| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Множества единственности положительной меры для перестановок тригонометрической системы М. Г. Плотниковab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9263e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ статье исследуются проблемы единственности разложения функций в ортогональный ряд. Один из замечательных разделов данной тематики – теория множеств единственности, берущая начало с исследования Кантора о природе множеств, вне которых при сходимости тригонометрических рядов не нарушается единственность. Это исследование привело Кантора к созданию теории множеств. Так, в книге [1; с. 18], где содержатся переводы теоретико-множественных работ Г. Кантора с примечаниями Э. Цермело, Цермело пишет, что “в теории тригонометрических рядов мы видим место рождения канторовской теории множеств”. Позже были выявлены глубокие взаимоотношения между теорией множеств единственности и другими разделами математики: дескриптивной теорией множеств, функциональным анализом, абстрактным гармоническим анализом и теорией представлений групп, теорией чисел. Развитие теории множеств единственности стимулировалось большим количеством сложных проблем, остававшимися и остающимися открытыми в течение многих десятилетий (см. по этому поводу [2], [3], [4; гл. 11], [5; гл. 14]). Множество $A \subset D$ называется множеством единственности (по-другому, $U$-множеством) для некоторой ортогональной системы функций $\{f_n\}$ с общей областью определения $D$, если из сходимости к нулю на $D \setminus A$ ряда $\sum_n c_n f_n$ вытекает, что все $c_n =0$. Если ряд $\sum_n c_n f_n$, сходящийся на $D \setminus A$ к конечной интегрируемой функции, обязан быть ее рядом Фурье, то множество $A$ называют $V$-множеством (иногда, $U^*$-множеством) для системы $\{f_n\}$. Каждое $V$-множество очевидно есть $U$-множество. Верно ли обратное – открытый вопрос. Наиболее широкий известный класс $V$-множеств для тригонометрической системы найден в [6]. Если $A \subset D$ не является $U$-множеством, его называют $M$-множеством. Обозначим $\mathcal{U}$ и $\mathcal{M}$ классы таких множеств для тригонометрической системы $\{\exp(i n x)\}_{n \in \mathbb{Z}}$ с областью определения $\mathbb{T}=[-\pi, \pi)$. Среди множеств нулевой меры имеются множества как из $\mathcal{U}$, так и из $\mathcal{M}$. Обычные методы классификации множеств нулевой меры по степени их “плотности” такие, как емкости или хаусдорфовы размерности, не позволяют различать классы $\mathcal{U}$ и $\mathcal{M}$. Ответ на вопрос, $A \in \mathcal{U}$ или $A \in \mathcal{M}$, связан как с метрическими и топологическими, так и с алгебраическими свойствами множества $A$ внутри $\mathbb{T}$ как группы. Даже в простейших случаях для ответа на этот вопрос привлекается алгебраическая теория чисел. Теорема Салема–Зигмунда(–Пятецкого-Шапиро–Бари) утверждает, что если $F_\zeta$ – совершенное симметричное множество с постоянным отношением $\zeta$, то $F_\zeta \in \mathcal{U}$ тогда и только тогда, когда $\zeta^{-1}$ есть число Пизо (см. [2], [4; гл. 11], [5; гл. 14]). При этом полное описание класса $\mathcal{U}$ не может быть получено конструктивно [2]. Если $A$ измеримо и имеет положительную меру, то легко показать, что $A \in \mathcal{M}$, а значит, $A$ не есть $V$-множество. Это означает, что невозможно однозначно восстановить полный облик тригонометрического ряда, обладая информацией о его сходимости только на множестве неполной меры и тем более сколь угодно малой меры. Все же интересно знать, при каких настройках это сделать можно. К этому направлению и относится наша работа. Известных результатов здесь достаточно мало; обычно находятся только $U$-множества и только при ограничениях на классы рядов. Один из таких результатов – теорема Зигмунда о множествах относительной единственности ([4; гл. 11]): если $b_n \downarrow 0$, то для класса (Зигмунда) тригонометрических рядов $\sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n \exp(i n x)$ с $|c_{|n|} | \le b_n$ и для каждого $\delta>0$ существуют $U$-множества меры большей, чем $2 \pi-\delta$. Приведенная теорема усиливалась в разных направлениях в [7], [8]. Для каждого класса Зигмунда $\Lambda$ в [7] построен класс $U(\Lambda)$-множеств полной меры, а в [8] – класс $V(\Lambda)$-множеств положительной меры (назовем последний $\mathcal{V}(\Lambda)$). В [8] также показано, что всякая функция $f \in L(\mathbb{T})$ с рядом Фурье из $\Lambda$ однозначно восстанавливается по своим значениям на множестве вида $\mathbb{T} \setminus V$, $V \in \mathcal{V}(\Lambda)$. Последний результат – не о восстановлении ряда по функции, а о восстановлении функции по ее части! $U$-множества положительной меры также можно получать, рассматривая вместо системы функций $\{f_n\}$ целиком ее некоторую подсистему $\{f_{n_k}\}$. Такой подход близок в некотором смысле к подходу Зигмунда, так как множество рядов по системе $\{f_{n_k}\}$ является подклассом класса рядов вида $\sum c_n f_n$. В нетригонометрическом случае в качестве подходящих исполнителей роли $\{f_{n_k}\}$ часто рассматривают систему Радемахера и системы $d$-хаосов Радемахера, являющиеся естественными подсистемами системы Уолша ($=: \{f_n\}$). $U$-множества положительной меры для таких $\{f_{n_k}\}$ найдены в работах [9]–[12]; в то же время для системы Уолша целиком такие множества отсутствуют. Нам неизвестны подобного рода результаты для подсистем тригонометрической системы. В [13] был применен иной, не связанный с ограничениями на класс рядов, подход к задаче о восстановлении ряда по его сумме, взятой на множестве малой меры. В [13] впервые были указаны полные ортонормированные системы, обладающие $U$-множествами положительной меры. Ими оказались специальные перестановки систем Виленкина–Крестенсона. Основная цель настоящей работы – найти класс $\mathcal{B}$ перестановок тригонометрической системы $\{\exp(i n x)\}_{n \in \mathbb{Z}}$, для которых существуют $U$-множества положительной меры. (Далее мы отождествляем перестановки тригонометрической системы с перестановками множества $\mathbb{Z}$.) Цель достигнута в § 5 (см. теорему 10). Попутно найден класс $\mathcal{B}_{\mathcal{M}} \supset \mathcal{B}$, для которого доказано (теорема 3), что $\varnothing$ есть $V$-множество для системы $\{\exp(i B(n) x)\}_{n \in \mathbb{Z}}$, если $B \in \mathcal{B}_{\mathcal{M}}$ (о связи этой теоремы с гипотезой Стечкина–Ульянова см. § 6). Приведем ряд других результатов работы. Теорема 8 обнаружила следующий эффект. Существует счетная подгруппа $H \subset \mathbb{T}$ такая, что если под сходимостью тригонометрического ряда понимать на $\mathbb{T} \setminus H$ его обычную сходимость, а на $H$ – сходимость его $B$-перестановок, $B \in \mathcal{B}$, то при такой небольшой “перенастройке” уже появляются $U$-множества положительной меры. Теорема 6 усиливает основную теорему 10 так: если $B \in \mathcal{B}$ и ряд $BTS$ по системе $\{\exp(i B(n) x)\}_{n \in \mathbb{Z}}$ сходится на некотором специальном множестве $A$ сколь угодно малой меры к конечной функции $f \in L(\mathbb{T})$, то его коэффициенты можно вычислить, зная лишь значения $f$ на $A$ (см. формулу (5.19)). Приведем краткий обзор наиболее интересных, на наш взгляд, работ по теории единственности, вышедших в последнее время. Козма и Олевский построили [14] пример нетривиального тригонометрического ряда со стремящимися к нулю коэффициентами, который всюду сходится к нулю по подпоследовательностям частичных сумм. Тем самым была решена давно поставленная проблема Ульянова [15]. Геворкян построил [16] новые классы $U$-множеств для многомерной тригонометрической системы. Категорные свойства $U$-множеств изучались в работах Холщевниковой и Скворцова [17], [18]. Изучению вопросов единственности для систем Уолша, Франклина, а также систем характеров нульмерных групп посвящены работы [19]–[25]. Наша работа устроена следующим образом. В § 2 приведены основные определения, обозначения, а также доказан ряд вспомогательных результатов. В § 3 введено и изучено понятие $D$-монотонности перестановок множества $\mathbb{Z}$, характеризующее тот факт, что отображение $B \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ “не слишком часто” меняет направление монотонности. В § 4 проводился отбор кандидатов на роль класса $\mathcal{B}$ перестановок тригонометрической системы и соответствующих этому классу $U$-множеств положительной меры. Основные результаты работы представлены в § 5. Наконец, в § 6 содержится небольшое обсуждение ряда результатов работы и некоторых открытых проблем. § 2. Определения, обозначения и вспомогательные факты2.1. Основные определения и обозначенияСимволом $\# A$ мы обозначаем мощность конечного множества $A$. Пусть $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$ означают множества натуральных, целых, вещественных и комплексных чисел соответственно
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sinc}(x):= \begin{cases} \dfrac{\sin(x)}{x}, &\text{если }x \ne 0, \\ 1, &\text{если }x=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Символ $\mathbb{T}$ означает в работе как просто полуинтервал $[-\pi, \pi)$, так и одномерный тор, т. е. (топологическую) абелеву группу, состоящую из множества $[-\pi, \pi)$ и групповой операции $\oplus$: $x \,{\oplus}\, y := \operatorname{arg} \exp(i(x+y))$. Здесь $\operatorname{arg} z$ – аргумент комплексного числа $z \ne 0$, $\operatorname{arg} z \in [-\pi, \pi)$. Пусть заданы интервал $I =(a,b)$, где $- \pi<a<b<\pi$, и функция $G \colon \mathbb{T} \to \mathbb{C}$. Положим
$$
\begin{equation*}
\Delta^2 G(I):= G(b)-2 G\biggl(\frac{a+b}{2}\biggr)+G(a).
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что тригонометрическая система функций $\{\exp(i n x)\}_{n \in \mathbb{Z}}$ является полной и ортонормированной в $L_2(\mathbb{T})$. Будем изучать ряды
$$
\begin{equation}
TS=\sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n \exp(inx),\qquad c_n \in \mathbb{C},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
по этой системе, а также их перестановки. Если задана биекция $B \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, то под $B$-перестановкой ряда $TS$ мы подразумеваем ряд Правило $TS \mapsto BTS$ устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами рядов по системам $\{\exp(i n x)\}_{n \in \mathbb{Z}}$ и $\{\exp(i B(n) x)\}_{n \in \mathbb{Z}}$. Если $N \in \mathbb{N}$, то сумма $S_N=\sum_{n=-N}^N$ соответствующих членов ряда (2.1) или (2.2) называется его $N$-й частичной суммой. Сходимость ряда к значению $A \in \mathbb{C}$ в точке $x \in \mathbb{T}$ означает, что $\lim_{N \to \infty} S_N(x)=A$. Скажем, что биекция $B \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ нечетна, если $B(- n)=- B(n)$ для каждого $n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$, в частности, $B(0)=0$. В случае нечетной биекции $B$ каждый ряд (2.2) можно записать с помощью синусов и косинусов следующим образом:
$$
\begin{equation}
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_{B(n)} \cos(B(n) x)+b_{B(n)} \sin(B(n) x)\bigr).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Коэффициенты ряда (2.3), вообще говоря, комплексные и находятся так:
$$
\begin{equation}
a_{B(n)}=c_{B(n)}+c_{B(- n)},\qquad b_{B(n)}=i(c_{B(n)}-c_{B(- n)}), \qquad a_0=2 c_0.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Нетрудно убедиться в том, что формула (2.4) задает линейный изоморфизм между множествами рядов (2.2) и (2.3). Кроме того, в этом случае
$$
\begin{equation}
\sum_{n=-N}^N c_{B(n)} \exp(i B(n) x)\equiv \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^N \bigl( a_{B(n)} \cos(B(n) x)+b_{B(n)} \sin(B(n) x)\bigr)
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
для всех $N \in \mathbb{N}$. Из (2.5) видно, что если биекция $B$ нечетна, то сходимость ряда (2.2) равносильна сходимости соответствующего ему ряда (2.3) к той же сумме. Так как все основные результаты работы формулируются для $B$-перестановок тригонометрических рядов в экспоненциальной форме и нечетных биекций $B$, то их несложно перенести на случай косинус-синус формы. 2.2. Тригонометрические ряды и функции РиманаЗдесь мы рассматриваем тригонометрические ряды (2.1) со стремящимися к нулю коэффициентами. Каждый такой ряд порождает свою функцию Римана
$$
\begin{equation}
F(x):= \frac{c_0 x^2}{2}-\sum_{n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}}\frac{c_n}{n^2} \exp(inx),
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
которая получается в результате его двукратного формального интегрирования. Ряд в правой части (2.6) сходится абсолютно и равномерно по $x$, а функция $F$ непрерывна на $\mathbb{T}$. Известно, что
$$
\begin{equation}
\frac{F(x+2h)-2 F(x)+F(x-2h)}{4 h^2}=\sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n \exp(inx) \operatorname{sinc}^2(nh)
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
(см., например, доказательство теоремы 1.1 в [26]). Вторая симметрическая производная (вторая производная Шварца) функции $G$ в точке $x \in(-\pi, \pi)$ определяется формулой
$$
\begin{equation}
D^2_{\mathrm{symm}} G(x)= \lim_{h \to 0}\frac{G(x+h)-2G(x)+G(x-h)}{h^2}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Если обычная вторая производная $D^2 G(x)$ существует, то существует и производная $D^2_{\mathrm{symm}} G(x)$: $D^2_{\mathrm{symm}} G(x)=D^2 G(x)$. В следующей теореме Валле-Пуссена говориться о возможности восстановить функцию $G(x)$ по $D^2_{\mathrm{symm}} G(x)$ (доказательство см., например, в [4; гл. 11, 11.31, лемма (iv)]. Теорема A1. Пусть функция $f$ конечна и суммируема на $(a,b)$, а функция $F$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, и $D^2_{\mathrm{symm}} F(x)=f(x)$ при всех $x \in(a,b)$. Тогда найдутся постоянные $A$ и $B$ такие, что Ряд (2.1) называется $R$-суммируемым к значению $A$ в точке $x_0$, если
$$
\begin{equation}
\lim_{h \to 0}\biggl( \sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n \exp(i n x_0) \operatorname{sinc}^2(n h) \biggr)=A.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Соотношение (2.9) эквивалентно тому, что
$$
\begin{equation}
\lim_{h \to 0} \biggl( \sum_{n\in\mathbb{Z}} c_{B(n)} \exp(iB(n)x_0) \operatorname{sinc}^2(B(n)h) \biggr) =A,
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
где $B \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ есть произвольная биекция. В самом деле, каждый из рядов в (2.9) и (2.10) получается перестановкой членов другого. Первый из них сходится абсолютно для всех $h \ne 0$, так как его общий член есть $o(n^{-2})$. Значит, второй тоже, и суммы обоих рядов совпадают. Далее, объединяя (2.7) и (2.8), получим, что (2.9) эквивалентно равенству $D^2_{\mathrm{symm}} F(x_0)=A$. Таким образом, справедливо следующее утверждение. Предложение 1. Предположим, что заданы $x_0 \in \mathbb{T}$, $A \in \mathbb{C}$, ряд (2.1) со стремящимися к нулю коэффициентами и нечетная биекция $B \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$. Тогда соотношения (2.9), (2.10) и $D^2_{\mathrm{symm}} F(x_0)=A$ являются эквивалентными. 2.3. Вспомогательные утвержденияДля заданного $M=2N+1$ рассмотрим $M \times M$-матрицу
$$
\begin{equation}
A=(a_{jm})_{-N \le j,m \le N}, \qquad a_{jm} := \exp \biggl(\frac{2 \pi i j m}{M}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Данная матрица есть известная матрица дискретного преобразования Фурье, иначе IDFT-матрица, умноженная на $M$. Она обратима и черта означает комплексное сопряжение (по этому поводу см., например, [27], [28]). Далее, для любого целого $Q$ верно равенство
$$
\begin{equation}
\sum_{j=- N}^{N}\exp\biggl(\frac{2 \pi i Q j}{M}\biggr)=\begin{cases} M &\text{при }Q=0 \ (\operatorname{mod} M), \\ 0 & \text{в противном случае}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Равенство (2.13) фактически представляет собой сумму Вейля (см., например, [29; лемма 7]), и ее значение находится при $Q \ne 0 \ (\operatorname{mod} M)$ как сумма геометрической прогрессии. Следующая теорема играет одну из ключевых ролей в работе. Она является модификацией части теоремы 1 в [8]. Приведем доказательство для полноты картины. Теорема 1. Пусть заданы числа $N\,{\in}\, \mathbb{N} \cup \{0\}$, $M := 2N +1$, $0\,{<}\,h\,{<}\,\pi/(2M)$, а также интервалы Доказательство. Применим формулу (2.7) к каждому из интервалов $I_j$ и получим систему из $M$ уравнений:
$$
\begin{equation}
\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_n \exp\biggl( \frac{2 \pi in j}{M}\biggr) \operatorname{sinc}^2(nh)= \frac{\Delta^2 F(I_j)}{4h^2}, \qquad j=- N, \dots, N.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Перепишем (2.16) как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{n=-N}^{N} \exp\biggl( \frac{2 \pi i n j}{M}\biggr) c_n \operatorname{sinc}^2(nh) \nonumber \\ &\ =-\sum_{|n|>N}\exp\biggl( \frac{2 \pi i n j}{M}\biggr) c_n \operatorname{sinc}^2(nh) +\frac{\Delta^2 F(I_j)}{4h^2}, \qquad j=-N, \dots, N. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Рассмотрим $M \times M$ матрицу $A$ из (2.11), а также $M \times 1$ матрицы-столбцы $B=\{b_j\}$, $B'=\{b_j'\}$ и $X=\{x_m\}$, положив
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, b_j &:= -\sum_{|n|>N} \exp\biggl( \frac{2 \pi i n j}{M}\biggr) c_n \operatorname{sinc}^2(nh), \qquad b_j'=\frac{\Delta^2 F(I_j)}{4h^2}, \\ x_m &:= c_m \operatorname{sinc}^2(mh), \qquad j,m=-N, \dots, N. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Система в (2.17) может быть записана как $AX=(B+B')$. Применим (2.12) к матрице $A$ и придем к равенству $X=Y+Y'$, где
$$
\begin{equation*}
Y=\{y_m\}_{m=-N}^N,\quad Y'=\{y_m'\}_{m=-N}^N, \qquad Y := \frac{1}{M} \, \overline{A} B, \qquad Y' := \frac{1}{M} \, \overline{A} B'.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя последние формулы, найдем $y_m$, $y_m^\prime$, а затем $x_m$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, y_m &= \frac{1}{M} \sum_{j=-N}^{N} \overline{a_{mj}} \, b_j= -\frac{1}{M} \sum_{j=-N}^{N} \sum_{|n|>N}\exp\biggl( \frac{2 \pi i(n-m) j}{M}\biggr) c_n \operatorname{sinc}^2(nh) \nonumber \\ &=- \frac{1}{M}\sum_{|n|>N} c_n \operatorname{sinc}^2(nh) \sum_{j=-N}^{N} \exp\biggl( \frac{2 \pi i(n-m) j}{M}\biggr) \nonumber \\ &\!\!\!\!\stackrel{(2.13)}{=} -\sum\nolimits^{\prime} c_n \operatorname{sinc}^2(nh), \nonumber \\ y'_m &= \frac{1}{M} \sum_{j=-N}^{N} \overline{a_{mj}} \, b'_j= \frac{1}{M} \sum_{j=-N}^{N} \exp \biggl( \frac{2 \pi i m j}{M}\biggr) \frac{\Delta^2 F(I_j)}{4h^2}, \nonumber \\ x_m &=- \sum\nolimits^{\prime} c_n \operatorname{sinc}^2(nh) +\frac{1}{M} \sum_{j=-N}^{N} \exp\biggl( \frac{2 \pi i m j}{M}\biggr) \frac{\Delta^2 F(I_j)}{4h^2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Так как $x_m=c_m \operatorname{sinc}^2(mh)$, то, деля обе части (2.18) на $\operatorname{sinc}^2(mh)$, мы приходим к (2.14). Теорема доказана. Следующее неравенство хорошо известно (см., например, доказательство теоремы 1.1 в [26]):
$$
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty \biggl| \frac{d}{dx} \bigl(\operatorname{sinc}^2(x) \bigr) \biggr| \, dx =: I< \infty.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Идущее ниже предложение 2 является аналогом для переставленных тригонометрических рядов теоремы Кантора–Лебега. Отметим, что перестановка $B$ множества $\mathbb{Z}$ в нем не предполагается нечетной. При доказательстве мы следуем, в значительной степени, плану из доказательства леммы 2.4 в [16]. Предложение 2. Пусть $\{c_n\}_{n \in \mathbb{Z}}$ – двусторонняя последовательность комплексных чисел, $E \subset \mathbb{T}$ – множество положительной меры, а $B \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ – перестановка множества $\mathbb{Z}$, удовлетворяющая условию Доказательство. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, C_n(x) = \biggl[ \exp \biggl(\frac{i B(n) x+i B(-n) x}{2} \biggr) \biggr] A_n(x), \\ A_n(x) := c_{B(n)} \exp \biggl(\frac{i Q(n) x}{2} \biggr)+c_{B(-n)} \exp \biggl(-\frac{i Q(n) x}{2} \biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $x{\kern1pt}{\in}{\kern1pt}E$ из равенства $\lim_{n \to \infty} C_n(x){\kern1pt}{=}\,0$ следует, что $\lim_{n \to \infty} A_n(x){\kern1pt}{=}\,0$. По теореме Егорова $A_n(x)$ равномерно сходится к нулю на некотором множестве $E_0 \subset E$ положительной меры. Примем во внимание тот факт, что коэффициенты Фурье характеристической функции множества $E_0$ стремятся к нулю. Отсюда и из (2.20) получаем, что
Из сказанного вытекает, что если $\varepsilon>0$, а $n$ достаточно велико, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon^2 |E_0| &\ge \int_{E_0} |A_n(x)|^2\, dx = \int_{E_0} \bigl( |c_{B(n)}|^2+|c_{B(-n)}|^2+c_{B(n)} \overline{c_{B(-n)}} \exp(i Q(n) x) \\ &\qquad +\overline{c_{B(n)}} c_{B(-n)} \exp(- i Q(n) x) \bigr)\, dx \\ &\ge |E_0| (|c_{B(n)}|^2+|c_{B(-n)}|^2)-|c_{B(n)}| |c_{B(-n)}| (|{\operatorname{Int}_n^{+}}| +|{\operatorname{Int}_n^{-}}|) \\ &\ge |E_0| (|c_{B(n)}|^2+|c_{B(-n)}|^2)-\frac{1}{2}(|c_{B(n)}|^2+|c_{B(-n)}|^2) (|{\operatorname{Int}_n^{+}}| + |{\operatorname{Int}_n^{-}}|) \\ &\ge \frac{|E_0|}{2} (|c_{B(n)}|^2+|c_{B(-n)}|^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получается равенство $\lim_{n \to \pm \infty} c_{B(n)}=0$, равносильное (2.21).
Остается заметить, что $C_n(x)$ есть разность двух частичных сумм ряда (2.2) с соседними номерами. Поэтому, если такой ряд сходится к конечной сумме в каждой точке множества $E$, то $\lim_{n \to \infty} C_n(x)=0$ для всех $x \in E$. Значит, его коэффициенты стремятся к нулю, согласно доказанной формуле (2.21). Этим завершается доказательство. § 3. $D$-монотонность взаимно однозначных отображений из $\mathbb{Z}$ в $\mathbb{Z}$Здесь полагаем заданным некоторое нечетное взаимно однозначное отображение $B \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ и считаем $B=B(n)$ продолженным до отображения $B(x) \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ так, что $B(x)$ есть линейная функция на каждом отрезке $[n, n+1]$, $n \in \mathbb{Z}$. Определение 1. Имея $D \in \mathbb{N}$, будем говорить, что отображение $B(n)$ является $D$-монотонным, если при каждом нецелом $y \in \mathbb{R}$ уравнение $B(x)=y$ имеет не более $D$ решений. Можно показать, что если в определении 1 рассматривать все $y \in \mathbb{R}$, включая целые, получится равносильное определение. Нам это не понадобится. Ясно, что если функция $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ непрерывна и для всех вещественных $y$ уравнение $B(x)=y$ имеет не более одного решения, то $f$ строго монотонна. С этой позиции $D$-монотонность отображения $B$ в определенном смысле означает, что $B$ “не слишком часто” меняет направление монотонности (“частота” зависит от $D$). Попутно отметим, что $1$-монотонных отображений всего два: тождественное отображение $\mathrm{Id} \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ и $-\mathrm{Id}$. Для каждого $n \in \mathbb{Z}$ символом $I_n$ обозначим открытый интервал с концами $B(n)$ и $B(n+1)$:
$$
\begin{equation}
I_n = \bigl( \min \{B(n), B(n+1)\}, \, \max \{B(n), B(n+1)\} \bigr).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Исходя из определения 1, $D$-монотонность отображения $B$ равносильна тому, что каждое нецелое $y \in \mathbb{R}$ есть элемент не более $D$ интервалов вида $I_n$. Будем обозначать $\mathcal{B}_D$ класс, состоящий из всех $D$-монотонных биекций, и $\mathcal{B}_{\mathcal{M}} := \bigcup_{D \in \mathbb{N}} \mathcal{B}_D$. Лемма 1. Если $B \in \mathcal{B}_D$, а функция $f$ абсолютно интегрируема на $\mathbb{R}$, то для всех $h >0$ верно неравенство Доказательство. Положим $J_m := (m, m+1)$, $m \in \mathbb{Z}$. Из определения 1 вытекает, что для каждого $m$ любая точка $x \in J_m$ принадлежит не более чем $D$ интервалам вида $I_n$. Концы интервала $I_n$ – целые числа, а концы интервала $J_m$ – соседние целые числа. Поэтому либо $I_n \cap J_m=\varnothing$, либо $I_n \supset J_m$. Значит, каждое $J_m$ есть подмножество не более чем $D$ интервалов вида $I_n$. Следовательно, для всех $m \in \mathbb{Z}$ и $h >0$ множество $h J_m$ лежит не более чем в $D$ интервалах вида $h I_n$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{n \in \mathbb{Z}} \int_{h I_n} |f(x)| \, dx &= \sum_{n \in \mathbb{Z}} \sum_{J_m \subset I_n} \int_{h J_m} |f(x)| \, dx \\ &\le D \sum_{m \in \mathbb{Z}} \int_{h J_m} |f(x)| \, dx = D \int_{\mathbb{R}} |f(x)|\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Теорема 2. Пусть $B \in \mathcal{B}_{\mathcal{M}}$. Если ряд (2.2) со стремящимися к нулю коэффициентами сходится к конечной сумме $A$ в точке $x_0$, то имеет место соотношение (2.10). Доказательство. Так как $B \in \mathcal{B}_{\mathcal{M}}$, то $B \in \mathcal{B}_D$ для некоторого натурального $D$. Дальнейшее доказательство в основном повторяет рассуждения в классической ситуации, когда $B=\mathrm{Id}$ (см., например, [5; гл. 1, § 68]). Для $n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ и $h>0$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, C_n := [ c_{B(n)} \exp(i B(n) x_0)+ c_{-B(n)} \exp(- i B(n) x_0)] \cdot \begin{cases} 1 &\text{при }n \in \mathbb{N}, \\ \dfrac12 &\text{при }n=0, \end{cases} \\ r_n := \sum_{k=n+1}^\infty C_k, \qquad C_n(h)=C_n \operatorname{sinc}^2(B(n) h). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом нечетности биекции $B$ видно, что выражение в скобках в формуле (2.10) есть $\sum_{n=0}^\infty C_n(h)$. Имеем
Возьмем произвольное $\varepsilon >0$. Во-первых, ряд (2.2) сходится к конечной сумме $A$ в точке $x_0$. Поэтому найдется $N$ такое, что $|r_n|<\varepsilon$ для всех $n \ge N$ и, кроме того, второе слагаемое в правой части (3.3) меньше $\varepsilon$. Во-вторых, при каждом фиксированном $n$ имеем $\operatorname{sinc}^2(B(n) h) \to 1$ при $h \to 0$. Следовательно, если $h$ достаточно мало, то первое слагаемое в правой части (3.3) также меньше $\varepsilon$. В-третьих, из $B \in \mathcal{B}_{\mathcal{M}}$ вытекает, что $B \in \mathcal{B}_D$ для некоторого $D \in \mathbb{N}$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl| \sum_{n=N+1}^\infty C_n(h)\biggr| = \biggl| \sum_{n=N+1}^\infty (r_n-r_{n -1}) \operatorname{sinc}^2(B(n) h)\biggr| \nonumber \\ &\ =\biggl| -r_N \operatorname{sinc}^2(B(N+1) h) + \sum_{n=N+1}^\infty r_n [\operatorname{sinc}^2(B(n) h)-\operatorname{sinc}^2(B(n+1) h)] \biggr| \nonumber \\ &\ =\biggl| -r_N \operatorname{sinc}^2(B(N+1) h) -\sum_{n=N+1}^\infty r_n \int_{B(n) h}^{B(n+1) h} \frac{d}{dx} (\operatorname{sinc}^2 x) \, dx \biggr| \nonumber \\ &\le \varepsilon + \varepsilon \sum_{n=N+1}^\infty \biggl| \int_{B(n) h}^{B(n+1) h} \biggl| \frac{d}{dx} (\operatorname{sinc}^2 x) \biggr| \, dx \biggr| \nonumber \\ &\le \varepsilon + \varepsilon \sum_{n \in \mathbb{Z}} \biggl| \int_{B(n) h}^{B(n+1) h} \biggl| \frac{d}{dx} (\operatorname{sinc}^2 x) \biggr| \, dx \biggr| \stackrel{(3.2)}{\le} \varepsilon+\varepsilon D I, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где $I$ определено в формуле (2.19). Так как может оказаться, что $B(n)h>B(n+ 1) h$, мы писали знак модуля дважды в заключительной части цепочки (3.4).
Итак, для достаточно малых $h$ левая часть (3.3) не превосходит $3 \varepsilon+\varepsilon D I$. Этим устанавливается формула (2.10). Теорема доказана. Теорема 3. Если $B \in \mathcal{B}_{\mathcal{M}}$ и $B$-перестановка тригонометрического ряда $TS$ сходится всюду к конечной суммируемой функции $f$, то $TS$ есть ряд Фурье $f$. Иначе говоря, пустое множество есть $V$-множество для системы $\{\exp(i B(n) x)\}_{n \in \mathbb{Z}}$ при всех $B \in \mathcal{B}_{\mathcal{M}}$. Доказательство. По условию $B$-перестановка ряда $TS$ сходится всюду к конечной суммируемой функции $f$. Воспользуемся предложением 2 и получим, что коэффициенты ряда $TS$ стремятся к нулю.
Теперь применим теорему 2. Получим, что в каждой точке $x_0 \in(-\pi, \pi)$ имеет место соотношение (2.10) с $A=f(x_0)$. Отсюда и из предложения 1 вытекает, что $D^2_{\mathrm{symm}} F(x)=f(x)$ для всех $x \in(-\pi, \pi)$, $F$ – функция Римана ряда $TS$. Отметим, что $F$ непрерывна на $[-\pi, \pi]$, и воспользуемся теоремой A1. Получим тождество
$$
\begin{equation*}
F(x) \equiv \int_{-\pi}^x dt \int_{-\pi}^t f(u) \, du + Ax+B,\qquad A, B\text{ - const}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последней формулы стандартными рассуждениями (см., например, [4; гл. 11, 11.3]) получаем, что $TS$ есть ряд Фурье функции $f$. Теорема доказана. § 4. Конструкции специальных подмножеств $\mathbb{T}$ и перестановок тригонометрической системы4.1. Множества типа Райхмана–ЗигмундаВ п. 4.1 будут строиться множества, обладающие определенной симметрией внутри группы $\mathbb{T}$. Общая конструкция таких множеств хорошо известна из работ Райхмана и Зигмунда (см., например, [5; гл. 14, § 7, § 26]). Возьмем какую-нибудь возрастающую последовательность нечетных чисел $\mathbf{M}=\{M(s)\}_{s=1}^\infty$ и какую-нибудь стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел $\mathbf{h}=\{h(s)\}_{s=1}^\infty$ такие, что
$$
\begin{equation}
\text{числа }\frac{M(s+1)}{M(s)}\text{ являются целыми (нечетными) для всех }s =0, 1, \dots,
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
$$
\begin{equation}
\sup_{s \in \mathbb{N}} \frac{1}{h^2(s) M(s)(N(s+1)-M(s))} =: E<\infty.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Здесь $\{N(s)\}$ – целые числа, связанные с $M(s)$ формулой Условия (4.1)–(4.4) выполнены, если, например, число $p \ge 5$ нечетно, а Действительно, выполнение условий (4.1)–(4.3) легко проверяется. Убедимся, что имеет место соотношение (4.4):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{h^2(s) M(s)(N(s+1)-M(s))} = \frac{p^{2 s^2+2 s}}{p^{s^2}((p^{(s+1)^2}-1)/2-p^{s^2})} \\ &\qquad\le \frac{p^{2 s^2+2 s}}{p^{s^2}(p^{(s+1)^2}/3-p^{s^2})} = \frac{3 p^{2 s}}{p^{2 s+1}-3} = \frac{3}{p-3/p^{2 s}} \le \frac{3}{4}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как $p \ge 5$ и $s \ge 1$. Итак, соотношение (4.4) справедливо с константой $E=3/4$. Далее, множества и их элементы здесь мы рассматриваем как подмножества и элементы группы $\mathbb{T}$, а не $\mathbb{R}$. Ко всякой паре $(\mathbf{M}, \mathbf{h})$, удовлетворяющей условиям (4.1)–(4.4), привяжем счетное множество $H=H(\mathbf{M}, \mathbf{h}) \subset \mathbb{T}$, а также открытые множества $G^q=G^q(\mathbf{M}, \mathbf{h}) \subset \mathbb{T}$, где $q \in \mathbb{N}$. Для этого для каждого $s$ рассмотрим $M(s)$-периодическое множество $\{x_{s,j}\}_{j \in \mathbb{Z}} \subset \mathbb{T}$, являющееся центрированной равномерной сеткой с $M(s)$ узлами:
$$
\begin{equation}
x_{s,j} := \frac{2 \pi j}{M(s)},\qquad j \in \mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Затем для каждого узла построим интервал $I_{s,j}$ длины $2 h(s)$ с центром в данном узле:
$$
\begin{equation}
I_{s,j} :=(x_{s,j}-h(s), \, x_{s,j}+h(s)),\qquad j \in \mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Наконец, положим
$$
\begin{equation}
H:= \bigcup_{s=1}^\infty \bigcup_{j \in \mathbb{Z}}\{x_{s,j}\}, \qquad G^q := \bigcup_{s=q}^\infty \bigcup_{j \in \mathbb{Z}} I_{s,j}, \quad q \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation}
I_{s,j}=x_{s,j} \oplus I_{s,0},\qquad s \in \mathbb{N}, \quad j \in \mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
При фиксированном $s$ последовательность $\{x_{s,j}\}_{j \in \mathbb{Z}}$ является $M(s)$-периодичной. Поэтому из (4.9) следует $M(s)$-периодичность последовательности интервалов $\{I_{s,j}\}_{j \in \mathbb{Z}}$. В связи с этим мы можем писать $j \in \{-N(s), \dots, N(s)\}$ вместо $j \in \mathbb{Z}$ в формулах (4.6)–(4.8). Лемма 2. Справедливы следующие утверждения. (A) При $t \le s$ число $M(s) / M(t)$ является целым и для всех целых $j$ и $k$.(B) Если $t \le s$, то для всех целых $j$ и $k$ справедливо равенство (C) $H$ является подгруппой группы $\mathbb{T}$. Доказательство. (A) Из (4.3) вытекает целочисленность $M(s) / M(t)$ при $t \le s$. Далее, что доказывает утверждение (A).
(B) Имеем
$$
\begin{equation*}
x_{t, k} \oplus I_{s, j} \stackrel{(4.9)}{=} x_{t, k} \oplus x_{s, j} \oplus I_{s, 0} \stackrel{(4.10)}{=} x_{s, j+k M(s)/M(t)} \oplus I_{s, 0} \stackrel{(4.9)}{=} I_{s, j+k M(s)/M(t)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение (B) доказано.
(C) Из формулы (4.8) видно, что $0 \in H$, и что $-h \in H$, если $h \in H$. Пусть теперь $t \le s$, $a=x_{t,k} \in H$, $b=x_{s,j} \in H$. Согласно (4.6) $a \oplus b=x_{s, j+k M(s)/M(t)}$, откуда $a \oplus b \in H$. Мы доказали утверждение (C) и лемму целиком. Лемма 3. Для любого $\delta>0$ существует $q \in \mathbb{N}$ такое, что $|\mathbb{T} \setminus G^q| >2 \pi-\delta$. Доказательство. Оценим меру множества $G^q$:
$$
\begin{equation*}
|G^q| < \sum_{s=q}^\infty \sum_{j=-N(s)}^{N(s)} 2 h(s) = 2 \sum_{s=q}^\infty M(s) h(s).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условия (4.2) имеем $\sum_{s=q}^\infty M(s) h(s)<\delta / 2$ при достаточно больших $q$. При тех же $q$ справедливо неравенство $|G^q|<\delta$, откуда $|\mathbb{T} \setminus G^q| >2 \pi-\delta$. Этим завершается доказательство. 4.2. Перестановки тригонометрической системыКаждой паре последовательностей $(\mathbf{M}, \mathbf{h})$, удовлетворяющей условиям (4.1)–(4.4), поставим в соответствие нечетную перестановку $\widehat{B}=\widehat{B}(\mathbf{M}, \mathbf{h})$ множества $\mathbb{Z}$. Для этого сначала разобъем множество $\mathbb{N} \cup \{0\}$ на последовательно расположенные попарно непересекающиеся множества $\{0, \dots, N(0)\}$ и $\operatorname{Block}(s)$ ($s \in \mathbb{N}$):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbb{N} \cup \{0\} = \{0, \dots, N(0)\} \sqcup \biggl( \bigsqcup_{s=1}^\infty \operatorname{Block}(s)\biggr), \\ \operatorname{Block}(s) := \{n \in \mathbb{N} \colon N(s)+1 \le n \le N(s+1)\}. \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Затем, с каждым множеством (блоком) $\operatorname{Block}(s)$ ассоциируем целое неотрицательное $m_s$ таким образом, что $m_s \le N(s)$ и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\text{каждое }m \in \mathbb{N} \cup \{0\}\text{ встречается в последовательности }\{m_s\} \\ &\text{бесконечное число раз}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Теперь рассмотрим множества
$$
\begin{equation}
\operatorname{Progr}(s) := \{ n \in \operatorname{Block}(s) \colon n=\pm m_s \ (\operatorname{mod} M(s))\},
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{Segm}(s) := \{n \in \mathbb{N} \colon N(s)+1 \le n \le N(s)+\# \operatorname{Progr}(s)\}.
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Каждое множество $\operatorname{Segm}(s)$ является сегментом в $\mathbb{N}$, т. е. оно конечно и состоит из последовательных натуральных чисел. Множества же $\operatorname{Progr}(s)$ являются одной (когда $m_s=0$) или объединением двух (когда $m_s \ne 0$) конечных арифметических прогрессий с одинаковой разностью $M(s)$. Из (4.15) видно, что
$$
\begin{equation*}
\# \operatorname{Segm}(s)=\# \operatorname{Progr}(s).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation}
\operatorname{Progr}(s) \subset \operatorname{Block}(s), \qquad \operatorname{Segm}(s) \subset \operatorname{Block}(s).
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Первое включение в (4.16) сразу вытекает из формулы (4.14). Чтобы установить второе, заметим следующее. Оба множества $\operatorname{Segm}(s)$ и $\operatorname{Block}(s)$ являются сегментами в $\mathbb{N}$ с одинаковыми левыми концами. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\# \operatorname{Segm}(s)=\# \operatorname{Progr}(s) \le \# \operatorname{Block}(s)
\end{equation*}
\notag
$$
(последнее неравенство имеет место, так как $\operatorname{Progr}(s) \subset \operatorname{Block}(s)$). Значит, $\operatorname{Segm}(s) \subset \operatorname{Block}(s)$. Из предыдущих построений можно увидеть, что существует (единственная!) биекция $\widehat{B} \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ такая, что:
$$
\begin{equation}
\widehat{B} (\operatorname{Segm}(s)) = \operatorname{Progr}(s),
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{B}(n_1) < \widehat{B}(n_2), \quad \text{если }n_1<n_2\text{ и }n_1,n_2 \in \operatorname{Segm}(s),
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{B} (\operatorname{Block}(s) \setminus \operatorname{Segm}(s)) = \operatorname{Block}(s) \setminus \operatorname{Progr}(s),
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{B}(n_1) < \widehat{B}(n_2), \quad \text{если }n_1<n_2\text{ и }n_1,n_2 \in \operatorname{Block}(s) \setminus \operatorname{Segm}(s), \quad s \in \mathbb{N};
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{B}(-n)=- \widehat{B}(n), \qquad n \in \mathbb{N} \cup \{0\}.
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
В следующей лемме выделены два свойства биекции $\widehat{B}$, сразу вытекающие из (4.17)–(4.21). Лемма 4. 1) Отображение $\widehat{B}$ сохраняет множество $\{0, \dots, N(0)\}$, являясь тождественным при сужении на это множество. 2) $\widehat{B}$ сохраняет все блоки $\operatorname{Block}(s)$, а на каждом блоке $\operatorname{Block}(s)$ биекция ведет себя так: сначала последовательность $\widehat{B}(n)$ возрастает на множестве $\operatorname{Segm}(s);$ затем убывает, когда $n$ есть последняя точка множества $\operatorname{Segm}(s)$, а $n+1$ – первая точка множества $\operatorname{Block}(s) \setminus \operatorname{Segm}(s);$ наконец, снова возрастает на множестве $\operatorname{Block}(s) \setminus \operatorname{Segm}(s)$. Лемма 5. $\widehat{B} \in \mathcal{B}_3$ и, как следствие, $\widehat{B} \in \mathcal{B}_{\mathcal{M}}$. Доказательство. Рассмотрим произвольное нецелое $x$ и интервалы $I_n$ в (3.1) при $B := \widehat{B}$. Необходимо доказать, что отношение $x \in I_n$ выполнено не более чем для трех $I_n$. С учетом (4.22), достаточно ограничиться рассмотрением случая $x>0$ и $n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$.
Пусть, сначала, $0< x<N(0)$. Лемма 4, 1) влечет тот факт, что отношение $x \in I_n$ может выполняться лишь для одного $I_n$, а именно, для $I_n=(\widehat{B}(0), \widehat{B}(1))$. Пусть теперь $x \in \operatorname{Block}(s)$ для некоторого $s$, т. е. $N(s)+1<x<N(s+1)$ (держим в уме, что $x$ – нецелое число). Тогда из леммы 4, 2) вытекает, что отношение $x \in I_n$ может выполняться не более чем однажды в каждой из следующих ситуаций:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{2} I_n &=\bigl(\widehat{B}(n), \widehat{B}(n+1) \bigr), &\qquad n &\in \operatorname{Segm}(s), \\ I_n &=\bigl(\widehat{B}(n), \widehat{B}(n+1) \bigr), &\qquad n &\in \operatorname{Block}(s) \setminus \operatorname{Segm}(s); \end{alignedat} \\ \begin{aligned} \, I_n=\bigl(\widehat{B}(n+1), \widehat{B}(n) \bigr), \quad &\text{где }n\text{ - последний элемент } \operatorname{Segm}(s), \\ &n+1\text{ - первый элемент }\operatorname{Block}(s) \setminus \operatorname{Segm}(s). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из сказанного вытекает утверждение леммы. § 5. Основные результатыВ теоремах 4–9 будем считать, что выбраны и зафиксированы произвольные последовательности $\mathbf{M}=\{M(s)\}$, $\mathbf{h}=\{h(s)\}$ и $\{N(s)\}$, удовлетворяющие условиям (4.1)–(4.5). Будем рассматривать счетное множество $H=H(\mathbf{M}, \mathbf{h})$ и открытые множества $G^q=G^q(\mathbf{M}, \mathbf{h})$, $q \in \mathbb{N}$, построенные в формуле (4.8), а также биекцию $\widehat{B}=\widehat{B}(\mathbf{M}, \mathbf{h})$, введенную в п. 4.2. Напомним, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x_{s,j}=\frac{2 \pi j}{M(s)}, \qquad I_{s,j}=(x_{s,j}-h(s), \, x_{s,j}+h(s)), \\ s \in \mathbb{N},\qquad j=- N(s), \dots, N(s). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4. Пусть $TS$ – тригонометрический ряд вида (2.1), удовлетворяющий условию (2.21). Допустим, что $\widehat{B}$-перестановка $\widehat{B} TS$ ряда $TS$ сходится к конечной сумме в каждой точке $x \in H$. Тогда для всех $m \in \mathbb{Z}$ имеет место равенство Доказательство. Формула (5.1) инвариантна относительно замены $m$ на ${-}m$, значит, для ее доказательства достаточно ограничиться случаем $m \in \mathbb{N} \cup \{0\}$. Фиксируем произвольное $m \in \mathbb{N} \cup \{0\}$. Так как $0 \in H$, то из условий теоремы следует, что ряд $\widehat{B} TS$ сходится к конечной сумме в точке $x=0$. Поэтому величина $\sigma_n := \sum_{|k| \ge n+1} c_{\widehat{B}(k)}$, $n \in \mathbb{N}$, являющаяся $n$-м остатком ряда $\widehat{B} TS$ в точке $x=0$, корректно определена и стремится к нулю при $n \to \infty$.
Зададим произвольно $\varepsilon>0$. Из соотношений $\lim_{n \to \infty} \sigma_n=0$ и (2.21) вытекает, что
$$
\begin{equation}
|\sigma_n|<\varepsilon \quad\text{и}\quad |c_n|<\varepsilon \quad\text{при достаточно больших }s.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Рассмотрим произвольное достаточно большое $s$, удовлетворяющее условию (5.2). Так как $\operatorname{sinc}^2(x) \to 1$ при $x \to 0$, а $h(s) \to 0$ при $s \to \infty$ (см. формулу (4.2)), то дополнительно можем считать, что
$$
\begin{equation}
\biggl| \operatorname{sinc}^{-2} \biggl(\frac{m h(s)}{2} \biggr) \biggr| \le 2.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
M := M(s),\qquad N := N(s), \qquad N^{+} := N(s+1), \qquad h := \frac{h(s)}{2}.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Вычислим $c_m+c_{-m}$ с помощью теоремы 1, взяв $M$, $N$ и $h$ из формулы (5.5), а также $I_j := I_{s,j}$. Из формул (2.14) и (2.15) получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &c_m+c_{-m} = -\sum\nolimits^{\prime\prime} c_n \, \frac{\operatorname{sinc}^2(nh)}{\operatorname{sinc}^2(mh)} \nonumber \\ &\ \qquad +\frac{1}{4 M h^2 \operatorname{sinc}^2(mh)} \sum_{j=- N}^{N} \biggl[ \exp\biggl( \frac{2 \pi i m j}{M}\biggr)+ \exp\biggl(-\frac{2 \pi i m j}{M} \biggr) \biggr] \Delta^2 F(I_{s,j}) \nonumber \\ &\ =-\sum\nolimits^{\prime\prime} c_n \, \frac{\operatorname{sinc}^2(nh)}{\operatorname{sinc}^2(mh)} +\frac{1}{2 M h^2 \operatorname{sinc}^2(mh)}\sum_{j=- N}^{N} \cos(m x_{s,j}) \Delta^2 F(I_{s,j}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Здесь $\sum\nolimits^{\prime\prime}$ распространяется на все $n$, принадлежащие множеству
$$
\begin{equation}
\{n \colon |n|>N \text{ и } n=\pm m \ (\operatorname{mod} M)\}.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Оценим выражение $\sum\nolimits^{\prime\prime} c_n \, (\operatorname{sinc}^2(nh)/\operatorname{sinc}^2(mh))$ и покажем, что оно достаточно мало по абсолютной величине. Глядя на формулы (4.12), (4.14), (5.2) и (5.7), заключаем, что множество (5.7) есть $A_1 \bigsqcup A_2$, где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A_1 &:= \{n \colon N<|n| \le N^{+}\text{ и } n=\pm m \ (\operatorname{mod} M)\} = \{n \colon |n| \in \operatorname{Progr}(s)\}, \\ A_2 &:= \{n \colon |n|>N^{+} \text{ и } n=\pm m \ (\operatorname{mod} M)\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Таким образом, $\sum\nolimits^{\prime\prime} c_n (\operatorname{sinc}^2(nh)/\operatorname{sinc}^2(mh))= \sum\nolimits^{\prime\prime}_1 + \sum\nolimits^{\prime\prime}_2$, где сумма $\sum\nolimits^{\prime\prime}_1$ применяется к $n \in A_1$, а $\sum\nolimits^{\prime\prime}_2$ – к $n \in A_2$.
Мы увидим, что сумма $\sum\nolimits^{\prime\prime}_1$ окажется малой по причине того, что ряд $\widehat{B} TS$ сходится к конечной сумме в точке $x=0$, и поэтому верно первое из неравенств (5.3). Сумма же $\sum\nolimits^{\prime\prime}_2$ мала из-за того, что величины $n$ достаточно велики, а значение $h=h(s)/2$ не слишком мало в силу ограничения (4.4); как следствие, величины $\operatorname{sinc}^2(nh)$ в этой сумме оказываются достаточно малыми. Сначала будем оценивать $\sum\nolimits^{\prime\prime}_1$. Изначально эта сумма состоит из некоторого числа “разбросанных” членов ряда $TS$, умноженных на $\operatorname{sinc}^2(n h)/\operatorname{sinc}^2(m h)$, и в общем случае может быть большой. Но если мы переставим эти члены, собрав их вместе идущими друг за другом, то, благодаря сходимости к нулю в точке $x=0$ $\widehat{B}$-перестановки ряда $TS$, сумма $\sum\nolimits^{\prime\prime}_1$ становится малой. Этот момент является краеугольным в доказательстве теоремы. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl|\sum\nolimits^{\prime\prime}_1\biggr| &= |{\operatorname{sinc}^{-2}(m h)}| \biggl| \sum_{|n| \in \operatorname{Progr}(s)} c_n \operatorname{sinc}^2(n h) \biggr| \nonumber \\ &\stackrel{(5.4)}{\le} 2\biggl| \sum_{|n| \in \operatorname{Progr}(s)} c_n \operatorname{sinc}^2(n h)\biggr| \stackrel{(4.18)}{=} 2\biggl| \sum_{|n| \in \operatorname{Segm}(s)} c_{\widehat{B}(n)} \operatorname{sinc}^2 \bigl(\widehat{B}(n) h \bigr) \biggr| \nonumber \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\stackrel{(4.15), \, (4.22)}{=} 2 \biggl| \sum_{n=Q}^{P} \bigl[ c_{\widehat{B}(n)}+c_{-\widehat{B}(n)} \bigr] \operatorname{sinc}^2 \bigl(\widehat{B}(n) h \bigr) \biggr|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
где $Q$ – наименьшее, а $P$ – наибольшее число из множества $\operatorname{Segm}(s)$. Вспомнив обозначение $\sigma_n := \sum_{|k|=n+1}^\infty c_{\widehat{B}(k)}$, применим преобразование Абеля и продолжим цепочку (5.9):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Bigl| \sum\nolimits^{\prime\prime}_1 \Bigr| &\le 2\biggl| \sum_{n=Q}^{P} (\sigma_{n-1}-\sigma_n) \operatorname{sinc}^2 \bigl(\widehat{B}(n) h \bigr) \biggr| \le 2\bigl|\sigma_{Q-1} \operatorname{sinc}^2 \bigl(\widehat{B}(Q) h \bigr)\biggr| \nonumber \\ &\qquad + 2\bigl| \sigma_{P}\operatorname{sinc}^2 \bigl(\widehat{B}(P) h \bigr)\bigr| +2\biggl| \sum_{n=Q}^{P-1} \sigma_{n} \bigl( \operatorname{sinc}^2 \bigl(\widehat{B}(n+1) h \bigr) - \operatorname{sinc}^2 \bigl(\widehat{B}(n) h \bigr) \bigr) \biggr| \nonumber \\ &\!\!\stackrel{(5.3)}{\le} 4 \varepsilon +2\varepsilon \sum_{n=Q}^{P-1} \biggl| \int_{\widehat{B}(n) h}^{\widehat{B}(n+1) h} \biggl| \frac{d}{dx} (\operatorname{sinc}^2 x) \biggr| \, dx \biggr| \nonumber \\ &\le 4 \varepsilon +2 \varepsilon \sum_{n \in \mathbb{Z}} \biggl| \int_{\widehat{B}(n) h}^{\widehat{B}(n+1) h} \biggl| \frac{d}{dx} (\operatorname{sinc}^2 x) \biggr| \, dx \biggr| \stackrel{(2.19), \, (3.2), \, \text{лемма }5}{\le} 4 \varepsilon + 6 \varepsilon I. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Оценим теперь $\sum\nolimits_2$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Bigl| \sum\nolimits_2 \Bigr| &\le |{\operatorname{sinc}^{-2}(mh)}| \sum_{\substack{|n|>N'\\n=\pm m \ (\operatorname{mod} M)}} \frac{|c_n|}{(n h)^2} \nonumber \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\stackrel{(5.3), \, (5.4)}{\le} \frac{2 \varepsilon}{h^2} \sum_{\substack{|n|>N'\\n=\pm m \ (\operatorname{mod} M)}} \frac{1}{n^2} = \frac{4 \varepsilon}{h^2} \sum_{\substack{n>N'\\n=\pm m \ (\operatorname{mod} M)}} \frac{1}{n^2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Возьмем все последовательно идущие числа $n>N'$ такие, что $n=\pm m \ (\operatorname{mod} M)$ и разобьем их на пары. Тогда числа из первой пары больше, чем $N'$, из второй – больше, чем $N'+M$, из третьей – больше, чем $N'+2M$, и так далее. Используя данное наблюдение, продолжим цепочку (5.11):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Bigl| \sum\nolimits_2 \Bigr| &\le \frac{8 \varepsilon}{h^2} \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{(N'+j M(s))^2} \le \frac{8 \varepsilon}{h^2} \sum_{j=0}^\infty \int_{j-1}^{j} \frac{dt}{(N'+t M)^2} \nonumber \\ &= \frac{8 \varepsilon}{h^2} \int_{-1}^\infty \frac{dt}{(N'+t M)^2} = \frac{8 \varepsilon}{h^2 M} \int_{N'-M}^\infty \frac{du}{u^2} = \frac{8 \varepsilon}{h^2 M(N'-M)} \nonumber \\ &\!\!\!\stackrel{(5.5)}{=} \frac{32 \varepsilon}{h^2(s) M(s)(N(s+1)-M(s))} \stackrel{(4.4)}{\le} 32 \varepsilon E. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl| \sum\nolimits^{\prime\prime} c_n \, \frac{\operatorname{sinc}^2(nh)}{\operatorname{sinc}^2(mh)} \biggr| \le \varepsilon (4+6I+32 E).
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Вспомним еще раз (формула (5.5)), что $M=M(s)$, $h=h(s)/2$. Формула (5.13) означает, что первая сумма в (5.6) становится сколь угодно малой при достаточно больших $s$, удовлетворяющих условию (5.2). Переходя к соответствующему пределу, из формулы (5.6) получаем (5.1). Теорема доказана. Теорема 5. Находясь в условиях теоремы 4, для всех $m \in \mathbb{Z}$ будем иметь Доказательство. Выберем произвольное $m \in \mathbb{Z}$. Возьмем натуральное $t$ настолько большим, что $|m| \le N(t)$. Согласно условию теоремы 4, ряд $\sum_{n \in \mathbb{Z}} c_{\widehat{B}(n)} \exp(i \widehat{B}(n) x)$ сходится к конечной сумме $f(x)$ в каждой точке $x \in H$. Так как (лемма 2, (C)) $H$ является подгруппой $\mathbb{T}$ и $x_{t,1}=2 \pi/M(t) \in H$, то $H \oplus x_{t,1}=H$. Значит, ряд
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\in\mathbb{Z}} c_{\widehat{B}(n)} \exp \bigl(i \widehat{B}(n)(x \oplus x_{t,1}) \bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
являющийся $\widehat{B}$-перестановкой ряда
$$
\begin{equation*}
\widetilde{TS} := \sum_{n\in\mathbb{Z}} \widetilde{c}_n \exp(inx),\qquad \widetilde{c}_n := c_n \exp (i n x_{t,1}),
\end{equation*}
\notag
$$
также сходится к конечной сумме в каждой точке $x \in H$. Применяя теорему 4 к ряду $\widetilde{TS}$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde{c}_m+\widetilde{c}_{-m} &= c_m \exp(i m x_{t,1})+c_{-m} \exp(- i m x_{t,1}) \nonumber \\ &=\lim \frac{2}{M(s) h^2(s)} \sum_{j=- N(s)}^{N(s)} \cos(m x_{s,j}) \Delta^2 \widetilde{F}(I_{s,j}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Здесь $\widetilde{F}$ – функция Римана ряда $\widetilde{TS}$, а предел понимается так же, как в теореме 4. Вычислим $\widetilde{F}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{F}(x) &= \frac{\widetilde{c}_0 x^2}{2} - \sum_{n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}} \frac{\widetilde{c}_n}{n^2} \exp(inx) \\ &= \frac{c_0 x^2}{2} - \sum_{n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}} \frac{c_n}{n^2} \exp(i n(x \oplus x_{t,1})) = \widetilde{F}(x \oplus x_{t,1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает, что
$$
\begin{equation}
\Delta^2 \widetilde{F}(I) = \Delta^2 F(x_{t,1} \oplus I) \quad \text{для каждого интервала }I \subset \mathbb{T}.
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
Формулы (5.15) и (5.16) дают следующее:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &c_m \exp(i m x_{t,1}) + c_{-m} \exp(- i m x_{t,1}) \nonumber \\ &\ =\lim \frac{2}{M(s) h^2(s)} \sum_{j=- N(s)}^{N(s)} \cos(m x_{s,j}) \Delta^2 F(x_{t,1} \oplus I_{s,j}) \nonumber \\ &\!\!\stackrel{(4.11)}{=} \lim \frac{2}{M(s) h^2(s)} \sum_{j=- N(s)}^{N(s)} \cos(m x_{s,j}) \Delta^2 F(I_{s, j+M(s)/M(t)}) \nonumber \\ &\ = \lim \frac{2}{M(s) h^2(s)} \sum_{j=- N(s)}^{N(s)} \cos(m x_{s,j-M(s)/M(t)}) \Delta^2 F(I_{s,j}) \nonumber \\ &\ =\lim \frac{2}{M(s) h^2(s)} \sum_{j=- N(s)}^{N(s)} \cos(m x_{s,j}-m x_{t,1}) \Delta^2 F(I_{s,j}) \nonumber \\ &\ =\lim \frac{1}{M(s) h^2(s)} \sum_{j=- N(s)}^{N(s)} [\exp(i m(x_{s,j}-x_{t,1})) + \exp(-i m(x_{s,j}+x_{t,1}))] \Delta^2 F(I_{s,j}) \nonumber \\ &\ = \exp(- i m x_{t,1}) \lim \frac{1}{M(s) h^2(s)} \sum_{j=- N(s)}^{N(s)} \exp(i m x_{s,j}) \Delta^2 F(I_{s,j}) \nonumber \\ &\ \qquad +\exp(i m x_{t,1}) \lim \frac{1}{M(s) h^2(s)} \sum_{j=- N(s)}^{N(s)} \exp(-i m x_{s,j}) \Delta^2 F(I_{s,j}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
Запишем формулу (5.1) так:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, c_m+c_{-m} &= \lim \frac{1}{M(s) h^2(s)} \sum_{j=- N(s)}^{N(s)} \exp(i m x_{s,j}) \Delta^2 F(I_{s,j}) \nonumber \\ &\qquad +\lim\frac{1}{M(s) h^2(s)}\sum_{j=- N(s)}^{N(s)}\exp(-m x_{s,j}) \Delta^2 F(I_{s,j}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
Объединим (5.17) с (5.18) и получим следующую систему из двух линейных уравнений с неизвестными $c_m$ и $c_{-m}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, c_m+c_{-m} &= A_{-}+A_{+}, \\ \exp(i m x_{t,1})c_m+\exp(- i m x_{t,1})c_{-m} &= \exp(i m x_{t,1}) A_{-}+\exp(- i m x_{t,1})A_{+}, \end{aligned} \\ A_{\pm} := \lim \frac{1}{M(s) h^2(s)} \sum_{j=- N(s)}^{N(s)} \exp(\pm i m x_{s,j}) \Delta^2 F(I_{s,j}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Определитель матрицы системы есть $\exp(- i m x_{t,1})-\exp(i m x_{t,1})$; он не обращается в нуль, так как
$$
\begin{equation*}
0 < m x_{t,1} = m \, \frac{2 \pi}{M(t)} \le N(t) \, \frac{2 \pi}{M(t)} < \pi.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому система имеет единственное решение, которое несложно увидеть: $c_m=A_-$, $c_{-m}=A_+$. Приведенные формулы равносильны (5.14). Теорема доказана. Теорема 6. Пусть заданы биекция $B \in \mathcal{B}_{\mathcal{M}}$, тригонометрический ряд $TS$ вида (2.1), а также конечная функция $f$, определенная и интегрируемая на множестве $G^q$ при некотором $q$. Предположим, что $(\mathrm{A}')$ $B$-перестановка ряда $TS$ сходится к $f$ на множестве $G^q \setminus H$; $(\mathrm{B}')$ $\widehat{B}$-перестановка ряда $TS$ сходится к $f$ на $H$. Тогда для каждого $m \in \mathbb{Z}$ справедливо равенство
$$
\begin{equation}
c_m = \lim \frac{1}{M(s) h^2(s)} \sum_{j=- N(s)}^{N(s)} \exp(-i m x_{s,j}) \int_{I_{s,j}} f(u) (h(s)-|u-x_{s,j}|)\, du,
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
где предел берется по всем $s \in \mathbb{N}$, удовлетворяющим (5.2). Доказательство. Во-первых, заметим, что множество $G^q \setminus H$ имеет положительную меру. Значит, $(\mathrm{A}')$ и предложение 2 влекут тот факт, что ряд $TS$ удовлетворяет условию (2.21). Из этого факта и $(\mathrm{B}')$ видно, что мы находимся в условиях теорем 4 и 5. Значит, справедлива формула (5.14). Поэтому наша теорема будет доказана, если для каждой пары $s$ и $j$, $s \ge q$, мы установим, что $\Delta^2 F(I_{s,j})$ совпадает с интегралом в (5.19) (здесь $F$ – функция Римана ряда $TS$). Установлением этого факта мы и займемся.
Зафиксируем $s \ge q$ и $j$. Из условий $(\mathrm{A}')$ и $(\mathrm{B}')$, а также из теоремы 2 вытекает, что соотношение (2.10) с $A= f(x_0)$ имеет место для каждого $x_0 \in G^q$. Объединяя этот факт с тем, что функция $F(x)$ непрерывна, получаем равенство
$$
\begin{equation}
F(x)=\int_{x_{s,j}-h(s)}^x dt \int_{x_{s,j}-h(s)}^t f(u) \, du +A x+B, \qquad x \in I_{s,j},
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
для некоторых постоянных $A$ и $B$, согласно теореме A1. Ради уменьшения громоздкости будем писать
$$
\begin{equation*}
a := x_{s,j}-h(s),\qquad b := x_{s,j}, \qquad c := x_{s,j}+h(s).
\end{equation*}
\notag
$$
Из (5.20) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta^2 F(I_{s,j}) &= \int_a^c dt \int_a^t f(u) \, du - 2\int_a^b dt \int_a^t f(u) \, du + 0 \\ &= \int_b^c dt \int_a^t f(u) \, du - \int_a^b dt \int_a^t f(u) \, du \\ &= \int_b^c dt \biggl( \int_a^b f(u) \, du + \int_b^t f(u) \, du \biggr) - \int_a^b dt \int_a^t f(u) \, du \\ &= \int_b^c dt \int_b^t f(u) \, du + \int_a^b dt \int_a^b f(u) \, du - \int_a^b dt \int_a^t f(u) \, du \\ &= \int_b^c dt \int_b^t f(u) \, du + \int_a^b dt \int_t^b f(u) \, du \\ &= \int_b^c f(u) \, du \int_u^c dt + \int_a^b f(u) \, du \int_a^u dt \\ &= \int_b^c f(u)(c-u) \, du + \int_a^b f(u) (u-a) \, du \\ &= \int_a^c f(u) \biggl(\frac{c-a}{2} - |u-b| \biggr)\, du. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выражение справа совпадает с интегралом в (5.19), так как $(c-a)/2=h(s)$, $b=x_{s,j}$. В ходе расчетов мы применили теорему Фубини, которая имеет место, так как функция двух переменных $g(t, u) := f(u)$ абсолютна интегрируема на квадрате $I_{s,j}^2$. Теорема доказана. Теорема 7. Пусть $B \in \mathcal{B}_{\mathcal{M}}$, а $TS$ – тригонометрический ряд вида (2.1). Предположим, что $(\mathrm{A}'')$ $B$-перестановка ряда $TS$ сходится к нулю на множестве $G^q \setminus H$ по крайней мере для одного $q \in \mathbb{N}$; $(\mathrm{B}'')$ $\widehat{B}$-перестановка ряда $TS$ сходится к нулю на множестве $H$. Тогда все коэффициенты ряда $TS$ нулевые. Доказательство. Применим теорему 6, взяв $f \equiv 0$. Согласно формуле (5.19) все $c_m=0$. Теорема доказана. Возьмем в качестве $B$ тождественное отображение $\mathrm{Id} \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$. Так как $\mathrm{Id} \in \mathcal{B}_1 \subset \mathcal{B}_{\mathcal{M}}$, то из теоремы 7 сразу получается следующий интересный, на наш взгляд, результат. Теорема 8. Если ряд (2.1) сходится (в обычном смысле) к нулю на множестве $G^q \setminus H$ по крайней мере для одного $q \in \mathbb{N}$, а его $\widehat{B}$-перестановка сходится к нулю на $H$, то все коэффициенты этого ряда нулевые. Теорема 9. Если ряд $\sum_{n \in \mathbb{Z}} c_{\widehat{B}(n)} \exp(i \widehat{B}(n) x)$ сходится к нулю на множестве $G^q$ при некотором $q$, то все его коэффициенты равны нулю. Доказательство. Снова применим теорему 7, положив на этот раз $B := \widehat{B}$. Согласно лемме 5 имеем $\widehat{B} \in \mathcal{B}_{\mathcal{M}}$. Теперь видно, что выполнены все условия теоремы 7. Следовательно, все $c_m=0$. Этим завершается доказательство. Теорема 10 (основная теорема). Существует семейство $\mathcal{B}=\{B\}$, состоящее из нечетных взаимно однозначных отображений $B \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, обладающее следующим свойством. Если $B \in \mathcal{B}$, то для системы $\{\exp(i B(n) x)\}_{n \in \mathbb{Z}}$ и каждого $\delta>0$ существуют совершенные $U$-множества меры, превосходящей $2 \pi -\delta$. Доказательство. Поместим в класс $\mathcal{B}$ биекции $\widehat{B}=\widehat{B}(\mathbf{M}, \mathbf{h})$, взятые для всевозможных последовательностей $\mathbf{M}=\{M(s)\}$ нечетных чисел и $\mathbf{h}=\{h(s)\}$ положительных чисел, удовлетворяющих условиям (4.1)–(4.5). Для каждой биекции $\widehat{B}=\widehat{B}(\mathbf{M}, \mathbf{h})$ возьмем множество $G^q=G^q(\mathbf{M}, \mathbf{h})$. Из теоремы 9 следует, что множество $\mathbb{T} \setminus G^q$ есть $U$-множество для системы $\{\exp(i \widehat{B}(n) x)\}_{n \in \mathbb{Z}}$ каким бы ни было $q \in \mathbb{N}$. Обратим внимание, что множества $\mathbb{T} \setminus G^q$ являются совершенными (см. (4.8)). Остается применить данное наблюдение и лемму 3. Теорема доказана.
§ 6. Обсуждение результатов работы и смежных проблемВначале отметим, что при построении класса $\mathcal{B}$ перестановок тригонометрической системы и соответствующих $U$-множеств положительной меры важную роль играли групповые свойства подмножеств $\mathbb{T}$ и $\mathbb{Z}$. Так, множества $G^q$ (типа Райхмана–Зигмунда), являющиеся дополнениями к $U$-множествам, обладают определенной симметрией внутри группы $\mathbb{T}$. А именно, они состоят из интервалов, центры которых образуют счетную подгруппу $\mathbb{T}$; кроме того, $G^q$ есть объединение счетного числа множеств, каждое из которых инвариантно относительно сдвига на конечную подгруппу $\mathbb{T}$. Последние свойства существенны для доказательства основных результатов. При отборе перестановок для класса $\mathcal{B}$ учитывалась их арифметическая структура. Уже из формул (2.14) и (2.15) видно, что в вопросе о восстановлении коэффициентов тригонометрического ряда по его функции Римана нужно исследовать поведение коэффициентов с большими номерами, образующими арифметическую прогрессию. Отметим интересную проблему, связанную с теоремой 6, в которой говорится о возможности восстановления коэффициентов ряда $BTS$ по системе $\{\exp(i B(n) x)\}_{n \in \mathbb{Z}}$ $(B \in \mathcal{B})$ в случае его сходимости к конечной функции $f \in L(\mathbb{T})$ на специальном множестве $A$ сколь угодно малой меры. Возникает вопрос, не является ли множество $\mathbb{T} \setminus A$ $V$-множеством для указанной выше системы? Чтобы начать отвечать на него, отметим, что для случая множеств положительной меры классическая формулировка понятия $V$-множества теряет смысл. Это связано с тем, что существует множество способов продолжить функцию с множества неполной меры на весь одномерный тор $\mathbb{T}$. В связи с этим восстановленные по формуле (5.19) коэффициенты ряда $BTS$ не обязаны быть коэффициентами Фурье функции $f$. Сразу возникает следующий вопрос: всегда ли, в условиях теоремы 6, сужение функции $f$ на множество $A$ продолжается до функции $\widetilde{f}$ с областью определения $\mathbb{T}$ так, чтобы ряд $BTS$ являлся бы рядом Фурье функции $\widetilde{f}$? А, если да, то каким образом? Несколько слов о взаимоотношениях между сходимостью рядов по тригонометрической системе и по ее перестановкам. Из известных работ Карлесона, Ханта, Шелина и Антонова [30]–[33] вытекает, что ряд Фурье функции $f$ сходится к ней почти всюду, если $f \in L_p(\mathbb{T})$, $p>1$, и даже для ряда логарифмических классов, лежащих между $L_1(\mathbb{T})$ и всеми $L_p(\mathbb{T})$, $p>1$. В то же время, еще раньше Ульянов показал [34], что тригонометрические ряды Фурье, если их переставить, могут расходиться почти всюду, даже если $f \in L_p(\mathbb{T})$, $1 \le p<2$. Таким образом, переставленные ряды Фурье могут вести себя хуже исходных с точки зрения сходимости. В то же время неизвестны примеры перестановок, для которых ряды Фурье начинают вести себя лучше с точки зрения их сходимости. Теория единственности в некотором смысле двойственна теории сходимости. Поэтому естественно ожидать, что с точки зрения единственности переставленные тригонометрические ряды Фурье могут вести себя лучше исходных, в частности, что при некоторых перестановках могут появиться новые $U$-множества. Результаты нашей работы оправдывают эти ожидания. Отметим также работу [35], в которой доказывается, что если для заданного кратного тригонометрического ряда любая его перестановка всюду сходится по кубам к нулю, то этот ряд тривиален. Если же исходный ряд не переставлять, то неизвестно, имеет ли место единственность при сходимости по кубам (см. об этом в конце статьи). К полученным в работе результатам тесно примыкают две следующие открытые проблемы теории единственности тригонометрических рядов. Мы показали в теореме 10, что существуют перестановки тригонометрической системы, для которых имеются $U$-множества положительной меры. А можно ли утверждать, что хотя бы $\varnothing$ является $U$-множеством, но для любой переставленной тригонометрической системы? Эта проблема была отмечена еще Стечкиным и Ульяновым в [9]. В работе Эша и Вонга [26] содержится гипотеза, названная гипотезой Стечкина–Ульянова, состоящая в том, что ответ на данный вопрос утвердительный. Согласно теореме 3, гипотеза подтверждается для $D$-монотонных перестановок, причем в усиленном виде, так как вместо $U$-множеств можно говорить о $V$-множествах. Другая открытая проблема неоднократно формулировалась в ряде работ (см., например, [36], [37]) и звучит так: верно ли, что среди множеств положительной меры нет $U$-множеств для многомерных тригонометрических рядов? Ответ на последний вопрос может зависеть от вида сходимости рядов. В нашей работе к этой проблеме ведет следующее соображение. Если в одномерном случае удалось построить $U$-множества положительной меры для перестановок тригонометрической системы, возможно, что в многомерном случае такие множества удастся построить уже для естественного порядка суммирования, если рассмотреть один из сильных типов сходимости. Пока же об $U$-множествах для многомерной тригонометрической системы известно следующее. Тетунашвили построил [38] широкие классы континуальных $U$- и $V$-множеств для сходимости по Прингсхейму (по прямоугольникам). Эти классы были расширены в [16], [39] и [40]; все они состоят из множеств нулевой меры. А для более слабой сходимости по кубам до сих пор неизвестно даже, является ли хотя бы пустое множество $U$-множеством. Эш выдвинул гипотезу, что это не так. Для сферической сходимости Бургейн доказал [41], что $\varnothing$ есть $U$-множество. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Plo22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|