| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Формула спектрального разложения и моменты О. Г. Балканова Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9330e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеСтатья посвящена доказательству формулы спектрального разложения для суммы
$$
\begin{equation}
\sum_{l=1}^{\infty}\omega(l)\mathscr{L}_{n^2-4l^2}(s),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $\omega$ – некоторая тестовая функция, а $L$-ряд определяется следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mathscr{L}_{n}(s)=\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}\sum_{q=1}^{\infty}\frac{b_q(n)}{q^{s}}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
при $\operatorname{Re}{s}>1$, и может быть голоморфно продолжен на всю комплексную плоскость (см. [1; утверждение 3]). Здесь $\zeta(s)$ обозначает дзета-функцию Римана, а
$$
\begin{equation*}
b_q(n):=\#\{x\ (\mathrm{mod}\ 2q)\colon x^2\equiv n\ (\mathrm{mod}\ 4q)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Похожая задача, заключающаяся в изучении суммы по $n$
$$
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}\omega(n)\mathscr{L}_{n^2-4l^2}(s),
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
была рассмотрена в работе [2] в связи с теоремой о простых геодезических. Близкие результаты также могут быть найдены в работах [3]–[7]. Кроме того, суммы вида (1.3) появляются в точных формулах для первых моментов $L$-функций симметрического квадрата голоморфных параболических форм (см. [1], [8]) и форм Маасса (см. [9]). Данные точные формулы могут быть использованы для изучения вторых моментов $L$-функций симметрического квадрата. Например, рассмотрим первый момент $L$-функций симметрического квадрата для форм Маасса над $\operatorname{SL}_{2}(\mathbf{Z})$, умноженный на коэффициент Фурье $\rho_j(l^2)$, а именно, Домножив данное выражение на $\zeta(2s)l^{-s}$ и просуммировав по $l$ от $1$ до $\infty$, мы получаем второй момент: Применяя подобную процедуру к точной формуле, доказанной в работе [9], мы приходим к выражениям вида
$$
\begin{equation}
\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\mathscr{L}_{n^2-4l^2}(s)f(n,l;s)
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
в правой части точной формулы для второго момента. Для изучения двойной суммы (1.6) можно применить спектральные методы. Однако спектральное разложение для внутренней суммы по $n$ приводит нашу задачу к зацикливанию, так как вновь получаются те же самые моменты, с которых мы начали. Для того чтобы избежать подобной ситуации, мы можем поменять порядки суммирования и сначала рассмотреть сумму по $l$. Таким образом можно мотивировать наш интерес к изучению спектрального разложения для суммы (1.1). Несмотря на то что суммы (1.1) и (1.3) выглядят похоже, методы изучения каждой из них значительно различаются. Спектральное разложение суммы (1.3) является прямым следствием применения формулы следа Кузнецова к обобщенным суммам Клоостермана, в то время как в случае суммы (1.1) наше доказательство начинается с изучения различных свойств сумм Гаусса. А именно, вычисляя соответствующие суммы Гаусса, мы получаем суммы сумм Клоостермана для конгруэнц-подгруппы $ \Gamma_0(N)$ уровней $N=4,16, 64$ в различных параболических вершинах и скрученных с характером $\chi_4$ (нетривиальный характер Дирихле по модулю $4$). Далее, применяя формулу следа Кузнецова, мы приходим к спектральному разложению для суммы (1.1), которое содержит моменты $L$-функций симметрического квадрата для $ \Gamma_0(N)$ уровней $N=4,16, 64$, скрученных с коэффициентом Фурье в параболических вершинах $0$ и $\infty$. Для того чтобы строго сформулировать основные результаты, мы определим функцию
$$
\begin{equation}
\psi(x)=\psi(x;n;s)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\biggl(\frac{x}{n}\biggr)^s \int_{0}^{\infty}\omega(y)\cos\biggl( \frac{2xy}{n}\biggr)\, dy
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
и обозначим $\psi_{H}(x)$ и $\psi_{D}(x)$ интегральные преобразования Бесселя от $\psi(x)$, которые появляются в формуле следа Кузнецова (см. (2.41) и (2.42)). Эти преобразования могут быть записаны в терминах гипергеометрических сумм Гаусса. Данное утверждение будет доказано в леммах 4.1 и 4.2. Пусть $\omega \in C^{\infty}$ – функция с компактным носителем на $[a_1,a_2]$ для некоторых чисел $0<a_1<a_2<\infty$, а $\widehat{\omega}$ обозначает ее преобразование Меллина. Нам также понадобится обобщенная функция делителей Для параболической вершины $\mathfrak{a}$ группы $\Gamma_0(N)$ введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation}
\mathfrak{M}_{\mathfrak{a}}(n,N,s)=\mathfrak{M}^{\mathrm{hol}}_{\mathfrak{a}}(n,N,s) +\mathfrak{M}^{\mathrm{disc}}_{\mathfrak{a}}(n,N,s),
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathfrak{M}^{\mathrm{hol}}_{\mathfrak{a}}(n,N,s) :=\sum_{\substack{k>1\\k \text{ odd}}}\psi_{H}(k)\Gamma(k) \sum_{f\in H_k(N,\chi_4)} \rho_{f_{\mathfrak{a}}}(n)\overline{L(s,\operatorname{sym}^2 f_{\infty})},
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
$$
\begin{equation}
\mathfrak{M}^{\mathrm{disc}}_{\mathfrak{a}}(n,N,s) :=\sum_{f\in H(N,\chi_4)}\frac{\psi_{D}(t_f)}{\operatorname{ch}(\pi t_f)} \rho_{f_{\mathfrak{a}}}(n)\overline{L(s,\operatorname{sym}^2 f_{\infty})}
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
есть моменты $L$-функций симметрического квадрата для голоморфных параболических форм и форм Маасса уровня $N$ и с характером $\chi_4$, умноженные на коэффициент Фурье $\rho_{f_{\mathfrak{a}}}(n)$ формы $f$ в параболической вершине $\mathfrak{a}$. Черта над $L$-функцией обозначает комплексное сопряжение, а форма записи следующего вида $f_{\infty}$ в аргументе $L$-функции указывает на то, что $L$-функция определена с помощью коэффициентов Фурье формы $f$ в параболической вершине $\infty$. Теорема 1.1. Предположим, что $n$ – четное целое число. При $0<\operatorname{Re}{s}<1$ справедлива следующая точная формула: Теорема 1.2. Предположим, что $n$ – нечетное целое число. При $0<\operatorname{Re}{s}<1$ справедлива следующая точная формула: Замечание 1.1. Главные члены Статья организована следующим образом. В § 2 мы собрали основные теоретические результаты, необходимые для наших вычислений. В § 3 в предположении, что $\operatorname{Re}{s}$ достаточно велико, мы изолируем диагональный и недиагональный члены для суммы (1.1), вычисляем диагональное слагаемое в явном виде, а недиагональное слагаемое преобразуем в выражение, к которому можно применить формулу следа Кузнецова. Параграф 4 посвящен анализу интегральных преобразований Бесселя $\psi_{H}(x)$ и $\psi_{D}(x)$, которые возникают в формуле Кузнецова. А именно, мы показываем, как выразить $\psi_{H}(x)$ и $\psi_{D}(x)$ в терминах гипергеометрических сумм Гаусса. Параграфы 5 и 6 содержат вычисления непрерывного спектра, в то время как голоморфный и дискретный спектры изучены в § 7. Наконец, в § 8 мы завершаем доказательство теорем 1.1 и 1.2 и вычисляем главные члены в центральной точке. § 2. Основные теоретические сведения2.1. Обобщенная функция делителейВ данном пункте мы перечислим различные свойства функции $\sigma_s(\chi;n)$, которая задается формулой (1.8). Заметим, что производная $\sigma_{s}(\chi;n)$ по переменной $s$ вычисляется следующим образом:
$$
\begin{equation}
\sigma'_{s}(\chi;n)=\sum_{d\,|\,n}\chi(d)d^s\log{d}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Пусть $\chi_4$ обозначает нетривиальный характер Дирихле по модулю $4$, т. е. и
$$
\begin{equation}
\sigma_s\biggl(\chi_4; \biggl(\frac{n}{2} \biggr)^2\biggr)=\sigma_s(\chi_4;n^2).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Доказательство. Предположим, что $n^2=bd$. Так как $n$ нечетно, то поэтому $\chi_4(b)=\chi_4(d)$. Таким образом, Лемма доказана. Рассмотрим ряд Дирихле
$$
\begin{equation}
Z(z,s):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sigma_s(\chi_4;n^2)}{n^z}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Доказательство. Для начала предположим, что $\operatorname{Re}{z}>1+2\operatorname{Re}{s}$. Запишем произведение Эйлера для $Z(z,s)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Z(z,s) &=\prod_{p}\biggl( 1+\frac{\sigma_s(\chi_4;p^2)}{p^z} +\frac{\sigma_s(\chi_4;p^4)}{p^{2z}} +\cdots\biggr) \nonumber \\ &=\biggl( 1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sigma_s(\chi_4;2^{2k})}{2^{kz}}\biggr) \prod_{p>2}\biggl(1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sigma_s(\chi_4;p^{2k})}{p^{kz}} \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Заметим, что $\chi_4(d)=0$ для четного $d$, и поэтому
$$
\begin{equation*}
\sigma_{s}(\chi_4;2^{2k})=\sum_{d\,|\,2^{2k}}d^s\chi_4(d)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sigma_s(\chi_4;2^{2k})}{2^{kz}}=\frac{1}{1-2^{-z}}.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Теперь вычислим второй множитель в правой части уравнения (2.9). Так как $p^2\equiv 1\ (\operatorname{mod} 4)$, получаем
$$
\begin{equation}
\chi_4(p^{2m})=1, \quad \chi_4(p^{2m+1})=\chi_4(p) \quad \forall\, m \in \mathbf{N}.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\sigma_s(\chi_4;p^{2k})=\frac{(p^{2s})^{k+1}-1}{p^{2s}-1} +\frac{(p^{2s})^k-1}{p^{2s}-1}\chi_4(p)p^{s}.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Из этого следует, что
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sigma_s(\chi_4;p^{2k})}{p^{kz}} =\frac{p^{2s}+\chi_4(p)p^{s}}{(p^{2s}-1)(p^{z-2s}-1)}-\frac{1+\chi_4(p)p^s}{(p^{2s}-1)(p^z-1)}.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Используя свойство $\chi_{4}^2(p)=1$, получаем равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sigma_s(\chi_4;p^{2k})}{p^{kz}} &=\frac{1+\chi_4(p)/p^{z-s}}{(1-1/p^{z-2s})(1-1/p^z)} \nonumber \\ &=\frac{1-1/p^{2(z-s)}}{(1-1/p^{z-2s})(1-1/p^z)(1-\chi_4(p)/p^{z-s})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Наконец, подставляя выражения (2.10) и (2.14) в формулу (2.9), мы завершаем доказательство леммы 2.2. 2.2. Параболические вершины и суммы КлоостерманаПусть $N$ – целое положительное число. Обозначим $\Gamma=\Gamma_0(N)$ конгруэнц-подгруппу Гекке уровня $N$. Стабилизатор параболической вершины $\mathfrak{a}$ в группе $\Gamma$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation}
\Gamma_{\mathfrak{a}}:=\{\gamma \in \Gamma \colon \gamma \mathfrak{a}=\mathfrak{a}\}.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Нормировочная матрица для параболической вершины $\mathfrak{a}$ – это матрица $\sigma_{\mathfrak{a}}\in \mathbf{SL}_2(\mathbf{R})$ такая, что
$$
\begin{equation}
\sigma_{ \mathfrak{a}}\infty= \mathfrak{a}, \qquad \sigma_{\mathfrak{a}}^{-1}\Gamma_{\mathfrak{a}}\sigma_{ \mathfrak{a}}=\biggl\{\pm \begin{pmatrix} 1&n\\ 0&1 \end{pmatrix}\colon n \in \mathbf{Z}\biggr\}:=B.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Заметим, что выбор нормировочной матрицы не единственный. Пусть $\chi$ обозначает характер Дирихле по модулю $N$. Его определение может быть расширено на группу $\Gamma$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\chi(\gamma)=\chi(d), \qquad \gamma=\begin{pmatrix} a&b\\ cN&d \end{pmatrix} \in \Gamma.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Пусть $\lambda_{\mathfrak{a}}$ задается равенством
$$
\begin{equation*}
\sigma_{\mathfrak{a}}^{-1}\lambda_{\mathfrak{a}}\sigma_{\mathfrak{a}} =\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Параболическая вершина $\mathfrak{a}$ называется сингулярной относительно характера $\chi$, если $\chi(\lambda_{\mathfrak{a}})=1$. Предположим, что имеет место разложение $N=rs$, $(r,s)=1$. Тогда параболическая вершина вида $\mathfrak{a}=1/r$ называется параболической вершиной Аткина–Лехнера. Заметим, что параболические вершины Аткина–Лехнера сингулярны относительно любого характера Дирихле по модулю $N$, как показано в [10; с. 395]. Пусть $\kappa$ задается равенством $\chi(-1)=(-1)^{\kappa}$, и пусть $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ – две сингулярные параболические вершины относительно характера $\chi$ с нормировочными матрицами $\sigma_{\mathfrak{a}}$, $\sigma_{\mathfrak{b}}$. Следуя [10; (2.3)], мы определим сумму Клоостермана для пары параболических вершин $\mathfrak{a}$ и $\mathfrak{b}$:
$$
\begin{equation*}
S_{\mathfrak{a}\mathfrak{b}}(m,n;c;\chi):=\sum_{\gamma=\left(\begin{smallmatrix} a & b\\ c & d \end{smallmatrix}\right) \in \Gamma_{\infty}\setminus \sigma^{-1}_{\mathfrak{a}}\Gamma\sigma_{\mathfrak{b}}/\Gamma_{\infty}} \chi(\operatorname{sgn}(c)) \overline{\chi(\sigma_{\mathfrak{a}}\gamma \sigma_{\mathfrak{b}}^{-1})}e \biggl( \frac{am+dn}{c}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Множество допустимых модулей определяется следующим образом:
$$
\begin{equation}
C_{\mathfrak{a},\mathfrak{b}}(N)=\biggl\{\gamma>0\colon \begin{pmatrix} * &* \\ \gamma &* \end{pmatrix}\in \sigma^{-1}_{\mathfrak{a}}\Gamma\sigma_{\mathfrak{b}}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
2.3. Голоморфные формы и формы МаассаПусть $H_{k}(N,\chi)$ обозначает ортонормированный базис пространства голоморфных параболических форм веса $k>0$, $k\equiv \kappa\ (\operatorname{mod}2)$, уровня $N$, с характером $\chi$. Разложение Фурье формы $f \in H_{k}(N,\chi)$ в параболической вершине $\mathfrak{a}$ с нормировочной матрицей $\sigma_{\mathfrak{a}}$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
f(\sigma_{\mathfrak{a}}z)i(\sigma_{\mathfrak{a}},z)^{-k}=\sum_{m\geqslant 1} \frac{\rho_{f_{\mathfrak{a}}}(m)}{\sqrt{m}}(4\pi m)^{k/2}e(mz),
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
где $i(\sigma_{\mathfrak{a}},z):=cz+d$ для $\sigma_{\mathfrak{a}}=\left(\begin{smallmatrix} * &*\\ c &d \end{smallmatrix}\right)$. Пусть $H(N,\chi)$ обозначает ортонормированный базис пространства параболических форм Маасса веса $\kappa\in\{0,1\}$. Для функции $f \in H(N,\chi)$, являющейся собственной функцией оператора Лапласа–Белтрами с собственным значением $1/4+t_{f}^{2}$, можно записать разложение Фурье–Уиттекера в параболической вершине $\mathfrak{a}$ с нормировочной матрицей $\sigma_{\mathfrak{a}}$:
$$
\begin{equation}
f(\sigma_{\mathfrak{a}}z)e^{-i\kappa\arg i(\sigma_{\mathfrak{a}},z)}=\sum_{m\neq 0} \frac{\rho_{f_{\mathfrak{a}}}(m)}{\sqrt{m}}W_{(|m|/m)(\kappa/2),\, it_f}(4\pi|m|y)e(mx),
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
где $z=x+iy$, а $W_{\lambda,\mu}(z)$ – функция Уиттекера (см. [11; § 9.22]). Для $f \in H_{k}(N,\chi)$ или $f \in H(N,\chi)$ мы можем определить
$$
\begin{equation}
L(s,\operatorname{sym}^2 f_{\infty}) =\zeta^{(N)}(2s)\sum_{l=1}^{\infty}\frac{\rho_{f_{\infty}}(l^2)}{l^s},\qquad \operatorname{Re}{s}>1,
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
где верхний индекс в $\zeta^{(N)}(2s)$ указывает, что в произведение Эйлера для данной дзета-функции Римана не входят множители с простыми числами, на которые делится $N$. Шимура [12] доказал аналитическое продолжение и функциональное уравнение для (2.21). 2.4. Ряды ЭйзенштейнаЗафиксируем $\kappa=1$. Для $\Gamma=\Gamma_0(N)$ определим ряд Эйзенштейна в параболической вершине $\mathfrak{c}$ с характером $\chi$ следующим выражением:
$$
\begin{equation}
E_{\mathfrak{c}}(z,s):=\sum_{\gamma \in \Gamma_{\mathfrak{c}}\setminus \Gamma}\overline{\chi}(\gamma)j_{\sigma_{\mathfrak{c}}^{-1}\gamma}(z)^{-1} \bigl(\operatorname{Im}{(\sigma_{\mathfrak{c}}^{-1}\gamma z )}\bigr)^s,
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
где $\sigma_{\mathfrak{c}}$ – нормировочная матрица для параболической вершины $\mathfrak{c}$ и
$$
\begin{equation}
j_{\gamma}(z):=\frac{cz+d}{|cz+d|}=e^{i\operatorname{arg}(cz+d)}, \qquad \gamma=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Теорема 2.1. Пусть $\mathfrak{c}$ – сингулярная параболическая вершина для характера $\chi$, а $\mathfrak{a}$ – параболическая вершина Аткина–Лехнера. Тогда справедливо следующее разложение Фурье–Уиттекера: Доказательство. Рассмотрим ряд Эйзенштейна
$$
\begin{equation}
E_{\mathfrak{c}}(\sigma_{\mathfrak{a}}z,s)=\sum_{\gamma \in \Gamma_{\mathfrak{c}}\setminus \Gamma}\overline{\chi}(\gamma)j_{\sigma_{\mathfrak{c}}^{-1}\gamma}(\sigma_{\mathfrak{a}}z)^{-1} \bigl(\operatorname{Im}{(\sigma_{\mathfrak{c}}^{-1}\gamma\sigma_{\mathfrak{a}}z)} \bigr)^s.
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Выполняя замену переменных $\tau:=\sigma_{\mathfrak{c}}^{-1}\gamma\sigma_{\mathfrak{a}}$ (так что $\tau \in B\setminus \sigma_{\mathfrak{c}}^{-1}\Gamma\sigma_{\mathfrak{a}}$), получаем
$$
\begin{equation}
E_{\mathfrak{c}}(\sigma_{\mathfrak{a}}z,s)=\sum_{\tau \in B\setminus \sigma_{\mathfrak{c}}^{-1}\Gamma\sigma_{\mathfrak{a}}}\overline{\chi}(\sigma_{\mathfrak{c}} \tau\sigma_{\mathfrak{a}}^{-1})j_{\tau\sigma_{\mathfrak{a}}^{-1}}(\sigma_{\mathfrak{a}}z)^{-1} \bigl(\operatorname{Im}{(\tau z)} \bigr)^s.
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
Используя свойство
$$
\begin{equation}
j_{\tau\sigma_{\mathfrak{a}}^{-1}}(\sigma_{\mathfrak{a}}z)^{-1}j_{\sigma_{\mathfrak{a}}}(z)^{-1} =j_{\tau}(z)^{-1},
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
ряд Эйзенштейна преобразуется к виду
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &E_{\mathfrak{c}}(\sigma_{\mathfrak{a}}z,s)j_{\sigma_{\mathfrak{a}}}(z)^{-1} =\sum_{\tau \in B\setminus \sigma_{\mathfrak{c}}^{-1}\Gamma\sigma_{\mathfrak{a}}} \overline{\chi}(\sigma_{\mathfrak{c}}\tau\sigma_{\mathfrak{a}}^{-1})j_{\tau}(z)^{-1} \bigl(\operatorname{Im}{(\tau z)} \bigr)^s \nonumber \\ &\qquad=\delta_{\mathfrak{a}\mathfrak{c}} y^s+\sum_{\gamma \in B\setminus \sigma_{\mathfrak{c}}^{-1} \Gamma\sigma_{\mathfrak{a}}/B} \, \sum_{\tau \in B} \overline{\chi}(\sigma_{\mathfrak{c}}\gamma \tau\sigma_{\mathfrak{a}}^{-1}) j_{\gamma\tau}(z)^{-1} \bigl(\operatorname{Im}{(\gamma \tau z)} \bigr)^s. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
Заметим, что $\overline{\chi}(\sigma_{\mathfrak{c}}\gamma \tau\sigma_{\mathfrak{a}}^{-1})=\overline{\chi}(\sigma_{\mathfrak{c}}\gamma \sigma_{\mathfrak{a}}^{-1})$, так как параболическая вершина $\mathfrak{a}$ является сингулярной. Для $\gamma=\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right)$ и $\tau=\left(\begin{smallmatrix}1&n\\0&1\end{smallmatrix}\right)$ выполнено равенство
$$
\begin{equation}
\gamma\tau z=\frac{a}{c}-\frac{1}{c(c(z+n)+d)}, \qquad j_{\gamma \tau}=\frac{cz+cn+d}{|cz+cn+d|}.
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
Следовательно, для $z=x+iy$ получаем, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{Im}{(\gamma \tau z)}=\frac{y}{c^2}\, \frac{1}{(x+n+d/c)^2+y^2}
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &E_{\mathfrak{c}}(\sigma_{\mathfrak{a}}z,s)j_{\sigma_{\mathfrak{a}}}(z)^{-1} =\delta_{\mathfrak{a}\mathfrak{c}} y^s+\sum_{\gamma \in B\setminus \sigma_{\mathfrak{c}}^{-1}\Gamma\sigma_{\mathfrak{a}}/B}\overline{\chi}(\sigma_{\mathfrak{c}} \gamma \sigma_{\mathfrak{a}}^{-1}) \nonumber \\ &\qquad \times \sum_{n\in \mathbf{Z}}\biggl(\frac{cz+cn+d}{|cz+cn+d|} \biggr)^{-1}\biggl(\frac{y}{c^2}\frac{1}{(x+n+d/c)^2+y^2} \biggr)^s. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
Для вычисления суммы по $n$ применим формулу суммирования Пуассона
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{n\in \mathbf{Z}}\biggl(\frac{cz+cn+d}{|cz+cn+d|} \biggr)^{-1} \biggl(\frac{y}{c^2}\frac{1}{(x+n+d/c)^2+y^2} \biggr)^s \nonumber \\ &\qquad= \sum_{m\in \mathbf{Z}}\int_{-\infty}^{\infty} \biggl( \frac{c(z+v)+d}{|c(z+v)+d|}\biggr)^{-1} \frac{(yc^{-2})^se(-mv)}{((x+d/c+v)+y^2)^s}\, dv. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
Вводя новую переменную $t:=x+d/c+v$, получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{m\in \mathbf{Z}} e\biggl(mx+\frac{md}{c}\biggr) \int_{-\infty}^{\infty}\biggl(\frac{t+iy}{|t+iy|} \biggr)^{-1} \biggl( \frac{yc^{-2}}{t^2+y^2}\biggr)^s e(-mt)\, dt.
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
Сначала предположим, что $m=0$. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{-\infty}^{\infty}\frac{|t+iy|}{t+iy}\, \frac{(yc^{-2})^s}{(t^2+y^2)^s}\, dt =\frac{1}{i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(yc^{-2})^s\, dt}{(y+it)^{s-1/2}(y-it)^{s+1/2}} \nonumber \\ &\qquad=\frac{(yc^{-2})^s}{i}\, \frac{2\pi (2y)^{1-2s}\Gamma(2s)}{(2s-1)\Gamma(s-1/2)\Gamma(s+1/2)} =-\frac{\sqrt{\pi}\, i \Gamma(s)}{\Gamma(s+1/2)}\, \frac{y^{1-s}}{c^{2s}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
Здесь мы применили [11; (8.381.1)] для вычисления интеграла. Если же $m \neq 0$, то интеграл в (2.36) может быть вычислен с помощью формулы [11; (3.384.9)] следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{(yc^{-2})^s}{i}\int_{-\infty}^{\infty}(y+it)^{1/2-s}(y-it)^{-1/2-s}e(-mt)\, dt \nonumber \\ &\qquad=\frac{(2\pi)^s2^{-s}|m|^{s-1}}{ic^{2s}\Gamma(1/2+s)}W_{|m|/(2m),\, 1/2-s}(4\pi y|m|). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
Соответственно, выражение (2.36) преобразуется к виду
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-\frac{\pi^{1/2}i\Gamma(s)}{\Gamma(s+1/2)}y^{1-s}\frac{1}{c^{2s}} \nonumber \\ &\qquad+\frac{\pi^s}{i\Gamma(1/2+s)}\frac{1}{c^{2s}}\sum_{m\neq 0} |m|^{s-1} e\biggl(mx+\frac{md}{c}\biggr)W_{|m|/(2m),\,1/2-s}(4\pi y|m|). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
Для того чтобы завершить доказательство, нам остается лишь заменить сумму по $n$ в формуле (2.34) выражением (2.39). Теорема 2.1 доказана. 2.5. Формула следа КузнецоваЗдесь мы выпишем в явном виде формулу следа Кузнецова для системы мультипликаторов Дирихле и произвольных параболических вершин. Для этого применим результаты работ [13], [14; § 3.3] и [15; § 4.1.3] в предположении, что $\kappa=1$ (т. е. $\chi(1)=-1$). Рассмотрим функцию $\psi \in C^{\infty}$, для которой выполнены условия
$$
\begin{equation}
\psi(0)=\psi'(0)=0, \qquad \psi^{(j)}(x)\ll (1+x)^{-2-\eta}, \quad j=0,1,2,3,
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
для некоторого числа $\eta>0$. Определим следующие интегральные преобразования:
$$
\begin{equation}
\psi_H(k) :=4i^k\int_{0}^{\infty}J_{k-1}(x)\psi(x)\, \frac{dx}{x},
\end{equation}
\tag{2.41}
$$
$$
\begin{equation}
\psi_D(t) :=\frac{2\pi i t}{\operatorname{sh}(\pi t)}\int_{0}^{\infty}(J_{2it}(x)+J_{-2it}(x))\psi(x)\, \frac{dx}{x},
\end{equation}
\tag{2.42}
$$
где $J_{\alpha}$ обозначает $J$-функцию Бесселя порядка $\alpha$. Для $m,n \geqslant 1$ выполнено равенство
$$
\begin{equation}
\sum_{c\in C_{\mathfrak{a},\mathfrak{b}}(N)} \frac{S_{\mathfrak{a}\mathfrak{b}}(m,n;c;\chi)}{c} \psi\biggl(\frac{4\pi\sqrt{mn}}{c} \biggr)= H+D+C,
\end{equation}
\tag{2.43}
$$
где
$$
\begin{equation}
H :=\sum_{\substack{k>1\\ k\equiv 1 \ (\operatorname{mod}2)}}\sum_{f \in H_k(N,\chi)} \psi_H(k)\Gamma(k) \overline{\rho_{f_{\mathfrak{a}}}(m)}\rho_{f_{\mathfrak{b}}}(n),
\end{equation}
\tag{2.44}
$$
$$
\begin{equation}
D :=\sum_{f\in H(N,\chi)}\frac{\psi_D(t_f)}{\operatorname{ch}(\pi t_f)} \overline{\rho_{f_{\mathfrak{a}}}(m)} \rho_{f_{\mathfrak{b}}}(n),
\end{equation}
\tag{2.45}
$$
$$
\begin{equation}
C :=\sum_{\mathfrak{c} \text{ sing.}} \frac{\sqrt{mn}}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\psi_D(t)}{\operatorname{ch}(\pi t)} \overline{\rho_{\mathfrak{a,c}}\biggl(m,\,\frac12+it\biggr)}\rho_{\mathfrak{b,c}}\biggl(n,\, \frac12+it\biggr)\, dt.
\end{equation}
\tag{2.46}
$$
В соответствии с формулой (2.26) непрерывная часть может быть записана в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C &=\sum_{\mathfrak{c} \text{ sing.}} \frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\psi_D(t)}{\operatorname{ch}(\pi t)}\, \frac{\pi}{|\Gamma(1+it)|^2}m^{-it}n^{it} \nonumber \\ &\qquad \times \overline{\phi_{\mathfrak{a,c}}\biggl(m,\, \frac12+it,\, \chi\biggr)} \phi_{\mathfrak{b,c}}\biggl(n,\, \frac12+it,\, \chi\biggr)\, dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.47}
$$
Применяя свойство (см. [16; (5.4.3)])
$$
\begin{equation}
\Gamma(1+it)\Gamma(1-it)=\frac{\pi t}{\operatorname{sh}(\pi t)},
\end{equation}
\tag{2.48}
$$
получаем
$$
\begin{equation}
C = \sum_{\mathfrak{c} \text{ sing.}} \frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\psi_D(t)\operatorname{sh}(\pi t)}{t\operatorname{ch}(\pi t)}m^{-it}n^{it} \overline{\phi_{\mathfrak{a,c}}\biggl(m,\, \frac12+it,\, \chi\biggr)} \phi_{\mathfrak{b,c}}\biggl(n,\, \frac12+it,\, \chi\biggr)\, dt.
\end{equation}
\tag{2.49}
$$
2.6. Суммы ГауссаДля характера Дирихле $\chi$ по модулю $q$ определим сумму Гаусса от $\chi$ следующим выражением:
$$
\begin{equation}
g(\chi;q;m):=\sum_{\substack{u\ (\operatorname{mod}q)\\(u,q)=1}}\chi(u)e\biggl(\frac{mu}{q} \biggr), \qquad \tau(\chi):=g(\chi;q;1).
\end{equation}
\tag{2.50}
$$
Пусть $\chi$ обозначает характер по модулю $q$, индуцированный примитивным характером $\chi^*$ по модулю $q^*$. Тогда из [17; лемма 3.1.3, (2)] следует, что
$$
\begin{equation}
g(\chi;q;m)=\tau(\chi^*)\sum_{d\,|\,(m,q/q^*)}d\chi^*\biggl( \frac{q}{q^*d}\biggr) \overline{\chi^*}\biggl( \frac{m}{d}\biggr)\mu\biggl(\frac{q}{q^{*}d}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.51}
$$
Определим обобщенные квадратичные суммы Гаусса
$$
\begin{equation}
G(a,n;q):=\sum_{x\ (\operatorname{mod}q)}e\biggl(\frac{ax^2+nx}{q} \biggr), \qquad (a,q)=1.
\end{equation}
\tag{2.52}
$$
Пусть $G(a;q):=G(a,0;q)$. Запись $\overline{a}_q$ обозначает, что $\overline{a}_qa\equiv 1\ (\operatorname{mod}q)$. Доказательство. Если число $q$ нечетно, то из формулы [18; (23)] следует, что
$$
\begin{equation}
G^2(a;q)=\biggl(\biggl( \frac{a}{q}\biggr)i^{((q-1)/2)^2}\sqrt{q} \biggr)^2 =q(-1)^{((a-1)/2)^2}=q\chi_4(q).
\end{equation}
\tag{2.54}
$$
Если же $q\equiv 2\ (\operatorname{mod}4)$, то, применяя [18; (25)], получаем, что $G(a;q)=0$. Наконец, если $q\equiv 0\ (\operatorname{mod}4)$, то равенство [18; (25)] позволяет сделать вывод о том, что Лемма доказана. Лемма 2.5. Предположим, что оба числа $n$ и $q$ четны. Если $q\equiv2\ (\operatorname{mod}4)$, то $G(a,n;q)=0$. Если $q\equiv0\ (\operatorname{mod}4)$, то Доказательство. Формула (2.57) следует из [18; (26)] для любых четных $n$ и $q$. Заметим также, что $G(a;q)=0$ для $q\equiv2\ (\operatorname{mod}4)$ из равенства [18; (25)]. Доказательство. В данном случае из формулы [18; (27)] следует, что Применяя соотношение получаем Таким образом, утверждение леммы доказано. Лемма 2.7. Предположим, что $n$ нечетно, а $q$ четно. Если $q\equiv 0\ (\operatorname{mod}4)$, то $G(a,n;q)=0$. В противном случае мы можем записать $q=2r$, $r$ нечетно. Тогда Доказательство. Если $n$ нечетно, а $q\equiv 0\ (\operatorname{mod}4)$, то $G(a,n;q)=0$ в соответствии с формулой [18; (28)]. Предположим, что $q=2r$ и $r$ нечетно. Применяя свойство мультипликативности сумм Гаусса, получаем
$$
\begin{equation}
G(a,n;2r)=G(a\overline{2}_r,n\overline{2}_r;r)G(a\overline{r}_2,n\overline{r}_2;2).
\end{equation}
\tag{2.63}
$$
Заметим, что $G(a\overline{r}_2,n\overline{r}_2;2)=2$. Наконец,
$$
\begin{equation}
G(a\overline{2}_r,n\overline{2}_r;r)=G(2a,n;r)=e\biggl(-\frac{\overline{(8a)}_rn^2}{r} \biggr)G(2a;r).
\end{equation}
\tag{2.64}
$$
В последнем выражении мы применили уравнение (2.58) для вычисления суммы $G(2a,n;r)$. Лемма доказана. § 3. Диагональные и недиагональные слагаемыеПредполагая, что $s$ достаточно велико, в данном параграфе мы получим точную формулу для суммы
$$
\begin{equation*}
\sum_{l=1}^{\infty}\omega(l)\mathscr{L}_{n^2-4l^2}(s),
\end{equation*}
\notag
$$
в которой будут выделены диагональные и недиагональные слагаемые. Применяя результаты п. 2.6, мы вычислим недиагональные слагаемые в явном виде, а для недиагональных получим выражение в терминах сумм Клоостермана, к которому применима формула следа Кузнецова. Лемма 3.1. При $\operatorname{Re}{s}>3/2$ справедливо следующее равенство: Доказательство. Используя преобразование Меллина для функции $\omega$, получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{l=1}^{\infty}\omega(l)\mathscr{L}_{n^2-4l^2}(s)=\frac{1}{2\pi i} \int_{(a)}\widehat{\omega}(\alpha) \sum_{l=1}^{\infty}\frac{\mathscr{L}_{n^2-4l^2}(s)}{l^{\alpha}}\, d\alpha,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $a>1$. В соответствии с формулой [8; (4.9)] ряд $\mathscr{L}_{n^2-4l^2}(s)$ может быть записан в виде сумм сумм Клоостермана, а именно,
Подставляя данное выражение в (3.3), мы можем поменять порядок суммирования, суммируя сначала по $q$, а затем по $l$, предположив, что $\operatorname{Re}{s}>3/2$ для абсолютной сходимости. Далее, разбивая область суммирования по $l$ на арифметические прогрессии, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{l=1}^{\infty}\omega(l)\mathscr{L}_{n^2-4l^2}(s) &=\frac{\zeta(2s)}{2\pi i} \int_{(a)}\widehat{\omega}(\alpha)\sum_{q=1}^{\infty}\frac{1}{q^{1+s}} \nonumber \\ &\qquad \times \sum_{c,d\ (\operatorname{mod}q)}S(d^2,c^2;q)e\biggl( \frac{nc}{q}\biggr) \sum_{\substack{l\geqslant 1\\ l\equiv d\ (\operatorname{mod}q)}}\frac{1}{l^{\alpha}}\, d\alpha. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Внутренняя сумма в правой части формулы (3.5) может быть записана в терминах дзета-функции Лерха $\zeta(a,b;\alpha)$, для которой выполнено функциональное уравнение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{\substack{l\geqslant 1\\ l\equiv d\ (\operatorname{mod}q)}} \frac{1}{l^{\alpha}} =\frac{1}{q^{\alpha}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{(l+d/q)^{\alpha}} =\frac{\zeta(d/q,0;\alpha)}{q^{\alpha}} \nonumber \\ &\qquad=\frac{\Gamma(1-\alpha)}{q^{\alpha}(2\pi)^{1-\alpha}} \biggl[-ie\biggl(\frac{\alpha}4\biggr)\sum_{l=1}^{\infty}\frac{e(ld/q)}{l^{1-\alpha}} +ie\biggl(-\frac{\alpha}4\biggr)\sum_{l=1}^{\infty}\frac{e(-ld/q)}{l^{1-\alpha}}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Чтобы применить данное функциональное уравнение, мы сдвигаем контур интегрирования в выражении (3.5) в область $\operatorname{Re}{\alpha}<0$, пройдя простой полюс функции $\zeta(d/q,0;\alpha)$ в точке $\alpha=1$. Вычислим вклад этого полюса:
$$
\begin{equation}
\widehat{\omega}(1)\zeta(2s)\sum_{q=1}^{\infty}\frac{1}{q^{2+s}}\sum_{c,d\ (\operatorname{mod}q)}S(d^2,c^2;q)e\biggl(\frac{nc}{q} \biggr).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Далее, применяя функциональное уравнение (3.6) и принимая во внимание равенство
$$
\begin{equation}
ie\biggl(-\frac{\alpha}4\biggr)-ie\biggl(\frac{\alpha}4\biggr)=2\sin\biggl(\frac{\pi \alpha}{2}\biggr),
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
мы делаем вывод о том, что сумма (3.5) равна выражению (3.7) плюс
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\zeta(2s)}{2\pi i} \int_{(a)}\widehat{\omega}(\alpha) \sum_{q=1}^{\infty}\frac{1}{q^{1+s+\alpha}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^{1-\alpha}} \nonumber \\ &\qquad \times \sum_{c,d\ (\operatorname{mod}q)}S(d^2,c^2;q)e\biggl( \frac{nc+ld}{q}\biggr)\frac{2\Gamma(1-\alpha)\sin(\pi \alpha/2)}{(2\pi)^{1-\alpha}}\, d\alpha, \qquad a<0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
В соответствии с формулами [16; (5.5.5), (5.5.3)]
$$
\begin{equation}
\Gamma(1-\alpha)\sin\biggl(\frac{\pi \alpha}2\biggr) =\pi^{1/2}2^{-\alpha}\frac{\Gamma(1/2-\alpha/2)}{\Gamma(\alpha/2)}.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Подставляя данный результат в (3.9), мы доказываем лемму. 3.1. Внутренняя суммаДля вычисления внутренней суммы в (3.1) мы выразим ее через произведение двух сумм Гаусса:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K(n,l;q) &:=\sum_{c,d\ (\operatorname{mod}q)}S(c^2,d^2,q)e\biggl( \frac{nc+ld}{q}\biggr) \nonumber \\ &\,=\sum_{\substack{a,b\ (\operatorname{mod}q)\\ab\equiv 1\ (\operatorname{mod}q)}}\sum_{c,d\ (\operatorname{mod}q)}e\biggl(\frac{ac^2+db^2}{q} \biggr) e\biggl(\frac{nc+ld}{q} \biggr) \nonumber \\ &\,=\sum_{\substack{a,b\ (\operatorname{mod}q)\\ab\equiv 1\ (\operatorname{mod}q)}}G(a,n;q)G(b,l;q). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Далее необходимо рассмотреть различные случаи в зависимости от четности параметров $n$, $l$ и $q$. Для этого мы воспользуемся результатами п. 2.6. Доказательство. Необходимо рассмотреть четыре случая в зависимости от четности $n$ и $l$. Сначала предположим, что оба числа $n$ и $l$ четны. Применяя (3.11) и (2.56), получаем
$$
\begin{equation}
K(n,l;q)=\sum_{\substack{a,b\ (\operatorname{mod}q)\\ab\equiv1\ (\operatorname{mod}q)}}e\biggl(-\frac{\overline{4}_q bn^2+\overline{4}_q al^2}{q} \biggr)G(a;q)G(b;q).
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Заметим, что $G(a;q)=G(b;q)$, так как $ab\equiv 1\ (\operatorname{mod}q)$. Тогда из леммы 2.3 следует требуемый результат при четных $n$ и $l$. Остальные три случая доказываются аналогично вычислением суммы $G(a,n;q)$ с помощью формулы (2.56) при четном $n$ и формулы (2.58) при нечетном $n$. Лемма доказана. Доказательство. По формуле (3.11)
$$
\begin{equation}
K(n,l;q)=\sum_{\substack{a,b\ (\operatorname{mod}q)\\ab\equiv 1\ (\operatorname{mod}q)}}G(a,n;q)G(b,l;q),
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
где один из параметров $n$ или $l$ четный, а другой нечетный. Без потери общности можно предположить, что $n$ четно, а $l$ нечетно. Тогда в соответствии с леммой 2.5 делаем вывод о том, что $G(a,n;q)$ не обращается в нуль, только если $q\equiv0\ (\operatorname{mod}4)$, но в этом случае $G(b,l;q)=0$ по лемме 2.7. Лемма 3.4. Предположим, что числа $q$, $n$ и $l$ четны. Тогда $K(n,l;q)=0$ при $q\equiv 2\ (\operatorname{mod}4)$, а в остальных случаях Доказательство. Из формулы (3.11) и леммы 2.5 делаем вывод о том, что $K(n,l;q)\neq 0$ только при $q\equiv 0\ (\operatorname{mod}4)$. В последнем случае равенство (3.16) является следствием лемм 2.5 и 2.3. Лемма доказана. Лемма 3.5. Предположим, что число $q$ четно, а числа $n$ и $l$ нечетны. Тогда $K(n,l;q)=0$, если $q\equiv 0\ (\operatorname{mod}4)$. Если же $q\equiv 2\ (\operatorname{mod}4)$, то $r:=q/2$ нечетно и Доказательство. Если $q\equiv 0\ (\operatorname{mod}4)$, то из формулы (3.11) и леммы 2.7 заключаем, что $K(n,l;q)=0$. В противном случае по формуле (2.62) и лемме 2.3
$$
\begin{equation}
K(n,l;q)=2q\chi_4(r)\sum_{\substack{a,b\ (\operatorname{mod}q)\\ab\equiv1\ (\operatorname{mod}q)}}e\biggl(-\frac{\overline{(8a)}_r n^2+\overline{(8b)}_r l^2}{r} \biggr),
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
где $r:=q/2$ – нечетное число. Данное выражение преобразуется к следующему виду:
$$
\begin{equation}
K(n,l;q)=2q\chi_4(r)S\bigl(2\overline{(8)}_r n^2,2\overline{(8)}_r l^2;q\bigr).
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Записывая $q=2r$ и применяя свойство мультипликативности сумм Клоостермана, получаем
$$
\begin{equation*}
K(n,l;q)=2q\chi_4(r)S\bigl(\overline{(8)}_r n^2,\overline{(8)}_r l^2;r\bigr) S\bigl(2\overline{(8)}_r \overline{(r)}_2 n^2,2\overline{(8)}_r \overline{(r)}_2 l^2;2\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, применяя формулу
$$
\begin{equation*}
S\bigl(2\overline{(8)}_r \overline{(r)}_2 n^2,2\overline{(8)}_r \overline{(r)}_2 l^2;2\bigr)=1,
\end{equation*}
\notag
$$
мы доказываем утверждение леммы 3.5. 3.2. Диагональные слагаемыеРассмотрим диагональный член в формуле (3.1), а именно,
$$
\begin{equation}
M^D(n,s):=\widehat{\omega}(1)\zeta(2s)\sum_{q=1}^{\infty}\frac{1}{q^{2+s}}K(n,0;q).
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Мы будем использовать индексы “even” и “odd” в обозначениях $M^{\mathrm{D}}_{\mathrm{even}}(n,s)$ и $M^{\mathrm{D}}_{\mathrm{odd}}(n,s)$ в зависимости от четности или нечетности параметра $n$. Доказательство. Предположим, что число $n$ четно. Мы можем разбить сумму по $q$ в формуле (3.20) следующим образом:
$$
\begin{equation}
\sum_{q=1}^{\infty}=\sum_{q\equiv 0\ (\operatorname{mod}2)}+\sum_{q\equiv 1\ (\operatorname{mod}2)}.
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Если $n$ и $q$ четны, то $K(n,0;q)=0$ во всех случаях, кроме $q\equiv 0\ (\operatorname{mod}4)$. При $q\equiv 0\ (\operatorname{mod}4)$ выполнено равенство $\chi_4(a)=\chi_4(b)$ для $ab\equiv 1\ (\operatorname{mod}q)$. Тогда из леммы 3.4 следует, что
$$
\begin{equation}
\frac{K(n,0;q)}{2iq}=\sum_{b\ (\operatorname{mod}q)}^{*}\chi_4(b)e\biggl(-\frac{b(n/2)^2}{q} \biggr)=\chi_4(-1)g\biggl(\chi_4;q;\biggl(\frac{n}2\biggr)^2\biggr),
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
где звездочка в сумме (выше) обозначает суммирование по $b\ (\operatorname{mod}q)$ таким, что $(b,q)=1$. Таким образом, применяя формулу (2.51), находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{q \equiv 0\ (\operatorname{mod}2)}\frac{K(n,0;q)}{q^{2+s}}=2i\chi_4(-1)\sum_{q\equiv 0\ (\operatorname{mod}4)}\frac{g(\chi_4;q;(n/2)^2)}{q^{1+s}} \nonumber \\ &\qquad=\frac{2i\chi_4(-1)}{4^{1+s}}\tau(\chi_4)\sum_{q=1}^{\infty}\frac{1}{q^{1+s}} \sum_{d\,|\,((n/2)^2,q)}d\chi_4\biggl(\frac{q}{d}\biggr) \chi_4\biggl(\frac{(n/2)^2}{d}\biggr)\mu\biggl(\frac{q}{d}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
Вычислим сумму по $q$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{q \equiv 0\ (\operatorname{mod}2)}\frac{K(n,0;q)}{q^{2+s}} =\frac{2i\chi_4(-1)\tau(\chi_4)}{4^{1+s}L(\chi_4,1+s)}\sum_{d\,|\,(n/2)^2}d^{-s}\chi_4 \biggl(\frac{(n/2)^2}{d}\biggr) \nonumber \\ &\qquad=\frac{2i\chi_4(-1)\tau(\chi_4)}{4^{1+s}L(\chi_4,1+s)}\biggl(\frac{n}{2} \biggr)^{-2s} \sigma_s\biggl(\chi_4;\biggl(\frac{n}2\biggr)^2\biggr) =\frac{\sigma_s(\chi_4;(n/2)^2)}{L(\chi_4,1+s)}n^{-2s}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Теперь рассмотрим сумму по нечетным $q$ в формуле (3.23). Применяя лемму 3.2 для вычисления $K(n,0;q)$ и выполняя замену переменных $-\overline{4}_qb\to b$, вычисляем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{q \equiv 1\ (\operatorname{mod}2)}\frac{K(n,0;q)}{q^{2+s}} &=\sum_{q=1}^{\infty}\frac{\chi_4(q)}{q^{1+s}}\sum_{b\ (\operatorname{mod}q)} e\biggl(\frac{bn^2}{q} \biggr) =\sum_{q=1}^{\infty}\frac{\chi_4(q)}{q^{1+s}}\sum_{d\,|\,(q,n^2)}d\mu\biggl(\frac{q}{d} \biggr) \nonumber \\ &=\sum_{d\,|\,n^2}d\sum_{q\equiv 0\ (\operatorname{mod}d)}\frac{\chi_4(q)\mu(q/d)}{q^{1+s}} =\frac{\sigma_{-s}(\chi_4;n^2)}{L(\chi_4,1+s)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Далее, объединив результаты формул (3.27) и (3.26) и учитывая равенство $\sigma_s(\chi_4;(n/2)^2)=\sigma_s(\chi_4;n^2)$, мы доказываем формулу (3.21). Аналогично для нечетного $n$ равенство (3.22) следует из 3.3. Недиагональные слагаемыеРассмотрим недиагональный член в формуле (3.1), а именно,
$$
\begin{equation}
M^{\mathrm{ND}}:=\frac{\zeta(2s)}{\pi^{s-1/2}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^s}\sum_{q=1}^{\infty} \frac{f(\omega,s;4\pi n l/q)}{q^{2}} K(n,l;q).
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Для простоты положим $\psi(x):=f(\omega,s;4x)$. Рассмотрим следующие две суммы Клоостермана (см. [10; (2.20), (2.23)]):
$$
\begin{equation}
S_{\infty,0}\bigl(m,n;c\sqrt{N};\chi\bigr) =\overline{\chi}(c)S(\overline{N}m,n;c), \qquad (c,N)=1,
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
$$
\begin{equation}
S_{\infty,\infty}(m,n;c;\chi) =\sum_{ab\equiv 1\ (\operatorname{mod}c)}e\biggl(\frac{am+bn}{c} \biggr)\overline{\chi}(b).
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
Применяя формулы (2.18) и [10; (2.15)], получаем
$$
\begin{equation}
C_{\infty,\infty}(4) =\{\gamma=q> 0, \ q\equiv 0\ (\operatorname{mod}4)\},
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
Лемма 3.7. Если $n$ четно (определим $n_1:=n/2$), тогда Доказательство. Для начала предположим, что $n$ четно. Тогда, применяя леммы 3.2–3.4, находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &M^{\mathrm{ND}}= \frac{\zeta(2s)}{\pi^{s-1/2}}\sum_{l\equiv 0\ (\operatorname{mod}2)}\frac{1}{l^s}\sum_{q\equiv 0\ (\operatorname{mod}4)}\frac{2i}{q}f\biggl(\frac{4\pi nl}{q} \biggr) \nonumber \\ &\qquad\qquad \times \sum_{\substack{a,b\ (\operatorname{mod}q)\\ab\equiv 1\ (\operatorname{mod}q)}}\chi_4(a)e\biggl(-\frac{a(l/2)^2+b(n/2)^2}{q} \biggr) \nonumber \\ &\qquad+\frac{\zeta(2s)}{\pi^{s-1/2}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^s} \sum_{q=1}^{\infty}\frac{\chi_4(q)}{q}f\biggl(\frac{4\pi nl }{q} \biggr)\sum_{\substack{a,b\ (\operatorname{mod}q)\\ab\equiv 1\ (\operatorname{mod}q)}}e\biggl( \frac{\overline{4}_q bn^2+\overline{4}_q al^2}{q}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.38}
$$
Так как $\chi_4(a)=\chi_4(b)$ при $q\equiv 0\ (\operatorname{mod}4)$, первое слагаемое в (3.38) равно
$$
\begin{equation*}
-\frac{2i\zeta(2s)}{\pi^{s-1/2}}\sum_{l\equiv 0\ (\operatorname{mod}2)} \frac{1}{l^s}\sum_{\gamma \in C_{\infty, \infty}(4)}\frac{1}{\gamma}\psi\biggl(\frac{\pi ln}{\gamma} \biggr) S_{\infty\infty}\biggl(\frac{l^2}{4},\frac{n^2}{4};\gamma;\chi_4\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя (3.30), получаем
$$
\begin{equation}
\chi_4(q)\sum_{\substack{a,b\ (\operatorname{mod}q)\\ab\equiv 1\ (\operatorname{mod}q)}}e\biggl( \frac{\overline{4}_q bn^2+\overline{4}_q al^2}{q}\biggr)=S_{\infty 0}\bigl(l^2,n_{1}^{2};q\sqrt{4};\chi_4\bigr).
\end{equation}
\tag{3.39}
$$
Таким образом, второе слагаемое в (3.38) равняется выражению
$$
\begin{equation*}
\frac{2\zeta(2s)}{\pi^{s-1/2}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^s}\sum_{\gamma\in C_{\infty, 0}(4)}\frac{1}{\gamma}\psi\biggl(\frac{4\pi ln_1}{\gamma} \biggr)S_{\infty 0}(l^2,n_{1}^{2};\gamma;\chi_{4}).
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство (3.36) завершено. Далее будем предполагать, что $n$ нечетно. Применяя леммы 3.2, 3.3, 3.5, находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &M^{\mathrm{ND}}=\frac{\zeta(2s)}{\pi^{s-1/2}}\sum_{(l,2)=1}\frac{1}{l^s}\sum_{q\equiv 2\ (\operatorname{mod}4)}\frac{2\chi_4(q/2)}{q}f\biggl(\frac{4\pi nl}{q} \biggr) \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad \times \sum_{\substack{a,b\ (\operatorname{mod}r)\\ab\equiv 1\ (\operatorname{mod}r)}}e\biggl(\frac{a\overline{8}_r n^2+b\overline{8}_r l^2}{r} \biggr) \nonumber \\ &\qquad+\frac{\zeta(2s)}{\pi^{s-1/2}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^s} \sum_{q=1}^{\infty}\frac{\chi_4(q)}{q}f\biggl(\frac{4\pi nl}{q} \biggr)\sum_{\substack{a,b\ (\operatorname{mod}q)\\ab\equiv 1\ (\operatorname{mod}q)}}e\biggl( \frac{\overline{4}_q bn^2+\overline{4}_q al^2}{q}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.40}
$$
где $r=q/2$. Заметим, что характер $\chi_4$ может быть продолжен до характера $\chi_{16}$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\chi_{16}(q)=\begin{cases} \chi_4(q), &\text{если }(q,16)=1, \\ 0 &\text{в противном случае}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.41}
$$
Следовательно, $\chi_4(q)=\chi_{16}(q)$ для всех $(q,2)=1$. Поэтому второе слагаемое в (3.40) равняется выражению
$$
\begin{equation}
\frac{4\zeta(2s)}{\pi^{s-1/2}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^s}\sum_{\gamma\in C_{\infty, 0}(16)}\frac{1}{\gamma}\psi\biggl(\frac{4\pi ln}{\gamma} \biggr)S_{\infty 0}(l^2,n^2;\gamma,\chi_{4}).
\end{equation}
\tag{3.42}
$$
Для вычисления первого слагаемого в (3.40) разобьем сумму по $l$ на две части:
$$
\begin{equation*}
\sum_{(l,2)=1}=\sum_{l=1}^{\infty}-\sum_{l\equiv 0\ (\operatorname{mod}2)},
\end{equation*}
\notag
$$
которые приводят к выражению
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{8\zeta(2s)}{\pi^{s-1/2}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^s}\sum_{\gamma\in C_{\infty,0}(64)}\frac{1}{\gamma}\psi\biggl(\frac{4\pi ln}{\gamma} \biggr)S_{\infty 0}(l^2,n^2;\gamma,\chi_{4}) \nonumber \\ &\qquad- \frac{4\zeta(2s)}{2^{s}\pi^{s-1/2}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^s}\sum_{\gamma\in C_{\infty, 0}(16)}\frac{1}{\gamma}\psi\biggl(\frac{4\pi ln}{\gamma} \biggr)S_{\infty 0}(l^2,n^2;\gamma,\chi_{4}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.43}
$$
Доказательство завершено. § 4. Специальные функцииВ этом параграфе мы рассмотрим преобразования Бесселя $\psi_H(k)$ и $\psi_D(t)$, которые задаются формулами (2.41) и (2.42) соответственно. Наша цель – доказать интегральные представления для этих функций в терминах гипергеометрической функции Гаусса. Напомним, что в нашем случае $\kappa=1$ и $k\equiv \kappa \ (\operatorname{mod}2)$. Таким образом, справедливо представление $k=2m+1$ для $m \in \mathbf{N}$, и мы получаем формулы
$$
\begin{equation}
\psi_H(k) =4i^{2m+1}\int_{0}^{\infty}J_{2m}(x)\psi(x)\, \frac{dx}{x},
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
$$
\begin{equation}
\psi_D(t) =\frac{2\pi i t}{\operatorname{sh}(\pi t)}\int_{0}^{\infty}(J_{2it}(x)+J_{-2it}(x))\psi(x)\, \frac{dx}{x},
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где для $a<0$ (см. (3.2))
$$
\begin{equation}
\psi(x)=f(\omega,s;4x)=\frac{1}{2\pi i}\int_{(a)}\frac{\Gamma(1/2-\alpha/2)}{\Gamma(\alpha/2)}\widehat{\omega}(\alpha)\biggl( \frac{x}{n}\biggr)^{\alpha+s-1}\, d\alpha.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Функция $\psi(x)$ имеет также другое интегральное представление:
$$
\begin{equation}
\psi(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\biggl(\frac{x}{n}\biggr)^s\int_{0}^{\infty}\omega(y)\cos\biggl( \frac{2xy}{n}\biggr)\, dy,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
доказательство которого может быть найдено в [2; (1.7)] и [2; с. 1984]. Лемма 4.1. Справедлива следующая формула: Доказательство. Подставляя формулу (4.4) в (4.1), находим
$$
\begin{equation}
\psi_H(k)=\frac{8i^{2m+1}}{\sqrt{\pi}\, n^s} \int_{0}^{\infty}\omega(y) \int_{0}^{\infty}J_{2m}(x)x^{s-1}\cos \biggl(x\, \frac{2y}{n} \biggr)\, dx\, dy.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Внешний интеграл по $y$ может быть разбит на две части: $\int_{0}^{\infty}=\int_{0}^{n/2}+\int_{n/2}^{\infty}$. Для каждой из этих частей вычислим внутренний интеграл по $x$. При $2y/n\,{<}\,1$ применяем равенство [11; (6.699), (2)] и формулу отражения Эйлера, из чего заключаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{0}^{\infty}J_{2m}(x)x^{s-1}\cos \biggl(x\, \frac{2y}{n} \biggr)\, dx =\frac{2^{s-1}(-1)^m\sin(\pi s/2)}{\pi} \nonumber \\ &\qquad \times \Gamma\biggl(\frac{s}2+m\biggr)\Gamma\biggl(\frac{s}2-m\biggr) F\biggl(\frac{s}{2}+m,\, \frac{s}{2}-m;\, \frac{1}{2};\, \biggl(\frac{2y}{n}\biggr)^2\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Таким образом, получено первое слагаемое в (4.5). Второе слагаемое вычисляется аналогично с использованием равенства [11; (6.699), (2)] при $2y/n\geqslant 1$. Лемма доказана. Лемма 4.2. Справедливо следующее выражение: Доказательство. Подставляя (4.4) в (4.2), мы показываем, что
$$
\begin{equation}
\psi_D(t)=\frac{2\pi i t}{\operatorname{sh}(\pi t)}\bigl(h_1(t)+h_1(-t)+h_2(t)\bigr),
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h_1(t) &=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \, \frac{1}{n^s} \int_{n/2}^{\infty}\omega(y) \int_{0}^{\infty}J_{2it}(x)x^{s-1}\cos\biggl(\frac{2xy}{n} \biggr)\, dx\, dy, \\ h_2(t) &=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \, \frac{1}{n^s} \int_{0}^{n/2}\omega(y) \int_{0}^{\infty}\bigl(J_{2it}(x)+J_{-2it}(x)\bigr)x^{s-1}\cos\biggl(\frac{2xy}{n} \biggr)\, dx\, dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисляя внутренние интегралы по $x$ в $h_1(t)$ и $h_2(t)$ с помощью [11; (6.699), (2)], мы завершаем доказательство. Лемма 4.3. Справедливы следующие равенства: Доказательство. Равенство (4.12) следует напрямую из формулы (4.10). Для доказательства (4.13) и (4.14) мы воспользуемся уравнением [16; (15.4.6)], в соответствии с которым получаем Лемма доказана. Следствие 4.1. Справедливо равенство § 5. Коэффициенты Фурье рядов ЭйзенштейнаДля того чтобы понять структуру непрерывного спектра, возникающего из формулы Кузнецова, мы вычислим в явном виде коэффициенты Фурье рядов Эйзенштейна групп $\Gamma_0(4)$, $\Gamma_0(16)$ и $\Gamma_0(64)$. С этой целью определим список сингулярных параболических вершин для рассматриваемых групп и вычислим различные характеры, являющиеся составной частью коэффициентов Фурье. 5.1. Сингулярные параболические вершины для $\Gamma_0(4)$, $\Gamma_0(16)$ и $\Gamma_0(64)$Пусть $\sigma_{\mathfrak{a}}$ – нормировочная матрица для параболической вершины $\mathfrak{a}$, и пусть $\lambda_{\mathfrak{a}}$ определяется равенством $\sigma_{\mathfrak{a}}^{-1}\lambda_{\mathfrak{a}}\sigma_{\mathfrak{a}} =\left(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)$. Напомним, что $\mathfrak{a}$ называется сингулярной для характера $\chi$, если $\chi(\lambda_{\mathfrak{a}})=1$. Из [10; утверждение 3.3] следует, что если $\mathfrak{c}=1/\omega$ – параболическая вершина $\Gamma=\Gamma_0(N)$ и
$$
\begin{equation}
N=(N,\omega)N', \qquad \omega=(N,\omega)\omega', \qquad N'=(N',\omega)N'',
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
то
$$
\begin{equation}
\lambda_{1/\omega}=\begin{pmatrix} 1-\omega N''& N'' \\ -\omega^2N''&1+\omega N'' \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Лемма 5.1. Следующие параболические вершины сингулярны для $\Gamma_0(4)$: Следующие параболические вершины сингулярны для $\Gamma_0(16)$:
$$
\begin{equation*}
0,\quad \frac12,\quad \frac14,\quad \frac18,\quad \frac1{12},\quad \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующие параболические вершины сингулярны для $\Gamma_0(64)$: Доказательство. В соответствии с [10; следствие 3.2] все неэквивалентные параболические вершины для $\Gamma=\Gamma_0(N)$ могут быть записаны как $1/w=1/(uf)$, где $f$ пробегает все делители $N$, а $u$ пробегает приведенную систему вычетов по модулю $(f,N/f)$ и выбрано так, что $(u,N)=1$ после добавления нужного количества $(f,N/f)$.
Следовательно, для группы $\Gamma_0(4)$ существуют три неэквивалентные параболические вершины:
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{1}\sim 0,\quad \frac{1}{2},\quad \frac{1}{4}\sim \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Для группы $\Gamma_0(16)$ существует шесть неэквивалентных параболических вершин:
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{1}\sim 0,\quad \frac{1}{2},\quad \frac{1}{4},\quad \frac{1}{8},\quad \frac{1}{12},\quad \frac{1}{16} \sim \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
а для группы $\Gamma_0(64)$ их двенадцать:
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{1}\sim 0,\quad \frac{1}{2},\quad \frac{1}{4},\quad \frac{1}{8},\quad \frac{1}{12},\quad \frac{1}{16},\quad \frac{1}{24},\quad \frac{1}{32},\quad \frac{1}{40},\quad \frac{1}{48},\quad \frac{1}{56},\quad \frac{1}{64}\sim \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Для того чтобы понять, какие из параболических вершин являются сингулярными, мы применим (5.2). Таким образом, параболическая вершина сингулярна, если Проверяя это условие, мы приходим к выводу, что для $\Gamma_0(16)$ и $\Gamma_0(64)$ все перечисленные выше параболические вершины сингулярны. Для $\Gamma_0(4)$ параболические вершины $0$ и $\infty$ сингулярны, а вершина $1/2$ таковой не является, так как $\chi_4(1+wN'')=\chi_4(3)=-1$. Лемма доказана.5.2. Вычисления характеров Лемма 5.2. Пусть $\mathfrak{c}=1/w$ – произвольная параболическая вершина, и $\mathfrak{a}=1/r$ – параболическая вершина Аткина–Ленера для $\Gamma_0(N)$. Выберем нормировочные матрицы следующим образом: Доказательство. Доказательство (5.6) приведено в [10; лемма 3.5].
Непосредственные вычисления показывают, что
$$
\begin{equation}
\sigma_{\mathfrak{c}}\rho\sigma_{\mathfrak{a}}^{-1}=\begin{pmatrix} *&* \\ *&(wA+C)\dfrac{1-\overline{s}s}{r}+WB+D \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Отсюда следует формула (5.7). Если $\mathfrak{a}=\infty$, то формулу можно упростить, заметив, что в этом случае $r=N$, $s=1$, и поэтому Аналогично для $\mathfrak{a}=0$ получаем $r=1$, $s=N$ и Тогда, применяя соотношение $wB+D\equiv 0\ (\operatorname{mod}N)$ в формуле (5.7), доказываем (5.9). Лемма доказана. Следствие 5.1. Для группы $\Gamma_0(4)$ выполнены следующие равенства: Доказательство. Если $\mathfrak{a}=\mathfrak{c}=\infty$, то $w=N=4$, и из формулы (5.8) получаем $\chi_4(\sigma_{\mathfrak{c}}\rho\sigma_{\mathfrak{a}}^{-1})=\chi_4(D)$.
Если $\mathfrak{a}=\infty$, $\mathfrak{c}=0$, то $w=1$, и из формулы (5.8) получаем $\chi_4(\sigma_{\mathfrak{c}}\rho\sigma_{\mathfrak{a}}^{-1})=\chi_4(B+D)$. Из (5.6) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{cases} AD-BC=1, \\ C\equiv-A\ (\operatorname{mod}N). \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Поэтому $A(B+D)\equiv 1\ (\operatorname{mod}N)$ и $B+D\equiv \overline{A}\ (\operatorname{mod}N)\equiv - \overline{C}\ (\operatorname{mod}N)$. Следовательно, $\chi_4(\sigma_{\mathfrak{c}}\rho\sigma_{\mathfrak{a}}^{-1})=\chi_4(- \overline{C})=\chi_4(- C).$
Если $\mathfrak{a}=0$, $\mathfrak{c}=\infty$, то $w=N=4$, и из формулы (5.9) получаем $\chi_4(\sigma_{\mathfrak{c}}\rho\sigma_{\mathfrak{a}}^{-1})=\chi_4(C)$. Если $\mathfrak{a}=\mathfrak{c}=0$, то $w=1$, и из формулы (5.9) получаем $\chi_4(\sigma_{\mathfrak{c}}\rho\sigma_{\mathfrak{a}}^{-1})=\chi_4(A+C)$. Применяя (5.6), находим Таким образом, $D(A+C)\equiv 1\ (\operatorname{mod}N)$ и $\chi_4(\sigma_{\mathfrak{c}}\rho\sigma_{\mathfrak{a}}^{-1})=\chi_4(\overline{D})=\chi_4(D)$. Следствие доказано. Следствие 5.2. Для групп $\Gamma_0(16)$ и $\Gamma_0(64)$ выполнены равенства: Доказательство. Заметим, что если $w\equiv 0\ (\operatorname{mod}4)$, то Данные равенства справедливы для всех сингулярных параболических вершин групп $\Gamma_0(16)$ и $\Gamma_0(64)$ за исключением вершин $\mathfrak{c}=1/1\sim 0$ и $\mathfrak{c}=1/2$.
Для $\mathfrak{c}=1/1\sim 0$ все вычисления аналогичны тем, что были проведены в следствии 5.1. Рассмотрим $\mathfrak{c}=1/2$. Из формулы (5.8)
$$
\begin{equation}
\chi_4(\sigma_{1/2}\rho\sigma_{\infty}^{-1})=\chi_4(2B+D).
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
Применяя (5.6), находим
$$
\begin{equation}
\begin{cases} AD-BC=1, \\ C\equiv -2A\ (\operatorname{mod}N), \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
из чего следует, что $A(D+2B)\equiv 1\ (\operatorname{mod}N)$ и $\chi_4(\sigma_{1/2}\rho\sigma_{\infty}^{-1})=\chi_4(\overline{A})$. Так как $A\overline{A}\equiv 1\ (\operatorname{mod}4)$ и $A\equiv -C/2\ (\operatorname{mod}N/2)$, мы получаем
$$
\begin{equation}
\chi_4(\sigma_{1/2}\rho\sigma_{\infty}^{-1})=\chi_4(\overline{A})=\chi_4(A)=\chi_4\biggl(-\frac{C}2 \biggr).
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
Из формулы (5.9) находим
$$
\begin{equation}
\chi_4(\sigma_{1/2}\rho\sigma_{0}^{-1})=\chi_4(2A+C).
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
Применяя (5.6), показываем, что Таким образом, $-B(2A+C)\equiv 1\ (\operatorname{mod}N)$ и Следствие доказано. 5.3. Коэффициенты ФурьеЗдесь мы предполагаем, что $m$ – положительное число. Для удобства записи введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation}
\delta_{n}(m):=\begin{cases} 1, &\text{если }n\,|\,m, \\ 0 &\text{иначе}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
$$
\begin{equation}
s(m):=\frac{\sigma_{1-2s}(\chi_4;m)}{L(\chi_4,2s)},
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
$$
\begin{equation}
t(m):=\frac{\tau(\chi_4)\sigma_{2s-1}(\chi_4;m)m^{1-2s}}{L(\chi_4,2s)},
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{a\ (\operatorname{mod}m)}^{*}:=\sum_{\substack{a\ (\operatorname{mod}m)\\(a,m)=1}}.
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
Также мы будем часто использовать лемму 5.3, которая является прямым следствием китайской теоремы об остатках. Лемма 5.3. Для $(m,n)=1$ выполнено равенство где $n\overline{n}_m\equiv 1\ (\operatorname{mod}m)$ и $m\overline{m}_n\equiv 1\ (\operatorname{mod}n)$. Наша следующая цель – вычислить коэффициенты Фурье (2.27) для $N=4,16,64$ и $\mathfrak{a}=0, \infty$. Мы представим полное доказательство в случае $N=64$ и $\mathfrak{a}=\infty$. Остальные случаи доказываются аналогично. Лемма 5.4. Пусть $N=64$ и $\mathfrak{a}=\infty$. Тогда Доказательство. Нам нужно вычислить (2.27) для $\mathfrak{a}=\infty$. Соответственно выражение [10; (3.20)] может быть упрощено в случае $r=N=64$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\Gamma_{\infty}\setminus\sigma_{\mathfrak{c}}^{-1}\Gamma\sigma_{\mathfrak{\infty}}/\Gamma_{\infty} \nonumber \\ &=\left\{ \begin{pmatrix} *& * \\ C\sqrt{N''}&D\sqrt{N''} \end{pmatrix}\colon \begin{aligned} \, D\ (\operatorname{mod}C), \ (D,C)=1, \ (C,N)=f, \\ D\equiv -\overline{\dfrac{C}{f}}\, u\ \biggl(\operatorname{mod}\biggl(f,\dfrac{N}{f}\biggr)\biggr) \end{aligned} \right\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.36}
$$
Если $\mathfrak{c}=0$, то из следствия 5.2 получаем $\chi_4(\sigma_{0}\rho\sigma_{\infty}^{-1})=\chi_4(-C)$, а также
$$
\begin{equation*}
f=1, \qquad \biggl(f,\frac{N}{f}\biggr)=1, \qquad N''=64, \qquad D\equiv -\overline{C}\ (\operatorname{mod}1).
\end{equation*}
\notag
$$
В результате
$$
\begin{equation}
\phi_{\infty,0}(m,s,\chi_4)=\sum_{(C,2)=1}\frac{\chi_4(-C)}{(8C)^{2s}}\sum_{D\ (\operatorname{mod}C)}^{*}e\biggl( \frac{mD}{C}\biggr).
\end{equation}
\tag{5.37}
$$
Условие $(C,2)=1$ может быть опущено, так как $\chi_4(-C)=0$, если оно не выполнено. Далее мы применим для внутренней суммы равенство
$$
\begin{equation}
\sum_{D\ (\operatorname{mod}C)}^{*}e\biggl( \frac{mD}{C}\biggr)=\sum_{d\,|\,(m,C)}d\mu\biggl(\frac{C}{d}\biggr)
\end{equation}
\tag{5.38}
$$
и поменяем порядки суммирования, из чего получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \phi_{\infty,0}(m,s,\chi_4) &=\frac{\chi_4(-1)}{8^{2s}}\sum_{d\,|\,m}d\sum_{C\equiv0\ (\operatorname{mod}d)}\frac{\chi_4(C)}{C^{2s}}\mu\biggl(\frac{C}{d}\biggr) \nonumber \\ &=\frac{\chi_4(-1)}{8^{2s}}\sum_{d\,|\,m}\frac{\chi_4(d)}{d^{2s-1}} \sum_{C}\frac{\chi_4(C)}{C^{2s}}\mu(C)=\chi_4(-1)\frac{s(m)}{8^{2s}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.39}
$$
Если $\mathfrak{c}=1/2$, то из следствия 5.2 получаем $\chi_4(\sigma_{1/2}\rho\sigma_{\infty}^{-1})=\chi_4(-\overline{C/2})$, а также
$$
\begin{equation*}
f=2, \qquad \biggl(f,\frac{N}{f}\biggr)=2, \qquad N''=16, \qquad D\equiv -\overline{\frac{C}2}\quad (\operatorname{mod}2).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation}
\phi_{\infty,1/2}(m,s,\chi_4)=\sum_{(C,2)=1}\frac{\chi_4(-C)}{(8C)^{2s}}\sum_{D\ (\operatorname{mod}2C)}^{*}e\biggl( \frac{mD}{2C}\biggr).
\end{equation}
\tag{5.40}
$$
Применяя лемму 5.3, находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{D\ (\operatorname{mod}2C)}^{*}e\biggl( \frac{mD}{2C}\biggr) &=\sum_{d_1\ (\operatorname{mod}2)}^{*}\sum_{d_2(C)}^{*}e\biggl(\frac{md_1\overline{C}_2}{2} \biggr) e\biggl(\frac{md_2\overline{2}_C}{C} \biggr) \nonumber \\ &=e\biggl( \frac{m}{2}\biggr)\sum_{d_2(C)}^{*}e\biggl(\frac{md_2\overline{2}_C}{C} \biggr) =e\biggl( \frac{m}{2}\biggr)\sum_{d\,|\,(m,C)}d\mu\biggl(\frac{C}{d}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.41}
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\phi_{\infty,1/2}(m,s,\chi_4)=\chi_4(-1)e\biggl(\frac{m}{2}\biggr)\frac{s(m)}{8^{2s}}.
\end{equation}
\tag{5.42}
$$
Если $\mathfrak{c}=1/(4u)$ при $ u=1,3$, то из следствия 5.2 находим $\chi_4(\sigma_{0}\rho\sigma_{\infty}^{-1})=\chi_4(D)$, а также
$$
\begin{equation*}
f=4, \qquad \biggl(f,\frac{N}{f}\biggr)=4, \qquad N''=4, \qquad D\equiv -u\overline{\frac{C}4}\quad (\operatorname{mod}4).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\phi_{\infty,1/(4u)}(m,s,\chi_4)=\sum_{(C,2)=1}\frac{\chi_4(-u\overline{C})}{(8C)^{2s}} \sum_{\substack{D\ (\operatorname{mod}4C)\\D\equiv -u\overline{C}\ (\operatorname{mod}4)}}^{*}e\biggl( \frac{mD}{4C}\biggr).
\end{equation}
\tag{5.43}
$$
Применяя лемму 5.3, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{\substack{D\ (\operatorname{mod}4C)\\D\equiv -u\overline{C}\ (\operatorname{mod}4)}}^{*}e\biggl( \frac{mD}{4C}\biggr) &= \sum_{\substack{d_1\ (\operatorname{mod}4)\\ d_1\overline{C}_4\equiv -u\ (\operatorname{mod}4) }}e\biggl(\frac{md_1\overline{C}_4}{4} \biggr) \sum_{d_2\ (\operatorname{mod}C)}e\biggl(\frac{md_2}{C} \biggr) \nonumber \\ &=e\biggl( -\frac{mu}{4}\biggr)\sum_{d\,|\,(m,C)}d\mu\biggl(\frac{C}{d}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.44}
$$
Поэтому для $ u=1,3$ верна формула
$$
\begin{equation}
\phi_{\infty,1/(4u)}(m,s,\chi_4)=\chi_4(-u)e\biggl(-\frac{mu}{4}\biggr)\frac{s(m)}{8^{2s}}.
\end{equation}
\tag{5.45}
$$
Если $\mathfrak{c}=1/(8u)$ при $ u=1,3,5,7$, то из следствия 5.2 находим $\chi_4(\sigma_{0}\rho\sigma_{\infty}^{-1})=\chi_4(D)$, а также
$$
\begin{equation*}
f=8, \qquad \biggl(f,\frac{N}{f}\biggr)=8, \qquad N''=1, \qquad D\equiv -u\,\overline{\frac{C}8}\quad (\operatorname{mod}8).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, как и в предыдущих случаях, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\phi_{\infty,1/(8u)}(m,s,\chi_4) =\sum_{(C,8)=1}\frac{\chi_4(-u\overline{C})}{(8C)^{2s}}\sum_{\substack{D\ (\operatorname{mod}8C)\\D\equiv -u\overline{C}\ (\operatorname{mod}8)}}^{*}e\biggl( \frac{mD}{8C}\biggr) \nonumber \\ &\qquad= \chi_4(-u)e\biggl( -\frac{mu}{8}\biggr)\sum_{C=1}^{\infty}\frac{\chi_4(C)}{(8C)^{2s}} \sum_{d\,|\,(m,C)}d\mu\biggl(\frac{C}{d} \biggr) =\chi_4(-u)e\biggl(-\frac{mu}{8}\biggr)\frac{s(m)}{8^{2s}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.46}
$$
Если $\mathfrak{c}=1/(16u)$ при $u=1,3$, то из следствия 5.2 находим $\chi_4(\sigma_{0}\rho\sigma_{\infty}^{-1})=\chi_4(D)$, а также
$$
\begin{equation*}
f=16, \qquad \biggl(f,\frac{N}{f}\biggr)=4, \qquad N''=1, \qquad D\equiv -u\,\overline{\frac{C}{16}}\quad (\operatorname{mod}4).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\phi_{\infty,1/(16u)}(m,s,\chi_4)=\sum_{(C,4)=1}\frac{\chi_4(-u\overline{C})}{(16C)^{2s}} \sum_{\substack{D\ (\operatorname{mod}16C)\\D\equiv -u\overline{C}\ (\operatorname{mod}4)}}^{*}e\biggl( \frac{mD}{16C}\biggr).
\end{equation}
\tag{5.47}
$$
Внутренняя сумма вычисляется с помощью леммы 5.3 следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{\substack{D\ (\operatorname{mod}16C)\\D\equiv -u\overline{C}\ (\operatorname{mod}4)}}^{*}e\biggl( \frac{mD}{16C}\biggr) &= \sum_{\substack{d_1\ (\operatorname{mod}16)\\d_1\equiv-u\overline{C}_4\ (\operatorname{mod}4)}}^{*}\sum_{d_2\ (\operatorname{mod}C)}^{*} e\biggl(\frac{md_1\overline{C}_{16}}{16} \biggr)e\biggl(\frac{md_2\overline{16}_{C}}{C} \biggr) \nonumber \\ &= \sum_{\substack{d_1\ (\operatorname{mod}16)\\Cd_1\equiv-u\overline{C}_4\ (\operatorname{mod}4)}}^{*} e\biggl(\frac{md_1}{16} \biggr)\sum_{d_2\ (\operatorname{mod}C)}^{*}e\biggl(\frac{md_2}{C} \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.48}
$$
Заметим, что $\overline{C}_4\equiv C\ (\operatorname{mod}4)$, и поэтому условие $Cd_1\equiv-u\overline{C}_4\ (\operatorname{mod}4)$ может быть заменено на $d_1\equiv -u\ (\operatorname{mod}4)$.
Выполняя замену переменных $d_3:=-u+4d_3$, $d_3\ (\operatorname{mod}4)$, получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{\substack{d_1\ (\operatorname{mod}16)\\d_1\equiv -u\ (\operatorname{mod}4)}}e\biggl( \frac{md_1}{16}\biggr)=\sum_{d_3\ (\operatorname{mod}4)}e\biggl(-\frac{mu}{16}\biggr)e\biggl( \frac{md_3}{4}\biggr)=4\delta_{4}(m)e\biggl(-\frac{mu}{16}\biggr).
\end{equation}
\tag{5.49}
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\phi_{\infty,1/(16u)}(m,s,\chi_4) =\chi_4(-u)4\delta_{4}(m)e\biggl(-\frac{mu}{16}\biggr)\frac{s(m)}{16^{2s}}.
\end{equation}
\tag{5.50}
$$
Если $\mathfrak{c}=1/32$, то из следствия 5.2 находим $\chi_4(\sigma_{0}\rho\sigma_{\infty}^{-1})=\chi_4(D)$, а также
$$
\begin{equation*}
f=32, \qquad \biggl(f,\frac{N}{f}\biggr)=2, \qquad N''=1, \qquad D\equiv -u\,\overline{\frac{C}{32}}\quad (\operatorname{mod}2).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\phi_{\infty,1/32}(m,s,\chi_4)=\sum_{(C,2)=1}\frac{1}{(32C)^{2s}}\sum_{D\ (\operatorname{mod}32C)}^{*}\chi_4(D)e\biggl( \frac{mD}{32C}\biggr),
\end{equation}
\tag{5.51}
$$
где внутренняя сумма – это сумма Гаусса $g(\chi_4;32C;m)$, заданная формулой (2.50). Тогда из формулы (2.51) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\phi_{\infty,1/32}(m,s,\chi_4) =\frac{\tau(\chi_4)}{(32)^{2s}}\sum_{d\,|\,m}d\chi_4\biggl(\frac{m}{d}\biggr) \sum_{\substack{(C,2)=1\\C\equiv0\ (\operatorname{mod}d/(8,d))}} \frac{\chi_4(8C/d)\mu(8C/d)}{C^{2s}} \\ &\qquad=\frac{\tau(\chi_4)}{(32)^{2s}}\sum_{\substack{d\,|\,m\\(d/(8,d),2)=1}}d\chi_4 \biggl(\frac{m}{d}\biggr)\biggl(\frac{(8,d)}{d} \biggr)^{2s}\sum_{(C,2)=1} \frac{\chi_4(8C/(8,d))\mu(8C/(8,d))}{C^{2s}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\chi_4(8C/(8,d))=0$, кроме случая $(8,d)=8$, выражение выше можно упростить:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \phi_{\infty,1/32}(m,s,\chi_4) &=\frac{\tau(\chi_4)}{(32)^{2s}}\sum_{\substack{d\,|\,m\\d\equiv 0\ (\operatorname{mod}8)\\(d/8,2)=1}}d\chi_4\biggl(\frac{m}{d} \biggr)\biggl(\frac{8}{d} \biggr)^{2s}\sum_{(C,2)=1}\frac{\chi_4(C)\mu(C)}{C^{2s}} \\ &=\frac{\tau(\chi_4)}{(32)^{2s}L(\chi_4,2s)}\, 8\delta_8(m) \sum_{\substack{d\,|\,m/8\\(d,2)=1}}d^{1-2s}\chi_4\biggl(\frac{m/8}{d}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $m/8$ нечетно, то условие $(d,2)=1$ можно убрать, а если $m/8$ четно, то $\chi_4((m/8)/d)=0$ для нечетного $d$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\phi_{\infty,1/32}(m,s,\chi_4)=\frac{8}{(32)^{2s}}\, \delta_{8}(m)(1-\delta_{16}(m))t \biggl(\frac{m}{8}\biggr).
\end{equation}
\tag{5.52}
$$
При $m \equiv 0 \ (\operatorname{mod}16)$ выполнено следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\biggl( \frac{m}{8}\biggr)^{1-2s}\sigma_{2s-1}\biggl(\chi_4;\frac{m}8\biggr) =2^{1-2s}\biggl( \frac{m}{16}\biggr)^{1-2s}\sigma_{2s-1}\biggl(\chi_4;\frac{m}{16}\biggr),
\end{equation}
\tag{5.53}
$$
и поэтому
$$
\begin{equation}
\phi_{\infty,1/32}(m,s,\chi_4)=\frac{8}{(32)^{2s}}\, \delta_{8}(m)t\biggl(\frac{m}{8}\biggr) -\frac{16}{(64)^{2s}}\, \delta_{16}(m)t\biggl(\frac{m}{16}\biggr).
\end{equation}
\tag{5.54}
$$
Если $\mathfrak{c}=1/64$, то из следствия 5.2 получаем $\chi_4(\sigma_{0}\rho\sigma_{\infty}^{-1})=\chi_4(D)$, а также
$$
\begin{equation*}
f=64, \qquad \biggl(f,\frac{N}{f}\biggr)=1, \qquad N''=1, \qquad D\equiv -u\, \overline{\frac{C}{64}}\quad (\operatorname{mod}1).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation}
\phi_{\infty,\infty}(m,s,\chi_4)=\sum_{C}\frac{1}{(64C)^{2s}}\sum_{D\ (\operatorname{mod}64C)}^{*}\chi_4(D)e\biggl( \frac{mD}{64C}\biggr).
\end{equation}
\tag{5.55}
$$
Внутренняя сумма – это сумма Гаусса $g(\chi_4;64C;m)$, определенная формулой (2.50). Используя для этой суммы представление (2.51), находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\phi_{\infty,\infty}(m,s,\chi_4)=\frac{\tau(\chi_4)}{(64)^{2s}} \sum_{C=1}^{\infty}\frac{1}{C^{2s}}\sum_{d\,|\,(m,16C)}d\chi_4\biggl(\frac{16C}{d}\biggr) \chi_4\biggl(\frac{n}{d} \biggr)\mu\biggl( \frac{16C}{q}\biggr) \\ &\qquad=\frac{\tau(\chi_4)}{(64)^{2s}}\sum_{d\,|\,m}d\chi_4\biggl( \frac{m}{d}\biggr) \biggl(\frac{(16,d)}{d} \biggr)^{2s}\sum_{C=1}^{\infty}\frac{\chi_4(16C/(16,d)) \mu(16C/(16,d))}{C^{2s}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\chi_4(16C/(16,d))=0$ во всех случаях кроме $(16,d)/d =1$. Таким образом, мы можем предположить, что $d\equiv 0\ (\operatorname{mod}16)$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\phi_{\infty,\infty}(m,s,\chi_4)=\frac{\tau(\chi_4)}{(64)^{2s}}\sum_{\substack{d\,|\,m\\d\equiv 0\ (\operatorname{mod}16)}}d\chi_4\biggl( \frac{m}{d}\biggr)\biggl(\frac{16}{d} \biggr)^{2s}\sum_{C=1}^{\infty}\frac{\chi_4(C)\mu(C)}{C^{2s}} \\ &\qquad=\frac{\tau(\chi_4)}{(64)^{2s}}\delta_{16}(m)\sum_{d\,|\,m/16}\chi_4 \biggl(\frac{m/16}{d} \biggr)\frac{16d^{-2s+1}}{L(\chi_4,2s)} =\frac{16}{(64)^{2s}}\delta_{16}(m)t\biggl(\frac{m}{16}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Лемма 5.5. Пусть $N=64$ и $\mathfrak{a}=0$. Тогда Лемма 5.6. Пусть $N=16$ и $\mathfrak{a}=0$. Тогда Лемма 5.7. Пусть $N=16$ и $\mathfrak{a}=\infty$. Тогда Лемма 5.8. Пусть $N=4$. Тогда Доказательство. Равенство (5.76) является следствием формул (5.52), (5.34) и (5.57). Аналогично (5.77) следует из (5.71) и (5.64). Следствие доказано.
§ 6. Вклад непрерывного спектраПрименяя формулу следа Кузнецова (2.43) к суммам сумм Клоостермана в (3.36), мы находим, что для четного $n$ непрерывный спектр (2.49) может быть записан как сумма двух слагаемых:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C^{1}_{\mathrm{even}} &:=-\frac{2i\zeta(2s)}{2^s\pi^{s-1/2}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^s} \sum_{\mathfrak{c} \text{ sing. } \Gamma_0(4)} \frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\psi_D(t)\operatorname{sh}(\pi t)}{t\operatorname{ch}(\pi t)} \nonumber \\ &\qquad \times l^{-2it} \overline{\phi_{\infty,\mathfrak{c}}\biggl(l^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)} n^{2it}_{1} \phi_{\infty,\mathfrak{c}}\biggl(n^{2}_{1},\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)\, dt \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C^{2}_{\mathrm{even}} &:=\frac{2\zeta(2s)}{\pi^{s-1/2}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^s} \sum_{\mathfrak{c} \text{ sing. } \Gamma_0(4)} \frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\psi_D(t)\operatorname{sh}(\pi t)}{t\operatorname{ch}(\pi t)} \nonumber \\ &\qquad \times l^{-2it} \overline{\phi_{\infty,\mathfrak{c}}\biggl(l^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)} n_{1}^{2it}\phi_{0,\mathfrak{c}}\biggl(n_{1}^{2},\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)\, dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Аналогично, применяя (3.37) для нечетного $n$, нам необходимо изучить
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C^{1}_{\mathrm{odd}} &:=\frac{8\zeta(2s)}{\pi^{s-1/2}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^s} \sum_{\mathfrak{c} \text{ sing. }\Gamma_0(64)} \frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\psi_D(t)\operatorname{sh}(\pi t)}{t\operatorname{ch}(\pi t)} \nonumber \\ &\qquad \times l^{-2it} \overline{\phi_{\infty,\mathfrak{c}}\biggl(l^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)} n^{2it}\phi_{0,\mathfrak{c}}\biggl(n^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)\, dt \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C^{2}_{\mathrm{odd}} &:=\frac{4\zeta(2s)}{\pi^{s-1/2}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^s} \sum_{\mathfrak{c} \text{ sing. } \Gamma_0(16)} \frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\psi_D(t)\operatorname{sh}(\pi t)}{t\operatorname{ch}(\pi t)} \nonumber \\ &\qquad \times (1-2^{-s}) l^{-2it} \overline{\phi_{\infty,\mathfrak{c}}\biggl(l^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)} n^{2it}\phi_{0,\mathfrak{c}}\biggl(n^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)\, dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
Для того чтобы вычислить суммы по $l$ и $\mathfrak{c}$, в данных выражениях мы применим результаты из предыдущего параграфа. Четный и нечетный случаи требуют отдельного рассмотрения. 6.1. Четный случай Лемма 6.1. При $\operatorname{Re}{s}>1$ справедливо равенство Доказательство. Для $\Gamma_0(4)$ существуют две неэквивалентные сингулярные параболические вершины: $0$ и $\infty$.
Сначала рассмотрим $\mathfrak{c}=\infty$. Применяя (5.75), (5.27), (2.8) с $z:=s-2it$ и $s:=-2it$, мы вычислим сумму по $l$ в (6.1):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^s} l^{-2it} \overline{\phi_{\infty,\mathfrak{\infty}}\biggl(l^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)} n_{1}^{2it}\phi_{\infty,\mathfrak{\infty}}\biggl(n_{1}^{2},\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr) \nonumber \\ &=\frac{|\tau(\chi_4)|^2}{16}\, \frac{1-2^{-2it-s}}{1-2^{-2s}}n_{1}^{-2it}\sigma_{2it}(\chi_4;n_{1}^{2}) \frac{L(\chi_4,s)\zeta(s+2it)\zeta(s-2it)}{\zeta(2s)L(\chi_4,1+2it)L(\chi_4,1-2it)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Теперь рассмотрим случай $\mathfrak{c}=0$. Используя (5.74), (5.26), (2.8) с $z:=s+2it$ $s:=2it$, находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^s} l^{-2it} \overline{\phi_{\infty,0}\biggl(l^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)} n_{1}^{2it}\phi_{\infty,0}\biggl(n_{1}^{2},\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr) \nonumber \\ &\qquad= \frac{1}{4} \frac{1-2^{2it-s}}{1-2^{-2s}}n_{1}^{2it} \sigma_{-2it}(\chi_4;n_{1}^{2}) \frac{L(\chi_4,s)\zeta(s+2it)\zeta(s-2it)}{\zeta(2s)L(\chi_4,1+2it)L(\chi_4,1-2it)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
Для завершения доказательства осталось просуммировать два последних выражения и заметить, что $|\tau(\chi_4)|^2=4$. Лемма 6.2. При $\operatorname{Re}{s}>1$ выполнено равенство Доказательство. Так же, как и в предыдущей лемме, сумма по $\mathfrak{c}$ в (6.2) содержит только два слагаемых: $0$ и $\infty$.
Начнем с $\mathfrak{c}=\infty$. Применяя (5.75), (5.73), (5.27), (5.26), (2.8) с $z:=s-2it$ и $s:=-2it$, находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^s} l^{-2it} \overline{\phi_{\infty,\mathfrak{\infty}}\biggl(l^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)} n_{1}^{2it} \phi_{0,\mathfrak{\infty}}\biggl(n_{1}^{2},\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr) \nonumber \\ &\qquad=\frac{\overline{\tau(\chi_4)}}{2^{3-2it}}\, \frac{1-2^{-2it-s}}{1-2^{-2s}}n_{1}^{2it}\sigma_{-2it}(\chi_4;n_{1}^{2}) \frac{L(\chi_4,s)\zeta(s+2it)\zeta(s-2it)}{\zeta(2s)L(\chi_4,1+2it)L(\chi_4,1-2it)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
Теперь рассмотрим $\mathfrak{c}=0$. Используя (5.74), (5.73), (5.27), (5.26), (2.8) с $z:=s+2it$ и $s:=2it$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^s} l^{-2it} \overline{\phi_{\infty,0}\biggl(l^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)} n_{1}^{2it}\phi_{0,0}\biggl(n_{1}^{2},\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr) \nonumber \\ &\qquad=\frac{\tau(\chi_4)\chi_{4}(-1)}{2^{3+2it}}\, \frac{1-2^{2it-s}}{1-2^{-2s}}n_{1}^{-2it}\sigma_{2it}(\chi_4;n_{1}^{2}) \frac{L(\chi_4,s)\zeta(s+2it)\zeta(s-2it)}{\zeta(2s)L(\chi_4,1+2it)L(\chi_4,1-2it)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
Для завершения доказательства просуммируем последние два выражения и заметим, что $\tau(\chi_4)=2i$ и $\chi_4(-1)=-1$. Лемма доказана. Применяя (2.3), а также леммы 6.1 и 6.2, получаем следующий результат. Следствие 6.1. При $\operatorname{Re} s>1$ справедливо выражение Наконец, мы докажем справедливость полученных результатов в критической полосе, используя следующее утверждение. Лемма 6.3. Предположим, что функция $F(s)$ при $\operatorname{Re}{s}>1$ имеет интегральное представление где у функции $f(s,z)$ есть два простых полюса в точках $z_{1}=1-s$ и $z_2=s-1$. Тогда при $\operatorname{Re}{s}<1$ получаем Доказательство. Предположим, что $1<\operatorname{Re}{s}<1+\epsilon/2$ и $\operatorname{Im}{s}>0$. Выберем новый контур интегрирования где $C_{\epsilon}^{-}$ – полуокружность в левой полуплоскости радиуса $\epsilon$, а $C_{\epsilon}^{+}$ – полуокружность в правой полуплоскости радиуса $\epsilon$. Меняя контур интегрирования на $\gamma_1$, мы проходим полюса в точках $z_1$ и $z_2$. Таким образом, При $\operatorname{Re}{s}<1$ мы можем изменить контур обратно на $\operatorname{Re}{z}=0$. Доказательство завершено. Лемма 6.4. При $0<\operatorname{Re}{s}<1$, $s\neq 1/2$ выполнено равенство Доказательство. Выполняя замену переменных $z:=2it$ в (6.11), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C^{1}_{\mathrm{even}}+C^{2}_{\mathrm{even}} &=\frac{L(\chi_4,s)}{4\pi^{s-1/2}}\, \frac{1}{2\pi i} \int_{(0)}\frac{\psi_D(z/(2i))\operatorname{sh}(\pi z/(2i))}{z\operatorname{ch}(\pi z/(2i))} \, \frac{\zeta(s+z)\zeta(s-z)}{L(\chi_4,1+z)L(\chi_4,1-z)} \nonumber \\ &\qquad\times \bigl( n^{z}\sigma_{-z}(\chi_4;n^2)+ n^{-z}\sigma_{z}(\chi_4;n^2) \bigr)\, dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.16}
$$
Тогда (6.15) следует из леммы 6.3 и формулы (4.17). Лемма доказана. 6.2. Нечетный случай Лемма 6.5. При $\operatorname{Re}{s}>1$ справедливо равенство Доказательство. Разобьем сумму по $l$ в (6.3) на две части: так что $C^{1}_{\mathrm{odd}}=C^{1,1}_{\mathrm{odd}}+C^{1,2}_{\mathrm{odd}}$.
Сначала рассмотрим $C^{1,1}_{\mathrm{odd}}$. По лемме 5.5 для нечетного $n$
$$
\begin{equation}
\phi_{0,\mathfrak{c}}\biggl(n^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)=0, \qquad \mathfrak{c}=0, \, \frac{1}{2},\, \frac{1}{4},\, \frac{1}{12}.
\end{equation}
\tag{6.18}
$$
Если $l$ нечетно, то из леммы 5.4 получаем
$$
\begin{equation}
\phi_{\infty,\mathfrak{c}}\biggl(l^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)=0, \qquad \mathfrak{c}=\infty,\, \frac{1}{32},\, \frac{1}{16},\, \frac{1}{48}.
\end{equation}
\tag{6.19}
$$
Осталось рассмотреть случай $\mathfrak{c}=1/(8u)$, $u=1,3,5,7$. Заметим, что для нечетного $n$ выполнено равенство $e(n^2u/8)=e(u/8)$. Следовательно, применяя (5.26), (5.32) и (5.59), находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{(l,2)=1}\frac{1}{l^{s+2it}} \overline{\phi_{\infty,1/(8u)}\biggl(l^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)} n^{2it}\phi_{0,1/(8u)}\biggl(n^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr) \nonumber \\ &\qquad= \frac{n^{2it}\sigma_{-2it}(\chi_4;n^2)\chi_4(-u)e(u/4)}{64L(\chi_4,1+2it)L(\chi_4,1-2it)} \sum_{(l,2)=1}\frac{\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)}{l^{s+2it}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.20}
$$
Используя формулу (2.8) с $z:=s+2it$ и $s:=2it$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{(l,2)=1}\frac{\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)}{l^{s+2it}} &=(1-2^{-s-2it}) \sum_{l=1}^{\infty}\frac{\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)}{l^{s+2it}} \nonumber \\ &=(1-2^{-s-2it})\frac{1-2^{2it-s}}{1-2^{-2s}}\, \frac{L(\chi_4,s)\zeta(s+2it)\zeta(s-2it)}{\zeta(2s)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.21}
$$
Подставляя (6.21) в (6.20), суммируя по $u=1,3,5,7$ и применяя равенство
$$
\begin{equation}
\sum_{u=1,3,5,7}\chi_4(-u)e\biggl(\frac{u}4\biggr)=-4i,
\end{equation}
\tag{6.22}
$$
находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C^{1,1}_{\mathrm{odd}} &=\frac{L(\chi_4,s)}{4\pi^{s-1/2}(1-2^{-2s})} \frac{1}{2\pi i} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\psi_D(t)\operatorname{sh}(\pi t)}{t\operatorname{ch}(\pi t)} \sigma_{-2it}(\chi_4;n^2) \nonumber \\ &\qquad\times n^{2it} \frac{\zeta(s+2it)\zeta(s-2it)}{L(\chi_4,1+2it)L(\chi_4,1-2it)} (1-2^{2it-s})(1-2^{-2it-s})\, dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.23}
$$
Теперь вычислим $C^{1,2}_{\mathrm{odd}}$. Из (6.18) следует, что нам необходимо рассмотреть случаи $\mathfrak{c}=1/(8u)$, $u=1,3,5,7$ и $\mathfrak{c}=1/16, 1/48$, $\mathfrak{c}=1/32$, $\mathfrak{c}=\infty$. Предположим, что $\mathfrak{c}=1/(8u)$. Так как $e(n^2u/8)=e(u/8)$ для нечетного $n$, применяя (5.26), (5.32) и (5.59), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{l\equiv 0\ (\operatorname{mod}2)}\frac{1}{l^{s+2it}} \overline{\phi_{\infty,1/(8u)}\biggl(l^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)} n^{2it}\phi_{0,1/(8u)}\biggl(n^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr) \nonumber \\ &\qquad= \frac{n^{2it}\sigma_{-2it}(\chi_4;n^2)\chi_4(-u)e(u/8)}{64L(\chi_4,1+2it)L(\chi_4,1-2it)} \sum_{l\equiv 0\ (\operatorname{mod}2)}\frac{e(l^2u/8)\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)}{l^{s+2it}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.24}
$$
Заметим, что $e(m^2u/2)=1$ для четного $m$ и $e(m^2u/2)=-1$ для нечетного $m$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{l\equiv 0\ (\operatorname{mod}2)}\frac{e(l^2u/8)\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)}{l^{s+2it}} =\frac{1}{2^{s+2it}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{e(l^2u/2)\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)}{l^{s+2it}} \nonumber \\ &\qquad=\frac{1}{2^{s+2it}}\sum_{l\equiv 0 \ (\operatorname{mod}2)} \frac{\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)}{l^{s+2it}}-\frac{1}{2^{s+2it}} \sum_{l\equiv 1 \ (\operatorname{mod}2)} \frac{\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)}{l^{s+2it}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.25}
$$
Так как
$$
\begin{equation}
\sum_{u=1,3,5,7}\chi_4(-u)e\biggl(\frac{u}8\biggr)=0,
\end{equation}
\tag{6.26}
$$
вклад слагаемых с $\mathfrak{c}=1/(8u)$, $u=1,3,5,7$ в $C^{1,2}_{\mathrm{odd}}$ равняется нулю.
Теперь предположим, что $\mathfrak{c}=1/(16u)$, $u=1,3$. Применяя (5.26), (5.33) и (5.60), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{(l,2)=1}\frac{n^{2it}}{l^{s+2it}} \overline{\phi_{\infty,1/(16u)}\biggl(l^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)} \phi_{0,1/(16u)}\bigl(n^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr) \nonumber \\ &\qquad =\frac{n^{2it}\sigma_{-2it}(\chi_4;n^2)\chi_4(-u)e(u/4)} {2^{5-2it}L(\chi_4,1+2it)L(\chi_4,1-2it)}\sum_{l\equiv 0\ (\operatorname{mod}2)} \frac{e(l^2u/16)\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)}{l^{s+2it}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.27}
$$
Используя (2.3), находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{l\equiv 0\ (\operatorname{mod}2)} \frac{e(l^2u/16)\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)}{l^{s+2it}} =\frac{1}{2^{s+2it}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{e(l^2u/4)\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)}{l^{s+2it}} \nonumber \\ &\qquad=\frac{1}{4^{s+2it}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)}{l^{s+2it}} +\frac{e(u/4)}{2^{s+2it}}\sum_{(l,2)=1}\frac{\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)}{l^{s+2it}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.28}
$$
Записывая сумму по $l$ как
$$
\begin{equation*}
\sum_{(l,2)=1}=\sum_{l=1}^{\infty}-\sum_{l \equiv 0\ (\operatorname{mod}2)}
\end{equation*}
\notag
$$
и применяя (2.8) с $z:=s+2it$ и $s:=2it$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{l\equiv 0\ (\operatorname{mod}2)}\frac{e(l^2u/16)\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)}{l^{s+2it}} &=\frac{1-2^{2it-s}}{2^{s+2it}(1-2^{-2s})} \, \frac{L(\chi_4,s)\zeta(s+2it)\zeta(s-2it)}{\zeta(2s)} \nonumber \\ &\qquad\times \biggl(2^{-s-2it}+e\biggl(\frac{u}4\biggr)\bigl(1-2^{-s-2it}\bigr) \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.29}
$$
Подставляя (6.29) в (6.27) и суммируя по $u=1,2$, мы показываем, что вклад слагаемых с $\mathfrak{c}=1/(16u)$, $u=1,2$ в $C^{1,2}_{\mathrm{odd}}$ равен
$$
\begin{equation}
\frac{n^{2it}\sigma_{-2it}(\chi_4;n^2)}{16i}\, \frac{1-2^{2it-s}}{2^{2s+2it}(1-2^{-2s})} \, \frac{L(\chi_4,s)\zeta(s+2it)\zeta(s-2it)}{\zeta(2s)L(\chi_4,1+2it)L(\chi_4,1-2it)}.
\end{equation}
\tag{6.30}
$$
Далее рассмотрим $\mathfrak{c}=1/32$. Из следствия 5.3
$$
\begin{equation*}
\phi_{\infty,1/32}\biggl(l^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, рассмотрим $\mathfrak{c}=\infty$. Применяя (5.35), (5.62), (5.26), (5.27), (2.8), находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{l \equiv 0\ (\operatorname{mod}2)}\frac{n^{2it}}{l^{s+2it}} \overline{\phi_{\infty,\infty}\biggl(l^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)} \phi_{0,\infty}\biggl(n^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr) \nonumber \\ &\quad=\frac{n^{2it}\sigma_{-2it}(\chi_4;n^2)}{16i}\, \frac{1-2^{-2it-s}}{2^{2s-2it}(1-2^{-2s})}\, \frac{L(\chi_4,s)\zeta(s+2it)\zeta(s-2it)}{\zeta(2s)L(\chi_4,1+2it)L(\chi_4,1-2it)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.31}
$$
Комбинируя (6.3), (6.30), (6.31), приходим к следующему выражению:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C^{1,2}_{\mathrm{odd}} &=\frac{L(\chi_4,s)}{4\pi^{s-1/2}(1-2^{-2s})}\, \frac{1}{2\pi i} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\psi_D(t)\operatorname{sh}(\pi t)}{t\operatorname{ch}(\pi t)} \sigma_{-2it}(\chi_4;n^2) \nonumber \\ &\qquad \times n^{2it} \frac{\zeta(s+2it)\zeta(s-2it)}{L(\chi_4,1+2it)L(\chi_4,1-2it)}\biggl( \frac{2^{-2it}+2^{2it}-2^{1-s}}{2^{2s}} \biggr)\, dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.32}
$$
Для завершения доказательства осталось лишь сложить (6.23) и (6.32). Лемма доказана. Лемма 6.6. При $\operatorname{Re}{s}>1$ выполнено равенство Доказательство. Список сингулярных параболических вершин для $\Gamma_0(16)$ приведен в лемме 5.1.
Рассмотрим $\mathfrak{c}=0$ и $\mathfrak{c}=1/2$. Из (5.63) и следствия 5.3 для нечетного $n$ получаем
$$
\begin{equation}
\phi_{0,0}\biggl(n^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)=\phi_{0,1/2}\biggl(n^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{6.34}
$$
Рассмотрим $\mathfrak{c}=1/8$. Из следствия 5.3
$$
\begin{equation}
\phi_{\infty,1/8}\biggl(l^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{6.35}
$$
Рассмотрим $\mathfrak{c}=1/(4u)$, $u=1,3$. Применяя (5.70), (5.26), вычисляем сумму по $l$ в (6.4)
$$
\begin{equation}
\sum_{l=1}^{\infty}\frac{\overline{\phi_{\infty,1/(4u)}(l^2,1/2+it,\chi_4)}}{l^{s+2it}} = \frac{\chi_4(-u)}{4^{1-2it}L(\chi_4,1-2it)}\sum_{l=1}^{\infty} \frac{\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)e(l^2u/4)}{l^{s+2it}}.
\end{equation}
\tag{6.36}
$$
Последняя сумма может быть разбита на две части:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{l=1}^{\infty}\frac{\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)e(l^2u/4)}{l^{s+2it}} &=\frac{1}{2^{s+2it}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{\sigma_{2it}(\chi_4;4l^2)}{l^{s+2it}} \nonumber \\ &\qquad+e\biggl(\frac{u}4\biggr)\sum_{l\equiv 1\ (\operatorname{mod}2)} \frac{\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)}{l^{s+2it}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.37}
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation}
\sum_{l\equiv 1\ (\operatorname{mod}2)} \frac{\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)}{l^{s+2it}} =\sum_{l=1}^{\infty}\frac{\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)}{l^{s+2it}} -\frac{1}{2^{s+2it}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{\sigma_{2it}(\chi_4;4l^2)}{l^{s+2it}}.
\end{equation}
\tag{6.38}
$$
Заметим, что $\sigma_{2it}(\chi_4;4l^2)=\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)$, и поэтому
$$
\begin{equation}
\sum_{l=1}^{\infty}\frac{\sigma_{2it}(\chi_4;l^2)e(l^2u/4)}{l^{s+2it}} =\biggl( \frac{1}{2^{s+2it}}+ e\biggl(\frac{u}4\biggr)(1-2^{-s-2it})\biggr) \sum_{l=1}^{\infty}\frac{\sigma_{2it}(\chi_4;4l^2)}{l^{s+2it}}.
\end{equation}
\tag{6.39}
$$
Подставляя (6.39) в (6.36) и применяя (2.8) с $z:=s+2it$ и $s:=2it$, находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{l=1}^{\infty}\frac{\overline{\phi_{\infty,1/(4u)}(l^2,1/2+it,\chi_4)}}{l^{s+2it}} = \biggl( \frac{1}{2^{s+2it}}+ e\biggl(\frac{u}4\biggr)\bigl(1-2^{-s-2it}\bigr)\biggr)\ \nonumber \\ &\qquad \times \frac{\chi_4(-u)}{4^{1-2it}L(\chi_4,1-2it)} \, \frac{1-2^{2it-s}}{1-2^{-2s}}\, \frac{L(\chi_4,s)\zeta(s+2it)\zeta(s-2it)}{\zeta(2s)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.40}
$$
Используя (5.65), (5.26) и учитывая, что $n$ нечетно, приходим к формуле
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{l=1}^{\infty}\frac{\overline{\phi_{\infty,1/(4u)}(l^2,1/2+it,\chi_4)}}{l^{s+2it}} n^{2it}\phi_{0,1/(4u)}\biggl(n^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr) \nonumber \\ &\qquad= \biggl( \frac{1}{2^{s+2it}}+ e\biggl(\frac{u}4\biggr)(1-2^{-s-2it})\biggr) n^{2it}\sigma_{-2it}(\chi_4;n^2) \frac{\chi_4(-u)e(u/4)}{16} \nonumber \\ &\qquad\qquad \times \frac{1-2^{2it-s}}{1-2^{-2s}} \frac{L(\chi_4,s)\zeta(s+2it)\zeta(s-2it)}{\zeta(2s)L(\chi_4,1-2it)L(\chi_4,1+2it)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.41}
$$
Рассмотрим $\mathfrak{c}=\infty$. Для вычисления суммы по $l$ в этом случае применим (5.72), (5.27), а также (2.8) с $z:=s-2it$ и $s:=-2it$. Кроме того, используя (5.67), (5.26) и учитывая, что $\tau(\chi_4)=2i$, находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^s} l^{-2it} \overline{\phi_{\infty,\infty}\biggl(l^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr)}n^{2it}\phi_{0,\infty}\biggl(n^2,\, \frac12+it,\, \chi_4\biggr) \nonumber \\ &\ =\frac{-i}{2^{3+s-2it}}\, \frac{1-2^{-2it-s}}{1-2^{-2s}}n^{2it} \sigma_{-2it}(\chi_4;n^2) \frac{L(\chi_4,s)\zeta(s+2it)\zeta(s-2it)}{\zeta(2s)L(\chi_4,1+2it)L(\chi_4,1-2it)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.42}
$$
мы доказываем лемму. На основе двух предыдущих лемм доказываем следующие результаты. Следствие 6.2. При $\operatorname{Re}{s}>1$ выполнено равенство Лемма 6.7. При $0<\operatorname{Re}{s}<1$, $s\neq 1/2$ выполнено равенство § 7. Вклад дискретного и голоморфного спектровПрименяя формулу следа Кузнецова (2.43) к суммам сумм Клоостермана в (3.36) для четного $n$, мы показываем, что дискретный спектр – это сумма двух скрученных моментов $L$-функций симметрического квадрата для форм Маасса уровня $4$ с характером $\chi_4$, а именно,
$$
\begin{equation}
D_{1}^{\mathrm{even}}=-\frac{2^{1-s}\pi^{1/2-s}i}{1-2^{-2s}}\sum_{f\in H(4,\chi_4)} \frac{\psi_{D}(t_f)}{\operatorname{ch}(\pi t_f)} \rho_{f_{\infty}}\biggl(\frac{n^{2}}4\biggr) \overline{L(s,\operatorname{sym}^2 f_{\infty})}
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
и
$$
\begin{equation}
D_{2}^{\mathrm{even}}=\frac{2\pi^{1/2-s}}{1-2^{-2s}}\sum_{f\in H(4,\chi_4)} \frac{\psi_{D}(t_f)}{\operatorname{ch}(\pi t_f)}\rho_{f_{0}}\biggl(\frac{n^{2}}4\biggr) \overline{L(s,\operatorname{sym}^2 f_{\infty})}.
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
Аналогично голоморфный спектр – это сумма двух скрученных моментов $L$-функций симметрического квадрата голоморфных параболических форм уровня $4$ с характером $\chi_4$, а именно,
$$
\begin{equation}
H_{1}^{\mathrm{even}}=-\frac{2^{1-s}\pi^{1/2-s} i}{1-2^{-2s}}\sum_{\substack{k>1\\k \text{ odd}}}\psi_{H}(k)\Gamma(k) \sum_{f\in H_k(4,\chi_4)}\rho_{f_{\infty}} \biggl(\frac{n^{2}}{4}\biggr) \overline{L(s,\operatorname{sym}^2 f_{\infty})}
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
и
$$
\begin{equation}
H_{2}^{\mathrm{even}}=\frac{2\pi^{1/2-s}}{1-2^{-2s}}\sum_{\substack{k>1\\k \text{ odd}}}\psi_{H}(k)\Gamma(k) \sum_{f\in H_k(4,\chi_4)}\rho_{f_{0}} \biggl(\frac{n^{2}}{4}\biggr) \overline{L(s,\operatorname{sym}^2 f_{\infty})}.
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
Теперь рассмотрим случай нечетного $n$. Главное отличие от предыдущего случая заключается в том, что мы получаем моменты $L$-функций уровней $64$ и $16$. Так, применяя формулу следа Кузнецова (2.43) к суммам сумм Клоостермана в (3.37), мы показываем, что дискретный спектр состоит из
$$
\begin{equation}
D_{1}^{\mathrm{odd}}=\frac{8\pi^{1/2-s}}{1-2^{-2s}}\sum_{f\in H(64,\chi_4)} \frac{\psi_{D}(t_f)}{\operatorname{ch}(\pi t_f)}\rho_{f_{0}}(n^{2})\overline{L(s,\operatorname{sym}^2 f_{\infty})}
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
и
$$
\begin{equation}
D_{2}^{\mathrm{odd}}=\frac{4\pi^{1/2-s}}{1+2^{-s}}\sum_{f\in H(16,\chi_4)} \frac{\psi_{D}(t_f)}{\operatorname{ch}(\pi t_f)}\rho_{f_{0}}(n^{2})\overline{L(s,\operatorname{sym}^2 f_{\infty})}.
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
Аналогично голоморфный спектр – это сумма следующих двух слагаемых:
$$
\begin{equation}
H_{1}^{\mathrm{odd}}=\frac{8\pi^{1/2-s}}{1-2^{-2s}}\sum_{\substack{k>1\\k \text{ odd}}}\psi_{H}(k)\Gamma(k) \sum_{f\in H_k(64,\chi_4)} \rho_{f_{0}}(n^{2}) \overline{L(s,\operatorname{sym}^2 f_{\infty})}
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
и
$$
\begin{equation}
H_{2}^{\mathrm{odd}}=\frac{4\pi^{1/2-s}}{1+2^{-s}}\sum_{\substack{k>1\\k \text{ odd}}} \psi_{H}(k)\Gamma(k) \sum_{f\in H_k(16,\chi_4)}\rho_{f_{0}}(n^{2}) \overline{L(s,\operatorname{sym}^2 f_{\infty})}.
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
§ 8. Доказательство основных теорем8.1. Доказательство теорем 1.1 и 1.2Диагональные главные члены в теоремах 1.1 и 1.2 вычислены в лемме 3.6. Для вычисления недиагональной части применим формулу следа Кузнецова (2.43) к суммам сумм Клоостермана в (3.36) и (3.37). Из лемм 6.4 и 6.7 следует, что вклад непрерывного спектра равен $M^{\mathrm{C}}(n,s)+\mathfrak{C}(n,s)$ в случае четного $n$ и $1/2M^{\mathrm{C}}(n,s)+1/2\mathfrak{C}(n,s)$ в случае нечетного $n$, где
$$
\begin{equation}
\mathfrak{C}(n,s)=C_{\mathrm{even}}^{1}+C_{\mathrm{even}}^{2}-M^{\mathrm{C}}(n,s).
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
Наконец, вклад дискретного и голоморфного спектров вычислен в § 7. Для удобства записи мы выразим конечный результат в виде суммы моментов (1.9) с помощью следующих равенств:
$$
\begin{equation}
D_{\mathrm{even}}^{1}+H_{\mathrm{even}}^{1} =-\frac{2^{1-s}\pi^{1/2-s}i}{1-2^{-2s}}\mathfrak{M}_{\infty}\biggl(\frac{n^2}4,4,s\biggr),
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
$$
\begin{equation}
D_{\mathrm{even}}^{2}+H_{\mathrm{even}}^{2} =\frac{2\pi^{1/2-s}}{1-2^{-2s}}\mathfrak{M}_{0}\biggl(\frac{n^2}4,4,s\biggr),
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
$$
\begin{equation}
D_{\mathrm{odd}}^{1}+H_{\mathrm{odd}}^{1} =\frac{8\pi^{1/2-s}}{1-2^{-2s}}\mathfrak{M}_{0}(n^2,64,s),
\end{equation}
\tag{8.4}
$$
$$
\begin{equation}
D_{\mathrm{odd}}^{2}+H_{\mathrm{odd}}^{2} =\frac{4\pi^{1/2-s}}{1+2^{-s}}\mathfrak{M}_{0}(n^2,16,s).
\end{equation}
\tag{8.5}
$$
8.2. Главные члены в центральной точкеВ завершении доказательства покажем, что главные члены в теоремах 1.1 и 1.2 голоморфны в центральной точке. Лемма 8.1. При четном $n$ выполнено равенство Доказательство. Применяя функциональное уравнение для дзета-функции Римана и для гамма-функции, получаем
$$
\begin{equation}
\zeta(2u)\Gamma(u)=(2\pi)^{2u}\frac{\Gamma(1-2u)}{\Gamma(1-u)}\zeta(1-2u).
\end{equation}
\tag{8.7}
$$
Из (1.13), (1.14) и (8.7) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &M^{\mathrm{C}}\biggl(n,\, \frac12+u\biggr)+M^{\mathrm{D}}_{\mathrm{even}}\biggl(n,\, \frac12+u\biggr) \nonumber \\ &\qquad=\zeta(1+2u)\frac{\sigma_{-1/2-u}(\chi_4;n^2)+n^{-1-2u}\sigma_{1/2+u}(\chi_4;n^2)} {L(\chi_4,3/2+u)}\int_{0}^{\infty}\omega(y)\, dy \nonumber \\ &\qquad\qquad+\zeta(1-2u)(2\pi)^{u}\frac{\Gamma(1-2u)}{\Gamma(1-u)}\, \frac{\sigma_{-1/2+u}(\chi_4;n^2)+n^{-1+2u}\sigma_{1/2-u}(\chi_4;n^2)}{L(\chi_4,3/2-u)} \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad\times \sqrt{2} \biggl( \sin \biggl(\frac{\pi}4+\frac{\pi u}2\biggr) \int_{0}^{n/2}\omega(y)\biggl( \frac{n^2}{4}-y^2\biggr)^{-u}\, dy \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+\cos\biggl(\frac{\pi}4+ \frac{\pi u}2\biggr) \int_{n/2}^{\infty}\omega(y)\biggl(y^2- \frac{n^2}{4}\biggr)^{-u}\, dy\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.8}
$$
Данное выражение голоморфно в $u=0$. Поэтому, устремляя $u$ к нулю и применяя правило Лопиталя, мы завершаем доказательство леммы. Лемма 8.2. Для нечетного $n$ выполнено равенство Доказательство. Применяя (1.14), (1.17), (2.4) и (8.7), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{2}M^{\mathrm{C}}\biggl(n,\, \frac12+u\biggr) +M^{\mathrm{D}}_{\mathrm{odd}}\biggl(n,\, \frac12+u\biggr) =\zeta(1+2u)\frac{\sigma_{-1/2-u}(\chi_4;n^2)}{L(\chi_4,3/2+u)} \int_{0}^{\infty}\omega(y)\, dy \nonumber \\ &\qquad+\zeta(1-2u)(2\pi)^{u}\frac{\Gamma(1-2u)}{\Gamma(1-u)}\, \frac{\sigma_{-1/2+u}(\chi_4;n^2)}{L(\chi_4,3/2-u)} \nonumber \\ &\qquad\qquad\times \sqrt{2} \biggl( \sin \biggl(\frac{\pi}4+\frac{\pi u}2\biggr) \int_{0}^{n/2}\omega(y)\biggl( \frac{n^2}{4}-y^2\biggr)^{-u}\, dy \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad+\cos\biggl(\frac{\pi}4+\frac{\pi u}2\biggr) \int_{n/2}^{\infty}\omega(y) \biggl(y^2- \frac{n^2}{4}\biggr)^{-u}\, dy\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.10}
$$
Данное выражение голоморфно в $u=0$. Таким образом, устремляя $u$ к нулю и применяя правило Лопиталя, мы доказываем требуемый результат. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bal23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|