| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Решение многомерного аддитивного гомологического уравнения А. Ф. Берa, М. Борстb, С. Борстc, Ф. А. Сукочевd a Механико-математический факультет, Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека, Ташкент b Delft Institute of Applied Mathematics, Delft University of Technology, Delft, The Netherlands c Centrum Wiskunde and Informatica, Amsterdam, The Netherlands d School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales, Kensington, Australia
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9319e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеРассмотрим ограниченную функцию с нулевым средним $f$ на отрезке $[0,1]$. Возникает вопрос, существуют ли сохраняющее меру преобразование $T$ и ограниченная функция $g$ такие, что где равенство выполняется почти всюду? Мы называем это равенство гомологическим уравнением, и, хотя оно широко изучалось в скалярно-значном контексте, мало что известно о гомологическом уравнении для вектор-функций. Этот вопрос и исследуется в настоящей работе.Мы всюду будем полагать, что интервал $[0,1]$ снабжен стандартной мерой Лебега $\lambda$. Уравнение (1.1), также известное как кограничное уравнение, изучалось Аносовым для фиксированного оператора $T$ в [1], где было показано, что такое уравнение с непрерывной или даже аналитической $f$ на группе $\mathbb{T}$ может иметь измеримое, но не интегрируемое решение. Это исследование возникло из-за комментария Колмогорова в [2] о том, что такого “хорошего” решения не существует. Заметим, что согласно [1; теорема 1], если $f$ интегрируема и ее гомологическое уравнение имеет измеримое решение $g$ для некоторого $T$, то $f$ должна иметь нулевой интеграл. Развивая это направление, отметим, что Бургейн [3], рассматривая близкий вариант проблемы, показал, что для компактной абелевой группы $G$ с конечным числом компонент любая функция с нулевым средним $f\in L^p(G)$ при $p\in(1,\infty)$ допускает разложение для $f_j\in L^p(G)$, $a_j\in G$ и стандартного оператора сдвига $\tau$. Более того, Бургейн доказал точность этого результата, описав границы индекса $J$.Браудер [4; теорема 2] также изучал вопрос о существовании решения $g\in L_\infty[0,1]$ гомологического уравнения для заданной функции $f\in L_\infty[0, 1]$ и заданного преобразования $T$. Он показал, что для этого необходимо и достаточно, чтобы нормы $\|\sum_{j=0}^{k}f\circ T^j\|_\infty$ были равномерно ограничены по всем $k\geqslant 1$. В работе [5] было показано, что для любой вещественной функции $f\in L_\infty[0,1]$ с нулевым средним существует такое эргодическое преобразование $T$, что (1.1) допускает решение $g\in L_\infty[0,1]$. А в работе [6] этот результат был усилен: для $1\leqslant p\leqslant \infty$ и для любой вещественной функции $f\in L_p[0,1]$ с нулевым средним существует решение $g\in L_{p -1}[0,1]$ для некоторого эргодического $T$. Следующий результат [7; теорема 0.1] показывает, что для вещественной функции $f\in L_\infty[0,1]$ с нулевым средним можно выбрать $g$ так, что $\|g\|_\infty \leqslant (1+\varepsilon)\|f \|_\infty$. Этот результат (с более слабой оценкой) был ранее анонсирован в работе [8], однако доказательство имело место только для $f\in C[0,1]$. Результат [7; теорема 0.1] дает верхнюю границу $\|g\|_\infty$, что важно для некоторых приложений теории симметричных функционалов (см., например, [9]) и сингулярных следов (см., например, [10]). В отличие от результатов [5], в теореме 1.1 отсутствует требование эргодичности $T$. Теорема 1.1 (см. [7; теорема 0.1]). Пусть $f\in L_\infty[0,1]$ – вещественнозначная функция с нулевым средним. Для любого $\varepsilon>0$ существует автоморфизм $\operatorname{mod}0$ $T$ на $[0,1]$ и функция $g\in L_\infty[0,1]$, $\|g\|_\infty \leqslant (1+\varepsilon)\|f\|_\infty$, для которых $f=g\circ T-g$. Здесь и далее автоморфизм $\operatorname{mod}0$ определяется следующим образом. Определение 1.1. Пусть $(\Omega, \mathcal A,\mu)$ и $(\Omega',\mathcal A',\mu')$ – пространства с мерой. Отображение $T\colon \Omega\to\Omega'$ называется изоморфизмом $\operatorname{mod}0$, если $T\colon \Omega\setminus N\to\Omega'\setminus N'$ – биекция, где множества $N\in\mathcal A$, $N'\in\mathcal A'$ имеют нулевую меру, отображения $T$ и $T^{-1}$ измеримы и $\mu'(T(A))=\mu(A)$ для всех $A\in\mathcal A$, $A\subseteq \Omega\setminus N$. Если эти два пространства с мерой совпадают, то $T$ называется автоморфизмом $\operatorname{mod}0$. Возникает вопрос: верно ли утверждение теоремы 1.1 для комплексно-значных функций с нулевым средним? Этот вопрос может быть эквивалентно переформулирован для функций с нулевым средним, принимающих значения в $\mathbb{R}^2$, и, обобщая еще больше, для функций с нулевым средним в $\mathbb{R}^d$ для произвольного натурального числа $d$. Другой вопрос состоит в том, можно ли выбрать преобразование $T$ эргодичным. В данной работе мы отвечаем на эти вопросы утвердительно, доказывая следующий результат. Теорема 1.2. Пусть $V$ – конечномерное вещественное нормированное пространство, $f\in L_\infty([0,1];V)$ – $V$-значная функция на отрезке $[0,1]$ с нулевым средним. Тогда для любого $\varepsilon>0$ существуют эргодический автоморфизм $\operatorname{mod}0$ $T$ на $[0,1]$ и функция $g\in L_\infty([0,1];V)$, для которых (здесь $S_V$ – константа Штейница, соответствующая $V$) и Эта теорема верна для всех пространств с мерой, изоморфных $\operatorname{mod}0$ интервалу $[0, 1]$ относительно меры Лебега. Заметим, что если бы мы зафиксировали некоторый базис для $V$ и применили бы теорему 1.1 к координатным функциям $f$, это дало бы только $f_i=g_i\circ T_i-g_i$ для $i=1,\dots, \dim(V)$. В этом случае мы могли бы иметь $T_i\neq T_j$ для $i\neq j$, так что утверждение теоремы 1.2 не следует из предыдущей теоремы 1.1 и действительно является более общим. Кроме того, мы также показываем, что полученное преобразование $T$ эргодично. Учитывая предыдущие исследования по этому вопросу, было далеко не ясно, как доказывать утверждение теоремы 1.2, поскольку методы доказательства из [7] и [5] не могут быть распространены на случай комплексно-значных функций или более общих $\mathbb{R}^d$-значных функций. Доказательство в [5] для вещественнозначных функций разделено на доказательства для ступенчатых функций и для функций, принимающих бесконечно много значений. Этого недостаточно для распространения подобного метода на $\mathbb{R}^d$-значные функции. При доказательстве в [7] также использовано разделение на два класса: ступенчатые функции и функции, для которых прообраз каждой точки (кроме одной) имеет нулевую меру. Хотя это доказательство не может быть в полной мере распространено на $\mathbb{R}^d$-значные функции, оказывается, что существует некоторый меньший класс функций (названных аффинно однородными), для которых метод из [7] может быть использован, хотя и с некоторыми трудностями. Этого оказалось достаточно для того, чтобы мы смогли доказать теорему 1.2 полностью. Константа $S_V$, используемая в теореме, является константой Штейница, соответствующей пространству $V$, которая возникает из леммы Штейница о перестановках (см., например, [11; лемма 2.1.3]). Она определяется как наименьшее число такое, что для любого конечного набора векторов $v_1,\dots, v_n$ в $V$ с суммой $\sum_{i=1}^{n}v_i=0$ существует такая перестановка $\pi$, что $\|\sum_{j=1}^kv_{\pi(i)}\|\leqslant S_V\max_i\|v_i\|$ для всех $k=1,\dots, n $ [11]. Чтобы показать, что константа Штейница и лемма о перестановках тесно связаны с аддитивным гомологическим уравнением, мы дадим эквивалентное определение. Пусть $\Omega_n$ – конечное множество из $n$ элементов, снабженное считающей мерой. Тогда можно эквивалентно определить $S_V$ как наименьшее число такое, что для $n\geqslant 1$ и всех $f\in L_\infty(\Omega_n, V)$ с нулевым средним существует (эргодический) автоморфизм $T$ множества $\Omega_n$ и множество положительной меры $X\subseteq \Omega_n$ такие, что $\|\sum_{j=0}^{k}f\circ T^k\|_{L_\infty (X;V)}\leqslant S_V\|f\|_\infty$ для всех $k=1,2,\dots$ . Следствием теоремы 1.2 является следующий результат, который можно рассматривать как естественный непрерывный аналог леммы Штейница о перестановках. Теорема 1.3. Пусть $V$ – конечномерное вещественное нормированное пространство, и пусть $\varepsilon>0$. Пусть $f\in L_\infty([0,1];V)$ – $V$-значная функция с нулевым средним. Тогда существуют такие эргодический автоморфизм $\operatorname{mod}0$ $T$ на $[0,1]$ и множество $X\subset [0,1]$ положительной меры, что для всех $k=1,2,\dots $ верно неравенство $\bigl\|\sum_{j=0}^{k}f\circ T^j\bigr\|_{L_\infty(X;V)}\leqslant (S_V+\varepsilon)\|f\|_\infty$. Заметим, что эта теорема расширяет [4; теорема 2] на класс функций $f\in L_\infty([0,1];V)$. Это значит, что для любого $f\in L_\infty([0,1];V)$ и любого $T$, сохраняющего меру, можно найти решение $g\in L_\infty([0,1];V)$, если и только если нормы $\bigl\|\sum_{j=0}^{k}f\circ T^j\bigr\|_\infty$ равномерно ограничены при $k\geqslant 1$. Из нашего основного результата непосредственно вытекает следующее расширение теоремы 1.1 (теоремы Квапеня) на случай комплексно-значных функций с нулевым средним. Следствие 1.1. Пусть $f\in L_\infty[0,1]$ – комплексно-значная функция с нулевым средним. Тогда для любого $\varepsilon>0$ существуют такие эргодический автоморфизм $\operatorname{mod}0$ $T$ и функция $g\in L_\infty[0,1]$, для которых $f= g\circ T -g$ и $\|g\|_\infty\leqslant (\sqrt{5}/2+\varepsilon)\|f\|_{\infty}$. Опишем схему нашего метода доказательства теоремы 1.2 и определим структуру статьи. Доказательство основной теоремы состоит из трех ключевых шагов. В § 2 мы установим основные факты, определения и обозначения, используемые на протяжении всей статьи. Напомним определение константы Штейница $S_V$ и ее основные свойства, а также введем понятия аффинно однородных и частично аффинно однородных функций. Затем мы приступим к первому ключевому шагу в доказательстве теоремы 1.2. Следующая лемма является фундаментальной для доказательства Квапеня [8], ее расширение будет важно и для нас. Лемма 1.1. Пусть $(a_{i,j})_{n\times m}$ – вещественная матрица такая, что $|a_{i,j}|\,{\leqslant}\, C$, $i=1,\dots,n$, $j=1,\dots,m$, и $\sum_{j=1}^{m}a_{i,j}=0$ для $i=1,\dots,n$. Тогда найдутся такие перестановки $\sigma_1,\dots,\sigma_n$ чисел $\{1,\dots,m\}$, что Мы обобщаем этот результат в теореме 3.3, заменяя вещественные числа $a_{i,j}$ векторами из $V$. Наше расширение леммы Квапеня является основным результатом в § 3. Этот результат затем используется в § 6 для решения гомологического уравнения для непрерывных функций на множествах Кантора (см. теорему 6.1). В § 4 показано, что рассматриваемые нами функции могут быть разложены на аффинно частично однородные функции. В § 5 мы доказываем несколько “лемм о сужении области определения”, которые уточняют теорему Лузина (теорема 2.1), и которые необходимы для доказательства основного результата для аффинно однородных функций. В § 6 мы доказываем вариант основного результата для непрерывных функций с нулевым средним на множестве Кантора (теорема 6.1). Используя этот результат, в § 7 доказывается существование решения гомологического уравнения для подкласса $L_\infty([0,1];V)$, состоящего из аффинно однородных функций. Для таких функций с помощью инструментов, разработанных в § 5, строятся подмножества положительной меры, которые гомеоморфны канторовскому множеству и ограничение функции на которых равно нулю в среднем и непрерывно. Поэтому, применяя результат для непрерывных функций на множествах Кантора, можно доказать существование решения гомологического уравнения и для аффинно однородных функций. Заметим, что построенное здесь преобразование $T$ не является эргодическим. Наконец, в § 8 мы завершаем доказательство теорем 1.2 и 1.3, опираясь на предыдущие результаты. Однако для доказательства этих основных результатов нам потребуются дополнительные инструменты, так как метода только для аффинно однородных функций недостаточно, а также поскольку требуется, чтобы $T$ был эргодическим. Тем не менее, результаты, полученные для аффинно однородных функций, существенно используются. Действительно, в лемме 8.3 мы используем результаты из § 4 и § 7 для построения разбиения областей определения и преобразования, удовлетворяющих определенным условиям. В заключительной части доказательства теоремы мы индуктивно применяем эту лемму для получения преобразований $T^{(1)},T^{(2)},\dots$ . С помощью этих преобразований строятся эргодическое преобразование $T$ и функция $g$, решающие уравнение. 1.1. Важное значение класса аффинно однородных функцийДоказательство [7; теорема 0.1] основано на разделении общего случая на два: когда $f$ простая и когда $f$ такая, что прообраз каждой точки (кроме одной) имеет нулевую меру. Такого разделения недостаточно, когда мы имеем дело с $\mathbb{R}^d$-значными функциями. Этот факт потребовал нового подхода, который наиболее заметен в доказательстве теоремы 1.2 в § 8 и в предшествующей ему лемме 8.3. Кратко обсудим, почему методы [7], [5] неприменимы к доказательству нашего результата. Как видно в [5] и [7], при решении гомологического уравнения для вещественнозначных функций возникают проблемы при работе со ступенчатыми функциями. В [5] это можно обойти, ограничившись случаями, когда $f$ принимает бесконечно много значений, и когда $f$ – ступенчатая функция. В [7] область определения делится на части, на которых $f$ имеет нулевой интеграл и либо ведет себя “непостоянно”, либо является двузначной ступенчатой функцией. Гомологическое уравнение решается отдельно на этих областях. В данной работе для $\mathbb{R}^d$-значных функций проблема со ступенчатыми функциями усложняется, так как возникают трудности с аффинными подпространствами. Возникает необходимость расширить методы из [7] и использовать новую технику. Чтобы показать сложность общего случая, зафиксируем $\alpha \in (0,1)$ и рассмотрим функцию с нулевым средним $f\in L_\infty([0,1];\mathbb{R}^2)$, заданную равенством
$$
\begin{equation*}
f=(f_1,f_2),\qquad f_1=(1-\alpha)\chi_{[0,\alpha]}-\alpha\chi_{(\alpha,1]},\quad f_2(t)=t-\frac{1}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Решение $g$, $T$ уравнения $f =g\circ T-g$ дало бы нам решение для первой координатной функции $f_1$. Но, поскольку функция $f$ принимает бесконечно много значений, то какое-либо расширение метода из [5] не может работать, так как оно не может работать для ступенчатой функцией $f_1$. Расширение метода [7] также не работает, так как построение множества Кантора невозможно для $f$, когда $\alpha$ иррационально. Это мотивирует наш новый подход. Новый подход реализован в § 8 и использует нашу конструкцию для аффинно однородных функций. Существует связь между нашим подходом в § 8 и методом из [5], хотя они и разные. 1.2. Утверждения теорем 1.2 и 1.3 для бесконечномерных векторных пространств неверныПриведем пример, показывающий, что утверждения теорем 1.2 и 1.3 неверны в случае $\dim(V)=\infty$. В пространстве $\mathbb{R}^d$, $d>1$, снабженном евклидовой нормой, рассмотрим вершины $(d-1)$-мерного симплекса с центром в нуле:
$$
\begin{equation*}
x_k=(a_{k,i}),\qquad k=1,\dots,d,\quad a_{k,i}=\delta_{ki}-\frac{1}{d}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\|x_k\|^2=\frac{d-1}{d^2}+\frac{(d-1)^2}{d^2}=\frac{d-1}{d}<1,\qquad \sum_{k=1}^{d}x_k=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем считать, что $d$ четно, а $y$ равно сумме $d/2$ таких вершин (слагаемые могут повторяться!). Оценим снизу норму $\|y\|$. По крайней мере $d/2$ координат $y$ равны $d/2\cdot (-1/d)=-1/2$. Следовательно, $\|y\|^2\geqslant d/2\cdot 1/4= d/8$, т. е. $\|y\|\geqslant \sqrt{d/8}$. Для каждого $n\geqslant 1$ положим $d_n=2^n$ и выберем $r_n>0$, удовлетворяющие условию
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty r_n^2\leqslant 1,\qquad 2^{(n-3)/2}r_n\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, для каждого $n> 1$ возьмем элементы $x^n_1,\dots,x^n_{d_n}$ из $\mathbb{R}^{d_n}$, определенные, как выше, но нормированные так, что $\|x^n_k\|=r_n$. Наконец, определим пространство $V=\bigoplus_{n=1}^\infty \mathbb{R}^{d_n}$ как прямую гильбертову сумму. Положим
$$
\begin{equation*}
f_n\colon [0,1]\to \mathbb{R}^{d_n}\colon\quad f_n\biggl(\biggl[\frac{i-1}{d_n},\frac{i}{d_n}\biggr)\biggr)=x_i^n,\qquad i=1,\dots,{d_n},\quad f_n(1)=x_{d_n}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
f_n\in L_\infty([0,1],\mathbb{R}^{d_n}),\qquad \|f_n\|_\infty\leqslant r_n,\qquad \int f_n \, d\lambda=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Положив $f=\bigoplus_{n=1}^\infty f_n$, получим
$$
\begin{equation*}
f\in L_\infty([0,1],V),\qquad \|f\|_\infty\leqslant 1,\qquad \int f\, d\lambda=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $T$ – такой автоморфизм $\operatorname{mod}0$ на $[0,1]$, что
$$
\begin{equation*}
\sup_k\biggl\|\sum_{i=0}^k f\circ T^i\biggr\|_\infty=C<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\sup_k\biggl\|\sum_{i=0}^k f_n\circ T^i\biggr\|_\infty\leqslant C \quad\forall\, n.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что это не так. Для почти всех $t\in [0,1]$ элемент совпадает с суммой $d_n/2$ элементов множества $\{x^n_1,\dots,x^n_{d_n}\}$, поскольку $f_n\circ T^i(t)\in \{x_1^n,\dots,x_{d_n}^n\}$ для п. в. $t\in [0,1]$. Значит, его норма не может быть меньше Поэтому $C\geqslant 2^{(n-3)/2}r_n\to\infty$, что приводит к противоречию. Следовательно, $\sup_k\bigl\|\sum_{i=0}^k f\circ T^i\bigr\|_\infty=\infty$. Поэтому не существует функции $g\in L_\infty([0,1],V)$, удовлетворяющей равенству $f=g\circ T-g$. Действительно, иначе
$$
\begin{equation*}
\sup_k\biggl\|\sum_{i=0}^k f\circ T^i\biggr\|_\infty=\sup_k\|g\circ T^{k+1}-g\|_\infty\leqslant 2\|g \|_\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
§ 2. Предварительные сведения2.1. Три фундаментальные теоремыСледующая версия теоремы Лузина взята из [12; теорема 2.2.10]. Теорема 2.1. Пусть $D\subseteq [0,1]$ – борелевское множество, и пусть функция $f\colon D \to \mathbb{R}$ измерима по Борелю. Тогда для любого $\varepsilon>0$ существует такое компактное подмножество $K\subseteq D$, что $\lambda(D \setminus K)<\varepsilon$ и сужение $f$ на $K$ – непрерывная функция. Следующий фундаментальный факт есть комбинация теорем 9.3.4 и 9.5.1 из [12]. Теорема 2.2. Пусть $A,B\subseteq [0,1]$ – множества одинаковой положительной меры. Тогда существует изоморфизм $\operatorname{mod}0$ $T\colon A\to B$. Мы также будем использовать теорему Ляпунова [13; теорема 2.c.9]. Теорема 2.3. Пусть $\{\mu_i\}_{i=1}^d$ – множество конечных (необязательно положительных) неатомических мер на измеримом пространстве $(\Omega,\Sigma)$. Тогда множество выпукло и компактно в $\mathbb{R}^d$. 2.2. Пространство $L_\infty(D;V)$Пусть $(V,\|\,{\cdot}\,\|)$ – конечномерное нормированное векторное пространство над $\mathbb{R}$. Пусть $D$ – измеримое по Лебегу подмножество в $[0,1]$, снабженное мерой Лебега $\lambda$, и пусть $f\colon D\to V$ – измеримое отображение. Вектор $r\in V$ называется существенным значением функции $f$, если $\lambda(f^{-1}(U))>0$ для любой окрестности $U$ вектора $r$. Через $\sigma(f)$ будем обозначать множество всех существенных значений $f$ (использование этого обозначения оправдано тем, что для функции $f\in L_\infty[0,1]$ множество всех ее существенных значений совпадает со спектром элемента $f$ в $C^*$-алгебре $L_\infty[0,1]$). Через $L_\infty(D;V)$ обозначим линейное пространство всех таких измеримых отображений $f\colon D\to V$, что множество $\sigma(f)$ ограничено. Как обычно, мы будем отождествлять любые два отображения, если они почти всюду равны (т. е. пространство $L_\infty(D;V)$ состоит из классов измеримых отображений, почти всюду совпадающих друг с другом). Будем называть функцию $f\in L_\infty(D;V)$ простой, если $f=\sum_{i=1}^{\infty}r_i\chi_{X_i}$, где $r_i\in V$, $i=1,2,\dots$, и $\{X_i\}_{i=1}^{\infty}$ – разбиение $D$ на измеримые подмножества. Определим норму на $L_\infty(D;V)$, полагая для $f\in L_\infty(D;V)$ Для каждой функции $f\in L_\infty(D;V)$ интеграл $\int f \, d\lambda \in V$ определяется стандартным образом. Если $\int f \, d\lambda=0$, то функция $f$ называется функцией с нулевым средним. Мы будем часто использовать обозначение
$$
\begin{equation*}
\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{X}}f \, d\lambda=\frac{\int_{X}f \, d\lambda}{\lambda(X)},
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\mathop{\,\rlap{-}\!\int_{X}}f \, d\lambda$ есть среднее значение $f$ на множестве $X$. Кроме того, иногда мы будем использовать евклидову норму, и в этом случае будем писать $(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,)$ для обозначения евклидовых скалярных произведений. 2.3. Аффинно однородные функцииДля любого множества $X\subset V$ через $\operatorname{Aff}(X)$ обозначается аффинное подпространство в $V$, порожденное $X$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aff}(X)=\biggl\{\sum_{i=1}^{k}a_ix_i\colon x_i\in X,\, a_i\in \mathbb{R},\, \sum_{i=1}^{k}a_i=1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $\operatorname{Aff}(X)$ называется аффинной оболочкой множества $X$. Напомним, что любое аффинное подпространство в $V$ можно рассматривать как множество $\{x+V_0\}$, где $x$ – некоторая точка в $V$, а $V_0$ – линейное подпространство в $V$. Размерность такого аффинного подпространства определяется как размерность подпространства $V_0$. В частности, каждая точка в $V$ является аффинным подпространством размерности $0$. Назовем функцию $f\in L_\infty(D;V)$ аффинно однородной, если для каждого собственного аффинного подпространства $W\subsetneq \operatorname{Aff}(\sigma(f))$ выполняется равенство $\lambda(f^{-1}(W)) =0$. Отметим, что вещественнозначная функция аффинно однородна тогда и только тогда, когда она либо постоянна, либо удовлетворяет условию $\lambda(f^{-1}(\{y\}))= 0$ для всех $y\in \mathbb{R}$. Видно, что любая аффинно однородная простая функция постоянна. В самом деле, если простая функция имеет два различных существенных значения, скажем, $a$ и $b$, то $\lambda(f^{-1}(a))>0$ и $\lambda(f^{-1} (b))>0$. Поскольку ${\{a\}}\subsetneq \operatorname{Aff}(\sigma(f))$ и $\{b\}\subsetneq \operatorname{Aff}(\sigma(f) )$ являются собственными аффинными подпространствами в $\operatorname{Aff}(\sigma(f))$, приходим к противоречию. В более общем случае для любой аффинно однородной функции $f$ имеем $\operatorname{Aff}(\sigma(f|_{A}))=\operatorname{Aff}(\sigma(f))$ для каждого измеримого подмножества $A\subseteq D$ положительной меры. Назовем функцию $f\in L_\infty(D;V)$ аффинно частично однородной, если $D$ можно разбить на не более чем $d+1$ измеримых подмножеств, где $d=\dim(V)$, таких, что $f$ аффинно однородна на каждом из этих подмножеств. Например, функция $f=(1-a)\chi_{[0,a)} -a\chi_{[a,1]}\in L_\infty([0,1];\mathbb{R})$ аффинно частично однородна для любого $a\in (0,1)$. 2.4. Константа ШтейницаДля любого конечномерного нормированного пространства $V$ (над $\mathbb{R}$) существует наименьшее число $S_V$ (называемое константой Штейница), такое, что для любого набора $r_1,\dots,r_n\in V$, $\sum_{i=1}^n r_i=0$, выполняются следующие неравенства:
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{i=1}^{k}r_{\pi(i)}\biggr\|\leqslant S_V\max\{\|r_i\|\colon i=1,\dots,n\}, \qquad k=1,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторой перестановки $\pi$ множества $\{1,\dots,n\}$ [14]. Эта константа, вообще говоря, зависит не только от размерности $V$, но и от нормы. В [15] показано, что $S_V\leqslant \dim(V)$ (детальное доказательство см. в [11; лемма 2.1.3]). Очевидно, $S_{\mathbb{R}}=1$. В [16; замечание 3] говорится, что “применяя тот же метод, что и при доказательстве леммы 2, можно показать, что константа Штейница $n$-мерного пространства не превосходит $n-1+1/n$”. Если пространство $\mathbb{R}^d$ снабжено евклидовой нормой, то $S_{\mathbb{R}^d}\geqslant (\sqrt{d+3}\,)/2$ [15], $S_{\mathbb{R}^2}= S_{\mathbb{C}}=\sqrt{5}/2$ [16; теорема 2], [17] (относительно других оценок $S_{\mathbb{R}^d}$ для евклидовых норм см. [18; замечание 8, добавлено в доказательство]). Объясним появление константы Штейница, доказав существование решения гомологического уравнения для функций с нулевым средним $f\in L_\infty(\Omega_n;V)$, где конечное множество $\Omega_n{=\{1, \dots,n\}}$ снабжено считающей мерой. Поскольку $\sum_{i=1}^{n}f(i)=0$, то из определения константы Штейница следует, что существует такая перестановка $\pi$ множества $\{1,\dots,n\}$, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{i=1}^m f(\pi(i))\biggr\| \leqslant S_V\|f\|_\infty,\qquad m=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим циклическую перестановку $\sigma$ множества $\Omega_n$ как $\sigma(\pi(j))= \pi(j+1)$ для $j=1,\dots,n-1$ и $\sigma(\pi(n))=\pi(1)$. Положим $g(\pi(k))= \sum_{i=1}^{k-1} f(\pi(i))$ для $k=2,\dots,n$ и $g(\pi(1))=0$. Тогда $g\circ\sigma-g=f$ и $\|g\|_\infty\leqslant S_V\|f\|_{\infty}$, что и требовалось. Очевидно, что этот метод доказательства применим и к простым функциям $f\in L_\infty([0,1];V)$ вида
$$
\begin{equation*}
f=\sum_{k=1}^n r_k\chi_{I_k},\qquad I_k=\biggl[\frac{k-1}{n},\, \frac{k}{n}\biggr),\quad r_k\in V,\quad k=1,\dots,d, \quad \sum_{k=1}^n r_k=0,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку их можно отождествить с функциями с нулевым средним $\widetilde{f}$ из $L_\infty(\Omega_n;V)$, заданных равенством $\widetilde{f}(k)\,{=}\,r_k$. Остается только определить преобразование $T$, полагая $T(I_{k})=I_{\sigma(k)}$, и простую функцию $g$, полагая $g|_{I_{\pi(k)}}=\sum_{i=1}^{k-1} r_{\pi(i)}$ для $k=2,\dots,n$ и $g|_{I_{\pi(1)}}=0$. Тогда $g\circ\sigma-g=f$ и $\|g\|_\infty\leqslant S_V\|f\|_{\infty}$.
§ 3. Многомерная версия леммы КвапеняОсновной результат этого параграфа – теорема 3.3. Ее доказательство базируется на следующих известных фактах. Как обычно, через $\operatorname{Conv}(X)$ обозначается выпуклая оболочка множества $X\subset V$. Теорема 3.1 (см. [19; теорема 3]). Пусть $V$ – $d$-мерное вещественное нормированное пространство, $B^d $ – единичный шар в $V$, и пусть $C_i\subset B^d$ такие, что $0\in \operatorname{Conv}(C_i)$, $i=1,2,\dots$ . Тогда найдутся такие $c_i\in C_i$, $i=1,2,\dots$, что Теорема 3.2 (см. [15; теорема 1], [11; лемма 2.1.3]). Пусть $V$ – $d$-мерное вещественное нормированное пространство, $\|x_i\|\leqslant 1$, $i=1,\dots,n$, и $x_1+\dots+x_n=x$. Тогда существует такая перестановка $\pi$, что для любого натурального $k\leqslant n$ имеем Теперь все готово для доказательства следующей леммы. Лемма 3.1. Пусть $V$ – $d$-мерное вещественное нормированное пространство. Пусть $\{a_{i,j}\}_{i,j=1}^{n,m}$ – такие векторы из $V$, что $\|a_{i,j}\|\leqslant 1$, $i=1,\dots,n$, $j=1,\dots,m$, И пусть $p\leqslant m$ – натуральное число. Тогда множество $\{1,\dots,m\}$ содержит такие подмножества $I_1,\dots,I_n$, что и Доказательство. Для каждого фиксированного $i=1,\dots,n$ по предположению имеем $\sum_{j=1}^m a_{ij}=0$. Согласно теореме 3.2, заменив $x_1,\dots,x_n$ на $a_{i,1},\dots,a_{i,m}$, можно найти такую перестановку $\pi$ множества $\{1,\dots,m\}$, что $\bigl\|\sum_{j=1}^k a_{i,\pi(j)}\bigr\|\leqslant d$, $k=1,\dots,m$. Переобозначив векторы $a_{ij}$, $j=1,\dots,m$, не ограничивая общности, можно считать, что при $i=1,\dots,n$ выполняется
Пусть $m_1$ – наименьшее общее кратное чисел $m$ и $p$, и пусть $m_2=m_1/p$. Рассмотрим отображение $\alpha$ из $\{1,\dots,m_1\}$ на $\{1,\dots,m\}$, ставящее в соответствие числу $j$ его остаток от деления на $m$ при условии, что $j$ не делится на $m$, и число $m$ – в ином случае. Заменим матрицу $\{a_{ij}\}_{i,j=1}^{n,m}$ матрицей $\{a'_{i,j}\}_{i,j=1}^{n,m_1}$, где $a'_{i,j}=a_{i,\alpha(j)}$. Другими словами, блок колонок $\{a_{i,j}\}_{j=1}^{m}$ повторим $m_1/m$ раз. Заметим, что матрица $\{a'_{i,j}\}_{i,j=1}^{n,m_1}$ продолжает удовлетворять тем же условиям, что и исходная матрица $\{a_{i,j}\}_{i,j=1}^{n,m}$. Положим $b_{i,j}=\sum_{r=(j-1)p+1}^{jp}a'_{i,r}$, $j=1,\dots,m_2$, $i=1,\dots,n$. Покажем, что для всех $i$, $j$.Если последовательность $\alpha((j-1)p+1)$, $\alpha((j-1)p+2)$, $\dots$, $\alpha(jp)$ возрастает, то
$$
\begin{equation*}
\|b_{i,j}\|=\biggl\|\sum_{r=1}^{\alpha(jp)}a_{ir}-\sum_{r=1}^{\alpha((j-1)p)}a_{ir}\biggr\|\leqslant 2d.
\end{equation*}
\notag
$$
В ином случае,
$$
\begin{equation*}
m\in \{\alpha((j-1)p+1),\alpha((j-1)p+2),\dots,\alpha(jp)\},
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\{\alpha((j-1)p+1),\alpha((j-1)p+2),\dots,\alpha(jp)\}$ состоит из двух непересекающихся наборов $\{m-k+1,m-k+2,\dots,m\}$ и $\{1,2,\dots,p-k\}$.
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\|b_{i,j}\|=\biggl\|\sum_{r=m-k+1}^{m}a_{i,r}+\sum_{r=1}^{p-k}a_{i,r}\biggr\| =\biggl\|-\sum_{r=1}^{m-k}a_{i,r}+\sum_{r=1}^{p-k}a_{i,r}\biggr\|\leqslant 2d.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, для всех $i\in \{1,\dots,n\}$, $\sum_{j=1}^{m_2} b_{i,j}=\sum_{r=1}^{m_1}a'_{i,r}=(m_1/m)\sum_{j=1}^m a_{i,j}=0$, поэтому $0\in \operatorname{Conv}\{b_{i,j}\colon j\in \{1,\dots,m_2\}\} $ для всех $i\in \{1,\dots,n\}$. Согласно теореме 3.1 существуют такие индексы $j_i$, что для всех $k=1,\dots,n$. Поскольку $b_{i,j_i}\,{=}\sum_{r=(j_i-1)p+1}^{j_ip}a'_{i,r}\,{=}\sum_{r=(j_i-1)p+1}^{j_ip}a_{i,\alpha(r)} =\sum_{j\in I_i} a_{i,j}$, где $I_i=\alpha(\{(j_i-1)p+1,(j_i-1)p+2,\dots,j_ip\})$, то приведенная выше оценка завершает доказательство.Теперь мы воспользуемся результатом леммы 3.1, чтобы получить аналогичный результат для векторов, сумма которых не равна нулю. Лемма 3.2. Пусть $V$ – $d$-мерное вещественное нормированное пространство; $(v_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant n,\, 1\leqslant j\leqslant m}$ – векторы из $V$, $\|v_{i,j}\|\leqslant 1$ и $p\in \{1,\dots,m\}$. Пусть $x_k=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^m v_{i,j}/m$. Тогда для каждого $i=1,\dots, n$ найдется такое множество индексов $I_i\subseteq \{1,\dots,m\}$, что Доказательство. Определим $(v_{i,j}')_{1\leqslant i\leqslant n, 1\leqslant j\leqslant m}$, положив
$$
\begin{equation*}
v_{i,j}'=\frac{1}{2}v_{i,j}-\frac{1}{2m}\sum_{k=1}^mv_{i,k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\sum_{j=1}^mv_{i,j}'=0$ для всех $i\in \{1,\dots,n\}$ и что
$$
\begin{equation*}
\|v_{i,j}'\|\leqslant \frac{1}{2}\|v_{i,j}\|+\frac{1}{2m}\sum_{k=1}^m\|v_{i,k}\|\leqslant \frac{1}{2} + \frac{m}{2m}= 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя лемму 3.1, мы можем найти такие множества $I_i$ для $i=1,\dots, n$, что
$$
\begin{equation*}
|I_k|=p \quad \forall\, k\in \{1,\dots,n\}, \qquad \biggl\|\sum_{i=1}^k\sum_{j\in I_i}v_{i,j}'\biggr\| \leqslant 4d^2 \quad \forall\, k\in \{1,\dots,n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\|\sum_{i=1}^k\sum_{j\in I_i}v_{i,j}-px_k\biggr\| = \biggl\|\sum_{i=1}^k\sum_{j\in I_i}v_{i,j}-\sum_{i=1}^k\frac{|I_k|}{m}\sum_{j=1}^mv_{i,j}\biggr\| \\ &\qquad=\biggl\|\sum_{i=1}^k\sum_{j\in I_i}\biggl(v_{i,j}-\frac{1}{m}\sum_{t=1}^mv_{i,t}\biggr)\biggr\| =2\biggl\|\sum_{i=1}^k\sum_{j\in I_i}v_{i,j}'\biggr\| \leqslant 2\cdot 4d^2 =8d^2 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $k\in \{1,\dots,n\}$. Лемма 3.2 доказана. Теперь мы готовы обобщить лемму 1.1 для векторов из $V$. Теорема 3.3. Пусть $V$ – $d$-мерное вещественное нормированное пространство, $(v_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant n,\, 1\leqslant j\leqslant m}$ – векторы из $V$, $\|v_{i,j}\|\leqslant 1$, и $x_k\,{=}\, (1/m) \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^m v_{i,j}$ для всех $k\in \{1,\dots,n\}$. Тогда найдутся такие перестановки $(\pi_i)_{1\leqslant i \leqslant n}$ множества $\{1,\dots,m\}$, что $\bigl\|\sum_{i=1}^kv_{i,\pi_{i}(j)}-x_k\bigr\| \leqslant 8d^2/\log 1.5$ для всех $k$ и для всех $j$. Доказательство. Построим подходящие перестановки, разбивая исходные множества векторов на два набора почти одинакового размера, используя лемму 3.2, а затем рекурсивно создадим подходящие перестановки для обеих частей разбиения. Затем мы объединим эти две перестановки в одну перестановку и покажем, что эта перестановка удовлетворяет требуемым условиям.
При $m=1$ утверждение тривиально, так как в этом случае $\sum_{i=1}^kv_{i,1}-x_k=0$ для всех $k$. Пусть $m=2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\biggl(v_{i,1}-\frac{v_{i,1}+v_{i,2}}2\biggr)+\biggl(v_{i,2}-\frac{v_{i,1}+v_{i,2}}2\biggr)=0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $i=1,\dots,n$. Из теоремы 3.1 следует, что существуют такие индексы $j_i\in\{1,2\}$, для которых
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{i=1}^k\biggl(v_{i,j_i}-\frac{v_{i,1}+v_{i,2}}2\biggr)\biggr\|\leqslant 4d.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\pi_i(1)=j_i$, $\pi_i(2)=3-j_i$. Тогда $\bigl\|\sum_{i=1}^kv_{i,\pi_i(1)}-x_k\bigr\|\leqslant 4d$ для всех $k$ и $v_{i,\pi_i(2)}-(v_{i,1}\,{+}\,v_{i,2})/2=-(v_{i,\pi_i(1)}-(v_{i,1}+v_{i,2})/2)$. Поэтому $\bigl\|\sum_{i=1}^kv_{i,\pi_i(2)}-x_k\bigr\|\leqslant 4d$ для всех $k$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\log_{1.5}(2)-1}\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^{x}\, dx=\frac{1}{4(\log3-\log2)}>\frac{1}{2},
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
4d<8d^2\int_{0}^{\log_{1.5} (2)-1}\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^{x}\, dx,
\end{equation*}
\notag
$$
и тогда
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{i=1}^kv_{i,\pi_{i}(j)}-x_k\biggr\| \leqslant 8d^2\int_{0}^{\log_{1.5}(2)-1}\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^{x}\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее мы докажем индукцией по $m$, что для заданного начального набора векторов $(v_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant n,\, 1\leqslant j\leqslant m}$, $\|v_{i,j}\|\leqslant 1$, существуют перестановки $(\pi_i)_{1\leqslant i \leqslant n}$ $\{1,\dots,m\}$, для которых
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{i=1}^kv_{i,\pi_{i}(j)}-x_k\biggr\| \leqslant 8d^2\int_{0}^{\log_{1.5}(m)-1}\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^{x}\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение теоремы 3.3 тогда будет следовать из замены приведенного выше интеграла интегралом от 0 до $\infty$, который равен $1/\log 1.5$.
Для $m=2$ неравенство установлено выше. При $m> 2$ предположим, что утверждение верно до $m-1$ включительно. Из леммы 3.2 следует, что существуют такие множества индексов $(I_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ в $\{1,\dots,m\}$, для которых $|I_{i}|=p:=\lceil m/2 \rceil$, и что для $\delta_k := \sum_{i=1}^k \sum_{j\in I_i}v_{i,j}$ выполняются неравенства
$$
\begin{equation}
\|\delta_k-px_k\| \leqslant 8d^2\quad \forall\, k\in \{1,\dots, n\}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Положим $\delta_k' := \sum_{i=1}^k \sum_{j\in \{1,\dots,m\}\setminus I_i}v_{i,j}$. Покажем, что $\delta_k+\delta_k'=mx_k$. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\delta_k+\delta_k'=\sum_{i=1}^k \sum_{j\in I_i}v_{i,j}+\sum_{i=1}^k \sum_{j\in \{1,\dots,m\}\setminus I_i}v_{i,j}=\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^mv_{i,j}=mx_k,
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому
$$
\begin{equation}
\|\delta_k'-(m-p)x_k\|=\|mx_k- \delta_k-(m-p)x_k\|=\|\delta_k -px_k\| \leqslant 8d^2.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Для каждого $i\in\{1,\dots,n\}$ пусть $\pi'_{i}$ – такая перестановка множества $\{1,\dots,m\}$, которая отображает множество $\{1,\dots, p\}$ в $I_i$. Определим векторы $(v^{(1)}_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant n,\, 1\leqslant j\leqslant p}$ равенствами $v^{(1)}_{i,j}=v_{i,\pi'_i(j)}$. Используя предположение индукции, мы можем найти такие перестановки $\pi^{(1)}_i$ множества $\{1,\dots,p\}$, что для всех $k\in \{1,\dots,n\}$ и $j\in \{1,\dots, p\}$ выполняются неравенства
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{i=1}^kv^ {(1)}_{i,\pi_i^ {(1)}(j)}-\frac{1}{p}\, \delta_k\biggr\| \leqslant 8d^2\int_{0}^{\log_{1.5} (p)-1}\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^{x}\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично определим $(v^{(2)}_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant j\leqslant m-p}$, положив $v^{(2)}_{i,j}=v_{i,\pi'_i(j+p)}$. Используя предположение индукции, найдем такие перестановки $\pi^{(2)}_i$ множества $\{1,\dots,m-p\}$, что для всех $k\in \{1,\dots,n\}$ и $j\in\{1,\dots,m-p\}$ выполняются неравенства
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{i=1}^kv^ {(2)}_{i,\pi_i^ {(2)}(j)}-\frac{1}{m-p}\, \delta_k'\biggr\|\leqslant 8d^2\int_{0}^{\log_{1.5} (m-p)-1}\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^{x}\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\pi_i(j)= \begin{cases} \pi'_i(\pi^{(1)}_i(j)), & j\leqslant p, \\ \pi'_i(\pi^{(2)}_i(j-p)+p), & j> p. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим
$$
\begin{equation*}
p_j= \begin{cases} p, & j\leqslant p, \\ m-p, & j> p, \end{cases} \qquad \Delta_i(j)=\begin{cases} \dfrac{1}{p_j}\,\delta_i, & j\leqslant p, \\ \dfrac{1}{p_j}\,\delta_i', & j> p. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
В обоих случаях, когда $j\leqslant p$ и когда $j> p$, применяя (3.1) и (3.2) соответственно, получим $\|\Delta_i(j)-x_i \|\leqslant 8d^2/p_j$ для всех $i\in \{1,\dots,n\}$ и $j\in \{1,\dots,m\}$.
Для $j\in \{1,\dots, p\}$ и для всех $k\in\{1,\dots,n\}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\sum_{i=1}^kv_{i,\pi_i(j)}-\Delta_k(j)\biggr\| &= \biggl\|\sum_{i=1}^kv^{(1)}_{i,\pi_i^ {(1)}(j)}-\frac{1}{p}\, \delta_k\biggr\| \\ &\leqslant 8d^2\int_{0}^{\log_{1.5} (p)-1}\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^{x}\, dx = 8d^2\int_{0}^{\log_{1.5} (p_j)-1}\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^{x}\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично для $j\in \{p+1,\dots, m\}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\sum_{i=1}^kv_{i,\pi_i(j)}-\Delta_k(j)\biggr\| &= \biggl\|\sum_{i=1}^kv^{(2)}_{i,\pi_i^ {(2)}(j-p)}-\frac{1}{p}\delta_k' \biggr\| \\ &\leqslant 8d^2\int_{0}^{\log_{1.5} (m-p)-1}\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^{x}\, dx = 8d^2\int_{0}^{\log_{1.5} (p_j)-1}\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^{x}\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя эти два неравенства, для всех $k\in \{1,\dots,n\}$ и $j\in \{1,\dots,m\}$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\sum_{i=1}^kv_{i,\pi_i(j)}- x_k\biggr\| &\leqslant \biggl\|\sum_{i=1}^kv_{i,\pi_i(j)}- \Delta_k(j)\biggr\|+\|\Delta_k(j)-x_k\| \\ &\leqslant 8d^2 \int_0^{\log_{1.5}( p_j)-1}\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^{x}\, dx+8d^2\frac{1}{p_j} \\ &= 8d^2\int_0^{\log_{1.5} (p_j)-1}\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^{x}\, dx+8d^2 \biggl(\frac{2}{3}\biggr)^{\log_{1.5}p_j} \\ &\leqslant 8d^2 \int_0^{\log_{1.5}( p_j)}\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^{x}\, dx \leqslant 8d^2 \int_0^{\log_{1.5}( m)-1}\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^{x}\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что последнее неравенство следует из того, что $m/p_j\geqslant3/2$, поэтому $\log_{1.5}(m)-\log_{1.5}(p_j)=\log_{1.5}(m/p_j)\geqslant 1$. Теорема 3.3 доказана. § 4. Разложение ограниченных функций на аффинно частично однородные функцииНам понадобятся несколько известных результатов Каратеодори. Первую лемму можно найти в [20; теорема 8.11]. Лемма 4.1. Пусть $B\subset \mathbb{R}^d$, $d<\infty$. Тогда любой элемент $\xi\in \operatorname{Conv}(B)$ является выпуклой комбинацией не более, чем $d+1$ элементов из $B$. По поводу следующих двух результатов мы ссылаемся на [21; следствие IV.1.13] и [21; следствие IV.3.11] соответственно. Теорема 4.1. Выпуклая оболочка замыкания ограниченного подмножества в $\mathbb{R}^d$, $d<\infty$, совпадает с замыканием выпуклой оболочки этого подмножества. Теорема 4.2. Замкнутая выпуклая оболочка множества $A\subseteq \mathbb{R}^d$ совпадает с пересечением всех содержащих его замкнутых полупространств. Начнем со следующего общего (и, вероятно, известного) результата. Предложение 4.1. Пусть $\{\xi_i\}_{i\in I}\subset\mathbb{R}^d$, $d<\infty$, $\{\alpha_i\}_{i\in I}\subset \mathbb{R}_+\setminus\{0\}$, $\operatorname{card}(I)\leqslant \aleph_0$, $0<\|\xi_i\|\leqslant 1$ (здесь $\|\,{\cdot}\,\|$ – евклидова норма), $\sum_i \alpha_i \leqslant 1$, $\sum_i \alpha_i\xi_i=0$. Тогда найдутся такие индексы $i_1,\dots,i_m\in I$, $1 \leqslant m\leqslant d+1$, и числа $0<\beta_k\leqslant\alpha_{i_k}$, $k=1,\dots,m$, что $\sum_{k=1}^m\beta_k\xi_{i_k}=0$. Доказательство. Не ограничивая общности, можем считать, что
Положим $B=\{\xi_i\}_{i\in I}$, $C=\operatorname{Conv}(B)$. Из теоремы 4.1 следует, что $\overline{C}=\operatorname{Conv}(\overline{B})$. Поэтому $0\in \overline{C}=\operatorname{Conv}(\overline{B})$. Для любого множества $X\subset \mathbb{R}^d$ его опорная функция $h_X$ определяется равенством Пусть $\mathbb{S}^{d-1}=\{\eta\in\mathbb{R}^d\colon \|\eta\|=1\}$, т. е. $\mathbb{S}^{d-1}$ – сфера в $\mathbb{R}^d$ радиуса $1$ и с центром в нуле. Поскольку для $\eta \in \mathbb{S}^{d-1}$ замкнутое полупространство $H_\eta:=\{\xi\colon (\eta,\xi)\leqslant h_{X}(\eta)\}$ содержит $X$, и поскольку каждое замкнутое полупространство $H$, содержащее $X$, содержится в $H_\eta$ для некоторого $\eta\in \mathbb{S}^{d-1}$, то из теоремы 4.2 следует, что
$$
\begin{equation*}
\overline{\operatorname{Conv}(X)}=\bigcap_{\eta\in\mathbb{S}^{d-1}}\{\xi\colon (\eta,\xi)\leqslant h_X (\eta)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что $\overline{C}$ содержит шар радиуса $r_0>0$ с центром в нуле. Действительно, функция $h_{\overline{C}}$ непрерывна на единичной сфере $\mathbb{S}^{d-1}$. Поскольку сфера $\mathbb{S}^{d-1}$ компактна, то найдется такая точка $\eta_0\in\mathbb{S}^{d-1}$, на которой $h_{\overline{C}}$ достигает минимума. Предположим, что $h_{\overline{C}}(\eta_0)\leqslant 0$. Тогда $(\eta_0,\xi)\leqslant 0$ для любого $\xi\in B$. Из равенства $\sum_i \alpha_i\xi_i=0$ следует, что $\sum_i \alpha_i(\eta,\xi_i)=0$, но тогда $(\eta_0,\xi)=0$ для любого $\xi\in B$. Это противоречит тому, что $\dim(\operatorname{Span}(B))=d$. Поэтому $r_0:=h_{\overline{C}}(\eta_0)>0$. Поскольку $\overline{C}=\bigcap_{\eta\in\mathbb{S}^{d-1}}\{\xi\colon (\eta,\xi)\leqslant h_{\overline{C}}(\eta)\}$, то $\overline{C}$ содержит шар радиуса $r_0$ с центром в нуле. Поскольку $\overline{B}$ – компакт, то для некоторого $n\in\mathbb{N}$ существует $r_0/3$-сеть $B_n:=\{\xi_i\}_{i=1}^n$ в $\overline{B}$. Пусть $\eta\in \mathbb{S}^{d-1}$. Существует такой вектор $\xi\in \overline{B}$, что
$$
\begin{equation*}
(\eta,\xi)=h_{\overline{B}}(\eta)=h_{\overline{C}}(\eta)\geqslant r_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\xi'\in B_n$ – такой вектор, что $\|\xi-\xi'\|<r_0/3$. Тогда
$$
\begin{equation*}
|(\eta,\xi')-(\eta,\xi)|\leqslant \|\xi-\xi'\|<\frac{r_0}3,\qquad (\eta,\xi)\geqslant r_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что $|(\eta,\xi')|=(\eta,\xi')$ и поэтому
$$
\begin{equation*}
(\eta,\xi')\geqslant (\eta,\xi)-|(\eta,\xi')-(\eta,\xi)|>r_0-\frac{r_0}3>\frac{r_0}2.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $h_{B_n}(\eta)\geqslant r_0/2$. Значит, $\operatorname{Conv}(B_n)$ содержит шар радиуса $r_0/2$ с центром в нуле. В частности, точка $0$ является выпуклой комбинацией векторов $\{\xi_i\}_{i=1}^n$. Из леммы 4.1 следует, что найдутся такие $\xi_{i_1},\dots,\xi_{i_m}\in B_n$, $m\leqslant d+1$, для которых $0=\sum_{k=1}^m\beta'_k\xi_{i_k}$, $\beta'_k\in \mathbb{R}_+$, $\sum_{k=1}^m\beta'_k=1$. Наконец, положив
$$
\begin{equation*}
\beta_k=\beta'_k\gamma,\qquad \gamma:=\min\{\alpha_{i_k}\colon k=1,\dots,m\},
\end{equation*}
\notag
$$
завершим доказательство. Предложение 4.1 доказано. В следующей лемме мы показываем, что область определения ограниченной измеримой функции $f$ можно разбить так, что на каждом подмножестве разбиения $P$ функция $f|_P$ будет аффинно однородной. Лемма 4.2. Пусть $f\in L_\infty(D;\mathbb{R}^d)$. Тогда существует не более, чем счетное разбиение $\{P_i\}_{i\in I}$ множества $D$ на измеримые подмножества ненулевой меры, сужения $f|_{P_i}$ на которых аффинно однородны. Доказательство. Рассмотрим множество $\mathcal{A}$ всех наборов $\{D_i\}_{i\in I}$ попарно непересекающихся измеримых подмножеств $D$ положительной меры, на которых сужения $f|_{D_i}$ аффинно однородны. Это множество упорядочено по включению. Из леммы Цорна следует, что в этом множестве существует максимальный элемент $\{P_i\}_{i\in I} \in \mathcal{A}$. Покажем, что этот набор – требуемое разбиение. Пусть $X=D\setminus \bigcup_{i\in I} P_i$. Предположим, что $\lambda(X)>0$. Поскольку множество $\{0,1,\dots,d\}$ конечно, то найдется наименьшее $k$, для которого существует аффинное подпространство $W\subseteq \operatorname{Aff}(\sigma(f|_X))$, $\dim(W)=k$ и $\lambda(f^{-1}(W)\cap X)>0$. Положив $P_0=f^{-1}(W)\cap X$, получим, что сужение $f|_{P_0}$ аффинно однородно. Однако это противоречит максимальности $\{P_i\}_{i\in I}$. Тогда $\lambda(X)=0$. Поэтому $\{P_i\}_{i\in I}$ – разбиение $D$. Лемма доказана. Теорема 4.3. Пусть $f\in L_\infty([0,1];\mathbb{R}^d)$, $\int f \, d\lambda=0$. Тогда существует такое не более, чем счетное разбиение отрезка $[0,1]$ на измеримые подмножества $X_1,X_2,\dots$, что (i) $\int_{X_n}f \, d\lambda=0$, $n=1,2,\dots$; (ii) для любых $n=1,2,\dots$, функция $f|_{X_n}$ – аффинно частично однородная. Доказательство. Пусть $\{X_i\}_{i\in I}$ – максимальное семейство попарно непересекающихся подмножеств $[0,1]$ положительной меры, удовлетворяющих условиям (i) и (ii). Существование такого семейства следует из леммы Цорна. Пусть $D=[0,1]\setminus \bigcup_{i\in I}X_i$. Покажем, что $\lambda(D)=0$. Предположим, что $\lambda(D)> 0$. Пусть $\{D_i\}_{i\in I}$ – разбиение $D$, описанное в лемме 4.2. Тогда
$$
\begin{equation*}
0=\sum_{i\in I}\lambda(D_i)\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{D_i}}f\, d\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Из предложения 4.1 следует, что для некоторого $1\leqslant m\leqslant d+1$ существуют такие $i_1,\dots,i_m \in I$ и $0<\lambda_j\leqslant \lambda(D_{i_j})$, что
$$
\begin{equation*}
0=\sum_{j=1}^m\lambda_j\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{D_{i_j}}}f\, d\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\lambda_j'=\lambda_j/\lambda(D_{i_j})$, тогда $0=\sum_{j=1}^m\lambda_j'\int_{D_{i_j}}f\, d\lambda$. Определим неатомические меры $\{\mu_i\}_{i=1}^d$, полагая $\mu_i(E)=\int_{E}f_i\, d\lambda$ для каждого измеримого множества $E\subset [0,1]$. Применив теорему 2.3, найдем измеримые множества $D_{i_j}'\subset D_{i_j}$ ненулевой меры, удовлетворяющие равенствам $\int_{D_{i_j}'}f\, d\lambda=\lambda_j'\int_{D_{i_j}}f\, d\lambda$. Положим $X=\bigcup_{j=1}^m D_{i_j}'$, тогда $\int_{X}f\, d\lambda=0$. Кроме того, из свойств $D_{i_j}$ и из того, что $m\leqslant d+1$, следует аффинная частичная однородность $f|_{X}$. Мы получили семейство $\{X_i\}_{i\in I}\cup \{X\}$, удовлетворяющее условиям (i) и (ii), что противоречит максимальности $\{X_i\}_{i\in I}$. Поэтому $\lambda(D)=0$, и, следовательно, $\{X_i\}_{i\in I}$ – разбиение $[0,1]$. Теорема доказана. § 5. Леммы о сужении области определения5.1. Получение положительных константДля доказательства леммы 5.2 нам понадобится следующая лемма. Мы докажем эту лемму для интегрируемых функций с нулевым средним. В этой лемме $\|\,{\cdot}\,\|$ – евклидова норма на $\mathbb{R}^k$, $(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,)$ – скалярное произведение. Норма $\|\,{\cdot}\,\|_1$ на $L_1(D;\mathbb{R}^k)$ определена с помощью евклидовой нормы $\|\,{\cdot}\,\|$ на $\mathbb{R}^k$. Для $v\in \mathbb{R}^d$ и $f\in L_1(D;\mathbb{R}^d)$ мы обозначаем через $(v,f)$ функцию $t\mapsto (v,f(t))$, т. е. композицию $f$ и скалярного произведения. Для функции $t\mapsto \|f(t)\|$ мы будем использовать обозначение $|f|$. Лемма 5.1. Пусть $D\subseteq [0,1]$ – множество положительной меры, и пусть функция $f\in L_1(D;\mathbb{R}^d)$ такая, что $\int_{D}f\, d\lambda=0$. Тогда найдутся такие числа $\alpha$, $\beta_{\mathrm{min}}$, $\beta_{\mathrm{max}}$, $\tau>0$, что для любого ненулевого $v\in \operatorname{Span}(\sigma(f))$ выполняется неравенство $\lambda(\{(v,f)/(\|v\|\, |f|)>\alpha\}\cap \{\beta_{\mathrm{min}} <|f|<\beta_{\mathrm{max}}\})>\tau$. Доказательство. Мы будем доказывать утверждение индукцией по размерности $d$. Утверждение тривиально для $d=0$, поскольку в этом случае не существует ненулевых векторов. Предположим, что утверждение доказано для $0\leqslant j\leqslant d-1$. Пусть $f\in L_1([0,1];\mathbb{R}^d)$ – функция с нулевым средним. Предположим сначала, что $\operatorname{Span}(\sigma(f)) \ne \mathbb{R}^d$. Путем подбора ортонормированного базиса в $\operatorname{Span}(\sigma(f))$ мы можем рассматривать $f$ как функцию с нулевым средним в $L_1(D;\mathbb{R}^k)$, где По предположению индукции существуют такие $\alpha,\beta_{\mathrm{min}},\beta_{\mathrm{max}},\tau>0$, что для любых ненулевых $v\in \operatorname{Span}(\sigma(f))$ выполняются условия леммы. Поэтому утверждение леммы будет также верно с теми же константами, если рассматривать $f$ как функцию из $L_1([0,1];\mathbb{R}^d)$.
Будем считать, что $\operatorname{Span}(\sigma(f))=\mathbb{R}^d$. Теперь, в соответствии с этим предположением, $(v,f) \ne 0$ для любого ненулевого $v\in \mathbb{R}^d$. Приступим к нахождению чисел $\alpha$, $\beta_{\mathrm{min}}$, $\beta_{\mathrm{max}}$, $\tau$. Положим $D_0 := D\setminus \{f=0\}$. Тогда $\lambda(D_0)>0$ и $\int_{D_0}f\, d\lambda=0$. Для ненулевого $v\in \mathbb{R}^d$ имеем Через $\mathbb{S}^{d-1}$ обозначим $(d-1)$-мерную единичную сферу. Для $v\in \mathbb{S}^{d-1}$ определим ограниченную функцию $h_v\colon D_0\to \mathbb{R}$, положив $h_v=(v,f)/|f|$. Из неравенства Коши–Шварца следует, что
$$
\begin{equation*}
|h_v^+-h_w^+|= \frac{1}{|f|}| (v,f)^+-(w,f)^+| \leqslant \frac{1}{|f|} |(v-w,f)|\leqslant \|v-w\|
\end{equation*}
\notag
$$
для $v,w\in \mathbb{S}^{d-1}$. Следовательно, отображение $v\mapsto \|h_v^+\|_{L_\infty(D_0)}$ непрерывно. Положим
$$
\begin{equation*}
\alpha=\frac{1}{2}\min_{v\in \mathbb{S}^{d-1}}\|h_v^+\|_{L_\infty(D_0)},
\end{equation*}
\notag
$$
что возможно благодаря компактности $\mathbb{S}^{d-1}$. Тогда неравенство верно для любых $v\in \mathbb{S}^{d-1}$. Действительно, предположим, что это не так. Тогда $(v, f|_{D_0}) \leqslant 0$ почти всюду. Поскольку $\int_{D_0}f\, d\lambda=0$, то
$$
\begin{equation*}
\int_{D_0}(v,f) \, d\lambda=\biggl(v,\int_{D_0}f\, d\lambda\biggr) =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что $(v,f|_{D_0})=0$ почти всюду, что противоречит неравенству $(v,f|_{D_0})\ne 0$. Таким образом, $\|h_v^+\|_{L_\infty(D_0)}>0$. Отсюда следует, что $\alpha>0$.
Далее, для $v\in \mathbb{S}^{d-1}$ положим
$$
\begin{equation*}
\tau_{v}=\lambda(\{h_{v}>\alpha\}), \qquad \tau=\frac{1}{2}\inf_{v\in \mathbb{S}^{d-1}} \tau_{v}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\tau_v>0$ для всех $v\in \mathbb{S}^{d-1}$, поскольку $\|h_{v}^+\|_{L_\infty(D_0)}>\alpha$. Покажем, что и $\tau>0$.
Пусть $(v_n)$ – такая последовательность в $\mathbb{S}^{d-1}$, что $\tau_{v_n}\to 0$. Из компактности $\mathbb{S}^{d-1}$ следует, что, перейдя, если нужно, к подпоследовательности, можно считать, что $v_n$ сходится к некоторому вектору $v\in \mathbb{S}^{d-1}$. Возьмем произвольное $\varepsilon>0$. Поскольку последовательность множеств $\{h_v>\alpha+1/j\}$ возрастает к $\{h_v>\alpha\}$ при $j\to \infty$, а $D_0$ имеет конечную меру, можно найти такое достаточно малое $\delta>0$, что
$$
\begin{equation*}
\lambda(\{h_v>\alpha\}\setminus\{h_v>\alpha+\delta\}) < \varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, поскольку $h_{v_n}\to h_v$ в $L_\infty(D_0)$ благодаря неравенству Коши–Шварца, существует такое $N$, что для всех $n\geqslant N$.
Для $n\geqslant N$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tau_v-\tau_{v_n} &\leqslant \lambda\bigl(\{h_v>\alpha\} \setminus(\{h_{v_n}>\alpha\})\bigr) \leqslant\lambda(\{h_v>\alpha\}\setminus\{h_v>\alpha+\delta\}) \\ &\qquad + \lambda(\{h_v>\alpha+\delta\}\setminus\{h_{v_n}>\alpha\}) <\varepsilon + 0 =\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из $\tau_{v_n}\to 0$ следует, что $\tau_v\leqslant \varepsilon$. В силу произвольности выбора $\varepsilon$ имеем $\tau_v=0$, что противоречит нашему предположению. Следовательно, такой последовательности $(v_n)$ не существует. Поэтому $\tau>0$.
Выберем малое $\beta_{\mathrm{min}}>0$ и большое $\beta_{\mathrm{max}}>0$ так, чтобы
$$
\begin{equation*}
\lambda(D_0\setminus \{\beta_{\mathrm{min}}<|f|<\beta_{\mathrm{max}}\})<\frac{1}{2}\, \tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Это возможно, потому что $\lambda(D_0\cap \{f=0\})=0$ и $D_0$ имеет конечную меру.
Теперь для $v \in \mathbb{R}^d=\operatorname{Span}(\sigma(f))$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lambda\biggl(\biggl\{\frac{(v,f)}{\|v\| \,|f|} >\alpha\biggr\} \cap \{\beta_{\mathrm{min}}<|f|<\beta_{\mathrm{max}}\}\biggr) \\ &\qquad=\lambda(\{h_{v/\|v\|}>\alpha\} \cap \{\beta_{\mathrm{min}}<|f|<\beta_{\mathrm{max}}\}) \\ &\qquad\geqslant \lambda(\{h_{v/\|v\|}> \alpha\})-\lambda(D_0\setminus \{\beta_{\mathrm{min}}<|f|<\beta_{\mathrm{max}}\}) \\ &\qquad\geqslant \tau_{v/\|v\|}-\frac{1}{2}\, \tau\geqslant 2\tau-\frac{1}{2}\,\tau > \tau, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что доказывает утверждение. Лемма 5.1 доказана. 5.2. Подбор подмножеств, на которых интеграл равен нулюМы будем рассматривать множество $D\subseteq [0,1]$ положительной меры и функцию $f\in L_1(D;V)$ с нулевым средним. Следующая лемма позволяет нам получить немного меньшее, компактное подмножество $E\subseteq D$, на котором сужение $f|_{E}$ непрерывно и имеет нулевое среднее. Это утверждение будет необходимо для доказательства леммы 5.4. Лемма 5.2. Пусть $V$ – конечномерное вещественное нормированное пространство. Пусть множество $D\subseteq [0,1]$ имеет положительную меру и $f\in L_1(D;V)$ – функция с нулевым средним. Тогда для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta>0$, что для любого измеримого подмножества $D'\subseteq D$ такого, что $\lambda(D\setminus D')<\delta$, и любого вектора $u\in \operatorname{Span}(\sigma(f))$ такого, что $\|u\|\leqslant \delta$, существует такое компактное подмножество $E\subseteq D'\cap (\inf D,\sup D)$, для которого $\lambda(D\setminus E)<\varepsilon$, $\int_{E}(f+u)\, d\lambda=0$ и сужение $f|_{E}$ непрерывно. Доказательство. Поскольку любые нормы на конечномерном линейном пространстве эквивалентны, то, не ограничивая общности, будем считать, что $V$ есть линейное пространство $\mathbb{R}^d$ с евклидовой нормой.
Пусть $D$, $f$ и $\varepsilon$ заданы. Применяя лемму 5.1 к $D$ и $f$, найдем положительные константы $\alpha$, $\beta_{\mathrm{min}}$, $\beta_{\mathrm{max}}$ и $\tau$, удовлетворяющие условиям этой леммы. В частности, $\beta_{\mathrm{min}}\in (0,\beta_{\mathrm{max}})$ и $\alpha\in (0,1)$. Следовательно, можно определить $\gamma:= \sqrt{1-\alpha^2 \beta_{\mathrm{min}}/(4\beta_{\mathrm{max}})}\in (0,1)$ и $\rho := \alpha/(2\beta_{\mathrm{max}}(1-\gamma))>0$. Определим непрерывную неубывающую функцию $I_{\sup}\colon [0,\lambda(D)]\to [0,\|f\|_1]$, положив
$$
\begin{equation*}
I_{\sup}(s)=\sup_{U\subseteq D,\, \lambda(U)=s}\int_{U}|f|\, d\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, положим
$$
\begin{equation}
\delta' := \frac{1}{2}\min \biggl\{\frac{\tau}{4(1 + \rho)},\, \frac{\tau\beta_{\mathrm{max}}}{2},\, \frac{\tau}{2\rho}, \, \frac{\varepsilon}{2(1+\rho)},\, \beta_{\mathrm{max}},\, \frac{\alpha \beta_{\mathrm{min}}}{8}\biggr\}>0,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
$$
\begin{equation}
\delta :=\frac{1}{2}\min\{\delta',\,I_{\sup}^{-1}(\delta')\}>0.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Возьмем такие $D'\subseteq D$ и $u\in \operatorname{Span}(\sigma(f))$, что $\lambda(D\setminus D')<\delta$ и $\|u\|\leqslant \delta$. Для $i=1,\dots, d$, используя стандартный базис, обозначим через $f_i$ координатные функции $f$. Из теоремы 2.1 следует, что существуют такие компактные подмножества $K_i\subseteq D'\cap (\inf D,\sup D)$, что $\lambda(D'\setminus K_i)\,{<}\, \delta/d$ и сужения $f_i|_{K_i}$ непрерывны для всех $i\,{=}\,1,\dots, d$. Поэтому для $K \,{:=}\, \bigcap_{i=1}^d K_i$ сужение $f|_{K}$ непрерывно и ограничено, поскольку $K$ – компакт. Тогда
$$
\begin{equation*}
\lambda(D\setminus K)= \lambda(D\setminus D') + \lambda(D'\setminus K) \leqslant \delta + d\,\frac{\delta}{d}=2\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $E_0:=K$ и Поскольку $f$ имеет нулевое среднее на $D$, то
$$
\begin{equation*}
\|v_0\| \,{\leqslant}\, \biggl\|\int_{E_0}u\, d\lambda\biggr\| + \biggl\|\int_{D\setminus E_0}f\, d\lambda \biggr\| \,{\leqslant}\, \lambda(E_0)\|u\| + I_{\sup}(\lambda(D\setminus E_0)) \,{\leqslant}\, \delta + I_{\sup}(2\delta) \,{\leqslant}\, 2\delta'.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы индуктивно построим компактные множества $(E_j)_{j\geqslant 1}$ и попарно непересекающиеся множества $(A_j)_{j\geqslant 1}$ в $D$, а также определим вектора $v_j := \int_{E_j}(f+u)\, d\lambda$ для $j\geqslant 1$, удовлетворяющие условиям: 1) $E_j=E_{j-1}\setminus A_{j}$; 2) $A_j \subseteq E_{j-1} \cap \{\beta_{\mathrm{min}}<|f|<\beta_{\mathrm{max}} \}\cap \{(v_{j-1},f)/(\|v_{j-1}\|\, |f|) > \alpha\}$; 3) $\lambda(A_j)= \alpha \|v_{j-1}\|/(2\beta_{\mathrm{max}})$; 4) $\|v_j\| \leqslant \gamma^j\|v_0\|$; 5) $\lambda(E_0\setminus E_j) \leqslant \rho \|v_0\|$. Предположим, что $E_l$ и $v_l$ уже построены для $l< j$ и $A_{l}$ – для $0<l< j$. Построим $E_j$, $A_j$ и $v_j$. Предположим сначала, что $v_{j-1}=0$. Определим $A_j :=\varnothing$ и $E_j := E_{j-1}$ так, чтобы $v_j =v_{j-1}=0$ и $\lambda(E_0\setminus E_j)=\lambda(E_0\setminus E_{j-1})\leqslant \rho {\|v_0\|}$. Тогда построенные множества удовлетворяют условиям. Таким образом, мы можем считать, что $v_{j-1}\ne 0$. Тогда, поскольку вектор $v_{j-1}\in \operatorname{Span}(\sigma(f))$ не равен нулю, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lambda\biggl(E_{j-1}\cap \{\beta_{\mathrm{min}}<|f|<\beta_{\mathrm{max}}\}\cap \biggl\{\frac{(v_{j-1},f)}{\|v_{j-1}\|\, |f|}>\alpha\biggr\}\biggr) \\ &\qquad>\lambda\biggl(\{\beta_{\mathrm{min}}<|f|<\beta_{\mathrm{max}}\}\cap \biggl\{\frac{(v_{j-1},f)}{\|v_{j-1}\|\, |f|}>\alpha\biggr\}\biggr)-\lambda(D\setminus E_{j-1}) \\ &\qquad\geqslant \tau-\lambda(D\setminus E_0)-\lambda(E_0\setminus E_{j-1}) \geqslant \tau-2\delta-\rho\|v_0\| \geqslant \tau-(2+2\rho)\delta'\geqslant \frac{1}{2}\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $r\in [0,1]$ положим
$$
\begin{equation*}
B_r=(0,r)\cap E_{j-1} \cap \{\beta_{\mathrm{min}}<|f|<\beta_{\mathrm{max}}\}\cap \biggl\{\frac{ (v_{j-1},f)}{\|v_{j-1}\|\, |f|}> \alpha\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку сужение $f|_{K}$ непрерывно, то $E_{j-1} \cap \{\beta_{\mathrm{min}}<|f|<\beta_{\mathrm{max}} \}$ открыто в $E_{j-1}$. Кроме того, на этом множестве $f$ не имеет нулей. В частности, функция $(v_{j-1},f)/(\|v_{j-1}\|\, |f|)$ непрерывна на этом множестве. Таким образом, множество
$$
\begin{equation*}
E_{j-1} \cap \{\beta_{\mathrm{min}}<|f|<\beta_{\mathrm{max}} \}\cap \biggl\{\frac{(v_{j-1},f)}{\|v_{j-1}\|\, |f|}> \alpha\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
открыто в $E_{j-1} \cap \{\beta_{\mathrm{min}}<|f|<\beta_{\mathrm{max}} \}$, и поэтому оно также открыто и в $E_{j-1}$. Тогда множества $B_r$ открыты в $E_{j-1}$ для всех $r\in [0,1]$.
Из предположения индукции, того, что $\alpha,\gamma\in (0,1)$, оценки $\|v_0\|$ и определения $\delta'$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\alpha\|v_{j-1}\|}{2\beta_{\mathrm{max}}}\leqslant \frac{\alpha\gamma^{j-1}\|v_{0}\|}{2\beta_{\mathrm{max}}}\leqslant \frac{\|v_0\|}{2\beta_{\mathrm{max}}}\leqslant \frac{2\delta'}{2\beta_{\mathrm{max}}} <\frac{1}{2}\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, поскольку $\lambda(B_0) =0$ и $\lambda(B_1)\geqslant \tau/2$, мы можем найти такое $r_0\in [0,1)$, что
$$
\begin{equation*}
\lambda(B_{r_0})=\frac{\alpha\|v_{j-1}\|}{2\beta_{\mathrm{max}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $A_j := B_{r_0}$ и $E_{j} := E_{j-1}\setminus A_{j}$, тогда $E_j$ – компакт, и условия 1)–3) выполнены.
Определим $v_j := \int_{E_j}(f+u)\, d\lambda=v_{j-1}-\int_{A_{j}}(f+u)\, d\lambda$. Положим $w := \int_{A_{j}}(f+u)\, d\lambda$. Тогда
$$
\begin{equation}
\|w\| \leqslant \int_{A_{j}}(|f|+\delta) \, d\lambda \leqslant \lambda(A_{j})(\beta_{\mathrm{max}} + \delta) \leqslant 2\beta_{\mathrm{max}}\lambda(A_j)= \alpha\|v_{j-1}\|.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Кроме того, из определения $A_j$ (условие 2)) следует, что
$$
\begin{equation}
\int_{A_j}(v_{j-1},f)\, d\lambda > \alpha\|v_{j-1}\|\int_{A_j} |f|\, d\lambda,
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
$$
\begin{equation}
\int_{A_j}|f|\, d\lambda >\beta_{\mathrm{min}}\lambda(A_j).
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|v_j\|^2 &= \|v_{j-1}-w\|^2=\|v_{j-1}\|^2 + \|w\|^2 -2 (v_{j-1},w) \\ &=\|v_{j-1}\|^2 + \|w\|^2-2\int_{A_{j}} (v_{j-1},f) \, d\lambda -2\int_{A_{j}} (v_{j-1},u) \, d\lambda \\ &\!\!\stackrel{(5.4)}{\leqslant} \|v_{j-1}\|^2 + \|w\|^2-2\alpha \|v_{j-1}\| \int_{A_{j}}|f|\, d\lambda+2\delta\|v_{j-1}\|\lambda(A_j) \\ &= \|v_{j-1}\|^2 + \|w\|^2-2\alpha \|v_{j-1}\|\int_{A_{j}} (|f|+\delta) \, d\lambda +4\delta\|v_{j-1}\|\lambda(A_j)\\ &\leqslant \|v_{j-1}\|^2 + (\|w\|-2\alpha \|v_{j-1}\|)\int_{A_{j}}(|f|+\delta) \, d\lambda +4\delta\|v_{j-1}\|\lambda(A_j) \\ &\!\!\stackrel{(5.3)}{\leqslant}\|v_{j-1}\|^2- \alpha\|v_{j-1}\|\int_{A_{j}}(|f|+\delta) \, d\lambda +4\delta\|v_{j-1}\|\lambda(A_j) \\ &\leqslant \|v_{j-1}\|^2-\alpha\|v_{j-1}\|\int_{A_{j}}|f|\, d\lambda +4\delta\|v_{j-1}\|\lambda(A_j) \\ &\!\!\stackrel{(5.5)}{\leqslant} \|v_{j-1}\|^2- \alpha\|v_{j-1}\|\, \beta_{\mathrm{min}}\lambda(A_{j})+4\delta\|v_{j-1}\|\lambda(A_j) \\ &= \|v_{j-1}\|^2 \biggl(1-(\alpha \beta_{\mathrm{min}}-4\delta) \frac{\lambda(A_{j})}{\|v_{j-1}\|}\biggr) \stackrel{(5.1), (5.2)}{\leqslant} \|v_{j-1}\|^2 \biggl(1-\frac{\alpha \beta_{\mathrm{min}}}{2}\, \frac{\lambda(A_{j})}{\|v_{j-1}\|}\biggr) \\ &= \|v_{j-1}\|^2 \biggl(1-\frac{\alpha \beta_{\mathrm{min}}}{2}\, \frac{\alpha}{2\beta_{\mathrm{max}}}\biggr) = \gamma^2\|v_{j-1}\|^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, мы получаем, что $\|v_j\|\leqslant \gamma \|v_{j-1}\| \leqslant \gamma^{j}\|v_0\|$, поэтому выполнено условие 4).
Наконец,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda(E_0\setminus E_j) &= \sum_{n=1}^{j} \lambda(A_n)=\frac{\alpha}{2\beta_{\mathrm{max}}}\sum_{n=1}^j \|v_{n-1}\| \leqslant \frac{\alpha}{2\beta_{\mathrm{max}}}\sum_{n=1}^j \gamma^{n-1}\|v_0\| \\ &\leqslant \frac{\alpha \|v_0\|}{2\beta_{\mathrm{max}}}\sum_{n=0}^\infty \gamma^n =\frac{\alpha\|v_0\|}{2\beta_{\mathrm{max}}(1-\gamma)}=\rho \|v_0\| \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и наше индуктивное построение закончено. Положив $E=\bigcap_{j=0}^\infty E_j$, мы получаем такое компактное подмножество в $D'\cap (\inf D,\sup D)$, что $\int_{E}(f+u) \, d\lambda=\lim_{j\to \infty} v_j=0$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\lambda(D\setminus E)=\lambda(D\setminus E_0) + \sup_{j\geqslant 1} \lambda(E_0\setminus E_j)\leqslant 2\delta + \rho \|v_0\|\leqslant (2+2\rho)\delta'<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, включение $E\subseteq K$ влечет непрерывность сужения $f|_{E}$. Лемма 5.2 доказана. 5.3. Произвольное сужение и рациональное разбиение области определенияВ следующей лемме для множества $K$ и функции $f\in L_\infty(K;V)$ с нулевым средним строится такое подмножество $E\subseteq K$ заранее заданной меры, что $\int_{E}f\, d\lambda= 0$. Лемма 5.3 (произвольное сужение области определения). Пусть $K\,{\subseteq}\,[0,1]$ – компакт положительной меры, и пусть $f\in L_\infty(K;V)$ – функция с нулевым средним. Тогда для любого $r\in (0,\lambda(K))$ существует такое компактное подмножество $E\subseteq K\cap (\inf K,\sup K)$, что $\lambda(K\setminus E)=r$ и $\int_{E}f\, d\lambda =0$. Доказательство. Рассмотрим семейство $\mathcal{A}$ всех таких компактных подмножеств $E$ в $K\cap (\inf K,\sup K)$, что $\int_{E}f\, d\lambda=0$ и $\lambda(K\setminus E)\leqslant r$. Из леммы 5.2 следует, что $\mathcal{A}$ не пусто. Рассмотрим на $\mathcal{A}$ порядок, обратный порядку по включению. Элементы $\mathcal{A}$, симметрическая разность которых имеет нулевую меру, будем отождествлять. Для цепи $\{E_i\}_{i\in I}$ в $\mathcal{A}$ (заметим, что множество индексов $I$ не более чем счетно) множество $E' := \bigcap_{i\in I} E_i$ – компактное подмножество в $K\cap (\inf K,\sup K)$, $\lambda(K\setminus E')=\sup_{i\in I} \lambda(K\setminus E_i)\leqslant r$ и $\int_{E'}f\, d\lambda=0$. Поэтому $E'\in \mathcal{A}$ – верхняя граница этой цепи. Из леммы Цорна следует, что существует максимальный элемент $E$ в $\mathcal{A}$. Предположим, что $\lambda(K\setminus E)<r$. Тогда, положив $\varepsilon=r-\lambda(K\setminus E)>0$ и используя лемму 5.2, найдем такое компактное множество $\widetilde{E}\subseteq E$, что $\lambda(E\setminus \widetilde{E})<\varepsilon$ и $\int_{\widetilde{E}}f\, d\lambda=0$. Таким образом, $\lambda(K\setminus \widetilde{E})<\lambda(K\setminus E) + \varepsilon=r$. Однако это противоречит максимальности $E$. Поэтому $\lambda(K\setminus E) =r$. Лемма доказана. В следующей лемме строится система попарно непересекающихся компактных подмножеств, удовлетворяющих условиям леммы 5.3, отношения мер которых двоично рациональны. Лемма 5.4 (рациональное разбиение). Пусть $V$ – конечномерное вещественное нормированное пространство; $N\in\mathbb{N}$ и $K=K_1\cup \dots \cup K_N\subseteq [0,1]$ – множество положительной меры, где $K_i\subseteq [0,1]$ такие, что $\lambda(K_i\cap K_j)=0$ при $i\ne j$. Пусть $f\in L_\infty(K;V)$ – такая функция с нулевым средним, для которой при $i\geqslant 2$ существуют такие подмножества $B_i\subseteq K_i$ положительной меры, что $\lambda(f|_{B_i}^{-1}(W))=0$ для любого собственного аффинного подпространства $W\subsetneq \operatorname{Aff}(\sigma(f))$. Тогда для любого $R\in(0,\lambda(K))$ найдется такое множество $E=E_1\cup \dots \cup E_N$, для которого множества $E_i\subseteq K_i \cap (\inf K_i,\sup K_i)$ компактны, $\lambda(E)=R$, $\int_{E}f\, d\lambda =0$ и $\lambda(E_i)/\lambda(E)\in \mathbb{Q}_2$ для всех $1\leqslant i\leqslant N$. Здесь $\mathbb{Q}_2$ – множество всех двоично рациональных чисел. Доказательство. Проведем доказательство индукцией по $N$. Для $N=1$, имея $K=K_1$, просто используем лемму 5.3. Действительно, в этом случае $\lambda(E_1)/\lambda(E)=1\in \mathbb{Q}_2$, и это доказывает утверждение для $N=1$. Пусть $N\geqslant 2$ и предположим, что утверждение доказано для $N-1$. Докажем его для $N$. Пусть $K=K_1\cup \dots \cup K_N$ заданы. Пусть $f\in L_\infty(K;V)$ – функция с нулевым средним и множества $B_i\subseteq K_i$ – такие, как в условии. Кроме того, пусть $r>0$ такое, что $r<\lambda(K)-R$ и $r<\min\{\lambda(K_i)\colon 1\leqslant i\leqslant N\}\setminus\{0\}$. Мы можем считать, что $\lambda(K_i)>0$ для любого $i=1,\dots,N$, поскольку иначе можно положить $E_i=\varnothing$ и применить предположение индукции к $K\setminus K_i$. Для удобства положим $\widetilde{K}:=K_1\cup \dots \cup K_{N-1}$.Определим $v := \mathop{\,\rlap{-}\!\int_{K_N}} f\, d\lambda$ и положим тогда функции $h_1\in L_\infty(\widetilde{K};V)$ и $h_2\in L_\infty(K_N;V)$ имеют нулевые средние. Заметим, что $\operatorname{Aff}(A+x)=\operatorname{Aff}(A)+x$ для любых $A\subset V$, $x\in V$. Поэтому Таким образом, $W:=\operatorname{Aff}(\sigma(h_2))+\mathop{\,\rlap{-}\!\int_{K_N}}f\, d\lambda=\operatorname{Aff}(\sigma(f|_{K_N}))\subset \operatorname{Aff}(\sigma(f))$, и, в частности, $W$ – аффинное подпространство в $\operatorname{Aff}(\sigma(f))$.
Поскольку $f|_{B_N}=h_2|_{B_N} + \mathop{\,\rlap{-}\!\int_{K_N}}f\, d\lambda$, то $\lambda(f|_{B_N}^{-1}(W)) =\lambda(B_N)> 0$. Следовательно, исходя из предположения о $B_N$, мы получаем равенство $W=\operatorname{Aff}(\sigma(f))$ (так как $W$ не может быть собственным подпространством). Поскольку $f$, $h_2$ имеют нулевые средние, то $\operatorname{Span}(\sigma(f))=\operatorname{Aff}(\sigma(f))$ и $\operatorname{Span}(\sigma(h_2))=\operatorname{Aff}(\sigma(h_2))$. Следовательно, $\operatorname{Span}(\sigma(h_2))=\operatorname{Span}(\sigma(f))$. Теперь на основании леммы 5.2 мы можем найти такое $\delta>0$, что для $u\in \operatorname{Span}(\sigma(h_2))$, $\|u\|\leqslant \delta$, существует такой компакт $\widetilde{E_N}\subseteq K_N$, что $\lambda(K_N\setminus \widetilde{E_N})< (1/4)\lambda(K_N) r$ и $\int_{E_2}(h_2+u)\, d\lambda=0$. Выберем $0<\delta'< \min\{1,\, r/4,\, \delta/(\|v\|+1)\}$ так, чтобы $((\lambda(\widetilde{K})/\lambda(K_N)) (1- \delta')+ 1)^{-1}\in\mathbb{Q}_2$. Положим $u=\delta'v$, тогда $u\in \operatorname{Span}(\sigma(f))= \operatorname{Span}(\sigma(h_2))$ и $\|u\|\leqslant \delta$. Благодаря такому выбору $\delta$, найдется такое компактное множество $\widetilde{E_N}\subseteq K_N$, что $\lambda(K_N\setminus \widetilde{E_N}) < (1/4)\lambda(K_N)r$ и $\int_{\widetilde{E_N}}(h_2 + u)\, d\lambda=0$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{r} &:= \lambda(\widetilde{K})- \frac{\lambda(\widetilde{K})}{\lambda(K_N)}\lambda(\widetilde{E_N})(1\,{-}\,\delta') \,{=}\, \lambda(\widetilde{K})\,{-}\,\frac{\lambda(\widetilde{K})}{\lambda(K_N)}\bigl(\lambda(K_N) \,{-}\,\lambda(K_N\setminus \widetilde{E_N})\bigr)(1\,{-}\,\delta') \\ &\, =\delta'\lambda(\widetilde{K}) + \frac{\lambda(\widetilde{K})}{\lambda(K_N)}\lambda(K_N\setminus \widetilde{E_N})(1- \delta'). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $0< \widetilde{r}\leqslant \delta' + (1/\lambda(K_N))\lambda(K_N\setminus \widetilde{E_N}) < r/4+r/4 =r/2$. Таким образом, в частности, $\widetilde{r}<\lambda(K_i)$ для $i=1,\dots,N-1$. Применив предположение индукции, получим набор $\widetilde{E}=\widetilde{E_1} \cup \dots \cup \widetilde{E_{N-1}}\subseteq \widetilde{K}$, где $\widetilde{E_{i}}\subseteq K_i$ такие компакты, что $\lambda(\widetilde{K}\setminus\widetilde{E})=\widetilde{r}$, $\int_{\widetilde{E}}h_1\, d\lambda=0$ и $\lambda(\widetilde{E_i})/\lambda(\widetilde{E})\in \mathbb{Q}_2$ для $i=1,\dots,N-1$.
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\widetilde{E}\cup \widetilde{E_N}}f \, d\lambda = \int_{\widetilde{E}}h_1- \frac{\lambda(K_N)}{\lambda(\widetilde{K})}v\, d\lambda + \int_{\widetilde{E_N}}(h_2 + v)\, d\lambda \\ &=-\frac{\lambda(K_N)}{\lambda(\widetilde{K})}\lambda(\widetilde{E})v + \lambda(\widetilde{E_N})v +\int_{\widetilde{E}}h_1 \, d\lambda + \int_{\widetilde{E_N}}h_2\, d\lambda \\ &= -\frac{\lambda(K_N)}{\lambda(\widetilde{K})} \lambda(\widetilde{E})v + \lambda(\widetilde{E_N})v -\lambda(\widetilde{E_N})u =\biggl(-\frac{\lambda(K_N)}{\lambda(\widetilde{K})}\lambda(\widetilde{E}) + \lambda(\widetilde{E_N}) -\lambda(\widetilde{E_N})\delta'\biggr)v \\ &=\biggl(-\frac{\lambda(K_N)}{\lambda(\widetilde{K})}(\lambda(\widetilde{K})-\widetilde{r}) + \lambda(\widetilde{E_N})(1-\delta')\biggr)v=0, \\ &\frac{\lambda(\widetilde{E_N})}{\lambda(\widetilde{E}\cup \widetilde{E_N})} =\frac{\lambda(\widetilde{E_N})}{\lambda(\widetilde{K})-\widetilde{r} + \lambda(\widetilde{E_N})} =\frac{\lambda(\widetilde{E_N})}{(\lambda(\widetilde{K})/\lambda(K_N))\lambda(\widetilde{E_N}) (1-\delta') + \lambda(\widetilde{E_N})} \\ &=\frac{1}{(\lambda(\widetilde{K})/\lambda(K_N))(1-\delta') + 1}\in \mathbb{Q}_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь для $i=1,\dots,N-1$ получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\lambda(\widetilde{E_i})}{\lambda(\widetilde{E}\cup \widetilde{E_N})}= \frac{\lambda(\widetilde{E_i})}{\lambda(\widetilde{E})}\, \frac{\lambda(\widetilde{E})}{\lambda(\widetilde{E}\cup \widetilde{E_N})}\in \mathbb{Q}_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, $\lambda(K\setminus (\widetilde{E}\cup \widetilde{E_N}))=\lambda(\widetilde{K}\setminus \widetilde{E}) + \lambda(K_N\setminus \widetilde{E_N}) \leqslant \widetilde{r} + r/4<r$.
Положим $E'=\widetilde{E}\cup \widetilde{E_N}=\bigcup_{i=1}^N\widetilde{E_i}$, тогда $\lambda(E')>R$. Действительно, число $r$ выбрано так, что $0<r<\lambda(K)-R$, поэтому $\lambda(K)-\lambda(E')= \lambda(K\setminus E') \leqslant r<\lambda(K)-R$. Остается уменьшить множества $\widetilde{E_i}$ для $i=1,\dots,N$ так, чтобы мера их объединения равнялась $R$. Займемся этим построением. Лемма 5.3 гарантирует, что в каждом множестве $\widetilde{E_i}$ существует такое компактное подмножество $E_i$, что
$$
\begin{equation*}
\lambda(E_i)=\frac{\lambda(\widetilde{E_i})R}{\lambda(E')},\qquad \mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{E_i}}f\, d\lambda=\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{\widetilde{E_i}}}f\, d\lambda
\end{equation*}
\notag
$$
и $\inf \widetilde{E_i},\sup \widetilde{E_i}\notin E_i$. Положив $E=\bigcup_{i=1}^N E_i$, мы получим, что сужения $f|_{E}$ имеют нулевые средние, $\lambda(E)=R$ и $\lambda(E_i)/\lambda(E)=\lambda(\widetilde{E_i})/\lambda(E')\in \mathbb{Q}_2$ для $i=1,\dots,N$. Это доказывает утверждение для $N$ и завершает индукцию. Лемма 5.4 доказана. § 6. Решение гомологического уравнения для множества КантораПусть $q\in \mathbb{N}$, $r\in\mathbb{R}$ и пусть множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal{C}(q,r)=\{1,\dots,q\}\times\{1,2\}^\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
снабжено тихоновской топологией и такой мерой произведения что $\mu_1(\{i\})=r/q$, $i=1,\dots,q$; $\mu_2(\{j\})=1/2$, $j=1,2$. Множество $\mathcal{C}(q,r)$ – канторового типа и $\mu(\mathcal{C}(q,r))=r$. Пусть $V$ – конечномерное вещественное векторное нормированное пространство. Обозначим через $C(\mathcal{C}(q,r);V)$ банахово пространство всех непрерывных $V$-значных функций на $\mathcal{C}(q,r)$. Обозначим через $p_0$ отображение из $\mathcal{C}(q,r)$ на $\{1,\dots,q\}$, заданное равенством $p_0(i;i_1,i_2,\dots)=i$, и положим $\mathcal{C}(q,r,i)=p_0^{-1}(i)$, $i=1,\dots,q$. Для удобства обозначим $C_V=(8\dim(V)^2/\log 1.5)(S_V+1)$. Для подмножества $X\subseteq V$ его диаметр обозначим через Теорема 6.1. Пусть $V$ – конечномерное вещественное нормированное линейное пространство. Пусть функция $0\neq f\in C(\mathcal{C}(q,r);V)$ имеет нулевое среднее. Положим Тогда найдутся такие $g\in C(\mathcal{C}(q,r);V)$, $\|g\|\leqslant (S_V+a(1+C_V))\|f\|$, и сохраняющее меру обратимое непрерывное преобразование $T$ множества $\mathcal{C}(q,r)$, что $f=g\circ T -g$. Кроме того, система множеств $\Gamma=\{\mathcal{C}(q,r,i),\, i=1,\dots,q\}$ может быть пронумерована так, что и $\|g|_{X_1}\|\leqslant (1+C_V)a\|f\|$. Доказательство. Для каждого $n\in\mathbb{N}$ обозначим через $p_n$ отображение $\mathcal{C}(q,r)$ на $\{1,\dots,q\}\times\{1,2\}^n$, задаваемое равенством
$$
\begin{equation*}
p_n(i;i_1,\dots,i_n,i_{n+1},\dots)=(i;i_1,\dots,i_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Для $n\geqslant 0$ обозначим через отображение, упорядочивающее $\{1,\dots,q\}\times\{1,2\}^n$ в лексикографическом порядке. Кроме того, для $i\in \{1,\dots,2^nq\}$ положим Множества $I_i^n$, $i\in \{1,\dots,2^nq\}$, $n\in\mathbb{N}$, открыто-замкнуты и образуют базу топологии в $\mathcal{C}(q,r)$. Ясно, что
Пусть $f_n=\sum_{i=1}^{2^nq}\chi_{I_i^n}\mathop{\,\rlap{-}\!\int_{I_i^n}} f\, d\mu$. Тогда $f_n\in C(\mathcal{C}(q,r);V)$, $\|f_n-f\| \to 0$ при $n\to \infty$. Отсюда следует, что существует такая последовательность $(n_k)_{k\geqslant 1}$ натуральных чисел, что для $n\geqslant n_k$.Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, h_0=f_0,\qquad h_1=f_{n_1}-f_0,\quad \|h_1\|\leqslant a\|f\|, \\ h_k=f_{n_k}-f_{n_{k-1}}\quad \Longrightarrow \quad \|h_k\|\leqslant 2^{-k}C_V^{-1}a\|f\|,\qquad k>1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
Обозначим через $a_i$ значение функции $h_0$ на $I_i^0$ для каждого $1\leqslant i\leqslant q$. Так как $\int fd\mu =0$, то $\sum_{i=1}^q a_i=0$, поэтому существует такая перестановка $\pi$ множества $\{1,\dots,q\}$, что $\bigl\|\sum_{i=1}^{m}a_{\pi(i)}\bigr\|\leqslant S_d \|h_0\|$ для $0\leqslant m\leqslant q$. Обозначим через $T_0$ сохраняющее меру непрерывное циклическое преобразование $\mathcal{C}(q,r)$, переводящее $I_{\pi(i)}^0$ в $I_{\pi(i+1)}^0$ для $1\leqslant i\leqslant q -1$ и $I_{\pi(q)}^0$ в $I_{\pi(1)}^0$. Обозначим через $g_0\colon \mathcal{C}(q,r)\to V$ непрерывную функцию, принимающую на $I_{\pi(l)}^0$ значение $\sum_{i=1}^{l-1}a_{\pi(i)}$ для $l=2,\dots,q$ и значение $0$ на $I_{\pi(1)}^0$. Тогда $\|g_0\|\leqslant S_d\|f_0\|\leqslant S_d\|f\|$ и
$$
\begin{equation*}
g_0(T_0(t))-g_0(t)=\sum_{i=1}^{l}a_{\pi(i)}-\sum_{i=1}^{l-1}a_{\pi(i)}=a_{\pi(l)}=f_0(t)
\end{equation*}
\notag
$$
для $l=2,\dots,q$ и $t\in I_{\pi(l)}^0$. Если $l=1$ и $t\in I_{\pi(1)}$, то
$$
\begin{equation*}
g_0(T_0(t))-g_0(t)=\sum _{i=1}^1 a_{\pi(i)} -0=a_{\pi(1)}=h_0(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя конструкцию из [8], для каждого $k\geqslant 0$ положим $J_k=\{I_i^{n_k}\colon 1\leqslant i\leqslant 2^{n_k}q\}$ и построим последовательности $\{T_k\}_{k=0}^\infty$ непрерывных сохраняющим меру преобразований $T_k$ множества $\mathcal{C}(q,r)$ и функций $\{g_k\}_{k=1}^\infty$, $g_k\in C(\mathcal{C}(q,r);V)$, удовлетворяющих следующим условиям: (i) $T_k$ – циклическое преобразование множества $J_k$; (ii) $T_{k+1}$ продолжает $T_k$ в том смысле, что если $I\in J_{k}$, $I'\in J_{k+1}$ и $I'\subseteq I$, то $T_{k+1}(I')\subseteq T_k(I)$; (iii) $\|g_k\|\leqslant C_V\|h_k\|$; (iv) $g_k$ постоянна на каждом $I\in J_k$; (v) $h_k=g_k\circ T_k-g_k$ на $\mathcal{C}(q,r)$. Предположим, что преобразования $T_0,\dots,T_k$ и функции $g_0,\dots,g_k$ построены. Для удобства положим $n=|J_k|$ и $m=|J_{k+1}|/|J_k|$. Пусть $I_1,\dots,I_{n}$ – множества из $J_k$, пронумерованные так, что $T_k(I_i)=I_{i+1}$ при $i<n$ и $T_k(I_n)=I_1$. Это можно сделать, так как $T_k$ – циклическое преобразование множества $J_k$. Кроме того, для $i=1,\dots,n$ обозначим через $I_{i,j}|$, $j=1,\dots,m$, все множества из $J_{k+1}$, содержащиеся в $I_i$. Обозначим через $a_{i,j}$ значение функции $h_{k+1}$ на $I_{i,j}$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\int_{I_i}h_{k+1}\, d\lambda=\sum_{j=1}^{m}\int_{I_{i,j}}(f_{n_{k+1}}-f_{n_k})\, d\lambda= 0\quad \forall\, I_i\in J_k,
\end{equation*}
\notag
$$
то $\sum_{j=1}^m a_{i,j}=0$ для всех $i=1,\dots,n$. Кроме того, $\|a_{i,j}\|\leqslant\|h_{k+1}\|$ для всех $i=1,\dots,n$, $j=1,\dots,m$. Поэтому из теоремы 3.3 следует, что существуют такие перестановки $\pi_1,\dots,\pi_n$ чисел $\{1,\dots,m\}$, для которых
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{i=1}^l a_{i,\pi_i(j)}\biggr\|\leqslant M\|h_{k+1}\|
\end{equation*}
\notag
$$
для $l=1,\dots,n$ и $j=1,\dots,m$, где $M=8d^2/\log 1.5$. Определим сохраняющий меру гомеоморфизм $T_{k+1}\colon \mathcal{C}(q,r)\to\mathcal{C}(q,r)$, положив
$$
\begin{equation*}
T_{k+1}(I_{i,\pi_i(j)})=I_{i+1,\pi_{i+1}(j)},\qquad i=1,\dots,n-1,\quad j=1,\dots,m.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим Поскольку $\sum_{j=1}^m b_j=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m a_{i,j}=0$ и $\|b_j\|\leqslant M\|h_{k+1}\|$, существует такая перестановка $\pi_0$ чисел $1,\dots,m$, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{j=1}^l b_{\pi_0(j)}\biggr\|\leqslant MS_V\|h_{k+1}\|\quad \forall\, l=1,\dots,m.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
T_{k+1}(I_{n,\pi_n(\pi_0(j))})=I_{1,\pi_1(\pi_0(j+1))}\quad \forall\, j=1,\dots,m-1
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
T_{k+1}(I_{n,\pi_n(\pi_0(m))})=I_{1,\pi_1(\pi_0(1))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, имеем
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\sum_{r=0}^l h_{k+1}(T_{k+1}^r(t))\biggr\|=\biggl\|\sum_{j=1}^{p-1} b_{\pi_0(j)}+\sum_{i=1}^z a_{i,\pi_i(\pi_0(p))}\biggr\|\leqslant C_V\|h_{k+1}\|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $l+1=(p-1)n+z$ для некоторых $p\in \{1,\dots,m\}$ и $z\in \{1,\dots, n\}$, и для любых $t\in I_{1,\pi_1(\pi_0(1))}$ и $l=0,\dots,nm-1$.
Теперь определим функцию $g_{k+1}$, положив ее на $T_{k+1}^l(I_{1,\pi_1(\pi_0(1))})$ равной $\sum_{r=0}^{l-1} h_{k+1}(T_{k+1}^r(t))$, где $t\,{\in}\, I_{1,\pi_1(\pi_0(1))}$ для $l\,{=}\,1,\dots,nm-1$, и $g_{k+1}(I_{1,\pi_1(\pi_0(1))})\,{=}\,0$. Тогда Пусть $t\in I_{1,\pi_1(\pi_0(1))}$. Если $0<l<nm-1$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_{k+1}(T_{k+1}(T_{k+1}^l(t)))-g_{k+1}(T_{k+1}^l(t)) &=\sum_{r=0}^l h_{k+1}(T_{k+1}^r(t))-\sum_{r=0}^{l-1} h_{k+1}(T_{k+1}^r(t)) \\ &=h_{k+1}(T_{k+1}^l(t)), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, более того,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g_{k+1}(T_{k+1}(t))-g_{k+1}(t)=h_{k+1}(t)-0=h_{k+1}(t), \\ \begin{aligned} \, g_{k+1}(T_{k+1}(T_{k+1}^{nm-1}(t)))-g_{k+1}(T_{k+1}^{nm-1}(t)) &=0 -\sum_{r=0}^{nm-2}h_{k+1}(T_{k+1}^r(t)) \\ &= h_{k+1}(T_{k+1}^{nm-1}(t)). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для любого $t\in \mathcal{C}(q,r)$ имеем На этом завершается построение функций $\{g_k\}_{k=0}^\infty$ и преобразований $\{T_k\}_{k=0}^\infty$.
Преобразование $T_{k+1}$ удовлетворяет условию (ii). Следовательно, $T_k$ и $g_k$ удовлетворяют условиям (i)–(v). Легко показать, что обратные преобразования $T_k^{-1}$ также удовлетворяют условию (ii). Из условия (iii) следует, что последовательность $\sum_{k=0}^\infty g_k$ сходится в множестве $C(\mathcal{C}(q,r);V)$ к некоторой функции $g$, для которой
$$
\begin{equation*}
\|g\|\leqslant \|g_0\| + \|g_1\| + \sum_{k=2}^{\infty}\|g_k\| \leqslant S_V\|f\| + C_Va\|f\| + a\|f\| =(S_V+(1+C_V)a)\|f\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, из условия (ii) следует, что для всех $t\in \mathcal{C}(q,r)$ последовательность $T_k(t)$ сходится. Поэтому мы можем определить $T(t)=\lim_{k\to\infty} T_k(t)\in\mathcal{C}(q,r)$. Более того, $T^{-1}(t)=\lim_{k\to\infty} T^{-1}_k(t)$. Пусть $n\in\mathbb{N}$, $I\in J_n$. Тогда $T_n(I)=I'\in J_n$. Из (ii) следует, что $T_m(I)=I'$ при $m>n$. Поскольку $I'$ замкнуто, то $T(I)=I'$. Следовательно, $T$ переставляет элементы $J_n$ для всех $n$. Так как $\bigcup_n J_n$ является базой топологии в $\mathcal{C}(q,r)$ и порождает $\sigma$-алгебру измеримых множеств, то $T$ – непрерывное сохраняющее меру преобразование $\mathcal{C}(q,r)$. Далее, для $k\geqslant 0$ имеем Следовательно,
$$
\begin{equation*}
g(T(x))-g(x)=\sum_{k=0}^\infty (g_k(T(x))-g_k(x))=\sum_{k=0}^{\infty}h_k=f.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее утверждение теоремы следует из того факта, что на $J_0$ преобразование $T$ совпадает с $T_0$, а $g_0$ равно нулю на $I_{\pi(1)}^0$. Теорема 6.1 доказана. Предложение 6.1. Пусть $q\in \mathbb{N}$, $r\in\mathbb{R}$, и $\{m_n\}$ – последовательность из $\mathbb{N}$. На множестве $\mathcal{E}=\{1,\dots,q\}\times\prod_{n=1}^{\infty}\{1,\dots,2^{m_n}\}$ заданы топология произведения и мера произведения Тогда существует такой сохраняющий меру гомеоморфизм $\varphi\colon \mathcal{C}(q,r)\to\mathcal{E}$, что $\varphi(\mathcal{C}(q,r,i))=\{i\}\times\prod_{n=1}^{\infty}\{1,\dots,2^{m_n}\}$, $i=1,\dots,q$. Доказательство. Пусть $\varphi_0$ – тождественное отображение $\{1,\dots,q\}$ на себя, есть такая биекция, что
Компакт $\mathcal{C}(q,r)$ можно представить в виде
$$
\begin{equation*}
\mathcal{C}(q,r)=\{1,\dots,q\}\times\prod_{n=1}^{\infty}\{1,2\}^{m_n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим биекцию $\varphi\colon \mathcal{C}(q,r)\to\mathcal{E}$ как произведение $\varphi=\prod_{n=0}^{\infty}\varphi_n$. Поскольку каждое отображение $\varphi_n$ сохраняет меру, то и $\varphi$ сохраняет меру.
Пусть $k\in\mathbb{N}$, $x\in \{1,\dots,q\}\times\prod_{n=1}^{k}\{1,2\}^{m_n}$, $P(x)=x\times\prod_{n=k+1}^{\infty}\{1,2\}^{m_n}$. Тогда $\varphi(P(x))=\bigl(\prod_{n=0}^{k}\varphi_n\bigr)(x)\times\prod_{n=k+1}^{\infty}\{1,\dots,2^{m_n}\}$. Заметив, что $P(x)$ образуют базу топологии в $\mathcal{C}(q,r)$, а множества $\varphi(P(x))$ – базу топологии в $\mathcal{E}$, получаем, что $\varphi$ – гомеоморфизм. Предложение 6.1 доказано. § 7. Решение гомологического уравнения для аффинно однородных функцийВ этом параграфе доказывается существование решения гомологического уравнения $f=g\circ T- g$ для аффинно однородной функции $f\in L_\infty(D;V)$ с нулевым средним. Преобразование $T$, которое строится в доказательстве, не является, вообще говоря, эргодическим. Мы решим проблему эргодичности в § 8. Заметим, что если функция $f$ аффинно однородна, то для любого $v\in V$ и любого измеримого подмножества $D'\subseteq D$ функция $f|_{D'} + v$ также аффинно однородна. Отметим также, что условия леммы 5.4 выполняются для функции $f\in L_\infty(D;V)$, когда $f$ аффинно однородна. Пусть $D\subset [0,1]$ – измеримое множество, $f\in L_\infty(D;V)$ – функция с нулевым средним, $q\in \mathbb{N}$, $R\in (0,\lambda(D))$, $\mathcal{F}\colon \mathcal{C}(q,R)\to D$. Систему $(q,\mathcal{F},R)$ будем называть башней Кантора для $f$, если $\mathcal{F}$ – сохраняющая меру непрерывная инъекция, функция $f|_{\mathcal{F}(\mathcal{C}(q,R))}$ непрерывна и $\int_{\mathcal{F}(\mathcal{C}(q,R))}f\, d\lambda=0$. Предложение 7.1. Пусть $V$ – конечномерное вещественное нормированное пространство. И пусть $D\,{\subset}\,[0,1]$ – измеримое множество, $f\,{\in}\,L_\infty(D;V)$ – аффинно однородная функция с нулевым средним, $R\in (0,\lambda(D))$. Тогда (i) для любого $q\in \mathbb{N}$ существует башня Кантора $(q,\mathcal{F},R)$ для $f$; (ii) для любого $\varepsilon>0$ существует такая башня Кантора $(q,\mathcal{F},R)$ для $f$, что Доказательство. Утверждение (ii) отличается от утверждения (i) тем, что число $q$ там не задано заранее, но оно должно быть найдено таким, чтобы выполнялось условие (7.1).
После определения числа $q$ в случае (ii) построение башни Кантора выполняется для обоих случаев (i) и (ii) одновременно. Из леммы 5.2 следует, что существует такое компактное множество $K'\subset D$, что $\lambda(K')>R$, а функция $f$ непрерывна и имеет нулевое среднее на $K'$. Для любого $\varepsilon>0$ существуют такие точки $x_0=\inf K'<x_1<\dots<x_n=\sup K'$, что $\operatorname{Diam}(f([x_{i-1},x_i]\cap K'))<\varepsilon$, $i=1,\dots,n$. Пусть $\{K'_1,\dots,K'_m\}$ – подмножество в $\{[x_{i-1},x_i]\cap K'\colon i=1,\dots,n\}$, состоящее из всех множеств ненулевой меры. Из леммы 5.4 следует, что существуют такие компактные множества $K''_1\subset K'_1,\dots,K''_m\subset K'_m$, что $\int_{K} f\, d\lambda=0$, $\lambda(K)>R$, где $K=K''_1\cup\dots\cup K''_m$ и $\lambda(K''_i)/\lambda(K)\in \mathbb{Q}_2$, $i=1,\dots,m$. Следовательно, компактное множество $K$ допускает разбиение $\{K_1,\dots,K_q\}$, вписанное в разбиение $\{K''_1,\dots,K''_m\}$ так, что $\lambda(K_1)=\dots=\lambda(K_q)$, где число $q$ – общий знаменатель отношений $\{\lambda(K''_i)/\lambda(K)\colon i=1,\dots,m\}$, и $\sup K_i \leqslant \inf K_{i+1}$ для $i=1,\dots,m$. Таким образом, для случая (ii) мы определили число $q$ и построили такие компакты $K_1,\dots,K_q$, что $\operatorname{Diam}(f(K_i))<\varepsilon$, $i=1,\dots,q$. В случае (i) мы полагаем $K=K'$ и для заданного $q$ выбираем точки $x_0=\inf K<x_1<\dots<x_q=\sup K$ так, чтобы
$$
\begin{equation*}
\lambda([x_{i-1},x_i]\cap K)=\frac{\lambda(K)}{q},\qquad i=1,\dots,q.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае полагаем
Теперь приступим к построению такой башни Кантора $(q,\mathcal{F},R)$, что $\mathcal{F}(\mathcal{C}(q,R,i))\subset K_i$, $i=1,\dots,q$. Зафиксируем строго убывающую последовательность
$$
\begin{equation*}
R_0=\lambda(K)>R_1>\dots>R_n>\cdots,\qquad \lim_n R_n =R.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы построим последовательность $(m_n)$ натуральных чисел и множества $K_a$, $a\in \mathcal{E}_n$, где
$$
\begin{equation*}
\mathcal{E}_n=\{1,\dots,q\}\times\prod_{i=1}^{n}\{1,\dots,2^{m_n}\},\qquad n\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Ниже на протяжении всего этого доказательства будем использовать обозначение $| \mathcal{E}_n|$ вместо $\operatorname{Card}(\mathcal{E}_n)$.
Для $m\leqslant n$ определим проекцию $p_{n,m}\colon \mathcal{E}_n\to\mathcal{E}_m$:
$$
\begin{equation*}
p_{n,m}(i_0;i_1,\dots,i_m,\dots,i_n)=(i_0;i_1,\dots,i_m).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
C_n=\bigcup_{a\in\mathcal{E}_n}K_a,\qquad C=\bigcap_{n=0}^\infty C_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $C_0=K$.
Множества $K_a$ должны удовлетворять следующим условиям: 1) для $a\in\mathcal{E}_n$ множество $K_a$ – компактное подмножество в $[0,1]$; для $a_1,a_2\in \mathcal{E}_n$, $a_1\neq a_2$, либо $\sup K_{a_1}\leqslant \inf K_{a_2}$, либо $\sup K_{a_2}\leqslant \inf K_{a_1}$; 2) если $a\in \mathcal{E}_{n-1}$ и $b\in \mathcal{E}_{n}$ такие, что $p_{n,n-1}(b)=a$, то $K_b\subseteq K_a$ и $\operatorname{Diam}(K_b)\leqslant (1/2)\operatorname{Diam}(K_a)$; 3) $\lambda(K_a)=M_n:=R_n/|\mathcal{E}_n|$ для всех $a\in \mathcal{E}_n$; 4) $\int_{C_n}f \, d\lambda=0$ для всех $n\geqslant 0$; 5) если $a,b\in \mathcal{E}_n$ и $a\ne b$, то множества $K_a\,{\cap}\, C_{n+1}$ и $K_b\,{\cap}\, C_{n+1}$ не пересекаются; 6) $\lambda(K_a\cap C_n)=R_n/|\mathcal{E}_{k}|$ для любых $k<n$, $a\in \mathcal{E}_{k}$. Построение последовательности $(m_n)$ и компактных множеств $K_a$ проведем по индукции по $n$. Для $n=0$ множества $\mathcal{E}_0=\{1,\dots,q\}$ и компакты $K_1,\dots,K_q$ уже построены. Пусть $n\geqslant 0$ и предположим, что множество $\{m_1,\dots,m_n\}$ (при $n=0$ это множество пусто) и компакты $K_a$, $a\in \mathcal{E}_k$, $k\leqslant n$, построены. Определим $m_{n+1}$ и $K_a$ для всех $a\in \mathcal{E}_{n+1}$. Зафиксируем $a\in \mathcal{E}_n$ и положим
$$
\begin{equation*}
K_a^L := K_a \cap \biggl[\inf K_a,\frac{\inf K_a + \sup K_a}{2}\biggr], \qquad K_a^R := K_a \cap \biggl[\frac{\inf K_a + \sup K_a}{2},\sup K_a\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\operatorname{Diam}(K_a^L)\leqslant (1/2) \operatorname{Diam}(K_a)$ и $\operatorname{Diam}(K_a^R)\leqslant (1/2) \operatorname{Diam}(K_a)$. Положим
$$
\begin{equation*}
h_a=f|_{K_a}-\frac{1}{\lambda(K_a)}\int_{K_a}f\, d\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда функция $h_a\in L_\infty(K_a;V)$ такая, что $\int_{K_a}h_a \, d\lambda=0$. Теперь покажем, что можно применить лемму 5.4 для множества $K_a=K_a^L \cup K_a^R$, функции $h_a$ с нулевым средним и числа $R_{n+1}/|\mathcal{E}_n|$. Прежде всего, $0<R_{n+1}/|\mathcal{E}_n|<R_n/|\mathcal{E}_n|=\lambda(K_a)$ и $\lambda(K_a^L\cap K_a^R)=0$. Кроме того, $h_{a}$ имеет нулевое среднее, и поскольку $f$ аффинно однородна, то и $h_{a}$ аффинно однородна. Таким образом, мы можем применить лемму 5.4 к подмножеству
$$
\begin{equation*}
\widetilde{K_a}=\widetilde{K_a^L}\cup \widetilde{K_a^R}\subset K_a\cap (\inf K_a,\sup K_a)
\end{equation*}
\notag
$$
(подчеркиваем важность данного включения для выполнения условия 5)!), где $\widetilde{K_a^L}\subset K_a^L$ и $\widetilde{K_a^R}\subset K_a^R$ – такие компактные множества положительной меры, что $\lambda(\widetilde{K_a})= R_{n+1}/|\mathcal{E}_{n}|$, $\int_{\widetilde{K}_a}h_a \, d\lambda= 0$ и $\lambda(\widetilde{K_a^L})/\lambda(\widetilde{K_a})= p_a/2^{q_a}$ для некоторого целого $p_a\geqslant 0$ и натурального $q_a$.
Положим
$$
\begin{equation*}
m_{n+1}=1+\sum_{a\in \mathcal{E}_n}q_a,\qquad k_a=2^{m_{n+1}-q_a}p_a.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь выберем точки
$$
\begin{equation*}
x_a^0<x_a^1<\dots<x_a^{k_a}=\frac{\inf K_a + \sup K_a}{2}<\dots<x_a^{2^{m_{n+1}}}
\end{equation*}
\notag
$$
в $K_a$ так, чтобы для $1\leqslant i\leqslant 2^{m_{n+1}}$ все множества имели одинаковую меру
$$
\begin{equation*}
\lambda(K_a^i)=\frac{\lambda(\widetilde{K_a})}{2^{m_{n+1}}}= \frac{R_{n+1}}{|\mathcal{E}_{n}|2^{m_{n+1}}}
\end{equation*}
\notag
$$
и, более того,
$$
\begin{equation*}
K_a^i\subset \widetilde{K_a^L}\quad \forall\, i\leqslant k_a,\qquad K_a^i\subset \widetilde{K_a^R}\quad \forall\, k_a<i\leqslant 2^{m_{n+1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $b=a\times i \in \mathcal{E}_{n+1}$ и $1\leqslant i\leqslant 2^{m_{n+1}}$, то положим $K_b=K_a^i$. По построению условия 1)–3) выполнены для $K_c$, $ c\in \mathcal{E}_{n+1}$, а условие 5) выполнено для $a,b\in\mathcal{E}_{n}$. Проверим условие 4):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{C_{n+1}}f\, d\lambda &=\sum_{a\in \mathcal{E}_{n}}\int_{\widetilde{K_a}}f\, d\lambda =\sum_{a\in \mathcal{E}_n} \frac{\lambda(\widetilde{K_a})}{\lambda(K_a)}\int_{K_a}f\, d\lambda \, d\lambda \\ &=\sum_{a\in \mathcal{E}_n} \frac{R_{n+1}}{|\mathcal{E}_{n}|\lambda(K_a)}\int_{K_a}f\, d\lambda \, d\lambda =\frac{R_{n+1}}{|\mathcal{E}_{n}|M_n}\sum_{a\in \mathcal{E}_n} \int_{K_a}f\, d\lambda \, d\lambda \\ &=\frac{R_{n+1}}{|\mathcal{E}_{n}|M_n}\int_{C_n}f\, d\lambda \, d\lambda=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь проверим условие 6). Заметим, что количество компактов $K_x$, $x\in\mathcal{E}_{n+1}$, содержащихся внутри $K_a$, $a\in\mathcal{E}_{n}$, равно $|\mathcal{E}_{n+1}|/|\mathcal{E}_n|$. Следовательно, для $k<n$, $a\in\mathcal{E}_k$, количество $K_x$, $x\in\mathcal{E}_{n}$, содержащихся внутри $K_a$, равно
$$
\begin{equation*}
\frac{|\mathcal{E}_{n}|}{|\mathcal{E}_{n-1}|}\, \frac{|\mathcal{E}_{n-1}|}{|\mathcal{E}_{n-2}|}\cdots \frac{|\mathcal{E}_{k+1}|}{|\mathcal{E}_{k}|}=\frac{|\mathcal{E}_{n}|}{|\mathcal{E}_{k}|},
\end{equation*}
\notag
$$
значит,
$$
\begin{equation*}
\lambda(K_a\cap C_n)=\frac{|\mathcal{E}_{n}|}{|\mathcal{E}_{k}|}\, \frac{R_n}{|\mathcal{E}_n|} =\frac{R_n}{|\mathcal{E}_k|}.
\end{equation*}
\notag
$$
На этом завершается построение компактов $K_a$. Покажем теперь, что Действительно, $C_{n+1}\subset C_n$, $n\geqslant 0$, $\lambda(C)=\lim_n\lambda(C_n)=\lim_n R_n=R$ и $\bigl\|\int_{C}f\, d\lambda\bigr\| \leqslant \bigl\|\int_{C_n}f\, d\lambda\bigr\| + \lambda(C_n\setminus C)\|f\|_\infty=\lambda(C_n\setminus C)\|f\|_\infty=(R_n-R)\|f\|_\infty \to 0$ при $n\to \infty$. Кроме того, из предложения 6.1 следует, что мы можем отождествить $\mathcal{C}(q,R)$ с $\mathcal{E}_\infty=\{1,\dots,q\}\times\prod_{i=1}^{\infty}\{1,\dots,2^{m_n}\}$ (с введенной там мерой $\nu$). Для каждого $n\geqslant 0$ определим отображение $p_n\colon \mathcal{E}_\infty\to\mathcal{E}_n$, положив
$$
\begin{equation*}
p_n(i_0;i_1,\dots,i_n,i_{n+1},\dots)=(i_0;i_1,\dots,i_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $a\in\mathcal{E}_\infty$ положим $\mathcal{F}(a)=\bigcap_{n=0}^\infty K_{p_n(a)}$. Используя равенства $p_{n+1,n}\circ p_{n+1}=p_n$ и условие 2), получим $|\mathcal{F}(a)|=\operatorname{Card}(\mathcal{F}(a))=1$. Поэтому отображение $\mathcal{F}\colon \mathcal{E}_\infty\to C$ определено корректно. Пусть $a,b\in\mathcal{E}_\infty$, $a\neq b$. Тогда найдется такое $n$, что $p_n(a)\neq p_n(b)$. Используя условие 5), получим $\mathcal{F}(a)\neq \mathcal{F}(b)$, т. е. отображение $\mathcal{F}$ инъективно. Пусть $x\in C$. Из построения $C$ следует, что для любого $n$ найдется такое единственное $a_n\in \mathcal{E}_n$, что $x\in K_{a_n}$. Используя условия 1) и 2), получим $p_{n,n-1}(a_n)=a_{n-1}$, $n>1$. Следовательно, существует такое $a\in \mathcal{E}_\infty$, что $p_n(a)\,{=}\,a_n$. Тогда $\mathcal{F}(a)=x$, и поэтому отображение $\mathcal{F}$ сюръективно. Пусть последовательность $\{a_{(n)}\}\subset \mathcal{E}_\infty$ сходится к $a\in \mathcal{E}_\infty$. Это означает, что для любого $n$ найдется такой индекс $k_n$, что $p_{n}(a_{(m)})\,{=}\,p_n(a)$ при $m>k_n$, т. е. $\mathcal{F}(a_{(m)})\in K_{p_n(a)}$. Используя условие 2), получим $|\mathcal{F}(a_{(m)})-\mathcal{F}(a)|\leqslant 1/2^n$. Отсюда следует, что отображение $\mathcal{F}$ непрерывно. Поскольку $\mathcal{E}_\infty$ – компакт, то отображение $\mathcal{F}^{-1}$ также непрерывно. Применив условие 6), мы видим, что
$$
\begin{equation*}
\lambda(K_a\cap C)=\frac{R}{|\mathcal{E}_n|} \quad \forall\, n\geqslant 0,\quad a\in \mathcal{E}_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, $K_a\cap C=\mathcal{F}(p_n^{-1}(a))$, $\mu(p_n^{-1}(a))=R/|\mathcal{E}_n|$, т. е. Принимая во внимание, что множества $p_n^{-1}(a)$, $n\geqslant 0$, $a\in \mathcal{E}_n$, порождают $\sigma$-алгебру измеримых подмножеств в $\mathcal{E}_\infty$, получаем, что отображение $\mathcal{F}$ сохраняет меру. Предложение 7.1 доказано. Предложение 7.2. Пусть $V$ – конечномерное вещественное нормированное пространство. И пусть $D\subseteq [0,1]$ имеет положительную меру, функция $f\in L_\infty(D;V)$ аффинно однородна и имеет нулевое среднее. Тогда для любых $\varepsilon>0$ и $R\in (0,\lambda(D))$ найдутся такие множество $C\subset D$, $\lambda(C)=R$, функция $g\in L_\infty(C;V)$ и автоморфизм $\operatorname{mod}0$ $T$ на $C$, что $\|g\|\leqslant (S_V+\varepsilon)\|f\|_\infty$ и $f=g\circ T -g$. Доказательство. Из предложения 7.1, (ii) следует, что для $f$ найдется такая башня Кантора $(q,\mathcal{F},R)$, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Diam}(f(\mathcal{F}(\mathcal{C}(q,R,i))))<\frac{\varepsilon}{(1+C_V)},\qquad i=1,\dots,q.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство завершается обращением к теореме 6.1. Предложение 7.2 доказано. Теорема 7.1. Пусть $V$ – конечномерное вещественное нормированное пространство. И пусть $D\subseteq [0,1]$ имеет положительную меру, функция $f\in L_\infty(D;V)$ аффинно однородна и имеет нулевое среднее. Тогда для любого $\varepsilon>0$ найдутся такие $g\in L_\infty(D;V)$ и автоморфизм $\operatorname{mod}0$ $T$, что $\|g\|\leqslant (S_V+\varepsilon)\|f\|_\infty$ и $f=g\circ T -g$. Доказательство. Из леммы Цорна следует, что существует максимальное семейство $\{K_i\}_{i\in I}$ попарно непересекающихся компактных подмножеств в $D$ положительной меры, для которых существуют такие $g_i\in L_\infty(K_i;V)$, $\|g_i\|_\infty\leqslant (S_V+\varepsilon)\|f\|_\infty$, и автоморфизмы $\operatorname{mod}0$ $T_i$ на $K_i$, что $f|_{K_i}= g_i\circ T_i -g_i$. Ясно, что множество индексов $I$ не более, чем счетно.
Достаточно показать, что $\lambda\bigl(D\setminus\bigcup_{i\in I}K_i\bigr)=0$. Действительно, в этом случае можно определить $g$ и $T$, положив $g|_{K_i}=g_i$, $T|_{K_i}=T_i$ для всех $i\in I$. Предположим, что множество $D_0:=D\setminus\bigcup_{i\in I}K_i$ имеет ненулевую меру. Из предложения 7.2 следует, что в $D_0$ найдется такое компактное подмножество $K_0$, что $f|_{K_0}=g_0\circ T_0-g_0$ для некоторых функций $g_0\in L_\infty(K_0;V)$, $\|g_0\|_\infty\leqslant (S_V+\varepsilon)\|f\|_\infty$, и автоморфизма $\operatorname{mod}0$ $T_0$ на $K_0$. Это противоречит максимальности семейства $\{K_i\}_{i\in I}$. Следовательно, $\lambda(D_0)=0$. Теорема 7.1 доказана. § 8. Доказательство основных результатов для общих функций с нулевым среднимМы начинаем этот параграф с двух лемм, которые основаны на классических результатах. Лемма 8.1. Пусть вектор $x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ такой, что числа $1$, $x_1,\dots,x_n$ рационально линейно независимы, и пусть $\varepsilon>0$. Тогда для любого вектора $v\in \mathbb{R}^n$ найдутся такие целые числа $q\geqslant 1$, $p_1,\dots,p_n\in \mathbb{Z}$, что вектор $w\in\mathbb{R}^n$ с координатами $w_l=p_l/q -x_l$ имеет норму $\|w\|_\infty<\varepsilon/q$ и $(w,v)>0$. Доказательство. Положим $\alpha_l=\operatorname{sign}(v_l)\varepsilon/2$.
Поскольку $1,x_1,\dots,x_n$ рационально линейно независимы, из [22; теорема 442] следует, что существуют такие целые числа $q\geqslant 1$ и $p_1,\dots,p_n\in \mathbb{Z}$, что
$$
\begin{equation*}
|qx_l-p_l + \alpha_l|< \frac{\varepsilon}{2},\qquad l=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, поскольку $|qx_l-p_l|<\varepsilon/2 + |\alpha_l|=\varepsilon$, то для вектора $w\in \mathbb{R}^n$ с координатами $w_l=p_l/q-x_l$ выполняется неравенство $\|w\|_\infty<\varepsilon/q$. Более того, так как $|\alpha_l|=\varepsilon/2$, то $\operatorname{sign}(w_l)=\operatorname{sign}(p_l-x_lq)= \operatorname{sign}(\alpha_l)=\operatorname{sign}(v_l)$. Кроме того, заметим, что, поскольку $x_l$ иррационально для всех $l$, то $|w_l|= |p_l/q-x_l|>0$. В итоге, так как $v\ne 0$, то $(w,v) >0$. Лемма 8.1 доказана. Лемма 8.2. Пусть $\{T_n\}$ – последовательность автоморфизмов $\operatorname{mod}0$ отрезка $[0,1]$, и пусть $T_n\to T$, $T_n^{-1}\to S$ по мере. Тогда $T$ и $S$ – также автоморфизмы $\operatorname{mod}0$ отрезка $[0,1]$ и $S=T^{-1}$ п. в. Доказательство. Утверждение о том, что $T$ и $S$ сохраняют меру, следует из [12; утверждение 9.9.10]. А равенство $S=T^{-1}$ п. в. – из [12; следствие 9.9.11]. Лемма доказана. Следующая лемма играет решающую роль в доказательстве нашего основного результата. Лемма 8.3. Пусть $V$ – конечномерное вещественное нормированное пространство. Пусть функция $f\in L_\infty([0,1];V)$ с нулевым средним и $\varepsilon>0$. Тогда найдутся такие последовательность $(q_i)_{i\geqslant 1}$ из $\mathbb{N}\setminus\{1\}$, разбиение $\{A_{i,j}\colon i\geqslant 1, 1\leqslant j\leqslant q_i\}$ отрезка $[0,1]$ на множества положительной меры, автоморфизм $\operatorname{mod}0$ $T$ на $[0,1]$ и функция $h\colon A:=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i,1}\to V$ с нулевым средним, заданная равенством $h|_{A_{i,1}}=\sum_{j=1}^{q_i}f\circ T^{j-1}$, что 1) $T(A_{i,j})=A_{i,j+1} \ \forall\, i\geqslant 1$, $1\leqslant j<q_i$; 2) $\|h\|_\infty<\varepsilon$; 3) $\bigl\|\sum_{j=1}^{l-1}f\circ T^{j-1}\bigr\|_{L_\infty(A_{i,1};V)}< S_V\|f\|_{\infty}+\varepsilon$, $l=1,\dots,q_i$. Доказательство. Опираясь на теорему 4.3, мы можем найти множество $D\subseteq [0,1]$ положительной меры, на котором $f$ имеет нулевое среднее, и такое разбиение $\{D_1,\dots,D_{n}\}$ множества $D$, что сужения $f|_{D_l}$ аффинно однородны для всех $l=1,\dots,n$.
Пусть $\varepsilon>0$. Положим
$$
\begin{equation*}
\varepsilon'= \frac{1}{2}\min\biggl\{1,\, \frac{\varepsilon}{3},\, \min_i(\lambda(D_i))\biggr\}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Каждая функция $f_{(l)}=f|_{D_l}-\mathop{\,\rlap{-}\!\int_{D_l}}f\, d\lambda$ имеет нулевое среднее и аффинно однородна на $D_l$, $l=1,\dots,n$. Из предложения 7.1, (ii) следует, что для любого $l=1,\dots,n$ для функции $f_{(l)}$ найдется такая башня Кантора $(q_{(l)},\mathcal{F}_{(l)},\frac{1}{2}\lambda(D_l))$, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, K_l &:=\mathcal{F}_{(l)}\biggl(\mathcal{C}\biggl(q_{(l)},\frac{1}{2}\lambda(D_l)\biggr) \biggr) \subset D_l, \\ K_{l,m} &:=\mathcal{F}_{(l)}\biggl(\mathcal{C}\biggl(q_{(l)},\frac{1}{2}\lambda(D_l),m\biggr) \biggr), \end{aligned} \\ \operatorname{Diam}(f(K_{l,m}))<\frac{\varepsilon'}{(1+C_V)(\|f\|_\infty+1)},\qquad m=1,\dots,q_{(l)} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(напомним обозначение $C_V=(8\dim(V)^2/\log 1.5)(S_V+1)$).
Тогда $\lambda(K_l)=(1/2)\lambda(D_l)$, $\mathop{\,\rlap{-}\!\int_{K_l}}f\, d\lambda= \mathop{\,\rlap{-}\!\int_{D_l}}f\, d\lambda$ для всех $l$. Положим $K=\bigcup_{l=1}^n K_l$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\int_K f\, d\lambda=\sum_{l=1}^{n}\int_{K_l} f\, d\lambda =\sum_{l=1}^{n}\frac{\lambda(K_l)}{\lambda(D_l)}\int_{D_l} f\, d\lambda=\frac{1}{2}\int_{D} f\, d\lambda=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $\{K_{l,1},\dots,K_{l,q_{(l)}}\}$ – такое разбиение $K_l$, что $\lambda(K_{l,m})=\lambda(K_l)/q_{(l)}$ для всех $l$, $m$. Пусть $x\in\mathbb{R}^n$ – вектор с координатами $x_l= \lambda(K_l)/(q_{(l)}\lambda(K))>0$. Возьмем максимальное подмножество $\mathcal{J}\subseteq \{1,\dots,n\}$ индексов, для которого числа из $\{1\}\cup \{x_{j}\colon j\in \mathcal{J}\}$ рационально независимы. Тогда $b_l x_l= a_{l,0} + \sum_{j\in \mathcal{J}}a_{l,j}x_j$ для $l=1,\dots,n$ и для некоторых целых $a_{l,j}$ и ненулевых целых $b_l$. Положим $M= 2\bigl|\prod_{l=1}^nb_l\bigr| \max\{|a_{l,j}|\colon j\in \mathcal{J}\cup \{0\},\, l=1,\dots,n\}$. Определим $q_{(0)}=\max_{l}q_{(l)}$, $\rho=\min_{l} \lambda(K_l)>0$, $x_0=\min_{l}x_l>0$ и
$$
\begin{equation*}
N=nM^2\max\biggl\{\frac{q_{(0)}}{\rho},\, 2nq_{(0)},\, \frac{2}{x_0},\, \frac{nq_{(0)}\|f\|_\infty}{\varepsilon'}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\mathcal{J}$ пусто, положим $\widetilde{q}_i=1$ для $i\in\mathbb{N}$. Пусть $\mathcal{J}$ не пусто. Обозначим через $\mathbb{R}^{\mathcal{J}}$ векторное пространство функций $\mathcal{J}\to \mathbb{R}$, снабдим его евклидовой нормой, и обозначим через $\mathbb{S}(\mathcal{J})$ множество всех единичных векторов из $\mathbb{R}^{\mathcal{J}}$. Для каждого $v\in \mathbb{S}(\mathcal{J})$ на основании леммы 8.1 найдутся такие $\widetilde{q_{v}}\geqslant 1$ и $\widetilde{p_{v,j}}\in \mathbb{Z}$, $j\in \mathcal{J}$, что для вектора $\widetilde{w_v}\in \mathbb{R}^{\mathcal{J}}$ с координатами $(\widetilde{w_v})_j= \widetilde{p_{v,j}}/\widetilde{q_v}-x_j$ выполняются неравенства $\|\widetilde{w_v}\|_\infty<1/\widetilde{q_v}N$ и $(\widetilde{w_v},v)> 0$. Выберем такую последовательность $(\xi_i)_{i\geqslant 1}$ в $\mathbb{S}(\mathcal{J})$, что множество $\{\widetilde{w_{\xi_i}}\colon i\in \mathbb{N}\}$ плотно в $\{\widetilde{w_v}\colon v\in \mathbb{S}(\mathcal{J})\}$. Поэтому для $v\in \mathbb{S}(\mathcal{J})$ можно найти такой индекс $i\geqslant 1$, что $\|\widetilde{w_{\xi_i}}-\widetilde{w_{v}}\|_2<( \widetilde{w_v},v)$, и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
(\widetilde{w_{\xi_i}},v)=(\widetilde{w_{v}},v) + (\widetilde{w_{\xi_i}}-\widetilde{w_{v}},v) \geqslant (\widetilde{w_{v}},v)-\|\widetilde{w_{\xi_i}}-\widetilde{w_{v}}\|_2>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $i\geqslant 1$ положим $\widetilde{q}_i := \widetilde{q_{\xi_i}}$ и $\widetilde{p_{i,j}}:=\widetilde{p_{\xi_i,j}}$ для $j\in\mathcal{J}$ и, кроме того, определим вектор $\widetilde{w_{i}} := \widetilde{w_{\xi_i}}$, для которого у нас есть верхняя граница нормы
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde{w_i}\|_\infty=\|\widetilde{w_{\xi_i}}\|_\infty\leqslant \frac{1}{\widetilde{q_{\xi_i}}N}=\frac{1}{\widetilde{q_i}N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, как мы только что показали, можно считать, что для каждого $v\in \mathbb{R}^{\mathcal{J}}$ найдется $i\geqslant 1$, для которого $(\widetilde{w_i},v) >0$.
Независимо от того, является ли $\mathcal{J}$ пустым или непустым, зафиксируем индекс $i\geqslant 1$ и положим $q_i=M\widetilde{q_i}\geqslant 2$. Для $l=1,\dots,n$ определим число
$$
\begin{equation*}
p_{i,l}=\frac{q_i}{b_l\widetilde{q_i}}\biggl(a_{l,0}\widetilde{q_i} + \sum_{j\in \mathcal{J}}a_{l,j}\widetilde{p_{i,j}}\biggr)=\frac{q_i}{b_l}\biggl(a_{l,0} + \sum_{j\in \mathcal{J}}a_{l,j}\frac{\widetilde{p_{i,j}}}{\widetilde{q_i}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
которое является целым, поскольку $q_i/(b_l\widetilde{q}_i) =M/b_l\in\mathbb{N}$. Определим вектор $w_i\in \mathbb{R}^n$, полагая
$$
\begin{equation*}
(w_i)_l := \frac{p_{i,l}}{q_i}-x_l= \sum_{j\in \mathcal{J}} \frac{a_{l,j}}{b_l}\biggl(\frac{\widetilde{p_{i,j}}}{\widetilde{q_i}}-x_j\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\mathcal{J}$ пусто, то полагаем $w_i =0$. Если $\mathcal{J}$ не пусто, то имеем
$$
\begin{equation*}
\|w_i\|_\infty \leqslant \sum_{j\in \mathcal{J}}M\, \|\widetilde{w_i}\|_\infty \leqslant \frac{nM}{\widetilde{q_i}N} =\frac{1}{q_i}\, \frac{nM^2}{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $i\geqslant 1$ выберем такое $c_i>0$, что $\sum_{i=1}^\infty c_i=(1/3)\lambda(K)$. Тогда для $1\leqslant l\leqslant n$ и $1\leqslant m\leqslant q_{(l)}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{i=1}^\infty c_i \frac{p_{i,l}}{q_i} &= \sum_{i=1}^\infty c_i \biggl(\frac{\lambda(K_l)}{q_{(l)}\lambda(K)} + (w_i)_l\biggr)\leqslant \sum_{i=1}^{\infty} \frac{c_i}{\lambda(K)} \biggl(\frac{\lambda(K_l)}{q_{(l)}} + \frac{\rho}{q_{(0)}}\biggr) \\ &\leqslant 2\frac{\lambda(K_{l})}{q_{(l)}}\sum_{i=1}^\infty \frac{c_i}{\lambda(K)}<\lambda(K_{l,m}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $i\geqslant 1$ возьмем такое разбиение $\{I_{l,m}^{(i)}\colon 1\leqslant l\leqslant n,\, 1\leqslant m\leqslant q_{(l)}\}$ множества $\{1,\dots,q_i\}$, что $I_{l,m}^{(i)}$ имеют мощности $|I_{l,m}^{(i)}|=p_{i,l}$. Зафиксируем биекции
$$
\begin{equation*}
\alpha_{l,m}^{(i)} \colon I_{l,m}^{(i)}\to\{1,\dots,p_{i,l}\},\qquad \beta_{l,m}^{(i)} \colon I_{l,m}^{(i)}\times\{1,2\}^\mathbb{N}\to\{1,\dots,p_{i,l}\}\times\{1,2\}^\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
полагая
$$
\begin{equation*}
\beta_{l,m}^{(i)}(i_0;i_1,\dots)=(\alpha_{l,m}^{(i)}(i_0);i_1,\dots).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что такое разбиение существует. Действительно, $q_i=\sum_{l=1}^nq_{(l)} p_{i,l}$, так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|q_i-\sum_{l=1}^nq_{(l)}p_{i,l}\biggr| &\leqslant \sum_{l=1}^{n}\biggl|q_i\frac{\lambda(K_l)}{\lambda(K)}-q_{(l)}p_{i,l}\biggr|\leqslant q_i\sum_{l=1}^{n}q_{(l)} \biggl|x_l-\frac{p_{i,l}}{q_i}\biggr| \\ &\leqslant q_i nq_{(0)}\|w_i\|_\infty\leqslant \frac{n^2M^2\kappa}{N}\leqslant \frac{1}{2} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
есть целое число. Кроме того, $p_{i,l}$ является целым числом, для которого $p_{i,l}\geqslant q_ix_l-|q_ix_l-p_{i,l}|>x_l-q_i\|w_i\|_\infty\geqslant x_l -x_0/2>0$, поэтому $p_{i,l}\in\mathbb{N}$.
Пусть $1\leqslant l\leqslant n$ и $1\leqslant m\leqslant q_{(l)}$. На основании предложения 7.1, (i) мы можем найти башню Кантора $(p_{1,l},\mathcal{F}^{(1)}_{l,m},c_{1}p_{1,l}/q_{1})$ для функции $f|_{K_{l,m}}-\mathop{\,\rlap{-}\!\int_{K_{l,m}}}f\, d\lambda$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, E_{l,m}^{(1)}:=\mathcal{F}^{(1)}_{l,m}\biggl(\mathcal{C}\biggl(p_{1,l},c_{1}\frac{p_{1,l}}{q_{1}} \biggr) \biggr)\subset K_{l,m},\qquad \lambda(E_{l,m}^{(1)})=c_{1}\frac{p_{1,l}}{q_{1}}, \\ \mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{E_{l,m}^{(1)}}}f\, d\lambda = \mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{K_{l,m}}}f\, d\lambda. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\lambda(K_{l,m}\setminus E_{l,m}^{(1)})>\sum_{i=2}^{\infty} c_ip_{i,l}/q_i>c_2p_{2,l}/q_2$, то рассуждая, как выше, мы можем найти такой сохраняющий меру гомеоморфизм
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}^{(2)}_{l,m}\colon \mathcal{C}\biggl(p_{2,l},c_{2}\frac{p_{2,l}}{q_{2}}\biggr)\to E_{l,m}^{(2)}\subseteq K_{l,m}\setminus E_{l,m}^{(1)},
\end{equation*}
\notag
$$
что
$$
\begin{equation*}
\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{E_{l,m}^{(2)}}}f\, d\lambda= \mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{K_{l,m}\setminus E_{l,m}^{(1)}}}f\, d\lambda=\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{K_{l,m}}}f\, d\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, для каждого $i\geqslant 2$ найдем такой сохраняющий меру гомеоморфизм
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}^{(i)}_{l,m}\colon \mathcal{C}\biggl(p_{i,l},c_{i}\frac{p_{i,l}}{q_{i}}\biggr)\to E_{l,m}^{(i)}\subseteq K_{l,m}\setminus (E_{l,m}^{(1)}\cup\dots\cup E_{l,m}^{(i-1)}),
\end{equation*}
\notag
$$
что $\mathop{\,\rlap{-}\!\int_{E_{l,m}^{(i)}}}f\, d\lambda= \mathop{\,\rlap{-}\!\int_{K_{l,m}}}f\, d\lambda$.
Теперь, когда построены попарно непересекающиеся множества $E_{l,m}^{(i)}$ для $i\,{\geqslant}\, 1$, $1\leqslant l\leqslant n$ и $1\leqslant m\leqslant q_{(l)}$, мы можем определить $E^{(i)}= \bigcup_{l=1}^n\bigcup_{m=1}^{q_{(l)}} E_{l,m}^{(i)}$ для $i\geqslant 1$. Эти множества также попарно не пересекаются и имеют меры
$$
\begin{equation*}
\lambda(E^{(i)})= \sum_{l=1}^n\sum_{m=1}^{q_{(l)}}c_i\frac{p_{i,l}}{q_i}= \frac{c_i}{q_i}\sum_{l=1}^{n}q_{(l)} p_{i,l}=c_i,\qquad i\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, для каждого $i$, склеивая гомеоморфизмы $\mathcal{F}^{(i)}_{l,m}$, получим сохраняющий меру гомеоморфизм $\mathcal{F}_{i}\colon \mathcal{C}(q_i,c_{i})\to E^{(i)}$, определяемый равенством $\mathcal{F}_{i}|_{I_{l,m}^{(i)}\times\{1,2\}^\mathbb{N}} =\mathcal{F}^{(i)}_{l,m}\circ\beta_{l,m}^{(i)}$.
Для множеств $\widetilde{A_{i,j}} \colon =\mathcal{F}_{i}(\mathcal{C}(q_i,c_{i},j))$, $j=1,\dots,q_{i}$, имеем $\widetilde{A_{i,j}}\,{\subseteq}\, E_{l,m}^{(i)}\,{\subseteq}\, K_{l,m}$, где $l$, $m$ такие, что $j\in I_{l,m}^{(i)}$. Это означает, что для $j=1,\dots,q_i$ верно неравенство $\operatorname{Diam}(f(\widetilde{A_{i,j}}))<(1+C_V)^{-1}(\|f\|_\infty+1)^{-1}\varepsilon'$, поскольку у нас есть эта привязка к $\operatorname{Diam}(f(K_{l,m}))$ для всех $1\leqslant l\leqslant n$ и $1\leqslant m\leqslant q_{(l)}$. Кроме того, поскольку $E^{(i)}\subseteq K$, то сужение $f|_{E^{(i)}}$ непрерывно. Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{E^{(i)}}f\, d\lambda &= \sum_{l=1}^{n}\sum_{m=1}^{q_{(l)}} \int_{E_{l,m}^{(i)}} f\, d\lambda = \sum_{l=1}^{n}\sum_{m=1}^{q_{(l)}} \frac{\lambda(E_{l,m}^{(i)})}{\lambda(K_{l,m})}\int_{K_{l,m}} f\, d\lambda \\ &=c_i\sum_{l=1}^{n}\frac{p_{i,l}}{q_i}\, \frac{q_{(l)}}{\lambda(K_l)}\int_{K_{l}} f\, d\lambda =c_i\sum_{l=1}^{n} \biggl(\frac{p_{i,l}}{q_i} -\frac{\lambda(K_l)}{q_{(l)}\lambda(K)}\biggr)\, \frac{q_{(l)}}{\lambda(K_l)}\int_{K_{l}} f\, d\lambda \\ &=\lambda(E^{(i)})\sum_{l=1}^{n} (w_i)_lq_{(l)}\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{K_{l}}} f\, d\lambda. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $\int_{E^{(i)}}f\, d\lambda =0$ всякий раз, когда $w_i=0$. Получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{E^{(i)}}}f\, d\lambda\biggr\| &\leqslant \sum_{l=1}^{n}\biggl\|(w_i)_lq_{(l)} \mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{K_l}}f\, d\lambda\biggr\| \leqslant nq_{(0)}\|w_i\|_\infty\|f\|_\infty \\ &\leqslant \frac{1}{q_i}\, \frac{n^2M^2q_{(0)}\|f\|_\infty}{N}\leqslant \frac{\varepsilon'}{q_i}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим функцию $f^{(i)}\colon E^{(i)}\to V$, положив
$$
\begin{equation*}
f^{(i)} := f|_{E^{(i)}}-\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{E^{(i)}}}f\, d\lambda,
\end{equation*}
\notag
$$
которая имеет нулевое среднее и непрерывна. Более того,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Diam}(f^{(i)}\bigl(\widetilde{A_{i,j}})\bigr) =\operatorname{Diam}\bigl(f(\widetilde{A_{i,j}})\bigr) <\frac{\varepsilon'}{(1+C_V)(\|f\|_\infty+1)}
\end{equation*}
\notag
$$
для $j\in \{1,\dots,q_i\}$. Поэтому из теоремы 6.1 следует, что при $f^{(i)}\ne 0$ существуют такая перестановка $\{A_{i,j}\}_{j=1}^n$ множеств $\{\widetilde{A_{i,j}}\}_{j=1}^n$ и автоморфизм $\operatorname{mod}0$ $T^{(i)}$ на $E^{(i)}$, что $T^{(i)}(A_{i,j})=A_{i,j+1}$ для $j=1,\dots,q_i-1$ и $T^{(i)}(A_{i,q_i})=A_{i,1}$, а также существует такая функция $g^{(i)}\in L_\infty(E^{(i)};V)$, что $\|g^{(i)}\|_\infty\leqslant S_V\|f^{(i)}\|_\infty + \varepsilon'$, $\|g^{(i)}|_{A_{i,1}}\|_\infty\leqslant \varepsilon'$ и $f=g^{(i)}\circ T^{(i)}-g^{(i)}$. Если $f^{(i)}=0$, положим $g^{(i)}=0$ и возьмем $T^{(i)}$ указанного вида.
Определим преобразование $T\colon \bigcup_{i\geqslant 1} E^{(i)}\to \bigcup_{i\geqslant 1} E^{(i)}$, положив $T|_{A_{i,j}} := T^{(i)}|_{A_{i,j}}$. Определим также $A=\bigcup_{i\geqslant 1} A_{i,1}$ и $h\colon A\to V$, положив $h|_{A_{i,1}}=\sum_{j=1}^{q_i}f\circ T^{j-1}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|h|_{A_{i,1}}\|_\infty \leqslant \biggl\|\sum_{j=1}^{q_i}f^{(i)}\circ T^{j-1}\biggr\|_{L_\infty(A_{i,1};V)} + q_i\biggl\|\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{E^{(i)}}}f\, d\lambda\biggr\| \\ &\qquad\leqslant \biggl\|\sum_{j=1}^{q_i}f^{(i)}\circ (T^{(i)})^{j-1}\biggr\|_{L_\infty(A_{i,1};V)} + \varepsilon' \leqslant \|g^{(i)}\circ (T^{(i)})^{q_i}-g^{(i)}\|_{L_\infty(A_{i,1};V)}+ \varepsilon' \\ &\qquad\leqslant \|g^{(i)}\circ (T^{(i)})^{q_i}\|_{L_\infty(A_{i,1};V)} + \|g^{(i)}\|_{L_\infty(A_{i,1};V)}+ \varepsilon' \leqslant 2\|g^{(i)}|_{A_{i,1}}\|_\infty + \varepsilon' \leqslant 3\varepsilon', \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому $\|h\|_\infty<\varepsilon$. Кроме того для $l=1,\dots,q_i$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\|\sum_{j=1}^{l-1}f\circ T^{j-1}\biggr\|_{L_{\infty}(A_{i,1};V)} \leqslant \biggl\|\sum_{j=1}^{l-1}f^{(i)}\circ T^{j-1}\biggr\|_{L_{\infty}(A_{i,1};V)} + q_i\biggl\|\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{E^{(i)}}}f\, d\lambda\biggr\| \\ &\quad\leqslant \|g^{(i)}\circ T^{l}-g^{(i)}\|_{L_{\infty}(A_{i,1};V)} + \varepsilon' \leqslant \|g^{(i)}\circ T^{l}\|_{L_\infty(A_{i,1};V)} + \|g^{(i)}\|_{L_{\infty}(A_{i,1};V)} + \varepsilon' \\ &\quad\leqslant \|g^{(i)}\|_{\infty} + \|g^{(i)}|_{A_{i,1}}\|_{\infty} + \varepsilon' \leqslant (S_V\|f^{(i)}\|_{\infty}+\varepsilon') + \varepsilon' + \varepsilon' \\ &\quad \leqslant S_V\|f\|_\infty + 3\varepsilon' < S_V\|f\|_\infty +\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что существует такое подмножество $A'\subseteq A$ положительной меры, что сужение $h|_{A'}$ имеет нулевое среднее. Если $\mathcal{J}$ пусто, то $w_i=0$ при $i\geqslant 1$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\int_{A}h\, d\lambda=\sum_{i=1}^{\infty}\int_{A_{i,1}}h\, d\lambda= \sum_{i=1}^{\infty}\int_{E^{(i)}}f\, d\lambda=0.
\end{equation*}
\notag
$$
И мы можем положить $A'=A$. Пусть теперь $\mathcal{J}$ не пусто. Возьмем $u\in V$ и $v\in \mathbb{R}^{\mathcal{J}}$ с координатами
$$
\begin{equation*}
v_j=\sum_{l=1}^{n} \frac{a_{l,j}}{b_l}\, q_{(l)}\biggl( u,\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{K_{l}}} f\, d\lambda\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Для $i\geqslant 1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(u,\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{A_{i,1}}}h\, d\lambda\biggr) = \frac{q_i}{\lambda(E^{(i)})}\biggl( u,\int_{E^{(i)}}f\, d\lambda\biggr) =q_i \biggl( u,\sum_{l=1}^{n}(w_i)_lq_{(l)}\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{K_{l}}} f\, d\lambda\biggr) \\ &\qquad=q_i\sum_{l=1}^{n} (w_i)_lq_{(l)}\biggl( u,\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{K_{l}}} f\, d\lambda \biggr) =q_i\sum_{l=1}^{n} \biggl(\sum_{j\in\mathcal{J}}\frac{a_{l,j}}{b_l}(\widetilde{w_i})_j\biggr) q_{(l)}\biggl(u,\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{K_{l}}} f\, d\lambda\biggr) \\ &\qquad=q_i\sum_{j\in\mathcal{J}}(\widetilde{w_i})_j\sum_{l=1}^{n} \frac{a_{l,j}}{b_l}\, q_{(l)}\biggl(u,\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{K_{l}}} f\, d\lambda\biggr) =q_i(\widetilde{w_i},v). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, если $v=0$, то это выражение равно нулю для всех $i$, т. е. в этом случае вектор $u$ ортогонален подпространству, порожденному $\bigl\{\mathop{\,\rlap{-}\!\int_{A_{i,1}}}h\, d\lambda\colon i\,{\geqslant}\,1\bigr\}$. Если $v\ne 0$, то согласно тому, что мы установили ранее, существует такой индекс $i\geqslant 1$, что
$$
\begin{equation*}
\biggl( u,\mathop{\,\rlap{-}\!\!\int_{A_{i,1}}}h\, d\lambda\biggr) =q_i(\widetilde{w_i},v) >0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что $0\in \operatorname{Conv}\bigl(\bigr\{\mathop{\,\rlap{-}\!\int_{A_{i,1}}}h\, d\lambda \colon i\geqslant 1\bigr\} \bigr)$. Действительно, предположим, что $0\notin \operatorname{Conv}\bigl(\bigl\{\mathop{\,\rlap{-}\!\int_{A_{i,1}}}h\, d\lambda\colon i\geqslant 1\bigr\}\bigr)$. Тогда из теоремы Хана–Банаха следует, что существует такой вектор $u\in \mathbb{R}^{\mathcal{J}}$, что $\bigl( u, \int_{A_{i,1}}h\, d\lambda\bigr) <0$ для всех $i$. Но это противоречит тому факту, что для каждого ненулевого $v$ существует $\widetilde{w_i}$, для которого $(\widetilde{w_i}, v) >0$. Поэтому $0\in \operatorname{Conv}\bigl(\bigl\{\mathop{\,\rlap{-}\!\int_{A_{i,1}}}h\, d\lambda\colon i\geqslant 1\bigr\}\bigr)$ и, следовательно, из теоремы 2.3 вытекает, что существует такое подмножество $A'\subseteq A$ положительной меры, на котором $h$ имеет нулевое среднее.
Положим $A_{i,j}' := T^{j-1}(A_{i,1}\cap A')$ для $i\geqslant 1$ и $1\leqslant j\leqslant q_i$. Кроме того, определим $A_0' := \bigcup_{i\geqslant 1}\bigcup_{j=1}^{q_i}A_{i,j}'$ и $T'\colon A_0'\to A_0'$, положив $T'|_{A_{i,j}'}=T|_{A_{i,j}'}$ для $j<q_i$ и $T'|_{A_{i,q_i}'}= T|_{A_{i,q_i}'}^{-q_i+1}$. Наконец, определим $h'=h|_{A_0'}$. Тогда разбиение $\{A_{i,j}'\colon i\geqslant 1,\, 1\leqslant j\leqslant q_i\}$ множества $A_0'$, функция $h'$ на $A'$ и преобразование $T'$ на $A_0'$ удовлетворяют всем условиям леммы, кроме одного факта: $A_0'\ne [0,1]$. Однако, используя лемму Цорна, мы можем получить разбиение всего интервала $[0,1]$ и тем завершить доказательство. Лемма 8.3 доказана. Замечание 8.1. Существует связь между разбиением $\{A_{i,j}\colon i\geqslant 1,\, 1\leqslant j\leqslant q_i\}$, построенным в лемме 8.3, и семейством попарно непересекающихся множеств $\{I_{i,j}\colon 1\leqslant j\leqslant w,\, 1\leqslant i\leqslant h_j\}$, которое было построено в [5; лемма 12.4]. Семейство $\{I_{i,j}\}$, обозначенное $\textrm{W-TUB}(\varepsilon,M,h,w)$, используется вместе с преобразованием $\tau$, отображающим $I_{i,j}$ на $I_{i+1,j}$ для $i=1,\dots,h_j-1$. Разница состоит в том, что семейство $\{I_{i,j}\}$ конечно, а $\{A_{i,j}\}$ – счетное бесконечное. Кроме того, при построении семейства $\{I_{i,j}\}$ функция $f$ должна иметь бесконечно много значений, в то время как построение разбиения $\{A_{i,j}\}$ не зависит ни от чего. Далее, множества $\{I_{i,j}\}$ не разбивают весь отрезок на части, в отличие от $\{A_{i,j}\}$, хотя функция $f$ имеет нулевое среднее на их объединении. Семейство $\textrm{W-TUB}$ удовлетворяет условиям $\bigl|\sum_{i=0}^{k}f(\tau^i(x))\bigr| \leqslant M\|f\|_\infty$ для $x\in I_{1,j}$, $k<h_j$ и $\bigl|\sum_{i=0}^{h_j-1}f(\tau^i(x))\bigr|<\varepsilon$ для $x\in I_{1,j}$. Эти условия аналогичны условиям, которые мы задаем в лемме 8.3. Теперь мы полностью готовы приступить к доказательству основного результата. Поясним основную идею доказательства. Для того чтобы найти решение гомологического уравнения для функции $f$, мы строим еще одну функцию $\widetilde{h}^{(1)}$ с нулевым средним на меньшем множестве, для которой также ищем решение уравнения. Для нахождения решения для функции $\widetilde{h}^{(1)}$ мы строим еще одну ограниченную функцию $\widetilde{h}^{(2)}$ с нулевым средним на еще меньшем множестве. Продолжая индуктивный процесс, строим последовательность ограниченных функций $(\widetilde{h}^{(k)})_{k\geqslant 0}$ с нулевым средним на множествах $A^{(0)}\supseteq A^{(1)}\supseteq \cdots$. После этого находим решение уравнения для всех этих функций одновременно. В частности, мы находим решение для функции $f$. Более того, путем добавления координатных функций к функции $\widetilde{h}^{(k)}$ на каждом шаге построения, мы добиваемся эргодичности конечного преобразования. Теперь докажем утверждение, из которого теоремы 1.2 и 1.3 следуют одновременно. Теорема 8.1. Пусть $V$ – конечномерное вещественное нормированное пространство. И пусть $f\in L_\infty([0,1];V)$ – функция с нулевым средним, и $\varepsilon>0$. Тогда существуют такие функция $g\in L_\infty([0,1];V)$ и эргодический автоморфизм $\operatorname{mod}0$ $T$ на $[0,1]$, что $\|g\|_\infty\leqslant (S_V+\varepsilon)\|f\|_\infty$ и $f=g\circ T-g$. Кроме того, существует такое множество $X\subseteq [0,1]$ положительной меры, что для всех $k\geqslant 0$ выполняется неравенство $\bigl\|\sum_{j=0}^k f\circ T^j\bigr\|_{L_\infty(X;V)} \leqslant (S_V+\varepsilon)\|f\|_\infty$. Доказательство. Пусть $(V,\|\,{\cdot}\,\|_V)$, $f$ и $\varepsilon$ такие, как в условии. Положим $d=\dim V$. Для каждого $k\geqslant 0$ через $V_k=V\times \mathbb{R}^{k}$ обозначим $(d+k)$-мерное векторное пространство с нормой $\|(v,w)\|_{V_k}=\|v\|_{V} + \|w\|_1$. Пусть $\{D_l\}_{l\geqslant 1}$ – последовательность всех множеств вида
Определим функции $Z_{l}^{(0)}\colon A^{(0)}\to \mathbb{R}$ с нулевым средним, полагая Мы можем считать, что $f\ne 0$, так как иначе утверждение тривиально. Прежде всего, положим $\varepsilon'=\varepsilon\|f\|_\infty/(2(S_V+1))>0$, и для каждого $k\geqslant 0$ определим
$$
\begin{equation}
\varepsilon'_k=\frac{\varepsilon'}{2^{k+2}(d+k+1)}>0.
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
Положим $\widetilde{h}^{(0)} := f$ и $A^{(0)} := [0,1]$. Поскольку функция $\widetilde{h}^{(0)}$ имеет нулевое среднее, то из леммы 8.3 следует, что существуют такие последовательность $(q_i^{(0)})_{i\geqslant 1}$ в $\mathbb{N}\setminus\{1\}$, разбиение $\{A_{i,j}^{(0)}\colon i\geqslant 1,\, 1\leqslant j\leqslant q_i^{(0)}\}$ множества $A^{(0)}$ и автоморфизм $\operatorname{mod} 0$ $T^{(0)}$ на $A^{(0)}$, что $T^{(0)}(A_{i,j}^{(0)})=A_{i,j+1}^{(0)}$ при $j=1,\dots,q_i^{(1)}-1$ и $T^{(0)}(A_{i,q_i^{(0)}}^{(0)})=A_{i,1}^{(0)}$. Кроме того, это может быть сделано таким образом, что если мы обозначим $A^{(1)}=\bigcup_{i\geqslant 1}A_{i,1}^{(0)}$ и определим функцию $h^{(1)}\colon A^{(1)}\to V_0$, положив $h^{(1)}|_{A_{i,1}^{(0)}}=\sum_{j=1}^{q_i^{(0)}}\widetilde{h}^{(0)}\circ (T^{(0)})^{j-1}$, то $h^{(1)}$ будет иметь нулевое среднее и $\|h^{(1)}\|_\infty\leqslant \varepsilon'_1$. Более того, для $i\geqslant 1$ и $1\leqslant l\leqslant q_i$ из леммы 8.3 следует, что $\bigl\|\sum_{j=1}^{l-1}\widetilde{h}^{(0)}\circ (T^{(0)})^{j-1}\bigr\|_{L_\infty(A_{i,1}^{(0)};V)}\leqslant S_{V}\|\widetilde{h}^{(0)}\|_\infty+\varepsilon'_1$.
Для $l\geqslant 1$ определим функцию $Z_l^{(1)}\colon A^{(1)}\to \mathbb{R}$, положив $Z_l^{(1)}|_{A_{i,1}^{(0)}}= \sum_{j=1}^{q_i^{(0)}} Z_{l}^{(0)}\circ (T^{(0)})^{j-1}$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|Z_l^{(1)}\|_1 &=\sum_{i\geqslant 1}\int_{A_{i,1}^{(0)}}|Z_l^{(1)}|\, d\lambda \leqslant\sum_{i\geqslant 1}\sum_{j=1}^{q_i^{(0)}}\int_{A_{i,1}^{(0)}}|Z_l^{(0)}|\circ (T^{(0)})^{j-1}\, d\lambda \\ &=\sum_{i\geqslant 1}\sum_{j=1}^{q_i^{(0)}}\int_{A_{i,j}^{(0)}}|Z_l^{(0)}|\, d\lambda =\int_{A^{(0)}}|Z_{l}^{(0)}|\, d\lambda = \|Z_l^{(0)}\|_1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому $Z_l^{(1)}\in L_1(A^{(1)};\mathbb{R})$. Более того, на самом деле
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{A^{(1)}}Z_l^{(1)}\, d\lambda &=\sum_{i\geqslant 1}\int_{A_{i,1}^{(0)}}Z_l^{(1)}\, d\lambda =\sum_{i\geqslant 1}\sum_{j=1}^{q_i^{(0)}}\int_{A_{i,1}^{(0)}}Z_l^{(0)}\circ (T^{(0)})^{j-1}\, d\lambda \\ &=\sum_{i\geqslant 1}\sum_{j=1}^{q_i^{(0)}}\int_{A_{i,j}^{(0)}}Z_l^{(0)}\, d\lambda =\int_{A^{(0)}}Z_{l}^{(0)}\, d\lambda = 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, функция $Z_l^{(1)}$ имеет нулевое среднее. Поскольку ограниченные функции плотны в $L_1(A^{(1)};\mathbb{R})$, существует такая функция $\widehat{Z}_1^{(1)} \in L_\infty(A^{(1)};\mathbb{R})$, что $\|Z_{1}^{(1)}-\widehat{Z}_1^{(1)}\|_1 \leqslant \varepsilon_1'/2$. Так как $Z_{1}^{(1)}$ имеет нулевое среднее, то $\bigl|\int_{A^{(1)}}\widehat{Z}_1^{(1)}\, d\lambda\bigr|\leqslant \|Z_{1}^{(1)}-\widehat{Z}_1^{(1)}\|_1 \leqslant \varepsilon_1'/2$. Определим функцию $\widetilde{Z}_{1}^{(1)}$ с нулевым средним $L_\infty(A^{(1)};\mathbb{R})$, положив $\widetilde{Z}_1^{(1)}=\widehat{Z}_1^{(1)}- \mathop{\,\rlap{-}\!\int_{A^{(1)}}}\widehat{Z}_1^{(1)}\, d\lambda$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\|Z_{1}^{(1)}-\widetilde{Z}_{1}^{(1)}\|_1 \leqslant \|Z_{1}^{(1)}-\widehat{Z}_1^{(1)}\|_1 + \biggl|\int_{A^{(1)}}\widehat{Z}_1^{(1)}\, d\lambda\biggr| \leqslant \frac{\varepsilon_1'}{2} + \frac{\varepsilon_1'}{2}=\varepsilon_1'.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим $\widetilde{h}^{(1)}\in L_\infty([0,1];V_1)$, положив $\widetilde{h}^{(1)}=(h^{(1)},\, \varepsilon_1'\widetilde{Z}_1^{(1)}/(\|\widetilde{Z}_1^{(1)}\|_\infty + 1))$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde{h}^{(1)}\|_\infty=\|h^{(1)}\|_\infty + \frac{\varepsilon_1'\|\widetilde{Z}_1^{(1)}\|_\infty}{\|\widetilde{Z}_1^{(1)}\|_\infty + 1}\leqslant 2\varepsilon_1'.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\widetilde{h}^{(1)}$ имеет нулевое среднее, мы можем применить к этой функции ту же конструкцию, что и для $\widetilde{h}^{(0)}$. Таким образом, продолжая этот индуктивный процесс по $k\geqslant 0$, мы можем построить: $\bullet$ последовательность $(q_i^{(k)})_{i\geqslant 1}$ в $\mathbb{N}\setminus\{1\}$; $\bullet$ разбиение $\{A_{i,j}^{(k)}\colon i\geqslant 1,1\leqslant j\leqslant q_i^{(k)}\}$ множества $A^{(k)}$ на множества положительной меры; $\bullet$ автоморфизм $\operatorname{mod}0$ $T^{(k)}\colon A^{(k)}\to A^{(k)}$, определяемый $T^{(k)}(A_{i,j}^{(k)})=A_{i,j+1}^{(k)}$ при $j<q_i^{(k)}$ и $T^{(k)}(A_{i,q_i}^{(k)})=A_{i,1}^{(k)}$; $\bullet$ множество $A ^{(k+1)}=\bigcup_{i\geqslant 1}A_{i,1}^{(k)}$; $\bullet$ функцию $h^{(k+1)}\colon A^{(k+1)}\to V_k$ с нулевым средним, для которой
$$
\begin{equation}
h^{(k+1)}|_{A_{i,1}^{(k)}}=\sum_{j=1}^{q_i^{(k)}} \widetilde{h}^{(k)}\circ (T^{(k)})^{j-1}.
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
$\bullet$ для $l\geqslant 1$ функции $Z_l^{(k+1)}\in L_1(A^{(k+1)},\mathbb{R})$ с нулевым средним, для которых
$$
\begin{equation}
Z_{l}^{(k+1)}|_{A_{i,1}^{(k)}}=\sum_{j=1}^{q_i^{(k)}} Z_{l}^{(k)}\circ (T^{(k)})^{j-1};
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
$\bullet$ функцию $\widetilde{Z}_{k+1}^{(k+1)}\in L_\infty(A^{(k+1)};\mathbb{R})$ с нулевым средним, для которой
$$
\begin{equation}
\|Z_{k+1}^{(k+1)}-\widetilde{Z}_{k+1}^{(k+1)}\|_1\leqslant \varepsilon_{k+1}';
\end{equation}
\tag{8.4}
$$
$\bullet$ функцию $\widetilde{h}^{(k+1)}\in L_\infty(A^{(k+1)};V_{k+1})$ с нулевым средним, для которой
$$
\begin{equation}
\widetilde{h}^{(k+1)}=\biggl(h^{(k+1)},\frac{\varepsilon_k' \widetilde{Z}_{k+1}^{(k+1)}}{\|\widetilde{Z}_{k+1}^{(k+1)}\|_\infty + 1}\biggr);
\end{equation}
\tag{8.5}
$$
Кроме того, для $k\geqslant 0$ из построения следует, что
$$
\begin{equation*}
\|h^{(k+1)}\|_\infty \leqslant \varepsilon'_{k+1},\qquad \|\widetilde{h}^{(k+1)}\|_\infty \leqslant 2\varepsilon'_{k+1},
\end{equation*}
\notag
$$
а для $i\geqslant 1$ и $j=1,\dots,q_i^{(k)}$
$$
\begin{equation}
\biggl\|\sum_{l=1}^{j-1}\widetilde{h}^{(k)}\circ (T^{(k)})^{l-1}\biggr\|_{L_\infty(A_{i,1}^{(k)};S_{V_k})} \leqslant S_{V_k}\|\widetilde{h}^{(k)}\|_\infty+\varepsilon'_k.
\end{equation}
\tag{8.6}
$$
Перейдем к определению преобразования $T$, функции $g$ и множества $X$. Для $k\geqslant 0$ определим отображение $P^{(k)}\colon A^{(k)}\to A^{(k+1)}$, полагая которое “проецирует” точки $A^{(k)}$ в точки $A^{(k+1)}$. Построим автоморфизмы $\operatorname{mod}0$ $T_k\colon [0,1]\to [0,1]$ для $k\geqslant 0$ следующим образом. Положим $T_k|_{A_{i,j}^{(k)}} := T^{(k)}$ для $i\geqslant 1$ и $1\leqslant j< q_i^{(k)}$, $T_k|_{A_{i,q_i^{(k)}}^{(k)}} := P^{(k)}|_{A_{i,q_i^{(k)}}^{(k)}}$ для $i\geqslant 1$, и $T_k|_{[0,1]\setminus A^{(k)}}=\operatorname{Id}_{[0,1]\setminus A^{(k)}}$. Для $k_0\geqslant 0$ определим преобразование $R_{k_0}\colon A^{(k_0)}\to A^{(k_0)}$, положив
$$
\begin{equation}
R_{k_0} := \lim_{N\to \infty}T_N \circ T_{N-1}\circ \dots \circ T_{k_0}|_{A^{(k_0)}},
\end{equation}
\tag{8.8}
$$
где сходимость рассматривается по мере. Действительно, предел существует, так как $A^{(k+1)}\subseteq A^{(k)}$ для $k\geqslant 1$, $\lim_{k\to\infty}\lambda(A^{(k)})=0$ и $T_{k'}|_{[0,1]\setminus A^{(k)}}=\operatorname{Id}_{[0,1]\setminus A^{(k)}}$ для всех $k'\geqslant k$. Точно так же существует предел обратных преобразований. Поскольку отображения $T_k$ для всех $k\geqslant 0$ являются автоморфизмами $\operatorname{mod}0$, то из леммы 8.2 следует, что $R_{k_0}$ – автоморфизм $\operatorname{mod}0$. Наконец, определим преобразование $T := R_0$.
Определим теперь $g_k\colon A^{(k)}\to V_k$, положив
$$
\begin{equation}
g_k|_{A_{i,j}^{(k)}} := \biggl(\sum_{l=1}^{j-1}\widetilde{h}^{(k)}\circ (T^{(k)})^{l-1}\biggr) \circ P^{(k)}.
\end{equation}
\tag{8.9}
$$
Отметим, что на $A^{(k+1)}= \bigcup_{i\geqslant 1}A_{i,1}^{(k)}$ функция $g_k$ равна нулю. Для целых $k_1\geqslant k_2$ рассмотрим координатный проектор $p_{k_1,k_2}\colon V_{k_1}\to V_{k_2}$, задаваемый равенством
$$
\begin{equation}
p_{k_1,k_2}(v,w_1,\dots, w_{k_1}) := (v,w_1,\dots,w_{k_2}).
\end{equation}
\tag{8.10}
$$
Для каждого $k_0\geqslant 0$ определим функцию $r_{k_0}\colon A^{(k_0)}\to V_{k_0}$, полагая
$$
\begin{equation}
r_{k_0} := \sum_{j=k_0}^{\infty}p_{j,k_0} \circ g_j\circ P^{(j-1)}\circ \dots \circ P^{(k_0)}.
\end{equation}
\tag{8.11}
$$
Покажем, что этот ряд сходится. Действительно, для $k\geqslant 0$ имеем $S_{V_k}\leqslant \dim V_k=d+k$ [15], поэтому для $k_0\geqslant 0$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{j=k_0}^{\infty}\|p_{{j},k_0}\circ g_j\|_\infty \leqslant \sum_{k=0}^{\infty}\|p_{k,k_0}\circ g_k\|_\infty \leqslant \sum_{k=0}^{\infty}\|g_k\|_\infty \\ &\qquad\leqslant \|g_0\|_\infty + \sum_{k\geqslant 1}\max_{\substack{{i\geqslant 1}\\ {1\leqslant j\leqslant q_{i}^{(k)}}}}\|g_k|_{A_{i,j}^{(k)}}\|_\infty \stackrel{(8.6)}{\leqslant}\|g_0\|_\infty + \sum_{k\geqslant 1}\bigl(S_{V_{k}}\|\widetilde{h}^{(k)}\|_\infty + \varepsilon'_k\bigr) \\ &\qquad\leqslant \|g_0\|_\infty + \sum_{k\geqslant 1}(2S_{V_{k}}+1)\varepsilon'_k \stackrel{(8.1)}{\leqslant} \|g_0\|_\infty + \sum_{k\geqslant 1}\frac{\varepsilon'}{2^{k+1}} \leqslant \|g_0\|_\infty + \varepsilon'<\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому ряд из (8.11) абсолютно сходится. Следовательно, функция $r_{k_0}\in L_\infty(A^{(k_0)};V_{k_0})$ определена корректно.
Определим функцию $g$ как $g := r_0$ и множество $X$ как $X := A^{(1)}$. Теперь мы можем доказать утверждения теоремы. 1) Начнем с доказательства оценки $\|g\|_{\infty}$. Из предыдущего построения следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|g\|_\infty &\leqslant \sum_{k\geqslant 0}\|p_{k,0}\circ g_k\|_\infty \leqslant \|g_0\|_\infty + \varepsilon' \leqslant \Biggl(\max_{\substack{i\geqslant 1\\ 1\leqslant j\leqslant q_{i}^{(0)}}}\|g_0|_{A_{i,j}^{(0)}}\Biggr) + \varepsilon' \\ &\!\!\!\stackrel{(8.6)}{\leqslant}(S_{V_0}\|\widetilde{h}^{(0)}\|_\infty + \varepsilon_0') + \varepsilon' \leqslant S_V\|f\|_\infty + 2\varepsilon' \leqslant (S_V+\varepsilon)\|f\|_\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что дает оценку для $\|g\|_{\infty}$.
2) Теперь покажем, что $\widetilde{h}^{(k_0)}=r_{k_0}\circ R_{k_0}-r_{k_0}$ для всех $k_0\geqslant 0$. В частности, будет доказано равенство $f=g\circ T-g$. Для $x\in A^{(k_0)}$ и $k\geqslant k_0$ положим
$$
\begin{equation}
x_k:=P^{(k-1)}\circ \dots \circ P^{(k_0)}(x)\in A^{(k)}.
\end{equation}
\tag{8.12}
$$
Определим $x_{k_0}=x$. Далее, для $k\geqslant k_0$ положим
$$
\begin{equation*}
B^{(k)}:=\bigcup_{i\geqslant 1}A_{i,q_i^{(k)}}^{(k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $x_k\in B^{(k)}$ для некоторого $k\geqslant k_0$, то $T_k(x_k)=x_{k+1}$. Поэтому в случае $x_k\in B^{(k)}$ для всех $k\geqslant k_0$ имеем $R_{k_0}(x) \in \bigcap_{k\geqslant 1} A^{(k)}$. Поскольку $R_{k_0}$ сохраняет меру и $\lim_{k\to \infty}\lambda(A^{(k)})=0$, для почти всех $x\in A^{(k_0)}$ найдется такой индекс $N\geqslant k_0$, что $x_N\notin B^{(N)}$. Обозначим через $N(x)$ наименьший из таких индексов ($N(x)\geqslant k_0$). Будем полагать, что для всех $x\in A^{(k_0)}$, $N(x)$ – конечное число. Для $k=k_0,\dots,N(x)-1$ имеем $x_k\in B^{(k)}$, поэтому $T_k(x_k)= x_{k+1}$. Это значит, что Далее, согласно (8.12) из определения $N(x)$ следует, что $x_{N(x)}\,{\in} A^{(N(x))}\,{\setminus}\,B^{(N(x))}$, и поэтому $x_{N(x)}\in A_{i,j}^{(N(x))}$ для некоторых $i\geqslant 1$ и $1\leqslant j\leqslant q_i^{(N(x))}-1$. Поэтому
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, T_{N(x)}(x_{N(x)})=T^{(N(x))}(x_{N(x)})\in A_{i,j+1}^{(N(x))} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.14}
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P^{(N(x))}\circ T_{N(x)}(x_{N(x)}) &= (T^{(N(x))})^{1-(j+1)}(T^{(N(x))}(x_{N(x)})) \nonumber \\ &=(T^{(N(x))})^{1-j}(x_{N(x)}) = P^{(N(x))}(x_{N(x)}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.15}
$$
Из (8.14) следует, что $T_{N(x)}(x_{N(x)})\in A^{(N(x))}\setminus A^{(N(x)+1)}$. Используя это, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_{k_0}(x) &\stackrel{(8.8)}{=} \lim_{M\to \infty}T_M\circ \dots \circ T_{k_0}(x) \stackrel{(8.13)}{=} \lim_{M\to\infty}T_M\circ \dots \circ T_{N(x)}(x_{N(x)}) \nonumber \\ &\,\,= T_{N(x)}(x_{N(x)}) \in A^{(N(x))}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.16}
$$
Из (8.15) и (8.16) следует, что
$$
\begin{equation}
P^{(N(x))}\circ R_{k_0}(x) = P^{(N(x))}\circ T_{N(x)}(x_{N(x)})=P^{(N(x))}(x_{N(x)}).
\end{equation}
\tag{8.17}
$$
Отметим, что для $k\geqslant k_0$ по определению $P^{(k)}$ действует на $A^{(k+1)}$ тождественно. Отсюда и из (8.16) следует, что $R_{k_0}(x)\in A^{(N(x))}\subseteq \dots \subseteq A^{(k_0)}$, поэтому для $k=k_0,\dots,N(x)-1$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P^{(k)}\circ \dots \circ P^{(k_0)}\circ R_{k_0}(x)=R_{k_0}(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.18}
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P^{(N(x))}\circ \dots \circ P^{(k_0)}\circ R_{k_0}(x) &\stackrel{(8.18)}{=} P^{(N(x))}\circ R_{k_0}(x) \stackrel{(8.17)}{=} P^{(N(x))}(x_{N(x)}) \\ &\stackrel{(8.12)}{=} P^{(N(x))}\circ \dots \circ P^{(k_0)}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В результате, для $M\geqslant N(x)$ поучаем
$$
\begin{equation}
P^{(M)}\circ \dots \circ P^{(k_0)}\circ R_{k_0}(x) = P^{(M)}\circ \dots \circ P^{(k_0)}(x).
\end{equation}
\tag{8.19}
$$
Теперь мы вычислим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(r_{k_0}\circ R_{k_0}-r_{k_0})(x) \stackrel{(8.11)}{=} \sum_{k=k_0}^{\infty}p_{k,k_0}\circ g_k \circ P^{(k-1)}\circ \dots \circ P^{(k_0)}\circ R_{k_0}(x) \\ &\qquad\qquad-\sum_{k=1}^{\infty}p_{k,k_0}\circ g_k \circ P^{(k-1)}\circ \dots \circ P^{(k_0)}(x) \\ &\qquad\stackrel{(8.19)}{=} \sum_{k=k_0}^{N(x)}p_{k,k_0}\circ g_k \circ P^{(k-1)}\circ \dots \circ P^{(k_0)}\circ R_{k_0}(x) \\ &\qquad\qquad- \sum_{k=k_0}^{N(x)}p_{k,k_0}\circ g_k \circ P^{(k-1)}\circ \dots \circ P^{(k_0)}(x) \\ &\quad\stackrel{(8.12), (8.18)}{=} \sum_{k=k_0}^{N(x)}p_{k,k_0}\circ g_k \circ R_{k_0}(x)-\sum_{k=k_0}^{N(x)}p_{k,k_0}\circ g_k(x_k). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы получим
$$
\begin{equation}
(r_{k_0}\circ R_{k_0}-r_{k_0})(x) = \sum_{k=k_0}^{N(x)}p_{k,k_0}\circ (g_k\circ R_{k_0}(x)-g_k(x_{k})).
\end{equation}
\tag{8.20}
$$
Теперь мы разберемся со слагаемыми в правой части, чтобы показать, что эта сумма равна $\widetilde{h}^{(k_0)}(x)$.
Из определения $N(x)$ следует, что $x_{N(x)}\in A_{i,j}^{(N(x))}$ для некоторых $i\geqslant 1$ и $1\leqslant j\leqslant q_i^{N(x)}-1$, а из (8.14) следует, что в таком случае $T_{N(x)}(x_{N(x)})\in A_{i,j+1}^{(N(x))}$. Используя это и определение $g_{N(x)}$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &g_{N(x)}\circ T_{N(x)}(x_{N(x)}) - g_{N(x)}(x_{N(x)}) \\ &\qquad\!\stackrel{(8.9)}{=} \biggl(\sum_{l=1}^{j}\widetilde{h}^{(N(x))}\circ (T^{(N(x))})^{l-1}\circ P^{(N(x))}\circ T_{N(x)}(x_{N(x)})\biggr) \\ &\qquad\qquad-\biggl(\sum_{l=1}^{j-1}\widetilde{h}^{(N(x))}\circ (T^{(N(x))})^{l-1}\circ P^{(N(x))}(x_{N(x)})\biggr) \\ &\qquad\!\!\!\stackrel{(8.15)}{=} \biggl(\sum_{l=1}^{j}\widetilde{h}^{(N(x))}\circ (T^{(N(x))})^{l-1} \circ P^{(N(x))}(x_{N(x)})\biggr) \\ &\qquad\qquad- \biggl(\sum_{l=1}^{j-1}\widetilde{h}^{(N(x))}\circ (T^{(N(x))})^{l-1}\circ P^{(N(x))}(x_{N(x)})\biggr) \\ &\qquad=\widetilde{h}^{(N(x))}\circ (T^{N(x)})^{j-1}\circ P^{(N(x))}(x_{N(x)}) \\ &\qquad\!\!\!\stackrel{(8.7)}{=}\widetilde{h}^{(N(x))}\circ (T^{N(x)})^{j-1}\circ (T^{N(x)})^{1-j}(x_{N(x)}) =\widetilde{h}^{(N(x))}(x_{N(x)}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Соединяя это с расчетом (8.16), получим
$$
\begin{equation}
\widetilde{h}^{(N(x))}(x_{N(x)})=g_{N(x)}\circ R_{k_0}(x)-g_{N(x)}(x_{N(x)}).
\end{equation}
\tag{8.21}
$$
Зафиксируем $k_0\leqslant k\leqslant N(x)-1$. Тогда, поскольку из определения $N(x)$ следует, что $x_k\in B^{(k)}$, мы получим, что $x_k \in A_{i,q_{i}^{(k)}}^{(k)}$ для некоторого $i\geqslant 1$. Кроме того, $P^{(k)}(x_k)\in A_{i,1}^{^{(k)}}$ по определению $P^{(k)}$. Теперь вычислим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_k(x_k) &\stackrel{(8.9)}{=} \sum_{j=1}^{q_{i}^{(k)}-1} \widetilde{h}^{(k)}\circ (T^{(k)})^{j-1}\circ P^{(k)}(x_k) \\ &\,\,= \biggl(\sum_{j=1}^{q_{i}^{(k)}} \widetilde{h}^{(k)}\circ (T^{(k)})^{j-1}\circ P^{(k)}(x_k)\biggr) - \bigl(\widetilde{h}^{(k)}\circ (T^{(k)})^{q_{i}^{(k)}-1}\circ P^{(k)}(x_k)\bigr) \\ &\!\stackrel{(8.2)}{=} h^{(k+1)}(P^{(k)}(x_k)) -\bigl(\widetilde{h}^{(k)}\circ (T^{(k)})^{q_{i}^{(k)}-1}\circ P^{(k)}(x_k)\bigr) \\ &\!\stackrel{(8.7)}{=} h^{(k+1)}(P^{(k)}(x_k))-\bigl(\widetilde{h}^{(k)}\circ (T^{(k)})^{q_{i}^{(k)}-1}\circ (T^{(k)})^{1-q_{i}^{(k)}}(x_k)\bigr) \\ &\,=h^{(k+1)}(P^{(k)}(x_k))-\widetilde{h}^{(k)}(x_k) \stackrel{(8.5), (8.12)}{=}p_{k+1,k}\circ \widetilde{h}^{(k+1)}(x_{k+1})-\widetilde{h}^{(k)}(x_k). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что для $k\geqslant k_0$ из определения $g_k$ следует, что $g_k|_{A^{(k+1)}}=0$. Таким образом, поскольку согласно (8.16) $R_{k_0}(x) \in A^{(N(x))}\subseteq \dots\subseteq A^{(k_0)}$, существуют такие $k=k_0,\dots,N(x)-1$, что $g_k(R_{k_0}(x))=0$. Поэтому
$$
\begin{equation}
g_k\circ R_{k_0}(x)-g_k(x_k) = -g_k(x_k)=\widetilde{h}^{(k)}(x_k)-p_{k+1,k}\circ \widetilde{h}^{(k+1)}(x_{k+1})
\end{equation}
\tag{8.22}
$$
для $k=k_0,\dots,N(x)-1$.
Наконец, мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(r_{k_0}\circ R_{k_0}-r_{k_0})(x) \stackrel{(8.20)}{=} \sum_{k=k_0}^{N(x)}p_{k,k_0}\circ [g_k\circ R_{k_0}(x)-g_k(x_{k})] \\ &\stackrel{(8.21)}{=} \biggl(\sum_{k=k_0}^{N(x)-1}p_{k,k_0}\circ [g_k\circ R_{k_0}(x)-g_k(x_{k})]\biggr)+ p_{N(x),k_0}\circ \widetilde{h}^{N(x)}(x_{N(x)}) \\ &\stackrel{(8.22)}{=} \biggl(\sum_{k=k_0}^{N(x)-1}p_{k,k_0}\circ \bigl[\widetilde{h}^{(k)}(x_k)-p_{k+1,k}\circ \widetilde{h}^{(k+1)}(x_{k+1})\bigr] \biggr) + p_{N(x),k_0}\circ \widetilde{h}^{N(x)}(x_{N(x)}) \\ &\stackrel{(8.10)}{=} \biggl(\sum_{k=k_0}^{N(x)-1}p_{k,k_0}(\widetilde{h}^{(k)}(x_k))- p_{k+1,k_0}(\widetilde{h}^{(k+1)}(x_{k+1}))\biggr)+ p_{N(x),k_0}(\widetilde{h}^{N(x)}(x_{N(x)})) \\ &\,\,\,= p_{k_0,k_0}(\widetilde{h}^{(k_0)}(x_{k_0})) \stackrel{(8.10)}{=} \widetilde{h}^{(k_0)}(x_{k_0}) \stackrel{(8.12)}{=} \widetilde{h}^{(k_0)}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это доказывает равенство $\widetilde{h}^{(k_0)}=r_{k_0}\circ R_{k_0}-r_{k_0}$ для $k_0\geqslant 0$. Поскольку $f=\widetilde{h}^{(0)}$, $g=r_0$ и $T=R_0$, мы, в частности, получаем $f=g\circ T-g$.
3) Перейдем к доказательству эргодичности $T$. Зафиксируем $k\geqslant 0$ и $i\geqslant 1$. Сначала покажем, что выполнено равенство
$$
\begin{equation}
R_{k}^{q_{i}^{(k)}}|_{A_{i,1}^{(k)}}=R_{k+1}|_{A_{i,1}^{(k)}}.
\end{equation}
\tag{8.23}
$$
Пусть $x\in A_{i,j}^{(k)}$ для некоторого $j=1,\dots,q_{i}^{(k)}-1$. Тогда по определению В частности, $T_k(x)\notin A^{(k+1)}\supseteq A^{(k+2)}\supseteq \cdots$. Для $M\geqslant k+1$ действие $T_M$ на $A^{(M-1)}\setminus A^{(M)}$ тождественно, поэтому для $M\geqslant k$ имеем Таким образом,
$$
\begin{equation*}
R_{k}(x) \stackrel{(8.8)}{=} \lim_{M\to \infty}T_{M}\circ \dots\circ T_k(x) \stackrel{(8.25)}{=}T_k(x) \stackrel{(8.24)}{=} T^{(k)}(x)\in A_{i,j+1}^{(k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, если $y\in A_{i,1}^{(k)}$, то для $j=1,\dots,q_i^{(k)}$ индуктивно получаем, что Положим $z := R_k^{q_{i}^{(k)}-1}(y)$, тогда, поскольку $z\in A_{i,q_{i}^{(k)}}^{(k)}$, то из определений $T_k$ и $P^{(k)}$ следует, что
$$
\begin{equation}
T_k(z)=P^{(k)}(z)=(T^{(k)})^{1-q_{i}^{(k)}}(z) \stackrel{(8.26)}{=} y \in A_{i,1}^{(k)}\subseteq A^{(k+1)}.
\end{equation}
\tag{8.27}
$$
Мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{k}^{q_i^{(k)}}(y) &= R_{k}(z) \stackrel{(8.8)}{=} \lim_{M\to \infty}T_{M}\circ \dots \circ T_{k}(z) \\ &= \Bigl(\lim_{M\to \infty}T_{M} \circ \dots \circ T_{k+1}\Bigr)\Big|_{A^{(k+1)}} \circ T_{k}(z) \stackrel{(8.8)}{=} R_{k+1} \circ T_{k}(z) \stackrel{(8.27)}{=} R_{k+1}(y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, действительно, Заметим также, что для $j=1,\dots,q_{i}^{(k)}$ из (8.26) следует, что
$$
\begin{equation}
R_k^{j-1}|_{A_{i,1}^{(k)}} = (T^{(k)})^{j-1}|_{A_{i,1}^{(k)}},\qquad R_{k}^{j-1}(A_{i,1}^{(k)}) = A_{i,j}^{(k)}.
\end{equation}
\tag{8.29}
$$
Пусть $k\geqslant 0$, и пусть $F\subseteq A^{(k)}$ – $R_{k}$-инвариантное множество положительной меры. Поскольку
$$
\begin{equation*}
R_{k+1}(F\cap A^{(k+1)}) = \bigcup_{i\geqslant 1}R_{k+1}(F\cap A^{(k)}_{i,1}) \stackrel{(8.28)}{=} \bigcup_{i\geqslant 1}R_{k}^{q_{i}^{(k)}}(F\cap A^{(k)}_{i,1}) \subseteq F,
\end{equation*}
\notag
$$
и поскольку также известно, что $R_{k+1}(A^{(k+1)}) \subseteq A^{(k+1)}$, из определения отображения $R_{k+1}$ следует, что $R_{k+1}(F\cap A^{(k+1)}) \subseteq F\cap A^{(k+1)}$, и это означает, что $F\cap A^{(k+1)}$ $R_{k+1}$-инвариантно.
Зафиксируем теперь $T$-инвариантное множество $D\subseteq [0,1]$ положительной меры и покажем, что $\lambda(D)=1$. Из того, что мы только что показали, индуктивно следует, что для $k\geqslant 0$ множество $D\cap A^{(k)}$ $R_{k}$-инвариантно. Зафиксируем $k\geqslant 1$. Используя $R_{k-1}$-инвариантность $D\cap A^{(k-1)}$, для $i\geqslant 1$ и $j=1,\dots,q_{i}^{(k-1)}$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_{k-1}^{j-1}(D\cap A_{i,1}^{(k-1)}) &= R_{k-1}^{j-1}(D\cap A^{(k-1)})\cap R_{k-1}^{j-1}(A_{i,1}^{(k-1)}) \nonumber \\ &\!\!\!\stackrel{(8.29)}{=}(D\cap A^{(k-1)}) \cap A_{i,j}^{(k-1)} = D\cap A_{i,j}^{(k-1)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.30}
$$
Теперь для $l\geqslant 1$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{D\cap A^{(k)}}Z_{l}^{(k)}\, d\lambda &= \sum_{i=1}^\infty \int_{D\cap A_{i,1}^{(k-1)}} Z_l^{(k)}\, d\lambda \\ &\!\!\!\stackrel{(8.3)}{=}\sum_{i=1}^\infty \int_{D\cap A_{i,1}^{(k-1)}} \sum_{j=1}^{q_i^ {(k-1)}}Z_l^{(k-1)}\circ (T^{(k-1)})^{j-1} \, d\lambda \\ &\!\!\!\!\stackrel{(8.29)}{=}\sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^{q_i^ {(k-1)}} \int_{D\cap A_{i,1}^{(k-1)}} Z_l^{(k-1)}\circ R_{k-1}^{j-1} \, d\lambda \\ &\!\!\!\!\stackrel{(8.30)}{=}\sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^{q_i^ {(k-1)}} \int_{D\cap A_{i,j}^{(k-1)}} Z_l^{(k-1)} \, d\lambda = \int_{D\cap A^{(k-1)}}Z_l^{(k-1)}\, d\lambda. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для $k\geqslant 0$ и $l\geqslant 1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{D\cap A^{(k)}}Z_l^{(k)}\, d\lambda= \int_{D\cap A^{(0)}}Z_l^{(0)} \, d\lambda=\lambda(D\cap D_l)-\lambda(D)\lambda(D_l).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что на шаге 2) доказательства для $k\geqslant 0$ мы имели равенство $\widetilde{h}^{(k)}=r_k\circ R_k-r_k$. Поэтому из (8.5) следует, что для $k\geqslant 1$ функция $\widetilde{Z}_k^{(k)}$ может быть записана в (приведенном) виде $(\varepsilon_k'/\|\widetilde{Z}_k^{(k)}\|_\infty +1)\widetilde{Z}_k^{(k)}=Y_k\,{\circ}\, R_k-Y_k$, где $Y_k$ – последняя координатная функция $r_k$. Из этого и из $R_k$-инвариантности $D\,{\cap}\,A^{(k)}$ следует, что $\int_{D\cap A^{(k)}}\widetilde{Z}_k^{(k)}\, d\lambda=0$. Поскольку $\|Z_{k}^{(k)}-\widetilde{Z}_k^{(k)}\|_1\leqslant \varepsilon_k'$ (см. (8.4)), то
$$
\begin{equation*}
|\lambda(D\cap D_k)-\lambda(D)\lambda(D_k)|\leqslant \varepsilon_k'
\end{equation*}
\notag
$$
для $k\geqslant 1$.
Покажем, что $\lambda(D)=\lambda(D)^2$. Пусть $\rho>0$. Из регулярности меры Лебега следует, что существует такое открытое множество $U$, для которого $D\subseteq U$ и $\lambda(U\setminus D)<\rho$. Более того, это множество можно выбрать так, что где $a_i,b_i\in \mathbb{Q}$. Следовательно, найдется такой индекс $l\geqslant 1$, что $D_l\subseteq U$ и $\lambda(U\setminus D_l)\leqslant \rho$. И, более того, мы можем выбрать $l$ таким большим, чтобы $\varepsilon_l'\leqslant \rho$. Из оценок $\lambda(U\setminus D)$ и $\lambda(U\setminus D_l)$ следует, что $\lambda(D\Delta D_l)\leqslant 2\rho$. Поэтому $|\lambda(D)-\lambda(D\cap D_l)|\leqslant 2\rho$ и $|\lambda(D_l)-\lambda(D)|\leqslant 2\rho$, а значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\lambda(D)-\lambda(D)^2| &\leqslant|\lambda(D)-\lambda(D\cap D_l)| + |\lambda(D\cap D_l)-\lambda(D)\lambda(D_l)| \\ &\qquad+ |\lambda(D)\lambda(D_l)-\lambda(D)^2| \leqslant 2\rho + \varepsilon_l' + 2\rho\lambda(D) \leqslant 5\rho. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\rho>0$ было выбрано произвольно, то $\lambda(D)=\lambda(D)^2$. Поэтому $\lambda(D)= 1$, что влечет эргодичность $T$.
4) Докажем утверждение для $X$. Поскольку $X=A^{(1)}$, то $X$ имеет положительную меру. Теперь, чтобы получить указанную оценку, отметим, что функция $g_0$ такова, что $g_0|_{A_{i,1}^{(0)}}=0$ при $i\geqslant 1$. Поскольку $X=A^{(1)}=\bigcup_{i\geqslant 1}A_{i,1}^{(0)}$, то $g_0|_{X}=0$. Аналогично тому, как мы получили оценку $\|g\|_\infty\leqslant (S_V+\varepsilon/2)\|f\|_\infty$, имеем Отсюда следует, что для $k=0,1,\dots$ .Лемма 8.4. Пусть $f\colon [0,1]\to\mathbb{R}^d$, $f_1,\dots,f_d$ – координатные функции $f$. Обозначим через $P_i\colon \mathbb{R}^d\to\mathbb{R}$ проекцию $i$-й координаты. Тогда (i) $f^{-1}(X_1\times\dots\times X_d)=\bigcap_{i=1}^df_i^{-1}(X_i)$ для любых $X_1,\dots,X_d\subset \mathbb{R}$; (ii) если $f$ – измеримая функция, то $\sigma(f)\subset \sigma(f_1)\times\dots\times\sigma(f_d)$; (iii) если $f\in L_\infty([0,1];\mathbb{R}^d)$, то $\sigma(f)$ – компакт в $\mathbb{R}^d$ и $\sigma(f_i)\subset P_i(\sigma(f))$, $i=1,\dots,d$; (iv) $f\in L_\infty([0,1];\mathbb{R}^d)\Leftrightarrow f_1,\dots,f_d \in L_\infty[0,1]$; (v) если $f\in L_\infty([0,1];\mathbb{R}^d)$ и норма в $\mathbb{R}^d$ такова, что $|P_i(\,{\cdot}\,)|\leqslant\|\,{\cdot}\,\|$, то $\|f_i\|_\infty\leqslant\|f\|_\infty$, $i=1,\dots,d$. Доказательство. Прежде всего отметим, что функции $f_1,\dots,f_d$ измеримы тогда и только тогда, когда измерима $f$ [12; лемма 2.12.5].
(i) Действительно, $t\in f^{-1}(X_1\times\dots\times X_d)\Leftrightarrow f(t)\in X_1\times\dots\times X_d\Leftrightarrow f_i(t)\in X_i$, $i=1,\dots,d\Leftrightarrow t\in\bigcap_{i=1}^df_i^{-1}(X_i)$. (ii) Пусть $v\in \sigma(f)$, и пусть $U_i$ – окрестность $P_i(v)$ в $\mathbb{R}$ для каждого $i$. Тогда $U:=U_1\times\dots\times U_d$ – окрестность $v$. Согласно (i) $f^{-1}(U)\subset f_i^{-1}(U_i)$, $i=1,\dots,d$. Поэтому $\lambda(f_i^{-1}(U_i))>0$, т. е. $P_i(v)\in \sigma(f_i)$, $i=1,\dots,d$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\sigma(f)\subset \sigma(f_1)\times\dots\times\sigma(f_d).
\end{equation*}
\notag
$$
(iii) Поскольку $f\in L_\infty([0,1];\mathbb{R}^d)$, то множество $\sigma(f)$ ограничено в $\mathbb{R}^d$. Остается доказать замкнутость $\sigma(f)$. Пусть $\sigma(f)\ni v_n\to v$. Тогда для любой окрестности $U$ точки $v$ существует такой индекс $n$, что $v_n\in U$. В таком случае $\lambda(f^{-1}(U))>0$. Следовательно, $v\in \sigma(f)$. Поэтому $\sigma(f)$ – компакт. Пусть $1\leqslant i\leqslant d$, $t\in \sigma(f_i)$. Согласно (i)
$$
\begin{equation*}
\lambda\biggl(f^{-1}\biggl(\mathbb{R}^{i-1}\times \biggl[t-\frac{1}{n},\, t+\frac{1}{n}\biggr]\times\mathbb{R}^{d-i}\biggr)\biggr) =\lambda\biggl(f_i^{-1}\biggl(\biggl[t-\frac{1}{n},\, t+\frac{1}{n}\biggr]\biggr)\biggr)>0
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $n\in\mathbb{N}$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
K_n:=\biggl(\mathbb{R}^{i-1}\times \biggl[t-\frac{1}{n},\, t+\frac{1}{n}\biggr]\times\mathbb{R}^{d-i}\biggr)\cap\sigma(f)
\end{equation*}
\notag
$$
есть непустое компактное множество в $\mathbb{R}^d$ для любого $n\in\mathbb{N}$. Поскольку $\{K_n\}_{n=1}^\infty$ – центрированная система компактов, то
$$
\begin{equation*}
\sigma(f)\cap(\mathbb{R}^{i-1}\times \{t\}\times\mathbb{R}^{d-i})=\bigcap_{n=1}^\infty K_n\neq\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, $t\in P_i(\sigma(f))$ и поэтому $\sigma(f_i)\subset P_i(\sigma(f))$, $ i=1,\dots,d$.
(iv) Это свойство следует из (ii) и (iii). (v) Найдется такой вектор $r\in\sigma(f_i)$, что $\|f_i\|_\infty=|r|$. Из (iii) следует, что $r=P_i(v)$ для некоторого $v\in\sigma(f)$. Тогда $\|f_i\|_\infty=|r|=|P_i(v)|\leqslant\|v\|\leqslant\sup\{\|w\|\colon w\in\sigma(f)\}=\|f\|_\infty$. Лемма 8.4 доказана. Доказательство следствия 1.1. Пусть $f\in L_\infty([0,1])$ – комплексно-значная функция с нулевым средним, $f_1:=\operatorname{Re} (f)$, $ f_2:=\operatorname{Im} (f)\in L_\infty[0,1]$. Тогда $\widetilde{f}:=(f_1,f_2)\in L_\infty([0,1];\mathbb{R}^2)$ (лемма 8.4, (iv)) (на $\mathbb{R}^2$ рассматривается евклидова норма $\|\,{\cdot}\,\|$).
Из теоремы 1.2 следует, что существуют такие $\widetilde{g}\in L_\infty([0,1];\mathbb{R}^2)$ и эргодический автоморфизм $\operatorname{mod}0$ $T$ на $[0,1]$, что
$$
\begin{equation*}
\widetilde{f}=\widetilde{g}\circ T-\widetilde{g},\qquad \|\widetilde{g}\|_\infty\leqslant(S_{{\mathbb{R}^2}}+\varepsilon)\|\widetilde{f}\|_\infty=\|f\|_\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\widetilde{g}=(g_1,g_2)$, тогда $g:=g_1+ig_2\,{\in}\,L_\infty[0,1]$ (лемма 8.4, (iv)), $\|g\|_\infty{=}\,\|\widetilde{g}\|_\infty$ и
$$
\begin{equation*}
f=g\circ T-g,\qquad \|g\|_\infty\leqslant\biggl(\frac{\sqrt{5}}{2}+\varepsilon\biggr)\|f\|_\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
так как $S_{{\mathbb{R}^2}}=\sqrt{5}/2$ (см. [16; теорема 2], [17]). Следствие доказано. Приведем еще одно интересное расширение теоремы 1.1 для произвольного конечного набора вещественных функций с нулевым средним. Теорема 8.2. Пусть $f_1,\dots,f_n\in L_\infty[0,1]$ – вещественнозначные функции с нулевым средним. Тогда для любого $\varepsilon>0$ существуют такие эргодический автоморфизм $\operatorname{mod}0$ $T$ и вещественнозначные функции $g_1,\dots,g_n\in L_\infty[0,1]$, что $\|g_i\|_\infty\leqslant (n+\varepsilon)\|f_i\|_{\infty}$ и $f_i= g_i\circ T -g_i$, $i=1,\dots,n$. Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что $\|f_i\|_\infty\,{\neq}\, 0$, $i=1,\dots,n$. На $\mathbb{R}^n$ рассмотрим норму Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
\widetilde{f}=(\widetilde{f_1},\dots,\widetilde{f_n})\colon [0,1]\to\mathbb{R}^n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{f_i}=f_i/\|f_i\|_\infty$, $i=1,\dots,n$. Из леммы 8.4, (iv), (ii) следует, что Кроме того, функция $\widetilde{f}$ имеет нулевое среднее.
Из теоремы 1.2 следует, что существуют такие $\widetilde{g}\in L_\infty([0,1];\mathbb{R}^n)$ и эргодический автоморфизм $\operatorname{mod}0$ $T$ на $[0,1]$, что
$$
\begin{equation*}
\widetilde{f}=\widetilde{g}\circ T-\widetilde{g},\qquad \|\widetilde{g}\|_\infty\leqslant n+\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
так как $S_{\mathbb{R}^n}\leqslant n$ (см. [15]).
Пусть $\widetilde{g}=(\widetilde{g_1},\dots,\widetilde{g_n})$, тогда $\widetilde{g_1},\dots,\widetilde{g_n}\in L_\infty[0,1]$ и $\|\widetilde{g_i}\|_\infty\leqslant\|\widetilde{g}\|_\infty$, $i=1,\dots,d$ (лемма 8.4, (iv), (v)). Поэтому
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde{g_i}\|_\infty\leqslant n+\varepsilon,\quad \widetilde{f_i}=\widetilde{g_i}\circ T-\widetilde{g_i},\qquad i=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается положить $g_i=\|f_i\|_\infty\widetilde{g_i}$, $i=1,\dots,n$. Теорема 8.2 доказана. Авторы выражают благодарность Томасу Шектеру за его комментарии, которые улучшили изложение, и Игорю Шпарлинскому за его помощь в области диофантовых приближений.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BerBorBor23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|