| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Неравенства типа Харди для одной весовой функции и их применения Р. Г. Насибуллин Институт математики и механики им. Н. И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9291e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПусть $\Omega$ – открытое связное собственное подмножество евклидова пространства $\mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$, и пусть через $C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ обозначено известное семейство непрерывно дифференцируемых функций $g\colon \Omega\to\mathbb{R}$ с компактными носителями в $\Omega$. В области $\Omega$ естественным образом можно определить функцию расстояния $\delta$ от точки $x$ этой области до ее границы $\partial\Omega$:
$$
\begin{equation*}
\delta(x)=\operatorname{dist}(x, \partial\Omega)=\inf_{y\in \partial\Omega}|x-y|.
\end{equation*}
\notag
$$
Более подробную информацию о свойствах и применениях функции расстояния открытого подмножества в евклидовом пространстве можно найти в недавних работах [1], [2]. Из приложений функции расстояния отметим их применение в теории вариационных неравенств типа Харди. Известно, что в случае, когда $\Omega$ является выпуклой областью, для любой функции $g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ справедливо неравенство Харди
$$
\begin{equation}
\frac{1}{4}\int_\Omega\frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^2}\, dx\leqslant \int_\Omega |\nabla g(x)|^2\, dx
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
с точной, но недостижимой константой $1/4$ (см., например, [3]–[7]). Недостижимость равенства в уже ставшем классическим неравенстве (1.1) является одной из его особенностей. Вторая особенность этого неравенства, также тесно связанная с точной константой, – это возможность усиления неравенства за счет добавления дополнительного слагаемого. Приведем результат Х. Брезиса и М. Маркуса из [3]: если $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ – ограниченная область с конечным диаметром $D (\Omega)$, то для любой функции $g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{1}{4}\int_\Omega\frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^2}\, dx+\frac{1}{4 (D(\Omega))^2}\int_\Omega|g(x)|^2\, dx\leqslant \int_\Omega |\nabla g(x)|^2\, dx.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Задача добавления дополнительного слагаемого в (1.1) связана с классическими оценками первого собственного числа $\lambda_1(\Omega)$ для лапласиана при граничных условиях Дирихле и со следующим неравенством Пуанкаре:
$$
\begin{equation*}
\lambda_1(\Omega)\int_\Omega|g(x)|^2\, dx\leqslant \int_\Omega |\nabla g(x)|^2\, dx \quad\forall\, g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Широко известны оценка Пуанкаре $\lambda_1(\Omega)>\pi^2/(D(\Omega))^2$ и знаменитое изопериметрическое неравенство Рэлея–Фабера–Крана
$$
\begin{equation*}
\lambda_1(\Omega) >\frac{\omega_n^{2/n}}{|\Omega|^{2/n}}(j_{n/2-1})^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $j_\nu$ – первый нуль функции Бесселя $J_\nu$ порядка $\nu$ и $\omega_n$ – объем $n$-мерного единичного шара (см. [8]). В той же работе [3] Х. Брезис и М. Маркус поставили вопрос, можно ли заменить константу в дополнительном слагаемом на величину вида $K'(n) |\Omega|^{-2/n}$, где $|\Omega|$ – объем области, а $K'(n)$ – некоторая положительная универсальная константа. В статье [9] М. Хофман-Остенхоф, Т. Хофман-Остенхоф и А. Лаптев дали положительный ответ на этот вопрос. А именно, они показали, что
$$
\begin{equation}
\frac{1}{4}\int_\Omega\frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^2}\, dx +\frac{1}{4}\, \frac{K(n)}{|\Omega|^{2/n}}\int_\Omega |g(x)|^2\, dx\leqslant \int_\Omega |\nabla g(x)|^2\, dx \quad\forall\, g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega),
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где $K(n)=n[|\mathbb{S}^{n-1}|/n]^{2/n}$ и $|\mathbb{S}^{n-1}|$ – площадь поверхности $(n-1)$-мерной единичной сферы. Стоит отметить, что В. Д. Эванс и Р. Т. Льюис [10] доказали аналогичное (1.3) неравенство, в котором перед $K(n)$ стоит константа $3/2$ вместо $1/4$, но, судя по доказательству, это неравенство будет справедливо в более узком классе функций, чем семейство $C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$. В случае выпуклых областей с фиксированным объемом в виде следствия этого результата М. Хофман-Остенхоф, Т. Хофмана-Остенхофа и А. Лаптева можно получить следующую оценку первого собственного числа:
$$
\begin{equation*}
\lambda_1(\Omega)\geqslant \frac{1}{4}\, \frac{K(n)}{|\Omega|^{2/n}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вопрос нахождения точных констант в вышеприведенных изопериметрических неравенствах и вопрос о неулучшаемости постоянной в дополнительном слагаемом в неравенствах типа Харди остается открытым и даже задача усиления этих неравенств является весьма сложной и актуальной. Несмотря на внешнюю схожесть неравенств (1.2) и (1.3), как класс вариационных задач они являются весьма различными. Первая экстремальная задача рассматривается в областях с конечным диаметром, а вторая – в областях с конечным объемом. Третьей разновидностью экстремальных задач являются неравенства с дополнительными слагаемыми в областях с конечным внутренним радиусом В силу того, что существуют области с конечным внутренним радиусом, но с бесконечным объемом и диаметром, например, полоса, третий класс задач является более широким (см. подробнее [11]–[16]).В этом направлении наиболее полным решением “задачи Брезиса–Маркуса” является результат Ф. Г. Авхадиева и К.-Й. Вирса [14], который утверждает, что для любой непрерывно дифференцируемой функции $g$ с компактным носителем в выпуклой области $\Omega$ с конечным внутренним радиусом $\delta_0(\Omega)$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{1-\nu^2q^2}{4}\int_\Omega\frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^2} \, dx +\frac{q^2|\lambda_q|^2}{4(\delta_0(\Omega))^2}\int_\Omega\frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^{2-q}} \, dx \leqslant \int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $q>0$, $\nu \in [0,1/q]$, $\delta(x)$ – функция расстояния до границы области и константа $\lambda_q$ является решением специального уравнения для функции Бесселя $J_\nu$ порядка $\nu$. А именно, следующего уравнения типа Лэмба: Константы $(1-\nu^2q^2)/4$ и $q^2(\lambda_q)^2/4$ в этом неравенстве являются точными. Отметим лишь, что при $\nu>0$ существует экстремальная функция, на которой достигается равенство, а при $\nu=0$ Ф. Г. Авхадиев и К.-Й. Вирс построили минимизирующую последовательность, через которую показали точность и недостижимость константы (см. также [15]). Результат Авхадиева и Вирса в случае $n$-мерных выпуклых областей является вторым способом доказательства известных оценок (см. [17])
$$
\begin{equation*}
\lambda_1(\Omega)\geqslant \frac{\pi^2}{4(\delta_0(\Omega))^2}\geqslant \frac{\pi^2}{(D(\Omega))^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы же получим некоторые оценки $\lambda_1(\Omega)$ через диаметр области в других классах областей. Доказательства всех приведенных выше неравенств являются оригинальными и красивыми, и в их основе лежат одномерные неравенства. В одномерных неравенствах не возникают сложности, которые приходят из геометрии области. Первым, кто получил одномерное неравенство типа Харди с дополнительными слагаемыми, можно считать В. И. Левина. В статье [18] для всех непрерывно дифференцируемых функций $y$ таких, что $y(0)=0$ и $y\not\equiv 0$, Левин получил следующее неравенство с точной константой:
$$
\begin{equation}
\int_0^{1}\frac{(y(x))^2}{x^2(2-x)^2} \, dx< \int_0^{1}(y'(x))^2\, dx,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
которое можно переписать в виде
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{4}\int_0^{1}\frac{(y(x))^2}{x^2} \, dx +\frac{1}{2}\int_0^{1}\frac{(y(x))^2}{x(2-x)}\, dx +\frac{1}{4}\int_0^{1}\frac{(y(x))^2}{(2-x)^2} \, dx < \int_0^{1}(y'(x))^2\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Что касается многомерных неравенств типа Харди с дополнительными слагаемыми, то впервые они были получены В. Г. Мазьёй в работе [19] в случае, когда $\Omega$ является верхней полуплоскостью, а весовые функции зависят от расстояния до начала координат. В настоящей работе мы докажем неравенства на конечном отрезке, которые усиливают (1.5) и приводят нас к пространственным неравенствам с большей константой перед $K(n)$. Например, покажем, что для любой абсолютно непрерывной функции $y\colon [0,1]\to \mathbb{R}$ такой, что $y(0)=0$ и $y'\in L_2([0,\rho])$, при $q\in (0,\infty)$ и $\nu\in [0,1/q]$ имеет место точное неравенство
$$
\begin{equation*}
(1\,{-}\,\nu^2q^2)\int_0^\rho \!\frac{(y(t))^2}{t^2(2\,{-}\,t)^2}\, dt \,{+}\,q^2(C_\nu(q))^2\frac{(2\,{-}\rho)^q}{\rho^q}\int_0^\rho \!\frac{(y(t))^2}{(2\,{-}\,t)^{2+q}t^{2-q}}\, dt\,{\leqslant}\! \int_0^\rho \!(y'(t))^2\, dt,
\end{equation*}
\notag
$$
а при $q\in [1,2]$
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^\rho \frac{(y(t))^2}{t^{2-q}(2-t)^{2-q}}\, dt\leqslant \kappa'(q,\rho)\int_0^\rho (y'(t))^2\, dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\rho\in (0,1]$, $C_\nu(q)$ и $\kappa'(q,\rho)$ суть некоторые известные константы. Также в этой статье мы рассмотрим некоторые приложения этих одномерных неравенств. Используя первое неравенство, мы установим многомерные неравенства в произвольных областях в терминах расстояния в среднем, а в регулярных областях, в областях, удовлетворяющих условию конуса, в областях, $\lambda$-близких к выпуклым, и выпуклых областях докажем неравенства в терминах функции расстояния до границы области. Как следствие многомерных неравенств мы получим новые оценки для первого собственного числа $\lambda_1(\Omega)$ в различных областях. Например, в выпуклых областях $\Omega$ с фиксированным объемом или диаметром соответственно имеем
$$
\begin{equation*}
\lambda_1(\Omega)\geqslant \frac{(j'_1)^2}{2}\, \frac{K(n)}{|\Omega|^{2/n}} \quad\text{и}\quad \lambda_1(\Omega)\geqslant \frac{(j'_1)^2}{2}\, \frac{3n}{(D(\Omega))^2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $j'_1\approx 1.84118$ – первый положительный корень производной $J_1'$ функции Бесселя $J_1$, а в случае областей, $\lambda$-близких к выпуклым, получим
$$
\begin{equation*}
\lambda_1(\Omega)\geqslant \frac{2.75972n}{(D(\Omega))^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для обоснования многомерных неравенств используются верхние оценки расстояния в среднем через расстояние до границы области. Добавим, что нами установлены новые оценки расстояния в среднем через функцию расстояния до границы области в случае областей, $\lambda$-близких к выпуклым (см. п. 3.4). Как показано в статьях [13]–[15], постоянная в дополнительном слагаемом в неравенствах с внутренним радиусом не зависит от размерности пространства, а в неравенстве (1.3) и ее обобщениях (см. [20]), наоборот, зависит. Нами впервые показано, что в неравенствах с диаметром константа также зависит от размерности. Применяя же второе одномерное неравенство, мы докажем новые достаточные условия однолистности типа Нехари–Покорного. Мы продолжаем исследования достаточных условий однолистности, полученных и развитых в статьях [21]–[26]. Чтобы не загромождать вводную часть, мы приводим сравнение известных и наших результатов в § 4. § 2. Одномерные неравенства на конечном отрезке2.1. Основные обозначения и вспомогательные результатыЭтот параграф посвящен новым одномерным неравенствам, весовые функции которых имеют степенные особенности. Для дальнейшего изложения нам пригодится функция Бесселя $J_\nu$ порядка $\nu\geqslant 0$. Напомним, что функцию Бесселя можно записать в виде следующего сходящегося степенного ряда:
$$
\begin{equation*}
J_\nu(t)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kt^{2k+\nu}}{2^{2k+\nu}k!\,\Gamma(k+1+\nu)}, \qquad t\in[0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Gamma$ – это гамма-функция Эйлера. Через $j_\nu$ будем обозначать первый нуль функции Бесселя $J_\nu$. Подробную информацию о свойствах функции Бесселя и ее нулях можно найти в монографии [27]. Приведем лишь некоторые свойства этой функции, которые в дальнейшем мы будем использовать. Например, известно, что a) $J_\nu$ является каноническим решением дифференциального уравнения Бесселя (см. [27]): b) при достаточно малых $t$ справедлива следующая асимптотическая формула:
$$
\begin{equation*}
J_\nu(t)= \frac{t^\nu}{2^\nu\Gamma(1+\nu)} \biggl(1-\frac{\Gamma(1+\nu)}{\Gamma(2+\nu)}\, \frac{t^2}{2^2}+\frac{\Gamma(1+\nu)}{\Gamma(3+\nu)}\, \frac{t^{4}}{2^4}-\cdots\biggr) \sim \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\biggl(\frac{t}{2}\biggr)^{\nu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нам понадобится также следующее утверждение, которое приведем с доказательством. Лемма 1. Непрерывная функция $h(t)=J_1(t)/(tJ_0(t))$ является возрастающей при $t\in[0,2]$, и $\inf_{t\in [0,2]} h(t)=1/2$. Доказательство. Покажем, что производная $h'(t)\geqslant 0$ при $t\in[0,2]$. Используя следующие известные равенства для функции Бесселя и ее производной (см., например, [27; пп. 3.2, 5.51]):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, J_0'(t)= -J_1(t), \qquad tJ'_1(t)-J_1(t)=-tJ_2(t), \\ (J_1(t))^2-J_0(t)J_2(t)=\frac{4}{t^2}\sum_{j=0}^\infty(2+2j)(J_{2+2j}(t))^2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h'(t) &= \frac{tJ_1'(t)J_0(t)-J_1(t)J_0(t)-tJ'_0(t)J_1(t)}{t^2(J_0(t))^2} =\frac{J_0(t)(tJ_1'(t)-J_1(t))+t(J_1(t))^2}{t^2(J_0(t))^2} \\ &=\frac{(J_1(t))^2-J_0(t)J_2(t)}{t (J_0(t))^2} =\frac{4}{t^3}\sum_{j=0}^\infty(2+2j)(J_{2+2j}(t))^2 \geqslant 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, функция является возрастающей и $\inf_{t\in [0,2]}h(t)=\lim_{t\to 0}h(t)= 1/2$ по свойству b). Лемма доказана. 2.2. Неравенства, необходимые для получения многомерных аналоговСправедлива следующая теорема. Теорема 1. Пусть $q\in (0,\infty)$, $\nu\in [0,1/q]$ и $\rho\in (0,1]$. Тогда для любой абсолютно непрерывной функции $y\colon [0,1]\to \mathbb{R}$ такой, что $y(0)=0$ и $y'\in L_2([0,\rho])$, имеет место точное неравенство Доказательство. При доказательстве этой теоремы мы будем использовать функцию где $\lambda_\nu(q)$ – это некоторая постоянная, которая будет подобрана позже.
Отметим, что ключевым и оригинальным моментом доказательства является именно выбор (подбор) вида функции $\varphi(t)$. Используя приведенные выше свойства a) и b), можно показать, что выполнены следующие равенства:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, -\frac{\varphi''(t)}{\varphi(t)} &= \frac{1-\nu^2q^2}{(z(t))^2} +\frac{q^2|\lambda_\nu(q)|^2}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}}, \\ \frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)} &= \frac{1-t}{z(t)}+\frac{q\lambda_\nu(q) t^{q/2-1}}{(2-t)^{q/2+1}}\, \frac{J'_\nu(\lambda_\nu(q) t^{q/2}/(2-t)^{q/2})}{J_\nu(\lambda_\nu(q) t^{q/2}/(2-t)^{q/2})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
и при этом
$$
\begin{equation*}
\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}= \frac{1+\nu q}{z(t)}+o(1)\quad \text{при}\quad t\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, используя разложение функции Бесселя в ряд и известное равенство [27; п. 3.2] имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varphi'(t) &=\frac{1-t-\nu q}{\sqrt{z(t)}}J_\nu \biggl( \frac{\lambda_\nu(q)t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr) +\frac{q\lambda_\nu(q) t^{q/2}}{\sqrt{z(t)}\, (2-t)^{q/2}}J_{\nu-1}\biggl( \frac{\lambda_\nu(q) t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr) \\ &=\frac{1-t-\nu q}{\sqrt{z(t)}}\biggl(\frac{t}{2-t}\biggr)^{q\nu/2} \frac{(\lambda_\nu(q))^\nu}{2^{\nu}\Gamma(\nu+1)}(1+\cdots) \\ &\qquad+ \frac{1}{\sqrt{z(t)}}\biggl(\frac{t}{2-t}\biggr)^{q\nu/2} \frac{q(\lambda_\nu(q))^\nu}{2^{\nu-1}\Gamma(\nu)}(1+\cdots) \\ &=\frac{1-t+\nu q}{\sqrt{z(t)}}\biggl(\frac{t}{2-t}\biggr)^{q\nu/2} \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\, \frac{(\lambda_\nu(q))^\nu}{2^\nu} \\ &\qquad +O\biggl((\lambda_\nu(q))^{2+\nu} \biggl(\frac{t}{2-t}\biggr)^{q(2+\nu)/2}\biggr),\qquad t\to 0^+. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\varphi'(t)\in L^2(0,1)$ при $\nu\neq 0$ и $\varphi'(t)\notin L^2(0,1)$ при $\nu=0$.
Далее, применяя формулу интегрирования по частям, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&\leqslant P:=\int_0^\rho\biggl(y'(t)-y(t)\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}\biggr)^2\, dt \\ &=\int_0^\rho (y'(t))^2\, dt -\int_0^\rho\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}\, d(y(t))^2+\int_0^\rho (y(t))^2\frac{(\varphi'(t))^2}{(\varphi(t))^2}\, dt \\ &=\int_0^\rho (y'(t))^2\, dt- \lim_{t\to \rho} \biggl((y(t))^2 \frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}\biggr) +\lim_{t\to 0}\biggl((y(t))^2\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}\biggr) + \int_0^\rho (y(t))^2\frac{\varphi''(t)}{\varphi(t)} \, dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для любой абсолютно непрерывной функции $y\colon [0,1]\to \mathbb{R}$ такой, что $y(0)=0$ и интеграл $\int_0^1(y'(\tau))^2\, d\tau$ сходится, имеем
$$
\begin{equation*}
(y(t))^2\leqslant \left(\int_0^t |y'(\tau)| \, d\tau\right)^2\leqslant t\int_0^t |y'(\tau)|^2 \, d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to 0}\biggl((y(t))^2\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее положим, что $C_\nu(q)$ – это первый положительный корень уравнения
$$
\begin{equation*}
1-\rho+ qz\frac{J'_\nu(z)}{J_\nu(z)}=0, \qquad z\in (0,j_\nu),
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\lambda_\nu(q)=C_\nu(q)\frac{(2-\rho)^{q/2}}{\rho^{q/2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда по формуле (2.1) получим
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to \rho} \biggl((y(t))^2\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}\biggr) =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, имеем
$$
\begin{equation*}
(1-\nu^2q^2)\int_0^\rho \frac{(y(t))^2}{(z(t))^2}\, dt+q^2(C_\nu(q))^2\frac{(2-\rho)^q}{\rho^q}\int_0^\rho \frac{(y(t))^2}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}}\, dt\leqslant \int_0^\rho (y'(t))^2\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Равенство $P=0$ возможно тогда и только тогда, когда Следовательно, равенство $P=0$ достигается на функции $y_0(t)=C \varphi(t)$, производная которой, как мы показали выше, принадлежит классу $L_2(0,1)$ только при $\nu>0$. Теорема 1 доказана. В качестве следствия этой теоремы при $\nu> 0$ и $\rho=1$ получим следующее утверждение. Следствие 1. Для любой абсолютно непрерывной функции $y\colon [0,1]\to \mathbb{R}$ такой, что $y(0)=0$ и $y'\in L_2([0,1])$, справедливо неравенство где $j'_{\nu}$ – первый положительный корень производной $J'_{\nu}$ функции Бесселя $J_{\nu}$. Константы в неравенстве теоремы 1 также являются точными в случае $\nu=0$. А именно, справедливо следующее предложение. Предложение 1. Если $\nu=0$ и $\rho\in (0,1]$, то для любого $\varepsilon>0$ найдутся функции $f_\varepsilon$ и $g_\varepsilon$, удовлетворяющие условиям теоремы 1 и такие, что выполнены неравенства и Доказательство. Если $\rho=1$, то $C_0(q)=0$ и имеем известное неравенство (1.5) из статьи [18] с точной и недостижимой константой.
Пусть теперь $\rho\in(0,1)$. Рассмотрим функцию $f_\varepsilon (t)= (t(2-t))^{(1+\varepsilon)/2}$. Ясно, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^\rho(f'_\varepsilon (t))^2\, dt =(1+\varepsilon)^2\int_0^\rho(1-t)^2((2-t)t)^{\varepsilon-1}\, dt \\ &\qquad <(1+\varepsilon)^2 \int_0^\rho((2-t)t)^{\varepsilon-1}\, dt+q^2(C_0(q))^2\frac{(2-\rho)^q}{\rho^q}\int_0^\rho \frac{(f_\varepsilon(t))^2}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}}\, dt \\ &\qquad =(1+\varepsilon)^2 \int_0^\rho\frac{(f_\varepsilon(t))^2}{(z(t))^2}\, dt+q^2(C_0(q))^2\frac{(2-\rho)^q}{\rho^q}\int_0^\rho \frac{(f_\varepsilon(t))^2}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}}\, dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, первая константа точная.
Пусть $\alpha=\alpha(\varepsilon)\in (0, q)$ и функция
$$
\begin{equation*}
g_\varepsilon(t)= z(t)^{\alpha/2}\varphi(t) =(z(t))^{(\alpha+1)/2}J_0\biggl(\lambda_\nu(q) \frac{t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_\varepsilon &:=\int_0^\rho \frac{(g_\varepsilon(t))^2}{(z(t))^2}\, dt+\left(q^2C^2\frac{(2-\rho)^q}{\rho^q}+\varepsilon\right)\int_0^\rho \frac{(g_\varepsilon(t))^2}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}}\, dt-\int_0^\rho (g'_\varepsilon(t))^2\, dt \\ &=\varepsilon\int_0^\rho \frac{(g_\varepsilon(t))^2}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}}\, dt-\int_0^\rho \biggl(g'_\varepsilon-g_\varepsilon(t)\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}\biggr)^2\, dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Можно показать, что
$$
\begin{equation*}
g'_\varepsilon-g_\varepsilon(t)\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}=\alpha (1-t) (z(t))^{(\alpha-1)/2} J_0\biggl(\lambda_\nu(q) \frac{t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_\varepsilon &=\varepsilon\int_0^\rho \frac{(z(t))^{\alpha+1}}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}} \biggl(J_0\biggl( \frac{\lambda_\nu(q) t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr)\biggr)^2 \, dt \\ &\qquad- \alpha^2\int_0^\rho(z(t))^{\alpha-1} \biggl(J_0\biggl( \frac{\lambda_\nu(q) t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr)\biggr)^2(1-t)\, dt \\ &\geqslant\varepsilon\int_0^\rho \frac{(z(t))^{q+1}}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}} \biggl(J_0\biggl( \frac{\lambda_\nu(q)t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr)\biggr)^2\, dt \\ &\qquad -\alpha\max_{t\in[0,\rho]}\biggl\{(2-t)^{\alpha-1}\biggl(J_0\biggl( \frac{\lambda_\nu(q) t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr)\biggr)^2\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $P_\varepsilon>0$ при достаточно малых $\alpha$. Таким образом, мы показали, что обе константы неулучшаемы также в случае $\nu=0$. Предложение доказано. Также справедлива следующая теорема. Теорема 2. Если $q\in (0,\infty)$ и $\rho\in (0,1]$, то для любой абсолютно непрерывной функции $y\colon [0,1]\to \mathbb{R}$ такой, что $y(0)=0$ и $y'\in L_2([0,\rho])$, справедливо неравенство Доказательство. Для доказательства этой теоремы мы будем использовать функцию
$$
\begin{equation*}
\psi(t)=\sqrt{t}\, J_0\biggl(\lambda_0(q) \frac{t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr), \qquad t\in [0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
для которой справедливы получающиеся непосредственным вычислением равенства
$$
\begin{equation*}
\frac{\psi'(t)}{\psi(t)}=\frac{1}{2t}-\frac{q\lambda_0(q) t^{q/2-1}}{(2-t)^{q/2+1}}\, \frac{J_1(\lambda_\nu(q) t^{q/2}/(2-t)^{q/2})}{J_0(\lambda_\nu(q) t^{q/2}/(2-t)^{q/2})}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
-\frac{\psi''(t)}{\psi(t)}= \frac{1}{4t^2} +\frac{q^2(\lambda_0(q))^2}{t^{2-q}(2-t)^{2+q}} +\frac{q\lambda_0(q)}{t^{1-q/2}(2-t)^{2+q/2}}\frac{J_1(\lambda_0(q) t^{q/2}/(2-t)^{q/2})}{J_0(\lambda_0(q) t^{q/2}/(2-t)^{q/2})}.
\end{equation*}
\notag
$$
По аналогии с доказательством теоремы 1 получим
$$
\begin{equation*}
\int_0^\rho (y'(t))^2\, dt=\lim_{t\to \rho} \biggl( (y(t))^2 \frac{\psi'(t)}{\psi(t)} \biggr) -\lim_{t\to 0} \biggl((y(t))^2\frac{\psi'(t)}{\psi(t)}\biggr) -\int_0^\rho (y(t))^2\frac{\psi''(t)}{\psi(t)} \, dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где константу $\lambda_0(q)$ будем искать как корень уравнения
$$
\begin{equation*}
\frac{\psi'(\rho)}{\psi(\rho)}= \frac{1}{2\rho}-\frac{q\lambda_0(q) \rho^{q/2-1}}{(2-\rho)^{q/2+1}}\, \frac{J_1(\lambda_0(q) \rho^{q/2}/(2-\rho)^{q/2})}{J_0(\lambda_0(q) \rho^{q/2}/(2-\rho)^{q/2})} =0, \qquad \lambda_0(q)\in (0,j_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, применяя соответствующие рассуждения из доказательства теоремы 1, получаем
Учитывая утверждение леммы 1, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -\frac{\psi''(t)}{\psi(t)} &\geqslant\frac{1}{4t^2} +\frac{q^2(\lambda_0(q))^2}{t^{2-q}(2-t)^{2+q}} \\ &\ \, +q(\lambda_0(q))^2\frac{t^{-1+q}}{(2-t)^{2+q}}\min_{t\in[0,1]}\frac{J_1(\lambda_0(q) t^{q/2}/(2-t)^{q/2})}{(\lambda_0(q)t^{q/2}/(2-t)^{q/2}) J_0(\lambda_0(q)t^{q/2}/(2-t)^{q/2})} \\ &=\frac{1}{4t^2}+\frac{q^2(\lambda_0(q))^2}{t^{2-q}(2-t)^{2+q}} +\frac{q}{2}\, \frac{(\lambda_0(q))^2}{t^{1-q}(2-t)^{2+q}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. Теорема 3. Пусть $\nu\in(0,1]$, $\rho(t)=\min\{t,2b-t\}$ и $\mu(t)=2b-\rho(t)$. Тогда для любой функции $y\in C_{\mathrm{c}}^1(0,2b)$ справедливы неравенства Доказательство. Несложно заметить, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{(z(t))^2}=\frac{1}{t^2(2-t)^2}=\frac{1}{4}\biggl(\frac{1}{t^2} +\frac{2}{t(2-t)}+\frac{1}{(2-t)^2}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\frac{4}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}}= \frac{(2-t+t)^2}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}} =\frac{1}{(2-t)^{q}t^{2-q}}+\frac{2}{(2-t)^{1+q}t^{1-q}}+\frac{t^{q}}{(2-t)^{2+q}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, используя следствие 1 при $q=1$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^1 (y'(t))^2\, dt &\geqslant \frac{1-\nu^2}{4}\int_0^1 \frac{(y(t))^2}{t^2}\, dt +\frac{2-2\nu^2+(j'_{\nu})^2}{4}\int_0^1\frac{(y(t))^2}{(2-t)t}\, dt \\ &\qquad+ \frac{1-\nu^2+2(j'_{\nu})^2}{4}\int_0^1\frac{(y(t))^2}{(2-t)^2}\, dt+\frac{(j'_{\nu})^2}{4}\int_0^1\frac{(y(t))^2t}{(2-t)^3}\, dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и применяя теорему 2 при $q=1$ и $\rho=1$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^1 (y'(t))^2\, dt &\geqslant \frac{1}{4}\int_0^1 \frac{(y(t))^2}{t^2} \, dt+ \frac{(C_0(1))^2}{4}\int_0^1\frac{(y(t))^2}{(2-t)t}\, dt \\ &\qquad+ \frac{(C_0(1))^2}{2}\int_0^1\frac{(y(t))^2}{(2-t)^2}\, dt +\frac{(C_0(1))^2}{4}\int_0^1\frac{(y(t))^2}{(2-t)^{3}}(2+t)\, dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью замены переменной $t= \tau/b$ в первом и втором неравенствах легко показать, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^b (y'(\tau))^2\, d\tau &\geqslant \frac{1-\nu^2}{4}\int_0^b \frac{(y(\tau))^2}{\tau^2}\, d\tau+\frac{2-2\nu^2+(j'_{\nu})^2}{4}\int_0^b\frac{(y(\tau))^2}{(2b-\tau)\tau}\, d\tau \\ &\qquad+ \frac{1-\nu^2+2(j'_{\nu})^2}{4}\int_0^b\frac{(y(\tau))^2}{(2b-\tau)^2}\, d\tau+\frac{(j'_{\nu})^2}{4}\int_0^b\frac{(y(\tau))^2\tau}{(2b-\tau)^3}\, d\tau \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^b (y'(\tau))^2\, d\tau &\geqslant \frac{1}{4}\int_0^b \frac{ (y(\tau))^2}{\tau^2} \, d\tau+ \frac{(C_0(1))^2}{4}\int_0^b\frac{(y(\tau))^2}{(2b-\tau)\tau}\, d\tau \\ &\quad +\frac{(C_0(1))^2}{2}\int_0^b\frac{(y(\tau))^2}{(2b-\tau)^2}\, d\tau +\frac{(C_0(1))^2}{4}\int_0^b\frac{(y(\tau))^2}{(2b-\tau)^{3}}(2b+\tau)\, d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя два последних неравенства со следующими соответствующими неравенствами на интервале $[b,2b]$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_b^{2b} (y'(\tau))^2\, d\tau &\geqslant \frac{1-\nu^2}{4}\int_b^{2b} \frac{(y(\tau))^2}{(2b-\tau)^2}\, d\tau +\frac{2-2\nu^2+(j'_{\nu})^2}{4}\int_b^{2b}\frac{(y(\tau))^2}{(2b-\tau)\tau}\, d\tau \\ &\quad+ \frac{1-\nu^2+2(j'_{\nu})^2}{4}\int_0^b\frac{(y(\tau))^2}{\tau^2}\, d\tau+\frac{(j'_{\nu})^2}{4}\int_b^{2b}\frac{(y(\tau))^2(2b-\tau)}{\tau^3}\, dt \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_b^{2b} (y'(\tau))^2\, d\tau &\geqslant \frac{1}{4}\int_b^{2b} \frac{(y(\tau))^2}{(2b-\tau)^2} \, d\tau +\frac{(C_0(1))^2}{4}\int_b^{2b}\frac{(y(\tau))^2}{(2b-\tau)\tau}\, d\tau \\ &\quad+ \frac{(C_0(1))^2}{2}\int_b^{2b}\frac{(y(\tau))^2}{\tau^2}\, d\tau +\frac{(C_0(1))^2}{4}\int_{b}^{2b}\frac{(y(\tau))^2}{\tau^{3}}(4b-\tau)\, d\tau, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для функции $y\in C^1(b,2b)$ такой, что $y(2b)=0$, имеем утверждение теоремы. Теорема доказана. 2.3. Неравенства необходимые для получения достаточных условий однолистностиДалее рассмотрим неравенства для весовой функции, отличной от рассмотренных в п. 2.2. Следующие результаты мы будем использовать при доказательстве достаточных условий однолистности. Справедливо утверждение ниже. Лемма 2. Если $q\in [1,2]$ и $\rho\in (0,1]$, то для любой абсолютно непрерывной функции $y$ такой, что $y(0)=0$, справедливо неравенство где постоянная Доказательство. Пользуясь неравенством $|y(x)|\leqslant \int_0^x|y'(t)|\, dt$ и изменяя порядок интегрирования в повторных интегралах, имеем
$$
\begin{equation*}
\int_0^\rho \frac{|y(x)|}{x^{2-q}(2-x)^{2-q}}\, dx\leqslant \int_0^\rho |y'(t)|\int_t^\rho\frac{dx}{x^{2-q}(2-x)^{2-q}}\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим последнюю оценку к функции $y(x)=|g(x)|^2$. Получим
$$
\begin{equation*}
\int_0^\rho \frac{|g(x)|^2}{x^{2-q}(2-x)^{2-q}}\, dx\leqslant 2\int_0^\rho |g(x)|\, |g'(x)|\int_x^\rho\frac{dt}{t^{2-q}(2-t)^{2-q}}\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, используя известное неравенство Опиала (см. [28], [29])
$$
\begin{equation*}
\int_a^b s(x)|y(x)|\, |y'(x)|\, dx \leqslant \kappa\int_a^b |y'(x)|^2\, dx,
\end{equation*}
\notag
$$
справедливое для любой абсолютно непрерывной функции $y$ такой, что $y(0)\,{=}\,0$, и неотрицательной измеримой на $(0,\rho)$ весовой функции $s$, для которой величина
$$
\begin{equation*}
\kappa=\frac{1}{\sqrt{2}}\, \biggl(\int_a^b (s(t))^2(t-a)\, dt\biggr)^{1/2}<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
имеем Выше мы положили, что Лемма доказана. Также имеет место следующая теорема. Теорема 4. Если $q\in [1,2]$ и $\rho\in (0,1)$, то для любой абсолютно непрерывной функции $y$ такой, что $y(-\rho)=y(\rho)=0$ и $y\not\equiv 0$, справедливо неравенство где постоянная а $B_t(x,y)=\int_0^t\tau^{x-1}(1-\tau)^{y-1}\, d\tau$ – неполная бета-функция. Доказательство. Учитывая монотонное возрастание функции $\kappa'(q,\rho)$ по переменной $\rho$, заменами переменных можно показать, что
$$
\begin{equation*}
\kappa'(q,\rho)\leqslant \kappa'(q)=\frac{1}{2}\biggl(\int_0^1 \biggl(\int_0^t \tau^{-1/2}(1-\tau)^{q-2}\, d\tau\biggr)^2 \frac{1-\sqrt{t}}{\sqrt{t}}\, dt \biggr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \kappa'(q,\rho) &=\biggl(2\int_0^\rho \biggl(\int_t^\rho\frac{dx}{x^{2-q}(2-x)^{2-q}}\biggr)^2t \, dt\biggr)^{1/2} \\ &\leqslant\biggl(2\int_0^1 \biggl(\int_t^1\frac{dx}{x^{2-q}(2-x)^{2-q}}\biggr)^2t \, dt\biggr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Во внутреннем интеграле сделаем замены переменных $x= 1-\tau$, а затем $\tau=\sqrt{y}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \kappa'(q,\rho) &\leqslant \biggl(2\int_0^1\biggl(\int_0^{1-t}\frac{d\tau}{(1-\tau^2)^{2-q}}\biggr)^2t \, dt\biggr)^{1/2} \\ &= \biggl(\frac{1}{2}\int_0^1\biggl(\int_0^{(1-t)^2}\frac{dy}{\sqrt{y}\, (1-y)^{2-q}}\biggr)^2t \, dt\biggr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заменой переменной $z=(1-t)^2$ во внешнем интеграле получим
$$
\begin{equation*}
\kappa'(q,\rho) \leqslant \frac{1}{2}\biggl(\int_0^1\biggl(\int_0^{z}\frac{dy}{\sqrt{y}\, (1-y)^{2-q}}\biggr)^2\frac{1-\sqrt{z}}{\sqrt{z}} \, dz\biggr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим доказанное в лемме 2 неравенство для функций $g(x)=f(x-\rho)$ и $g(x)= f(\rho-x)$. Соответственно получим Очевидно, что если $\rho\in (0,1)$ и $x\in [-\rho, 0]$, то и что если $\rho\in (0,1)$ и $x\in [0,\rho]$, то Следовательно, Суммируя два последних неравенства, получим утверждение теоремы. Теорема доказана. Теперь сравним $\kappa'(q)$ с постоянными в уже известных неравенствах. Например, Ф. Г. Авхадиев показал, что в неравенстве теоремы 4 вместо $\kappa'(q)$ можно поставить величину Преимущество константы $C(q)$ в том, что случаи $C(1)$ и $C(2)$ неулучшаемы (см. [18], [21]). Несмотря на это, существуют два значения $\widehat{q}_0$ и $\widehat{q}_1$ такие, что $\kappa'(q)\leqslant C(q)$ для любого $q\in [\widehat{q}_0,\widehat{q}_1]$. Действительно, при $q=3/2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\kappa'\biggl(\frac32\biggr)= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3\pi^2}{2}-14}\approx 0.448444< C\biggl(\frac32\biggr)=\frac{\sqrt{2}}{\pi}\approx 0.450158,
\end{equation*}
\notag
$$
а также
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \kappa'(1.3)\approx 0.469203<C(1.3)\approx 0.469469, \\ \kappa'(1.4) \approx 0.458389<C(1.4)\approx 0.459712, \\ \kappa'(1.6) \approx 0.439246<C(1.6)\approx 0.440803, \\ \kappa'(1.7) \approx 0.430701<C(1.7)\approx 0.431641. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 1. В силу непрерывности $\kappa'(q)$ по переменной $q$ существуют некоторые окрестности $[\widehat{q}_0,\widehat{q}_1]$ этих точек такие, что Более того, численные вычисления показывают, что $\kappa'(q)<C(q)$ для любого $q\in[1.2823044502226741, 1.7950834115169314]$. В концевых точках этого отрезка значение $\kappa'(q)-C(q)$ близко к нулю. На первый взгляд может показаться, что усиление константы $C(q)$ незначительное. Из сравнения нашего неравенства и одномерного варианта неравенства Авхадиева и Вирса (1.4) при $\nu=1/q$ (см. подробнее [15]), константа $k'(q)$ при любом $q\in [0,2]$ не может быть меньше чем Например, $\lambda(3/2)\approx 0.360891$. Добавим, что оценка $\lambda(q)\leqslant \kappa'(q)$ – достаточно грубая.§ 3. Многомерные неравенстваВ этом параграфе мы получим многомерные неравенства типа Харди в произвольных областях, в областях регулярных в смысле Дэвиса, в областях, удовлетворяющих условию конуса, в областях, $\lambda$-близких к выпуклым, и выпуклых областях. Прежде введем основные обозначения, используемые в данном параграфе. Пусть $\Omega$ – открытое связное собственное подмножество евклидова пространства $\mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$, $|\mathbb{S}^{n-1}|$ – площадь поверхности $(n-1)$-мерной единичной сферы $\mathbb{S}^{n-1}$ в $\mathbb{R}^n$, $d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)$ – элемент площади поверхности единичной сферы и $d\omega(\nu)= d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)/|\mathbb{S}^{n-1}|$ – нормированная мера на единичной сфере. Для любой точки $x\in\Omega$, $\nu \in \mathbb{S}^{n-1}$ полагаем – расстояние между точкой $x$ и ближайшей точкой, принадлежащей границе $\partial\Omega$, по направлению вектора $\nu$, – расстояние от точки $x$ до границы области $\Omega$,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \rho_\nu(x):= \min\{\tau_\nu(x),\tau_{-\nu}(x)\}, \qquad \mu_\nu(x):= \max\{\tau_\nu(x),\tau_{-\nu}(x)\}, \\ D_\nu(x):= \tau_\nu(x)+\tau_{-\nu}(x), \qquad D(\Omega)=\sup_{x\in \Omega,\, \nu\in \mathbb{S}^{n-1}} D_\nu(x), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и расстояние в среднем
$$
\begin{equation*}
\delta^{-2}_M=n\int_{\mathbb{S}^{n-1}}(\rho_\nu(x))^{-2}\, d\omega(\nu)= \frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}(\rho_\nu(x))^{-2}d\mathbb{S}^{n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Расстояние в среднем также иногда называют расстоянием по Дэвису. Через $|\Omega|$ обозначим объем области $\Omega$ и через $\Omega_x$ – элементы множества $\Omega$, которые “видны” из точки $x$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\Omega_x=\{y\in \Omega\colon x+t(y-x)\in\Omega \ \forall\, t\in [0,1]\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что постоянная
$$
\begin{equation*}
K(n)=n\biggl[\frac{|\mathbb{S}^{n-1}|}{n}\biggr]^{2/n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что мы применяем обозначения и подход к доказательству теорем из статьи [9] (см. также [1], [10], [20], [30]). 3.1. Неравенства в произвольных областях в терминах расстояния в среднем Теорема 5. Пусть $\Omega$ – произвольная область евклидова пространства $\mathbb{R}^n$ и $\nu \in (0,1]$. Тогда для любой функции $g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ справедливы неравенства Доказательство. Так как оба неравенства имеют одинаковый вид и отличаются только константы, то дальнейшие рассуждения мы будем проводить без уточнения констант.
Через $\partial_\nu$ обозначим частную производную по направлению $\nu$. Используя одномерные неравенства из теоремы 3, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_\Omega |\partial_\nu g (x)|^2\, dx &\geqslant C_1\int_\Omega\frac{|g(x)|^2}{(\rho_\nu(x))^2}\, dx+ C_2\int_\Omega\frac{|g(x)|^2}{\rho_\nu(x)\mu_\nu(x)}\, dx \\ &\qquad +C_3\int_\Omega\frac{|g(x)|^2}{(\mu_\nu(x))^2}\, dx+C_4\int_\Omega\frac{|g(x)|^2\rho_\nu(x)}{(\mu_\nu(x))^3}\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если проинтегрируем это неравенство по нормированной мере $d\omega(\nu)$ и воспользуемся определением производной по направлению
$$
\begin{equation*}
|\partial_\nu g|=|\nu\cdot\nabla g|=|\nabla g|\, |{\cos(\nu,\nabla g)}|,
\end{equation*}
\notag
$$
то получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \int_{\mathbb{S}^{n-1}}|{\cos(\nu,\nabla g)}|^2\, d\omega(\nu)\, dx \\ &\geqslant C_1\int_\Omega |g(x)|^2\int_{\mathbb{S}^{n-1}} \frac{1}{(\rho_\nu(x))^2}\, d\omega(\nu)\, dx+ C_2\int_\Omega |g(x)|^2\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{1}{\rho_\nu(x)\mu_\nu(x)}\, d\omega(\nu)\, dx \\ &\ \ +C_3\int_\Omega |g(x)|^2\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{1}{(\mu_\nu(x))^2}\, d\omega(\nu)\, dx+ C_4\int_\Omega |g(x)|^2\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{\rho_\nu(x)}{(D_\nu(x))^3}\, d\omega(\nu) \, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
А. А. Балинский, В. Д. Эванс, Р. Т. Льюис в монографии [1; п. 3.6] доказали, что имеют место оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{1}{\rho_\nu(x)\mu_\nu(x)}\, d\omega(\nu) &\geqslant \biggl[\frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|}|\Omega_x|\biggr]^{-2/n}, \\ \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{1}{(\mu_\nu(x))^2}\, d\omega(\nu) &\geqslant \frac{1}{2}\biggl[\frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|}|\Omega_x|\biggr]^{-2/n}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а в статье [20] Дж. Тидбломом показано, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{S}^{n-1}}|{\cos(\nu,\nabla g)}|^2\, d\omega(\nu)=\frac{1}{n}, \qquad \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\biggl(\frac{2}{D_\nu(x)}\biggr)^3\, d\omega(\nu) \geqslant \biggl[\frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|}|\Omega_x|\biggr]^{-3/n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx &\geqslant C_1\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{(\delta_M(x))^2}\, dx+\biggl(C_2+\frac{C_3}{2}\biggr)K(n)\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{ |\Omega_x|^{2/n}}\, dx \\ &\qquad+ \frac{C_4 K(n)n}{8|\mathbb{S}^{n-1}|}\int_\Omega |g(x)|^2\frac{\delta(x)}{|\Omega_x|^{3/n}} \, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. Используя доказательство теоремы 5 и очевидные неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{1}{\rho_\nu(x)\mu_\nu(x)}\, d\omega(\nu)\geqslant \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{4}{(\rho_\nu(x)+\mu_\nu(x))^2}\, d\omega(\nu)\geqslant \frac{4}{(D(\Omega))^2}, \\ \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{1}{(\mu_\nu(x))^2}\, d\omega(\nu)\geqslant \frac{1}{(D(\Omega))^2}, \qquad \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{1}{(\mu_\nu(x))^3}\, d\omega(\nu)\geqslant \frac{1}{(D(\Omega))^3}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx &\geqslant C_1\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{(\delta_M(x))^2}\, dx+\frac{n(4C_2+C_3)}{(D(\Omega))^2}\int_\Omega |g(x)|^2\, dx \\ &\qquad+ \frac{nC_4}{(D(\Omega))^3}\int_\Omega |g(x)|^2\delta(x) \, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, справедливо следующее утверждение. Теорема 6. Пусть $\Omega$ – произвольная ограниченная область евклидова пространства $\mathbb{R}^n$ и $\nu \in (0,1]$. Тогда для любой функции $g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ справедливы неравенства где $j'_{\nu-1}$ – первый положительный корень производной $J'_{\nu-1}$ функции Бесселя и $C_0(1)\approx 1.25578$. 3.2. Случай регулярных областей по ДэвисуСледуя Е. Б. Дэвису [31] (см. также [32], [33]), будем говорить, что область $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ регулярная, если существует конечная константа $c$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\delta(x) \leqslant m(x) \leqslant c\delta(x) \quad\, \forall{x\in\Omega},
\end{equation*}
\notag
$$
где $m(x)$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
(m(x))^{-2} =\frac{1}{|\mathbb{S}^{n-1}|}\int_{\mathbb{S}^{n-1}} \frac{d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)}{(\tau_\nu(x))^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
В статье [32] ослаблены и обобщены на случай многомерных областей достаточные условия регулярности Дэвиса. Используя определение функций $\rho_\nu$ и $\tau_\nu$, получим следующую цепочку равенств (см. подробнее [32]):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\delta_M(x))^{-2} &= \frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)}{(\rho_\nu(x))^2} =\frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)} {(\min\{\tau_\nu(x),\tau_{-\nu}(x)\})^2} \\ &=\frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|}\biggl(\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)} {(\tau_\nu(x))^2}+\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)}{(\tau_{-\nu}(x))^2}\biggr) \\ &=\frac{2n}{|\mathbb{S}^{n-1}|}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)} {(\tau_\nu(x))^2}=\frac{2n}{(m(x))^2}\geqslant \frac{2n}{c^2(\delta(x))^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из теоремы 5 получим следующую теорему. Теорема 7. Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ является регулярной областью и $\nu \in (0,1]$. Тогда для любой функции $g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ справедливы неравенства где $j'_{\nu-1}$ – первый положительный корень производной $J'_{\nu-1}$ функции Бесселя и $C_0(1)\approx 1.25578$. 3.3. Области, удовлетворяющие условию конусаМы будем говорить, что область $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ удовлетворяет условию внешнего $\theta$-конуса, если каждая точка $x\in\partial\Omega$ является вершиной кругового конуса $C_x$ с углом $2\theta$, лежащего полностью в $\mathbb{R}^n\setminus{\Omega}$. Имеет место следующее утверждение. Теорема 8. Пусть $\nu \in (0,1]$ и $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ удовлетворяет условию внешнего $\theta$-конуса. Тогда для любой функции $g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ справедливы неравенства Доказательство. Если $\Omega$ удовлетворяет условию $\theta$-конуса, то известно, что (cм. подробнее [1; п. 3.3]) Также имеет место оценка $|\Omega_x|\leqslant |\Omega|$ для любого $x\in\Omega$.
Применяя теорему 5 и вышеприведенную оценку для расстояния в среднем, получим требуемое утверждение. Теорема доказана. 3.4. Области, $\lambda$-близкие к выпуклымСледуя статье [34], будем говорить, что область $\Omega$ является $\lambda$-близкой к выпуклой, если $\Omega\neq\mathbb{R}^n$ и для любой граничной точки $y\in (\partial\Omega)\setminus\{\infty\}$ существует такая точка $a_y\in\mathbb{R}^n\setminus\overline{\Omega}$, что $|y-a_y|=\lambda$ и
$$
\begin{equation*}
B_y=\{x\in \mathbb{R}^n\colon |x-a_y|< \lambda\}\subset \mathbb{R}^n\setminus\overline{\Omega},
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. точку $y$ можно коснуться шаром, лежащим вне области $\Omega$. Справедливо следующее утверждение. Лемма 3. Если $\Omega$ является $\lambda$-близкой к выпуклой, то в каждой точке $x\,{\in}\,\Omega$ справедливы неравенства где $\delta_0(\Omega)=\sup_{x\in\Omega}\delta(x)$ – внутренний радиус области и Доказательство. Пусть $x\in\Omega$ и $ y\in\partial\Omega$ такие, что $\delta(x)=|x-y|$. Тогда существует шар (рис. 1) $B_y$ радиуса $\lambda$ с центром в точке $a_y$, который касается области $\Omega$ в точке $y$ и $B_y=\{x\in \mathbb{R}^n\colon |x-a_y|< \lambda\}\subset \mathbb{R}^n\setminus\overline{\Omega}$.
Рассмотрим телесный угол $\Lambda_x=\Lambda_x(\varphi_1,\dots, \varphi_{n-1})$, образованный шаром радиуса $\lambda$ с центром на расстоянии $\delta(x)+\lambda$ от точки $x$, где $\varphi_1\in [0,2\pi)$, $\varphi_2, \dots, \varphi_{n-2}\in[0,\pi]$ и $\varphi_{n-1}=[0,\arcsin (\lambda/(\lambda+\delta(x)))]$. Через $\mathbf{e}$ обозначим единичный вектор такой, что $\rho_\mathbf{e}(x)=\delta(x)$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{(\delta_M(x))^2} &=\frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|} \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)}{(\rho_\nu(x))^2}\geqslant \frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|}\int_{\Lambda_x}\frac{d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)}{(\rho_\nu(x))^2} \\ &\geqslant \frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|(\delta(x))^2} \int_{\Lambda_x}(\cos(\mathbf{e},\nu))^2\, d\mathbb{S}^{n-1}(\nu) \\ &=\frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|(\delta(x))^2}\int_0^{2\pi}d\varphi_{1}\int_0^{\pi}d\varphi_{2} \dotsb\int_0^{\pi}d\varphi_{n-2}\int_0^{\alpha} (\sin\varphi_{n-1})^{n-2} \\ &\qquad\times(\sin\varphi_{n-2})^{n-3}\dotsb \sin\varphi_{2} (\cos\varphi_{n-1})^2\, d\varphi_{n-1} \\ &=\frac{1}{(\delta(x))^2}\biggl(\int_0^{\alpha}(\sin\theta)^{n-2}(\cos\theta)^2 \, d\theta\biggr)\biggl(\int_0^{\pi}(\sin\theta)^{n-2}(\cos\theta)^2\, d\theta\biggr)^{-1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha=\arcsin(\lambda/(\lambda+\delta(x))$. Выше мы воспользовались тем, что справедливо равенство (см. [20])
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{|\mathbb{S}^{n-1}|}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}(\cos(\mathbf{e},\nu))^2\, d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)=\frac{1}{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Справедливы утверждения, которые соответственно следуют из теоремы 5 и теоремы 6. Теорема 9. Пусть $\nu \in (0,1]$ и $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ является $\lambda$-близкой к выпуклой. Тогда для любой функции $g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ справедливы неравенства Теорема 10. Пусть $\nu \in (0,1]$ и $\Omega$ является $\lambda$-близкой к выпуклой. Тогда для любой функции $f\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ справедливы неравенства Доказательство. Как мы упоминали выше во введении первое собственное число $\lambda_1(\Omega)$ для лапласиана при граничных условиях Дирихле является точной константой в следующем неравенстве Пуанкаре:
$$
\begin{equation*}
\lambda_1(\Omega)\int_\Omega|g(x)|^2\, dx\leqslant \int_\Omega |\nabla g(x)|^2\, dx \quad \forall\, g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя неравенство (3.1) и приближенное равенство $7(C_0(1))^2/4 \approx 2.75972$, получим утверждение следствия. Следствие доказано. 3.5. Случай выпуклых областейВ случае выпуклых областей формулы упрощаются. Известно, что если $\Omega$ – выпуклая область, то
$$
\begin{equation*}
|\Omega_x|=|\Omega| \quad\text{и}\quad \delta_M(x)\geqslant \delta(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Как следствие теоремы 5 получим следующее утверждение. Теорема 11. Пусть $\nu \in (0,1]$ и $\Omega$ – открытое выпуклое подмножество $\mathbb{R}^n$ с конечным объемом. Тогда для любой функции $g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ справедливы неравенства Эта теорема при $\nu=1$ влечет следующее утверждение. Следствие 3. В выпуклых областях $\Omega$ с фиксированным объемом где $j'_1\approx 1.84118$ – первый положительный корень производной $J_1'$ функции Бесселя $J_1$. Замечание 2. Из каждого многомерного неравенства следует соответствующая оценка первого собственного числа $\lambda_1(\Omega)$. § 4. Достаточные условия однолистности типа Нехари–ПокорногоВ этом параграфе мы получим достаточные условия однолистности типа Нехари–Покорного. Рассмотрим достаточные условия для аналитических функций в круге, во внешности единичного круга и в правой полуплоскости. В данном параграфе будем полагать, что
$$
\begin{equation*}
\kappa'(q)=\frac{1}{2}\biggl(\int_0^1 \biggl(B_{t}\biggl(\frac12,q-1\biggr)\biggr)^2 \frac{1-\sqrt{t}}{\sqrt{t}}\, dt \biggr)^{1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $B_t(x,y)=\int_0^t\tau^{x-1}(1-\tau)^{y-1}\, d\tau$ – неполная бета-функция, а через $\widehat{q}_0$ и $\widehat{q}_1$ обозначим постоянные такие, что $\kappa'(q)\leqslant 2^{3q-4}\pi^{2(1-q)}$ для любого $q\in[\widehat{q}_0, \widehat{q}_1] $. 4.1. Случай единичного кругаПусть $f(z)$ – мероморфная в единичном круге $\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}\colon |z|<1\}$ функция, а $S_f(z)=f'''/f'-(3/2)(f''/f')^2$ – производная Шварца или шварциан функции $f$. Ф. Г. Авхадиев показал (см. [22], [23]), что имеет место следующая теорема. Теорема A. Мероморфная в $\mathbb{D}$ функция $f(z)$ будет однолистной в $\mathbb{D}$, если при некотором наборе вещественных неотрицательных параметров $n$, $a_k$ и $q_k$, $k=1,\dots,n$, выполняется неравенство причем $a_1+a_2+ \dots +a_n\leqslant 1$, $0\leqslant q_1\leqslant q_2\leqslant \dots \leqslant q_n\leqslant 2$, постоянные Покорного имеют вид При $n=0$ и $q=0$ или $q=2$ это утверждение доказал З. Нехари в статье [21], случай $n=1$ установил В. В. Покорный в [35]. Позднее С. Ямашито [26] показал, что если $n=1$ и $q\in [0,1]$, то $A(q)=2(1+q)$, т. е. достаточное условие было ослаблено. Автором в работе [36] усилен результат С. Ямашито, а также утверждение теоремы A при $q\in [0,1]$. В данном параграфе мы получим новые результаты при $q\in[\widehat{q}_0,\widehat{q}_1]$, так как в этом случае Напомним, что $\widehat{q}_0$ и $\widehat{q}_1$ мы определили в замечании 1 как постоянные такие, что $\kappa'(q)\leqslant 2^{3q-4}\pi^{2(1-q)}$ для любого $q\in[\widehat{q}_0, \widehat{q}_1]$.В основе доказательства теоремы A лежит связь однолистности функции $f(z)$ в области $\mathbb{D}$ и неколеблемости решений дифференциального уравнения (см. подробнее [21]–[23]) Рассмотрим случай $n=1$. Случай произвольного $n$ обосновывается аналогично. Если предположить, что $f(z_1)=f(z_2)$, $z_1\neq z_2$, и где $S(z) =A(q)/(1-|z|^2)^{2-q}$, то существует решение $w_0$ этого дифференциального уравнения такое, что $w_0(-\rho)=w_0(\rho)=0$ и выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{A(q)}{2}\int_{-\rho}^{\rho}\frac{|w_0(t)|^2}{(1-t^2)^{2-q}}\, dt\geqslant \int_{-\rho}^{\rho}|w'_0(t)|^2\, dt,
\end{equation*}
\notag
$$
при любом $\rho\in(0,1)$, которое противоречит неравенству типа Харди
$$
\begin{equation}
\frac{A(q)}{2}\int_{-\rho}^\rho\frac{(y(t))^2}{(1-t^2)^{2-q}}\, dt<\int_{-\rho}^\rho (y'(t))^2\, dt,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
справедливому для любой абсолютно непрерывной на $(0,1)$ функции $y(t)\,{\not\equiv}\, 0$ такой, что $y(-\rho)=y(\rho)=0$, $\rho\in(0,1)$, и $y'\in L^2(-\rho,\rho)$ (подробнее см. статьи [22] и [23]). В п. 2.3 мы получили неравенство, применяя которое по приведенному выше алгоритму, получим следующую теорему. Теорема 12. Мероморфная в $\mathbb{D}$ функция $f(z)$ будет однолистной в $\mathbb{D}$, если $f'(z)\neq 0$ в $\mathbb{D}$ и при некотором наборе вещественных неотрицательных параметров $n$, $a_k$ и $q_k$, $k=1,\dots,n$, выполняется неравенство Доказательство. Будем следовать доказательству соответствующих утверждений из статей [21], [24]. Далее нам понадобится следующее утверждение.
Лемма 4 (см. [24]). Пусть функция $f(z)$ мероморфна в области $D$, функции $P(z)$, $Q(z)$ и шварциан $S_f(z)$, регулярные в $D$, связаны соотношением Если $f(z)$ неоднолистна в $D$, т. е. $f(z_1)=f(z_2)$ для $z_1\neq z_2$ $(z_1, z_2\in D)$, то найдется нетривиальное решение $w_0(z)$ уравнения обращающееся в нуль в тех же точках $z_1$ и $z_2$. Также мы воспользуемся следующим неравенством, которое получается объединением (4.2) и неравенства теоремы 4:
$$
\begin{equation*}
\frac{R(q)}{2}\int_{-\rho}^\rho \frac{(y(t))^2}{(1-t^2)^{2-q}}\, dt<\int_{-\rho}^\rho (y'(t))^2\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Умножая обе стороны этого неравенства на положительные числа $a_k$, $k=1,\dots,n$, такие, что $a_1+\dots+a_n\leqslant 1$, получим
$$
\begin{equation*}
\frac{a_k R(q)}{2}\int_{-\rho}^\rho \frac{(y(t))^2}{(1-t^2)^{2-q}}\, dt< a_k\int_{-\rho}^\rho (y'(t))^2\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь просуммируем эти неравенства с учетом того, что $a_1+\dots+a_n\leqslant 1$. Имеем
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k R(q)}{2}\int_{-\rho}^\rho \frac{(y(t))^2}{(1-t^2)^{2-q}}\, dt< \int_{-\rho}^\rho (y'(t))^2\, dt
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
для любой абсолютно непрерывной функции $y$ такой, что $y(-\rho)=y(\rho)=0$. Воспользуемся приведенными выше рассуждениями для мажоранты
$$
\begin{equation*}
S(z)= \sum_{k=1}^{n}\frac{a_k R(q)}{2} (1-|z|^2)^{q-2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если предположить, что $f$ неоднолистна в $|z|<1$, то в силу локальной однолистности найдется круг $|z|<\rho$ максимального радиуса $\rho\in(0,1)$ такой, что $f$ однолистна в этом круге, но неоднолистна в любом другом круге $|z|< \rho'$, где $\rho'\in(\rho,1)$. Фиксируем $\rho'\in(\rho,1)$. Тогда найдутся две различные точки $z_1$ и $z_2$, $|z_1|=|z_2|=\rho'$ такие, что $f(z_1)=f(z_2)$. Если таких точек нет, то это означало бы, что образом окружности $|z|=\rho'$ будет простая кривая и поэтому функция $f$ была бы однолистной в $|z|<\rho'$ по принципу аргумента (см., например, [25]). Что противоречит выбору максимального $\rho$. Без ограничения общности можно считать, что точки $0$, $z_1$ и $z_2$ лежат на одной прямой или даже на вещественном диаметре окружности. Такого расположения точек можно добиться с помощью соответствующего дробно-линейного преобразования (см., например, [23; § 6]). По лемме 4 при $P(z)=0$ и $Q(z)= S_f(z)/2$ существует функция $w_0$ такая, что $w_0(x)\not\equiv 0$, $w_0(z_1)=w_0(z_2)=0$ и Умножим обе части последнего равенства на $\overline{w_0}(z)\, dz$ и проинтегрируем по отрезку, соединяющему точки $z_1$ и $z_2$. Получим
$$
\begin{equation}
\int_{z_1}^{z_2} \overline{w_0}(z)\, dw'_0(z)+\int_{z_1}^{z_2} \frac{1}{2}|w_0(z)|^2 S_f(z)\, dz=0.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Так как $|z_1|=|z_2|=\rho<1$, то $z_1=e^{i\alpha}(x_0+iy_0)$ и $z_2= e^{i\alpha}(x_0-iy_0)$, где $\alpha$, $x_0$, $y_0$ – вещественные числа, причем $x_0^2+y_0^2=\rho^2<1$. Параметрическое уравнение отрезка интегрирования в (4.4) можно записать в виде где $t\in[-\rho,\rho]$, $\rho=|y_0|/\sqrt{1-x_0^2}$. Поэтому, используя равенство (4.4) и оценку $|S_f(z)|\leqslant S(z)$, после небольших преобразований для функции $w_0$, удовлетворяющей условиям $w_0(-\rho)=w_0(\rho)=0$, будем иметь неравенство
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k R(q)}{2}\int_{-\rho}^\rho \frac{|w_0(t)|^2}{(1-t^2)^{2-q}}\, dt\geqslant \int_{-\rho}^\rho |w'_0(t)|^2\, dt,
\end{equation*}
\notag
$$
которое противоречит (4.3) (см. также [21]–[24]). Таким образом, получим утверждение теоремы. Теорема доказана. 4.2. Достаточные условия в односвязных областях отличных от кругаНа основании предыдущих теорем можно получить достаточные условия однолистности также для односвязных областей отличных от круга. Пусть $F(\zeta)$ мероморфная односвязная в области $\mathfrak{D}$ и $\varphi(\zeta)$ – функция, однолистно отображающая область $\mathfrak{D}$ на единичный круг $\mathbb{D}$. Тогда функции $F$ и $f(z)=F^{-1}(\varphi(\zeta))$ будут однолистными и неоднолистными одновременно. Известно следующее равенство:
$$
\begin{equation*}
S_f(z)=(\varphi'(\zeta))^{-2}(S_F(\zeta)-S_\varphi(\zeta)), \qquad\zeta\in \mathfrak{D},
\end{equation*}
\notag
$$
которое принимает более простой вид в случае, когда $\varphi$ является дробно-линейным отображением, т. е. $S_\varphi(\zeta)\equiv 0$. Следовательно, достаточное условие теоремы 12 перепишется в виде
$$
\begin{equation*}
|S_F(\zeta)-S_\varphi(\zeta)|\leqslant \sum_{k=1}^n a_k R(q_k) \frac{|\varphi'(\zeta)|^2}{(1-|\varphi(\zeta)|^2)^{2-q_k}} \quad \forall\, \zeta\in \mathfrak{D}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если, например, $\varphi(\zeta) =1/\zeta$ и $\varphi(\zeta)= (\zeta-1)/(\zeta+1)$, то соответственно получим следующее утверждение. Теорема 13. Мероморфная во внешности единичного круга $\mathbb{D}^{-}=\{\zeta\in\mathbb{C}$: $|\zeta|> 1\}$ функция $F(\zeta)$ будет однолистной в $\mathbb{D}^{-}$, если $F'(\zeta)\neq 0$ в $\mathbb{D}^-$ и при некотором наборе вещественных неотрицательных параметров $n$, $a_k$ и $q_k$, $k=1,\dots,n$, выполняется неравенство Теорема 14. Мероморфная в правой полуплоскости $H_{+}=\{\zeta\in \mathbb{C}\colon \operatorname{Re}\zeta=\xi>0\}$ функция $F(\zeta)$ будет однолистной в $H_{+}$, если $F'(\zeta)\neq 0$ в $H_+$ и при некотором наборе вещественных неотрицательных параметров $n$, $a_k$ и $q_k$, $k=1,\dots,n$, выполняется неравенство Замечание 3. Хотим подчеркнуть, что новым результатом является только случай $q\in[\widehat{q}_0,\widehat{q}_1]$. Автор выражает благодарность профессору Фариту Габидиновичу Авхадиеву за ценные советы по улучшению этой статьи. Также автор выражает благодарность рецензенту за ряд ценных замечаний, в силу которых статья стала намного лучше и яснее. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Nas23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|