Известия Российской академии наук. Серия математическая
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Изв. РАН. Сер. матем.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Известия Российской академии наук. Серия математическая, 2023, том 87, выпуск 2, страницы 168–195
DOI: https://doi.org/10.4213/im9291
(Mi im9291)
 

Неравенства типа Харди для одной весовой функции и их применения

Р. Г. Насибуллин

Институт математики и механики им. Н. И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета
Список литературы:
Аннотация: Доказаны новые одномерные неравенства типа Харди для весовой функции вида $x^\alpha(2-x)^\beta$ при положительных и отрицательных значениях параметров $\alpha$ и $\beta$. В некоторых случаях константы в полученных одномерных неравенствах являются точными. Одномерные неравенства с дополнительными слагаемыми используются при обосновании многомерных неравенств с весовыми функциями, зависящими от степеней расстояния в среднем или функции расстояния до границы области. Пространственные неравенства доказываются в произвольных областях, в областях регулярных в смысле Дэвиса, в областях, удовлетворяющих условию конуса, в областях, $\lambda$-близких к выпуклым, и выпуклых областях. Константа перед дополнительным слагаемым в пространственном неравенстве зависит от объема или диаметра области. Как следствие этих многомерных неравенств в различных классах областей установлены оценки для первого собственного значения лапласиана при граничных условиях Дирихле. Одномерные неравенства также применяются при получении новых классов однолистных мероморфных в односвязных областях функций. Ослаблены известные достаточные условия однолистности типа Нехари–Покорного.
Библиография: 36 наименований.
Ключевые слова: неравенство Харди, внутренний радиус, объем области, диаметр области, однолистная функция.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 18-11-00115
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 18-11-00115).
Поступило в редакцию: 20.11.2021
Исправленный вариант: 13.06.2022
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 2, Pages 362–388
DOI: https://doi.org/10.4213/im9291e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.5+517.546.1
MSC: 30C55

§ 1. Введение

Пусть $\Omega$ – открытое связное собственное подмножество евклидова пространства $\mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$, и пусть через $C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ обозначено известное семейство непрерывно дифференцируемых функций $g\colon \Omega\to\mathbb{R}$ с компактными носителями в $\Omega$.

В области $\Omega$ естественным образом можно определить функцию расстояния $\delta$ от точки $x$ этой области до ее границы $\partial\Omega$:

$$ \begin{equation*} \delta(x)=\operatorname{dist}(x, \partial\Omega)=\inf_{y\in \partial\Omega}|x-y|. \end{equation*} \notag $$
Более подробную информацию о свойствах и применениях функции расстояния открытого подмножества в евклидовом пространстве можно найти в недавних работах [1], [2]. Из приложений функции расстояния отметим их применение в теории вариационных неравенств типа Харди.

Известно, что в случае, когда $\Omega$ является выпуклой областью, для любой функции $g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ справедливо неравенство Харди

$$ \begin{equation} \frac{1}{4}\int_\Omega\frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^2}\, dx\leqslant \int_\Omega |\nabla g(x)|^2\, dx \end{equation} \tag{1.1} $$
с точной, но недостижимой константой $1/4$ (см., например, [3]–[7]). Недостижимость равенства в уже ставшем классическим неравенстве (1.1) является одной из его особенностей.

Вторая особенность этого неравенства, также тесно связанная с точной константой, – это возможность усиления неравенства за счет добавления дополнительного слагаемого. Приведем результат Х. Брезиса и М. Маркуса из [3]: если $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ – ограниченная область с конечным диаметром $D (\Omega)$, то для любой функции $g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ справедливо неравенство

$$ \begin{equation} \frac{1}{4}\int_\Omega\frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^2}\, dx+\frac{1}{4 (D(\Omega))^2}\int_\Omega|g(x)|^2\, dx\leqslant \int_\Omega |\nabla g(x)|^2\, dx. \end{equation} \tag{1.2} $$

Задача добавления дополнительного слагаемого в (1.1) связана с классическими оценками первого собственного числа $\lambda_1(\Omega)$ для лапласиана при граничных условиях Дирихле и со следующим неравенством Пуанкаре:

$$ \begin{equation*} \lambda_1(\Omega)\int_\Omega|g(x)|^2\, dx\leqslant \int_\Omega |\nabla g(x)|^2\, dx \quad\forall\, g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega). \end{equation*} \notag $$
Широко известны оценка Пуанкаре $\lambda_1(\Omega)>\pi^2/(D(\Omega))^2$ и знаменитое изопериметрическое неравенство Рэлея–Фабера–Крана
$$ \begin{equation*} \lambda_1(\Omega) >\frac{\omega_n^{2/n}}{|\Omega|^{2/n}}(j_{n/2-1})^2, \end{equation*} \notag $$
где $j_\nu$ – первый нуль функции Бесселя $J_\nu$ порядка $\nu$ и $\omega_n$ – объем $n$-мерного единичного шара (см. [8]).

В той же работе [3] Х. Брезис и М. Маркус поставили вопрос, можно ли заменить константу в дополнительном слагаемом на величину вида $K'(n) |\Omega|^{-2/n}$, где $|\Omega|$ – объем области, а $K'(n)$ – некоторая положительная универсальная константа.

В статье [9] М. Хофман-Остенхоф, Т. Хофман-Остенхоф и А. Лаптев дали положительный ответ на этот вопрос. А именно, они показали, что

$$ \begin{equation} \frac{1}{4}\int_\Omega\frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^2}\, dx +\frac{1}{4}\, \frac{K(n)}{|\Omega|^{2/n}}\int_\Omega |g(x)|^2\, dx\leqslant \int_\Omega |\nabla g(x)|^2\, dx \quad\forall\, g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega), \end{equation} \tag{1.3} $$
где $K(n)=n[|\mathbb{S}^{n-1}|/n]^{2/n}$ и $|\mathbb{S}^{n-1}|$ – площадь поверхности $(n-1)$-мерной единичной сферы.

Стоит отметить, что В. Д. Эванс и Р. Т. Льюис [10] доказали аналогичное (1.3) неравенство, в котором перед $K(n)$ стоит константа $3/2$ вместо $1/4$, но, судя по доказательству, это неравенство будет справедливо в более узком классе функций, чем семейство $C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$.

В случае выпуклых областей с фиксированным объемом в виде следствия этого результата М. Хофман-Остенхоф, Т. Хофмана-Остенхофа и А. Лаптева можно получить следующую оценку первого собственного числа:

$$ \begin{equation*} \lambda_1(\Omega)\geqslant \frac{1}{4}\, \frac{K(n)}{|\Omega|^{2/n}}. \end{equation*} \notag $$

Вопрос нахождения точных констант в вышеприведенных изопериметрических неравенствах и вопрос о неулучшаемости постоянной в дополнительном слагаемом в неравенствах типа Харди остается открытым и даже задача усиления этих неравенств является весьма сложной и актуальной.

Несмотря на внешнюю схожесть неравенств (1.2) и (1.3), как класс вариационных задач они являются весьма различными. Первая экстремальная задача рассматривается в областях с конечным диаметром, а вторая – в областях с конечным объемом. Третьей разновидностью экстремальных задач являются неравенства с дополнительными слагаемыми в областях с конечным внутренним радиусом

$$ \begin{equation*} \delta_0(\Omega)=\sup_{x\in\Omega}\delta(x). \end{equation*} \notag $$
В силу того, что существуют области с конечным внутренним радиусом, но с бесконечным объемом и диаметром, например, полоса, третий класс задач является более широким (см. подробнее [11]–[16]).

В этом направлении наиболее полным решением “задачи Брезиса–Маркуса” является результат Ф. Г. Авхадиева и К.-Й. Вирса [14], который утверждает, что для любой непрерывно дифференцируемой функции $g$ с компактным носителем в выпуклой области $\Omega$ с конечным внутренним радиусом $\delta_0(\Omega)$ справедливо неравенство

$$ \begin{equation} \frac{1-\nu^2q^2}{4}\int_\Omega\frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^2} \, dx +\frac{q^2|\lambda_q|^2}{4(\delta_0(\Omega))^2}\int_\Omega\frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^{2-q}} \, dx \leqslant \int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx, \end{equation} \tag{1.4} $$
где $q>0$, $\nu \in [0,1/q]$, $\delta(x)$ – функция расстояния до границы области и константа $\lambda_q$ является решением специального уравнения для функции Бесселя $J_\nu$ порядка $\nu$. А именно, следующего уравнения типа Лэмба:
$$ \begin{equation*} J_\nu(\lambda)+q\lambda J_\nu'(\lambda)=0. \end{equation*} \notag $$
Константы $(1-\nu^2q^2)/4$ и $q^2(\lambda_q)^2/4$ в этом неравенстве являются точными. Отметим лишь, что при $\nu>0$ существует экстремальная функция, на которой достигается равенство, а при $\nu=0$ Ф. Г. Авхадиев и К.-Й. Вирс построили минимизирующую последовательность, через которую показали точность и недостижимость константы (см. также [15]).

Результат Авхадиева и Вирса в случае $n$-мерных выпуклых областей является вторым способом доказательства известных оценок (см. [17])

$$ \begin{equation*} \lambda_1(\Omega)\geqslant \frac{\pi^2}{4(\delta_0(\Omega))^2}\geqslant \frac{\pi^2}{(D(\Omega))^2}. \end{equation*} \notag $$
Мы же получим некоторые оценки $\lambda_1(\Omega)$ через диаметр области в других классах областей.

Доказательства всех приведенных выше неравенств являются оригинальными и красивыми, и в их основе лежат одномерные неравенства. В одномерных неравенствах не возникают сложности, которые приходят из геометрии области. Первым, кто получил одномерное неравенство типа Харди с дополнительными слагаемыми, можно считать В. И. Левина. В статье [18] для всех непрерывно дифференцируемых функций $y$ таких, что $y(0)=0$ и $y\not\equiv 0$, Левин получил следующее неравенство с точной константой:

$$ \begin{equation} \int_0^{1}\frac{(y(x))^2}{x^2(2-x)^2} \, dx< \int_0^{1}(y'(x))^2\, dx, \end{equation} \tag{1.5} $$
которое можно переписать в виде
$$ \begin{equation*} \frac{1}{4}\int_0^{1}\frac{(y(x))^2}{x^2} \, dx +\frac{1}{2}\int_0^{1}\frac{(y(x))^2}{x(2-x)}\, dx +\frac{1}{4}\int_0^{1}\frac{(y(x))^2}{(2-x)^2} \, dx < \int_0^{1}(y'(x))^2\, dx. \end{equation*} \notag $$

Что касается многомерных неравенств типа Харди с дополнительными слагаемыми, то впервые они были получены В. Г. Мазьёй в работе [19] в случае, когда $\Omega$ является верхней полуплоскостью, а весовые функции зависят от расстояния до начала координат.

В настоящей работе мы докажем неравенства на конечном отрезке, которые усиливают (1.5) и приводят нас к пространственным неравенствам с большей константой перед $K(n)$. Например, покажем, что для любой абсолютно непрерывной функции $y\colon [0,1]\to \mathbb{R}$ такой, что $y(0)=0$ и $y'\in L_2([0,\rho])$, при $q\in (0,\infty)$ и $\nu\in [0,1/q]$ имеет место точное неравенство

$$ \begin{equation*} (1\,{-}\,\nu^2q^2)\int_0^\rho \!\frac{(y(t))^2}{t^2(2\,{-}\,t)^2}\, dt \,{+}\,q^2(C_\nu(q))^2\frac{(2\,{-}\rho)^q}{\rho^q}\int_0^\rho \!\frac{(y(t))^2}{(2\,{-}\,t)^{2+q}t^{2-q}}\, dt\,{\leqslant}\! \int_0^\rho \!(y'(t))^2\, dt, \end{equation*} \notag $$
а при $q\in [1,2]$
$$ \begin{equation*} \int_{0}^\rho \frac{(y(t))^2}{t^{2-q}(2-t)^{2-q}}\, dt\leqslant \kappa'(q,\rho)\int_0^\rho (y'(t))^2\, dt, \end{equation*} \notag $$
где $\rho\in (0,1]$, $C_\nu(q)$ и $\kappa'(q,\rho)$ суть некоторые известные константы.

Также в этой статье мы рассмотрим некоторые приложения этих одномерных неравенств. Используя первое неравенство, мы установим многомерные неравенства в произвольных областях в терминах расстояния в среднем, а в регулярных областях, в областях, удовлетворяющих условию конуса, в областях, $\lambda$-близких к выпуклым, и выпуклых областях докажем неравенства в терминах функции расстояния до границы области. Как следствие многомерных неравенств мы получим новые оценки для первого собственного числа $\lambda_1(\Omega)$ в различных областях. Например, в выпуклых областях $\Omega$ с фиксированным объемом или диаметром соответственно имеем

$$ \begin{equation*} \lambda_1(\Omega)\geqslant \frac{(j'_1)^2}{2}\, \frac{K(n)}{|\Omega|^{2/n}} \quad\text{и}\quad \lambda_1(\Omega)\geqslant \frac{(j'_1)^2}{2}\, \frac{3n}{(D(\Omega))^2}, \end{equation*} \notag $$

где $j'_1\approx 1.84118$ – первый положительный корень производной $J_1'$ функции Бесселя $J_1$, а в случае областей, $\lambda$-близких к выпуклым, получим

$$ \begin{equation*} \lambda_1(\Omega)\geqslant \frac{2.75972n}{(D(\Omega))^2}. \end{equation*} \notag $$

Для обоснования многомерных неравенств используются верхние оценки расстояния в среднем через расстояние до границы области. Добавим, что нами установлены новые оценки расстояния в среднем через функцию расстояния до границы области в случае областей, $\lambda$-близких к выпуклым (см. п. 3.4).

Как показано в статьях [13]–[15], постоянная в дополнительном слагаемом в неравенствах с внутренним радиусом не зависит от размерности пространства, а в неравенстве (1.3) и ее обобщениях (см. [20]), наоборот, зависит. Нами впервые показано, что в неравенствах с диаметром константа также зависит от размерности.

Применяя же второе одномерное неравенство, мы докажем новые достаточные условия однолистности типа Нехари–Покорного. Мы продолжаем исследования достаточных условий однолистности, полученных и развитых в статьях [21]–[26]. Чтобы не загромождать вводную часть, мы приводим сравнение известных и наших результатов в § 4.

§ 2. Одномерные неравенства на конечном отрезке

2.1. Основные обозначения и вспомогательные результаты

Этот параграф посвящен новым одномерным неравенствам, весовые функции которых имеют степенные особенности. Для дальнейшего изложения нам пригодится функция Бесселя $J_\nu$ порядка $\nu\geqslant 0$. Напомним, что функцию Бесселя можно записать в виде следующего сходящегося степенного ряда:

$$ \begin{equation*} J_\nu(t)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kt^{2k+\nu}}{2^{2k+\nu}k!\,\Gamma(k+1+\nu)}, \qquad t\in[0,1], \end{equation*} \notag $$
где $\Gamma$ – это гамма-функция Эйлера. Через $j_\nu$ будем обозначать первый нуль функции Бесселя $J_\nu$. Подробную информацию о свойствах функции Бесселя и ее нулях можно найти в монографии [27].

Приведем лишь некоторые свойства этой функции, которые в дальнейшем мы будем использовать. Например, известно, что

a) $J_\nu$ является каноническим решением дифференциального уравнения Бесселя (см. [27]):

$$ \begin{equation*} t^2 {u''(t)}+tu'(t)+(t^2-\nu^2)u(t)=0; \end{equation*} \notag $$

b) при достаточно малых $t$ справедлива следующая асимптотическая формула:

$$ \begin{equation*} J_\nu(t)= \frac{t^\nu}{2^\nu\Gamma(1+\nu)} \biggl(1-\frac{\Gamma(1+\nu)}{\Gamma(2+\nu)}\, \frac{t^2}{2^2}+\frac{\Gamma(1+\nu)}{\Gamma(3+\nu)}\, \frac{t^{4}}{2^4}-\cdots\biggr) \sim \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\biggl(\frac{t}{2}\biggr)^{\nu}. \end{equation*} \notag $$
Нам понадобится также следующее утверждение, которое приведем с доказательством.

Лемма 1. Непрерывная функция $h(t)=J_1(t)/(tJ_0(t))$ является возрастающей при $t\in[0,2]$, и $\inf_{t\in [0,2]} h(t)=1/2$.

Доказательство. Покажем, что производная $h'(t)\geqslant 0$ при $t\in[0,2]$. Используя следующие известные равенства для функции Бесселя и ее производной (см., например, [27; пп. 3.2, 5.51]):
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, J_0'(t)= -J_1(t), \qquad tJ'_1(t)-J_1(t)=-tJ_2(t), \\ (J_1(t))^2-J_0(t)J_2(t)=\frac{4}{t^2}\sum_{j=0}^\infty(2+2j)(J_{2+2j}(t))^2, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
получим
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, h'(t) &= \frac{tJ_1'(t)J_0(t)-J_1(t)J_0(t)-tJ'_0(t)J_1(t)}{t^2(J_0(t))^2} =\frac{J_0(t)(tJ_1'(t)-J_1(t))+t(J_1(t))^2}{t^2(J_0(t))^2} \\ &=\frac{(J_1(t))^2-J_0(t)J_2(t)}{t (J_0(t))^2} =\frac{4}{t^3}\sum_{j=0}^\infty(2+2j)(J_{2+2j}(t))^2 \geqslant 0. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Следовательно, функция является возрастающей и $\inf_{t\in [0,2]}h(t)=\lim_{t\to 0}h(t)= 1/2$ по свойству b). Лемма доказана.

2.2. Неравенства, необходимые для получения многомерных аналогов

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть $q\in (0,\infty)$, $\nu\in [0,1/q]$ и $\rho\in (0,1]$. Тогда для любой абсолютно непрерывной функции $y\colon [0,1]\to \mathbb{R}$ такой, что $y(0)=0$ и $y'\in L_2([0,\rho])$, имеет место точное неравенство

$$ \begin{equation*} (1-\nu^2q^2)\int_0^\rho \frac{(y(t))^2}{(z(t))^2}\, dt+q^2(C_\nu(q))^2\frac{(2-\rho)^q}{\rho^q}\int_0^\rho \frac{(y(t))^2}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}}\, dt\leqslant \int_0^\rho (y'(t))^2\, dt, \end{equation*} \notag $$
где $z(t)=t(2-t)$, $C_\nu(q)$ – первый положительный корень уравнения
$$ \begin{equation*} 1-\rho+ qz\frac{J'_\nu(z)}{J_\nu(z)}=0, \qquad z\in (0,j_\nu). \end{equation*} \notag $$
При $\nu\in (0,1/q]$ равенство в неравенстве достигается только на функции
$$ \begin{equation*} y_0(t)=C\sqrt{z(t)}\, J_\nu\biggl(\lambda_\nu(q) \frac{t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr) \end{equation*} \notag $$
с некоторой константой $C$.

Доказательство. При доказательстве этой теоремы мы будем использовать функцию
$$ \begin{equation*} \varphi(t)=\sqrt{z(t)}\, J_\nu\biggl(\lambda_\nu(q) \frac{t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr), \quad t\in[0,1], \end{equation*} \notag $$
где $\lambda_\nu(q)$ – это некоторая постоянная, которая будет подобрана позже.

Отметим, что ключевым и оригинальным моментом доказательства является именно выбор (подбор) вида функции $\varphi(t)$.

Используя приведенные выше свойства a) и b), можно показать, что выполнены следующие равенства:

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, -\frac{\varphi''(t)}{\varphi(t)} &= \frac{1-\nu^2q^2}{(z(t))^2} +\frac{q^2|\lambda_\nu(q)|^2}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}}, \\ \frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)} &= \frac{1-t}{z(t)}+\frac{q\lambda_\nu(q) t^{q/2-1}}{(2-t)^{q/2+1}}\, \frac{J'_\nu(\lambda_\nu(q) t^{q/2}/(2-t)^{q/2})}{J_\nu(\lambda_\nu(q) t^{q/2}/(2-t)^{q/2})}, \end{aligned} \end{equation} \tag{2.1} $$
и при этом
$$ \begin{equation*} \frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}= \frac{1+\nu q}{z(t)}+o(1)\quad \text{при}\quad t\to 0. \end{equation*} \notag $$
Кроме того, используя разложение функции Бесселя в ряд и известное равенство [27; п. 3.2]
$$ \begin{equation*} xJ'_\nu(x)+\nu J_\nu(x)= xJ_{\nu-1}(x), \end{equation*} \notag $$
имеем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \varphi'(t) &=\frac{1-t-\nu q}{\sqrt{z(t)}}J_\nu \biggl( \frac{\lambda_\nu(q)t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr) +\frac{q\lambda_\nu(q) t^{q/2}}{\sqrt{z(t)}\, (2-t)^{q/2}}J_{\nu-1}\biggl( \frac{\lambda_\nu(q) t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr) \\ &=\frac{1-t-\nu q}{\sqrt{z(t)}}\biggl(\frac{t}{2-t}\biggr)^{q\nu/2} \frac{(\lambda_\nu(q))^\nu}{2^{\nu}\Gamma(\nu+1)}(1+\cdots) \\ &\qquad+ \frac{1}{\sqrt{z(t)}}\biggl(\frac{t}{2-t}\biggr)^{q\nu/2} \frac{q(\lambda_\nu(q))^\nu}{2^{\nu-1}\Gamma(\nu)}(1+\cdots) \\ &=\frac{1-t+\nu q}{\sqrt{z(t)}}\biggl(\frac{t}{2-t}\biggr)^{q\nu/2} \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\, \frac{(\lambda_\nu(q))^\nu}{2^\nu} \\ &\qquad +O\biggl((\lambda_\nu(q))^{2+\nu} \biggl(\frac{t}{2-t}\biggr)^{q(2+\nu)/2}\biggr),\qquad t\to 0^+. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Следовательно, $\varphi'(t)\in L^2(0,1)$ при $\nu\neq 0$ и $\varphi'(t)\notin L^2(0,1)$ при $\nu=0$.

Далее, применяя формулу интегрирования по частям, получим

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, 0&\leqslant P:=\int_0^\rho\biggl(y'(t)-y(t)\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}\biggr)^2\, dt \\ &=\int_0^\rho (y'(t))^2\, dt -\int_0^\rho\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}\, d(y(t))^2+\int_0^\rho (y(t))^2\frac{(\varphi'(t))^2}{(\varphi(t))^2}\, dt \\ &=\int_0^\rho (y'(t))^2\, dt- \lim_{t\to \rho} \biggl((y(t))^2 \frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}\biggr) +\lim_{t\to 0}\biggl((y(t))^2\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}\biggr) + \int_0^\rho (y(t))^2\frac{\varphi''(t)}{\varphi(t)} \, dt. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Для любой абсолютно непрерывной функции $y\colon [0,1]\to \mathbb{R}$ такой, что $y(0)=0$ и интеграл $\int_0^1(y'(\tau))^2\, d\tau$ сходится, имеем
$$ \begin{equation*} (y(t))^2\leqslant \left(\int_0^t |y'(\tau)| \, d\tau\right)^2\leqslant t\int_0^t |y'(\tau)|^2 \, d\tau. \end{equation*} \notag $$
Поэтому
$$ \begin{equation*} \lim_{t\to 0}\biggl((y(t))^2\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}\biggr)=0. \end{equation*} \notag $$

Далее положим, что $C_\nu(q)$ – это первый положительный корень уравнения

$$ \begin{equation*} 1-\rho+ qz\frac{J'_\nu(z)}{J_\nu(z)}=0, \qquad z\in (0,j_\nu), \end{equation*} \notag $$
и
$$ \begin{equation*} \lambda_\nu(q)=C_\nu(q)\frac{(2-\rho)^{q/2}}{\rho^{q/2}}. \end{equation*} \notag $$
Тогда по формуле (2.1) получим
$$ \begin{equation*} \lim_{t\to \rho} \biggl((y(t))^2\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}\biggr) =0. \end{equation*} \notag $$
Таким образом, имеем
$$ \begin{equation*} (1-\nu^2q^2)\int_0^\rho \frac{(y(t))^2}{(z(t))^2}\, dt+q^2(C_\nu(q))^2\frac{(2-\rho)^q}{\rho^q}\int_0^\rho \frac{(y(t))^2}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}}\, dt\leqslant \int_0^\rho (y'(t))^2\, dt. \end{equation*} \notag $$
Равенство $P=0$ возможно тогда и только тогда, когда
$$ \begin{equation*} y'(t)-y(t)\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}=0. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, равенство $P=0$ достигается на функции $y_0(t)=C \varphi(t)$, производная которой, как мы показали выше, принадлежит классу $L_2(0,1)$ только при $\nu>0$. Теорема 1 доказана.

В качестве следствия этой теоремы при $\nu> 0$ и $\rho=1$ получим следующее утверждение.

Следствие 1. Для любой абсолютно непрерывной функции $y\colon [0,1]\to \mathbb{R}$ такой, что $y(0)=0$ и $y'\in L_2([0,1])$, справедливо неравенство

$$ \begin{equation*} (1-\nu^2q^2)\int_0^1 \frac{(y(t))^2}{(z(t))^2}\, dt+q^2 (j'_{\nu})^2\int_0^1\frac{(y(t))^2}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}}\, dt\leqslant \int_0^1 (y'(t))^2\, dt, \end{equation*} \notag $$
где $j'_{\nu}$ – первый положительный корень производной $J'_{\nu}$ функции Бесселя $J_{\nu}$.

Константы в неравенстве теоремы 1 также являются точными в случае $\nu=0$. А именно, справедливо следующее предложение.

Предложение 1. Если $\nu=0$ и $\rho\in (0,1]$, то для любого $\varepsilon>0$ найдутся функции $f_\varepsilon$ и $g_\varepsilon$, удовлетворяющие условиям теоремы 1 и такие, что выполнены неравенства

$$ \begin{equation*} (1+\varepsilon)\int_0^\rho \frac{(f_\varepsilon(t))^2}{(z(t))^2}\, dt+q^2(C_0(q))^2\frac{(2-\rho)^q}{\rho^q}\int_0^\rho \frac{(f_\varepsilon(t))^2}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}}\, dt> \int_0^\rho (f'_\varepsilon(t))^2\, dt \end{equation*} \notag $$
и
$$ \begin{equation*} \int_0^\rho \frac{(g_\varepsilon(t))^2}{(z(t))^2}\, dt+\left(q^2(C_0(q))^2\frac{(2-\rho)^q}{\rho^q}+\varepsilon\right)\int_0^\rho \frac{(g_\varepsilon(t))^2}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}}\, dt> \int_0^\rho (g'_\varepsilon(t))^2\, dt. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Если $\rho=1$, то $C_0(q)=0$ и имеем известное неравенство (1.5) из статьи [18] с точной и недостижимой константой.

Пусть теперь $\rho\in(0,1)$. Рассмотрим функцию $f_\varepsilon (t)= (t(2-t))^{(1+\varepsilon)/2}$. Ясно, что

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_0^\rho(f'_\varepsilon (t))^2\, dt =(1+\varepsilon)^2\int_0^\rho(1-t)^2((2-t)t)^{\varepsilon-1}\, dt \\ &\qquad <(1+\varepsilon)^2 \int_0^\rho((2-t)t)^{\varepsilon-1}\, dt+q^2(C_0(q))^2\frac{(2-\rho)^q}{\rho^q}\int_0^\rho \frac{(f_\varepsilon(t))^2}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}}\, dt \\ &\qquad =(1+\varepsilon)^2 \int_0^\rho\frac{(f_\varepsilon(t))^2}{(z(t))^2}\, dt+q^2(C_0(q))^2\frac{(2-\rho)^q}{\rho^q}\int_0^\rho \frac{(f_\varepsilon(t))^2}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}}\, dt. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Следовательно, первая константа точная.

Пусть $\alpha=\alpha(\varepsilon)\in (0, q)$ и функция

$$ \begin{equation*} g_\varepsilon(t)= z(t)^{\alpha/2}\varphi(t) =(z(t))^{(\alpha+1)/2}J_0\biggl(\lambda_\nu(q) \frac{t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr). \end{equation*} \notag $$
Тогда
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, P_\varepsilon &:=\int_0^\rho \frac{(g_\varepsilon(t))^2}{(z(t))^2}\, dt+\left(q^2C^2\frac{(2-\rho)^q}{\rho^q}+\varepsilon\right)\int_0^\rho \frac{(g_\varepsilon(t))^2}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}}\, dt-\int_0^\rho (g'_\varepsilon(t))^2\, dt \\ &=\varepsilon\int_0^\rho \frac{(g_\varepsilon(t))^2}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}}\, dt-\int_0^\rho \biggl(g'_\varepsilon-g_\varepsilon(t)\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}\biggr)^2\, dt. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Можно показать, что
$$ \begin{equation*} g'_\varepsilon-g_\varepsilon(t)\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}=\alpha (1-t) (z(t))^{(\alpha-1)/2} J_0\biggl(\lambda_\nu(q) \frac{t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr) \end{equation*} \notag $$
и
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, P_\varepsilon &=\varepsilon\int_0^\rho \frac{(z(t))^{\alpha+1}}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}} \biggl(J_0\biggl( \frac{\lambda_\nu(q) t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr)\biggr)^2 \, dt \\ &\qquad- \alpha^2\int_0^\rho(z(t))^{\alpha-1} \biggl(J_0\biggl( \frac{\lambda_\nu(q) t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr)\biggr)^2(1-t)\, dt \\ &\geqslant\varepsilon\int_0^\rho \frac{(z(t))^{q+1}}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}} \biggl(J_0\biggl( \frac{\lambda_\nu(q)t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr)\biggr)^2\, dt \\ &\qquad -\alpha\max_{t\in[0,\rho]}\biggl\{(2-t)^{\alpha-1}\biggl(J_0\biggl( \frac{\lambda_\nu(q) t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr)\biggr)^2\biggr\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Следовательно, $P_\varepsilon>0$ при достаточно малых $\alpha$. Таким образом, мы показали, что обе константы неулучшаемы также в случае $\nu=0$. Предложение доказано.

Также справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если $q\in (0,\infty)$ и $\rho\in (0,1]$, то для любой абсолютно непрерывной функции $y\colon [0,1]\to \mathbb{R}$ такой, что $y(0)=0$ и $y'\in L_2([0,\rho])$, справедливо неравенство

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_0^\rho (y'(t))^2\, dt &\geqslant \frac{1}{4}\int_0^\rho \frac{ (y(t))^2}{t^2} \, dt+ q^2(C_0(q))^2\frac{(2-\rho)^q}{\rho^q} \int_0^\rho \frac{ (y(t))^2}{t^{2-q}(2-t)^{2+q}} \, dt \\ &\qquad+ \frac{q(C_0(q))^2}{2}\, \frac{(2-\rho)^q}{\rho^q} \int_0^\rho\frac{(y(t))^2}{t^{1-q}(2-t)^{2+q}}\, dt , \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $C_0(q)$ – первое положительное решение уравнения
$$ \begin{equation*} \frac{2-\rho}{2}-qz\frac{J_1(z)}{J_0(z)} =0, \qquad z\in (0,j_0). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Для доказательства этой теоремы мы будем использовать функцию
$$ \begin{equation*} \psi(t)=\sqrt{t}\, J_0\biggl(\lambda_0(q) \frac{t^{q/2}}{(2-t)^{q/2}}\biggr), \qquad t\in [0,1], \end{equation*} \notag $$
для которой справедливы получающиеся непосредственным вычислением равенства
$$ \begin{equation*} \frac{\psi'(t)}{\psi(t)}=\frac{1}{2t}-\frac{q\lambda_0(q) t^{q/2-1}}{(2-t)^{q/2+1}}\, \frac{J_1(\lambda_\nu(q) t^{q/2}/(2-t)^{q/2})}{J_0(\lambda_\nu(q) t^{q/2}/(2-t)^{q/2})} \end{equation*} \notag $$
и
$$ \begin{equation*} -\frac{\psi''(t)}{\psi(t)}= \frac{1}{4t^2} +\frac{q^2(\lambda_0(q))^2}{t^{2-q}(2-t)^{2+q}} +\frac{q\lambda_0(q)}{t^{1-q/2}(2-t)^{2+q/2}}\frac{J_1(\lambda_0(q) t^{q/2}/(2-t)^{q/2})}{J_0(\lambda_0(q) t^{q/2}/(2-t)^{q/2})}. \end{equation*} \notag $$
По аналогии с доказательством теоремы 1 получим
$$ \begin{equation*} \int_0^\rho (y'(t))^2\, dt=\lim_{t\to \rho} \biggl( (y(t))^2 \frac{\psi'(t)}{\psi(t)} \biggr) -\lim_{t\to 0} \biggl((y(t))^2\frac{\psi'(t)}{\psi(t)}\biggr) -\int_0^\rho (y(t))^2\frac{\psi''(t)}{\psi(t)} \, dt, \end{equation*} \notag $$
где константу $\lambda_0(q)$ будем искать как корень уравнения
$$ \begin{equation*} \frac{\psi'(\rho)}{\psi(\rho)}= \frac{1}{2\rho}-\frac{q\lambda_0(q) \rho^{q/2-1}}{(2-\rho)^{q/2+1}}\, \frac{J_1(\lambda_0(q) \rho^{q/2}/(2-\rho)^{q/2})}{J_0(\lambda_0(q) \rho^{q/2}/(2-\rho)^{q/2})} =0, \qquad \lambda_0(q)\in (0,j_0). \end{equation*} \notag $$
Далее, применяя соответствующие рассуждения из доказательства теоремы 1, получаем
$$ \begin{equation*} \lim_{t\to 0} \biggl( (y(t))^2\frac{\psi'(t)}{\psi(t)} \biggr)=0. \end{equation*} \notag $$

Учитывая утверждение леммы 1, имеем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, -\frac{\psi''(t)}{\psi(t)} &\geqslant\frac{1}{4t^2} +\frac{q^2(\lambda_0(q))^2}{t^{2-q}(2-t)^{2+q}} \\ &\ \, +q(\lambda_0(q))^2\frac{t^{-1+q}}{(2-t)^{2+q}}\min_{t\in[0,1]}\frac{J_1(\lambda_0(q) t^{q/2}/(2-t)^{q/2})}{(\lambda_0(q)t^{q/2}/(2-t)^{q/2}) J_0(\lambda_0(q)t^{q/2}/(2-t)^{q/2})} \\ &=\frac{1}{4t^2}+\frac{q^2(\lambda_0(q))^2}{t^{2-q}(2-t)^{2+q}} +\frac{q}{2}\, \frac{(\lambda_0(q))^2}{t^{1-q}(2-t)^{2+q}}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть $\nu\in(0,1]$, $\rho(t)=\min\{t,2b-t\}$ и $\mu(t)=2b-\rho(t)$. Тогда для любой функции $y\in C_{\mathrm{c}}^1(0,2b)$ справедливы неравенства

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_0^{2b} (y'(t))^2\, dt &\geqslant \frac{1-\nu^2}{4}\int_0^{2b} \frac{(y(t))^2}{(\rho(t))^2}\, dt+\frac{2-2\nu^2+(j'_{\nu})^2}{4}\int_0^{2b}\frac{(y(t))^2}{\rho(t)\mu(t)}\, dt \\ &\qquad+\frac{1-\nu^2+2(j'_{\nu})^2}{4}\int_0^{2b}\frac{(y(t))^2}{(\mu(t))^2}\, d\tau+\frac{(j'_{\nu})^2}{4}\int_0^{2b}\frac{(y(t))^2\rho(t)}{(\mu(t))^3}\, dt, \\ \int_0^{2b} (y'(t))^2\, dt &\geqslant \frac{1}{4}\int_0^{2b} \frac{ (y(t))^2}{(\rho(t))^2} \, d\tau+ \frac{(C_0(1))^2}{4}\int_0^{2b}\frac{(y(t))^2}{\rho(t)\mu(t)}\, dt \\ &\qquad+\frac{3(C_0(1))^2}{4}\int_0^{2b}\frac{(y(t))^2}{(\mu(t))^2}\, dt +\frac{(C_0(1))^2}{2}\int_0^{2b}(y(t))^2\frac{\rho(t)}{(\mu(t))^3}\, dt, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $j'_{\nu}$ – первый положительный корень производной $J'_{\nu}$ функции Бесселя $J_\nu$ и $C_0(1)\approx 1.25578$ – первое положительное решение уравнения
$$ \begin{equation*} 1-z\frac{J_1(z)}{J_0(z)} =0, \qquad z\in (0,j_0). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Несложно заметить, что
$$ \begin{equation*} \frac{1}{(z(t))^2}=\frac{1}{t^2(2-t)^2}=\frac{1}{4}\biggl(\frac{1}{t^2} +\frac{2}{t(2-t)}+\frac{1}{(2-t)^2}\biggr) \end{equation*} \notag $$
и
$$ \begin{equation*} \frac{4}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}}= \frac{(2-t+t)^2}{(2-t)^{2+q}t^{2-q}} =\frac{1}{(2-t)^{q}t^{2-q}}+\frac{2}{(2-t)^{1+q}t^{1-q}}+\frac{t^{q}}{(2-t)^{2+q}}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, используя следствие 1 при $q=1$, имеем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_0^1 (y'(t))^2\, dt &\geqslant \frac{1-\nu^2}{4}\int_0^1 \frac{(y(t))^2}{t^2}\, dt +\frac{2-2\nu^2+(j'_{\nu})^2}{4}\int_0^1\frac{(y(t))^2}{(2-t)t}\, dt \\ &\qquad+ \frac{1-\nu^2+2(j'_{\nu})^2}{4}\int_0^1\frac{(y(t))^2}{(2-t)^2}\, dt+\frac{(j'_{\nu})^2}{4}\int_0^1\frac{(y(t))^2t}{(2-t)^3}\, dt, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
и применяя теорему 2 при $q=1$ и $\rho=1$, получим
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_0^1 (y'(t))^2\, dt &\geqslant \frac{1}{4}\int_0^1 \frac{(y(t))^2}{t^2} \, dt+ \frac{(C_0(1))^2}{4}\int_0^1\frac{(y(t))^2}{(2-t)t}\, dt \\ &\qquad+ \frac{(C_0(1))^2}{2}\int_0^1\frac{(y(t))^2}{(2-t)^2}\, dt +\frac{(C_0(1))^2}{4}\int_0^1\frac{(y(t))^2}{(2-t)^{3}}(2+t)\, dt. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
С помощью замены переменной $t= \tau/b$ в первом и втором неравенствах легко показать, что
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_0^b (y'(\tau))^2\, d\tau &\geqslant \frac{1-\nu^2}{4}\int_0^b \frac{(y(\tau))^2}{\tau^2}\, d\tau+\frac{2-2\nu^2+(j'_{\nu})^2}{4}\int_0^b\frac{(y(\tau))^2}{(2b-\tau)\tau}\, d\tau \\ &\qquad+ \frac{1-\nu^2+2(j'_{\nu})^2}{4}\int_0^b\frac{(y(\tau))^2}{(2b-\tau)^2}\, d\tau+\frac{(j'_{\nu})^2}{4}\int_0^b\frac{(y(\tau))^2\tau}{(2b-\tau)^3}\, d\tau \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
и
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_0^b (y'(\tau))^2\, d\tau &\geqslant \frac{1}{4}\int_0^b \frac{ (y(\tau))^2}{\tau^2} \, d\tau+ \frac{(C_0(1))^2}{4}\int_0^b\frac{(y(\tau))^2}{(2b-\tau)\tau}\, d\tau \\ &\quad +\frac{(C_0(1))^2}{2}\int_0^b\frac{(y(\tau))^2}{(2b-\tau)^2}\, d\tau +\frac{(C_0(1))^2}{4}\int_0^b\frac{(y(\tau))^2}{(2b-\tau)^{3}}(2b+\tau)\, d\tau. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Объединяя два последних неравенства со следующими соответствующими неравенствами на интервале $[b,2b]$:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_b^{2b} (y'(\tau))^2\, d\tau &\geqslant \frac{1-\nu^2}{4}\int_b^{2b} \frac{(y(\tau))^2}{(2b-\tau)^2}\, d\tau +\frac{2-2\nu^2+(j'_{\nu})^2}{4}\int_b^{2b}\frac{(y(\tau))^2}{(2b-\tau)\tau}\, d\tau \\ &\quad+ \frac{1-\nu^2+2(j'_{\nu})^2}{4}\int_0^b\frac{(y(\tau))^2}{\tau^2}\, d\tau+\frac{(j'_{\nu})^2}{4}\int_b^{2b}\frac{(y(\tau))^2(2b-\tau)}{\tau^3}\, dt \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
и
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_b^{2b} (y'(\tau))^2\, d\tau &\geqslant \frac{1}{4}\int_b^{2b} \frac{(y(\tau))^2}{(2b-\tau)^2} \, d\tau +\frac{(C_0(1))^2}{4}\int_b^{2b}\frac{(y(\tau))^2}{(2b-\tau)\tau}\, d\tau \\ &\quad+ \frac{(C_0(1))^2}{2}\int_b^{2b}\frac{(y(\tau))^2}{\tau^2}\, d\tau +\frac{(C_0(1))^2}{4}\int_{b}^{2b}\frac{(y(\tau))^2}{\tau^{3}}(4b-\tau)\, d\tau, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
для функции $y\in C^1(b,2b)$ такой, что $y(2b)=0$, имеем утверждение теоремы. Теорема доказана.

2.3. Неравенства необходимые для получения достаточных условий однолистности

Далее рассмотрим неравенства для весовой функции, отличной от рассмотренных в п. 2.2. Следующие результаты мы будем использовать при доказательстве достаточных условий однолистности.

Справедливо утверждение ниже.

Лемма 2. Если $q\in [1,2]$ и $\rho\in (0,1]$, то для любой абсолютно непрерывной функции $y$ такой, что $y(0)=0$, справедливо неравенство

$$ \begin{equation*} \int_{0}^\rho \frac{(y(t))^2}{t^{2-q}(2-t)^{2-q}}\, dt\leqslant \kappa'(q,\rho)\int_{0}^\rho (y'(t))^2\, dt, \end{equation*} \notag $$
где постоянная
$$ \begin{equation*} \kappa'(q,\rho)=\sqrt{2}\, \biggl(\int_0^\rho \biggl( \int_t^\rho\frac{dx}{x^{2-q}(2-x)^{2-q}}\biggr)^2t \, dt\biggr)^{1/2}. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Пользуясь неравенством $|y(x)|\leqslant \int_0^x|y'(t)|\, dt$ и изменяя порядок интегрирования в повторных интегралах, имеем
$$ \begin{equation*} \int_0^\rho \frac{|y(x)|}{x^{2-q}(2-x)^{2-q}}\, dx\leqslant \int_0^\rho |y'(t)|\int_t^\rho\frac{dx}{x^{2-q}(2-x)^{2-q}}\, dt. \end{equation*} \notag $$
Применим последнюю оценку к функции $y(x)=|g(x)|^2$. Получим
$$ \begin{equation*} \int_0^\rho \frac{|g(x)|^2}{x^{2-q}(2-x)^{2-q}}\, dx\leqslant 2\int_0^\rho |g(x)|\, |g'(x)|\int_x^\rho\frac{dt}{t^{2-q}(2-t)^{2-q}}\, dx. \end{equation*} \notag $$
Теперь, используя известное неравенство Опиала (см. [28], [29])
$$ \begin{equation*} \int_a^b s(x)|y(x)|\, |y'(x)|\, dx \leqslant \kappa\int_a^b |y'(x)|^2\, dx, \end{equation*} \notag $$
справедливое для любой абсолютно непрерывной функции $y$ такой, что $y(0)\,{=}\,0$, и неотрицательной измеримой на $(0,\rho)$ весовой функции $s$, для которой величина
$$ \begin{equation*} \kappa=\frac{1}{\sqrt{2}}\, \biggl(\int_a^b (s(t))^2(t-a)\, dt\biggr)^{1/2}<\infty, \end{equation*} \notag $$
имеем
$$ \begin{equation*} \int_0^\rho \frac{|g(x)|^2}{x^{2-q}(2-x)^{2-q}}\, dx\leqslant \kappa'(q,\rho)\int_0^\rho |g'(x)|^2\, dx. \end{equation*} \notag $$
Выше мы положили, что
$$ \begin{equation*} s(x)=\int_x^\rho\frac{dt}{t^{2-q}(2-t)^{2-q}}. \end{equation*} \notag $$
Лемма доказана.

Также имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Если $q\in [1,2]$ и $\rho\in (0,1)$, то для любой абсолютно непрерывной функции $y$ такой, что $y(-\rho)=y(\rho)=0$ и $y\not\equiv 0$, справедливо неравенство

$$ \begin{equation*} \int_{-\rho}^\rho \frac{(y(t))^2}{(1-t^2)^{2-q}}\, dt< \kappa'(q)\int_{-\rho}^\rho (y'(t))^2\, dt, \end{equation*} \notag $$
где постоянная
$$ \begin{equation*} \kappa'(q)=\frac{1}{2}\biggl(\int_0^1 \biggl(B_{t}\biggl(\frac12,q-1\biggr) \biggr)^2 \frac{1-\sqrt{t}}{\sqrt{t}}\, dt \biggr)^{1/2}, \end{equation*} \notag $$
а $B_t(x,y)=\int_0^t\tau^{x-1}(1-\tau)^{y-1}\, d\tau$ – неполная бета-функция.

Доказательство. Учитывая монотонное возрастание функции $\kappa'(q,\rho)$ по переменной $\rho$, заменами переменных можно показать, что
$$ \begin{equation*} \kappa'(q,\rho)\leqslant \kappa'(q)=\frac{1}{2}\biggl(\int_0^1 \biggl(\int_0^t \tau^{-1/2}(1-\tau)^{q-2}\, d\tau\biggr)^2 \frac{1-\sqrt{t}}{\sqrt{t}}\, dt \biggr)^{1/2}. \end{equation*} \notag $$
Действительно,
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \kappa'(q,\rho) &=\biggl(2\int_0^\rho \biggl(\int_t^\rho\frac{dx}{x^{2-q}(2-x)^{2-q}}\biggr)^2t \, dt\biggr)^{1/2} \\ &\leqslant\biggl(2\int_0^1 \biggl(\int_t^1\frac{dx}{x^{2-q}(2-x)^{2-q}}\biggr)^2t \, dt\biggr)^{1/2}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Во внутреннем интеграле сделаем замены переменных $x= 1-\tau$, а затем $\tau=\sqrt{y}$. Имеем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \kappa'(q,\rho) &\leqslant \biggl(2\int_0^1\biggl(\int_0^{1-t}\frac{d\tau}{(1-\tau^2)^{2-q}}\biggr)^2t \, dt\biggr)^{1/2} \\ &= \biggl(\frac{1}{2}\int_0^1\biggl(\int_0^{(1-t)^2}\frac{dy}{\sqrt{y}\, (1-y)^{2-q}}\biggr)^2t \, dt\biggr)^{1/2}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Заменой переменной $z=(1-t)^2$ во внешнем интеграле получим
$$ \begin{equation*} \kappa'(q,\rho) \leqslant \frac{1}{2}\biggl(\int_0^1\biggl(\int_0^{z}\frac{dy}{\sqrt{y}\, (1-y)^{2-q}}\biggr)^2\frac{1-\sqrt{z}}{\sqrt{z}} \, dz\biggr)^{1/2}. \end{equation*} \notag $$
Применим доказанное в лемме 2 неравенство для функций $g(x)=f(x-\rho)$ и $g(x)= f(\rho-x)$. Соответственно получим
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \int^0_{-\rho} \frac{(f(t))^2}{(\rho+t)^{2-q}(2-\rho-t)^{2-q}}\, dt < \kappa'(q)\int^0_{-\rho} (f'(t))^2\, dt, \\ \int_0^\rho \frac{(f(t))^2}{(\rho-t)^{2-q}(2-\rho+t)^{2-q}}\, dt< \kappa'(q)\int_0^\rho (f'(t))^2\, dt. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Очевидно, что если $\rho\in (0,1)$ и $x\in [-\rho, 0]$, то
$$ \begin{equation*} (x+\rho)(2-\rho-x)< 1-x^2, \end{equation*} \notag $$
и что если $\rho\in (0,1)$ и $x\in [0,\rho]$, то
$$ \begin{equation*} (\rho-x)(2-\rho+x)< 1-x^2. \end{equation*} \notag $$
Следовательно,
$$ \begin{equation*} \int^0_{-\rho} \frac{(f(t))^2}{(1-t^2)^{2-q}}\, dt\,{<}\,\kappa'(q)\int^0_{-\rho} (f'(t))^2\, dt,\quad \int_0^\rho \frac{(f(t))^2}{(1-t^2)^{2-q}}\, dt\,{<}\,\kappa'(q)\int_0^\rho (f'(t))^2\, dt. \end{equation*} \notag $$
Суммируя два последних неравенства, получим утверждение теоремы. Теорема доказана.

Теперь сравним $\kappa'(q)$ с постоянными в уже известных неравенствах. Например, Ф. Г. Авхадиев показал, что в неравенстве теоремы 4 вместо $\kappa'(q)$ можно поставить величину

$$ \begin{equation*} C(q)=2^{3q-4}\pi^{2(1-q)}. \end{equation*} \notag $$
Преимущество константы $C(q)$ в том, что случаи $C(1)$ и $C(2)$ неулучшаемы (см. [18], [21]). Несмотря на это, существуют два значения $\widehat{q}_0$ и $\widehat{q}_1$ такие, что $\kappa'(q)\leqslant C(q)$ для любого $q\in [\widehat{q}_0,\widehat{q}_1]$. Действительно, при $q=3/2$ имеем
$$ \begin{equation*} \kappa'\biggl(\frac32\biggr)= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3\pi^2}{2}-14}\approx 0.448444< C\biggl(\frac32\biggr)=\frac{\sqrt{2}}{\pi}\approx 0.450158, \end{equation*} \notag $$
а также
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \kappa'(1.3)\approx 0.469203<C(1.3)\approx 0.469469, \\ \kappa'(1.4) \approx 0.458389<C(1.4)\approx 0.459712, \\ \kappa'(1.6) \approx 0.439246<C(1.6)\approx 0.440803, \\ \kappa'(1.7) \approx 0.430701<C(1.7)\approx 0.431641. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Замечание 1. В силу непрерывности $\kappa'(q)$ по переменной $q$ существуют некоторые окрестности $[\widehat{q}_0,\widehat{q}_1]$ этих точек такие, что

$$ \begin{equation*} \kappa'(q)<C(q) \quad\forall\, q\in [\widehat{q}_0,\widehat{q}_1]. \end{equation*} \notag $$
Более того, численные вычисления показывают, что $\kappa'(q)<C(q)$ для любого $q\in[1.2823044502226741, 1.7950834115169314]$. В концевых точках этого отрезка значение $\kappa'(q)-C(q)$ близко к нулю.

На первый взгляд может показаться, что усиление константы $C(q)$ незначительное. Из сравнения нашего неравенства и одномерного варианта неравенства Авхадиева и Вирса (1.4) при $\nu=1/q$ (см. подробнее [15]), константа $k'(q)$ при любом $q\in [0,2]$ не может быть меньше чем

$$ \begin{equation*} \lambda(q)=\frac{2^{q}}{q^2(j_{1/q-1})^2}. \end{equation*} \notag $$
Например, $\lambda(3/2)\approx 0.360891$. Добавим, что оценка $\lambda(q)\leqslant \kappa'(q)$ – достаточно грубая.

§ 3. Многомерные неравенства

В этом параграфе мы получим многомерные неравенства типа Харди в произвольных областях, в областях регулярных в смысле Дэвиса, в областях, удовлетворяющих условию конуса, в областях, $\lambda$-близких к выпуклым, и выпуклых областях.

Прежде введем основные обозначения, используемые в данном параграфе. Пусть $\Omega$ – открытое связное собственное подмножество евклидова пространства $\mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$, $|\mathbb{S}^{n-1}|$ – площадь поверхности $(n-1)$-мерной единичной сферы $\mathbb{S}^{n-1}$ в $\mathbb{R}^n$, $d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)$ – элемент площади поверхности единичной сферы и $d\omega(\nu)= d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)/|\mathbb{S}^{n-1}|$ – нормированная мера на единичной сфере. Для любой точки $x\in\Omega$, $\nu \in \mathbb{S}^{n-1}$ полагаем

$$ \begin{equation*} \tau_\nu(x):=\min\{s>0\colon x+s\nu\notin \Omega\} \end{equation*} \notag $$
– расстояние между точкой $x$ и ближайшей точкой, принадлежащей границе $\partial\Omega$, по направлению вектора $\nu$,
$$ \begin{equation*} \delta(x)=\inf_{\nu\in \mathbb{S}^{n-1}}\tau_\nu(x) \end{equation*} \notag $$
– расстояние от точки $x$ до границы области $\Omega$,
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \rho_\nu(x):= \min\{\tau_\nu(x),\tau_{-\nu}(x)\}, \qquad \mu_\nu(x):= \max\{\tau_\nu(x),\tau_{-\nu}(x)\}, \\ D_\nu(x):= \tau_\nu(x)+\tau_{-\nu}(x), \qquad D(\Omega)=\sup_{x\in \Omega,\, \nu\in \mathbb{S}^{n-1}} D_\nu(x), \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
и расстояние в среднем
$$ \begin{equation*} \delta^{-2}_M=n\int_{\mathbb{S}^{n-1}}(\rho_\nu(x))^{-2}\, d\omega(\nu)= \frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}(\rho_\nu(x))^{-2}d\mathbb{S}^{n-1}. \end{equation*} \notag $$
Расстояние в среднем также иногда называют расстоянием по Дэвису.

Через $|\Omega|$ обозначим объем области $\Omega$ и через $\Omega_x$ – элементы множества $\Omega$, которые “видны” из точки $x$, т. е.

$$ \begin{equation*} \Omega_x=\{y\in \Omega\colon x+t(y-x)\in\Omega \ \forall\, t\in [0,1]\}. \end{equation*} \notag $$

Напомним, что постоянная

$$ \begin{equation*} K(n)=n\biggl[\frac{|\mathbb{S}^{n-1}|}{n}\biggr]^{2/n}. \end{equation*} \notag $$
Отметим, что мы применяем обозначения и подход к доказательству теорем из статьи [9] (см. также [1], [10], [20], [30]).

3.1. Неравенства в произвольных областях в терминах расстояния в среднем

Теорема 5. Пусть $\Omega$ – произвольная область евклидова пространства $\mathbb{R}^n$ и $\nu \in (0,1]$. Тогда для любой функции $g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ справедливы неравенства

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx &\geqslant \frac{1-\nu^2}{4}\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{(\delta_M(x))^2}\, dx + K(n)\frac{5-5\nu^2+4(j'_\nu)^2}{8}\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{|\Omega_x|^{2/n}}\, dx \\ &\qquad+ \frac{(j'_\nu)^2 K(n)n}{32|\mathbb{S}^{n-1}|}\int_\Omega \frac{|g(x)|^2\delta(x)}{|\Omega_x|^{3/n}} \, dx, \\ \int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx &\geqslant \frac{1}{4}\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{(\delta_M(x))^2}\, dx + \frac{5}{8}(C_0(1))^2K(n)\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{ |\Omega_x|^{2/n}}\, dx \\ &\qquad+ \frac{(C_0(1))^2K(n)n}{16|\mathbb{S}^{n-1}|}\int_\Omega |g(x)|^2\frac{\delta(x)}{|\Omega_x|^{3/n}} \, dx, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $j'_{\nu-1}$ – первый положительный корень производной $J'_{\nu-1}$ функции Бесселя и $C_0(1)\approx 1.25578$ – первое положительное решение уравнения
$$ \begin{equation*} 1-z\frac{J_1(z)}{J_0(z)} =0, \qquad z\in (0,j_0). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Так как оба неравенства имеют одинаковый вид и отличаются только константы, то дальнейшие рассуждения мы будем проводить без уточнения констант.

Через $\partial_\nu$ обозначим частную производную по направлению $\nu$. Используя одномерные неравенства из теоремы 3, получим

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_\Omega |\partial_\nu g (x)|^2\, dx &\geqslant C_1\int_\Omega\frac{|g(x)|^2}{(\rho_\nu(x))^2}\, dx+ C_2\int_\Omega\frac{|g(x)|^2}{\rho_\nu(x)\mu_\nu(x)}\, dx \\ &\qquad +C_3\int_\Omega\frac{|g(x)|^2}{(\mu_\nu(x))^2}\, dx+C_4\int_\Omega\frac{|g(x)|^2\rho_\nu(x)}{(\mu_\nu(x))^3}\, dx. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Если проинтегрируем это неравенство по нормированной мере $d\omega(\nu)$ и воспользуемся определением производной по направлению
$$ \begin{equation*} |\partial_\nu g|=|\nu\cdot\nabla g|=|\nabla g|\, |{\cos(\nu,\nabla g)}|, \end{equation*} \notag $$
то получим
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \int_{\mathbb{S}^{n-1}}|{\cos(\nu,\nabla g)}|^2\, d\omega(\nu)\, dx \\ &\geqslant C_1\int_\Omega |g(x)|^2\int_{\mathbb{S}^{n-1}} \frac{1}{(\rho_\nu(x))^2}\, d\omega(\nu)\, dx+ C_2\int_\Omega |g(x)|^2\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{1}{\rho_\nu(x)\mu_\nu(x)}\, d\omega(\nu)\, dx \\ &\ \ +C_3\int_\Omega |g(x)|^2\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{1}{(\mu_\nu(x))^2}\, d\omega(\nu)\, dx+ C_4\int_\Omega |g(x)|^2\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{\rho_\nu(x)}{(D_\nu(x))^3}\, d\omega(\nu) \, dx. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
А. А. Балинский, В. Д. Эванс, Р. Т. Льюис в монографии [1; п. 3.6] доказали, что имеют место оценки
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{1}{\rho_\nu(x)\mu_\nu(x)}\, d\omega(\nu) &\geqslant \biggl[\frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|}|\Omega_x|\biggr]^{-2/n}, \\ \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{1}{(\mu_\nu(x))^2}\, d\omega(\nu) &\geqslant \frac{1}{2}\biggl[\frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|}|\Omega_x|\biggr]^{-2/n}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

а в статье [20] Дж. Тидбломом показано, что

$$ \begin{equation*} \int_{\mathbb{S}^{n-1}}|{\cos(\nu,\nabla g)}|^2\, d\omega(\nu)=\frac{1}{n}, \qquad \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\biggl(\frac{2}{D_\nu(x)}\biggr)^3\, d\omega(\nu) \geqslant \biggl[\frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|}|\Omega_x|\biggr]^{-3/n}. \end{equation*} \notag $$

Поэтому

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx &\geqslant C_1\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{(\delta_M(x))^2}\, dx+\biggl(C_2+\frac{C_3}{2}\biggr)K(n)\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{ |\Omega_x|^{2/n}}\, dx \\ &\qquad+ \frac{C_4 K(n)n}{8|\mathbb{S}^{n-1}|}\int_\Omega |g(x)|^2\frac{\delta(x)}{|\Omega_x|^{3/n}} \, dx. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Теорема доказана.

Используя доказательство теоремы 5 и очевидные неравенства

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{1}{\rho_\nu(x)\mu_\nu(x)}\, d\omega(\nu)\geqslant \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{4}{(\rho_\nu(x)+\mu_\nu(x))^2}\, d\omega(\nu)\geqslant \frac{4}{(D(\Omega))^2}, \\ \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{1}{(\mu_\nu(x))^2}\, d\omega(\nu)\geqslant \frac{1}{(D(\Omega))^2}, \qquad \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{1}{(\mu_\nu(x))^3}\, d\omega(\nu)\geqslant \frac{1}{(D(\Omega))^3}, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

получим

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx &\geqslant C_1\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{(\delta_M(x))^2}\, dx+\frac{n(4C_2+C_3)}{(D(\Omega))^2}\int_\Omega |g(x)|^2\, dx \\ &\qquad+ \frac{nC_4}{(D(\Omega))^3}\int_\Omega |g(x)|^2\delta(x) \, dx. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 6. Пусть $\Omega$ – произвольная ограниченная область евклидова пространства $\mathbb{R}^n$ и $\nu \in (0,1]$. Тогда для любой функции $g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ справедливы неравенства

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx &\geqslant \frac{1-\nu^2}{4}\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{(\delta_M(x))^2}\, dx+ n\frac{9-9\nu^2+6(j'_\nu)^2}{4(D(\Omega))^2}\int_\Omega |g(x)|^2\, dx \\ &\qquad+ \frac{n(j'_\nu)^2}{4(D(\Omega))^3}\int_\Omega |g(x)|^2\delta(x) \, dx, \\ \int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx &\geqslant \frac{1}{4}\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{(\delta_M(x))^2}\, dx+n\frac{7(C_0(1))^2}{4(D(\Omega))^2}\int_\Omega |g(x)|^2\, dx \\ &\qquad+ \frac{n(C_0(1))^2}{2(D(\Omega))^3}\int_\Omega |g(x)|^2\delta(x) \, dx, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

где $j'_{\nu-1}$ – первый положительный корень производной $J'_{\nu-1}$ функции Бесселя и $C_0(1)\approx 1.25578$.

3.2. Случай регулярных областей по Дэвису

Следуя Е. Б. Дэвису [31] (см. также [32], [33]), будем говорить, что область $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ регулярная, если существует конечная константа $c$ такая, что

$$ \begin{equation*} \delta(x) \leqslant m(x) \leqslant c\delta(x) \quad\, \forall{x\in\Omega}, \end{equation*} \notag $$

где $m(x)$ определяется следующим образом:

$$ \begin{equation*} (m(x))^{-2} =\frac{1}{|\mathbb{S}^{n-1}|}\int_{\mathbb{S}^{n-1}} \frac{d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)}{(\tau_\nu(x))^2}. \end{equation*} \notag $$

В статье [32] ослаблены и обобщены на случай многомерных областей достаточные условия регулярности Дэвиса.

Используя определение функций $\rho_\nu$ и $\tau_\nu$, получим следующую цепочку равенств (см. подробнее [32]):

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, (\delta_M(x))^{-2} &= \frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)}{(\rho_\nu(x))^2} =\frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)} {(\min\{\tau_\nu(x),\tau_{-\nu}(x)\})^2} \\ &=\frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|}\biggl(\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)} {(\tau_\nu(x))^2}+\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)}{(\tau_{-\nu}(x))^2}\biggr) \\ &=\frac{2n}{|\mathbb{S}^{n-1}|}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)} {(\tau_\nu(x))^2}=\frac{2n}{(m(x))^2}\geqslant \frac{2n}{c^2(\delta(x))^2}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Поэтому из теоремы 5 получим следующую теорему.

Теорема 7. Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ является регулярной областью и $\nu \in (0,1]$. Тогда для любой функции $g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ справедливы неравенства

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx &\geqslant \frac{(1-\nu^2)n}{2c^2}\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^2}\, dx+ K(n)\frac{5-5\nu^2+4(j'_\nu)^2}{8|\Omega|^{2/n}}\int_\Omega |g(x)|^2\, dx \\ &\qquad+ \frac{(j'_\nu)^2 K(n)n}{32|\mathbb{S}^{n-1}|\, |\Omega|^{3/n}}\int_\Omega |g(x)|^2\delta(x) \, dx, \\ \int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx &\geqslant \frac{n}{2c^2}\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^2}\, dx+ \frac{5 (C_0(1))^2K(n)}{8 |\Omega|^{2/n}}\int_\Omega |g(x)|^2\, dx \\ &\qquad+ \frac{(C_0(1))^2K(n)n}{16 |\mathbb{S}^{n-1}|\, |\Omega|^{3/n}}\int_\Omega |g(x)|^2\delta(x) \, dx, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

где $j'_{\nu-1}$ – первый положительный корень производной $J'_{\nu-1}$ функции Бесселя и $C_0(1)\approx 1.25578$.

3.3. Области, удовлетворяющие условию конуса

Мы будем говорить, что область $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ удовлетворяет условию внешнего $\theta$-конуса, если каждая точка $x\in\partial\Omega$ является вершиной кругового конуса $C_x$ с углом $2\theta$, лежащего полностью в $\mathbb{R}^n\setminus{\Omega}$.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 8. Пусть $\nu \in (0,1]$ и $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ удовлетворяет условию внешнего $\theta$-конуса. Тогда для любой функции $g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ справедливы неравенства

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx &\geqslant (1-\nu^2)\frac{ns((\sin \theta)/2)}{16}\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^2}\, dx \\ &\qquad+ K(n)\frac{5-5\nu^2+4(j'_\nu)^2}{8|\Omega|^{2/n}}\int_\Omega |g(x)|^2\, dx \\ &\qquad+ \frac{(j'_\nu)^2 K(n)n}{32|\mathbb{S}^{n-1}|\, |\Omega|^{3/n}}\int_\Omega |g(x)|^2\delta(x) \, dx, \\ \int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx &\geqslant \frac{ns((\sin \theta)/2)}{16}\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^2}\, dx+ \frac{5 (C_0(1))^2K(n)}{8 |\Omega|^{2/n}}\int_\Omega |g(x)|^2\, dx \\ &\qquad+ \frac{(C_0(1))^2K(n)n}{16 |\mathbb{S}^{n-1}|\, |\Omega|^{3/n}}\int_\Omega |g(x)|^2\delta(x) \, dx, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} s(\alpha)=\int_0^{\arcsin \alpha}(\sin t)^{n-2}\, dt\, \biggl(\int_0^{\pi}(\sin t)^{n-2}\, dt\biggr)^{-1}, \end{equation*} \notag $$
$j'_{\nu-1}$ – первый положительный корень производной $J'_{\nu-1}$ функции Бесселя и $C_0(1)\approx 1.25578$.

Доказательство. Если $\Omega$ удовлетворяет условию $\theta$-конуса, то известно, что (cм. подробнее [1; п. 3.3])
$$ \begin{equation*} \delta_M(x)\leqslant 2\delta(x)\biggl[\frac{1}{ns((\sin \theta)/2)}\biggr]^{1/2}. \end{equation*} \notag $$
Также имеет место оценка $|\Omega_x|\leqslant |\Omega|$ для любого $x\in\Omega$.

Применяя теорему 5 и вышеприведенную оценку для расстояния в среднем, получим требуемое утверждение. Теорема доказана.

3.4. Области, $\lambda$-близкие к выпуклым

Следуя статье [34], будем говорить, что область $\Omega$ является $\lambda$-близкой к выпуклой, если $\Omega\neq\mathbb{R}^n$ и для любой граничной точки $y\in (\partial\Omega)\setminus\{\infty\}$ существует такая точка $a_y\in\mathbb{R}^n\setminus\overline{\Omega}$, что $|y-a_y|=\lambda$ и

$$ \begin{equation*} B_y=\{x\in \mathbb{R}^n\colon |x-a_y|< \lambda\}\subset \mathbb{R}^n\setminus\overline{\Omega}, \end{equation*} \notag $$
т. е. точку $y$ можно коснуться шаром, лежащим вне области $\Omega$.

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 3. Если $\Omega$ является $\lambda$-близкой к выпуклой, то в каждой точке $x\,{\in}\,\Omega$ справедливы неравенства

$$ \begin{equation*} \delta_M(x)\leqslant \frac{\delta(x)}{\sqrt{v\bigl(\arcsin(\lambda/(\lambda+\delta(x)))\bigr)}} \leqslant\frac{\delta(x)}{\sqrt{v\bigl(\arcsin(\lambda/(\lambda+\delta_0(\Omega)))\bigr)}}, \end{equation*} \notag $$
где $\delta_0(\Omega)=\sup_{x\in\Omega}\delta(x)$ – внутренний радиус области и
$$ \begin{equation*} v(\alpha)=\int_0^{\alpha}(\sin\theta)^{n-2}(\cos\theta)^2 d\theta\biggl(\int_0^{\pi}(\sin\theta)^{n-2}(\cos\theta)^2\, d\theta\biggr)^{-1}. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Пусть $x\in\Omega$ и $ y\in\partial\Omega$ такие, что $\delta(x)=|x-y|$. Тогда существует шар (рис. 1) $B_y$ радиуса $\lambda$ с центром в точке $a_y$, который касается области $\Omega$ в точке $y$ и $B_y=\{x\in \mathbb{R}^n\colon |x-a_y|< \lambda\}\subset \mathbb{R}^n\setminus\overline{\Omega}$.

Рассмотрим телесный угол $\Lambda_x=\Lambda_x(\varphi_1,\dots, \varphi_{n-1})$, образованный шаром радиуса $\lambda$ с центром на расстоянии $\delta(x)+\lambda$ от точки $x$, где $\varphi_1\in [0,2\pi)$, $\varphi_2, \dots, \varphi_{n-2}\in[0,\pi]$ и $\varphi_{n-1}=[0,\arcsin (\lambda/(\lambda+\delta(x)))]$.

Через $\mathbf{e}$ обозначим единичный вектор такой, что $\rho_\mathbf{e}(x)=\delta(x)$. Следовательно,

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{1}{(\delta_M(x))^2} &=\frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|} \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\frac{d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)}{(\rho_\nu(x))^2}\geqslant \frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|}\int_{\Lambda_x}\frac{d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)}{(\rho_\nu(x))^2} \\ &\geqslant \frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|(\delta(x))^2} \int_{\Lambda_x}(\cos(\mathbf{e},\nu))^2\, d\mathbb{S}^{n-1}(\nu) \\ &=\frac{n}{|\mathbb{S}^{n-1}|(\delta(x))^2}\int_0^{2\pi}d\varphi_{1}\int_0^{\pi}d\varphi_{2} \dotsb\int_0^{\pi}d\varphi_{n-2}\int_0^{\alpha} (\sin\varphi_{n-1})^{n-2} \\ &\qquad\times(\sin\varphi_{n-2})^{n-3}\dotsb \sin\varphi_{2} (\cos\varphi_{n-1})^2\, d\varphi_{n-1} \\ &=\frac{1}{(\delta(x))^2}\biggl(\int_0^{\alpha}(\sin\theta)^{n-2}(\cos\theta)^2 \, d\theta\biggr)\biggl(\int_0^{\pi}(\sin\theta)^{n-2}(\cos\theta)^2\, d\theta\biggr)^{-1}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $\alpha=\arcsin(\lambda/(\lambda+\delta(x))$.

Выше мы воспользовались тем, что справедливо равенство (см. [20])

$$ \begin{equation*} \frac{1}{|\mathbb{S}^{n-1}|}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}(\cos(\mathbf{e},\nu))^2\, d\mathbb{S}^{n-1}(\nu)=\frac{1}{n}. \end{equation*} \notag $$
Лемма доказана.

Справедливы утверждения, которые соответственно следуют из теоремы 5 и теоремы 6.

Теорема 9. Пусть $\nu \in (0,1]$ и $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ является $\lambda$-близкой к выпуклой. Тогда для любой функции $g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ справедливы неравенства

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx \geqslant v\biggl(\arcsin\frac{\lambda}{\lambda+\delta_0(\Omega)}\biggr) \frac{1-\nu^2}{4}\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^2}\, dx \\ &\qquad +K(n)\frac{5-5\nu^2+4(j'_\nu)^2}{8|\Omega|^{2/n}}\int_\Omega |g(x)|^2\, dx+ \frac{(j'_\nu)^2 K(n)n}{32|\mathbb{S}^{n-1}|\, |\Omega|^{3/n}}\int_\Omega |g(x)|^2\delta(x) \, dx, \\ &\int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx \geqslant v\biggl(\arcsin\frac{\lambda}{\lambda+\delta_0(\Omega)}\biggr)\, \frac14 \int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^2}\, dx \\ &\qquad +\frac{5 (C_0(1))^2K(n)}{8 |\Omega|^{2/n}}\int_\Omega |g(x)|^2\, dx+ \frac{(C_0(1))^2K(n)n}{16 |\mathbb{S}^{n-1}| \, |\Omega|^{3/n}}\int_\Omega |g(x)|^2\delta(x) \, dx, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $j'_{\nu-1}$ – первый положительный корень производной $J'_{\nu-1}$ функции Бесселя и $C_0(1)\approx 1.25578$.

Теорема 10. Пусть $\nu \in (0,1]$ и $\Omega$ является $\lambda$-близкой к выпуклой. Тогда для любой функции $f\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ справедливы неравенства

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx\geqslant v\biggl(\arcsin\frac{\lambda}{\lambda+\delta_0(\Omega)}\biggr) \frac{1-\nu^2}{4}\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^2}\, dx \nonumber \\ &\qquad+ n\frac{9-9\nu^2+6(j'_\nu)^2}{4(D(\Omega))^2}\int_\Omega |g(x)|^2\, dx+ \frac{n(j'_\nu)^2}{4(D(\Omega))^3}\int_\Omega |g(x)|^2\delta(x) \, dx, \nonumber \\ &\int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx\geqslant v\biggl(\arcsin\frac{\lambda}{\lambda+\delta_0(\Omega)}\biggr)\, \frac14\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^2}\, dx \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
$$ \begin{equation} {}+ n\frac{7(C_0(1))^2}{4(D(\Omega))^2}\int_\Omega |g(x)|^2\, dx+ \frac{n(C_0(1))^2}{2(D(\Omega))^3}\int_\Omega |g(x)|^2\delta(x) \, dx, \end{equation} \tag{3.1} $$
где $j'_{\nu-1}$ – первый положительный корень производной $J'_{\nu-1}$ функции Бесселя и $C_0(1)\approx 1.25578$.

Следствие 2. В случае областей, $\lambda$-близких к выпуклым, имеем

$$ \begin{equation*} \lambda_1(\Omega)\geqslant \frac{2.75972n}{(D(\Omega))^2}. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Как мы упоминали выше во введении первое собственное число $\lambda_1(\Omega)$ для лапласиана при граничных условиях Дирихле является точной константой в следующем неравенстве Пуанкаре:
$$ \begin{equation*} \lambda_1(\Omega)\int_\Omega|g(x)|^2\, dx\leqslant \int_\Omega |\nabla g(x)|^2\, dx \quad \forall\, g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega). \end{equation*} \notag $$
Применяя неравенство (3.1) и приближенное равенство $7(C_0(1))^2/4 \approx 2.75972$, получим утверждение следствия. Следствие доказано.

3.5. Случай выпуклых областей

В случае выпуклых областей формулы упрощаются. Известно, что если $\Omega$ – выпуклая область, то

$$ \begin{equation*} |\Omega_x|=|\Omega| \quad\text{и}\quad \delta_M(x)\geqslant \delta(x). \end{equation*} \notag $$
Как следствие теоремы 5 получим следующее утверждение.

Теорема 11. Пусть $\nu \in (0,1]$ и $\Omega$ – открытое выпуклое подмножество $\mathbb{R}^n$ с конечным объемом. Тогда для любой функции $g\in C_{\mathrm{c}}^1(\Omega)$ справедливы неравенства

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx &\geqslant \frac{1-\nu^2}{4}\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^2}\, dx+ K(n)\frac{5-5\nu^2+4(j'_\nu)^2}{8|\Omega|^{2/n}}\int_\Omega |g(x)|^2\, dx \\ &\qquad+ \frac{(j'_\nu)^2 K(n)n}{32|\mathbb{S}^{n-1}|\, |\Omega|^{3/n}}\int_\Omega |g(x)|^2\delta(x) \, dx, \\ \int_\Omega |\nabla g (x)|^2 \, dx &\geqslant \frac{1}{4}\int_\Omega \frac{|g(x)|^2}{(\delta(x))^2}\, dx+ \frac{5 (C_0(1))^2K(n)}{8 |\Omega|^{2/n}}\int_\Omega |g(x)|^2\, dx \\ &\qquad+ \frac{(C_0(1))^2K(n)n}{16|\mathbb{S}^{n-1}| \, |\Omega|^{3/n}}\int_\Omega |g(x)|^2\delta(x) \, dx, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $j'_{\nu-1}$ – первый положительный корень производной $J'_{\nu-1}$ функции Бесселя и $C_0(1)\approx 1.25578$.

Эта теорема при $\nu=1$ влечет следующее утверждение.

Следствие 3. В выпуклых областях $\Omega$ с фиксированным объемом

$$ \begin{equation*} \lambda_1(\Omega)\geqslant \frac{(j'_1)^2}{2}\, \frac{K(n)}{|\Omega|^{2/n}}, \end{equation*} \notag $$
где $j'_1\approx 1.84118$ – первый положительный корень производной $J_1'$ функции Бесселя $J_1$.

Замечание 2. Из каждого многомерного неравенства следует соответствующая оценка первого собственного числа $\lambda_1(\Omega)$.

§ 4. Достаточные условия однолистности типа Нехари–Покорного

В этом параграфе мы получим достаточные условия однолистности типа Нехари–Покорного. Рассмотрим достаточные условия для аналитических функций в круге, во внешности единичного круга и в правой полуплоскости. В данном параграфе будем полагать, что

$$ \begin{equation*} \kappa'(q)=\frac{1}{2}\biggl(\int_0^1 \biggl(B_{t}\biggl(\frac12,q-1\biggr)\biggr)^2 \frac{1-\sqrt{t}}{\sqrt{t}}\, dt \biggr)^{1/2}, \end{equation*} \notag $$
где $B_t(x,y)=\int_0^t\tau^{x-1}(1-\tau)^{y-1}\, d\tau$ – неполная бета-функция, а через $\widehat{q}_0$ и $\widehat{q}_1$ обозначим постоянные такие, что $\kappa'(q)\leqslant 2^{3q-4}\pi^{2(1-q)}$ для любого $q\in[\widehat{q}_0, \widehat{q}_1] $.

4.1. Случай единичного круга

Пусть $f(z)$ – мероморфная в единичном круге $\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}\colon |z|<1\}$ функция, а $S_f(z)=f'''/f'-(3/2)(f''/f')^2$ – производная Шварца или шварциан функции $f$.

Ф. Г. Авхадиев показал (см. [22], [23]), что имеет место следующая теорема.

Теорема A. Мероморфная в $\mathbb{D}$ функция $f(z)$ будет однолистной в $\mathbb{D}$, если при некотором наборе вещественных неотрицательных параметров $n$, $a_k$ и $q_k$, $k=1,\dots,n$, выполняется неравенство

$$ \begin{equation*} |S_f(z)| \leqslant \sum_{k=1}^n\frac{a_k A(q_k)}{(1-|z|^2)^{2-q_k}},\qquad z\in \mathbb{D}, \end{equation*} \notag $$
причем $a_1+a_2+ \dots +a_n\leqslant 1$, $0\leqslant q_1\leqslant q_2\leqslant \dots \leqslant q_n\leqslant 2$, постоянные Покорного имеют вид
$$ \begin{equation*} A(q)=\begin{cases} 2^{q+1}, &0\leqslant q \leqslant 1, \\ 2^{5-3q}\pi^{2(q-1)}, &1\leqslant q \leqslant 2. \end{cases} \end{equation*} \notag $$

При $n=0$ и $q=0$ или $q=2$ это утверждение доказал З. Нехари в статье [21], случай $n=1$ установил В. В. Покорный в [35]. Позднее С. Ямашито [26] показал, что если $n=1$ и $q\in [0,1]$, то $A(q)=2(1+q)$, т. е. достаточное условие было ослаблено. Автором в работе [36] усилен результат С. Ямашито, а также утверждение теоремы A при $q\in [0,1]$. В данном параграфе мы получим новые результаты при $q\in[\widehat{q}_0,\widehat{q}_1]$, так как в этом случае

$$ \begin{equation*} \frac2{\kappa'(q)}\geqslant A(q). \end{equation*} \notag $$
Напомним, что $\widehat{q}_0$ и $\widehat{q}_1$ мы определили в замечании 1 как постоянные такие, что $\kappa'(q)\leqslant 2^{3q-4}\pi^{2(1-q)}$ для любого $q\in[\widehat{q}_0, \widehat{q}_1]$.

В основе доказательства теоремы A лежит связь однолистности функции $f(z)$ в области $\mathbb{D}$ и неколеблемости решений дифференциального уравнения (см. подробнее [21]–[23])

$$ \begin{equation} w''+\frac{1}{2}S_f(z)w=0. \end{equation} \tag{4.1} $$

Рассмотрим случай $n=1$. Случай произвольного $n$ обосновывается аналогично. Если предположить, что $f(z_1)=f(z_2)$, $z_1\neq z_2$, и

$$ \begin{equation*} |S_f(z)|\leqslant S(z), \end{equation*} \notag $$
где $S(z) =A(q)/(1-|z|^2)^{2-q}$, то существует решение $w_0$ этого дифференциального уравнения такое, что $w_0(-\rho)=w_0(\rho)=0$ и выполнено неравенство
$$ \begin{equation*} \frac{A(q)}{2}\int_{-\rho}^{\rho}\frac{|w_0(t)|^2}{(1-t^2)^{2-q}}\, dt\geqslant \int_{-\rho}^{\rho}|w'_0(t)|^2\, dt, \end{equation*} \notag $$
при любом $\rho\in(0,1)$, которое противоречит неравенству типа Харди
$$ \begin{equation} \frac{A(q)}{2}\int_{-\rho}^\rho\frac{(y(t))^2}{(1-t^2)^{2-q}}\, dt<\int_{-\rho}^\rho (y'(t))^2\, dt, \end{equation} \tag{4.2} $$
справедливому для любой абсолютно непрерывной на $(0,1)$ функции $y(t)\,{\not\equiv}\, 0$ такой, что $y(-\rho)=y(\rho)=0$, $\rho\in(0,1)$, и $y'\in L^2(-\rho,\rho)$ (подробнее см. статьи [22] и [23]).

В п. 2.3 мы получили неравенство, применяя которое по приведенному выше алгоритму, получим следующую теорему.

Теорема 12. Мероморфная в $\mathbb{D}$ функция $f(z)$ будет однолистной в $\mathbb{D}$, если $f'(z)\neq 0$ в $\mathbb{D}$ и при некотором наборе вещественных неотрицательных параметров $n$, $a_k$ и $q_k$, $k=1,\dots,n$, выполняется неравенство

$$ \begin{equation*} |S_f(z)| \leqslant \sum_{k=1}^n\frac{a_k R(q_k)}{(1-|z|^2)^{2-q_k}},\qquad z\in \mathbb{D}, \end{equation*} \notag $$
причем $a_1+a_2+ \dots +a_n\leqslant 1$, $0\leqslant q_1\leqslant q_2\leqslant \dots \leqslant q_n \leqslant 2$ и
$$ \begin{equation*} R(q)=\begin{cases} 2^{1+q}, &0\leqslant q \leqslant 1, \\ 2^{5-3q}\pi^{2(q-1)}, &1\leqslant q \leqslant \widehat{q}_0, \\ \dfrac{2}{\kappa'(q)}, &\widehat{q}_0 \leqslant q \leqslant \widehat{q}_1, \\ 2^{5-3q}\pi^{2(q-1)}, &\widehat{q}_1\leqslant q\leqslant 2. \end{cases} \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Будем следовать доказательству соответствующих утверждений из статей [21], [24]. Далее нам понадобится следующее утверждение.

Лемма 4 (см. [24]). Пусть функция $f(z)$ мероморфна в области $D$, функции $P(z)$, $Q(z)$ и шварциан $S_f(z)$, регулярные в $D$, связаны соотношением

$$ \begin{equation*} -P'(z)-\frac{(P(z))^2}2+2Q(z)=S_f(z), \qquad z\in D. \end{equation*} \notag $$
Если $f(z)$ неоднолистна в $D$, т. е. $f(z_1)=f(z_2)$ для $z_1\neq z_2$ $(z_1, z_2\in D)$, то найдется нетривиальное решение $w_0(z)$ уравнения
$$ \begin{equation*} w''(z)+P(z)w'(z)+Q(z)w(z)=0, \end{equation*} \notag $$
обращающееся в нуль в тех же точках $z_1$ и $z_2$.

Также мы воспользуемся следующим неравенством, которое получается объединением (4.2) и неравенства теоремы 4:

$$ \begin{equation*} \frac{R(q)}{2}\int_{-\rho}^\rho \frac{(y(t))^2}{(1-t^2)^{2-q}}\, dt<\int_{-\rho}^\rho (y'(t))^2\, dt. \end{equation*} \notag $$
Умножая обе стороны этого неравенства на положительные числа $a_k$, $k=1,\dots,n$, такие, что $a_1+\dots+a_n\leqslant 1$, получим
$$ \begin{equation*} \frac{a_k R(q)}{2}\int_{-\rho}^\rho \frac{(y(t))^2}{(1-t^2)^{2-q}}\, dt< a_k\int_{-\rho}^\rho (y'(t))^2\, dt. \end{equation*} \notag $$
Теперь просуммируем эти неравенства с учетом того, что $a_1+\dots+a_n\leqslant 1$. Имеем
$$ \begin{equation} \sum_{k=1}^{n}\frac{a_k R(q)}{2}\int_{-\rho}^\rho \frac{(y(t))^2}{(1-t^2)^{2-q}}\, dt< \int_{-\rho}^\rho (y'(t))^2\, dt \end{equation} \tag{4.3} $$
для любой абсолютно непрерывной функции $y$ такой, что $y(-\rho)=y(\rho)=0$.

Воспользуемся приведенными выше рассуждениями для мажоранты

$$ \begin{equation*} S(z)= \sum_{k=1}^{n}\frac{a_k R(q)}{2} (1-|z|^2)^{q-2}. \end{equation*} \notag $$
Если предположить, что $f$ неоднолистна в $|z|<1$, то в силу локальной однолистности найдется круг $|z|<\rho$ максимального радиуса $\rho\in(0,1)$ такой, что $f$ однолистна в этом круге, но неоднолистна в любом другом круге $|z|< \rho'$, где $\rho'\in(\rho,1)$. Фиксируем $\rho'\in(\rho,1)$. Тогда найдутся две различные точки $z_1$ и $z_2$, $|z_1|=|z_2|=\rho'$ такие, что $f(z_1)=f(z_2)$. Если таких точек нет, то это означало бы, что образом окружности $|z|=\rho'$ будет простая кривая и поэтому функция $f$ была бы однолистной в $|z|<\rho'$ по принципу аргумента (см., например, [25]). Что противоречит выбору максимального $\rho$. Без ограничения общности можно считать, что точки $0$, $z_1$ и $z_2$ лежат на одной прямой или даже на вещественном диаметре окружности. Такого расположения точек можно добиться с помощью соответствующего дробно-линейного преобразования (см., например, [23; § 6]).

По лемме 4 при $P(z)=0$ и $Q(z)= S_f(z)/2$ существует функция $w_0$ такая, что $w_0(x)\not\equiv 0$, $w_0(z_1)=w_0(z_2)=0$ и

$$ \begin{equation*} w''_0(z)+\frac{1}{2}S_f(z) w_0(z)=0. \end{equation*} \notag $$
Умножим обе части последнего равенства на $\overline{w_0}(z)\, dz$ и проинтегрируем по отрезку, соединяющему точки $z_1$ и $z_2$. Получим
$$ \begin{equation} \int_{z_1}^{z_2} \overline{w_0}(z)\, dw'_0(z)+\int_{z_1}^{z_2} \frac{1}{2}|w_0(z)|^2 S_f(z)\, dz=0. \end{equation} \tag{4.4} $$
Так как $|z_1|=|z_2|=\rho<1$, то $z_1=e^{i\alpha}(x_0+iy_0)$ и $z_2= e^{i\alpha}(x_0-iy_0)$, где $\alpha$, $x_0$, $y_0$ – вещественные числа, причем $x_0^2+y_0^2=\rho^2<1$. Параметрическое уравнение отрезка интегрирования в (4.4) можно записать в виде
$$ \begin{equation*} z(t)=e^{i\alpha}\Bigl(x_0+i\sqrt{1-x_0^2}\,t\Bigr), \end{equation*} \notag $$
где $t\in[-\rho,\rho]$, $\rho=|y_0|/\sqrt{1-x_0^2}$. Поэтому, используя равенство (4.4) и оценку $|S_f(z)|\leqslant S(z)$, после небольших преобразований для функции $w_0$, удовлетворяющей условиям $w_0(-\rho)=w_0(\rho)=0$, будем иметь неравенство
$$ \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}\frac{a_k R(q)}{2}\int_{-\rho}^\rho \frac{|w_0(t)|^2}{(1-t^2)^{2-q}}\, dt\geqslant \int_{-\rho}^\rho |w'_0(t)|^2\, dt, \end{equation*} \notag $$
которое противоречит (4.3) (см. также [21]–[24]). Таким образом, получим утверждение теоремы. Теорема доказана.

4.2. Достаточные условия в односвязных областях отличных от круга

На основании предыдущих теорем можно получить достаточные условия однолистности также для односвязных областей отличных от круга. Пусть $F(\zeta)$ мероморфная односвязная в области $\mathfrak{D}$ и $\varphi(\zeta)$ – функция, однолистно отображающая область $\mathfrak{D}$ на единичный круг $\mathbb{D}$. Тогда функции $F$ и $f(z)=F^{-1}(\varphi(\zeta))$ будут однолистными и неоднолистными одновременно.

Известно следующее равенство:

$$ \begin{equation*} S_f(z)=(\varphi'(\zeta))^{-2}(S_F(\zeta)-S_\varphi(\zeta)), \qquad\zeta\in \mathfrak{D}, \end{equation*} \notag $$
которое принимает более простой вид в случае, когда $\varphi$ является дробно-линейным отображением, т. е. $S_\varphi(\zeta)\equiv 0$.

Следовательно, достаточное условие теоремы 12 перепишется в виде

$$ \begin{equation*} |S_F(\zeta)-S_\varphi(\zeta)|\leqslant \sum_{k=1}^n a_k R(q_k) \frac{|\varphi'(\zeta)|^2}{(1-|\varphi(\zeta)|^2)^{2-q_k}} \quad \forall\, \zeta\in \mathfrak{D}. \end{equation*} \notag $$
Если, например, $\varphi(\zeta) =1/\zeta$ и $\varphi(\zeta)= (\zeta-1)/(\zeta+1)$, то соответственно получим следующее утверждение.

Теорема 13. Мероморфная во внешности единичного круга $\mathbb{D}^{-}=\{\zeta\in\mathbb{C}$: $|\zeta|> 1\}$ функция $F(\zeta)$ будет однолистной в $\mathbb{D}^{-}$, если $F'(\zeta)\neq 0$ в $\mathbb{D}^-$ и при некотором наборе вещественных неотрицательных параметров $n$, $a_k$ и $q_k$, $k=1,\dots,n$, выполняется неравенство

$$ \begin{equation*} |S_F(\zeta)| \leqslant \sum_{k=1}^na_k R(q_k)\frac{|\zeta|^{-4}}{(1-|\zeta|^{-2})^{2-q_k}},\qquad \zeta\in \mathbb{D}^{-}, \end{equation*} \notag $$
причем $a_1+a_2+ \dots +a_n\leqslant 1$, $0\leqslant q_1\leqslant q_2\leqslant \dots \leqslant q_n\leqslant 2$ и
$$ \begin{equation*} R(q)=\begin{cases} 2^{1+q}, &0\leqslant q \leqslant 1, \\ 2^{5-3q}\pi^{2(q-1)}, &1\leqslant q \leqslant \widehat{q}_0, \\ \dfrac{2}{\kappa'(q)}, &\widehat{q}_0 \leqslant q \leqslant \widehat{q}_1, \\ 2^{5-3q}\pi^{2(q-1)}, &\widehat{q}_1\leqslant q\leqslant 2. \end{cases} \end{equation*} \notag $$

Теорема 14. Мероморфная в правой полуплоскости $H_{+}=\{\zeta\in \mathbb{C}\colon \operatorname{Re}\zeta=\xi>0\}$ функция $F(\zeta)$ будет однолистной в $H_{+}$, если $F'(\zeta)\neq 0$ в $H_+$ и при некотором наборе вещественных неотрицательных параметров $n$, $a_k$ и $q_k$, $k=1,\dots,n$, выполняется неравенство

$$ \begin{equation*} |S_F(\zeta)| \leqslant \sum_{k=1}^n4^{q_k-1}a_k R(q_k)\frac{|\zeta+1|^{2q_k}}{\xi^{2-q_k}},\qquad \zeta\in H_{+}, \end{equation*} \notag $$
причем $\xi=\operatorname{Re}\zeta$, $a_1+a_2+ \dots +a_n\leqslant 1$, $0\leqslant q_1\leqslant q_2\leqslant \dots \leqslant q_n\leqslant 2$ и
$$ \begin{equation*} R(q)=\begin{cases} 2^{1+q}, &0\leqslant q \leqslant 1, \\ 2^{5-3q}\pi^{2(q-1)}, &1\leqslant q \leqslant \widehat{q}_0, \\ \dfrac{2}{\kappa'(q)}, &\widehat{q}_0 \leqslant q \leqslant \widehat{q}_1, \\ 2^{5-3q}\pi^{2(q-1)}, &\widehat{q}_1\leqslant q\leqslant 2. \end{cases} \end{equation*} \notag $$

Замечание 3. Хотим подчеркнуть, что новым результатом является только случай $q\in[\widehat{q}_0,\widehat{q}_1]$.

Автор выражает благодарность профессору Фариту Габидиновичу Авхадиеву за ценные советы по улучшению этой статьи. Также автор выражает благодарность рецензенту за ряд ценных замечаний, в силу которых статья стала намного лучше и яснее.

Список литературы

1. A. A. Balinsky, W. D. Evans, R. T. Lewis, The analysis and geometry of Hardy's inequality, Universitext, Springer, Cham, 2015, xv+263 pp.  crossref  mathscinet  zmath
2. Ф. Г. Авхадиев, “Свойства и применения функции расстояния открытого подмножества в евклидовом пространстве”, Изв. вузов. Матем., 2020, № 4, 87–92  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: F. G. Avkhadiev, “Properties and applications of the distance functions on open sets of the Euclidean space”, Russian Math. (Iz. VUZ), 64:4 (2020), 75–79  crossref
3. H. Brezis, M. Marcus, “Hardy's inequalities revisited”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 25:1-2 (1997), 217–237  mathscinet  zmath
4. T. Matskewich, P. E. Sobolevskii, “The best possible constant in generalized Hardy's inequality for convex domain in ${R}^n$”, Nonlinear Anal., 28:9 (1997), 1601–1610  crossref  mathscinet  zmath
5. Ф. Г. Авхадиев, “Геометрическое описание областей, для которых константа Харди равна $1/4$”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:5 (2014), 3–26  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: F. G. Avkhadiev, “A geometric description of domains whose Hardy constant is equal to $1/4$”, Izv. Math., 78:5 (2014), 855–876  crossref  adsnasa
6. M. Marcus, V. J. Mizel, Y. Pinchover, “On the best constant for Hardy's inequality in $\mathbb{R}^n$”, Trans. Amer. Math. Soc., 350:8 (1998), 3237–3255  crossref  mathscinet  zmath
7. E. B. Davies, “The Hardy constant”, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 46:4 (1995), 417–431  crossref  mathscinet  zmath
8. C. Bandle, Isoperimetric inequalities and applications, Monogr. Stud. Math., 7, Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.–London, 1980, x+228 pp.  mathscinet  zmath
9. M. Hoffmann-Ostenhof, T. Hoffmann-Ostenhof, A. Laptev, “A geometrical version of Hardy's inequality”, J. Funct. Anal., 189:2 (2002), 539–548  crossref  mathscinet  zmath
10. W. D. Evans, R. T. Lewis, “Hardy and Rellich inequalities with remainders”, J. Math. Inequal., 1:4 (2007), 473–490  crossref  mathscinet  zmath
11. F. G. Avkhadiev, “Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants”, Lobachevskii J. Math., 21 (2006), 3–31  mathnet  mathscinet  zmath
12. Ф. Г. Авхадиев, “Неравенства типа Харди в плоских и пространственных открытых множествах”, Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ, Сборник статей, Труды МИАН, 255, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2006, 8–18  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: F. G. Avkhadiev, “Hardy-type inequalities on planar and spatial open sets”, Proc. Steklov Inst. Math., 255:1 (2006), 2–12  crossref
13. S. Filippas, V. Maz'ya, A. Tertikas, “On a question of Brezis and Marcus”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 25:4 (2006), 491–501  crossref  mathscinet  zmath
14. F. G. Avkhadiev, K.-J. Wirths, “Unified Poincaré and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains”, ZAMM Z. Angew. Math. Mech., 87:8-9 (2007), 632–642  crossref  mathscinet  zmath
15. F. G. Avkhadiev, K.-J. Wirths, “Sharp Hardy-type inequalities with Lamb's constant”, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin, 18:4 (2011), 723–736  crossref  mathscinet  zmath
16. Ф. Г. Авхадиев, Р. Г. Насибуллин, “Неравенства типа Харди в произвольных областях с конечным внутренним радиусом”, Сиб. матем. журн., 55:2 (2014), 239–250  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: F. G. Avkhadiev, R. G. Nasibullin, “Hardy-type inequalities in arbitrary domains with finite inner radius”, Siberian Math. J., 55:2 (2014), 191–200  crossref
17. J. Hersch, “Sur la fréquence fondamentale d'une membrane vibrante: évaluations par défaut et principe de maximum”, Z. Angew. Math. Phys., 11 (1960), 387–413  crossref  mathscinet  zmath
18. В. И. Левин, “О неравенствах. II. Об одном классе интегральных неравенств”, Матем. сб., 4(46):2 (1938), 309–324  mathnet  zmath
19. В. Г. Мазья, Пространства С. Л. Соболева, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1985, 416 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. G. Maz'ja, Sobolev spaces, Springer Ser. Soviet Math., Springer-Verlag, Berlin, 1985, xix+486 с.  crossref  mathscinet  zmath
20. J. Tidblom, “A geometrical version of Hardy's inequality for $\mathring W^{1,p}(\Omega)$”, Proc. Amer. Math. Soc., 132:8 (2004), 2265–2271  crossref  mathscinet  zmath
21. Z. Nehari, “The Schwarzian derivative and schlicht functions”, Bull. Amer. Math. Soc., 55:6 (1949), 545–551  crossref  mathscinet  zmath
22. Ф. Г. Авхадиев, Л. А. Аксентьев, А. М. Елизаров, “Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения”, Итоги науки и техн. Сер. Матем. анал., 25, ВИНИТИ, М., 1987, 3–121  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: F. G. Avkhadiev, L. A. Aksent'ev, A. M. Elizarov, “Sufficient conditions for the finite-valence of analytic functions and their applications”, J. Soviet Math., 49:1 (1990), 715–799  crossref
23. Ф. Г. Авхадиев, Л. А. Аксентьев, “Достижения и проблемы в достаточных условиях конечнолистности аналитических функций”, Изв. вузов. Матем., 1986, № 10, 3–16  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: F. G. Avkhadiev, L. A. Aksent'ev, “Achievements and problems in sufficient conditions for finite-valence of analytic functions”, Russian Math. (Iz. VUZ), 30:10 (1986), 1–20
24. Ф. Г. Авхадиев, “Некоторые достаточные условия однолистности аналитических функций”, Тр. сем. по краев. задачам, 9, Изд-во Казан. ун-та, Казань, 1972, 3–11  mathnet  mathscinet  zmath
25. Ф. Г. Авхадиев, Конформные отображения и краевые задачи, 2-е изд., перераб. и доп., Изд-во Казан. ун-та, Казань, 2019, 412 с.  mathscinet  zmath
26. S. Yamashita, “Inequalities for the Schwarzian derivative”, Indiana Univ. Math. J., 28:1 (1979), 131–135  crossref  mathscinet  zmath
27. Дж. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций, т. 1, 2, ИЛ, М., 1949, 798 с., 220 с.; пер. с англ.: G. N. Watson, A treatise on the theory of Bessel functions, Reprint of the 2nd ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1966, vi+804 с.  mathscinet  zmath
28. P. R. Beesack, K. M. Das, “Extensions of Opial's inequality”, Pacific J. Math., 26:2 (1968), 215–232  crossref  mathscinet  zmath
29. R. C. Brown, D. B. Hinton, “Opial's inequality and oscillation of 2nd order equations”, Proc. Amer. Math. Soc., 125:4 (1997), 1123–1129  crossref  mathscinet  zmath
30. R. Nasibullin, “A geometrical version of Hardy–Rellich type inequalities”, Math. Slovaca, 69:4 (2019), 785–800  crossref  mathscinet  zmath
31. E. B. Davies, Spectral theory and differential operators, Cambridge Stud. Adv. Math., 42, Cambridge Univ.Press., Cambridge, 1995, x+182 pp.  crossref  mathscinet  zmath
32. А. М. Тухватуллина, “Неравенства типа Харди для специального семейства невыпуклых областей”, Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки, 153, № 1, Изд-во Казан. ун-та, Казань, 2011, 211–220  mathnet  mathscinet  zmath
33. Р. Г. Насибуллин, А. М. Тухватуллина, “Неравенства типа Харди с логарифмическими и степенными весами для специального семейства невыпуклых областей”, Уфимск. матем. журн., 5:2 (2013), 43–55  mathnet; англ. пер.: R. G. Nasibullin, A. M. Tukhvatullina, “Hardy type inequalities with logarithmic and power weights for a special family of non-convex domains”, Ufa Math. J., 5:2 (2013), 43–55  crossref  mathscinet
34. Ф. Г. Авхадиев, “Интегральные неравенства Харди и Реллиха в областях, удовлетворяющих условию внешней сферы”, Алгебра и анализ, 30:2 (2018), 18–44  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: F. G. Avkhadiev, “Hardy–Rellich integral inequalities in domains satisfying the exterior sphere condition”, St. Petersburg Math. J., 30:2 (2019), 161–179  crossref
35. В. В. Покорный, “О некоторых достаточных условиях однолистности”, Докл. АН СССР, 79:5 (1951), 743–746  mathscinet  zmath
36. Р. Г. Насибуллин, “Неравенства Харди для веса Якоби и их применения”, Сиб. матем. журн., 63:6 (2022), 1313–1333  mathnet  zmath; англ. пер.: R. G. Nasibullin, “Hardy-type inequalities for the Jacobi weight with applications”, Siberian Math. J., 63:6 (2022), 1121–1139  crossref

Образец цитирования: Р. Г. Насибуллин, “Неравенства типа Харди для одной весовой функции и их применения”, Изв. РАН. Сер. матем., 87:2 (2023), 168–195; Izv. Math., 87:2 (2023), 362–388
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Nas23}
\by Р.~Г.~Насибуллин
\paper Неравенства типа Харди для одной весовой функции и их применения
\jour Изв. РАН. Сер. матем.
\yr 2023
\vol 87
\issue 2
\pages 168--195
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/im9291}
\crossref{https://doi.org/10.4213/im9291}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4634764}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023IzMat..87..362N}
\transl
\jour Izv. Math.
\yr 2023
\vol 87
\issue 2
\pages 362--388
\crossref{https://doi.org/10.4213/im9291e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001054286300006}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85168603965}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/im9291
  • https://doi.org/10.4213/im9291
  • https://www.mathnet.ru/rus/im/v87/i2/p168
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Известия Российской академии наук. Серия математическая Izvestiya: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:271
    PDF русской версии:25
    PDF английской версии:59
    HTML русской версии:118
    HTML английской версии:93
    Список литературы:24
    Первая страница:7
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024