| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Непрерывные выборки из многозначных отображений и аппроксимация в несимметричных и полулинейных пространствах И. Г. Царьковab a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9331e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ настоящей работе мы будем рассматривать обобщения линейно нормированных пространств, а именно, линейные пространства с некоторой несимметричной нормой $\|\,{\cdot}\,|$ на нем, а также обобщения линейных метрических пространств: несимметричные метрические пространства или метрические пространства на полулинейных пространствах, ярким представителем которых являются пространства замкнутых ограниченных множеств с метрикой Хаусдорфа. С многочисленными фактами, затрагивающими общие вопросы несимметричных пространств, а также с различными вопросами геометрической теории аппроксимации, можно ознакомиться, например, в работах [1]–[16]. Цель данной работы – получить новые теоремы о непрерывной выборке (селекции) из многозначных отображений, частным случаем которых являются многозначные операторы множества точек наилучшего приближения (метрические проекторы) или почти наилучшего приближения (тематика так называемых $\varepsilon$-выборок). В первой части работы мы получим обобщение теоремы Майкла о непрерывной выборке для многозначных отображений, образы которых необязательно выпуклы (теоремы 1 и 2). Здесь нам понадобится такое понятие, как $\mathring{B}$-бесконечная связность множеств в линейных нормированных пространствах. Такие множества (вместо выпуклых множеств) мы будем рассматривать как значения многозначных функций. Среди различных вариантов обобщений теоремы Майкла отметим обзор [17] и работу [18]. В качестве следствия получим теорему о неподвижной точке для полунепрерывного снизу отображения c $\mathring{B}$-бесконечно связными образами $\Psi\colon \mathcal{K}\to 2^\mathcal{K}$ компакта в $\mathcal{K}$, являющегося $\mathring{B}$-бесконечно связным множеством (следствие 1). Далее мы изучим условия, при которых существует непрерывная $\varepsilon$-выборка для любых $\varepsilon>0$ на выпуклое подмножество несимметричного линейного нормированного пространства (теорема 6). Надо отметить, что этот вопрос в существенно несимметричных пространствах не является простым в отличии от симметричных нормированных пространств. Определение 1. Пусть $(X,\varrho)$ – метрическое или полуметрическое пространство (симметричное или несимметричное), $\varepsilon>0$, $M\subset X$. Отображение $\varphi\colon X\to M$ называется аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой, если для всех $x\in X$ выполняется неравенство (соответственно $\varrho(x,\varphi(x))\leqslant (1+\varepsilon)\varrho(x,M)$), где $\varrho(x,M)=\inf_{y\in M}\varrho(x,y)$. Также рассмотрим классический пример полулинейного пространства и покажем, что для пространства $\mathbf{L}_h(X)$, состоящего из выпуклых непустых ограниченных подмножеств рефлексивного пространства $X$ и снабженного хаусдорфовой полуметрикой, верна теорема о существовании чебышёвского центра (теорема 9). § 2. Обобщение теоремы Майкла на случай многозначных отображений с бесконечно связными образамиОпределение 2. Функция $\nu\colon X\times X\to \mathbb{R}_+$ называется несимметричной полуметрикой на множестве $X$, если выполняются следующие свойства: 1) $\nu(x,x)= 0$ для всех $x\in X$; 2) $\nu(x,z)\leqslant \nu(x,y)+ \nu(y,z)$ для всех $x,y,z\in X$. Пару $\mathcal{X}=(X,\nu)$ в этом случае будем называть несимметричным полуметрическим пространством. Функцию $\sigma(x,y):=\max\{\nu(x,y), \nu(y,x)\}$ будем называть полуметрикой симметризации. Пространство $\mathcal{X}$ называется полным, если оно полно относительно полуметрики $\sigma$. Определение 3. Множество $A$ в полуметрическом (симметричном или несимметричном) пространстве $(X,\nu) $ называется бесконечно связным, если для всех $n\in \mathbb{N}$ и единичного шара $B\subset \mathbb{R}^n$ и произвольного непрерывного отображения $\varphi\colon \partial B\to A$ существует непрерывное продолжение $\widetilde{\varphi}\colon B\to A$. Множество $M\subset X$ называется $\mathring{B}$-бесконечно связным ($B$-бесконечно связным), если пересечение множества $M$ с любым открытым (замкнутым) шаром либо пусто, либо бесконечно связно. Множество $M\subset X $ называется $\mathring{B}$-стягиваемым ($B$-стягиваемым), если пересечение множества $M$ с любым открытым (замкнутым) шаром либо пусто, либо стягиваемо. Для произвольного множества $M$ некоторого несимметричного полуметрического пространства $(X,\nu)$ через $\varrho(y,M)$ ($y\in X$, $M\subset X$) обозначим расстояние до множества $M$ (правая метрическая функция), т. е. величину $\varrho(y,M)=\inf_{z\in M}\nu(y,z)$. Аналогично определяется расстояние от множества до точки, т. е. $\varrho^-(y,M)=\inf_{z\in M}\nu(z,y)$ (т. е. левая метрическая функция). Нам понадобится определение метрической проекции (правой и левой). Через $P_Mx$ (и $P_M^-x$) обозначим множества всех ближайших точек из $M$ для $x\in X$, т. е. множества
$$
\begin{equation*}
\{y\in M\mid \varrho(x,y)=\varrho(x,M)\} \quad \text{и}\quad \{y\in M\mid \varrho(y,x)=\varrho^-(x,M)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти отображения будем называть соответственно правой и левой метрическими проекциями. Отметим некоторые простые свойства функции расстояния $\varrho(\,{\cdot}\,,M)$: 1. $\varrho(x,M)\leqslant \varrho(y,M)+\varrho(x,y)\ \forall \, x,y\in X$. Действительно, так как $\varrho(x,M)\leqslant \varrho(x,z)\leqslant \varrho(x,y)+\varrho(y,z)$ для всех $z\in M$, то $\varrho(x,M)\leqslant \inf_{z\in M}(\varrho(x,y)+\varrho(y,z))= \varrho(y,M)+\varrho(x,y)$. 2. $|\varrho(x,M)- \varrho(y,M)|\leqslant \max\{\varrho(x,y),\varrho(y,x)\}=\sigma(x,y)\ \forall \, x,y\in X$. Определение 4. Пусть $(X,q)$ – полуметрическое пространство, отображение $\chi\colon X\to \overline{\mathbb{R}}$ называется полунепрерывным снизу на этом полуметрическом пространстве, если для любых точки $x\in X$ и последовательности $\{x_n\}\subset X\colon q(x,x_n)\to 0$ $(n\to\infty)$ верно неравенство $\varliminf_{n\to\infty}\chi(x_n)\geqslant \chi(x)$. Определение 5. $(X,q)$, $(Y,\nu)$ – полуметрические пространства, $M\subset Y$. Отображение $F\colon X\to 2^M$ назовем устойчивым снизу, если $F(x)\neq \varnothing$ для всех $x\in X$, и для любых $x_0\in X$ и $\varepsilon>0$ найдется такое число $\delta>0$, что $\varrho(y,F(x))-\varrho(y,F(x_0))\leqslant\varepsilon$ для всех $y\in Y$ и $x\in X$: $q(x,x_0)\leqslant\delta$. Замечание 1. Если $A\subset X$ – замкнутое множество в полуметрическом пространстве $(X,q)$, а отображение $F\colon A\to 2^M$, где $M\subset Y$ и $(A,q)$, $(Y,\nu) $ – полуметрические пространства, устойчиво снизу. Тогда, положив $F(x)=M$ для всех $x\in X\setminus A$, получим устойчивое снизу отображение $F$ на всем пространстве $X$. Для двух непустых подмножеств $A,B\subset Y$ через $d(A,B)$ обозначим одностороннее хаусдорфово расстояние (уклонение $B$ от $A$), т. е. величину $\sup_{y\in B}\varrho(y,A)$. Хаусдорфовым расстоянием между $A$ и $B$ назовем величину Отметим, что $\sup_{y\in Y}(\varrho(y,F(x))-\varrho(y,F(x_0)))$ представляет собой одностороннее хаусдорфово расстояние между множествами $F(x)$ и $F(x_0)$. В случае, когда образы отображения компактны, устойчивость снизу отображения $F$ равносильна его полунепрерывности снизу. Полунормированные пространства, которые мы будем рассматривать далее в этом параграфе, – это линейные пространства с некоторой полунормой (симметричной) $\|\,{\cdot}\,\|$, отличие которой от нормы состоит только в том, что равенство $\|x\|=0$ не влечет, вообще говоря, равенство $x=0$. Отметим, что $\varrho(x,y):=\|y-x\|$ задает на этом пространстве полуметрику (симметричную). В дальнейшем мы также будем рассматривать и несимметричные линейные нормированные пространства $(X,\|\,{\cdot}\,|)$, где $\|\,{\cdot}\,|$ – несимметричная норма, которая удовлетворяет свойствам: 1) $\|\alpha x|=\alpha\| x|$ для всех $\alpha\geqslant 0$, $x\in X$; 2) $\| x+y|\leqslant \| x |+\| y| $ для всех $x,y\in X$; 3) $\|x|\geqslant 0$ для всех $x\in X$; 3a) $\|x|= 0\ \Leftrightarrow \ x=0$. Несимметричная норма порождает на $X$ уже, вообще говоря, несимметричную метрику: $\nu(x,y):=\|y-x|$. Далее будем предполагать, что $(X,\|\,{\cdot}\,\|)$, $(Y,\|\,{\cdot}\,\|) $ – линейные полунормированные пространства (симметричные), $M\subset Y$. Также будем предполагать, что некоторое отображение $F\colon X\times[0,\vartheta]\to 2^M$ удовлетворяет следующим условиям: 1) отображение $F(\,{\cdot}\,,t)$ устойчиво снизу для всех $t\in [0,\vartheta ]$; 2) для любых чисел $t_1,t_2\colon t_1<t_2$ и произвольного ограниченного множества $\mathcal{A}\subset X$ найдется такое число $\delta>0$, что $O_\delta(F(x,t_1))\subset F(x,t_2)$ для всех $x \in \mathcal{A}$; 3) функция $d(F(x,0),F(x,t))$ непрерывна по $x$ для каждого $t\in [0,\vartheta ]$ и равномерно стремится к нулю при $t\to 0+$ на любом ограниченном множестве $\mathcal{A}\subset X$; 4) множества $F(x,t)$ бесконечно связны для всех $x\in X$ и $t\in (0,\delta_0)$. Обозначим $\Psi_{\delta}(x,t) := \{u\in M\mid \varrho(u,F(x,t))<\delta\}=M\cap O_\delta(F(x,t))$ для всех $(x,t)\in X\times [0,\vartheta]$ и $\delta\in (0,\delta_0)$. Будем также полагать, что $\chi\colon X\to \overline{\mathbb{R}}$ – некоторая полунепрерывная снизу положительная функция. Без потери общности будем считать, что $\chi(\,{\cdot}\,)\leqslant\delta_0$ (для некоторого $\delta_0>0)$, рассматривая при необходимости вместо $\chi$ функцию $\min\{\chi(\,{\cdot}\,),\delta_0\}$. Техника в леммах 1–3 представляет собой модернизацию техники из работы [16]. Лемма 1. Пусть $S\subset X$ – невырожденный симплекс размерности $n$, а множество $Q$ представляет собой объединение некоторых его собственных граней, и на этом множестве задано непрерывное отображение $\varphi\colon Q\to M$ такое, что $\varphi(x)\in F(x,t_0)$ для некоторого числа $t_0\in (0,\vartheta)$ и Тогда существует такое непрерывное продолжение $\varphi\colon S\to M$, $\varphi(x)\in F(x,t)$ для некоторого числа $t \in (t_0,\vartheta)$, и $\varrho(\varphi(x),F(x,0))\leqslant d(F(x,0),F(x,t))<\chi(x)$ для всех $x\in S$. Доказательство. Существует число $t>t_0$, для которого Пусть $t_0<t'_0<t_1<t'_1<\dots<t_n<t'_n<t_{n+1}=t$. Найдутся числа $\delta_k>0$ такие, что для всех $x \in S$ ($k=1,\dots,n+1$). Положим $\delta=(1/2)\min_{k=1,\dots,n+1}\delta_k$.
Для каждой точки $x\in S$ найдется такое число $r=r(x)\in (0,\delta)$, что для всех точек $y\in O_{2r}(x)$ верно неравенство
$$
\begin{equation*}
\sup_{u\in Y}\bigl(\varrho\bigl(u,F(y,t_k)\bigr)-\varrho\bigl(u,F(x,t_k)\bigr)\bigr)<\delta,\qquad k=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Из открытого покрытия $\{O_{r(x)}(x)\}$ множества $S$ выделим конечное подпокрытие $\{O_{r(x_j)}(x_j)\}_{j=1}^{N}$. Разобьем симплекс $S$ на конечное число симплексов $\{S_i\}$ размерности $n$ так, чтобы их диаметр был меньше $\delta$ и так, чтобы каждый из них содержался хотя бы в одной окрестности $O_{r(x_j)}(x_j)$. А, кроме того, будем считать, что различные симплексы этого разбиения пересекаются по не более, чем одной собственной грани размерности $<n$.
$1^\circ$. Для каждой $0$-мерной грани $s$ симплексов $\{S_i\}$ (т. е. вершины) найдется такой индекс $j=j_s$, для которого число $r(x_j)$ максимально среди тех, что грань $s$ принадлежит окрестности $O_{r(x_j)}(x_j)$. Если $s\notin Q$, то сопоставим точке $s$ некоторую точку $y := \varphi(s)\in F(x_j,t_0)\subset F(x_j,t'_0)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\varrho\bigl(\varphi(s),F(s,t'_0)\bigr)< \varrho\bigl(\varphi(s),F(x_j,t'_0)\bigr)+\delta=\delta,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\varphi(s)\in \Psi_{\delta}(s,t'_0)$. Если же $s\in Q$, то $\varrho(\varphi(s),F(s,t'_0))=0< \delta$, т. е. для всех $0$-мерных граней $\varphi(s)\in \Psi_{\delta}(s,t'_0)\subset F(s,t_1)$.
$2^\circ$. Предположим, что отображение $\varphi$ непрерывно продолжено на множество $T_m$, являющееся объединением граней $\{\Delta_{ik}\}$ размерности $m$ симплексов набора $\{S_i\}$. И при этом $\varphi(x)\in F(x,t_{m+1})$ для всех $x\in T_m$. Более того, для каждой грани $\Delta_{ik}$ найдется индекс $j=j_{ik}=j_{\Delta_{ik}}$, для которого $\Delta_{ik}\subset O_{r(x_j)}(x_j)$ и $\varphi(\Delta_{ik})\subset F(x_j,t'_{m})$. Возьмем произвольную $(m+1)$-мерную грань $\Delta\not\subset Q$ какого-либо симплекса из набора $\{S_i\}$. На его относительной границе $\partial\Delta$ определена функция $\varphi\colon T_m\to M$. Каждой грани $P$ границы $\partial\Delta$ размерности $k\leqslant m$ сопоставляем максимальное из чисел $r(x_l)$ $(l=l_P)$, для которых эта грань содержится в окрестности $O_{r(x_l)}(x_l)$. Эти окрестности мы также сопоставляем грани $P$. Пусть $j=j_{\Delta}$ – такой индекс, что число $r(x_j)$ – максимальное из чисел $r(x_k)$, для которых грань $\Delta$ содержится в $O_{r(x_k)}(x_k)$. Для каждой грани $\Delta_{ik}$ из границы $\partial\Delta$ значения функции $\varphi$ на ней содержатся в $F(x_{j_{ik}},t'_m)\subset F(x_{j_{ik}},t_{m+1})$ $({j_{ik}}=j_{\Delta_{ik}})$. Учитывая, что окрестность $O_{r(x_{j_{ik}})}(x_{j_{ik}})$ имеет максимальный радиус среди тех, которые содержат грань $\Delta_{ik}$, получим неравенство $r(x_{j_{ik}})\geqslant r(x_j)$. Отсюда из условия $x_j\in O_{2r(x_{j_{ik}})}(x_{j_{ik}})$ вытекает неравенство
$$
\begin{equation*}
\varrho\bigl(y,F(x_{j},t_{m+1})\bigr)-\varrho\bigl(y,F(x_{j_{ik}},t_{m+1})\bigr) <\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\varrho\bigl(\varphi(x),F(x_{j},t_{m+1})\bigr)\leqslant \varrho\bigl(\varphi(x),F(x_{j_{ik}},t_{m+1})\bigr)+\delta, \qquad x\in \Delta_{ik},
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому $\varphi(x)\in \Psi_{\delta}(x_j,t_{m+1})$, $x\in \Delta_{ik}$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\varphi(\partial\Delta)\subset \Psi_{\delta}(x_j,t_{m+1})\subset F(x_j,t'_{m+1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $F(x_j,t'_{m+1})$ бесконечно связно, то существует непрерывное продолжение $\varphi$ на $\Delta$ такое, что $\varphi(\Delta)\subset F(x_j,t'_{m+1})$. Так как
$$
\begin{equation*}
\varrho\bigl(\varphi(x),F(x,t'_{m+1})\bigr)\leqslant \varrho\bigl(\varphi(x),F(x_j,t'_{m+1})\bigr)+\delta
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x\in \Delta$, то $\varphi(x)\in \Psi_{\delta}(x, t'_{m+1})\subset F(x,t_{m+2})$ для всех $x\in \Delta$.
Поскольку все различные грани размерности $m+1$ пересекаются только по собственным граням, то отображение $\varphi$ корректно определено на множестве $T_{m+1}$, представляющем собой объединение всех граней размерности $m+1$ симплексов из набора $\{S_i\}$. При этом $\varphi \in C(T_{m+1})$. $3^\circ$. Из принципа математической индукции вытекает, что на множестве $T_n\,{=}\, S$ построено непрерывное отображение $\varphi\colon T_n\to M$ такое, что $\varphi(x)\in F(x,t)$ $(x\in S)$. Тем самым для всех $y\in S $ верно неравенство
$$
\begin{equation*}
\varrho\bigl(\varphi(y),F(y,0)\bigr)\leqslant d\bigl(F(y,0),F(y,t)\bigr)<\chi(y),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\varphi$ – искомое отображение.
Лемма доказана. Замечание 2. Из доказательства леммы 1 видно, что для точек $y$ симплексов $S_i$, не принадлежащих изначально множеству $Q$, верно $\varphi(y)\in F(x_j,t)$ для некоторого индекса $j$, для которого $y\in O_{r(x_j)}(x_j)$, и И, следовательно, если в начале построения множество $Q$ пусто, то все точки $y$ из произвольного симплекса $S_i$ обладают этим свойством. Лемма 2. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,\|)$ и $(Y,\|\,{\cdot}\,\|) $ – линейные полунормированные пространства, $M\subset Y$, $\{x_\alpha\}_\alpha$ – набор векторов из $X$, $\Sigma=\{S_\beta\}_\beta$ – набор симплексов, вершины которых составляют конечный поднабор из $\{x_\alpha\}_\alpha$, и при этом все различные симплексы $S_\beta$ либо не пересекаются, либо пересекаются по своим собственным граням, либо один из них является собственной гранью другого; $T$ – объединение некоторых симплексов набора $\Sigma$, а многозначное отображение $F$ описано выше. Тогда существует такое отображение $\varphi\colon T\to M$, что $\varrho(\varphi(x),F(x,0))<\chi(x)$ для всех $x\in T$, и отображение $\varphi$ непрерывно на каждом из симплексов, составляющих $T$. Доказательство. Без потери общности будем считать, что все грани симплексов $S_\beta$ также принадлежат набору $\Sigma$. Для каждого $0$-мерного симплекса $s$ из набора $\Sigma $ (т. е. какой-то точки из набора $\{x_\alpha\}_\alpha)$ определим $\varphi(s)$ как некоторый элемент $y\in M\colon \varrho(y,F(s,0))<\chi(s)$.
$1^\circ$. Согласно лемме 1 существует такое непрерывное продолжение отображения $\varphi$ на каждый одномерный симплекс $S\in \Sigma$, что $\varrho(\varphi(y),F(y,0))<\chi(y)$ для всех $y\in S$. $2^\circ$. Пусть отображение $\varphi\colon T_m\to M$ построено на объединении $T_m$ всех $m$-мерных симплексов из набора $\Sigma$ и непрерывно на каждом таком симплексе. При этом для любого $(m+1)$-мерного симплекса $S\in \Sigma$ на его относительной границе $\partial S$ непрерывное отображение $\varphi$ удовлетворяет свойствам $\varrho(\varphi(y),F(y,0))<\chi(y)$ для всех $y\in \partial S$. В силу леммы 1 существует такое непрерывное продолжение $\varphi\colon S\to M$, что $\varrho(\varphi(y),F(y,0))<\chi(y)$ для всех $y\in S$. Построенное отображение будет корректно определено на объединении всех $(m+1)$-мерных симплексов набора $\Sigma$, так как различные $(m+1)$-мерные симплексы пересекаются только по собственным граням (если они вообще пересекаются). При этом на каждом таком симплексе это отображение непрерывно. $3^\circ$. Таким образом, мы построим такое отображение $\varphi\colon T\to M$, что и отображение $\varphi$ непрерывно на каждом из симплексов, составляющих $T$. Лемма доказана.Замечание 3. Поскольку любое конечномерное пространство $X$ можно представить в виде множества $T$ из леммы 2, то существует такая функция $\varphi\in C(X,M)$, что $\varrho(\varphi(x),F(x,0))<\chi(x))$ для всех $x\in X$. Замечание 4. Пусть $\Sigma$ – набор симплексов из леммы 2. Поскольку при доказательстве этой леммы и при построении функции $\varphi$ используется лемма 1, то в силу замечания 2 для каждого симплекса $S_i$ из набора $\Sigma$ (после измельчения) верно $\varphi(y)\in F(x_j,t)$ для некоторого индекса $j$, для которого $y\in O_{r(x_j)}(x_j)$, и Лемма 3. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,\|)$ и $(Y,\|\,{\cdot}\,\|) $ – линейные нормированные пространства, $M\subset Y$, а многозначное отображение $F$ из леммы 1. Тогда существует такое отображение $\widehat{\varphi}\in C(X, M)$, что $\varrho (\widehat{\varphi}(x),F(x,0))<\chi(x) $ для всех $x\in X$. Доказательство. В силу замечания 3 достаточно рассмотреть случай, когда $\dim X=\infty$. Найдется непрерывная функция $\widehat{\chi}\colon X\to \mathbb{R}$ такая, что $0<\widehat{\chi}(x)<\chi(x)$ для всех $x\in X$.
Для каждой точки $x\in X $ найдется максимальное число $\delta=\delta(x)\in (0,1]$ такое, что верны неравенства $\inf_{O_{3\delta}(x)}\widehat{\chi}\geqslant 4\delta$. Отметим, что если $O_{\delta(y)}(y)\cap O_{\delta(z)}(z)\neq\varnothing$ и для определенности $\delta(y)\geqslant \delta(z)$, то $z\in O_{2\delta(y)}(y)$. Отсюда $\delta(z)\geqslant \delta(y)/3$, иначе $O_{3\delta(y)}(y)\supset O_{\delta'}(z)\supset O_{3\delta(z)}(z)$ $(\delta'>3\delta(z))$, и следовательно, $\widehat{\chi}\geqslant 4\delta(y)\geqslant 12 \delta(z)$ на $O_{\delta'}(z)\supset O_{3\delta(z)}(z)$, что противоречит максимальности выбора числа $\delta(z)$. Пусть $r=r(x)\in (0,\delta(x)/3)$ такое число, что для всех точек $y\in O_{2r}(x)$ верно неравенство $\sup_{u\in Y}(\varrho(u,F(y,0))-\varrho(u,F(x,t)))<\delta=\delta(x)$. Отметим, что если $y\in O_{2r(x)}(x)$ ($O_{2r(x)}(x)\subset O_{\delta(x)}(x)$), то $r(x)<\delta(x)/3\leqslant\delta (y)$. Впишем в открытое покрытие $\{O_{r(x)}(x)\}$ открытое локально конечное покрытие $\{U_\alpha\}_\alpha$. Кроме того, для всякого $\alpha$ найдется точка $y_\alpha$, для которой $U_\alpha\subset O_{r(y_\alpha)}(y_\alpha)$. И пусть $\{g_\alpha\}_\alpha$ – разбиение единицы, связанное с этим покрытием, т. е. $g_\alpha\equiv 0$ вне $ U_\alpha$; $\sum_\alpha g_\alpha\equiv 1$ на $X$, $g_\alpha\geqslant 0$ для всех $\alpha$. Выберем такой набор векторов $\{x_\alpha\}$, что $x_\alpha\in U_\alpha$ для всех $\alpha$, и любой конечный поднабор векторов линейно независим. Рассмотрим непрерывное отображение $q(t)=\sum_\alpha x_\alpha g_\alpha(t)$. Для каждой точки $y\in X$ множество индексов $\mathcal{A}=\{\alpha\mid y\in \overline{U_\alpha} \}=\{\alpha_1,\dots,\alpha_N\}$ конечно, и найдется такая окрестность $O(y)$, что множество индексов $\{\alpha\mid U_\alpha\cap O(y)\neq\varnothing\}=\mathcal{A} =\{\alpha_1,\dots,\alpha_N\}$. Пусть индекс $i$ таков, что $\max_{j=1,\dots,N}r(y_{\alpha_j})=r(y_{\alpha_i}) := r_y=r$. Тогда $U_{\alpha_j}\subset O_{2r}(y_{\alpha_i})$ для всех $j=1,\dots,N$. Следовательно, симплекс $S_y$ с вершинами в точках $\{x_{\alpha_1},\dots,x_{\alpha_N}\}$ содержится в $O_{2r}(y_{\alpha_i})$. Все различные симплексы вида $S_y$ $(y\in X)$ либо не пересекаются, либо пересекаются по своим собственным граням, либо один из них является собственной гранью другого. В силу леммы 2 на множестве $T=\bigcup_yS_y$ существует отображение $\varphi\colon T\to M$ непрерывное на каждом $S_y$ и такое, что $\varrho (\varphi(u),F(u,0))<\widehat{\chi}(u) $ для всех $u\in T$. Для непрерывной функции $q(u)=\sum_\alpha x_\alpha g_\alpha(u)\in S_y\subset O_{2r}(y_{\alpha_i})$ для всех $u\in O(y)$ верны соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi(q(u))\in F(y_{\alpha_i},t)\quad\text{для некоторого индекса }\alpha_i, \\ \varrho\bigl(\varphi(q(u)),F(q(u),t)\bigr)\leqslant \varrho\bigl(\varphi(q(u)),F(y_{\alpha_i},t)\bigr)+\delta \leqslant\delta, \\ \varrho\bigl(\varphi(q(u)),F(u,0)\bigr)\leqslant\varrho\bigl(\varphi(q(u)),F(u,t)\bigr)+\delta\leqslant \varrho\bigl(\varphi(q(u)),F(y_{\alpha_i},t)\bigr)+2\delta\leqslant 2\delta. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\widehat{\varphi}(y)=\varphi(q(y))$. Тогда $\widehat{\varphi}\in C(X,M)$ и $\varrho(\widehat{\varphi}(y),F(y,0))\leqslant 2\delta(y)\,{<}\,\chi(y)$ для всех $y\in X$. Лемма доказана. Замечание 5. В условиях леммы 3 пространство $(X,\|\,{\cdot}\,\|)$ можно заменить на метрическое линейное пространство без изменения утверждения этой леммы. А затем это пространство заменить на произвольное метрическое пространство $(D,\nu)$, устроив изометричное $\tau\colon D\to X$ вложение его в пространство непрерывных функций $X:= C_b(D,\mathbb{R})$ с метрикой $\upsilon(f,g):=\sup_D|f(\,{\cdot}\,)-g(\,{\cdot}\,)|$, положив $\tau(x):=\nu(x,{\cdot}\,)\in C_b(D,\mathbb{R})$. Отображение $F$ при этом надо продолжить на все пространство $C_b(D,\mathbb{R})$, положив $F(x,t):=M$ для всех точек $x\notin \tau(X)$ и $t\in \mathbb{R}$. Таким образом, в лемме 3 можно считать $X$ произвольным метрическим пространством. В следующей теореме нам понадобится доказанное в работе [16; следствие 4] утверждение: любая замкнутая (открытая) $r$-окрестность ($r>0$) $\mathring{B} $-бесконечно связного замкнутого множества в банаховом пространстве является $\mathring{B}$-бесконечно связным множеством, а следовательно, непустое пересечение этой окрестности и произвольного открытого шара является бесконечно связным множеством. Также в следующей теореме положим $M=Y$. Отметим, что рассмотрение в следующей теореме 1 полунормированного пространства $(Y,\|\,{\cdot}\,\|)$ сводится к случаю нормированного пространства с помощью факторизации полупространства $Y$ по подпространству $L:=\{y\in Y\mid\|y\|=0\}$ и рассмотрении на полученном факторпространстве нормы этого факторпространства. Теорема 1. Пусть $(X,\upsilon)$ – метрическое пространство, $(Y,\|\,{\cdot}\,\|)$ – полное линейное полунормированное пространство, а многозначное отображение $\Phi\colon X\to 2^Y$ устойчиво снизу и имеет замкнутые $\mathring{B} $-бесконечно связные в $ (Y,\|\,{\cdot}\,\|) $ образы. Тогда существует отображение $\varphi\in C(X, Y)\colon \varphi(x)\in \Phi(x)$ для всех $x\in X$. Доказательство. 1. В силу леммы 3 и комментария перед теоремой найдется $\psi_1\in C(X, Y)\colon \varrho(\psi_1(x),\Phi(x))<1/2$ ($x\in X$).
2. Пусть построено отображение $\psi_n\in C(X, Y)\colon \varrho(\psi_n(x),\Phi(x))<1/2^n$. Положим $\chi(x)=2^{-n-1}-(1/2)\varrho(\psi_n(x),\Phi(x))$ и $\delta(x)=(1/2)\varrho(\psi_n(x),\Phi(x))$. Рассмотрим многозначные отображения $H(x,t)=O_{\delta(x)+t}(\Phi(x))$ и $G(x,t)=O_{2^{-n-1}+t}(\psi_n(x))$ ($x\in X$). Тогда множества $F(x,t)=H (x,t)\cap G (x,t)$ непусты для всех $t\geqslant 0$ и бесконечно связны. Более того, нетрудно видеть, что отображение $F$ удовлетворяет условиям, сформулированным перед леммой 1, а следовательно, для него верно утверждение леммы 3 и замечания 5. Поэтому существует отображение $\psi_{n+1}\in C(X, Y)\colon \varrho(\psi_{n+1}(x),F(x,0))<\chi(x)$ ($x\in X$). Отсюда $\varrho(\psi_{n+1}(x),\Phi(x))<\delta(x)+\chi(x)=2^{-n-1}$ и $\|\psi_{n+1}(x)-\psi_n(x)\|<2^{-n}$. 3. Последовательность $\{\psi_n(x)\}$ равномерно фундаментальна в $(Y,\|\,{\cdot}\,\|)$, поэтому сходится к некоторому непрерывному отображению $\varphi\colon X\to Y$. При этом $\varrho(\psi_{n+1}(x),\Phi(x))<2^{-n-1}\to 0$ ($n\to\infty$), и следовательно, $\varrho(\varphi(x),\Phi(x))=0$, т. е. $\varphi(x)\in \Phi(x)$ для всех $x\in X$. Теорема доказана. Так же, как и в рассмотренной выше теореме, в следующем утверждении случай полунормированного пространства $ (X,\|\,{\cdot}\,\|)$ сводится к случаю нормированного с использованием факторизации по пространству элементов, имеющих нулевую полунорму. Следствие 1. Пусть $ (X,\|\,{\cdot}\,\|) $ – линейное полунормированное пространство, $\mathcal{K}$ – компакт в пространстве $X$, являющийся $\mathring{B}$-бесконечно связным множеством, отображение $\Psi\colon \mathcal{K}\to 2^\mathcal{K}$ полунепрерывно снизу, и для всех $y\in \mathcal{K}$ множество $ \Psi(y)$ является $\mathring{B}$-бесконечно связным компактом. Тогда найдется неподвижная точка $x_0\in \mathcal{K}\colon x_0\in \Psi(x_0)$. Доказательство. Без потери общности можно считать, что $X$ – полное пространство. В силу $\mathring{B}$-бесконечно связности компакта $\mathcal{K}$ на него существует непрерывная мультипликативная $\varepsilon$-выборка ($\varepsilon$-селекция) $\psi\colon X\to \mathcal{K}$ (для некоторого $\varepsilon>0$), которая является ретрактом всего пространства $X$ на $\mathcal{K}$ (см. [16; следствие 2]). Тогда отображение $\Phi=\Psi\circ \psi$ является устойчивым снизу. Как мы уже отмечали ранее, если образы полунепрерывного снизу отображения компактны, то оно устойчиво снизу. Применяя предыдущее утверждение, мы построим непрерывное отображение $\varphi\colon X\to X$: $\varphi(x)\in \Phi(x)$ ($x\in X$).
В силу теоремы Шаудера существует неподвижная точка $x_0\in \mathcal{K}$ для непрерывного отображения $\varphi$, суженного на выпуклую оболочку компакта $ \mathcal{K}$. Тогда $x_0=\varphi(x_0)\in \Phi(x_0)=\Psi(x_0)$. Следствие доказано. Попытки получить селекционные теоремы для более общих свойств пространств, чем метризуемость, а также попытки найти хорошее сочетание структуры выпуклости и структуры метрики делались неоднократно. Отметим в этом направление работы Майкла [19], Бира [20] и обзорную статью Д. Реповша, П. В. Семенова [17] для ознакомления с соответствующей тематикой. § 3. Непрерывные $\varepsilon$-выборки в несимметричных метрических пространствахОпределение 6. Множество $X$ будем называть полулинейным пространством (или конусом) над полем $\mathbb{R}$, если на этом множестве определены операции сложения элементов (векторов) и умножения их на неотрицательные числа, и выполняются следующие свойства для произвольных $x,y,z\in X$ и $\alpha,\beta\in \mathbb{R}_+$: 1) $x+y=y+x$; 2) $x+(y+z)=(x+y)+z$; 3) существует и единственен нулевой элемент $\theta\in X$, для которого $x+\theta=x$; 4) $\alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y$; 5) $(\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta y$; 6) $\alpha(\beta x)=(\alpha\beta)x$; 7) $0\cdot x=\theta$; $1\cdot x=x$. Когда не будет возникать путаницы, нулевой элемент $\theta$ будем обозначать как $0$. Определение 7. Пару $\mathcal{X}=(X,\varrho)$ будем называть полулинейным несимметричным полуметрическим пространством, если несимметричная полуметрика $\varrho$ определена на полулинейном пространстве $X$, и операции сложения элементов (векторов) и умножения их на неотрицательные числа непрерывны, т. е. для любых последовательностей $\{\alpha_n\},\{\beta_n\}\subset \mathbb{R}_+$ и $\{x_n\},\{y_n\}\subset X$, сходящихся соответственно к $\alpha,\beta\in \mathbb{R}_+$ и $x,y\in X$, последовательность $\sigma(\alpha_n x_n+\beta_n y_n,\alpha x +\beta y)$ сходится к $0$, где $\sigma$ – полуметрика симметризации. Множество $M\subset X$ называется выпуклым, если $[a,b]\subset M$ для всех $a,b\in M$. Несимметричная метрика $\varrho$ называется обобщенно выпуклой (выпуклой) на выпуклом множестве $M\subset X$, если $\varrho(z,\alpha x+(1-\alpha)y)\leqslant \max\{\varrho(z,x),\varrho(z,y)\}$ $\bigl(\varrho(z,\alpha x+(1-\alpha)y)\leqslant \alpha\varrho(z,x)+(1-\alpha)\varrho(z,y)\bigr)$ для всех $\alpha\in[0,1]$, $z\in X$ и $x,y \in M$. В частности, из выпуклости $\varrho$ вытекает ее обобщенная выпуклость. Замечание 6. Если несимметричная полуметрика обобщенно выпукла на $M$, то для любого отрезка $[x,y]\subset M$ выполнено неравенство Замечание 7. Если несимметричная полуметрика обобщенно выпукла на выпуклом множестве $M$, то непустое пересечение этого множества с произвольным открытым шаром является стягиваемым по себе в точку множеством, и следовательно, $M$ – $\mathring{B}_\varrho$-бесконечно связно (т. е. непустое пересечение с любым открытым шаром бесконечно связно). Поэтому в силу [12; теорема 5] существует непрерывная $\varepsilon$-выборка на выпуклое множество $M$ для всех $\varepsilon>0$. Следующее утверждение доказано в [12; следствие 6]. Теорема A. Пусть $(X,\varrho)$ – полулинейное полуметрическое пространство, в котором метрика $\varrho$ обобщенно выпукла, и для полуметрики выполняются равенства $\varrho(x,y)=\varrho(y,x)$ и $\varrho(x,(1-\alpha)x+\alpha y)= \alpha \varrho(x,y) $ для всех $x,y\in X$ и $\alpha\in [0,1]$ (в частности, это верно в пространстве $\mathbf{L}_h$, см. ниже § 4). Пусть множество $M $ является $\mathring{B}_\varrho$-бесконечно связным в $X$, или в этом пространстве множество $M$ для любого $\varepsilon>0$ имеет непрерывную аддитивную $\varepsilon$-выборку. Тогда любая $r$-окрестность $(r>0)$ этого множества является $\mathring{B}_\varrho$-бесконечно связной. Полностью повторяя доказательство теоремы 1, с помощью теоремы A мы получим следующее утверждение, являющееся обобщением теоремы 1 и расширением классического варианта теоремы Майкла. Теорема 2. Пусть $(X,\upsilon)$ – метрическое пространство, $(Y,\varrho)$ – полное полулинейное полуметрическое пространство, в котором метрика $\varrho$ обобщенно выпукла и для полуметрики выполняются равенства $\varrho(x,y)=\varrho(y,x)$ и $\varrho(x,(1-\alpha)x+\alpha y)= \alpha \varrho(x,y) $ для всех $x,y\in X$ и $\alpha\in [0,1]$; а многозначное отображение $\Phi\colon X\to 2^Y$ устойчиво снизу и имеет замкнутые $\mathring{B}$-бесконечно связные в $(Y,\|\,{\cdot}\,\|)$ образы. Тогда существует отображение $\varphi\in C(X, Y)\colon \varphi(x)\in \Phi(x)$ для всех $x\in X$. Замечание 8. В [11; замечание 1] было отмечено, что в несимметричном линейно нормированном пространстве $(Y,\|\,{\cdot}\,|)$, несимметричная норма которого эквивалентна норме симметризации $\|\,{\cdot}\,\|_{\mathrm{sym}}$ (см. определение ниже), любые открытые (замкнутые) $r$-окрестности $\mathring{B}$-бесконечно связного множества $M\subset Y$ являются $\mathring{B}$-бесконечно связными в $Y$. Пользуясь этим утверждением, нетрудно перенести результат теоремы 2 на случай, когда $Y$ из этой теоремы – полное несимметричное нормированное пространство, несимметричная норма которого эквивалентна норме симметризации. Следствие 2. Пусть $(Y,\|\,{\cdot}\,|)$ – полное несимметричное линейное пространство, норма которого эквивалентна норме симметризации, или $(Y,\varrho)$ – полное полулинейное полуметрическое пространство, в котором метрика $\varrho$ обобщенно выпукла и для полуметрики выполняются равенства $\varrho(x,y)=\varrho(y,x)$ и $\varrho(x,(1-\alpha)x+\alpha y)= \alpha \varrho(x,y)$ для всех $x,y\in X$ и $\alpha\in [0,1]$. Пусть $M\subset Y$ обладает устойчивой снизу метрической проекцией $P_M$ $(P_M^-)$, образы которой замкнуты и $\mathring{B}$-бесконечно связные в $Y$. Тогда существует отображение $\varphi\in C(X, M)\colon \varphi(x)\in P_M(x)$ ($P_M^-(x)$) для всех $x\in X$. Аналогично верно и следующее утверждение. Следствие 3. Пусть $(Y,\|\,{\cdot}\,|)$ – полное несимметричное линейное пространство, норма которого эквивалентна норме симметризации, или $(Y,\varrho)$ – полное полулинейное полуметрическое пространство, в котором метрика $\varrho$ обобщенно выпукла и для полуметрики выполняются равенства $\varrho(x,y)=\varrho(y,x)$ и $\varrho(x,(1-\alpha)x+\alpha y)= \alpha \varrho(x,y)$ для всех $x,y\in X$ и $\alpha\in [0,1]$. Пусть $M\subset Y$ обладает многозначной выборкой $\Psi\colon X\to 2^M$ из метрической проекцией $P_M$ ($P_M^-$), устойчивой снизу, образы которой замкнуты и $\mathring{B}$-бесконечно связные в $Y$. Тогда существует отображение $\varphi\in C(X, M)\colon\varphi(x)\in \Psi(x)\subset P_M(x)$ ($P_M^-(x)$) для всех $x\in X$. Замечание 9. Поскольку в условиях следствия 2 и следствия 3 существует непрерывная выборка из метрической проекции, то для любого замкнутого правого шара $B(x,r):=\{y\in Y\mid \varrho(x,y)\leqslant r\}$ или левого шара $B^-(x,r):=\{y\in Y\mid \varrho(y,x)\leqslant r\}$, имеющих непустое пересечение с $M$, соответствующая непрерывная выборка $\varphi$ отображает конус $K:=\{z\in [x,y]\mid y\in M\cap B(x,r)\}\subset M\cap B(x,r)$ или соответственно конус $K^-:=\{z\in [x,y]\mid y\in M\cap B^-(x,r)\}\subset M\cap B^-(x,r)$ в себя и является тождественной на множестве соответственно $M\cap B(x,r)$ или $M\cap B^-(x,r)$. Отсюда вытекает, что в этих случаях множества $ P_M(x)$ ($P_M^-(x)$) и $M\cap B(x,r)$ ($M\cap B^-(x,r)$) являются ретрактами соответствующего конуса, а следовательно, являются стягивающимися множествами по себе в точку. Отсюда следует, что непустое пересечение множества $M$ с замкнутым правым (левым) шаром является стягиваемым множеством. Рассмотрим теперь случай несимметричной полунормы на линейном пространстве. Далее в этом параграфе мы будем рассматривать классы линейных пространств с несимметричной нормой или полунормой $\|\,{\cdot}\,|$ на нем. Для несимметричной нормы на линейном пространстве $X$ требуются соответствующие свойства-аксиомы: 1) $\|\alpha x|=\alpha\| x|$ для всех $\alpha\geqslant 0$, $x\in X$; 2) $\| x+y|\leqslant \| x |+\| y|$ для всех $x,y\in X$; 3) $\|x|\geqslant 0$ для всех $x\in X$; 3a) $\|x|= 0 \ \Leftrightarrow \ x=0$. Несимметричная норма так же, как и симметричная, задается функционалом Минковского некоторого тела, содержащего нуль в своем ядре, но при этом не требуется, чтобы нуль являлся центром симметрии этого тела. В общем случае пространство с несимметричной нормой удовлетворяет только аксиоме отделимости $T_1$ (т. е. для любых $a, b \in X$ найдутся их окрестности $O(a)$, $O(b)$ такие, что $a\notin O(b)$, $b\notin O(a)$) и может быть нехаусдорфовым (т. е. может не удовлетворять аксиоме $T_2$). Также можно рассмотреть несимметричную полунорму $\|\,{\cdot}\,|$, для которой все условия 1)–3) сохраняются, а условие 3a) заменяется на условие $(\|x|= 0=\|{-}x|)\ \Rightarrow\ x=0$. В этом случае несимметричное пространство $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ обладает лишь аксиомой отделимости $T_0$, и такие пространства мы назовем полунормированными. Случай несимметричных полунормированных пространств будем явно формулировать в соответствующих утверждениях в отличии от несимметричных нормированных линейных пространств. Отметим, что вместе с несимметричной нормой или полунормой $\|\,{\cdot}\,|$ на том же пространстве удобно рассматривать норму симметризации
$$
\begin{equation*}
\|x\|=\|x\|_{\mathrm{sym}}:=\max\{\|x|,\|{-}x|\},\qquad x\in X.
\end{equation*}
\notag
$$
Если на множестве $M\subset X$ рассматривается топология, порожденная нормой симметризации, то будем писать $M^{\mathrm{sym}}$ вместо $M$. Также полезно рассматривать симметричную полунорму $\|\,{\cdot}\,\|_{\Sigma}$, определяемую соотношением В [21] было доказано, что эта полунорма наибольшая из симметричных полунорм, удовлетворяющих неравенству $\|\,{\cdot}\,\|_{\Sigma}\leqslant\|\,{\cdot}\,|,\|{-}\,{\cdot}\,|$. Через $B(x,r)$ и $\mathring{B}(x,r)$ обозначим соответственно замкнутый и открытый правые шары в линейном несимметричном нормированном пространстве или в несимметричном полунормированном пространстве $\mathcal{X}=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ с центром $x$ радиуса $r$, т. е. соответственно множества $\{y\in X\mid \|y-x|\leqslant r\}$ и $\{y\in X\mid \|y- x|< r\}$. Обозначим также через $B^-(x,r)$ и $\mathring{B}^-(x,r)$ соответственно множества (левые шары) $\{y\in X\mid \|x- y|\leqslant r\}$ и $\{y\in X\mid \|x- y|< r\}$. Топология пространства $X$ определяется открытыми шарами $\mathring{B}(x,r)$ как предбазой (так называемая правая топология); топология, определяемая открытыми шарами $\mathring{B}^-(x,r)$ как предбазой, называется левой. Определение 8. Пусть $\varnothing \ne M\subset X$. Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой солнечности, если существует точка $y\in P_Mx\ne \varnothing$ (называемая точкой светимости) такая, что $y\in P_M((1-\lambda)y+\lambda x)$ для всех $\lambda\geqslant 0$ (это геометрически означает, что из точки $y$ исходит луч, проходящий через $x$, для каждой точки которого $y$ является ближайшей из $M$). Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой строгой солнечности, если $P_Mx\ne\varnothing$, и каждая точка $y\in P_Mx$ является точкой светимости. Если все точки из $X\setminus M$ являются точками солнечности (строгой солнечности), то множество $M$ называют солнцем (строгим солнцем). В работе [9] было доказано следующее утверждение. Теорема B. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное конечномерное пространство, $M\subset X$ обладает полунепрерывной снизу метрической проекцией $P_M$. Тогда существует непрерывное отображение $\varphi\colon X\to M$: $\varphi(x)\in P_Mx$ для всех $x\in X$. В [14; теоерема 5] было показано, что в конечномерном несимметричном полиэдральном пространстве множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией является строгим солнцем. Отсюда и из теоремы B вытекает следующее утверждение. Теорема 3. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное конечномерное пространство, $M\subset X$ обладает полунепрерывной снизу метрической проекцией. Тогда существует непрерывное отображение $\varphi\colon X\to M$: $\varphi(x)\in P_Mx$ для всех $x\in X$. При этом множество $M$ является $B$-стягиваемым и в полиэдральном пространстве является строгим солнцем. Определение 9. Путь $p\colon [0,1]\to X$ в линейном несимметричном пространстве $X$ называется монотонным, если $x^*(p(\tau))$ является монотонной функцией для любого экстремального функционала $x^*$ единичной нормы. Подмножество $M\subset X$ называется монотонно линейно связным, если любые две точки из $M$ можно соединить монотонным путем, след которого лежит в $M$. Множество $M$ в линейном нормированном пространстве $X$ называется устойчиво монотонно линейно связным, если существует непрерывное отображение $p\colon M\times M\times[0,1]\to M$, для которого $p(x,y,{\cdot}\,)$ является монотонным путем, соединяющим точки $x,y\in M$. Для нормированных пространств монотонная линейная связность была введена А. Р. Алимовым (см. [22]). Известно, что замкнутый и открытый шары являются монотонно линейно связными множествами, и пересечение их с любым монотонно линейно связным множеством является монотонно линейно связным множеством. Устойчиво монотонно линейно связное множество обладает тем же свойством и является $B$- и $\mathring{B} $-стягиваемым, а следовательно, $\mathring{B}$-бесконечно связным. Компактное монотонно линейно связное множество также $\mathring{B}$-бесконечно связно. Таким образом, из теоремы 3 и следствия 3 вытекает следующее утверждение. Теорема 4. Пусть $(Y,\|\,{\cdot}\,|)$ – полное несимметричное линейное пространство, норма которого эквивалентна норме симметризации. Пусть $M\subset Y$ является устойчиво монотонно линейно связным множеством (аппроксимативно компактным (см. определение 2) монотонно линейно связным множеством). Тогда следующие условия равносильны: 1) множество $M$ обладает многозначной выборкой $\Psi\colon X\to 2^M$ соответственно из метрической проекцией $P_M$ или $P_M^-$, устойчивой снизу (полунепрерывной снизу); 2) множество $M$ обладает непрерывной выборкой $\varphi\colon X\to M$ соответственно из метрических проекций $P_M$ или $P_M^-$. Пример. В пространстве всех непрерывных функций на компакте $Q$ рассмотрим несимметричную норму $\|f|_{\psi_+,\psi_-}:=\max_{x\in Q}\{f_+/\psi_+,f_-/\psi_-\}$, где $f_+=\max\{f,0\}$ и $f_-=\max\{-f,0\}$ для функции $f\in C(Q,\mathbb{R})$, а $\psi_+$ и $\psi_-$ – фиксированные функции, удовлетворяющие неравенствам $0<c<\psi_+,\psi_-<C$ для некоторых положительных констант $c$ и $C$. Несимметричный шар $B(0,R)$ представляет собой все функции $f$, заключенные между функциями $R\psi_+$ и $-R\psi_-$, т. е. $-R\psi_-(x) \leqslant f(x)\leqslant R\psi_+(x)$ для всех $x\in Q$. Поэтому шар $B(g,R)$ состоит из функций $f$, для которых функция $f-g$ заключена между $R\psi_+$ и $-R\psi_-$. Пространство непрерывных функций на компакте $Q$ с несимметричной нормой $\|\,{\cdot}\,|_{\psi_+,\psi_-}$ будем обозначать $C_{\psi_+,\psi_-}(Q)$. Эта норма эквивалентна норме симметризации, которая, в свою очередь, эквивалентна классической равномерной норме в $C(Q)$. Путь $p(\,{\cdot}\,)\colon [0,1]\to C_{\psi_+,\psi_-}(Q) $ в линейном несимметричном пространстве $X$ будем называть монотонным, если $(p(\tau))[x]$ является монотонной функцией переменной $\tau$ для всех $x\in Q$, а подмножество $M\subset C_{\psi_+,\psi_-}(Q) $ будем называть монотонно линейно связным, если любые две точки из $M$ можно соединить монотонным путем, след которого лежит в $M$. Тогда к пространству $Y=C_{\psi_+,\psi_-}(Q) $ и множеству $M$, являющемуся аппроксимативно компактным, можно применять теорему 4. Поскольку в $C(Q)$ каждое ограниченно слабо компактное солнце является монотонно линейно связным множеством (см. [23; теорема 4]), то из теоремы 4 вытекает следующее утверждение. Теорема 5. Пусть $M$ – ограниченно слабо компактное и аппроксимативно компактное солнце в $C(Q)$. Тогда следующие условия равносильны: 1) множество $M$ обладает многозначной выборкой $\Psi\colon X\to 2^M$ из метрической проекцией $P_M$, полунепрерывной снизу; 2) множество $M$ обладает непрерывной выборкой $\varphi\colon X\to M$ из метрической проекцией $P_M$. Следующее утверждение непосредственно вытекает из [12; следствие 1]. Теорема C. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|) $ – несимметричное линейное полунормированное пространство, $M\subset X$ – $\mathring{B}$-бесконечно связно (в частности, выпуклое множество). Тогда для любой полунепрерывной снизу (относительно нормы симметризации) функции $\psi\colon X\to\overline{\mathbb{R}}\colon \varrho(x,M)<\psi(x)$ ($x\in X$) существует отображение $\varphi\in C(X^{\mathrm{sym}},M)\colon \|\varphi(x)-x|<\psi(x)$ ($x\in X$). Аналогично для непустого открытого множества $D\subset X$ и полунепрерывной снизу (относительно нормы симметризации) функции $\psi\colon D\to\overline{\mathbb{R}}$: $\varrho(x,M)<\psi(x)$ ($x\in D$) существует отображение $\varphi\in C(D^{\mathrm{sym}},M)\colon \|\varphi(x)-x|<\psi(x)$ ($x\in D$). Теорема 6. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|) $ – несимметричное линейное полунормированное пространство, $M\subset X$ – выпуклое множество, $K\subset X$ – непустой хаусдорфов компакт, на котором метрическая функция $\varrho(\,{\cdot}\,,M)$ непрерывна. Тогда для произвольного числа $\varepsilon>0$ найдется непрерывная функция $\varphi\in C(K,M)$: Доказательство. Напомним, что метрическая функция $\varrho(\,{\cdot}\,,M)$ (а следовательно, и функция $\psi(\,{\cdot}\,)=\varrho(\,{\cdot}\,,M)+\varepsilon/2$) полунепрерывна снизу на $X$ (см. [7], [8]) и непрерывна на любом конечномерном подпространстве. Возьмем произвольное $\varepsilon>0$ и для каждой точки $x$ компакта $K$ возьмем такую $\delta_x$-окрестность $O_{\delta_x}(x)$ ($\delta_x\in (0,\varepsilon/4)$) этой точки, что в силу непрерывности метрической функции $\varrho(y,M)<\varrho(x,M)+\varepsilon/4$ для всех $y\in O_{\delta_x}(x)$. Из открытого покрытия $K$ семейством $\{O_{\delta_x}(x)\}_{x\in K}$ можно выбрать конечное подпокрытие, тогда центры окрестностей этого подсемейства образуют конечную $\varepsilon/4$-сеть для $K$. Пусть $T=T_\varepsilon$ – выпуклая оболочка этой конечной $\varepsilon/4$-сети для $K$. Отметим, что сужение правой или левой топологий на $T$ эквивалентно топологии $\tau$, порожденной нормой симметризации. Пусть Отображение $\Phi$ является полунепрерывным снизу, если в прообразе рассматривать правую топологию, а в образе – топологию $\tau$. Это вытекает из следующего свойства. Если $\|z_n-z|\to 0$ ($n\to\infty$) и $y\in \Phi(z)$, то найдется $\delta\in (0,\varepsilon/4)$, для которого $\|z-y|<\delta$, и $\|z_n-y|\leqslant \|z_n-z|+\|z-y|< \|z_n-z|+\delta<\varepsilon/4$, начиная с некоторого $n_0$. Следовательно, $y\in \Phi(z_n)$ для всех $n>n_0$.
В силу теорем 1 и 2 существует непрерывное отображение $g\colon K\to T$: $g(x)\in \Phi(x)$ (т. е. $\|g(x)-x|<\varepsilon/4$) $(x\in K)$. В силу теоремы C для конечномерного подпространства $T^0$, натянутого на $T$, существует непрерывная функция $\vartheta\colon T^0\to M$: $\|\vartheta(x)-x|<\varrho(x,M)+\varepsilon/2$ ($x\in T^0$). Тогда $\varphi=\vartheta\circ g\colon K\to M$ – непрерывное отображение, и $\|\varphi(x)-x|=\|\vartheta\circ g(x)-x|\leqslant \|\vartheta\circ g(x)- g(x)|+\|g(x)-x|<\varrho(g(x),M)+\varepsilon/2+\varepsilon/4<\varrho(x,M)+\varepsilon$. Теорема доказана. Аналогичным образом, проводя доказательство для левой метрической функции или умножая все множества и вектора на $-1$, или рассматривая на $X$ несимметричную полунорму $\|\,{\cdot}\,|^-:=\|-\,{\cdot}\,|$, мы получим следующее утверждение. Теорема 7. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|) $ – несимметричное линейное полунормированное пространство, $M\subset X$ – выпуклое множество, $K\subset X$ – непустой хаусдорфов компакт (в левой топологии), на котором метрическая функция $\varrho^-(\,{\cdot}\,,M)$ непрерывна в левой топологии. Тогда для произвольного числа $\varepsilon>0$ найдется непрерывная функция (в образе и прообразе рассматривается левая топология) $\varphi\colon K\to M$: Замечание 10. В случае, когда несимметричное нормированное пространство $X$ является паракомпактом, утверждение теорем 6 и 7 останется верным, если компакт $K$ заменить на паракомпакт $X$ (относительно соответственно правой или левой топологий). В доказательстве можно обойтись без теоремы C, используя подходящее локально конечное покрытие и соответствующее ему разбиение единицы. Поскольку несимметричное нормированное сепарабельное пространство $X$, единичный шар которого является замкнутым, является линделёфовым регулярным пространством, то оно является паракомпактом. Следовательно, в этом случае множество $K$ из теорем 6 и 7 можно заменить на все пространство $X$. Определение 10. Пусть $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – пространство с несимметричной полунормой, множество $M\subset X$ называется лево-аппроксимативно (право-аппроксимативно) устойчивым в точке $x\in X$, если для любых последовательностей точек $\{x_n\}\subset X$, $\{y_n\}\subset M$ и бесконечно малой последовательности чисел $\{\varepsilon_n\}\subset \mathbb{R}_+$ таких, что $\|x_n-x|\to 0$ ($n\to\infty$), и для всех $n\in \mathbb{N}$ найдется подпоследовательность $\{y_{n_k}\}$: $\|y-y_{n_k}|\to 0$ ($\|y_{n_k}-y|\to 0$) при $k\to\infty$ для некоторой точки $y\in M$. Если множество $M\subset X$ является лево-аппроксимативно (право-аппроксимативно) устойчивым в любой точке $x\in X$, то будем называть его лево-аппроксимативно (право-аппроксимативно) устойчивым. Определение 11. Пусть $ M$ – непустое подмножество пространства $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ с несимметричной полунормой. Точку $x\in X$ называют точкой лево-аппроксимативной (право-аппроксимативной) компактности, если для любой минимизирующей последовательности $\{y_n\}\subset M$: $\|x-y_n|\to \varrho^-(x,M)$ ($\|y_n- x|\to \varrho(x,M)$) при $n\to\infty$ существует подпоследовательность $\{y_{n_k}\}$: $\|y-y_{n_k}|\to 0$ ($\|y_{n_k}-y|\to 0$) при $k\to\infty$ для некоторой точки $y \,{\in}\, M$. Обозначение $x\,{\in}\, \mathrm{AC}^-(M)$ ($x\,{\in}\, \mathrm{AC}(M)$). Если $\mathrm{AC}^-(M)=X$ ($\mathrm{AC}(M)=X$), то множество $M$ называется лево-аппроксимативно (право-аппроксимативно) компактным. В работе [24] была получена следующая теорема. Теорема D. Пусть $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – пространство с несимметричной полунормой, шар $B(0,1)$ – замкнутое множество, множество $M\subset X$ – лево-аппроксимативно устойчиво в точке $x\in X$. Тогда $x\in X$ является точкой лево-аппроксимативной компактности для $M$ и функция $\varrho^-(\,{\cdot}\,,M)$ непрерывна в точке $x$. Из замечания 10 и теорем 7 и D непосредственно вытекает следующее утверждение. Теорема 8. Пусть $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – пространство с несимметричной полунормой, шар $B(0,1)$ – замкнутое множество, $M\subset X$ – лево-аппроксимативно устойчивое и выпуклое множество в $X$. Тогда для произвольного числа $\varepsilon>0$ найдется непрерывная функция $\varphi\in C(X,M)$: § 4. Задача о чебышёвском центре в пространстве с хаусдорфовой полуметрикойОпределение 12. Пусть $\mathcal{X}=(X,\|\,{\cdot}\,\|)$ – линейное полунормированное пространство. Рассмотрим семейство $\mathcal{M}=\mathcal{M}(X)$ всех ограниченных подмножеств $X$. Определим линейную комбинацию $\alpha M_1+\beta M_2$ $(M_1,M_2\in \mathcal{M})$ как множество $\{z=\alpha x_1+\beta x_2\mid x_j\in M_j,\ j=1,2\}$. На множестве $\mathcal{M}$ можно рассмотреть симметричную полуметрику $h(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,)$ (расстояние по Хаусдорфу) и несимметричную полуметрику $d(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,)$ (одностороннее расстояние по Хаусдорфу). Пары $\mathbf{M}_h=(\mathcal{M}(X),h)$ и $ \mathbf{M}_d=(\mathcal{M}(X),d)$ являются несимметричными полуметрическими пространствами. Отметим также, что полуметрика $h$ является симметризацией метрики $d$. В пространстве $\mathcal{M}=\mathcal{M}(X)$ можно рассмотреть полулинейное подпространство всех выпуклых ограниченных подмножеств $\mathcal{L}=\mathcal{L}(X)$, которое вместе с полуметриками $d$ и $h$ будет образовывать полулинейные несимметричные полуметрические пространства $\mathbf{L}_d=\mathbf{L}_d(X)$ и $\mathbf{L}_h=\mathbf{L}_h(X)$ соответственно. Следующие два утверждения доказаны в работе [12]. Замечание 11. Пусть $\mathcal{X}=(X,\|\,{\cdot}\,\|)$ – линейное полунормированное пространство. Тогда полуметрики пространств $\mathbf{L}_d$ и $ \mathbf{L}_h$ являются обобщенно выпуклыми. При этом, если $\mathcal{X}$ полно, то и $ \mathbf{M}_h$, и $ \mathbf{L}_h$ полно. Отметим также, что $h(A,B)=h(A+C,B+C)$ и $d(A,B)=d(A+C,B+C)$, $h(\alpha A,\alpha B)=\alpha h(A,B)$ и $d(\alpha A,\alpha B)=\alpha d(A,B)$ для всех $A,B,C\in \mathcal{L}$ и $\alpha\geqslant 0$. Следствие 4. Пусть $\mathcal{X}=(X,\|\,{\cdot}\,\|)$ – линейное полунормированное пространство. Тогда $h(A,(1-\alpha)A+\alpha B)=h((1-\alpha)A+\alpha A,(1-\alpha)A+\alpha B)=h(\alpha A,\alpha B)=\alpha\cdot h(A,B)$ и $d(A,(1-\alpha)A+\alpha B)=d((1-\alpha)A+\alpha A,(1-\alpha)A+\alpha B)=d(\alpha A,\alpha B)=\alpha \cdot d(A,B)$ для всех $A,B \in \mathcal{L}$ и $\alpha\geqslant 0$. Теорема 9. Пусть $X$ – действительное рефлексивное пространство. Тогда для любого непустого ограниченного подмножества в пространстве $\mathbf{L}_h=\mathbf{L}_h(X)$ существует чебышёвский центр. Доказательство. Пусть $\mathbf{M}\subset \mathbf{L}_h$ – непустое ограниченное семейство выпуклых непустых ограниченных множеств $\{M_\alpha\}\subset X$. Без потери общности можно считать, что все эти множества замкнуты, а следовательно, слабо компактны в пространстве $X$. Пусть $\{A_n\}\subset X$ – последовательность непустых замкнутых ограниченных множеств таких, что
$$
\begin{equation*}
h(A_n,M_\alpha)\leqslant r_n\to r:=r(\mathbf{M}):=\inf_{A\in \mathbf{L}_h}\sup_{M_\alpha\in \mathbf{M}} h(M_\alpha,A)\quad \text{для всех}\quad M_\alpha\in \mathbf{M}.
\end{equation*}
\notag
$$
Без потери общности, при необходимости переходя к подпоследовательности, можно считать, что $\{r_n\}\downarrow$. Пусть $B_n$ – замыкание выпуклой оболочки множества $\bigcup_{k\geqslant n}A_k$ в пространстве $X$ ($n\in \mathbb{N}$). Поскольку все множества $A_k$ ($k\geqslant n$) содержатся в выпуклом замкнутом множестве $M_\alpha+B(0,r_n)$ для всех $\alpha$, то и $B_n$ ($n\in \mathbb{N}$) содержится в $M_\alpha+B(0,r_n)$ для всех $\alpha$. Кроме того, Положим $B:=\bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_n$, тогда $B$ – выпукло замкнуто и непусто (так как $\{B_n\}$ – вложенная последовательность слабо компактных множеств), и $M_\alpha+B(0,r){\kern1pt}{\supset}{\kern1pt}B$ для всех $\alpha$. Докажем, что $B+B(0,r)\supset M_\alpha$ для всех $\alpha$. Действительно, для каждого множества $M_\alpha$ и произвольной точки $y\in M_\alpha$ существует точка $x_n\in A_n\subset B_n$ такая, что $\|y-x_n\|\leqslant r_n$ ($n\in \mathbb{N}$). Всякая предельная точка $x$ в слабой топологии последовательности $\{x_n\}$ принадлежит каждому множеству $B_m$ ($m\in \mathbb{N}$), так как $x_k\in B_m$ для всех $k\geqslant m$. Отсюда $x\in B$. Конечно, Из произвольности выбора точки $y\in M_\alpha$ мы имеем, что $B+B(0,r)\supset M_\alpha$ для всех $\alpha$. Таким образом, $h(M_\alpha,B)\leqslant r$ для всех $\alpha$, и следовательно, $B\in \mathbf{L}_h$ – чебышёвский центр множества $ \mathbf{M}$. Теорема доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tsa23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|