| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Многомерные тайловые Т. И. Зайцеваab a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9296e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеB-сплайны являются одним из наиболее популярных и простых кусочно-полиномиальных базисов. Они подробно рассматривались в литературе (см., например, [1]). С помощью $\mathrm{B}$-сплайнов строится ортогональная система всплесков (вейвлетов) Баттла–Лемарье [2]–[4], эффективные алгоритмы кусочно-полиномиальной аппроксимации [1], [5]–[8], приближенные формулы гауссовского распределения, формулы для объемов сечения многомерного куба и так далее. В различных приложениях рассматриваются $\mathrm{B}$-сплайны с неравномерными узлами, с штрафными функциями, определенные на различных областях и другие. Существуют несколько вариантов построения $\mathrm{B}$-сплайнов в многомерном случае [9]–[11], самый распространенный – прямое произведение одномерных B-сплайнов. Общее свойство этого и других подходов состоит в том, что рассматриваемые $\mathrm{B}$-сплайны являются именно сплайнами, т. е. кусочно полиномиальными функциями. Однако есть еще одно естественное обобщение $\mathrm{B}$-сплайнов, основанное на том, что одномерный $\mathrm{B}$-сплайн порядка $k$ является сверткой $(k+1)$-й характеристической функции отрезка $[0, 1]$. В этой работе мы рассматриваем тайловые $\mathrm{B}$-сплайны, определенные как автосвертка характеристической функции специального компакта (тайла). Похожая конструкция рассматривалась в [12], [13], о чем будет подробнее сказано в замечании 2. Каждый тайл является объединением нескольких своих сжатий, полученных аффинными операторами с одинаковой линейной частью. Тайлы известны в теории всплесков, поскольку на них основан эффективный подход к построению многомерных систем Хаара, развивавшийся в работах Лагариаса, Вонга, Грёхенига, Хааса и др. ([14]–[16]). Особенно интересен случай, когда тайл состоит из двух своих сжатий, такие тайлы мы называем двухциферными или 2-тайлами. Системы, построенные по двухциферным тайлам, наиболее близки по своим свойствам к одномерному случаю. На плоскости существует три вида аффинно неэквивалентных 2-тайлов, в $\mathbb{R}^3$ их семь. В данной работе мы подробно рассматриваем $\mathrm{B}$-сплайны, построенные по этим трем классам плоских 2-тайлов (мы называем их Квадрат, Дракон и Медведь). Тайловые $\mathrm{B}$-сплайны наследуют преимущества обычных $\mathrm{B}$-сплайнов, однако их использование осложнено следующими вопросами. 1) Как вычислять значения тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов и их производных? В отличие от классических $\mathrm{B}$-сплайнов, тайловые не задаются явными формулами, их вычисление по определению требует вычисления свертки, т. е. численного интегрирования. 2) Как исследовать их свойства, в частности гладкость, которая является ключевым параметром для ряда приложений (например, метода вейвлет-Галёркина)? 3) Насколько эффективны тайловые $\mathrm{B}$-сплайны в приложениях? Как строить системы всплесков и алгоритмы SubD (subdivision schemes), порожденные такими сплайнами? В данной работе сделана попытка дать ответы на все эти вопросы и применить тайловые $\mathrm{B}$-сплайны к построению всплесков и дизайну алгоритмов SubD геометрического моделирования поверхностей. Полученные результаты представляли бы только теоретический интерес, если бы тайловые $\mathrm{B}$-сплайны не имели преимуществ перед классическими и не были бы более эффективны в приложениях. Однако неожиданно оказывается, что некоторые из построенных двухциферных $\mathrm{B}$-сплайнов (например, так называемые Медведь-3, Медведь-4) оказываются более гладкими, чем соответствующие классические $\mathrm{B}$-сплайны (теорема 5). Таким образом, гладкость $\mathrm{B}$-сплайнов, полученных прямым произведением, не является оптимальной. Скорость сходимости некоторых численных алгоритмов, основанных на $\mathrm{B}$-сплайнах, таких как каскадный алгоритм для вычисления коэффициентов всплеск-разложения, алгоритм SubD для построения кривых и поверхностей [17], [18], зависит от гладкости $\mathrm{B}$-сплайнов, поэтому с использованием тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов мы получаем более быструю сходимость и лучшее качество предельных функций или поверхностей. Кроме того, мы показываем, что один из классов двухциферных $\mathrm{B}$-сплайнов, так называемый Квадрат-$(n+1)$, совпадает с классическими многомерными $\mathrm{B}$-сплайнами порядка $n$, однако число ненулевых коэффициентов в масштабирующем уравнении, определяющем сплайн, у Квадрата-$(n+1)$ гораздо меньше. Поэтому при его использовании в численных алгоритмах меньше сложность вычисления одной итерации (теорема 7). Данная работа построена следующим образом: в § 2 мы напоминаем определение тайлов и их свойства, § 3 посвящен одномерным $\mathrm{B}$-сплайнам. В § 4 мы определяем тайловые $\mathrm{B}$-сплайны и доказываем их основные свойства. В § 5, § 6 мы стандартным способом строим ортогонализацию этих $\mathrm{B}$-сплайнов в двухциферном случае. Далее в § 7 мы находим соответствующую всплеск-функцию, т. е. строим базис всплесков по двухциферным тайловым $\mathrm{B}$-сплайнам, аналогичный системе всплесков Баттла–Лемарье. Поскольку всплеск-функция, полученная после ортогонализации, уже не имеет компактного носителя, ключевым является вопрос о скорости ее убывания на бесконечности. Она оценивается в § 8 с использованием многомерного комплексного анализа (рядов Лорана, диаграмм Рейнхарта). Таким образом, мы находим хорошие приближения тайловых всплеск-функций с помощью финитных функций. В § 9 вычислены показатели тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов по Гёльдеру. Наконец, в § 10 тайловые $\mathrm{B}$-сплайны применены для алгоритмов SubD приближения поверхностей. Данные теоретические результаты положены нами в основу программного пакета для построения $\mathrm{B}$-сплайнов, всплесков и вычисления гладкости [19]. § 2. ТайлыЛюбая целочисленная матрица $M \in \mathbb{Z}^{d \times d}$ определяет разбиение решетки $\mathbb{Z}^d$ на $m=|{\det M}|$ классов эквивалентности $y \sim x \Leftrightarrow y-x \in M\mathbb{Z}^d$. Выбирая по представителю $d_i \in \mathbb{Z}^d$ из каждого из классов, получаем множество цифр $D(M)=\{d_0, \dots, d_{m-1}\}$. Будем предполагать, что $d_0=0$. В одномерном случае, если $M$ – число, $D(M)$ будет множеством цифр в системе счисления с основанием $m$. Таким образом, целочисленная матрица и множество цифр определяют “систему счисления” в $\mathbb{Z}^d$. Далее будем всюду предполагать, что матрица $M$ растягивающая, т. е. все ее собственные значения по модулю больше единицы. В этом случае аналогом единичного отрезка в данной системе счисления является множество
$$
\begin{equation*}
G=\biggl\{ \sum_{k=1}^{\infty}M^{-k}\Delta_k \biggm| \Delta_k \in D(M)\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно (см., например, [15], [16]), что для любой растягивающей целой матрицы $M$ и произвольного набора цифр $D(M)$, множество $G$ компактно, имеет непустую внутренность и удовлетворяет следующим свойствам: 1) мера Лебега $\mu(G)$ является целым положительным числом; 2) (самоподобие) $G=\bigcup_{\Delta \in D(M)} {M^{-1}(G+\Delta)}$, причем множества $M^{-1}(G+ \Delta)$ имеют меру попарного пересечения нуль; 3) характеристическая функция $\varphi=\chi_G(x)$ множества $G$ почти всюду на $\mathbb{R}^d$ удовлетворяет масштабирующему уравнению
$$
\begin{equation*}
\varphi(x)={\sum_{\Delta \in D(M)}{\varphi(Mx-\Delta)}}, \qquad x \in \mathbb{R}^d;
\end{equation*}
\notag
$$
4) $\sum_{k \in \mathbb{Z}^d}\varphi(x+k) \equiv \mu(G)$ почти всюду, т. е. целые сдвиги $\varphi$ покрывают $\mathbb{R}^d$ в $\mu(G)$ слоев; 5) $\mu(G)=1$ тогда и только тогда, когда система функций $\{\varphi(\,{\cdot}\,{+}\,k)\}_{k \in \mathbb{Z}^d}$ ортонормированная. Последнее свойство позволяет ввести следующее понятие. Определение 1. Пусть зафиксирована растягивающая матрица $M \in \mathbb{Z}^{d\times d}$ и набор цифр $D(M)= \{d_0, \dots, d_{m-1}\}$. Если мера множества равна единице, т. е. все целые сдвиги $G$ образуют дизъюнктное, с точностью до меры нуль, покрытие $\mathbb{R}^d$, то $G$ называется тайлом. В определенном смысле тайл – многомерное обобщение отрезка $[0, 1]$ для “системы счисления” с основанием – матрицей $M$. Пример 1. В случае $d=1$ (на числовой прямой), если $M=2$, можно выбрать $D(M)=\{0, 1\}$. Тогда Отрезок $[0, 1]$ удовлетворяет всем перечисленным свойствам. В частности, для его характеристической функции $\varphi(x)=\chi_{[0, 1]}$ выполнено масштабирующее уравнение $\varphi(x)=\varphi(2x)+ \varphi(2x-1)$. Отрезок $[0, 1]$ является тайлом, его целочисленные сдвиги замощают всю прямую $\mathbb{R}$.  Рис. 1.Тайл $G$ из примера 2 и его свойства: (a) множество $G$; (b) cамоподобие $G$; (c) замощение плоскости Пример 2. Рассмотрим матрицу $M=\left(\begin{smallmatrix}1 & 2 \\ 1 & -1\end{smallmatrix}\right)$, $m= |{\det M}|=3$. В качестве ее цифр можно выбрать $D(M)=\left\{\left(\begin{smallmatrix}0 \\ 0\end{smallmatrix}\right), \left(\begin{smallmatrix}1 \\ 0\end{smallmatrix}\right), \left(\begin{smallmatrix}0 \\ 1\end{smallmatrix}\right)\right\}$. Множество $G$, соответствующее такому выбору, показано на рис. 1, (a). Самоподобие множества $G$ проиллюстрировано на рис. 1, (b): показано разбиение $G$ на $m=3$ аффинно-подобные копии. В данном случае множество $G$ является тайлом, замощение плоскости с помощью его целочисленных сдвигов показано на рис. 1, (c). Для характеристической функции $\varphi=\chi_{G}$ выполнено масштабирующее уравнение Каждый тайл определяет свой многомерный базис Хаара в $\mathbb{R}^d$ (конструкция описана, например, в [14]–[16], [20]). В отличие от одномерного случая, в котором система Хаара порождается сдвигами и сжатиями единственной функции, в многомерном случае порождающих функций будет $m-1= |{\det M}|-1$ штук. Интересен случай $|{\det M}|=2$, когда такая функция будет одна, далее в работе мы в основном ограничимся этим случаем. § 3. Классические $\mathrm{B}$-cплайныНапомним, что одномерным кардинальным $\mathrm{B}$-сплайном порядка $n$ (обозначение $B_n$) называется свертка $n+1$ функций $\chi_{[0, 1]}$ (см. рис. 2). В частности, $B_0=\chi_{[0, 1]}$, $B_1=\chi_{[0, 1]} * \chi_{[0, 1]}$ и так далее. $\mathrm{B}$-сплайн $B_n$ порядка $n$ принадлежит $C^{n-1}(\mathbb{R})$; на каждом из отрезков $[k, k+1)$, $k=0, \dots, n$, эта функция – алгебраический многочлен степени $n$, вне отрезка $[0, n+1]$ $B_n$ равен нулю. Напомним, что одномерной масштабирующей функцией $\varphi(x)$ с коэффициентом растяжения $2$ называется решение одномерного масштабирующего уравнения а маской этого уравнения является тригонометрический полином
$$
\begin{equation*}
a(\xi)=\frac{1}{2} \sum_{k= 0}^{N} c_{k} e^{-2 \pi i k \xi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы всегда будем предполагать, что $\int_{\mathbb{R}} \varphi(x)\, dx \ne 0$ и нормировать решение масштабирующего уравнения условием $\int_{\mathbb{R}} \varphi(x)\, dx=1$. Вычислив преобразование Фурье обеих частей уравнения (3.1), получим
$$
\begin{equation}
\widehat{\varphi}(2 \xi)=a(\xi) \widehat{\varphi}(\xi).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Подставляя $s\,{=}\,0$ и учитывая, что $\widehat{\varphi}(0)\,{=}\int_{\mathbb{R}} \varphi(x) \, dx\,{=}\,1$, получим $\widehat{\varphi}(0)\,{=}\,a(0) \widehat{\varphi}(0)$, следовательно, $a(0)\,{=}\,1$, $\sum_{k=0}^N c_{k}\,{=}\,2$. Если две функции $\varphi_1$, $\varphi_2$ удовлетворяют масштабирующим уравнениям с масками $a_1(x)$, $a_2(x)$, то их свертка также будет удовлетворять масштабирующему уравнению с маской $a_1(x)a_2(x)$ в силу (3.2). Поскольку функция $\varphi(x)=\chi_{[0, 1]}$ удовлетворяет масштабирующему уравнению $\varphi(x)= \varphi(2x)+\varphi(2x-1)$ с маской $a_0(\xi)=(1+e^{-2\pi i \xi})/2$ (пример 1), $\mathrm{B}$-сплайн $B_n$, являясь сверткой $n+1$ функций $\varphi(x)=\chi_{[0, 1]}$, также удовлетворяет масштабирующему уравнению с маской $a_n(\xi)=a_0^{n+1}(\xi)$. Таким образом, функция $B_n$ – решение масштабирующего уравнения с маской $((1+e^{-2\pi i \xi})/2)^{n+1}$. Коэффициенты этого уравнения: $c_0=2^{-n}\binom{n+1}{0}$, $c_1=2^{-n}\binom{n+1}{1}$, $\dots$, $c_{n+1}= 2^{-n}\binom{n+1}{n+1}$, где $\binom{n+1}{k}$ – биномиальные коэффициенты. Классическим обобщением $\mathrm{B}$-сплайнов на функции многих переменных является прямое произведение нескольких одномерных $\mathrm{B}$-сплайнов: Эта функция также удовлетворяет масштабирующему уравнению. Его маска $a_n(\xi_1, \dots, \xi_d)=a_n(\xi_1) \cdots a_n(\xi_d)$. Так, в двумерном случае $\mathrm{B}$-сплайн нулевого порядка будет иметь вид
$$
\begin{equation*}
B_0(x, y)=\chi_{[0, 1]}(x) \chi_{[0, 1]}(y)=\chi_{[0, 1]^2}(x, y).
\end{equation*}
\notag
$$
Масштабирующее уравнение для него можно получить непосредственным перемножением одномерных масштабирующих уравнений:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B_0(x, y) &=\bigl(\chi_{[0, 1]}(2x)+\chi_{[0, 1]}(2x-1)\bigr)\bigl(\chi_{[0, 1]}(2y)+\chi_{[0, 1]}(2y-1)\bigr) \\ &= B_0(2x, 2y)+B_0(2x-1, y)+B_0(2x, 2y-1)+B_0(2x-1, 2y-1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
либо получив его коэффициенты из маски $a_0(\xi_1, \xi_2)$. Уравнение проиллюстрировано на рис. 3. $\mathrm{B}$-сплайн $B_n(x, y)$ произвольного порядка $n$ равен свертке $(n+1)$-го $\mathrm{B}$-сплайна $B_0(x, y)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B_n(x, y) &=B_n(x)B_n(y)=\bigl(\chi_{[0, 1]}(x) * \dots * \chi_{[0, 1]}(x)) (\chi_{[0, 1]}(y) * \dots * \chi_{[0, 1]}(y)\bigr) \\ &= B_0(x, y) * \dots * B_0(x, y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Линейный $\mathrm{B}$-сплайн $B_1(x, y)$ показан на рис. 4. То же верно для случая $d$ переменных. Таким образом, $\mathrm{B}$-сплайн $B_n(x_1, \dots, x_d)$ является решением масштабирующего уравнения с $(n+2)^d$ положительными коэффициентами. Поскольку количество коэффициентов растет экспоненциально по размерности, использование классических $d$-мерных $\mathrm{B}$-сплайнов часто приводит к неэффективным алгоритмам при больших $d$. Один из них, алгоритм SubD, мы рассмотрим подробно в § 10. Тесно связанный с этим методом каскадный алгоритм (быстрое дискретное вейвлет-преобразование) используется для получения коэффициентов разложения по базису всплесков. Его сложность также зависит от количества ненулевых коэффициентов в масштабирующем уравнении. Используя другие конструкции многомерных $\mathrm{B}$-сплайнов, можно при сохранении структурных и аппроксимационных свойств классических $\mathrm{B}$-сплайнов получить меньшее число коэффициентов уравнения и, в некоторых случаях, более высокую гладкость. В следующем параграфе мы определим $\mathrm{B}$-сплайны, основанные на тайлах, у которых при нужном выборе тайла будет получаться всего $n+2$ коэффициента масштабирующего уравнения, независимо от размерности $d$. Мы покажем, что некоторые из этих тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов имеют более высокую гладкость, чем классические $\mathrm{B}$-сплайны такого же порядка. § 4. Построение тайловых $\mathrm{B}$-cплайновМы начнем с определения тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов. Определение 2. Для данного тайла $G \subset \mathbb{R}^d$ и данного $n \geqslant 0$ тайловым $\mathrm{B}$-сплайном порядка $n$ (обозначение $B_n^G$) будем называть свертку $n+1$ функций $\chi_G$. В частности, $B_0^G=\chi_G$, $B_1^G=\chi_G * \chi_{G}$. Определение 3. Симметризованным тайловым $\mathrm{B}$-сплайном порядка $n$ (обозначение $\operatorname{Bs}_{n}^G$) будем называть свертку $n+1$ функции $\chi_G * \chi_{-G}$. Зафиксируем тайл $G$ и будем далее использовать краткие обозначения $B_n=B_n^G$, $\operatorname{Bs}_n= \operatorname{Bs}_n^G$. В многомерном случае мы рассматриваем масштабирующие уравнения с коэффициентом растяжения $M$ вида
$$
\begin{equation}
\varphi(x)=\sum_{k \in \mathbb{Z}^d} c_{k} \varphi(Mx-k),
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
маской этого уравнения называем тригонометрический полином переменных $\xi_1, \dots, \xi_d$,
$$
\begin{equation*}
a(\xi)=\frac{1}{m} \sum_{k \in \mathbb{Z}^d} c_{k} e^{-2 \pi i (k, \xi)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $m=|{\det{M}}|$. Тайловый $\mathrm{B}$-сплайн $B_0^G$, т. е. характеристическая функция тайла $\chi_G$, почти всюду удовлетворяет масштабирующему уравнению
$$
\begin{equation*}
\chi_G(x)={\sum_{\Delta \in D(M)}{\chi_G(Mx-\Delta)}}, \qquad x \in \mathbb{R}^d
\end{equation*}
\notag
$$
(см. § 2). В данном случае $c_k=1$ для всех $k \in D(M)$ и нулю для $k \notin D(M)$, а маска дается формулой
$$
\begin{equation*}
a_0(\xi)=\frac{1}{m} \sum_{\Delta \in D(M)} e^{-2\pi i (\Delta, \xi)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично одномерному случаю, применяя преобразование Фурье к обеим частям масштабирующего уравнения (4.1), получим
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varphi}(\xi)=a(M_1^T \xi) \widehat{\varphi}(M_1^T \xi)
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation}
\widehat{\varphi}(M^T\xi)=a(\xi) \widehat{\varphi}(\xi).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Отсюда следует, что если две функции $\varphi_1$, $\varphi_2$ удовлетворяют масштабирующим уравнениям с масками $a_1(x)$, $a_2(x)$ и коэффициентом растяжения $M$, то их свертка также будет удовлетворять масштабирующему уравнению с маской $a_1(x)a_2(x)$ и коэффициентом растяжения $M$. Поэтому, аналогично одномерному случаю, для маски $a_n$ тайлового $\mathrm{B}$-сплайна $B_n$ справедлива формула $a_n=a_0^{n+1}$. Отсюда можно явно найти коэффициенты масштабирующего уравнения (4.1) на тайловые $\mathrm{B}$-сплайны. Предложение 1. Пусть $\varphi=B_n^G$ – тайловый $\mathrm{B}$-сплайн, где тайл $G$ построен по матрице $M$ и набору цифр $D=\{d_0, \dots, d_{m-1}\}$. Для любого вектора $k \in \mathbb{Z}^d$ обозначим через $C_k$ число его представлений в виде суммы $k=s_1+\dots+s_{n+1}$ по всем упорядоченным наборам $(s_1, \dots, s_{n+1})$, $s_i \in D$, с возможными повторениями. Тогда масштабирующее уравнение на тайловый $\mathrm{B}$-сплайн $B_n^G$ имеет вид Заметим, что числа $C_k$ явно выражаются через мультиномиальные коэффициенты. Симметризованный тайловый $\mathrm{B}$-сплайн также удовлетворяет масштабирующему уравнению. Действительно, если $\varphi(x)$ удовлетворяет масштабирующему уравнению с коэффициентами $c_k$ и маской $a(\xi)$, то $\varphi(-x)$ будет удовлетворять масштабирующему уравнению с коэффициентами $c_{-k}$ и маской $\overline{a}(\xi)$. Поэтому $\chi_G * \chi_{-G}$ соответствует масштабирующему уравнению с маской $|a_0|^2$, а $\operatorname{Bs}_n$ соответствует маске $|a_0|^{2(n+1)}$. Заметим, что для симметризованных тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов коэффициенты маски и ее значения при любом $\xi \in \mathbb{R}^d$ являются действительными. Поскольку множество коэффициентов полинома $a_n$ зависит только от порядка $n$ и от множества цифр $D$, множество коэффициентов масштабирующего уравнения тайлового $\mathrm{B}$-сплайна $B_n$ зависит только от $n$, $D$ и не зависит от матрицы $M$. Таким образом, имеем следующее утверждение. Следствие 1. При фиксированном множестве цифр $D$ все $\mathrm{B}$-сплайны одного порядка определяются одним и тем же масштабирующим уравнением с заменой матрицы растяжения $M$. То же верно и для симметризованных $\mathrm{B}$-сплайнов. Замечание 1. Для построения тайлового $\mathrm{B}$-сплайна $B_n$ по определению нужно вычислять свертку, что требует численного интегрирования. Однако $B_n$ можно найти и как решение соответствующего масштабирующего уравнения. Любую масштабирующую функцию можно вычислить точно на сколь угодно плотной сетке через произведение специальных матриц переноса (мы обсуждаем их подробнее в § 9). В частности, в целых точках $k \in \mathbb{Z}^d$ значения $B_n(k)$ совпадают с компонентами собственного вектора $v$ матрицы переноса, соответствующего собственному значению $1$. Значения функции $B_n(x)$ на решетке $M^{-1}\mathbb{Z}^d$ получаются умножением матриц переноса на вектор $v$. Последующие умножения на матрицы переноса позволяют найти $B_n(x)$ для $x \in M^{-2}\mathbb{Z}^d, M^{-3}\mathbb{Z}^d$ и так далее. Так через несколько итераций мы находим точные значения функции $B_n(x)$ на измельченной решетке. Предложение 2. Целые сдвиги тайлового $\mathrm{B}$-сплайна $\{B_n(x-k)\}_{k \in \mathbb{Z}^d}$ образуют базис Рисса своей линейной оболочки. То же верно для сдвигов симметризованных тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов. Мы отложим доказательство до § 10. Из предложения 2 следует, что целые сдвиги тайлового $\mathrm{B}$-сплайна $\varphi(x)=B_n(x)$ порождают кратномасштабный анализ (КМА), и, соответственно, систему всплесков (см., например, [21]). Кроме того, к нашей масштабирующей функции $\varphi(x)=B_n(x)$ можно применить процедуру ортогонализации, получив новую функцию $\varphi_1$, порождающую тот же КМА, однако ее целочисленные сдвиги уже будут ортогональны. Это будет сделано в § 5. Таким образом, мы получим ортогонализованные тайловые $\mathrm{B}$-сплайны и в дальнейшем соответствующие ортонормированные системы всплесков. Предложение 3. Линейные комбинации целых сдвигов тайлового $\mathrm{B}$-сплайна $\{B_n(x-k)\}_{k \in \mathbb{Z}^d}$ порождают алгебраические полиномы степени не выше $n$. То же верно для сдвигов симметризованных тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов. Доказательство. Для порядка $n=0$ это верно, поскольку $B_0(x-k)=\chi_{G}(x-k)$ и тайл удовлетворяет свойству $\sum_{k \in \mathbb{Z}^d}\chi_G(x-k) \equiv 1$ почти всюду. Значит, линейные комбинации сдвигов $B_0(x-k)$ действительно порождают константу.
Известно, что сдвиги функции $\varphi$ с компактным носителем порождают алгебраические полиномы степени не выше $n$, тогда и только тогда, когда преобразование Фурье $\varphi(\xi)$ имеет нули порядка хотя бы $n+1$ во всех целых точках, кроме $0$ (в силу теоремы Стрэнга–Фикса, см. [22], [23], [21]). Применив это утверждение сначала для $\varphi=B_0(x)$, получаем, что $\widehat{B}_0(\xi)$ имеет нули порядка $1$ во всех целых ненулевых точках. Поскольку $\widehat{B}_n(\xi)=\widehat{B}_0^{n+1}(\xi)$, порядок нулей у $\widehat{B}_n(\xi)$ хотя бы $n+1$. Теперь применяем утверждение в обратную сторону для $\varphi=B_n$. Предложение доказано. Это означает, что расстояние от любой гладкой функции $f$ до пространства, порожденного функциями $\{B_n(a x-k)\}_{k \in \mathbb{Z}^d}$, равно $O(a^{-(n+1)})$ при $a \to +\infty$ (см., например, [24]). Замечание 2. Тайловые $\mathrm{B}$-сплайны рассматривались также в работе [12] под названием эллиптические масштабирующие функции. Они определялись через преобразование Фурье и для них в изотропном случае (когда $M$ подобна ортогональной матрице, умноженной на скаляр) получены аналоги предложений 2, 3 и следствия 2. Случай двумерных тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов был исследован в работе [13] под названием $\alpha$-сплайны. Вместо матрицы $M$ в масштабирующем уравнении рассматривается комплексное число $\alpha \in \mathbb{Q}[i]$, $m=|\alpha|^2$, в частности, так можно получить аналоги тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов, порожденных двумя цифрами. В той же работе были построены алгоритмы SubD на основе $\alpha$-сплайнов, при этом вопрос об их гладкости был сформулирован в виде открытой проблемы. 4.1. Случай двух цифр ($m=2$)В дальнейшем мы часто будем рассматривать случай, когда $m=|{\det M}|=2$. В этом случае $D(M)=\{0, e\}$. Тайлы в этом случае мы будем называть 2-тайлами или двухциферными тайлами. У таких тайлов есть множество полезных свойств, часть из которых мы рассмотрим далее. Как установлено в [25; предложение 2.2], любой 2-тайл является центрально-симметричным. Мы приводим доказательство для удобства читателя. Доказательство. Пусть $D(M)=\{0 , e\}$. Обозначим $c = (1/2)\sum_{j=1}^{\infty} M^{-j} e$. Тогда 2-тайл $G\,{=}\,\bigl\{c{\kern1pt}{+}\!\sum_{j=1}^{\infty}\!\!{\pm}(1/2) M^{-j} e\bigr\}$. Множество точек $\bigl\{ \sum_{j=1}^{\infty} \!\!{\pm}(1/2) M^{-j} e\bigr\}$ симметрично относительно нуля, поэтому $G$ симметрично относительно точки $c$. Предложение доказано. В случае центрально-симметричного тайла, когда $G=c+G_0=c-G_0$, справедливы соотношения (всюду здесь и далее $\int$ означает $\int_{\mathbb{R}^d}$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \chi_G * \chi_G(y) &=\int \chi_{G}(x) \chi_{G}(y-x)\, dx=\int \chi_{G_0}(x-c) \chi_{G_0}(y-x-c)\, dx \\ &=\int \chi_{G_0}(x) \chi_{G_0}(y-x-2c)\, dx=\chi_{G_0}*\chi_{G_0} (y-2c), \\ \chi_G * \chi_{-G}(y) &=\int \chi_{G}(x) \chi_{-G}(y-x) \, dx=\int \chi_{G_0}(x-c) \chi_{G_0}(y-x+c) \, dx \\ &=\int \chi_{G_0}(x) \chi_{G_0}(y-x) \, dx=\chi_{G_0}*\chi_{G_0} (y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому для центрально-симметричных тайлов, в частности для всех 2-тайлов, $B_{2n}$ и $\operatorname{Bs}_n$ отличаются только сдвигом. В дальнейшем мы сосредоточимся только на $\mathrm{B}$-сплайнах, построенных по 2-тайлам. Введем также понятие изотропного тайла. Определение 4. Тайл называется изотропным, если он порожден изотропной матрицей $M$, т. е. диагонализируемой матрицей, имеющей равные по модулю собственные значения. Изотропная матрица аффинно-подобна ортогональной матрице, умноженной на число. В приложениях наиболее популярны именно изотропные тайлы. В литературе изучались различные свойства 2-тайлов (см., например, [26]–[35]). Известно, что при каждом $d$ в $\mathbb{R}^d$ существует конечное число различных, с точностью до аффинного подобия, 2-тайлов. Так, в $\mathbb{R}^2$ есть ровно три 2-тайла. Мы будем называть их далее Квадрат, Дракон и Медведь (в литературе также можно встретить термины square, twindragon, tame twindragon), все они изотропные. Для их построения можно, например, выбрать матрицы
$$
\begin{equation}
M_S=\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\qquad M_D=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix},\qquad M_B=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
соответственно, а также взять цифры $D=\left\{\begin{pmatrix} 0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0\end{pmatrix}\right\}$. При замене цифр получится аффинно-подобное множество. В дальнейшем будем использовать именно такие матрицы и цифры. Разбиение 2-тайлов на две подобные им части показано на рис. 5, а замощение плоскости их целочисленными сдвигами на рис. 6. В $\mathbb{R}^3$ существует семь 2-тайлов, среди них только один изотропный – куб. В изотропном случае вопрос классификации 2-тайлов с точностью до аффинного подобия удается решить полностью [36]. Эта классификация оказывается простой. В нечетной размерности $d=2k+1$ все изотропные 2-тайлы являются параллелепипедами. В четной размерности $d=2k$ существует ровно три, с точностью до аффинного подобия, изотропных 2-тайла. Это параллелепипед, а также прямое произведение $k$ (двумерных) Драконов и прямое произведение $k$ (двумерных) Медведей. В неизотропном случае, для каждого $d$, вопрос о количестве аффинно неэквивалентных классов 2-тайлов $N(d)$ сводится к вопросу о числе растягивающих многочленов со старшим коэффициентом $1$ и свободным $\pm 2$ [36], где получена следующая оценка:
$$
\begin{equation*}
\frac{d^2}{16}-\frac{43d}{36}-\frac56 \leqslant N(d) \leqslant 2^{d(1+16 \ln \ln d/\ln d)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тайловые $\mathrm{B}$-сплайны, построенные по 2-тайлам, будем называть соответственно их именам, но со сдвигом индекса на единицу. Таким образом, характеристическая функция тайла Медведь $B_0$ – это Медведь-1, а свертка $k$ таких функций $B_{k-1}$ – это Медведь-$k$. Сдвиг индекса объясняется традиционной терминологией для одномерных $\mathrm{B}$-сплайнов: функция $B_{k-1}(x)$ – это сплайн порядка $k-1$, который является сверткой $k$ функций $\chi_{[0, 1]}$. В нашем случае сплайн определяется не через полиномы, а через свертки характеристических функций, поэтому более естественно в названии сплайнов использовать число сомножителей. В предложении 1 были найдены коэффициенты масштабирующих уравнений тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов в общем случае. Для плоских тайлов они приобретают достаточно простой вид. Следствие 3. Пусть тайловый $\mathrm{B}$-сплайн $\varphi=B_n^G$ построен по плоскому 2-тайлу с матрицей $M$ и цифрами $D=\{ (0 \ 0), (1 \ 0)\}$. Обозначим $C_k=2^{-n}\binom{n+1}{k}$ для $k=\{0, \dots, n+1\}$. Тогда $B_n^G$ удовлетворяет масштабирующему уравнению Таким образом, все тайловые $\mathrm{B}$-сплайны, построенные по тайлам Медведь, Дракон и Квадрат, можно вычислить c помощью масштабирующего уравнения (4.4), см. замечание 1. На рис. 7 показаны1 Медведь-1, $\dots$, Медведь-4, на рис. 8 – Дракон-1, $\dots$, Дракон-4, а на рис. 9 – Квадрат-1, $\dots$, Квадрат-4. В § 9 мы вычислим показатель гладкости Гёльдера этих сплайнов и установим, что Медведь-2 не принадлежит $C^1$, Медведь-3 принадлежит $C^2$, а Медведь-4 принадлежит $C^3$. Таким образом, Медведь-3 и Медведь-4 имеют бо́льшую гладкость, чем Квадрат-3 и Квадрат-4 соответственно, хотя это может показаться парадоксальным (см. теорему 5). § 5. Ортогонализация $\mathrm{B}$-сплайновВ § 4 мы установили, что $\mathrm{B}$-сплайн $\varphi(x)=B_n(x)$ является масштабирующей функцией с компактным носителем. Ее целочисленные сдвиги не ортогональны друг другу, поэтому она не порождает ортонормированную систему всплесков. Поскольку эти сдвиги образуют базис Рисса своей линейной оболочки, существует стандартный способ их ортогонализовать: построить другую масштабирующую функцию $\varphi_1(x)$, целые сдвиги которой будут ортонормированным базисом в пространстве целых сдвигов $\varphi(x)$ (в терминах теории всплесков, она должна порождать тот же кратномасштабный анализ). Носитель функции $\varphi_1$ уже не будет конечным, но эта функция будет быстро убывать на бесконечности (см. пример оценки в § 8). Построение использует следующий общеизвестный факт (см., например, [21]). Предложение 5. Функция $\eta(x) \in L_2$ обладает ортонормированными целыми сдвигами тогда и только тогда, когда $\sum_{k \in \mathbb{Z}^d} |\widehat{\eta}(\xi+k)|^2 \equiv 1$. В частности, функция $\varphi_1$, заданная по формуле через преобразование Фурье
$$
\begin{equation}
\widehat \varphi_1(\xi)=\frac{\widehat \varphi(\xi)}{\sqrt{{ \sum_{k \in \mathbb{Z}^d} |\widehat{\varphi}(\xi+k)|^2}}},
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
обладает этим свойством. Переход от функции $\varphi(x)$ к функции $\varphi_1(x)$ по формуле (5.1) является стандартной процедурой ортогонализации Баттла–Лемарье. Из формулы (5.1) следует, что функция $\varphi_1$ выражается в виде линейной комбинации целочисленных сдвигов $\{\varphi(x-k)\}_{k \in \mathbb{Z}^d}$ функции $\varphi$, коэффициенты разложения мы найдем ниже. Теорема 1. Пусть $G$ – произвольный тайл в $\mathbb{R}^d$, $\varphi(x)=B_n^G(x)$ – соответствующий тайловый $\mathrm{B}$-сплайн, $\varphi_1(x)$ – его ортогонализация. Положим $\Phi_k=(\varphi, \varphi(\,{\cdot}\,{+}\,k))$ для всех $k \in \mathbb{Z}^d$ и $\Phi(\xi)=\sum_{k \in \mathbb{Z}^d} \Phi_k e^{-2 \pi i (k, \xi)}$. Тогда $\varphi_1(x)$ является линейной комбинацией целочисленных сдвигов $\varphi(x)$: где $b_k$ – коэффициенты Фурье функции $1/\sqrt{\Phi(\xi)}=\sum b_k e^{-2 \pi i (k, \xi)}$. Доказательство. Разложим ортогонализованный сплайн $\varphi_1(x)$ по сдвигам:
$$
\begin{equation*}
\varphi_1(x)=\sum_{k \in \mathbb{Z}^d}{b_k \varphi(x-k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для любого $j \in \mathbb{Z}^d$
$$
\begin{equation*}
\varphi_1(x+j)=\sum_{k \in \mathbb{Z}^d} b_k \varphi(x-(k-j)) \stackrel{(l=k-j)}{=} \sum_{l \in \mathbb{Z}^d} b_{l+j} \varphi(x-l).
\end{equation*}
\notag
$$
Требование ортонормированности сдвигов запишется в виде ($\delta_j^0$ – символ Кронекера)
$$
\begin{equation*}
\delta_j^0=(\varphi_1, \varphi_1(\,{\cdot}\,{+}\,j))=\sum_{k, l \in \mathbb{Z}^d} b_k \overline{b_{l+j}} (\varphi(\,{\cdot}\,{-}\,k), \varphi(\,{\cdot}\,{-}\,l))=\sum_{k, l \in \mathbb{Z}^d} b_k \overline{b_{l+j}} \Phi_{k- l}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это можно переписать как
$$
\begin{equation*}
\sum_{m \in \mathbb{Z}^d} \biggl(\sum_{k \in \mathbb{Z}^d} b_k \overline{b_{k-m+j}}\biggr) \Phi_{m}=\delta_j^0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $A_p=\sum_{k \in \mathbb{Z}^d} b_k \overline{b_{k-p}}$. Получаем, что для любого $j \in \mathbb{Z}^d$ Другими словами, свертка последовательностей $A$ и $\Phi$ является $\delta$-последовательностью. Тогда произведение их преобразований Фурье $A(\xi)=\sum_{k \in \mathbb{Z}^d} A_k e^{-2 \pi i (k, \xi)}$ и $\Phi(\xi)=\sum_{k \in \mathbb{Z}^d} \Phi_k e^{-2 \pi i (k, \xi)}$ тождественно равно $1$. Таким образом, $A(\xi)=1/\Phi(\xi)$. Введем также преобразование Фурье $B(\xi)=\sum_{k \in \mathbb{Z}^d} b_k e^{-2 \pi i (k, \xi)}$. Тогда верно Значит, $|B(\xi)|^2=\sum_{p \in \mathbb{Z}^d} A_p e^{-2 \pi i (p, \xi)}=A(\xi)$. Тогда, т. е. мы выразили коэффициенты $b_k$ разложения функции $\varphi_1$ на сдвиги функции $\varphi$ через числа $\Phi_k$. Теорема доказана. По определению коэффициентов $\Phi_k=(\varphi, \varphi(\,{\cdot}\,{+}\,k))$, для их вычисления требуется численное интегрирование. Оказывается, однако, что их можно найти проще, как компоненты собственного вектора специальной матрицы. Это будет сделано в следующем параграфе. § 6. Формулы для коэффициентов $\Phi_k$Чтобы найти новую масштабирующую функцию $\varphi_1$, целочисленные сдвиги которой будут ортонормированы, необходимо найти вспомогательные числа $\Phi_k=(\varphi, \varphi(\,{\cdot}\,{+}\,k))$. Теорема 2. 1) Для любого целого $k$ число $\Phi_k$ является значением функции $\varphi(x) * \varphi(-x)$ в точке $-k$. 2) Для ряда Фурье, построенного по коэффициентам $\Phi_k$, выполнено Из п. 1) следует, что только конечное число коэффициентов $\Phi_k$ не равно нулю, значит, $\Phi(\xi)$ – тригонометрический полином. Доказательство теоремы 2. Обозначим через $f$ функцию $\varphi(x) * \varphi(-x)$. Тогда с учетом того, что функция $\varphi$ является вещественнозначной, поэтому в точке $y=-k$ получаем
Для доказательства п. 2) заметим, что по теореме Планшереля
$$
\begin{equation*}
\Phi_k=\int \varphi(x)\varphi(x+k)\, dx=\int \widehat{\varphi}(\xi) \overline{\widehat{\varphi}(\xi)} e^{-2 \pi i (k, \xi)}\, d\xi=\int |\widehat{\varphi}(\xi)|^2 e^{-2 \pi i (k, \xi)} \, d\xi,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $\widehat{\varphi(\,{\cdot}\,{+}\,k)}(\xi)=e^{2 \pi i (\xi, k)}\varphi(\xi)$.
Отсюда следует, что коэффициенты разложения функции $\sum_{k \in \mathbb{Z}^d} |\widehat{\varphi}(\xi+k)|^2$ в ряд Фурье также равны $\Phi_k$. Значит, что и требовалось получить. Теорема доказана.Замечание 3. В теореме 1 значения $\Phi_k=(\varphi, \varphi(\,{\cdot}\,{+}\,k))$ определены через скалярное произведение, вычисление которого приводит к численному интегрированию. В теореме 2 мы показали, что значения $\Phi_k$ равны значениям функции $f := \varphi(x) * \varphi(-x)$ в целых точках. Эта функция удовлетворяет масштабирующему уравнению с маской $a(\xi) \overline{a}(\xi)=|a(\xi)|^2$. В частности, если $\varphi(x)$ – тайловый $\mathrm{B}$-сплайн $B_n$, то $f=\varphi(x) * \varphi(-x)$ – симметризованный тайловый $\mathrm{B}$-сплайн $\operatorname{Bs}_n$. Если $\varphi(x)$ – симметризованный тайловый $\mathrm{B}$-сплайн $\operatorname{Bs}_n$, то $f=\varphi(x) * \varphi(-x)$ – симметризованный $\mathrm{B}$-сплайн $\operatorname{Bs}_{2n}$. Поэтому, зная масштабирующее уравнение на $\varphi(x)$, мы можем найти коэффициенты $\Phi_k$ как компоненты собственного вектора специальной матрицы (см. замечание 1). Ортогонализованные тайловые $\mathrm{B}$-сплайны для Медведя-2, Медведя-4, Дракона-2, Дракона-4, Квадрата-2, Квадрата-4 показаны на рис. 10. § 7. Построение всплеск-функцииНапомним, что $\Phi(\xi)=\sum_{k \in \mathbb{Z}^d} |\widehat{\varphi}(\xi+k)|^2$. Легко доказывается следующий факт. Предложение 6. Пусть исходный тайловый $\mathrm{B}$-сплайн $\varphi(x)$ удовлетворяет масштабирующему уравнению с маской $a(\xi)$. Тогда его ортогонализация $\varphi_1(x)$ также является решением масштабирующего уравнения с маской Доказательство. Пользуясь представлением масштабирующих уравнений после преобразования Фурье (4.2), нам достаточно проверить 1-периодичность функции Поскольку функции $a(\xi)$, $\Phi(\xi)$ 1-периодичны, а матрица $M$ целочисленная, то 1-периодична и функция $a_1(\xi)$. Предложение доказано. Таким образом, мы можем находить коэффициенты $c_k$ масштабирующего уравнения функции $\varphi_1$, раскладывая в ряд Фурье маску $a_1(\xi)$, определяемую формулой (7.1):
$$
\begin{equation*}
a_1(\xi)=\frac{1}{m} \sum_{k \in \mathbb{Z}^d} c_{k} e^{-2 \pi i (k, \xi)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ненулевых коэффициентов $c_k$ будет бесконечно много, поэтому новая масштабирующая функция $\varphi_1$ уже не будет иметь компактного носителя. Но, как мы увидим далее, она будет экспоненциально убывать при $\xi \to \infty$, что позволит эффективно приближать ее финитными функциями (см. § 8). Теперь займемся явным построением всплеск-функции, соответствующей ортогонализованной функции $\varphi_1(x)$ в двухциферном случае, т. е. если $m=2$. В этом случае система Хаара имеет наиболее простой вид, поскольку порождается всего одной всплеск-функцией. Следующая теорема является вариантом общего утверждения о построении ортонормированных всплесков (см., например, [4]). Тем не менее, мы приведем ее полное доказательство для двухциферных тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов. Теорема 3. Пусть $G$ – двухциферный тайл (2-тайл), т. е. $m\,{=}|{\det{M}}|\,{=}\,2$, а $\varphi=B_n^G$ – соответствующий ему тайловый $\mathrm{B}$-сплайн. Через $\varphi_1$ обозначим его ортогонализацию, через $c_k$ – коэффициенты масштабирующего уравнения для $\varphi_1$. Тогда справедливо следующее. 1) Соответствующая всплеск-функция $\psi(x)$ является линейной комбинацией $M$-сжатий функции $\varphi_1$ с коэффициентами $\pm c_k$. 2) Для трех типов аффинно неэквивалентных двухциферных тайлов, матрицы которых определены формулой (4.3), справедливы такие формулы для всплеск-функции: a) если $G$ – тайл “Медведь”, т. е. $M=M_B$, то
$$
\begin{equation}
\psi_B(x)=\sum_{k \in K} c_k (-1)^{(k_2-k_1)} \varphi_1 \biggl(M_B x+k-\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\biggr);
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
b) если $G$ – тайл “Квадрат”, т. е. $M=M_S$, то
$$
\begin{equation*}
\psi_S(x)=\sum_{k \in K} c_k (-1)^{k_1} \varphi_1 \biggl(M_S x+k-\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\biggr);
\end{equation*}
\notag
$$
c) если $G$ – тайл “Дракон”, т. е. $M=M_D$, то Доказательство. Всплеск-функция должна иметь вид
Введем для нее маску $p(\xi)=(1/m) \sum_{w \in W} p_w e^{-2\pi i (w, \xi)}$, аналогично маске $a_1(\xi)=(1/m) \sum_{k \in K} c_k e^{-2\pi i (k, \xi)}$ для масштабирующего уравнения на $\varphi_1$. Лемма 1. Пусть векторы $0$, $u \in \mathbb{Z}^d$ принадлежат двум разным факторклассам $\mathbb{Z}^d / M^T \mathbb{Z}^d$ матрицы $M^T$. Пусть $v=M^{-T} u$. Тогда для масок $a_1$ и $p$ масштабирующей функции и всплеск-функции соответственно, имеем 1) для любого $s$ выполняется $|a_1(s)|^2+|a_1(s+v)|^2=1$ (ортонормированность $\varphi_1$); 2) для любого $s$ выполняется $p(s) \overline{a}_1(s)+p(s+v) \overline{a}_1(s+v)=0$ (ортогональность $\varphi_1$, $\psi$). Доказательство. Из масштабирующего уравнения на $\varphi_1$ следует, что
или
$$
\begin{equation*}
\widehat{\varphi}_1(M^T\xi)=a_1(\xi) \widehat{\varphi}_1(\xi).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку целочисленные сдвиги $\varphi_1$ ортонормированы, для любого $s \in \mathbb{R}^d$ справедлива формула
$$
\begin{equation*}
\sum_{q \in \mathbb{Z}^d}|\widehat{\varphi}_1(s+q)|^2=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем векторы $0$ и $u \in \mathbb{Z}^d$ из двух факторклассов $\mathbb{Z}^d / M^T \mathbb{Z}^d$ матрицы $M^T$. Обозначим также $v=M^{-T} u$.
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1 &=\sum_{q \in \mathbb{Z}^d}|\widehat{\varphi}_1(M^Ts\,{+}\,q)|^2 {=}\!\sum_{q \in \mathbb{Z}^d}|\widehat{\varphi}_1(M^Ts\,{+}\,M^Tq)|^2{+} \!\sum_{q \in \mathbb{Z}^d}|\widehat{\varphi}_1(M^Ts\,{+}\,M^Tq\,{+}\,M^Tv)|^2 \\ &= \sum_{q \in \mathbb{Z}^d} |a_1(s+q)|^2 |\widehat{\varphi}_1(s+q)|^2+\sum_{q \in \mathbb{Z}^d} |a_1(s+q+v)|^2 |\widehat{\varphi}_1(s+q+v)|^2 \\ &=|a_1(s)|^2+|a_1(s+v)|^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для любого $s$ выполняется $|a_1(s)|^2+|a_1(s+v)|^2=1$ и п. 1) доказан. Аналогично из ортогональности $\varphi_1$ и $\psi$ получаем п. 2). Лемма доказана. Вернемся к доказательству теоремы. Будем подбирать $p$, чтобы выполнялось условие ортогональности $p(s) \overline{a}_1(s)+p(s+v) \overline{a}_1(s+v)=0$ из леммы 1. Заметим, что в двухциферном случае вектор $2 \cdot v=2 \cdot M_1^T u$ целочисленный, поэтому $a_1(s+2v)=a_1(s)$, $p(s+2v)=p(s)$. Рассмотрим случай Медведя с матрицей $M=M_B=\left(\begin{smallmatrix}1 & -2 \\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right)$, при этом $M_1^T=(1/2)\left(\begin{smallmatrix}0 & -1 \\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$. В качестве вектора $u$ можно выбрать $\left(\begin{smallmatrix}0 \\ 1\end{smallmatrix}\right)$. Тогда $v=\left(\begin{smallmatrix}-0.5 \\ 0.5\end{smallmatrix}\right)$. Поэтому в качестве частного решения можно предъявить функцию $p(s)=e^{-2 \pi i s_2} \overline{a}_1(s+ v)$. В самом деле, $p(s+v)=e^{-2 \pi i (s_2+0.5)} \overline{a}_1(s+2 \cdot v)= -e^{-2 \pi i s_2} \overline{a}_1(s)$ и легко убедиться, что равенство выполнено. Пользуясь равенством $\widehat{\psi}_B(\xi)=p(M_1^T \xi) \widehat{\varphi}_1(M_1^T\xi)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{\psi}_B(\xi) &=e^{-2 \pi i (M_1^T \xi)_2} \overline{a}_1( M_1^T \xi+v) \widehat{\varphi}_1(M_1^T\xi), \\ \widehat{\psi}_B(\xi) &=e^{-2 \pi i ((0,1), M_1^T \xi)} \overline{a}_1(M_1^T \xi+v) \widehat{\varphi}_1(M_1^T\xi). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_1(\xi)=\frac{1}{m} \sum_{k \in K} c_k e^{-2\pi i (k, \xi)}, \\ \begin{aligned} \, \widehat{\psi}_B(\xi) &=\frac{1}{m} \sum_{k \in K} e^{-2 \pi i ((0,1), M_1^T \xi)} c_k e^{2\pi i (k, M_1^T \xi+v)} \widehat{\varphi}_1(M_1^T\xi) \\ &=\frac{1}{m} \sum_{k \in K} c_k e^{2\pi i (k, v)} e^{-2 \pi i (-k+(0,1), M_1^T \xi)} \widehat{\varphi}_1(M_1^T\xi). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, для матрицы Медведя
$$
\begin{equation*}
\psi_B(x)=\sum_{k \in K} c_k e^{2\pi i (k, v)} \varphi_1 \biggl(M_B x+k-\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $v= \left(\begin{smallmatrix}-0.5 \\ 0.5\end{smallmatrix}\right)$. Заметим, что поскольку каждый из векторов $k$ в сумме целый, а $v$ – полуцелый, экспонента $e^{2\pi i (k, v)}$ принимает только значения $\pm 1$ и поэтому верно
$$
\begin{equation*}
\psi_B(x)=\sum_{k \in K} c_k (-1)^{(k_2-k_1)} \varphi_1 \biggl(M_B x+k-\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Аналогичным образом получаются формулы для Дракона и Квадрата. Теорема 3 доказана. Построенные таким образом всплеск-функции для Медведя, Дракона, Квадрата порядков $2$ и $4$ показаны на рис. 11. § 8. Приближение всплеск-функций конечными суммамиМы получили формулы для систем ортогональных всплесков, порожденных тайловыми $\mathrm{B}$-сплайнами. Их применение осложнено наличием бесконечного суммирования. В формуле (7.2) бесконечно много слагаемых, поскольку маска $a_1(\xi)$, полученная после ортогонализации, уже не является тригонометрическим полиномом. Чтобы оценить точность ее приближения тригонометрическими полиномами, нужно знать скорость убывания коэффициентов $c_k$. Мы докажем, что $|c_k| \leqslant C_1 e^{-C_2 \|k\|}$, где $C_1, C_2$ – положительные константы, и оценим показатель экспоненты $C_2$. Обозначим $z_1=e^{-2 \pi i (e_1, \xi)}$, $z_2=e^{-2 \pi i (e_2, \xi)}$, $z=(z_1, z_2)$, где $e_1=(1 \ 0 )$, $e_2=(0 \ 1)$. Тогда $e^{-2 \pi i (k, \xi)}=z_1^{k_1}z_2^{k_2}$ и $a_1(z)=(1/m) \sum_{k \in \mathbb{Z}^2} c_k z_1^{k_1}z_2^{k_2}$. Разложив функцию $a_1(z)$ в ряд Лорана в $\mathbb{C}^2$ и оценив скорость убывания его коэффициентов, мы получим оценку на $C_2$. Воспользуемся тем, что $a_1(\xi)=a(\xi)\sqrt{\Phi(\xi)}/\sqrt{\Phi(M^T \xi)}$. Маска исходного уравнения $a(z)$ (до ортогонализации) имеет конечное число ненулевых коэффициентов разложения (поскольку исходное уравнение задано конечным числом коэффициентов $c_k$), так что множитель $a(\xi)$ не влияет на скорость убывания коэффициентов $a_1(\xi)$. Также, как мы увидим далее, наша оценка скорости убывания коэффициентов разложения функции в ряд Лорана будет зависеть только от ее области голоморфности. Поэтому нас будут интересовать только нули знаменателя $\sqrt{\Phi(M^T \xi)}$, т. е. нули функции $\Phi(M^T \xi)$. Таким образом, финальная оценка на показатель убывания коэффициентов $c_k$ будет оценкой на коэффициенты разложения функции $1/\Phi(M^T \xi)$ в ряд Лорана после замены на $z$. Нули знаменателя $\Phi(M^T \xi)$ и оценки на скорость убывания такой функции можно выразить через нули знаменателя и оценки на скорость убывания функции $1/\Phi(\xi)$. Поскольку, как было показано в § 6, коэффициенты разложения знаменателя данной функции в ряд Фурье равны $\Phi_k$, коэффициенты разложения функции $\Phi(z)$ в ряд Лорана после замены будут также равны $\Phi_k$. Поскольку мы знаем числа $\Phi_k$, мы можем найти нули знаменателя функции $1/\Phi(\xi)$, а значит, и $1/\Phi(M^T \xi)$. Далее мы получим оценку на скорость убывания функции $f(z)=1/g(z)$ в общем случае и затем применим ее к функции $1/\Phi(M^T \xi)$. 8.1. Cкорость убывания коэффициентов голоморфной функции двух переменныхИтак, нам нужно оценить скорость убывания коэффициентов функции $f(z)=1/g(z)$ при разложении по степеням $z \in \mathbb{C}^2$. Для этого нам потребуются некоторые факты из многомерного комплексного анализа. Мы изучим, как устроено множество нулей функции $g(z)$, чтобы найти области голоморфности функции $f(z)$ и с помощью них оценить ее коэффициенты. Отметим, что для голоморфной функции двух комплексных переменных множество нулей является объединением непрерывных кривых и, более того, не имеет компактных компонент связности. Пусть $B_R\,{=}\,B^-_R\,{=}\,\{z\,{\in}\, \mathbb{C}\colon |z|\,{<}\,R\}$ – шар. Дополнением шара с радиусом $r$ будем называть множество точек $B^+_r\,{=}\,\{z \in \mathbb{C}\colon |z|>r\}$. Кольцом называется множество точек $A_{r, R}=\{z \in \mathbb{C}\colon r<|z|<R\}$. Поликругом радиуса $R=(R_1, R_2)$ с центром $\overline 0 \in \mathbb{C}^2$ называется множество точек $U(R)\,{=}\,\{z\,{\in}\, \mathbb{C}^{2}\colon |z_{v}|\,{<}\,R_{v}, v=1, 2 \}=B_{R_1} \times B_{R_2}$. Для изображения областей в $\mathbb{C}^2$ мы будем использовать диаграммы Рейнхарта: $\{(|z_1|, |z_2|) \mid (z_1, z_2) \in U\}$. Так, поликруг на диаграмме представляется как прямоугольник с вершинами $(0, 0)$, $(R_1, R_2)$. Для заданных радиусов $r_1<1<R_1$, $r_2<1<R_2$ (их мы выберем позже) рассмотрим произведение колец $A=A_{r_1, R_1} \times A_{r_2, R_2}$. На диаграмме оно представляется как прямоугольник с вершинами $(r_1, r_2)$, $(R_1, R_2)$. Введем также области $P^{--}=B^-_{R_1}\times B^-_{R_2}$, $P^{+-}=B^+_{r_1}\times B^-_{R_2}$, $P^{-+}=B^-_{R_1}\times B^+_{r_2}$, $P^{++}=B^+_{r_1}\times B^+_{r_2}$. Область $P^{--}$ является поликругом, остальные области являются прямыми произведениями шара и дополнения к шару. Объединение четырех областей дает всю комплексную плоскость $\mathbb{C}^2$, а их пересечение – область $A$. Предположим, функция $f=1/g$ лежит в $\mathscr{O}(A) \cap C(\overline{A})$, где $\mathscr{O}(A)$ обозначает множество функций, голоморфных в области $A$, $C(\overline{A})$ обозначает множество функций, непрерывных на замыкании $A$. Воспользуемся следующей классической теоремой о разложении в ряд Лорана [37]. Теорема A. Если функция $f(x_1, x_2) \in \mathscr{O}(A) \cap C(\overline{A})$, то она раскладывается в сумму четырех функций $f^{++}$, $f^{+-}$, $f^{-+}$, $f^{--}$, голоморфных в областях $P^{++}$, $P^{+-}$, $P^{-+}$, $P^{--}$ соответственно. Таким образом, мы получаем разложение функции $f=1/g$ на четыре слагаемых, пусть эти слагаемые $f^{++}$, $f^{+-}$, $f^{-+}$, $f^{--}$. Одно из них, $f^{--}$, голоморфно в поликруге $P^{--}= B^-_{R_1}\times B^-_{R_2}$. Справедлива следующая теорема о разложении функции в степенной ряд в поликруге. Теорема B. Пусть $U$ – поликруг в $\mathbb{C}^2$ радиуса $R=(R_1, R_2)$ с центром $\overline 0 \in \mathbb{C}^2$. Если $h \in \mathscr{O}(U) \cap C(\overline{U})$, то в каждой точке $z=(z_1, z_2) \in U$ эта функция представляется кратным степенным рядом По этой теореме получаем: $f^{--}(x_1, x_2)=\sum_{k_1, k_2 \geqslant 0} a_{k_1,k_2} x_1^{k_1}x_2^{k_2}$. Ряд сходится в поликруге $P^{--}$. Остальные функции можно свести к голоморфным на поликруге заменой переменных. В функции $f^{-+}$ заменим $z_1=x_1$, $z_2=1/x_2$. Тогда $f^{-+}(z_1, z_2)$ голоморфна в поликруге $P^{-+}(z)= B^-_{R_1}(z_1)\times B^-_{1/r_2}(z_2)$, следовательно, она раскладывается в ряд $f^{-+} (z_1, z_2)= \sum_{k_1, k_2 \geqslant 0} b_{k_1,k_2} z_1^{k_1}z_2^{k_2}$. Обозначим $a_{k_1, -k_2}=b_{k_1, k_2}$. Аналогичным образом получаем представление для оставшихся двух функций. Функция ${f}(x_1, x_2)$ при этом раскладывается в сумму ряда
$$
\begin{equation*}
f(x_1, x_2)=\sum_{k_1, k_2 \in \mathbb{Z}} a_{k_1,k_2} x_1^{k_1}x_2^{k_2},
\end{equation*}
\notag
$$
сходящегося в области $A$. Оценим коэффициенты $a_{k_1, k_2}$ для каждой из четырех функций по формуле Коши и таким образом получим результирующую оценку на эти коэффициенты. Напомним формулировку для оценки Коши для степенного ряда двух переменных (см., например, [37]). Теорема C. Если $h \in \mathscr{O}(U) \cap C(\overline{U})$, $|h| \leqslant M$ на множестве $\{|z_{1}|=R_{1}\} \times \{|z_{2}|=R_{2}\}$, то для коэффициентов степенного ряда справедливо неравенство Применим эту теорему отдельно к коэффициентам разложения $f^{++}$, $f^{+-}$, $f^{-+}$, $f^{--}$ в каждом из четырех поликругов по переменным $z_1$, $z_2$. Для $k_1, k_2 \geqslant 0$ получим оценки вида $|a_{k_1, k_2}| \leqslant C/(R_1^{k_1} R_2^{k_2})$, $|a_{k_1, -k_2}| \leqslant C/(R_1^{k_1} r_2^{-k_2})$, $|a_{-k_1, k_2}| \leqslant C/(r_1^{-k_1} r_2^{k_2})$, $|a_{-k_1, -k_2}| \leqslant C/(r_1^{-k_1} r_2^{-k_2})$. Числа $r_1$, $R_1$, $r_2$, $R_2$ должны быть выбраны так, чтобы выполнялось условие $f=1/g \in \mathscr{O}(A) \cap C(\overline{A})$, где $A=A_{r_1, R_1} \times A_{r_2, R_2}$, т. е. чтобы у функции $g$ не было нулей в замыкании области $A$. Для каждого возможного выбора $r_1$, $R_1$, $r_2$, $R_2$ получаются свои оценки на коэффициенты. Для простоты выберем $r_1=1/R_1=r_2= 1/R_2=q$. Тогда картинка упрощается, прямоугольник на диаграмме Рейнхарта на рис. 12 становится квадратом с вершинами на биссектрисе координатного угла (см. рис. 13), а все оценки можно записать в общем виде
$$
\begin{equation*}
|a_{k_1, k_2}| \leqslant C q^{|k_1|+|k_2|},\qquad k_1, k_2 \in \mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значение $q$ подбирается численно с условием, чтобы в замыкании области $A(q, q) \times A(1/q, 1/q)$ не было нулей функции $g(x_1, x_2)$. Это всегда можно сделать, поскольку точка $(1, 1)$ не является нулем функции $g$, а значит, в силу непрерывности функции $g$ существует и целая окрестность точки $(1, 1)$, не содержащая нулей. Собирая доказанное выше, получаем следующую теорему. Теорема 4. Пусть $f(z)=1/g(z)$, где $g$ голоморфна в области $U \subset \mathbb{C}^2$, содержащей точку $(1, 1)$, $g((1, 1)) \ne 0$. Пусть $q$ выбрано так, что область $A=A(q, q) \times A(1/q, 1/q)$ лежит в $U$ и не содержит нулей $g(z)$ в своем замыкании. Тогда в области $A$ имеет место представление где коэффициенты оцениваются неравенством для некоторой положительной константы $C$. 8.2. Оценка убывания коэффициентов всплеск-функцийПрименим общую теорему о скорости убывания коэффициентов голоморфной функции, полученную в п. 8.1, к оценке скорости убывания коэффициентов всплеск-функций, построенным по двухциферным тайлам в теореме 3. Следствие 4. Пусть $G$ – двухциферный тайл, $\varphi=B_n^G$ – соответствующий ему тайловый $\mathrm{B}$-сплайн. Через $\varphi_1$ обозначим его ортогонализацию, через $c_k$ – коэффициенты масштабирующего уравнения на $\varphi_1$. Пусть $\psi$ – соответствующая всплеск-функция, которая является линейной комбинацией $M$-сжатий функции $\varphi_1$. Для коэффициентов $a_{k_1, k_2}=\pm c_{k_1, k_2}$ этой линейной комбинации справедливо неравенство где $q$ выбирается так, чтобы у функции $\Phi(M^T \xi)$ после замены $z_1=e^{-2 \pi i (e_1, \xi)}$, $z_2=e^{-2 \pi i (e_2, \xi)}$ не было нулей в замыкании области $A(q, q) \times A(1/q, 1/q)$, где $z=(z_1, z_2)$, $e_1=(1, 0)$, $e_2=(0, 1)$. Отсюда следует оценка на убывание самой всплеск-функции (константа $C$ может поменяться). Следствие 5. Для ортогонализованного тайлового $\mathrm{B}$-сплайна $\varphi_1$ и соответствующей ему всплеск-функции $\psi$ выполнено Оценим скорость убывания всплеск-функции Медведя-2 и Медведя-4. То есть мы рассматриваем $G$ – тайл “Медведя” с матрицей из формулы (4.3), $\varphi= B_2^G$ или $\varphi=B_4^G$. Для Медведя-4 получаем $q=0.85$. Примерное расположение нулей (рассмотрены только на некотором диапазоне) представлены на рис. 14, 15. Оранжевая прямая соответствует $y=x$, зеленая точка $(1, 1)$. Для Медведя-2 можно выбрать $q=0.7$. Следовательно, при $|k_1|+|k_2|>40$ получаем, что для Медведя-4 $|c_{k_1, k_2}|$ не превосходит по порядку $10^{-3}$, а для Медведя-2 порядок не больше $10^{-6}$. На самом деле и при $|k_1|+|k_2| \leqslant 40$ большая часть коэффициентов будут малы. Сделаем более точный анализ убывания, чтобы установить, как много коэффициентов в разложении у всплеск-функции нужно сохранить, чтобы $\ell_2$- и $\ell_1$-норма вектора из этих коэффициентов и соответственно норма оставшейся функции не сильно изменились. Поскольку мы не можем на практике хранить бесконечно много коэффициентов $c_{k_1, k_2}$, мы удаляем все коэффициенты, лежащие вне какого-то большого квадрата, а именно, все коэффициенты с $|k_1|+|k_2|> m$. Каким нужно выбрать $m$, чтобы норма “хвоста”, вектора из удаленных коэффициентов, была достаточно маленькой? Предложение 7. Для $\ell_2$-нормы коэффициентов “хвоста” справедливо неравенство Таким образом, норма хвоста коэффициентов и в $\ell_1$, и в $\ell_2$ имеет порядок $O(q^m)$, где $q$ – параметр, не превосходящий $1$. После доказательства мы оценим константы при $q^m$ для Медведя-2 и Медведя-4. Доказательство предложения 7. Рассмотрим случай $k_1>0$, $k_2 \geqslant 0$, общая оценка будет в два раза больше. Воспользуемся неравенством (8.2). Справедливы неравенства Значит, и первая часть доказана.
Аналогично оценим $\ell_1$-норму коэффициентов “хвоста”: Тогда Предложение доказано.Константа $C$ может быть оценена из теоремы C. В дальнейших выкладках будем для простоты считать, что $C=1$. Оценка значения $q$ проиллюстрирована в п. 8.1. Пример 3 (Медведь-2). Для Медведя-2 имеем $q= 0.7$. Значения правой части в оценке (8.3) при $q=0.7$ и некоторых $m$ приведены в табл. 1. Рассмотрим $m=22$, при котором получается $H_2 \leqslant 0.005$. Таблица 1.Оценки на $\ell_2$-норму “хвоста” коэффициентов $H_2$ при $q=0.7$
Выберем как можно больше коэффициентов среди оставшихся $c_{k_1}$, $c_{k_2}$, у которых $|k_1|+|k_2| \leqslant m$, таким образом, чтобы корень из суммы их квадратов не превосходил $0.005$. Эти коэффициенты мы также удалим. При этом $\ell_2$-норма остальных коэффициентов не превосходит $0.01$, и мы получим небольшую погрешность. Численные результаты показывают, что остается всего $65$ коэффициентов, их расположение и значения показаны на рис. 16. Размер точек связан со значениями коэффициентов логарифмически. Значения коэффициентов также приведены в табл. 2, оставлена только половина, поскольку в нашем случае $c_{i, j}=c_{-i, -j}$. Таблица 2.Коэффициенты Медведя-2 для приближения в $\ell_2$
Аналогично, значения правой части в оценке (8.4) для Медведя-2 при $C=1$, $q=0.7$ и при некоторых $m$ приведены в табл. 3. Рассмотрим $m=32$, при котором получается $H_1 \leqslant 0.005$. Таблица 3.Оценки на $\ell_1$-норму “хвоста” коэффициентов $H_1$ для Медведя-2
Снова выберем как можно больше коэффициентов среди оставшихся $c_{k_1}$, $c_{k_2}$, у которых $|k_1|+|k_2| \leqslant m$, таким образом, чтобы сумма их модулей не превосходила $0.005$, и удалим их. Численные вычисления показывают, что остается $149$ коэффициентов, они показаны на рис. 17. При этом $\ell_1$-норма удаленных коэффициентов не превосходит $0.01$. Значения коэффициентов даны в табл. 7 в приложении. Пример 4 (Медведь-4). Для Медведя-4 имеем $q=0.85$. В табл. 4 указаны значения правой части в оценке (8.3) при $q=0.85$ и некоторых $m$. Рассмотрим $m=53$, при котором для Медведя-4 получается $H_2 \leqslant 0.005$. Снова выберем как можно больше коэффициентов $c_{k_1, k_2}$ ($|k_1|+|k_2| \leqslant m$), чтобы корень из суммы их квадратов не превосходил $0.005$, и удалим их. Тогда $\ell_2$-норма оставшихся коэффициентов не превосходит $0.01$. Их значения даны в табл. 8 в приложении. Таблица 4.Оценки на $\ell_2$-норму “хвоста” коэффициентов $H_2$ для Медведя-4
§ 9. Гладкость тайловых $\mathrm{B}$-сплайновГладкость является одним из важнейших параметров масштабирующих функций и порождаемых ими систем всплесков. Для всплесков, гладкость влечет хорошие аппроксимационные свойства и быстрое убывание коэффициентов всплеск-разложений [3], [4]. В некоторых приложениях, например, в методе вейвлет-Галёркина, гладкость является ключевым свойством. Для алгоритмов SubD гладкость предельной функции определяет как качество приближаемой поверхности, так и скорость сходимости алгоритма [17]. Если для классических (кусочно полиномиальных) сплайнов, гладкость определяется их порядком, то для тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов вычисление показателей гладкости представляет серьезную проблему. Мы применим метод, разработанный в недавней статье [38], и вычислим точные показатели гладкости тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов низких порядков. Определение 5. Общим показателем гладкости функции $\varphi$ по Гёльдеру в пространстве $C$ называется число где $k$ – наибольшее число, для которого $\varphi \in C^k(\mathbb{R}^d)$. Если $\varphi \in C^{\infty}$, то полагаем $\alpha_{\varphi}=+\infty$. Аналогично определяется показатель гладкости в $L_2$, с заменой $C^k(\mathbb{R}^d)$ на $W_2^k(\mathbb{R}^d)$. Как известно, значение показателя Гёльдера масштабирующей функции определяется совместным спектральным радиусом (с заменой на $L_2$-радиус для гладкости в $L_2$). Эти радиусы определяются следующим образом. Определение 6. Для линейных операторов $A_0$, $A_1$ их совместным спектральным радиусом называется величина Пусть дано масштабирующее уравнение с конечным числом слагаемых. Рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
K=\biggl\{x \in \mathbb{R}^d \colon x=\sum_{j=1}^{\infty} M^{-j} \gamma_j\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее выберем для матрицы растяжения $M$ произвольный набор цифр $D(M)$, порождающий некоторый тайл $G_0$. Этот тайл назовем базисным тайлом. В случае тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов в роли базисного тайла можно брать тайл, свертки которого порождают данный $\mathrm{B}$-сплайн. Определение 8. Множество $\Omega \subset \mathbb{Z}^d$ – минимальное множество целых векторов такое, что $K \subset \Omega+G_0=\bigcup_{k \in \Omega} {(k+G_0)}$. Это множество можно найти с помощью алгоритма из работы [39]. В одномерном случае для $M=2$, $D(M)=\{0, 1\}$, базисный тайл $G_0=[0, 1]$ – единичный отрезок. Если масштабирующее уравнение задано коэффициентами $c_0, \dots, c_N$, то $K=[0, N]$, $\Omega=\{0, 1, 2, \dots, N-1\}$. Если базисный тайл зафиксирован, то можно определить матрицы переноса (transition matrices) $(T_d)_{a,b}=c_{Ma-b+\Delta}$ для всех $a, b \in \Omega, \Delta \in D(M)$. С помощью этих матриц можно найти показатель гладкости по Гёльдеру масштабирующей функции $\varphi$ (см. [38]). Он выражается через совместные спектральные характеристики матриц, ограниченных на специальное общее собственное подпространство, причем в большинстве случаев в качестве этого подпространства берется $W=\bigl\{x \in \mathbb{R}^{N} \bigm| \sum_{k} x_{k}=0\bigr\}$. А именно, если показатель Гёльдера не превосходит единицы и если целые сдвиги функции $\varphi$ линейно независимы (подробнее про это свойство см. § 10), то имеют место следующие равенства:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha_{\varphi} &=-\log_{\rho(M)}\bigl(\rho_{C}(T_0|_W, T_1|_W)\bigr), \\ \alpha_{\varphi, 2} &=-\log_{2}\bigl(\rho_2(T_0|_W, T_1|_W)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\rho(M)$ обозначает спектральный радиус матрицы. В общем случае, если нет ограничения на показатель Гёльдера, он вычисляется по аналогичным формулам
$$
\begin{equation}
\alpha_{\varphi} =-\log_{\rho(M)}\bigl(\rho_{C}(T_0|_{W_k}, T_1|_{W_k})\bigr),
\end{equation}
\tag{9.1}
$$
$$
\begin{equation}
\alpha_{\varphi, 2} =-\log_{2}\bigl(\rho_{2}(T_0|_{W_k}, T_1|_{W_k})\bigr),
\end{equation}
\tag{9.2}
$$
где $W_k$ – пространство векторов из $\mathbb{R}^d$, ортогональное пространству полиномов $d$ переменных степени не выше $k$; показатель $k$ в формулах (9.1), (9.2) – максимальное число, для которого пространство $W_k$ инвариантно относительно матриц $T_0$, $T_1$. Замечание 4. Для $L_2$-радиуса $n \times n$ матриц $A_0$, $A_1$ есть явная формула для вычисления, выражающая его через наибольшее собственное значение линейного оператора $\mathscr{A}X=(1/2)({A_{0}^T X A_0+ A_{1}^T X A_1})$, действующего на пространстве симметрических $n \times n$ матриц $X$: Так как оператор имеет инвариантный конус (конус положительно определенных матриц), то по теореме Крейна–Рутмана [40] старшее собственное значение $\lambda_{\mathrm{max}}(\mathscr{A})$ неотрицательно. Матрица оператора $\mathscr{A}$ записывается следующим образом: где $\otimes$ означает кронекеровское произведение матриц [41], [42]. Таким образом, вычисление $L_2$-радиуса сводится к проблеме вычисления старшего собственного значения линейного оператора в размерности $(n^2+n)/2$. Для совместного спектрального радиуса явной формулы скорее всего не существует. Более того, известно, что задача его вычисления для общих матриц с рациональными коэффициентами является алгоритмически неразрешимой, а для булевских матриц – NP-полной [43]. Тем не менее, в большинстве случаев, в относительно небольших размерностях (до 25), удается алгоритмически найти точное значение совместного спектрального радиуса с помощью так называемого алгоритма инвариантного многогранника [44]. Мы применяем усовершенствованную версию этого алгоритма, представленную в [45]. Таблица 5.Гладкость в $L_2$ двухциферных тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов
Таблица 6.Гладкость в $C$ двухциферных тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов
В табл. 5, 6 представлены значения гладкости тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов до четвертого порядка. Они приводят нас к следующей теореме. Теорема 5. Тайловые $\mathrm{B}$-сплайны Медведь-3 и Медведь-4 принадлежат $C^2(\mathbb{R}^2)$ и $C^3(\mathbb{R}^2)$ соответственно. Как известно, классические двумерные $\mathrm{B}$-сплайны соответствующих порядков не принадлежат $C^2$ (соответственно $C^3$). Замечание 5. Утверждение теоремы может показаться парадоксальным – гладкость фрактального $\mathrm{B}$-сплайна оказалась выше, чем гладкость прямоугольного. Возможно, это связано с тем, что куб имеет плоские грани, которые медленно сглаживаются при автосвертках, а в тайлах с фрактальной структурой сглаживание происходит быстрее. На рис. 18 проиллюстрирована разница между автосверткой характеристической функции квадрата и круга: в случае круга площадь пересечения $\varphi(x)$, $\varphi(x+h)$ из формулы показателя Гёльдера убывает гораздо быстрее. Похожий феномен был замечен П. Освальдом при исследовании алгоритмов SubD [46]–[48]. Заметим также, что в одномерном случае среди всех масштабирующих уравнений с заданным количеством коэффициентов максимальную гладкость решения имеет $\mathrm{B}$-сплайн [17]. Как мы видим, для функций двух переменных, для $4$ и $5$ коэффициентов максимальная гладкость получается у Медведей. Для сплайнов большего порядка гладкость вычислить не удается из-за больших объемов вычисления спектрального радиуса. На рис. 19, (a)–(i) приведены графики частных производных порядка $1$, $2$ и $3$ для Медведя-4. Замечание 6. Значения гладкости для больших порядков тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов не приведены, поскольку поиск совместного спектрального радиуса затруднителен при больших размерах матриц. Матрицы переноса быстро растут при увеличении числа компонент в свертке. Вопрос об асимптотике поведения гладкости при увеличении порядка $\mathrm{B}$-сплайнов остается открытым. § 10. Алгоритмы детализации поверхностейВ этом параграфе мы применим полученные тайловые $\mathrm{B}$-сплайны для построения специального класса алгоритмов SubD (subdivision schemes); также в литературе можно встретить такие названия, как “алгоритмы подразбиения”, “алгоритмы детализации поверхностей” и прочие. Алгоритмы SubD – это линейные итеративные алгоритмы, строящие функцию по данным значениям на некоторой грубой решетке. Результирующая поверхность получается как предел функций, построенных на каждой итерации по значениям, вычисленным на все более плотной решетке (что объясняет название алгоритмы детализации). В случае плоской решетки поверхность является графиком предельной функции, можно также получать многообразия (см. конец § 10). Далее мы рассмотрим эти алгоритмы и их свойства. Пусть снова $M \in \mathbb{Z}^{d \times d}$ – растягивающая матрица. Для произвольной маски (набора чисел) $\{c_k\}$ вводится SubD-оператор $S\colon \ell_{\infty}(\mathbb{Z}^d) \to \ell_{\infty}(\mathbb{Z}^d)$:
$$
\begin{equation*}
[Su](k)=\sum_{j \in \mathbb{Z}^d}{c_{k-Mj} \cdot u(j)}, \quad u \in \ell_{\infty}(\mathbb{Z}^d).
\end{equation*}
\notag
$$
После многократного применения SubD-оператора мы получим последовательность значений, по которой можно построить функцию. Пример 5 (одномерный случай). Пусть $M=2$, $u$ – последовательность значений в целых точках. По ней можно построить функцию постоянную на отрезках $[k, k+1]$, $k \in \mathbb{Z}$. После $t$ итераций SubD-оператора строится функция постоянная на отрезках $[k/2^q, (k+1)/2^q]$, $k \in \mathbb{Z}$. Вместо функции $\chi_{[0, 1]}$ можно рассматривать любую другую функцию $h(x)$, удовлетворяющую свойству разбиения единицы, т. е. $\sum_{j \in \mathbb{Z}}h(x-j) \equiv 1$, что равносильно $\widehat{h}(0)=1$, $\widehat{h}(s)=0$, $s \ne 0$. Например, $h(x)=B_1(x)$ даст кусочно линейные функции $f_q$ на каждой итерации. Если при некоторой допустимой функции $h$ для любой последовательности $u$ существует предел функций $f_q$ (при $q \to \infty$) в $L_{\infty}$, то говорят, что алгоритм SubD сходится. Соответствующий предел называется предельной функцией для заданной $u$. Так же поступаем в общем, многомерном случае. Определим
$$
\begin{equation*}
f_q=\sum_{k \in \mathbb{Z}^d} [S^q u](k) \chi_{[0, 1]^d}(M^q\,{\cdot}\,{-}\,k) \text{ (кусочно постоянное приближение)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вместо $\chi_{[0, 1]^d}$ можно подставить любую функцию $h(x)$ со свойством В частности, подойдет характеристическая функция любого тайла $h= \chi_G$, линейный многомерный $\mathrm{B}$-сплайн $B_1$ и так далее. Далее рассмотрим сходимость алгоритма в $C^n$. При $n \geqslant 0$ определим пространство функций
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_n &=\bigl\{h \in C^n(\mathbb{R}^d) \bigm| \widehat{h}(0)=1,\, \widehat{h}\text{ имеет нули порядка хотя бы } n+1 \\ &\qquad\qquad \text{в любой точке } \mathbb{Z}^d \setminus \{0\}\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда верно, что $h \in Q_n$ в том и только в том случае, когда $h \in C^n{(\mathbb{R}^d)}$, $\sum_{j \in \mathbb{Z}^d}h(x- j) \equiv 1$, где каждый алгебраический многочлен $P_n$ переменных $x_1, \dots, x_d$ степени не выше $n$ лежит в линейной оболочке $\{h(\,{\cdot}\,{-}\,j)\}_{j \in \mathbb{Z}^d}$ (см. [23]). Например, $\chi_{[0,1]^d} \notin Q_0$, классические сплайны $B_1$ и $B_{n+1}$ принадлежат $Q_0$ и $Q_n$ соответственно. Определение 9. Алгоритм SubD сходится в $C^n$, если при некотором $h\,{\in}\,Q_n$ для любого $u \in \ell_{\infty}(\mathbb{Z}^d)$ существует функция $f_u \in C^n(\mathbb{R}^d)$ такая, что Замечание 7. Всегда можно выбрать $h=B_{n+1}$ (классический $\mathrm{B}$-сплайн порядка $n$). На самом деле факт сходимости не зависит от выбора начальной функции $h \in Q_n$, т. е. в определении 9 слова “при некотором $h \in Q_n$” можно заменить на “при любом $h \in Q_n$”. Оператор $S$ – линейный и инвариантный относительно целых сдвигов, т. е. при применении $S$ к сдвигу на $k$ последовательности $u$ получаем сдвиг на $k$ последовательности $Su$. Поэтому достаточно знать предельную функцию только для $\delta$-последовательности $\delta(k)= \delta^0_k$, обозначим ее через $f_{\delta}$ (в случае сходимости). Тогда для произвольной последовательности $u \in \ell_{\infty}(\mathbb{Z}^d)$ предельная функция будет иметь вид
$$
\begin{equation*}
f_{u}(x)=\sum_{k \in \mathbb{Z}^d}{f_{\delta}(x-k) \cdot u(k)},
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $u=\sum_{k \in \mathbb{Z}^d} u(k)\delta(k)$. Оказывается [17], что $f_\delta$ удовлетворяет масштабирующему уравнению с коэффициентами SubD-оператора $c_k$:
$$
\begin{equation*}
f_\delta(x)=\sum_{k \in \mathbb{Z}^d}{c_k f_\delta(Mx-k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы будем брать в роли чисел $c_k$ коэффициенты масштабирующих уравнений, которые порождают тайловые $\mathrm{B}$-сплайны. Таким образом, $f_\delta$ будет равна тайловому $\mathrm{B}$-сплайну $B_n^G$, а для произвольной исходной последовательности предельная функция будет линейной комбинацией целых сдвигов $B_n^G$. В частности, гладкость предельных функций будет совпадать с гладкостью $\mathrm{B}$-сплайна. Отметим, что количество вычислений на каждом шаге, которое требуется сделать для применения SubD-оператора, зависит от количества ненулевых коэффициентов $c_k$ у масштабирующего уравнения – чем оно меньше, тем быстрее мы будем производить итерации. Как мы получили в § 3 и § 4, у классического $\mathrm{B}$-сплайна порядка $n$ от $d$ переменных $B_n$ будет $(n+2)^d$ ненулевых коэффициентов. При этом в любой размерности можно взять тайловый $\mathrm{B}$-сплайн с $n+2$ коэффициентами, порожденный тайлом-параллелепипедом из двух цифр (такие тайлы существуют в любой размерности, см. [49]). При этом сами функции, $\mathrm{B}$-сплайны, и соответственно предельные поверхности у алгоритмов SubD такие же, как в классическом случае, поскольку они являются свертками тех же характеристических функций параллелепипедов. Единственное отличие в том, как организован данный алгоритм. Получаем следующую теорему. Теорема 6. Алгоритм SubD в $\mathbb{R}^d$, порожденный тайловым $\mathrm{B}$-сплайном $B_n^G$, где $G$ – тайл-параллелепипед, имеет сложность вычисления одной итерации $n+2$. Классический $d$-мерный алгоритм SubD порядка $n$, порожденный произведением $d$ одномерных $\mathrm{B}$-сплайнов $B_n$, имеет сложность вычисления одной итерации $(n+2)^d$. Эти алгоритмы порождают одни и те же предельные поверхности. Известно (см., например, [50], [51]), что для сходимости алгоритма SubD в $C^n$ необходимо выполнение следующих двух условий. 1) Соответствующее масштабирующее уравнение должно иметь решение $\varphi \in C^n$ (в общем случае известно лишь, что масштабирующее уравнение всегда имеет единственное решение с точностью до умножения на константу в пространстве обобщенных функций медленного роста $\mathcal{S}'$ [3]). 2) Должно выполняться правило сумм: маска уравнения $a$ имеет нули порядка хотя бы $n+1$ в точках $M^{-T}\Delta_*$ для всех $\Delta_* \in D_* \setminus \{0\}$, где $D_*$ – произвольное множество цифр, соответствующих транспонированной матрице $M^T$, и $a(0)= 1$ (см., например, [17]). Это условие легко переписывается в виде линейных соотношений на коэффициенты $c_k$ масштабирующего уравнения. В частности, правило сумм порядка $n=0$ равносильно тому, что $\sum_{k} c_{Mk+\Delta}=1$ для каждого вектора $\Delta \in D$, где $D$ – цифры базисного тайла. Эти условия не являются достаточными, соответствующие примеры хорошо известны [21]. Тем не менее, если выполнены условия 1), 2) и дополнительно известно, что предельная масштабирующая функция $\varphi$ устойчива, т. е. ее целочисленные сдвиги линейно независимы, то алгоритм гарантированно сходится в $C^n$ ([17] при $n=0$, [52] при $n \geqslant 1$). Известно, что функция $\varphi$ устойчива тогда и только тогда, когда ее преобразование Фурье не имеет периодических нулей, т. е. не существует точки $\xi \in \mathbb{R}^d$, для которой $\widehat \varphi (\xi+k)=0$ при всех $k \in \mathbb{Z}^d$ (см., например, [17]). Предложение 8. Для любого $n \geqslant 1$ $\mathrm{B}$-сплайн $d$ переменных $B_n$ порядка $n$ непрерывен, устойчив и его масштабирующее уравнение удовлетворяет правилу сумм порядка $n$. Доказательство. Поскольку свертка характеристических функций нескольких компактных множеств непрерывна, функция $B_n$ непрерывна. Устойчивость следует из того, что у преобразования Фурье $\widehat B_n(\xi)$ нет периодических нулей. Действительно, поскольку преобразование Фурье свертки является произведением преобразований Фурье сомножителей, выполнено $\widehat B_n(\xi)=(\widehat B_0(\xi))^{n+1}$. Поскольку у тайла целочисленные сдвиги линейно независимы, у соответствующего преобразования Фурье $\widehat B_0(\xi)$ нет периодических нулей, а тогда и у преобразования Фурье $\widehat B_n(\xi)$ нет периодических нулей.
Проверим правило сумм. Для $B_0$ выполнено правило порядка $0$ по определению тайла, так как $c_{\Delta}=1$ для любого $\Delta \in D$ и цифры принадлежат разным классам $\mathbb{Z}^d / M\mathbb{Z}^d$. Зафиксируем $D_*$ – произвольное множество цифр, соответствующих транспонированной матрице $M^T$. Тогда для маски $a_0$ выполнено правило сумм порядка 0 и в терминах преобразования Фурье: $a_0(M^{-T}\Delta_*)=0$ для всех $\Delta_* \in D_* \setminus \{0\}$ и $a_0(0)=1$. Поскольку маска тайлового $\mathrm{B}$-сплайна $B_n$ равна $a_n(M^{-T}\Delta_*)= a_0(M^{-T}\Delta_*)^{n+1}$, то для $B_n$ выполнено правило сумм порядка $n$. Предложение доказано. Следствие 6. Пусть показатель гладкости по Гёльдеру тайлового $\mathrm{B}$-сплайна $B_n$ равен $\alpha$. Тогда алгоритм SubD, построенный по $B_n$, сходится в $C^k$ при любом $k \leqslant \alpha$. Одним из важнейших вопросов теории алгоритмов SubD является вопрос о скорости сходимости. В [53] скорость сходимости алгоритмов SubD в $C^n(\mathbb{R})$ (обобщенная скорость сходимости) была определена с помощью разностных схем. Затем она обобщалась на многомерный случай ([54]). Мы используем аналогичное определение в терминах из работы [52]. Везде далее для простоты мы будем предполагать, что матрица $M$ изотропна, т. е. она диагонализуема и все ее собственные значения равны по модулю (общий случай рассматривается аналогично, см. [38]). Оказывается [17], [50], что алгоритм сходится в $C^n$ с экспоненциальной скоростью: для любого $u \in \ell_{\infty}$, $\|u\|_{\ell_{\infty}}=1$, $r=0, \dots, n$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\|f_q^{(r)}-f^{(r)}\|_{C(\mathbb{R}^d)} \leqslant C \cdot \tau_r^{-q},
\end{equation*}
\notag
$$
где $f=f_u$ – предельная функция для $u$, $f_q$ – результат итерации $q$. Показатели сходимости $\tau_0=\dots=\tau_{n-1}=m^{1/d}$, где $m=|{\det{M}}|$, $\tau_n$ зависит от коэффициентов алгоритма SubD. А именно, выполнено
$$
\begin{equation*}
\tau_n= \rho_{C}(T_0|_{W_k}, T_1|_{W_k}) \cdot {m}^{n/d},
\end{equation*}
\notag
$$
где напомним
$$
\begin{equation*}
\rho_{C}(A_0, A_1)=\lim_{s \to \infty} \max_{\sigma} \|A_{\sigma(1)}\cdots A_{\sigma(s)}\|^{1/s}, \qquad \sigma\colon \{1, \dots, s\} \to \{0, 1\},
\end{equation*}
\notag
$$
– это совместный спектральный радиус двух операторов (см. подробнее § 9 и определение числа $k$ там). Определение 10. Обобщенной скоростью сходимости алгоритма SubD будем называть число $n- (1/d)\log_m{\tau}=-(1/d)\log_m \rho$. Тогда справедливо следующее известное утверждение [52]. Предложение 9. Гладкость по Гёльдеру $\alpha_\varphi$ предельной функции $\varphi$ алгоритма SubD не меньше, чем обобщенная скорость сходимости. В случае устойчивости $\varphi$ эти параметры совпадают. Следствие 7. Пусть тайловый $\mathrm{B}$-сплайн $B_n^G \in C^n(\mathbb{R}^d)$. Тогда алгоритм SubD, построенный по нему, сходится с обобщенной скоростью $n-(1/d)\log_m{\tau}=-(1/d)\log_m \rho= \alpha_\varphi$. В частности, верно, что $\tau=m^{(n-\alpha_\varphi)/d}$. Так как тайловые $\mathrm{B}$-сплайны устойчивы, мы можем оценить обобщенную скорость сходимости их алгоритмов SubD. Как это следует из табл. 6, среди всех рассмотренных сплайнов наиболее гладким является Медведь-4. Теорема 7. Алгоритмы SubD, построенные по тайловому $\mathrm{B}$-сплайну Медведь-3 и Медведь-4, сходятся в $C^2$ и $C^3$ соответственно. Классические алгоритмы SubD, построенные по двумерным $\mathrm{B}$-сплайнам соответствующих порядков, не сходятся в $C^2$ (соответственно $C^3$). Отметим, что сходимость алгоритма в пространстве функций высокой гладкости сильно влияет на качество порождаемой поверхности, например, сходимость в $C^2$ означает, что в каждой точке кривизна поверхности будет сходиться к кривизне предельной поверхности. В частности, если предельная поверхность локально выпукла в некоторой точке, то тем же свойством будут обладать поверхности, полученные через несколько итераций алгоритма. С учетом оптимальности по скорости сходимости Медведя-4 и малым количеством его ненулевых коэффициентов (всего пять), построим алгоритм SubD на его основе. Такую схему можно применять как в том случае, когда изначально у нас есть функция, заданная в целых точках на плоскости (например, таким образом можно смотреть на изображение), так и тогда, когда первоначальные точки образуют грубое приближение поверхности. На рис. 20 показан шаблон вычисления: в значения точек, обведенных в круг, записывается линейная комбинация значений отмеченных точек. Направление вычисления с каждой итерацией домножается на $M^{-1}$. Рассмотрим применение алгоритма SubD Медведь-4 к поверхности немного деформированного тора, заданного грубым приближением (см. рис. 21, (a)). На последующих рисунках 21, (b)–21, (f) показаны результаты после нескольких итераций Медведя-4. Также проиллюстрируем применение алгоритма Медведь-4 к поверхности с границей, на примере катеноида (рис. 22, (a)–(c)). § 11. ЗаключениеВ статье разрабатывается подход к построению и исследованию многомерных $\mathrm{B}$-сплайнов, основанных на свертках тайлов. Доказан ряд свойств тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов и подробно исследован случай плоских симметричных 2-тайлов: Квадрата, Дракона и Медведя. Они являются решениями масштабирующих уравнений с малым числом ненулевых коэффициентов, что дает им преимущество перед классическими многомерными $\mathrm{B}$-сплайнами. Ортогонализация тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов определяет ортонормированные системы всплесков, порожденные единственной всплеск-функцией, для которой в работе получены явные формулы, вычислены показатели гладкости и оценена скорость убывания на бесконечности. С использованием многомерного комплексного анализа мы оценили показатель убывания и примерное количество коэффициентов, которые нужно оставить для приближения всплеск-функции с заданной точностью. Некоторые из построенных тайловых $\mathrm{B}$-сплайнов имеют бо́льшую гладкость, чем классические $\mathrm{B}$-сплайны тех же порядков. В частности, Медведь-4 является трижды дифференцируемой функцией, в отличие от соответствующего классического $\mathrm{B}$-сплайна. Это свойство важно для приложений, в частности для алгоритмов SubD геометрического моделирования, для сходимости которых в $C^n$ нужна соответствующая гладкость порождающей функции. Приведены примеры и численные результаты, а также разработан программный пакет для практического применения данной работы. БлагодарностиАвтор выражает благодарность своему научному руководителю В. Ю. Протасову за постоянную поддержку и помощь в работе, а также рецензенту за множество полезных замечаний. Автор признателен разработчикам программного пакета [55], с помощью которого в данной работе были построены тайлы. § 12. Приложение A. Таблицы коэффициентов всплеск-функцийТаблица 7.Коэффициенты Медведя-2 для приближения в $\ell_1$ с точностью $0.01$
Таблица 8.Коэффициенты Медведя-4 для приближения в $\ell_2$ с точностью $0.01$
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zai23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|