| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О теореме Романова А. О. Радомский Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9306e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПусть $\varphi$ – функция Эйлера. Ясно, что для всех натуральных чисел $n$ выполнено неравенство $1\leqslant \varphi(n)\leqslant n$. Следовательно, если $a_1,\dots, a_{N}$ – натуральные числа (не обязательно различные), $s\in \mathbb{N}$, то
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{N} \biggl(\frac{a_{n}}{\varphi(a_{n})}\biggr)^s\geqslant N.
\end{equation*}
\notag
$$
Представляют интерес верхние оценки для таких сумм. Известно, что для каждого натурального числа $s$ существует такая положительная постоянная $c(s)$, зависящая только от $s$, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{N} \biggl(\frac{n}{\varphi (n)}\biggr)^s\leqslant c(s) N
\end{equation*}
\notag
$$
для всех натуральных $N$. Мы доказываем следующий результат. Теорема 1.1. Пусть $\alpha$ – вещественное число с условием $0<\alpha <1$. Тогда существует константа $C(\alpha)>0$, зависящая только от $\alpha$, такая, что выполнено следующее. Пусть $M$ – вещественное число, $M\geqslant 1$ и $a_1,\dots, a_{N}$ – натуральные числа (не обязательно различные) с условием $a_{n}\leqslant M$ для всех $1\leqslant n \leqslant N$. Для каждого натурального числа $d$ определим Пусть $s$ – натуральное число. Тогда Из доказательства теоремы 1.1 следует, что $C(\alpha)=c/\alpha$, где $c$ – положительная абсолютная постоянная. Приведенный далее результат показывает, что теорема 1.1 неулучшаема в следующем смысле: условие $p\leqslant (\ln M)^{\alpha}$ не может быть заменено на $p\leqslant (\ln M)^{o(1)}$. Теорема 1.2. Пусть $\alpha(M)$, $M=1, 2, \dots,$ – последовательность положительных вещественных чисел такая, что $\alpha(M)\to 0$ при $M\to +\infty$ и $(\ln M)^{\alpha(M)}\geqslant 2$ для всех $M\geqslant 3$. Тогда существует постоянная $M_0 >0$, зависящая только от последовательности $\alpha(M)$, такая, что выполнено следующее. Для любого натурального $M\geqslant M_0$ существует непустое множество $A\subset \{1,\dots, M\}$ такое, что для всех простых $p\leqslant (\ln M)^{\alpha(M)}$ и Здесь $c>0$ – абсолютная постоянная. Из теоремы 1.1 получаем следующий результат. Теорема 1.3. Пусть $\varepsilon$ – вещественное число с условием $0<\varepsilon <1$. Тогда существует постоянная $C(\varepsilon)>0$, зависящая только от $\varepsilon$, такая, что выполнено следующее. Пусть $x$ и $z$ – вещественные числа с условиями $x\geqslant 3$ и $(\ln x)^{\varepsilon} \leqslant z \leqslant x$. Пусть $k$ – натуральное число, $a_0,\dots, a_k$ – целые числа с условиями $|a_i| \leqslant x$ для всех $0\leqslant i \leqslant k$ и $a_k \neq 0$. Обозначим через $\delta:= (a_0,\dots, a_k)$ наибольший общий делитель $a_0,\dots, a_k$. Положим Пусть $s$ – натуральное число. Тогда Следствие 1.1. Пусть $k$ – натуральное число и есть полином с целыми коэффициентами, $a_k\neq 0$. Тогда существует константа $C(R)>0$, зависящая только от $R$, такая, что если $s$ – натуральное число и $x$ – вещественное число с условием $x\geqslant 1$, то Пусть $\mathcal{L}=\{L_1,\dots,L_k\}$ – набор из $k$ линейных функций с целыми коэффициентами Для $L(n)=an+b$, $a, b\in \mathbb{Z}$, определим В современных приложениях метода решета возникают суммы
$$
\begin{equation*}
\sum_{(a,b)\in \Omega} \frac{\Delta_{L}}{\varphi(\Delta_{L})}
\end{equation*}
\notag
$$
(см., например, [1]). Здесь $(a,b)$ – вектор, а $\Omega$ – конечное подмножество в $\mathbb{Z}^2$. Из теоремы 1.1 получаем следующий результат. Теорема 1.4. Пусть $\varepsilon$ – вещественное число с условием $0<\varepsilon <1$. Тогда существует постоянная $C(\varepsilon)>0$, зависящая только от $\varepsilon$, такая, что выполнено следующее. Пусть $x$ и $z$ – вещественные числа с условиями $x\geqslant 3$ и $(\ln x)^{\varepsilon} \leqslant z \leqslant x$. Пусть $a, b_1,\dots, b_k$ – целые числа такие, что $a\geqslant 1$, $|b_i| \leqslant x$ для всех $1\leqslant i \leqslant k$. Пусть также $\mathcal{L}=\{L_1,\dots,L_k\}$ – набор из $k$ линейных функций, где $L_{i}(n)=a n+b_i,\ i=1,\dots, k$. Для $L(n)=an+b$, $b\in \mathbb{Z}$, определим $\Delta_{L}=a^{k+1}\prod_{i=1}^{k}|b_i - b|$. Пусть $s$ – натуральное число. Тогда Теорема 1.4 расширяет результат Мэйнарда [1; лемма 8.1], который получил аналогичный результат, но в случае $s=1$ и $x^{1/10} \leqslant z \leqslant x$. Поскольку $a/\varphi(a) \leqslant c\ln\ln (a+2)$, где $c$ – положительная абсолютная постоянная, правая часть (1.2) может быть заменена на
$$
\begin{equation*}
\bigl(C(\varepsilon)\ln\ln (a+2) \ln (k+1) \bigr)^ss!\, z.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичное замечание верно и для (1.1). Напомним некоторые факты об эллиптических кривых (для более подробного обсуждения см., например, [2; гл. XXV]). Эллиптическая кривая задается уравнением вида с одним дополнительным условием: дискриминант не должен обращаться в нуль. Для удобства будем считать, что коэффициенты $A$ и $B$ – целые числа. Одним из свойств, делающих эллиптическую кривую $E$ столь интересным объектом, является существование закона композиции, позволяющего “складывать” точки друг с другом. Добавим к плоскости идеальную точку $\mathcal{O}$. Эта точка $\mathcal{O}$ называется бесконечно удаленной точкой. Закон сложения продолжается на точку $\mathcal{O}$ с помощью соотношений
$$
\begin{equation*}
P+(-P)=\mathcal{O}\quad \text{и}\quad P+\mathcal{O}=\mathcal{O}+P=P
\end{equation*}
\notag
$$
для всех точек $P$, лежащих на $E$. Для каждого простого числа $p$ через $\mathbb{F}_{p}$ обозначим поле классов вычетов по модулю $p$. Положим
$$
\begin{equation*}
E(\mathbb{F}_{p})=\{(x,y)\in {\mathbb{F}}_{p}^2\colon y^2\equiv x^3+Ax+B\ (\operatorname{mod} p)\}\cup\{\mathcal{O}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Многократное сложение и взятие обратного по сложению элемента позволяют “умножать” точки $E$ на произвольное целое число $m$. Данная функция из $E$ в себя называется отображением умножения на $m$:
$$
\begin{equation*}
\phi_{m}\colon E\to E,\qquad \phi_{m}(P)=mP=\operatorname{sign}(m)(P+\dots+P)
\end{equation*}
\notag
$$
(сумма содержит $|m|$ слагаемых). По определению положим $\phi_{0}(P)=\mathcal{O}$. Отображение умножения на $m$ задается рациональными функциями. Отображения $E\to E$, заданные рациональными функциями и переводящие $\mathcal{O}$ в $\mathcal{O}$, называются эндоморфизмами $E$. Для большинства эллиптических кривых (над полем комплексных чисел $\mathbb{C}$) все эндоморфизмы являются отображениями умножения на $m$. Кривые, обладающие дополнительными эндоморфизмами, называются кривыми с комплексным умножением. Пусть $\pi(x)$ – количество простых чисел, не превосходящих $x$. Мы доказываем следующий результат. Теорема 1.5. Пусть $E$ – эллиптическая кривая, заданная уравнением где $A$ и $B$ – целые числа с условием $\Delta=4A^3+27B^2\neq 0$. Предположим, что $E$ не имеет комплексного умножения. Пусть $s$ – натуральное число и $x$ – вещественное число с условием $x\geqslant 2$. Тогда где $C(E,s)>0$ – константа, зависящая только от $E$ и $s$. Пусть $\mathbb{P}$ – множество всех простых чисел. В 1934 г. Н. П. Романов доказал следующий результат. Теорема Романова (см. [3]). Пусть $a$ – целое число, $a\geqslant 2$. Тогда существует постоянная $c(a)>0$, зависящая только от $a$, такая, что для любого вещественного числа $x\geqslant 3$. Мы доказываем следующий результат. Теорема 1.6. Пусть $A=\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ – последовательность натуральных чисел (не обязательно различных). Определим Отметим, что теорема Романова следует из теоремы 1.6. Из теоремы 1.6 получаем следующий результат. Теорема 1.7. Пусть $k$ – целое число, $k\geqslant 2$, и есть полином с целыми коэффициентами, $a_k>0$. Для любого натурального $n$ положим Тогда существуют константы $c_1>0$, $c_2>0$, $x_0>0$, зависящие только от $R$, такие, что для любого вещественного $x\geqslant x_0$. Следствие 1.2. Пусть $k$ – целое число с условием $k\geqslant 2$. Для любого натурального $n$ положим Следствие 1.2 расширяет результат Романова, который доказал только неравенство (1.7). Теорема 1.8. Пусть $E$ – эллиптическая кривая, заданная уравнением $y^2=x^3+Ax+B$, где $A$ и $B$ – целые числа с условием $\Delta=4A^3+27B^2\neq 0$. Пусть $E$ не имеет комплексного умножения. Для любого натурального $n$ положим Тогда существуют постоянные $x_0>0$, $c_1>0$, $c_2(E)>0$, где $x_0$ и $c_1$ – абсолютные постоянные, $c_2(E)$ – постоянная, зависящая только от $E$, такие, что для любого вещественного $x\geqslant x_0$. Теорема 1.9. Пусть $a$ и $b$ – целые числа с условиями $a\geqslant 2$ и $b\geqslant 2$. Тогда существуют положительные константы $c_1 (a,b)$ и $c_2(a,b)$, зависящие только от $a$ и $b$, такие, что § 2. ОбозначенияБуквами $p$ и $q$ будем обозначать простые числа. В частности, сумму $\sum_{p\leqslant K}$ следует понимать как сумму по всем простым числам, не превосходящим $K$. Через $\pi(x)$ обозначим количество простых чисел, не превосходящих $x$. Запись $\#A$ означает количество элементов конечного множества $A$. Через $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$ мы обозначаем множества целых чисел, неотрицательных целых чисел, натуральных чисел, рациональных чисел, вещественных и комплексных чисел соответственно. Через $\mathbb{P}$ обозначим множество всех простых чисел. Пусть $(a,b)$ – это наибольший общий делитель целых чисел $a$ и $b$, а $[a,b]$ – наименьшее общее кратное $a$ и $b$. Если $d$ делит $b-a$, то мы говорим, что $b$ сравнимо с $a$ по модулю $d$ и пишем $b \equiv a\ (\operatorname{mod} d)$. Через $\varphi$ обозначим функцию Эйлера, т. е. $\varphi(n)=\#\{1\leqslant m \leqslant n\colon (m,n)=1\}$. Пусть $\nu(n)$ – количество различных простых делителей числа $n$, а $\tau(n)$ – число положительных делителей числа $n$. Через $P^{+}(n)$ обозначим наибольший простой делитель числа $n$, а через $P^{-}(n)$ – наименьший простой делитель числа $n$ (по определению полагаем $P^{+}(1)=1$, $P^{-}(1)=+\infty$). Символом $\mathcal{M}$ обозначим множество чисел, свободных от квадратов, т. е. число $1$ и натуральные числа вида $p_1\cdots p_l$, где $p_1, \dots, p_{l}$ – различные простые. По определению полагаем Символ ${b\mid a}$ означает, что $b$ делит $a$. Для фиксированного $a$ сумму $\sum_{b\mid a}$ и произведение $\prod_{b\mid a}$ следует понимать как сумму и произведение по всем положительным делителям $a$. Если $x$ – вещественное число, то $[x]$ означает его целую часть, а $\lceil x\rceil$ – наименьшее целое число $n$ такое, что $n\geqslant x$. Положим также $\log_{a}x:=\ln x/\ln a$.Для вещественных чисел $x,$ $y$ мы также будем использовать символ $(x,y)$ для обозначения открытого интервала и $[x,y]$ для обозначения отрезка. Кроме того, через $(a_1,\dots, a_n)$ также будем обозначать вектор. Смысл обозначения будет ясен из контекста. § 3. Доказательства Доказательство. Положим $\Omega = \{p\colon p\mid n\text{ и }p>y\}$. Рассмотрим два случая.
1) Пусть $\Omega=\varnothing$. Так как $n>1$, имеем $\nu(n)\geqslant 1$. Получаем
$$
\begin{equation*}
\prod_{p\mid n\colon p>y}\biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)=\prod_{\varnothing} = 1 \leqslant \exp\frac{\nu(n)}{y}.
\end{equation*}
\notag
$$
2) Предположим, что $\Omega\neq\varnothing$. Пользуясь неравенством $1+x\leqslant e^{x}$, $x\in \mathbb{R}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\prod_{p\mid n\colon p>y}\biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)\leqslant \exp\biggl(\sum_{p\mid n\colon p>y} \frac{1}{p}\biggr)\leqslant \exp\frac{\nu(n)}{y}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3.1 доказана. Доказательство. Если $n=1$, то произведение равно $1$ и утверждение верно. Пусть $n>1$. Ясно, что Применяя лемму 3.1 с $y=\ln n$ и неравенство (3.1), получаем
$$
\begin{equation*}
\prod_{p\mid n\colon p>\ln n}\biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)\leqslant \exp\frac{\nu(n)}{\ln n} \leqslant \exp\frac1{\ln 2}< 5.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3.2 доказана. Лемма 3.3. Пусть $\alpha$ – вещественное число, $0<\alpha < 1$. Тогда существует константа $C(\alpha)>0$, зависящая только от $\alpha$, такая, что если $n$ – натуральное число, то Доказательство. Можем считать, что $n\geqslant \exp(2^{1/\alpha})$. Ниже $\zeta (s)$ означает дзета-функцию Римана. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{n}{\varphi(n)} &= \prod_{p\mid n} \biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1}=\prod_{p\mid n} \frac{p}{p-1}=\prod_{p\mid n} \frac{p}{p-1} \frac{p}{p+1}\frac{p+1}{p} \\ &\leqslant \prod_{p\mid n} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-2}} =\zeta(2)\prod_{p\mid n} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)=\frac{\pi^2}{6} \prod_{p\mid n} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr) \\ &= \frac{\pi^2}{6} \prod_{p\mid n\colon p\leqslant (\ln n)^{\alpha}} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)\prod_{p\mid n\colon (\ln n)^{\alpha}< p\leqslant \ln n} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)\prod_{p\mid n\colon p> \ln n} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно лемме 3.2, последнее произведение не превосходит $5$. Известно (см., например, [4; гл. 1]), что
$$
\begin{equation}
B_1 \ln x \leqslant \prod_{p\leqslant x} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)\leqslant B_2\ln x,\qquad x\geqslant 2,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $B_1 >0$ и $B_2>0$ – абсолютные постоянные. Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\prod_{p\mid n\colon (\ln n)^{\alpha}< p\leqslant \ln n} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr) \leqslant \prod_{(\ln n)^{\alpha}< p\leqslant \ln n} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr) \\ &\qquad=\prod_{p\leqslant \ln n} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr) \biggm/ \prod_{ p\leqslant (\ln n)^{\alpha}} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr) \leqslant \frac{B_2 \ln\ln n}{B_1\ln(\ln n)^{\alpha}}= \frac{B_2 \ln\ln n}{B_1 \alpha \ln\ln n}=\frac{B}{\alpha}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{n}{\varphi(n)}\leqslant \frac{5\pi^2B}{6\alpha}\prod_{p\mid n\colon p\leqslant (\ln n)^{\alpha}} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)= C(\alpha)\prod_{p\mid n\colon p\leqslant (\ln n)^{\alpha}} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3.3 доказана. Продолжим доказательство теоремы 1.1. Можно считать, что $M\,{\geqslant} \exp (2^{1/\alpha})$. Положим
$$
\begin{equation*}
y=(\ln M)^{\alpha}\quad\text{и}\quad S=\sum_{n=1}^{N}\biggl(\frac{a_n}{\varphi (a_n)}\biggr)^s.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $y\geqslant 2$. Пусть $1\leqslant n \leqslant N$. Согласно лемме 3.3 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{a_n}{\varphi (a_n)} &\leqslant C(\alpha) \prod_{p\mid a_n\colon p\leqslant (\ln a_n)^{\alpha}} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr) \\ &\leqslant C(\alpha) \prod_{p\mid a_n\colon p\leqslant y} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)= C(\alpha)\sum_{\substack{d\mid a_n:\\d\in \mathcal{M},\,P^{+}(d)\leqslant y}}\frac{1}{d}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S&\leqslant (C(\alpha))^s\sum_{1\leqslant n \leqslant N}\biggl(\sum_{\substack{d_1\mid a_n:\\d_{1}\in \mathcal{M},\,P^{+}(d_{1})\leqslant y}}\frac{1}{d_1}\biggr)\cdots \biggl(\sum_{\substack{d_s\mid a_n:\\ d_{s}\in \mathcal{M},\,P^{+}(d_{s})\leqslant y}}\frac{1}{d_s}\biggr) \\ &=(C(\alpha))^s\sum_{1\leqslant n \leqslant N}\sum_{\substack{d_1\mid a_n,\dots,d_s\mid a_n \\d_1,\dots,d_s \in \mathcal{M}\\ P^{+}(d_1)\leqslant y,\,\dots,\,P^{+}(d_s)\leqslant y}} \frac{1}{d_1\cdots d_s} \\ &\leqslant (C(\alpha))^s\sum_{\substack{1\leqslant d_1 \leqslant M\\ P^{+}(d_1)\leqslant y\\ d_1\in \mathcal{M}}}\cdots \sum_{\substack{1\leqslant d_s \leqslant M\\ P^{+}(d_s)\leqslant y\\ d_s\in \mathcal{M}}} \frac{1}{d_1\cdots d_s}\sum_{\substack{1\leqslant n \leqslant N:\\ d_1\mid a_n,\dots,\,d_s\mid a_n}} 1 \\ &=(C(\alpha))^s\sum_{\substack{1\leqslant d_1 \leqslant M\\ P^{+}(d_1)\leqslant y\\ d_1\in \mathcal{M}}}\cdots \sum_{\substack{1\leqslant d_s \leqslant M\\ P^{+}(d_s)\leqslant y\\ d_s\in \mathcal{M}}} \frac{\omega([d_1,\dots, d_s])}{d_1\cdots d_s}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что если $d$ и $d'$ – натуральные числа и $d'\mid d$, то Пусть $d_1,\dots, d_s$ – целые числа такие, что $1\leqslant d_i \leqslant M$, $P^{+}(d_i)\leqslant y$, $d_i\in \mathcal{M}$ для всех $1\leqslant i \leqslant s$. Поскольку то справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\omega([d_1,\dots, d_s]) \leqslant \omega\bigl(P^{+}([d_1,\dots, d_s])\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S&\leqslant(C(\alpha))^s\sum_{\substack{1\leqslant d_1 \leqslant M\\ P^{+}(d_1)\leqslant y\\ d_1\in \mathcal{M}}}\dots \sum_{\substack{1\leqslant d_s \leqslant M\\ P^{+}(d_s)\leqslant y\\ d_s\in \mathcal{M}}} \frac{\omega(P^{+}(d_1\cdots d_s))}{d_1\cdots d_s} \notag \\ &\leqslant (C(\alpha))^s\sum_{\substack{d_{1}\in \mathcal{M}:\\P^{+}(d_1)\leqslant y}}\cdots \sum_{\substack{d_s\in \mathcal{M}\colon\\P^{+}(d_s)\leqslant y}} \frac{\omega(P^{+}(d_1\cdots d_s))}{d_1\cdots d_s}= (C(\alpha))^s S'. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Видно, что где
$$
\begin{equation*}
S_{p}=\sum_{\substack{d_{1},\dots, d_{s}\in \mathcal{M}:\\ P^{+}(d_{1})\leqslant p,\, \dots, \, P^{+}(d_{s})\leqslant p,\\ \text{и }\exists\, \tau\colon p\mid d_{\tau}}} \frac{1}{d_{1}\cdots d_{s}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для простого числа $p$ с условием $p\leqslant y$ и целого $\tau$ такого, что $1\leqslant \tau \leqslant s$, положим
$$
\begin{equation*}
S_{p}(\tau)=\sum_{\substack{d_{1},\dots, d_{s}\in \mathcal{M}:\\ P^{+}(d_{1})\leqslant p,\,\dots,\, P^{+}(d_{s})\leqslant p,\\ \text{и } p\mid d_{\tau}}} \frac{1}{d_{1}\cdots d_{s}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя (3.2), получаем (произведение здесь берется по простым $q$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_{p}(\tau) &\leqslant \frac{1}{p}\sum_{\substack{d_{1},\dots, d_{s}\in \mathcal{M}:\\ P^{+}(d_{1})\leqslant p,\, \dots,\, P^{+}(d_{s})\leqslant p}} \frac{1}{d_{1}\cdots d_{s}}= \frac{1}{p} \Biggl(\sum_{\substack{d\in \mathcal{M}:\\ P^{+}(d)\leqslant p}}\frac{1}{d}\Biggr)^s \\ &=\frac{1}{p}\biggl(\prod_{q\leqslant p}\biggl(1+\frac{1}{q}\biggr)\biggr)^s\leqslant \frac{(B_{2}\ln p)^s}{p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Видно, что Отсюда выводим
$$
\begin{equation*}
S_{p} \leqslant s \frac{(B_{2}\ln p)^s}{p}\leqslant \frac{(2B_{2}\ln p)^s}{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Можем считать, что $2B_{2}\geqslant 1$. Применяя (3.4) и учитывая, что $\omega(1)=N$ и $y=(\ln M)^{\alpha}$, получаем
$$
\begin{equation*}
S'\leqslant (2B_{2})^s\biggl(N+\sum_{p\leqslant (\ln M)^{\alpha}}\frac{\omega(p)(\ln p)^s}{p}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (3.3) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S &\leqslant \bigl(2B_{2}C(\alpha)\bigr)^s\biggl(N+\sum_{p\leqslant (\ln M)^{\alpha}}\frac{\omega(p)(\ln p)^s}{p}\biggr) \\ &=\bigl( \widetilde{C}(\alpha)\bigr)^s \biggl(N+\sum_{p\leqslant (\ln M)^{\alpha}}\frac{\omega(p)(\ln p)^s}{p}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{C}(\alpha)>0$ – константа, зависящая только от $\alpha$. Теорема 1.1 доказана. Доказательство теоремы 1.2. Выберем константу $M_0>0$, зависящую от последовательности $\alpha(M)$, позднее; данная константа будет велика. Потребуем пока, чтобы $M_0$ удовлетворяла следующим условиям: $M_0 \geqslant 100$ и
$$
\begin{equation*}
\alpha(M)\leqslant \frac12,\qquad (\ln M)^{\alpha(M)}\leqslant \frac{\ln M}4
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $M\geqslant M_0$. Пусть $M\geqslant M_0$. Положим Тогда $2\leqslant y \leqslant z/2.$ Определим
$$
\begin{equation*}
A=\{1\leqslant n \leqslant M\colon p\mid n\text{ для любого }p\in (y,z]\text{ и }p\nmid n\text{ для любого } p\leqslant y\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим Имеем
$$
\begin{equation*}
\ln Q=\sum_{y<p\leqslant z} \ln p= \theta(z) - \theta(y),\quad \text{где}\quad\theta(x)=\sum_{p\leqslant x}\ln p.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку (см., например, [4; гл. 3]) то существует абсолютная постоянная $c_1>0$ такая, что $\theta (x) \geqslant x/2$ для всех $x\,{\geqslant}\, c_1$. Мы можем считать, что $M_0 > \exp (2 c_1)$; следовательно, $z=(\ln M)/2\,{\geqslant}\, c_1$ и поэтому $\theta (z)\geqslant z/2 = (\ln M)/4$. Из (3.5) следует, что $ \theta(x)\leqslant b x$ для всех $x\geqslant 2$, где $b>0$ – абсолютная постоянная. Так как $y\geqslant 2$, получаем
$$
\begin{equation*}
\theta (y) \leqslant b y = b (\ln M)^{\alpha (M)}\leqslant b (\ln M)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\ln Q\geqslant \frac{\ln M}{4} - b (\ln M)^{1/2}\geqslant 100,
\end{equation*}
\notag
$$
если $M_0$ выбрано достаточно большим. В частности, получаем $\Omega = \{p\colon y< p \leqslant z\}\neq \varnothing$ и $Q\geqslant 100$. Из (3.5) следует, что существует абсолютная постоянная $c_2>0$ такая, что $\theta (x) \leqslant (3/2)x$ для всех $x\geqslant c_2$. Мы можем считать, что $M_0 > \exp(2c_2)$ и, значит, $z=(\ln M)/2 \geqslant c_2$. Таким образом, Получаем Мы видим, что $Q\in A$ и, следовательно, $A\neq\varnothing$.
Таким образом, $A\subset\{1,\dots, M\}$, $A\neq \varnothing$ и
$$
\begin{equation*}
\#\{n\in A\colon n\equiv 0\ (\operatorname{mod} p)\}=0
\end{equation*}
\notag
$$
для любого простого $p\leqslant y=(\ln M)^{\alpha(M)}$. Если $n\in A$, то $n>1$, так как $Q\mid n$ и $Q\geqslant100$.
Пусть $n\in A$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{n}{\varphi (n)}=\prod_{p\mid n}\biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1}\geqslant\prod_{y<p\leqslant z}\biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1}=\prod_{p\leqslant z}\biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1}\biggm/ \prod_{p\leqslant y}\biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
D_1 \ln x\leqslant \prod_{p \leqslant x} \biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1}\leqslant D_2 \ln x,\qquad x\geqslant 2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $D_1 >0$ и $D_2 >0$ – абсолютные постоянные, и $2 \leqslant y \leqslant z/2< z$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \prod_{p\leqslant y}\biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1} &\leqslant D_2 \ln y= D_2\alpha(M)\ln\ln M, \\ \prod_{p\leqslant z}\biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1} &\geqslant D_1 \ln z= D_1 \ln \biggl(\frac{1}{2}\ln M\biggr)\geqslant \frac{D_1}{2}\ln\ln M. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{n}{\varphi(n)}\geqslant \frac{(D_1/2)\ln\ln M}{D_2 \alpha(M)\ln\ln M}=\frac{c}{\alpha(M)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\in A}\frac{n}{\varphi (n)}\geqslant \frac{c}{\alpha (M)} \#A,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c>0$ – абсолютная постоянная. Теорема 1.2 доказана. Доказательство теоремы 1.3. Согласно условию
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, R(n)=a_k n^k+\dots+ a_0,\qquad a_k\neq 0,\quad \delta=(a_0,\dots,a_k), \\ |a_i|\leqslant x,\quad i=0,\dots, k,\qquad (\ln x)^{\varepsilon} \leqslant z \leqslant x,\quad x\geqslant2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\Omega=\{-z\leqslant n \leqslant z\colon R(n)\neq 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $\Omega \neq \varnothing$. Оценим сверху величину
$$
\begin{equation*}
S =\sum_{n\in \Omega} \biggl(\frac{|R(n)|}{\varphi (|R(n)|)}\biggr)^s.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{R}(n)=\widetilde{a}_{k}n^k+\dots+\widetilde{a}_0,\qquad (\widetilde{a}_{0},\dots, \widetilde{a}_k) = 1, \\ |\widetilde{a}_{i}|\leqslant x,\qquad i=0,\dots, k. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\varphi (mn)\geqslant \varphi(m)\varphi(n)$ для всех натуральных $m$ и $n$, получаем
$$
\begin{equation}
S=\sum_{n\in \Omega} \biggl(\frac{\delta|\widetilde{R}(n)|}{\varphi (\delta|\widetilde{R}(n)|)}\biggr)^s\leqslant \biggl(\frac{\delta}{\varphi(\delta)}\biggr)^s\sum_{n\in \Omega} \biggl(\frac{|\widetilde{R}(n)|}{\varphi (|\widetilde{R}(n)|)}\biggr)^s= \biggl(\frac{\delta}{\varphi(\delta)}\biggr)^s \widetilde{S}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Пусть $n\in \Omega$. Поскольку $|\widetilde{a}_i|\leqslant x$, $|n|\leqslant z\leqslant x$ и $x\geqslant 2$, имеем Пусть $M= x^{3k}$. Мы установили, что для $n\in\Omega$ выполнено $|\widetilde{R}(n)| \leqslant M$.
Пусть $c(\varepsilon)>0$ таково, что выполнено следующее: i) $c(\varepsilon)\geqslant 30$; ii) $\ln x \geqslant 2^{4/\varepsilon}$ для $x\geqslant c(\varepsilon)$; iii) $\bigl(3 (\ln x)^2\bigr)^{\varepsilon/4} \leqslant (\ln x)^{\varepsilon}$ для $x\geqslant c(\varepsilon)$. Пусть $x \geqslant c(\varepsilon)$. Рассмотрим два случая. 1) Пусть $k\geqslant \ln x$. Если $n\in \Omega$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1 &\leqslant \frac{|\widetilde{R}(n)|}{\varphi(|\widetilde{R}(n)|)} \leqslant c\ln\ln(|\widetilde{R}(n)|+2)\leqslant c\ln\ln(x^{3k}+2)\leqslant c\ln\ln(x^{4k}) \\ &=c(\ln k+ \ln\ln x+ \ln 4)\leqslant c(\ln k+ 3\ln\ln x)\leqslant c(4 \ln k)=c_1 \ln k. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\widetilde{S}=\sum_{n\in \Omega} \biggl(\frac{|\widetilde{R}(n)|}{\varphi(|\widetilde{R}(n)|)}\biggr)^s \leqslant (c_1 \ln k)^s \# \Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что $(\ln x)^{\varepsilon} \leqslant z \leqslant x$ и, следовательно, $z\geqslant 1$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\# \Omega = \#\{ -z\leqslant n \leqslant z\colon \widetilde{R}(n)\neq 0\}\leqslant 2z+1 \leqslant 3z,
\end{equation*}
\notag
$$
имеем $\widetilde{S}\leqslant (c_2 \ln k)^s z$. Так как $S\leqslant (\delta/\varphi(\delta))^s\widetilde{S}$, получаем
$$
\begin{equation*}
S=\sum_{n\in \Omega} \biggl(\frac{|R(n)|}{\varphi(|R(n)|)}\biggr)^s \leqslant \biggl(c_2\frac{\delta}{\varphi(\delta)}\ln k\biggr)^s z.
\end{equation*}
\notag
$$
2) Пусть $k< \ln x$. Тогда Возьмем $\alpha = \varepsilon/4$. Пользуясь условиями для $c(\varepsilon)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \ln M =3 k\ln x\geqslant 3 \ln x \geqslant 2^{1/\alpha}, \\ 2\leqslant (\ln M)^{\alpha}\leqslant \bigl(3(\ln x)^2\bigr)^{\alpha}= \bigl(3(\ln x)^2\bigr)^{\varepsilon / 4}\leqslant(\ln x)^{\varepsilon}\leqslant z. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим для любого натурального $d$
$$
\begin{equation*}
\omega(d)=\#\{n\in \Omega\colon \widetilde{R}(n)\equiv 0\ (\operatorname{mod}d)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $p$ – простое число. Тогда
$$
\begin{equation*}
\omega(p)\leqslant \#\{-z\leqslant n\leqslant z\colon \widetilde{R}(n)\equiv 0\ (\operatorname{mod}p)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $(\widetilde{a}_0,\dots, \widetilde{a}_k)=1$, то существует число $\widetilde{a}_i$ такое, что $\widetilde{a}_i\not \equiv 0\ (\operatorname{mod}p)$. Таким образом, число решений сравнения
$$
\begin{equation}
\widetilde{R}(n)\equiv 0\quad (\operatorname{mod} p)
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
не превосходит $k$. Ясно также, что число решений не превосходит $p$. Следовательно, число решений сравнения (3.7) не превосходит $\min (p,k)$. Пусть $m_1<\dots< m_t$ – все числа из набора $\{1,\dots, p\}$, удовлетворяющие сравнению (3.7) (следовательно, $t\leqslant \min (p,k)$). Пусть $1 \leqslant j \leqslant t$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\#\{-z\leqslant n\leqslant z\colon n\equiv m_j\ (\operatorname{mod}p)\}\leqslant \frac{2z}{p}+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
\omega(p)\leqslant \min(p,k)\biggl(\frac{2z}{p}+1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $p\leqslant (\ln M)^{\alpha}$, то $p\leqslant z$. Следовательно, для любого $p\leqslant(\ln M)^{\alpha}$. Применяя теорему 1.1, получаем
$$
\begin{equation*}
\widetilde{S}=\sum_{n\in \Omega} \biggl(\frac{|\widetilde{R}(n)|}{\varphi(|\widetilde{R}(n)|)}\biggr)^s\leqslant (C(\alpha))^s \biggl(\#\Omega +\sum_{p\leqslant (\ln M)^{\alpha}}\frac{\omega(p) (\ln p)^s}{p}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\alpha=\varepsilon /4$, видим, что $C(\alpha)=C(\varepsilon)>0$ – константа, зависящая только от $\varepsilon$. Применяя неравенство (3.8) и учитывая, что $\#\Omega \leqslant 2z+1 \leqslant 3z$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde{S} &=\sum_{n\in \Omega} \biggl(\frac{|\widetilde{R}(n)|}{\varphi(|\widetilde{R}(n)|)}\biggr)^s \leqslant (C(\varepsilon))^s \biggl(3z +\sum_{p\leqslant (\ln M)^{\alpha}}\frac{\min(p,k) 3z (\ln p)^s}{p^2}\biggr) \notag \\ &\leqslant (C(\varepsilon))^s \biggl(3z +\sum_{p}\frac{\min(p,k) 3z (\ln p)^s}{p^2}\biggr)= (C(\varepsilon))^s 3z \biggl(1 +\sum_{p}\frac{\min(p,k) (\ln p)^s}{p^2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Доказательство. Положим Тогда
Применим индукцию по $s$. Если $s=1$, то $\Gamma(1,x)=e^{-x}$ и (3.10) верно. Пусть $s\geqslant 2$ и наше утверждение верно для $s-1$. Тогда равенство (3.11) и предположение индукции дают
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Gamma(s,x)&=x^{s-1}e^{-x}+(s-1)\Gamma(s-1,x)\leqslant x^{s-1}e^{-x} + (s-1)(s-1)!\, x^{s-2}e^{-x} \\ &=s!\, x^{s-1}e^{-x}\biggl(\frac{1}{s!}+ \frac{1-1/s}{x}\biggr)\leqslant s!\, x^{s-1}e^{-x} \biggl(1 -\frac{1}{s}+\frac{1}{s!} \biggr) \leqslant s!\, x^{s-1}e^{-x}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $x\geqslant 1$. Отсюда и следует требуемое утверждение. Лемма 3.4 доказана. Лемма 3.5. Пусть $k$ и $s$ – натуральные числа. Тогда где $c$ – положительная абсолютная постоянная. Доказательство. Для любого натурального $n$ положим Положим Для любого вещественного числа $x\geqslant 2$ имеем где $c$ – положительная абсолютная постоянная. Поскольку $A(x)=0$ для $1\leqslant x < 2$, получаем $A(x) \leqslant c x (\ln x)^{s-1}$ при $x\geqslant 1$.
1. Докажем сначала оценку (3.12). Обозначим сумму из (3.12) через $S_1$. Пусть $k \geqslant 2$. Положим $f(x)=1/x$. Применяя суммирование по частям (см., например, [5; теорема 2.1.1]), получаем
$$
\begin{equation*}
S_{1}=\sum_{n\leqslant k} a_{n}f(n)= A(k)f(k) - \int_{1}^{k} A(x)f'(x)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
A(k)f(k)\leqslant c (\ln k)^{s-1}\leqslant c\, \frac{\ln k}{\ln 2}(\ln k)^{s-1} \leqslant 2c (\ln k)^s
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -\int_{1}^{k}A(x)f'(x)\, dx &= \int_{1}^{k}\frac{A(x)}{x^{2}}\,dx\leqslant c\int_{1}^{k} \frac{(\ln x)^{s-1}}{x}\, dx \\ &=c\int_{0}^{\ln k} t^{s-1}\, dt= \frac{c}{s} (\ln k)^s\leqslant c (\ln k)^s. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда выводим $S_{1} \leqslant (3c) (\ln k)^s$.
Наконец, если $k=1$, то $S_{1}= 0$, и предыдущее неравенство также выполняется. Неравенство (3.12) доказано. 2. Докажем теперь (3.13). Обозначим сумму из (3.13) через $S_{2}$. Положим $f(x)=1/x^{2}$. Применяя суммирования по частям, имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\leqslant u} a_{n}f(n) = A(u)f(u) - \int_{1}^{u}A(x)f'(x)\, dx
\end{equation*}
\notag
$$
для любого вещественного $u\geqslant 1$. Поскольку $A(u)f(u)\to 0$ при $u\to +\infty$, получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}f(n)= - \int_{1}^{+\infty} A(x)f'(x)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\leqslant k}a_{n}f(n)= A(k)f(k) - \int_{1}^{k}A(x)f'(x)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_{2}&=\sum_{n\geqslant k+1} a_{n}f(n)= - \int_{k}^{+\infty} A(x)f'(x)\, dx - A(k)f(k) \leqslant- \int_{k}^{+\infty} A(x)f'(x)\, dx \\ &= 2\int_{k}^{+\infty}\frac{A(x)}{x^{3}}\, dx\leqslant 2c\int_{k}^{+\infty}\frac{(\ln x)^{s-1}}{x^{2}}\,dx = 2 c \int_{\ln k}^{+\infty} t^{s-1}e^{-t}\, dt= 2c I_{k}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $k\geqslant 3$, то из леммы 3.4 получаем
$$
\begin{equation*}
I_{k}\leqslant s!\, (\ln k)^{s-1} e^{-\ln k}=s!\, \frac{(\ln k)^{s-1}}{k}\leqslant s!\, \frac{(\ln (k+2))^{s-1}}{k}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
I_{k} \leqslant \int_{0}^{+\infty} t^{s-1}e^{-t}\, dt= \Gamma(s)= (s-1)!\leqslant s!\, 2 \frac{(\ln (k+2))^{s-1}}{k}
\end{equation*}
\notag
$$
при $k\in \{1, 2\}$. Отсюда видим, что для любого натурального $k$. Получаем
$$
\begin{equation*}
S_{2} \leqslant 4c s! \, \frac{(\ln (k+2))^{s-1}}{k},
\end{equation*}
\notag
$$
и неравенство (3.13) доказано. Лемма 3.5 доказана. Можем считать, что $c\geqslant 1$, где $c$ – постоянная из леммы 3.5. Применяя лемму 3.5 и учитывая, что $\ln (k+2) \leqslant 2 \ln (k+1)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{p\leqslant k}\frac{(\ln p)^s}{p} &\leqslant c \bigl(\ln k\bigr)^s \leqslant c \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s \leqslant c^s \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s \leqslant c^s s!\, \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s, \\ k\sum_{p>k}\frac{(\ln p)^s}{p^2} &\leqslant c s!\, \bigl(\ln (k+2)\bigr)^{s-1}\leqslant c s!\, \bigl(\ln (k+2)\bigr)^s\leqslant c s!\, 2^s \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s \\ &\leqslant (2c)^s s! \, \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $c^s+(2c)^s\leqslant 2 (2c)^s\leqslant (4c)^s$, имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{p}\frac{\min(p,k) (\ln p)^s}{p^2}= \sum_{p\leqslant k}\frac{(\ln p)^s}{p}+k\sum_{p>k}\frac{(\ln p)^s}{p^2} \leqslant (4c)^s s! \, \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
1\leqslant \bigl(\ln (k+2)\bigr)^s\leqslant 2^s\bigl(\ln (k+1)\bigr)^s\leqslant (2c)^ss!\, \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation}
1+ \sum_{p}\frac{\min(p,k) (\ln p)^s}{p^2}\leqslant (8c)^ss!\, \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Согласно (3.9) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{S}&\leqslant (C(\varepsilon))^s 3z (8c)^ss!\, \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s\leqslant (24c C(\varepsilon))^s z s!\, \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s \\ &=(C_{1}(\varepsilon))^s z s!\, \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_{1}(\varepsilon)>0$ – постоянная, зависящая только от $\varepsilon$. В силу (3.6) получаем
$$
\begin{equation*}
S=\sum_{n\in \Omega} \biggl(\frac{|R(n)|}{\varphi(|R(n)|)}\biggr)^s\leqslant \biggl( C_1(\varepsilon)\frac{\delta}{\varphi(\delta)} \ln (k+1)\biggr)^ss!\, z.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, теорема 1.3 в случае $x\geqslant c(\varepsilon)$ доказана. Так как $n/\varphi(n) \leqslant c \ln\ln (n+2)$, утверждение теоремы в случае $3 \leqslant x< c(\varepsilon)$ тривиально. Теорема 1.3 доказана. Доказательство следствия 1.1. Положим Ясно, что $x_{0}(R)$ – положительная постоянная, зависящая только от $R$. Предположим, что $x\geqslant x_{0}(R)$. Применяя теорему 1.3 с $\varepsilon=1/2$ и $z=x$, получаем где $\delta=(a_{0},\dots, a_k)$ и $c_{1}(R)= C(1/2)(\delta/\varphi(\delta))\ln (k+1)$ – положительная константа, зависящая только от $R$.
Предположим, что $1\,{\leqslant}\, x\,{<}\, x_{0}(R)$. Пусть $\Omega\,{=}\,\{n\colon -x \,{\leqslant}\, n \,{\leqslant}\, x\text{ и } R(n)\,{\neq}\,0\}\,{\neq}\,\varnothing$. Положим
$$
\begin{equation*}
m(R)=\max_{-x_{0}(R)\leqslant n \leqslant x_{0}(R)} |R(n)|+10.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $m(R)$ – положительная постоянная, зависящая только от $R$. Для каждого целого $n$ такого, что $-x_{0}(R)\leqslant n \leqslant x_{0}(R)$ и $R(n)\neq 0$, имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{|R(n)|}{\varphi(|R(n)|)} \leqslant |R(n)|\leqslant m(R).
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S&=\sum_{\substack{-x \leqslant n \leqslant x\\ R(n)\neq 0}} \biggl(\frac{|R(n)|}{\varphi(|R(n)|)}\biggr)^s\leqslant \sum_{\substack{-x_{0}(R) \leqslant n \leqslant x_{0}(R)\\ R(n)\neq 0}} \biggl(\frac{|R(n)|}{\varphi(|R(n)|)}\biggr)^s \\ &\leqslant (m(R))^s (2 x_{0}(R)+1)\leqslant \bigl(3x_{0}(R)m(R)\bigr)^s s!\, x= (c_{2}(R))^s s!\, x, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_{2}(R)= 3x_{0}(R)m(R)$ – положительная постоянная, зависящая только от $R$. Если $\Omega = \varnothing$, то $S=0$. Таким образом, утверждение верно для $C(R)=\max (c_{1}(R), c_{2}(R))$. Следствие 1.1 доказано. Доказательство теоремы 1.4. Предположим, что $x\geqslant c(\varepsilon)$, где $c(\varepsilon)$ – положительная постоянная, зависящая только от $\varepsilon$; мы выберем число $c(\varepsilon)$ позднее, оно будет достаточно велико.
Предположим, что $\Omega:=\{-z \leqslant b\leqslant z\colon \Delta_{L}\neq 0\}\neq \varnothing$. Положим $\Delta (b):= \prod_{i=1}^{k} |b_i - b|$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\Delta_{L}}{\varphi (\Delta_{L})}\leqslant \frac{a^{k+1} \Delta (b)}{\varphi(a^{k+1})\varphi (\Delta(b))}= \frac{a}{\varphi(a)}\, \frac{\Delta(b)}{\varphi(\Delta(b))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta_{L}}{\varphi (\Delta_{L})}\biggr)^s \leqslant \biggl(\frac{a}{\varphi(a)}\biggr)^s \sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta (b)}{\varphi (\Delta (b))}\biggr)^s.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Для того чтобы оценить последнюю сумму в (3.15), применим теорему 1.1 с $\alpha=\varepsilon/4$.
Положим
$$
\begin{equation*}
R(n)=(n-b_1)\cdots (n-b_k)=n^{k}+a_{k-1}n^{k-1}+\dots+ a_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого простого $p$ имеем
$$
\begin{equation*}
\omega(p)=\#\{b\in \Omega\colon \Delta(b)\equiv 0\ (\operatorname{mod}p)\}\leqslant \#\{-z \leqslant b \leqslant z\colon R(b)\equiv 0\ (\operatorname{mod}p)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Число решений сравнения не превосходит $k$, а также тривиальным образом не превосходит $p$. Получаем, что число решений сравнения (3.16) не превосходит $\min (p,k)$. Пусть $m_1<\dots < m_t$ – все числа из набора $\{1,\dots, p\}$, удовлетворяющие сравнению (3.16) (следовательно, $t\leqslant \min (p,k)$). Пусть $1 \leqslant j \leqslant t$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\#\{-z\leqslant b \leqslant z\colon b\equiv m_j\ (\operatorname{mod} p)\}\leqslant \frac{2z}{p}+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\omega(p) \leqslant t \biggl(\frac{2z}{p}+1\biggr)\leqslant \min (p,k) \biggl(\frac{2z}{p}+1\biggr).
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Пусть $b\in \Omega$. Поскольку для всех $1 \leqslant i \leqslant k$, получаем $|R(b)| \leqslant (2x)^{k}=:M$.Рассмотрим два случая. 1) Предположим, что $k\geqslant \ln x$. Мы можем считать, что $c(\varepsilon) \geqslant 30$, и поэтому $x \geqslant 30$. Ясно, что $(2x)^{l}+2\leqslant (3x)^{l}$ для любого натурального $l$ и $\ln\ln (3t)\leqslant c_0 \ln\ln t$ для любого $t\geqslant 30$, где $c_0$ – положительная абсолютная постоянная. Пусть $b\in \Omega$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\Delta(b)}{\varphi(\Delta(b))}&=\frac{|R(b)|}{\varphi(|R(b)|)}\leqslant c_{1}\ln\ln(|R(b)|+2)\leqslant c_{1}\ln\ln\bigl((2x)^{k}+2\bigr) \leqslant c_{1}\ln\ln\bigl((3x)^{k}\bigr) \\ &=c_1\bigl(\ln k+ \ln\ln (3x)\bigr)\leqslant c_1(\ln k+ c_0 \ln\ln x) \leqslant c_1(\ln k+ c_0 \ln k)=c_2 \ln k, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_1$, $c_2= c_1 (1+c_0)$ – положительные абсолютные постоянные. Заметим, что $z \geqslant (\ln x)^{\varepsilon}\geqslant 1$ и, следовательно, тогда
$$
\begin{equation*}
\sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta(b)}{\varphi(\Delta (b))}\biggr)^s \leqslant (c_2 \ln k)^s\#\Omega \leqslant (c_2 \ln k)^s 3 z.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (3.15) получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta_{L}}{\varphi(\Delta_{L})}\biggr)^s\leqslant \biggl(c \frac{a}{\varphi (a)} \ln k \biggr)^s z,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c$ – положительная абсолютная постоянная.
2) Пусть $k < \ln x$. Выберем $c(\varepsilon)$ так, чтобы $\ln (2t)\geqslant 2^{4/\varepsilon}$, $(\ln (2t)\ln t)^{\varepsilon/4}\leqslant (\ln t)^{\varepsilon}$ для любого $t\geqslant c(\varepsilon)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\ln M = k \ln (2x) \geqslant \ln (2x)\geqslant 2^{4/\varepsilon}, \qquad (\ln M)^{\varepsilon/4}\leqslant \bigl(\ln (2x)\ln x\bigr)^{\varepsilon/4}\leqslant (\ln x)^{\varepsilon}\leqslant z.
\end{equation*}
\notag
$$
Видно, что $2\leqslant (\ln M)^{\varepsilon/4}\leqslant z$ и, следовательно, $z/p \geqslant 1$ для любого простого $p \leqslant (\ln M)^{\varepsilon/4}$. Из (3.17) получаем для любого простого $p \leqslant (\ln M)^{\varepsilon/4}$. Применяя теорему 1.1, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta(b)}{\varphi(\Delta (b))}\biggr)^s&\leqslant (C(\varepsilon))^s \biggl(\#\Omega +\sum_{p\leqslant (\ln M)^{\varepsilon/4}} \frac{\omega(p)(\ln p)^s}{p}\biggr) \\ &\leqslant (C(\varepsilon))^s \biggl(3z +\sum_{p\leqslant (\ln M)^{\varepsilon/4}} \frac{3z \min (p,k) (\ln p)^s}{p^2}\biggr) \\ &\leqslant (C(\varepsilon))^s 3z \biggl(1 +\sum_{p} \frac{\min (p,k) (\ln p)^s}{p^2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (3.14) получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta(b)}{\varphi(\Delta (b))}\biggr)^s\leqslant \biggl(C_{1}(\varepsilon) \ln (k+1)\biggr)^s s!\, z,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_{1}(\varepsilon) >0$ – постоянная, зависящая только от $\varepsilon$. Из (3.15) получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta_{L}}{\varphi(\Delta_{L})}\biggr)^s\leqslant \biggl(C_{1}(\varepsilon) \frac{a}{\varphi (a)} \ln (k+1)\biggr)^s s!\, z.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, теорема 1.4 доказана для $x\geqslant c(\varepsilon)$.
Пусть теперь $3 \leqslant x < c(\varepsilon)$. Для любого $b\in \Omega$ имеем
$$
\begin{equation*}
|b - b_i| \leqslant |b|+|b_i| \leqslant z + x\leqslant 2x \leqslant 2 c(\varepsilon)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $1 \leqslant i \leqslant k$ и, следовательно, $\Delta (b)\leqslant (2 c(\varepsilon))^{k}$. Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\Delta (b)}{\varphi (\Delta (b))} &\leqslant c \ln\ln \bigl(\Delta (b) + 2\bigr)\leqslant c \ln\ln \bigl((2 c(\varepsilon))^{k} + 2\bigr)\leqslant c \ln\ln \bigl((3 c(\varepsilon))^{k}\bigr) \\ &= c \bigl(\ln k+ \ln\ln (3 c(\varepsilon))\bigr)\leqslant c\bigl(\ln (k+1) + 2\ln\ln (3 c(\varepsilon)) \ln (k+1)\bigr) \\ &= c_{1}(\varepsilon) \ln (k+1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
\sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta (b)}{\varphi (\Delta (b))}\biggr)^s\leqslant \bigl(c_{1}(\varepsilon) \ln (k+1)\bigr)^s\#\Omega .
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\# \Omega \leqslant 2z+1\leqslant 2x+1\leqslant 2 c(\varepsilon)+1\leqslant 3 c(\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $z\geqslant 1$, поскольку $z \geqslant (\ln x)^{\varepsilon}$ и $x \geqslant 3$. Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta (b)}{\varphi (\Delta (b))}\biggr)^s &\leqslant \bigl(c_{1}(\varepsilon) \ln (k+1)\bigr)^s 3 c(\varepsilon) z\leqslant \bigl(c_{1}(\varepsilon) 3 c(\varepsilon) \ln (k+1)\bigr)^s z \\ &= \bigl(c_{2}(\varepsilon) \ln (k+1)\bigr)^s z\leqslant \bigl(c_{2}(\varepsilon) \ln (k+1)\bigr)^s s!\, z, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_{2}(\varepsilon) >0$ – константа, зависящая только от $\varepsilon$. Из (3.15) получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta_{L}}{\varphi(\Delta_{L})}\biggr)^s\leqslant \biggl(c_{2}(\varepsilon) \frac{a}{\varphi (a)} \ln (k+1)\biggr)^s s!\, z.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказываемое утверждение следует с $C(\varepsilon)=\max(C_{1}(\varepsilon), c_{2}(\varepsilon))$. Теорема 1.4 доказана. Доказательство теоремы 1.5. Для любого целого $a$ и простого $p$ сравнение $y^{2}\equiv a\ (\operatorname{mod} p)$ имеет не более двух решений. Поэтому (первое неравенство следует из того, что $\mathcal{O}\in E(\mathbb{F}_{p})$). Неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\#E(\mathbb{F}_{p})}{\varphi(\#E(\mathbb{F}_{p}))}\geqslant 1
\end{equation*}
\notag
$$
выполнено для любого простого $p$, поэтому первое неравенство в (1.3) тривиально.
Докажем второе неравенство в (1.3). Используем следующий результат Дэвида и Ву [6; теорема 2.3, (i)]. Предположим, что эллиптическая кривая $E$ не имеет комплексного умножения. Пусть $a$ и $t$ – целые числа, $t\geqslant 1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\#\{p\leqslant x\colon \#E(\mathbb{F}_{p})\equiv a\ (\operatorname{mod} t)\}\leqslant C(E) \biggl(\frac{\pi(x)}{\varphi (t)}+ x\exp(-b t^{-2} \sqrt{\ln x}\,)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\ln x \geqslant c t^{12} \ln t$. Здесь $b$ и $c$ – положительные абсолютные постоянные, и $C(E)>0$ – константа, зависящая только от $E$.
Предположим, что $x \geqslant c_0 (s)$, где $c_0 (s)>0$ – постоянная, зависящая только от $s$; мы выберем постоянную $c_0 (s)$ позднее, она будет достаточно велика. Для натуральных $t$ выполнено неравенство $t^{12}\ln t \leqslant t^{13}$. Таким образом, получаем
$$
\begin{equation}
\#\{p\leqslant x\colon \#E(\mathbb{F}_{p})\equiv a\ (\operatorname{mod} t)\}\leqslant C(E) \biggl(\frac{\pi(x)}{\varphi (t)}+ x\exp(-b t^{-2} \sqrt{\ln x}\,)\biggr)
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
при $1 \leqslant t \leqslant (c_1 \ln x)^{1/13}$, где $c_1=1/c$ – положительная абсолютная постоянная. Из (3.18) видим, что $\#E(\mathbb{F}_{p})\leqslant 3p$ для любого простого числа $p$. Положим $M=3x$. Тогда $\#E(\mathbb{F}_{p})\leqslant M$ для любого простого $p\leqslant x$. Имеем
$$
\begin{equation}
2 \leqslant (\ln M)^{1/26}\leqslant (c_1 \ln x)^{1/13},
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
если $c_0(s)$ взято достаточно большим.
Применяя теорему 1.1 с $\alpha=1/26$, получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{p\leqslant x} \biggl(\frac{\#E(\mathbb{F}_{p})}{\varphi(\#E(\mathbb{F}_{p}))}\biggr)^s\leqslant c^s\biggl(\pi(x)+ \sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}} \frac{\omega(q) (\ln q)^s}{q}\biggr),
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
где $c$ – положительная абсолютная постоянная и
$$
\begin{equation*}
\omega (q) = \#\{p\leqslant x\colon \#E(\mathbb{F}_{p})\equiv 0\ (\operatorname{mod} q)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (3.19) (с $a=0$) и (3.20) следует, что
$$
\begin{equation*}
\omega (q) \leqslant C(E) \biggl(\frac{\pi(x)}{\varphi (q)}+ x \exp(-b q^{-2} \sqrt{\ln x}\,) \biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого простого числа $q \leqslant (\ln M)^{1/26}$. Получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}} \frac{\omega(q) (\ln q)^s}{q} \notag \\ &\qquad\leqslant C(E) \biggl(\pi(x)\sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}}\frac{(\ln q)^s}{q\varphi (q)}+x\sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}}\frac{ (\ln q)^s}{q\exp(b q^{-2} \sqrt{\ln x}\,)}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Поскольку $\varphi(n) \geqslant c n/\ln\ln (n+2)$ для любого натурального $n$, где $c$ – положительная абсолютная постоянная, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}}\frac{(\ln q)^s}{q\varphi (q)}&\leqslant \frac{1}{c} \sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}}\frac{(\ln q)^s\ln\ln(q+2)}{q^{2}} \notag \\ &\leqslant \frac{1}{c}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln n)^s\ln\ln(n+2)}{n^{2}}=c_{1}(s), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
где $c_{1}(s)>0$ – постоянная, зависящая только от $s$.
Напомним, что $M=3x$. Если $c_{0}(s)$ достаточно велико, то выполнено неравенство $(\ln (3x))^{1/13}\leqslant 2 (\ln x)^{1/13}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
b\frac{\sqrt{\ln x}}{q^{2}}\geqslant b\, \frac{(\ln x)^{1/2}}{(\ln (3x))^{1/13}} \geqslant \frac{b}{2}\, \frac{(\ln x)^{1/2}}{(\ln x)^{1/13}}=b_{1} (\ln x)^{11/26}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого простого $q\leqslant (\ln (3x))^{1/26}$, где $b_{1}=b/2$ – положительная абсолютная постоянная. Получаем
$$
\begin{equation*}
x\sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}}\frac{ (\ln q)^s}{q\exp(b q^{-2} \sqrt{\ln x}\,)}\leqslant x\exp\bigl(-b_{1} (\ln x)^{11/26}\bigr)\sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}}\frac{(\ln q)^s}{q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $k=[(\ln(3x))^{1/26}]$ и применяя лемму 3.5, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}}\frac{ (\ln q)^s}{q} &= \sum_{q \leqslant k}\frac{ (\ln q)^s}{q} \leqslant c (\ln k)^s\leqslant c \bigl(\ln \bigl((\ln(3x))^{1/26}\bigr)\bigr)^s \\ &=\frac{c}{(26)^s}\bigl(\ln\ln (3x)\bigr)^s, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c$ – положительная абсолютная постоянная. Получаем
$$
\begin{equation*}
x\sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}}\frac{ (\ln q)^s}{q\exp(b q^{-2} \sqrt{\ln x}\,)}\leqslant \frac{c}{(26)^s}\, x \exp\bigl(-b_{1} (\ln x)^{11/26}\bigr)\bigl(\ln\ln (3x)\bigr)^s.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого вещественного $t\geqslant 2$ выполнено $\pi(t) \geqslant a t/\ln t$, где $a$ – положительная абсолютная постоянная. Покажем, что
$$
\begin{equation}
\frac{c}{(26)^s}x \exp\bigl(-b_{1} (\ln x)^{11/26}\bigr)\bigl(\ln\ln (3x)\bigr)^s \leqslant \frac{a x}{(26)^s\ln x}.
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Неравенство (3.24) эквивалентно неравенству
$$
\begin{equation*}
c \ln x\bigl(\ln\ln (3x)\bigr)^s\leqslant a \exp\bigl(b_{1} (\ln x)^{11/26}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Взяв логарифм от обеих частей, получаем
$$
\begin{equation*}
\ln c + \ln\ln x + s \ln\ln\ln (3x)\leqslant \ln a + b_{1} (\ln x)^{11/26}.
\end{equation*}
\notag
$$
Данное неравенство выполнено, если $c_{0}(s)$ взято достаточно большим. Неравенство (3.24) доказано.
Следовательно,
$$
\begin{equation}
x\sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}}\frac{(\ln q)^s}{q\exp(b q^{-2}\sqrt{\ln x}\,)}\leqslant \frac{\pi(x)}{(26)^s}.
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
Подставив (3.23) и (3.25) в (3.22), получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}} \frac{\omega(q) (\ln q)^s}{q}\leqslant C(E) \biggl(c_{1}(s)+\frac{1}{(26)^s}\biggr)\pi(x).
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Подставив (3.26) в (3.21), получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{p\leqslant x} \biggl(\frac{\#E(\mathbb{F}_{p})}{\varphi(\#E(\mathbb{F}_{p}))}\biggr)^s\leqslant c^s\biggl(1+ C(E) \biggl(c_{1}(s)+\frac{1}{(26)^s}\biggr) \biggr)\pi (x) = C_{1}(E,s) \pi(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_{1}(E,s)>0$ – постоянная, зависящая только от $E$ и $s$. Таким образом, теорема 1.5 доказана для $x\geqslant c_{0}(s)$.
Предположим, что $2 \leqslant x < c_{0}(s)$. Для любого простого $p\leqslant x$ имеем
$$
\begin{equation*}
\#E(\mathbb{F}_{p}) \leqslant 3 p\leqslant 3 x\leqslant 3 c_{0}(s)=c_{2}(s).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{\#E(\mathbb{F}_{p})}{\varphi(\#E(\mathbb{F}_{p}))}\leqslant \#E(\mathbb{F}_{p})\leqslant c_{2}(s)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого простого $p\leqslant x$. Получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{p\leqslant x} \biggl(\frac{\#E(\mathbb{F}_{p})}{\varphi(\#E(\mathbb{F}_{p}))}\biggr)^s\leqslant (c_{2}(s))^s \pi (x) = c_{3}(s) \pi (x),
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_{3}(s)>0$ – постоянная, зависящая только от $s$. Доказываемое утверждение следует с $C(E,s)=\max (C_{1}(E,s), c_{3}(s))$. Теорема 1.5 доказана. Доказательство теоремы 1.6. Наше доказательство состоит из трех шагов.
1. Получим верхнюю оценку для величины Предположим, что $x\geqslant x_0$. Поскольку $\operatorname{ord}_{A}(s)<+\infty$ для любого натурального $s$, то $0\leqslant r(n)<+\infty$ для любого натурального $n$. Так как
$$
\begin{equation*}
N_{A}(x)=\sum_{n\leqslant x}\operatorname{ord}_{A}(n),
\end{equation*}
\notag
$$
имеем $N_{A}(x)<+\infty$. По предположению $N_{A}(x)>0$. Следовательно, $0< N_{A}(x)<+\infty$. Так как $N_{A}(x)>0$, существует натуральное $n\leqslant x$ такое, что $\operatorname{ord}_{A}(n)>0$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
0<\rho_{A}(x):= \max_{n\leqslant x}\operatorname{ord}_{A}(n)<+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно показать, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\leqslant x} (r(n))^{2} =\sum_{\substack{p_1, p_2\in \mathbb{P}\\ j, k\in \mathbb{N}:\\ p_1+a_j\leqslant x\\ p_2+a_k\leqslant x\\ p_1+a_j=p_2+a_k}} 1 =\sum_{\substack{\dots\\ p_1=p_2}}1+\sum_{\substack{\dots\\ p_1<p_2}}1+\sum_{\substack{\dots\\ p_1>p_2}}1= T_1+ T_2 + T_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Видно, что $T_2=T_3$. Оценим $T_1$. Имеем
$$
\begin{equation*}
T_1= \sum_{\substack{p_1\in \mathbb{P}:\\ p_1\leqslant x}}\, \sum_{\substack{j\in \mathbb{N}:\\ a_j\leqslant x-p_1 }}\, \sum_{\substack{k\in \mathbb{N}:\\ a_k=a_j}}1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{k\in \mathbb{N}:\\ a_k=a_j}}1=\operatorname{ord}_{A}(a_j),
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation*}
T_1\leqslant \sum_{\substack{p_1\in \mathbb{P}:\\ p_1\leqslant x}}\, \sum_{\substack{j\in \mathbb{N}:\\ a_j\leqslant x }} \operatorname{ord}_{A}(a_j)= \sum_{\substack{j\in \mathbb{N}:\\ a_j\leqslant x }} \operatorname{ord}_{A}(a_j) \sum_{\substack{p_1\in \mathbb{P}:\\ p_1\leqslant x}} 1= \pi(x)\sum_{\substack{j\in \mathbb{N}:\\ a_j\leqslant x }} \operatorname{ord}_{A}(a_j).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $a_j \leqslant x$, справедливо неравенство $\operatorname{ord}_{A}(a_j)\leqslant \rho_{A}(x)$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{j\in \mathbb{N}:\\ a_j\leqslant x}} \operatorname{ord}_{A}(a_j)\leqslant \rho_{A}(x)\sum_{\substack{j\in \mathbb{N}:\\ a_j\leqslant x }}1= \rho_{A}(x) N_{A}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку согласно теореме Чебышёва $\pi(x)\leqslant b x/\ln x$, где $b>0$ – абсолютная постоянная, получаем
$$
\begin{equation*}
T_1 \leqslant b\, \frac{x}{\ln x}\, \rho_{A}(x) N_{A}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Для $a \in \mathbb{N}$ положим
$$
\begin{equation*}
\pi_{2}(x, a)=\#\{p\leqslant x\colon p+a\text{ простое}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользуемся следующим результатом Шнирельмана [7]. Пусть $a$ – натуральное число, $x$ – вещественное число, $x\geqslant 4$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\pi_{2}(x, a)\leqslant c\,\frac{x}{(\ln x)^2}\, \frac{a}{\varphi(a)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $c>0$ – абсолютная постоянная. Оценим $T_2$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_2&= \sum_{\substack{p_1, p_2\in \mathbb{P}\\ j, k\in \mathbb{N}:\\ p_1+a_j\leqslant x\\ p_2+a_k\leqslant x\\ p_1+a_j=p_2+a_k\\ p_1<p_2}}1 \leqslant \sum_{\substack{j, k\in \mathbb{N}:\\ a_k < a_j\leqslant x}} \sum_{\substack{p\in \mathbb{P}:\\p\leqslant x\\ p+a_j-a_k\text{ простое}}}1 = \sum_{\substack{j, k\in \mathbb{N}:\\ a_k < a_j\leqslant x}}\pi_{2}(x, a_j - a_k) \\ &\leqslant c\,\frac{x}{(\ln x)^2}\sum_{\substack{j, k\in \mathbb{N}:\\ a_k < a_j\leqslant x}}\frac{a_j - a_k}{\varphi(a_j - a_k)} =c\,\frac{x}{(\ln x)^2}\sum_{\substack{k\in \mathbb{N}:\\ a_k < x}}\sum_{\substack{j\in \mathbb{N}:\\ a_k < a_j\leqslant x}}\frac{a_j - a_k}{\varphi(a_j - a_k)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем натуральное $k$ с условием $a_k < x$. Пусть $j$ – натуральное число такое, что $a_k < a_j\leqslant x$. Тогда $0< a_j - a_k\leqslant x$. Применяя теорему 1.1 с $s=1$, $M=x$ и $\alpha$, которое дано в формулировке теоремы, получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{j\in \mathbb{N}:\\ a_k < a_j\leqslant x}}\frac{a_j - a_k}{\varphi(a_j - a_k)} \leqslant C(\alpha)\biggl(l+\sum_{p\leqslant (\ln x)^{\alpha}}\frac{\omega(p) \ln p}{p}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
l=\#\{j\in \mathbb{N}\colon a_k<a_j\leqslant x\}\leqslant \#\{j\in \mathbb{N}\colon a_j\leqslant x\}=N_{A}(x)
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\omega(p)=\#\{j\in \mathbb{N}\colon a_k<a_j\leqslant x\text{ и }a_j\equiv a_k\ (\operatorname{mod} p)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{\substack{j\in \mathbb{N}:\\ a_k < a_j\leqslant x}}\frac{a_j - a_k}{\varphi(a_j - a_k)} \\ &\qquad\leqslant C(\alpha)\biggl(N_{A}(x)+\sum_{p\leqslant (\ln x)^{\alpha}}\frac{\#\{j\in \mathbb{N}\colon a_k<a_j\leqslant x\text{ и } a_j\equiv a_k\ (\operatorname{mod} p)\} \ln p}{p}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_2 &\leqslant c\,\frac{x}{(\ln x)^2}\sum_{\substack{k\in \mathbb{N}:\\ a_k < x}}C(\alpha)\biggl(N_{A}(x) \\ &\qquad +\sum_{p\leqslant (\ln x)^{\alpha}}\frac{\#\{j\in \mathbb{N}\colon a_k<a_j\leqslant x\text{ и }a_j\equiv a_k\ (\operatorname{mod} p)\} \ln p}{p}\biggr) \\ &\leqslant c C(\alpha)\,\frac{x}{(\ln x)^2}(N_{A}(x))^{2}+c C(\alpha)\,\frac{x}{(\ln x)^2} \\ &\qquad\times \sum_{\substack{k\in \mathbb{N}:\\ a_k < x}}\, \sum_{p\leqslant (\ln x)^{\alpha}}\frac{\#\{j\in \mathbb{N}\colon a_k<a_j\leqslant x\text{ и }a_j\equiv a_k\ (\operatorname{mod} p)\}\ln p}{p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По предположению теоремы
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{k\in \mathbb{N}:\\ a_k < x}}\, \sum_{p\leqslant (\ln x)^{\alpha}} \frac{\#\{j\in \mathbb{N}\colon a_k<a_j\leqslant x\text{ и }a_j\equiv a_k\ (\operatorname{mod} p)\} \ln p}{p}\leqslant \gamma_{2} (N_{A}(x))^{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
T_2\leqslant c_{0}(\gamma_2, \alpha)\,\frac{x}{(\ln x)^2}\, (N_{A}(x))^{2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_{0}(\gamma_2,\alpha)>0$ – постоянная, зависящая только от $\gamma_2$ и $\alpha$.
Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{n\leqslant x} \bigl(r(n)\bigr)^{2}&= T_1+T_2+T_3=T_1+2T_2 \\ &\leqslant b\, \frac{x}{\ln x}\, \rho_{A}(x) N_{A}(x) + 2c_{0}(\gamma_2, \alpha)\,\frac{x}{(\ln x)^2}\, (N_{A}(x))^{2} \\ &\leqslant c(\gamma_2, \alpha)\,\frac{x}{(\ln x)^2}\, N_{A}(x)\bigl(\rho_{A}(x)\ln x+ N_{A}(x)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c(\gamma_2, \alpha)=b+2c_{0}(\gamma_2, \alpha)>0$ – постоянная, зависящая только от $\gamma_2$ и $\alpha$.
2. Получим нижнюю оценку для
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)\geqslant b_1 \gamma_1 (N_{A}(x)/\ln x)}} r(n),
\end{equation*}
\notag
$$
где $b_1>0$ – некоторая абсолютная постоянная, которую мы определим позднее.
По предположению теоремы $N_{A}(x/2)\geqslant \gamma_1 N_{A}(x)>0$. Кроме того, выполнено $N_{A}(x/2)<+\infty$. Следовательно, $0< N_{A}(x/2)<+\infty$. Поскольку $x\geqslant x_0\geqslant 10$, имеем
$$
\begin{equation*}
\pi(x/2)\geqslant b\,\frac{x/2}{\ln x/2}\geqslant\frac{b}{2}\,\frac{x}{\ln x}= b_0\, \frac{x}{\ln x},
\end{equation*}
\notag
$$
где $b_0>0$ – абсолютная постоянная.
Получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\leqslant x} r(n)\geqslant \pi\biggl(\frac{x}2\biggr)N_{A}\biggl(\frac{x}2\biggr)\geqslant b_{0}\gamma_{1}\, \frac{x}{\ln x}\, N_{A}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)< (b_{0}\gamma_{1}N_{A}(x))/ (2\ln x)}} r(n) &< \frac{b_{0}\gamma_{1}}{2}\, \frac{N_{A}(x)}{\ln x} \sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)< (b_{0}\gamma_{1}N_{A}(x))/ (2\ln x)}} 1 \\ &\leqslant \frac{b_{0}\gamma_{1}}{2}\, \frac{N_{A}(x)}{\ln x} \sum_{n\leqslant x} 1 \leqslant \frac{b_{0}\gamma_{1}}{2}\, \frac{x}{\ln x}\, N_{A}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)\geqslant (b_{0}\gamma_{1}N_{A}(x))/ (2\ln x)}} r(n) &= \sum_{n\leqslant x} r(n) - \sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)< (b_{0}\gamma_{1}N_{A}(x))/ (2\ln x)}} r(n) \\ &\geqslant \frac{b_{0}\gamma_{1}}{2}\, \frac{x}{\ln x}\, N_{A}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $b_1=b_{0}/2$. Тогда $b_1>0$ – абсолютная постоянная, и
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)\geqslant b_1\gamma_1 (N_{A}(x)/\ln x)}} r(n)\geqslant b_1 \gamma_1 \,\frac{x}{\ln x}\, N_{A}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
3. Применяя неравенство Коши–Шварца, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(b_1 \gamma_1 \,\frac{x}{\ln x}\, N_{A}(x)\biggr)^2 \leqslant \Biggl(\sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)\geqslant b_1\gamma_1 (N_{A}(x)/\ln x)}} r(n)\Biggr)^{2} \\ &\leqslant \sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)\geqslant b_1\gamma_1 (N_{A}(x)/\ln x)}} 1 \, \sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)\geqslant b_1\gamma_1 (N_{A}(x)/\ln x)}} (r(n))^{2} \\ &\leqslant \sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)\geqslant b_1\gamma_1 (N_{A}(x)/\ln x)}} 1\, \sum_{n\leqslant x} (r(n))^{2} \\ &\leqslant \Biggl(\sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)\geqslant b_1\gamma_1 (N_{A}(x)/\ln x)}} 1\Biggr) c(\gamma_2, \alpha)\,\frac{x}{(\ln x)^2}\, N_{A}(x)\bigl(\rho_{A}(x)\ln x+ N_{A}(x)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)\geqslant b_1\gamma_1 (N_{A}(x)/\ln x)}} 1\geqslant \frac{(b_1 \gamma_1)^2}{c(\gamma_2, \alpha)}\,x\,\frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+\rho_{A}(x)\ln x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
c_1= b_1\gamma_1,\qquad c_2= \frac{(b_1 \gamma_1)^2}{c(\gamma_2, \alpha)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $c_1$ и $c_2$ – положительные постоянные, зависящие только от $\gamma_1$ и $\gamma_1$, $\gamma_2$, $\alpha$ соответственно, и
$$
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant c_1 \frac{N_{A}(x)}{\ln x}\biggr\}\geqslant c_2 x\,\frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+\rho_{A}(x)\ln x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1.6 доказана. Доказательство теоремы 1.7. Мы собираемся применить теорему 1.6. Положим
$$
\begin{equation*}
\Omega = \{n\in \mathbb{N}\colon R(n)>0\},\qquad A= \{R(n)\colon n\in \Omega\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого натурального $m$ имеем В частности, видим, что $\operatorname{ord}_{A}(m) <+\infty$ для любого натурального $m$ и для любого вещественного числа $t\geqslant 1$.
Существует натуральное число $N_{0}$, зависящее только от полинома $R$, такое, что
$$
\begin{equation*}
-\frac{a_{k}}{2} t^{k} \leqslant a_{k-1}t^{k-1}+\dots+a_{0}\leqslant \frac{a_{k}}{2} t^{k}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
R'(t)=k a_k t^{k-1}+ (k-1)a_{k-1}t^{k-2}+\dots + a_1> 0
\end{equation*}
\notag
$$
для любого вещественного числа $t \geqslant N_{0}$. Следовательно, $(a_{k}/2) n^{k} \leqslant R(n) \leqslant 2 a_{k} n^{k}$ и $R(n)< R(n+1)$ для любого целого $n \geqslant N_{0}$. Положим
$$
\begin{equation*}
\widetilde{M}_{2}=\max_{\substack{n\in \mathbb{N}:\\ n\leqslant N_{0}}} R(n).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\widetilde{M}_{2}$ – положительная постоянная, зависящая только от $R$, и
$$
\begin{equation*}
R(n)\leqslant \widetilde{M}_{2}\leqslant \widetilde{M}_{2} n^{k}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого целого числа $n$ такого, что $n\in \Omega$ и $n\leqslant N_{0}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
R(n) \leqslant \max(\widetilde{M}_{2}, 2a_{k})n^{k} = M_{2} n^{k}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $n\in \Omega$.
Положим Тогда
$$
\begin{equation*}
\widetilde{M}_{1} n^{k} \leqslant \widetilde{M}_{1} (N_{0})^{k}=1 \leqslant R(n)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого целого $n$ такого, что $n\in \Omega$ и $n \leqslant N_{0}$. Получаем
$$
\begin{equation*}
R(n) \geqslant \min (\widetilde{M}_{1}, a_{k}/2) n^{k}= M_{1} n^{k}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $n\in \Omega$. Таким образом, для любого $n\in \Omega$, где $M_{1}$ и $M_{2}$ – положительные постоянные, зависящие только от $R$.
Имеем
$$
\begin{equation}
\Omega= \{n_1,\dots, n_{T}, N_{0}, N_{0}+1,\dots\},
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
где $n_{1}, \dots, n_{T}$ – натуральные числа с условием $n_{1}<\dots < n_{T}< N_{0}$. Можем считать, что $T>0$. Ясно, что $T$ – положительная постоянная, зависящая только от $R$.
Предположим, что $x \geqslant x_{0}$, где $x_{0}$ – положительная постоянная, зависящая только от $R$; мы выберем постоянную $x_{0}$ позднее, она будет достаточно велика. Пусть $x_{0} \geqslant M_{2} (N_{0})^{k}$. Применяя (3.27), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, N_{A}(x)&=\#\{n\in \Omega\colon R(n)\leqslant x\}\leqslant \#\{n\in \Omega\colon M_{1} n^{k}\leqslant x\} \\ &\leqslant \#\biggl\{n\in \mathbb{N}\colon n\leqslant \biggl(\frac{x}{M_{1}}\biggr)^{1/k}\biggr\}= \biggl[\biggl(\frac{x}{M_{1}}\biggr)^{1/k}\biggr]\leqslant \biggl(\frac{x}{M_{1}}\biggr)^{1/k}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $x_1 = M_{2} (2N_{0}+1)^{k}$. Тогда $x_{1}$ – положительная постоянная, зависящая только от $R$. Пусть $t$ – вещественное число такое, что $t \geqslant x_{1}$. Применяя (3.27) и (3.28), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, N_{A}(t)&= \#\{n\in \Omega\colon R(n)\leqslant t\}\geqslant \#\{n\in \Omega\colon M_{2}n^{k}\leqslant t\} \notag \\ &= \#\biggl\{n\in \Omega\colon n\leqslant \biggl(\frac{t}{M_{2}}\biggr)^{1/k}\biggr\}\geqslant \biggl[\biggl(\frac{t}{M_{2}}\biggr)^{1/k}\biggr] - N_{0}+1 \notag \\ &\geqslant \biggl(\frac{t}{M_{2}}\biggr)^{1/k} - N_{0}\geqslant \frac{1}{2} \biggl(\frac{t}{M_{2}}\biggr)^{1/k}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Пусть $x_{0} \geqslant 2x_1$. Тогда
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2} \biggl(\frac{x}{M_{2}}\biggr)^{1/k} \leqslant N_{A}(x) \leqslant \biggl(\frac{x}{M_{1}}\biggr)^{1/k}.
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
В частности, видим, что $N_{A}(x)>0$. Поскольку $x/2 \geqslant x_{1}$, из (3.29) имеем
$$
\begin{equation*}
N_{A}(x/2) \,{\geqslant}\, \frac{1}{2} \biggl(\frac{x/2}{M_{2}}\biggr)^{1/k}{=}\, \frac{1}{2} \biggl(\frac{M_{1}}{2M_{2}}\biggr)^{1/k} \biggl(\frac{x}{M_{1}}\biggr)^{1/k} {\geqslant}\, \frac{1}{2} \biggl(\frac{M_{1}}{2M_{2}}\biggr)^{1/k} N_{A}(x)\,{=}\, \gamma_{1} N_{A}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_{1}$ – положительная постоянная, зависящая только от $R$. Мы видим, что выполнены (1.4) и (1.5).
Можно считать, что $x_{0}\geqslant R(N_{0})$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\rho_{A}(x) = \max_{n\leqslant x} \operatorname{ord}_{A}(n)\geqslant \operatorname{ord}_{A}\bigl(R(N_{0})\bigr) \geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
Рассмотрим сумму
$$
\begin{equation*}
S= \sum_{\substack{j\in \Omega:\\ R(j)< x}} \, \sum_{p\leqslant \ln x} \frac{\lambda (j, p)\ln p}{p},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\lambda (j, p)= \#\{n\in \Omega\colon R(j)< R(n)\leqslant x\text{ и }R(n) \equiv R(j)\ (\operatorname{mod} p)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем $j$, лежащее в диапазоне суммирования $S$. Имеем
$$
\begin{equation}
\sum_{p\leqslant \ln x} \frac{\lambda (j, p)\ln p}{p}= \sum_{\substack{p\leqslant \ln x\\ p \mid a_k}} \frac{\lambda (j, p)\ln p}{p}+ \sum_{\substack{p\leqslant \ln x\\ (p,a_k)=1}} \frac{\lambda (j, p)\ln p}{p}= S_{1}+ S_{2}.
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
Пусть $p$ лежит в диапазоне суммирования $S_{1}$. Имеем $\lambda (j,p) \leqslant N_{A}(x)$. Получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_{1} \leqslant N_{A}(x)\sum_{\substack{p\leqslant \ln x\\ p \mid a_k}} \frac{\ln p}{p}\leqslant \biggl(\sum_{p \mid a_k} \frac{\ln p}{p} + 1\biggr)N_{A}(x)= c_{1} N_{A}(x), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
где $c_1$ – положительная постоянная, зависящая только от $R$.
Согласно постулату Бертрана (см., например, [5; теорема 3.1.9]) существует натуральное число $n_0$ такое, что между $n$ и $2 n$ есть простое число для любого целого $n \geqslant n_0$. Значит, существует простое число $p$, лежащее между $n_{0}\,{+}\,a_k$ и $2(n_{0}+a_k)$. Имеем $p> a_k$ и, следовательно, $(p, a_k)=1$, а также имеем $\ln x > 2(n_{0}+a_k)$, если $x_0$ выбрано достаточно большим. Мы видим, что $\{p\colon p\leqslant \ln x \text{ и } (p,a_k)= 1\}\neq\varnothing$. Можем считать (см. (3.28)), что
$$
\begin{equation*}
x_{0}\geqslant \max \bigl(R(n_1),\dots, R(n_{T}), R(N_{0}),\dots, R(N_{0}+10)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим Поскольку $R(n)< R(n+1)$ для любого целого $n \geqslant N_{0}$, имеем
$$
\begin{equation}
\Omega(x)=\{n_{1},\dots, n_{T}, N_{0}, N_{0}+1,\dots, N_{0}+r\}.
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
Предположим, что $p$ лежит в диапазоне суммирования $S_{2}$. Определим
$$
\begin{equation*}
U=\bigl\{b\in \{0,\dots, p-1\}\colon R(b)\equiv R(j) \ (\operatorname{mod}p)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тривиальным образом, $\#U \leqslant p$. Поскольку $(p,a_k)=1$, также имеем $\#U \leqslant k$. Получаем $\#U \leqslant \min (p,k)$. Заметим, что если $b\in \{0,\dots, p-1\}$ такое, что $b\equiv j\ (\operatorname{mod} p)$, то $b\in U$. Следовательно,
Для любого $b\in U$ определим
$$
\begin{equation*}
\Lambda (b)= \{ t\in \mathbb{Z}\colon b+pt\in \Omega(x)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (3.34) видим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \# \Lambda (b)&\leqslant T + \#\{t\in \mathbb{Z}\colon N_{0}\leqslant b+ pt\leqslant N_{0}+r\} \\ &= T + \biggl[\frac{N_{0}+r - b}{p}\biggr] - \biggl\lceil\frac{N_{0}-b}{p}\biggr\rceil + 1\leqslant \frac{r}{p}+ T+1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем и (см. (3.30))
$$
\begin{equation*}
N_{A}(x) \geqslant \frac{1}{2} \biggl(\frac{x}{M_{2}}\biggr)^{1/k} \geqslant \ln x,
\end{equation*}
\notag
$$
если $x_0$ выбрано достаточно большим. Поскольку $p\leqslant \ln x$, получаем $p \leqslant N_{A}(x)$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\# \Lambda (b)\leqslant \frac{N_{A}(x)}{p}+ T+1\leqslant \frac{N_{A}(x)}{p}+ (T+1)\frac{N_{A}(x)}{p} = (T+2)\frac{N_{A}(x)}{p}= c_2 \frac{N_{A}(x)}{p},
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_2$ – положительная постоянная, зависящая только от $R$.
Имеем
$$
\begin{equation*}
\lambda (j,p) \leqslant \sum_{b\in U} \# \Lambda (b)\leqslant c_2 \frac{N_{A}(x)}{p} \#U\leqslant c_2 k \frac{N_{A}(x)}{p} = c_3 \frac{N_{A}(x)}{p},
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_3$ – положительная постоянная, зависящая только от $R$. Получаем
$$
\begin{equation}
S_2=\sum_{\substack{p\leqslant \ln x\\ (p,a_k)=1}} \frac{\lambda (j, p)\ln p}{p}\leqslant c_3 N_{A}(x) \sum_{\substack{p\leqslant \ln x\\ (p,a_k)=1}} \frac{\ln p}{p^{2}} \leqslant c_3 N_{A}(x) \sum_{p} \frac{\ln p}{p^{2}} = c_4 N_{A}(x),
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
где $c_{4}$ – положительная постоянная, зависящая только от $R$.
Подставляя (3.33) и (3.35) в (3.32), получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{p\leqslant \ln x} \frac{\lambda (j, p)\ln p}{p}\leqslant (c_1 + c_4) N_{A}(x) = \gamma_{2} N_{A}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_{2}$ – положительная постоянная, зависящая только от $R$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{j\in \Omega:\\ R(j)< x}} \sum_{p\leqslant \ln x} \frac{\lambda (j, p)\ln p}{p}\leqslant \gamma_{2} N_{A}(x)\sum_{\substack{j\in \Omega:\\ R(j)< x}} 1 \leqslant \gamma_{2} \bigl(N_{A}(x)\bigr)^{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы видим, что (1.6) выполнено с $\alpha = 1$.
Согласно теореме 1.6 существуют положительные постоянные $c_{1}=c_{1}(\gamma_1)$ и $c_{2}=c_{2}(\gamma_1, \gamma_2, \alpha)$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon \widetilde{r}(n)\geqslant c_{1}\frac{N_{A}(x)}{\ln x}\biggr\}\geqslant c_{2}x\frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+\rho_{A}(x)\ln x},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widetilde{r}(n) = \#\{(p,j)\in \mathbb{P}\times \Omega\colon p+ R(j)=n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\gamma_{1}$ и $\gamma_2$ – положительные постоянные, зависящие только от $R$, $\alpha\,{=}\,1$, видим, что $c_1$ и $c_2$ – положительные постоянные, зависящие только от $R$. Применяя (3.30), получаем
$$
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon \widetilde{r}(n)\geqslant c_{1}\frac{N_{A}(x)}{\ln x}\biggr\}\leqslant \#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon \widetilde{r}(n)\geqslant \frac{c_{1}}{2 (M_{2})^{1/k}}\frac{x^{1/k}}{\ln x}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
r(n) = \#\{(p,j)\in \mathbb{P}\times\mathbb{N}\colon p+ R(j)=n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\widetilde{r}(n) \leqslant r(n)$ для любого натурального $n$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon \widetilde{r}(n)\geqslant \frac{c_{1}}{2 (M_{2})^{1/k}}\frac{x^{1/k}}{\ln x}\biggr\}\leqslant \#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant \frac{c_{1}}{2 (M_{2})^{1/k}}\,\frac{x^{1/k}}{\ln x}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем (см. (3.31))
$$
\begin{equation*}
0< \rho_{A}(x)\ln x\leqslant k \ln x \leqslant \frac{x^{1/k}}{2 (M_{2})^{1/k}},
\end{equation*}
\notag
$$
если $x_0$ выбрано достаточно большим. Получаем $0< \rho_{A}(x)\ln x\leqslant N_{A}(x)$ и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+\rho_{A}(x)\ln x}\geqslant \frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+ N_{A}(x)}=\frac{1}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant \frac{c_{1}}{2 (M_{2})^{1/k}}\, \frac{x^{1/k}}{\ln x}\biggr\}\geqslant \frac{c_{2}}{2} x.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы видим, что $c_1 / (2 (M_{2})^{1/k})$ и $c_2/2$ – положительные постоянные, зависящие только от $R$. Обозначим $c_1 / (2 (M_{2})^{1/k})$ через $c_1$ и $c_2/2$ через $c_2$. Теорема 1.7 доказана. Доказательство следствия 1.2. Положим $R(n)=n^{k}$. Согласно теореме 1.7 существуют положительные постоянные $c_{1}(k)$, $c_{2}(k)$ и $x_{0}(k)$, зависящие только от $k$, такие, что
$$
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant c_{1}(k)\frac{x^{1/k}}{\ln x}\biggr\}\geqslant c_{2}(k) x
\end{equation*}
\notag
$$
для любого вещественного $x \geqslant x_{0}(k)$, где
$$
\begin{equation*}
r(n)=\#\{(p, j)\in \mathbb{P}\times\mathbb{N}\colon p+j^{k}=n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\max_{4 \leqslant x \leqslant x_{0}(k)}\frac{x^{1/k}}{\ln x}=\alpha (k).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\alpha(k)$ – положительная постоянная, зависящая только от $k$. Поскольку $3=2+1=2+R(1)$ и $2\in \mathbb{P}$, имеем $r(3) \geqslant 1$. Получаем
$$
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant \frac{1}{\alpha (k)}\frac{x^{1/k}}{\ln x}\biggr\}\geqslant 1 \geqslant \frac{1}{x_{0}(k)} x
\end{equation*}
\notag
$$
для любого вещественного $3 \leqslant x \leqslant x_{0}(k)$. Положим
$$
\begin{equation*}
b_{1}(k) = \min \biggl(c_{1}(k), \frac{1}{\alpha(k)}\biggr),\qquad b_{2}(k)=\min \biggl(c_{2}(k), \frac{1}{x_{0}(k)}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Видим, что $b_{1}(k)$ и $b_{2}(k)$ – положительные постоянные, зависящие только от $k$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant b_{1}(k)\frac{x^{1/k}}{\ln x}\biggr\}\geqslant b_{2}(k) x
\end{equation*}
\notag
$$
для любого вещественного $x\geqslant 3$. Обозначим $b_{1}(k)$ через $c_{1}(k)$ и $b_{2}(k)$ через $c_{2}(k)$. Следствие 1.2 доказано. Доказательство теоремы 1.8. Согласно теореме Хассе [8] для любого простого $p> 3$ имеем $|\#E(\mathbb{F}_{p})- (p+1)|< 2\sqrt{p}$. Видим из (3.18), что при $p\in \{2, 3\}$ также выполнено $|\#E(\mathbb{F}_{p}) - (p+1)|<2\sqrt{p}$. Получаем для всех простых $p$. Таким образом, для любого простого числа $p$.
Положим $A=\bigl\{ \#E(\mathbb{F}_{p})\colon p \geqslant 2\bigr\}$. Мы собираемся применить теорему 1.6. Предположим, что $p\geqslant 5$. Пусть $q$ – простое число с условием $q> p + 4\sqrt{p}+ 4$. Тогда $(\sqrt{q}-1)^{2}> (\sqrt{p}+1)^{2}$, и из (3.36) получаем $\#E(\mathbb{F}_{q})> \#E(\mathbb{F}_{p})$. Пусть теперь $q$ – простое число такое, что $q< p - 4\sqrt{p}+ 4$. Тогда $(\sqrt{q}+1)^{2}< (\sqrt{p}-1)^{2}$, и из (3.36) следует, что $\#E(\mathbb{F}_{q})< \#E(\mathbb{F}_{p})$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{ord}_{A}\bigl(\#E(\mathbb{F}_{p})\bigr)&=\#\{q\colon \#E(\mathbb{F}_{q})=\#E(\mathbb{F}_{p})\} \\ &\leqslant \#\{q\colon p - 4\sqrt{p}+ 4 \leqslant q \leqslant p + 4\sqrt{p}+ 4\} \\ &\leqslant \#\{n\in \mathbb{N}\colon p - 4\sqrt{p}+ 4 \leqslant n \leqslant p + 4\sqrt{p}+ 4\} \\ &= [p + 4\sqrt{p}+ 4] - \lceil p - 4\sqrt{p}+ 4\rceil + 1\leqslant 8\sqrt{p}+1 < 9\sqrt{p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $p<5$, т. е. $p\in \{2,3\}$. Из (3.18) получаем $\#E(\mathbb{F}_{p})\leqslant 7$. Пусть $q$ – простое число с условием $q > 14$. Тогда $(\sqrt{q}-1)^{2}>7$, и из (3.36) получаем $\#E(\mathbb{F}_{q})> \#E(\mathbb{F}_{p})$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ord}_{A}\bigl(\#E(\mathbb{F}_{p})\bigr)\leqslant \#\{q\colon q\leqslant 14\} = 6 < 6\sqrt{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation}
\operatorname{ord}_{A}\bigl(\#E(\mathbb{F}_{p})\bigr) \leqslant 9\sqrt{p}
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
для любого простого $p$. В частности, мы видим, что $\operatorname{ord}_{A} (n) <+\infty$ для любого натурального $n$.
Будем считать, что $x\geqslant x_0$, где $x_0$ – положительная абсолютная постоянная; постоянная $x_0$ будет выбрана позднее, она будет велика. Можем считать, что $x_{0} \geqslant 100$ и, следовательно, $x\geqslant 100$. Пусть $p$ – простое число такое, что $\#E(\mathbb{F}_{p})\leqslant x$. Из неравенства (3.36) следует, что $(\sqrt{p}-1)^{2}< x$ или, что эквивалентно, $\sqrt{p}-1< \sqrt{x}$. Отсюда получаем Положим $n_0 = \#E(\mathbb{F}_2)$. Из неравенства (3.18) мы видим, что $1\leqslant n_0 \leqslant 5< x$. Получаем
$$
\begin{equation*}
\rho_{A}(x)=\max_{n\leqslant x}\operatorname{ord}_{A}(n) \geqslant \operatorname{ord}_{A}(n_0) \geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $n_1$ – натуральное число такое, что $n_1 \leqslant x$ и $\rho_{A}(x)= \operatorname{ord}_{A}(n_1)$. Поскольку $\rho_{A}(x) \geqslant 1$, получаем $\operatorname{ord}_{A}(n_1) \geqslant 1$ и, следовательно, существует простое число $p$ такое, что $\#E(\mathbb{F}_{p})=n_1$. Так как $n_1\leqslant x$, имеем $\#E(\mathbb{F}_{p}) \leqslant x$. Согласно (3.38) получаем $p\leqslant 2x$. Применяя (3.37), имеем
$$
\begin{equation*}
\rho_{A}(x)= \operatorname{ord}_{A}(n_1)= \operatorname{ord}_{A}\bigl(\#E(\mathbb{F}_{p})\bigr)\leqslant 9\sqrt{p} \leqslant 9\sqrt{2x}< 13 \sqrt{x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
Применяя (3.38), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, N_{A}(x)&=\#\{p\colon \#E(\mathbb{F}_{p})\leqslant x\}\leqslant \#\{p\colon p\leqslant 2x\}= \pi (2x) \\ &\leqslant a \frac{2x}{\ln (2x)}\leqslant 2a \frac{x}{\ln x}= a_{2} \frac{x}{\ln x}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_2$ – положительная абсолютная постоянная.
Пусть $t$ – вещественное число такое, что $t\geqslant 20$. Видно, что Следовательно, если $p$ – простое число такое, что $p\leqslant t/2$, то $p\leqslant t-2\sqrt{t}+1$ или, что эквивалентно, $(\sqrt{p}+1)^{2}\leqslant t$. Из (3.36) получаем $\#E(\mathbb{F}_{p})\leqslant t$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, N_{A}(t)&=\#\{p\colon \#E(\mathbb{F}_{p})\leqslant t\} \notag \\ &\geqslant \#\biggl\{p\colon p \leqslant \frac{t}2\biggr\}= \pi \biggl(\frac{t}2\biggr) \geqslant b \frac{t/2}{\ln (t/2)}\geqslant \frac{b}{2}\, \frac{t}{\ln t}= a_{1} \frac{t}{\ln t}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.40}
$$
где $a_1$ – положительная абсолютная постоянная. Таким образом,
$$
\begin{equation}
a_{1} \frac{x}{\ln x} \leqslant N_{A}(x) \leqslant a_{2} \frac{x}{\ln x},
\end{equation}
\tag{3.41}
$$
где $a_1$, $a_2$ – положительные абсолютные постоянные. Поскольку $x/2 >20$, из (3.40) получаем
$$
\begin{equation*}
N_{A}\biggl(\frac{x}2\biggr) \geqslant a_{1} \frac{x/2}{\ln (x/2)}\geqslant \frac{a_1}{2}\, \frac{x}{\ln x}= \frac{a_1}{2a_2}\, a_{2} \frac{x}{\ln x}\geqslant \frac{a_1}{2a_2}\, N_{A}(x)=\gamma_1 N_{A}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_1 = a_{1}/ (2a_{2})$ – положительная абсолютная постоянная. Мы видим, что (1.4) и (1.5) выполнены.
Имеем
$$
\begin{equation*}
10 \leqslant (\ln x)^{1/14} \leqslant (c_{1}\ln x)^{1/13},
\end{equation*}
\notag
$$
если $x_0$ выбрано достаточно большим (здесь $c_1$ – положительная абсолютная постоянная из (3.19)). Рассмотрим сумму
$$
\begin{equation*}
S=\sum_{\substack{q\in \mathbb{P}:\\ \#E(\mathbb{F}_{q})< x}}\, \sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\lambda (q,t) \ln t}{t},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\lambda (q, t):= \#\{p\in \mathbb{P}\colon \#E(\mathbb{F}_{q})< \#E(\mathbb{F}_{p})\leqslant x \text{ и }\#E(\mathbb{F}_{p})\equiv \#E(\mathbb{F}_{q})\ (\operatorname{mod} t)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $q$ и $t$ лежат в диапазоне суммирования $S$. Из (3.38) и (3.19) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda (q, t) &\leqslant \#\{p\leqslant 2x\colon \#E(\mathbb{F}_{p}) \equiv \#E(\mathbb{F}_{q}) \ (\operatorname{mod} t)\} \\ &\leqslant C(E) \biggl(\frac{\pi(2x)}{\varphi (t)}+ 2x\exp(-b t^{-2} \sqrt{\ln (2x)}\,)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\lambda (q,t) \ln t}{t} \nonumber \\ &\qquad\leqslant C(E) \Biggl(\pi(2x)\sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}}\frac{\ln t}{t\varphi (t)}+ 2x \sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\ln t}{t\exp(b t^{-2} \sqrt{\ln (2x)}\,)}\Biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.42}
$$
Поскольку $\varphi (n) \geqslant c n/ \ln\ln(n+2)$ для любого натурального $n$, где $c$ – положительная абсолютная постоянная, имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}}\frac{\ln t}{t\varphi (t)} \leqslant \frac{1}{c} \sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}}\frac{\ln t \ln\ln (t+2)}{t^{2}}\leqslant \frac{1}{c} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n \ln\ln (n+2)}{n^{2}}=c_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_1$ – положительная абсолютная постоянная. Получаем
$$
\begin{equation}
\pi(2x)\sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}}\frac{\ln t}{t\varphi (t)}\leqslant c_1 \pi(2x)\leqslant c_1 a \frac{2x}{\ln (2x)}\leqslant 2c_1 a \frac{x}{\ln x} = c_2 \frac{x}{\ln x},
\end{equation}
\tag{3.43}
$$
где $c_2$ – положительная абсолютная постоянная.
Для любого простого числа $t \leqslant (\ln x)^{1/14}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{b \sqrt{\ln (2x)}}{t^{2}}\geqslant \frac{b \sqrt{\ln (2x)}}{(\ln x)^{1/7}}\geqslant \frac{b (\ln x)^{1/2}}{(\ln x)^{1/7}}= b (\ln x)^{5/14}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
2x \sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\ln t}{t\exp(b t^{-2} \sqrt{\ln (2x)}\,)} \leqslant 2x\exp\bigl(-b (\ln x)^{5/14}\bigr) \sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\ln t}{t}.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $k= [(\ln x)^{1/14}]$ и применяя лемму 3.5, имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\ln t}{t}= \sum_{p\leqslant k} \frac{\ln p}{p}\leqslant c \ln k \leqslant c \ln \bigl((\ln x)^{1/14}\bigr)= \frac{c}{14}\ln\ln x=c_3\ln\ln x,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_3 = c/14$ – положительная абсолютная постоянная.
Получаем
$$
\begin{equation*}
2x \sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\ln t}{t\exp(b t^{-2} \sqrt{\ln (2x)}\,)}\leqslant 2c_{3}x\,\exp\bigl(-b (\ln x)^{5/14}\bigr)\ln\ln x.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что
$$
\begin{equation}
2c_{3}x\exp\bigl(-b (\ln x)^{5/14}\bigr)\ln\ln x \leqslant \frac{x}{\ln x}
\end{equation}
\tag{3.44}
$$
или, что эквивалентно,
$$
\begin{equation*}
2c_{3}\ln x \ln\ln x \leqslant \exp\bigl(b (\ln x)^{5/14}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Взяв логарифмы от обеих частей неравенства, получаем
$$
\begin{equation*}
\ln(2c_3)+\ln\ln x + \ln\ln\ln x \leqslant b (\ln x)^{5/14}.
\end{equation*}
\notag
$$
Данное неравенство выполнено, если $x_0$ взято достаточно большим. Неравенство (3.44) доказано.
Имеем
$$
\begin{equation}
2x \sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\ln t}{t\exp(b t^{-2} \sqrt{\ln (2x)}\,)} \leqslant \frac{x}{\ln x}.
\end{equation}
\tag{3.45}
$$
Подставив (3.43) и (3.45) в (3.42), получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\lambda (q,t) \ln t}{t}\leqslant C(E)(c_2 +1)\frac{x}{\ln x} = C_{1}(E) \frac{x}{\ln x},
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_{1}(E) >0$ – постоянная, зависящая только от $E$.
Применяя (3.41), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{\substack{q\in \mathbb{P}:\\ \#E(\mathbb{F}_{q})< x}}\, \sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\lambda (q,t) \ln t}{t} &\leqslant C_{1}(E)\, \frac{x}{\ln x} \, N_{A}(x) \\ &\leqslant\frac{C_{1}(E)}{a_1} (N_{A}(x))^{2}= \gamma_{2}(E) (N_{A}(x))^{2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_{2}(E) >0$ – постоянная, зависящая только от $E$. Мы видим, что неравенство (1.6) с $\alpha=1/14$ выполнено.
Согласно теореме 1.6 существуют положительные постоянные $c_{1}=c_{1}(\gamma_1)$ и $c_{2}=c_{2} (\gamma_{1}, \gamma_{2}(E), \alpha)$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant c_{1}\frac{N_{A}(x)}{\ln x}\biggr\}\geqslant c_{2}x\frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+\rho_{A}(x)\ln x},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
r(n)=\#\{(p, q)\in \mathbb{P}^{2}\colon p+\#E(\mathbb{F}_q)=n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\alpha = 1/14$, $\gamma_1$ – положительная абсолютная постоянная, и $\gamma_2(E)$ – положительная постоянная, зависящая только от $E$, мы видим, что $c_1$ – положительная абсолютная постоянная, и $c_{2}$ – положительная постоянная, зависящая только от $E$.
Согласно (3.41) имеем
$$
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant c_{1}\frac{N_{A}(x)}{\ln x}\biggr\}\leqslant \#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant c_{1} a_{1}\frac{x}{(\ln x)^{2}}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (3.39) имеем
$$
\begin{equation*}
\rho_{A}(x)\ln x \leqslant 13 \sqrt{x}\ln x\leqslant a_{1}\frac{x}{\ln x},
\end{equation*}
\notag
$$
если $x_0$ взято достаточно большим (здесь $a_1$ – положительная абсолютная постоянная из (3.41)). Получаем и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+\rho_{A}(x)\ln x}\geqslant \frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+ N_{A}(x)}= \frac{1}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant c_{1} a_{1}\frac{x}{(\ln x)^{2}}\biggr\}\geqslant \frac{c_{2}(E)}{2}x.
\end{equation*}
\notag
$$
Видим, что $c_{1} a_{1}$ – положительная абсолютная постоянная, и $c_{2}(E)/2$ – положительная постоянная, зависящая только от $E$. Обозначим $c_{1} a_{1}$ через $c_1$, а $c_{2}(E)/2$ через $c_{2}(E)$. Теорема 1.8 доказана. Доказательство теоремы 1.9. Положим Предположим, что $x\geqslant x_{0}(a, b)$, где $x_{0}(a, b) >0$ – постоянная, зависящая только от $a$ и $b$; постоянную $x_{0}(a, b)$ выберем позднее, она будет велика. Мы собираемся применить теорему 1.6. Ясно, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{ord}_{A}(n)=\#\bigl\{j\geqslant 0\colon a^{j^{b}}=n\bigr\}\leqslant 1,\qquad n\in\mathbb{N}, \\ N_{A}(x)=\#\bigl\{j\geqslant 0\colon a^{j^{b}}\leqslant x\bigr\} =y+1,\quad \text{где}\quad y:=\biggl[\biggl(\frac{\ln x}{\ln a}\biggr)^{1/b}\biggr]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\operatorname{ord}_{A}(1)=1$, видим, что
$$
\begin{equation*}
\rho_{A}(x)= \max_{n\leqslant x} \operatorname{ord}_{A}(n) =1.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation}
y\geqslant 10,\qquad \biggl(\frac{\ln x}{\ln a}\biggr)^{1/b}\leqslant N_{A}(x)\leqslant 2 \biggl(\frac{\ln x}{\ln a}\biggr)^{1/b},\qquad N_{A}(x/2)\geqslant \frac{1}{\sqrt{8}}\, N_{A}(x),
\end{equation}
\tag{3.46}
$$
если $x_{0}(a, b)$ выбрано достаточно большим. Из (3.46) следует, что (1.4) и (1.5) выполнены.
Покажем, что
$$
\begin{equation}
\sum_{0\leqslant k\leqslant y}\, \sum_{p\leqslant (\ln x)^{1/(2b)}}\frac{\lambda(k,p) \ln p}{p}\leqslant \gamma_{2}(a, b) y^{2},
\end{equation}
\tag{3.47}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\lambda(k,p) = \#\Lambda (k, p),\qquad \Lambda(k,p):= \bigl\{k<j\leqslant y\colon a^{j^{b}}\equiv a^{k^{b}}\, (\operatorname{mod} p)\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
и $\gamma_{2}(a, b)$ – положительная постоянная, зависящая только от $a$ и $b$.
Зафиксируем целое $k$ с условием $0\leqslant k \leqslant y$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{p\leqslant (\ln x)^{1/(2b)}} \frac{\lambda(k,p)\ln p}{p}= \sum_{\substack{p\leqslant (\ln x)^{1/(2b)}:\\ p\mid a\text{ или }p\mid (a-1)}} + \sum_{\substack{p\leqslant (\ln x)^{1/(2b)}:\\ (p,a)=1\text{ и }(p,a-1)=1}} =S_1+ S_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\lambda (k, p)\leqslant y$, получаем
$$
\begin{equation*}
S_1\leqslant y \sum_{\substack{p\leqslant (\ln x)^{1/(2b)}:\\ p\mid a\text{ или }p\mid (a-1)}}\frac{\ln p}{p}\leqslant y \sum_{\substack{p:\\ p\mid a\text{ или }p\mid (a-1)}}\frac{\ln p}{p}= c_{1}(a)y,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_{1}(a)>0$ – постоянная, зависящая только от $a$.
Пусть $p$ лежит в диапазоне суммирования $S_2$. Поскольку $(a,p)=1$, имеем $a^{p-1}\equiv 1\ (\operatorname{mod} p)$ (малая теорема Ферма). Пусть $h_{a}(p)$ – порядок $a$ по модулю $p$, т. е. $h_{a}(p)$ – наименьшее натуральное число $h$ такое, что $a^{h}\equiv 1\ (\operatorname{mod} p)$. Так как $(p,a-1)=1$, мы видим, что $1<h_{a}(p)\leqslant p-1$. Пусть $j\in \Lambda (k, p)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
a^{j^{b}}\equiv a^{k^{b}}\quad (\operatorname{mod} p).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку получаем Следовательно (см., например, [2; гл. VI]), $j^{b}-k^{b}\equiv 0\ (\operatorname{mod} h_{a}(p))$.
Будем использовать следующий результат Конягина [9; теорема 2]. Пусть $m, n\in \mathbb{N}$. Положим где $a_{0}, \dots, a_{n}$ – целые числа с условием $(a_{0},\dots, a_{n}, m)=1$. Обозначим через $\rho (f, m)$ число решений сравнения $f(x)\equiv 0\ (\operatorname{mod} m)$. Тогда где $c$ – положительная абсолютная постоянная.Определим
$$
\begin{equation*}
U=\bigl\{j\in \{0,\dots, h_{a}(p)-1\}\colon j^{b}-k^{b}\equiv 0 \ (\operatorname{mod} h_{a}(p))\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (3.48) получаем Видно, что
$$
\begin{equation*}
\lambda (k, p) \leqslant \sum_{j_{0}\in U} \#\{t\in \mathbb{Z}\colon 1\leqslant j_{0}+h_{a}(p)t\leqslant y\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
(\ln x)^{1/ (2b)} \leqslant \biggl(\frac{\ln x}{\ln a}\biggr)^{1/b}-1,
\end{equation*}
\notag
$$
если $x_{0}(a,b)$ выбрано достаточно большим. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
h_{a}(p) \leqslant p-1 < p\leqslant (\ln x)^{1/ (2b)} \leqslant \biggl(\frac{\ln x}{\ln a}\biggr)^{1/b}-1\leqslant y.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого $j_{0}\in U$ имеем
$$
\begin{equation*}
\#\{t\in \mathbb{Z}\colon 1\leqslant j_{0}+h_{a}(p)t\leqslant y\}\leqslant \frac{y}{h_{a}(p)}+1\leqslant \frac{2y}{h_{a}(p)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
\lambda (k, p)\leqslant \frac{2y}{h_{a}(p)} \#U \leqslant \frac{2y}{h_{a}(p)} cb \bigl(h_{a}(p)\bigr)^{1-1/b}= c_{2}(b) \frac{y}{\bigl(h_{a}(p)\bigr)^{1/b}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_{2}(b)=2cb$ – положительная постоянная, зависящая только от $b$.
Получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_2 &= \sum_{\substack{p\leqslant (\ln x)^{1/(2b)}:\\ (p,a)=1\text{ и }(p,a-1)=1}}\frac{\lambda(k,p)\ln p}{p}\leqslant c_{2}(b) y\sum_{\substack{p\leqslant (\ln x)^{1/(2b)}:\\ (p,a)=1\text{ и }(p,a-1)=1}}\frac{\ln p}{p(h_{a}(p))^{1/b}} \notag \\ &\leqslant c_{2}(b) y\sum_{\substack{p:\\ (p,a)=1}}\frac{\ln p}{p(h_{a}(p))^{1/b}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.49}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
D(z)=\sum_{n\leqslant z} d_n,\qquad \text{где}\quad d_n= \sum_{\substack{p:\\ (p,a)=1\\ h_{a}(p)=n}}\frac{\ln p}{p},\quad n=1, 2, \dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $z\geqslant 100$. Имеем
$$
\begin{equation*}
D(z)=\sum_{n\leqslant z} d_n= \sum_{n\leqslant z} \sum_{\substack{p:\\ (p,a)=1\\ h_{a}(p)=n}}\frac{\ln p}{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $n$ и $p$ лежат в диапазоне суммирования. Тогда $h_{a}(p)=n$ и, следовательно, $a^{n}\equiv 1\ (\operatorname{mod} p)$, т. е. $p\mid (a^{n}-1)$. Положим $P(z)=\prod_{n\leqslant z}(a^{n}-1)$. Получаем
$$
\begin{equation*}
D(z)\leqslant \sum_{p \,|\, P(z)}\frac{\ln p}{p} \leqslant c_{0}\ln\ln P(z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_{0}>0$ – абсолютная постоянная. Поскольку
$$
\begin{equation*}
P(z)\leqslant \prod_{n\leqslant z} a^{n}= a^{1+2+\dots+[z]}\leqslant a^{z^{2}},
\end{equation*}
\notag
$$
получаем $D(z)\leqslant c_1(a)\ln z$, где $c_1(a)>0$ – постоянная, зависящая только от $a$. Следовательно, $D(z)\leqslant c(a)\ln (z+1)$ для любого вещественного $z\geqslant 1$, где $c(a)>0$ – постоянная, зависящая только от $a$. Следовательно, $D(z)z^{-1/b}\to 0$ при $z\to +\infty$. Применяя суммирование по частям, имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\leqslant z}\frac{d_n}{n^{1/b}}=\frac{D(z)}{z^{1/b}}+ \frac{1}{b}\int_{1}^{z}\frac{D(t)}{t^{1+1/b}}\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
для любого вещественного $z\geqslant 1$. Получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\geqslant 1}\frac{d_n}{n^{1/b}}= \frac{1}{b}\int_{1}^{+\infty}\frac{D(t)}{t^{1+1/b}}\,dt\leqslant \frac{c(a)}{b}\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln (t+1)}{t^{1+1/b}}\,dt = c_{3}(a,b),
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_3(a, b)>0$ – постоянная, зависящая только от $a$ и $b$.
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{n\geqslant 1}\frac{d_{n}}{n^{1/b}}&=\sum_{n\geqslant 1} \sum_{\substack{p:\\ (p,a)=1\\ h_{a}(p)=n}}\frac{\ln p}{p (h_{a}(p))^{1/b}}=\sum_{\substack{p:\\ (p,a)=1}} \frac{\ln p}{p (h_{a}(p))^{1/b}}\sum_{\substack{n\geqslant 1:\\ h_{a}(p)=n}}1 \\ &=\sum_{\substack{p:\\ (p,a)=1}} \frac{\ln p}{p (h_{a}(p))^{1/b}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно (см. (3.49)), $S_{2}\leqslant c_4(a,b)y$, где $c_4(a,b)>0$ – постоянная, зависящая только от $a$ и $b$, и
$$
\begin{equation*}
\sum_{p\leqslant (\ln x)^{1/(2b)}} \frac{\lambda(k,p)\ln p}{p}=S_1+S_2 \leqslant \bigl(c_1(a)+ c_4 (a, b)\bigr)y= c_{5}(a, b)y.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{0\leqslant k\leqslant y}\sum_{p\leqslant (\ln x)^{1/(2b)}}\frac{\lambda(k,p)\ln p}{p}&\leqslant \sum_{0\leqslant k\leqslant y} c_{5}(a,b)y= c_{5}(a,b)y(y+1) \\ &\leqslant 2c_{5}(a, b)y^{2} = \gamma_{2}(a,b) y^{2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_{2}(a,b)>0$ – постоянная, зависящая только от $a$ и $b$. Неравенство (3.47) доказано. Мы видим, что (1.6) выполнено с $\alpha=1/(2b)$.
Применяя теорему 1.6, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\#\bigl\{1\leqslant n \leqslant x\colon \text{существуют }p\in \mathbb{P}\text{ и }j\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0} \text{ такие, что }p+ a^{j^{b}}=n\bigr\} \\ &\quad\geqslant c_{2}(a,b)x\,\frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+\rho_{A}(x)\ln x}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_{2}(a,b)>0$ – постоянная, зависящая только от $a$ и $b$.
Имеем
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{\ln x}{\ln a}\biggr)^{1/b}\leqslant \ln x,
\end{equation*}
\notag
$$
если $x_{0}(a,b)$ выбрано достаточно большим. Применяя (3.46) и учитывая, что $\rho_{A}(x)=1$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+\rho_{A}(x)\ln x}&\geqslant \frac{(\ln x/\ln a)^{1/b}}{2(\ln x/\ln a)^{1/b}+\ln x} \\ &\geqslant \frac{(\ln x/\ln a)^{1/b}}{2\ln x+\ln x}= \frac{1}{3 (\ln a)^{1/b}}\frac{1}{(\ln x)^{1-1/b}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\#\bigl\{1\leqslant n \leqslant x\colon \text{существуют }p\in \mathbb{P}\text{ и }j\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}\text{ такие, что }p+ a^{j^{b}}=n\bigr\} \\ &\qquad\geqslant \frac{c_{2}(a,b)}{3 (\ln a)^{1/b}} \frac{x}{(\ln x)^{1-1/b}} = c_{1}(a, b)\frac{x}{(\ln x)^{1-1/b}} , \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_{1}(a,b)>0$ – постоянная, зависящая только от $a$ и $b$.
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\#\bigl\{1\leqslant n \leqslant x\colon \text{существуют }p\in \mathbb{P}\text{ и }j\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}\text{ такие, что }p+ a^{j^{b}}=n\bigr\} \\ &\qquad\leqslant \#\bigl\{(p,j)\in \mathbb{P}\times \mathbb{Z}_{\geqslant 0}\colon p\leqslant x\text{ и }a^{j^{b}}\leqslant x\bigr\} = \#\{p\colon p\leqslant x\}\, \#\bigl\{j\geqslant 0\colon a^{j^{b}}\leqslant x\bigr\} \\ &\qquad=\pi(x) N_{A}(x) \leqslant c\,\frac{x}{\ln x}\,2\biggl(\frac{\ln x}{\ln a}\biggr)^{1/b}= c_{2}(a, b)\, \frac{x}{(\ln x)^{1-1/b}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_{2}(a, b)>0$ – постоянная, зависящая только от $a$ и $b$.
Поскольку для $p=2$ и $j=0$, утверждение тривиально для $3 \leqslant x < x_{0}(a,b)$. Теорема 1.9 доказана.Автор хотел бы поблагодарить Сергея Владимировича Конягина за множество полезных обсуждений и предложений, а также анонимного рецензента за полезные комментарии. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Rad23} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|