| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) “Дальнодействие” концентрированных масс в двумерных задачах Неймана и Дирихле С. А. Назаров Институт проблем машиноведения Российской академии наук, г. Санкт-Петербург
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9262e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение1.1. Постановка задачиПусть $\Omega$ и $\omega_1,\dots,\omega_J$ – области на плоскости $\mathbb{R}^2$, ограниченные простыми замкнутыми липшицевыми контурами $\partial \Omega$ и $\partial \omega_1,\dots,\partial \omega_J$. Зафиксируем попарно различные точки $P^1,\dots,P^J\,{\in}\,\Omega$ и, обозначив через $\varepsilon$ малый положительный параметр, введем мелкие множества (рис. 1)
$$
\begin{equation}
\omega_j^\varepsilon=\{x\colon\xi^j:=\varepsilon^{-1}(x-P^j)\in\omega_j\},\qquad j=1,\dots,J,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
а также характеристическую функцию $X^\varepsilon$ их объединения $\omega^\varepsilon= \omega^\varepsilon_1\cup\dots\cup\omega^\varepsilon_J$ (т. е. $X^\varepsilon(x)=1$ при $x\in{\overline{\omega^\varepsilon}}$, но $X^\varepsilon(x)=0$ при $x\in\Omega^\varepsilon$, $\Omega^\varepsilon:=\Omega\setminus \overline{\omega^\varepsilon}$ ); кроме того, $X^\varepsilon_j$ и $X_j$ – аналогичные функции одиночных множеств $\omega_j^\varepsilon$ и $\omega_j$. Граница $\varepsilon_0>0$ изменения параметра $\varepsilon$ выбрана так, что ${\overline{\omega^\varepsilon}}\subset \Omega$ при $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0]$. Считаем, что $\varepsilon_0<1$, но при необходимости уменьшаем величину $\varepsilon_0\in(0,1)$, сохраняя за ней прежнее обозначение. В основном изучаем спектральную задачу Неймана
$$
\begin{equation}
-\Delta_xu^\varepsilon(x)=\lambda^\varepsilon (1+\varepsilon^{-\gamma} X^\varepsilon(x))u^\varepsilon(x),\qquad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
$$
\begin{equation}
\partial_nu^\varepsilon(x)=0,\qquad x\in\partial \Omega.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Здесь $\Delta_x$ – оператор Лапласа, $\lambda^\varepsilon$ – спектральный параметр и $\partial_n$ – производная вдоль внешней нормали, определенная почти всюду на липшицевой границе. Присутствие в “плотности” $1+\varepsilon^{-\gamma} X^\varepsilon$ большого множителя $\varepsilon^{-\gamma}$ с показателем означает, что “масса” $\varepsilon^{-\gamma}|\omega^\varepsilon_j|= \varepsilon^{2-\gamma}|\omega_j|$ каждого из включений (1.1) не меньше “массы” $|\Omega^\varepsilon|$ перфорированной области $\Omega^\varepsilon$; здесь $|\omega_j|$ – площадь фигуры $\omega_j$. Из-за возможных сингулярностей собственных функций $u^\varepsilon$ в особых точках границы (рис. 1, (a)) требуется обобщенная постановка [1] задачи (1.2), (1.3)
$$
\begin{equation}
(\nabla_xu^\varepsilon,\nabla_x\psi)_\Omega=\lambda^\varepsilon\bigl( (u^\varepsilon,\psi)_{\Omega^\varepsilon}+\varepsilon^{-\gamma} (u^\varepsilon,\psi)_{\omega^\varepsilon}\bigr)\quad \forall\,\psi\in H^1(\Omega),
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
в которой $(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,)_\Omega$ – натуральное скалярное произведение в пространстве Лебега $L^2(\Omega)$, а $H^1(\Omega)$ – пространство Соболева со стандартной нормой. Ввиду компактности вложения $H^1(\Omega)\subset L^2(\Omega)$ у вариационной задачи (1.5) (или краевой задачи (1.2), (1.3) в случае гладких контуров; см. рис. 1, (b)) имеется неограниченная монотонная последовательность собственных чисел
$$
\begin{equation}
0=\lambda^\varepsilon_1<\lambda^\varepsilon_2\leqslant\lambda^\varepsilon_3 \leqslant\dots\leqslant\lambda^\varepsilon_k\leqslant\cdots \to +\infty.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Соответствующие собственные функции $u^\varepsilon_k\in H^1(\Omega)$ можно подчинить условиям ортогональности и нормировки
$$
\begin{equation}
\varepsilon^{\gamma-2}(u^\varepsilon_k,u^\varepsilon_m)_{\Omega^\varepsilon}+ \varepsilon^{-2}(u^\varepsilon_k,u^\varepsilon_m)_{\omega^\varepsilon}=\delta_{k,m},\qquad k,m\in \mathbb{N}:=\{1,2,3,\dots\},
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где $\delta_{k,m}$ – символ Кронекера. Первому собственному числу $\lambda^\varepsilon_1=0$ отвечает постоянная собственная функция. При гладкой границе $\partial\Omega$ выполнены включения $u^\varepsilon_k\in H^2(\Omega)$. Пары $\{\lambda^\varepsilon_k;u^\varepsilon_k\}$ именуем собственными. 1.2. ПредысторияРассматриваемая задача принадлежит классу так называемых задач о “концентрированных массах”. Впервые подобная задача при $\gamma=3$ в области $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ с одним ($J=1$) включением $\omega^\varepsilon=\omega^\varepsilon_1$ и условием Дирихле на внешней границе была изучена в [2]. Установлено, что упорядоченные нормированные собственные числа $\varepsilon^{2-\gamma}\lambda^\varepsilon_k=\varepsilon^{-1}\lambda^\varepsilon_k$ задачи (1.2), (1.8) сходятся при $\varepsilon\to+0$ к соответствующим членам последовательности
$$
\begin{equation}
\mu_1<\mu_2\leqslant\mu_3 \leqslant\dots\leqslant\mu_k\leqslant\cdots \to +\infty
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
собственных чисел спектрального уравнения в целом пространстве ($d=3$ и $j=1$)
$$
\begin{equation}
-\Delta_\xi w_j(\xi^j)=\mu_j X_j(\xi^j)w_j(\xi^j),\qquad \xi^j\in\mathbb{R}^d.
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
Были изучены и многочисленные варианты родственных задач математической физики о малых изолированных включениях (см. [3]–[9] и многие другие). Более того, предложенные в [2] средства сингулярного возмущения спектральных краевых задач породили задачи иного рода, в которых мелкие включения, тяжелые или легкие, концентрируются около границы области или внутренних гладких подмногообразий без края. Подобные задачи отличаются от обсуждаемых в данной работе не только постановками и методами исследований, но даже способом формулировки результатов. Поэтому уклонимся от описания соответствующих публикаций и отошлем читателя к одной из последних статей [10] по этой тематике, содержащей обширный список литературы и достаточно подробный обзор. Среди многообразия объектов анализа и результатов в этом направлении выделим пространственную ($d=3$) задачу Неймана (1.2), (1.3) с показателем $\gamma\geqslant3$ из-за обнаруженного в [11] (см. также статьи [12], [13]) эффекта “дальнодействия” (взаимодействия) мелких включений: пределами положительных собственных чисел (1.6) служат собственные числа интегро-дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-\Delta_\xi w_j(\xi^j) \\ &\quad=\mu X_j(\xi^j) \biggl(w_j(\xi^j) -\biggl(\sum_{k=1}^J|\omega_k|\biggr)^{-1}\sum_{k=1}^J |\omega_k|\langle w_k\rangle\biggr),\qquad \xi^j\in\mathbb{R}^3,\quad j=1,\dots,J, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
объединенных в систему, так как в их правых частях фигурирует сумма средних всех собственных функций
$$
\begin{equation*}
\langle w_k\rangle=\frac{1}{|\omega_k|}\int_{\omega_k}w_k(\xi^k)\, d\xi^k, \qquad k=1,\dots,J.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее $|\omega_k|$ – площадь фигуры $\omega_k$. При постановке условий Дирихле (1.8) в трехмерной области $\Omega$ с несколькими включениями эффект взаимодействия исчезает, и предельная последовательность (1.9) – совокупность спектров независимых уравнений (1.10) с индексами $j=1,\dots,J$. При нарушении неравенства (1.4), т. е. для “легких” включений, обсуждаемый эффект отсутствует в обеих задачах (1.2), (1.3) и (1.2), (1.8), а алгоритм построения асимптотики собственных спектральных пар в низкочастотном диапазоне упрощается в значительной мере. Исследуемые далее двумерные задачи Неймана (1.2), (1.3) и Дирихле (1.2), (1.8) существенно отличаются от пространственных прежде всего по причине логарифмического роста фундаментального решения оператора Лапласа на плоскости который (рост) кардинальным образом изменяет свойства спектральных пар уравнений (1.10) при $d=2$. Прежде всего феномен дальнодействия не обнаруживается в обеих задачах при помощи предельного перехода, т. е. на уровне $1=\varepsilon^0$ (см. п. 2.3, п. 5.3 и п. 7.2) – такой результат получается при помощи приемов, разработанных в статьях [4], [7], для случая $\gamma>2$ и $J=1$, но требует отдельного исследования при $\gamma=2$ (см. § 8). Вместе с тем далее будет показано, что этот феномен проявляется асимптотически на уровнях $|{\ln \varepsilon}|^{-1}$ и $|{\ln \varepsilon}|^{-2}$ (или более высоких, но все-таки логарифмических), причем опять-таки в обеих задачах (см. п. 5.1, п. 5.2, п. 7.1, п. 7.2 и описание разных способов взаимодействия в п. 7.3, а также ср. анализ [14] задачи Стеклова в плоской области с малыми отверстиями).Вторая особенность двумерной задачи (1.2), (1.3) – зависимость коэффициентов асимптотических пар $\{\lambda^\varepsilon;u^\varepsilon\}$ от параметра $|{\ln\varepsilon}|$, происходящая от логарифмической особенности фундаментального решения (1.11). Аналогичные зависимости возникают и в задаче Дирихле для оператора Лапласа в плоской области $\Omega^\varepsilon$ с одним или несколькими малыми отверстиями [15], а также в задаче со спектральными краевыми условиями Стеклова [14] и многих других (см. монографию [16; гл. 4, 5]). Так, для решений уравнения Пуассона
$$
\begin{equation}
-\Delta_xu^\varepsilon(x)=f^\varepsilon(x),\qquad x\in\Omega^\varepsilon=\Omega \setminus\overline{\omega^\varepsilon}\subset\mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
или спектрального уравнения
$$
\begin{equation}
-\Delta_xu^\varepsilon(x)=\lambda^\varepsilon u^\varepsilon(x),\qquad x\in\Omega^\varepsilon,
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
с краевыми условиями (1.8) и
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon(x)=0,\qquad x\in\partial\omega^\varepsilon,
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
несложно построить формальные асимптотические ряды по обратным степеням большого параметра $|{\ln\varepsilon}|$ (ср. § 5 и § 7). Вместе с тем их частичные суммы трудно признать приемлемыми приближенными решениями, поскольку логарифм – весьма медленно растущая функция: простые вычисления
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{5} |{\ln\varepsilon}| &\approx 2.3&\quad &\text{при} &\quad \varepsilon &=0.1, \\ |{\ln\varepsilon}| &\approx 6.9 &\quad &\text{при} &\quad \varepsilon &=0.001, \\ |{\ln\varepsilon}| &\approx 11.5 &\quad &\text{при} &\quad \varepsilon &=0.00001 \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
показывают, что величину $|{\ln\varepsilon}|$ в самом деле можно считать большим параметром только при неимоверно малых диаметрах включений (1.1). Вместе с тем в [17], [18; гл. 3] и [15], [16; гл. 9] для статической (1.12), (1.10), (1.14) и спектральной (1.13), (1.10), (1.14) задач было произведено “суммирование” таких рядов и получены асимптотические представления решений и собственных пар с остатками степенн\’ой малости $\varepsilon^N$. При этом коэффициенты рядов для решений задачи Дирихле в сингулярно возмущенной области $\Omega^\varepsilon$ – рациональные функции величины $|{\ln\varepsilon}|$, а коэффициенты рядов для собственных чисел и функций – аналитические функции переменной $1/|{\ln\varepsilon}|$. Упомянем еще работы [19], [20], в которых при помощи иных, не асимптотических, методов доказана аналитичность простых собственных чисел названных задач относительно параметра $\varepsilon$ в многомерной области и относительно пары параметров $\varepsilon$ и $1/|{\ln\varepsilon}|$ в плоской области. 1.3. Предварительное описание результатовВ рассматриваемых задачах (1.2), (1.3) и (1.2), (1.8) также нетрудно построить ряды по обратным степеням параметра $|{\ln\varepsilon}|$ (см. п. 4.1, п. 5.1, п. 5.2, п. 7.2, где найдены явные выражения для начальных членов таких рядов). Однако основным в данной статье является иной трюк, базирующийся на технике весовых пространств с отделенной асимптотикой (ср. публикации [21], [22]) и применяемый по той же схеме, что и в работе [23], где изучена задача Дирихле для формально самосопряженных эллиптических систем второго порядка в области с малым отверстием, но только в случае $d\geqslant3$, исключающим присутствие логарифмов. В статье [23] обнаружена глубокая связь между названной техникой и классическим методом сращиваемых асимптотических разложений (см. монографии [24], [18], [16; гл. 2] и другие). В нашем случае предложенный подход заключается в следующем: указываются формулы, описывающие поведение решений предельных уравнений (1.10) на бесконечности и решения предельной задачи Неймана
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_xw_0(x)=\mu_0w_0(x),\qquad x\in\Omega, \\ \partial_nw_0(x)=0,\qquad x\in\partial\Omega, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
около выделенных точек $P^1,\dots,P^J$, а затем эти внутренние и внешние разложения согласуются в промежуточных зонах, т. е. на расстояниях $O(\sqrt{\varepsilon}\,)$ от $P^j$, где разные по своей природе формулы представляют собой асимптотику одного и того же решения исходной сингулярно возмущенной задачи (1.2), (1.3). Согласование названных разложений накладывает линейные связи на входящие в них свободные коэффициенты, и основная проблема в реализации подобного формального подхода – интерпретировать полученную систему дифференциальных и алгебраических уравнений как регулярно возмущенный фредгольмов оператор в некотором гильбертовом пространстве. Именно на этом этапе возникают функциональные весовые пространства с отделенными асимптотиками и линейный пучок (3.15), составленный из операторов предельных задач и числовых матриц, зависящих от параметра $1/|{\ln\varepsilon}|$ (см. п. 3.2). Спектр этого пучка лежит на замкнутой положительной вещественной полуоси $\overline{\mathbb{R}_+} =[0,+\infty)$ и представляет собой неограниченную монотонную последовательность нормальных собственных чисел (точную формулировку см. в теореме 2). В § 6 выведена оценка точности построенной асимптотической модели: в теореме 8 получено неравенство для разности собственных чисел $\lambda^\varepsilon_\kappa$ исходной задачи (1.2), (1.3) и нормированных собственных чисел $\varepsilon^{\gamma-2}\mu_k(1/|{\ln\varepsilon}|)$ операторного пучка (3.15). При этом в отличие от обсуждавшихся рядов по обратным степеням логарифма мажоранта в упомянутом неравенстве приобретает степенной порядок малости $\varepsilon^\vartheta$ с любым показателем $\vartheta\in(0,1)$. В этом и состоит основное преимущество разработанной модели, даже более отчетливое, чем в подобной модели [23] при $d\geqslant3$, так как возникновение в операторном пучке величины $|{\ln\varepsilon}|$ не привносит дополнительных трудностей: формулы (1.15) демонстрируют, что при реалистичных значениях первичного малого параметра $\varepsilon$ логарифм не становится излишне большим, а дробь $1/|{\ln\varepsilon}|$ – излишне малой. Кроме того, пучок реализуется как регулярное возмущение совокупности операторов предельных задач и асимптотические формулы получаются при помощи классических результатов теории возмущений линейных операторов (см., например, монографию [25]). Наконец, одна и та же модель обслуживает оба случая и для которых асимптотические процедуры существенно различаются из-за несовпадающих наборов предельных задач – в ситуации (1.17) к уравнениям (1.10), $j=1,\dots,J$, присоединяется спектральная задача Неймана (1.16) (или интегральное тождество (2.8) при негладкой границе). Проследить различия легко на примерах из § 5, где уточняются асимптотические представления малых, стремящихся к нулю, собственных чисел задач (1.2), (1.3) и (1.2), (1.8).Заключительные параграфы статьи посвящены сопутствующим вопросам. Сначала в § 7 полученные результаты пересказываются для плоской задачи Дирихле (1.2), (1.8) – особых изменений по сравнению с задачей Неймана (1.2), (1.3) не требуется. Вместе с тем в п. 7.4 указано одно принципиальное различие между названными задачами в случае $J=1$: в задаче Дирихле возмущение собственных чисел обычно приобретает порядок $1/|{\ln\varepsilon}|$, а в задаче Неймана – порядок $\varepsilon^2$. Наконец, в § 8 для удобства читателя приводится проверка аналога теоремы 1 о сходимости, отличающаяся от работ [4], [7] способом доказательства в связи с заменой краевого условия (1.2) условием (1.8), а также возможностью употребить часть результатов асимптотического анализа. В частности, намеченный подход позволил подтвердить утверждение теоремы 1 и при $\gamma=2$. § 2. Известные факты2.1. Предельные спектральные уравненияКак обычно, замена спектрального параметра
$$
\begin{equation}
\lambda^\varepsilon \mapsto \mu^\varepsilon=\varepsilon^{2-\gamma}\lambda^\varepsilon,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
введение растянутых координат $\xi^j$ (ср. определение (1.1)) и формальный переход к $\varepsilon=0$ преобразуют уравнение (1.2) в дифференциальное уравнение (1.10) на плоскости без каких-либо краевых условий, так как граница $\{\xi^j\colon P^j+\varepsilon\xi^j\in\partial \Omega\}$ уводится на бесконечность предельным переходом $\varepsilon\to+0$. Вариационная постановка спектрального уравнения (1.10)
$$
\begin{equation}
(\nabla_\xi w_j,\nabla_\xi\psi_j)_{\mathbb{R}^2}=\mu_j(w_j,\psi_j)_{\omega_j}\quad \forall\,\psi_j\in\mathcal{H}_j
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
осуществляется на гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_j$, полученном пополнением линейного множества $C^\infty_{\mathrm{c}}(\mathbb{R}^2)$ (бесконечно дифференцируемые функции с компактными носителями) по “энергетической” норме
$$
\begin{equation}
\|\psi;\mathcal{H}_j\|=\bigl(\|\nabla_\xi\psi;L^2(\mathbb{R}^2)\|^2 +\|\psi;L^2(\omega_j)\|^2\bigr)^{1/2}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
В силу одномерного неравенства Харди “с логарифмом” [26]
$$
\begin{equation}
\int_0^1|U(r)|^2\, \frac{dr}{r|\ln r|^2}\leqslant4\int_0^1\biggl| \frac{dU}{dr}(r)\biggr|^2 r\, dr\quad\text{для } U\in H^1(0,1)\text{ при }U(1)=0
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
норма (2.3) эквивалентна весовой норме1
$$
\begin{equation}
\bigl(\|\nabla_\xi\psi;L^2(\mathbb{R}^2)\|^2 +\|(1+|\xi|)^{-1}(1+|{\ln(1+|\xi|)}|)^{-1}\psi;L^2(\mathbb{R}^2)\|^2\bigr)^{1/2}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Постоянные функции попадают в энергетическое пространство $\mathcal{H}_j$: их можно приблизить функциями из $C^\infty_{\mathrm{c}}(\mathbb{R}^2)$ по норме (2.3), а также для них конечна весовая норма (2.5). Лемма 1. Спектр задачи (2.2) является дискретным и образует неограниченную монотонную неотрицательную2 последовательность а соответствующие собственные функции $w_{jk}\in\mathcal{H}_j$ можно подчинить условиям ортогональности и нормировки Нулевому собственному числу $\mu_{j1}$ отвечает постоянная собственная функция $w_{j1}(\xi^j)=|\omega_j|^{-1/2}$. 2.2. Задача в ограниченной областиВ случае (1.17) замена (2.1) не уменьшает спектральный параметр, т. е. $\lambda^\varepsilon=\mu^\varepsilon$, а значит, возникает еще одна предельная задача – спектральная задача Неймана (1.16) в области $\Omega$, вариационная постановка которой имеет вид
$$
\begin{equation}
(\nabla_x w_0,\nabla_x\psi_0)_\Omega=\mu_0(w_0,\psi_0)_\Omega\quad\forall\, \psi_0\in H^1(\Omega).
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Очередное утверждение можно найти в любом учебнике по дифференциальным уравнениям в частных производных или математической физике. Лемма 2. Задача (2.8) (или (1.16) в случае гладкой границы) имеет дискретный спектр а соответствующие собственные функции $w_{0k}\in H^1(\Omega)$ можно подчинить условиям ортогональности и нормировки Нулевому собственному числу $\mu_{01}$ отвечает постоянная собственная функция $w_{01}(x)=|\Omega|^{-1/2}$. В случае (1.18) предельная задача в области $\Omega$ лишена спектрального параметра, но ее свойства, разумеется, хорошо известны. Далее понадобится обобщенная функция Грина [27], которая в рамках теории распределений (см., например, учебник [28]) является решением задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_xG(x,x')=\delta(x-x')-|\Omega|^{-1},\qquad x\in\Omega, \\ \partial_nG(x,x')=0,\qquad x\in\partial\Omega. \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
При этом $\delta$ – дельта-функция Дирака, а вычитаемое $|\Omega|^{-1}$ в уравнении (2.11) нужно для того, чтобы соблюсти условие разрешимости задачи (нулевое среднее правой части по области $\Omega$). Положим Справедливы представления
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, G_j(x)=\Phi(x-P^j)+\mathbf{G}^0_{jj}+O(r_j),\qquad r_j=|x-P^j|\to+0, \\ G_k(x)=\mathbf{G}^0_{jk}+O(r_k),\qquad r_k=|x-P^k|\to+0, \quad k\ne j, \quad k=1,\dots,J. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Матрица $\mathbf{G}^0$ размером $J\times J$, составленная из коэффициентов $\mathbf{G}^0_{jk}$ в разложениях (2.13), симметрична. Функции (2.12) определены с точностью до постоянных слагаемых, которые можно зафиксировать так, чтобы
$$
\begin{equation}
\mathbf{G}^0\mathbf{e}=0\quad\text{при}\quad \mathbf{e}=(1,\dots,1)^\top\in \mathbb{R}^J.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Истолкование функций Грина (2.12) как решений однородной задачи Неймана в проколотой области $\Omega\setminus\{P^1,\dots,P^J\}$ будет дано далее в п. 2.4. 2.3. Предельный переходОбъединим последовательности (2.6), $j=1,\dots,J$, в общую последовательность (1.9), а именно, $M=\{\mu_k\}_{k\in\mathbb{N}}$. Упорядочим ее, а в критическом случае (1.17) вставим в нее еще и последовательность (1.9) собственных чисел задачи Неймана (2.8) (или (1.16) при гладком контуре $\partial\Omega$). Всюду далее под $M$ или (1.9) подразумевается именно объединение спектров предельных задач, построенное указанным способом. Каждый из спектров (2.6) и (2.9) включает нуль, и поэтому в ситуациях (1.18) и (1.17) соответственно имеем
$$
\begin{equation}
\gamma>2\quad\Longrightarrow\quad\mu_1=\dots=\mu_J=0
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
и
$$
\begin{equation}
\gamma=2\quad \Longrightarrow\quad\mu_1=\dots=\mu_J=\mu_{J+1}=0.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Очередное утверждение можно получить при $\gamma>2$ посредством незначительной модификации рассуждений и выкладок из работ [4], [7], но в случае $\gamma=2$ оно будет проверено в § 8 окольным путем. Теорема 1. Члены последовательностей (1.6) и (1.9) собственных чисел исходной и предельных задач находятся в отношении 2.4. Теория КондратьеваВесовое пространство Соболева $V^1_\beta(\Omega;\mathcal{P})$ (пространство Кондратьева [29]) определим как пополнение линейного множества $C^\infty_{\mathrm{c}}(\overline{\Omega}\setminus \mathcal{P})$ по норме
$$
\begin{equation}
\|\psi_0;V^1_\beta(\Omega;\mathcal{P})\|=\bigl( \|\mathbf{r}^\beta \nabla_x\psi_0;L^2(\Omega)\|^2+\|\mathbf{r}^{\beta-1}\psi_0;L^2(\Omega)\|^2\bigr)^{1/2}.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Здесь $\mathcal{P}=\{P^1,\dots,P^J\}$ – набор выделенных точек в области $\Omega$ и $\mathbf{r}(x)=\operatorname{dist}(x,\mathcal P)$ – расстояние до него. Пространство $V^1_\beta(\Omega;\mathcal{P})$ состоит из функций $\psi_0\in H^1_{\mathrm{loc}} (\overline{\Omega}\setminus \mathcal{P})$, для которых конечна норма (2.18). В случае $\beta<0$ эти функции затухают при $x\to P^j$, но в случае $\beta>0$ им разрешен некоторый рост, причем скорости затухания или роста контролируется показателем $\beta\in\mathbb{R}$. Весовое пространство Лебега $L^2(\Omega)$ снабжено нормой
$$
\begin{equation*}
\|\psi_0;L^2_\beta(\Omega)\|=\|\mathbf{r}^\beta\psi_0;L^2(\Omega)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что неравенство Харди (2.4) обеспечивает появления иного весового множителя в соотношении
$$
\begin{equation}
\|\mathbf{r}^{-1}(1+|{\ln\mathbf{r}}|)^{-1} \psi_0;L^2(\Omega)\|\leqslant c_{\Omega,\mathcal{P}} \|\psi_0;H^1(\Omega)\|,
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
т. е. пространства $V^1_0(\Omega;\mathcal{P})$ и $H^1(\Omega)$ различны при $d=2$ – подчеркнем, что они совпадают в многомерной области $\Omega\subset\mathbb{R}^d$, $d\geqslant3$ (еще одно отличие от плоской задачи). Интегральное тождество
$$
\begin{equation}
(\nabla_x w_0,\nabla_x\psi_0)_\Omega-\mu_0(w_0,\psi_0)_\Omega= f_0(\psi_0)\quad\forall\, \psi_0\in V^1_{-\beta}(\Omega;\mathcal{P})
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
обслуживает постановку предельной задачи на области $\Omega$ в весовом классе и требует найти функцию $w_0\in V^1_\beta(\Omega;\mathcal{P})$ по непрерывному линейному функционалу $f_0\in V^1_{-\beta}(\Omega;\mathcal{P})^\ast$ на пространстве $V^1_{-\beta}(\Omega;\mathcal{P})$, например,
$$
\begin{equation*}
f_0(\psi_0)=(\mathbf{f}_0,\psi_0)_\Omega\quad\text{при}\quad \mathbf{f}_0\in L^2_{\beta+1}(\Omega),
\end{equation*}
\notag
$$
так как $V^1_{-\beta}(\Omega;\mathcal{P})\subset L^2_{-\beta-1}(\Omega)$ согласно определению (2.18). При этом $(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,)_\Omega$ – расширение скалярного произведения в $L^2(\Omega)$ до двойственности между подходящими весовыми пространствами $L^2_\tau(\Omega)$ и $L^2_{-\tau}(\Omega)$. Задача (2.20) порождает отображение
$$
\begin{equation}
V^1_\beta(\Omega;\mathcal{P})\ni w_0\mapsto f_0=B^0_\beta(\mu)w_0\in V^1_{-\beta}(\Omega;\mathcal{P})^\ast,
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
непрерывное при любом весовом показателе $\beta\in\mathbb{R}$, однако приобретающее фредгольмово свойство только при $\beta\notin\mathbb{Z}=\{0,\pm1,\pm2,\dots\}$. Таким образом, $\beta=0$ – запретный показатель и, несмотря на то, что (2.18) – гильбертова норма, интегральное тождество (2.20) не является вариационной постановкой какой-либо фредгольмовой задачи. Сформулируем утверждения, обеспеченные общими результатами [29] (см. также [30; гл. 2] и [31; теорема 2.7, (2)]). Предложение 1. Пусть $\beta\in(0,1)$. 1) Операторы $B^0_{+\beta}(\mu)$ и $B^0_{-\beta}(\mu)$ фредгольмовы, и справедливы равенства где $\operatorname{Ind}B=\operatorname{dim}\operatorname{ker}B -\operatorname{dim}\operatorname{co}\operatorname{ker}B$ – индекс оператора $B$. Кроме того, $B^0_{\mp\beta}(\mu)$ – сопряженный оператор для $B^0_{\pm\beta}(\mu)$.2) Если $w_0\in V^1_\beta(\Omega;\mathcal{P})$ – решение задачи (2.20) с правой частью $f_0\in V^1_\beta(\Omega;\mathcal{P})^\ast\subset V^1_{-\beta}(\Omega;\mathcal{P})^\ast$, то справедливо представление
$$
\begin{equation}
w_0(x)=\widetilde{w}_0(x)+\sum_{j=1}^J\chi_j(x)\bigl(a^0_j+b^0_j\Phi(x-P^j)\bigr),
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
в котором $\Phi$ – фундаментальное решение (1.11), $\chi_j\in C^\infty_{\mathrm{c}}(\Omega)$ – срезающие функции,
$$
\begin{equation}
\chi_j=1\quad\textit{при}\quad x\in\mathbb{B}_{R/2}(P^j),\qquad \chi_j=0\quad\textit{при}\quad x\notin\mathbb{B}_R(P^j),
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
радиус $R>0$ круга $\mathbb{B}_R(P^j)=\{x\colon |x-P^j|<R\}\subset\Omega$ выбран так, что а остаток $\widetilde{w}_0\in V^1_{-\beta}(\Omega;\mathcal{P})$ и столбцы коэффициентов $a^0=(a^0_1,\dots,a^0_J)^\top$ и $b^0=(b^0_1,\dots,b^0_J)^\top$ ($\top$ – знак транспонирования) удовлетворяют неравенству Множитель $c_\beta(\mu)$ зависит от $\beta$ и $\mu$, но не от $f_0$ и $w_0$, причем $c_\beta(\mu)\to+\infty$ при $\beta\to+0$ или $\beta\to1-0$. Нетрудно усмотреть, что линейная комбинация функций Грина (2.12) принадлежит пространству Кондратьева $V^1_\beta(\Omega;\mathcal{P})$, но удовлетворяет однородной ($f_0=0$) задаче (2.20) при $\mu_0=0$ тогда и только тогда, когда При этом через обозначен ортогональный проектор на подпространство $\mathbb{C}^J_\bot$ столбцов, ортогональных столбцу $\mathbf{e}$ (см. формулу (2.14)), т. е. $\mathbb{I}_J$ – единичная матрица размером $J\times J$ и $\mathbb{E}_J$ – ($J\times J$)-матрица, составленная из $J^2$ единиц. Отметим, что и постоянная функция является решением той же однородной задачи в $V^1_\beta(\Omega;\mathcal{P})$. Подводя итог, укажем, что функции $1$ и $G_1-G_J$, $\dots$, $G_{J-1}-G_J$ образуют базис в подпространстве $\ker B^0_\beta(0)$.2.5. Уравнение на плоскостиВесовые пространства $L^2_\beta(\mathbb{R}^2)$ и $V^1_\beta(\mathbb{R}^2)$ определим как пополнения линейного множества $C^\infty_{\mathrm{c}}(\mathbb{R}^2)$ по нормам
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|f;L^2_\beta(\mathbb{R}^2)\|=\|(1+|\xi|)^\beta f;L^2(\mathbb{R}^2)\|, \\ \|w;V^1_\beta(\mathbb{R}^2)\|=\bigl(\| \nabla_\xi w;L^2_\beta (\mathbb{R}^2)\|^2+\|w;L^2_{\beta-1}(\mathbb{R}^2)\|^2\bigr)^{1/2} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно. Функции $w_j\in V^1_\beta(\mathbb{R}^2)$ затухают на бесконечности при $\beta>0$, но им разрешен некоторый рост в случае $\beta<0$. Похожее на (2.20) интегральное тождество
$$
\begin{equation}
(\nabla_\xi w_j,\nabla_\xi\psi_j)_{\mathbb{R}^2}-\mu_j(w_j,\psi_j)_{\omega_j}= f_j(\psi_j)\quad\forall\, \psi_j\in V^1_\beta(\mathbb{R}^2),
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
с правой частью $f_j\in V^1_\beta(\mathbb{R}^2)^\ast$ задает отображение
$$
\begin{equation}
V^1_{-\beta}(\mathbb{R}^2)\ni w_j\mapsto f_j=B^j_{-\beta}(\mu)w_j\in V^1_\beta(\mathbb{R}^2)^\ast.
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
Следующее утверждение вполне аналогично предложению 1, и его проверку можно найти в указанных ранее источниках. Предложение 2. Пусть $\beta\in(0,1)$. 1) Операторы $B^j_{-\beta}(\mu)$ и $B^j_{+\beta}(\mu)$ фредгольмовы, и справедливы равенства Кроме того, $B^j_{\mp\beta}(\mu)$ – сопряженный оператор для $B^j_{\pm\beta}(\mu)$.2) Если $w_j\in V^1_{-\beta}(\mathbb{R}^2)$ – решение задачи (2.29) с правой частью $f_j\in V^1_{-\beta}(\mathbb{R}^2)^\ast\subset V^1_\beta(\mathbb{R}^2)^\ast$, то справедливо представление
$$
\begin{equation}
w_j(\xi)=\widetilde{w}_j(\xi)+(1-\chi_\omega^j(\xi))(a_j+b_j\Phi(\xi)),
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
в котором $\Phi$ – фундаментальное решение (1.11), $\chi_\omega^j\in C^\infty_{\mathrm{c}}(\mathbb{R}^2)$ – срезающая функция, радиус $R^j_\omega>0$ зафиксирован так, что $\mathbb{B}_{R_\omega^j} \supset{\overline{\omega}}_j$, а исчезающий на бесконечности остаток $\widetilde{w}_j\in V^1_\beta(\mathbb{R}^2)$ и коэффициенты $a_j$ и $b_j$ удовлетворяют неравенству Множитель $c_\beta(\mu)$ зависит от $\beta$ и $\mu$, но не от $f_j$ и $w_j$, причем $c_\beta(\mu)\to+\infty$ при $\beta\to1-0$ или $\beta\to+0$. 2.6. Замечания о гладкостиГармонические при $\xi\notin\overline{\omega_j}$ собственные функции $w_{jk}\in\mathcal{H}_j$ задачи (2.2) становятся бесконечно дифференцируемыми вне любой окрестности множества $\overline{\omega_j}$ и раскладываются в сходящиеся ряды Фурье. В частности, для них выполнены представления (2.32) с коэффициентами $b_{jk}=0$ и остатками $\widetilde{w}_{jk}$, удовлетворяющими соотношениям
$$
\begin{equation*}
|\nabla_\xi^m\widetilde{w}_{jk}(\xi)|\leqslant c_{mk}|\xi|^{-1-m}, \qquad \xi\in\mathbb{R}^2\setminus\mathbb{B}_{R^j_\omega},\quad m\in\mathbb{N}_0:=\mathbb{N} \cup\{0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подчеркнем, что собственные функции попадают в пространство $H^2_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^2)$, так как правая часть $\mu_{jk}X_jw_{jk}$ уравнения (1.10) содержится в $L^2_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^2)$. Таким образом, интегральное тождество (2.2) по сути требуется только для проверки леммы 1. Собственные функции $w_{0k}\in H^1(\Omega)$ задачи (2.8) могут иметь сингулярности на липшицевой границе $\partial\Omega$, однако внутри области $\Omega$ они становятся бесконечно дифференцируемыми. То же можно сказать о функции Грина $G_j$ при учете ее сингулярности (2.13) в точке $P^j$. § 3. Весовые пространства с отделенной асимптотикой и асимптотические условия сопряжения3.1. Операторы предельных задачПусть по-прежнему $\beta\in(0,1)$. Обозначим через $\mathcal{V}^1_\beta(\Omega)$ пространство функций $w_0$, представимых в виде (2.23), и снабдим его нормой
$$
\begin{equation}
\|w_0;\mathcal{V}^1_\beta(\Omega)\|=\bigl(\|\widetilde{w}_0;V^1_{-\beta}(\Omega; \mathcal{P})\|^2+|a^0|^2+|b^0|^2\bigr)^{1/2}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Точно так же $\mathcal{V}^1_\beta(\mathbb{R}^2)$ – пространство функций (2.32) с нормой
$$
\begin{equation}
\|w_j;\mathcal{V}^1_\beta(\mathbb{R}^2)\|=\bigl(\|\widetilde{w}_j; V^1_\beta(\mathbb{R}^2)\|^2+|a_j|^2+|b_j|^2\bigr)^{1/2}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Справедливы включения
$$
\begin{equation*}
w_0\in\mathcal{V}^1_\beta(\Omega)\subset V^1_\beta(\Omega;\mathcal{P}),\qquad B^0_\beta(\mu)w_0\in V^1_\beta(\Omega;\mathcal{P})^\ast
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
w_j\in\mathcal{V}^1_\beta(\mathbb{R}^2)\subset V^1_{-\beta}(\mathbb{R}^2),\qquad B^j_{-\beta}(\mu)w_j\in V^1_{-\beta}(\mathbb{R}^2)^\ast,
\end{equation*}
\notag
$$
а конечность норм (3.1) и (3.2) обеспечена оценками (2.25) и (2.34). Отметим, что $\mathcal{V}^1_\beta(\Omega)$ – прообраз подпространства $V^1_{-\beta}(\Omega;\mathcal{P})$ при отображении (2.21), а $\mathcal{V}^1_\beta(\mathbb{R}^2)$ – прообраз подпространства $V^1_\beta(\mathbb{R}^2)$ при отображении (2.30). Каждое из введенных пространств гильбертово. Поскольку их элементам предписано определенное поведение около множества $\mathcal P$ или на бесконечности, пространства принято называть весовыми с отделенной асимптотикой. В данном параграфе все функции придется считать комплекснозначными. В силу предложений 1 и 2 отображение
$$
\begin{equation}
\mathfrak{B}_\beta\colon \mathcal{V}^1_\beta(\Omega)\times \prod_{j=1}^J\mathcal{V}^1_\beta(\mathbb{R}^2)=:\mathfrak{V}_\beta \to \mathfrak{R}_\beta:=V^1_\beta(\Omega)^\ast\times \prod_{j=1}^JV^1_{-\beta}(\mathbb{R}^2)^\ast,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
полученное сужением векторного оператора
$$
\begin{equation}
\bigl(B^0_{+\beta}(0),B^1_{-\beta}(0),\dots,B^J_{-\beta}(0) \bigr),
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
составленного из операторов (2.21) и (2.30) при $\mu=0$, на подпространство
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{V}_\beta\subset V^1_\beta(\Omega)\times \prod_{j=1}^JV^1_{-\beta}(\mathbb{R}^2) \text{ с векторными элементами } \overrightarrow{w}=(w_0,w_1,\dots,w_J),
\end{equation*}
\notag
$$
наследует от (3.4) все свойства, в частности, оператор $\mathfrak{B}_\beta$ фредгольмов и согласно формулам (2.22), (2.31) выполнено равенство 3.2. Асимптотические условия сопряженияСобираясь применить метод сращиваемых разложений (см. монографии [24], [18], [16; гл. 2] и другие), наложим следующие связи на коэффициенты разложений компонент вектор-функции $\overrightarrow{w}$: Здесь фигурирует новый большой параметр прототип которого уже неоднократно упоминался в § 1. Подчернем, что $\varepsilon\in(0,1)$ и $\ln\varepsilon<0$. Замечание 1. При учете формул (1.11) и (1.1) для фундаментального решения $\Phi$ и растянутых координат $\xi^j$ имеем Введем для векторов $\overrightarrow{w}\in\mathfrak{V}_\beta$ проекции на векторное комплексное пространство $\mathbb{C}^J$:
$$
\begin{equation}
\pi^+_\Omega\overrightarrow{w}=a^0,\quad\pi^+_\omega\overrightarrow{w}=a, \qquad \pi^-_\Omega\overrightarrow{w}=b^0,\quad\pi^-_\omega\overrightarrow{w}=b.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Здесь фигурируют столбцы коэффициентов из разложений (2.23) и (2.32). Связи (3.6) и (3.7) удобно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\pi^-_\Omega\overrightarrow{w}- \pi^-_\omega\overrightarrow{w}=0\in \mathbb{C}^J,
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
$$
\begin{equation}
\pi^-_\Omega\overrightarrow{w} +\frac{1}{\mathfrak{z}}(\pi^+_\Omega \overrightarrow{w}- \pi^+_\omega\overrightarrow{w})=0\in \mathbb{C}^J.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Еще понадобится отображение
$$
\begin{equation}
\mathfrak{M}_\beta=(\delta_{\gamma,2},X_1,\dots,X_J)\colon \mathfrak{V}_\beta \to \mathfrak{R}_\beta,
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
содержащее на первой позиции нуль и единицу в случаях (1.18), (2.15) и (1.17), (2.16) соответственно, а также характеристические функции множеств $\omega_1,\dots,\omega_J$ на следующих позициях. Оператор (3.14) непрерывный и компактный по понятным причинам. 3.3. Операторный пучокИз операторов (3.3) и (3.14) предельных задач и правых частей алгебраических равенств (3.12) и (3.13) соорудим отображение
$$
\begin{equation}
\mathfrak{A}^\mathfrak{z}_\beta(\mu):=\bigl(\mathfrak{B}_\beta-\mu\mathfrak{M}_\beta, \pi^-_\Omega- \pi^-_\omega ,\pi^-_\Omega+\mathfrak{z}^{-1}(\pi^+_\Omega- \pi^+_\omega)\bigr) \colon \mathfrak{V}_\beta\to \mathfrak{R}_\beta\times \mathbb{C}^J\times \mathbb{C}^J.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Поскольку (3.15) – компактное возмущение оператора (3.3), включающее $2J$ дополнительных ограничений на проекции (3.11), при учете равенства (3.5) имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ind}\mathfrak{A}^\mathfrak{z}_\beta(\mu)=\operatorname{Ind}\mathfrak{B}_\beta-2J=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, полиномиальный (линейный) операторный пучок $\mu\mapsto\mathfrak{A}^\mathfrak{z}_\beta(\mu)$ обладает свойствами, необходимыми для применения первичных результатов теории несамосопряженных операторов [32], в частности, аналитической альтернативы Фредгольма (см. [32; теорема 1.5.1]). 3.4. Вспомогательные утверждения и обобщенная формула ГринаДля проверки основных свойств введенного пучка потребуется несколько несложных фактов. Предложение 3. Для любого $R>0$ найдется такая величина $\mathfrak{z}_R>0$, что при $\mathfrak{z}\in[\mathfrak{z}_R,+\infty)$ (т. е. при малом $\varepsilon>0$) множество Доказательство. 1) Сначала рассмотрим случай (1.17). Пусть $\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}\in\mathfrak{V}_\beta$ – собственный вектор пучка, отвечающий собственному числу $\mu\in\mathbb{C}\setminus\overline{\mathbb{R}_+}$. Поскольку точка $\mu$ не попадает на спектры (2.8) и (2.6), неоднородные предельные задачи
$$
\begin{equation}
(\nabla_x v_0,\nabla_x\psi_0)_\Omega-\mu(v_0,\psi_0)_\Omega= f_0(\psi_0)\quad\forall\, \psi_0\in H^1(\Omega)
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
и
$$
\begin{equation}
(\nabla_\xi v_j,\nabla_\xi\psi_j)_{\mathbb{R}^2}-\mu(v_j,\psi_j)_{\omega_j}= f_j(\psi_j)\quad\forall\, \psi_j\in \mathcal{H}_j
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
с функционалами $f_0\in H^1(\Omega)^\ast$ и $f_j\in \mathcal{H}_j^\ast$ однозначно разрешимы в пространствах $H^1(\Omega)$ и $\mathcal{H}_j$ соответственно, а значит, столбец (3.6) коэффициентов в представлениях (2.23) и (2.32) компонент вектора $\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}$ отличен от нулевого (иначе аннулируется сам вектор $\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}$). Кроме того, у однородной ($f_0=0$) задачи (3.17) имеются решения (обобщенные функции Грина)
$$
\begin{equation*}
G^\mu_j(x)=\chi_j(x)\Phi(x-P^j)+{\widehat{G}}^{\,\mu}_j(x),\qquad {\widehat{G}}^{\,\mu}_j \in H^1(\Omega),
\end{equation*}
\notag
$$
для которых разложения (2.23) принимают аналогичный (2.13) вид
Точно так же однородные ($f_j=0$) задачи (2.23), $j=1,\dots,J$, обладают решениями
$$
\begin{equation*}
W^\mu_j(\xi)=(1-\chi_\omega^j(\xi))\Phi(\xi)+\widehat{W}^{\,\mu}_j(\xi),
\end{equation*}
\notag
$$
причем $\widehat{W}^{\,\mu}_j\in\mathcal{H}_j^\ast$ и
$$
\begin{equation}
\widehat{W}^{\,\mu}_j(\xi)=\mathbf{W}^\mu_j+\widetilde{W}^{\,\mu}_j(\xi), \qquad \widetilde{W}^{\,\mu}_j\in V^1_\beta(\mathbb{R}^2).
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Поскольку для собственного вектора выполнены равенства $\pi_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}= \pi_\omega\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}$ (см. формулу (3.15)), перечисленные факты оставляют одну возможность для компонент вектора $\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}$, а именно,
$$
\begin{equation}
w^{\,\mathfrak{z}}_0(x)=\sum_{j=1}^Jb_jG^\mu_j(x)=:G^\mu(x)b,
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
$$
\begin{equation}
w^{\,\mathfrak{z}}_j(\xi)=b_jW_j^\mu(\xi),\qquad j=1,\dots,J.
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
При этом $b\ne 0\in\mathbb{R}^J$. Следовательно, столбцы коэффициентов приобретают вид где ($J\times J$)-матрица $\mathbf{G}^\mu$ составлена из коэффициентов разложений (3.19), а диагональная матрица $\mathbf{W}^\mu=\operatorname{diag}\{\mathbf{W}^\mu_1,\dots,\mathbf{W}^\mu_J\}$ включает коэффициенты разложений (3.20). В результате условия сопряжения (3.7), входящие в последнюю компоненту пучка (3.15), превращаются в алгебраическую систему Поскольку $|\mu|<R$ и точка $\mu$ удалена на расстояние $1/R>0$ от множества $M$ собственных чисел дифференциальных уравнений (1.10) и задачи Неймана (1.16), нормы матриц $\mathbf{W}^\mu$ и $\mathbf{G}^\mu$ равномерно ограничены на множестве (3.16). Таким образом, матрица $\mathfrak{z}\,\mathbb{I}_J+\mathbf{G}^\mu-\mathbf{W}^\mu$ обратима при большом $\mathfrak{z}$ (малом $\varepsilon>0$). Итак, $b=0\in\mathbb{C}^J$, и обнаружено противоречие, выраженное нелепой формулой $\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}=0$ для собственного вектора. В итоге найдется такая величина $\mathfrak{z}_R>0$, что при $\mathfrak{z}\in[\mathfrak{z}_R,+\infty)$ любая точка $\mu$ из множества (3.16) не может быть собственным числом пучка $\mu\mapsto\mathfrak{A}^\mathfrak{z}_\beta(\mu)$, т. е. отображение (3.15) – изоморфизм при $\mu\in\mathbb{B}_{\circledR}\setminus\mathbb{M}_{\circledR}$. Нужное утверждение получено в случае $\gamma=2$.
2) В ситуации (1.18) предельная задача (3.17) лишается параметра $\mu$, и согласно комментариям к формулам (2.26) и (2.27) общее решение однородной задачи в пространстве $V^1_\beta(\Omega;\mathcal{P})$ принимает вид где $a^0_0\in \mathbb{C}$ и $b\in\mathbb{C}_\bot^J$. Теперь формулы (3.25) иподменяют формулы (3.21) и (3.23), а значит, условия сопряжения (3.7) и соотношения (3.24), (3.26) влекут за собой систему линейных алгебраических уравнений Применив к ней ортогональный проектор $\mathbb{P}$ и заметив, что по прежним причинам при большом $\mathfrak{z}$ (малом $\varepsilon>0$) обратимо отображение
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{z}\mathbb{P}+\mathbf{G}^0-\mathbb{P}\mathbf{W}^\mu\mathbb{P}\colon \mathbb{C}_\bot^J\,\to\,\mathbb{C}_\bot^J,
\end{equation*}
\notag
$$
сначала находим в силу условия (2.14), что
$$
\begin{equation*}
\mathbf{G}^0b+\mathfrak{z}b=\mathbb{P}\mathbf{W}^\mu b\quad\Longleftrightarrow\quad b=0\in \mathbb{C}_\bot^J,
\end{equation*}
\notag
$$
а затем получаем равенство $a^0_0=J^{-1}\mathbf{e}^\top\mathbf{W}^\mu b=0$, обеспечивающее искомое противоречие $\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}=0$ и доказывающее предложение в полном объеме. Предложение 3 доказано. Далее понадобится формула интегрирования по частям, которую принято называть обобщенной формулой Грина (ср. [30; гл. 6], [23] и другие). Лемма 3. Для вектор-функций $\overrightarrow{w}^{(1)},\overrightarrow{w}^{(2)} \in\mathfrak{V}_\beta$ выполнено равенство Доказательство. Соотношение (3.27) проверяется выкладкой, опирающейся на формулы Грина в области с малыми отверстиями $\Omega(\alpha)=\Omega\setminus \bigcup_{j=1}^J\mathbb{B}_\alpha(P_j)$ и в большом круге $\mathbb{B}_{1/\alpha}\subset\mathbb{R}^2$ с последующим предельным переходом $\alpha\to+0$. Левая часть (3.27) равна
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\lim_{\alpha\to+0}\sum_{j=1}^J \bigl( \bigl(\partial_{r_j}w^{(1)}_0,w^{(2)}_0\bigr)_{\partial\mathbb{B}_\alpha(P_j)}- \bigl(w^{(1)}_0,\partial_{r_j}w^{(2)}_0\bigr)_{\partial\mathbb{B}_\alpha(P_j)}\bigr) \nonumber \\ &\ \qquad-\lim_{\alpha\to+0}\sum_{j=1}^J \bigl(\bigl(\partial_{\rho_j}w^{(1)}_j,w^{(2)}_j\bigr)_{\partial\mathbb{B}_{1/\alpha}}- \bigl(w^{(1)}_j,\partial_{\rho_j}w^{(2)}_j\bigr)_{\partial\mathbb{B}_{1/\alpha}}\bigr) \nonumber \\ &\ =\lim_{\alpha\to+0}\sum_{j=1}^J\int_0^{2\pi}\biggl(-\frac{b^{0(1)}_j}{2\pi} \biggl({\overline{\frac{b^{0(2)}_j}{2\pi}}} \ln\frac{1}{\alpha}+ \overline{a^{0(2)}_j}\biggr)+\overline{\frac{b^{0(2)}_j}{2\pi}}\biggl( \frac{b^{0(1)}_j}{2\pi}\ln\frac{1}{\alpha}+a^{0(1)}_j\biggr)\biggr)\, d\varphi_j \nonumber \\ &\ \qquad+\lim_{\alpha\to+0}\sum_{j=1}^J\int_0^{2\pi} \biggl(-\frac{b^{(1)}_j}{2\pi} \biggl(\overline{\frac{b^{(2)}_j}{2\pi}} \ln\frac{1}{\alpha}+ \overline{a^{(2)}_j}\biggr) -\overline{\frac{b^{(2)}_j}{2\pi}}\biggl( \frac{b^{(1)}_j}{2\pi} \ln\frac{1}{\alpha}+a^{(1)}_j\biggr)\biggr)\, d\varphi_j \nonumber \\ &\ =\sum_{j=1}^J\bigl(\overline{b^{0(2)}_j}a^{0(1)}_j-b^{0(1)}_j\overline{a^{0(2)}_j}- \overline{b^{(2)}_j}a^{(1)}_j+b^{(1)}_j\overline{a^{(2)}_j}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
Осталось вспомнить определение проекций (3.11). Лемма доказана. Установим еще одно свойство пучка $\mathfrak{A}_\beta^\mathfrak{z}$. Предложение 4. Собственные числа пучка (3.15) вещественные. Доказательство. Пусть $\{\mu,\overrightarrow{w}\}$ – собственная пара пучка. Применим обобщенную формулу Грина (3.27) и получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mu\biggl((w_0,w_0)_\Omega+\sum_{j=1}^J (w_j,w_j)_{\omega_j}\biggr) &=-(\Delta_xw_0,w_0)_\Omega-\sum_{j=1}^J (\Delta_\xi w_j,w_j)_{\mathbb{R}^2} \nonumber \\ &= -(w_0,\Delta_xw_0)_\Omega-\sum_{j=1}^J (w_j,\Delta_\xi w_j)_{\mathbb{R}^2}+\mathfrak{J}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Последнее слагаемое, содержащее фигурирующие в правой части равенства (3.27) скалярные произведения в $\mathbb{C}^J$ проекций вектора $\overrightarrow{w}$, преобразуем при учете алгебраических связей (3.12) и (3.13):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{J} &=(\pi^+_\Omega\overrightarrow{w},\pi^-_\Omega\overrightarrow{w})_{\mathbb{C}^J}- (\pi^-_\Omega\overrightarrow{w},\pi^+_\Omega\overrightarrow{w})_{\mathbb{C}^J}- (\pi^+_\omega\overrightarrow{w},\pi^-_\omega\overrightarrow{w})_{\mathbb{C}^J}+ (\pi^-_\omega\overrightarrow{w},\pi^+_\omega\overrightarrow{w})_{\mathbb{C}^J} \\ &=(\pi^-_\Omega\overrightarrow{w},\pi^+_\Omega\overrightarrow{w}- \pi^+_\omega\overrightarrow{w})_{\mathbb{C}^J}- (\pi^+_\Omega\overrightarrow{w}-\pi^+_\omega\overrightarrow{w}, \pi^-_\Omega\overrightarrow{w})_{\mathbb{C}^J} \\ &=-\mathfrak{z}^{-1}(\pi^+_\Omega\overrightarrow{w}- \pi^+_\omega\overrightarrow{w},\pi^+_\Omega\overrightarrow{w}- \pi^+_\omega\overrightarrow{w})_{\mathbb{C}^J}{+}\, \mathfrak{z}^{-1}(\pi^+_\Omega\overrightarrow{w}- \pi^+_\omega\overrightarrow{w},\pi^+_\Omega\overrightarrow{w}- \pi^+_\omega\overrightarrow{w})_{\mathbb{C}^J}\,{=}\,0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось заметить, что правая часть (3.29) вещественная, так как совпадает со своим комплексным сопряжением. Следовательно, $\mu\in\mathbb{R}$, в чем и требовалось убедиться. 3.5. Спектр пучкаСогласно предложениям 3, 4 и аналитической альтернативе Фредгольма [32; теорема 1.5.1] спектр $\sigma^\mathfrak{z}_\beta$ состоит из нормальных собственных чисел на вещественной оси, причем для любого $R>0$ сегмент $[-R,-1/R]\subset\mathbb{R}_-$ свободен от собственных чисел при большом $\mathfrak{z}$. В замечании 2 будет пояснено, что каждое из собственных чисел алгебраически простое (у собственных векторов нет присоединенных). Сформулируем финальное утверждение. Теорема 2. Для любого $R$ найдется такое $\mathfrak{z}^0_R>0$, что при $\mathfrak{z}\geqslant\mathfrak{z}^0_R$ спектр пучка (3.15) внутри круга $\mathbb{B}_\circledR\subset\mathbb{C}$ содержит только собственные числа из неотрицательной монотонной последовательности составленной при учете геометрических кратностей. Все собственные числа алгебраически простые. Нулевому собственному числу $\mu^\mathfrak{z}_1$ отвечает постоянная вектор-функция $\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak z}_1\,{=} (1,1,\dots,1)$ с проекциями $\pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak z}_1= \pi^-_\omega\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak z}_1=0\in \mathbb{C}^J$ и $\pi^+_\Omega \overrightarrow{w}^{\,\mathfrak z}_1= \pi^+_\omega\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak z}_1=\mathbf{e}$. Первое (строгое) неравенство в списке (3.30) подтверждено предложением 5 и теоремой 8. § 4. Операторная модель4.1. Предельный переход и замечания об аналитичностиПоложив $\varepsilon=0$ и $\mathfrak{z}=+\infty$ в формуле (3.15), получим операторный пучок
$$
\begin{equation}
\mathfrak{A}^{\infty}_\beta(\mu):=(\mathfrak{B}_\beta-\mu\mathfrak{M}_\beta, \pi^-_\Omega- \pi^-_\omega ,\pi^-_\Omega)\colon \mathfrak{V}_\beta\to \mathfrak{R}_\beta\times \mathbb{C}^J\times \mathbb{C}^J .
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Строение алгебраических компонент этого пучка показывает, что для проекций (3.11) собственного вектора $\overrightarrow{w}^{\,\infty}\in\mathfrak{V}_\beta$ верны равенства
$$
\begin{equation}
\pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}=\pi^-_\omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}=0\in\mathbb{C}^J.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Следовательно, собственные векторы принадлежат подпространству
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{V}^+_\beta=\{ \overrightarrow{w}^{\,\infty}\in \mathfrak{V}_\beta\colon \pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}=\pi^-_\omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}=0\in \mathbb{C}^J\},
\end{equation*}
\notag
$$
в котором разложения (2.23) и (2.32) компонент вектор-функций не содержат логарифмов, а значит,
$$
\begin{equation}
\mathfrak{V}^+_\beta\subset \mathfrak{H}:=H^1(\Omega)\times\prod_{j=1}^J\mathcal{H}_j.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Таким образом, в согласии с равенствами (4.2) предложения 1 и 2 означают, что сужение $\mathfrak{A}^+_\beta(\mu)$ оператора (4.1) на подпространство $\mathfrak{V}^+_\beta$ наследует все основные свойства от оператора
$$
\begin{equation*}
\bigl(\mathcal{B}^+_0(\mu),\mathcal{B}^+_1(\mu),\dots, \mathcal{B}^+_J(\mu)\bigr)\colon \mathfrak{H}\to\mathfrak{H}^\ast
\end{equation*}
\notag
$$
предельных задач (3.17) и (3.18), $j=1,\dots,J$, в частности, спектр (1.9) – объединение последовательностей (2.6), $j=1,\dots,J$, а также (2.8) в случае $\gamma=2$. При этом в силу соотношений (2.10) и (2.7) собственные векторы $\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(p)}=(w_{0(p)}^\infty, w_{1(p)}^\infty,\dots,w_{J(p)}^\infty)$ пучка подчинены условиям ортогональности и нормировки
$$
\begin{equation}
I_\gamma(\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(p)},\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(q)} ):=\delta_{\gamma,2}\bigl(w^\infty_{0(p)},w^\infty_{0(q)}\bigr)_\Omega+ \sum_{j=1}^J\bigl(w^\infty_{j(p)},w^\infty_{j(q)}\bigr)_{\omega_j}=\delta_{p,q}, \qquad p,q\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Замечание 2. Поскольку пучки (3.15) и (4.1) различаются конечномерным оператором с нормой $O(\mathfrak{z}^{-1})$, исчезающе малые при $\mathfrak{z} \to+\infty$ возмущения претерпевают и соотношения (4.4) для собственных векторов $\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)}\in \mathfrak{V}_\beta$, $p\in\mathbb{N}$, пучка $\mu\mapsto\mathfrak{A}^\mathfrak{z}_\beta(\mu)$. Таким образом, присоединенных к собственным векторов $\overrightarrow{w}^{\mathfrak{z},1}_{(p)}\in \mathfrak{V}_\beta$ не существует, так как условия разрешимости уравнений для них Итак, очередное утверждение – следствие классических результатов теории возмущений линейных операторов (см., например, [25; гл. 7] и [32; гл. 1]). Теорема 3. Члены последовательностей (3.30) и (1.9) находятся в отношении В частности, для любого $k\in\mathbb{N}$ верна оценка при $\mathfrak{z}\in[\mathfrak{z}^0_k,+\infty)$ с некоторыми $\mathfrak{z}^0_k>0$ и $c^0_k>0$. Заметим еще, что пучок (3.15) линейно зависит от малого параметра $1/\mathfrak{z}$, и в случае простого предельного собственного числа $\mu_k$ функция
$$
\begin{equation}
\biggl[0,\frac1{\mathfrak{z}^0_k}\biggr]\ni\mathfrak{z}\mapsto\mu^\mathfrak{z}_k
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
согласно [25; теорема 7.1.8] является аналитической при некотором $\mathfrak{z}^0_k>0$, однако для кратных предельных собственных чисел, т. е. при $\varkappa_k>1$ и
$$
\begin{equation}
\mu_{k-1}<\mu_k=\dots=\mu_{k+\varkappa_k-1}<\mu_{k+\varkappa_k},
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
эта теорема допускает более сложное поведение собственных чисел $\mu_k^\mathfrak{z},\dots, \mu^\mathfrak{z}_{k+\varkappa_k-1}$ при $\mathfrak{z}\to+\infty$. Мы вернемся к вопросу об аналитичности в п. 4.5. 4.2. Асимптотика по обратным степеням логарифма; случай (1.17)Построим асимптотику собственных чисел $\mu^\mathfrak{z}_k$ пучка (3.15) по обратным степеням большого параметра (3.8). Далее объекты асимптотического анализа следует считать вещественными. Прежде всего обратимся к случаю $\gamma=2$, в котором все предельные задачи спектральные. Пусть сначала $\mu^\infty_k=\mu_k$ – простое собственное число пучка $\mathfrak{A}^\infty_\beta$, а соответствующий собственный вектор $\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(k)}=\overrightarrow{w}_{(k)}\in\mathfrak{V}_\beta$ подчинен условию нормировки (4.4) при $p=q=k$. Примем простейшие асимптотические анзацы
$$
\begin{equation}
\mu^\mathfrak{z}_p=\mu^\infty_p+\mathfrak{z}^{-1}\mu'_p+ \widetilde{\mu}^{\,\mathfrak z}_p
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
и
$$
\begin{equation}
\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)}=\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(p)}+\mathfrak{z}^{-1} \overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)}+\widetilde{\overrightarrow{w}}^{\,\mathfrak z}_{(p)}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
с индексом $p=k$ и малыми остатками, которые будут оценены в теореме 4. Подставим анзацы (4.9) и (4.8) в абстрактное уравнение
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{A}_\beta^\mathfrak{z}(\mu^\mathfrak{z}) \overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}=0\in \mathfrak{R}_\beta\times\mathbb{C}^J\times\mathbb{C}^J
\end{equation*}
\notag
$$
и, заметив, что члены порядка единицы аннулируются, соберем множители при $\mathfrak{z}^{-1}$. В результате получим для асимптотических поправок дифференциальные задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_xw'_{0(p)}(x)-\delta_{\gamma,2}\mu^\infty_pw'_{0(p)}(x)= \delta_{\gamma,2}\mu'_pw^\infty_{0(p)}(x),\qquad x\in\Omega, \\ \partial_nw'_{0(p)}(x)=0,\qquad x\in\partial\Omega, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
$$
\begin{equation}
-\Delta_\xi w'_{j(p)}(\xi)-\mu^\infty_pX_j(\xi) w'_{j(p)}(\xi) =\mu'_pX_j(\xi)w^\infty_{j(p)}(\xi),\qquad \xi\in\mathbb{R}^2,\quad j=1,\dots,J,
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
и алгебраические соотношения
$$
\begin{equation}
\pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)}-\pi^-_\omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)} =0\in\mathbb{C}^J,\qquad \pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)} =\pi^+_\omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(p)}-\pi^+_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(p)},
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
где $p=k$, а символ Кронекера $\delta_{\gamma,2}$ введен для применения формул и в случае (1.18). Правая часть второго алгебраического условия сопряжения (4.12) появилась из-за присутствия в исходных условиях (3.13) малого параметра $\mathfrak{z}^{-1}$. Поскольку собственное число $\mu^\infty_k$ простое, имеется только одно условие разрешимости задачи (4.10)–(4.12), которое найдем, подставив вектор-функции $\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(k)}$ и $\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(k)}$ в обобщенную формулу Грина (3.27), и зафиксируем тем самым поправку $\mu_p'$. При учете нормировки (4.4) для $\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(k)}$ получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mu'_p &=\mu'_p\biggl( \delta_{\gamma,2}(w_{0(k)},w_{0(k)})_\Omega+ \sum_{j=1}^J(w_{j(k)},w_{j(k)})_{\omega_j}\biggr) \nonumber \\ &=-\bigl(\Delta_x w'_{0(k)}+\delta_{\gamma,2}\mu^\infty_kw'_{0(k)},w^\infty_{0(k)}\bigr)_\Omega- \sum_{j=1}^J\bigl(\Delta_\xi w_{j(k)}+\mu^\infty_kX_jw'_{0(k)},w^\infty_{j(k)}\bigr)_{\mathbb{R}^2} \nonumber \\ &=-\bigl(\pi^+_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(k)}\bigr)^\top \pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(k)}+ \bigl(\pi^+_\omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(k)}\bigr)^\top \pi^-_\omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(k)} \nonumber \\ &=\bigl(\pi^+_\omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(k)}-\pi^+_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(k)} \bigr)^\top \pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(k)}=\bigl| \pi^+_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(k)} -\pi^+_\omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(k)} \bigr|^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
При этом приняты во внимание интегральные тождества (2.8) для $w^\infty_{0(k)}\in H^1(\Omega)$ и (2.2) для $w^\infty_{j(k)}\in \mathcal{H}_j$ – указанные включения сопровождаются соотношениями (4.2). Последние два равенства в цепочке (4.13) – следствие алгебраических условий (4.12). Итак, формула (4.13) (без средней ее части) предоставляет поправочное слагаемое в асимптотическом разложении (4.8) собственного числа $\mu^\mathfrak{z}_k$, простого в силу теоремы 3 и сделанного предположения о предельном собственном числе $\mu^\infty_k$. Кроме того, из ставшей разрешимой задачи (4.10)–(4.12) определяется поправка в асимптотическом разложении (4.9) собственного вектора $\overrightarrow{w}_{(k)}^\mathfrak{z}$ (с точностью до слагаемого $c'_p\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(k)}$). Аналогичная асимптотическая процедура обслуживает и кратное собственное число $\mu_k$ из списка (4.7). Анзацы (4.8) и (4.9) назначаются для собственных пар $\bigl\{\mu^\mathfrak{z}_k;\overrightarrow{w}_{(k)}^\mathfrak{z}\bigr\}, \dots, \bigl\{\mu^\mathfrak{z}_{k+\varkappa_k-1};\overrightarrow{w}_{(k+\varkappa_k-1)}^\mathfrak{z} \bigr\}$; при этом $\mu^\infty_k=\dots=\mu^\infty_{k+\varkappa_k-1}=\mu_k$ и
$$
\begin{equation}
\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(p)}=c^p_k\overrightarrow{w}_{(k)}+\dots+ c^p_{k+\varkappa_k-1}\overrightarrow{w}_{(k+\varkappa_k-1)},\qquad p=k,\dots,k+\varkappa_k-1,
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
где $\overrightarrow{w}_{(k)},\dots,\overrightarrow{w}_{(k+\varkappa_k-1)}\in \ker \mathfrak{A}^\infty_\beta(\mu_k)$ – собственные векторы пучка $\mathfrak{A}^\infty_\beta$, отвечающие его собственному числу $\mu_k$ и подчиненные условиям ортогональности и нормировки (4.4), а неизвестные столбцы $c^p=(c^p_k,\dots,c^p_{k+\varkappa_k-1})^\top$ линейных комбинаций (4.14) удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation}
(c^p)^\top c^q=\delta_{p,q},\qquad p,q=k,\dots,k+\varkappa_k-1.
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Поправки $\mu'_k$ и $\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)}$ в анзацах (4.8) и (4.9) находятся из задач (4.10)–(4.12), у которых согласно предположению (4.7) появляются $\varkappa_k$ условий разрешимости. Повторив выкладку (3.28) несколько раз, обнаруживаем, что эти условия принимают вид системы линейных алгебраических уравнений
$$
\begin{equation}
\mu'_p c^p_q= \sum_{m=k}^{k+\varkappa_k-1} \mathbf{T}^p_{qm}c^p_{m},\qquad q=k,\dots,k+\varkappa_k-1.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Здесь элементы симметричной ($\varkappa_k\times\varkappa_k$)-матрицы $\mathbf{T}^p$ заданы равенствами
$$
\begin{equation}
\mathbf{T}^p_{qm}=\bigl(\pi^+_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(m)}- \pi^+_\omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(m)} \bigr)^\top \bigl(\pi^+_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(q)}-\pi^+_\omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(q)} \bigr).
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Ясно, что $\mathbf{T}^p_{(2)}:=\mathbf{T}^p$ – матрица Грама, симметричная и положительная, но не обязательно положительно определенная (см. примеры в § 5). Поэтому система (4.16) имеет неотрицательные вещественные собственные числа
$$
\begin{equation}
0\leqslant\mu'_k\leqslant\dots\leqslant \mu'_{k+\varkappa_k-1},
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
которые конкретизируют поправочные члены в представлениях (4.17) собственных чисел операторного пучка $\mathfrak{A}^\mathfrak{z}_\beta$. По соответствующим собственным векторам-столбцам $c^k,\dots,c^{k+\varkappa_k-1} \in\mathbb{R}^J$, подчиненным требованиям (4.15), определяются главные члены (4.14) в представлениях (4.9) собственных векторов, а также поправочные члены – из задачи (4.10)–(4.12), для которой условия разрешимости (4.16) выполнены (разумеется, слагаемые $\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)}$ находятся с точностью до линейной комбинации собственных векторов $\overrightarrow{w}_{(k)},\dots,\overrightarrow{w}_{(k+\varkappa_k-1)}$). Построение начальных членов асимптотики собственных пар пучка (3.15) закончено в случае (1.17). 4.3. Асимптотика по обратным степеням логарифма; случай (1.18)Сразу же рассмотрим собственное число $\mu_k$ из формулы (4.7) – для простого собственного числа нужно положить $\varkappa_k=1$ в последующих выкладках. Теперь в предельной задаче на проколотой области $\Omega\setminus\mathcal{P}$ нет спектрального параметра, а ее решение принимает вид (3.25). Кроме того, из условий ортогональности и нормировки (4.4) исчезает первое скалярное произведение в $L^2(\Omega)$, а значит,
$$
\begin{equation}
\pi^+_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(p)}=C_p\mathbf{e},\qquad \pi^+_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(p)}=0,\qquad \pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)}=\pi^-_\omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)}= \mathbb{R}^J_\bot:=\mathbb{P}\mathbb{R}^J,
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
причем множители $C_k,\dots,C_{k+\varkappa_k-1}$ не имеют прямого отношения к собственным векторам $\overrightarrow{w}_{(k)},\dots,\overrightarrow{w}_{(k+\varkappa_k-1)}$, а нуждаются в вычислении совместно с коэффициентами линейных комбинаций (4.14). Применив ко второй строке (4.12) проекторы $\mathbb{P}$ и $\mathbb{I}_J-\mathbb{P}$, выводим из (4.19) соотношения
$$
\begin{equation}
\pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)}=\pi^-_\omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)}= \mathbb{P}\pi^+_\omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(p)},
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
$$
\begin{equation}
C_p=J^{-1}\mathbf{e}^\top\pi^+_\omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(p)}.
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Формула (4.21) конкретизирует первый столбец в списке (4.19), а формула (4.20) указывает сингулярные составляющие у решений $\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(k)},\dots, \overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(k+\varkappa_k-1)}$ уравнений (4.11) на плоскости. Подчеркнем, что задача Неймана (4.10) становится однородной ввиду отсутствия в ней параметров $\mu_p^\infty$ и $\mu_p'$ из-за множителя $\delta_{\gamma,2}$ и не нуждается в проверке условий разрешимости, а решение принимает вид $w_{(p)}'(x)=a^{0\,\prime}_0+G(x)b^{0\,\prime}$ с коэффициентами $a^{0\,\prime}_0\in\mathbb{R}$ и $b^{0\,\prime}\in\mathbb{R}^J_\bot$, которые можно найти на следующих шагах асимптотической процедуры. Условия разрешимости полученной задачи (4.11), (4.20) вычисляются при помощи прежней выкладки (4.13), в которой фигурируют векторы $\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)}$ и $\overrightarrow{w}_{(m)}$, а изменяется только последний переход. В результате согласно соотношениям (4.20) и (4.21) получаем систему алгебраических уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mu'_p c^p_m &= -\bigl(\pi^+_\Omega\overrightarrow{w}_{(m)}\bigr)^\top \pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)} +\bigl(\pi^+_\omega\overrightarrow{w}_{(m)}\bigr)^\top \pi^-_\omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)} \nonumber \\ &=-0+\sum_{q=k}^{k+\varkappa_k-1} c^p_q \bigl(\pi^+_\omega\overrightarrow{w}_{(m)}\bigr)^\top \mathbb{P}\pi^+_\omega\overrightarrow{w}_{(q)},\qquad m=k,\dots,k+\varkappa_k-1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
или в краткой – матричной – форме
$$
\begin{equation}
\mu'_p c^p= \mathbf{T}^kc^p\text{ на подпространстве }\mathbb{R}^J_\bot,
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
где $\mathbf{T}^k_{(\gamma)}:=\mathbf{T}^k= (\mathbf{T}^k_{mq})_{m,q=k}^{k+\varkappa_k-1}$ – симметричная и положительная ($\varkappa_k\times \varkappa_k$)-матрица c элементами
$$
\begin{equation}
\mathbf{T}^k_{mq}=\bigl(\mathbb{P}\pi^+_\omega\overrightarrow{w}_{(m)}\bigr)^\top \mathbb{P}\pi^+_\omega\overrightarrow{w}_{(q)}.
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
У системы (4.23) имеется набор (4.18) собственных чисел. Итак, и в случае (1.18) найдено поправочное слагаемое $\mathfrak{z}^{-1}\mu'_p$ для анзаца (4.8), а также для анзаца (4.9) – слагаемое $\mathfrak{z}^{-1}\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)}$ (с упоминавшимся допустимым произволом). 4.4. Теорема о логарифмической асимптотикеСформулируем оценки остатков в асимптотике собственных чисел, которые (оценки) обеспечены классическими результатами теории возмущений линейных операторов (см., например, монографии [25], [32], [33]). Теорема 4. Для всякого $m\in\mathbb{N}\setminus \{1\}$ найдутся такие положительные величины $\mathfrak{z}^0_m$ и $c^0_m$, что при $\mathfrak{z}\geqslant\mathfrak{z}^0_m$ (т. е. при $\varepsilon\in(0,\varepsilon^0_m]$ с некоторым $\varepsilon^0_m>0$) для первых $m$ положительных членов последовательности (3.30) собственных чисел пучка (3.15) выполнены асимптотические формулы Кроме того, для простого ($\varkappa=1$) собственного числа $\mu_k\in M$ собственные векторы $\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_k$ и $\overrightarrow{w}_k$ пучков (3.15) и (4.1), подчиненные условиям ортогональности и нормировки (4.4), удовлетворяют неравенству
$$
\begin{equation}
\|\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_k-\overrightarrow{w}^{\,\infty}_k;\mathfrak{H}\|\leqslant c^0_k\,\mathfrak{z}^{-1},
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
где $\overrightarrow{w}^{\,\infty}_k=\overrightarrow{w}_k$. Если же собственное число кратное (см. (4.7)), то под $\overrightarrow{w}^{\,\infty}_k$ подразумеваются линейные комбинации (4.14) с некоторыми зависящими от $\mathfrak{z}$ столбцами коэффициентов $c^p(\mathfrak{z})$, подчиненных условиям ортогональности и нормировки (4.15). Обратим внимание на то, что поправочные слагаемые $\overrightarrow{w}^{\,\prime}_k$ находятся из задач (4.10)–(4.12) с некоторым естественным произволом, т. е. они не определены и потому исключены из левой части оценки (4.26). Разумеется, процедуру построения асимптотики можно продолжить и получить бесконечные формальные асимптотические ряды (в следующем пункте обсуждается их сходимость). Для простого собственного числа поправка $\overrightarrow{w}^{\,\prime}_k$ может быть вычислена на втором шаге итерационного процесса. 4.5. Замечания об аналитичностиВ обоих случаях (1.17) и (1.18) матрица $\mathbf{T}^k_{(\gamma)}$ может быть вырожденной, а ее нулевое собственное число, в частности, – кратным. Набор (4.18) может содержать кратные положительные собственные числа. В то же время, если случилось, что собственное число $\mu'_q$ из списка (4.18) простое, то по теореме 4 простым оказывается и собственное число $\mu^\mathfrak{z}_q$ пучка (3.15), а значит, теорема 7.1.8 из [25], примененная к пучку $\mu\mapsto\mathfrak{A}_\beta^\mathfrak{z}(\mu-\mu_k- \mathfrak{z}^{-1}\mu'_q)$, по-прежнему гарантирует аналитичность функции (4.6) с номером $k=q$. Если же $\mu'_q$ – собственное число матрицы $\mathbf{T}^k_{(\gamma)}$ с кратностью $\varkappa_{kq}>1$, то классические результаты не позволяют непосредственно выяснить качество зависимости от малого параметра $1/\mathfrak{z}$ собственных чисел $\mu^\mathfrak{z}_q,\dots, \mu^\mathfrak{z}_{q+\varkappa_{kq}-1}$, и приходится строить младшие члены асимптотик (4.8) при $p=q,\dots,q+\varkappa_{kq}-1$. Благодаря простой зависимости пучка $\mathfrak{A}_\beta^\mathfrak{z}$ от параметра $1/\mathfrak{z}$ последующие шаги асимптотической процедуры по существу не отличаются от проделанного. Вместе с тем становятся возможными две ситуации. Прежде всего, на уровне $\mathfrak{z}^{-N_q}$ может случиться расщепление асимптотик собственных чисел, т. е. величины $\mathfrak{z}^{-N_q}\mu^{N_q}_q,\dots, \mathfrak{z}^{-N_q}\mu^{N_q}_{q+\varkappa_{kq}-1}$ оказались различными, а значит, по прежним причинам функции (4.6) с номерами $k=q,\dots,q+\varkappa_{kq}-1$ являются аналитическими. Если же расщепления собственных чисел за конечное количество шагов итерационного процесса не происходит, то опять-таки появляются две возможности. Во-первых, собственное число
$$
\begin{equation}
\mu^\mathfrak{z}_q=\dots=\mu^\mathfrak{z}_{q+\varkappa_{kq}-1}
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
возмущенного пучка (3.15) кратное, например, из-за геометрической симметрии исходной составной области $\Omega^\varepsilon\,\cup\,\omega^\varepsilon$ (ср. рис. 1, (b)). Тогда прежняя теорема из книги [25] доказывает аналитичность величин (4.27). Во-вторых, расщепление собственных чисел может происходить на сверхстепенном относительно параметра $1/\mathfrak{z}$ уровне и проверить аналитичность простой ссылкой не удается – в этом случае вопрос остается открытым. Отметим еще, что при $J>1$ и одинаковых формах включений (1.1) (рис. 1, (a)) все (случай $\gamma>2$) или многие (случай $\gamma=2$) собственные числа в последовательности $M$ кратные. Геометрическая симметрия (рис. 1, (b)) позволяет сузить исходную задачу на часть области $\Omega$ путем постановки искусственных краевых условий, а значит, в большинстве ситуаций иметь дело именно с простыми собственными числами. Сформулируем результат в урезанном виде и прокомментируем его. Теорема 5. Пусть собственное число $\mu_k$ пучка (3.15) простое или при кратном $\mu_k$ простым оказалось собственное число $\mu_q'$ матрицы $\mathbf{T}^k_{(\gamma)}$ (см. списки (4.6) и (4.18)). Тогда функция (4.6) с индексом $k$ или $q$ аналитическая, причем соответствующий собственный вектор $\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_k$ или $\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_k$, нормированный согласно условию (4.4), также аналитически зависит от малого параметра $1/\mathfrak{z}$. Подчеркнем, что теорема 5 касается лишь только модели (3.15), но не самой задачи (1.2), (1.3) в составной плоской области $\Omega^\varepsilon\cup\omega^\varepsilon$. Аналитичность собственных чисел (1.6) уже относительно двух малых параметров $\varepsilon$ и $1/|{\ln\varepsilon}|$ осталась невыясненной в данной работе. Весьма возможно, ответы на сформулированные открытые вопросы можно получить при помощи техники, развитой в статьях [19], [20], [34] и других, однако результатов о собственных числах задач с концентрированными массами опубликовано пока не было. § 5. Возмущение нулевого собственного числа5.1. Случай $\gamma=2$Собственному числу $\mu=0$ предельного пучка $\mathfrak{A}^\infty_\beta$ отвечают ортонормированные собственные векторы
$$
\begin{equation}
\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(j)}=(0,|\omega_1|^{-1/2}\delta_{1,j}, \dots,|\omega_J|^{-1/2}\delta_{J,j}), \qquad j=1,\dots,J,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
$$
\begin{equation}
\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(J+1)}=(|\Omega|^{-1/2},0,\dots,0).
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Матрица $\mathbf{T}^1$ размером $(J+1)\times(J+1)$ с элементами (4.17) принимает вид
$$
\begin{equation}
\mathbf{T}^1= \begin{pmatrix} \mathbb{T}_\omega & -|\Omega|^{-1/2}t_\omega \\ -|\Omega|^{-1/2} t_\omega^\top & J|\Omega|^{-1} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
где $\mathbb{T}_\omega$ – диагональная положительно определенная ($J\times J$)-матрица $\operatorname{diag}\{|\omega_1|^{-1}, \dots,|\omega_J|^{-1}\}$ и $t_\omega$ – столбец $(|\omega_1|^{-1/2},\dots,|\omega_J|^{-1/2})^\top$. Нумерация собственных векторов (5.1), (5.2) сделана отличной от нумерации их компонент для естественного расположения собственных чисел матрицы (5.3) в порядке неубывания. Предложение 5. Симметричная положительная матрица (5.3) имеет собственные числа Доказательство. Пусть $\bf D$ – диагональная ($(J+1)\times (J+1)$)-матрица $\operatorname{diag}\{|\omega_1|^{1/2},\dots,|\omega_J|^{1/2},|\Omega|^{1/2}\}$. Матрица $\mathbf{D} T^1 \mathbf{D}$ выглядит так:
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \mathbb{I}_J & -\mathbf{e} \\ -\mathbf{e}^\top & J \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Собственные пары матрицы (5.9) заданы соотношениями (5.6)–(5.8), в которых нужно положить $|\Omega|=|\omega|=1$. Поскольку $\bf D$ – положительно определенная матрица, формула (5.4) для собственных чисел матрицы (5.3) установлена. В случае (5.5) проверка списка (5.6)–(5.8) осуществляется непосредственными вычислениями. Предложение доказано. Предложение 5 и теорема 4 демонстрируют, что в частном случае (5.5) равенства площадей включений начальные – малые, но ненулевые – члены последовательности (3.15) собственных чисел пучка (3.15) допускают представления
$$
\begin{equation}
\mu^\mathfrak{z}_k=0+\mathfrak{z}^{-1}|\omega|^{-1}+\mathfrak{z}^{-2}\mu''_k +O(\mathfrak{z}^{-3}),\qquad k=2,\dots,J,
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
$$
\begin{equation}
\mu^\mathfrak{z}_{J+1}=0+\mathfrak{z}^{-1}(|\omega|^{-1}+J|\Omega|^{-1}) +\mathfrak{z}^{-2}\mu''_{J+1}+O(\mathfrak{z}^{-3}).
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Стало ясно, что на уровне $|{\ln \varepsilon}|^{-1}=(2\pi\mathfrak{z})^{-1}$ взаимодействие включений (1.1) не наблюдается (ср. п. 5.3 и п. 7.3). Построим асимптотические члены порядка $\mathfrak{z}^{-2}$ в асимптотиках (5.10) и (5.11). Одновременно уточним асимптотические анзацы (4.9) для собственных векторов:
$$
\begin{equation}
\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)}=\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(p)}+\mathfrak{z}^{-1} \overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)}+\mathfrak{z}^{-2} \overrightarrow{w}^{\,\prime\prime}_{(p)}+\cdots,\qquad p=2,\dots,J+1.
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Коэффициенты линейной комбинации (4.14), представляющей собой главный член представления (5.12), полностью определены в двух случаях $p=1$ и $p=J+1$, т. е. для простых собственных числах $\tau_1=0$ и $\tau_{J+1}$; отметим, что $\tau_2=\dots=\tau_J$ – кратное собственное число при $J>2$, причем частный случай $J=2$ обсуждается в п. 5.3. Пучок (3.15) имеет нулевое собственное число, которому отвечает постоянный (ненормированный) собственный вектор
$$
\begin{equation}
\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_1= \{1,1,\dots,1\},
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
т. е. рассматривать собственную пару (5.6) не нужно. Обратимся к первой поправке в асимптотике другого простого собственного числа. Ему ставится в соответствие постоянная вектор-функция из анзаца (5.12), найденная по формулам (5.1), (5.2) и (5.8),
$$
\begin{equation}
\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{J+1}=\alpha_{J+1}^{-1/2}(-J|\Omega|^{-1}|\omega|^{1/2}, |\omega|^{-1/2},\dots,|\omega|^{-1/2})
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
с такими нормирующим множителем и атрибутами:
$$
\begin{equation}
\alpha_{J+1}=J|\omega|^{-1}(1+J|\Omega|^{-2}|\omega|^2)
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{J+1} =\pi^-_\omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{J+1}=0\in\mathbb{R}^J, \\ \pi^+_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{J+1}=- \alpha_{J+1}^{-1/2} J|\Omega|^{-1}|\omega|^{1/2}\mathbf{e},\qquad \pi^+_\omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{J+1}=\alpha_{J+1}^{-1/2} |\omega|^{-1/2}\mathbf{e}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, в силу алгебраических условий (4.12), включенных в обсуждаемую модель, выводим, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, b'=\pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{J+1} =\pi^-_\omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{J+1}= \pi^+_\omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{J+1}-\pi^+_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{J+1} =A_{J+1}\mathbf{ e}, \\ A_{J+1}=\alpha_{J+1}^{-1/2}(|\omega|^{-1/2}+J|\Omega|^{-1}|\omega|^{1/2})= \alpha_{J+1}^{-1/2}|\omega|^{1/2}\mu'_{J+1}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
а значит, компоненты поправки $\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{J+1}$ в разложении (5.12) суть решения задач
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_xw'_{(J+1)0}(x)=A_{J+1}\sum_{j=1}^J\delta(x-P^j)- \mu'_{J+1}\alpha_{J+1}^{-1/2}J|\Omega|^{-1}|\omega|^{1/2},\qquad x\in\Omega, \\ \partial_nw'_{(J+1)0}(x)=0,\qquad x\in\partial\Omega, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi w'_{(J+1)j}(\xi^j)=\mu'_{J+1}\alpha_{J+1}^{-1/2}|\omega|^{-1/2} X_j(\xi^j),\qquad \xi^j\in\mathbb{R}^2, \\ w'_{(J+1)j}(\xi^j)=\alpha_{J+1}^{-1/2}|\omega|^{-1/2} \Phi(\xi^j)+O(1),\qquad |\xi^j|\to+\infty, \quad j=1,\dots,J. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
Условие разрешимости задачи Неймана (5.18) выполнено, так как “интегрирование” по области $\Omega$ (используем равенство $\int_\Omega\delta(x-P^j)\, dx=1$ в теории распределений) при учете связей (5.17) дает соотношение
$$
\begin{equation*}
A_{J+1}\sum_{j=1}^J1-|\Omega| \mu'_{J+1}\alpha_{J+1}^{-1/2}J|\Omega|^{-1}|\omega|^{1/2}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, принимая во внимание формулу (2.11) и комментарий к предложению 1, обнаруживаем, что
$$
\begin{equation}
w'_{(J+1)0}(x)=A_{J+1}\sum_{j=1}^JG_j(x) +|\Omega|^{-1/2}a'_0,
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
где $a'_0$ – неизвестное число. Для описания функций $w'_{(J+1)j}$, удовлетворяющих соотношениям (5.19), понадобится новый объект. Лемма 4. Уравнение Доказательство. Достаточно произвести вычисление
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1 &=-\lim_{R\to+\infty}\int_{\mathbb{B}_R} \Delta_\xi\mathbf{w}_j(\xi)\, d\xi =-\lim_{R\to+\infty}\int_{\partial\mathbb{B}_R} \partial_\rho\mathbf{w}_j(\xi)\, ds_\xi \\ &=-\lim_{R\to+\infty} R\int_0^{2\pi} \frac{1}{2\pi}\, \frac{\partial}{\partial\rho}\ln\frac{1}{\rho}\, d\varphi=1 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и упомянуть принцип максимума, так как решение (5.22) отрицательно в окрестности бесконечности, а правая часть уравнения Пуассона (5.21) неотрицательна. Таким образом, формула (5.23) очевидна. Лемма 4 доказана. Итак,
$$
\begin{equation}
w'_{(J+1)j}(\xi^j)=\mu'_{J+1}\alpha_{J+1}^{-1/2}|\omega|^{-1/2}\mathbf{w}_j(\xi^j) +|\omega|^{-1/2}a'_j.
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
При этом $\mathbf{w}_j$ – функции, указанные леммой 4 (равенства $|\omega|=|\omega_j|$ возможны и при разных формах фигур $\omega_1,\dots,\omega_J$), а столбец $a'=(a'_1,\dots, a'_J)^\top\in\mathbb{R}^J$ подлежит определению. Кроме того, столбец $(a'_1,\dots,a'_J,a'_0)^\top$ коэффициентов из представлений (5.24) и (5.20) можно взять ортогональным указанному в (5.8) собственному столбцу, который уже был задействован в главном члене анзаца (5.15), а именно,
$$
\begin{equation}
\mathbf{e}^\top a'-J|\Omega|^{-1/2}|\omega|^{1/2}a'_0=0.
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
Составим задачи для нахождения вторых поправок в анзацах (5.11) и (5.12). Согласно формулам (5.20), (2.13), (2.14) и (5.24), (5.22) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \pi^+_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(J+1)} &=A_{J+1}\mathbf{G}^0\mathbf{e}+|\Omega|^{-1/2}a'_0\mathbf{ e} =|\Omega|^{-1/2}a'_0\mathbf{e}, \\ \pi^+_\omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(J+1)} &=|\omega|^{-1/2}a':=(|\omega|^{-1/2}a'_1, \dots,|\omega|^{-1/2}a'_J)^\top=|\omega|^{-1/2}(a')^\top. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь выводим из соотношений (3.12) и (3.13), что
$$
\begin{equation}
\pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\prime\prime}_{(J+1)}= \pi^+_\omega\overrightarrow{w}^{\,\prime\prime}_{(J+1)}=b'':= |\omega|^{-1/2}a'-|\Omega|^{-1/2}a'_0\mathbf{e}.
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
Кроме того, подстановка асимптотических анзацев в задачу (1.2), (1.3) и сбор коэффициентов при $\mathfrak{z}^{-2}$, записанных в медленных $x$ и быстрых $\xi^j$ переменных, приводят соответственно к задаче Неймана
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, &-\Delta_xw''_{(J+1)0}(x) =f''_{(J+1)0}(x):= \sum_{j=1}^J(|\omega|^{-1/2}a'_j- |\Omega|^{-1/2}a'_0)\delta(x-P^j) \\ &\qquad-\mu''_{J+1}\alpha_{J+1}^{-1/2}J|\Omega|^{-1}|\omega|^{1/2}+\mu'_{J+1} w'_{(J+1)0}(x),\qquad x\in\Omega, \end{aligned} \\ \partial_nw''_{(J+1)0}(x)=0,\qquad x\in\partial\Omega, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
и дифференциальным уравнениям с индексами $j=1,\dots,J$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, -\Delta_\xi w''_{(J+1)j}(\xi^j) &= X_j(\xi^j)\bigl(\mu''_{J+1}\alpha_{J+1}^{-1/2} |\omega|^{-1/2}+\mu'_{J+1}w'_{(J+1)j}(\xi^j)\bigr),\qquad \xi^j\in\mathbb{R}^2, \\ w'_{(J+1)j}(\xi^j) &=(|\omega|^{-1/2}a'_j-|\Omega|^{-1/2}a'_0) \Phi(\xi^j)+O(1),\qquad |\xi^j|\to+\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
Условие $\int_\Omega f''_{(J+1)0}(x)\, dx=0$ разрешимости задачи (5.27) имеет вид
$$
\begin{equation}
\underbrace{|\omega|^{-1/2}\mathbf{e}^\top a'-J|\Omega|^{-1/2}a'_0} -\mu''_{J+1}\alpha_{J+1}^{-1/2}J|\omega|^{1/2}+\mu'_{J+1}|\Omega|^{1/2}a'_0=0.
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
Разность, выделенная фигурной скобкой снизу, равна нулю в силу требования (5.25), а значит, равенство (5.29) можно переписать так:
$$
\begin{equation}
-\mu''_{J+1}\alpha_{J+1}^{-1/2}J|\Omega|^{-1/2}=h''_{J+1}:= \overbrace{-\mu'_{J+1}|\omega|^{-1/2}a'_0}.
\end{equation}
\tag{5.30}
$$
Обратимся к уравнениям (5.28). Соблюдая условие роста на бесконечности, указанные формулой (5.26), представим их решения следующим образом:
$$
\begin{equation*}
w''_{(J+1)j}=(|\omega|^{-1/2}a'_j-|\Omega|^{-1/2}a'_0) \mathbf{w}_j+\widehat{w}^{\,\prime\prime}_{(J+1)j},\qquad \widehat{w}^{\,\prime\prime}_{(J+1)j}\in\mathcal{H}_j.
\end{equation*}
\notag
$$
При учете соотношений (5.21), (5.22) и (5.24) приходим к таким уравнениям для “энергетических” остатков:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-\Delta_\xi \widehat{w}^{\,\prime\prime}_{(J+1)j}(\xi^j)=f''_{(J+1)j}(\xi^j):= X_j(\xi^j)\bigl(\mu''_{J+1}\alpha_{J+1}^{-1/2} |\omega|^{-1/2} \nonumber \\ &\qquad+(\mu'_{J+1})^2\alpha_{J+1}^{-1/2} |\omega|^{-1/2}\mathbf{w}_j(\xi^j) +\mu'_{J+1}|\omega|^{-1/2}a'_j \nonumber \\ &\qquad-|\omega|^{-1}(|\omega|^{-1/2}a'_j-|\Omega|^{-1/2}a'_0)\bigr),\qquad \xi^j\in\mathbb{R}^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.31}
$$
Условия разрешимости $\int_{\mathbb{R}^2}f''_{(J+1)j}(\xi^j)\, d\xi^j$ задач (5.31) принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mu''_{J+1}\alpha_{J+1}^{-1/2}|\omega|^{1/2}+(\mu'_{J+1})^2\alpha_{J+1}^{-1/2} |\omega|^{1/2}\mathbf{m}_j+\mu'_{J+1}|\omega|^{1/2}a'_j \\ &\qquad-|\omega|^{-1/2}a'_j+|\Omega|^{-1/2}a'_0=0,\qquad j=1,\dots,J, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и им можно придать следующую форму:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mu''_{J+1}\alpha_{J+1}^{-1/2} |\omega|^{-1/2} &=h''_j:=\overbrace{-\mu'_{J+1}|\omega|^{-1/2}a'_j- |\omega|^{-1}(|\omega|^{-1/2}a'_j-|\Omega|^{-1/2}a'_0)} \nonumber \\ &\qquad-(\mu'_{J+1})^2\alpha_{J+1}^{-1/2}|\omega|^{-1/2}\mathbf{m}_j,\qquad j=1,\dots,J. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.32}
$$
Рассмотрим систему алгебраических уравнений (5.32) и (5.30). В левых частях обнаруживаем компоненты нормированного собственного столбца матрицы (5.3)
$$
\begin{equation*}
s_{(J+1)}= \alpha_{J+1}^{-1/2}(|\omega|^{-1/2},\dots,|\omega|^{-1/2},-J|\Omega|^{-1/2})^\top.
\end{equation*}
\notag
$$
Умножим систему скалярно на этот вектор и заметим, что слагаемые, выделенные фигурными скобками сверху в правых частях (5.32) и (5.30), взаимно уничтожаются согласно наложенному условию ортогональности (5.25). В результате приходим к формуле
$$
\begin{equation}
\mu''_{J+1}=(s_{(J+1)})^\top h''_{(J+1)}=-(\mu'_{J+1})^2\alpha_{J+1}^{-1} |\omega|^{-1}\sum_{j=1}^J\mathbf{m}_j>0.
\end{equation}
\tag{5.33}
$$
Построение первых асимптотических поправок в анзаце (5.11) закончено. Теперь найдем трехчленные асимптотики (5.10) и (5.12) собственных пар пучка (3.15), отвечающие собственным парам (5.7) матрицы (5.3). В качестве главного члена анзаца (5.12) возьмем вектор
$$
\begin{equation}
\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(p)}=\bigl(0,|\omega|^{-1/2}a^\infty_{(p)1},\dots, |\omega|^{-1/2}a^\infty_{(p)J}\bigr)
\end{equation}
\tag{5.34}
$$
со столбцом коэффициентов $a_{(p)}^\infty=(a^\infty_{(p)1},\dots,a^\infty_{(p)J})^\top$ из корневого подпространства $\mathbb{R}^J_\bot$ усеченной (без нижней строки и правого столбца) матрицы $\mathbb{T}^1-|\omega|^{-1}\mathbb{I}_{J+1}$ (см. формулу (5.7)). Нормируем этот вектор, а именно, $|a^\infty_{(p)}|=1$, и заметим, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_p =\pi^-_\omega\overrightarrow{w}^{\,\infty}_{(p)}=0\in\mathbb{R}^J, \\ \pi^+_\Omega\overrightarrow{w}_{(p)}^{\,\infty}=0,\qquad \pi^+_\omega\overrightarrow{w}_{(p)}^{\,\infty}=|\omega|^{-1/2}a^\infty_{(p)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.35}
$$
Таким образом, принимая во внимание условия сопряжения (3.12) и (3.13), обнаруживаем, что
$$
\begin{equation}
\pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)} =\pi^-_\omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)}= \pi^+_\omega\overrightarrow{w}_{(p)}^{\,\infty}- \pi^+_\Omega\overrightarrow{w}_{(p)}^{\,\infty}=|\omega|^{-1/2}a^\infty_{(p)}
\end{equation}
\tag{5.36}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, w'_{(p)0}(x) &=|\omega|^{-1/2}\sum_{j=1}^Ja_{(p)j}^\infty G_j(x) +|\Omega|^{-1/2}a'_0, \\ w'_{(p)j}(\xi^j) &=|\omega|^{-1/2}a_{(p)j}^\infty\mathbf{w}_j(\xi^j)+|\omega|^{-1/2}a'_j, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.37}
$$
а столбец $a_{(p)}'=(a_{(p)1}',\dots,a_{(p)J}')^\top$ можно считать ортогональным столбцам $\mathbf{e}$ и $a_{(p)}^\infty$, уже задействованным в вектор-функциях (5.13) и (5.34), т. е.
$$
\begin{equation}
\mathbf{e}^\top a_{(p)}'=0, \qquad (a_{(p)}^\infty)^\top a_{(p)}'=0.
\end{equation}
\tag{5.38}
$$
Отметим, что уравнения
$$
\begin{equation}
-\Delta_\xi w'_{(p)j}(\xi^j)=\mu'_p|\omega|^{-1/2}a^\infty_{(p)}X_j(\xi^j),\qquad \xi^j\in\mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{5.39}
$$
выполнены благодаря соотношениям (5.21) и (5.7). Последнее означает, что Итак, в дополнение к проекциям (5.36) выводим из представлений (5.37) формулы для остальных проекций
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \pi^+_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)} &=|\omega|^{-1/2}\mathbf{G}^0a^\infty_{(p)}+ |\Omega|^{-1/2}a'_{(p)0}\mathbf{e}, \\ \pi^+_\omega\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)} &=|\omega|^{-1/2}a'_{(p)}= |\omega|^{-1/2}(a'_{(p)1},\dots,a'_{(p)J})^\top. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.41}
$$
Следовательно, алгебраические условия (3.12) и (3.13) обеспечивают равенства
$$
\begin{equation}
\pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\prime\prime}_{(p)}= \pi^+_\omega\overrightarrow{w}^{\,\prime\prime}_{(p)}=b''_{(p)}:= |\omega|^{-1/2}a'_{(p)}-|\Omega|^{-1/2}a'_{(p)0}\mathbf{e}- |\omega|^{-1/2}\mathbf{G}^0a^\infty_{(p)}.
\end{equation}
\tag{5.42}
$$
Составим задачи для нахождения вторых поправочных членов в анзацах (5.10) и (5.12). Поскольку первая компонента вектора (5.34) нулевая, при построении асимптотики собственного числа (5.10) задача Неймана для $w''_{(p)0}$ не понадобится. В то же время уравнения и асимптотические условия для $w''_{(p)1},\dots,w''_{(p)J}$ выглядят следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi w''_{(p)j}(\xi^j)\,{=}\, X_j(\xi^j)\bigl(\mu''_p|\omega|^{-1/2}a^\infty_{(p)j} +\mu'_p|\omega|^{-1/2}(a^\infty_{(p)j}\mathbf{w}_j(\xi^j)+a'_j)\bigr),\qquad \xi^j\,{\in}\,\mathbb{R}^2, \\ w'_{(p)j}(\xi^j)=b''_j\Phi(\xi^j)+O(1),\qquad|\xi^j|\to+\infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.43}
$$
Как и ранее в случае задачи (5.28), условия разрешимости задач (5.43) принимают вид системы алгебраических уравнений
$$
\begin{equation}
\mu''_p |\omega|^{1/2}a^\infty_{(p)j}+\mu'_p|\omega|^{1/2}(a^\infty_{(p)j}\mathbf{m}_j +a'_j)-b''_j=0,\qquad j=1,\dots,J.
\end{equation}
\tag{5.44}
$$
Подставим в равенства (5.44) выражение (5.42) для $b''_j$ и в силу формулы (5.40) превратим их в такие:
$$
\begin{equation*}
\mu''_p a^\infty_{(p)j}+\mu'_p\mathbf{m}_ja^\infty_{(p)j}+|\omega|^{-1}\sum_{k=1}^J \mathbf{G}^0_{jk}a^\infty_k+|\Omega|^{-1/2}a'_{(p)0}=0,\qquad j=1,\dots,J.
\end{equation*}
\notag
$$
Эту систему, записанную в матричной форме
$$
\begin{equation}
\mu''_pa^\infty_{(p)}+\mu'_p\mathbf{m}a^\infty_{(p)}+|\Omega|^{-1/2} a'_{(p)0}\mathbf{e}+ |\omega|^{-1}\mathbf{G}^0a^\infty_{(p)}=0\in\mathbb{R}^J,
\end{equation}
\tag{5.45}
$$
где $\mathbf{m}=\operatorname{diag}\{\mathbf{m}_1,\dots,\mathbf{m}_J\}$ – диагональная матрица, спроецируем на подпространство $\mathbb{R}^J_\bot$ (см. соотношения (2.14) и (2.27)) и согласно условиям ортогональности (5.38) сведем к следующей задаче на собственные значения:
$$
\begin{equation}
\mathbf{M}\,a^\infty_{(p)}=\mu''_pa^\infty_{(p)} \text{ на подпространстве } \mathbb{R}^J_\bot.
\end{equation}
\tag{5.46}
$$
Здесь фигурирует симметричная ($J\times J$)-матрица
$$
\begin{equation}
\mathbf{M}=-|\omega|^{-1}(\mathbf{G}^0+\mathbb{P}\mathbf{m}\mathbb{P}),
\end{equation}
\tag{5.47}
$$
аннулирующая столбец $\mathbf{e}$ (см. (2.14) и (2.28)). Итак, у задачи (5.46) есть собственные числа
$$
\begin{equation}
\mu''_2\leqslant\mu''_3\leqslant\dots\leqslant\mu''_J,
\end{equation}
\tag{5.48}
$$
которые и служат коэффициентами при $\mathfrak{z}^{-2}$ в разложениях (5.10) искомых членов $\mu^\mathfrak{z}_2,\dots,\mu^\mathfrak{z}_J$ последовательности (3.30) собственных чисел пучка (3.15). Отвечающие (5.48) собственные векторы $a^\infty_{(2)},\dots,a^\infty_{(J)}$ подчиним условиям ортогональности и нормировки
$$
\begin{equation*}
(a^\infty_{(q)})^\top a^\infty_{(p)}=\delta_{p,q}, \qquad p,q=2,\dots,J.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, умножим систему (5.45) скалярно на столбец $\mathbf{e}$ и получим, что
$$
\begin{equation*}
a'_{(p)0}=-\frac{|\Omega|^{1/2}}{J|\omega|}\sum_{j=1}^J \mathbf{m}_ja^\infty_{(p)j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Столбцы $a'_{(p)}$ в формуле (5.41) остались неизвестными, но их можно найти на следующих шагах алгоритма. Если среди собственных чисел (5.48) есть кратные, то соответствующие столбцы $a^\infty_{(p)}$ также не определены однозначно. На этом построение трехчленной асимптотики первых $J+1$ собственных чисел пучка $\mathfrak{A}^\mathfrak{z}_\beta$ при $\gamma=2$ закончено. Сформулируем результат. Теорема 6. В ситуации (1.17), (5.5) первые $J$ положительных членов последовательности (3.30) допускают представления (5.10) и (5.11), в которых фигурируют собственные числа (5.48) задачи (5.46) с матрицей (5.47), а также величина 5.2. Случай $\gamma>2$Тот факт, что спектральный параметр исчезает из предельной задачи Неймана в области $\Omega$, несколько изменяет процедуру построения асимптотики. Нулевому собственному числу отвечают $J$ собственных векторов (5.1) пучка (4.1), а ($J\times J$)-матрица $\mathbf{T}^1_{(\gamma)}$ с элементами (4.24) принимает вид
$$
\begin{equation}
\mathbf{T}^1_{(\gamma)}=\mathbb{P}\mathbb{T}_\omega\mathbb{P},
\end{equation}
\tag{5.50}
$$
где $\mathbb{P}$ – ортогональный проектор (2.28), $\mathbb{T}_\omega= \operatorname{diag}\{|\omega_1|^{-1},\dots,|\omega_J|^{-1}\}$ – та же диагональная матрица, что и в формуле (5.3) для матрицы $\mathbf{T}^1_{(2)}:=\mathbf{T}^1$. Следующие утверждения очевидны. Предложение 6. Симметричная положительная матрица (5.50) обладает собственными числами Примем упрощающее предположение (5.5). Построение асимптотик (5.10) и (5.12) собственных пар операторного пучка (3.15) в целом повторяет процедуру из п. 5.1. Главный член представления (5.12) собственного вектора задан формулой (5.34) с неизвестным столбцом $a_{(p)}^\infty\in\mathbb{R}^J_\bot$ и проекциями (5.35). Компоненты поправочного слагаемого $\overrightarrow{w}^{\,\prime}_{(p)}$ удовлетворяют соотношениям (5.36) и (5.37), а новые неизвестные коэффициенты $a'_0$ и $a'_1,\dots,a'_J$ подчинены равенствам (5.38). Уравнения (5.39) и (5.43) остаются без изменений, а условия их разрешимости приводят к формулам (5.40) и (5.45). Тем самым найдены оба асимптотических члена в разложениях (5.10) собственных чисел пучка $\mathfrak{A}^\mathfrak{z}_\beta$. Сформулируем полученный результат. Теорема 7. В ситуации (1.18), (5.5) первые $J-1$ положительных членов последовательности (3.30) допускают представления (5.10), в которых вторые поправки – собственные числа (5.48) задачи (5.46) с матрицей (5.47). 5.3. Явные формулы в частном случае $J=2$Теоремы 6 и 7 предоставляют вторые поправочные члены только в случае (5.5), в котором все включения (1.1) имеют одинаковую площадь (и массу). Такое ограничение введено потому, что автору не удалось найти общую формулу для собственных чисел матриц (5.3) и (5.50) в общей ситуации $J>2$. Если $J=2$, то первая из матриц принимает вид
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} |\omega_1|^{-1} &0 &-|\omega_1|^{-1/2}|\Omega|^{-1/2} \\ 0 &|\omega_2|^{-1} &-|\omega_2|^{-1/2}|\Omega|^{-1/2} \\ -|\omega_1|^{-1/2}|\Omega|^{-1/2} &-|\omega_2|^{-1/2}|\Omega|^{-1/2} &2|\Omega|^{-1} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
и имеет такие собственные числа:
$$
\begin{equation}
\tau_0= 0,\qquad \tau_\pm= \frac{1}{|\Omega|}+\frac{1}{2}\biggl(\frac{1}{|\omega_1|}+\frac{1}{|\omega_2|}\biggr)\pm \sqrt{\frac{1}{|\Omega|^2}+\biggl(\frac{1}{|\omega_1|^2}-\frac{1}{|\omega_2|^2}\biggr)^2}.
\end{equation}
\tag{5.52}
$$
Именно величины $\mu'_2=\tau_-$ и $\mu'_3=\tau_+$ появляются в асимптотиках (5.10) и (5.11) собственных чисел пучка (3.15) при $\gamma=2$. Вторая из указанных матриц выглядит просто:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} m &-m \\ -m &m \end{pmatrix}, \quad \text{где}\quad m=\frac{1}{4} \biggl(\frac{1}{|\omega_1|}+\frac{1}{|\omega_2|}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Ее собственные числа таковы:
$$
\begin{equation}
\tau_0= 0,\qquad \tau_1= \frac{1}{2}\biggl(\frac{1}{|\omega_1|}+\frac{1}{|\omega_2|}\biggr).
\end{equation}
\tag{5.53}
$$
Именно величина $\mu'_2=\tau_1>0$ участвует в асимптотическом представлении (5.10). Формулы (5.52) и (5.53) демонстрируют взаимодействие включений на уровне $\mathfrak{z}^{-1}$. § 6. Обоснование асимптотики6.1. Абстрактная формулировка исходной краевой задачиВ пространстве Соболева $\mathcal{H}^\varepsilon:=H^1(\Omega)$ введем зависящее от малого параметра $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0]$ и согласованное с интегральным тождеством (1.5) скалярное произведение
$$
\begin{equation}
\langle u,\psi\rangle_\varepsilon=(\nabla_xu,\nabla_x\psi)_\Omega+ \varepsilon^{\gamma-2}\bigl((u,\psi)_\Omega +\varepsilon^{-\gamma}(u,\psi)_{\omega^\varepsilon}\bigr),
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
а также положительный, симметричный и непрерывный (значит, самосопряженный) оператор $\mathcal{K}^\varepsilon$,
$$
\begin{equation}
\langle \mathcal{K}^\varepsilon u,\psi\rangle_\varepsilon= \varepsilon^{\gamma-2}\bigl((u,\psi)_\Omega+\varepsilon^{-\gamma}(u,\psi)_{\omega^\varepsilon} \bigr), \qquad u,\psi\in \mathcal{H}^\varepsilon.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Этот оператор компактный, и согласно [35; теоремы 10.1.5 и 10.2.2] его существенный спектр $\wp^\varepsilon_e$ состоит из единственной точки $\kappa=0$, а дискретный спектр $\wp^\varepsilon_d$ представляет собой положительную монотонную убывающую бесконечно малую последовательность
$$
\begin{equation}
1=\kappa^\varepsilon_1>\kappa^\varepsilon_2\geqslant\kappa^\varepsilon_3\geqslant\dots \geqslant\kappa^\varepsilon_k\geqslant\ \to +0.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Сравнивая формулы (6.1), (6.2) и (1.5), видим, что вариационная постановка спектральной задачи (1.2), (1.3) эквивалентна абстрактному уравнению
$$
\begin{equation*}
\mathcal{K}^\varepsilon u^\varepsilon=\kappa^\varepsilon u^\varepsilon \text{ в } \mathcal{H}^\varepsilon
\end{equation*}
\notag
$$
с новым спектральным параметром
$$
\begin{equation}
\kappa^\varepsilon=\varepsilon^{\gamma-2}(\lambda^\varepsilon+\varepsilon^{\gamma-2})^{-1}.
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
Соотношение (6.4) переводит последовательность (1.6) в последовательность (6.3). Очередное утверждение, известное как лемма о “почти собственных числах и векторах” (ср. статью [36]), вытекает из спектрального разложения резольвенты (см. например, книгу [35; гл. 6]). Лемма 5. Пусть $\mathbf{k}^\varepsilon\in\mathbb{R}_+$ и $\mathbf{u}^\varepsilon\in\mathcal{H}^\varepsilon$ таковы, что 6.2. Почти собственные числа и векторыПусть $\mu^\mathfrak{z}_k$ – собственное число пучка (3.15) с кратностью $\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k\geqslant1$. Согласно замечанию 2 матрица размером $\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k\times\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k$ с элементами $I_\gamma(\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)},\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(q)})$ (см. формулу (4.4)) невырожденная, т. е. процесс диагонализации обеспечивает условия ортогональности и нормировки
$$
\begin{equation}
I_\gamma\bigl(\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)},\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(q)} \bigr):= \bigl(\mathfrak{M}_\beta\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)}, \overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(q)}\bigr)_{\Omega\times\omega_1\times\dots\times\omega_J}= \delta_{p,q},\qquad p,q=k,\dots,k+\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k-1.
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Собственные векторы $\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(k)},\dots, \overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(k+\varkappa_k^\mathfrak{z}-1)}$ суть решения уравнений
$$
\begin{equation}
\mathfrak{A}^\mathfrak{z}_\beta(-1)\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)}= (1+\mu_k^\mathfrak{z})(\mathfrak{M}_\beta,0,0) \overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)},
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
и, поскольку обратимые операторы $\mathfrak{A}^\mathfrak{z}_\beta(-1)$ и $\mathfrak{A}^\infty_\beta(-1)=(\mathfrak{B}_\beta+\mathfrak{M}_\beta, \pi^-_\Omega-\pi^-_\omega,\pi^-_\Omega)$ различаются малым слагаемым $\mathfrak{z}^{-1}(0,0,\pi^+_\Omega-\pi^+_\omega)$, для решения уравнения (6.9) справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathfrak{z}\bigl(\bigl|\pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)}\bigr| +\bigl|\pi^-_\omega\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)}\bigr|\bigr)+ \bigl\|\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)};\mathfrak{V}_\beta\bigr\|\leqslant c(1+\mu_k^\mathfrak{z})\bigl\|\mathfrak{M}_\beta\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)}; \mathfrak{R}_\beta\bigr\| \nonumber \\ &\qquad\leqslant c(1+c_k)= C_k, \qquad p=k,\dots,k+\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k-1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
При этом учтены соотношение (6.8) при большом $\mathfrak{z}$ и неравенство (4.5). Иными словами, проекции $\pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)}= \pi^-_\omega\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)}$ приобретают порядок $\mathfrak{z}^{-1}$. В качестве почти собственных чисел и векторов возьмем величины
$$
\begin{equation}
\mathbf{k}^\varepsilon_p=(\mu^\mathfrak{z}_k+1)^{-1},\qquad p=k,\dots,k+\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k-1,
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
и функции
$$
\begin{equation}
\mathbf{u}^\varepsilon_p=\|\mathcal{W}^\varepsilon_p;\mathcal{H}^\varepsilon\|^{-1} \mathcal{W}^\varepsilon_p,\qquad p=k,\dots,k+\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k-1,
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{W}^\varepsilon_p(x) &=\biggl(1-\sum_{j=1}^J\chi_\omega^j \bigl(\varepsilon^{-1}(x-P^j)\bigr)\biggr) w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)0}(x)+ \sum_{j=1}^J\chi_j(x) w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)j}\bigl(\varepsilon^{-1}(x-P^j)\bigr) \nonumber \\ &\qquad-\sum_{j=1}^J\chi_j(x)\bigl(1-\chi_\omega^j\bigl(\varepsilon^{-1}(x-P^j)\bigr)\bigr) \bigl(a^{0\mathfrak{z}}_{(p)j}+b^{0\mathfrak{z}}_{(p)j}\Phi(x-P^j)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
Поясним последнюю формулу. Прежде всего, собственные векторы $\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak z}_{(p)}= \bigl(w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)0},w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)1},\dots, w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)J}\bigr)\in\mathfrak{V}_\beta$ подчинены условиям ортогональности и нормировки (6.8), а также неравенствам (6.10). При этом применена асимптотическая конструкция, использующая срезающие функции с “перехлестывающимися носителями” (см. статьи [37], [23] и, например, книгу [16]), а сами срезки $\chi_j$ и $\chi^j_\omega$ взяты из (2.24) и (2.33). Слагаемые, подвергшиеся сращиванию в п. 3.2, учтены дважды – и в первом и во втором членах в правой части формулы (6.13), однако третье вычитаемое устраняет такое дублирование. В силу преобразования (3.9) асимптотические условия сопряжения (3.6), (3.7) (или, что то же, (3.12), (3.13)) позволяют переписать выражение (6.13) следующими двумя способами:
$$
\begin{equation}
\mathcal{W}^\varepsilon_p(x) =\mathcal{X}_\varepsilon(x)\widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(p)0}(x)+ \sum_{j=1}^J\chi_j(x) w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)j}\bigl(\varepsilon^{-1}(x-P^j)\bigr),
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{W}^\varepsilon_p(x) =\mathcal{X}_\varepsilon(x)w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)0}(x)+ \sum_{j=1}^J\chi_j(x) \widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(p)j}\bigl(\varepsilon^{-1}(x-P^j)\bigr).
\end{equation}
\tag{6.15}
$$
Здесь фигурируют затухающие остатки из представлений (2.23) и (2.32) компонент вектора $\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak z}_{(p)}$, а срезающая функция $\mathcal{X}_\varepsilon$ – множитель при $\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak z}_{0(p)}$ в конструкции (6.13), т. е.
$$
\begin{equation}
\mathcal{X}_\varepsilon(x)=1- \sum_{j=1}^J\chi_\omega^j\bigl(\varepsilon^{-1}(x-P^j)\bigr).
\end{equation}
\tag{6.16}
$$
6.3. Вспомогательные неравенстваВ следующих двух леммах покажем, как по-разному используются представления (6.13)–(6.15) на примере вычисления нормы $\|\mathcal{W}^\varepsilon_p;\mathcal{H}^\varepsilon\|$. Обратим внимание на следующее: в дальнейших выкладках можно было бы пользоваться гладкостью компонент собственных векторов $\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_k$ и поточечными оценками остатков в их разложениях (см. п. 2.6), однако, желая оставаться в рамках разработанной модели, будем применять только весовые интегральные оценки упомянутых остатков. Поскольку весовой показатель $\beta\in(0,1)$ произволен, оценки точности модели не теряют аккуратность (см. комментарии к теореме 8). Лемма 6. Справедливы неравенства где мажоранта $C_k$ не зависит от $\varepsilon\in(0,\varepsilon_k]$ при некотором $\varepsilon_k>0$. Доказательство. Применим формулу (6.15) и при учете неравенства (6.10), означающего, что
$$
\begin{equation}
\bigl|\pi^-_\Omega\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)}\bigr| +\bigl|\pi^-_\omega\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)}\bigr| \leqslant c_q\mathfrak{z}^{-1},
\end{equation}
\tag{6.18}
$$
находим:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\nabla_x\mathcal{W}^\varepsilon_q,L^2(\Omega)\|^2 \leqslant c\biggl(\bigl\|\nabla_x \widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(q)0};L^2(\Omega)\bigr\|^2 +\sum_{j=1}^J \biggl(\bigl\|\nabla_x\bigl(\chi_j \widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{j(q)}\bigr);L^2(\Omega)\bigr\|^2 \\ &\qquad\qquad\qquad +\bigl|b^{0\mathfrak{z}}_{(q)j}\bigr|^2\int_{\varepsilon R^j_\omega}^R \frac{dr_j}{r_j}+ \frac{1}{\varepsilon^2} \int_{\varepsilon R^j_\omega}^{2\varepsilon R^j_\omega} \bigl(\bigl|b^{0\mathfrak{z}}_{(q)j}\bigr|^2|{\ln r_j}|^2 +\bigl|a^{0\mathfrak{z}}_{(q)j}\bigr|^2\bigr) r_j\, dr_j \biggr)\biggr) \\ &\qquad\leqslant c_q\biggl(\bigl\| \widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(q)0};V_{-\beta}^2(\Omega;\mathcal{P})\bigr\|^2 \\ &\qquad\qquad\qquad+\sum_{j=1}^J \bigl(\bigl\| \widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(q)j};V^1_\beta(\mathbb{R}^2)\bigr\|^2+ \bigl|b^{0\mathfrak{z}}_{(q)j}\bigr|^2(1+|{\ln \varepsilon}|^2)+\bigl|a^{0\mathfrak{z}}_{(q)j}\bigr|^2 \bigr)\biggr)\leqslant C_q. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценка нормы $\|\mathcal{W}^\varepsilon_q,L^2(\Omega)\|$ проводится так же. Неравенство (6.17) установлено. Лемма 6 доказана. Лемма 7. Функции (6.13) удовлетворяют неравенствам Доказательство. Сначала обработаем последние скалярные произведения в определении (6.1). Из-за присутствия срезки (6.16) (ср. формулы (1.1) и (2.33)) первое и третье слагаемые в правой части равенства (6.13) обращаются в нуль на включениях $\omega^\varepsilon_j$, и следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal{W}^\varepsilon_m(x)=w^{\,\mathfrak{z}}_{(m)j}\bigl(\varepsilon^{-1}(x-P^j)\bigr),\qquad x\in \omega^\varepsilon_j,\quad m=p,q, \\ \varepsilon^{-2}(\mathcal{W}^\varepsilon_p,\mathcal{W}^\varepsilon_q)_{\omega^\varepsilon}= \varepsilon^{-2}\sum_{j=1}^J\bigl(\widetilde{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)j}, \widetilde{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(q)j}\bigr)_{\omega_j}= \sum_{j=1}^J\bigl(w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)j},w^{\,\mathfrak{z}}_{(q)j}\bigr)_{\omega_j}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.22}
$$
Более того, согласно представлению (6.15) напишем:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\varepsilon^{\gamma-2}(\mathcal{W}^\varepsilon_p,\mathcal{W}^\varepsilon_q)_\Omega= \varepsilon^{\gamma-2}\bigl(w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)0},w^{\,\mathfrak{z}}_{(q)0}\bigr)_\Omega +\varepsilon^{\gamma-2}\bigl((\mathcal{X}_\varepsilon^2-1)w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)0}, w^{\,\mathfrak{z}}_{(q)0}\bigr)_\Omega \nonumber \\ &\ \quad +\varepsilon^{\gamma-2}\sum_{j=1}^J\bigl(\bigl(\mathcal{X}_\varepsilon w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)0},\chi_j\widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(q)j}\bigr)_\Omega +\bigl(\chi_j\widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(p)j},\mathcal{X}_\varepsilon w^{\,\mathfrak{z}}_{(q)0}\bigr)_\Omega+ \bigl(\chi_j\widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(p)j},\chi_j\widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(q)j}\bigr)_\Omega\bigr) \nonumber \\ &\ =:\varepsilon^{\gamma-2}\biggl(\bigl(w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)0},w^{\,\mathfrak{z}}_{(q)0}\bigr)_\Omega +J^\varepsilon_{pq}+\sum_{j=1}^J\bigl(\widetilde{J}^{\,j\varepsilon}_{pq} +\widetilde{J}^{\,j\varepsilon}_{qp}+{\widehat{J}}^{\,j\varepsilon}_{pq}\bigr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.23}
$$
Обработаем слагаемые в конце цепочки (6.23). Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |J^\varepsilon_{pq}| &\leqslant c\varepsilon^{\gamma-2} \bigl(|\omega^\varepsilon|^{1/2}\bigl(\bigl|b^{0\mathfrak{z}}_{(p)}\bigr| +\bigl|a^{0\mathfrak{z}}_{(p)}\bigr|\bigr) +\varepsilon^{1+\beta}\bigl\|\widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(p)0}; V^1_{-\beta}(\Omega;\mathcal{P})\bigr\|\bigr) \nonumber \\ &\qquad \times\bigl(|\omega^\varepsilon|^{1/2}\bigl(\bigl|b^{0\mathfrak{z}}_{(q)}\bigr| +\bigl|a^{0\mathfrak{z}}_{(p)}\bigr|\bigr) +\varepsilon^{1+\beta} \bigl\|\widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(q)0};V^1_{-\beta}(\Omega;\mathcal{P})\bigr\|\bigr) \leqslant c\varepsilon^\gamma. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.24}
$$
Сомножители в средней части формулы (6.24) возникли следующим образом: просуммированы по $j=1,\dots,J$ нормы выражений $\chi_j(b^{0\mathfrak{z}}_{(m)j} \Phi(x^j)+a^{0\mathfrak{z}}_{(m)j})$ в $L^2(\mathbb{B}_{2\varepsilon R^j_\omega})$ при $m\,{=}\,p$ или $m\,{=}\,q$, для остатков $\widetilde{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(m)0}\in V^1_{-\beta}(\Omega;\mathcal{P}) \subset L^2_{-\beta-1} (\Omega;\mathcal{P})$ в представлениях (2.23) учтено, что $\mathbf{r}(x)\leqslant 2\varepsilon\max\{R^1_\omega,\dots,R^J_\omega\}$ на носителе срезки (6.16), а в конце выкладки (6.24) применено неравенство (6.10).
Произведем замену $x\mapsto\xi^j$ и, заметив, что $\widetilde{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(q)j}\in L^2_{\beta-1}(\mathbb{R}^2)$ и $(1+|\xi^j|)^{1-\beta}= (1+\varepsilon^{-1}|x^j|)^{1-\beta}\leqslant c_j\varepsilon^{\beta-1}$ на множестве $\operatorname{supp}\chi_j$ (ср. формулу (2.24) и ограничение $\beta\in(0,1)$), придем к неравенствам
$$
\begin{equation}
|\widehat{J}^{\,j\varepsilon}_{pq}|\leqslant c\varepsilon\varepsilon^{\beta-1} \|\widetilde{w}_{(p)j};L^2_{\beta-1}(\mathbb{R}^2)\|\,\varepsilon\varepsilon^{\beta-1} \|\widetilde{w}_{(q)j};L^2_{\beta-1}(\mathbb{R}^2)\|\leqslant c\varepsilon^{2\beta}.
\end{equation}
\tag{6.25}
$$
Наконец, вычислив $L^2(\operatorname{supp}\mathcal{X}_\varepsilon)$-норму выражений $\chi_j(x)(b^{0\mathfrak{z}}_{(p)j}\Phi(x^j)+a^{0\mathfrak{z}}_{(p)j})$ при учете соотношения (6.18) и применив использованную в (6.25) оценку произведения $\chi_j\widetilde{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)j}$, находим, что
$$
\begin{equation}
|\widetilde{J}^{\,j\varepsilon}_{pq}|\leqslant c \bigl(\bigl|b^{0\mathfrak{z}}_{(p)j}\bigr| |{\ln\varepsilon}|+ \bigl|a^{0\mathfrak{z}}_{(p)j}\bigr|+ \bigl\|\widetilde{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)0};L^2_{-\beta-1}(\Omega)\bigr\|\bigr) \varepsilon^\beta \bigl\|\widetilde{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(q)j};L^2_{-\beta-1}(\mathbb{R}^2) \bigr\| \leqslant c_{pq}\varepsilon^\beta.
\end{equation}
\tag{6.26}
$$
Теперь рассмотрим скалярное произведение $(\nabla_x\mathcal{W}^\varepsilon_p, \nabla_x\mathcal{W}^\varepsilon_q)_\Omega$. Перенесем срезки $\mathcal{X}_\varepsilon$, $\chi_j$ и $\mathcal{X}_\varepsilon\chi_j$, присутствующие в выражении (6.13), на функцию $\mathcal{W}^\varepsilon_q$, стоящую на второй позиции в скалярном произведении. В результате коммутирования срезок с оператор-градиентом $\nabla_x$ возникают операторы умножения на вектор-функции с локализованными носителями, а именно, справедливы формулы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|\nabla_x\mathcal{X}_\varepsilon(x)|\leqslant c\varepsilon^{-1}\text{ и } \varepsilon^{-1}\leqslant c\mathbf{r}(x)^{-1}\text{ на множестве} \\ &\qquad\operatorname{supp} |\nabla_x\mathcal{X}_\varepsilon|\subset \bigcup_{j=1}^J\{x:\,\varepsilon R^j_\omega \leqslant r_j\leqslant2\varepsilon R^j_\omega\}, \\ &(\varepsilon+|x^j|)^{-1}\leqslant c\mathbf{r}(x)^{-1}\text{ на множестве } \operatorname{supp}\mathcal{X}_\varepsilon, \\ &1+|\xi^j|\leqslant c\varepsilon^{-1}\text{ на множестве} \\ &\qquad\{\xi^j\colon P^j+\varepsilon\xi^j\in\operatorname{supp}|\nabla_x\chi_j|\}\subset \biggl\{x\colon \frac{R}2\leqslant r_j\leqslant R\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.27}
$$
Кроме того, важным при перегруппировке слагаемых с коммутаторами окажется следующее равенство, вытекающее из определений (6.16) и (2.33) срезающих функций:
$$
\begin{equation*}
\nabla_x\bigl(\mathcal{X}_\varepsilon(x)\chi_j(x)\bigr)= \varepsilon^{-1}\nabla_\xi\chi_\omega^j\bigl(\varepsilon^{-1}(x-P^j)\bigr)+ \nabla_x\chi_j(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Выполним намеченное и после перегруппировки слагаемых аналогично формулам (6.15) и (6.14) получим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(\nabla_x\mathcal{W}^\varepsilon_p, \nabla_x\mathcal{W}^\varepsilon_q)_\Omega =\bigl(\nabla_x\widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(p)0}, \nabla_x(\mathcal{X}_\varepsilon\mathcal{W}^\varepsilon_q)\bigr)_\Omega \\ &\qquad+\sum_{j=1}^J\Bigl(\bigl(\nabla_x w^{\,\mathfrak z}_{(p)j}, \nabla_x(\chi_j\mathcal{W}^\varepsilon_q)\bigr)_\Omega-\bigl(\nabla_x\bigl(b^\mathfrak{z}_{(p)j} \Phi(x^j)+a^\mathfrak{z}_{(p)j}\bigr),\nabla_x(\chi_j\mathcal{W}^\varepsilon_q)\bigr)_\Omega \Bigr) \\ &\qquad+\mathcal{J}_{pq}^{\nabla 0\varepsilon}+ \sum_{j=1}^J\mathcal{J}_{pq}^{\nabla j\varepsilon}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{J}_{pq}^{\nabla 0\varepsilon} &= \bigl(\widetilde{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)0} \nabla_x\mathcal{X}_\varepsilon,\nabla_x\mathcal{W}^\varepsilon_q\bigr)_\Omega- \bigl(\nabla_x\widetilde{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)0},\mathcal{W}^\varepsilon_q \nabla_x\mathcal{X}_\varepsilon\bigr)_\Omega, \\ \mathcal{J}_{pq}^{\nabla j\varepsilon} &= \bigl(\widetilde{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)j} \nabla_x\chi_j,\nabla_x\mathcal{W}^\varepsilon_q\bigr)_\Omega- \bigl(\nabla_x\widetilde{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)j},\mathcal{W}^\varepsilon_q \nabla_x\chi_j\bigr)_\Omega. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.28}
$$
Подчеркнем, что при коммутировании со срезкой $\mathcal{X}_\varepsilon$ было использовано представление (6.14), а при коммутировании со срезкой $\chi_j$ – представление (6.15).
Поскольку произведение $\mathcal{X}_\varepsilon\mathcal{W}^\varepsilon_q$ обращается в нуль в окрестностях точек $P^1,\dots,P^J$, справедливо включение $\mathcal{X}_\varepsilon\mathcal{W}^\varepsilon_q\in V^1_{-\beta}(\Omega;\mathcal{P})$, а значит, интегральное тождество (2.20) (с нулевой правой частью $f_0$) для собственной пары $\{\delta_{\gamma,2}\mu^\mathfrak{z}_k,w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)0}\}$ приводит к равенству
$$
\begin{equation}
\bigl(\nabla_xw^\mathfrak{z}_{(p)0}, \nabla_x(\mathcal{X}_\varepsilon\mathcal{W}^\varepsilon_q)\bigr)_\Omega= \delta_{\gamma,2}\mu^\mathfrak{z}_k\bigl(w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)0}, \mathcal{X}_\varepsilon\mathcal{W}^\varepsilon_q\bigr)_\Omega.
\end{equation}
\tag{6.29}
$$
При этом согласно проведенным ранее выкладкам
$$
\begin{equation}
\delta_{\gamma,2}\mu^\mathfrak{z}_k\big|\bigl(w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)0}, \mathcal{X}_\varepsilon\mathcal{W}^\varepsilon_q\bigr)_\Omega- \bigl(w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)0},w^{\,\mathfrak{z}}_{(q)0}\bigr)_\Omega \bigr|\leqslant c \varepsilon^\beta.
\end{equation}
\tag{6.30}
$$
Функция $\xi^j \mapsto \chi_j(P^j+\varepsilon\xi^j)\mathcal{W}^\varepsilon_q(P^j+\varepsilon\xi^j)$ обладает компактным носителем на плоскости и потому может быть взята в качестве пробной функции в интегральном тождестве (2.29) (с нулевой правой частью $f_j$) для собственной пары $\{\mu^\mathfrak{z}_k,w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)j}\}$. Таким образом, при помощи первой формулы из (6.22) выводим соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigl(\nabla_xw^\mathfrak{z}_{(p)j}, \nabla_x(\chi_j\mathcal{W}^\varepsilon_q)\bigr)_\Omega &=\bigl(\nabla_\xi w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)j}, \nabla_\xi(\chi_j\mathcal{W}^\varepsilon_q)\bigr)_{\mathbb{R}^2} \nonumber \\ &= \mu^\mathfrak{z}_k\bigl( w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)j}, \mathcal{W}^\varepsilon_q\bigr)_{\omega_j}=\mu^\mathfrak{z}_k\bigl( w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)j}, w^{\,\mathfrak{z}}_{(q)j}\bigr)_{\omega_j}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.31}
$$
Наконец, носитель произведения $\mathcal{X}_\varepsilon\chi_j\mathcal{W}^\varepsilon_q$ располагается в кольце вокруг точки $P^j$, а значит, для гармонической на этом кольце функции получаем, что
$$
\begin{equation}
\bigl(\nabla_x\bigl(b^\mathfrak{z}_{(p)j}\Phi+a^\mathfrak{z}_{(p)j}\bigr), \nabla_x(\mathcal{X}_\varepsilon\chi_j\mathcal{W}^\varepsilon_q)\bigr)_\Omega=0.
\end{equation}
\tag{6.32}
$$
Осталось обработать скалярные произведения (6.28). В силу соотношений (6.27) носители фигурирующих в них функций локализованы. Поэтому, используя включение $\widetilde{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)0}\in V^1_{-\beta}(\Omega;\mathcal{P})$ и неравенство (2.19) для функции $\mathcal{W}^\varepsilon_q\in H^1(\Omega)$ (см. лемму 6), обнаруживаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\mathcal{J}_{pq}^{\nabla 0\varepsilon}| &\leqslant c\varepsilon^{-1}\bigl(\varepsilon^{1+\beta}\|\mathcal{W}^\varepsilon_q;H^1(\Omega)\| +\varepsilon^\beta \varepsilon(1+|{\ln \varepsilon}|)\|\mathbf{r}^{-1} (1+|{\ln\mathbf{r}}|)^{-1} \mathcal{W}^\varepsilon_q;L^2\Omega\|\bigr) \nonumber \\ &\leqslant c\varepsilon^\beta(1+|{\ln \varepsilon}|). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.33}
$$
Аналогично поступаем со скалярными произведениями $\mathcal{J}_{pq}^{\nabla 1\varepsilon},\dots,\mathcal{J}_{pq}^{\nabla J\varepsilon}$, а именно, при учете последней строки и включения $\widetilde{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)j}\in V^1_\beta(\mathbb{R}^2)$ выводим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\mathcal{J}_{pq}^{\nabla j\varepsilon}| &\leqslant c \bigl(\varepsilon^{\beta-1}\varepsilon\bigl\|\widetilde{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)j}; L^2_{\beta-1}(\mathbb{R}^2)\bigr\| \|\mathcal{W}^\varepsilon_q;H^1(\Omega)\| \nonumber \\ &\qquad +\varepsilon^\beta\bigl\|\nabla_\xi\widetilde{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)j}; L^2_\beta(\mathbb{R}^2)\bigr\| (1+|{\ln \varepsilon}|)\|\mathbf{r}^{-1} (1+|{\ln\mathbf{r}}|)^{-1} \mathcal{W}^\varepsilon_q;L^2\Omega\|\bigr) \nonumber \\ &\leqslant c\varepsilon^\beta(1+|{\ln \varepsilon}|). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.34}
$$
Соберем представленные формулы и обнаружим в (6.22), (6.23) и (6.29), (6.31) величину $(1+\mu^\mathfrak{z}_k)I_\gamma (\overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)}, \overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(q)})$, определенную согласно (6.8). Оставшиеся составляющие скалярного произведения $\langle \overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(p)}, \overrightarrow{w}^{\,\mathfrak{z}}_{(q)}\rangle_\varepsilon$ удовлетворяют неравенствам с указанной в (6.22) мажорантой: отметим, что величина $\varepsilon^\beta(1+|{\ln\varepsilon}|)$ возникает в оценках (6.33) и (6.34). Наконец, различия (6.20) бесконечно малой $\ell_\beta(\varepsilon)$ при $\gamma=2$ и при $\gamma>2$ объясняется тем, что в случае $\gamma=2$ присутствующее в (6.23) выражение $(w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)0}, w^{\,\mathfrak{z}}_{(q)0})_\Omega$ включено в условия ортогональности и нормировки (6.8) согласно определению (3.14) оператора $\mathfrak{M}_\beta$, но в случае $\gamma>2$ это выражение исключено. Лемма 7 доказана. 6.4. Обработка невязокВыполним следующий шаг процедуры обоснования асимптотики, а именно, вычислим величину $\alpha^\varepsilon_k,\dots,\alpha^\varepsilon_{k+\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k-1}$ из формулы (6.5) для пар (6.11), (6.12). В силу определений (6.1) и (6.2) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \alpha^\varepsilon_p &=\sup|\langle \mathcal{K}^\varepsilon \mathbf{u}^\varepsilon_p- \mathbf{k}^\varepsilon_p\mathbf{u}^\varepsilon_p ,\psi\rangle_\varepsilon| \nonumber \\ &=(\mu^\mathfrak{z}_k+1)^{-1}\|\mathcal{W}^\varepsilon_p;\mathcal{H}^\varepsilon\|^{-1} \sup|\langle (\mu^\mathfrak{z}_k+1)\mathcal{K}^\varepsilon \mathcal{W}^\varepsilon_p-\mathcal{W}^\varepsilon_p,\psi\rangle_\varepsilon| \nonumber \\ &=(\mu^\mathfrak{z}_k+1)^{-1}\|\mathcal{W}^\varepsilon_p;\mathcal{H}^\varepsilon\|^{-1} \nonumber \\ &\qquad\qquad\times\sup\bigl|(\nabla_x\mathcal{W}^\varepsilon_p,\nabla_x\psi)_\Omega -\varepsilon^{\gamma-2}\mu^\mathfrak{z}_k \bigl((\mathcal{W}^\varepsilon_p,\psi)_\Omega+\varepsilon^{-\gamma} (\mathcal{W}^\varepsilon_p,\psi)_{\omega^\varepsilon}\bigr)\bigr|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.35}
$$
Здесь супремум вычисляется по единичной сфере в пространстве $\mathcal{H}^\varepsilon$, т. е. $\|\psi;\mathcal{H}^\varepsilon\|=1$. В случае $\gamma=2$ согласно (6.1) имеем $\|\psi;\mathcal{H}^\varepsilon\|\geqslant \|\psi;H^1(\Omega)\|$, а значит, неравенство (2.19) показывает, что
$$
\begin{equation}
\|\nabla_x\psi;L^2(\Omega)\|+ \|\mathbf{r}^{-1}(1+|{\ln\mathbf{r}}|)^{-1}\psi;L^2(\Omega)\|\leqslant C\|\psi;\mathcal{H}^\varepsilon\|=C.
\end{equation}
\tag{6.36}
$$
При $\gamma>2$ заменитель неравенства (6.36) приведен в очередной лемме. Лемма 8. В случае $\gamma>2$ для функции $\psi\in \mathcal{H}^\varepsilon$ выполнено неравенство Доказательство. Представим функцию $\psi$ в виде $\psi={\overline{\psi}}+\psi_\bot$, где
$$
\begin{equation*}
\overline{\psi}=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega\psi(x)\, dx,\qquad \int_\Omega\psi_\bot(x)\, dx=0.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу последнего условия ортогональности справедливо неравенство Пуанкаре
$$
\begin{equation*}
\int_\Omega |\psi_\bot(x)|^2\, dx\leqslant c \int_\Omega |\nabla_x\psi_\bot(x)|^2\, dx=c \int_\Omega |\nabla_x\psi(x)|^2\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varepsilon^{-2}\int_{\omega^\varepsilon_1}|\psi(x)|^2\, dx\geqslant\frac{1}{2}\, |\omega_1|\, |\overline{\psi}|^2-\int_{\omega^\varepsilon_1} |\psi_\bot(x)|^2\, dx \\ &\qquad \begin{aligned} \, \Longrightarrow\quad |\overline{\psi}|^2 &\leqslant c\bigl(\varepsilon^{-2}\|\psi;L^2(\omega^\varepsilon)\|^2+ (1+|{\ln\varepsilon}|)^2\|\mathbf{r}(1+|{\ln\mathbf{r}}|)^{-1};L^2(\Omega)\|^2\bigr) \\ &\leqslant C(1+|{\ln\varepsilon}|)^2\|\psi;\mathcal{H}^\varepsilon\|^2. \end{aligned} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Приведенные соотношения вместе с неравенством Харди (2.19) дают нужную оценку второго члена из левой части формулы (6.37). Оценки слагаемых из суммы по $j=1,\dots,J$ выводятся при помощи неравенства Пуанкаре–Фридрихса в растянутых координатах
$$
\begin{equation*}
\|w;L^2(\mathbb{B}_{R^j_\omega})\|^2\leqslant c_j\bigl(\|\nabla_\xi w;L^2(\mathbb{B}_{R^j_\omega})\|^2+\|w;L^2(\omega_j)\|^2\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 8 доказана. Преобразуем выражение $\mathcal{J}^\varepsilon_p(\psi)$ между последними знаками модуля в (6.35). С этой целью перенесем срезки (6.16) и (2.24), введенные в конструкцию (6.13), к пробной функции $\psi$, а возникающие при этом коммутаторы срезки $\mathcal{X}_\varepsilon$ и оператор-градиента $\nabla_x$ обработаем при помощи формул (6.27) и (6.14), а также, разумеется, неравенства (6.36):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl|\bigl(\widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(p)0}\nabla_x\mathcal{X}_\varepsilon, \nabla_x\psi\bigr)_\Omega-\bigl(\nabla_x\widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(p)0},\psi \nabla_x\mathcal{X}_\varepsilon\bigr)_\Omega\bigr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant c\varepsilon^{-1}\bigl(\varepsilon^{\beta+1}\|\nabla_x\psi;L^2(\Omega)\| +\varepsilon^\beta\varepsilon(1+|{\ln\varepsilon}|) \|\mathbf{r}(1+|{\ln\mathbf{r}}|)^{-1}\psi;L^2(\Omega)\|\bigr) \nonumber \\ &\qquad\leqslant c\varepsilon^\beta(1+|{\ln\varepsilon}|). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.38}
$$
Аналогичная оценка в случае срезок $\chi_j$ выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl|\bigl(\widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(p)j}\nabla_x\chi_j, \nabla_x\psi\bigr)_\Omega-\bigl(\nabla_x\widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(p)j},\psi \nabla_x\chi_j\bigr)_\Omega\bigr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant c\bigl(\varepsilon \varepsilon^{\beta-1}\bigl\|\widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(p)j};L^2_{\beta-1}(\mathbb{R}^2)\bigr\| \|\nabla_x\psi;L^2(\Omega)\| \nonumber \\ &\qquad\qquad+\varepsilon^\beta\bigl\|\nabla_\xi\widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(p)j};L^2_\beta(\mathbb{R}^2)\bigr\| \varepsilon^{-1} \|\psi;L^2(\Omega)\|\bigr)\leqslant c\varepsilon^\beta(1+|{\ln\varepsilon}|). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.39}
$$
Подчеркнем, что в силу формулы (6.37) при $\gamma>2$ множитель $1+|{\ln\varepsilon}|$ в мажоранте из (6.38) не нужен, а тот же множитель в мажоранте из (6.39) не нужен при $\gamma=2$ в силу формулы (6.36). Итак,
$$
\begin{equation*}
\biggl|\mathcal{J}^\varepsilon_p(\psi)-\mathcal{J}^{0\varepsilon}_p(\psi)\sum_{j=1}^J \bigl(\mathcal{J}^{j\varepsilon}_p(\psi)+ \mathcal{J}^{j\varepsilon}_{\mu p}(\psi)\bigr) \biggr| \leqslant c\varepsilon^\beta(1+|{\ln\varepsilon}|),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{J}^{0\varepsilon}_p(\psi) &= \bigl(\nabla_x w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)0}, \nabla_x(\mathcal{X}_\varepsilon\psi)\bigr)_\Omega -\varepsilon^{\gamma-2}\mu_k^\mathfrak{z} \bigl(w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)0},\mathcal{X}_\varepsilon\psi\bigr)_\Omega , \\ \mathcal{J}^{j\varepsilon}_p(\psi) &= \bigl(\nabla_x w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)j}, \nabla_x(\chi_j\psi)\bigr)_{\mathbb{R}^2}-\varepsilon^{-2} \mu^\mathfrak{z}_k\bigl(w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)j},\psi\bigr)_{\omega_j}, \\ \mathcal{J}^{j\varepsilon}_{\mu p}(\psi) &=-\varepsilon^{\gamma-2}\mu_k^\mathfrak{z} \bigl(\widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(p)j}, \chi_j\psi\bigr)_{\mathbb{R}^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Произведение $\mathcal{X}_\varepsilon\psi$ обращается в нуль около точек $P^1,\dots,P^J$, а значит, $\mathcal{X}_\varepsilon\psi\in V^1_{-\beta}(\Omega;\mathcal{P})$ и справедливы формулы
$$
\begin{equation*}
\mathcal{J}^{0\varepsilon}_p(\psi)=0\quad \text{при}\quad \gamma=2\qquad {\rm или}\quad |\mathcal{J}^{0\varepsilon}_p(\psi)|\leqslant c\varepsilon^{\gamma-2}\quad \text{при}\quad \gamma>2.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку функция $\xi^j\mapsto \chi_j(P^j+\varepsilon\xi^j)\psi(P^j+\varepsilon\xi^j)$ обладает компактным носителем и $\{\mu^\mathfrak{z}_k,w^{\,\mathfrak{z}}_{(p)j}\}$ – собственная пара предельного уравнения (1.10), имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal{J}^{j\varepsilon}_p(\psi)=0,\qquad j=1,\dots,J.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\mathcal{J}^{j\varepsilon}_{\mu p}(\psi)| &\leqslant c\varepsilon^{\gamma-2} \bigl\|(\varepsilon+r_j)^{-1}(1+|\ln(\varepsilon+r_j)|)^{-1}\widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(p)j};L^2(\mathbb{R}^2)\bigr\| \\ &\qquad\times\bigl\|(\varepsilon+r_j)\bigl(1+|\ln(\varepsilon+r_j)\chi_j\psi|\bigr);L^2(\Omega)\bigr\| \\ &\leqslant c\varepsilon^{\gamma-2}\varepsilon(1+|{\ln\varepsilon}|)\bigl\|\widetilde{w}^{\,\mathfrak z}_{(p)j};L^2_{\beta+1}(\mathbb{R}^2)\bigr\| (1+|{\ln\varepsilon}|)\|\psi;\mathcal{H}^\varepsilon\| \\ &\leqslant c\varepsilon^{\gamma-1}(1+|{\ln\varepsilon}|)^2\leqslant c\varepsilon^\beta(1+|{\ln\varepsilon}|). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подведем итог. Соберем полученные соотношения. При учете формул (6.21) и (4.5) для первых двух сомножителей в правой части (6.35) выводим нужные оценки
$$
\begin{equation}
\alpha^\varepsilon_p\leqslant c_k\ell_{\gamma,\beta}(\varepsilon),\qquad p=k,\dots,k+\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k-1.
\end{equation}
\tag{6.40}
$$
6.5. Об асимптотической точности модели в части приближения собственных чиселВсе подготовлено для того, чтобы доказать основную теорему данного параграфа. Теорема 8. Для каждого $p\in\mathbb{N}$ найдутся такие положительные $\mathfrak{z}_p$ и $c_p$, что для членов последовательностей (1.6) и (3.30) выполнены неравенства Доказательство следует обычной схеме.
Согласно лемме 5 и оценкам (4.5) для собственного числа $\mu^\mathfrak{z}_k$ пучка (3.15) с кратностью $\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k$ найдутся собственные числа $\kappa^\varepsilon_{N^\varepsilon(p)}$, $p=k,\dots,k+\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k-1$, оператора $\mathcal{K}^\varepsilon$, для которых верны соотношения
$$
\begin{equation}
|\kappa^\varepsilon_{N^\varepsilon(p)}-(\mu^\mathfrak{z}_k+1)^{-1}| \leqslant c_k\ell_\gamma(\varepsilon),\qquad p=k,\dots,k+\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k-1.
\end{equation}
\tag{6.42}
$$
В силу связи (6.4) спектральных параметров выводим из соотношений (6.42), что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|(\lambda^\varepsilon_{N^\varepsilon(p)}+\varepsilon^{\gamma-2})-\varepsilon^{\gamma-2} (\mu^\mathfrak{z}_k+1)|\leqslant c_k\ell_\gamma(\varepsilon) (\mu^\mathfrak{z}_k+1)(\lambda^\varepsilon_{N^\varepsilon(p)}+\varepsilon^{\gamma-2}) \nonumber \\ &\Longrightarrow\quad\lambda^\varepsilon_{N^\varepsilon(p)}+\varepsilon^{\gamma-2}\leqslant \mu^\mathfrak{z}_k+1+c_k\ell_\gamma(\varepsilon) (\mu^\mathfrak{z}_k+1)(\lambda^\varepsilon_{N^\varepsilon(p)}+\varepsilon^{\gamma-2}) \nonumber \\ &\Longrightarrow\quad\lambda^\varepsilon_{N^\varepsilon(p)}+\varepsilon^{\gamma-2} \leqslant2(\mu^\mathfrak{z}_k+1)\quad \text{при}\quad c_k\ell_\gamma(\varepsilon) (\mu^\mathfrak{z}_k+1)\leqslant\frac{1}{2} \nonumber \\ &\Longrightarrow\quad |\lambda^\varepsilon_{N^\varepsilon(p)}-\varepsilon^{\gamma-2} \mu^\mathfrak{z}_k|\leqslant 2c_k\ell_\gamma(\varepsilon) (\mu^\mathfrak{z}_k+1)^2 \quad \text{при} \quad c_k\ell_\gamma(\varepsilon) (\mu^\mathfrak{z}_k+1)\leqslant\frac{1}{2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.43}
$$
Итак, найдены собственные числа $\lambda^\varepsilon_{N^\varepsilon(k)}, \dots,\lambda^\varepsilon_{N^\varepsilon(k+\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k-1)}$, удовлетворяющие неравенствам (6.41), однако информация об их индексах $N^\varepsilon(p)$ в упорядоченной последовательности (1.6) пока недоступна. Проверим, что эти индексы попарно различны, т. е. можно считать, что
$$
\begin{equation*}
N^\varepsilon(p)=N^\varepsilon(k)+p-k\quad\text{при}\quad p=k,\dots,k+\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k-1.
\end{equation*}
\notag
$$
С этой целью применим вторую часть леммы 5 и обозначим через $\mathbf{s}^\varepsilon_{(p)}$ и $\mathbf{c}^\varepsilon_{(p)}$ соответственно линейную комбинацию $\sum c^\varepsilon_{(p)q} \mathcal{U}^\varepsilon_q$ и нормированный в $\mathbb{R}^{\mathbf{X}_\varepsilon}$ столбец ее коэффициентов, появившиеся в формуле (6.6) для почти собственного вектора (6.12). При этом
$$
\begin{equation}
\alpha^\varepsilon=\max\{\alpha^\varepsilon_k,\dots, \alpha^\varepsilon_{k+\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k-1}\}, \qquad \alpha^\varepsilon_\bullet= \frac{\alpha^\varepsilon}{t}\quad\text{с}\quad t>1
\end{equation}
\tag{6.44}
$$
(см. (6.40)). Столбцы $\mathbf{c}^\varepsilon_{(k)},\dots, \mathbf{c}^\varepsilon_{(k+\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k-1)}$ принадлежат пространству $\mathbb{R}^{\mathbf{X}_\varepsilon}$, размерность $\mathbf{X}_\varepsilon$ которого – полная кратность спектра оператора $\mathcal{K}^\varepsilon$ на сегменте
$$
\begin{equation}
[(1+\mu^\mathfrak{z}_k)^{-1}-t\alpha^\varepsilon,\, (1+\mu^\mathfrak{z}_k)^{-1}+t\alpha^\varepsilon]\subset(0,1).
\end{equation}
\tag{6.45}
$$
При помощи простых преобразований и условий ортонормировки (6.7) получим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|(\mathbf{c}^\varepsilon_{(q)})^\top\mathbf{c}^\varepsilon_{(p)}-\delta_{p,q}| =|\langle\mathbf{s}^\varepsilon_{(p)},\mathbf{s}^\varepsilon_{(q)} \rangle_\varepsilon-\delta_{p,q}| \\ &\ \ =|\langle\mathbf{s}^\varepsilon_{(p)},\mathbf{s}^\varepsilon_{(q)} -\mathbf{u}^\varepsilon_{(q)}\rangle_\varepsilon+\langle\mathbf{s}^\varepsilon_{(p)} -\mathbf{u}^\varepsilon_{(p)},\mathbf{u}^\varepsilon_{(q)} \rangle_\varepsilon+\langle\mathbf{u}^\varepsilon_{(p)},\mathbf{u}^\varepsilon_{(q)} \rangle_\varepsilon -\delta_{p,q}| \\ &\ \ \leqslant (\|\mathbf{u}^\varepsilon_{(p)};\mathcal{H}^\varepsilon\|+\|\mathbf{s}^\varepsilon_{(p)} -\mathbf{u}^\varepsilon_{(p)};\mathcal{H}^\varepsilon\|) \|\mathbf{s}^\varepsilon_{(q)} -\mathbf{u}^\varepsilon_{(q)};\mathcal{H}^\varepsilon\|+\|\mathbf{s}^\varepsilon_{(p)} -\mathbf{u}^\varepsilon_{(p)};\mathcal{H}^\varepsilon\|\,\|\mathbf{u}^\varepsilon_{(q)}; \mathcal{H}^\varepsilon\| \\ &\ \ \qquad+\|\mathcal{W}^\varepsilon_p;\mathcal{H}^\varepsilon\|^{-1} \|\mathcal{W}^\varepsilon_q;\mathcal{H}^\varepsilon\|^{-1}\bigl| \langle\mathcal{W}^\varepsilon_p,\mathcal{W}^\varepsilon_q \rangle_\varepsilon -\delta_{p,q}\|\mathcal{W}^\varepsilon_p;\mathcal{H}^\varepsilon\|\, \|\mathcal{W}^\varepsilon_q;\mathcal{H}^\varepsilon\|\bigr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь согласно определениям (6.12), оценкам (6.19) и неравенству (6.6), в котором мажоранта равна $2/t$ в силу формулы (6.44), выводим, что
$$
\begin{equation}
|(\mathbf{c}^\varepsilon_{(q)})^\top\mathbf{c}^\varepsilon_{(p)}-\delta_{p,q}| \leqslant\biggl(\biggl(1+\frac{2}{t}\biggr)\,\frac{2}{t}+\frac{2}{t}+ \frac{1}{1+\mu_k^\mathfrak{z}}\ell_{\gamma,\beta}(\varepsilon)\biggr).
\end{equation}
\tag{6.46}
$$
Неравенство (6.46) означает, что при большом $t$ и малом $\varepsilon$ столбцы $\mathbf{c}^\varepsilon_{(k)},\dots, \mathbf{c}^\varepsilon_{(k+\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k-1)}$ “почти ортонормированы” в пространстве $\mathbb{R}^{\mathbf{X}_\varepsilon}$, что возможно лишь в случае $\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k\leqslant \mathbf{X}_\varepsilon$. Таким образом, на сегменте (6.45) расположено не менее $\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k$ собственных чисел оператора $\mathcal{K}^\varepsilon$, и для них выполнены оценки
$$
\begin{equation}
|\kappa^\varepsilon_{N^\varepsilon(k)+p-k}-(1+\mu^\mathfrak{z}_k)^{-1}| \leqslant t\alpha^\varepsilon,\qquad p=k,\dots,k+\varkappa^{\,\mathfrak{z}}_k-1.
\end{equation}
\tag{6.47}
$$
Зафиксировав подходящую величину $t$, повторим преобразования (6.43) и превратим формулу (6.47) в неравенства (6.41), где произведены замены $c_k\mapsto tc_k$ и $\lambda^\varepsilon_p\mapsto\lambda^\varepsilon_{N^\varepsilon(k)+p-k}$. Первая замена несущественна, так как число $t$ зафиксировано, а вторая компенсируется следующими наблюдениями. Во-первых, число $N^\varepsilon(k)$ не может быть строго меньше $k$, так как уже найдены $k-1$ собственное число $\lambda^\varepsilon_1,\dots,\lambda^\varepsilon_{k-1}\in [0,\varepsilon^{\gamma-2}(\mu_{k-1}+\mu_k)/2]$. Во-вторых, неравенство $N^\varepsilon(k)>0$ отвергается теоремой 1 как противоречащее сходимости (2.17) (см. также комментарий к предложению 7). Теорема 8 доказана. Обратим внимание на одно важное обстоятельство. Поскольку весовой показатель $\beta\in(0,1)$ можно зафиксировать произвольно и при этом свойства операторного пучка (3.15) не изменяются, бесконечно малую в мажоранте $c_p\ell_{\beta,\gamma}(\varepsilon)$ из оценки (6.41) можно заменить такой:
$$
\begin{equation}
\widehat{\ell}^{\,\vartheta}_\gamma(\varepsilon)= \begin{cases} \varepsilon^\vartheta, &\gamma=2, \\ \varepsilon^{\min\{\gamma-2,\, \vartheta\}}, &\gamma>2. \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.48}
$$
Здесь $\vartheta$ – любой показатель из интервала $(0,1)$. При этом множитель $c_p=c_{p,\gamma}(\vartheta)$, разумеется, неограниченно возрастает при $\vartheta\to 1-0$. 6.6. О приближении собственных функций исходной задачи НейманаВторая часть леммы 5, уже использованная при проверке теоремы 8, позволяет установить точность приближения собственных функций задачи (1.5) собственными векторами пучка (3.15). Получим оценку асимптотического остатка в случае простого собственного числа $\mu_k\in M$: в силу теорем 8 и 3 простыми оказываются и собственные числа $\lambda^\varepsilon_k$ и $\mu^\mathfrak{z}_k$ из последовательностей (1.6) и (3.30) соответственно, а также собственное число $\kappa^\varepsilon_k=\varepsilon^{\gamma-2}(\lambda^\varepsilon_k+\varepsilon^{\gamma-2})^{-1}$ оператора $\mathcal{K}^\varepsilon$ (см. (6.4) и (6.3)). Аналогичный результат можно получить и для кратного собственного числа, однако соответствующее утверждение становится более громоздким, но менее информативным и потому не формулируется. Подчеркнем, что к тому же приближениями к собственным функциям $u^\varepsilon_k$ исходной задачи о концентрированных массах служат достаточно сложно устроенные линейные комбинации (6.13) (или (6.14), (6.15)) решений предельных задач. Теорема 9. Пусть $k\in\mathbb{N}$ и $\mu_k\in M$ – простое собственное число совокупности предельных задач. Тогда для любого $\vartheta\in(0,1)$ найдутся такие положительные $\mathfrak{z}^\vartheta_k$ и $c^\vartheta_k$, что при $\mathfrak{z}\in[\mathfrak{z}^\vartheta_k,+\infty)$ собственная функция $u^\varepsilon_k$ задачи (1.5) (или (1.2), (1.3)), нормированная согласно условию (1.7), удовлетворяет неравенству Доказательство. Согласно вычислениям из п. 6.4 и теореме 8 при некотором $\theta>0$ сегмент содержит только одно собственное число $\kappa^\varepsilon_k$ оператора $\mathcal{K}^\varepsilon$. Применим формулу (6.6) из леммы 5 с ингредиентами (6.11), (6.12) при $p=k$ и величинами $\alpha^\varepsilon=\alpha^\varepsilon_k$, $\alpha^\varepsilon_\bullet=\theta/2$ (см. (6.40) и (6.50)). В результате придем к соотношению
$$
\begin{equation}
\|\mathbf{u}_k^\varepsilon-\mathcal{U}^\varepsilon_k;\mathcal{H}^\varepsilon\| \leqslant 4c_k\theta^{-1}\ell_{\beta,\gamma}(\varepsilon).
\end{equation}
\tag{6.51}
$$
Для проверки неравенства (6.49) осталось вспомнить несколько формул. Прежде всего в силу интегрального тождества (1.5), нормировки (1.7) и оценки (6.41) получаем соотношение
$$
\begin{equation*}
\|\nabla_x u^\varepsilon_k;L^2(\Omega)\|=\varepsilon^{2-\gamma}\lambda^\varepsilon_k =\mu^\mathfrak{z}_k+O(\ell_{\beta,\gamma}(\varepsilon)),
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, согласно формулам (6.1) и (6.7) наличествует следующая связь между собственной функцией задачи (1.5) и собственным вектором оператора $\mathcal{K}^\varepsilon$:
$$
\begin{equation}
\|\nabla_x u^\varepsilon_k-(1+\mu^\mathfrak{z}_k)^{-1}\mathcal{U}^\varepsilon_k; L^2(\Omega)\|\leqslant C_k\ell_{\beta,\gamma}(\varepsilon).
\end{equation}
\tag{6.52}
$$
В итоге оценки (6.21) и (6.52) позволяют сделать в соотношении (6.51) одновременно замены $\mathbf{u}^\varepsilon_k\mapsto \mathcal{W}^\varepsilon_k$ и $\mathcal{U}^\varepsilon_k \mapsto u^\varepsilon_k$, преобразующие его в (6.49). Замена $\ell_{\beta,\gamma}(\varepsilon)\mapsto\widehat{\ell}^{\,\vartheta}_\gamma(\varepsilon)$ уже пояснялась в предыдущем пункте. Теорема 9 доказана. § 7. Краевое условие Дирихле7.1. Сходство с задачей НейманаИсследование двумерной задачи Дирихле (1.2), (1.8) о концентрированных массах (1.1) мало отличается от проведенного исследования задачи Неймана3. Упомянем некоторые простые модификации рассуждений и выкладок. Поскольку вариационная постановка задач Дирихле, исходной (1.5) и предельной (2.8), осуществляется на подпространстве $H^1_0(\Omega)$ функций из класса Соболева, обращающихся в нуль на границе $\partial\Omega$, первые собственные числа $\lambda^\varepsilon_1$ и $\mu_{01}$ названных задач положительные (ср. начала последовательностей (1.6) и (2.9) в случае краевых условий Неймана). Спектры (2.6) предельных уравнений (1.10) остаются без изменений, а объединенная последовательность (1.9) выстраивается по прежнему правилу, однако в ней всегда присутствуют только $J$ нулевых членов (независимо от параметра (1.1); ср. формулы (2.15) и (2.16) для задачи Неймана (1.2), (1.3)). Теорема 1 полностью сохраняет силу (ср. доказательство предложения 7 в § 8). Операторный пучок $\mu\mapsto \mathfrak{A}^\mathfrak{z}_\beta(\mu)$, моделирующий вариационную постановку задачи (1.2), (1.8)
$$
\begin{equation}
(\nabla_xu^\varepsilon,\nabla_x\psi)_\Omega=\lambda^\varepsilon\bigl( (u^\varepsilon,\psi)_{\Omega^\varepsilon}+\varepsilon^{-\gamma} (u^\varepsilon,\psi)_{\omega^\varepsilon}\bigr),\qquad \psi\in H^1_0(\Omega),
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
по-прежнему задан формулой (3.15), в которой фигурирует оператор
$$
\begin{equation*}
V^1_{\beta,0}(\Omega,\mathcal{P})\ni w_0 \mapsto f_0\in V^1_{-\beta,0}(\Omega,\mathcal{P})^\ast
\end{equation*}
\notag
$$
задачи
$$
\begin{equation*}
(\nabla_x w_0,\nabla_x\psi_0)_\Omega=f_0(\psi)\quad \forall\,\psi\in V^1_{-\beta,0}(\Omega;\mathcal{P}),
\end{equation*}
\notag
$$
суженный на снабженное нормой (2.34) подпространство $\mathcal{V}^1_{\beta,0} (\Omega;\mathcal{P})$ функций $w_0\in V^1_\beta(\Omega;\mathcal{P})$, представимых в виде (2.23) и аннулирующихся на границе $\partial\Omega$. Исследование такого пучка повторяет буквально материал § 3. Единственное малосущественное отличие состоит в построении асимптотики первых $J$ членов последовательности $\{\lambda^\varepsilon_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ собственных чисел. Приведем конструкции без обращения к регулярно возмущенному пучку, а воспользуемся непосредственно методом сращиваемых асимптотических разложений (см. монографии [24], [18], [16; гл. 2] и другие), который весьма прост в исполнении при конструировании рядов по обратным степеням логарифма. 7.2. Малые собственные числаВ первую очередь отметим, что у задачи Дирихле в области $\Omega$ имеется классическая функция Грина $x\mapsto G(x,x')$ (см. учебник [27]), положительная и гармоническая в проколотой области $\Omega\setminus\{x'\}$. Для ее частных значений (2.12) верны разложения (2.13), из коэффициентов которых составим симметричную ($J\times J$)-матрицу $\mathbf{G}^0$. В отличие от задачи Неймана матрица $\mathbf{G}^0$ вполне определена и не нуждается в каких-либо дополнительных ограничениях (ср. условия (2.14) для обобщенной функции Грина). Кроме функции Грина в асимптотических конструкциях по-прежнему задействованы специальные решения (5.22) уравнений (5.21). Собственным функциям, отвечающим собственным числам
$$
\begin{equation}
\lambda^\varepsilon_p=\varepsilon^{\gamma-2}(0+\mathfrak{z}^{-1}\mu'_p +\mathfrak{z}^{-2}\mu''_p+\cdots)+\cdots,\qquad p=1,\dots,J,
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
(ср. анзац (4.8)) поставим в соответствие два типа разложений: внешнее
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon_p(x)=0+\mathfrak{z}^{-1}\sum_{j=1}^J b_{(p)j}^0G_j(x)+ \mathfrak{z}^{-2}\sum_{j=1}^J b_{(p)j}^{0\prime}G_j(x)+\cdots ,
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
справедливое вне окрестности сингулярного множества $\mathcal P$, и внутренние
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u^\varepsilon_p(x) &=a_{(p)j}+\mathfrak{z}^{-1}(a'_{(p)j}+b_{(p)j}\mathbf{w}_j(\xi^j)) \nonumber \\ &\qquad+\mathfrak{z}^{-2}\bigl(a''_{(p)j}+b'_{(p)j}\mathbf{w}_j(\xi^j) +\widehat{w}^{\,\prime}_{(p)j}(\xi^j)\bigr)+\cdots, \qquad j=1,\dots,J, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
приемлемые в непосредственной близости от точек $P^j$ и использующие растянутые координаты $\xi^j=\varepsilon^{-1}(x-P^j)$. Здесь фигурируют специальные решения $\mathbf{w}_j$ дифференциальных уравнений (5.21), а все коэффициенты и “энергетические” составляющие $\widehat{w}^{\,\prime}_{(p)j}\in\mathcal{H}_j$ подлежат определению. Многоточие в формулах (7.2)–(7.4) заменяет младшие асимптотические члены, не существенные в предпринимаемом формальном анализе. Сращивание разложений (7.3) и (7.4) на уровне $1=\mathfrak{z}^0$ при учете соотношения $\Phi(x-P^j)=\Phi(\xi^j)+\mathfrak{z}$ (ср. замечание 1) приводит к равенствам а сращивание разложений на уровне $\mathfrak{z}^{-1}$ – к равенствам
$$
\begin{equation}
a'_{(p)j}=b'_{(p)j}+\sum_{k=1}^J \mathbf{G}^0_{jk}b_{(p)k}, \qquad j=1,\dots,J.
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
Кроме того, подстановка анзацев (1.11) и (7.4) в уравнение (1.2), переход к растянутым координатам и сбор коэффициентов при $\varepsilon^{-2}\mathfrak{z}^{-1}$ дает соотношения
$$
\begin{equation*}
-\Delta_\xi(b_{(p)j}\mathbf{w}_j(\xi^j))=\mu'_pX_j(\xi^j)a_{(p)j},\qquad \xi^j\in\mathbb{R}^2, \quad j=1,\dots,J,
\end{equation*}
\notag
$$
а также в силу уравнений (5.21) – равенства
$$
\begin{equation}
|\omega_j|^{-1}b_{(p)j}=\mu'_p a_{(p)j},\qquad j=1,\dots,J.
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
Из системы (7.5), (7.6) и (7.8) находим главные члены асимптотик (7.2) собственных чисел и столбцы в разложениях (7.3) и (7.4) собственных функций:
$$
\begin{equation}
\mu' _p=|\omega_j|^{-1}\quad\text{и}\quad a_{(p)}=b^0_{(p)}= b_{(p)}=e_{(p)}:=(\delta_{p,1},\dots,\delta_{p,J})^\top,\qquad j=1,\dots,J.
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
Если площади включений (1.1) попарно различны, то выбор столбцов в списке (7.9) однозначен и построение вторых поправок в асимптотических формулах (7.2) достаточно просто. А именно, продолжив процедуру сращивания, в дополнение к равенствам (7.7) получим соотношения и дифференциальные уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, -\Delta_\xi \widehat{w}^{\,\prime}_{(p)j}(\xi^j) &=\mu''_pX_j(\xi^j)a_{(p)j} +\mu'_pX_j(\xi^j)(a'_{(p)j}+b_{(p)j}\mathbf{w}_j(\xi^j)) \nonumber \\ &\qquad-X_j(\xi^j)b'_{(p)j}|\omega_j|^{-1},\qquad \xi^j\in\mathbb{R}^2, \quad j=1,\dots,J. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
При $j=p$ условие разрешимости уравнения (7.11) ввиду равенств (7.9) и связей (7.7), (7.10) приводит к формулам
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mu''_p a_{(p)p}+\mu'_p\biggl(b'_{(p)p}+\sum_{k=1}^J \mathbf{G}^0_{pk}a_{(p)k}+b_{(p)p}\mathbf{m}_p\biggr) -\frac{b'_{j(p)}}{|\omega_p|}=0 \nonumber \\ &\qquad \Longrightarrow\quad \mu''_p=-\frac{1}{|\omega_p|}(\mathbf{G}^0_{pp}+\mathbf{m}_p) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
и включает интегральную характеристику (5.23) решения $\mathbf{w}_p$. Величины $b'_{(p)p}$ и $a'_{(p)p}$ остались неизвестными – их можно вычислить на следующих шагах алгоритма. Если же $j\ne p$, то условие разрешимости уравнения (7.7) не содержит параметра $\mu''_p$, но позволяет определить величины $b'_{(p)j}$ и $a'_{(p)j}$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mu'_p(b'_{(p)j}+\mathbf{G}_{jp}a_{(p)k})-b'_{j(p)}|\omega_j|^{-1}=0 \\ &\qquad \Longrightarrow\quad b'_{j(p)}=\frac{|\omega_j|\mathbf{G}^0_{jp}}{|\omega_p|-|\omega_j|},\quad a'_{j(p)}=\frac{|\omega_p|\mathbf{G}^0_{jp}}{|\omega_p|-|\omega_j|}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
На этом построение трехчленной асимптотики (7.7) малых собственных чисел задачи (1.2), (1.8) закончено при условии, что площади включений попарно различны. Пусть теперь
$$
\begin{equation}
|\omega_1|=\dots=|\omega_K|\quad\text{при}\quad K\leqslant J,
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
но $|\omega_j|\ne |\omega_1|$ при $j>K$. При необходимости перенумеруем включения и для упрощения обозначений введем предположение
$$
\begin{equation}
|\omega_j|<|\omega|:=|\omega_1|\quad\text{при}\quad j>K.
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
Это допущение не влияет на процедуру построения асимптотики, но позволяет иметь дело с упорядоченными первыми $K$ собственными числами $\lambda^\varepsilon_1\leqslant\dots\leqslant\lambda^\varepsilon_K$, для которых примем анзацы (7.2), где Приступим к построению асимптотики и сразу же заметим, что последние $J-K$ компонент у столбцов $a_{(p)}$, $b_{(p)}$ во внешнем (7.3) и внутренних (7.4) разложениях нулевые. Из первых $K$ компонент столбцов $a'_{(p)}$, $b'_{(p)}$ и прочих составим $K$-мерные столбцы $a^{\prime\, \sharp}_{(p)}$, $b^{\prime\,\sharp}_{(p)}$ и прочие. Оставшиеся компоненты объединим в столбцы $a^{\prime\,\flat}_{(p)}, b^{\prime\,\flat}_{(p)}\in \mathbb{R}^{J-K}$, в частности, Применим процедуру сращивания в прежнем порядке. Формулы (7.5)–(7.9) остаются без изменений. Кроме того, в дополнение к (7.15) выводим равенства однако определить укороченные столбцы
$$
\begin{equation*}
a^\sharp_{(p)}=b^\sharp_{(p)}=b^{0\,\sharp}_{(p)},\qquad p=1,\dots,K,
\end{equation*}
\notag
$$
пока невозможно. Продолжим сращивание и получим совокупность уравнений (7.11) при $p=1,\dots,K$. Условия их разрешимости принимают вид
$$
\begin{equation*}
\mu''_pa_{(p)j}+\frac{1}{|\omega|}\biggl( \sum_{k=1}^K\mathbf{G}^0_{pk}a_{(p)k}+\mathbf{m}_ja_{(p)j}\biggr)=0,\qquad j=1,\dots,K.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, величины из анзацев (7.2) при $p=1,\dots,K$ суть упорядоченные собственные числа симметричной ($K\times K$)-матрицы
$$
\begin{equation}
\mathbf{M}^\sharp=(\mathbf{M}_{pj})_{j,p=1}^K=-\frac{1}{|\omega|} (\mathbf{G}^0_{pj}+\delta_{p,j}\mathbf{m}_j)_{j,p=1}^K.
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
Можно было бы вычислить и столбцы $a^{\prime\,\flat}_{(p)}$ и $a^{\prime\,\flat}_{(p)}$, однако в формулируемой ниже теореме об асимптотике они востребованы не будут. Построение остальных ($p\,{=}\,K+1,\dots,J$) собственных чисел (7.2) при $p=K+ 1,\dots,J$ проводится при помощи описанных процедур, причем среди них опять нужно выбрать кратные и ввести подобные (7.17) блоки ($J\times J$)-матрицы $\mathbf M$. Отметим наконец, что эта матрица отличается от матрицы (5.47) отсутствием какого-либо проектора $\mathbb P$. Сформулируем полученный формально результат, относящийся к асимптотике собственных чисел, – оценки остатков выводятся так же, как и в § 6 для краевого условия Неймана. Теорема 10. 1) Если площади включений (1.1) попарно различны, то при $\varepsilon\in(0,\varepsilon^0_J]$ для первых $J$ собственных чисел вариационной задачи (7.1) (или краевой задачи (1.2), (1.8) в случае гладкой границы) верны асимптотические формулы 2) Если выполнены предположения (7.13) и (7.14), то при $\varepsilon\in(0,\varepsilon^0_K]$ для первых $K$ собственных чисел задачи (7.1) (или (1.2), (1.8) в случае гладкой границы) верны асимптотические формулы
$$
\begin{equation}
|\lambda^\varepsilon_p-\varepsilon^{\gamma-2}\mathfrak{z}^{-1} (|\omega_1|^{-1}+\mathfrak{z}^{-1}\mu''_p)| \leqslant c^0_K\varepsilon^{\gamma-2}\mathfrak{z}^{-3},\qquad j=1,\dots,K,
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
с некоторыми положительными $c^0_K$ и $\varepsilon^0_K$. Коэффициенты $\mu''_1,\dots,\mu''_J$ суть собственные числа (7.16) матрицы (7.17) размером $K\times K$. 7.3. О “дальнодействии” включенийОбсудим полученные асимптотические представления малых собственных чисел задач Дирихле и Неймана. Если выполнено требование (5.5) (включения имеют одинаковую площадь), то согласно теореме 10, 2) с $K=J$ асимптотические поправки $O(\varepsilon^{\gamma-2}|{\ln\varepsilon}|^{-2})$ в анзацах (7.2) находятся по собственным числам ($J\times J$)-матрицы (7.17), которая включает матрицу $\mathbf{G}^0$ коэффициентов в разложениях (2.13) функций Грина (2.12). Эта матрица определяется не только формой области $\Omega$, но и положением точек $P^1,\dots,P^J\in\mathcal{P}$ внутри нее. Иными словами, наблюдается взаимодействие концентрированных масс на уровне $\mathfrak{z}^{-2}=O(|{\ln\varepsilon}|^{-2})$. То же самое можно сказать о собственных числах $\lambda^\varepsilon_2,\dots, \lambda^\varepsilon_J$ задачи Неймана (1.2), (1.3) в ситуациях (1.17) и (1.18), так как согласно теоремам 6 и 7, поддержанным теоремой 8, упоминавшиеся асимптотические поправки суть собственные числа (5.48) матрицы (5.47). В то же время при $\gamma=2$ малым оказывается и собственное число $\lambda^\varepsilon_{J+1}$, для которого обсуждаемая поправка имеет вид (5.49) и зависит от площадей $|\Omega|$ и $|\omega|$, но не от множества $\mathcal P$. Можно убедиться, что следующий асимптотический член все-таки вычисляется при участии матрицы $\mathbf{G}^0$. В предположении о том, что площади включений попарно различны теорема 10, 1) показывает, что главные члены разложений (7.2) равны $\varepsilon^{\gamma-2} (\mathfrak{z} |\omega_p|)^{-1}$ и следующие за ними заданы формулой (7.12), где фигурируют величины $\mathbf{G}^0_{pp}$ и $\mathbf{m}_p$, зависящие от формы областей $\Omega$, $\omega_p$ и положения точки $P_p\in\Omega$, но не от других включений и их позиций. Иными словами, взаимодействия концентрированных масс на уровне $\varepsilon^{\gamma-2}|{\ln\varepsilon}|^{-2}$ не наблюдается. В то же время при тех же условиях уже главные члены асимптотик собственных чисел $\lambda^\varepsilon_2,\dots, \lambda^\varepsilon_J$ задачи Неймана суть положительные собственные числа (5.51) матрицы (5.50), которая окаймлена проектором (2.28), “перемешивающим” диагональные элементы $|\omega_1|^{-1},\dots,|\omega_J|^{-1}$ (см. конкретные примеры в п. 5.3). Таким образом, указанный случай исключителен: в нем взаимодействие плоских концентрированных масс происходит в главном асимптотическом члене, впрочем положение их “центров” $P^1,\dots,P^J\in\Omega$ безразлично. Подчеркнем, что такой же эффект имеет место в многомерной ($d\geqslant3$) задаче Неймана (см. публикации [11], [13]). 7.4. Важное различие между задачами Неймана и ДирихлеВ частном случае $\gamma>2$ и $J=1$ (одно сверхтяжелое включение $\omega^\varepsilon=\omega^\varepsilon_1$) двумерная задача (1.2), (1.3) обладает замечательным свойством: собственные функции уравнения (1.10), допускающие представление с затухающим остатком $\widetilde{w}_{1k}(\xi^1)=O(|\xi^1|^{-1})$ (см. п. 2.6), оставляют невязки степенной малости $O(\varepsilon^{\gamma-2})$ в уравнении (1.2) и $O(\varepsilon)$ в краевом условии (1.3). Таким образом, модуль разности $\lambda^\varepsilon_k-\varepsilon^{\gamma-2}\mu^\mathfrak{z}_k$ собственных чисел исходной сингулярно возмущенной задачи и ее модели при всех $k\in\mathbb{N}$ имеет мажоранту $c_k\varepsilon^{\min\{\gamma-2,1\}}$ степенной малости.Алгоритм построения асимптотики собственных чисел задачи Дирихле (1.2), (1.8), изложенный выше, подсказывает, что степенная близость величин $\lambda^\varepsilon_k$ и $\varepsilon^{\gamma-2}\mu^\mathfrak{z}_k$ наблюдается только при условии $a_{1k}=0$, когда сама собственная функция (7.19) затухает на бесконечности. Последнее возможно, например, для симметричной области $\omega_1$, в том числе для круга, для которого применим метод Фурье, а уравнение (1.10) обладает собственными функциями, затухающими на бесконечности по причине нечетности по переменной $\xi^j_1$ или $\xi^j_2$. Вместе с тем в п. 7.2 уже было показано, что отклонение нормированного собственного числа $\varepsilon^{2-\gamma}\lambda^\varepsilon_1>0$ исходной задачи от первого собственного числа $\mu^\mathfrak{z}_1=0$ пучка $\mathfrak{A}^\mathfrak{z}_\beta$ составляет $O(\mathfrak{z}^{-1}|\omega_1|)$, т. е. обязательно имеет логарифмический порядок малости. § 8. Проверка сходимости нормированных собственных чисел8.1. Изменение формулировки теоремы 1Для удобства читателя приведем доказательство упрощенного варианта теоремы 1 для задачи Неймана (1.2), (1.3) (для задачи Дирихле (1.2), (1.8) последующие выкладки нуждаются в совершенно незначительных изменениях). Поскольку используемая в данной работе схема оправдания асимптотики отличается от схемы [7], полученный далее результат в предложении 7 более слабый, чем утверждение теоремы 1, однако установленный факт вполне достаточен для окончания доказательства теоремы 8 (см. п. 8.2). Пусть $\mu_k\in M$ – собственное число совокупности предельных задач с кратностью $\varkappa_k$ (см. последовательность (1.9), полученную объединением последовательностей (2.6), $j=1,\dots,J$, и (2.9) в случае $\gamma=2$, а также формулу (4.7)). Промежуточный вывод, сделанный в п. 6.5 при доказательстве теоремы 8, вместе с утверждением теоремы 3 предоставляют не менее $\varkappa_k$ нормированных собственных чисел $\varepsilon^{2-\gamma}\lambda^\varepsilon_{N(k)+k},\dots, \varepsilon^{2-\gamma}\lambda^\varepsilon_{N(k)+k+\varkappa_k-1}$ задачи (1.2), (1.3) в малой окрестности точки $\mu_k$. Таким образом, справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
\varepsilon^{2-\gamma}\lambda^\varepsilon_p\leqslant c_k,\qquad p=k,\dots,k+\varkappa_k-1,
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
с общей постоянной $c_k$, а значит, и сходимости
$$
\begin{equation}
\varepsilon_m^{2-\gamma}\lambda^{\varepsilon_m}_p\to \widehat{\mu}_p\quad\text{при}\quad m\to+\infty,\quad p=k,\dots,k+\varkappa_k-1,
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
вдоль некоторой положительной бесконечно малой последовательности $\{\varepsilon_m\}_{\mathbb{N}}$. Далее индекс $m$ у символа $\varepsilon$ не пишем и не изменяем обозначение при переходе к подпоследовательности. Предстоит убедиться в том, что $\widehat{\mu}_k$ – собственное число совокупности предельных задач. Интегральное тождество (1.5), условие нормировки (1.7) и соотношение (8.1) означают, что
$$
\begin{equation*}
\|u^\varepsilon_p;\mathcal{H}^\varepsilon\|\leqslant c_p,\qquad p=k,\dots,k+\varkappa_k-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Благодаря неравенству
$$
\begin{equation*}
\|u^\varepsilon_p;H^1(\Omega)\|\leqslant c_p\|u^\varepsilon_p;\mathcal{H}^\varepsilon\|
\end{equation*}
\notag
$$
(см. формулу (1.5) и лемму 8) получаем, что
$$
\begin{equation}
w^\varepsilon_p:=u^\varepsilon_p\to\widehat{w}^{\,0}_p\quad \text{слабо в } H^1(\Omega) \text{ и сильно в }L^2(\Omega).
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
Введем еще функции
$$
\begin{equation}
\mathbb{R}^2\ni\xi^j\mapsto \widehat{u}^{\,\varepsilon j}_p(\xi^j)=\langle u^\varepsilon_p\rangle+\chi^j_\omega(\varepsilon^{1/2}\xi^j)u^\varepsilon_{p\bot} (P^j+\varepsilon\xi^j),
\end{equation}
\tag{8.4}
$$
где $\chi^j_\omega$ – срезки (2.33) и
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \langle u^\varepsilon_p\rangle =\frac{1}{3\varepsilon(R^j_\omega)^2}\int_{\mathbb{B}_{2\sqrt{\varepsilon}\, R^j_\omega}(P^j)\setminus\mathbb{B}_{\sqrt{\varepsilon}\, R^j_\omega}(P^j)} u^\varepsilon_p(x)\, dx, \\ u^\varepsilon_{p\bot}(x)=u^\varepsilon_p(x)-\langle u^\varepsilon_p\rangle, \qquad\int_{\mathbb{B}_{2\sqrt{\varepsilon}\, R^j_\omega}(P^j) \setminus\mathbb{B}_{\sqrt{\varepsilon}\, R^j_\omega}(P^j)} u^\varepsilon_{p\bot}(x)\, dx=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.5}
$$
Благодаря последнему условию ортогональности справедливо неравенство Пуанкаре
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl\|u^\varepsilon_{p\bot};L^2\bigl(\mathbb{B}_{2\sqrt{\varepsilon}\, R^j_\omega}(P^j) \setminus\mathbb{B}_{\sqrt{\varepsilon}\, R^j_\omega}(P^j)\bigr)\bigr\| \nonumber \\ &\qquad\leqslant c\sqrt{\varepsilon}\, \bigl\|\nabla_xu^\varepsilon_{p\bot};L^2\bigl(\mathbb{B}_{2\sqrt{\varepsilon}\, R^j_\omega}(P^j) \setminus\mathbb{B}_{\sqrt{\varepsilon}\, R^j_\omega}(P^j)\bigr)\bigr\| \nonumber \\ &\qquad=c\sqrt{\varepsilon}\, \bigl\|\nabla_xu^\varepsilon_p;L^2\bigl(\mathbb{B}_{2\sqrt{\varepsilon}\, R^j_\omega}(P^j) \setminus\mathbb{B}_{\sqrt{\varepsilon}\, R^j_\omega}(P^j)\bigr)\bigr\|\leqslant c\sqrt{\varepsilon}\, \|u^\varepsilon_p;\mathcal{H}^\varepsilon\|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.6}
$$
в котором множитель $c\sqrt{\varepsilon}$ находится посредством растяжения координат: он пропорционален диаметру кольца $\mathbb{B}_{2\sqrt{\varepsilon}R^j_\omega}(P^j) \setminus\mathbb{B}_{\sqrt{\varepsilon}R^j_\omega}(P^j)$ (площадь кольца $3\pi^2(R^j_\omega)^2$ появилась как знаменатель в первой формуле (8.5)). При учете определения (6.1) обнаруживаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\widehat{u}^{\,\varepsilon j}_p;\mathcal{H}_j\|^2 &=\bigl\|\nabla_\xi \widehat{u}^{\,\varepsilon j}_p;L^2\bigl(\mathbb{B}_{2\varepsilon^{-1/2}R^j_\omega}\bigr) \bigr\|^2+ \|\widehat{u}^{\,\varepsilon j}_p;L^2(\omega_j)\|^2 \\ &\leqslant c_j\bigl(\bigl\|\nabla_x u^\varepsilon_p;L^2\bigl(\mathbb{B}_{2\sqrt{\varepsilon}R^j_\omega}\bigr)\bigr\|^2+ \varepsilon^{-1}\bigl\|u^\varepsilon_{p\bot};L^2\bigl(\mathbb{B}_{2\sqrt{\varepsilon}R^j_\omega} \setminus\mathbb{B}_{\sqrt{\varepsilon}R^j_\omega}\bigr)\bigr\|^2 \\ &\qquad +\varepsilon^{-2}\|u^\varepsilon_p;L^2(\omega^\varepsilon_j)\|^2\bigr) \leqslant c_j\|u^\varepsilon_p;\mathcal{H}^\varepsilon\|^2 \leqslant C_j. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При обработке $L^2$-нормы функции $x\mapsto u^\varepsilon_{p\bot}(x) \nabla_x\chi^j_\omega(\varepsilon^{-1/2} (x-P^j))$, возникшей при дифференцировании последнего слагаемого в (8.4), использованы соотношение $|\nabla_x\chi^j_\omega(\varepsilon^{-1/2}(x-P^j))|\leqslant c\varepsilon^{-1/2}$ и неравенство (8.6). Итак, вдоль подпоследовательности $\{\varepsilon_m\}_{m\in\mathbb{N}}$ имеет место сходимость
$$
\begin{equation}
\widehat{u}^{\,\varepsilon j}_p\to\widehat{w}^{\,j}_p\quad \text{слабо в } \mathcal{H}_j \text{ и сильно в }L^2(\omega_j).
\end{equation}
\tag{8.7}
$$
Теперь в качестве пробной функции в интегральном тождестве (1.5) возьмем сумму
$$
\begin{equation}
\psi^\varepsilon(x)=\psi_0(x)+\sum_{j=1}^J\psi_j(\varepsilon^{-1}(x-P^j)),
\end{equation}
\tag{8.8}
$$
где $\psi_0\in C^\infty_{\mathrm{c}}(\overline{\Omega}\setminus\mathcal{P})$ и $\psi_j\in C^\infty_{\mathrm{c}}(\mathbb{R}^2)$, а значит, носители слагаемых из правой части (8.8) не пересекаются при малом $\varepsilon$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl((1+\varepsilon^{-\gamma}X^\varepsilon) u^\varepsilon_p,\psi_0\bigr)_\Omega &= (u^\varepsilon_p,\psi_0)_\Omega, \\ \bigl((1+\varepsilon^{-\gamma}X^\varepsilon)u^\varepsilon_p,\psi_j\bigr)_\Omega &=\varepsilon^{-\gamma}( \widehat{u}^{\,\varepsilon j}_p,\psi_j)_\Omega, \\ (\nabla_xu^\varepsilon_p,\nabla_x\psi_j)_\Omega &=(\nabla_\xi\widehat{u}^{\,\varepsilon j}_p,\nabla_\xi\psi_j)_{\mathbb{R}^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В результате предельный переход $\varepsilon\to+0$ в интегральном тождестве (1.5) на основании сходимостей (8.2), (8.3) и (8.7) приводит к соотношению
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^J(\nabla_\xi\widehat{w}^{\,j}_p,\nabla_\xi\psi_j)_{\mathbb{R}^2}+ (\nabla_x\widehat{w}^{\,0}_p,\nabla_x\psi_0)_\Omega =\widehat{\mu}_p\biggl(\sum_{j=1}^J(\widehat{w}^{\,j}_p,\psi_j)_{\omega_j} +\delta_{\gamma,2}(\widehat{w}^{\,0}_p,\psi_0)_\Omega\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Это соотношение распадается на независимые интегральные тождества в количестве $J+1$ штуки и по замыканию (напоминаем, что линейные множества $C^\infty_{\mathrm{c}}(\mathbb{R}^2)$ и $C^\infty_{\mathrm{c}}(\overline{\Omega}\setminus\mathcal{P})$ плотны в пространствах $\mathcal{H}_j$ и $H^1(\Omega)$ соответственно) превращается в вариационные формулировки (2.2) предельных уравнений (1.10), $j=1,\dots,J$, а также при $\gamma=2$ – в вариационную формулировку (2.8) предельной задачи Неймана (1.16) или при $\gamma>2$ – в тривиальное тождество
$$
\begin{equation*}
(\nabla_x \widehat{w}^{\,0}_p,\nabla_x\psi_0)_\Omega=0,\qquad \psi_0\in H^1(\Omega),
\end{equation*}
\notag
$$
означающее, что $\widehat{w}^{\,0}_p={\widehat{c}}_p$ – постоянная функция. Заметим еще, что по причине упомянутых сильных сходимостей в пространствах Лебега справедливо соотношение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varepsilon^{\gamma-2}(u^\varepsilon_p,u^\varepsilon_q)_\Omega +\varepsilon^{-2}\sum_{j=1}^J(u^\varepsilon_p,u^\varepsilon_q)_{\omega^\varepsilon_j}= \varepsilon^{\gamma-2}(w^\varepsilon_p,w^\varepsilon_q)_\Omega +\sum_{j=1}^J(\widehat{u}^{\,\varepsilon j}_p,\widehat{u}^{\,\varepsilon j}_q)_{\omega_j} \\ &\qquad \to\delta_{\gamma,2}(\widehat{w}^{\,0}_p,\widehat{w}^{\,0}_q)_\Omega +\sum_{j=1}^J(\widehat{w}^{\,j}_p,\widehat{w}^{\, j}_q)_{\omega_j}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, вектор $\overrightarrow{\widehat{w}_p}=(\widehat{w}^{\,0}_p, \widehat{w}^{\,1}_p,\dots,\widehat{w}^{\, J}_p)$ нормирован в пространстве $\mathfrak{H}$ из (4.3) (см. формулы (1.7) и (2.7), (2.10)). Иными словами, набор найденных пределов $\widehat{w}^{\,0}_p, \widehat{w}^{\,1}_p,\dots,\widehat{w}^{\, J}_p$ нетривиален, а значит, $\widehat{\mu}_p$ – собственное число хотя бы одной из предельных задач. Предложение 7. Предельные переходы (8.2), (8.3) и (8.7) вдоль некоторой положительной бесконечно малой последовательности $\{\varepsilon_m\}_{m\in\mathbb{N}}$ дают собственное число $\widehat{\mu}_p$ хотя бы одной из предельных задач (2.2), $j=1,\dots,J$, или (2.8) (последней – только в случае $\gamma=2$). 8.2. Изменения в рассужденияхРавенства
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mu}_p=\mu_p\quad\text{при}\quad p=k,\dots, k+\varkappa_k-1,
\end{equation*}
\notag
$$
присутствующие в теореме 1, остались невыясненными в предложении 7, однако в схеме обоснования из § 6 они и не нужны. Дело в том, что на последнем этапе доказательства теоремы 8 ссылку на теорему 1 можно заменить следующим, часто употребляемым рассуждением. Поскольку было установлено, что вблизи точек $\mu_2,\dots,\mu_k,\dots,\mu_{k+\varkappa_k-1}\in M$ расположено не менее $k+\varkappa_k-2$ собственных чисел (3.15), достаточно убедиться в том, что на полуинтервале $\mathcal{I}_k=[0,(\mu_{k+\varkappa_k-1}+\mu_{k+\varkappa_k})/2)$ нет “лишних” нормированных собственных чисел задачи (1.5). Предположив, что для некоторой положительной бесконечно малой последовательности $\{\varepsilon_m\}_{m\in\mathbb{N}}$ есть собственное число $\varepsilon^{2-\gamma}\lambda^\varepsilon_{N^{\varepsilon_m}}\in\mathcal{I}_k$, для которого соответствующая собственная функция $u^\varepsilon_{N^{\varepsilon_m}}$ ортогональна в смысле формулы (1.7) выделенным собственным функциям в количестве $k+\varkappa_k-1$ штуки, выполняем предельные переходы в согласии с предложением 7 и обнаруживаем собственную вектор-функцию совокупности предельных задач, отвечающую собственному числу $\widehat{\mu}_N<\mu_{k+\varkappa_k}$, но ортогональную всем собственным вектор-функциям для собственных чисел $\mu_1,\dots,\mu_k,\dots,\mu_{k+\varkappa_k-1}\in M$. Последнее невозможно, и полученное противоречие приводит к утверждению теоремы 8.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Naz23} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|