| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Групповые многообразия и групповые структуры В. Л. Поповab a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9272e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеЦентральной темой настоящей работы является вопрос о том в какой мере групповое многообразие связной алгебраической группы или вещественной группы Ли определяет ее групповую структуру. К рассмотрению этой темы автора привел данный им в [1] положительный ответ на вопрос Б. Кунявского [2] о справедливости утверждения, сформулированного ниже как следствие из теоремы 1. Это утверждение касается представления группового многообразия связной редуктивной алгебраической группы в виде произведения групповых многообразий ее коммутанта и связной компоненты центра (напомним, что сама группа, вообще говоря, прямым произведением указанных групп не является). Из него, в частности, следует, что групповое многообразие любой связной редуктивной неполупростой алгебраической группы представляется в виде произведения алгебраических многообразий положительной размерности. Результаты § 2, § 3 настоящей работы составляют содержание препринта [1] и касаются возможности таких представлений. Для некоторых из представлений в теореме 1 доказано существование, а в теоремах 2–5, напротив, несуществование. Теорема 1 показывает, что существуют неизоморфные связные редуктивные неполупростые алгебраические группы, групповые многообразия которых изоморфны. В § 4–§ 9 мы исследуем естественно возникающий в связи с этим вопрос о зависимости групповой структуры связной алгебраической группы от геометрических свойств ее группового многообразия. Яркой иллюстрацией этой зависимости является классическая теорема о коммутативности связной алгебраической группы, групповое многообразие которой полно. В явной или неявной форме указанный вопрос рассматривался в классических работах А. Вейля [3], К. Шевалле [4], А. Бореля [5], А. Гротендика [6; следствие, с. 5-02], М. Розенлихта [3; теорема 7], М. Лазара [8; теорема]. В теоремах 6–12 доказано, что такие групповые характеристики связной алгебраической группы, как размерности ее радикала и унипотентного радикала, редуктивность, полупростота, разрешимость, унипотентность, торичность, свойство быть полуабелевым многообразием могут быть выражены в терминах геометрических свойств и числовых инвариантов ее группового многообразия. Теорема 10 обобщает на случай связных разрешимых аффинных алгебраических групп теорему М. Лазара о том, что алгебраическая группа, групповое многообразие которой изоморфно аффинному пространству, унипотентна. Теорема 1 в применении к связным полупростым алгебраическим группам (в отличие от применения к редуктивным неполупростым) не дает способа строить неизоморфные такие группы с изоморфными групповыми многообразиями. Однако на самом деле такие группы существуют: в § 6, § 7 мы находим метод их построения. Известно (см. [9; § 4, упражнение 18]), что при $n\geqslant 7$ существуют бесконечные (параметрические) семейства попарно неизоморфных $n$-мерных связных унипотентных алгебраических групп. Будучи изоморфными $n$-мерному аффинному пространству $\mathbb A^n$, их групповые многообразия изоморфны друг другу. Мы устанавливаем, что для связных редуктивных алгебраических групп дело обстоит иначе: в теореме 15 доказано, что для любой такой группы $R$ число всех, рассматриваемых с точностью до изоморфизма, алгебраических групп, чье групповое многообразие изоморфно групповому многообразию группы $R$, конечно. Вообще говоря, это число больше $1$. Мы доказываем (теоремы 15, 16), что если группа $R$ либо односвязна и полупроста, либо проста, то оно равно $1$. Доказательство теоремы 15 опирается на общую теорему конечности числа связных редуктивных алгебраических групп фиксированного ранга, рассматриваемых с точностью до изоморфизма (теорема 18, доказательство см. в § 9). Теорема 18 является фундаментальным фактом теории алгебраических групп, хорошо известным для полупростых групп (для которых он вытекает из конечности их центров). Однако в полной общности (т. е. для редуктивных, а не только лишь полупростых групп) автор не смог найти ее в литературе. Из полученных результатов вытекают аналогичные результаты для связных компактных вещественных групп Ли, в частности, теорема конечности числа таких групп любой фиксированной размерности (теорема 20). Как и в cлучае теоремы 18, автор не смог найти в литературе этот фундаментальный факт теории компактных вещественных групп Ли. Это же относится и к вытекающей из теоремы 18 теоремы конечности числа приведенных корневых данных (root data) любого фиксированного ранга (теорема 19). В § 8 сформулирован ряд открытых вопросов, возникших в связи с этой работой. Результаты этой работы анонсированы в [10]–[13]. Соглашения и обозначенияПод групповым многообразием алгебраической группы или вещественной группы Ли мы понимаем ее подстилающее (underlying) многообразие. Мы следуем принятой в [14]–[16] точке зрения на алгебраические группы и используем следующие обозначения:
§ 2. Редуктивные алгебраические группы с изоморфными групповыми многообразиямиВ этом параграфе доказывается существование некоторых представлений групповых многообразий аффинных алгебраических групп в виде произведений алгебраических многообразий, а также существование связных неизоморфных редуктивных неполупростых алгебраических групп, групповые многообразия которых являются изоморфными алгебраическими многообразиями. Пусть $G$ – связная редуктивная алгебраическая группа. Тогда
$$
\begin{equation*}
D:=\mathscr{D}(G)\quad\text{и}\quad Z:=\mathscr{C}(G)^\circ
\end{equation*}
\notag
$$
– соответственно связная алгебраическая полупростая группа и тор (см. [14; разд. 14.2, предложение (2)]). Алгебраические группы $D\times Z$ и $G$ не всегда изоморфны; последнее равносильно равенству $D\cap Z=\{e\}$, которое, в свою очередь, равносильно тому, что изогения алгебраических групп $D\times Z\to G$, $(d, z)\mapsto d z$, является их изоморфизмом. Теорема 1. Существует такой инъективный гомоморфизм алгебраических групп $\iota\colon Z\hookrightarrow G$, что отображение является изоморфизмом алгебраических многообразий (но, вообще говоря, не гомоморфизмом алгебраических групп). Следствие 1. Групповые многообразия (в общем случае не изоморфных) алгебраических групп $D\times Z$ и $G$ являются изоморфными алгебраическими многообразиями. Замечание 1. Существование $\iota$ в доказательстве теоремы 1 устанавливается явным построением. Пример 1 (см. [17; теорема 8, доказательство]). Пусть $G=\operatorname{GL}_n$. Тогда $D=\operatorname{SL}_n$, $Z=\{\operatorname{diag}(t,\dots, t)\mid t\in k^\times\}$, и можно взять в качестве $\iota$. В этом примере при $n\geqslant 2$ алгебраические группы $G$ и $D\times Z$ неизоморфны, поскольку центр группы $G$ связен, а центр группы $D\times Z$ – нет. Доказательство теоремы 1. Пусть $T_D$ – максимальный тор группы $D$, а $T_G$ – содержащий его максимальный тор группы $G$. Тор $T_D$ является прямым сомножителем тора $T_G$: в последнем существует такой тор $S$, что отображение $T_D\times S\to T_G$, $(t, s)\mapsto ts$, является изоморфизмом алгебраических групп (см. [14; разд. 8.5, следствие]). Покажем, что отображение является изоморфизмом алгебраических многообразий.
Мы имеем (см. [14; разд. 14.2, предложение, утверждения (1), (3)])
$$
\begin{equation}
\text{(a) }Z\subseteq T_G,\quad \text{(b) }DZ=G,\quad \text{(c) }|D\cap Z|<\infty.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Пусть $g\in G$. Ввиду (3), (b), существуют такие элементы $d\in D$, $z\in Z$, что $g=dz$, а ввиду (3), (a) и определения тора $S$, – такие элементы $t\in T_D$, $s\in S$, что $z=ts$. Мы имеем $dt\in D$ и $\psi(dt, s)=dts=g$. Значит, морфизм $\psi$ сюръективен. Рассмотрим в группе $G$ какую-либо пару взаимно противоположных борелевских подгрупп, содержащих тор $T_G$. Их унипотентные радикалы $U$ и $U^-$ лежат в группе $D$. Пусть $N_D(T_D)$ и $N_G(T_G)$ – нормализаторы торов $T_D$ и $T_G$ в группах $D$ и $G$ соответственно. Тогда $N_D(T_D)\subseteq N_G(T_G)$ ввиду (3), (b). Индуцированный этим вложением гомоморфизм $N_D/T_D\to N_G/T_G$ является изоморфизмом групп (см. [14; гл. IV, § 13]), по которому мы их отождествим и обозначим через $W$. Для каждого элемента $\sigma\in W$ зафиксируем какой-либо представитель $n_\sigma\in N_D(T_D)$. Группа $U\cap n_{\sigma}U^-n_{\sigma}^{-1}$ от выбора этого представителя не зависит, поскольку тор $T_D$ нормализует группу $U^-$; обозначим ее через $U'_{\sigma}$. Из разложения Брюа следует, что для каждого элемента $g\in G$ существуют такие однозначно определенные элементы $\sigma\in W$, $u\in U$, $u'\in U'_\sigma$ и $t_G\in T_G$, что $g=u'n_\sigma u t_G$ (см. [15; разд. 28.4, теорема]). Ввиду определения тора $S$, существуют такие однозначно определенные элементы $t_D\in T_D$ и $s\in S$, что $t_G=t_Ds$, а поскольку $u', n_\sigma, u, t_D\in D$, условие $g\in D$ равносильно условию $s= e$. Отсюда и из определения морфизма $\psi$ следует, что последний инъективен. Таким образом, $\psi$ – биективный морфизм. Поэтому для доказательства того, что он является изоморфизмом алгебраических многообразий, остается доказать его сепарабельность (см. [14; разд. 18.2, теорема]). Мы имеем $\operatorname{Lie}(G) = \operatorname{Lie}D + \operatorname{Lie}(T_G)$ (см. [14; разд. 13.18, теорема]) и $\operatorname{Lie}(T_G) = \operatorname{Lie} (T_D) + \operatorname{Lie}(S)$ (ввиду определения тора $S$). Значит,
$$
\begin{equation}
\operatorname{Lie}(G)=\operatorname{Lie}(D)+\operatorname{Lie}(S).
\end{equation}
\tag{4}
$$
С другой стороны, из (2) очевидно, что ограничения морфизма $\psi$ на подгруппы $D\times\{e\}$ и $\{e\}\times S$ в $D\times S$ являются изоморфизмами соответственно с подгруппами $D$ и $S$ в $G$. Поскольку $\operatorname{Lie}(D\times S)= \operatorname{Lie}(D\times \{e\}) + \operatorname{Lie}(\{e\} \times S)$, из (4) следует, что дифференциал морфизма $\psi$ в точке $(e, e)$ сюръективен. Следовательно (см. [14; разд. 17.3, теорема]), морфизм $\psi$ сепарабелен.
Поскольку $\psi$ – изоморфизм, из (2) следует, что $\dim(G)=\dim(D) +\dim(S)$. С другой стороны, из (3), (b), (c) вытекает, что $\dim(G)=\dim(D)+\dim(Z)$. Значит, $Z$ и $S$ – равноразмерные, а потому и изоморфные торы. Следовательно, в качестве $\iota$ можно взять композицию какого-либо изоморфизма торов $Z\to S$ с тождественным вложением $S \hookrightarrow G$. Теорема 1 доказана. § 3. Свойства сомножителейЭтот параграф, в отличие от предыдущего, наоборот, касается несуществования некоторых представлений группового многообразия аффинной алгебраической группы в виде произведения алгебраических многообразий. Теорема 2. Алгебраическое многообразие, на котором имеется непостоянная обратимая регулярная функция, не может быть прямым сомножителем группового многообразия связной полупростой алгебраической группы. Доказательство. Если бы утверждение теоремы 2 было неверно, то из существования указанной в нем непостоянной обратимой регулярной функции следовало бы существование такой функции на связной полупростой алгебраической группе. Поделив эту функцию на ее значение в единице группы, мы получили бы тогда согласно [7; теорема 3] нетривиальный характер этой группы, что противоречит отсутствию нетривиальных характеров у связных полупростых групп. Теорема 2 доказана. Далее, если не оговорено отдельно, мы считаем, что $k=\mathbb C$. По принципу Лефшеца доказанные ниже теоремы 4, 5, 14–16 справедливы для любого поля $k$ характеристики нуль. Ниже топологические термины относятся к классической топологии, а гомологии и когомологии являются сингулярными. Каждая комплексная редуктивная алгебраическая группа $G$ обладает компактной вещественной формой, любые две такие формы сопряжены, и если $\mathsf{G}$ – одна из них, то топологическое многообразие $G$ гомеоморфно произведению $\mathsf{G}$ и евклидова пространства (см. [18; гл. 5, § 2, теоремы 2, 8, 9]). Следовательно, $G$ и $\mathsf{G}$ имеют одинаковые гомологии и когомологии. Ниже это используется без повторных объяснений. Теорема 3. Если $d$-мерное алгебраическое многообразие $X$ является прямым сомножителем группового многообразия связной редуктивной алгебраической группы, то Доказательство. Допустим, существуют связная редуктивная алгебраическая группа $G$ и алгебраическое многообразие $Y$ такие, что групповое многообразие группы $G$ изоморфно $X\times Y$. Пусть $n:=\dim (G)$, тогда $\dim (Y)=n-d$. Алгебраические многообразия $X$ и $Y$ являются неприводимыми, неособыми и аффинными. Поэтому (см. [19; теорема 7.1])
$$
\begin{equation}
H_i(X, \mathbb Z)=0 \quad\text{при}\quad i>d, \qquad H_j(Y, \mathbb Z)=0\quad \text{при}\quad j>n-d.
\end{equation}
\tag{5}
$$
По теореме об универсальных коэффициентах для любого алгебраического многообразия $V$ и любого целого числа $i\geqslant 0$ мы имеем
$$
\begin{equation}
H_i(V, \mathbb Q)\simeq H_i(V, \mathbb Z)\otimes \mathbb Q,
\end{equation}
\tag{6}
$$
а по формуле Кюннета
$$
\begin{equation}
H_n(G,\mathbb Q)\simeq H_n(X\times Y, \mathbb Q)\simeq \bigoplus_{p+q=n}H_p(X, \mathbb Q)\otimes H_q(Y, \mathbb Q).
\end{equation}
\tag{7}
$$
Поэтому из (5), (7) следует, что
Рассмотрим какую-либо компактную вещественная форму $\mathsf{G}$ группы $G$. Поскольку $\mathsf{G}$ – замкнутое связное ориентируемое $n$-мерное топологическое многообразие, $H_n(\mathsf{G}, \mathbb Q)\simeq\mathbb Q$. Значит, $H_n(G, \mathbb Q) \simeq\mathbb Q$. Отсюда и из (8) следует, что $H_d(X, \mathbb Q)\simeq \mathbb Q$. В свою очередь, ввиду (6), последнее влечет $H_d(X, \mathbb Z)\simeq \mathbb Z$, поскольку $H_d(X, \mathbb Z)$ – конечно порожденная (см. [20; разд. 1.3]) абелева группа без кручения (см. [21; теорема 1]). Теорема 3 доказана. Следствие 2. Стягиваемое алгебраическое многообразие (в частности, $\mathbb A^d$) положительной размерности не может быть прямым сомножителем группового многообразия связной редуктивной алгебраической группы. Теорема 4. Алгебраическая кривая не может быть прямым сомножителем группового многообразия связной полупростой алгебраической группы. Доказательство. Допустим, алгебраическая кривая $X$ является прямым сомножителем группового многообразия связной полупростой алгебраической группы $G$. Тогда кривая $X$ неприводима, неособа, аффинна и существует сюръективный морфизм $\pi\colon G\to X$. Ввиду рациональности алгебраического многообразия $G$ (см. [14; разд. 14.14]), существование морфизма $\pi$ влечет унирациональность, а значит, по теореме Люрота и рациональность кривой $X$. Поэтому кривая $X$ изоморфна открытому подмножеству $U$ в $\mathbb A^1$. Случай $U= \mathbb A^1$ невозможен ввиду следствия из теоремы 3. Если же $U\neq \mathbb A^1$, то на $X$ существует непостоянная обратимая регулярная функция, что невозможно ввиду теоремы 2. Теорема 4 доказана. Теорема 5. Алгебраическая поверхность не может быть прямым сомножителем группового многообразия связной полупростой алгебраической группы. Доказательство. Допустим, существуют связная полупростая алгебраическая группа $G$ и такие алгебраические многообразия $X$ и $Y$ (необходимо неприводимые и гладкие), что $X$ – поверхность, а произведение $X\times Y$ изоморфно групповому многообразию группы $G$. Сохраним обозначения доказательства теоремы 3. Поскольку группа $G$ полупроста, то и группа $\mathsf{G}$ полупроста. Значит, $H^1(\mathsf{G}, \mathbb Q)=H^2(\mathsf{G}, \mathbb Q)=0$ (см. [22; § 9, теорема 4, следствие 1]). Поскольку $\mathbb Q$-векторные пространства $H^i(\mathsf{G}, \mathbb Q)$ и $H_i(\mathsf{G}, \mathbb Q)$ двойственны друг другу, это дает Так как группа $G$ связна, топологические многообразия $X$ и $Y$ тоже связны. Значит, Из (7), (9) и (10) следует, что $H_2(X,\mathbb Q)=0$. Это, ввиду (6), противоречит теореме 3, что и завершает доказательство. Замечание 2. Теорема 4 может быть доказана тем же способом, что и теорема 5. А именно, в доказательстве последней нужно лишь считать $X$ кривой, и тогда использованные в нем рассуждения приводят к противоречащему теореме 3 равенству $H_1(X,\mathbb Q)=0$. Другое доказательство приведено в надежде, что это повышает шансы перенесения теоремы 4 в положительную характеристику. § 4. Групповые свойства, определяемые свойствами группового многообразияТеорема 1 естественно приводит к вопросу о том, в какой мере групповое многообразие алгебраической группы определяет ее групповую структуру. Явно или неявно этот вопрос давно рассматривался в литературе. Так, М. Лазар доказал в [8], что если групповое многообразие алгебраической группы изоморфно аффинному пространству, то эта группа унипотентна (короткое доказательство см. ниже в замечании 3). По теореме Шевалле всякая связная алгебраическая группа $G$ содержит наибольшую связную аффинную нормальную подгруппу $G_{\mathrm{aff}}$, а группа $G/G_{\mathrm{aff}}$ является абелевым многообразием. М. Розенлихт в [7] рассмотрел такие группы $G$, что $G_{\mathrm{aff}}$ – тор; это свойство эквивалентно отсутствию связных одномерных унипотентых подгрупп в $G$. В современной терминологии (см. [23; разд. 5.4]) такие группы называются полуабелевыми многообразиями (М. Розенлихт называл их тороидальными). Следующая теорема 6 дает критерий того, что группа $G$ является полуабелевым многообразием, в терминах геометрических свойств ее группового многообразия (доказательство не использует ограничения на характеристику поля $k$; ограничение (b) в теореме 6 является более слабым, чем ограничение, сделанное в [23; предложение 5.4.5]). Теорема 6 (критерий полуабелевости). Следующие свойства связной алгебраической группы $G$ эквивалентны: $(\mathrm{sa}_1)$ $G$ является полуабелевым многообразием; $(\mathrm{sa}_2)$ $G$ не содержит подмногообразий, изоморфных $\mathbb{A}^1$. Доказательство. Пусть $\pi\colon G\to G/G_{\mathrm{aff}}$ – естественный эпиморфизм, а $X$ – подмногообразие в $G$, изоморфное $\mathbb A^1$. Сдвинув его на подходящий элемент из группы $G$, можно считать, что единичный элемент $e$ группы $G$ лежит в $X$. Поскольку многообразие $X$ изоморфно групповому многообразию группы $\mathbb G_a$, можно наделить многообразие $X$ структурой алгебраической группы, изоморфной группе $\mathbb G_a$, с единичным элементом $e$. Тогда $\pi|_X\colon X\to G/G_{\mathrm{aff}}$ – гомоморфизм алгебраических групп ввиду [7; теорема 3]. Поскольку $X$ – аффинное, а $G/G_{\mathrm{aff}}$ – полное алгебраическое многообразие, это дает $X\subseteq G_{\mathrm{aff}}$. Поэтому дело сводится к доказательству эквивалентности следующих свойств:
$(\mathrm{sa}_1')$ $G_{\mathrm{aff}}$ является тором; $(\mathrm{sa}_2')$ в $G_{\mathrm{aff}}$ нет подмногообразий, изоморфных $\mathbb{A}^1$. $(\mathrm{sa}_1') \Rightarrow (\mathrm{sa}_2')$. Пусть подмногообразие $X$ тора $G_{\mathrm{aff}}$ изоморфно $\mathbb{A}^1$. Алгебра регулярных функций на $G_{\mathrm{aff}}$ порождена обратимыми функциями. Значит, это так и для алгебры регулярных функций на $X$. Получили противоречие тому, что на $\mathbb A^1$ нет непостоянных обратимых регулярных функций. $(\mathrm{sa}_2')\Rightarrow (\mathrm{sa}_1')$. Если выполнено $(\mathrm{sa}_2')$, то группа $G_{\mathrm{aff}}$ редуктивна, поскольку многообразие $\mathscr R_u(G_{\mathrm{aff}})$ изоморфно аффинному пространству $\mathbb A^d$ (см. [6; с. 5-02, следствие]), которое при $d>0$ содержит аффинные прямые. Кроме того, $\mathscr{D}(G_{\mathrm{aff}})=\{e\}$, поскольку корневые подгруппы в полупростой группе изоморфны группе ${\mathbb G}_a$, групповое многообразие которой изоморфно $\mathbb A^1$. Значит, $G_{\mathrm{aff}}$ – тор. Теорема 6 доказана. Следствие 3. Следующие свойства связной алгебраической группы $G$ эквивалентны: (a) в групповом многообразии группы $G$ нет подмногообразий, изоморфных $\mathbb{A}^1$; (b) в группе $G$ нет алгебраических подгрупп, изоморфных ${\mathbb G}_a$. Доказательство. Согласно [7; предложение] свойство (b) эквивалентно тому, что группа $G$ является полуабелевым многообразием. Поэтому утверждение следует из теоремы 6. Следствие доказано. Ниже указан ряд групповых свойств связных аффинных алгебраических групп, определяемых свойствами их групповых многообразий. В формулировках соответствующих утверждений используются следующие числовые инварианты групповых многообразий. Пусть $X$ – неприводимое алгебраическое многообразие. Мультипликативная группа $k[X]^\times$ обратимых регулярных функций на $X$ содержит подгруппу ненулевых констант $k^\times$, а фактор $k[X]^\times /k^\times$ является свободной абелевой группой конечного ранга (см. [7; теорема 1]). Обозначим
$$
\begin{equation}
\operatorname{units}(X):=\operatorname{rank}(k[X]^\times /k^\times).
\end{equation}
\tag{11}
$$
Согласно [7; теоремы 2, 3] этот инвариант обладает следующими свойствами: (i) если $X$ и $Y$ – неприводимые алгебраические многообразия, то
$$
\begin{equation}
\operatorname{units}(X\times Y)=\operatorname{units}(X)+\operatorname{units}(Y);
\end{equation}
\tag{12}
$$
(ii) если $G$ – связная алгебраическая группа, то
$$
\begin{equation}
\operatorname{units}(G)=\operatorname{rank}\bigl(\operatorname{Hom}(G, \mathbb G_m)\bigr).
\end{equation}
\tag{13}
$$
Лемма 1. Пусть $G$ – связная алгебраическая группа. Тогда (i) $\operatorname{units}(G)\leqslant \dim(G)$; (ii) равенство в (i) равносильно тому, что $G$ – тор. Доказательство. Согласно [24; следствие 5 из теоремы 16] ядро любого характера группы $G$ содержит наименьшую нормальную алгебраическую подгруппу $D$ в $G$, для которой группа $G/D$ аффинна. Ввиду этого и (13), далее мы можем (и будем) считать $G$ аффинной. Аналогично, поскольку $\mathscr{R}_u(G)$ лежит в ядре любого характера группы $G$, мы можем (и будем) считать $G$ редуктивной. Пусть $T$ – максимальный тор в $G$. Поскольку множество $\bigcup_{g\in G}gTg^{-1}$ плотно в $G$ (см. [14; разд. 12.1, теорема, (a), (b); разд. 13.17, следствие 2, (c)]), ограничение на $T$ характеров группы $G$ является вложением групп $\operatorname{Hom}(G, \mathbb G_m)\hookrightarrow \operatorname{Hom}(T, \mathbb G_m)$, откуда, ввиду (13) и [14; разд. 8.5, предложение], мы получаем $\operatorname{units}(G)\leqslant \operatorname{units}(T)=\dim(T)\leqslant \dim(G)$. Лемма 1 доказана. Далее мы используем следующее обозначение:
$$
\begin{equation}
\operatorname{mh}(X):=\max\{d\in \mathbb Z_{\geqslant 0}\mid H_d(G, \mathbb Q)\neq 0\}.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Если $X$ – неособое аффинное алгебраическое многообразие, то согласно [19; теорема 7.1] Теорема 7. Если $G$ – связная аффинная алгебраическая группа, то Доказательство. Ввиду [6; с. 5-02, следствие] групповое многообразие группы $\mathscr{R}_u(G)$ изоморфно аффинному пространству. Поэтому групповые многообразия групп $G$ и $R:=G/\mathscr{R}_u(G)$, рассматриваемые как топологические многообразия, гомотопически эквивалентны. Следовательно, $H_i(G,\mathbb Q)\simeq H_i(R,\mathbb Q)$ для любого $i$ и, значит, Поскольку группа $R$ редуктивна, из (6) и теоремы 3 вытекает, что Ввиду равенства $\dim(R)=\dim(G)-\dim (\mathscr{R}_u(G))$ из (17) и (18) следует (15).
Группа $\mathscr{R}(G)$ является полупрямым произведением своего максимального тора $T$ и группы $\mathscr{R}_u(G)$ (см. [14; разд. 10.6, теорема]), так что
$$
\begin{equation}
\dim (\mathscr{R}(G))=\dim(T)+\dim(\mathscr{R}_u(G)).
\end{equation}
\tag{19}
$$
Пусть $\pi\colon G\to G/\mathscr{R}_u(G)$ – каноническая проекция. Тогда (см. [14; разд. 11.21])
$$
\begin{equation}
\pi(T)=\pi(\mathscr{R}(G))=\mathscr{C}(G/\mathscr{R}_u(G))^{\circ}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Поскольку группа $G/\mathscr{R}_u(G)$ редуктивна, из (13) и (20) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \operatorname{units}(G)&=\operatorname{rank}\bigl(\operatorname{Hom}(G, \mathbb G_m)\bigr) = \operatorname{rank}\bigl(\operatorname{Hom}(G/\mathscr{R}_u(G), \mathbb G_m)\bigr) \nonumber \\ &=\dim\bigl(\mathscr{C}(G/\mathscr{R}_u(G))^{\circ}\bigr) = \dim\bigl(\pi(T)\bigr)=\dim(T). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
Равенство (16) вытекает теперь из (15), (19) и (21). Теорема 7 доказана. Поскольку редуктивность (соответственно полупростота) связной аффинной алгебраической группы эквивалентна тривиальности ее унипотентного радикала (соответственно радикала), теорема 7 дает следующие критерии редуктивности и полупростоты в терминах геометрических свойств группового многообразия. Теорема 8 (критерий редуктивности). Следующие свойства связной аффинной алгебраической группы $G$ эквивалентны: $(\mathrm{red}_1)$ $G$ редуктивна; $(\mathrm{red}_2)$ $\dim(G)=\operatorname{mh}(G)$. Если эти свойства выполнены, то $\dim(\mathscr C(G))=\operatorname{units}(G)$. Теорема 9 (критерий полупростоты). Следующие свойства связной аффинной алгебраической группы $G$ эквивалентны: $(\mathrm{ss}_1)$ $G$ полупроста; $(\mathrm{ss}_2)$ $\dim(G)=\operatorname{mh}(G)-\operatorname{units}(G)$; $(\mathrm{ss}_3)$ $\dim(G)=\operatorname{mh}(G)$ и $\operatorname{units}(G)=0$. Доказательство. $(\mathrm{ss}_1)\Leftrightarrow(\mathrm{ss}_2)$ следует из (16). Ввиду редуктивности полупростых групп и конечности их центров, из теоремы 8 вытекает, что $(\mathrm{ss}_1)\Rightarrow(\mathrm{ss}_3)$. Ясно, что $(\mathrm{ss}_3)\Rightarrow(\mathrm{ss}_2)$. Теорема 9 доказана. Следующая теорема 10 обобщает на случай связных разрешимых аффинных алгебраических групп теорему М. Лазара [8] и показывает, что разрешимость связной аффинной алгебраической группы тоже может быть охарактеризована в терминах геометрических свойств ее группового многообразия. Теорема 10 (критерий разрешимости). Следующие свойства связной аффинной алгебраической группы $S$ эквивалентны: $(\mathrm{sol}_1)$ $S$ разрешима; $(\mathrm{sol}_2)$ $\operatorname{mh}(S)=\operatorname{units}(S)$; $(\mathrm{sol}_3)$ существуют такие неотрицательные целые числа $t$ и $r$, что групповое многообразие группы $S$ изоморфно $\mathbb{A}_*^t\times \mathbb{A}^r$, и в этом случае необходимо $t=\operatorname{units}(S)$. Если эти свойства выполнены, то размерность максимальных торов группы $S$ равна $\operatorname{units}(S)$ и выполнено следующее равенство: Доказательство. $(\mathrm{sol}_1)\Leftrightarrow(\mathrm{sol}_2)$. Пусть $G:=S/\mathscr{R}_u(S)$; это связная редуктивная алгебраическая группа. Будем использовать те же обозначения, что и в доказательстве теоремы 1. Разрешимость группы $S$ эквивалентна равенству $G=Z$, откуда, ввиду связности групп $G$ и $Z$, следует, что
$$
\begin{equation}
S\text{ разрешима}\quad \Longleftrightarrow\quad \dim (G)=\dim (Z).
\end{equation}
\tag{23}
$$
Ввиду (15) и (17) мы имеем
Элементы группы $\operatorname{Hom}(S, \mathbb G_m)$ (соответственно $\operatorname{Hom}(G, \mathbb G_m)$) тривиальны на группе $\mathscr{R}_u(S)$ (соответственно $D$). Отсюда и из (3), (b) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \operatorname{Hom}(S, \mathbb G_m) &\simeq \operatorname{Hom}(G, \mathbb G_m), \\ \operatorname{Hom}(G, \mathbb G_m) &\simeq \operatorname{Hom}(Z/(Z\cap D), \mathbb G_m). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
Из (13), (25) и (3), (c) мы получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \operatorname{units}(S) &=\operatorname{rank}\bigl(\operatorname{Hom}(Z/(Z\cap D), \mathbb G_m)\bigr) \nonumber \\ &=\dim(Z/(Z\cap D))=\dim (Z). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
Сопоставление (23), (24) и (26) завершает доказательство эквивалентности $(\mathrm{sol}_1)\Leftrightarrow(\mathrm{sol}_2)$.
$(\mathrm{sol}_1)\Rightarrow(\mathrm{sol}_3)$. Это доказано в [6; с. 5-02, следствие] для поля $k$ любой характеристики. $(\mathrm{sol}_3)\Rightarrow(\mathrm{sol}_2)$. Пусть выполнено $(\mathrm{sol}_3)$. Из (12), (13) и очевидного равенства $\operatorname{units}(\mathbb{A}^r)=0$ следует, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{units}(\mathbb{A}_*^t\times \mathbb{A}^r)=t.
\end{equation}
\tag{27}
$$
С другой стороны, поскольку топологическое многообразие $\mathbb A^r$ стягиваемо, а $\mathbb{A}_*^t$ гомотопически эквивалентно произведению $t$ окружностей, имеем
$$
\begin{equation*}
H_j(\mathbb{A}_*^t\times \mathbb{A}^r, \mathbb Q)=\begin{cases} \mathbb Q &\text{при }j=t, \\ 0 & \text{при }j>t; \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
отсюда и из (14) заключаем, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{mh}(\mathbb{A}_*^t\times \mathbb{A}^r)=t.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Сравнение (27) с (28) завершает доказательство импликации $(\mathrm{sol}_3)\Rightarrow(\mathrm{sol}_2)$, а вместе с ним и доказательство первого утверждения теоремы.
Пусть указанные в первом утверждении теоремы свойства выполнены. Тогда из свойства $(\mathrm{sol}_1)$ и [14; разд. 10.6, теорема (4)] следует, что размерность максимальных торов в $S$ равна $\dim(S/\mathscr{R}_u(S))=\dim (G)$, что ввиду (23) и (26) равно $\operatorname{units}(S)$. Равенство (22) следует из равенств (15) и $(\mathrm{sol}_2)$. Это доказывает второе утверждение теоремы. Группа $S$ унипотентна (соответственно является тором) тогда и только тогда, когда она разрешима (т. е. согласно (c) ее групповое многообразие изоморфно $\mathbb{A}_*^t\times \mathbb{A}^r$) и по теореме 7 выполнено равенство $\operatorname{mh}(S)=0$ (соответственно $\operatorname{mh}(S)=\dim(S)$). Теперь последнее утверждение теоремы вытекает из (28). Замечание 3. Вот короткое доказательство теоремы М. Лазара [8], пригодное для поля $k$ любой характеристики. Доказательство теоремы М. Лазара (см. [8]). Пусть групповое многообразие группы $G$ изоморфно $\mathbb A^r$. Если $G$ не унипотентна, в $G$ содержится неединичный полупростой элемент, а потому и неединичный тор (см. [14; разд. 4.4, разд. 11.10]). Действие этого тора на $G$ левыми сдвигами не имеет неподвижных точек. Это противоречит тому, что всякое алгебраическое действие тора на $\mathbb A^r$ имеет неподвижную точку (см. [25; теорема 1]). Теорема доказана. Следующие две теоремы показывают, что унипотентность и торичность связной аффинной алгебраической группы тоже допускают характеризацию в терминах введенных числовых инвариантов ее группового многообразия. Теорема 11 (критерий унипотентности). Следующие свойства связной аффинной алгебраической группы $G$ эквивалентны: $(\mathrm{u}_1)$ $G$ унипотентна; $(\mathrm{u}_2)$ $\operatorname{mh}(G)=\operatorname{units}(G)=0$; $(\mathrm{u}_3)$ групповое многообразие группы $G$ изоморфно $\mathbb{A}^{\dim(U)}$. Доказательство. Ввиду разрешимости унипотентных групп эквивалентность $(\mathrm{u}_1)\Leftrightarrow(\mathrm{u}_2)$ (соответственно $(\mathrm{u}_1)\Leftrightarrow(\mathrm{u}_3)$) вытекает из эквивалентности $(\mathrm{sol}_1)\Leftrightarrow(\mathrm{sol}_2)$ (соответственно $(\mathrm{sol}_1)\Leftrightarrow(\mathrm{sol}_3)$) и формулы (22) в теореме 10. Теорема доказана. В следующей теореме характеристика поля $k$ может быть любой. Теорема 12 (критерий торичности). Следующие свойства связной аффинной алгебраической группы $G$ эквивалентны: $(\mathrm{t}_1)$ $G$ является тором; $(\mathrm{t}_2)$ $\dim(G)=\operatorname{units}(G)$; $(\mathrm{t}_3)$ групповое многообразие группы $G$ изоморфно $\mathbb{A}_*^{\dim(G)}$. Доказательство. Лемма 1 дает $(\mathrm{t}_1)\Leftrightarrow(\mathrm{t}_2)$. Импликация $(\mathrm{t}_3)\Rightarrow(\mathrm{t}_2)$ следует из (12) и $\operatorname{units}(\mathbb A_*^1)=1$, а $(\mathrm{t}_1)\Rightarrow(\mathrm{t}_3)$ очевидна. Теорема доказана.
§ 5. Разные групповые структуры на одном многообразииИзвестно (см. [9; § 4, упражнение 18]), что существует бесконечно много попарно неизоморфных связных унипотентных алгебраических групп любой фиксированной размерности $\geqslant 7$; однако их групповые многообразия все изоморфны друг другу (см. теорему 10). С другой стороны, существуют такие типы связных алгебраических групп, для которых групповые многообразия определяют групповую структуру однозначно. Следующая теорема 13 показывает, что к таким типам относятся полуабелевы многообразия (доказательство не использует ограничения на характеристику поля $k$). Ниже мы рассмотрим и другие типы алгебраических групп, обладающие указанным свойством однозначности (см. теоремы 15, (b), 16). Теорема 13. Пусть $G_1$ и $G_2$ – алгебраические группы, одна из которых является полуабелевым многообразием. Следующие свойства (a) и (b) эквивалентны: (a) групповые многообразия групп $G_1$ и $G_2$ изоморфны; (b) алгебраические группы $G_1$ и $G_2$ изоморфны. Доказательство. Пусть $G_1$ является полуабелевым многообразием. Тогда согласно [7; теорема 3] композиция изоморфизма групповых многообразий $G_2\to G_1$ с подходящим левым сдвигом группы $G_1$ является изоморфизмом алгебраических групп, что доказывает (a) $\Rightarrow$ (b). Теорема доказана. Следствие 4. Изоморфность алгебраических групп, среди которых есть либо тор, либо абелево многообразие, равносильна изоморфности их групповых многообразий. Отсюда, в частности, получается тот открытый А. Вейлем факт, что изоморфность абелевых многообразий равносильна изоморфности их групповых многообразий (см. [3]). Замечание 4. Полуабелевы многообразия коммутативны. В препринте [26], опубликованном после препринта [10] первого варианта настоящей работы, доказано, что при $\operatorname{char}(k)=0$ изоморфность групповых многообразий двух связных коммутативных алгебраических групп влечет изоморфность этих алгебраических групп. Существование групп Витта показывает, что условие $\operatorname{char}(k)=0$ в этом утверждении не может быть отброшено. Теперь исследуем вопрос об определяемости групповой структуры свойствами группового многообразия для связных редуктивных алгебраических групп. Теорема 14. Пусть $G_1$ и $G_2$ – связные аффинные алгебраические группы, а $R_i$ – максимальная редуктивная алгебраическая подгруппа в $G_i$, $i=1, 2$. Если групповые многообразия групп $G_1$ и $G_2$ изоморфны, то алгебры Ли связных алгебраических групп $R_1$ и $R_2$ изоморфны. Доказательство. Из $\operatorname{char}(k)=0$ следует, что группа $G_i$ является полупрямым произведением групп $R_i$ и $\mathscr{R}_u(G_i)$ (см. [14; разд. 11.22]). Значит, группа $R_i$ связна (так как $G_i$ связна), а групповые многообразия групп $G_i$ и $R_i$ являются гомотопически эквивалентными топологическими многообразиями (см. доказательство теоремы 7).
Рассмотрим какую-либо компактную форму $\mathsf{R}_i$ редуктивной алгебраической группы $R_i$. Групповые многообразия групп $R_i$ и $\mathsf{R}_i$ гомотопически эквивалентны. Предположим, что групповые многообразия групп $G_1$ и $G_2$ являются изоморфными алгебраическими многообразиями, а потому и гомеоморфными топологическими многообразиями. Тогда групповые многообразия групп $\mathsf{R}_1$ и $\mathsf{R}_2$ являются гомотопически эквивалентными топологическими многообразиями. Ввиду [27; предложение] отсюда вытекает, что вещественные алгебры Ли $\operatorname{Lie}(\mathsf{R}_1)$ и $\operatorname{Lie}(\mathsf{R}_2)$ изоморфны. Теперь утверждение теоремы следует из того, что вещественная алгебра Ли $\operatorname{Lie}(\mathsf{R}_i)$ является вещественной формой комплексной алгебры Ли $\operatorname{Lie}(R_i)$. Теорема 14 доказана. Теорема 15. Пусть $R$ – связная редуктивная алгебраическая группа. (i) Если $G$ – такая алгебраическая группа, что групповые многообразия групп $G$ и $R$ являются изоморфными алгебраическими многообразиями, то
(ii) Число всех, рассматриваемых с точностью до изоморфизма, алгебраических групп, групповые многообразия которых изоморфны групповому многообразию группы $R$, конечно. Доказательство. (i), (a) Из связности группы $R$ и условия на группу $G$ следует, что группа $G$ связна. Ввиду теоремы 14 и редуктивности группы $R$, алгебра Ли максимальной редуктивной подгруппы в $G$ изоморфна $\operatorname{Lie} (R)$. В частности, размерность этой подгруппы равна $\dim (R)$. Поскольку $\dim (R)=\dim (G)$, эта подгруппа совпадает с $G$.
(i), (b) Из условия на группу $G$ и односвязности группового многообразия группы $R$ следует, что групповое многообразие группы $G$ односвязно. Ввиду (a) алгебры Ли $\operatorname{Lie}(R)$ и $\operatorname{Lie}(G)$ изоморфны. Следовательно, алгебраические группы $R$ и $G$ изоморфны (см. [18; гл. 1, § 3, $3^\circ$; гл. 3, § 3, $4^\circ$]). Утверждение (ii) следует из (i), (a) и теоремы о конечности числа всех, рассматриваемых с точностью до изоморфизма, связных редуктивных алгебраических групп фиксированной размерности. Эта теорема конечности, которую автору не удалось найти в литературе, доказана ниже в § 9 (теорема 18 и замечание 7). Замечание 5. Используя данное в § 9 доказательство теоремы 18, можно получить оценку сверху на число, указанное в п. (ii) теоремы 15 (см. также замечание 6 ниже). Теорема 1 доставляет примеры неизоморфных связных редуктивных неполупростых алгебраических групп, групповые многообразия которых изоморфны (в согласии с п. (а) теоремы 15 алгебры Ли этих групп изоморфны). В случае связных полупростых алгебраических групп (т. е. когда $Z=\{e\}$) теорема 1 вырождается в тривиальное утверждение, не дающее таких примеров. Однако неизоморфные связные полупростые алгебраические группы, групповые многообразия которых изоморфны, существуют. Ниже описан метод, который позволяет их строить. Он пригоден для поля $k$ любой характеристики. § 6. Конструкция неизоморфных связных полупростых алгебраических групп с изоморфными групповыми многообразиямиЗафиксируем целое положительное число $n$ и абстрактную группу $H$. Рассмотрим группу
$$
\begin{equation*}
G:=H^{n}:=H\times\dots\times H\quad (n \text{ сомножителей}).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы имеем $\mathscr{C}(G)= \mathscr{C}(H)^{n}$. Пусть $F_n$ – свободная группа ранга $n$ со свободной системой образующих $x_1,\dots, x_n$. Для любых элементов $g=(h_1, \dots, h_n)\in G$, где $h_j\,{\in}\, H$, и $w\,{\in}\,F_n$ обозначим через $w(g)$ элемент из $H$, являющийся образом элемента $w$ при гомоморфизме $F_n\to H$, который отображает $x_j$ в $h_j$ для каждого $j$. Любой элемент $\sigma\in \operatorname{End}(F_n)$ определяет отображение
$$
\begin{equation}
\widehat{\sigma}\colon G\to G,\qquad g\mapsto \bigl(\sigma(x_1)(g),\dots, \sigma(x_n)(g)\bigr).
\end{equation}
\tag{29}
$$
Нетрудно видеть, что
$$
\begin{equation}
\widehat{\sigma\circ \tau} =\widehat{\tau}\circ \widehat{\sigma}\quad\text{для любых}\quad \sigma, \tau\in \operatorname{End}(F_n),\qquad \widehat{\operatorname{id}_{F_n}}=\operatorname{id}_{G}.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Из (29) и определения элемента $w(g)$ вытекает, что (i) $\widehat{\sigma}(S^{n})\subseteq {S^{n}}$ для любой подгруппы $S$ в $H$; (ii) $\widehat{\sigma}(gz)=\widehat{\sigma}(g)\widehat{\sigma}(z)$ для любых $g\in G$, $z\in \mathscr{C}(G)$. В частности, ограничение отображения $\widehat{\sigma}$ на группу $\mathscr{C}(G)$ является ее эндоморфизмом. Из (30) следует, что если $\sigma\in \operatorname{Aut}(F_n)$, то $\widehat{\sigma}$ является биекцией (но, вообще говоря, не автоморфизмом группы $G$). Более того, если $H$ – алгебраическая группа (соответственно группа Ли), то $\widehat{\sigma}$ – автоморфизм алгебраического многообразия (соответственно диффеоморфизм дифференцируемого многообразия) $G$. Рассмотрим теперь какой-либо элемент $\sigma\in \operatorname{Aut}(F_n)$ и какую-нибудь подгруппу $C$ в $\mathscr{C}(G)$. Тогда из (ii) следует $C$-эквивариантность биекции $\widehat{\sigma}\colon G\to G$, если считать, что каждый элемент $c\in C$ на левом экземпляре группы $G$ действует как сдвиг (умножение) на $c$, а на правом – как сдвиг на $\widehat{\sigma}(c)$. Фактором по первому действию является группа $G/C$, а по второму – группа $G/\widehat{\sigma}(C)$. Следовательно, $\widehat{\sigma}$ индуцирует биекцию множеств $G/C\to G/\widehat{\sigma}(C)$. Более того, если $H$ – алгебраическая группа (соответственно вещественная группа Ли), то эта биекция является изоморфизмом алгебраических (соответственно диффеоморфизмом дифференцируемых) многообразий (см. [14; разд. 6.1]). Таким образом, $G/C$ и $G/\widehat{\sigma}(C)$ – изоморфные алгебраические многообразия (соответственно диффеоморфные дифференцируемые многообразия). Однако, вообще говоря, $G/C$ и $G/\widehat{\sigma}(C)$ не изоморфны как алгебраические группы (соответственно как группы Ли). Действительно, возьмем в качестве $H$ односвязную полупростую алгебраическую группу (соответственно вещественную компактную группу Ли). Тогда $G$ тоже односвязная полупростая алгебраическая группа (соответственно вещественная компактная группа Ли), так что группа $\mathscr{C}(G)$ конечна. Рассмотрим естественные эпимоморфизмы $\pi_C\colon G\to G/C$ и $\pi_{\widehat{\sigma}(C)}\colon G\to G/\widehat{\sigma}(C)$. Поскольку группа $C$ конечна, дифференциалы (см. (1))
$$
\begin{equation*}
d_{\boldsymbol{\cdot}}\pi_C\colon \operatorname{Lie}(G)\to \operatorname{Lie}(G/C)\quad\text{и}\quad d_{\boldsymbol{\cdot}}\pi_{\widehat{\sigma}(C)}\colon \operatorname{Lie}(G)\to \operatorname{Lie}(G/\widehat{\sigma}(C))
\end{equation*}
\notag
$$
являются изоморфизмами алгебр Ли. Допустим, что существует изоморфизм алгебраических групп (соответственно вещественных групп Ли) $\alpha\colon G/C\to G/\widehat{\sigma}(C)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
(d_{\boldsymbol{\cdot}}\pi_{\widehat{\sigma}(C)})^{-1}\circ d_{\boldsymbol{\cdot}}\alpha\circ d_{\boldsymbol{\cdot}}\pi_C\colon \operatorname{Lie}(G)\to \operatorname{Lie}(G)
\end{equation*}
\notag
$$
– автоморфизм алгебры Ли $\operatorname{Lie}(G)$. Ввиду односвязности группы $G$ он имеет вид $d_{\boldsymbol{\cdot}}\widetilde{\alpha}$ для некоторого автоморфизма $\widetilde{\alpha}\in \operatorname{Aut}(G)$ (см. [18; гл. 1, § 2, разд. 8, теорема 6]). Из конструкции следует, что диаграмма коммутативна, откуда, в свою очередь, вытекает, что $\widetilde{\alpha}(C)=\widehat{\sigma}(C)$. Таким образом, алгебраические группы (соответственно вещественные группы Ли) $G/C$ и $G/\widehat{\sigma}(C)$ изоморфны тогда и только тогда, когда подгруппы $C$ и $\widehat{\sigma}(C)$ группы $G$ лежат в одной орбите естественного действия группы $\operatorname{Aut}(G)$ на множестве всех подгрупп группы $\mathscr{C}(G)$. Это действие сводится к действию группы $\operatorname{Out}(G)$ (изоморфной группе автоморфизмов диаграммы Дынкина группы $G$; см. [18; гл. 4, § 4, разд. 1]), поскольку группа $\operatorname{Int}(G)$ действует на $\mathscr{C}(G)$ тривиально. Несложно указать такие $H$, $\sigma$ и $C$, что группы $C$ и $\widehat{\sigma}(C)$ в одной $\operatorname{Out}(G)$-орбите не лежат. Приведем конкретный пример. Пример 2. Рассмотрим односвязную простую алгебраическую группу (соответственно вещественную компактную группу Ли) $H$ с нетривиальным центром. Возьмем $n=2$, так что Пусть элемент $\sigma\in \operatorname{End}(F_2)$ определяется равенствами ясно, что $x_1, x_1x_2^{-1}$ – свободная система образующих группы $F_2$, так что $\sigma\in\operatorname{Aut}(F_2)$. Пусть $S$ – какая-либо нетривиальная подгруппа группы $\mathscr{C}(H)$. Возьмем Тогда из (29), (32), (33) следует, что Ввиду простоты группы $H$ элементы группы $\operatorname{Out}(G)$ осуществляют перестановки сомножителей в правой части равенства (31). Отсюда и из (33), (34) следует, что $C$ и $\widehat{\sigma}(C)$ не лежат в одной $\operatorname{Out}(G)$-орбите. Поэтому – неизоморфные связные полупростые алгебраические группы (соответственно вещественные компактные группы Ли), групповые многообразия изоморфны (соответственно диффеоморфны). Пусть, например, $H=\operatorname{SL}_d$, $d\geqslant 2$, а $S=\langle z\rangle$, где $z=\operatorname{diag}(\varepsilon,\dots, \varepsilon) \in H$, $\varepsilon\in k$ – примитивный корень степени $d$ из $1$. В этом случае получаются неизоморфные алгебраические группы
$$
\begin{equation*}
G/C=(\operatorname{SL}_d\times \operatorname{SL}_d)/\langle(z,z)\rangle, \qquad G/\widehat{\sigma}(C)=\operatorname{PSL}_d\times \operatorname{SL}_d,
\end{equation*}
\notag
$$
групповые многообразия которых являются изоморфными алгебраическими многообразиями. Отметим, что если $d=2$, то $G=\operatorname{Spin}_4$, $G/C=\operatorname{SO}_4$. При $H=\mathsf{SU}_d$ и той же группе $S$ получается, что
$$
\begin{equation*}
G/C=K_1:=(\mathsf{SU}_d\times \mathsf{SU}_d)/C,\qquad G/\widehat{\sigma}(C)=K_2:=\mathsf{PU}_d\times \mathsf{SU}_d
\end{equation*}
\notag
$$
– неизоморфные связные полупростые компактные вещественные группы Ли, групповые многообразия которых диффеоморфны. В случае, когда $d=p^r$ с простым числом $p$, это доказано в [28; с. 331], где неизоморфность групп $K_1$ и $K_2$ выводится из неизоморфности их колец Понтрягина $H_*(K_1, \mathbb Z/p\mathbb Z)$ и $H_*(K_2, \mathbb Z/p\mathbb Z)$ (описание этих колец является нетривиальной задачей). Отметим, что если $d=2$, то
$$
\begin{equation}
K_1=\mathsf{SO}_4,\qquad K_2=\mathsf{SO}_3\times \mathsf{SU}_2.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Диффеоморфность групповых многообразий групп (35) была известна давно: в [29; гл. 3, § 3.D] диффеоморфизм между ними строится с помощью кватернионов. § 7. Случай связных простых алгебраических группСледующая теорема показывает, что исследуемый феномен для связных простых групп невозможен. Теорема 16. Пусть $G_1$ и $G_2$ – алгебраические группы, одна из которых связна и проста. Следующие свойства эквивалентны: (a) групповые многообразия групп $G_1$ и $G_2$ изоморфны; (b) алгебраические группы $G_1$ и $G_2$ изоморфны. Доказательство. Пусть группа $G_1$ связна и проста.
Предположим, что выполнено (a). Пусть $\widetilde G_1$ – односвязная алгебраическая группа с алгеброй Ли, изоморфной $\operatorname{Lie}(G_1)$. Тогда группа $G_1$ изоморфна группе ${\widetilde G}_1/Z_1$ для некоторой подгруппы $Z_1$ в $\mathscr{C}(\widetilde G_1)$. Из теоремы 15 следует, что группа $G_2$ изоморфна группе ${\widetilde G}_1/Z_2$ для некоторой подгруппы $Z_2$ в $\mathscr{C}(\widetilde G_1)$. Как объяснено выше, утверждение (b) эквивалентно тому, что подгруппы $Z_1$ и $Z_2$ лежат в одной орбите естественного действия группы $\operatorname{Out}({\widetilde G}_1)$ (изоморфной группе автоморфизмов диаграммы Дынкина группы $\widetilde G_1$) на множестве всех подгрупп группы $\mathscr{C}(\widetilde G_1)$. Докажем, что подгруппы $Z_1$ и $Z_2$ действительно лежат в одной $\operatorname{Out}(\widetilde G_1)$-орбите. Поскольку фундаментальные группы топологических многообразий $G_1$ и $G_2$ изоморфны соответственно $Z_1$ и $Z_2$, из (a) следует, что конечные группы $Z_1$ и $Z_2$ изоморфны. Пусть $d$ – их порядок. Структура группы $\mathscr{C}(\widetilde G_1)$ известна (см. [18; справочный разд., § 2, табл. 3]). А именно, если тип простой группы $\widetilde G_1$ отличен от
$$
\begin{equation}
\mathsf{D}_\ell\quad \text{с четным}\quad \ell\geqslant 4,
\end{equation}
\tag{36}
$$
то $\mathscr{C}(\widetilde G_1)$ является циклической группой. В случае же группы $\widetilde G_1$ типа (36) группа $\mathscr{C}(\widetilde G_1)$ изоморфна четверной группе Клейна $\mathbb Z/2\mathbb Z\oplus \mathbb Z/2\mathbb Z$. Поскольку в циклической группе существует не более одной подгруппы заданного конечного порядка, мы получаем, что если тип $\widetilde G_1$ отличен от (36), то $Z_1=Z_2$, так что в этом случае подгруппы $Z_1$ и $Z_2$ лежат в одной $\operatorname{Out}(G_1)$-орбите.
Пусть теперь группа $\widetilde G_1$ имеет тип (36). Это значит, что $\widetilde G_1=\operatorname{Spin}_{4m}$ для некоторого целого числа $m \geqslant 2$. Поскольку $|\mathscr{C}(\widetilde G_1)| = 4$, возможны лишь случаи $d = 1, 2, 4$. Ясно, что $Z_1 = Z_2$ при $d = 1$ и $4$, так что в этих случаях, как и выше, подгруппы $Z_1$ и $Z_2$ лежат в одной $\operatorname{Out}(G_1)$-орбите. Поэтому остается рассмотреть лишь случай $d = 2$. В $\mathscr{C}(\widetilde G_1)$ имеется ровно три подгруппы порядка $2$. Естественное действие на $\mathscr{C}(\widetilde G_1)$ группы $\operatorname{Out}(\operatorname{Spin}_{4m})$ (изоморфной группе автоморфизмов диаграммы Дынкина группы $\widetilde G_1$) без труда явно описывается с помощью указанной в [18; справочный разд., § 2, табл. 3] информации1. Это описание показывает, что число $\operatorname{Out}(\operatorname{Spin}_{4m})$-орбит на множестве этих подгрупп равно $1$ при $m=2$ и равно $2$ при $m>2$. Таким образом, при $m=2$ группы $G_1$ и $G_2$ изоморфны и нам остается рассмотреть случай $m>2$. Факторгруппой группы $\operatorname{Spin}_{4m}$ по подгруппе порядка $2$ в $\mathscr{C}(\widetilde G_1)$, не неподвижной (соответственно неподвижной) относительно группы $\operatorname{Out}(\operatorname{Spin}_{4m})$, является полуспинорная группа $\operatorname{SSpin}_{4m}$ (соответственно ортогональная группа $\operatorname{SO}_{4m}$). Пусть $\mathsf{SSpin}_{4m}$ и $\mathsf{SO}_{4m}$ – компактные вещественные формы групп $\operatorname{SSpin}_{4m}$ и $\operatorname{SO}_{4m}$ соответственно. Если бы $\operatorname{SSpin}_{4m}$ и $\operatorname{SO}_{4m}$ были изоморфны как алгебраические многообразия, то $\mathsf{SSpin}_{4m}$ и $\mathsf{SO}_{4m}$ были бы гомотопически эквивалентными топологическими многообразиями. Но согласно [28; теорема 9.1] при $m>2$ они гомотопически эквивалентными не являются, поскольку $H^*(\mathsf{SSpin}_{4m}, \mathbb Z/2\mathbb Z)$ и $H^*(\mathsf{SO}_{4m}, \mathbb Z/2\mathbb Z)$ при $m>2$ не изоморфны как алгебры над алгеброй Стинрода2. Значит, групповые многообразия групп $\operatorname{SSpin}_{4m}$ и $\operatorname{SO}_{4m}$ при $m>2$ не изоморфны. Это завершает доказательство импликации (a) $\Rightarrow$ (b). Импликация (b) $\Rightarrow$ (a) очевидна. Теорема 16 доказана. Соображения, использованные в доказательстве теоремы 16, дают и доказательство следующей теоремы 17, которая в [28] приведена без доказательства. Теорема 17 (см. [28; теорема 9.3]). Групповые многообразия двух связных вещественных компактных простых групп Ли гомотопически эквивалентны тогда и только тогда, когда эти группы Ли изоморфны. Доказательство повторяет доказательство теоремы 16, если в нем считать $G_1$ и $G_2$ связными вещественными компактными простыми группами Ли, групповые многообразия которых гомотопически эквивалентны, а группы $\operatorname{Spin}_{4m}$, $\operatorname{SSpin}_{4m}$ и $\operatorname{SO}_{4m}$ заменить соответственно на группы $\mathsf{Spin}_{4m}$, $\mathsf{SSpin}_{4m}$ и $\mathsf{SO}_{4m}$.
§ 8. Вопросы1. Результаты настоящей работы естественно приводят к вопросу о классификации таких пар неизоморфных связных редуктивных алгебраических групп, групповые многообразия которых изоморфны. Можно ли ее получить? 2. Аналогичный вопрос для связных вещественных компактных групп Ли, групповые многообразия которых гомотопически эквивалентны. 3. Представляется правдоподобным, что, используя в духе [30] этальные когомологии вместо сингулярных гомологий и когомологий, можно в случае поля $k$ положительной характеристики доказать теоремы 4 и 5 и импликацию (c) $\Rightarrow$ (a) в теореме 10. Верны ли для такого поля $k$ теоремы 14–16? 4. Автору неизвестны примеры связных простых алгебраических групп, групповое многообразие которых является произведением алгебраических многообразий положительной размерности. Существуют ли они (вопрос Н. Л. Гордеева)? 5. Рассмотренные в этой статье задачи очевидным образом переформулируются с учетом вопросов рациональности, т. е. определимости многообразий над алгебраически незамкнутым полем $\ell$. Как модифицируются в этом контексте результаты настоящей статьи? Некоторые из них, например, теорема 13, не меняются: данное выше доказательство этой теоремы с добавленным замечанием, что указанный левый сдвиг осуществляется на рациональный над $\ell$ элемент, переносится в контекст определимости над $\ell$ и показывает, что две определенные над $\ell$ алгебраические группы, одна из которых является полуабелевым многообразием, изоморфны над $\ell$ тогда и только тогда, когда изоморфны над $\ell$ их групповые многообразия. В частности, для определенных над $\ell$ торов или абелевых многообразий их изоморфность над $\ell$ равносильна изоморфности над $\ell$ их групповых многообразий. 6. Результаты этой работы касаются единственности структуры связной редуктивной алгебраической группы (соответственно компактной вещественной группы Ли) на алгебраическом (соответственно дифференцируемом) многообразии, допускающем хотя бы одну такую структуру. Можно ли в терминах геометрических характеристик многообразия дать критерий существования на нем хотя бы одной такой структуры? § 9. Дополнение: теоремы конечности для связных редуктивных алгебраических групп и компактных вещественных групп ЛиВ этом параграфе характеристика поля $k$ может быть любой. Теорема 18. Число всех, рассматриваемых с точностью до изоморфизма, связных редуктивных алгебраических групп любого фиксированного ранга конечно. Доказательство. Для всякой связной редуктивной алгебраической группы $G$ найдется тор $Z$ и односвязная полупростая алгебраическая группа $S$ такие, что группа $G$ является факторгруппой группы $Z\times S$ по конечной центральной подгруппе. В самом деле, пусть $S$ – универсальная накрывающая связной полупростой группы $\mathscr{D}(G)$, а $\pi\colon S\to \mathscr{D}(G)$ – естественная проекция и $Z=\mathscr{C}(G)^\circ$. Тогда отображение $Z\times S\to G$, $(z, s)\mapsto z \cdot \pi(s)$, является эпиморфизмом с конечным ядром, т. е. естественной проекцией на факторгруппу по конечной центральной подгруппе.
Будучи односвязной, группа $S$ с точностью до изоморфизма однозначно определяется типом своей системы корней. Поскольку множество типов систем корней любого фиксированного ранга конечно, а торы одинаковой размерности изоморфны, и $\mathscr C(S)$ – конечная группа, дело сводится к доказательству того, что, хотя при $\dim(Z)>0$ в группе $\mathscr C(Z\times S)$ имеется бесконечно много конечных подгрупп $F$, но множество всех, рассматриваемых с точностью до изоморфизма, групп вида $(Z\times S)/F$ конечно. Заметим, что для каждого элемента $\sigma\in\operatorname{Aut}(Z\times S)$ группы $(Z\times S)/F$ и $(Z\times S)/\sigma(F)$ изоморфны. Доказывая это, положим и пусть $\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_n$ – базис в группе $\operatorname{Hom}(Z, \mathbb G_m)\simeq \mathbb Z^n$.Для любого положительного целого числа $r$ обозначим через ${\mathcal D}_{r\times n}$ множество всех таких матриц $(m_{ij})\in \operatorname{Mat}_{r\times n}(\mathbb Z)$, что (a) $m_{ij}=0$ при $i\neq j$; (b) $m_{ii}$ делит $m_{i+1, i+1}$; (c) $m_{ii}=m_{ii}'$ (см. обозначения в § 1). Рассмотрим какую-либо матрицу $M =(m_{ij})\in \operatorname{Mat}_{r\times n}(\mathbb Z)$. Тогда
$$
\begin{equation}
Z_M:=\bigcap_{i=1}^{r}\operatorname{ker}(\varepsilon_1^{m_{i1}}\cdots \varepsilon_n^{m_{in}})
\end{equation}
\tag{37}
$$
– алгебраическая $(n-\operatorname{rk}(M))$-мерная подгруппа в группе $Z$. Всякая алгебраическая подгруппа в группе $Z$ получается этим способом. Если матрица $M=(m_{ij})$ обладает свойствами (a) и (b), то $Z_M=Z_{M'}$, где $M':=(m_{ij}')$, поскольку $\operatorname{ker}(\varepsilon_i^{d})=\operatorname{ker}(\varepsilon_i^{d'})$. Если же $r=n$, а матрица $M$ невырождена и обладает свойствами (a), (b), (c), то $Z_M$ – конечная абелева группа с инвариантными множителями $|m_{11}|,\dots, |m_{nn}|$.
При элементарных преобразованиях строк матрицы $M$ группа $Z_M$ не меняется. Если $\tau_1,\dots, \tau_n$ – еще один базис группы $\operatorname{Hom}( Z, \mathbb G_m )$, то $\tau_i=\varepsilon_1^{c_{i1}}\cdots \varepsilon_n^{c_{in}}$, где $C=(c_{ij})\in \operatorname{GL}_r(\mathbb Z)$. Автоморфизм группы $\operatorname{Hom}(Z, \mathbb G_m)$, отображающий $\varepsilon_i$ в $\tau_i$ для каждого $i$, имеет вид $\sigma_{C}^{*}$, где $\sigma_C$ – автоморфизм группы $Z$. Отображение $\operatorname{GL}_n(\mathbb Z)\to \operatorname{Aut}(Z)$, $C\mapsto\sigma_C$, является изоморфизмом групп, и имеет место следующее равенство: Поскольку элементарные преобразования столбцов матрицы $M$ осуществляются умножением матрицы $M$ справа на соответствующие матрицы из $\operatorname{GL}_r(\mathbb Z)$, а элементарными преобразованиями строк и столбцов матрица $M$ может быть приведена к диагональной нормальной форме Смита, из (38) вытекает существование такого автоморфизма $\nu \in \operatorname{Aut}(Z)$ и такой матрицы $D \in \mathcal D_{r\times n}$, что $\nu(Z_M) = Z_D$.Рассмотрим теперь конечную подгруппу $F$ в $\mathscr C(Z\times S)=Z\times \mathscr{C}(S)$ и канонические проекции
$$
\begin{equation*}
Z\xleftarrow{\pi_Z} F \xrightarrow{\pi_S} \mathscr C(S).
\end{equation*}
\notag
$$
Группы $(Z\times S)/F$ и $\bigl((Z\times S)/(F\cap Z)\bigr)/\bigl(F/(F\cap Z)\bigr)$ изоморфны. Будучи $n$-мерным тором, группа $Z/(F\cap Z)$ изоморфна тору $Z$. Поэтому группы $(Z\times S)/(F\cap Z)$ и $Z\times S$ изоморфны. Следовательно, не меняя, с точностью до изоморфизма, группу $(Z\times S)/F$, мы можем (и будем) считать, что $F\cap Z=\{e\}$. Тогда $\operatorname{ker}(\pi_S)=\{e\}$ и поэтому $\pi_S$ является изоморфизмом между $F$ и подгруппой $\pi_S(F)$ в группе $\mathscr C(S)$. Пусть $\alpha\colon \pi_S(F)\to \pi_Z(F)$ – эпиморфизм, являющийся композицией обратного к $\pi_S$ изоморфизма с $\pi_Z$. Тогда
Подгруппа $\pi_Z(F)=\alpha(\pi_S(F))$ в $Z$ конечна и потому имеет вид $Z_M$ для некоторой невырожденной матрицы $M\in \operatorname{Mat}_{n\times n}(\mathbb Z)$. Согласно сказанному выше, найдется такой элемент $\nu \in \operatorname{Aut}(Z)$, что $\nu (\pi_Z(F))=Z_D$, где $D$ – невырожденная матрица из $\mathcal D_{n\times n}$; мы обозначим той же буквой продолжение автоморфизма $\nu$ до элемента из $\operatorname{Aut}(Z\times S)$, тождественного на $S$. Замена группы $F$ на группу $\nu (F)$ показывает, что, не меняя с точностью до изоморфизма группу $(Z\times S)/F$, мы можем (и будем) считать, что $\pi_Z(F)=Z_D$. Таким образом, если обозначить через $\mathscr F$ множество всех подгрупп в группе $Z\times \mathscr C(S)$, имеющих вид где $H$ пробегает все подгруппы в группе $\mathscr C(S)$, а $\gamma$ – все эпиморфизмы $H \,{\to}\, Z_D$ c невырожденной матрицей $D\in \mathcal D_{n\times n}$, то $F\in \mathscr F$. Поскольку группа $\mathscr C(S)$ конечна, а порядок группы $Z_D$ равен $|{\det(D)}|$, множество $\mathscr F$ конечно. Теорема 18 доказана.Теорема 19. Число всех рассматриваемых с точностью до изоморфизма приведенных корневых данных (root data) любого фиксированного ранга конечно. Доказательство вытекает из теоремы 18, поскольку связные редуктивные алгебраические группы классифицируются своими корневыми данными (см. [16; теоремы 9.6.2, 10.1.1]). Теорема 20. Число всех, рассматриваемых с точностью до изоморфизма, связных вещественных компактных групп Ли любого фиксированного ранга конечно. Доказательство вытекает из теоремы 18 ввиду соответствия между связными редуктивными алгебраическими группами и связными вещественными компактными группами Ли, задаваемого переходом к вещественной компактной форме (см. [18; теорема 5.2.12]). Замечание 6. Используя это доказательство теоремы 18, можно получить оценку сверху на числа, указанные в ней и теоремах 19 и 20. Замечание 7. Поскольку ранг не превосходит размерности группы, теорема 18 (соответственно теорема 20) показывает, что число всех рассматриваемых с точностью до изоморфизма связных редуктивных алгебраических групп (соответственно связных компактных вещественных групп Ли) фиксированной размерности конечно. Автор благодарит Т. Бандман, В. Горбацевича и Ю. Зархина за указание на ряд публикаций, а М. Бриона, Ж.-П. Серра и рецензента за сделанные замечания.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pop22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|