| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Когда поиск относительно максимальных подгрупп редуцируется к факторгруппам? В. Б. Гоab, Д. О. Ревинcde a School of Science, Hainan University, Haikou, Hainan, P. R. China b Department of Mathematics, University of Science and Technology of China, Hefei, P. R. China c Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск d Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук, г. Екатеринбург e Новосибирский государственный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9277e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение1.1. Основной результатВ работе рассматриваются только конечные группы, и термин “группа” используется в значении “конечная группа”. Группа, принадлежащая классу групп $\mathfrak{X}$, называется $\mathfrak{X}$-группой. Множество максимальных (по включению) $\mathfrak{X}$-подгрупп (иначе $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп) группы $G$ обозначается через $\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$. Сама группа $G$, действуя на $\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$ сопряжениями, разбивает это множество на орбиты – классы сопряженности. Число этих классов обозначим через $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)$. Термин “относительно максимальные подгруппы”, использованный в названии статьи, предложен Х. Виландом [1] для того, чтобы обозначать им $\mathfrak{X}$-максимальные подгруппы без указания конкретного класса $\mathfrak{X}$ и отличать их от просто максимальных подгрупп (т. е. от максимальных среди собственных). Следуя Виланду [2], [3], говорим, что непустой класс $\mathfrak{X}$ конечных групп полон, если он замкнут относительно взятия подгрупп, гомоморфных образов и расширений. Последнее означает, что $G\in\mathfrak{X}$, как только $N\in\mathfrak{X}$ и $G/N\in\mathfrak{X}$ для какой-либо нормальной подгруппы $N$ группы $G$. В случае полного класса $\mathfrak{X}$ вопрос о том, когда поиск $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп группы $G$ можно редуцировать к аналогичной задаче для факторгруппы $G/N$, сформулированный в названии работы, оказывается эквивалентным вопросу: когда $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N)$? Основным результатом работы является следующая теорема. Теорема 1. Пусть $\mathfrak{X}$ – полный класс групп и $N$ – нормальная подгруппа конечной группы $G$. Тогда если $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N)$, то $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(N)=1$. Утверждение, обратное к теореме 1, также доказано [4; теорема 1], и верна следующая теорема. Теорема 2. Пусть $\mathfrak{X}$ – полный класс групп и $N$ – нормальная подгруппа конечной группы $G$. Тогда $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N)$, если и только если $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(N)=1$. То есть число классов сопряженных $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп тогда и только тогда не меняется при переходе от группы $G$ к факторгруппе $G/N$, когда в $N$ все $\mathfrak{X}$-максимальные подгруппы сопряжены. Имеется также исчерпывающее описание групп $A$ с $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(A)=1$: это условие равносильно тому, что каждый неабелев композиционный фактор группы $A$ либо принадлежит $\mathfrak{X}$, либо изоморфен простой группе, указанной в [4; приложение A]. Тем самым в случае полного класса $\mathfrak{X}$ на вопрос в названии работы дан исчерпывающий ответ. Предположение о полноте класса $\mathfrak{X}$ в теореме 2 существенно. Теорема неверна, если $\mathfrak{X}=\mathfrak{A}$ – класс всех абелевых или $\mathfrak{X}=\mathfrak{N}$ – класс всех нильпотентных групп. В обоих случаях $\mathfrak{X}$ не замкнут относительно расширений и $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(\operatorname{Sym}_3)=2\ne 1=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(\operatorname{Sym}_3/\operatorname{Alt}_3)$, хотя $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(\operatorname{Alt}_3)=1$. 1.2. Мотивировка и предысторияНачиная с основополагающих работ Э. Галуа и К. Жордана, в теории конечных групп и ее приложениях мы сталкиваемся со следующим типом задач. Дана группа $G$ (например, симметрическая) и класс $\mathfrak{X}$ конечных групп (например, класс разрешимых групп); требуется найти $\mathfrak{X}$-подгруппы группы $G$. В общей постановке решать задачи подобного типа вряд ли возможно. Когда, подобно классу разрешимых групп, класс $\mathfrak{X}$ полон, можно ограничиться поиском $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп. В дальнейшем символ $\mathfrak{X}$ всегда означает фиксированный полный класс. Помимо класса $\mathfrak{S}$ разрешимых групп типичными примерами полных классов служат классы $\mathfrak{G}_\pi$ всех $\pi$-групп и $\mathfrak{S}_\pi$ всех разрешимых $\pi$-групп для данного подмножества $\pi$ множества $\mathbb{P}$ всех простых чисел (напомним, что $\pi$-группа – это группа, у которой любой простой делитель порядка принадлежит $\pi$). Отметим, что для класса $\mathfrak{X}$ выполнены включения
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{S}_\pi\subseteq\mathfrak{X}\subseteq\mathfrak{G}_\pi,
\end{equation*}
\notag
$$
где через $\pi$ обозначено множество
$$
\begin{equation*}
\pi(\mathfrak{X})=\{p\in\mathbb{P}\mid \text{ существует } G\in\mathfrak{X}, \text{ для которой } p \text{ делит } |G|\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Полны также классы $\pi$-отделимых и $\pi$-разрешимых групп1. Естественно изучать $\mathfrak{X}$-максимальные подгруппы с точностью до сопряженности. Назовем $\mathfrak{X}$-схемой группы полную систему представителей ее классов сопряженных $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп. Мощность $\mathfrak{X}$-схемы группы $G$ равна введенному ранее числу $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)$. Поиск $\mathfrak{X}$-схемы и описание строения ее элементов можно считать основной целью в задачах выделенного типа. Если $\mathfrak{X}=\mathfrak{G}_p$ – класс $p$-групп для простого числа $p$, то $\mathfrak{X}$-максимальные подгруппы оказываются силовскими $p$-подгруппами. Такие подгруппы в любой группе сопряжены [5]. Также в разрешимых группах $\mathfrak{X}$-максимальные подгруппы – это в точности так называемые $\pi(\mathfrak{X})$-холловы подгруппы, образующие класс сопряженности по теореме Ф. Холла [6]. Искать силовские и холловы подгруппы существенно помогают их свойства, позволяющие переходить от группы к секциям нормального или субнормального ряда, привлекая соображения индукционного характера. Скажем, если $H$ – силовская $p$-подгруппа группы $G$ и $N\trianglelefteq G$, то $H\cap N$ и $HN/N$ – силовские $p$-подгруппы в $N$ и $G/N$ соответственно. В общем случае рассматриваемые задачи носят выраженно неиндуктивный характер, так как ни пересечение $H\cap N$ подгрупп $H\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$ и $N\trianglelefteq G$, ни образ $HN/N$ в $G/N$ (эквивалентно, образ $H$ при произвольном эпиморфизме) могут не быть $\mathfrak{X}$-максимальными подгруппами в $N$ и $G/N$, cм. [2], [3]. Для пересечений с нормальными подгруппами ситуацию можно отчасти исправить, изучая обобщение $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп – $\mathfrak{X}$-субмаксимальные подгруппы2, см. [3]. В работе изучается поведение $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп при гомоморфизмах. Известно [2; п. 14.2], [3; п. 4.3], что если для класса $\mathfrak{X}$ существует группа $L$ с несопряженными $\mathfrak{X}$-максимальными подгруппами, то любая группа $G$ будет образом гомоморфизма (конкретно, естественного эпиморфизма из регулярного сплетения $L\,{\wr}\, G$), при котором всякая (не только $\mathfrak{X}$-максимальная) $\mathfrak{X}$-подгруппа совпадает с образом некоторой $\mathfrak{X}$-максимальной подгруппы. То есть попытка расширить понятие $\mathfrak{X}$-максимальной подгруппы так, чтобы оно было согласовано с гомоморфными образами, возвращает нас к необходимости изучать все $\mathfrak{X}$-подгруппы. Другая сложность при переходе к эпиморфному образу в том, что образы не сопряженных $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп могут быть сопряжены и тем самым утеряна информация о классах сопряженности. Поэтому важно описать случаи, когда переход от группы $G$ к факторгруппе $G/N$ является редукцией для выделенного типа задач: когда сохраняется $\mathfrak{X}$-максимальность подгрупп и не искажается информация об их сопряженности. Другими словами, когда $\mathfrak{X}$-схема переходит в $\mathfrak{X}$-схему; в частности,
$$
\begin{equation}
\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N).
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Пример дает $N\in\mathfrak{X}$. Менее очевидные примеры указал Х. Виланд в [2] и, развивая идеи С. А. Чунихина [7]–[10], предложил программу, как найти все такие “хорошие” случаи. Данная статья завершает выполнение этой программы. Равенство (1.1) – не только необходимое, но и достаточное условие для того, чтобы канонический (или любой другой) эпиморфизм $\overline{\phantom{G}}\colon G\to G/N$ переводил $\mathfrak{X}$-схему группы $G$ в $\mathfrak{X}$-схему $G/N$. В самом деле, как известно, всякая $\mathfrak{X}$-подгруппа из $\overline{G}$ есть образ $\mathfrak{X}$-подгруппы из $G$, см. лемму 1. Отсюда $\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(\overline{G})\subseteq\{\overline{H}\mid H\in \operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)\}$ и $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(\overline{G})\le \mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)$. Тем самым из (1.1) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(\overline{G})=\{\overline{H}\mid H\in \operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, подразумеваемое (1.1) существование некоторого взаимно однозначного соответствия между классами сопряженных $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп в группах $G$ и $\overline{G}=G/N$ свидетельствует о наличии между этими классами естественного взаимно однозначного соответствия, индуцированного отображением $H\mapsto \overline{H}$. Будем говорить, что редукционная $\mathfrak{X}$-теорема – верна для пары $(G,N)$, где $N\trianglelefteq G$, если выполнено (1.1); – верна для группы $A$, если она верна для любой пары $(G,N)$ такой, что $N\cong A$. Полагая $G=A$, видим, что редукционная $\mathfrak{X}$-теорема для группы $A$ влечет сопряженность $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп: $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(A)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(A/A)=1$. Виланд [2; п. 15.4] заметил, что сама редукционная $\mathfrak{X}$-теорема для $A$, в свою очередь, вытекала бы из сопряженности $\mathfrak{X}$-субмаксимальных подгрупп, и высказал гипотезу [2; вопросы к п. 15.4], подтвержденную затем в [4; теорема 1], о том, что сопряженность $\mathfrak{X}$-максимальных и $\mathfrak{X}$-субмаксимальных подгрупп равносильны. Значит, редукционная $\mathfrak{X}$-теорема для группы $A$ равносильна равенству $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(A)=1$. Далее, условие $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(A)=1$ эквивалентно тому, что $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(S)=1$ для любого композиционного фактора $S$ группы $A$. Если $S$ – простая группа, то известны необходимые и достаточные арифметические условия на естественные параметры3 группы $S$ для равенства $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(S)=1$ [4; теорема 1, приложение A]. Результаты [4] можно тем самым интерпретировать как описание всех таких пар $(G,N)$, для которых равенство (1.1) определяется только типом изоморфизма группы $N$. Типы изоморфизма группы $G$ и ее нормальной подгруппы $N$ не определяют однозначно число $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N)$. Скажем, группа $G=\operatorname{PSL}_2(7)\times \operatorname{PGL}_2(7)$ обладает двумя нормальными подгруппами $N_1$ и $N_2$ такими, что $N_1\cong N_2\cong\operatorname{PSL}_2(7)$, причем $G/N_1\cong\mathbb{Z}_2\times \operatorname{PSL}_2(7)$, а $G/N_2\cong\operatorname{PGL}_2(7)$. Но для класса $\mathfrak{X}=\mathfrak{S}$ разрешимых групп легко показать (см., например, [11]), что $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N_1)=3$, а $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N_2)=4$. Тем не менее согласно теореме 1 равенство $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N)$ для группы $G$ и ее нормальной подгруппы $N$ – внутреннее свойство группы $N$, не зависящее не только от особенностей вложения $N$ в $G$, но и от самой $G$, и влекущее справедливость редукционной $\mathfrak{X}$-теоремы для $N$. Именно этот факт является новым в теореме 1 по сравнению с [4; теорема 1]. При этом если [4; теорема 1] была доказана путем сведения общей ситуации к изученному ранее частному случаю $\mathfrak{X}=\mathfrak{G}_\pi$ (см. [13], [12]), то теорема 1 была неизвестна даже для этого случая. Из описания всех групп, для которых верна редукционная $\mathfrak{X}$-теорема [4; теорема 1], получаем описание всех пар, для которых она верна. Следствие 1. Пусть класс $\mathfrak{X}$ полон. Для пары $(G,N)$ верна редукционная $\mathfrak{X}$-теорема, если и только если для любого композиционного фактора $S$ группы $N$ либо $S\in\mathfrak{X}$, либо для пары $(S,\mathfrak{X})$ выполнено одно из условий I–VII в [4; приложение A]. 1.3. Некоторые следствияПоскольку $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N)\le \mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)$ для любой нормальной подгруппы $N$ группы $G$, непосредственно из теоремы 1 вытекает следующее утверждение. Следствие 2. Пусть $\mathfrak{X}$ – полный класс групп и $N$ – нормальная подгруппа конечной группы $G$ такая, что $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(N)>1$. Тогда $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)>\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N)$. При этом, как показывает пример группы $G=\operatorname{PSL}_2(7)\times \operatorname{PGL}_2(7)$, рассмотренный выше, точное значение $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N)$ не только не определяется самими числами $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)$ и $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(N)$, но даже типом изоморфизма групп $G$ и $N$. Следствием теоремы 2 оказывается существование в любой группе $G$ наибольшей нормальной подгруппы $R$ с тем свойством, что $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/R)$. Следствие 3. Пусть $\mathfrak{X}$ – полный класс. Для произвольной конечной группы $G$ рассмотрим подгруппу $R=\langle {N\mid N\trianglelefteq G}\text{ и } \mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N)\rangle$. Она обладает следующими свойствами: (i) $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/R)$; (ii) если $N\trianglelefteq G$ и $N\le R$, то $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N)$; (iii) если $\overline{G}=G/R$, то $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(\overline{G})=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(\overline{G}/\overline{N})$ влечет $\overline{N}=1$ для любой $\overline{N}\trianglelefteq \overline{G}$. Ввиду теоремы 2 подгруппа $R\le G$, о которой идет речь в следствии 3, совпадает с $\mathscr{D}_{\mathfrak{X}}$-радикалом группы $G$, где, как и в [14], [4], через $\mathscr{D}_{\mathfrak{X}}$ обозначен класс конечных групп в которых все $\mathfrak{X}$-максимальные подгруппы сопряжены. Класс $\mathscr{D}_{\mathfrak{X}}$ замкнут относительно взятия нормальных подгрупп гомоморфных образов и расширений4 и, в частности, является классом Фиттинга (см. определение в [15]), и поэтому любая группа обладает $\mathscr{D}_{\mathfrak{X}}$-радикалом. При этом, вообще говоря, $\mathscr{D}_{\mathfrak{X}}$ не является полным классом, поскольку может оказаться не замкнутым относительно взятия подгрупп (см. [16; теорема 1.7]). Факторгруппу $G/R$ назовем полной редукцией над $\mathfrak{X}$ группы $G$, а саму подгруппу $R=\langle N\mid {N\trianglelefteq G}\text{ и } \mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N)\rangle$ – ядром редукции. Группу $G$ назовем вполне редуцированной над $\mathfrak{X}$, если ядро ее редукции тривиально. Задача поиска $\mathfrak{X}$-схемы сводится к случаю вполне редуцированных групп. Для группы $G$ обозначим через $\mathrm{om}_{\mathfrak{X}}(G)$ множество
$$
\begin{equation*}
\mathrm{om}_{\mathfrak{X}}(G)=\{K\le G\mid \operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(K)\cap\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)\ne\varnothing\}
\end{equation*}
\notag
$$
всех надгрупп $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп. Менее очевидным, вытекающим из теоремы 2 и основного результата работы [16], будет следующее утверждение. Следствие 4. Пусть $\mathfrak{X}$ – полный класс групп и $N$ – нормальная подгруппа конечной группы $G$. Следующие утверждения эквивалентны: (i) $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N)$; (ii) $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(K)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(K/(K\cap N))$ для всех $K\in \mathrm{om}_{\mathfrak{X}}(G)$. 1.4. Категория групп и $\mathfrak{X}$-изосхематизмовПереведем теорему 2 на язык гомоморфизмов. Назовем эпиморфизм $\phi\colon G \to G^*$ изосхематизмом над $\mathfrak{X}$ или $\mathfrak{X}$-изосхематизмом, если он переводит $\mathfrak{X}$-схему группы $G$ (любую или некоторую) в $\mathfrak{X}$-схему группы $G^*$. Теорема 2 эквивалентна утверждению: эпиморфизм $\phi$ будет $\mathfrak{X}$-изосхематизмом, если и только если $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(\ker\phi)=1$. Из сказанного выше следует, что свойство эпиморфизма $\phi\colon G \to G^*$ быть или не быть $\mathfrak{X}$-изосхематизмом полностью определяется только группами $G$ и $G^*$ и не зависит от конкретного отображения, т. е. справедливо следующее предложение. Предложение 1. Пусть $G$ – конечная группа, а $G^*$ – ее эпиморфный образ. Для полного класса $\mathfrak{X}$ следующие утверждения эквивалентны: (i) существует $\mathfrak{X}$-изосхематизм $\phi\colon G \to G^*$; (ii) любой эпиморфизм $\phi\colon G \to G^*$ является $\mathfrak{X}$-изосхематизмом; (iii) $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G^*)$. Ядра двух $\mathfrak{X}$-изосхематизмов из $G$ на $G^*$ могут быть не изоморфны, хотя по теореме Жордана–Гёльдера набор их композиционных факторов один и тот же. Факт существования $\mathfrak{X}$-изосхематизма из $G$ на $G^*$ будем записывать как Этот же символ будет использоваться в записи
$$
\begin{equation*}
\phi\colon G\underset{\mathfrak{X}}{\twoheadrightarrow} G^*,
\end{equation*}
\notag
$$
означающей, что отображение $\phi$ является $\mathfrak{X}$-изосхематизмом из $G$ на $G^*$. Можно рассматривать $\underset{\mathfrak{X}}{\twoheadrightarrow}$ как отношение между группами. Оно очевидно рефлексивно и транзитивно, но не симметрично. Симметризуем его. Скажем, что две группы $G_1$ и $G_2$ изосхемны над $\mathfrak{X}$ или $\mathfrak{X}$-изосхемны, и будем писать если из $G_1$ и $G_2$ существуют $\mathfrak{X}$-изосхематизмы на одну и ту же группу: Отношение $\underset{\mathfrak{X}}{\equiv}$ очевидно рефлексивно и симметрично. В действительности, оно задает отношение эквивалентности на группах, а его транзитивность вытекает из теоремы 2. Оно позволяет описать категорию групп и $\mathfrak{X}$-изосхематизмов.Следствие 5. Соотношение $G_1\underset{\mathfrak{X}}{\equiv} G_2$ для конечных групп $G_1$ и $G_2$ равносильно тому, что полные редукции над $\mathfrak{X}$ этих групп изоморфны. Отношение $\underset{\mathfrak{X}}{\equiv}$ является отношением эквивалентности между конечными группами. Каждый класс эквивалентности содержит единственную с точностью до изоморфизма вполне редуцированную над $\mathfrak{X}$ группу, которая является универсально притягивающим объектом5 в этом классе как подкатегории в категории всех конечных групп и $\mathfrak{X}$-изосхематизмов. Следствие 4 также можно переформулировать на языке гомоморфизмов. Пусть $\phi$ – $\mathfrak{X}$-изосхематизм, определенный на группе $G$, и $K$ – надгруппа $\mathfrak{X}$-максимальной подгруппы из $G$. Тогда ограничение $\phi$ на $K$ является $\mathfrak{X}$-изосхематизмом $K \underset{\mathfrak{X}}{\twoheadrightarrow} K^\phi$. § 2. Обозначения и предварительные леммыИспользуемые нами обозначения из теории групп стандартны и могут быть найдены в [11], [15], [18]–[20]. Для натурального числа $n$ через $\pi(n)$ обозначается множество его простых делителей, а для группы $G$ полагаем $\pi(G)=\pi(|G|)$. Для фиксированного множества $\pi\subseteq\mathbb{P}$ простых чисел и полного класса $\mathfrak{X}$ конечных групп мы используем следующие менее стандартные обозначения: $\Omega/G$ для случая, когда группа $G$ действует на множестве $\Omega$ – множество орбит этого действия; $|\Omega:G|$ для случая, когда группа $G$ действует на множестве $\Omega$ – число орбит этого действия, т. е. $|\Omega:G|=|\Omega/G|$; $\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(G)$ – множество $\mathfrak{X}$-холловых подгрупп группы $G$ таких $\mathfrak{X}$-подгрупп, индекс которых не делится ни на какие числа из $\pi(\mathfrak{X})$; $\operatorname{Hall}_\pi(G)$ – множество $\pi$-холловых подгрупп в $G$, т. е. $\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(G)$ при $\mathfrak{X}\,{=}\,\mathfrak{G}_\pi$; $\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$ – множество $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп группы $G$; $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)$ – число классов сопряженности $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп группы $G$, т. е. $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=|{\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G):G}|$ для действия группы $G$ сопряжениями на множестве $\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$; $\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(G)$ – число классов сопряженности $\mathfrak{X}$-холловых подгрупп группы $G$, т. е. $\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(G)=|{\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(G):G}|$ для действия группы $G$ сопряжениями на множестве $\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(G)$; $\mathscr{E}_{\mathfrak{X}}$ – класс всех конечных групп $G$ таких, что $\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(G)\ge 1$ (эквивалентно, $\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(G)\ne\varnothing$); $\mathscr{C}_{\mathfrak{X}}$ – класс всех конечных групп $G$ таких, что $\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(G)=1$; $\mathscr{D}_{\mathfrak{X}}$ – класс всех конечных групп $G$ таких, что $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=1$; $\mathscr{M}_{\mathfrak{X}}$ – класс всех конечных групп $G$ таких, что $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(G)$ (эквивалентно, $\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)=\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(G)$). Обозначения $\mathscr{E}_{\mathfrak{X}}$, $\mathscr{C}_{\mathfrak{X}}$ и $\mathscr{D}_{\mathfrak{X}}$ обобщают обозначения $\mathscr{E}_\pi$, $\mathscr{C}_\pi$ и $\mathscr{D}_\pi$ Холла [21] (см. также [15; гл. I, § 3], [20; гл. 5, § 3]) и совпадают с ними в случае, когда $\mathfrak{X}=\mathfrak{G}_\pi$ – класс всех $\pi$-групп. Из определения следует, что $\mathscr{D}_{\mathfrak{X}}=\mathscr{C}_{\mathfrak{X}}\cap \mathscr{M}_{\mathfrak{X}}$. Включения между классами $\mathscr{E}_{\mathfrak{X}}$, $\mathscr{C}_{\mathfrak{X}}$, $\mathscr{M}_{\mathfrak{X}}$ и $\mathscr{D}_{\mathfrak{X}}$ отражает диаграмма В случае $\mathfrak{X}=\mathfrak{G}_\pi$ будем использовать естественные обозначения $\mathrm{k}_\pi(G)$ и $\operatorname{h}_\pi(G)$ для числа классов сопряженности $\pi$-максимальных и $\pi$-холловых подгрупп группы $G$. Будем говорить, что $n\in\mathbb{N}$ – $\pi$-число, если $\pi(n)\subseteq\pi$.Лемма 1 (см. [22; гл. III, теорема 3.9]). Пусть $\mathfrak{X}$ – полный класс. Допустим, дан гомоморфизмом групп $\phi\colon G\to G_0$ и предположим, что $K\in\mathfrak{X}$ для некоторой подгруппы $K\leqslant G^\phi$. Тогда $K=H^\phi$ для некоторой $\mathfrak{X}$-подгруппы $H\leqslant G$. В частности, $\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G^\phi)\subseteq\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)^\phi$. Через $\mathfrak{X}'$ обозначим класс всех групп $G$ таких, что $\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)=\{1\}$. Группу называем $\mathfrak{X}$-отделимой, если она обладает (суб)нормальным рядом, каждый фактор которого – $\mathfrak{X}$- или $\mathfrak{X}'$-группа. В следующей лемме собраны некоторое известные результаты о поведении $\mathfrak{X}$-максимальных и $\mathfrak{X}$-холловых подгрупп. Лемма 2. Пусть $N$ – нормальная подгруппа группы $G$. Тогда справедливы следующие утверждения. (i) Если $H\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(G)$, то $H\cap N\in \operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(N)$ и $HN/N\in \operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(G/N)$ [20; гл. IV, п. 5.11]. (ii) Допустим, $G/N\in\mathfrak{X}$. Тогда для $H\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(N)$ в том и только в том случае найдется подгруппа $K\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(G)$, для которой $H=K\cap N$, когда $H^N=H^G$ (т. е. когда класс $H^N\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(N)/N$ инвариантен относительно действия группы $G$ на множестве $\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(N)/N$) [23; лемма 2.1, (e)]. (iii) Допустим, $N$ – $\mathfrak{X}$-отделимая группа. Тогда $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N)$. В частности, $G\in \mathscr{D}_{\mathfrak{X}}$ тогда и только тогда, когда $G/N\in \mathscr{D}_{\mathfrak{X}}$ [2; п. 12.9]. Лемма 3 (см. [4; теорема 1]). Пусть $N$ – нормальная подгруппа группы $G$ и $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(N)=1$. Тогда $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N)$. Если $S$ и $H$ – подгруппы группы $G$, обозначим через $\operatorname{Aut}_H(S)$ группу $H$-индуцированных автоморфизмов группы $S$, т. е. образ в $\operatorname{Aut}(S)$ гомоморфизма
$$
\begin{equation*}
\alpha_H\colon \mathrm{N}_H(S)\to \operatorname{Aut}(S),
\end{equation*}
\notag
$$
который сопоставляет любому элементу $x\in \mathrm{N}_H(S)$ автоморфизм группы $S$, заданный правилом $s\mapsto s^x=x^{-1}sx$ для всех $s\in S$. Ядро этого гомоморфизма равно $\mathrm{C}_H(S)$, поэтому имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}_H(S)\cong \mathrm{N}_H(S)/\mathrm{C}_H(S).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $H\le K\le G$, то гомоморфизм $\alpha_H$ является ограничением на $\mathrm{N}_H(S)$ гомоморфизма $\alpha_K\colon \mathrm{N}_K(S)\to\operatorname{Aut}(S)$. Следовательно, $\operatorname{Aut}_H(S)\le \operatorname{Aut}_K(S)$. Лемма 4. Пусть $S$ – простая неабелева субнормальная подгруппа группы $G$ и $H\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(S)$, причем группа $\operatorname{Aut}_G(S)$ стабилизирует класс сопряженности подгруппы $H$ в $S$ (т. е. $H^{\operatorname{Aut}_G(S)}=H^S$). Возьмем произвольную систему представителей $g_1,\dots,g_n$ правых смежных классов группы $G$ по $\mathrm{N}_G(S)$. Пусть Тогда $M=\langle S^G \rangle$ – минимальная нормальная подгруппа группы $G$, и имеют место следующие утверждения: (i) $V^G=V^M$; (ii) $V\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(M)$; (iii) если $G/M\in {\mathfrak{X}}$, то $V=K\cap M$ и $H=K\cap S$ для некоторой $K\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(G)$. Доказательство. Для любого $g\in G$ имеем $S^g\in\{S^{g_i}\mid i=1,\dots, n\}$, и поэтому $M=\langle S^G \rangle\trianglelefteq G$. Заметим также, что $[S^{g_i},S^{g_j}]=1$ при $i\ne j$ ввиду простоты и субнормальности подгруппы $S$.
Пусть $g\in G$. Найдутся подстановка $\sigma\in\operatorname{Sym}_n$ и элементы $x_1,\dots,x_n\in \mathrm{N}_G(S)$ такие, что $g_ig=x_ig_{i\sigma}$. Рассмотрим автоморфизмы $\gamma_i\in\operatorname{Aut}_G(S)$, задаваемые правилом $\gamma_i\colon s\mapsto s^{x_i}$. По условию $H^{x_i}=H^{\gamma_i}=H^{s_i}$ для некоторого $s_i\in S$. Положим $a_i=s_{i\sigma^{-1}}^{g_i}$ и $a=a_1\cdots a_n$. Ясно, что $a\in M$. Покажем, что $V^g=V^a$, и тем самым установим равенство $V^G=V^M$. Из определения следует, что $a_i\in S^{g_i}$ и $H^{g_ia}=H^{g_ia_i}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V^g &= \langle H^{g_ig}\mid i=1,\dots, n\rangle= \langle H^{x_ig_{i\sigma}}\mid i=1,\dots, n\rangle \\ &=\langle H^{s_ig_{i\sigma}}\mid i=1,\dots, n\rangle= \langle H^{s_{i\sigma^{-1}}g_{i}}\mid i=1,\dots, n\rangle \\ &=\langle H^{g_is_{i\sigma^{-1}}^{g_i}}\mid i=1,\dots, n\rangle=\langle H^{g_ia_i}\mid i=1,\dots, n\rangle= \langle H^{g_ia}\mid i=1,\dots, n\rangle\,{=}\,V^a. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение (i) доказано. Далее, $V$ – прямое произведение $\mathfrak{X}$-групп $H^{g_i}$, $i=1,\dots,n$, поэтому $V\in\mathfrak{X}$. Кроме того, так как $H\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(S)$, число не делится ни на какие числа из $\pi(\mathfrak{X})$. Поэтому $V\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(M)$, что доказывает (ii). Наконец, из (i) и леммы 2, (ii) получаем (iii). Лемма доказана. Лемма 5. Пусть нормальная подгруппа $N$ группы $G$ является прямым произведением неабелевых простых групп и $S$ – одна из них. Предположим, что $G=KN$ для некоторой подгруппы $K$. Тогда (i) $\mathrm{N}_G(S)=N\mathrm{N}_K(S)$; (ii) $\operatorname{Aut}_G(S)=\operatorname{Inn}(S)\operatorname{Aut}_K(S)$. Доказательство. Пусть $N=S_1\times S_2\times\dots\times S_n$ и $S_1=S$. Тогда
$$
\begin{equation*}
N\le \mathrm{N}_G(S)\text{ и }S_2\times\dots\times S_n=\mathrm{C}_N(S)\le \mathrm{C}_G(S).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $\mathrm{N}_G(S)=N\mathrm{N}_K(S)$, как и утверждается в (i). Пусть обозначает естественный гомоморфизм, индуцированный сопряжениями. Его ядро равно $\mathrm{C}_G(S)$. Имеем $S^\alpha=\operatorname{Aut}_S(S)=\operatorname{Inn}(S)$, $N=S\mathrm{C}_N(S)$, поэтому $N^\alpha= \operatorname{Inn}(S)$ и Утверждение (ii) также доказано. Лемма доказана. Ключевую роль в доказательстве теоремы 1 играет теорема о числе классов сопряженных $\pi$-холловых подгрупп в простых группах, доказанная в [23]. Нам она понадобится в следующем уточненном виде. Лемма 6 (см. [23; теорема 1.1]). Пусть $S$ – простая конечная группа, обладающая $\pi$-холловой подгруппой для некоторого множества $\pi$ простых чисел. Тогда имеет место одно из следующих утверждений: (i) $2\notin\pi$ и $\mathrm{h}_\pi(S)=1$; (ii) $3\notin\pi$ и $\mathrm{h}_\pi(S)\in\{1,2\}$; (iii) $2,3\in\pi$ и $\mathrm{h}_\pi(S)\in\{1,2,3,4,9\}$. Лемма 7 (см. [14; лемма 12]). Пусть $\mathfrak{X}$ – полный класс. Положим $\pi=\pi(\mathfrak{X})$. Предположим также, что $\mathrm{h}_\pi(S)=9$. Тогда $\mathrm{h}_{\mathfrak{X}}(S)$ совпадает с одним из чисел $0$, $1$ или $9$. Из лемм 6 и 7 вытекает следующее утверждение. Лемма 8. Пусть $S$ – простая конечная группа. Тогда имеет место одно из следующих утверждений: (i) $2\notin\pi(\mathfrak{X})$ и $\mathrm{h}_{\mathfrak{X}}(S)\in\{0,1\}$; (ii) $3\notin\pi(\mathfrak{X})$ и $\mathrm{h}_{\mathfrak{X}}(S)\in\{0,1,2\}$; (iii) $2,3\in\pi(\mathfrak{X})$ и $\mathrm{h}_{\mathfrak{X}}(S)\in\{0,1,2,3,4, 9\}$. Предположим, что для простой группы $S$ выполнено равенство $\mathrm{h}_{\mathfrak{X}}(S)\,{=}\,9$. Поскольку $\mathrm{h}_{\mathfrak{X}}(S)\le\mathrm{h}_\pi(S)$ для $\pi=\pi(\mathfrak{X})$, по лемме 6 получаем $\mathrm{h}_{\mathfrak{X}}(S)=\mathrm{h}_\pi(S)$ и, следовательно, $\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(S)=\operatorname{Hall}_\pi(S)$. Теперь, используя информацию из [23; леммы 2.3, 3.1, 4.4, 8.1], мы получаем следующую лемму о строении $\mathfrak{X}$-холловых подгрупп группы $S$. Лемма 9. Пусть $S$ – простая конечная группа и $\mathrm{h}_{\mathfrak{X}}(S)=9$ для некоторого полного класса $\mathfrak{X}$. Тогда справедливы следующие утверждения. (i) $S\cong \operatorname{PSp}_{2n}(q)\cong \operatorname{PSp}(V)$, где $q$ – степень простого числа $p\notin \pi(\mathfrak{X})$, а $V$ – ассоциированное с $\operatorname{PSp}_{2n}(q)$ векторное пространство размерности $2n$ над полем $\mathbb{F}_q$ с невырожденной кососимметрической формой. (ii) $\pi(\mathfrak{X})\cap\pi(S)\subseteq\pi(q^2-1)$ и – либо $\pi(\mathfrak{X})\cap\pi(S)=\{2,3\}$ и $n\in\{5,7\}$; – либо $\pi(\mathfrak{X})\cap\pi(S)=\{2,3,5\}$ и $n=7$. (iii) Любая $\pi(\mathfrak{X})$-холлова подгруппа группы $\operatorname{PSp}_{2n}(q)$ содержится в стабилизаторе $M$ разложения пространства $V$ в ортогональную сумму невырожденных изометричных подпространств размерности $2$. Существует подгруппа $A\trianglelefteq M$ такая, что $A=L_1\dots L_n$, где $L_i\cong \operatorname{Sp}(V_i)\cong \operatorname{Sp}_2(q)\cong SL_2(q)$, $[L_i,L_j]=1$, $i,j=1,\dots,n$, $i\ne j$, и $M/A\cong \operatorname{Sym}_n$.(iv) $\mathrm{h}_{\mathfrak{X}}(\operatorname{Sym}_n)=1$. При этом
(v) $\mathrm{h}_{\mathfrak{X}}(\operatorname{Sp}_2(q))=3$. При этом
(vi) Число неподвижных точек любой подгруппы $G\leqslant\operatorname{Aut}(S)$ при ее действии на множестве $\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(S)/S$ равно $1$ или $9$. § 3. Аргумент Фраттини для $\mathfrak{X}$-холловых подгруппОсновная цель параграфа – доказать следующее утверждение. Предложение 2. Пусть группа $G$ обладает нормальной подгруппой $A$ такой, что $A=KN$ для некоторой нормальной в $G$ подгруппы $N$, являющейся прямым произведением неабелевых простых групп, и некоторой $K\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(G)$. Тогда существует $L\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(A)$ такая, что $G=A\mathrm{N}_G(L)$. Доказательство. Пусть $\pi=\pi(\mathfrak{X})$. Так как $A$ содержит $H\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(G)$, индекс $|{G:A}|$ является $\pi'$-числом. Поскольку $A\trianglelefteq G$, имеем $\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(G)=\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(A)$ и $G/A$ – $\pi'$-группа.
Пусть $N=S_1\times\dots\times S_n$, где $S_i$, $i=1,\dots,n$, – неабелевы простые группы. Установим ряд фактов о $\mathfrak{X}$-холловых подгруппах из $S_i$, о классах сопряженности таких подгрупп и о действии на этих классах групп $G$-индуцированных автоморфизмов. Зафиксируем произвольно $S\in\{S_1,\dots,S_n\}$. Так как $K\cap S\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(S)$, имеем $S\in\mathscr{E}_{\mathfrak{X}}$ и по лемме 8 Пусть $\Omega$ – множество неподвижных точек группы $\operatorname{Aut}_A(S)$, действующей на множестве $\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(S)/S$ классов сопряженности $\mathfrak{X}$-холловых подгрупп группы $S$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\Omega =\{H^S\mid H\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(S),\ \forall\, a\in \mathrm{N}_A(S)\ \exists\, x\in S\colon H^a=H^x\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\Omega\ne\varnothing$, поскольку $(K\cap S)^S\in\Omega$. В самом деле, $N\le \mathrm{N}_A(S)$, поэтому $\mathrm{N}_A(S)=\mathrm{N}_{KN}(S)=\mathrm{N}_K(S)N$. При этом класс сопряженности $(K\cap S)^S$ инвариантен относительно обеих групп $\mathrm{N}_K(S)$ и $N$. Поэтому он инвариантен относительно $\mathrm{N}_A(S)$ и относительно $\operatorname{Aut}_A(S)$ и, значит, принадлежит $\Omega$.
Так как $A\trianglelefteq G$, имеем $\mathrm{N}_A(S)\trianglelefteq \mathrm{N}_G(S)$. Отсюда $\operatorname{Aut}_A(S)\trianglelefteq \operatorname{Aut}_G(S)$ и, следовательно, группа $\operatorname{Aut}_G(S)$ действует на $\Omega$. Мы утверждаем, что В самом деле, $|\Omega|\le \operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)$, а длина любой орбиты $\operatorname{Aut}_G(S)$ на $\Omega$ не превосходит $|\Omega|$. Если $2\notin\pi$ или $3\notin\pi$, то из леммы 8 следует, что длина любой орбиты группы $\operatorname{Aut}_G(S)$ на $\Omega$ является $\pi$-числом. Поэтому считаем, что $2,3\in\pi$. Теперь если $\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)\le 4$, то снова длина любой орбиты группы $\operatorname{Aut}_G(S)$ на $\Omega$ является $\pi$-числом. Поэтому считаем, что $\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)=9$. Из леммы 9 следует, что $|\Omega|\in\{1,9\}$. Случай $|\Omega|=1$ очевиден. Единственными не $\{2,3\}$-числами, не превосходящими $9$, являются $5$ и $7$, и легко видеть, что в любом разбиении числа $9$ в сумму натуральных слагаемых присутствует слагаемое, являющееся $\{2,3\}$-числом и, следовательно, $\pi$-числом. Поэтому длина одной из орбит, на которые распадается $\Omega$ относительно действия $\operatorname{Aut}_G(S)$, является $\pi$-числом. Утверждение $1^\circ)$ можно уточнить: Из условия следует, что $G/A$ – $\pi'$-группа. Поэтому группа $ \mathrm{N}_G(S)A/A\cong \mathrm{N}_G(S)/\mathrm{N}_A(S)$ и ее гомоморфный образ
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathrm{N}_G(S)/\mathrm{N}_A(S)\mathrm{C}_G(S) &\cong (\mathrm{N}_G(S)/\mathrm{C}_G(S))/(\mathrm{N}_A(S)\mathrm{C}_G(S)/\mathrm{C}_G(S)) \\ &\cong \operatorname{Aut}_G(S)/\operatorname{Aut}_A(S) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
также являются $\pi'$-группами. Из определения множества $\Omega$ следует, что $\operatorname{Aut}_A(S)$ стабилизирует любой элемент из $\Omega$, поэтому длина любой орбиты на $\Omega$ группы $\operatorname{Aut}_G(S)$ делит $\pi'$-число $|{\operatorname{Aut}_G(S):\operatorname{Aut}_A(S)}|$ и, следовательно, сама является $\pi'$-числом. Если число является одновременно $\pi$- и $\pi'$-числом, то оно равно $1$.
Из $1^\circ)$ и $2^\circ)$ заключаем, что Теперь мы можем утверждать следующее: Можно считать, что $M=\langle S^G\rangle$. Утверждение $4^\circ)$ следует из леммы 4. Утверждается также, что Обозначим через $\Lambda$ множество всех содержащихся в $N$ минимальных нормальных подгрупп группы $G$. Из условия следует, что где произведение прямое. Для каждой такой $M$ выберем в соответствии с $4^\circ)$ подгруппу $V_M\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(M)$ так, чтобы $V^M_M=V^G_M$. Пусть Тогда $V\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(N)$. Возьмем $g\in G$. В любой $M\in\Lambda$ найдется элемент $x_M$ такой, что $V_M^{g}=V_M^{x_M}$. Положим Ясно, что $x\in N$ и $V_M^{x}=V_M^{x_M}=V_M^{g}$ для любой $M\in\Lambda$. Значит,
$$
\begin{equation*}
V^g=\langle V_M^g\mid M\in \Lambda \rangle=\langle V_M^x\mid M\in \Lambda \rangle=V^x.
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение $5^\circ)$ доказано.
Рассмотрим нормальный ряд
$$
\begin{equation*}
\mathrm{N}_G(V)\trianglerighteq \mathrm{N}_A(V)\trianglerighteq \mathrm{N}_N(V)\trianglerighteq V\trianglerighteq 1
\end{equation*}
\notag
$$
и его секции. Секция $\mathrm{N}_G(V)/\mathrm{N}_A(V)$ изоморфна подгруппе $\mathrm{N}_G(V)A/A$ в $\mathfrak{X}'$-группе $G/A$ и, значит, сама является $\mathfrak{X}'$-группой. Аналогично
$$
\begin{equation*}
\mathrm{N}_A(V)/\mathrm{N}_N(V)\cong \mathrm{N}_A(V)N/N\le A/N=KN/N\cong K/(K\cap N),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $\mathrm{N}_A(V)/\mathrm{N}_N(V)\in\mathfrak{X}$. Так как $V\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(N)$, имеем $\mathrm{N}_N(V)/V\in \mathfrak{X}'$. Наконец, $V\in\mathfrak{X}$. Таким образом, $6^\circ)$ доказано.
Теперь из $5^\circ)$ и $6^\circ)$ выведем доказываемое предложение. Из $5^\circ)$ вытекает, что $V^A=V^N$. По лемме 2 существует $L\in \operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(A)$ такая, что $V=L\cap N$. Покажем, что $L$ удовлетворяет заключению предложения. Достаточно доказать включение $G\le A\mathrm{N}_G(L)$. Ясно, что $L\le \mathrm{N}_A(V)$, т. е. $L$ – $\mathfrak{X}$-холлова подгруппа $\mathfrak{X}$-отделимой нормальной подгруппы $\mathrm{N}_A(V)$ группы $\mathrm{N}_G(V)$. Из сопряженности $\mathfrak{X}$-холловых подгрупп в $\mathfrak{X}$-отделимых группах получаем
$$
\begin{equation*}
L^{\mathrm{N}_G(V)}=L^{\mathrm{N}_A(V)},\quad\text{откуда}\quad \mathrm{N}_G(V)\le \mathrm{N}_A(V)\mathrm{N}_G(L).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь в силу $5^\circ)$ имеем
$$
\begin{equation*}
G=N\mathrm{N}_G(V)\le N\mathrm{N}_A(V)\mathrm{N}_G(L)\le A\mathrm{N}_G(L),
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает доказательство предложения 2. По-видимому, используя [24; теорема 3.1] (см. также [25; теорема 2]), можно усилить предложение 2 до следующего гипотетического утверждения: если $G\in \mathscr{E}_\mathfrak{X}$ и $A\trianglelefteq G$, то $G=A\mathrm{N}_G(H)$ для некоторой $H\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(A)$. Для случая, когда $\mathfrak{X}$ – класс $\pi$-групп, это утверждение известно, см. [12; следствие 3.7]. § 4. О простых группах с девятью классами сопряженности $\mathfrak{X}$-холловых подгруппПредложение 3. Пусть $\mathfrak{X}$ – полный класс конечных групп, $S$ – неабелева простая группа и $\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)=9$. Тогда $S\notin\mathscr{M}_{\mathfrak{X}}$. Доказательство. Допустим, $S\in\mathscr{M}_{\mathfrak{X}}$. Пусть $\pi=\pi(\mathfrak{X})$. В соответствии с леммой 9 считаем, что Любая $\mathfrak{X}$-холлова подгруппа группы $\operatorname{PSp}_{2n}(q)$ содержится в стабилизаторе $M$ разложения ассоциированного пространства $V$ в ортогональную сумму невырожденных изометричных подпространств размерности $2$. Существует подгруппа $A\trianglelefteq M$ такая, что $A=L_1\dots L_n$, где $L_i\cong \operatorname{Sp}(V_i)\cong \operatorname{Sp}_2(q)\cong \operatorname{SL}_2(q)$, $[L_i,L_j]=1$, $i,j=1,\dots,n$, $i\ne j$, и $M/A\cong \operatorname{Sym}_n$.
Имеет место один из следующих двух случаев. (1) $\pi(\mathfrak{X})\cap\pi(S)=\pi(\mathfrak{X})\cap\pi(\operatorname{SL}_2(q))=\{2,3\}$ и $n\in\{5,7\}$. При этом $\mathfrak{X}$-холловы подгруппы любой группы $L_i\cong\operatorname{SL}_2(q)$ – это, в точности, обобщенные группы кватернионов порядка $48$ и группы вида $2.\operatorname{Sym}_4$. (2) $\pi(\mathfrak{X})\cap\pi(S)=\pi(\mathfrak{X})\cap\pi(\operatorname{SL}_2(q))=\{2,3,5\}$ и $n=7$. При этом $\mathfrak{X}$-холловы подгруппы в любой $L_i\cong\operatorname{SL}_2(q)$ – это, в точности, обобщенные группы кватернионов порядка $120$ и группы вида $2.\operatorname{Alt}_5$, а $\mathfrak{X}$-холлова подгруппа в $M/A\cong \operatorname{Sym}_7$ изоморфна $\operatorname{Sym}_6$. В каждом из случаев выберем в $S$ подгруппу $U$, как описано ниже. Рассмотрим случай (1). В группе $S$ имеется подгруппа вида
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sp}_6(q)\circ \operatorname{Sp}_{2(n-3)}(q),
\end{equation*}
\notag
$$
стабилизирующая в $S$ невырожденное подпространство размерности $6$ и его ортогональное дополнение, а значит, есть подгруппа, изоморфная $\operatorname{Sp}_6(q)$. В ней для любого $\varepsilon\in\{+,-\}$ есть подгруппа7 $\operatorname{GL}^\varepsilon_3(q).2$, см. [18; табл. 8.28], причем $\varepsilon$ можно выбрать так, чтобы число $q-\varepsilon1$ делилось на $3$. При таком выборе $\varepsilon$ в соответствии с [18; табл. 8.3, 8.5] в подгруппе $\operatorname{SL}^\varepsilon_3(q)\le \operatorname{GL}^\varepsilon_3(q).2$ возьмем $\{2,3\}$-подгруппу В силу разрешимости $U\in\mathfrak{X}$. Так как $S\in\mathscr{M}_{\mathfrak{X}}$, имеем $U\le H$ для некоторой $H\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(S)$. Выберем подгруппу $M$ и в ней нормальную подгруппу $A$, как описано выше, с тем чтобы $H\le M$. Рассмотрим канонический эпиморфизм Тогда $\overline{U}\le \overline{H}\le \overline{M}\cong \operatorname{Sym}_n$, где $n\in\{5,7\}$. С другой стороны, $\overline{H}\cong H/(H\cap A)$ и $\overline{U}\cong U(H\cap A)/(H\cap A)$. Выберем в $H\cap A$ характеристические подгруппы $B$, $C$ и $D$, определенные равенствами:
$$
\begin{equation*}
B:=\mathrm{O}_2(H\cap A),\quad C/B:=\mathrm{O}_3((H\cap A)/B)\quad\text{и}\quad D/C:=\mathrm{O}_2((H\cap A)/C).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу выбора $B\le C\le D$. Как следует из леммы 2, подгруппа $H\cap A$ порождается попарно перестановочными $\mathfrak{X}$-холловыми подгруппами сомножителей $L_i$, каждая из которых либо является обобщенной $\{2,3\}$-группой кватернионов, либо изоморфна $2.\operatorname{Sym}_4$. Поэтому ясно, что $D=H\cap A$ и, следовательно, $\overline{U}\cong U/(U\cap D)$. Так как $\mathrm{O}_2(U)=1$, имеем Поскольку силовские $3$-подгруппы в каждом из сомножителей, образующих группу $H\cap A$, являются циклическими группами порядка $3$, силовская $3$-подгруппа группы $H\cap A$, изоморфная $C/B$, абелева, и ее секция является нормальной абелевой 3-подгруппой группы $UB/B\cong U$. Отсюда следует, что она содержится в $\mathrm{Z}(\mathrm{O}_3(UB/B))$, так как а $Q_8$ действует неприводимо на факторгруппе группы $3_+^{1+2}$ по центру. Значит,
$$
\begin{equation*}
\text{либо}\quad UC/C\cong U/(U\cap C)\cong 3_+^{1+2}:Q_8,\quad\text{либо}\quad UC/C\cong 3^{2}:Q_8.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, из того, что $\mathrm{O}_2(3_+^{1+2}:Q_8)=1$ и $\mathrm{O}_2(3^{2}:Q_8)=1$ следует, что
$$
\begin{equation*}
(UC/C)\cap D/C=1\quad\text{и}\quad\overline{U}=UD/D\cong UC/C.
\end{equation*}
\notag
$$
Но $\overline{U}$ (и, следовательно, ее подгруппа $Q_8$) изоморфна подгруппе группы $\operatorname{Sym}_n$, для $n\in\{5,7\}$. В то же время довольно очевидно, что у группы $Q_8$ нет точных подстановочных представлений степени меньше $8$. Противоречие.
Рассмотрим случай (2). Рассуждая, как в случае (1), в группе $S=\operatorname{PSp}_{14}(q)$ находим подгруппу, изоморфную $\operatorname{Sp}_{10}(q)$. Поскольку $q^2-1$ делится на $5$, возьмем $\varepsilon\in\{+,-\}$ так, чтобы $q-\varepsilon1$ делилось на $5$. В группе $\operatorname{Sp}_{10}(q)$, a значит, и в группе $S$ есть подгруппа $\operatorname{GL}_5^\varepsilon(q).2$, см. [18; табл. 8.64], а в ней подгруппа $\operatorname{SL}_5^\varepsilon(q)$. В $\operatorname{SL}_5^\varepsilon(q)$, в свою очередь, найдется подгруппа см. [18; табл. 8.18 и 8.20], причем, так как $\operatorname{Sp}_2(5)\cong 2.\operatorname{Alt}_5$, имеем $U\in\mathfrak{X}$. Так как $S\in\mathscr{M}_{\mathfrak{X}}$, имеем $U\le H$ для некоторой $H\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(S)$. Выберем подгруппу $M$ и в ней нормальную подгруппу $A$, как описано выше, с тем чтобы $H\le M$. Пусть обозначает канонический эпиморфизм. Тогда $\overline{U}\le \overline{H}\le \overline{M}\cong \operatorname{Sym}_7$. Следовательно, $|\overline{U}|_5\le 5$. Из строения группы $U$ видно, что любой гомоморфный образ группы $U$, порядок которого не делится на $5^2$, является образом группы $\operatorname{Sp}_2(5)\cong \operatorname{SL}_2(5)$. Поэтому экстраспециальная подгруппа $5_+^{1+2}$ группы $U$ должна лежать в ядре гомоморфизма $\overline{\phantom{x}}$, а значит, лежать в $U\cap A$. Но силовская $5$-подгруппа группы $A$ абелева (в каждом сомножителе $L_i$ силовская $5$-подгруппа имеет порядок 5). Противоречие. Предложение 3 доказано.§ 5. Доказательство теоремы 1 и ее следствий Доказательство теоремы 1. Предположим, что теорема 1 неверна. Тогда существует группа $G$ со следующими свойствами:
(a) в $G$ имеется нормальная подгруппа $N$ такая, что $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(N)>1$, но для пары $(G,N)$ выполнена редукционная $\mathfrak{X}$-теорема, т. е. $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(\overline{G})$, где черта обозначает канонический эпиморфизм;(b) $G$ имеет наименьший порядок среди групп, обладающих свойством (a). Напомним (см. п. 1.2), что редукционная $\mathfrak{X}$-теорема для пары $(G,N)$ влечет следующие свойства: $1^\circ)$ если $K\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$, то $\overline{K}\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(\overline{G})$; $2^\circ)$ если для $K,L\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$ подгруппы $\overline{K}$ и $\overline{L}$ сопряжены в $\overline{G}$ (например, совпадают), то $K$ и $L$ сопряжены в $G$. Заметим, что если $M\ne 1$ – нормальная подгруппа в $G$, причем $M\le N$, то, поскольку $G/N$ является гомоморфным образом группы $G/M$, имеем
$$
\begin{equation*}
\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N)\le\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/M) \le\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует редукционная $\mathfrak{X}$-теорема для пар $(G/M,N/M)$ и $(G,M)$. В силу свойства (b) и того, что $|G/M|<|G|$, имеем $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(N/M)=1$. Поэтому если $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(M)=1$, то из леммы 3 следует, что
$$
\begin{equation*}
\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(N)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(N/M)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, можем считать, что
$3^\circ)$ $N$ – минимальная нормальная подгруппа в $G$, причем $N$ неабелева, так как $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(N)>1$. Значит, согласно [19; гл. 2, следствие 3 из теоремы 4.14] для некоторых неабелевых простых подгрупп $S_1,\dots ,S_n$, сопряженных в $G$. Пусть $S$ – одна из них.Мы получим противоречие, изучая действие группы $\operatorname{Aut}_G(S)$ на множестве классов сопряженности $\mathfrak{X}$-холловых подгрупп группы $S$. По лемме 8$4^\circ)$ $|\Delta|= \operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)\in\{0,1,2,3,4,9\}$. Исключим все шесть возможностей. Сначала установим, что $5^\circ)$ $\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)\ne 0$. Для этого докажем, что $6^\circ)$ если $K\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$, то $K\cap N\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(N)$ и $K\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(KN)$. Тогда $\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(N)\ne\varnothing$ и $\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)\ne 0$, поскольку
$$
\begin{equation*}
\varnothing\ne\{H\cap S\mid H\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(N)\}\subseteq\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(S).
\end{equation*}
\notag
$$
При этом из $K\cap N\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(N)$ будет следовать также и $K\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(KN)$, так как
Выберем произвольно $K\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$, $p\in\pi(\mathfrak{X})$ и $P\in\operatorname{Syl}_p(N)$. Тогда $P\in\mathfrak{X}$. Достаточно установить, что $P$ сопряжена с подгруппой из $K$. Положим Из аргумента Фраттини [15; гл. A, (6.3)] следует, что $A=\mathrm{N}_{A}(P)N$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\overline{K}=\overline{A}=\overline{\mathrm{N}_{A}(P)}
\end{equation*}
\notag
$$
и согласно лемме 1 имеем $\overline{\mathrm{N}_{A}(P)}=\overline{U}$ для некоторой $U\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}({\mathrm{N}_{A}(P)})$. Так как $U$ нормализует $\mathfrak{X}$-подгруппу $P$, имеем $P\le U$. Погрузим $U$ в максимальную $\mathfrak{X}$-подгруппу $L$ группы $G$. В силу $1^\circ)$ имеем $\overline{L}\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(\overline{G})$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\overline{K}=\overline{\mathrm{N}_{A}(P)}=\overline{U}\le \overline{L}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично в силу $1^\circ)$ и того, что $K\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$, имеем $\overline{K}\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(\overline{G})$. Теперь $\overline{K}=\overline{L}$, и по $2^\circ)$ заключаем, что $L^g=K$ для некоторого $g\in G$. Поэтому как и утверждалось.
Отметим ряд других следствий утверждения $6^\circ)$. Мы утверждаем, что $7^\circ)$ любая $\mathfrak{X}$-подгруппа в $G$ нормализует элемент из $\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(N)$; в частности $8^\circ)$ $N\in\mathscr{M}_{\mathfrak{X}}$ и $S\in\mathscr{M}_{\mathfrak{X}}$; $9^\circ)$ любая $\mathfrak{X}$-подгруппа в $\operatorname{Aut}_G(S)$ стабилизирует некоторый элемент из $\Delta$. Докажем $7^\circ)$ и $8^\circ)$. Если $U$ – $\mathfrak{X}$-подгруппа группы $G$, то $U\le K$ для некоторой $K\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$ и $U$ нормализует $K\cap N\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(N)$ согласно $6^\circ)$. Утверждение $7^\circ)$ доказано. Если при этом взять $U\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(N)$, то $U(K\cap N)$ – $\mathfrak{X}$-подгруппа в $N$, содержащая $U\in \operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(N)$ и $K\cap N\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(N)\subseteq \operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(N)$, поэтому
$$
\begin{equation*}
U=U(K\cap N)=K\cap N\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(N).
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым доказано, что $\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(N)=\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(N)$. Значит $N\in\mathscr{M}_{\mathfrak{X}}$. Как следует из леммы 2, нормальная подгруппа $\mathscr{M}_{\mathfrak{X}}$-группы является $\mathscr{M}_{\mathfrak{X}}$-группой. Отсюда получаем $S\in\mathscr{M}_{\mathfrak{X}}$, как и утверждается в $8^\circ)$.
Докажем $9^\circ)$. Обозначим через
$$
\begin{equation*}
\alpha\colon \mathrm{N}_G(S)\to \operatorname{Aut}_G(S)
\end{equation*}
\notag
$$
эпиморфизм, который сопоставляет элементу $g\in \mathrm{N}_G(S)$ автоморфизм группы $S$, действующий по правилу $x\mapsto x^g$ для всех $x\in S$. По лемме 1 произвольная $\mathfrak{X}$-подгруппа $T$ группы $\operatorname{Aut}_G(S)$ имеет вид $U^\alpha$, где $U$ – некоторая $\mathfrak{X}$-подгруппа группы $\mathrm{N}_G(S)$. Возьмем $t\in T$, и пусть $t=g^\alpha$ для $g\in U$. Тогда $x^t=x^{g^\alpha}=x^g$ для всех $x\in S$. В силу $7^\circ)$ подгруппа $U$ нормализует некоторую $H\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(N)$. Так как $U$ нормализует также $S$, имеем Следовательно, $T$ оставляет инвариантным класс сопряженности $\mathfrak{X}$-холловых подгрупп группы $S$, содержащий $H\cap S\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(S)$.
$10^\circ)$ $\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)\ne 1$. Действительно, если $\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)=1$, то $S\in\mathscr{C}_{\mathfrak{X}}$ и в силу $8^\circ)$ получаем
$$
\begin{equation*}
S\in\mathscr{C}_{\mathfrak{X}}\cap \mathscr{M}_{\mathfrak{X}}=\mathscr{D}_{\mathfrak{X}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Но тогда $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(S_1)=\dots=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(S_n)=1$ и $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(N)=1$ по лемме 3, вопреки свойству (a).
$11^\circ)$ $\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)\ne 9$, поскольку $S\in\mathscr{M}_{\mathfrak{X}}$, а если $\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)=9$, то $S\notin\mathscr{M}_{\mathfrak{X}}$ по предложению 3. $12^\circ)$ $\mathrm{N}_G({KN})\in\mathscr{C}_{\mathfrak{X}}$ и $KN\in\mathscr{C}_{\mathfrak{X}}$ для любой $K\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$. Пусть $K\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$. Положим Из того, что $\overline{A}=\overline{K}\in \operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(\overline{G})$, заключаем, что $B/A\cong \mathrm{N}_{\overline{G}}(\overline{K})/\overline{K}$ – $\pi'$-группа. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(A)=\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(B).
\end{equation*}
\notag
$$
В соответствии с $6^\circ)$ имеем $K\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(A)$. В частности, $\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(A)\ne\varnothing$. Значит,
$$
\begin{equation*}
A,B\in\mathscr{E}_{\mathfrak{X}}\quad\text{и}\quad\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(A) \ge\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(B)\ge 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем произвольно $L\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(A)$ и покажем, что $L$ и $K$ сопряжены в $B$. Для начала $A=KN=LN$ и, значит, $\overline{K}=\overline{L}$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\overline{L}\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(\overline{G})\quad\text{и}\quad L\cap N\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(N)\subseteq\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(N).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда $L\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$. В соответствии с $2^\circ)$ равенство $\overline{K}=\overline{L}$ влечет сопряженность подгрупп $K$ и $L$ в $G$ и, следовательно, в $B=\mathrm{N}_G(KN)=\mathrm{N}_G(KL)$. Мы доказали, что группа $B$ транзитивно действует сопряжениями на непустом множестве $\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(A)=\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(B)$. Значит, $\mathrm{N}_G(KN)=B\in \mathscr{C}_{\mathfrak{X}}$.
Из предложения 2 следует, что существует $L\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(A)$, для которой выполнено равенство $B=\mathrm{N}_B(L)A$. Теперь, поскольку $\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(A)=\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(B)$ и $B\in\mathscr{C}_{\mathfrak{X}}$, это равенство выполнено для любой $L\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(A)$. Из $B\in \mathscr{C}_{\mathfrak{X}}$ следует также, что для любой $L\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(A)$ существует элемент $b\in B$ такой, что $K=L^b$. При этом $b=ga$ для некоторых $g\in \mathrm{N}_B(L)$ и $a\in A$. Значит, и тем самым $KN=A\in\mathscr{C}_{\mathfrak{X}}$, как и утверждалось.Утверждение $12^\circ)$ позволяет установить следующий факт, который оказывается решающим в исключении оставшихся случаев: $13^\circ)$ если $K\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$, то $\operatorname{Aut}_K(S)$ стабилизирует ровно один элемент из $\Delta$. Возьмем $K\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$. Существование в $\Delta$ неподвижной точки относительно $\operatorname{Aut}_K(S)$ следует из $9^\circ)$. Пусть $H\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(S)$. Мы докажем $13^\circ)$, если установим, что из инвариантности класса $H^S\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(S)/S$ относительно $\operatorname{Aut}_K(S)$ следует, что $H\in(K\cap S)^S$. Пусть, как и раньше, $A=KN$. По лемме 5 имеем
$$
\begin{equation*}
H^{\operatorname{Aut}_A(S)}=(H^S)^{\operatorname{Aut}_K(S)}=H^S.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь из леммы 4 следует, что для существует $L\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(KM)$ такая, что $H=L\cap S$. При этом $|L|=|K|$ и, значит, $L\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(A)$. Но $A=KN\in\mathscr{C}_{\mathfrak{X}}$ в силу $12^\circ)$, поэтому существуют $u\in K$ и $v\in N$ такие, что $L=K^{uv}=K^v$. При этом понятно, что если $w\in S$ – проекция элемента $v$ на $S$ (напомним, $S$ – один из прямых сомножителей $S_1,\dots,S_n$, произведение которых дает группу $N$), то
$$
\begin{equation*}
H=L\cap S=K^v\cap S=(K\cap S)^v=(K\cap S)^{w}\in (K\cap S)^{S}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым $13^\circ)$ доказано.
Из $4^\circ)$, $5^\circ)$, $10^\circ)$ и $11^\circ)$ следует, что $\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)\in\{2,3,4\}$. Покажем, что $14^\circ)$ $\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)\ne 2$. В самом деле, зафиксируем некоторую $K\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$. Согласно $13^\circ)$ группа $\operatorname{Aut}_K(S)$ стабилизирует ровно один элемент из $\Delta$. Но при $\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)=2$ группа $\operatorname{Aut}_K(S)$ стабилизирует и оставшийся элемент. Противоречие. С учетом сказанного и в силу леммы 8 мы можем считать, что $15^\circ)$ $\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)\in\{3,4\}$ и $2,3\in\pi(\mathfrak{X})$. Теперь по теореме Бернсайда [15; гл. I, разд. 2] и в силу того, что всякая разрешимая $\pi(\mathfrak{X})$-группа является $\mathfrak{X}$-группой, $16^\circ)$ всякая $\{2,3\}$-группа является $\mathfrak{X}$-группой. Мы получим противоречие с $9^\circ)$, доказывающее теорему, установив, что $17^\circ)$ некоторая $\mathfrak{X}$-подгруппа в $\operatorname{Aut}_G(S)$ транзитивно действует на $\Delta$. Действие группы $\operatorname{Aut}_G(S)$ на множестве $\Delta$ индуцирует гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
{}^*\colon \operatorname{Aut}_G(S)\to \operatorname{Sym}(\Delta),\quad \text{где}\quad \operatorname{Sym}(\Delta)\cong \begin{cases} \operatorname{Sym}_3, &\text{если }\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)=3, \\ \operatorname{Sym}_4, & \text{если }\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)=4. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем произвольно $H\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(S)$ и рассмотрим класс $H^S=\{H^x\mid x\in S\}\,{\in}\,\Delta$. Пусть $H\le K$ для некоторой $K\in\operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$. Поскольку подгруппа $H=K\cap S$ инвариантна относительно $\mathrm{N}_K(S)$, класс $H^S$ стабилизируется группой $\operatorname{Aut}_K(S)$, и согласно $11^\circ)$ эта группа действует без неподвижных точек на множестве оставшихся двух или трех классов. Из того, что
$$
\begin{equation*}
|\Gamma|=\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)-1=\begin{cases} 2, & \text{если }\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)=3, \\ 3, & \text{если }\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)=4, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
видно, что действие $\operatorname{Aut}_K(S)$ на $\Gamma$ должно быть транзитивным. Но тогда и действие стабилизатора в $\operatorname{Aut}_G(S)$ точки $H^S$ на $\Gamma$ также транзитивно, поскольку этот стабилизатор содержит подгруппу $\operatorname{Aut}_K(S)$. Следовательно, $\operatorname{Aut}_G(S)^*$ – транзитивная и даже дважды транзитивная подгруппа в $\operatorname{Sym}(\Delta)$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Aut}_G(S)^*\cong \begin{cases} \operatorname{Sym}_3, &\text{если }\operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)=3, \\ \operatorname{Alt}_4\text{ или }\operatorname{Sym}_4, &\text{если } \operatorname{h}_{\mathfrak{X}}(S)=4. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
В любом случае $\operatorname{Aut}_G(S)^*$ – $\{2,3\}$-группа и, следовательно, $\mathfrak{X}$-группа. По лемме 1 существует $\mathfrak{X}$-подгруппа $U$ группы $\operatorname{Aut}_G(S)$ такая, что $U^*=\operatorname{Aut}_G(S)^*$. Такая подгруппа $U$ транзитивно действует на $\Delta$, вопреки $9^\circ)$.
Теорема 1 полностью доказана. Доказательство следствия 4. Достаточно доказать (i) $\Rightarrow$ (ii). Пусть $H\in \operatorname{m}_{\mathfrak{X}}(G)$ и $H\le K\le G$. Пусть подгруппа $N\trianglelefteq G$ такова, что $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G/N)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)$. Тогда $N\in\mathscr{D}_{\mathfrak{X}}$ по теореме 1. Покажем, что $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(K/(K\cap N))=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(K)$.
Допустим, $N$ минимальна в $G$ как нормальная подгруппа. Тогда $N$ – прямое произведение своих простых подгрупп, сопряженных в $G$. Из [4; теорема 2, лемма 2.28] заключаем, что либо $N\in\mathfrak{X}$, либо для $\pi=\pi(\mathfrak{X})$ любая $\pi$-холлова подгруппа группы $N$ разрешима (в частности, принадлежит $\mathfrak{X}$) и $N\in \mathscr{D}_\pi$. В первом случае доказываемое очевидно. Во втором случае из леммы 2 следует, что $H\cap N\in\operatorname{Hall}_{\mathfrak{X}}(N)\subseteq\operatorname{Hall}_\pi(N)$ и $H\cap N\le K\cap N\le N$. Согласно [16; теорема 1.4] $K\cap N\in\mathscr{D}_\pi$. Так как $\pi$-холлова подгруппа из $K\cap N$ принадлежит $\mathfrak{X}$, имеем $K\cap N\in \mathscr{D}_{\mathfrak{X}}$. Теперь $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(K/(K\cap N))=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(K)$ по теореме 2. Общий случай выводится из рассмотренного индукцией по $|N|$ после перехода к факторгруппе по минимальной нормальной подгруппе группы $G$, содержащейся в $N$, и последующего применения теоремы 2. Следствие доказано. Доказательство следствия 5. Из определения отношения $\underset{\mathfrak{X}}{\equiv}$ следует, что $G_1\underset{\mathfrak{X}}{\equiv} G_2$ тогда и только тогда, когда полные $\mathfrak{X}$-редукции групп $G_1$ и $G_2$ изоморфны. Теперь все утверждения следствия 5 очевидны. Следствие доказано.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GuoRev22} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|