \to W \to MU$ являются отображениями $ MSU$-модулей. Следующее описание структуры $ MSU$-модуля $W$ неявно содержится в работах Коннера и Флойда [5] и Стонга [2] и восходит к работе Атья [13] (ср. с предложением 1.2). Предложение 2.1. Существует эквивалентность $ MSU$-модулей При этом забывающие отображения $MSU\to W\to MU$ отождествляются с отображениями свободных $MSU$-модулей Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму где строки являются расслоениями, а правый квадрат декартов. Нижнее расслоение расщепляется (см. предложение 1.2). Следовательно, верхнее расслоение также расщепляется, и мы получаем гомотопическую эквивалентность $X\simeq BSU\times\mathbb{C} P^1$. Отображение $X\to BU$ при этом отождествляется с $\mathrm{id}\times i\colon BSU\times\mathbb{C} P^1\to BSU\times\mathbb{C} P^\infty$. Оно индуцирует эквивалентность соответствующих спектров Тома $W \simeq MSU \wedge \Sigma^{-2}\mathbb{C} P^2$, где $\mathbb{C} P^2$ отождествляется с пространством Тома тавтологического расслоения над $\mathbb{C} P^1$. Предложение доказано. Предложение 2.2. Спектр $W$ эквивалентен кослою умножения $\Sigma MSU\,{\xrightarrow{\cdot \theta}} MSU$ на нетривиальный элемент $\theta \in MSU_1\cong\mathbb{Z}_2$. Правое отображение в соответствующей последовательности корасслоения совпадает с забывающим отображением. Доказательство. Элемент $\theta$ задается отображением Хопфа $S^3 \xrightarrow{\eta} S^2 = MSU(1)$. Умножению на $\theta$ соответствует отображение
$$
\begin{equation*}
MSU \wedge \Sigma^{-2} S^3 \xrightarrow{1 \wedge \Sigma^{-2} \eta} MSU \wedge \Sigma^{-2} S^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Кослоем отображения $S^3 \xrightarrow{\eta} S^2$ является $\mathbb{C} P^2$. Следовательно, кослоем отображения выше является $ MSU \wedge \Sigma^{-2} \mathbb{C} P^2$, что совпадает со спектром $W$ в силу предложения 2.1. Предложение доказано. Предложение 2.3. Спектры $W$ и $ MSU$ эквивалентны по Боусфилду, т. е. условие $ MSU_*(X)=0$ равносильно $W_*(X)=0$, и отображение $X \to Y$ индуцирует изоморфизм $ MSU_*(X) \xrightarrow{\cong} MSU_*(Y)$ тогда и только тогда, когда оно индуцирует изоморфизм $W_*(X) \xrightarrow{\cong} W_*(Y)$. Доказательство. Это хорошо известное свойство кослоя нильпотентного отображения (см., например, аналогичное рассуждение в [16; теорема 8.14] для случая $K$-теории). Из корасслоения предложения 2.2 получаем следующую длинную точною последовательность:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \cdots &\to MSU_{*-1}(X) \xrightarrow{\cdot \theta} MSU_*(X) \to W_*(X) \\ &\to MSU_{*-2}(X) \xrightarrow{\cdot \theta} MSU_{*-1}(X) \to \cdots. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что из $ MSU_*(X)=0$ вытекает $W_*(X)=0$. Обратно, если $W_*(X)=0$, то $ MSU_{*-1}(X) \xrightarrow{\cdot \theta} MSU_*(X)$ – изоморфизм. Так как $\theta^3 \in MSU_3 =0$ (см., например, [3; пример 5.7]), получаем, что $ MSU_*(X)=0$.
Второе утверждение (об изоморфизмах в гомологиях) следует из первого с помощью рассмотрения гомологической длинной точной последовательности отображения $X\to Y$. Предложение доказано. Предложение 2.4. Целочисленные гомологии $H_*(W)$ сконцентрированы в четных размерностях, и имеются короткие точные последовательности В частности, гомологии $H_*(W)$ не имеют кручения. Доказательство. Рассмотрим длинную точную последовательность в целочисленных гомологиях корасслоения из предложения 2.2:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dots &\to H_{2k-1}(MSU) \to H_{2k}(MSU) \to H_{2k}(W) \\ &\to H_{2k-2} (MSU) \to H_{2k-1}(MSU) \to \cdots. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как гомологии $H_*(MSU)$ сконцентрированы в четных размерностях и не имеют кручения, то же верно и для $W$, а длинная точная последовательность распадается на указанные короткие. Предложение 2.4 доказано. Напомним, что в § 1 мы рассмотрели операцию $\partial\colon MU\to\Sigma^2 MU$, сопоставляющую классу бордизмов $[M]\in MU_*$ класс подмногообразия, двойственного к $c_1(M)$. Предложение 2.5. Композиция связывающего отображения последовательности корасслоения из предложения 2.2 с забывающим отображением совпадает с $-\partial\colon W\to\Sigma^2 MU$. Доказательство. Согласно лемме 1.1 достаточно проверить требуемое равенство на гомотопических группах спектров, т. е. доказать, что $W_{2n}\xrightarrow{\partial'} MSU_{2n-2}\to MU_{2n-2}$ совпадает с $-\partial$. Это доказано в [5; (17.3)] (Коннер и Флойд определяют $W_*$ как $\ker\varDelta$, см. по этому поводу предложение 2.8 ниже). Объединяя предложение 2.2 и предложение 2.5, мы получаем точную последовательность
$$
\begin{equation*}
\cdots \to \Sigma MSU \xrightarrow{\cdot \theta} MSU \to W \xrightarrow{\partial'} \Sigma^2 MSU \xrightarrow{\cdot \theta} \Sigma MSU \to \cdots
\end{equation*}
\notag
$$
Коннера и Флойда [5]. На гомотопических группах получаем пятичленную точную последовательность [5; (18.1)]
$$
\begin{equation*}
0\to MSU_{2n-1}\xrightarrow{\cdot \theta} MSU_{2n}\to W_{2n} \xrightarrow{\partial'} MSU_{2n-2} \xrightarrow{\cdot \theta} MSU_{2n-1}\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
2.2. Связь с операцией $\varDelta$Напомним, что $W_*=\pi_*(W)$ обозначает гомотопические группы (коэффициенты) спектра $W$. Конструкция 2.1 (см. [2; гл. VIII]). Определим гомоморфизм $\pi_0 \colon MU_* \to W_*$, отображающий класс бордизмов $[M]$ в класс подмногообразия $N \subset \mathbb{C} P^1{\times}\, M$, двойственного к $\overline\eta \otimes \det \mathcal T M$. Мы имеем $\det \mathcal T N\cong i^*\overline\eta$, где $i$ – вложение $N \hookrightarrow \mathbb{C} P^1 \times M$, следовательно, $N$ имеет естественную $c_1$-сферическую стабильно комплексную структуру. Предложение 2.6 (см. [2; гл. VIII]). Композиция $W_* \to MU_* \xrightarrow{\pi_0} W_*$ является тождественным отображением. В частности, образ забывающего гомоморфизма $W_* \to MU_*$ является прямым слагаемым в $MU_*$. Мы можем также рассматривать $\pi_0$ как идемпотентный гомоморфизм абелевых групп $ MU_* \to MU_*$, который будем называть проектором Стонга. Предложение 2.7. Для любого $a \in MU_*$ имеет место формула Замечание. Согласно лемме 1.1 формула (2.1) единственным образом продолжает $\pi_0$ до когомологической операции из $[MU, MU]$. Доказательство предложения 2.7. Пусть $a = [M]$. Из определения $\pi_0$ следует, что где $D_U \colon MU^2(\mathbb{C} P^1 \times M^n) \xrightarrow{\cong} MU_n(\mathbb{C} P^1 \times M^n)$ – изоморфизм двойственности Пуанкаре–Атья, и $\varepsilon \colon MU_*(X) \to MU_*(pt)$ – аугментация.
Обозначим $u = c^{U}_1(\overline{\eta})$, $v = c^{U}_1(\det\mathcal T M) \in MU^2(\mathbb{C} P^1 \times M)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon D_U\bigl(c^{U}_1 (\overline{\eta} \otimes \det \mathcal T M)\bigr) &= \varepsilon D_U (F(u, v)) = \varepsilon D_U(u) + \varepsilon D_U (v)+\sum_{i, j \geqslant 1} \alpha_{ij} \varepsilon D_U(u^i v^j) \\ &= [M] + [\mathbb{C} P^1] \, \partial [M] + \sum_{j \geqslant 1} \alpha_{1j} \, \partial_j [M], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где мы использовали равенства $u^2=0$, $\varepsilon D_U (u v^j) = \partial_j [M]$ и $\varepsilon D_U(v)=[\mathbb{C} P^1] \, \partial[M]$. Для доказательства формулы (2.1) теперь достаточно заметить, что $\alpha_{11} = -[\mathbb{C} P^1]$.
Равенство $\pi_0 \, \partial = \partial$ получается применением формулы (2.1) к $\partial a$ в силу тождеств $\partial_k \, \partial = 0$. Осталось доказать, что $\partial \pi_0 = \partial$. Пусть $\pi_0[M] = [N]$. Нужно проверить, что $\partial [N] = \partial [M]$. Мы имеем $\det \mathcal T N = i^*\overline \eta$, где $i \colon N \hookrightarrow \mathbb{C} P^1 \times M$, и
$$
\begin{equation*}
i_*[N] = D_U\bigl(c^{U}_1(\overline \eta \otimes \det(\mathcal T M))\bigr) = D_U(F_U(u, v)) = F_U(u, v)\frown [M \times \mathbb{C} P^1].
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда следующая выкладка доказывает требуемое равенство:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial [N] &= \varepsilon D_U \bigl(c^{U}_1 (\det \mathcal T N)\bigr) = \varepsilon D_U (i^*u) = \langle i^*u, [N] \rangle = \langle u, i_*[N] \rangle \\ &= \langle u, F_U(u, v)\frown [M \times \mathbb{C} P^1]\rangle =\langle u F_U(u, v), [M \times \mathbb{C} P^1] \rangle \\ &= \langle uv, [M \times \mathbb{C} P^1] \rangle = \partial [M]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. Замечание. Из формулы (2.1) следует, что проектор $\pi_0$ является $ SU$-линейным, что, впрочем, ясно и из его геометрического определения. Доказательство. Операция $\varDelta$ отображает класс бордизмов $[M]$ в класс подмногообразия $[N]$, двойственного к $\det \mathcal T M \oplus \overline{\det \mathcal T M}$. Для $c_1$-сферического многообразия $M$ расслоение $\det \mathcal T M$ индуцируется из тавтологического расслоения $\eta$ над $\mathbb{C} P^1$. Так как $\eta \oplus \overline \eta$ тривиально над $\mathbb{C} P^1$, мы получаем, что операция $\varDelta$ обращается в нyль на образе гомоморфизма $W_* \to MU_*$.
Обратно, пусть $a \in \ker \varDelta$. Согласно [3; следствие 6.4] $\partial_k a = 0$ для $k \geqslant 2$. Тогда из (2.1) следует, что $\pi_0(a)=a$, т. е. $a$ лежит в образе забывания $W_* \to MU_*$. Предложение доказано. Замечание. Группа коэффициентов $W_*$ была впервые рассмотрена Коннером и Флойдом [5] именно как $\ker \varDelta$. Имеется следующее гомотопическое описание спектра $W$. Предложение 2.9. Спектр $W$ совпадает со слоем отображения $ MU \xrightarrow{\varDelta} \Sigma^4 MU$. Доказательство. Обозначим рассматриваемый слой через $F$. Мы имеем длинную точную последовательность гомотопических групп
$$
\begin{equation*}
\cdots \to \pi_{*-3}(MU) \to \pi_*(F) \to \pi_* (MU) \xrightarrow{\varDelta} \pi_{*-4}(MU) \to \pi_{*-1}(F) \to \cdots.
\end{equation*}
\notag
$$
Операция $\varDelta$ имеет правую обратную (см. [3; лемма 4.3] и пример 2.1 ниже), следовательно, она сюръективна. Тогда длинная точная последовательность выше расщепляется:
Из предложения 2.8 следует, что аналогичные короткие точные последовательности есть и для $W_*$:
$$
\begin{equation*}
0 \to \pi_*(W) \to \pi_* (MU) \xrightarrow{\varDelta} \pi_{*-4}(MU) \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этой короткой точной последовательности, того факта, что $H_*(W)$ не имеют кручения, и леммы 1.1 следует, что композиция $W \to MU \xrightarrow{\varDelta} \Sigma^4 MU$ гомотопна нулю. Следовательно, существует морфизм $W \to F$, делающий коммутативной диаграмму Значит, отображение $W\to F$ индуцирует изоморфизм гомотопических групп, и следовательно, является эквивалентностью спектров. Предложение доказано. Предложение 2.10. Для произвольного пространства (или спектра) $X$ забывающее отображение $W_*(X) \to MU_*(X)$ инъективно и его образ совпадает с $\ker \varDelta$. Аналогичное утверждение верно и для $W^*(X)$. Доказательство. Из предложения 2.9 мы получаем длинную точную последовательность
$$
\begin{equation*}
\cdots \to W_*(X) \to MU_*(X) \xrightarrow{\varDelta} MU_{*-4}(X) \to \cdots.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как операция $\varDelta$ имеет правую обратную, эта длинная точная последовательность расщепляется на короткие:
$$
\begin{equation*}
0 \to W_*(X) \to MU_*(X) \xrightarrow{\varDelta} MU_{*-4}(X) \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 2.10 доказано. В [2; гл. VIII] предложения 2.8 и 2.10 доказаны геометрическими методами. Замечание. Из предложения 2.9 также следует, что проектор Стонга $\pi_0 \in [ MU, MU]$ единственным образом поднимается до операции $\pi_0 \in [MU, W]$. 2.3. $ SU$-линейные проекторы на $W$ и $ SU$-линейные умноженияБудем называть морфизм $ MU\to W$ проектором на $W$, если он тождествен на $W$, где $W$ рассматривается как подмодуль в $ MU$ посредством забывающего морфизма $W\to MU$. Мы часто будем рассматривать такие проекторы как идемпотентные морфизмы $ MU\to MU$ с образом $W$. Примером служит проектор Стонга $\pi_0\colon MU\to W$. Каждый такой проектор выделяет в $ MU_*(X)$ прямое слагаемое $W_*(X) = \ker \varDelta$ (и аналогично для $W^*(X)$). Более того, из предложения 2.9 следует, что каждый такой проектор задает расщепление спектра комплексных кобордизмов $ MU \simeq W \vee \Sigma^4 MU$, и точная последовательность расслоения из предложения 2.9 также расщепляется. Проектор Стонга $SU$-линеен и, следовательно, может быть представлен в виде ряда от $\partial_k$. Коэффициенты этого ряда даются формулой (2.1). Мы имеем следующее предложение. Предложение 2.11. Любой $ SU$-линейный проектор $ MU\to W$ имеет вид $\pi = 1 + \sum_{i \geqslant 2} \lambda_i \, \partial_i$ с $\lambda_i\in MU^{-2i}$. Доказательство. По теореме 1.2 мы можем записать $\pi=\sum_{i\geqslant0}\lambda_i\, \partial_i$. Тогда $\pi(1)=1$ и $\pi([\mathbb{C} P^1])=[\mathbb{C} P^1]$, так как $[\mathbb{C} P^1]\in W_2$. Поскольку $\partial[\mathbb{C} P^1]=2$ и $\partial_i[\mathbb{C} P^1]=0$ при $i\geqslant2$, получаем $\lambda_0=1$ и $\lambda_1=0$, что и требовалось. Теорема 2.1. Пусть $\pi \colon MU \to W$ – произвольный проектор на $W$. Тогда любой другой проектор $ MU \to W$ имеет вид $\pi(1+f \varDelta)$ для некоторой операции $f \in [MU, \Sigma^{-4} MU]$. Более того, если $\pi$ является $ SU$-линейным, то любой другой $ SU$-линейный проектор имеет вид $\pi(1+f \varDelta)$ для $SU$-линейной $f$. Доказательство. (Расщепляющаяся) точная последовательность расслоения из предложения 2.9 дает точную последовательность Проекторами $MU \to W$ являются те элементы из $[MU, W]$, которые отображаются в $\mathrm{id} \in [W, W]$. Такие проекторы заведомо существуют, так как $[\Sigma^3 MU, W] = 0$ (гомотопические группы $W_*$ сконцентрированы в четных размерностях). Более того, любые два проектора $ MU \to W$ отличаются на образ элемента из $[\Sigma^4 MU, W]$. Следовательно, любой проектор имеет вид $\pi + g \varDelta$, где $g \in [\Sigma^4 MU, W]$. Осталось заметить, что любая операция $g \in [\Sigma^4 MU, W]$ может быть записана в виде $\pi f$ для $f \in [\Sigma^4 MU, MU]$. Этим завершается доказательство первого утверждения.
Предположим теперь, что $\pi$ есть $SU$-линейный проектор. Тогда $SU$-линейные операции $f$ дают $SU$-линейные проекторы $\pi(1+f \varDelta)$. Обратно, если проектор $\pi (1 + f \varDelta)$ $SU$-линеен, то операция $\pi f \varDelta$ также $SU$-линейна. Обозначив через $f' \in [\Sigma^4 MU, MU]$ композицию $\pi f \in [\Sigma^4 MU, W]$ и забывающего гомоморфизма $W \to MU$, получаем $SU$-линейную операцию $f' \varDelta$. Так как операция $\varDelta$ имеют правую обратную, отсюда следует, что сама операция $f'$ также $SU$-линейна. Но теперь $\pi f' \varDelta = \pi f \varDelta$, так что мы можем заменить в выражении $\pi (1 + f \varDelta)$ операцию $f$ на $SU$-линейную операцию $f'$. Теорема доказана. Лемма 2.1. Следующие три группы $ SU$-линейных операций совпадают: 1) $ SU$-линейные операции, обращающиеся в нyль на $W$; 2) операции, имеющие вид $g \varDelta$ для $ SU$-линейных $g$; 3) операции вида $\sum_{i \geqslant 2} \lambda_i\, \partial_i$, $\lambda_i\in MU_*$. Доказательство. Операции вида $g \varDelta$ обращаются в нуль на $W$ по предложению 2.9. С другой стороны, $\sum_{i \geqslant 2} \lambda_i\, \partial_i$ обращаются в нуль на $W$ согласно [3; следствие 6.4].
Обратно, если операция обращается в нуль на $W$, то согласно тому же предложению 2.9 она имеет вид $g \varDelta$. Если операция $g \varDelta$ является $ SU$-линейной, то $g$ также $ SU$-линейна, так как операция $\varDelta$ имеет правую обратную. Наконец, по теореме 1.2 любая $ SU$-линейная операция имеет вид $\sum_{i \geqslant 0} \lambda_i \, \partial_i$. Если она обращается в нуль на $W$, то вычисляя ее на $1 \in \pi_0(W)$ и $[\mathbb{C} P^1] \in \pi_2(W)$, получаем $\lambda_0=\lambda_1=0$. Лемма доказана. Теорема 2.2. Любой проектор $ MU\to W$ имеет вид $1-f \varDelta$, где $f$ – произвольная операция, удовлетворяющая $\varDelta f =1$. Более того, различным проекторам соответствуют различные операции $f$, и $ SU$-линейным проекторам соответствуют в точности $ SU$-линейные $f$. Доказательство. Из расщепляющейся точной последовательности расслоения из предложения 2.9 получаем короткую точную последовательность
Пусть $p\in[MU, MU]$ – проектор на $W$. Так как он тождествен на $W$, он отображается в забывающий морфизм $W \to MU$. Тождественное отображение $1\in [MU, MU]$ также отображается в забывающий морфизм, откуда получаем $1-p= f \varDelta$ для некоторой $f\in [\Sigma^4 MU, MU]$, и различным $f$ соответствуют различные $p$. Следовательно, $p=1-f\varDelta$. Эта операция является проектором на $W$ тогда и только тогда, когда $\varDelta (1-f \varDelta) = 0$. Так как операция $\varDelta$ имеет правую обратную, получаем $1-\varDelta f = 0$. Обратно, из последнего условия следует $\varDelta (1-f \varDelta) = 0$. Из существования правой обратной для операции $\varDelta$ также вытекает, что проектор $p$ является $ SU$-линейным тогда и только тогда, когда $f$ является $SU$-линейной. Теорема 2.2 доказана. Любой $SU$-линейный проектор $\pi \colon MU \to W$ определяет $ SU$-билинейное умножение на $W$ по формуле
$$
\begin{equation}
W \wedge W \to MU \wedge MU \xrightarrow{m_{MU}} MU \xrightarrow{\pi} W.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Так как $\pi$ – проектор, это умножение имеет единицу, получающуюся из единицы $MSU$ посредством забывающего морфизма. Для элементов $a,b\in W_*$ обозначим через $ab$ произведение их образов в $MU_*$ при морфизме забывания. Предложение 2.12. Умножение (2.2), соответствующее $ SU$-линейному проектору $\pi=1+\sum_{i \geqslant 2} \lambda_i \, \partial_i$, имеет вид Эту формулу можно понимать как тождество на операциях из $[W\wedge W, W]_*$ или как тождество для произвольных когомологических классов $a,b\in[E,W]_*$ для произвольного спектра $E$. В частности, умножение, определяемое проектором Стонга $\pi_0=1 + \sum_{k \geqslant 2} \alpha_{1k} \, \partial_k$, имеет вид где $[V]=\alpha_{12}\in MU_4$ – класс кобордизмов $[\mathbb{C} P^1]^2 - [\mathbb{C} P^2]$. Доказательство. Достаточно доказать требуемое равенство на элементах из $W_*=[S,W]_*$. Для этого воспользуемся формулой из теоремы 1.4 и тем фактом, что операции $\partial_i$ обращаются в нуль на $W_*$ при $i \geqslant 2$ (см. [3; следствие 6.4]): Предложение доказано. Лемма 2.2 (см. [3; лемма 6.5]). Для любых элементов $a,b\in W_*$ Имеется альтернативный способ описания умножений на $W$, задаваемых $ SU$-линейными проекторами. Предложение 2.13. Умножение (2.2), соответствующее $ SU$-линейному проектору $\pi$, задается формулой где $[V]=\alpha_{12}=[\mathbb{C} P^1]^2 - [\mathbb{C} P^2]$ и $\omega=\pi[V]\in W_4$. Более того, любой элемент из $W_4$ может быть получен в качестве $\omega$ для некоторого $\pi$. Доказательство. По теореме 2.1 имеем $\pi = \pi_0 + \pi_0 f \varDelta$ для некоторой $SU$-линейной операции $f \in [MU, \Sigma^{-4} MU]$. Тогда, используя формулы из предложения 2.12 и леммы 2.2, получаем В последнем равенстве мы использовали то, что операция $\pi_0f$ является $SU$-линейной. Ясно, что любой $\omega\in W_4$ может быть получен как $\pi_0 f(1)$, что доказывает требуемое равенство. Теперь имеем Следовательно, $\pi([V] - \omega)=0$ и $\pi [V] = \pi(\omega) = \omega$. Предложение доказано. Пример 2.1. Геометрическое определение правого обратного для операции $\varDelta$ на группах бордизмов было дано Коннером и Флойдом в [5]. Это определение было расширено С. П. Новиковым [1] до когомологической операции $\varPsi \in[\Sigma^4 MU, MU]$ (см. [3; конструкция 4.2]). Таким образом, мы получаем проектор $1 - \varPsi \varDelta$, который имеет вид, описанный в теореме 2.2, – проектор Коннера–Флойда. Как замечено в [3], этот проектор не совпадает с проектором Стонга $\pi_0$, хотя эти два проектора и определяют одно и то же умножение на $W$. Это означает лишь то, что проекторы Стога и Коннера–Флойда имеют один и тот же коэффициент при $\partial_2$ в их разложениях $1+\sum_{i \geqslant 2} \lambda_i\, \partial_i$. Теорема 2.3. Любое $ SU$-билинейное умножение на $W$ со стандартной единицей (получающейся с помощью забывания из единицы $ MSU$) имеет вид для $\omega \in W_4$. Все такие умножения ассоциативны и коммутативны. Более того, из $SU$-линейных проекторов получаются в точности те умножения, для которых $\omega=2\widetilde \omega$, $\widetilde\omega \in W_4$. Доказательство. Пусть $m(x, y)$ – произвольная $SU$-билинейная операция на $W$. Продолжив ее с помощью произвольного $SU$-линейного проектора $\pi \colon MU \to W$ до $SU$-билинейной операции $m(\pi(x), \pi(y))$ на $ MU$, а затем взяв композицию с гомоморфизмом забывания $W \to MU$, получим $SU$-билинейную операцию в комплексных кобордизмах. Согласно теореме 1.3 все такие операции представляются в виде ряда от произведений $\partial_i$. В силу того, что $\partial_i$ обращается в нуль на $W$ при $i \geqslant 2$, ограничиваясь обратно на $W$, мы получаем Из условия $m(a, 1) = a$ получаем $\alpha a+\beta\, \partial a =a$. Подставляя $a=1$ и $a=[\mathbb{C} P^1]$, получаем, что $\alpha = 1$, $\beta= 0$. Аналогично, $\gamma=0$.
Наконец, необходимым и достаточным условием того, чтобы умножение принимало значения в $W$, является
$$
\begin{equation*}
0=\varDelta m(a, b) = \varDelta (ab + \delta\,\partial a\, \partial b) = -2\, \partial a\, \partial b + \varDelta\delta\, \partial a\, \partial b.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда $\varDelta\delta=2$. Так как $\varDelta [V] = 1$, это равносильно $\delta = 2[V] - \omega$, $\omega \in W_4$.
Коммутативность умножения $a*b$ очевидна. Докажем ассоциативность. Имеем
$$
\begin{equation*}
(a*b)*c = (ab +\delta \, \partial a \, \partial b)*c = (ab +\delta \, \partial a \, \partial b)c + \delta \, \partial (ab +\delta \, \partial a \, \partial b) \, \partial c.
\end{equation*}
\notag
$$
Из $SU$-линейности $\partial$ и того, что эта операция тождественно равна нулю на $ MU_4$, следует, что $\partial (\delta \, \partial a \, \partial b) = \partial\delta \, \partial a \, \partial b = 0$. Мы также имеем $\partial (ab) = a \, \partial b + b \, \partial a - [\mathbb{C} P^1] \, \partial a \, \partial b$ по лемме 2.2. В итоге получаем равенство
$$
\begin{equation*}
(a*b)*c = abc + \delta \, \partial a \, \partial b \, c + \delta a \, \partial b \, \partial c + \delta b \, \partial a \, \partial c - \delta [\mathbb{C} P^1]\, \partial a \, \partial b \, \partial c=a*(b*c).
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, из предложения 2.13 следует, что у умножений, получающихся из проекторов, коэффициент $\omega$ должен делиться на $2$. Теорема 2.3 доказана. Мы отсылаем читателя к [17] для описания общего алгебраического подхода к умножениям в комплексных кобордизмах, получаемых из проекторов. § 3. Комплексные ориентации на $W$ и формальные группыВ этом последнем параграфе мы развиваем результаты работы В. М. Бухштабера [6]. Начнем с наблюдения, что теория $c_1$-сферических бордизмов $W$ комплексно ориентируема для любого умножения (2.2). Более того, любая комплексная ориентация на $W$ получается из некоторой комплексной ориентации на $ MU$ с помощью произвольного $ SU$-линейного проектора $\pi$. Комплексная ориентация $w$ на $W$ определяет формальную группу $F_W(u,v)$ в теории $W$. В отличие от случая комплексных кобордизмов, ни для какого выбора $w$ и $\pi$ коэффициенты формальной группы $F_W$ не порождают всего кольца коэффициентов $W_*$ теории $W$. Это утверждение вместе с кратким наброском доказательства сформулировано в [6] (где также более детально разобран случай проектора Стонга $\pi_0$). Мы приводим полное доказательство, использующее технику, разработанную в предыдущих параграфах. По теореме 2.3 произвольное $ SU$-билинейное умножение на $W$ задается формулой где $\delta = 2[V] - \omega$, $\omega\in W_4$. Так как $\partial\delta=0$, мы также имеем
$$
\begin{equation}
\partial (a*b) = \partial (ab) = a\, \partial b + b\, \partial a - [\mathbb{C} P^1] \, \partial a\, \partial b.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Фиксируем некоторое $ SU$-билинейное умножение на $W$. Предложение 3.1. Теория $W$ комплексно ориентируема. Для любых $ SU$-линейного проектора $\pi \colon MU \to W$ и комплексной ориентации $\widetilde u \in \widetilde{MU}^2(\mathbb{C} P^{\infty})$ элемент $\pi(\widetilde u) \in \widetilde W^2(\mathbb{C} P^{\infty})$ является комплексной ориентацией для $W$. Более того, для любых комплексной ориентации $w$ на $W$ и $ SU$-линейного проектора $\pi \colon MU \to W$ существует такая комплексная ориентация $\widetilde u \in \widetilde{MU}^2(\mathbb{C} P^{\infty})$, что $w=\pi(\widetilde u)$. Доказательство. Рассмотрим каноническую ориентацию $u \in \widetilde{MU}^2(\mathbb{C} P^{\infty})$ в комплексных кобордизмах. Тогда $\widetilde u |_{\mathbb{C} P^1} = u|_{\mathbb{C} P^1}$. Следовательно, $\pi(\widetilde u)|_{\mathbb{C} P^1} = \pi(u)|_{\mathbb{C} P^1} = u|_{\mathbb{C} P^1}$ согласно предложению 2.11, так как $\partial_i u|_{\mathbb{C} P^1} = 0$ при $i \geqslant 1$. Отсюда следует, что $\pi(\widetilde u)$ является комплексной ориентацией $W$.
Обратно, для произвольной ориентации $w \in \widetilde W^2(\mathbb{C} P^{\infty})$ ее образ при забывающем гомоморфизме $\widetilde W^2(\mathbb{C} P^{\infty})\to \widetilde{MU}^2(\mathbb{C} P^{\infty})$ является комплексной ориентацией $\widetilde u$ для $ MU$. Следовательно, $w=\pi(\widetilde u)$ для любого $ SU$-линейного проектора $\pi \colon MU \to W$. Предложение доказано. Замечание. Как видно из доказательства, утверждение верно, поскольку комплексные ориентации в теории когомологий определяются через единицу теории. Забывающее отображение $W \to MU$ и проекторы $ MU \to W$ сохраняют стандартную единицу (наследуемую из $MSU$) и, следовательно, переводят ориентации в ориентации. Комплексная ориентация $w\in\widetilde W^2(\mathbb{C} P^\infty)$ определяет формальную группу с коэффициентами из $W^*$, которую мы обозначим $F_W(u,v)$ (она зависит от выбранных умножения и $w$, но мы не отмечаем это в обозначении). Например, мы можем взять $w=\pi_0(u)$, где $u \in \widetilde{MU}^2(\mathbb{C} P^{\infty})$ – каноническая ориентация, а $\pi_0$ – проектор Стонга. Формальная группа $F_W$ классифицируется мультипликативным преобразованием $\psi\colon MU\to W$, отправляющим $u$ в $w$. Однако, даже если $w=\pi_0(u)$, преобразование $\psi$ не совпадает с проектором $\pi_0\colon MU\to W$, так как последний не является мультипликативным. Чтобы изучить формальную группу $F_W$, мы отображаем $W$ дальше в однопараметрическое расширение $U$-теории, как описано ниже. Конструкция 3.1. Следуя [6], рассмотрим мультипликативную теорию когомологий $\varGamma$, определяемую для произвольного $CW$-комплекса $X$ формулой Аддитивно, $\varGamma^*(X)$ представляет собой свободный $MU^*(X)$-модуль с базисом $\{1,t\}$, умножение в котором задается соотношением $t^2=-[\mathbb{C} P^1]t+\delta$. Рассмотрим естественное преобразование $\varphi \colon W \to \varGamma$, заданное формулой $\varphi(x) = x + t \, \partial x$. Предложение 3.2 (см. [6; лемма 2]). Преобразование $\varphi \colon W \to \varGamma$ мультипликативно. Доказательство. Для $a,b\in W_*$, используя (3.1) и (3.2), мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (a+t \, \partial a) (b + t \, \partial b) &= ab + t (a\, \partial b + b \, \partial a) + t^2 \, \partial a\, \partial b \\ &= a*b + t \,\partial (a*b) +(t^2 + t [\mathbb{C} P^1]-\delta) \, \partial a\, \partial b = a*b + t\, \partial (a*b). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 3.2 доказано. В теории $\varGamma$ существует каноническая ориентация – образ канонической ориентации $u \in \widetilde{MU}^2(\mathbb{C} P^{\infty})$ при естественном включении $ MU \hookrightarrow \varGamma$. Мы также будем обозначать эту ориентацию теории $\varGamma$ через $u$. При отображении $\varphi$ ориентация $w$ переходит в ориентацию $\varphi(w)$ теории $\varGamma$. Следовательно, $\varphi (w)$ выражается в виде степенного ряда $\gamma(u)$ от $u$ с коэффициентами из $\varGamma^*=\varGamma^*(pt)$. Предложение 3.3 (см. [6; лемма 3]). Имеет место равенство где $F_U(u, v)$ – формальная группа в комплексных кобордизмах, рассматриваемая как формальная группа над $\varGamma^*$ посредством естественного включения $ MU \hookrightarrow \varGamma$. Доказательство. Так как $\varphi$ мультипликативно, формальная группа, соответствующая ориентации $\varphi (w)$, равняется $\varphi_* F_W$. Аналогично, так как включение $ MU \hookrightarrow \varGamma$ также мультипликативно, формальная группа, соответствующая ориентации $u$ совпадает с $F_U$, рассматриваемой как формальная группа над $\varGamma^*$. Теперь требуемое тождество вытекает из представления $\varphi(w)=\gamma(u)$. Предложение доказано. Конструкция 3.2. Обозначим через $J= MU^{<0} \subset MU^*$ идеал элементов ненулевой степени. Тогда $J^2$ – идеал разложимых элементов в $ MU^*$. Ясно, что $J^2 + t J$ является идеалом в $\varGamma^*$. Рассмотрим факторкольцо $R = \varGamma^*/(J^2+tJ)$. Как градуированная абелева группа, $R=(MU^*/J^2) \oplus \mathbb{Z}\langle t \rangle$, $\deg t = -2$. Умножение на $R$ задается условиями $ab=0$, $at=0$ для $a,b\in J/J^2$ и $t^2 = \delta$, так что $t^3=0$. Отсюда следует, что $R^{<-2} R^{<0} = 0$. Запишем
$$
\begin{equation*}
F_W (u, v) = u+v+\sum_{i\geqslant1,\,j\geqslant1} \omega_{ij} u^i v^j.
\end{equation*}
\notag
$$
Для того чтобы сравнить кольцо, порожденное коэффициентами $\omega_{ij}$, со всем кольцом $W^*$, нам нужно вычислить характеристические $s_k$-числа элементов $\omega_{ij}$. (Напомним, что $s_k$ – характеристические числа Чженя, соответствующие симметрическим многочленам $t_1^k+\dots+t_n^k$ от корней Чженя; они обращаются в нуль на разложимых элементах из $J^2\subset MU^*$.) Мы вычислим формальную группу $\varphi_* F_W(u, v) = u + v + \sum (\omega_{ij} + t \, \partial \omega_{ij}) u^i v^j$ над кольцом $R$ (т. е. приведя коэффициенты по модулю $J^2 + t J$), используя формулу из предложения 3.3. Так как $s_k$-числа равняются нулю на $J^2$, таким образом мы получим информацию об $s_k$-числах коэффициентов формальной группы $F_W$. Лемма 3.1. В кольце $\varGamma^*$ выполнено следующее равенство: где $\lambda \in MU^{-2} = W^{-2}$, $2\ell=\partial\lambda$, $\ell \in \mathbb{Z}$ и $\gamma_{i+1} = (-1)^i\alpha_{1i} + \omega_i$, $\omega_i \in W^{-2i}$. Более того, любые $\lambda$ и $\omega_i$ получаются из некоторой ориентации $w\in \widetilde W^2(\mathbb{C} P^{\infty})$. Доказательство. По предложению 3.1 каждая комплексная ориентация $w$ имеет вид $\pi_0(\widetilde u)$ для некоторой ориентации $\widetilde u$ на $ MU$. Записав $\widetilde u\in\widetilde{MU}^2(\mathbb{C} P^\infty)$ в виде степенного ряда $f(u)$ от стандартной ориентации $u$ и заметив, что $u^{i+1} = \overline \partial_i u$, получаем
$$
\begin{equation}
\widetilde u=f(u)=u+\sum_{i \geqslant 1} \lambda_i u^{i+1}= \biggl(1 + \sum_{i \geqslant 1} \lambda_i\, \overline \partial_i\biggr)u=(1+\lambda\, \partial+g\varDelta)u.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
В последнем равенстве мы использовали теорему 1.2 и лемму 2.1, чтобы записать $ SU$-линейную операцию $f = 1 + \sum_{i \geqslant 1} \lambda_i \, \overline \partial_i$ в виде $1+\lambda\, \partial+g\varDelta$ для некоторой $ SU$-линейной операции $g$. Заметим, что таким образом мы можем получить любые $\lambda$ и $g$ из некоторой ориентации $\widetilde u$.
Теперь можно записать
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \gamma(u) &= \varphi(w) = w + t \, \partial w = \pi_0(\widetilde u) + t \, \partial \pi_0(\widetilde u) = \pi_0 f (u) + t \, \partial f (u) \nonumber \\ &=(\pi_0+t\, \partial)(1+\lambda\, \partial+g\varDelta)u =\pi_0(u)+\lambda\, \partial u+\pi_0g\varDelta u+(2\ell+1)t\, \partial u+t\, \partial g\, \varDelta u \nonumber \\ &=\pi_0(u)+(\lambda+(2\ell+1)t)\, \partial u+\pi_0g\varDelta u+t\, \partial g\, \varDelta u, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где мы использовали тождество $\partial \pi_0=\partial$ из предложения 2.7 и равенства $\pi_0(\lambda\, \partial)=\pi_0(\lambda)\, \partial=\lambda\, \partial$, $t\,\partial(\lambda\, \partial)=t(\partial\lambda)\, \partial=2\ell t\, \partial$, вытекающие из $SU$-линейности операций $\pi_0$ и $\partial$.
Рассмотрим каждое из четырех слагаемых в правой части (3.4) по отдельности. Заметим, что $\partial_i u = u\overline{u}^{\,i}=(-1)^iu^{i+1}\!\mod J$. Тогда, используя формулу из предложения 2.7, получаем
$$
\begin{equation}
\pi_0 (u) = u + \sum_{i \geqslant 2} \alpha_{1i}\, \partial_i u= u + \sum_{i \geqslant 2}(-1)^i \alpha_{1i}u^{i+1} \mod J^2.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation}
(\lambda+(2\ell+1)t)\, \partial u=-(\lambda+(2\ell+1)t)u^2\mod J^2+tJ.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Согласно лемме 2.1 имеем $g\varDelta(u)=\sum_{i\geqslant2}\mu_i u^{i+1}$. Отсюда следует, что элемент $g\varDelta(u)$ из $\widetilde{MU}^2(\mathbb{C} P^\infty)$ удовлетворяет $g\varDelta(u)|_{\mathbb{C} P^2} = 0$. Более того, по лемме 2.1 любой элемент $v\in \widetilde{MU}^2(\mathbb{C} P^\infty)$, такой что $v|_{\mathbb{C} P^2} = 0$, имеет вид $g\varDelta(u)$ для некоторой $ SU$-линейной операции $g$. Применяя проектор $\pi_0$, мы также получаем элемент $\pi_0g\varDelta(u)\in\widetilde W^2(\mathbb{C} P^\infty)$, равный нулю на $\mathbb{C} P^2$. Следовательно, $\pi_0g\varDelta(u)$ выражается в виде степенного ряда от $w$ без квадратичной части по отношению к умножению $*$:
$$
\begin{equation*}
\pi_0g\varDelta(u)=\sum_{i\geqslant2}\omega_i*w^{*(i+1)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\omega_i \in W^{-2i}$ могут быть произвольными. Из (3.1) получаем $\omega_i*w = \omega_i w + \delta\, \partial \omega_i \, \partial w=\omega_iw\!\mod J^2$, где последнее равенство выполнено, так как $\delta$ и $\partial\omega_i$ лежат в $J$ для $i \geqslant 2$. Более того,
$$
\begin{equation*}
w = \pi_0(\widetilde u) = \pi_0(u) + \lambda\, \partial (u) + \pi_0 g \varDelta (u) = u\mod J.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
\pi_0g\varDelta(u)=\sum_{i\geqslant2}\omega_i u^{i+1}\mod J^2.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Наконец, по лемме 2.1 $\partial g\, \varDelta = \sum_{i \geqslant 2} \lambda_i \, \partial_i$, где $\lambda_i \in MU^{2-2i} \subset J$. Следовательно, $\partial g\, \varDelta (u) = 0\!\mod J$ и $t\, \partial g\, \varDelta (u) = 0\!\mod tJ$. Подставляя теперь полученные выражения (3.5)–(3.7) в (3.4), мы получаем требуемое равенство по модулю $J^2+tJ$. Лемма доказана. Из доказательства леммы 3.1 получается следующее условие на коэффициенты разложения $SU$-линейного проектора $\pi$ в ряд из предложения 2.11. Предложение 3.4. Пусть $\pi = 1 + \sum_{i \geqslant 2} \lambda_i \, \partial_i$ – $ SU$-линейный проектор $ MU\to W$. Тогда $\lambda_i=\alpha_{1i}+\omega_i$ по модулю разложимых элементов в $ MU^*$, где $\omega_i$ могут быть произвольными элементами из $W^{-2i}$. Доказательство. Мы имеем
$$
\begin{equation*}
\pi(u)=u+\sum_{i \geqslant 2} \lambda_i \, \partial_iu=u+\sum_{i \geqslant 2} \lambda_i u\overline u^i= u+\sum_{i \geqslant 2}(-1)^i\lambda_i u^{i+1}\mod J^2.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, используя теорему 2.1, (2.1) и (3.7), получаем Сравнивая коэффициенты в двух полученных выражениях для $\pi(u)$, мы получаем требуемое. Предложение доказано. Вернемся теперь к формальной группе
$$
\begin{equation*}
\varphi_* F_W(u, v) = u + v + \sum (\omega_{ij} + t \, \partial \omega_{ij}) u^i v^j
\end{equation*}
\notag
$$
над кольцом $\varGamma^*$. Лемма 3.2. В обозначениях леммы 3.1 Доказательство. Мы имеем $\varphi_* F_W (u, v) = \gamma F_U (\gamma^{-1}(u), \gamma^{-1} (v))$ по предложению 3.3. Более того, $\gamma(u)= u - (\lambda + (2\ell+1)t) u^2 + \sum_{i \geqslant 3} \gamma_i u^i \!\mod J^2+tJ$ по лемме 3.1. Из равенства $(F_U(x, y))^i = (x + y) ^i\!\mod J$ получаем, что
Теперь нам нужно вычислить $x=\gamma^{-1}(u)$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\gamma^{-1}(u) = u+ \sum_{j \geqslant 2} \varepsilon_j u^j,\qquad \gamma(u) = u + \sum_{i \geqslant 2} \gamma_i u^i, \quad \text{где } \gamma_2 = -\lambda -(2\ell+1)t.
\end{equation*}
\notag
$$
Все нижеследующие выкладки будут проводиться над кольцом $R\,{=}\,\varGamma^*/(J^2{+}\,tJ)$, т. е. по модулю $J^2+tJ$, см. конструкцию 3.1. Имеем $\varepsilon_j\in R^{2-2j}$ и $R^{<0}R^{<-2}=0$, откуда следует, что $\varepsilon_2\bigl(u+\sum_{i \geqslant 2} \gamma_i u^i\bigr)=\varepsilon_2(u - (2\ell+1)t u^2)$ и $\varepsilon_j\bigl(u+\sum_{i \geqslant 2} \gamma_i u^i\bigr) = \varepsilon_j u$ при $j \geqslant 3$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u &= \gamma^{-1}(\gamma (u)) = u + \sum_{i \geqslant 2} \gamma_i u^i +\sum_{j \geqslant 2} \varepsilon_j \biggl(u + \sum_{i \geqslant 2} \gamma_i u^i\biggr)^j \\ &= u + \sum_{i \geqslant 2} \gamma_i u^i + \varepsilon_2 (u - (2\ell+1)t u^2)^2 + \sum_{j \geqslant 3} \varepsilon_j u^j. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая коэффициенты при $u^j$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon_2&=-\gamma_2=\lambda+(2\ell+1)t, \\ \varepsilon_3&=2\varepsilon_2(2\ell+1)t-\gamma_3=2(\lambda+(2\ell+1)t)(2\ell+1)t-\gamma_3= 2(2\ell+1)^2\delta-\gamma_3, \\ \varepsilon_j&=-\gamma_j\quad\text{при}\quad j\geqslant4. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\gamma^{-1}(u) = u +\bigl(\lambda + (2\ell+1)t\bigr)u^2 + \bigl(2(2\ell+1)^2\delta-\gamma_3\bigr)u^3 -\sum_{j \geqslant 4} \gamma_j u^j.
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось подставить $x = \gamma^{-1}(u)$ и $y = \gamma^{-1}(v)$ в (3.8). Мы имеем $F_U(x,y)=x+y+\sum\alpha_{ij}x^iy^j=x+y+\sum\alpha_{ij}u^iv^j$ над $R$, и аналогично $\sum_{i\geqslant3}\gamma_i(x+y)^i=\sum_{i\geqslant3}\gamma_i(u+v)^i$. Для оставшегося слагаемого из (3.8) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl(\lambda + (2\ell+1)t\bigr)(x+y)^2 =\bigl(\lambda + (2\ell+1)t\bigr) \bigl(u+v+(\lambda + (2\ell+1)t)(u^2+v^2)\bigr)^2 \\ &\qquad= \bigl(\lambda + (2\ell+1)t\bigr)\bigr((u+v)^2 + 2(\lambda + (2\ell+1)t) (u+v)(u^2+v^2)\bigr) \\ &\qquad= (\lambda + (2\ell+1)t) (u+v)^2 + 2(2\ell+1)^2\delta (u+v)(u^2+v^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя полученные выражения в (3.8), в итоге получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\gamma \bigl(F_U(\gamma^{-1}(u),\gamma^{-1}(v))\bigr) = \gamma^{-1}(u) + \gamma^{-1}(v) + \sum \alpha_{ij}u^i v^j + \sum_{i \geqslant 3} \gamma_i (u+v)^i \\ &\qquad\qquad -\bigl(\lambda + (2\ell+1)t\bigr)(u+v)^2 - 2(2\ell+1)^2\delta(u+v)(u^2+v^2) \\ &\qquad= u + \bigl(\lambda + (2\ell+1)t\bigr)u^2 + \bigl(2(2\ell+1)^2\delta-\gamma_3\bigr)u^3 \\ &\qquad\qquad - \sum_{i \geqslant 4} \gamma_i u^i + v+ \bigl(\lambda + (2\ell+1)t\bigr)v^2 + \bigl(2(2\ell+1)^2\delta-\gamma_3\bigr)v^3 \\ &\qquad\qquad- \sum_{i \geqslant 4}\gamma_i v^i +\sum \alpha_{ij}u^i v^j + \sum_{i \geqslant 3} \gamma_i (u+v)^i \\ &\qquad\qquad - \bigl(\lambda + (2\ell+1)t\bigr) (u+v)^2 - 2(2\ell+1)^2 \delta (u^3 + uv^2+vu^2+v^3) \\ &\qquad= u + v - 2\bigl(\lambda + (2\ell+1)t\bigr) uv - 2\delta (2\ell+1)^2(uv^2+vu^2) \\ &\qquad\qquad + \sum \alpha_{ij} u^i v^j + \sum_{i \geqslant 3} \gamma_i \bigl((u+v)^i - u^i - v^i\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Лемма доказана. Лемма 3.3. Для коэффициентов формальной группы $F_W (u, v) = u+v+\sum\omega_{ij} u^i v^j$ имеем для $k \geqslant 3$. Доказательство. Мы имеем $t \, \partial \omega_{ij}=0\!\mod tJ$ для $i+j>2$, откуда вытекает, что $\varphi_* F_W(u,v) =u+v+(\omega_{11}+t\, \partial\omega_{11})uv+\sum_{i+j>2}\omega_{ij}u^iv^j\!\mod J^2+tJ$. Теперь требуемые равенства следуют из равенства леммы 3.2. Лемма доказана. Для целых $k\geqslant1$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, m_k &= \operatorname{\text{НОД}} \biggl\{\frac{k+1}{i}, \, 1\leqslant i \leqslant k \biggr\} \\ &= \begin{cases} 1&\text{при }k+1\neq p^\ell\text{ ни для какого простого }p, \\ p&\text{при }k+1=p^\ell\text{ для простого }p\text{ и целого }\ell>0. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3.1 (см. [2; гл. X] или [3; теорема 6.10]). По отношению к умножению, задаваемому проектором Стонга $\pi_0$, кольцо $W_*$ полиномиально с образующими в каждой положительной четной размерности кроме $4$: Полиномиальные образующие $x_k$ характеризуются условием $s_k(x_k){\kern1pt}{=}{\kern1pt}{\pm}m_k m_{k-1}$ для $k\geqslant3$. Лемма 3.4 (см. [6]). Для коэффициентов формальной группы $F_W (u, v)$ выполнено равенство при $k \geqslant 3$, где $c_k$ могут быть произвольными целыми числами в зависимости от ориентации $w$. Доказательство. Напомним, что $ MU_* \cong\mathbb{Z}[a_1, a_2, \dots]$, $a_k \in MU_{2k}$ и $s_k(a_k)=m_k$.
Для коэффициентов формальной группы $F_U$ по модулю разложимых элементов верна следующая формула:
$$
\begin{equation*}
\sum_{i+j=k+1} \alpha_{ij}u^i v^j = -a_k \frac{(u+v)^{k+1} - u^{k+1} - v^{k+1}}{m_k}\mod J^2
\end{equation*}
\notag
$$
(см., например, [8] или [2; добавление В. М. Бухштабера]), т. е.
$$
\begin{equation*}
\alpha_{ij} = - \frac{\binom{i+j}{i}}{m_{i+j-1}} a_{i+j-1} \mod J^2
\end{equation*}
\notag
$$
и, в частности, $\alpha_{1j} = - ((j+1)/m_j) a_j\!\mod J^2$. Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\gamma_{k+1} = (-1)^k \alpha_{1k} + \omega_k = (-1)^{k+1} \frac{k+1}{m_k}a_k + \omega_k \mod J^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя это в (3.9), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{i+j=k+1} \omega_{ij}u^i v^j &= - \bigl(a_k + (-1)^k (k+1) a_k - m_k \omega_k\bigr) \\ &\qquad\times \frac{(u+v)^{k+1} - u^{k+1} - v^{k+1}}{m_k}\mod J^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{\text{НОД}}\{s_{i+j-1}(\omega_{ij}) \colon i+j = k+1\} \\ &\qquad=s_k\bigl(a_k+(-1)^k(k+1)a_k - m_k\omega_k\bigr)=m_k\bigl(1 +(-1)^k(k+1) - s_k(\omega_k)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из формулы (3.1) следует, что если элемент $x \in W_{2i}$, $i \geqslant 3$, разложим в $W_*$ (по отношению к произвольному умножению), то его образ при забывающем гомоморфизме в $MU_*$ также разложим. Следовательно, $\omega_k = c_k x_k\!\mod J^2$ для некоторых целых $c_k$. А значит, $s_k(\omega_k) = c_k m_km_{k-1}$, откуда получаем требуемое. Теорема 3.2. Ни для какой комплексной ориентации на $W$ коэффициенты соответствующей формальной группы $F_W$ не порождают всего кольца $W_*$. Доказательство. Рассмотрим полиномиальную образующую $x_k$ при $k \geqslant 3$ из теоремы 3.1. Предположим, что $x_k$ лежит в кольце, порожденном коэффициентами формальной группы $F_W$. Так как разложимые в $W_*$ элементы разложимы и в $ MU_*$ (в размерностях $\geqslant 6$), получаем
$$
\begin{equation*}
s_k(x_k)=\pm \operatorname{\text{НОД}}\{s_{i+j-1}(\omega_{ij}) \colon i+j = k+1\} = \pm m_k \bigl(1+(-1)^k (k+1)+ c_k m_km_{k-1}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, по теореме 3.1 $s_k(x_k) = \pm m_km_{k-1}$. Покажем, что в некоторых размерностях $k \geqslant 3$ эти два числа не совпадают даже с точностью до знака.
Действительно, напомним, что $m_k = p$, если $k+1= p^s$ для некоторого простого $p$, и $m_k=1$ иначе. Следовательно, если $k=2^\ell$ и, вдобавок, $k+1 = p^s$ для нечетного простого $p$, то $m_km_{k-1}=2p$ и $m_k (1+(-1)^k (k+1)+ c_k m_km_{k-1})=2p+p(2^\ell+2c_kp) =2p(1+2^{\ell-1} + c_k p)$. Предположим, что $\pm2p=2p(1+2^{\ell-1} + c_k p)$, т. е. $1+2^{\ell-1} + c_k p = \pm 1$. Так как $p$ нечетно, $2^{\ell-1} + c_k p \ne 0$ ни для какого $c_k$. Поэтому $1+2^{\ell-1} + c_k p \ne 1$. Но если $1+2^{\ell-1} + c_k p = - 1$, то $-2c_k p = 4 + 2^\ell = 3 + p^s$. Это невозможно при $p>3$. В любом случае приходим к противоречию в размерностях вида $k=2^\ell=p^s-1$ для $\ell>1$. Теорема доказана. Мы также можем доказать следующий результат, сформулированный в [6]. Теорема 3.3. Пусть $A$ – подкольцо в $W_*$, порожденное коэффициентами формальной группы $F_W$. Тогда существует ориентация на $W$ такая, что $A[1/2]=W_*[1/2]$. Замечание. Доказательство, приведенное ниже, могло бы быть существенно упрощено в том случае, если бы мы знали, что кольцо $W_*$ полиномиально для произвольного $SU$-линейного умножения на $W$. Однако описание из теоремы 3.1 верно только для умножения, определяемого проектором Стонга. Доказательство будет опираться на три леммы. В первой лемме утверждается, что случай $k=2^\ell=p^s-1$, рассмотренный в доказательстве теоремы 3.2, является единственным, в котором $\operatorname{\text{НОД}}$ $s$-чисел коэффициентов формальной группы $F_W$ не совпадает с $m_km_{k-1}$. Лемма 3.5. Если $k$ не имеет вид $k=2^\ell= p^s-1$ для некоторого нечетного простого $p$, то $\operatorname{\textrm{НОД}}\{s_{i+j-1}(\omega_{ij}) \colon i+j = k+1\} = m_k m_{k-1}$ для некоторых значений $c_k$ (см. лемму 3.4). Доказательство. Согласно лемме 3.4 нам нужно найти $c_k$, для которых выполнено $1+ (-1)^k(k+1)+c_k m_k m_{k-1} = m_{k-1}$.
Если $m_{k-1}=1$, то положим $c_k=(-1)^{k+1}(k+1)/m_k$, что является целым числом, так как $m_k$ всегда делит $k+1$. Если $m_{k-1}=2$, то $k=2^\ell$. Так как $k\ne p^s-1$, получаем $m_k=1$. Требуемое равенство принимает вид $1+(2^\ell+1)+2c_k=2$, что выполнено для $c_k=-2^{\ell-1}$. Если $m_{k-1}=p$ – нечетное простое, то $k=p^s$. Следовательно, $m_k=1$ или $2$. Требуемое равенство принимает вид $1-(p^s+1)+pc_km_k=p$, что выполняется для $c_k=(p^{s-1}+1)/m_k$. Это целое число, так как $p^{s-1}+1$ четно. Лемма доказана. Лемма 3.6. Если $p^s = 2^\ell+1$ для нечетного простого $p$ и целых положительных $\ell$, $s$, то либо $s=1$ и $\ell = 2^n$ (т. е. $p$ – простое число Ферма), либо $p=3$, $s=2$ и $\ell=3$. Доказательство. Случай 1: $p=3$. Существуют очевидные решения $s\,{=}\,1$, $\ell=1$ и $s=2$, $\ell=3$.
Предположим теперь, что $s>2$, т. е. $\ell>3$. Тогда $3^s=2^\ell+1\equiv 0 \pmod 9$. Легко проверить, что $2^\ell \equiv -1 \pmod 9$ тогда и только тогда, когда $\ell = 6m+3$. Тогда $3^s=2^\ell+1=(2^{2m+1})^3+1=(2^{2m+1}+1)(2^{4m+2}-2^{2m+1}+1)$. Следовательно, $2^{4m+2}-2^{2m+1}+1=3^{s'}$ и $2^{2m+1}+1 =3^{s''}$. Из $\ell>3$ вытекает, что $m >0$, и значит, $s'>1$. Тогда $2^{4m+2}-2^{2m+1}+1 \equiv 0 \pmod 9$. Аналогично, $s''>1$ и $2^{2m+1}+1 =3^{s''} \equiv 0 \pmod 9$. Но из последнего следует, что $2^{4m+2}-2^{2m+1}+1 \equiv 1 +1 +1 =3 \not \equiv 0 \pmod 9$. Противоречие. Случай 2: $p>3$. Приводя равенство $p^s=2^\ell+1$ по модулю $3$, мы получаем $(\pm 1)^s \equiv (-1)^\ell+1 \pmod 3$. Отсюда следует, что $s$ нечетно, а $\ell$ четно. Если запишем $p-1=a2^q$ для нечетного $a$, то получаем $2^\ell+1=(a2^q+ 1)^s=a^s2^{qs}+\dots+sa2^q+1$. Предположим, что $s>1$. Тогда $\ell>q$ и $as+2^q(a^s2^{q(s-2)}+ \cdots)=2^{\ell-q}$ четно. Это противоречит тому, что $as$ нечетно. Следовательно, $s=1$ и $p=2^\ell+1$. Записав $\ell\,{=}\,r2^n$ с нечетным $r$, получим $p\,{=}\,2^\ell{+}\,1\,{=}\,(2^{2^n}{+}\,1)(2^{(r-1)2^n}{-}\,{\cdots}\,{+}\,1)$. Так как $p$ простое, получаем, что $p=2^{2^n}+1$ и $\ell=2^n$. Лемма 3.7. Если для некоторого подкольца $A \subset W_*$ выполнено $[\mathbb{C} P^1]\,{\in}\, A$ и существуют такие элементы $x_k\in A_{2k}$, $k \geqslant 2$, что $s_k(x_k)=m_km_{k-1}$ с точностью до степеней $2$, то $A[1/2]=W_*[1/2]$. Доказательство. Так как $MSU_* \subset\operatorname{Ker} \partial$, любое $ SU$-линейное умножение (3.1) индуцирует стандартное умножение на $ MSU_*$, и, следовательно, мы имеем полиномиальное подкольцо $MSU_*[1/2] \subset W_*[1/2]$. Более того, $MSU_*[1/2]$ совпадает с $\operatorname{Ker} \partial = \operatorname{Im} \partial$ в $W_*[1/2]$ (см. [2; гл. X] или [3; теорема 5.11]). Из (3.2) получаем равенство $x=(1/2)(\partial([\mathbb{C} P^1] x) + [\mathbb{C} P^1]\, \partial x)$ для любого $x\in W_*[1/2]$, из которого следует, что $W_*[1/2]$ является свободным $ MSU_*[1/2]$-модулем с базисом $\{1, [\mathbb{C} P^1]\}$. Так как по предположению $[\mathbb{C} P^1] \in A$, нам нужно показать, что $ MSU_*[1/2] \subset A[1/2]$.
Согласно теореме Новикова [18] $MSU_*[1/2]\cong\mathbb{Z}[1/2][y_2, y_3, \dots]$, $\dim y_k= 2k$. Полиномиальные образующие $y_k$ характеризуются условием $s_k(y_k)\,{=}\,{\pm} m_k m_{k-1}$ с точностью до степеней $2$ (см. [2; гл. X]). Пусть $x_1=[\mathbb{C} P^1]\in A$. Предположим по индукции, что $MSU_*[1/2]\subset A[1/2]$ в размерностях меньших, чем $2k$. Для $x_k \in A$ рассмотрим Мы имеем $\widetilde y_k \in MSU_*[1/2]$. По предположению индукции $\partial x_k \in A[1/2]$, т. е. $\widetilde y_k \in A[1/2]$. Так как элемент $x_1\, \partial x_k$ разложим, $s_k(\widetilde y_k) = s_k(x_k)=m_km_{k-1}$ с точностью до степени $2$. Значит, $\widetilde y_k$ является полиномиальной образующей в $ MSU_*[1/2]$, и следовательно, по индукции мы получаем, что $ MSU_*[1/2] \subset A[1/2]$. Лемма доказана. Доказательство теоремы 3.3. Согласно лемме 3.7 нам нужно предъявить ориентацию на $W$ и такие элементы $x_k\in A_{2k}$, $k \geqslant 2$, что $s_k(x_k)=m_km_{k-1}$ с точностью до степеней $2$.
По формуле из леммы 3.2 имеем $\omega_{11}=\alpha_{11}-2\lambda= -[\mathbb{C} P^1] - 2\lambda$. Выбирая ориентацию на $W$ такую, что $\lambda=0$, получаем $[\mathbb{C} P^1]\in A$. Далее нам нужно найти $x_2\in A$ с $s_2(x_2) = m_2m_1=3$ с точностью до степеней $2$. Умножение на $W_*$ задано формулой $a*b = ab + \delta \, \partial a\, \partial b$, $\delta = 2[V] + \omega$, $\omega \in W_4$, $[V]=[\mathbb{C} P^1]^2-[\mathbb{C} P^2]$. Имеем $W_4=\mathbb Z\langle9[\mathbb{C} P^1]^2-8[\mathbb{C} P^2]\rangle$, следовательно, $s_2(\omega)=24\alpha$ для $\alpha\in\mathbb{Z}$. Отсюда получаем $s_2(\delta) = -6+24\alpha$. По формуле из леммы 3.2 имеем
$$
\begin{equation*}
\omega_{12}=-2\delta(2\ell+1)^2+\alpha_{12}+3\gamma_3 \mod J^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя в это равенство $2\ell=\partial\lambda=0$ и $\gamma_3=\omega_2+\alpha_{12}$ (см. лемму 3.1), получаем
$$
\begin{equation*}
\omega_{12}= 4\alpha_{12}+3\omega_2-2\delta \mod J^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\omega_2 \in W_4$ можно выбрать произвольно в зависимости от ориентации $W$. Так как $s_2(\alpha_{12})=3$ и $s_2(\omega_2) = 24 \beta$ для $\beta\in\mathbb{Z}$, мы получаем $s_2(\omega_{12}) = 24-48\alpha+72 \beta$.
Случай 1: $\alpha = 3n$, $n\in\mathbb{Z}$. Положим $\beta = 2n$ и возьмем $x_2=\omega_{12}\in A$. Тогда $s_2(x_2)=24=3\cdot 2^3$. Случай 2: $\alpha = 3n + \varepsilon$, $n\in\mathbb{Z}$, $\varepsilon=1$ или $2$. Положим $\beta = -2n$ и возьмем $x_2=\omega_{12}+x_1*x_1\in A$. Тогда получим $x_1*x_1=(x_1)^2+4\delta$ и $s_2(x_2)=s_2(\omega_{12})+4s_2(\delta)=24(3\beta+2\alpha) =3\cdot\varepsilon2^4$, что также равняется $3$ с точностью до степени $2$. Осталось выбрать $x_k$ для $k\geqslant3$. Согласно лемме 3.5 существует целочисленная линейная комбинация $x_k$ коэффициентов $\omega_{ij}$ с $i+j=k+1$ такая, что $s_k(x_k)=m_k m_{k-1}$, за исключением случая $k+1=p^s=2^\ell+1$. В оставшемся случае $k=2^\ell= p^s-1$ из леммы 3.6 следует, что $p=3$, $s=2$ или $p=2^{2^n}+1$, $s=1$. В первом случае ($k=8$) по лемме 3.4 имеем $\operatorname{\text{НОД}}\{ s_k(\omega_{ij}) \colon i+j = k+1\} = 3(1+9+6c_k)$. Полагая $c_k=-2$, получаем $\operatorname{\text{НОД}}\{s_k(\omega_{ij}) \colon i+j = k+1\} = -6 = -m_k m_{k-1} $, что и требовалось. Во втором случае, полагая $c_k = (p-1)/2-1$, получаем $\operatorname{\text{НОД}} \{s_k(\omega_{ij}) \colon i+j = k+1\}=p (p^2-2p+1)=p(p-1)^2=2^{2^{n+1}} p$, что и требовалось. Теорема доказана. Авторы весьма благодарны В. М. Бухштаберу за консультации и поддержку. Мы благодарим Т. Бахмана за мотивирующее обсуждение $ SU$-линейных операций в комплексных кобордизмах и, в частности, за его вопрос, образуют ли геометрические операции Коннера и Флойда топологический базис в модуле всех $ SU$-линейных операций, ответом на который служит наша теорема 1.2. Мы также благодарим рецензента за ценные замечания.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PanChe23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|