| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Аппроксимативные и структурные свойства множеств в несимметричных пространствах И. Г. Царьковab a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9268e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ настоящее время вызывают интерес приближения в пространствах большой размерности множествами сложной структуры, которые как правило являются невыпуклыми. При этом особый интерес, обычно связанный с вопросами построения устойчивых алгоритмов аппроксимации, проявляется к вопросам устойчивости как наилучших приближений, так и почти наилучших. В теоретическом плане исследование устойчивости приближения связано также с получением оценок аппроксимаций через поперечник Александрова. Часто для рассматриваемых объектов аппроксимации элементы наилучшего приближения могут не быть единственными, тем не менее даже в этом случае удается строить устойчивые выборки из операторов почти наилучших приближений. Для самих же элементов наилучших приближений часто требуется их характеризация, выделяющая их среди других элементов приближающего множества (т. е. изучение их солнечных свойств). При построении различных алгоритмов приближения часто требуется наличие теорем характеризации элементов наилучших приближений. И здесь нас будет интересовать, как свойства такой характеризации связаны с устойчивостью приближения. Обратим внимание, что так называемые солнца или строгие солнца суть геометрическая эквивалентная переформулировка известного критерия Колмогорова характеризации элемента наилучшего приближения. Аппарат непрерывных выборок из операторов $\varepsilon$-проекций или селекций из метрических проекций позволяет доказывать вышеуказанные свойства. Сам же критерий Колмогорова исторически был получен сначала для подпространств, затем перенесен на случай выпуклых множеств, но самым естественным классом множеств, для которых он верен, оказался класс строгих солнц. В настоящей работе мы уделим внимание вопросу, как свойство строгой солнечности приближающего множества неизбежно приводит к устойчивости почти наилучшего проектора. Мы будем рассматривать обобщения конечномерных линейно нормированных пространств, а именно, конечномерные линейные пространства с некоторой несимметричной нормой $\|\,{\cdot}\,|$ на нем. От несимметричной нормы на линейном пространстве $X$ будем требовать следующие свойства: 1) $\|\alpha x|=\alpha\| x|$ для всех $\alpha\ge 0$, $x\in X$; 2) $\| x+y|\le \| x |+\| y|$ для всех $x,y\in X$; 3) $\|x|\ge 0$ для всех $x\in X$; a) $\|x|= 0\Leftrightarrow x=0$. Эта несимметричная норма задается функционалом Минковского некоторого, вообще говоря, несимметричного тела, содержащего нуль. В таких пространствах мы будем изучать, в частности, свойства множества с полунепрерывной снизу метрической проекцией. Наряду с несимметричной нормой часто рассматривают и несимметричную полунорму $\|\,{\cdot}\,|$, для которой все условия 1)–3) сохраняются, условие 3, a) заменяется на условие $\|x|= 0=\|{-}x|\Rightarrow x=0$. Отметим также, что вместе с несимметричной нормой $\|\,{\cdot}\,|$ часто удобно рассматривать норму симметризации: $\|x\|:=\max\{\|x|,\|{-}x|\}$ $(x\in X)$. Через $B(x,r)$ и $\mathring{B}(x,r)$ обозначим соответственно замкнутый и открытый шары в линейном несимметричном нормированном пространстве $\mathcal{X}=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ с центром $x$ радиуса $r$, т. е. соответственно множества $\{y\in X\mid \|y-x|\le r\}$ и $\{y\in X\mid \|y-x|< r\}$. Через $S(x,r)$ обозначим сферу с центром $x$ радиуса $r$, т. е. множество $\{y\in X\mid \|y-x |=r\}$. Нам также понадобится обозначение единичной сферы $S^*$ сопряженного пространства $X^*$ (в случае обычного линейного нормированного пространства $X$). И через $\operatorname{ext}S^*$ будем обозначать множество всех ее экстремальных функционалов. Для произвольного множества $M$ в некотором полунормированном пространстве $\mathcal{X} $ через $\varrho(y,M)$ ($y\in X$, $M\subset X$) обозначим расстояние до множества $M$, т. е. величину $\inf_{z\in M}\|z-y|$. Через $P_Mx$ обозначим множество всех ближайших точек из $M$ для $x\in X$, т. е. множество $\{y\in M\mid \|y-x|=\varrho(x,M)\}$. Для произвольных $x\in X $ и $\delta>0$ рассмотрим также метрические $\delta$-проекции $P_M^\delta x$ и $\mathring{P}_M^\delta x$, представляющие собой соответственно множества
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \{y\in M\mid \|y-x|\le\varrho(x,M)+\delta\}=M\cap B(x,\varrho(x,M)+\delta), \\ \{y\in M\mid \|y-x|<\varrho(x,M)+\delta\}=M\cap \mathring{B}(x,\varrho(x,M)+\delta). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 1. Пусть $\varepsilon\ge 0 $, $M\subset X$. Отображение $\varphi\colon X\to M$ называется аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой, если для всех $x\in X $ выполняется неравенство (соответственно $\|\varphi(x)-x|\le (1+\varepsilon)\varrho(x,M)$). В случае, когда эти неравенства выполняются на некотором множестве $E\subset X$ будем говорить о $\varepsilon$-выборке на $E$. В случае, когда $\varepsilon=0$, говорят о $0$-выборке или о селекции (выборке) из метрической проекции. Возможность осуществить непрерывную выборку из операторов почти наилучшего приближения тесно связана с особой структурой приближающего множества. Отметим, что, например, для выпуклых множеств в линейных нормированных пространствах существует непрерывная аддитивная $\varepsilon$-выборка для всех $\varepsilon>0$, в случае замкнутости таких множеств существует и непрерывная мультипликативная $\varepsilon$-выборка для всех $\varepsilon>0$. Это свойство выпуклых замкнутых множеств позволяет продолжать непрерывные на них отображения до непрерывных отображений на всем пространстве, не меняя множество значений таких отображений. В качестве примера невыпуклого множества, обладающего непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$, можно указать единичную сферу в бесконечномерном линейном нормированном пространстве. Заметим, что во многих случаях множество наилучших приближений может быть пустым или несвязным, например, в [1; теорема 5] построен пример множества $M$, для которого можно установить наличие непрерывной аддитивной $\varepsilon$-выборки для всех $\varepsilon>0$, но для которого множество ближайших $P_Mx$ (для некоторой точки $x)$ не связно. Разнообразные результаты о $\varepsilon$-выборках для конкретных функциональных множеств можно посмотреть в работах [2]–[6]. В настоящей работе мы также изучим свойства солнечности, точнее строгой солнечности, в полиэдральных конечномерных несимметричных пространствах и установим их связь с $P$-клеточноподобностью и непрерывной $\varepsilon$-выборкой (см. следствие 1). Отметим, что для обычных солнц в некоторых полиэдральных трехмерных несимметричных пространствах и для солнц в некоторых полиэдральных четырехмерных симметричных пространствах не гарантируется $P$-клеточноподобность, и для некоторых $\varepsilon>0$ не гарантируется непрерывность $\varepsilon$-выборки (см. [7]). Определение 2. Пусть $\varnothing \ne M\subset X$. Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой солнечности, если существует точка $y\in P_Mx\ne \varnothing$ (называемая точкой светимости) такая, что $ y\in P_M((1-\lambda)y+\lambda x)$ для всех $\lambda\ge 0$ (это геометрически означает, что из точки $y$ исходит луч, проходящий через $x$, для каждой точки которого $y$ является ближайшей из $M$). Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой строгой солнечности, если $P_Mx\ne\varnothing$ и каждая точка $y\in P_Mx$ является точкой светимости. Если все точки из $X\setminus M$ являются точками солнечности (строгой солнечности), то множество $M$ называют солнцем (строгим солнцем). Как мы уже отмечали ранее, множество, являющееся строгим солнцем, является так называемым множеством Колмогорова, т. е. все элементы наилучшего приближения могут быть охарактеризованы в форме критерия Колмогорова (см. [8]). Солнце же является так называемым обобщенным множеством Колмогорова, т. е. его точки светимости могут быть охарактеризованы в форме критерия Колмогорова. Общие свойства солнц можно посмотреть в работах [8]–[15]. Для установления существования непрерывной $\varepsilon$-выборки нам понадобится $P$-клеточноподобность строгих солнц, т. е. потребуется доказать, что для любых элементов пространства множество его ближайших в соответствующем множестве является клеточноподобным. Определение 3. Компакт $Y$ называется клеточноподобным, если существует абсолютный окрестностный ретракт $Z$ и вложение $i\colon Y\to Z$ такие, что образ $i(Y)$ стягиваем в любой своей окрестности $U\subset Z$ (см. [16]). Отметим, что счетное пересечение стягиваемых компактов, образующих вложенную последовательность, является клеточноподобным. И всякое полунепрерывное сверху отображение $F\colon K\to 2^Y$ $(K\subset Y$ – компакт) с клеточноподобными образами в банаховом пространстве $Y$ допускает $\varepsilon$-аппроксимацию (см. [16]), т. е. для любого $\varepsilon>0$ существует непрерывное однозначное отображение $\varphi\colon K\to Y$, график которого лежит в $\varepsilon$-окрестности графика отображения $F$. Далее мы изучим условия, при которых левые (правые) чебышёвские множества являются левыми (правыми) солнцами в несимметричных и не обязательно конечномерных пространствах (см. теорему 4 и следствие 4). § 2. Клеточноподобность множества ближайших элементов в несимметричных полиэдральных пространствахДля каждой точки $x\in X\setminus M$ через $\mathfrak{N}(x)$ обозначим множество всех максимальных по вложению граней сферы $S(x,\varrho(x,M))$, имеющих непустое пересечение своей относительной внутренности с множеством $P_Mx$. Далее для конечномерных выпуклых множеств $V$ через $\operatorname{int}_0V$ будем обозначать относительную внутренность множества $V$. Нетрудно показать, что объединение содержит множество $P_Mx$.Пусть $H^k_a$ – гомотетия относительно некоторой точки $a$ с коэффициентом $k\ge 0$. Через $h(A,B)$ обозначим хаусдорфово расстояние между непустыми множествами $A$, $B$ некоторого несимметричного пространства относительно нормы симметризации. Теорема 1. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное конечномерное полиэдральное пространство (т. е. шар $B(x,r)$ ($R>0$) представляет собой выпуклый многогранник), $M\subset X$ – непусто и замкнуто. Предположим, что для всех $x\in X\setminus M$ множество $\mathfrak{R}(x)$ клеточноподобно. Тогда для любых элементов $z\in X$ множество $P_Mz$ является клеточноподобным (в этом случае говорят, что $M$ является $P$-клеточноподобным на $X$). Доказательство. Пусть множество $\mathfrak{N}(x)$ представляет собой семейство граней $\{B_\alpha(x)\}_\alpha$ сферы $S(x,\varrho(x,M))$.
Предположим от противного, что не все образы метрической проекции на $X$ клеточноподобны. Тогда найдется элемент $x\in U$, для которого $P_Mx$ не клеточноподобно, а, следовательно, $r=\varrho(x,M)>0$. Выберем среди таких точек $x$ те, для которых размерность граней $B_\alpha(x)$, максимальной размерности, была бы минимально возможной, и затем среди этих точек $x$ выберем те, у которых число граней $B_\alpha(x)$, максимальной размерности $m_1$, было бы минимально возможным. Затем, среди полученных точек выберем те $x$, для которых размерность граней $B_\alpha(x)$, максимальной размерности $m_2$ меньшей $m_1$, была минимально возможной, и затем среди этих точек $x$ выберем те, у которых число граней $B_\alpha(x)$, размерности $m_2$, было бы минимально возможным. И, затем, для этих точек повторим процедуру, т. е. выберем те $x$, для которых размерность граней $B_\alpha(x)$: $\dim B_\alpha(x)<m_2$, максимальной размерности $m_3$, была бы минимально возможной, и затем среди этих точек $x$ выберем те, у которых число граней $B_\alpha(x)$, размерности $m_3$, было бы минимально возможным и т.д. Таким образом, мы найдем такую точку $x\in X$, для которой грани $B_\alpha(x)$ имеют размерности $m_1>m_2>\dots>m_k=:m_0$ (если $\dim B_\alpha(x)=m_k=m_0$, то $B_\alpha(x)=:B(x)$), и число граней размерности $m_i$ ($i=1,\dots,k-1$) минимально возможно для фиксированных (выбранных раньше) чисел $m_l$ ($l=1,\dots,i-1$). Для каждой точки $y\in B_\alpha=B_\alpha(x)$ положим
$$
\begin{equation*}
k_\alpha(y):=\inf\{k\in [0,1]\mid \operatorname{int}_0H^k_y(B_\alpha)\cap M\neq\varnothing\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathcal{B}(y)=\{\alpha\mid y\in B_\alpha\}$. Положим Покажем, что функция $k\colon A\to \mathbb{R}$, где $A:=\mathfrak{R}(x)=\bigcup_\alpha B_\alpha$, является полунепрерывной сверху. Возьмем произвольные точку $y_0\in A$ и последовательность $\{y_n\}\subset A$, сходящуюся к $y_0$. Достаточно проверить, что $k_0=k(y_0)\ge k:=\varlimsup_{n\to\infty}k(y_n)$. Переходя при необходимости к подпоследовательности, без потери общности можно считать, что $k(y_n)\to k$ ($n\to\infty$). Учитывая, что число граней семейства $\{B_\alpha\}$ конечно, можно без потери общности считать, что $\{y_n\}\subset B_{\alpha_0}$ и $k_n:=k(y_n)=k_{\alpha_0}(y_n)$ $(n\in \mathbb{N})$ для некоторого индекса $\alpha_0$. Если бы $k_{\alpha_0}(y_0)$ было меньше $k$, то, учитывая, что $ \operatorname{int}_0H^{k'}_{y_n}(B_{\alpha_0})\cap M=\varnothing$ для всех $n\in \mathbb{N}$, для которых $k<k'<k_n$, мы получили бы, что $\operatorname{int}_0H^k_{y_0}(B_{\alpha_0})\cap M=\varnothing$, а это противоречит определению числа $k_{\alpha_0}(y_0)$ и замкнутости $M$. Таким образом, $k_0=k(y_0)\ge k_{\alpha_0}(y_0)\ge k$, и, следовательно, мы доказали, что функция $k(\,{\cdot}\,)$ полунепрерывна сверху.
Рассмотрим отображение $F\colon A\to 2^T$, где $T=P_Mx\subset M$, сопоставляющее каждой точке $y\in A$ множество
$$
\begin{equation*}
M\cap H^{k(y)}_{y}[B(x,r)]=P_Mx\cap H^{k(y)}_{y}[B(x,r)]=P_M(x+k(y)(y-x))
\end{equation*}
\notag
$$
$(r=\varrho(x,M))$. В силу полунепрерывности сверху функции $k(\,{\cdot}\,)$ отображение $F(y)=P_M(x+k(y)(y-x))$ является полунепрерывным сверху. Поскольку существует индекс $\alpha_0\in \mathcal{B}(y)$: $k=k(y)=k_{\alpha_0}(y)$, то $\operatorname{int}_0H^k_y(B_{\alpha_0})\cap M=\varnothing$. Здесь мы выберем $\alpha_0$ еще и так, чтобы размерность грани $B_{\alpha_0}$ была как можно больше. И, следовательно, для точки $z=x+k(y)(y-x)$ число граней (типа $B_{\alpha}(z)$) размерности $\dim B_{\alpha_0}$ уже меньше (а число граней большей размерности не изменилось), а это означает, что $P_Mz=F(y)$ является клеточноподобным по выбору точки $x$. Таким образом, мы получаем, что полунепрерывное сверху отображение $F$ отображает клеточноподобное множество $A$ в подмножества $T=P_Mx=A\cap M$, образы $F$ клеточноподобны, и $x\in F(x)$ для всех $x\in T$.
Далее мы повторим рассуждения при доказательстве теоремы 7 (см. [5]). Отображение $f$, сопоставляющее каждой $w$ из множества значение $y\in A$, для которого $w=(y,u)$ $(u\in F(y))$, является клеточноподобной шейповой эквивалентностью в силу конечномерности множеств $T_F$ и $A$ (см. [17; с. 424]). Отсюда $T_F$ клеточноподобно. Поэтому клеточноподобно и множество $T_1=\{(x,y-x)\mid x\in A,\, y\in F(x)\}$, которое гомеоморфно множеству Поэтому $T_2$ также клеточноподобно. Но его ретракция с помощью отображения $\pi(a,b)=(a,0)$ равна $T\times \{0\}$ – не клеточноподобна, чего не может быть. Противоречие доказывает, что $M$ является $P$-клеточноподобным на $U$. Теорема доказана.Пусть $X$ – конечномерное полиэдральное пространство, т. е. шар $B(x,r)$ ($R>0$) представляет собой выпуклый многогранник. Для каждой собственной грани $\mathcal{E}$ шара $B(x,r)$ рассмотрим некоторую точку $c=c(\mathcal{E})\in\operatorname{int}_0\mathcal{E}$. Эту точку будем называть центром грани $\mathcal{E}$. Пусть $M\subset X$ – строгое солнце, а шар $B(x,R)$ – опорный к множеству $M$. Рассмотрим фиксированное открытое выпуклое множество $D\subset X$, содержащее шар $B(x,R)$. В дальнейшем будем рассматривать только те шары, что содержатся во множестве $D$. Тогда существует аффинное пространство $\mathcal{L}$, максимальное по размерности, которое содержит $P_Mx$ и содержится в границе некоторого опорного конуса $K(x',y')\supset K(x,y)$, где $y\in P_Mx$ – любая ближайшая точка для $x$, $y'\in P_Mx'$. На самом деле, аффинное пространство $\mathcal{L}$ является аффинной оболочкой некоторой грани $\mathcal{E}$ шара $B(x,R)$, и в качестве опорного конуса $K(x',y')$ можно взять бесконечное раздутие $\bigcup_{k>0}H^k_c(B(x,R))$ (здесь $c=c(\mathcal{E})$ – центр грани $\mathcal{E}$), при этом $K(x',y')\cap M\cap D=\mathcal{L}\cap M\cap D$. Грань $\mathcal{E}:=B(x,R)\cap \mathcal{L}$ и все ее подграни будем называть реализуемыми (в точке $x$). Класс всех реализуемых граней (для всех точек $x\in X\setminus M$ и соответствующих чисел $R=\varrho(x,M)$) будем обозначать как $\mathfrak{R}$. С каждой реализуемой гранью $\mathcal{E}$ будем связывать некоторое открытое множество $W=W(\mathcal{E})$, которое состоит из таких точек $z\in X\setminus M$, для которых есть шар $B(v,r)\subset D$, пересекающийся с относительной внутренностью $\mathcal{E}$ своей внутренностью, но не пересекающиеся с $M$ своей внутренностью и содержащий точку $z$ на своей границе, и $z$ – центр грани $\mathcal{E}_z:=(\mathcal{E}-x)(r/R)+v$, т. е. $z=(c-x)(r/R)+v$. Эти шары $B(v,r)$ отнесем к классу $\mathfrak{M}(\mathcal{E})$. Отметим, что все грани $\mathcal{E}\in \mathfrak{R}$ получаются из граней шара $B(0,1)$ сдвигом и раздутием (или сдутием) этого единичного шара, т. е. $\mathcal{E}$ соответствует грани $\mathcal{E}_0:=(\mathcal{E}-x)(1/R)$ для шара $B(0,1)$. Такие грани $\mathcal{E}_0$ будем называть нормализованными, а класс всех таких граней будем обозначать через $\mathfrak{R}_0$. Отметим, что в силу полиэдральности пространства $\mathfrak{R}_0$ – это конечный набор, являющийся частью набора всех граней шара $B(0,1)$. Пусть $V$ – произвольное открытое множество, содержащее пересечение грани $\mathcal{E}\in \mathfrak{R}$ и множества $M$. Шары $B(v,r)\in \mathfrak{M}(\mathcal{E})$, для которых их раздутие относительно соответствующих им точек $z$ (см. выше) до опорного к $M$ шара $\widehat{B}$ такого, что $\widehat{B}\,{\cap}\, M\subset V$, будем обозначать через $\mathfrak{M}_0(\mathcal{E},V)$. Количество нормализованных граней, соответствующих граням $\widehat{\mathcal{E}}$ из $\mathfrak{R}$: $\widehat{\mathcal{E}}\cap M\subset V$ раздутий шаров $B(v,r)\in \mathfrak{M}_0(\mathcal{E},V)$ относительно соответствующей точки $z$ (см. выше) до опорного к $M$ шара, содержащегося в $D$, будем обозначать через $n(\mathcal{E},V)$. Найдется открытое множество $V_0=V_0(\mathcal{E})\subset D$, для которого число $n(\mathcal{E}):=n(\mathcal{E},V_0)$ – минимально возможное. Можно считать, что найдется такое число $\delta>0$, что если соответствующая точка $z$ шара $B(v,r)\in \mathfrak{M}(\mathcal{E})$ лежит в $O_\delta(\mathcal{E})$, то $B(v,r)\in \mathfrak{M}_0(\mathcal{E},V_0)$ и, кроме того, $O_\delta(\mathcal{E}\cap M)\subset V_0$. Точки $z\in O_\delta(\mathcal{E})$ для соответствующих шаров $B(v,r)\in \mathfrak{M}_0(\mathcal{E},O_\delta(\mathcal{E}\,{\cap}\, M))$ отнесем к классу $Z_0(\mathcal{E})$. Лемма 1. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное конечномерное полиэдральное пространство, $M\subset X$ – непусто и замкнуто. Предположим, что для всех чисел $\gamma\ge 1$ и для всех опорных к $M$ шаров $B(v,r)\subset D$ и всех точек $y\in P_Mv$ шары $H^{\gamma}_y(B(v,r))$ также являются опорными к множеству $M$. Тогда все грани $\mathcal{E}\in \mathfrak{R}$ пересекаются с $M$ по клеточноподобным множествам. Доказательство. Доказательство поведем методом от противного. Предположим, что утверждение леммы не верно. Выберем среди граней $\mathcal{E}\in \mathfrak{R}$ ту, для которой ее пересечение с $M$ не клеточноподобно и для которой число $n_0(\mathcal{E})$ самое маленькое. Пусть это грань $\mathcal{E}$ и $n_0(\mathcal{E})=n_0(\mathcal{E},V_0)$. Возьмем произвольную точку $z\in Z_0(\mathcal{E})\,{\cap}\, W(\mathcal{E})$ и соответствующий шар $B(v,r)\in \mathfrak{M}_0(\mathcal{E},O_\delta(\mathcal{E}\cap M))$. Пусть $B(x_0,R_0)$ – опорный к $M$ шар, полученный $k$-раздутием шара $B(v,r)$ относительно точки $z$. Если бы грань $Q_z:=k(\mathcal{E}_z-z)+z$ принадлежала бы $\mathfrak{R}$, то существовал бы опорный к $M$ конус $K(x',y')$, содержащий опорный конус $K(x_0,y_0)$ и содержащий в своей границе параллельный сдвиг аффинного пространства $\mathcal{L}$ (представляющего собой бесконечное раздутие $\mathcal{E}$ относительно точки $c(\mathcal{E})$), где $y_0\in P_Mx_0$. И поэтому конус $K(x',y')$ содержал бы грань $\mathcal{E}$ в своей внутренности в силу того, что шар $B(v,r)\subset B(x_0,r_0)$ пересекается своей внутренностью с относительной внутренностью $\mathcal{E}$, чего не может быть, так как в $\mathcal{E}$ есть точки из $M$.
Таким образом, среди реализуемых не будет граней $Q_z$. При достаточно маленьком $\delta>0$ можно считать, что для любой реализуемой грани $P$ опорного к $M$ шара $\widehat{B}_z$, являющегося раздутием шара $B(v,r)\in \mathfrak{M}_0(\mathcal{E},O_\delta(\mathcal{E}))$ относительно соответствующей точки $z$, пересечение $P\cap M$ лежит в $V_0$. Поскольку граней из $\mathfrak{R}$, соответствующих нормализованной грани $\mathcal{E}$ уже нет, то $n_0(P_z)<n_0(\mathcal{E})$. Следовательно, по предположению для всех $z\in O_\delta(\mathcal{E})$ пересечения опорного шара $\widehat{B}_z$ с $M$ является клеточноподобным множеством. Пусть $A:=\mathcal{E}\cap M=\mathcal{E}\cap P_Mx$. Для достаточно малого числа $\varepsilon\in (0,1)$ найдутся числа $k=k(\varepsilon)>1$ и $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ такие, что $H^k_c(\mathcal{E})\cap A\subset O_\varepsilon(A)$ (напомним, что $c=c(\mathcal{E})$ – условный центр грани $\mathcal{E}$) и при этом $O_{2\delta}(A)\cap \mathcal{L}\subset \operatorname{int}_0(H^k_s(\mathcal{E}))$. Найдется точка $t\in (x,c)$ настолько близкая к $x$, что для шара $\widehat{B}:=B(t,kR)$ верны соотношения $\widehat{B}\cap M\subset O_\varepsilon(A)$ и $O_\delta(A)\cap \mathcal{L}\subset \operatorname{int} B(t,kR)$. Для каждой точки $s\,{\in}\, \mathcal{E}$ положим $k(s):=\inf\{k\,{\in}\, [0,1]\mid \operatorname{int}_0(H^k_c(\widehat{B}))\,{\cap}\, M\neq \varnothing\}$. В работе [6] было доказано, что отображение $F(s):=H^{k(s)}_s(\widehat{B})\cap M$ полунепрерывно сверху. Кроме того, по изложенному выше можно считать, что точка $t\in (x,c)$ настолько близка к $x$, а число $k=k(\varepsilon)$ близко к $1$, что множество $F(s)\subset O_\varepsilon(A)$ и $F(s)$ клеточноподобно. Тогда существует непрерывное отображение $\varphi\colon \mathcal{E}\to O_\varepsilon(A)$ такое, что $(s,\varphi(s))\in O_\Delta(\Gamma)$ для всех $s\in \mathcal{E}$ и сколь угодно малого $\Delta\in (0,\varepsilon/3)$, где $\Gamma\,{=}\,\{(p,F(p))\mid p\,{\in}\, \mathcal{E}\}$ – график $F$, $O_\Delta(\Gamma)\,{=}\,\{(a,b)\mid \inf_{c\in \mathcal{E}}\widehat{\varrho}((a,b),(c,F(c)))\,{<}\,\Delta\}$, а $\widehat{\varrho}((a,b),(c,F(c)))=\|a-c|+ \varrho(b,F(c))$. Следовательно, $\varphi(s)\in O_{2\varepsilon}(A)$ для всех $s\,{\in}\, \mathcal{E}$ и $\|\varphi(s)-s|<3\varepsilon$ для всех $s\,{\in}\, A$. Последнее неравенство обоснуем. Найдется такое достаточно малое $\Delta$, что для всех $s\in \mathcal{E}$ и $s'\in A$: $\|s-s'|<2\Delta$ верно неравенство $h(F(s'),F(s))=h(\{s'\},F(s))<\varepsilon$ и, следовательно, $h(\{s\},F(s))<2\varepsilon$. Отсюда для всех $s\in O_\Delta(A)$ и $\widetilde{s}\in \mathcal{E}$: $\|s-\widetilde{s}|<\Delta$ верно неравенство $h(\{\widetilde{s}\},F(\widetilde{s}))\le 2\varepsilon$. Так как $\varrho((s,\varphi(s)),(s',F(s')))<\Delta$ для всех $s\in \mathcal{E}$ и некоторого подходящего для него $s'$, то $\|s'-s|<\Delta$ и $\varrho(\varphi(s),F(s'))<\Delta$, и $\|\varphi(s)-s|\le \|s'-s|+h(\{s'\},F(s'))+\varrho(\varphi(s),F(s'))<3\Delta+2\varepsilon<3\varepsilon$ для всех $s\in A$. Построим непрерывную функцию где $\tau(s):=\min\{1,\varrho(x,A)/(2\varepsilon)\}$. Тогда $\Psi\in C(\mathcal{E})$, $\|\Psi(s)-s|\le \|\varphi(s)-s|\le \operatorname{diam}\mathcal{E}+2\varepsilon$ на $\mathcal{E}$ и $\Psi(s)=s$ на $A$. Построим отображение $\chi\colon \mathcal{E}\to O_{3\varepsilon}(A)\times O_{3\varepsilon}(0)$, положив $\chi(s)=(\Psi(s),\varepsilon/(4(\operatorname{diam}\mathcal{E}+1))(\Psi(s)-s))$. Это отображение – гомеоморфизм множеств $\mathcal{E}$ и $\chi( \mathcal{E})$. Следовательно, $\chi(\mathcal{E})$ – стягиваемое множество, содержащее множество $A\times \{0\}\subset O_{3\varepsilon}(A)\times O_{3\varepsilon}(0)$. Из произвольности выбора $\varepsilon>0$ вытекает, что множество $A$ клеточноподобно, что противоречит построению грани $ \mathcal{E}$. Отсюда следует, что утверждение леммы верно. Лемма доказана.Непосредственно из этой леммы вытекает следующее утверждение. Следствие 1. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное конечномерное полиэдральное пространство, $M\subset X$ – строгое солнце. Тогда множество $M$ является $P$-клеточноподобным, т. е. $P_Mx$ – клеточноподобно для всех $x\in X$. Отметим, что из [6; следствие 2] вытекает, что множество $M\subset X$ из последнего утверждения обладает непрерывной $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$. § 3. Свойства солнечности в несимметричных пространствахОпределение 4. Право-открытыми (лево-открытыми) множествами в несимметричном линейном пространстве $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ назовем множества правой топологии (левой топологии), т. е. порожденной как предбазой шарами $\mathring{B}(x,r)=\{y\in X\mid \|y-x|< r\}$ ($\mathring{B}^-(x,r)=\{y\in X\mid \|x- y|< r\}$). Множество $M\subset X$, снабженное правой (левой) топологией будем обозначать как $M_+$ ($M_-$), а через $M^s$ обозначим множество $M$, снабженное топологией нормы симметризации. Множество $K$ в несимметричном линейном пространстве $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ называется право-компактным (лево-компактным), если из любого покрытия правыми (левыми) открытыми множествами, можно выделить конечное подпокрытие. Сильным компактом назовем компакт в топологии нормы симметризации, что равносильно тому, что это множество компактно в правой и левой топологии. Определение 5. Будем говорить, что множество $E=\{x_i\}_{i=1}^{N}$ является конечной правой (левой) $\varepsilon$-сетью множества $K$ в несимметричном линейном пространстве $X\,{=}\,(X,\|\,{\cdot}\,|)$, если $K\,{\subset} \bigcup_{i=1}^{N}\mathring{B}(x_i,\varepsilon)$ ($K\subset \bigcup_{i=1}^{N}\mathring{B}^-(x_i,\varepsilon)$). Следствие 2. Пусть $K$ в несимметричном линейном пространстве $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ является право-компактным (лево-компактным), тогда существует конечная правая (левая) $\varepsilon$-сеть множества $K$, состоящая из точек $K$. Доказательство. Покрытия $\{\mathring{B}(x,\varepsilon)\}_{x\in K}$ ($\{\mathring{B}^-(x,\varepsilon)\}_{x\in K}$) допускают конечные подпокрытия, а центры таких подпокрытий образуют соответствующую конечную $\varepsilon$-сеть множества $K$. Через $\operatorname{conv} M$ будем обозначать выпуклую оболочку множества $M$. Замечание 1. Если $E=\{x_i\}_{i=1}^{N}\subset K$ – конечная правая (левая) $\varepsilon$-сеть множества $K$ в несимметричном линейном пространстве $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$, то $\operatorname{conv} E$ – конечномерный компакт, и $\operatorname{conv} K\subset \operatorname{conv} E+\mathring{B}(0,\varepsilon)$ ($\operatorname{conv} K\subset \operatorname{conv} E+\mathring{B}^-(0,\varepsilon)$). Определение 6. Через $\mathcal{L}_n$ обозначим класс всех плоскостей размерности $\le n\in \mathbb{Z}_+$. Правым (левым) поперечником Колмогорова порядка $n$ назовем величину Из следствия 2 и замечания 1 непосредственно вытекает следующее утверждение. Следствие 3. Пусть $K$ в несимметричном линейном пространстве $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ является право-компактным (лево-компактным), тогда $d_n(K,X)\,{\to}\, 0$ ($d_n^-(K,X)\to 0$) при $n\to\infty$. Замечание 2. Если $K$ является право-компактным (лево-компактным) в несимметричном линейном пространстве $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$, то для любой последовательности $\{x_k\}\subset K$ найдется точка $x\in K$ и подпоследовательность $\{x_{k_n}\}$ такие, что $\|x_{k_n}-x|\to 0$ ($\|x-x_{k_n}|\to 0$) при $n\to\infty$. Действительно, оба случая разбираются аналогично. Разберем только первый из них: если для всех $ z\in K$ найдется число $\varepsilon(z)>0$, для которого в шаре $\mathring{B}(z,\varepsilon(z))$ лишь конечное число членов исходной последовательности. Тогда, выбирая из покрытия $\{\mathring{B}(z,\varepsilon(z))\}_{z\in K}$ конечное подпокрытие, мы получим, что в $K$ лишь конечное число членов последовательности $\{x_k\}$, чего не может быть. Найдется точка $x\in K$, в любой окрестности которой бесконечное число членов исходной последовательности, тогда из принципа математической индукции для каждого $n\in \mathbb{N}$: $n\ge 2$ найдется номер $k_n > k_{n-1}$ такой, что $x_{k_n}\in \mathring{B}(x,1/n)$. Таким образом, $\|x_{k_n}-x|<1/n\to 0$ ($n\to\infty$). Через правое расстояние от точки $x$ до множества $M$ в несимметричном линейном пространстве $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ обозначим $\varrho^+(x,M):=\varrho(x,M)$, через левое расстояние – Определение 7. Несимметричное пространство $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ называется право-полным (лево-полным), если для любой последовательности $\{x_n\}\subset X$ из условия, что для любого $\varepsilon>0$ существует $N\in \mathbb{N}$ такое, что $\|x_m-x_n|<\varepsilon$ для всех $m\ge n\ge N$, вытекает, что существует точка $x\in X$ такая, что $\|x-x_n|\to 0$ $(\|x_n-x|\to 0)$ при $n\to\infty$. Право-полное пространство будем называть просто полным пространством. Аналогично определяются полные множества в несимметричных пространствах, в которых каждая фундаментальная последовательность должна право-сходиться (лево-сходиться) к элементу этого множества. С. Кобзаш в [18; теорема 1.6] доказал, что если множество в лево-полном несимметричном линейном пространстве $X$ содержит для любого $\varepsilon>0$ конечную правую $\varepsilon$-сеть, то замыкание его выпуклой оболочки право-компактно. Теорема 2. Пусть $K$ – право-компактное выпуклое множество в несимметричном линейном пространстве $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$. Тогда $\inf_{x\in K}\|f(x)-x|=0$ для любого отображения $f\in C(K^s,K_+)$. Если дополнительно $f\in C( K_+,K_-)$, то существует неподвижная точка $x\in K$, т. е. $f(x)=x$. Доказательство. Возьмем произвольное $\varepsilon>0$, и пусть $T=T_\varepsilon$ – выпуклая оболочка некоторой конечной $\varepsilon$-сети для $K$. Отметим, что сужение правой или левой топологии на $T$ – это топология $\tau$, порожденная нормой симметризации. Пусть Отображение $\Phi$ является полунепрерывным снизу, если в прообразе рассматривать правую топологию, а в образе – топологию $\tau$. Это вытекает из следующего свойства. Если $\|z_n-z|\to 0$ ($n\to\infty$) и $y\in \Phi(z)$, то найдется $\delta\in (0,\varepsilon)$, для которого $\|z-y|<\delta$, и $\|z_n-y|\le \|z_n-z|+\|z-y|< \|z_n-z|+\delta<\varepsilon$, начиная с некоторого $n_0$. Следовательно, $y\in \Phi(z_n)$ для всех $n>n_0$.
Тогда отображение $\Psi:=\Phi\circ f$ является полунепрерывным снизу на $T$ (в образе и прообразе рассматривается топология $\tau$), а образы этого отображения непустые открытые выпуклые подмножества $T$. В силу теоремы Майкла [19] существует отображение $\varphi\colon T\to T$, являющееся непрерывной селекцией $\Psi$, а, следовательно, существует точка $x_\varepsilon=\varphi(x_\varepsilon)\in \Psi(x_\varepsilon)$. Учитывая, что $K\subset T+\mathring{B}^-(0,\varepsilon)$, мы получим, что $\varrho^-(f(x_\varepsilon),T)< \varepsilon$ (это вытекает из определения $\Phi$) и $\|f(x_\varepsilon)-x_\varepsilon|<\varepsilon$. Отсюда следует, что $\inf_{x\in K}\|f(x)-x|=0$. Пусть дополнительно $f\in C(K_+,K_-)$. Рассматривая бесконечную малую последовательность положительных чисел $\{\varepsilon_n\}$ и $T_n=T_{\varepsilon_n}$ – выпуклую оболочку некоторой конечной $\varepsilon_n$-сети для $K$ ($n\in \mathbb{N}$), мы сможем найти такую точку $x_n\in K$: $\|f(x_n)-x_n|<\varepsilon_n$ ($n\in \mathbb{N}$). Существует подпоследовательность $\{x_{k_n}\} $ и точка $x\in K$ такие, что $\|x_{k_n}-x|\to 0$ ($n\to\infty$). Поэтому Следовательно, $f(x)=x$. Лемма доказана.Замечание 3. В случае, когда в несимметричном пространстве $X$ шар $B(0,1)$ является замкнутым множеством, право-компактное (лево-компактное) множество $K\subset X$ является паракомпактом. Отсюда стандартной процедурой для любого непустого выпуклого подмножества $M\subset X$ можно построить для всех $\varepsilon>0$ непрерывную $\varepsilon$-выборку $\varphi\in C(K_+,M_+)$ $(\varphi\in C(K_-,M_-))$, т. е. $\|\varphi(x)-x|<\varrho^+(x,M)+\varepsilon$ $(\|x-\varphi(x)|<\varrho^-(x,M)+\varepsilon)$ для каждого $x\in K$. Замечание 4. Аналогично доказывается следующее утверждение. Пусть $K$ – лево-компактное выпуклое множество в несимметричном линейном пространстве $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$. Тогда $\inf_{x\in K}\|x-f(x)|=0$ для любого отображения $f\in C(K^s,K_-)$. Если дополнительно $f\in C(K_-,K_+)$, то существует неподвижная точка $x\in K$, т. е. $f(x)=x$. Замечание 5. В теореме 2 фактически доказано, что если множество $K$, не обязательно компактное, имеет конечную правую (левую) $\varepsilon$-сеть, то для любого отображения $f\in C(K^s,K_+)$ ($f\in C(K^s,K_-)$) найдется такая точка $x\in K$, что $\|f(x)-x|<\varepsilon$ ($\|x-f(x)|<\varepsilon$). Кроме того, для доказательства в этой лемме существования неподвижной точки достаточно вместо правой компактности множества $K$ требовать, чтобы для любой последовательности $\{x_n\}\subset K$ существовали подпоследовательность $\{x_{n_k}\}$ и точка $x\in K$ такие, что $\|x_{n_k}-x|\to 0$ ($k\to\infty$). Замечание 6. Отметим, что если пространство $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ является право-полным (лево-полным), то и зеркальное несимметричное пространство $X^-=(X,\|-\cdot|)$ также является обратным право-полным (лево-полным) пространством. Замечание 7. Множество $N$ в несимметричном пространстве $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ будет замкнутым (относительно топологии, порожденной открытыми шарами), если из условий $\{y_n\}\subset N$: $\|y_n-y|\to 0$ $(n\to\infty)$ вытекает, что $y\in N$. Замечание 8. Определение 7 можно рассматривать не только для линейных несимметрично нормированных пространств $X$, но и для пространств $X$ с несимметричной полунормой. Определение 8. Множество $M$ в несимметричном пространстве $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ назовем право-ограниченно (лево-ограниченно) компактным, если его пересечение с любым правым шаром $B(x,r)$ (левым шаром $B^-(x,r)$) является право-компактным (лево-компактным). Определим соответственно левую и правую метрические проекции
$$
\begin{equation*}
P_M^-(x):=\{y\in M\mid \|x-y|=\varrho^-(x,M)\},\quad P_M^+(x):=\{y\in M\mid \|y-x|=\varrho^+(x,M)\}
\end{equation*}
\notag
$$
($x\in X$, $M\subset X$), т. е. $P_M(x)=P_M^+(x)$. Предложение 1. Пусть $M$ – лево-ограниченно (право-ограниченно) компактное множество в несимметричном линейном пространстве $X\,{=}\,(X,\|\,{\cdot}\,|)$, и метрическая функция $\varrho^-(\,{\cdot}\,,M)$ $(\varrho^+(\,{\cdot}\,,M))$ непрерывна в точке $x\in X$, где в прообразе и образе рассматривается левая (правая) топология. Тогда метрическая проекция $P^-_M$ $(P_M)$ является полунепрерывным сверху отображением при условии, что в прообразе и образе рассматривается левая (правая) топология. Доказательство. Оба утверждения разбираются аналогично, поэтому остановимся на доказательстве первого из них. Докажем, что для любой последовательности $\{x_n\}\subset X$: $\|x_n-x|\to 0$ ($n\to\infty$) и любого числа $\varepsilon>0$ существует номер $N\in \mathbb{N}$ такой, что Докажем это методом от противного. Предположим, что существует точка $y_n\in K_n:=P^-_M(x_n)\setminus O_\varepsilon^-(P^-_M(x ))$ для бесконечного числа номеров $n$. Переходя при необходимости к подпоследовательности, можно без потери общности считать, что $y_n\in K_n$ для всех $n\in \mathbb{N}$. Так как $\varrho^-(x_n,M)\to \varrho^-(x,M)$, то где $\{R_n\}$ – некоторая положительная бесконечно малая последовательность. Поскольку множество $\widetilde{M}_n:=(M\cap B^-(x,R_n))\setminus O_\varepsilon^-(P^-_M(x ))$ лево-компактно, то последовательность $\{y_m\}_{m\ge n}\subset \widetilde{M}_n$ имеет относительно левой топологии сходящуюся к элементу из $\widetilde{M}_n$ подпоследовательность. Отсюда следует, что $\{\widetilde{M}_n\}$ – вложенная последовательность непустых компактов, и поэтому $M_0:=\bigcap_{n}\widetilde{M}_n$ непусто. Тогда найдется точка $y_0\in M_0\subset P^-_M(x)\setminus O_\varepsilon^-(P^-_M(x ))$, чего не может быть. Предложение доказано. Теорема 3. Пусть $M$ – лево-ограниченно (право-ограниченно) компактное множество в несимметричном линейном пространстве $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$. Тогда метрическая проекция $P^-_M$ $(P_M)$ является полунепрерывным сверху отображением при условии, что в прообразе рассматривается топология нормы симметризации, а в образе – левая (правая) топология. Доказательство. Оба утверждения разбираются аналогично, поэтому остановимся на доказательстве первого из них. Сначала докажем, что функция $\varrho^-(\,{\cdot}\,,M)$ непрерывна относительно нормы симметризации. Действительно, для всех $x,y\in X$, $z\in M$ Отсюда $\varrho^-(x,M) \le \|x-y|+\varrho^-(y,M)$, т. е. $\varrho^-(x,M)-\varrho^-(y,M) \le \|x-y|$. Аналогично, $\varrho^-(y,M)- \varrho^-(x,M)\le \|y-x|$ и, следовательно, $|\varrho^-(x,M)-\varrho^-(y,M)| \le \|x-y\|$. Отсюда вытекает, что функция $\varrho^-(\,{\cdot}\,,M)$ непрерывна относительно нормы симметризации. Отметим также, что если $\|x_n-x\|\to 0$ ($n\to\infty$), то
Теперь докажем, что для любой последовательности $\{x_n\}\subset X$: $\|x_n-x\|\to 0$ ($n\to\infty$) и любого числа $\varepsilon>0$ существует номер $N\in \mathbb{N}$ такой, что
$$
\begin{equation*}
P^-_M(x_n)\subset O_\varepsilon^-(P^-_M(x ))\quad\text{для всех}\quad n\ge N.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем это методом от противного. Предположим, что существует точка $y_n\in K_n:=P^-_M(x_n)\setminus O_\varepsilon^-(P^-_M(x ))$ для бесконечного числа номеров $n$. Переходя при необходимости к подпоследовательности, можно без потери общности считать, что $y_n\in K_n$ для всех $n\in \mathbb{N}$. Так как то где $\{R_n\}$ – некоторая положительная бесконечно малая последовательность. Так как множество $\widetilde{M}_n:=(M\cap B^-(x,R_n))\setminus O_\varepsilon^-(P^-_M(x ))$ лево-компактно, то последовательность $\{y_m\}_{m\ge n}\subset \widetilde{M}_n$ имеет относительно левой топологии сходящуюся к элементу из $\widetilde{M}_n$ подпоследовательность. Отсюда следует, что $\{\widetilde{M}_n\}$ – вложенная последовательность непустых компактов, и поэтому $M_0:=\bigcap_{n}\widetilde{M}_n$ непусто. Тогда найдется точка $y_0\in M_0\subset P^-_M(x)\setminus O_\varepsilon^-(P^-_M(x ))$, чего не может быть. Отсюда следует утверждение теоремы. Теорема доказана. Определение 9. Пусть $ M $ – непустое множество в несимметричном линейном пространстве $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$. Точка $x\in X\setminus M$ называется правой (левой) точкой солнечности, если существует точка $y\in P^+_Mx\ne \varnothing$ $(y\in P^-_Mx\ne \varnothing)$ (называемая точкой правой (левой) светимости) такая, что $ y\in P^+_M((1-\lambda)y+\lambda x)$ $(y\in P^-_M((1-\lambda)y+\lambda x))$ для всех $\lambda\ge 0$. Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой правой (левой) строгой солнечности, если $P^+_Mx\ne\varnothing$ $(P^-_Mx\ne\varnothing)$ и каждая точка $y\in P_Mx$ является точкой правой (левой) светимости. Если все точки из $X\setminus M$ являются точками правой (левой) солнечности (строгой солнечности), то множество $M$ называют правым (левым) солнцем (строгим солнцем). Определение 10. Множество $M$ в несимметричном пространстве $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ называется правым (левым) $\gamma$-солнцем, если для любых $\delta>0$, $R>\delta$ и для всех $x\in X\setminus M$ найдется точка $z\in X$: $\|x-z|=R$ $(\|z-x|=R)$ такая, что верно неравенство Определение 11. Пусть $M$ – непустое множество в несимметричном линейном пространстве $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ называется правым (левым) чебышёвским множеством, если для всех точек $x\in X$ множество $P^+_Mx$ $(P^-_Mx)$ одноточечно. Теорема 4. Пусть $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное линейное пространство с замкнутым шаром $B(0,1)$, $M$ – лево-ограниченно (право-ограниченно) компактное множество в $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$, являющееся лево-чебышёвским (право-чебышёвским) множеством. Тогда $M$ является левым (правым) $\gamma$-солнцем. Если дополнительно пересечение множества $M$ с любым левым (правым) шаром является право-компактным (лево-компактным) множеством и отображение $P^-_M$ $(P^+_M)$ непрерывно, как отображение из левого (правого) топологического пространства в левое (правое) топологическое пространство, то $M$ является левым (правым) солнцем. Доказательство. Оба утверждения разбираются аналогично, поэтому остановимся на доказательстве первого из них. Возьмем произвольную точку $x_0\in X\setminus M$. Без потери общности будем считать, что $x_0=0$. Отметим, что в работе [20] было замечено, что из [18; предложение 1.1.8] вытекает, что свойство замкнутости шара $B(0,1)$ равносильно непрерывности несимметричной нормы. Из теоремы 3 и условия теоремы вытекает, что отображение $P^-_M$ однозначно и непрерывно (в прообразе рассматривается топология нормы симметризации, а в образе – левая топология). Отображение $\varphi(x):=-x$ непрерывно как отображение из левой топологии в правую. Отображение $\psi(x):=Rx/\|x|$, где $R>\varrho^-(0,M)$ – произвольное число, непрерывно (в прообразе и образе рассматривается правая топология). Существует число $R_0>0$, для которого $P^-_M(B^-(0,R))\subset B^-(0,R_0)$. Поскольку множество $M\cap B^-(0,R_0)$ компактно в левой топологии, то $E:=\psi\circ \varphi(M\cap B^-(0,R_0))\subset B^-(0,R)$ – компакт в правой топологии. Отображение $\Phi:=\psi\circ \varphi\circ P^-_M$ является непрерывным отображением (в прообразе рассматривается топология нормы симметризации, а в образе – правая топология) множества $\operatorname{conv}E$ в себя. В силу замечаний 1 и 5 для любого числа $\varepsilon>0$ существует точка $x_\varepsilon\in \operatorname{conv}E$, для которой $z_\varepsilon:=\Phi(x_\varepsilon)$: $\|z_\varepsilon-x_\varepsilon|\le \varepsilon$. Пусть $y=P^-_M(x_\varepsilon)$, тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|z_\varepsilon-y|=\|0-y|+\|z_\varepsilon-0| =\|0-y|+R\ge \varrho^-(0,M)+R, \\ \varrho^-(0,M)+R\le \|z_\varepsilon-y|\le \|x_\varepsilon-y|+ \|z_\varepsilon-x_\varepsilon|=\varrho^-(x_\varepsilon,M)+\|z_\varepsilon-x_\varepsilon|, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, Таким образом, множество $M$ является левым $\gamma$-солнцем.
Пусть дополнительно $P^-_M$ является непрерывным отображением, где в образе и прообразе рассматривается левая топология, и пересечение множества $M$ с любым левым шаром является право-компактным множеством. В этом случае отображение $\psi\circ \varphi$ непрерывно как отображение, где в прообразе рассматривается правая топология, а в образе – левая. Поэтому $E:=\psi\circ \varphi(M\cap B^-(0,R))$ будет компактом в левой топологии. Для положительной бесконечно малой последовательности $\{\varepsilon_k\}$ рассмотрим соответствующие последовательности точек $\{x_k:=x_{\varepsilon_k}\}$ и $\{z_k:=z_{\varepsilon_k}=\Phi(x_k)\}$. В этом случае $R-\varepsilon_k\le \varrho^-(x_k,M)-\varrho^-(0,M)$ $(k\in \mathbb{N})$ и $\|z_k-x_k|\le \varepsilon_k\to 0$ $(k\to\infty)$. Поскольку $E$ – компакт в левой топологии, то некоторая подпоследовательность последовательности $\{z_k\}$ сходится к некоторой точке $z\in E$ относительно левой топологии. Переходя при необходимости к подпоследовательности, без потери общности будем считать, что $\|z-z_k|\to 0$ ($k\to\infty$). Тогда $\|z-x_k|\le\|z_k-x_k|+\|z-z_k|\to 0$ $(k\to\infty)$ и Переходя к пределу при $k\to\infty$, получим, что Из непрерывности нормы $\|\,{\cdot}\,|$ вытекает, что $\|z-0|=\lim_{k\to\infty}\|z_k|=R$. Тогда для точки $y_0=P^-_M(0)$ верно неравенство Отсюда следует, что $B^-(0,\varrho^-(0,M))\subset B^-(0,\varrho^-(0,M)+R)=B^-(0,\varrho^-(z,M))$, а учитывая, что $M$ – лево-чебышёвское множество, мы получим, что $y_0=P^-_M(0)$ является единственной ближайшей и для точки $z$. Кроме того, $P^-_M(x_k)\,{\to} P^-_M(z)$ $(k\to\infty)$ и, учитывая, что $0\in [z_k,P^-_M(x_k)]$, получим, что $0\in [z,y_0]$. Отсюда нетрудно выводится, что для всех точек отрезка $ [z,y_0]$ точка $y_0$ является ближайшей в $M$. А в силу произвольности выбора числа $R$ и для всех точек луча $\{y_0+t(0-y_0)\mid t\ge 0\}$ точка $y_0$ является ближайшей в $M$. Таким образом, точка $x_0=0$ является точкой левой солнечности, и из произвольности выбора точки $x_0$ вытекает левая солнечность множества $M$. Теорема доказана.Замечание 9. Одно из дополнительных условий, используемое при доказательстве солнечности множества $M$ в предыдущей теореме, а именно, непрерывность $P^-_M$ $(P^+_M)$ как отображения из левого (правого) топологического пространства в левое (правое) топологическое пространство, можно заменить на строгую выпуклость пространства $X$ (т. е. единичная сфера пространства не содержит отрезков). Следствие 4. Пусть $X=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное строго выпуклое линейное пространство с замкнутым шаром $B(0,1)$, $M$ – лево-ограниченно (право-ограниченно) сильно компактное и лево-чебышёвское (право-чебышёвское) множество в $X$. Тогда $M$ является левым (правым) солнцем. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tsa22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|