| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О точных формулах в некоторых граничных задачах для целочисленных случайных блужданий В. И. Лотовab a Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск b Новосибирский государственный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9323e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение. Предварительные результатыПусть $X,X_1,X_2,\dots$ – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, $ S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}$, $n\geqslant1$, $S_0=0$. Последовательность $\{S_n,\, n\geqslant 0\}$ будем называть случайным блужданием, а совокупность точек $\{(n,S_n),\, n\geqslant 0\}$ на координатной плоскости, соединенных отрезками прямой, будем называть траекторией случайного блуждания. Граничными задачами для случайных блужданий принято называть исследование распределений, связанных с достижением (или с недостижением) границы некоторого множества траекторией случайного блуждания. Если случайная величина $X$ принимает только значения вида $kh$, $k=0,\pm 1,\pm2,\dots$, при некотором $h>0$, то ее распределение обычно называют арифметическим. Как правило, в этом случае при решении граничных задач можно полагать $h=1$ без потери общности. Тем самым мы приходим к рассмотрению случайных блужданий по решетке целых чисел, и в дальнейшем случайные величины $X$, $X_j$ будут предполагаться целочисленными. Нас будут интересовать точные формулы для распределения величины первого перескока через барьер для целочисленного случайного блуждания и связанной с этим функции восстановления, а также явные формулы для распределения супремума траектории в тех случаях, когда он конечен. Известно, что наличие перескока при достижении границы доставляет определенные трудности в ряде задач, и в особенности при изучении распределений, связанных с моментом первого выхода траектории из полосы. Значительно проще исследовать случайные блуждания, у которых отсутствует перескок при достижении границы, или если он присутствует, но распределен по показательному или геометрическому закону. В общем случае распределение перескока в явном виде найти не удается, по этой причине в ряде работ изучаются всевозможные аппроксимации этого распределения: предельное распределение через бесконечно удаленный барьер (см., например, [1; гл. 10]), асимптотические разложения в условиях удаляющегося барьера (см. [2]–[5]), оценки для моментов (см. [6], [7]) и пр. В настоящей работе отправной точкой является известное факторизационное представление для двойной производящей функции совместного распределения момента первого достижения положительного уровня и величины перескока (теорема 1). Далее в § 2 анализируются возможности нахождения явных выражений для используемых компонент факторизации при рассмотрении целочисленного случайного блуждания. Основной результат этого параграфа содержится в теореме 2 и следствии из нее. Затем, в § 3 производится обращение полученного в следствии 1 представления по пространственной переменной. В качестве итога (теорема 3, следствия 2 и 3) приведены точные формулы для распределения величины перескока, распределения супремума траектории и функции восстановления. Заключительная часть работы (§ 4) содержит приложения полученных результатов к исследованию случайных блужданий с переключениями. Рассмотрим некоторые особенности, которые возникают у целочисленных случайных блужданий. Вместо характеристической функции здесь удобнее пользоваться производящей функцией
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}\mu^X=\psi(\mu):=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mu^kp_k,\qquad p_k=\mathbf{P}(X=k),\quad |\mu|=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Нам понадобится следующее факторизационное представление, которое часто используется в граничных задачах:
$$
\begin{equation*}
1-z\psi(\mu)= R_{-}(z,\mu)R_0(z) R_{+}(z, \mu),\qquad |\mu|=1,\quad |z|<1,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_{-}(z,\mu) &=\exp\biggl\{-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n} \mathbf{E}\bigl(\mu^{S_n};\, S_n<0\,\bigr)\biggr\}, \\ R_{+}(z,\mu) &=\exp\biggl\{-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n} \mathbf{E}\bigl(\mu^{S_n};\, S_n> 0\,\bigr)\biggr\}, \\ R_{0}(z) &=\exp\biggl\{-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n} \mathbf{P}\bigl(S_n=0\bigr)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1}
$$
Известны и другие представления для введенных компонент факторизации. Пусть
$$
\begin{equation*}
\eta_-=\inf\{n\geqslant 1\colon S_n<0\},\qquad \eta_+=\inf\{n\geqslant 1\colon S_n> 0\},\qquad \chi_{\pm}=S_{\eta_{\pm}},
\end{equation*}
\notag
$$
тогда
$$
\begin{equation}
R_{\pm}(z,\mu)=1-\mathbf{E}(z^{\eta_{\pm}}\mu^{\chi_{\pm}};\, \eta_{\pm}<\infty),\qquad |z|<1.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Более подробные сведения о факторизации можно найти в [1], [3] как для нерешетчатых, так и для решетчатых распределений. Свойства компонент факторизации $ R_{\pm}(z,\mu)$ хорошо известны. При $|z|<1$ положительная компонента $R_{+}(z,\mu)$ является аналитической функцией переменной $\mu$ в единичном круге $|\mu|<1$, непрерывной на границе, она ограничена и не обращается в нуль при $|\mu|\leqslant 1$. Аналогичными свойствами во внешности единичного круга обладает отрицательная компонента $R_{-}(z,\mu)$. Факторизация с такими свойствами ее компонент называется канонической (см. [1]). Пусть $G$ – множество функций $g$, имеющих вид
$$
\begin{equation*}
g(\mu)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}g_k\mu^k,\qquad |\mu|=1,\quad \text{где}\quad \sum_{k=-\infty}^{\infty}|g_k|<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $S(m,n)$ множество функций $g\in G$ таких, что Ясно, что $\mathbf{E}(\mu^{S_n};\,S_n> 0)$ как функция переменной $\mu$ принадлежит $S(1,\infty)$ при всех $n$, а вместе с ней и
$$
\begin{equation*}
C_{\mp}(z):=\mp\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{n}\mathbf{E}\bigl(\mu^{S_n};\,S_n> 0\bigr)\in S(1,\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
R_{+}^{\pm 1}(z,\mu)=\exp\{C_{\mp}(z)\}=1\mp C_{\mp}(z)+\frac{C^2_{\mp}(z)}{2}+\cdots\in S(0,\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Точно так же заключаем, что функции $R_{-}(z,\mu)$, $R_{-}^{-1}(z,\mu)$ принадлежат $S(-\infty,0)$. Для всякой функции $g\in G$ полагаем по определению для любого подмножества $A$ множества целых чисел.Далее для произвольного натурального числа $b\geqslant 1$ введем момент $\tau$ первого достижения уровня $b$ траекторией случайного блуждания $\{S_n\}$, а также величину перескока через этот уровень:
$$
\begin{equation*}
\tau=\tau(b)=\inf\{n\geqslant 1\colon S_n\geqslant b\},\qquad \chi=\chi(b)=S_{\tau}-b.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагаем $\tau=\infty$, если $S_n<b$ при всех $n$. В этом случае величина $\chi $ остается неопределенной. Двойная производящая функции совместного распределения пары $(\tau,S_{\tau})$ может быть выражена через положительную компоненту факторизации следующим образом (см., например, [8], [9]). Условия, при которых $\mathbf{P}(\tau<\infty)=1$, хорошо известны (см., например, [1]). В частности, если существует $a=\mathbf{E} X\geqslant 0$, то $\mathbf{P}(\tau<\infty)=1$, и
$$
\begin{equation*}
\mathbf{P}(\tau<\infty)=\mathbf{P}\Bigl(\sup_{n\geqslant 0}S_n\geqslant b\Bigr)<1,\quad \text{если} \quad a<0.
\end{equation*}
\notag
$$
В работе А. А. Боровкова и Б. А. Рогозина [3] с помощью многошагового факторизационного метода получены исчерпывающие асимптотические результаты для совместного распределения момента первого достижения удаляющегося барьера и величины перескока целочисленного случайного блуждания, при этом промежутки времени между скачками предполагались случайными. В качестве первого шага этого метода двойные производящие функции искомых распределений также выражались через факторизационные компоненты, однако эти представления отличались от (3). В [8] и последующих работах автора на первом шаге использовалось именно представление (3), оно оказалось более удобным для рассмотрения случайных блужданий с двумя границами. Это представление в условиях крамеровского типа подвергалось асимптотическому анализу при $b\to\infty$. В результате выделялась главная часть этого выражения и оценивался остаток, который оказывался экспоненциально малым по сравнению с главной частью. Затем главная часть подлежала процедуре асимптотического обращения, что также приводило к результатам асимптотического характера для совместного распределения пары $(\tau,\,S_{\tau})$. В отличие от целого ряда асимптотических исследований цель настоящей работы состоит в получении точных формул для распределения величины перескока $\chi$ для тех типов целочисленных случайных блужданий, когда это представляется возможным. Представление (3) является отправным пунктом нашего исследования. Однако непосредственное использование формул (1) и (2) для факторизационных компонент не приводит к дальнейшим результатам. Ясно, что прежде всего следует заняться поиском компонент факторизации в такой форме, которая бы обеспечивала дальнейшее обращение правой части представления (3). § 2. Явный вид факторизацииОпишем класс целочисленных случайных блужданий, для которых функция $R_{+}(z,\mu)$ может быть выражена в явном виде через нули и полюса функции $1-z\psi(\mu)$. Следуя [1], рассмотрим множество $K_1$ распределений, для которых вероятности $p_k=\mathbf{P}(X=k)$ при $k\geqslant 0$ имеют вид
$$
\begin{equation}
p_k=\sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^{l_i}a_{ij}k^{j-1}q_i^k,\qquad k=0,1,\dots\,.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Здесь $d$ и $l_i$ – натуральные числа, коэффициенты $a_{ij}$ положительны, $0<q_i<1$. На вероятности $p_k$ при $k<0$ никакие ограничения не накладываются. Нетрудно видеть, что сужение таких распределений на правую полуось соответствует смесям геометрических распределений с различными $q_i$, а также их сверток. Вероятностям $p_k$, удовлетворяющим условию (4), будут соответствовать рациональные производящие функции вида
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E} (\mu^X;\,X\geqslant 0)=\sum_{k=0}^\infty \mu^k p_k= \frac{R_m(\mu)}{Q_n(\mu)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $R_m(\mu)$, $Q_n(\mu)$ – полиномы, имеющие степени $m$ и $n$ соответственно. Здесь $m<n=\sum_{i=1}^d l_i$, и положим для определенности Можно рассмотреть другой класс $K_2$ распределений, носитель которых ограничен справа, т. е. $\mathbf{P}(X\leqslant r)=1$ при некотором $r<\infty$. Очевидно, что этот класс является всюду плотным в смысле слабой сходимости на множестве всех целочисленных распределений. Для распределений из этого класса
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E} (\mu^X;\,X\geqslant 0)=T_r(\mu)=\sum_{k=0}^r \mu^kp_k
\end{equation*}
\notag
$$
является полиномом степени $r$. Пусть $K$ – совокупность распределений $P$ вида
$$
\begin{equation*}
P=\alpha P_1+(1-\alpha)P_2,\qquad P_1\in K_1,\quad P_2\in K_2,\quad 0\leqslant\alpha\leqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
Если распределение $P$ случайной величины $X$ принадлежит $K$, то $\mathbf{E}(\mu^X;\,X\,{\geqslant}\,0)$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}(\mu^X;\,X\geqslant 0) =\alpha\frac{R_m(\mu)}{Q_n(\mu)}+(1-\alpha)T_r(\mu) =\frac{P_s(\mu)}{Q_n(\mu)},
\end{equation}
\tag{5}
$$
где все функции в правой части являются полиномами, нижние индексы указывают на их степени, $s=n+r$. Будем предполагать, что $n+r>0$. Здесь следует сделать замечание относительно равенства (5). Математическое ожидание $\mathbf{E}(\mu^X;\,X\geqslant 0)$ имеет смысл при условии, что $|\mu|$ строго меньше наименьшего корня многочлена $Q_n(\mu)$, который с необходимостью является вещественным. Однако правая часть в (5), а вместе с ней и вся функция $\psi(\mu)$ могут быть аналитически продолжены во внешность единичного круга. Поэтому в дальнейшем при рассмотрении нулей и полюсов функции $1-z\psi(\mu)$ во внешности единичного круга будем иметь ввиду нули и полюса именно этого аналитического продолжения. Убедимся в том, что для распределений из класса $K$ компоненты факторизации могут быть выражены в явном виде через нули и полюса функции $1-z\psi(\mu)$, лежащие во внешности единичного круга. Отметим, что в [1; гл. 12, § 6.2] также рассматривалась факторизация для распределений из класса $K$, однако факторизации там подвергалась функция $1-z\psi(\mu)$ при $z=1$. Ясно, что невозможно разложить $1-\psi(\mu)$ на произведение двух ненулевых компонент с нужными свойствами аналитичности (требование канонической факторизации), поскольку $1-\psi(1)=0$, поэтому в [1] функция $1-\psi(\mu)$ подправлялась еще нулем в точке $\mu=1$. В нашем случае непосредственное использование формулы (3) невозможно при $z=1$ ввиду очевидной особенности стоящей в квадратных скобках функции $R_+^{-1}(z,\mu)$. По этой причине будет строиться факторизация функции $1-z\psi(\mu)$, для которой свойство каноничности (отличие компонент факторизации от нуля в области аналитичности) обеспечивается как раз условием $|z|<1$. Теорема 2. Пусть распределение $P$ случайной величины $X$ принадлежит $K$ и выполнено (5). Тогда функция $1-z\psi(\mu)$ при $|z|<1$ имеет ровно $s$ нулей $\mu_1(z),\dots,\mu_s(z)$ (с учетом кратностей) в области $|\mu|>1$, и представление является канонической факторизацией на окружности $|\mu|=1$. Доказательство. Имеем в соответствии с (5)
$$
\begin{equation*}
\psi(\mu)=\sum_{k=-\infty}^{-1}\mu^kp_k+\frac{P_s(\mu)}{Q_n(\mu)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдя к случайной величине $-X$, получим
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E} \mu^{-X}=\psi(\mu^{-1})= \sum_{k=-\infty}^{-1}\mu^{-k}p_{k} +\frac{P_s(\mu^{-1})}{Q_n(\mu^{-1})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
P_s(\mu)=\sum_{k=0}^s a_k \mu^k,\qquad Q_n(\mu)=\sum_{k=0}^n b_k \mu^k,
\end{equation*}
\notag
$$
тогда
$$
\begin{equation}
P_s(\mu^{-1})=\frac{\sum_{k=0}^s a_{s-k}\mu^k}{\mu^s},\qquad Q_n(\mu^{-1})=\frac{\sum_{k=0}^n b_{n-k}\mu^k}{\mu^n}
\end{equation}
\tag{6}
$$
и
$$
\begin{equation}
\frac{P_s(\mu^{-1})}{Q_n(\mu^{-1})} =\frac{\sum_{k=0}^s a_{s-k}\mu^k}{\mu^{s-n}\sum_{k=0}^n b_{n-k}\mu^k}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Отметим, что функция
$$
\begin{equation*}
\frac{P_s(\mu)}{Q_n(\mu)}=\sum_{k=0}^{\infty}\mu^{k}p_{k}
\end{equation*}
\notag
$$
не имеет особенностей в круге $|\mu|\,{\leqslant}\, 1$. Это означает, что нули полинома $Q_n(\mu)$ располагаются в множестве $|\mu|\,{>}\,1$ и соответственно все нули функции $Q_n(\mu^{-1})$ находятся в круге $|\mu|<1$. Из представления (6) следует, что все нули многочлена $\sum_{k=0}^n b_{n-k}\mu^k$ также находятся в круге $|\mu|<1$. Значит, в силу (7) в единичном круге функция $P_s(\mu^{-1})/Q_n(\mu^{-1})$ имеет $s$ полюсов с учетом их кратностей.
Функция $\sum_{k=-\infty}^{-1}\mu^{-k}p_{k}$ аналитична в единичном круге, поэтому все особенности функции
$$
\begin{equation*}
1-z\psi(\mu^{-1})=1-z\sum_{k=-\infty}^{-1}\mu^{-k}p_{k}-z\frac{P_s(\mu^{-1})}{Q_n(\mu^{-1})}
\end{equation*}
\notag
$$
в единичном круге совпадают с упомянутыми $s$ полюсами.
Очевидно, $|z\psi(\mu^{-1})|<1$ при $|z|<1 $ и $|\mu|=1$, поэтому функция $1-z\psi(\mu^{-1})$ не получает приращения аргумента при обходе точки $\mu$ вдоль единичной окружности. Следовательно, в силу принципа аргумента функция $1-z\psi(\mu^{-1})$ имеет внутри единичного круга ровно $s$ нулей также с учетом их кратностей. Обозначим их $\lambda_1(z),\dots,\lambda_s(z)$. Тем самым установлено, что функция $1-z\psi(\mu)$ имеет в множестве $|\mu|>1$ ровно $s$ нулей $1/\lambda_1(z), \dots, 1/\lambda_s(z)$. Остается обозначить $\mu_i(z)=1/\lambda_i(z)$, $i=1, \dots, s$. Отметим, что все числа $\mu_i(z)$ являются конечными величинами. Это с необходимостью вытекает из формулы (5). Действительно, при $|\mu|\to\infty$ выполняется $\mathbf{E}(\mu^X;\,X<0)\to 0$ и $R_m(\mu)/Q_n(\mu)\to 0$. Поэтому $1-z\psi(\mu)\to 1$ при $|\mu|\to\infty$ в том случае, если в формуле (5) многочлен $T_r(\mu)$ отсутствует. При наличии многочлена $T_r(\mu)$ в (5) имеет место $|T_r(\mu)|\to\infty$, если $|\mu|\to\infty$ и $r\geqslant 1$. Если же $r=0$, то $|T_r(\mu)|\to c\leqslant 1$. В обоих этих случаях бесконечно удаленная точка не может быть решением уравнения $1-z\psi(\mu)=0$. По построению, функция $r_+(z,\mu):=\Lambda_s(z,\mu)/Q_n(\mu)$ удовлетворяет всем свойствам, предъявляемым к положительной компоненте канонической факторизации: она аналитична по $\mu$ в единичном круге, непрерывна на границе и, что очень важно, не обращается в нуль при $|\mu|\leqslant 1$. Функция обладает теми же свойствами на множестве $|\mu|\geqslant 1$. Теорема доказана.Если в отличие от условий теоремы 2 предположить, что распределение случайной величины $-X$ принадлежит классу $K$, то тем же способом устанавливается рациональность компоненты факторизации $R_-(z,\mu)$; эта функция будет выражаться через нули и полюса функции $1-z\psi(\mu)$, лежащие в единичном круге. Известно [1], что компоненты канонической факторизации определяются единственным образом с точностью до постоянного множителя, возможно зависящего от $z$. Таким образом, можно утверждать, что при некотором $c(z)$ имеет место При последующей подстановке этого выражения в (3) функция $c(z)$ сократится, поэтому нет необходимости уточнять ее значение. Получаем следующее следствие из теорем 1, 2.Следствие 1. Пусть распределение $P$ случайной величины $X$ принадлежит классу $K$. Тогда для $|z|<1$ и $|\mu|=1$ справедливо соотношение § 3. Распределение величины перескока и связанные вопросыЗаймемся обращением полученного выражения с целью выведения явных формул для распределения случайной величины $\chi$. Будем предполагать, что распределение $P$ случайной величины $X$ принадлежит классу $K$. Пусть $1\leqslant\mu<q$, где $q$ – наименьший корень многочлена $Q_n(\mu)$. Нетрудно видеть, что функция $\psi(\mu)$ является выпуклой вниз, $\psi(1)=1$ и для $1-\delta<z<1$ при некотором малом $\delta>0$ уравнение $\psi(\mu)=1/z$ имеет ровно одно положительное решение $\mu_1(z)>1$ кратности единица. В условиях теоремы 2 это уравнение имеет дополнительно $s-1$ решение $\mu_2(z),\dots,\mu_{s}(z)$, все они будут комплексными числами, превосходящими по модулю $\mu_1(z)$. Очевидно, при $z\to 1$ имеет место сходимость $\mu_1(z)\to \mu_1(1)$, при этом $\mu_1(1)=1$, если $\mathbf{E} X\geqslant 0$, и $\mu_1(1)>1$, если $\mathbf{E} X<0$. Наличие чисел $\mu_2(z),\dots,\mu_{s}(z)$ при $z=1$ также можно установить с помощью принципа аргумента либо просто доопределить их по непрерывности при $z\to 1$. Предположим, что нули $\mu_2(z),\dots,\mu_s(z)$ многочлена $\Lambda_s(z,\mu)$ также являются простыми для $1-\delta<z<1$ при некотором малом $\delta>0$. Разложим рациональную функцию $Q_n(\mu)/\Lambda_s(z,\mu)$ на простые дроби: при $s>n$ будем иметь разложение вида
$$
\begin{equation}
\frac{Q_n(\mu)}{\Lambda_s(z,\mu)}=\sum_{k=1}^s\frac{c_k(z)}{\mu-\mu_k(z)},
\end{equation}
\tag{9}
$$
в котором коэффициенты можно вычислить по формуле
$$
\begin{equation*}
c_k(z)=Q_n(\mu_k(z))\lim_{\mu\to\mu_k(z)}\frac{\mu-\mu_k(z)}{\Lambda_s(z,\mu)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если же $s=n$, то к правой части (9) добавится еще не зависящее от $\mu$ слагаемое, которое сократится при вычислении $[Q_n(\mu)/\Lambda_s(z,\mu)]^{[b,\infty)}$. Воспользовавшись тем, что $|\mu_k(z)|>1$, находим при $|\mu|=1$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl[\frac{Q_n(\mu)}{\Lambda_s(z,\mu)}\biggr]^{[b,\infty)} &=\sum_{k=1}^s\biggl[\frac{c_k(z)}{\mu-\mu_k(z)} \biggr]^{[b,\infty)} =-\sum_{k=1}^s \frac{c_k(z)}{\mu_k(z)}\biggl[\sum_{i=0}^{\infty}\mu^i\mu_k^{-i}(z)\biggr]^{[b,\infty)} \\ &=-\sum_{k=1}^s\frac{c_k(z)}{\mu_k(z)}\sum_{i=b}^{\infty}\mu^i\mu_k^{-i}(z) =\mu^b\sum_{k=1}^s\frac{c_k(z)}{\mu_k^b(z)}\, \frac{1}{\mu-\mu_k(z)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
M_k(z,\mu)=\frac{\Lambda_s(z,\mu)}{\mu-\mu_k(z)}=\prod_{1\leqslant j\leqslant s,\, j\neq k} (\mu-\mu_j(z)).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из (8) выводим
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}\bigl(z^{\tau}\mu^{S_{\tau}};\,\tau<\infty\bigr) =\mathbf{E}(z^{\tau}\mu^{b+\chi};\,\tau<\infty) =\frac{\mu^b}{Q_n(\mu)}\sum_{k=1}^s\frac{c_k(z)M_k(z,\mu)}{\mu_k^b(z)}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Левая часть (10) определена при $|z|\leqslant 1$, $|\mu|\leqslant 1$. По непрерывности доопределяем правую часть: при $z=1$ в ее формировании участвуют числа
$$
\begin{equation}
\mu_k=\mu_k(1),\quad c_k=c_k(1), \qquad k=1, \dots, s.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Пусть далее
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M_k(z,\mu)=\sum_{j=0}^{s-1} a_{kj}(z)\mu^j,\qquad k=1, \dots, s, \\ \frac{1}{Q_n(\mu)}=\sum_{i=0}^{\infty} d_i\mu^i, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
тогда после перемножения этих функций получим разложение вида
$$
\begin{equation}
\frac{M_k(z,\mu)}{Q_n(\mu)}=\sum_{i=0}^{\infty} t_{ki}(z)\mu^i, \qquad t_{ki}(z)=\sum_{0\leqslant j\leqslant \min(i,s-1)} a_{kj}(z)d_{i-j},\quad i\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{12}
$$
и в итоге
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E} (z^{\tau}\mu^{\chi};\,\tau<\infty)=\sum_{k=1}^s\frac{c_k(z)}{\mu_k^b(z)} \sum_{i=0}^{\infty} t_{ki}(z)\mu^i=\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{k=1}^s\frac{c_k(z)t_{ki}(z)}{\mu_k^b(z)} \mu^i.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим также
$$
\begin{equation}
a_{kj}=a_{kj}(1),\qquad t_{ki}=t_{ki}(1)=\sum_{0\leqslant j\leqslant \min(i,s-1)} a_{kj}d_{i-j}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
При $z=1$ получаем
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E} (\mu^{\chi};\,\tau<\infty)=\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{k=1}^s\frac{c_kt_{ki}}{\mu_k^b} \mu^i=\sum_{i=0}^{\infty} \mu^i\, \mathbf{P}(\chi=i).
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым получено следующее утверждение. Теорема 3. Пусть распределение случайной величины $X$ принадлежит классу $K$ и пусть при некотором $\delta>0$ для $1-\delta<z<1$ простыми являются все нули $\mu_1(z),\dots,\mu_s(z)$ функции $1-z\psi(\mu)$, находящиеся в множестве $|\mu|>1$. Тогда справедливо соотношение Дополнительно получаем следующие утверждения. Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 3 и $\mathbf{E} X<0$. Тогда Утверждение немедленно следует из (10) при $z=1$ и $\mu=1$. Следствие 3. Пусть выполнены условия теоремы 3 и $a=\mathbf{E} X>0$. Тогда $\mathbf{E} \tau<\infty$, $\mathbf{E} S_{\tau}<\infty$, и из тождества Вальда следует точное выражение для функции восстановления $\mathbf{E} \tau=\mathbf{E} \tau(b)$: Замечание 1. Формула (14) усложняется, если среди нулей функции $1-z\psi(\mu)$ имеются кратные. Допустим, что при некотором $i$ число $\mu_i(z)$ является нулем кратности $j>1$. Тогда в разложении $Q_n(\mu)/\Lambda_s(z,\mu)$ на простые дроби будет присутствовать выражение вида Отметим, что если при $z=1$ все нули функции $1-z\psi(\mu)$, находящиеся во внешности единичного круга, являются простыми, то это же свойство сохраняется при $1-\delta<z<1$ для достаточно малых $\delta$. Нахождение нулей функции $1-\psi(\mu)$ является отдельной задачей; явные формулы для них в общем случае недоступны, однако с помощью приближенных методов можно локализовать их с любой точностью. Замечание 2. Рассмотрим отдельно частные случаи $P\in K_1$ и $P\in K_2$. Пусть $P\in K_1$, т. е. в представлении (5) имеем
$$
\begin{equation*}
T_r(\mu)=0, \qquad \mathbf{E}(\mu^X;\,X\geqslant 0)=\frac{R_m(\mu)}{Q_n(\mu)},\quad m<n.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае функция $1-z\psi(\mu)$ имеет ровно $n$ нулей (с учетом их кратностей) $\mu_1(z),\dots,\mu_n(z)$ в множестве $|\mu|>1$, здесь $\Lambda_n(z,\mu)=\prod_{j=1}^n(\mu-\mu_j(z))$ и утверждения теоремы 3 и следствий 2, 3 остаются в силе с заменой $s$ на $n$. Предположим теперь, что $\mathbf{P}(X\leqslant r)=1$, $r\geqslant 1$, т. е. $P\in K_2$. Тогда полагаем в представлении (5) $R_m(\mu)=0$, $Q_n(\mu)=1$ и
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}(\mu^X;\,X\geqslant 0)=T_r(\mu) =\sum_{k=0}^r p_k\mu^k.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $1-z\psi(\mu)$ в этом случае имеет ровно $r$ нулей $\mu_1(z),\dots,\mu_r(z)$ (также с учетом их кратностей) в множестве $|\mu|>1$. Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Lambda_r(z,\mu)=\prod_{j=1}^r(\mu-\mu_j(z)),\qquad \frac{1}{\Lambda_r(z,\mu)}=\sum_{k=1}^r\frac{c_k(z)}{\mu-\mu_k(z)}, \\ M_k(z,\mu)=\frac{\Lambda_r(z,\mu)}{\mu-\mu_k(z)}=\sum_{j=0}^{r-1}\, a_{kj}(z)\mu^j, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и формулы (14)–(16) также сохраняются в силе с заменой $s$ на $r$ и с заменой коэффициентов $t_{ki}$ на $a_{ki}$. § 4. Приложения к исследованию случайных блужданий с переключениямиВ [10] введено и изучалось осциллирующее случайное блуждание с переключениями, у которого распределение скачков меняется по мере достижения двух регулирующих барьеров. Напомним его определение. Пусть имеются две независимые последовательности $\{X_i^{(j)}\}_{i=1}^{\infty}$, $j = 1,2$, случайных величин, являющихся независимыми и одинаково распределенными при фиксированном $j$, и пусть $S_0^{(1)}=S_0^{(2)}=0$,
$$
\begin{equation*}
S_n^{(j)}=X_1^{(j)}+\dots+X_n^{(j)},\qquad \mathbf{E} X_i^{(1)}>0,\qquad \mathbf{E} X_i^{(2)}<0.
\end{equation*}
\notag
$$
Для произвольного числа $b>0$ введем
$$
\begin{equation*}
N_1=\min\{n\geqslant 1\colon S_n^{(1)}\geqslant b\},\qquad N_2=\min\{n\geqslant 1\colon S_n^{(2)}\leqslant -b\}.
\end{equation*}
\notag
$$
На промежутке времени $0\leqslant n\leqslant T_1:=N_1+N_2$ случайное блуждание $\{Y_n\}$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
Y_n = \begin{cases} \min\{S_n^{(1)}, b\}, &0\leqslant n\leqslant N_1, \\ \max\{b+S_{n-N_1}^{(2)}, 0\}, &N_1< n\leqslant N_1+N_2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
При $n>T_1$ траектория эволюционирует по той же схеме. Сначала в качестве ее скачков берутся элементы независимой копии последовательности $\{X_i^{(1)}\} $ до тех пор, пока не будет достигнут уровень $b$ в некоторый момент времени $T_1+N_3$. Полагаем $Y_{T_1+N_3}=b$, и далее в качестве скачков траектории выбираются независимые копии элементов последовательности $\{X_i^{(2)}\}$ до первого прохождения нуля в некоторый момент времени $T_1+N_3+N_4=T_1+T_2$. Полагаем опять $Y_{T_1+T_2}=0$, и по той же схеме задаем эволюцию траектории на последующих промежутках времени длиной $T_3,T_4,\dots$ . Мы здесь продолжим изучение введенного случайного блуждания $\{Y_n\}$ применительно к целочисленным случайным блужданиям. Как и в ряде других задач с границами, здесь важную роль будут играть факторизационные компоненты. Пусть случайные величины $X_1^{(j)}$ принимают только целые значения, число $b>0$ тоже будет предполагаться целым, $\psi_j(\mu)=\mathbf{E}\mu^{X_1^{(j)}}$, $j=1,2$. Введем, как и выше, факторизационные тождества
$$
\begin{equation*}
1-z\psi_j(\mu)=R_{+}^{(j)}(z,\mu)R_{0}^{(j)}(z)R_{-}^{(j)}(z,\mu),\qquad |z|<1,\quad |\mu|=1,
\end{equation*}
\notag
$$
в которых
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{-}^{(j)}(z,\mu) &=\exp\biggl\{-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n} \mathbf{E}\bigl(\mu^{S_n^{(j)}};\, S_n^{(j)}<0\bigr)\biggr\}, \\ R_{+}^{(j)}(z,\mu) &=\exp\biggl\{-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n} \mathbf{E}\bigl(\mu^{S_n^{(j)}};\, S_n^{(j)}> 0\bigr)\biggr\}, \\ R_{0}^{(j)}(z) &=\exp\biggl\{-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n} \mathbf{P}(S_n^{(j)}=0)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наша задача состоит в нахождении двойной производящей функции
$$
\begin{equation*}
\Psi (z, \mu) =\sum_{n=0}^\infty\,z^n\mathbf{E} \mu^{Y_n},\qquad |z| < 1, \quad |\mu| = 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4. При $|z| < 1$, $|\mu| = 1$ справедливо представление Доказательство. Как следует из определения, переключения процесса $Y_n$ происходят в моменты времени $t_k=N_1+\dots+N_k$, при этом переключения на уровне $b$ происходят при $k=2m+1$, а переключения при достижении нуля происходят, когда $k=2m$, $m=0,1,\dots$ . Считаем, что $t_0=0$.
Обозначим через $\nu (n)$ число переключений в последовательности $Y_1, \dots, Y_n$. Тогда при $|z| < 1$, $|\mu| = 1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Psi (z, \mu) &= \sum^{\infty}_{n=0}\sum_{m=0}^{[n/2]} z^n \, \mathbf{E}\bigl(\mu^{Y_n}; \, \nu(n)=2m\bigr) \\ &\qquad +\sum^{\infty}_{n=1}\sum_{m=0}^{[(n-1)/2]} z^n\, \mathbf{E}\bigl(\mu^{Y_n}; \, \nu(n) =2m+1\bigr) = I_1 + I_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Приступим к вычислению правой части этого соотношения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1 &= \sum^{\infty}_{n=0}\sum_{m=0}^{[n/2]} z^n \, \mathbf{E}\bigl(\mu^{Y_n}; \, \nu(n) =2m\bigr) \\ &= \sum^{\infty}_{n = 0} z^n \sum^{[n/2]}_{m=0}\sum_{k=0}^{n} \mathbf{E}\bigl(\mu^{S_{n-k}^{(1)}}; \, t_{2m}=k,\, N_1 > n-k\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что в этой формуле под суммами $S_{n-k}^{(1)}$ и моментом $N_1$ первого достижения уровня $b$ понимаются величины, построенные по копии последовательности $\{X_n^{(1)}\} $, используемой для построения траектории $Y_n$ после достижения нуля в момент времени $t_{2m}=k$. Здесь поведение процесса $Y_n$ до момента $k$ включительно не зависит от поведения дальнейшей траектории. Продолжаем выкладку:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1&= \sum^{\infty}_{n = 0} z^n \sum^{[n/2]}_{m=0}\sum_{k=0}^{n} \mathbf{E}\bigl(\mu^{S_{n-k}^{(1)}}; \, N_1 > n-k\bigr)\, \mathbf{P}(t_{2m}=k) \\ &= \sum^{\infty}_{m = 0}\, \sum^{\infty}_{n=2m}z^n\sum_{k=0}^{n} \mathbf{E}\bigl(\mu^{S_{n-k}^{(1)}}; \, N_1 > n-k\bigr)\, \mathbf{P}(t_{2m}=k) \\ &=\sum^{\infty}_{m=0}\, \sum^{\infty}_{i = 2m} z^i \, \mathbf{P}(t_{2m}=i) \sum_{j=0}^{\infty}z^j\, \mathbf{E}\bigl(\mu^{S_{j}^{(1)}}; \, N_1 > j\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Проанализируем выражения, стоящие в правой части этого равенства. Из известного тождества (см. [11; гл. 18, § 1])
$$
\begin{equation*}
(1 - z \psi_1(\mu)) \sum^{\infty}_{n=0} z^n \mathbf{E}\bigl(\mu^{S_n^{(1)}}; \, N_1 > n\bigr) = 1 - \mathbf{E}\bigl(z^{N_1}\mu^{S_{N_1}^{(1)}}\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
выражаем
$$
\begin{equation*}
\sum^{\infty}_{n=0} z^n \mathbf{E}\bigl(\mu^{S_n^{(1)}}; \, N_1 > n\bigr) = (1 - z\psi_1(\mu))^{-1}\bigr(1 - \mathbf{E}\bigl(z^{N_1}\mu^{S_{N_1 }^{(1)}}\bigr)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
после чего воспользуемся факторизационным представлением (3)
$$
\begin{equation*}
\mathbf{E}\bigl(z^{N_1}\mu^{S_{N_1}^{(1)}}\bigr) = R_+^{(1)}(z,\mu)\biggl[\frac1{R_+^{(1)}(z,\mu)}\biggr]^{[b,\infty)} =1-R_+^{(1)}(z,\mu)\biggl[\frac1{R_+^{(1)}(z,\mu)}\biggr]^{[0,b)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\sum^{\infty}_{n=0} z^n \mathbf{E}\bigl(\mu^{S_n^{(1)}}; \, N_1 > n\bigr) =\frac{R_+^{(1)}(z,\mu)[1/R_+^{(1)}(z,\mu)]^{[0,b)}}{1 - z\psi_1(\mu)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним далее, что $t_{2m}=T_1+\dots+T_m$, где случайные величины $T_k$, $k\geqslant 1$, независимы, $T_k=N_{2k-1}+N_{2k}\geqslant 2$. Обозначим $g(z)=\mathbf{E}z^{T_1}$, тогда
$$
\begin{equation*}
\sum^{\infty}_{i = 2m} z^i \, \mathbf{P}(t_{2m}=i)=\sum^{\infty}_{i = 2m} z^i \, \mathbf{P}(T_1+\dots+T_m=i)=g^m(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\sum^{\infty}_{m=0}\, \sum^{\infty}_{i = 2m} z^i \, \mathbf{P}(t_{2m}=i)=\sum^{\infty}_{m=0} g^m(z)=\frac1{1-g(z)},\qquad |z|<1,
\end{equation*}
\notag
$$
и в итоге получаем
$$
\begin{equation*}
I_1=\frac{R_+^{(1)}(z,\mu)\big[ 1/R_+^{(1)}(z,\mu) \big]^{[0,b)}}{(1 - z \psi_1(\mu))(1-g(z))}.
\end{equation*}
\notag
$$
По этой же схеме анализируем $I_2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_2 &= \sum^{\infty}_{n=1}\sum_{m=0}^{[(n-1)/2]} z^n \mathbf{E}\bigl(\mu^{Y_n};\, \nu(n)=2m+1\bigr) \\ &= \sum^{\infty}_{n = 1} z^n \sum^{[(n-1)/2]}_{m=0}\sum_{k=1}^{n} \mathbf{E}\bigl(\mu^{b+S_{n-k}^{(2)}}; \, t_{2m+1}=k,\, N_2 > n-k\bigr) \\ &= \mu^b\sum^{\infty}_{n = 1} z^n \sum^{[(n-1)/2]}_{m=0}\sum_{k=1}^{n} \mathbf{E}\bigl(\mu^{S_{n-k}^{(2)}}; \, N_2> n-k\bigr)\, \mathbf{P}(t_{2m+1}=k) \\ &= \mu^b\sum^{\infty}_{m=0}\, \sum^{\infty}_{n =2m+1} z^n \sum_{k=1}^{n} \mathbf{E}\bigl(\mu^{S_{n-k}^{(2)}}; \, N_2 > n-k\bigr)\, \mathbf{P}(t_{2m+1}=k) \\ &=\mu^b\sum^{\infty}_{m=0}\, \sum^{\infty}_{i = 2m+1} z^i \, \mathbf{P}(t_{2m+1}=i)\sum_{j=0}^{\infty}z^j\, \mathbf{E}\bigl(\mu^{S_{j}^{(2)}}; \, N_2 > j\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись соотношениями (см. [8], [11])
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (1 - z \psi_2(\mu)) \sum^{\infty}_{n=0} z^n \mathbf{E}\bigl(\mu^{S_n^{(2)}}; \, N_2 > n\bigr) = 1 - \mathbf{E}\bigl(z^{N_2}\mu^{S_{N_2 }^{(2)}}\bigr), \\ \mathbf{E}\bigl(z^{N_2 }\mu^{S_{N_2}^{(2)}}\bigr) = R_-^{(2)}(z,\mu) \biggl[ \frac1{R_-^{(2)}(z,\mu)} \biggr]^{(-\infty, -b]}=1-R_-^{(2)}(z,\mu) \biggl[ \frac1{R_-^{(2)}(z,\mu)} \biggr]^{( -b,0]}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=0}^{\infty}z^j \mathbf{E}\bigl(\mu^{S_{j}^{(2)}}; \, N_2 > j\bigr)= (1 - z\psi_2(\mu))^{-1}R_-^{(2)}(z,\mu) \biggl[ \frac1{R_-^{(2)}(z,\mu)} \biggr]^{(-b,0]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь рассмотрим
$$
\begin{equation*}
\sum^{\infty}_{i = 2m+1} z^i \, \mathbf{P}(t_{2m+1}=i)=\sum^{\infty}_{i = 2m+1} z^i \, \mathbf{P}(T_1+\dots+T_m +N_{2m+1}=i)=g^m(z)g_1(z),
\end{equation*}
\notag
$$
где обозначено $g_1(z)=\mathbf{E}z^{N_{2m+1}}=\mathbf{E}z^{N_{1}}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\sum^{\infty}_{m=0} \sum^{\infty}_{i = 2m+1} z^i \, \mathbf{P}(t_{2m+1}=i)=\sum^{\infty}_{m=0}g^m(z)g_1(z)=\frac{g_1(z)}{1-g(z)},
\end{equation*}
\notag
$$
т. е.
$$
\begin{equation*}
I_2=\frac{\mu^bg_1(z)R_-^{(2)}(z,\mu)[1/R_-^{(2)}(z,\mu)]^{( -b,0]}}{(1 - z \psi_2(\mu))(1-g(z))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Собирая воедино $I_1$ и $I_2$, получим (17). Теорема 4 доказана. В [10] отмечено, что $\{Y_n\}$ является регенерирующим случайным процессом с периодами регенерации $T_1,T_2,\dots$ . В силу условия $\mathbf{E} T_1=\mathbf{E} N_1+\mathbf{E} N_2<\infty$ существует стационарное распределение процесса $\{Y_n\}$: В [10] найдена производящая функция этого распределения. Теорема 5 (см. [10]). Пусть $q_k=Q(\{k\})$, и $b>0$ – целое число. Тогда при $|\mu|=1$ имеют место следующие представления: Отметим, что этот же результат следует из (17), поскольку
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=-\infty}^\infty \mu^{k}q_k=\lim_{z\to1}(1-z)\Psi (z, \mu).
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы 2 теперь следует, что если распределения случайных величин $X_1^{(j)}$ и $-X_1^{(j)}$ при $j=1,2$ принадлежат классу $K$ (например, если $|X_1^{(j)}|\leqslant r$ при некотором $r<\infty$), то все участвующие в формулах (17), (18) компоненты факторизации, а вместе с ними и итоговые производящие функции будут являться рациональными функциями переменной $\mu$. Это означает, в частности, что к ним можно применять приведенный выше алгоритм, включающий разложение на простые дроби и последующее нахождение точных формул для вероятностей $q_k$ и для функций Обращение этих производящих функций по переменной $z$ является весьма сложной задачей. В то же время знание точных выражений для $f_k(z)$ предоставляет дополнительные возможности для изучения характеристик распределения случайной величины $Y_n$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Lot23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|