| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Об одном продвижении в доказательстве гипотезы о мероморфных решениях уравнений типа Брио–Буке А. Я. Янченко Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт»
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9265e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение. Формулировка основной теоремыРабота посвящена исследованию целых решений одного класса алгебраических дифференциальных уравнений – так называемых автономных уравнений типа Брио–Буке, – имеющих вид $P(y,y^{(n)})=0$ (где $P$ – неприводимый многочлен с комплексными коэффициентами степени не менее $2$, $n$ – натуральное число). Данная задача является частью более общей задачи описания мероморфных решений таких уравнений. При этом, как показали исследования, важным для данной задачи является класс функций $W$, состоящий из рациональных функций, рациональных функций от экспонент и эллиптических функций: $W=\{R(z);\, R(e^{\alpha z}), \, \alpha\in\mathbb{C}; \, \rho(z)\}$. Одним из первых здесь был результат Ш. Брио и Ж.-К. Буке, которые показали, что для уравнений первого порядка $P(y,y')=0$ все мероморфные решения лежат в $W$. Далее была работа Э. Пикара [1], который доказал, что все мероморфные решения уравнений вида $P(y,y'')=0$ также лежат в $W$. Затем этот результат был забыт и спустя столетие его переоткрыл при некоторых дополнительных предположениях Э. Хилле (см. [2]). Через некоторое время после этого полностью результат Пикара был передоказан С. Бэнком и Р. Кауфманом (см. [3]). Другое доказательство этой теоремы Пикара получил А. Э. Ерёменко (который не стал публиковать свое доказательство, узнав о существовании работы Э. Пикара). Дальнейшая история вопроса такова. В восьмидесятые годы А. Э. Ерёменко выдвинул гипотезу о том, что при всяком натуральном $n$ любое мероморфное решение уравнения $P(y,y^{(n)})=0$ обязано лежать в классе функций $W$. (Естественно, предполагается, что $P$ – неприводимый многочлен степени не менее двух; для линейного уравнения такого вида при $n\geqslant 3$ это, вообще говоря, неверно.) А.Э. Ерёменко (см. [4], [5]) удалось доказать свою гипотезу при некоторых дополнительных предположениях (при доказательстве он использовал одну идею Э. Хилле). Дальнейший прогресс здесь связан с совместной работой А. Э. Ерёменко, Л. В. Ляо и Т. В. Нг (см. [6]), в которой доказано, что при любом $n$ любое мероморфное решение уравнения $P(y,y^{(n)})=0$, имеющее хотя бы один полюс, обязано лежать в $W$. Таким образом, справедливость гипотезы была установлена для всех мероморфных решений, за исключением целых. В настоящей работе гипотеза доказывается при произвольном $n$ для случая целых решений при условии определенной невырожденности многочлена $P$. В дальнейшем, как обычно, через $\mathbb{N}$ будем обозначать множество натуральных чисел, через $\mathbb{C}[\omega_1,\dots,\omega_n]$ – кольцо многочленов от переменных $\omega_1,\dots,\omega_n$ над полем комплексных чисел $\mathbb{C}$. Если $f\colon \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ является целой функцией, то положим при всяком $R>0$ $M_f(R)=\max_{|z|\leqslant R} |f(z)|$; через $N_f(R)$ будем обозначать число нулей $f(z)$ на круге $|z|\leqslant R$ (с учетом их кратности). Порядок $\rho$ целой функции определяется равенством $\rho=\varlimsup_{R\to+\infty} (\ln\ln M_f(R)/\ln R)$; если $\rho<+\infty$, то говорят, что $f(z)$ – целая функция конечного порядка (см., например, [7; гл. 1]). Если целая функция $f(z)$ представлена своим рядом Тейлора $f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k$, то при всяком $R>0$ определим максимальный член $m(R)$ равенством $m_f(R)=\max_{k} |a_k|R^{k}$; индекс $\nu_f(R)$ определяется, как наибольшее из $k$ таких, что $m(R)=|a_k|R^{k}$ (см. [3]). Основной результат работы – доказательство следующей теоремы. Теорема. Пусть $n,d\in\mathbb{N}$, $d\geqslant 2$. Пусть $P$ – неприводимый многочлен из $\mathbb{C}[\omega_1,\omega_2]$, причем: a) $P=\sum_{l=0}^{d} P_l$, где $P_l$ – однородный многочлен степени $l$ (при каждом $l=0,\dots,d$); b) $P_d=\prod_{j=1}^{d} (\omega_2-\alpha_j\omega_1)$, где $\alpha_1,\dots,\alpha_d\in\mathbb{C}$ и $\alpha_i\ne \alpha_j$ при $i\ne j$. Пусть $y=f(z)$ – целая трансцендентная функция, удовлетворяющая уравнению $P(y,y^{(n)})=0$. Тогда найдутся $a\in\mathbb{C}\setminus \{0\}$, $L\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ и $Q\in\mathbb{C}[\omega]$ такие, что $f(z)=e^{-Laz}Q(e^{az})$. § 2. Вспомогательные утвержденияЛемма 1 ([8; теорема С]). Пусть $P\in \mathbb{C}[\omega_1,\omega_2]$, $n$ – натуральное. Пусть $y=f(z)$ – целая трансцендентная функция, являющаяся решением уравнения $P(y,y^{(n)})=0$. Тогда $f(z)$ – целая функция конечного порядка. Замечание 1. На самом деле, пользуясь теорией Вимана–Валерона (см. [9]), можно показать, что в условиях леммы 1 $f(z)$ – целая функция первого порядка нормального типа. Лемма 2 (см. [5; теорема 1]). Пусть $A$ – неприводимый многочлен из кольца $\mathbb{C}[\omega_1,\omega_2]$. Пусть $n\in\mathbb{N}$; $\varphi(z)$ – целая трансцендентная функция, удовлетворяющая уравнению $A(\varphi(z),\varphi^{(n)}(z))=0$. Тогда алгебраическая поверхность $F=\{(y,s)\colon A(y,s)=0\}$ является поверхностью рода нуль. Лемма 3. Пусть $n,M\in\mathbb{N}$, $\sigma_1,\dots,\sigma_M\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$; $\varphi(z)=\sum_{j=1}^{M} C_j e^{\sigma_j z}+q(z)$, где все $C_j\in\mathbb{C}$, $q(z)\in\mathbb{C}[z]$. Пусть $\varphi(z)\notin\mathbb{C}[z]$ и $\{\varphi(z),\varphi^{(n)}(z)\}$ алгебраически зависимы над $\mathbb{C}$. Тогда: a) либо найдутся числа $a\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, $K\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ и многочлен $B\in\mathbb{C}[\omega]$ такие, что $\varphi(z)=e^{-Kaz}B(e^{az})$; b) либо найдется число $\alpha\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ и числа $D_0,D_1,\dots,D_n\in\mathbb{C}$ такие, что $\varphi(z)=D_0+\sum_{j=1}^{n}D_j e^{\xi_jz}$ (где все $\xi_j$ различны и $\xi_j^n=\alpha$ при всех $j$). Замечание 2. В случае выполнения п. b) в утверждении леммы 3 функция $y=\varphi(z)$ удовлетворяет уравнению $y^{(n)}=\gamma_1y+\gamma_2$ при некоторых $\gamma_1,\gamma_2\in\mathbb{C}$. Доказательство леммы 3. Рассмотрим $\mathbb{Z}$ – модуль $\{\mathbb{Z}\sigma_1+\dots+\mathbb{Z}\sigma_M\}$. Пусть $\{\beta_1,\dots,\beta_r\}$ – его базис. Тогда функции $\{z,e^{\beta_1z},\dots,e^{\beta_rz}\}$ (см., например, [10]) алгебраически независимы над $\mathbb{C}$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\varphi(z)=\sum_{j_1,\dots,j_r=L_1}^{L_2} A_{\overline{j}} \, e^{(j_1\beta_1+\dots+j_r\beta_r)z}+q(z)
\end{equation*}
\notag
$$
при некоторых $A_{\overline{j}}=A_{j_1\cdots j_r}\in\mathbb{C}$, $L_1,L_2\in\mathbb{Z}$ и $L_1\leqslant L_2$. Рассмотрим многочлен Положим Тогда $Q(z,e^{\beta_1z},\dots,e^{\beta_rz})=\varphi^{(n)}(z)$. По условию $\{\varphi(z);\,\varphi^{(n)}(z)\}$ алгебраически зависимы над $\mathbb{C}$. Тогда (в силу алгебраической независимости $\{z,e^{\beta_1z},\dots,e^{\beta_rz}\}$ над $\mathbb{C}$) $\{P(z,\theta_1,\dots,\theta_r);\, Q(z,\theta_1,\dots,\theta_r)\}$ алгебраически зависимы над $\mathbb{C}$, т. е. найдется неприводимый многочлен $R\in\mathbb{C}[\omega_1,\omega_2]$ такой, что $R(P,Q)\equiv 0$.
Положим при $i=1,2$ многочлен $A_i=\partial R(P,Q)/\partial\omega_i$. Дифференцируя равенство $R(P,Q)=0$, получим систему
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &A_1q'(z)+A_2q^{(n+1)}(z)=0, \\ &A_1\,\frac{\partial P}{\partial\theta_1}+A_2\,\frac{\partial Q}{\partial\theta_1}=0, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ &A_1\,\frac{\partial P}{\partial\theta_r}+A_2\,\frac{\partial Q}{\partial\theta_r}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1}
$$
Отметим, что хотя бы один из многочленов $A_1$, $A_2$ отличен от тождественного нуля. Действительно, так как $R$ – не константа, то или ${\partial R}/{\partial\omega_1}$, или ${\partial R}/{\partial\omega_2}$ – не нуль. Пусть, например, ${\partial R}/{\partial\omega_1}\ne 0$. Тогда, рассмотрев результат $T(\omega_2)=\operatorname{Res}_{\omega_1}(R,{\partial R}/{\partial\omega_1})$, найдем, что $T\not\equiv 0$ и $T(Q(z,\theta_1,\dots,\theta_r))\equiv 0$, откуда $Q(z,\theta_1,\dots,\theta_r)\equiv \gamma_0$ при некотором $\gamma_0\in\mathbb{C}$. Но тогда и $P(z,\theta_1,\dots,\theta_r)$ является константой, что противоречит условиям леммы. По условию ${\partial P}/{\partial\theta_l}\ne 0$ при всех $l$. Если бы $q(z)\notin\mathbb{C}$, то из (1) имели бы
$$
\begin{equation*}
A_1q'(z)+A_2q^{(n+1)}(z)=0,\qquad A_1\frac{\partial P}{\partial\theta_1}+A_2\frac{\partial Q}{\partial\theta_1}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, так как $(A_1,A_2)\ne(0,0)$,
$$
\begin{equation*}
\begin{vmatrix} q' & q^{(n+1)} \\ \dfrac{\partial P}{\partial\theta_1} &\dfrac{\partial Q}{\partial\theta_1} \end{vmatrix}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{q^{(n+1)}}{q'}=\frac{\partial P/\partial\theta_1}{\partial Q/\partial\theta_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу определения многочлена $Q$ имеем $\partial Q/\partial\theta_1\ne 0$. Тогда в последнем равенстве левая часть зависит только от $z$, а правая – ненулевая – зависит только от $\theta_1,\dots,\theta_r$. Поэтому найдется постоянная $\gamma_1\in\mathbb{C}$ такая, что $\gamma_1\ne 0$ и $q^{(n+1)}(z)=\gamma_1 q'(z)$, что невозможно, если $q(z)\in\mathbb{C}[z]\setminus\mathbb{C}$. Поэтому $q(z)\in\mathbb{C}$. Таким образом, многочлены $P$, $Q$ могут зависеть только от $\theta_1,\dots,\theta_r$ и не зависят от $z$. Кроме этого, $R(P,Q)\equiv 0$. Если $r=1$, то утверждение леммы очевидно выполняется. Пусть $r\geqslant 2$. По лемме 2 поверхность $F=\{(y,s)\colon R(y,s)=0\}$ бирационально эквивалентна сфере. Поэтому найдется рациональная функция $t=G(y,s)$, которая взаимно однозначно отображает $F$ на сферу $\overline{\mathbb{C}}$. Тогда для $t(z)=G(\varphi(z),\varphi^{(n)}(z))$ имеем $\varphi(z)=H_1(t(z))$, $\varphi^{(n)}(z)=H_2(t(z))$ при некоторых рациональных функциях $H_1(\omega)$, $H_2(\omega)$. Отметим, что (учитывая вид $\varphi(z)$)
$$
\begin{equation*}
t(z)=\frac{A(e^{\beta_1z},\dots,e^{\beta_rz})}{B(e^{\beta_1z},\dots,e^{\beta_rz})}
\end{equation*}
\notag
$$
при некоторых взаимно простых многочленах $A,B\in\mathbb{C}[\theta_1,\dots,\theta_r]$. Но тогда (в силу алгебраической независимости функций $e^{\beta_1z},\dots,e^{\beta_rz}$ над $\mathbb{C}$) имеем равенства между рациональными функциями $P=H_1(A/B)$, $Q=H_2(A/B)$ при некоторых $H_1,H_2\in\mathbb{C}(\omega)$.
Пусть $P=P_1/\theta^{\overline{M}}$, где $\theta^{\overline{M}}=\theta_1^{m_1}\cdots \theta_r^{m_r}$ и все $m_i\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ и $\{P_1,\theta^{\overline{M}}\}$ – взаимно простые многочлены из $\mathbb{C}[\theta_1,\dots,\theta_r]$. Тогда (в силу связи между $\varphi(z)$ и $\varphi^{(n)}(z)$) $Q=Q_1/\theta^{\overline{M}}$ при $\{Q_1,\theta^{\overline{M}}\}$ – взаимно простых многочленах. Тогда имеем равенства
$$
\begin{equation}
\frac{P_1}{\theta^{\overline{M}}}= \frac{\prod_{j=1}^{K_1} (A/B -\xi_{1,j})^{s_{1,j}}}{\prod_{j=1}^{K_2} (A/B-\eta_{1,j})^{g_{1,j}}},\qquad \frac{Q_1}{\theta^{\overline{M}}}= \frac{\prod_{j=1}^{L_1} (A/B -\xi_{2,j})^{s_{2,j}}}{\prod_{j=1}^{L_2} (A/B-\eta_{2,j})^{g_{2,j}}}.
\end{equation}
\tag{2}
$$
В этих равенствах в каждом из множеств $\{\xi_{1,j}\}$, $\{\eta_{1,j}\}$, $\{\xi_{2,j}\}$, $\{\eta_{2,j}\}$ все числа различны; все $s_{l,j},g_{l,j}\in\mathbb{N}$ и также $\{\xi_{1,j}\}\cap \{\eta_{1,j}\}=\varnothing$, $\{\xi_{2,j}\}\cap \{\eta_{2,j}\}=\varnothing$.
Рассмотрим вначале первое соотношение из (2). Если в знаменателе его есть хотя бы одна скобка, например, $(A/B-\eta_{1,1})^{g_{1,1}}$, то (поскольку все нули знаменателя левой части определяются нулями $\theta^{\overline{M}}$) $A/B-\eta_{1,1}=\theta^{\overline{N}}/B_1$, где $\theta^{\overline{N}}=\theta_1^{N_1}\cdots \theta_r^{N_r}$ (с некоторыми $N_1,\dots,N_r\in\mathbb{N}\cup\{0\}$); $B_1$ – делитель $B$ (и $B_1$, $\theta^{\overline{N}}$ взаимно просты). Но тогда можно сделать замену параметра, взяв в качестве нового параметра $t=B_1/\theta^{\overline{N}}$, и рассматривать равенства (2) с $t=B_1/\theta^{\overline{N}}$. Если в знаменателе правой части (2) присутствует хотя бы одна скобка, например, $B_1/\theta^{\overline{N}}-\gamma$, то все нули (с учетом их кратности) многочлена $B_1-\gamma\theta^{\overline{N}}$ должны находиться среди нулей $\theta^{\overline{M}}$, т. е. $B_1-\gamma\theta^{\overline{N}}$ является делителем многочлена $\theta^{\overline{M}}$, откуда $B_1/\theta^{\overline{N}}=\gamma+\theta_1^{p_1}\cdots \theta_r^{p_r}$ при некоторых $p_1\cdots p_r\in\mathbb{Z}$. Но тогда $\varphi(z)$ является рациональной функцией от $e^{az}$ (где $a=p_1\beta_1+\dots+p_r\beta_r$) и, так как $\varphi(z)$ – целая, имеет требуемый в лемме вид. Поэтому можно считать, что в первом равенстве (2) знаменатель отсутствует, откуда сразу же получаем, что $A/B=A_1/\theta^{\overline{q}}$ (при некотором $\theta^{\overline{q}}=\theta_1^{q_1}\cdots \theta_r^{q_r}$, $q_i\in\mathbb{N}\cup\{0\}$). Если во втором равенстве (2) присутствует знаменатель, то, проведя аналогичные вышеизложенным рассуждения и для второго равенства из (2) и учтя (исходя из вида $\varphi(z)$ в условии леммы), что если $\varphi^{(n)}(z)$ является рациональной функцией от $e^{az}$ при некотором $a\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, то $\varphi(z)$ имеет требуемый в лемме вид, окончательно получим, что в правых частях равенств (2) стоят многочлены от $t=A_1(\theta_1,\dots,\theta_r)/\theta_1^{q_1}\cdots \theta_r^{q_r}$ (при взаимно простых $A_1,\theta_1^{q_1}\cdots \theta_r^{q_r}$), т. е. справедливы равенства
$$
\begin{equation}
P\equiv \frac{P_1}{\theta^{\overline{M}}}=a_dt^d+\dots+a_0, \qquad Q\equiv \frac{Q_1}{\theta^{\overline{M}}}=b_{d_1}t^{d_1}+\dots+b_0,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $a_i,b_j\in\mathbb{C}$ при всех $i$, $j$ и $a_d\ne 0$, $b_{d_1}\ne 0$. При этом с учетом соотношения между $P$ и $Q$ имеем $d=d_1$.
Пусть $t=\sum_{l=1}^{D} \lambda_l I_l$, где при каждом $l$ $I_l=\theta_1^{l_1}\cdots \theta_r^{l_r}$ (все $l_i\in\mathbb{Z}$), все мономы $\{I_l\}$ различны и все $\lambda_l\ne 0$. Если $d=1$, то из первого равенства (3) имеем $P=a_1\bigl(\sum_{l=1}^{D} \lambda_l I_l\bigr)+a_0$. Но тогда $Q=a_1\bigl(\sum_{l=1}^{D} \lambda_l\delta_l^{n} I_l\bigr)$, где при всяком $I_l=\theta_1^{l_1}\cdots \theta_r^{l_r}$, следовательно, $\delta_l=l_1\beta_1+\dots+l_r\beta_r$. С другой стороны, рассматривая второе равенство из (3), получим $Q=b_1\bigl(\sum_{l=1}^{D} \lambda_l I_l\bigr)+b_0$, откуда найдем, что все $\delta_l^{n}$ одинаковы. Таким образом, в этом случае утверждение п. b) леммы 3 справедливо. Пусть теперь $d\geqslant 2$. Пусть $\mathcal{L}\subset\mathbb{Z}^r$ – множество, состоящее из всех векторов $(l_1,\dots,l_r)$ таких, что моном $I_l=\theta_1^{l_1}\cdots \theta_r^{l_r}$ присутствует среди мономов, входящих в $t=\sum_{l=1}^{D} \lambda_l I_l$. Если в $\mathcal{L}$ содержится только один элемент, отличный от нуля, то согласно (3) утверждение леммы 3 выполняется. Пусть в $\mathcal{L}$ содержатся хотя бы два ненулевых элемента. Выберем какую-либо гиперплоскость $\pi$: $a_1x_1+\dots+a_rx_r=T$ так, что $T=\max_{\overline{x}\in\mathcal{L}}(a_1x_1+\dots+a_rx_r)$ (т. е. все точки из $\pi$ лежат по одну сторону плоскости $\pi$), и на $\pi$ лежат две точки $M_1$ и $M_2$ ($M_1\ne M_2$). Пусть прямая $l\ni M_1,M_2$. Пусть $\mathcal{L}\cap l=(m_1,\dots,m_r)+t_k(n_1,\dots,n_r)$, $k=0,\dots,L$, причем $t_0=0$, $t_1\leqslant\dots\leqslant t_L$ и все $t_i\in\mathbb{N}$. Положим $I_0=\theta_1^{m_1}\cdots \theta_r^{m_r}$, $I_1=\theta_1^{n_1}\cdots \theta_r^{n_r}$. Тогда $t=\sum_{k=0}^{L} \lambda_k I_0I_1^{t_k}+B$, где $B$ – линейная комбинация мономов $I_l=\theta_1^{l_1}\cdots \theta_r^{l_r}$ таких, что $a_1l_1+\dots+a_rl_r<T$. Тогда из (3) получим
$$
\begin{equation*}
P=a_d\biggl( \sum_{k=1}^{L} \lambda_k I_0I_1^{t_k}\biggr)^d+B_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $B_1$ – линейная комбинация мономов $I_l=\theta_1^{l_1}\cdots \theta_r^{l_r}$ таких, что $a_1l_1+\dots+a_rl_r<dT$. Тогда
$$
\begin{equation*}
P=a_dI_0^{d}(\gamma_0+\gamma_1 I_1^{t_1}+\dots+ \gamma_2 I_1^{dt_L})^d+B_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где все числа $\gamma_i\ne 0$.
Выражение $Q$ состоит из тех же мономов, что и $P$, но при этом, если в $P$ входит слагаемое $\lambda e \theta_1^{l_1}\cdots \theta_r^{l_r}$, то в $Q$ на этом месте стоит $\lambda_l \delta_l^{n} \theta_1^{l_1}\cdots\theta_r^{l_r}$, где $\delta_l=l_1\beta_1+\dots+l_r\beta_r$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
Q=a_dI_0^{d}\bigl(\gamma_0(d\delta_0)^{n}+\gamma_1(d\delta_0+t_1\delta_1)^n I_1^{t_1}+\dots+ \gamma_2(d\delta_0+dt_L \delta_L)^n I_1^{dt_L}\bigr)+C_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_1$ – линейная комбинация тех же мономов, что и $B_1$.
С другой стороны, используя второе из равенств (3), найдем, что
$$
\begin{equation*}
Q=b_dI_0^{d}(\gamma_0+\gamma_1 I_1^{t_1}+\dots+ \gamma_2 I_1^{dt_L})^d+\widetilde{B}_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая в обоих равенствах для $Q$ коэффициенты при главных членах (и учитывая, что $a_d\ne 0$, $b_d\ne 0$), получаем
$$
\begin{equation*}
(d\delta_0+t_1\delta_1)^n =(d\beta_0)^n,\qquad (d\delta_0+dt_L\delta_1)^n =(d\beta_0)^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Разделим оба равенства на $(d\beta_0)^n$ и положим $\eta=\delta_1/\delta_0$. Тогда получим
$$
\begin{equation*}
1+\frac{t_1}{d}\eta =\varepsilon_1, \qquad 1+t_L\eta =\varepsilon_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$ – корни степени $n$ из единицы. Так как $\eta\ne 0$, то отсюда имеем $(\varepsilon_1-1)=(p/q)(\varepsilon_2-1)$, где $p/q=t_1/dt_L$. Так как $0<t_1\leqslant t_L$ и $d\geqslant 2$, то $0<p/q<1$ (кроме этого, считаем, что $p$ и $q$ взаимно просты).
Отметим, что при $n\,{=}\,2$ (так как $a\,{<}\,p/q\,{<}\,1$) равенство $(\varepsilon_1-1)=(p/q)(\varepsilon_2\,{-}\,1)$ возможно лишь при $\varepsilon_1=\varepsilon_2=1$. Следовательно, $\eta=0$, что неверно. Пусть $n\geqslant 3$. Пусть $K$ – минимальное расширение поля $\mathbb{Q}$, содержащее все корни степени $n$ из единицы; $N_k(\alpha)$ обозначает норму числа $\alpha$ в поле $K$ (см., например, [10]). Так как $n\geqslant 3$, то хотя бы для одного сопряженного $\mathcal{J}(\varepsilon_2-1)=\mathcal{J}(\varepsilon_2)-1$ имеет место неравенство $|\mathcal{J}(\varepsilon_2-1)|<2$ ($\mathcal{J}$ – вложение $K$ над $Q$). При этом для любого $\varepsilon$ – корня степени $n$ из единицы – справедлива оценка $|\varepsilon-1|\leqslant 2$. Рассмотрим равенства
$$
\begin{equation*}
N_k(\varepsilon_1-1)=N_k\biggl(\frac{p}{q}(\varepsilon_2-1)\biggr)\quad \Longleftrightarrow\quad \prod_{i=1}^{h} (\mathcal{J}_i(\varepsilon_1)-1)=\biggl(\frac{p}{q}\biggr)^h \prod_{i=1}^{h}(\mathcal{J}_i\varepsilon_2-1)
\end{equation*}
\notag
$$
или ($h$, $A$, $B$ – натуральные числа). Так как $p/q$ – несократимая дробь и $0<p/q<1$, то $q\geqslant 2$. С другой стороны, в силу оценок на сопряженные $B<2^h$, что приводит к противоречию с равенством (4), т. е. и в случае $d\geqslant 2$ утверждение леммы 3 справедливо.
Таким образом, лемма 3 полностью доказана. Лемма 4 (см. [11; лемма 3]). Пусть $h(z)$ – целая функция конечного порядка $\rho$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ найдутся числа $R_0>0$ и $\delta>0$ такие, что справедливо следующее утверждение: при любых $R>R_0$ и $H>0$ в кольце $C_R=\{2R\leqslant |z|\leqslant 3R\}$ можно выбрать конечное множество (состоящее не более, чем из $N_h(4R)$ элементов) $B_R$ кругов с суммой радиусов не более $2H$ так, что при любом $z\in C_R\setminus B_R$ справедлива оценка Следствие 1. Пусть $\varphi(z)$ – целая функция конечного порядка $\rho$. Тогда при всяком $j\in\mathbb{N}$ для любого $\varepsilon>0$ найдутся числа $R_j$ и $\delta_j$ такие, что справедливо утверждение: при любых $R>R_j$ и $H>0$ в кольце $C_R=\{2R\leqslant|z|\leqslant 3R\}$ можно выбрать конечное множество (число элементов которого не превосходит $\sum_{l=0}^{j} N_{\varphi(l)}(4R)$) $B_{j,R}$ кругов с суммой радиусов не более $2jH$ так, что при всяком $z\in C_R\setminus B_{j,R}$ верна оценка Доказательство. Отметим, что при любом $l\in\mathbb{N}$ $\varphi^{(l)}(z)$ – целая функция порядка $\rho$ (см., например, [7; гл. 1]). Применим лемму 3 к каждой из $\varphi^{(l)}(z)$ при всех $l=0,1,\dots,j-1$.
Пусть $B_{j,R}$ – объединение совокупностей исключительных кругов при всех $l=0,1,\dots,j-1$; $\delta_0,\dots,\delta_{j-1}$ – соответствующие постоянные из неравенства (5). Тогда сумма радиусов всех кругов из $B_{j,R}$ не более, чем $2jH$, число кругов не более $(N_f(3R)+N_{f'}(3R)+\dots+N_{f^{(j)}}(3R))$ и при всех $z\in C_R\setminus B_{j,R}$ имеем оценку
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\varphi^{(j)}(z)}{\varphi(z)}\biggr|=\biggl|\frac{\varphi'(z)}{\varphi(z)}\biggr|\, \biggl|\frac{\varphi''(z)}{\varphi'(z)}\biggr|\cdots \biggl|\frac{\varphi^{(j)}(z)}{\varphi^{(j-1)}(z)}\biggr|\leqslant \delta_0\delta_1\cdots\delta_{j-1} \biggl( 1+R^{\rho+\varepsilon-1}+\frac{R^{\rho+\varepsilon}}{H}\biggr)^j.
\end{equation*}
\notag
$$
В завершение доказательства положим $\delta_j=\delta_0\cdots\delta_{j-1}$. Следствие 2. Пусть $r\in\mathbb{N}$, $\varphi_1(z),\dots,\varphi_r(z)$ – целые функции конечного порядка $\rho$. Тогда при всяком $s\in\mathbb{N}$ для любого $\varepsilon>0$ найдутся числа $R_{s,r}$ и $\lambda_{s,r}$ такие, что справедливо утверждение: при любых $R>R_{s,r}$ и $H>0$ в кольце $C_R=\{2R\leqslant|z|\leqslant 3R\}$ можно выбрать конечное множество (число элементов которого не превосходит $\sum_{k=1}^{r}\sum_{l=0}^{s} N_{\varphi_k^{(l)}}(4R)$) $B_{r,s,R}$ кругов с суммой радиусов не более $2rsH$ так, что при всяком $z\in C_R\setminus B_{r,s,R}$ при любых $k=1,\dots,r$ и $j=1,\dots,s$ верны оценки Замечание 3. Для доказательства следствия 2 достаточно применить следствие 1 к каждой из функций $\varphi_1(z),\dots,\varphi_r(z)$ и, объединив выброшенные в каждом случае круги, взять в качестве правой части искомого неравенства максимум из правых частей всех неравенств вида (6). Лемма 5. Пусть $N\in\mathbb{N}$, $R>0$, $H\in(0,R/2)$, $C_R=\{2R\leqslant|z|\leqslant 3R\}$, $B_R$ – объединение из $N$ замкнутых кругов с общей суммой радиусов менее $H$, причем $B_R\subset C_R$. Тогда найдется число $R_1\in[2R,3R]$ с условием: кольцо таково, что $D_R\subset C_R$ и $D_R\cap B_R=\varnothing$. Доказательство. Пусть $B_R=\bigcup_{j=1}^{N} A_j$, причем для всех $j$ многочлен $A_j=\{|z-z_j|\leqslant\rho_j\}$ и $|z_1|\leqslant\dots\leqslant |z_N|$. В силу того, что $B_R\subset C_R$, находим, что $|z_j|\pm \rho_j\subset [2R,3R]$ при всех $j=1,\dots,N$. Отметим также, что при всех $j$ $A_j\subset K_j$, где $K_j$ – кольцо: $K_j=\{z\colon |z_j|-\rho_j\leqslant |z|\leqslant |z_j|+\rho_j\}$ и поэтому $B_R\subset \bigcup_{j=1}^{N} K_j$.
При каждом $j=1,\dots,N$ обозначим через $\delta_j$ отрезок $[|z_j|-\rho_j,\, |z_j|+\rho_j]$. Пусть $\Delta=\bigcup_{j=1}^{N} \delta_j$. Тогда $\Delta\subset [2R,3R]$. Положим $E=[2R,3R]\setminus \Delta$. Тогда $E=\bigcup_{k=1}^{M} (\alpha_k,\beta_k)$, где $M\leqslant 2N+2$, $2R\leqslant\alpha_k<\beta_k\leqslant 3R$ при всех $k$ и $(\alpha_m,\beta_m)\cap(\alpha_n,\beta_n)=\varnothing$ при всех $m\ne n$. При этом для длины множества $E$ имеем оценку
$$
\begin{equation*}
l(E)\geqslant R-\sum_{j=1}^{N} l(\delta_j)\geqslant R-2\sum_{j=1}^{N} \rho_j\geqslant R-2H>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $E$ состоит не более, чем из $2N+2$ интервалов, то в $E$ найдется интервал $(\alpha_{n_0},\beta_{n_0})$ такой, что $\beta_{n_0}-\alpha_{n_0}>(R-2H)/(2N+2)$.
Положим $R_1=(\alpha_{n_0}+\beta_{n_0})/2$. Тогда кольцо $D_R=\{ R_1-(R-2H)/(4N+4)\leqslant |z|\leqslant R_1+(R-2H)/(4N+4)\}$ таково, что $D_R\subset C_R$ и $D_R\cap \bigl(\bigcup_{j=1}^{N} K_j\bigr)=\varnothing$, следовательно, $D_R\cap B_R=\varnothing$. Таким образом, лемма 5 доказана. § 3. Доказательство теоремыПо условию где $P_d=\prod_{j=1}^{d} (\omega_2-\alpha_j\omega_1)$, $\deg Q_d<d$. Далее, через $\gamma_i$, $i=1,2,\dots$, будем обозначать положительные постоянные, зависящие только от функции $f(z)$ и многочлена $P$ (и не зависящие от определенных далее чисел $R$). Пусть $\rho$ – порядок $f(z)$. Положим $K=1000(nd)^{2}$, $\rho_1=1+\rho$. Тогда $\rho_1\geqslant 1$. Обозначим через $\mathcal{L}$ множество функций
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}=\{f(z);\, f^{(n)}(z)-\alpha_1f(z);\,\dots;\, f^{(n)}(z)-\alpha_d f(z)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу того, что любая функция из множества $\mathcal{L}$ имеет порядок $\rho$, найдется $\gamma_1$ такая, что при любом $R>\gamma_1$, при любом $l=0,1,\dots,K$ и любой $\varphi(z)\in\mathcal{L}$ справедливы оценки
$$
\begin{equation}
M_{\varphi^{(l)}}(4R)\leqslant e^{R^{\rho_1}}, \qquad N_{\varphi^{(l)}}(4R)\leqslant R^{\rho_1}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Пусть $R$ – достаточно большое – фиксировано. Применим следствие 2 из леммы 4 к совокупности функций из $\mathcal{L}$. Тогда существует конечное множество кругов $G_R$ (в котором с учетом (8) не более $\gamma_3 R^{\rho_1+1/2}$ кругов) такое, что a) $G_R\subset \{2R\leqslant|z|\leqslant 3R\}$; b) сумма радиусов всех кругов из $G_R$ не более $\gamma_4 R^{1/2}$; c) при всяком $z\in\{2R\leqslant |z|\leqslant 3R\}\setminus G_R$ для любой функции $\varphi(z)\in\mathcal{L}$ при каждом $l=1,\dots,3nd$ справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\biggl| \frac{\varphi^{(l)}(z)}{\varphi(z)}\biggr| \leqslant \gamma_5 R^{5nd\rho_1}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Применяя лемму 5 с учетом оценок (8), получим, что найдутся числа $R_1\subset (2R,3R)$ и $\delta\geqslant \gamma_6R^{-\rho_1+1/2}$ такие, что для кольца $D_R=\{R_1-\delta\leqslant |z|\leqslant R_1+\delta\}$ выполняются условия a) $D_R\subset \{2R\leqslant |z|\leqslant 3R\}$; b) $D_R\cap G_R=\varnothing$. Но тогда согласно (9) при всяком $z\in D_R$ для любой функции $\varphi(z)\in\mathcal{L}$ при каждом $l=1,\dots,3nd$ справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\biggl| \frac{\varphi^{(l)}(z)}{\varphi(z)}\biggr| \leqslant \gamma_5 R^{5nd\rho_1}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Тогда из (7) при всяком $z\in D_R$ с учетом (10) получим
$$
\begin{equation*}
|f(z)|^d \prod_{j=1}^{d} \biggl| \frac{f^{(n)}(z)}{f(z)}-\alpha_j\biggr| \leqslant \gamma_7 (1+|f(z)|)^{d-1} R^{2K\rho_1(d-1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $z_0\in D_R$ и $|f(z)|>R^{2,5K\rho_1d}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\prod_{j=1}^{d} \biggl| \frac{f^{(n)}(z_0)}{f(z_0)}-\alpha_j\biggr| \leqslant \gamma_8 \frac{R^{2K\rho_1(d-1)}}{|f(z)|}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Из условий теоремы вытекает, что $\alpha_i\ne\alpha_j$ при $i\ne j$. Пусть $j_0$ таково, что
$$
\begin{equation*}
\min_{j=1,\dots,d} \biggl| \frac{f^{(n)}(z_0)}{f(z_0)}-\alpha_j\biggr|= \biggl| \frac{f^{(n)}(z_0)}{f(z_0)}-\alpha_{j_0}\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда при любом $j\ne j_0$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl| \frac{f^{(n)}(z_0)}{f(z_0)}-\alpha_j\biggr|&=\biggl| \frac{f^{(n)}(z_0)}{f(z_0)}-\alpha_{j_0}+\alpha_{j_0}-\alpha_j\biggr|\geqslant |\alpha_{j_0}-\alpha_{j}|- \biggl| \frac{f^{(n)}(z_0)}{f(z_0)}-\alpha_{j_0}\biggr| \\ &\geqslant |\alpha_{j_0}-\alpha_{j}|-\gamma_8 \biggl(\frac{R^{2K\rho_1(d-1)}}{R^{2,5K\rho_1d}}\biggr)^{1/d}\geqslant \gamma_9>0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Но тогда из (11) следует, что
$$
\begin{equation*}
\biggl| \frac{f^{(n)}(z_0)}{f(z_0)}-\alpha_{j_0}\biggr|\leqslant \gamma_5 \frac{1}{\gamma_9^{d-1}} \, \frac{R^{2K\rho_1(d-1)}}{|f(z_0)|}
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation*}
|f^{(n)}(z_0)-\alpha_{j_0}f(z_0)|\leqslant \gamma_{10} R^{2K\rho_1(d-1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если же $z_0\in D_R$ такова, что $|f(z_0)|\leqslant R^{2,5K\rho_1d}$, то, воспользовавшись (10), найдем, что
$$
\begin{equation*}
|f^{(n)}(z_0)-\alpha_{j_0}f(z_0)|\leqslant R^{2,6K\rho_1d}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получим, что для всякой точки $z\in D_R$ найдется номер $i(z)\in\{1,\dots,d\}$ такой, что
$$
\begin{equation}
|f^{(n)}(z)-\alpha_{i(z)}f(z)|\leqslant \gamma_{11} R^{3K\rho_1d}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Следовательно, согласно (10) при всех $l=1,\dots,2nd$
$$
\begin{equation}
|f^{(n+l)}(z)-\alpha_{i(z)}f^{(l)}(z)|\leqslant \gamma_{12} R^{5K\rho_1d}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Но тогда при всех $s=1,\dots,d$
$$
\begin{equation}
|f^{(ns)}(z)-\alpha_{i(z)}^s f(z)|\leqslant (1+|\alpha_{i(z)}|)^s \gamma_{12} R^{5K\rho_1d}.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Докажем это по индукции. 1) При $s=1$ неравенство (14) следует из (12). 2) Если неравенство верно при $s=t$, то при $s=t+1$ с учетом (13) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|f^{(n(t+1))}(z)\,{-}\,\alpha_{i(z)}^{t+1}f(z)|\leqslant |f^{(n(t+1))}(z)\,{-}\,\alpha_{i(z)}f^{(nt)}(z)|\,{+}\, |\alpha_{i(z)}f^{(nt)}(z)\,{-}\,\alpha_{i(z)}^{t+1}f(z)| \\ &\qquad\leqslant \gamma_{12}R^{5K\rho_1d}+|\alpha_{i(z)}|(1+|\alpha_{i(z)}|)^t \gamma_{12}R^{5K\rho_1d} \leqslant (1+|\alpha_{i(z)}|)^{t+1}\gamma_{12}R^{5K\rho_1d}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. неравенство (14) верно. Таким образом, при всяком $z\in D_R$ найдется номер $i(z)\in\{1,\dots,d\}$ такой, что при всех $s=1,\dots,d$
$$
\begin{equation}
|f^{(ns)}(z)-\alpha_{i(z)}^s f(z)|\leqslant \gamma_{13} R^{5K\rho_1d}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Пусть $Q(t)=\prod_{j=1}^{d} (t-\alpha_j)=t^d+a_{d-1}t^{d-1}+\dots+a_0$. Положим
$$
\begin{equation*}
L(f)=f^{(dn)}(z)+a_{d-1}f^{((d-1)n)}(z)+\dots+ a_1f^{(n)}(z)+a_0f(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, учитывая (14) и то, что $Q(\alpha_{i(z)})=0$ при всех $i(z)$, при любом $z\in D_R$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|L(f(z))|=|L(f(z))-Q(\alpha_{i(z)})f(z)|\leqslant |f^{(dn)}(z)-\alpha_{i(z)}^d f(z)| \\ &\qquad+|a_{d-1}|\, |f^{((d-1)n)}(z)-\alpha_{i(z)}^{d-1}f(z)|+\dots+|a_0|\, |f(z)-f(z)| \leqslant \gamma_{14} R^{5K\rho_1d}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, при всяком достаточно большом $R$ для целой функции $L(f(z))$ имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\max_{|z|=R} |L(f(z))|\leqslant \max_{z\in D_R} |L(f(z))|\leqslant \gamma_{15} R^{5K\rho_1d}.
\end{equation*}
\notag
$$
Но тогда по теореме Лиувилля (см., например, [7; гл. 1]) эта функция является многочленом, т. е. $L(f(z))=q(z)$ при некотором $q_1\in\mathbb{C}[z]$. Положим $y=f(z)$. Тогда для $y$ имеем линейное дифференциальное уравнение
$$
\begin{equation*}
y^{(dn)}+a_{d-1}y^{((d-1)n)}+\dots+a_1y^{(n)}+a_0y=q_1(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Корнями характеристического многочлена последнего дифференциального уравнения являются числа $\{\sqrt[n]{\alpha_j}\}$. Но тогда $f(z)=\sum_{j=1}^{M} B_j e^{\delta_jz}+q(z)$, где все $B_j\in\mathbb{C}$, $q(z)\in\mathbb{C}[z]$ и каждое число $\delta_j$ является корнем степени $n$ из какого-либо $\alpha_m$. Применение леммы 3 с учетом того, что степень неприводимого многочлена $P$ не менее двух, завершает доказательство теоремы. Автор выражает глубокую благодарность А. Э. Ерёменко за ряд ценных замечаний. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Yan22} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|