| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О проблеме делителей Карацубы В. В. Юделевич Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9270e 
Реферативные базы данных:
    ВведениеВ ноябре 2004 г. А. А. Карацубой на семинаре “Аналитическая теория чисел и приложения” была поставлена задача изучения суммы
$$
\begin{equation*}
\Phi_a(x) = \sum_{p \leqslant x}\frac{1}{\tau(p+a)},\qquad x\to +\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\tau(n)$ – функция делителей, $a$ – фиксированное целое, а $p$ пробегает подряд идущие простые числа. Данная задача возникла под влиянием ряда дискуссий А. А. Карацубы и В. И. Арнольда в свете двух классических теоретико-числовых проблем. Первая – так называемая проблема делителей Титчмарша – заключается в вычислении асимптотики при $x\to+\infty$ суммы вида В 1930 г. Э. Ч. Титчмарш [1] доказал оценку а также при условии справедливости обобщенной гипотезы Римана
$$
\begin{equation*}
\sum_{p\leqslant x}\tau(p-1)\sim cx,\qquad c = \frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Асимптотика для этой суммы была впервые получена без предположения каких-либо гипотез Ю. В. Линником [2] и имела вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sum_{p\leqslant x}\tau(p-1) = cx +R(x),\qquad c=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}, \\ R(x) \ll \frac{x}{(\ln x)^{\alpha}},\qquad 0 < \alpha < 1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В дальнейшем этот результат неоднократно уточнялся целым рядом авторов (см. [3]–[7]). Вторая проблема состоит в нахождении асимптотики суммы Она восходит к Рамануджану [8], который доказал, что
$$
\begin{equation*}
T(x) = \frac{x}{\sqrt{\ln x}}\biggl(a_0 +\frac{a_1}{\ln x}+\dots+\frac{a_n}{(\ln x)^n}+O_n\biggl(\frac{1}{(\ln x)^{n+1}}\biggr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_n$, $n\geqslant 0$, – некоторые постоянные, в частности,
$$
\begin{equation*}
a_0 = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\prod_{p}\sqrt{p^2-p}\,\ln{\frac{p}{p-1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Цель настоящей работы состоит в нахождении верхней оценки для суммы $\Phi_a(x)$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{x}\sum_{p\leqslant x}1\asymp \frac{1}{\ln x}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{x}\sum_{n\leqslant x}\frac{1}{\tau(n+a)}\asymp\frac{1}{\sqrt{\ln x}},
\end{equation*}
\notag
$$
то естественно предположить, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{x}\Phi_a(x)\asymp\frac{1}{(\ln x)\sqrt{\ln x}} = \frac{1}{(\ln x)^{3/2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В нашей работе мы получаем верхнюю оценку вида Более точно, мы доказываем следующий результат. Теорема 1. Пусть $a\geqslant 1$ – целое фиксированное число. Тогда имеет место неравенство где Тем самым верхняя оценка совпадает с предполагаемым порядком роста функции $\Phi_a(x)$. Кратко опишем идейную сторону работы, которая использует метод решета Сельберга. Его суть заключается в следующем. Требуется оценить сумму где $\mathcal{A} = (a_n)$ – последовательность неотрицательных вещественных чисел и $P(z) = \prod_{p\leqslant z}p$ – произведение всех простых до $z$. По основному свойству функции Мёбиуса имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{d\,|\,n}\mu(d) = \begin{cases} 1, &\text{если }n = 1, \\ 0 &\text{иначе}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
S(\mathcal{A},z) = \sum_{n}a_n\sum_{d\,|\,(n,P(z))}\mu(d).
\end{equation*}
\notag
$$
Зададимся произвольными вещественными числами $\rho_d$ (здесь $d \leqslant z$, $d\,|\,P(z)$) такими, чтобы $\rho_1 = 1$. Тогда $\sum_{d\,|\,n}\mu(d)\,{\leqslant} \bigl( \sum_{d\,|\,n}\rho_d\bigr)^2$ для любого $n\geqslant 1$, так что
$$
\begin{equation*}
S(\mathcal{A},z)\leqslant \sum_{n}a_n\biggl(\sum_{d\,|\,(n,P(z))} \rho_d\biggr)^2 = \sum_{d_1,d_2\,|\,P(z)}\rho_{d_1}\rho_{d_2}A_{[d_1,d_2]},
\end{equation*}
\notag
$$
где Далее, пусть $A_d = Xg(d)+r_d$ для рассматриваемых $d$, где функция $g(d)$ мультипликативна, величина $X$ не зависит от $d$, а величина $r_d$ “в среднем” мала. Коэффициенты $\rho_d$ выбираются в дальнейшем так, чтобы минимизировать квадратичную форму
$$
\begin{equation}
B = \sum_{d_1, d_2\,|\,P_a(z)}\rho_{d_1}\rho_{d_2}g([d_1,d_2]).
\end{equation}
\tag{1}
$$
В нашем случае величина $A_d$ представляется в виде где $g_k(d)$ – некоторые функции (причем $g_k(d)$ при $k\geqslant 1$, вообще говоря, не мультипликативны), а величины $X_k$ не зависят от $d$. Коэффициенты $\rho_d$ при этом строятся только по первой форме (1), соответствующей функции $g\,{=}\,g_0$. При этом наблюдается следующий эффект: эти коэффициенты попутно решают задачи минимизации всех остальных форм, по крайней мере, в смысле порядка роста. Отметим, что возможность получения асимптотической формулы в проблеме делителей Титчмарша опирается на теорему Бомбьери–Виноградова. В нашей работе мы существенно опираемся на аналог теоремы Бомбьери–Виноградова, полученный М. А. Королёвым (см. [9; лемма 13]). Заметим также, что методы, использованные при оценке суммы $\Phi_a(x)$, могут успешно применяться и к оценке других сумм, родственных $\Phi_a(x)$. Так, для суммы
$$
\begin{equation*}
T_a(x) = \sum_{\substack{p \leqslant x \\ p,\,p+2\text{ простые}}}\frac{1}{\tau{(p+a)}},
\end{equation*}
\notag
$$
где суммирование ведется по простым числам-близнецам, можно получить оценку вида
$$
\begin{equation*}
T_a(x)\leqslant \frac{c(a) x}{(\ln x)^{5/2}}(1+o(1)).
\end{equation*}
\notag
$$
§ 1. Вспомогательные леммыЛемма 1. Определяя величины $c_k$ из разложения будем иметь $c_0 = 1$ и $|c_k|\leqslant 1$ при $k\geqslant 1$. Замечание. Числа вида называются числами Грегори. Более точные оценки чисел Грегори см. в [10]. Лемма 2. Пусть $0<\varepsilon<1$. Тогда для любого $d\geqslant 1$ имеем где $\omega(d)$ – число различных простых делителей $d$. Доказательство. Если $d = 1$ или $d$ – простое, то утверждение очевидно. Пусть $\omega(d)\geqslant 2$, тогда при любом $X\geqslant 2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{p\,|\,d}\frac{1}{p^{1-\varepsilon}} &= \biggl( \sum_{p\,|\,d,\,p \leqslant X} + \sum_{p\,|\,d,\,p > X}\biggr) \frac{1}{p^{1-\varepsilon}}\leqslant \sum_{p\,|\,d,\,p \leqslant X}\frac{1}{p^{1-\varepsilon}} + \frac{1}{X^{1-\varepsilon}}\sum_{p\,|\,d}1 \\ &\leqslant \sum_{2\leqslant n \leqslant x}\frac{1}{n^{1-\varepsilon}} + \frac{\omega(d)}{X^{1-\varepsilon}}\leqslant \int_1^X\frac{du}{u^{1-\varepsilon}} + \frac{\omega(d)}{X^{1-\varepsilon}}\leqslant \frac{X^\varepsilon}{\varepsilon}+\frac{\omega(d)}{X^{1-\varepsilon}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда при $X = \omega(d)\geqslant 2$ получаем требуемое. Лемма доказана. Определим функцию $G_d(s)$ равенством где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, H(s)=\frac{1}{s}{\sqrt{\zeta(s)(s-1)}\, \prod_{p}\sqrt{p^{2s}-p^s}\, \ln\frac{p^s}{p^s-1}}, \nonumber \\ J_d(s)=\prod_{p\,|\,d}\biggl(p^s\ln\frac{p^s}{p^s-1}\biggr)^{-1}; \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6}
$$
при этом выбраны главные ветви корня и логарифма. Как известно (см. [11; гл. IV, § 3, теорема 1]), дзета-функция Римана не имеет нулей в области
$$
\begin{equation}
\sigma \geqslant 1 - \frac{c_0}{(\ln |t|)^{2/3}(\ln \ln |t|)^{1/3}},\qquad t\geqslant t_0,
\end{equation}
\tag{7}
$$
для некоторого $c_0>0$, так что функция $G_d(s)$ аналитична в области, заданной условием (7). Лемма 3. Пусть тогда при $\operatorname{Re} s\geqslant 1-\varepsilon_d/2$ и $l\geqslant 0$ для производной функции $J_d(s)$, определенной в (6), справедлива оценка Доказательство. Имеем,
$$
\begin{equation*}
J_d(s) = \prod_{p\,|\,d}\frac{p^{-s}}{-\ln(1-p^{-s})} = \prod_{p\,|\,d}(1+c_1p^{-s}+c_2p^{-2s}+\cdots),
\end{equation*}
\notag
$$
где коэффициенты $c_k$ определены в (2). Отсюда после раскрытия скобок находим
$$
\begin{equation*}
J_d(s) = \sum_{\delta\,|\,d^\infty}\frac{j(\delta)}{\delta^s},
\end{equation*}
\notag
$$
где значок $\delta\,|\, d^\infty$ означает суммирование по всем натуральным числам, в каноническом разложении которых присутствуют лишь простые, делящие $d$, а $j(\delta)$ – мультипликативная функция, принимающая на степенях простых чисел значения $j(p^k) = c_k$. Тогда получаем
$$
\begin{equation*}
J_d^{(l)}(s) = \sum_{\delta\,|\,d^{\infty}}\frac{j(\delta)(-\ln\delta)^l}{\delta^s}\ll \sum_{\delta\,|\,d^{\infty}}\frac{(\ln\delta)^l}{\delta^\sigma},
\end{equation*}
\notag
$$
где $s = \sigma+it$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\frac{(\ln \delta)^l}{\delta^\varepsilon}\leqslant \biggl(\frac{l}{e}\biggr)^l\frac{1}{\varepsilon^l},
\end{equation*}
\notag
$$
при $\varepsilon > 0$, $l\geqslant 1$ и $\delta \geqslant 1$. Отсюда, выбирая $\varepsilon = \varepsilon_d/2$ и используя неравенство $\sigma\geqslant 1-\varepsilon_d/2$, находим
$$
\begin{equation*}
J_d^{(l)}(s)\ll_l\frac{1}{\varepsilon_d^l}\prod_{p\,|\,d}\biggl(1+\frac{1}{p^{1-\varepsilon_d}} +\frac{1}{p^{2(1-\varepsilon_d)}}+\cdots\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что полученная оценка верна и при $l = 0$. Так как
$$
\begin{equation*}
2(1-\varepsilon_d)\geqslant 2\biggl( 1-\frac{1}{3\ln 2}\biggr)>1,
\end{equation*}
\notag
$$
то в силу леммы 2 получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_d^{(l)}(s) &\ll\frac{1}{\varepsilon_d^l}\prod_{p\,|\,d} \biggl(1+\frac{1}{p^{1-\varepsilon_d}}\biggr)\leqslant \frac{1}{\varepsilon_d^l}\exp\biggl(\sum_{p\,|\,d}\frac{1}{p^{1-\varepsilon_d}}\biggr) \ll\frac{1}{\varepsilon_d^l}\exp\biggl(\frac{2\omega(d)^{\varepsilon_d}}{\varepsilon_d}\biggr) \\ &\ll_l(\omega(d)+2)^{6\exp(1/3)}\bigl(\ln(\omega(d)+2)\bigr)^l\ll_l\bigl(\omega(d)+2\bigr)^{10}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Лемма 4. Пусть $d\leqslant x$ – целое, $m\geqslant 0$ – целое фиксированное, тогда Доказательство. Пусть
$$
\begin{equation*}
F_d(s)=\sum_{\substack{n=1\\(n,d)=1}}^{+\infty}\frac{1}{\tau(n)}\, n^{-s}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_d(s) &=\prod_{p\,\nmid\, d} \biggl(1+\frac{1}{2}p^{-s}+\frac{1}{3}p^{-2s}+\cdots\biggr)=\prod_{p\,\nmid\, d} p^s\ln\frac{p^s}{p^s-1} \\ &=\frac{\prod_{p}\bigl(p^s \ln(p^s/(p^s-1))(1-p^{-s})^{1/2} (1-p^{-s})^{-1/2}\bigr)}{\prod_{p\,|\,d}\bigl(p^s\ln(p^s/(p^s-1))\bigr)} \\ &=\frac{\sqrt{\zeta(s)}\,\prod_{p}\bigl(\sqrt{p^{2s}-p^s}\, \ln(p^s/(p^s-1))\bigr)}{\prod_{p\,|\,d}\bigl(p^s\ln(p^s/(p^s-1))\bigr)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где взята та ветвь корня, для которой $\sqrt{z}>0$ при $z>0$. Воспользовавшись формулой суммирования Перрона (см. [12; гл. IV, § 1, теорема 1]) при $T, x \geqslant 2$ и $b=1+1/\ln x$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{k\leqslant x\\(k,d)=1}}\frac{1}{\tau(k)}=j+O\biggl(\frac{x\ln x}{T}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, j=\frac{1}{2\pi i}\int_{b-iT}^{b+iT}F_d(s)\frac{x^s}{s}\, ds=\frac{1}{2\pi i}\int_{b-iT}^{b+iT}\frac{G_d(s)x^s}{\sqrt{s-1}}\, ds, \\ G_d(s)\,{=}\,\frac{1}{s}\sqrt{\zeta(s)(s\,{-}\,1)}\prod_{p} \biggl(\sqrt{p^{2s}\,{-}\,p^s}\ln\frac{p^s}{p^s\,{-}\,1}\biggr) \prod_{p\,|\,d}\biggl(p^s\ln\frac{p^s}{p^s\,{-}\,1}\biggr)^{-1} {=}\,H(s) J_d(s). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем где $c_0$ выбрано так, как в (7). Рассмотрим прямоугольный контур $\Gamma$ с вершинами в точках $a\pm iT$, $b\pm iT$ и горизонтальным разрезом, проведенным от точки $a$ к точке $1$. Тогда по теореме Коши
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{G_d(s)x^s}{\sqrt{s-1}}\, ds &=\frac{1}{2\pi i}\biggl(\int_{b-iT}^{b+iT}+\int_{b+iT}^{a+iT}+\int_{a+iT}^{a+i0} \\ &\qquad+\int_{a+i0}^{1+i0}+\int_{1-i0}^{a-i0}+\int_{a-i0}^{a-iT}+\int_{a-iT}^{b-iT}\biggr) \frac{G_d(s)x^s}{\sqrt{s-1}}\, ds \\ &=j+j_1+j_2+j_3+j_4+j_5+j_6=0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(где смысл обозначений $j_1, \dots, j_6$ очевиден), откуда Вычислим $J=-(j_3+j_4)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, j_3&=\frac{1}{2\pi i}\int_{a+i0}^{1+i0}\frac{G_d(s)x^s}{\sqrt{s-1}}\, ds=\frac{1}{2\pi i}\int_{a}^{1}\frac{G_d(\sigma)x^\sigma}{\sqrt{\sigma-1+i0}} \, d\sigma \\ &=\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{1-a}\frac{G_d(1-u)x^{1-u}}{\sqrt{u}\, \sqrt{-1+i0}}\, du =-\frac{x}{2\pi}\int_{0}^{1-a}\frac{G_d(1-u)x^{-u}}{\sqrt{u}}\, du. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично находим
$$
\begin{equation*}
j_4=-\frac{x}{2\pi}\int_{0}^{1-a}\frac{G_d(1-u)x^{-u}}{\sqrt{u}}\, du,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
J=\frac{x}{\pi}\int_{0}^{1-a}\frac{G_d(1-u)x^{-u}}{\sqrt{u}}\, du.
\end{equation*}
\notag
$$
Из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа получаем
$$
\begin{equation*}
G_d(1-u)=\sum_{k=0}^m (-1)^k G_d^{(k)}(1)\frac{u^k}{k!} +O_m\bigl(G_d^{(m+1)}(\theta)u^{m+1}\bigr),\qquad a\leqslant1-u\leqslant\theta \leqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J &=\frac{x}{\pi}\int_{0}^{1-a}\sum_{k=0}^m\frac{G_d^{(k)}(1)(-1)^k}{k!}\, \frac{u^k x^{-u}}{\sqrt{u}}\, du +O_m\biggl(x G_{m+1} \int_{0}^{1-a}u^{m+1/2}x^{-u}\, du\biggr) \\ &=\frac{x}{\pi}\sum_{k=0}^m\frac{(-1)^k G_d^{(k)}(1)j_k(a)}{k!} +O_m\bigl(x G_{m+1} j_{m+1}(a) \bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G_r = \max_{a\leqslant\theta \leqslant 1}|G_d^{(r)}(\theta)|,\qquad r\leqslant m+1, \\ j_k(a)\,{=} \int_{0}^{1-a}u^{k-1/2}x^{-u}\, du \,{=} \int_{0}^{+\infty}u^{k-1/2}x^{-u}\, du- \int_{1-a}^{+\infty}u^{k-1/2}x^{-u}\, du \,{=}\, J_k-r_k. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В дальнейшем выберем параметр $T$ в виде $T = e^{(\ln x)^\alpha}$, $\alpha>0$. Отсюда с учетом оценки $\omega(d)\ll \ln x$ для $x\geqslant x_0$ выполняется неравенство $a\geqslant 1-\varepsilon_d/2$, где величина $\varepsilon_d$ определена в (8). Следовательно, при $a\leqslant \theta\leqslant 1$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
G_d^{(r)}(\theta) = \sum_{l=0}^r\binom{r}{l}H^{(r-l)}(\theta)J_d^{(l)}(\theta) \ll_m \sum_{l=0}^r|J_d^{(l)}(\theta)|\ll_m \bigl(\omega(d)+2\bigr)^{10},
\end{equation*}
\notag
$$
так что при $r\leqslant m+1$ получаем Для величины $J_k$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_k &=\int_{0}^{+\infty}u^{k-1/2}x^{-u}\, du=\frac{1}{(\ln x)^{k+1/2}} \int_{0}^{+\infty}w^{k-1/2}e^{-w}\, dw \\ &=\frac{\Gamma(k+1/2)}{(\ln x)^{k+1/2}}=\sqrt{\pi}\, \binom{2k}{k}\frac{k!}{4^k}\, \frac{1}{(\ln x)^{k+1/2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
r_k=\int_{1-a}^{+\infty}u^{k-1/2}x^{-u}\, du=\frac{1}{(\ln x)^{k+1/2}}\int_{(1-a)\ln x}^{+\infty}w^{k-1/2}e^{-w}\, dw.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь при $\lambda >1$ оценкой
$$
\begin{equation*}
I_{k}(\lambda)=\int_{\lambda}^{+\infty}w^{k-1/2}e^{-w}\, dw\ll k!\, e^{-\lambda}\lambda^{k-1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
которая получается последовательным интегрированием по частям, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, r_k &\ll \frac{k!}{(\ln x)^{k+1/2}}e^{(a-1)\ln x}(1-a)^{k-1/2}(\ln x)^{k-1/2} \\ &= \frac{k!\, x^{a-1}c_0^{k-1/2}}{(\ln T)^{(2/3)(k-1/2)}(\ln\ln T)^{(1/3)(k-1/2)}\ln x}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где все постоянные в знаках $\ll$ абсолютные. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
j_k(a)=\sqrt{\pi}\,\binom{2k}{k}\frac{k!}{4^k}\, \frac{1}{(\ln x)^{k+1/2}}+O\biggl(\frac{k!\, x^{a-1}c_0^{k-1/2}}{(\ln T)^{(2/3)(k-1/2)}(\ln\ln T)^{(1/3)(k-1/2)}\ln x} \biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J &=\frac{x}{\sqrt{\pi\ln x}}\sum_{k=0}^m\frac{(-1)^k\binom{2k}{k}}{4^k}\, \frac{G^{(k)}(1)}{(\ln x)^{k}} \\ &\qquad+O_m\biggl(\frac{x^a}{\ln x}\sum_{k=0}^m\frac{|G^{(k)}(1)|}{(\ln T)^{(2/3)(k-1/2)}(\ln\ln T)^{(1/3)(k-1/2)}}\biggr) \\ &\qquad+O_m\biggl( G_{m+1}\frac{x}{(\ln x)^{m+3/2}} \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, из оценки (10) находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J &=\frac{x}{\sqrt{\pi\ln x}} \sum_{k=0}^m\frac{(-1)^k\binom{2k}{k}}{4^k}\, \frac{G^{(k)}(1)}{(\ln x)^{k}} \\ &\qquad + O_m\biggl( \kappa_d\frac{x^a(\ln T)^{1/3}(\ln\ln T)^{1/6}}{\ln x} + \kappa_d\frac{x}{(\ln x)^{m+3/2}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем к оценке оставшихся интегралов $j_1$, $j_2$, $j_5$, $j_6$. Для некоторой постоянной $c>0$ в области $\sigma\geqslant 1-c/(\ln t)^{2/3}$, $|t|\geqslant 10$, имеет место оценка (см. [11; гл. IV, § 2, п. 3, теорема 2]). Пользуясь данной оценкой, леммой 3 и неравенством
$$
\begin{equation*}
\prod_{p}\sqrt{p^{2s}-p^s}\, \ln\frac{p^s}{p^s-1} = \prod_{p}\biggl(1-\frac{1}{24p^{2s}}-\frac{1}{24p^{3s}}-\cdots \biggr) \ll 1,
\end{equation*}
\notag
$$
выполненном при $3/4\leqslant \operatorname{Re} s\leqslant 2$, оценим интеграл $j_1$ тривиально:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, j_1 &=\frac{1}{2\pi i} \int_{b+iT}^{a+iT}\frac{1}{s}\sqrt{\zeta(s)}\, \prod_{p}\biggl(\sqrt{p^{2s}-p^s}\ln\frac{p^s}{p^s-1}\biggr) \prod_{p\,|\,d}\biggl(p^s\ln\frac{p^s}{p^s-1}\biggr)^{-1}x^s\, ds \\ &\ll \bigl(\omega(d)+2\bigr)^{10}\,\frac{x(\ln T)^{1/3}}{T}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично находим
$$
\begin{equation*}
j_6\ll\bigl(\omega(d)+2\bigr)^{10}\,\frac{x(\ln T)^{1/3}}{T}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, j_2+j_5 &=\frac{1}{2\pi i} \int_{a+iT}^{a-iT}\frac{1}{s}\sqrt{\zeta(s)}\, \prod_{p}\biggl(\sqrt{p^{2s}-p^s}\,\ln\frac{p^s}{p^s-1}\biggr) \prod_{p\,|\,d}\biggl(p^s\ln\frac{p^s}{p^s-1}\biggr)^{-1}x^s\, ds \\ &\ll\bigl(\omega(d)+2\bigr)^{10}(\ln T)^{1/3} x^a \int_{-T}^T\frac{dt}{\sqrt{a^2+t^2}}\ll \bigl(\omega(d)+2\bigr)^{10}(\ln T)^{4/3} x^a. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство леммы завершается выбором $T=e^{(\ln x)^{3/5}}$. Лемма 4 доказана. Замечание. Пользуясь леммой 6 и некоторыми дополнительными оценками, следующими из неравенства (4), можно значительно улучшить зависимость от $d$ в остаточном члене в (9). Обозначая через $I(s)$ логарифмическую производную функции $J_d(s)$, определенной в (6), будем иметь где
$$
\begin{equation}
I(s) = \sum_{p\,|\,d} f(s;p) = \sum_{p\,|\,d}\biggl\{\frac{\ln p}{(p^s-1)\ln(p^s/(p^s-1))}-\ln p\biggr\}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Лемма 5. Пусть функция $f(s;p)$ определена в (12), тогда при $m\geqslant 0 $ имеет место оценка Доказательство. Определим последовательность $d_k$ из разложения
$$
\begin{equation*}
\frac{-x}{(1-x)\ln(1-x)} = \sum_{k=0}^{+\infty}d_k x^k,\qquad |x|<1,
\end{equation*}
\notag
$$
тогда $d_0=1$ и при $k\geqslant 1$ имеем $d_k = c_0+c_1+\dots+c_k$, где последовательность $c_k$ определена в (2). Из равенства (3) находим оценку $|d_k|\leqslant 2$, справедливую при $k\geqslant 1$. Далее, имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{(p^s-1)\ln(p^s/(p^s-1))} = \frac{p^{-s}}{(1-p^{-s})(-\ln(1-p^{-s}))} = \sum_{k = 0}^{+\infty}\frac{d_k}{p^{ks}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом равенства $d_1 = 1/2$ получаем
$$
\begin{equation*}
f(s;p) = \frac{\ln p}{2 p^s}+\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{d_k \ln p}{p^{ks}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Продифференцировав это равенство $m\geqslant 0$ раз, получим
$$
\begin{equation*}
f^{(m)}(s;p) = (-1)^m\frac{(\ln p)^{m+1}}{2 p^s} + (-1)^m (\ln p)^{m+1}\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{d_k k^m}{p^{ks}},
\end{equation*}
\notag
$$
и при $s=1$ с учетом оценки $|d_k|\leqslant 2$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f^{(m)}(1;p) &= (-1)^m\frac{(\ln p)^{m+1}}{2 p} + (-1)^m (\ln p)^{m+1}\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{d_k k^m}{p^{k}} \\ &=(-1)^m\frac{(\ln p)^{m+1}}{2 p } +O_{m, \varepsilon}\biggl( \frac{1}{p^{2-\varepsilon}}\biggr)\ll_m\frac{(\ln p)^{m+1}}{p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Лемма 6. Пусть функция $J_d(s)$ определена в (6), а функция $I(s)$ определена в (12), тогда при $l\geqslant 1$ имеет место следующее представление: где $Q_l = Q_l(I, I', \dots, I^{(l-1)})$ – многочлен от $l$ переменных степени $l$ c целыми коэффициентами. Доказательство. Докажем, что $Q_l$ имеет вид где и $\deg R_l\leqslant l-1$.
При $l = 1$ согласно (11) имеем $J_{d}'(s) = J_d(s)I$. Отсюда получаем, что $R_1 = 0$, и утверждение леммы в этом случае выполнено. Пусть утверждение леммы доказано для $l = r\geqslant 1$, докажем его для $l = r+1$. Имеем Поскольку $\deg R'_r\leqslant r-1 $, $\deg I R_r\leqslant r$ и $\deg I^{r-1}I' = r$, получим Таким образом, индукцией по $l$ утверждение доказано. Лемма доказана.Пусть $g(n)$ – мультипликативная функция такая, что для любого простого $p$ выполнено Далее, пусть $h(n)$ – такая мультипликативная функция, что для простых $p$ верно Определим теперь сумму $H_a = H_a(z)$ для некоторых $z\geqslant 2$ и $a\geqslant 1$ так:
$$
\begin{equation}
H_a = \sum_{\substack{k\leqslant z\\ (k,a) = 1}}\mu^2(k)h(k).
\end{equation}
\tag{15}
$$
Наряду с этой суммой нам понадобится произведение $P_a(z)$, определяемое следующим образом:
$$
\begin{equation}
P_a(z) = \prod_{\substack{p\leqslant z \\ (p,a)=1}}p.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Рассмотрим, наконец, последовательность чисел
$$
\begin{equation}
\rho_d = \frac{\mu(d)h(d)}{H_a g(d)}\sum_{\substack{k\leqslant z/d\\ kd\,|\,P_a(z)}}\mu^2(k)h(k),\qquad d\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{17}
$$
называемых коэффициентами Сельберга. В соответствии с процедурой решета Сельберга (см. [13; гл. 3], также см. [14; гл. 7]) выбранные таким способом коэффициенты минимизируют квадратичную форму
$$
\begin{equation*}
B = \sum_{d_1,d_2\,|\,P_a(z)}\rho_{d_1}\rho_{d_2}g([d_1,d_2])
\end{equation*}
\notag
$$
от вещественных переменных $\rho_{d_1}$, $\rho_{d_2}$, которые подчинены условию $\rho_1 = 1$. Для $\rho_d$ вида (17) справедливы свойства: $B = 1/H_a(z)$, $|\rho_d|\leqslant 1$, $\rho_d = 0$ при $d>z$ или $d\nmid P_a(z)$ Ниже мы докажем несколько утверждений об этих коэффициентах. Лемма 7. Пусть мультипликативные функции $g(n)$ и $h(n)$ таковы, что выполнены условия (13), (14), а величина $H_a$ определена в (15). Далее, пусть число $p$ простое, $a\geqslant 1$ целое. Тогда при $(d, p)= 1$ и $(dp, a) = 1$ справедливо равенство Доказательство. Из формулы (17) получаем
$$
\begin{equation}
\rho_{dp} = -\frac{h(p)}{g(p)}\, \frac{\mu(d)h(d)}{H_ag(d)}\sum_{\substack{l\leqslant z/(dp) \\(l, dp a) = 1}} \mu^2(l) h(l) = -\frac{h(p)}{g(p)}\, \frac{\mu(d)h(d)}{H_ag(d)} S.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Для суммы $S$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S &= \sum_{\substack{l\leqslant z/d \\ (l, dpa) = 1}}\mu^2(l)h(l) - \sum_{\substack{z/(dp) <l\leqslant z/d \\ (l, dpa) = 1}}\mu^2(l)h(l) \\ &= \sum_{\substack{l\leqslant z/d \\ (l, da) = 1}}\mu^2(l)h(l) - \sum_{\substack{l\leqslant z/d \\ (l, da) = 1 \\ p\,|\,l}}\mu^2(l)h(l) - R, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
R = \sum_{\substack{z/(dp) < l \leqslant z/d\\(l, dp a) = 1}} \mu^2(l) h(l).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{l\leqslant z/d \\(l, d a) = 1 \\ p\,|\,l}} \mu^2(l) h(l) = h(p)\sum_{\substack{k\leqslant z/(dp) \\(kp,\,d a) = 1 \\ (k, p)= 1}} \mu^2(k) h(k) = h(p) \sum_{\substack{k\leqslant z/(dp)\\(k, dp a) = 1}} \mu^2(k) h(k) = h(p) S,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
S = \frac{1}{1+ h(p)}\Biggl( \sum_{\substack{l\leqslant z/d\\(l, d a) = 1}} \mu^2(l) h(l) - R\Biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя полученное выражение в (18) и пользуясь тем, что при простом $p$ мы завершаем доказательство. Лемма 8. Пусть мультипликативные функции $g(n)$ и $h(n)$ таковы, что выполнены условия (13), (14), а величина $H_a$ определена в (15). Далее, пусть $p_1, \dots, p_k$ — различные простые числа, и при этом Тогда где Доказательство. Индукция по переменной $k$. При $k=1$ доказываемое утверждение совпадает с утверждением предыдущей леммы.
Пусть утверждение имеет место для некоторого $k = r\geqslant 1$, докажем его для $k = r+1$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\rho_{dp_1\dotsb p_{r+1}} = (-1)^r \biggl( \rho_{d p_1} + \frac{\mu(d)h(d)}{H_a g(d)}\, \frac{h(p_1)}{g(p_1)}R \biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{h(p_1)}{g(p_1)}R &= \frac{h(p_1)}{g(p_1)}\sum_{m=1}^r\biggl( \prod_{i = 2}^{m}\frac{h(p_i)}{g(p_i)}\biggr)\sum_{\substack{z/(d\alpha_{m+1})< l \leqslant z/(d\alpha_{m}) \\ (l,d \alpha_{m+1} a) = 1}} \mu^2(l) h(l) \\ &=\sum_{m=2}^{r+1}\biggl( \prod_{i = 1}^{m-1}\frac{h(p_i)}{g(p_i)}\biggr) \sum_{\substack{z/(d \alpha_{m})< l \leqslant z/(d \alpha_{m-1}) \\ (l,\,d \alpha_{m} a) = 1}} \mu^2(l) h(l). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho_{dp_1\cdots p_{r+1}} &= (-1)^{r}\Biggl( -\rho_d+\frac{\mu(d)h(d)}{H_ag(d)}\sum_{\substack{z/(dp_1)<l\leqslant z/d\\(l, dp_1 a) = 1}}\mu^2(l)h(l) \\ &\qquad+\frac{\mu(d)h(d)}{H_ag(d)}\sum_{m=2}^{r+1}\biggl( \prod_{i = 1 }^{m-1}\frac{h(p_i)}{g(p_i)}\biggr) \sum_{\substack{z/(d \alpha_{m})< l \leqslant z/(d \alpha_{m-1}) \\ (l,\,d \alpha_{m} a) = 1}} \mu^2(l) h(l)\Biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и доказывает лемму. Лемма 9. Пусть $P$, $M$, $q$, $a$, $\delta$ – целые бесквадратные числа, для которых выполнены условия: $(q,M) = 1$; $qM\,|\,P$; $(P,a) = (P, \delta) = 1$. Пусть при этом $h(n)$ – мультипликативная функция и $q = r_1r_2\cdots r_s$ – разложение $q$ на простые. Положим Доказательство. Поскольку $(l,d)=1$ в сумме (19), то вводя обозначение $n=dl$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
R_k(M,\delta) = \sum_{\substack{z/\alpha_k< n \leqslant z/\alpha_{k-1}}} \mu^2(n) h(n) \sum_{\substack{d\,|\,n \\ d\leqslant z \\ (d,a)=1 \\ (d, P) = M\\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta )\\ (n/d, d \alpha_k a) = 1 }}\mu(d), \qquad \alpha_k = \prod_{i = 1}^{k} r_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta )$, то $n\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta) $. Так как $(d,a) = 1$ и $(n/d,a)=1$, то $(n,a)=1$. Далее, так как $(d,P) = M$, то $n\equiv 0\,(\operatorname{mod} M) $. Заметим, наконец, что $(d, \alpha_k) = \bigl( d, \prod_{i=1}^{k} r_i \bigr) = 1$. От противного, если $r_i\,|\,(d,\alpha_k)$, то, с одной стороны, $r_i\,|\,q$ и $r_i\,|\,P$, с другой стороны, $r_i\,|\,(d,P) = M$. Так как $(M, q) = 1$, то наше предположение неверное. Так как $(n/d, \alpha_k) =1 $, то $(n, \alpha_k) = 1$. Таким образом, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_k(M,\delta) &= \sum_{\substack{z/\alpha_k< n \leqslant z/\alpha_{k-1} \\ n\equiv 0\,(\operatorname{mod} M\delta) \\ (n, a\alpha_k )= 1}} \mu^2(n) h(n) \sum_{\substack{d\,|\,n \\ d\leqslant z \\ (d,a)=1 \\ (d, P) = M\\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta )\\ (n/d, d \alpha_k a) = 1 }}\mu(d) \nonumber \\ &=\sum_{\substack{z/\alpha_k< n \leqslant z/\alpha_{k-1} \\ n\equiv 0\,(\operatorname{mod} M\delta) \\ (n, a\alpha_k )= 1}} \mu^2(n) h(n) \sum_{\substack{d\,|\,n \\ (d, P) = M\\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta )}}\mu(d) \nonumber \\ &= \sum_{\substack{z/\alpha_k< n \leqslant z/\alpha_{k-1} \\ n\equiv 0\,(\operatorname{mod} M\delta) \\ (n, a\alpha_k )= 1}} \mu^2(n) h(n) W_n(M,\delta). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Поскольку $M\,|\,P$ и $(\delta, P) = 1$, то имеем
$$
\begin{equation*}
W_n(M,\delta) = \sum_{\substack{d\,|\,n \\ (d, P) = M\\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta )}}\mu(d) = \mu(M) \sum_{\substack{d\,|\,(n/M) \\ (d, P/M) = 1\\ (d, M)=1 \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta ) }}\mu(d) = \mu(M)\sum_{\substack{d\,|\,n \\ (d, P) = 1 \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta ) }}\mu(d),
\end{equation*}
\notag
$$
где при вычислении последней суммы мы воспользовались тем, что условие $d\,|\,(n/M)$ равносильно условию $d\,|\,n$ и $(d,M) = 1$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
W_n(M,\delta)\,{=}\, \mu(M)\!\sum_{\substack{d\,|\,n \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta )}}\mu(d)\sum_{\Delta\,|\,(d,P)}\mu(\Delta) =\mu(M) \!\sum_{\Delta\,|\,(n,P)} \mu(\Delta) \sum_{\substack{d\,|\,n \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta ) \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \Delta ) }}\mu(d).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, так как $\Delta\,|\,P$ и $(\delta,P) = 1$, получаем $(\delta,\Delta) = 1$, откуда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_n(M,\delta) &= \mu(M) \sum_{\Delta\,|\,(n,P)}\mu(\Delta)\sum_{\substack{d\,|\,n \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta\Delta ) }}\mu(d) \\ &= \mu(M) \sum_{\Delta\,|\,(n,P)}\mu(\Delta)\sum_{d\,|\,(n/(\delta\Delta))}\mu(\delta\Delta d) \\ &= \mu(M\delta) \sum_{\Delta\,|\,(n,P)}\mu^2(\Delta)\sum_{d\,|\,(n/(\delta\Delta))}\mu(d) \\ &=\mu(M\delta) \sum_{\Delta\,|\,(n,P)}\mu^2(\Delta)\, \mathbf{1}\biggl( \Delta = \frac{n}{\delta}\biggr) = \mu(M\delta)\, \mathbf{1}\biggl( \frac{n}{\delta}\biggm|P\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где введено обозначение
$$
\begin{equation*}
\mathbf{1}(A) = \begin{cases} 1, &\text{если условие }A\text{ выполнено}, \\ 0 &\text{в противном случае}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя полученное выражение для $W_n(M,\delta)$ в (20), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_k(M,\delta) &= \mu(M\delta) \sum_{\substack{z/\alpha_k< n \leqslant z/\alpha_{k-1} \\ n\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta M) \\ (n, a \alpha_k )= 1 \\ n/(\delta\,|\,P)}} \mu^2(n) h(n) \\ &=\mu(M\delta) h(M\delta) \sum_{\substack{z/(\delta M\alpha_k)< n \leqslant z/(\delta M\alpha_{k-1}) \\ (n, a \alpha_k \delta M)= 1 \\ n\,|\,(P/M)}} \mu^2(n) h(n) \\ &\ll\mu^2(M\delta) h(M\delta) \sum_{n\,|\,P}\mu^2(n)h(n) = \mu^2(M\delta) h(M\delta) \prod_{p\,|\,P}(1+h(p)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 9 доказана. Докажем теперь основную лемму. Лемма 10 (основная). Пусть $m\geqslant 1$ – произвольное целое фиксированное число. Далее, пусть $\{f\}_{i=1}^m$ – набор функций такой, что для любого простого $p$ имеет место $f_i(p)\ll_m (\ln p)^{m+1}/p$. Положим Доказательство. Обозначим $g(d) = J_d(1)/\phi(d)$, тогда и при $p\geqslant 3$ верна оценка откуда получаем $g(p)\leqslant 1/2$ при $p\geqslant 3$. С учетом равенства $g(2) = 1/(2\ln{2})$, для любого простого $p$ находим Далее, из определения $g(d)$ имеем
$$
\begin{equation*}
T_m(z;a) = \sum_{\substack{p_1\leqslant z\\p_1\,\nmid\,a}}f_1(p_1) \dots \sum_{\substack{p_m\leqslant z \\p_m\,\nmid\, a}}f_m(p_m) \sum_{\substack{d_1, d_2 \,|\, P_a(z) \\ d_1, d_2\leqslant z \\ [d_1, d_2]\equiv 0\,(\operatorname{mod} [p_1, \dots, p_m])}}{\rho_{d_1}\rho_{d_2}}g([d_1, d_2]).
\end{equation*}
\notag
$$
Для функции $h(d)$, определенной в (14), с учетом оценки (21) при $p\geqslant 3$ находим Согласно (14) получаем откуда для бесквадратного $d$ следуют равенства
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{g(d)} = \prod_{p\,|\,d}\biggl(1+\frac{1}{h(p)}\biggr) = \sum_{\delta \,|\, d}\frac{1}{h(\delta)}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу мультипликативности $g(n)$ и бесквадратности $d_1$ и $d_2$ имеем
$$
\begin{equation*}
g([d_1, d_2]) = \frac{g(d_1)g(d_2)}{g((d_1, d_2))} = g(d_1)g(d_2)\sum_{\delta \,|\, (d_1 , d_2)}\frac{1}{h(\delta )},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &T_m(z;a) \\ &= \sum_{\substack{p_1\leqslant z\\ p_1\,\nmid\,a}}f_1(p_1) \dots \sum_{\substack{p_m\leqslant z \\ p_m\,\nmid\, a}}f_m(p_m)\sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z}}\frac{1}{h(\delta)}\sum_{\substack{d_1, d_2 \,|\, P_a(z) \\ d_1, d_2\leqslant z\\ [d_1, d_2]\equiv 0\,(\operatorname{mod} [p_1, \dots, p_m]) \\ d_1, d_2 \equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_{d_1}g(d_1)\rho_{d_2}g(d_2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Не ограничивая общности, можно считать, что все $p_1, p_2, \dots, p_m$ попарно различные. Так, если $p_1 = p_2$, то
$$
\begin{equation*}
f_1(p_1)f_2(p_1)\ll\frac{(\ln p_1)^{2m+2}}{p_1^2}\ll_m\frac{\ln p_1}{p_1},\qquad [p_1,p_2,\dots,p_m] = [p_1, p_3, \dots, p_m],
\end{equation*}
\notag
$$
и оценка суммы $T_m(z;a)$ сводится к оценке суммы того же вида, но с меньшим значением параметра $m$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
T_m(z;a) = \sum_{\substack{p_1\leqslant z\\ p_1\,\nmid\,a} }f_1(p_1) \sum_{\substack{p_2\leqslant z\\ p_2\,\nmid\,a \\ p_2\neq p_1} }f_2(p_2) \dots \sum_{\substack{p_m\leqslant z\\ p_m\,\nmid\,a \\ p_m\notin \{p_1, p_2, \dots, p_{m-1}\}} }f_m(p_m)\times S,
\end{equation}
\tag{23}
$$
где
$$
\begin{equation*}
S = \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\\delta\leqslant z}}\frac{1}{h(\delta)}\sum_{\substack{d_1, d_2 \,|\,P_a(z) \\ d_1, d_2\leqslant z\\ [d_1, d_2]\equiv\, 0\,(\operatorname{mod} p_1 \dotsb p_m) \\ d_1, d_2 \equiv\, 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_{d_1}g(d_1)\rho_{d_2}g(d_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $P_m = p_1\cdots p_m$. Заметим, что условие равносильно тому, что
$$
\begin{equation*}
([d_1 , d_2], P_m) = [(d_1, P_m), (d_2, P_m) ] = P_m.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $A = (d_1, P_m)$, $B = (d_2, P_m)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{d_1, d_2 \,|\, P_a(z) \\ d_1, d_2\leqslant z\\ [d_1, d_2]\equiv 0\,(\operatorname{mod} P_m) \\ d_1, d_2 \equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_{d_1}g(d_1)\rho_{d_2}g(d_2) = \sum_{A\,|\,P_m}\sum_{\substack{B\,|\,P_m \\ [A,B] = P_m}} S_{\delta}(A)S_{\delta}(B),
\end{equation*}
\notag
$$
где для целого $N$ мы положили
$$
\begin{equation*}
S_{\delta}(N) = \sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ (d, P_m) = N \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_d g(d).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, пусть $D=(A, B)$, тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S &= \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\\delta\leqslant z}}\frac{1}{h(\delta)}\sum_{A\,|\,P_m}\sum_{\substack{B\,|\,P_m \\ [A,B] = P_m}} S_{\delta}(A)S_{\delta}(B) \\ &= \sum_{D \,|\, P_m} \sum_{\substack{A\,|\, P_m\\ A \equiv 0\,(\operatorname{mod} D)}} \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z)\\ \delta\leqslant z}}\frac{1}{h(\delta)} S_\delta(A) S_{\delta}(B), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где величины $A$, $B$ и $D$ связаны соотношением $A B = {D P_m}$.
Заметим, что $(\delta,P_m/D)=1$. Действительно, если существует простое $p$ такое, что $p\,|\, (\delta,P_m/D)$, то $p\,|\, \delta$, $p\,|\, P_m$ и $(p, D)=1$. Отсюда следует, что $(p,A)\,{=}\,1$ либо $(p, B)=1$. Не ограничивая общности, пусть $(p,A)=1$. Тогда все $d$, отвечающие слагаемым суммы $S_\delta(A)$, делятся на $p$. Поскольку $p\,|\,P_m$, то из условия $(d, P_m) = A$ в сумме $S_\delta(A)$ следует, что $p\,|\,A$, противоречие. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S &= \sum_{D \,|\, P_m} \sum_{\substack{A\,|\, P_m\\ A \equiv 0\,(\operatorname{mod} D)}} \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z \\ (\delta,P_m/D) = 1}}\frac{1}{h(\delta)} S_\delta(A) S_{\delta}(B) \nonumber \\ &=\sum_{D \,|\, P_m} \sum_{\substack{A\,|\, P_m\\ A \equiv\, 0\,(\operatorname{mod} D)}}\sum_{q\,|\,D} \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z \\ (\delta,P_m/D) = 1 \\ (\delta, D) = q}}\frac{1}{h(\delta)} S_\delta(A) S_{\delta}(B) \nonumber \\ &=\sum_{D \,|\, P_m} \sum_{\substack{A\,|\, P_m\\ A \equiv\, 0\,(\operatorname{mod} D)}}\sum_{q\,|\,D}\frac{1}{h(q)} \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z/q \\ (\delta,P_m) = 1 }}\frac{1}{h(\delta)} S_{\delta q}(A) S_{\delta q}(B). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
Выразим величину $S_{\delta q}(A)$ в терминах величины $S_{\delta}(1)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
S_{\delta q}(A) = \sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ (d, P_m) = A\\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta q )}}\rho_d g(d) = \sum_{\substack{d\leqslant z/q \\ d\,|\,(P_a(z)/q) \\ (d, P_m/q) = A/q \\d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta )}}\rho_{dq} g(dq).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\rho_d=0$ при $d>z$ и условие $d\,|\,(P_a(z)/q)$ равносильно условию получаем
$$
\begin{equation*}
S_{\delta q}(A) = g(q)\sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ (d, P_m/q) = A/q\\ (d,q) = 1 \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_{d q} g(d) = g(q)\sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ (d, P_m) = A/q\\ (d,q) = 1 \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_{d q} g(d).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как при $(d,q) > 1$ коэффициент Сельберга $\rho_{dq} = 0$, то условие $(d,q) = 1$ в последней сумме может быть опущено. Тем самым, получим
$$
\begin{equation*}
S_{\delta q}(A) = g(q)\sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ (d, P_m) = A/q \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_{d q} g(d).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, поскольку $(\delta, P_m) = 1$ и в то же время $Aq^{-1}\,|\,P_m$, то $(\delta,{A}{q}^{-1}) = 1$, так что
$$
\begin{equation}
S_{\delta q}(A) = g(q)\sum_{\substack{d\leqslant z/(Aq^{-1}) \\ d\,|\,(P_a(z)/(Aq^{-1})) \\ (d, P_m/(Aq^{-1})) = 1 \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_{d A} g(Aq^{-1}d) = g(A)\sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ (d, P_m) = 1 \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_{d A} g(d).
\end{equation}
\tag{25}
$$
Пусть $A>1$ и $A = r_1 r_2 \cdots r_s$ — разложение $A$ на простые. В этом случае, $(-1)^s = \mu(A)$. Так как $(d,A) = (dA,a) = 1$, то из леммы 8 получаем:
$$
\begin{equation*}
\rho_{dA} = \mu(A)\biggl(\rho_d-\frac{\mu(d)h(d)}{H_a(z)g(d)}R\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
R = \sum_{k=1}^{\omega(A)}\biggl( \prod_{i = 1}^{k-1} \frac{h(r_i)}{g(r_i)}\biggr) \sum_{\substack{z/(d\alpha_k)< l \leqslant z/(d\alpha_{k-1}) \\ (l,d \alpha_k a) = 1}} \mu^2(l) h(l),\qquad \alpha_k = \prod_{i = 1}^{k} r_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (25) получаем
$$
\begin{equation*}
S_{\delta q}(A) = \mu(A)g(A)\biggl(S_{\delta}(1)-\frac{R'}{H_a(z)}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
R' = \sum_{k=1}^{\omega(A)}\biggl( \prod_{i = 1}^{k-1}\frac{h(r_i)}{g(r_i)}\biggr) \sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ (d, P_m) = 1 \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\mu(d)h(d) \sum_{\substack{z/(d\alpha_k)< l \leqslant z/(d\alpha_{k-1}) \\ (l,d \alpha_k a) = 1}} \mu^2(l) h(l).
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 9 и равенства $h(p)/g(p)=1+h(p)$ находим оценку величины $R'$:
$$
\begin{equation*}
R'=\sum_{k=1}^{\omega(A)}\biggl( \prod_{i = 1}^{k-1}(1+h(r_i))\biggr) R_k(1,\delta)\ll\omega(A)\prod_{p\,|\,P_m}(1+h(p))^2\mu^2(\delta) h(\delta)\ll_m \mu^2(\delta) h(\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, при $A>1$ мы получаем
$$
\begin{equation}
S_{\delta q}(A) = \mu(A)g(A)\biggl( S_{\delta }(1)+O_m\biggl( \frac{\mu^2(\delta) h(\delta)}{H_a}\biggr) \biggr).
\end{equation}
\tag{26}
$$
Из (25) при $A = 1$ получаем $S_{\delta q} (1) = S_{\delta}(1)$, тем самым равенство (26) выполняется и при $A = 1$.
С учетом доказанного из (24) будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S &= \sum_{D \,|\, P_m} \sum_{\substack{A\,|\, P_m\\ A \equiv 0\,(\operatorname{mod} D)}}\sum_{q\,|\,D}\frac{1}{h(q)} \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z/q \\ (\delta,{P_m})=1}}\frac{1}{h(\delta)} \mu(A)g(A)\mu(B)g(B) \\ &\qquad\times\biggl( S_{\delta}(1)+O_m\biggl(\frac{\mu^2(\delta) h(\delta)}{H_a(z)} \biggr) \biggr)^2 \\ &=\mu(P_m) g(P_m) \sum_{D \,|\, P_m}\mu(D) g(D) \sum_{\substack{A\,|\, P_m\\ A \equiv\, 0\,(\operatorname{mod} D)}}\sum_{q\,|\,D}\frac{1}{h(q)} \\ &\qquad \times \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z/q \\ (\delta,{P_m}) = 1 }}\frac{1}{h(\delta)} \biggl( S_{\delta}(1)+O_m\biggl(\frac{\mu^2(\delta) h(\delta)}{H_a(z)} \biggr) \biggr)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как для любого бесквадратного $d$ справедливо неравенство то для суммы $S$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S &\ll_m g(P_m)\sum_{D\,|\,P_m}\frac{g(D)}{h(D)}\sum_{\substack{A\,|\,P_m \\ A\equiv 0\, (\operatorname{mod} D)}}\sum_{q\,|\,D}h\biggl(\frac{D}{q}\biggr) \nonumber \\ &\qquad\times \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z/q \\ (\delta,{P_m}) = 1 }}\frac{1}{h(\delta)} \biggl( S_{\delta}(1)+\frac{\mu^2(\delta) h(\delta)}{H_a(z)} \biggr)^2 \nonumber \\ &\ll_m g(P_m) W \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z \\ (\delta,{P_m}) = 1 }}\frac{1}{h(\delta)} \biggl( S_{\delta}^2(1)+\frac{\mu^2(\delta) h^2(\delta)}{H^2_a(z)} \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
где сумма $W$ определяется равенством
$$
\begin{equation*}
W = \sum_{D\,|\,P_m}\sum_{\substack{A\,|\,P_m \\ A\equiv 0\,(\operatorname{mod} D)}}\sum_{d\,|\,D}h(d).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $W\ll 4^m$. Действительно:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W &= \sum_{D\,|\,P_m}\prod_{p\,|\,D}(1+h(p))\sum_{\substack{A\,|\,P_m \\ A\equiv 0\, (\operatorname{mod} D)}}1 = \sum_{D\,|\,P_m} \prod_{p\,|\,D}(1+h(p)) \frac{\tau(P_m)}{\tau(D)} \\ &= \tau(P_m)\sum_{D\,|\,P_m}\prod_{p\,|\,D}\frac{1+h(p)}{2} = \tau(P_m)\prod_{p\,|\,P_m}\frac{3+h(p)}{2} = \prod_{p\,|\,P_m}(3+h(p))\ll 4^m. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда из (27) с помощью равенства (15) находим
$$
\begin{equation}
S\ll_m g(P_m)\Biggl( \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z \\ (\delta,{P_m}) = 1 }}\frac{S_{\delta}^2(1)}{h(\delta)}+\frac{1}{H_a(z)}\Biggr).
\end{equation}
\tag{28}
$$
Заметим теперь, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_{\delta}(1) &= \sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ (d, P_m) = 1\\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta)}}\rho_d g(d) = \sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta )}}\rho_d g(d)- \sum_{\substack{\Delta\,|\,P_m\\ \Delta>1}} S_{\delta}(\Delta) \\ &=x_{\delta}-\sum_{\substack{\Delta\,|\,P_m\\ \Delta>1}} \mu(\Delta)g(\Delta)\biggl( S_{\delta}(1)+ O_m\biggl( \frac{\mu^2(\delta)h(\delta)}{H_a(z)}\biggr) \biggr) \\ &=x_{\delta}-S_{\delta}(1)\sum_{\substack{\Delta\,|\,P_m\\ \Delta>1}} \mu(\Delta)g(\Delta) + O_m\Biggl( \frac{\mu^2(\delta)h(\delta)}{H_a(z)}\sum_{\substack{\Delta\,|\,P_m \\ \Delta > 1}}\mu^2(\Delta)g(\Delta)\Biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
S_{\delta}(1) \sum_{\Delta\,|\, P_m}\mu(\Delta)g(\Delta) = x_{\delta} + O_{m}\biggl(\frac{\mu^2(\delta)h(\delta)}{H_a(z)} \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $0<g(p) \leqslant 1/(2\ln 2)$ для любого простого $p$, то
$$
\begin{equation*}
\sum_{\delta\,|\, P_m}\mu(\Delta)g(\Delta) = \prod_{p\,|\,P_m}(1-g(p)) \gg_m 1,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
S^2_{\delta}(1)\ll_m x^2_{\delta}+\frac{\mu^2(\delta) h^2(\delta)}{H_a^2(z)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим теперь, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z}}\frac{1}{h(\delta)} x^2_{\delta} = \frac{1}{H_a(z)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{H_a(z)} &= \sum_{d_1,d_2\,|\,P_a(z)} \rho_{d_1}\rho_{d_2}g(d_1)g(d_1)\frac{1}{g((d_1,d_2))} \\ &=\sum_{\substack{\delta\,|\,P_a(z)\\\delta \leqslant z}}\frac{1}{h(\delta)}\Biggl( \sum_{\substack{d\leqslant z \\ d\,|\,P_a(z) \\ d\equiv 0\,(\operatorname{mod} \delta )}}\rho_d g(d)\Biggr)^2 = \sum_{\substack{\delta\,|\, P_a(z) \\ \delta\leqslant z}}\frac{1}{h(\delta)} x^2_{\delta}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, из (28) получаем
$$
\begin{equation*}
S\ll_m \frac{g(P_m)}{H_a(z)} = \frac{g(p_1)g(p_2)\cdots g(p_m)}{H_a(z)}\ll_m \frac{1}{p_1p_2\cdots p_m H_a(z)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя эту оценку в формулу (23), получаем
$$
\begin{equation*}
T_m(z;a) \ll \sum_{p_1\leqslant z}\frac{f_1(p_1)}{p_1} \sum_{p_2\leqslant z}\frac{f_1(p_2)}{p_2} \cdots \sum_{p_m\leqslant z}\frac{f_m(p_m)}{p_m}\, |S|\ll_m \frac{1}{H_a(z)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 10 доказана. Лемма 11. Пусть для мультипликативной функции $g(n)$ выполнены следующие два условия: – для некоторой постоянной $A_1\geqslant 1$ и любого простого $p$ справедливо – для некоторых величин $\kappa$, $L$, $A_2>0$ имеют место неравенства
$$
\begin{equation}
-L\leqslant \sum_{u\leqslant p<v}g(p)\ln p-\kappa\ln\biggl(\frac{v}{u}\biggr)\leqslant A_2.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Тогда для величины $W(z) = \prod_{p<z}(1-g(p))$ справедливо равенство где $\gamma$ – постоянная Эйлера–Маскерони.Лемма 12. Пусть $g(n)$, $h(n)$ – мультипликативные функции, причем для всякого простого $p$. Пусть далее выполнены условия (29) и (30), и пусть Тогда где $\gamma$ – постоянная Эйлера–Маскерони.Из лемм 11 и 12 для величины $H(z)$, определенной в (31), получаем
$$
\begin{equation}
\frac{1}{H(z)} = \prod_{p}(1-g(p)) \biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-\kappa} \frac{\Gamma(\kappa+1)}{(\ln z)^{\kappa}}\biggl(1+O\biggl(\frac{L}{\ln z}\biggr)\biggr).
\end{equation}
\tag{32}
$$
Нам понадобится основная лемма работы [9]. Лемма 13. Пусть $d\geqslant 1$ – фиксированное целое число, $f(q)$ – положительная функция такая, что для некоторой постоянной $\kappa > 0$. Тогда для любого фиксированного $B>0$ найдется $A(B) > 0$ такое, что неравенство выполняется для всяких $Q$, $N$ таких, что $Q\leqslant \sqrt{x}\,(\ln x)^{-A}$, $N\leqslant x$, причем константа в знаке $\ll$ неэффективная и зависит от $B$, $d$ и $f$. § 2. Доказательство теоремыИмеем
$$
\begin{equation*}
\Phi_a(x)=\sum _{p \leqslant x} \frac{1}{\tau (p+a)}\leqslant \sum_{\substack{ n+a\leqslant x \\ (n,P_a(z))=1 }} \frac{1}{\tau (n+a)}+r_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $r_1=r_1(z;a)$ – количество тех $n\leqslant z$, для которых $n+a$ простое, так что Далее, пусть $\rho_d$ выбраны так, как в (17), тогда $\rho_1 = 1$, $\rho_d = 0$ при $d>z$ или $d\nmid P_a(z)$; и $|\rho_d|\leqslant 1$. Отсюда получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Phi_a(x) &\leqslant\sum_{\substack{ n+a\leqslant x \\ (n,P_a(z))=1 }} \frac{1}{\tau (n+a)}+r_1 \leqslant \sum_{\substack{ n+a\leqslant x}} \frac{1}{\tau (n+a)}\biggl(\sum_{d\,|\,(n,P_a(z))}\rho_d\biggr)^2+ r_1 \\ &=\sum_{\substack{d\,|\,P_a(z) \\ d\leqslant z^2}}{\lambda_d}\sum_{\substack{ n+a\leqslant x \\ n\equiv0\,(\operatorname{mod} d)}}\frac{1}{\tau(n+a)}+r_1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda_d = \sum_{[d_1, d_2] = d}\rho_{d_1}\rho_{d_2}$. Отметим при этом, что
$$
\begin{equation*}
|\lambda_d|\leqslant \sum_{[d_1, d_2] = d} 1 = 3^{\omega(d)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $(d,a) = 1$, то
$$
\begin{equation*}
\sum_{\substack{ n+a\leqslant x \\ n\equiv0\, (\operatorname{mod} d)}}\frac{1}{\tau(n+a)} = \sum_{\substack{ k\leqslant x \\ k\equiv a\,(\operatorname{mod} d)}}\frac{1}{\tau(k)} = \frac{1}{\varphi(d)}\sum_{\chi\, \operatorname{mod} d}\overline{\chi}(a)\sum_{k\leqslant x}\frac{\chi(k)}{\tau(k)},
\end{equation*}
\notag
$$
где суммирование ведется по всем характерам Дирихле по модулю $d$. Выделяя вклад главного характера и обозначая через $r_2$ вклад от оставшихся, получим
$$
\begin{equation*}
\Phi_a(x)\leqslant \sum_{\substack{d\,|\,P_a(z) \\ d\leqslant z^2}}\frac{\lambda_d}{\varphi(d)} \sum_{\substack{ k\leqslant x \\ (k, d) = 1}}\frac{1}{\tau(k)}+r_2+r_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
r_2 = r_2(x,z;a) \ll\sum_{d\leqslant z^2}\frac{|\lambda_d|}{\varphi(d)} \sum_{\substack{\chi\,\operatorname{mod} d \\ \chi\neq\chi_0}}\, \biggl|\sum_{\substack{ k\leqslant x}}\frac{\chi(k)}{\tau(k)}\biggr| \ll \sum_{d\leqslant z^2}\frac{3^{\omega(d)}}{\varphi(d)} \sum_{\substack{\chi\,\operatorname{mod} d \\ \chi\neq\chi_0}}\, \biggl|\sum_{\substack{ k\leqslant x}}\frac{\chi(k)}{\tau(k)}\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Зададимся целым числом $m_0\geqslant 1$. Тогда из леммы 4 будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi_a(x) &\leqslant \sum_{\substack{d\,|\,P_a(z) \\ d\leqslant z^2}}\frac{\lambda_d}{\varphi(d)}\biggl(\frac{x}{\sqrt{\pi\ln x}}\sum_{k=0}^{m_0}\frac{(-1)^k\binom{2k}{k}}{4^k}\, \frac{G_d^{(k)}(1)}{(\ln x)^k}+R_{m_0}(x;d)\biggr)+r_2+r_1 \nonumber \\ &= \frac{x}{\sqrt{\pi\ln x}}\sum_{k=0}^{m_0}\frac{(-1)^k\binom{2k}{k}}{4^k(\ln x)^k} \sum_{\substack{d\,|\,P_a(z) \\ d\leqslant z^2}}\frac{\lambda_d G_d^{(k)}(1)}{\varphi(d)}+r_3+r_2+r_1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, r_3 &\ll_{m_0}\frac{x}{(\ln x)^{m_0 + 3/2}}\sum_{d\leqslant z^2}\frac{|\lambda_d|}{\varphi(d)}(\omega(d)+2)^{10} \\ &\ll \frac{x}{(\ln x)^{m_0 + 3/2}}\sum_{d\leqslant z^2} \frac{(3+1/2)^{\omega(d)}}{\varphi(d)} \ll\frac{x(\ln z)^{3+1/2}}{(\ln x)^{m_0+3/2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставив равенство
$$
\begin{equation*}
G^{(k)}_d(s) = \sum_{l = 0}^k\binom{k}{l}H^{(k-l)}(s)J_d^{(l)}(s)
\end{equation*}
\notag
$$
в (33) и поменяв порядок суммирования по переменным $d$ и $l$, мы получим
$$
\begin{equation}
\Phi_a(x)\leqslant \frac{x}{\sqrt{\pi\ln x}}\sum_{k = 0}^{m_0}\frac{a_k}{(\ln x)^k}\sum_{l = 0}^k b_l(k)S_l(z;a)+r_3+r_2+r_1,
\end{equation}
\tag{34}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_k = \frac{(-1)^k\binom{2k}{k}}{4^k},\qquad b_l(k) = \binom{k}{l} H^{(k-l)}(1), \\ S_l(z;a) = \sum_{\substack{d\,|\,P_a(z) \\ d\leqslant z^2}}\frac{\lambda_d J_d^{(l)}(1)}{\varphi(d)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем к оценке величин $S_l(z;a)$. Положим $g(d) = J_d(1)/\varphi(d)$, тогда при $l = 0$ получим
$$
\begin{equation}
S_0(z;a) = \sum_{\substack{d_1,d_2 \,|\,P_a(z) \\ d_1, d_2\leqslant z}}\rho_{d_1}\rho_{d_2}g([d_1,d_2]) = \frac{1}{H_a(z)}.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Пусть теперь $l\geqslant 1$, тогда из леммы 6 получим
$$
\begin{equation}
S_l(z;a) = \sum_{\substack{d\,|\,P_a(z) \\ d\leqslant z^2}}\frac{\lambda_d}{\varphi(d)}J_d(1)Q_l,
\end{equation}
\tag{36}
$$
где $Q_l$ – многочлен степени $l$ от переменных $I(1), I'(1), \dots, I^{(l-1)}(1)$ с целыми коэффициентами:
$$
\begin{equation*}
Q_l = \sum_{m=0}^l\sum_{\substack{ |\mathbf{i}| = m }}a_{\mathbf{i}}\prod_{\substack{r=1}}^l\bigl( I^{(r-1)}(1)\bigr)^{i_r} ,
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $\mathbf{i} = (i_1,\dots, i_l)$ – набор целых неотрицательных чисел, $|\mathbf{i}| = i_1+\dots+i_l$, а $I(s)$ – функция, определенная в (12). Для $1\leqslant r\leqslant l$ имеем где $\mathfrak{f}_r(p)=f^{(r-1)}(1;p)$. В силу леммы 5 для простых $p$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{f}_{r}(p)\ll_r\frac{(\ln p)^{r+1}}{p}\ll_{m_0}\frac{(\ln p)^{m_0+1}}{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для удобства обозначений при каждом $r\geqslant 1$ рассмотрим $i_r$ тождественно равных между собой функций, снабженных разными индексами:
$$
\begin{equation*}
f_{r1} = f_{r_2} = \dots = f_{ri_{r}} = \mathfrak{f}_r.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу введенных обозначений получим
$$
\begin{equation*}
(I^{(r-1)}(1))^{i_r} \,{=} \sum_{p_{r1}\,|\,d}f_{r1}(p_{r1})\cdots \sum_{p_{ri_{r}}\,|\,d}f_{ri_r}(p_{ri_r})\,{=} \sum_{p_{r1},\,\dots,\, p_{ri_r}\,|\,d}{f}_{r1}(p_{r1})\cdots {f}_{ri_r}(p_{ri_r}).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $j_1, j_2, \dots, j_R$ – последовательность индексов ненулевых координат вектора $\mathbf{i}$. Тогда $j_1<j_2<\dots<j_{R}$, $R\leqslant l$, и $i_r \neq 0$ тогда и только тогда, когда $r\in \{j_1, j_2, \dots, j_R\} $. Отсюда имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \prod_{\substack{r=1}}^l\bigl( I^{(r-1)}(1)\bigr)^{i_r} &= \prod_{\substack{r=1 \\ i_r \neq 0}}^l \sum_{p_{r1},\dots,p_{ri_r}\,|\,d}f_{r1}(p_{r1})\cdots f_{ri_r}(p_{ri_r}) \\ &=\sum_{p_{j_11}, \dots, p_{j_Ri_{j_R}}\,|\,d} f_{j_11}(p_{j_11})\cdots f_{j_Ri_{j_R}}(p_{j_Ri_{j_R}}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поставим в соответствие каждой паре $(j_\nu,t)$, где $1\leqslant t\leqslant i_{j_\nu}$, число При такой нумерации выражение $f_{j_\nu t}(p_{j_\nu t})$ перейдет в $f_i(p_i)$, где $1\leqslant i\leqslant m$. Тогда получаем
$$
\begin{equation*}
\prod_{\substack{r=1}}^l\bigl( I^{(r-1)}(1)\bigr)^{i_r} = \sum_{p_1,p_2,\dots,p_m \,|\, d}f_1(p_1)f_2(p_2)\cdots f_m(p_m).
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым для величины $Q_l$ имеем
$$
\begin{equation}
Q_l = \sum_{m=0}^l \sum_{\substack{|\mathbf{i}| = m}}a_{\mathbf{i}}\,\sum_{p_1,p_2,\dots,p_m \,|\, d}f_1(p_1)f_2(p_2)\cdots f_m(p_m).
\end{equation}
\tag{37}
$$
Подставляя выражение (37) в (36) и меняя порядок суммирования, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_l(z;a) &= \sum_{m=0}^l \sum_{\substack{|\mathbf{i}|=m}} a_{\mathbf{i}}\, \sum_{\substack{p_1 \leqslant z \\ p_1\nmid\, a}}f_1(p_1)\cdots\sum_{\substack{p_m \leqslant z \\ p_m\nmid\, a}}f_m(p_m) \\ &\qquad\times\sum_{\substack{d_1,d_2\,|\,P_a(z) \\ d_1, d_2\leqslant z \\ [d_1,d_2]\equiv 0\,(\operatorname{mod} P)}}\frac{\rho_{d_1}\rho_{d_2}}{\varphi([d_1,d_2])}J_{[d_1,d_2]}(1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $P$ – наименьшее общее кратное простых чисел $p_{1}, p_2, \dots, p_m$. Применяя к полученной сумме при $m=0$ равенство (35), а при $m\geqslant 1$ лемму 10, получим оценку Выделим в сумме (34) слагаемое, соответствующее $k = 0$, а к остальной части суммы применим неравенство (38). В этом случае оценка $\Phi_a(x)$ преобразуется к виду
$$
\begin{equation*}
\Phi_a(x) \leqslant\frac{H(1)}{\sqrt{\pi}}\, \frac{x}{\sqrt{\ln x}\, H_a(z)}+r_4+r_3+r_2+r_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где Вычислим величину $1/H_a(z)$ асимптотически. Для этой цели применим равенство (32). Для простых $p$ положим
$$
\begin{equation*}
g_0(p) = \begin{cases} g(p), &\text{если } p\nmid a, \\ 0 &\text{иначе}, \end{cases} \qquad h_0(p) = \frac{g_0(p)}{1-g_0(p)},
\end{equation*}
\notag
$$
и определим $g_0(d)$, $h_0(d)$ для бесквадратных $d$ по мультипликативности. Из определения функции $h_0$ находим Найдем соответствующие функции $g_0$ параметры $A_1$, $A_2$, $L$, $\kappa$. Из оценки (22) следует, что можно взять $A_1 = 4$. Из оценки (21) при $p\geqslant 2$ следует равенство
$$
\begin{equation*}
g(p) = \frac{1}{p}+\frac{\theta}{p(p-1)},\qquad |\theta| \leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда находим $\kappa = 1$ и $A_2$, $L = O_a(1)$. Из (32) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{H_a(z)} &= \prod_{p}\biggl(1-g_0(p)\biggr) \biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1}\frac{1}{\ln z}\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{\ln z}\biggr)\biggr) \\ &=\frac{C\beta(a)}{\ln z}\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{\ln z}\biggr)\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, C = \prod_{p}(1-g(p))\biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1}, \\ \beta(a) = \prod_{p\,|\,a}\biggl( 1+\frac{1}{p(p-1)\ln(p/(p-1))-1}\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем следующую оценку суммы $\Phi_a(x)$:
$$
\begin{equation}
\Phi_a(x) \leqslant K\beta(a)\frac{x}{\sqrt{\ln x}\,\ln z}\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{\ln z}\biggr)\biggr)+r_4+r_3+r_2+r_1,
\end{equation}
\tag{39}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K &= \frac{H(1)C}{\sqrt{\pi}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\prod_p\sqrt{p^2-p}\, \ln{\frac{p}{p-1}}\biggl(1-\frac{1}{p(p-1)\ln(p/(p-1))}\biggr) \biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}\prod_{p}\sqrt{\frac{p}{p-1}}\biggl(p\ln\frac{p}{p-1} -\frac{1}{p-1}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем к финальной оценке остаточных членов. В лемме 13 возьмем
$$
\begin{equation*}
f(q) = 3^{\omega(q)},\qquad B = \frac{5}{2},\qquad d = 1,\qquad Q = \frac{\sqrt{x}}{(\ln x)^A},\qquad N = x.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем $m_0 = 5$ и $z$ в виде тогда из леммы 13 получим $r_2\ll x/(\ln x)^{5/2}$. Для величин $r_4$, $r_3$, $r_1$ при таком выборе параметров получаем
$$
\begin{equation*}
r_4\ll\frac{x}{(\ln x)^{5/2}},\qquad r_3\ll\frac{x}{(\ln x)^3},\qquad r_1\ll\sqrt[4]{x}.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге, из (39) находим
$$
\begin{equation*}
\Phi_a(x)\leqslant 4K\beta(a)\frac{x}{(\ln x)^{3/2}}\biggl(1+O\biggl(\frac{\ln\ln x}{\ln x}\biggr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает доказательство теоремы 1.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Iud22} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|