| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) О разрешимости полулинейных эллиптических уравнений второго порядка на замкнутых многообразиях Д. В. Туницкийab a Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук, г. Москва b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9261 
Реферативные базы данных:
    ВведениеЭволюционные уравнения вида где
$$
\begin{equation}
Lu=-\sum_{l,m=1}^n\frac{\partial}{\partial x^l} \biggl(a^{l,m}(x)\,\frac{\partial u}{\partial x^m}\biggr)+ \sum_{l=1}^n b^l(x)\,\frac{\partial u}{\partial x^l}
\end{equation}
\tag{0.2}
$$
– эллиптический линейный дифференциальный оператор второго порядка, широко используются при математическом моделировании разнообразных процессов реакции–диффузии. В частности, для описания концентрации и распространения веществ, а также баланса и продвижения биологических популяций и генных признаков. Эта тематика представляет значительный интерес и ей посвящено большое количество работ. Пионерскими работами здесь являются знаменитые статьи А. Н. Колмогорова, Г. И. Петровского, Н. С. Пискунова [1] и Р. А. Фишера [2], в которых изучается однородный случай уравнения (0.1), когда $Lu=-\sum_{l=1}^n(\partial^2 u/(\partial x^l)^2)$ и $f(x,u)=f(u)$. Отметим статью [3], содержащую подробную информацию по истории и библиографии исследований в указанном направлении. В случае, когда решение $u=u(t,x)$ уравнения (0.1), (0.2) имеет вид левая часть этого уравнения принимает вид
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial t}+Lu= e^{-\lambda t}\bigl(-\lambda u(x)+Lu(x)\bigr).
\end{equation}
\tag{0.3}
$$
В частности, в стационарном случае, когда $\lambda=0$, решение не зависит от времени и $u=u(x)$ удовлетворяет полулинейному эллиптическому уравнению Исследованию существования, регулярности и единственности решений для аналогов уравнения (0.4) на произвольных замкнутых многообразиях $X$ конечной размерности $n$ посвящена данная статья. Среди работ, в которых осуществляются сходные исследования, снова отметим статью [3], в которой изучается уравнение (0.4) с оператором $L$, имеющим периодические коэффициенты. Этот случай сводится к уравнению на многообразии, диффеоморфном $n$-мерному тору $\mathbb{T}^n$, и имеет большое прикладное значение. Значительный интерес представляют и аналоги уравнения (0.4) на других замкнутых многообразиях, в частности, на многообразиях, диффеоморфных $n$-мерной сфере $\mathbb{S}^n$. В связи с этим заметим, что согласно обобщенной гипотезе Пуанкаре сфере $\mathbb{S}^n$ гомеоморфны все гомотопически эквивалентные ей замкнутые многообразия. Наибольшие затруднения при установлении истинности этой гипотезы связаны с размерностью $n=3$. В этом случае доказательство, предложенное Г. Я. Перельманом, основано на исследовании потоков Риччи на замкнутых трехмерных многообразиях, см. [4], [5]. А эти потоки, по сути, являются решениями соответствующих нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными. Таким образом, изучение решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными на замкнутых многообразиях весьма важно и актуально как с прикладной, так и с общематематической точек зрения. Следует отметить, что в целом ряде прикладных задач в правые части уравнений (0.1) и (0.4) могут входить члены, которые могут быть не только негладкими, но даже и не непрерывными. Поэтому желателен выбор такого класса допустимых решений, который позволял бы построить удовлетворительную теорию разрешимости рассматриваемых уравнений при минимальных требованиях на регулярность их коэффициентов. В качестве такого класса в данной работе выступают слабые решения. В этом классе удается исследовать разрешимость аналогов неоднородного уравнения (0.4) на замкнутых многообразиях при довольно невысоких требованиях на регулярность их коэффициентов. В частности, некоторые из этих коэффициентов могут быть не только разрывными, но и обобщенными функциями. Естественно, что повышение класса регулярности коэффициентов соответствующим образом повышает и класс регулярности решений. § 1. Функциональные пространства тензорных полейБудем обозначать через $X$ $n$-мерное гладкое замкнутое риманово многообразие, т. е. связное компактное многообразие без края с метрикой $g\colon TX\times TX\to \mathbb{R}$. Метрики, индуцированные на тензорных расслоениях $(TX)^{\otimes^m}\otimes (T^* X)^{\otimes^l}$, $m,l=0,1,2,\dots$, этого многообразия посредством $g$, будем обозначать той же буквой $g$, при этом под $(TX)^{\otimes^0}\otimes(T^* X)^{\otimes^0}$ понимается тривиальное расслоение $X \times \mathbb{R}$ с $g(r,t)=rt$ для $r,t \in \mathbb{R}$. Метрика $g$ индуцирует на многообразии $X$ меру $V=V_g$ и связность Леви-Чивита со взаимно однозначно определяемым ею оператором ковариантного дифференцирования $\nabla=\nabla_g$. 1.1. Пространства СоболеваС помощью метрики $g$ и меры $V$ для $m,l=0,1,2,\dots$ определяются нормы тензорных полей
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|s\|_{L^p((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l})}&= \langle g^{p/2}(s,s),1\rangle^{1/p},\qquad p \geqslant 0, \\ \|s\|_{L^\infty((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l})}&= \operatorname*{ess\,sup}_{x\in X}\bigl|\sqrt{g(s,s)}\,(x)\bigr|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где для функций $u$ и $v$
$$
\begin{equation*}
\langle u,v\rangle=\int_X u(x)v(x)\,dV,\qquad \operatorname*{ess\,sup}_{x \in X} u(x)= \inf_{\substack{S \subseteq X \\ V(S)=0}}\, \sup_{x \in X\setminus S} u(x),
\end{equation*}
\notag
$$
и банаховы пространства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L^p\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr) &=\bigl\{s\colon X\ni x \mapsto s(x) \in (T_x X)^{\otimes^m}\otimes (T_x^* X)^{\otimes^l}\bigm| \\ &\qquad\|s\|_{L^p((TX)^{\otimes^m}\otimes (T^* X)^{\otimes^l})}<+\infty\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пространства $L^2\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr)$ являются гильбертовыми со скалярными произведениями $\langle s_1,s_2\rangle_{L^2((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l})}= \langle g(s_1,s_2),1\rangle$. Положим $L^p(X)=L^p\bigl((TX)^{\otimes^0}\otimes(T^* X)^{\otimes^0}\bigr)$, так что $\langle u,v\rangle_{L^2(X)}=\langle u,v\rangle$. Кратное ковариантное дифференцирование
$$
\begin{equation*}
\nabla^j\colon C^\infty\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr) \ni s \mapsto \nabla^j s \in C^\infty\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes (T^* X)^{\otimes^{l+j}}\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
позволяет для $m,l=0,1,2,\dots$ определить нормы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|u\|_{W^{k,p}((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l})} \\ &\qquad=\biggl(\sum_{j=0}^k\|\nabla^j s\|_{L^p((TX)^{\otimes^m} \otimes (T^* X)^{\otimes^{l+j}})}^p\biggr)^{1/p},\qquad p \geqslant 1, \\ &\|u\|_{W^{k,\infty}((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l})} \\ &\qquad=\sum_{j=0}^k\|\nabla^j s\|_{L^\infty((TX)^{\otimes^m} \otimes (T^* X)^{\otimes^{l+j}})}, \qquad k=0,1,2,\dots, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и пространства Соболева
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W^{k,p}\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr) &=\bigl\{s\colon X \ni x \mapsto s(x) \in (T_x X)^{\otimes^m}\otimes (T_x^* X)^{\otimes^l}\bigm| \\ &\qquad \|s\|_{W^{k,p}((TX)^{\otimes^m}\otimes (T^* X)^{\otimes^l})}<+\infty\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти пространства являются пополнением пространства бесконечно дифференцируемых тензорных полей $C^\infty\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes (T^* X)^{\otimes^l}\bigr)$ относительно введенных выше норм, см., например, [6; п. 10.2.4] и [7; § 7.6]. Пространства $W^{k,2}\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr)$ являются гильбертовыми со скалярными произведениями
$$
\begin{equation*}
\langle s_1,s_2\rangle_{W^{k,2}((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l})}= \sum_{j=0}^k\langle \nabla^j s_1,\nabla^j s_2\rangle_{L^2((TX)^{\otimes^m} \otimes(T^* X)^{\otimes^{l+j}})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $W^{0,p}\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr)= L^p\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr)$. Положим
$$
\begin{equation*}
W^{k,p}(X)=W^{k,p}\bigl((TX)^{\otimes^0}\otimes(T^* X)^{\otimes^0}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
1.2. Пространства ГёльдераВ силу компактности многообразия $X$ метрика $g$ полна, так что по теореме Хопфа–Ринова любые две точки $x_1,x_2\,{\in}{\kern1pt}X$ можно соединить минимизирующей геодезической кривой $\gamma_{x_1,x_2}$ длины $d(x_1,x_2)$. Для всякого тензорного поля $s$ на $X$ положим
$$
\begin{equation*}
[s]_\alpha=\sup_{x_1,x_2 \in X}\frac{\sqrt{g\bigl(s(\tau_{x_2,x_1}(x_1))- s(x_2),s(\tau_{x_2,x_1}(x_1))-s(x_2)\bigr)}}{d^\alpha(x_1,x_2)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $0<\alpha \leqslant 1$ и $\tau_{x_2,x_1}\colon (T_{x_1}X)^{\otimes^m} \otimes (T_{x_1}^* X)^{\otimes^l} \to (T_{x_2}X)^{\otimes^m}\otimes (T_{x_2}^* X)^{\otimes^l}$ – параллельный перенос вдоль кривой $\gamma_{x_1,x_2}$ из $x_1$ в $x_2$. Определим нормы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|s\|_{C^{k,\alpha}((TX)^{\otimes^m}\otimes (T^* X)^{\otimes^l})}= \|s\|_{C^k((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l})}+ [\nabla^k s]_\alpha, \\ k=0,1,2,\dots, \qquad 0<\alpha \leqslant 1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\|s\|_{C^k((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l})}= \|s\|_{W^{k,\infty}((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l})}$ – норма в пространстве $k$-гладких тензорных полей $C^k\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr)$, $k=0,1,2,\dots$, и пространства Гёльдера
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &C^{k,\alpha}\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr) \\ &\qquad=\bigl\{s \in C^k\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr) \bigm| \|s\|_{C^{k,\alpha}((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l})} <+\infty\bigr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
см., например, [6; п. 10.2.4] и [7; § 4.1]. Ясно, что
$$
\begin{equation*}
C^{k,1}\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr)= W^{k+1,\infty}\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $C^{k,\alpha}(X)=C^{k,\alpha}\bigl((TX)^{\otimes^0}\otimes (T^* X)^{\otimes^0}\bigr)$.
§ 2. Основные результаты2.1. Постановка задачиДля краткости будем использовать сокращение п. в., когда речь идет о выполнении каких-либо свойств почти всюду по мере $V=V_g$. Предположим, что наряду с $g$ на римановом многообразии $X$ задана еще одна метрика $a$. Пусть она измерима и существуют такие положительные числа $a_0$ и $a_1$, что п. в.
$$
\begin{equation}
a_0 g(\eta,\eta)\leqslant a(\eta,\eta) \leqslant a_1 g(\eta,\eta)
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
при всех $\eta \in T^* X$. Рассмотрим операторы $d_a^*$ и $d_g^*$, формально сопряженные с оператором внешнего дифференцирования $d$ относительно метрик $a$ и $g$ соответственно, см. [8; гл. VIII, § 1]. В частности, $\langle a(du,v),1\rangle=\langle a(u,d_a^* v),1\rangle$ для всех дифференциальных $k$-форм $u$ и $(k+1)$-форм $v$, $k=0,1,\dots,n-1$, и если многообразие $X$ ориентируемо, то $d_a^*=*d*$, где $* = *_a$ – оператор Ходжа, индуцированный метрикой $a$. Определим на функциях $u\in C^\infty(X)$ линейный дифференциальный оператор второго порядка где $\Delta=\Delta_a=d_a^*\circ d$ – геометрический лапласиан (оператор Лапласа–де Рама, см. [9; гл. IV, § 5]), а $b$ и $c$ – измеримые и ограниченные относительно метрики $g$ векторное поле и линейная дифференциальная форма на $X$. В этом контексте условие (2.1) означает, что оператор (2.2) равномерно эллиптичен на многообразии $X$. Рассмотрим измеримую функцию
$$
\begin{equation}
f\colon X \times \mathbb{R} \ni (x,r) \mapsto f(x,r)\in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
которая п. в. локально липшицева по переменной $u$, т. е. для любого $r \in \mathbb{R}$ найдется такая положительная постоянная $\mu_0=\mu_0(r)$, что п. в.
$$
\begin{equation}
|f(\,\cdot\,,r_1)-f(\,\cdot\,,r_2)|\leqslant \mu_0(r)|r_1-r_2|
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
для $r_1,r_2 \in [-r,r]$. Слабым или обобщенным решением уравнения где $h$ – измеримая ограниченная линейная дифференциальная форма на многообразии $X$, называется такая функция $u \in W^{1,2}(X)$, что $f(\,{\cdot}\,,u)\in L^2(X)$ и
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}(u,v)=\langle f(\,\cdot\,,u),v\rangle+ \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
для всякой функции $v \in C^\infty(X)$, где $\mathcal{L}$ – непрерывная билинейная форма
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}\colon W^{1,2}(X) \times C^\infty(X) \ni (u,v)\mapsto \langle a(du,dv),1\rangle+\langle bu,v\rangle+ \langle uc,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Отметим, что при наложенных на входные данные уравнения (2.5) требованиях, вообще говоря, не все его коэффициенты являются обычными функциями. Это связано с тем, что производные коэффициентов метрики $a$ и линейных дифференциальных форм $c$ и $h$ могут оказаться обобщенными функциями. Например, если коэффициентами форм $a$, $c$ и $h$ служат характеристические функции множеств с регулярной границей, то уравнение (2.5) будет включать в себя соответствующие условия на значения неизвестной функции $u$ и ее первых производных на границах этих множеств, см. [10; § 6.1]. Замечание 1. Согласно условию (2.7) для всякого $r \in \mathbb{R}$ имеем $\mathcal{L}(r,v)=r\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)}$, и поэтому по определению (2.6) постоянная функция $u=r$ тогда и только тогда является слабым решением уравнения (2.5), когда $\theta(r,v)=0$ для любой функции $v \in C^\infty(X)$, где Замечание 2. При фиксированном $r$ функционал $\theta(r,\,\cdot\,)$ является линейной формой на $C^\infty(X)$. Поскольку пространство $C^\infty(X)$ плотно в $W^{1,2}(X)$, то и линейную форму $\theta(r,\,\cdot\,)$ (2.8), и билинейную форму $\mathcal{L}$ (2.7) по непрерывности можно однозначно продолжить на функции $v \in W^{1,2}(X)$. При этом из выполнения равенства $\theta(r,v)=0$ или равенства (2.6) для всех функций $v \in C^\infty(X)$ вытекает его выполнение и для всех функций $v \in W^{1,2}(X)$. Очевидно, что выполнение указанных равенств для всех $v \in W^{1,2}(X)$ эквивалентно их выполнению для одних лишь неотрицательных $v \in W^{1,2}(X)$. Несложно видеть, что, вообще говоря, уравнение вида (2.5) не всегда имеет слабое решение, а если и имеет, то не обязательно единственное. Простыми примерами служат уравнения $\Delta u=1$ и $\Delta u=0$. У $\Delta u=1$ слабых решений нет, так как в этом случае в уравнении (2.6) при $v=1$ левая часть $\mathcal{L}(u,1)=\langle a(du,d1),1\rangle=0$ по определению (2.7), а правая часть $\langle 1,1\rangle>0$. Решениями же $\Delta u=0$ являются все гармонические функции. Исследуем условия, при которых слабые решения существуют и единственны. 2.2. Существование и регулярность решенияФункция $u \in W^{1,2}(X)$ называется слабым или обобщенным субрешением (суперрешением) уравнения (2.5), если $f(\,{\cdot}\,,u)\in L^2(X)$ и выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
Lu \leqslant f+d_g^* h\qquad (Lu \geqslant f+d_g^* h)
\end{equation*}
\notag
$$
в слабом смысле, т. е. для любой неотрицательной функции $v \in C^\infty(X)$
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}(u,v) \leqslant \langle f(\,\cdot\,,u),v\rangle+ \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}\quad \bigl(\mathcal{L}(u,v)\geqslant \langle f(\,\cdot\,,u),v\rangle+ \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}\bigr).
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Слабое субрешение (суперрешение) уравнения (2.5), которое не является его слабым решением будем называть строгим. В дальнейшем изложении, если не оговорено противное, все встречающиеся субрешения, решения и суперрешения предполагаются слабыми, и поэтому для краткости прилагательное “слабый” будет опускаться. Очевидно, что всякое решение $u$ уравнения (2.5) является одновременно его и субрешением, и суперрешением. Обратно, если функция $u$ является одновременно и субрешением, и суперрешением уравнения (2.5), то согласно заключительному рассуждению замечания 2 она является решением уравнения (2.5). Замечание 3. Аналогично замечанию 1 постоянная функция $u=r$, $r\,{\in}\,\mathbb{R}$, тогда и только тогда является субрешением (суперрешением) уравнения (2.5), когда $\theta(r,v) \leqslant 0$ ($\theta(r,v) \geqslant 0$) для всякой неотрицательной функции $v \in C^\infty(X)$. При этом в соответствии с замечанием 2 субрешение (суперрешение) $u$ уравнения (2.5) тогда и только тогда является строгим, когда найдется такая неотрицательная функция $v \in W^{1,2}(X)$, что Теорема 1 (существование решения). Пусть метрика $a \in L^\infty\bigl((T^* X)^{\otimes^2}\bigr)$ удовлетворяет оценке (2.1), векторное поле $b \in L^\infty(TX)$, линейные дифференциальные формы $c,h \in L^\infty(T^* X)$, причем найдется такое $\mu \in \mathbb{R}$, что $\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \geqslant -\langle\mu,v\rangle$ для неотрицательных $v \in C^\infty(X)$, а функция $f \in L_{\rm loc}^\infty(X \times \mathbb{R})$ и п. в. удовлетворяет условию Липшица (2.4). Предположим, что найдутся субрешение $w_0 \in L^\infty(X)$ и суперрешение $w_1 \in L^\infty(X)$ уравнения (2.5), п. в. удовлетворяющие неравенству $w_0 \leqslant w_1$. Тогда существуют такие решения $u_0$ и $u_1$ уравнения (2.5), для которых п. в. выполняется оценка и при этом $u_0$ минимально, а $u_1$ максимально в том смысле, что для любого решения $u$ уравнения (2.5), п. в. удовлетворяющего неравенству п. в. выполняется оценка Предположим, что метрика $a \in C^{0,1}\bigl((T^* X)^{\otimes^2}\bigr)$ и линейные дифференциальные формы $c,h \in C^{0,1}(T^* X)$. Тогда по теореме Радемахера их коэффициенты п. в. дифференцируемы. Сильным решением уравнения (2.5) будем называть функцию $u \in W^{2,p}(X)$, $p \geqslant 1$ или $p=\infty$, которая п. в. удовлетворяет равенству (2.5). Теорема 2 (регулярность решения). Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.5) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Справедливы три утверждения. (a) Существует такое $0<\alpha<1$, что любое решение уравнения (2.5) класса $L^\infty(X)$ принадлежит $C^{0,\alpha}(X)$. (b) Если для некоторого $0<\alpha<1$ метрика $a \in C^{0,\alpha}\bigl((T^* X)^{\otimes^2}\bigr)$ и линейные дифференциальные формы $c,h \in C^{0,\alpha}(T^* X)$, то любое решение уравнения (2.5) класса $L^\infty(X)$ принадлежит $C^{1,\alpha}(X)$. (c) Если метрика $a \in C^{0,1}\bigl((T^* X)^{\otimes^2}\bigr)$ и линейные дифференциальные формы $c,h\in C^{0,1}(T^* X)$, то любое решение уравнения (2.5) класса $L^\infty (X)$ принадлежит $W^{2,2}(X) \cap C^{1,\alpha}(X)$ для всякого $0<\alpha<1$ и является сильным решением этого уравнения. Доказательство. Утверждения (a), (b) и (с) при ограничениях, наложенных на дифференциальный оператор $L$ (2.2) и функцию $f$ (2.3), вытекают из известных свойств решений уравнения (2.5), см., например, [7; § 8.9], [7; § 8.11] и [7; § 8.3] соответственно.
Естественно, что при дальнейшем повышении регулярности коэффициентов уравнения (2.5) соответствующим образом повышается и регулярность его решений, см., например, [7; § 8.3]. 2.3. Единственность решенияВообще говоря, выполнения всех условий, наложенных на коэффициенты оператора $L$ (2.2), функцию $f$ (2.3) и линейную дифференциальную форму $h$ в теореме 1, недостаточно для единственности решения уравнения (2.5). Действительно, можно показать, что единственности решения может не быть даже в случае однородного уравнения $L=0$, см., например, [7; § 8.3]. Изучим вопросы, связанные с единственностью решения. Функция $f$ (2.3) называется строго вогнутой в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ справа (слева), если
$$
\begin{equation}
(1-\alpha)f(\,\cdot\,,r_0)+\alpha f(\,\cdot\,,r)< f(\,\cdot\,,(1-\alpha)r_0+\alpha r)
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
п. в. для $r>r_0$ ($r<r_0$) и $0<\alpha<1$. Аналогичным образом, функция $f$ строго выпукла в точке $r_0\in \mathbb{R}$ справа (слева), если
$$
\begin{equation}
f\bigl(\,\cdot\,,(1-\alpha)r_0+\alpha r\bigr)< (1-\alpha)f(\,\cdot\,,r_0)+\alpha f(\,\cdot\,,r)
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
п. в. для $r>r_0$ ($r<r_0$) и $0<\alpha<1$. Справедливы следующие утверждения. Теорема 3 (единственность решения). Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.5) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Справедливы два утверждения. (a) Предположим, что $u_1$ и $u_2$ – решения, а постоянная $r_0 \in \mathbb{R}$ – субрешение уравнения (2.5), для которых $r_0<u_1$, $r_0<u_2$ п. в. Тогда, если функция $f$ (2.3) строго вогнута в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ справа, то $u_1=u_2$ п. в. (b) Предположим, что $u_1$ и $u_2$ – решения, а постоянная $r_0\in \mathbb{R}$ – суперрешение уравнения (2.5), для которых $u_1<r_0$, $u_2<r_0$ п. в. Тогда, если функция $f$ (2.3) строго выпукла в точке $r_0\in \mathbb{R}$ слева, то $u_1=u_2$ п. в. Доказательство см. в § 4. Для случая, когда многообразие $X$ является $n$-мерным тором $\mathbb{T}^n$, и для пространства $\mathbb{R}^n$ аналогичная теорема для классических решений сформулирована в [3; п. 3.2]. Теорема 4 (постоянность решения). Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.5) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Справедливы два утверждения. (a) Предположим, что $r_0 \in \mathbb{R}$, $w \in W^{1,2}(X) \cap L^\infty(X)$, $w \geqslant 0$ п. в., и $r_0+\alpha w$ является строгим суперрешением уравнения (2.5) для $0<\alpha \leqslant A$, где $A>0$. Тогда, если $u$ – такое решение уравнения (2.5), что $r_0 \leqslant u \leqslant r_0+Aw$ п. в., то $u=r_0$ п. в. (b) Предположим, что $r_0 \in \mathbb{R}$, $w \in W^{1,2}(X) \cap L^\infty(X)$, $w \leqslant 0$ п. в., и $r_0+\alpha w$ является строгим субрешением уравнения (2.5) для $0<\alpha \leqslant A$, где $A>0$. Тогда, если $u$ – такое решение уравнения (2.5), что $r_0+Aw \leqslant u \leqslant r_0$ п. в., то $u=r_0$ п. в. Теорема 5 (альтернативность решения). Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.5) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Справедливы два утверждения. (a) Предположим, что постоянная $r_0 \in \mathbb{R}$ является суперрешением уравнения (2.5), а $u_1$ и $u_2$ – такие решения уравнения (2.5), что $r_0 \leqslant u_1 \leqslant u_2$ п. в. Тогда, если функция $f$ (2.3) строго выпукла в точке $r_0$ справа, то либо $u_1=r_0$, либо $u_1=u_2$. (b) Предположим, что постоянная $r_0 \in \mathbb{R}$ является субрешением уравнения (2.5), а $u_1$ и $u_2$ – такие решения уравнения (2.5), что $u_2 \leqslant u_1 \leqslant r_0$ п. в. Тогда если функция $f$ (2.3) строго вогнута в точке $r_0$ слева, то либо $u_1=r_0$, либо $u_1=u_2$. 2.4. Задачи на собственные значенияТождество (0.3) из введения наводит на определенные размышления и приводит к следующим конструкциям; ср. с [3; § 2]. Допустим, что функция $f$ (2.3) п. в. обладает в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ правой (левой) производной
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\partial f}{\partial r}(\,\cdot\,,r_0+0)=\lim_{r \to r_0+0} \frac{f(\,\cdot\,,r)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r-r_0} \\ \biggl(\frac{\partial f}{\partial r}(\,\cdot\,,r_0-0)= \lim_{r \to r_0-0}\frac{f(\,\cdot\,,r)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r-r_0}\biggr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и поставим для дифференциального оператора $L$ (2.2) задачу на собственные значения с потенциалом
$$
\begin{equation}
F(x)=\frac{\partial f}{\partial r}(x,r_0+0)\qquad \biggl(F(x)=\frac{\partial f}{\partial r}(x,r_0-0)\biggr).
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Пусть функция $w \in W^{1,2}(X) \cap L^\infty(X)$ существенно отлична от нуля, т. е. $\|u\|_{L^\infty(X)}>0$. Будем называть функцию $w$ субсобственной (суперсобственной) функцией задачи (2.15), (2.16), принадлежащей значению $\lambda \in \mathbb{R}$, если неравенство
$$
\begin{equation}
\langle Lw-Fw,v\rangle \leqslant \lambda\langle w,v\rangle\qquad (\langle Lw-Fw,v\rangle \geqslant \lambda\langle w,v\rangle)
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
выполняется для всех неотрицательных функций $v \in C^\infty(X)$. Естественно, если соотношения (2.17) выполняются со знаком равенства, то $w$ является собственной функцией, а $\lambda$ – собственным значением. Теорема 6 (существование решения). Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.5) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Справедливы два утверждения. (a) Предположим, что функция $f$ (2.3) п. в. имеет в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ правую производную, принадлежащую $L^\infty(X)$, и $w$ – субсобственная функция соответствующей задачи (2.15), (2.16), принадлежащая отрицательному значению $\lambda$, для которой $\operatorname*{ess\,inf}_{x \in X}w(x)>0$. Если числа $r_0$ и $N$, $N>r_0$, являются субрешением и суперрешением уравнения (2.5), то это уравнение имеет решение $u$, для которого $r_0<u \leqslant N$ п. в. (b) Предположим, что функция $f$ (2.3) п. в. имеет в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ левую производную, принадлежащую $L^\infty(X)$, и $w$ – суперсобственная функция соответствующей задачи (2.15), (2.16), принадлежащая отрицательному значению $\lambda$, для которой $\operatorname*{ess\,sup}_{x \in X}w(x)<0$. Если числа $r_0$ и $N$, $N<r_0$, являются суперрешением и субрешением уравнения (2.5), то это уравнение имеет решение $u$, для которого $N \leqslant u<r_0$ п. в. Доказательство см. в § 5. Из этого доказательства видно, что на самом деле для решений $u$ выполняются даже несколько более сильные оценки. Отметим, что по утверждению (a) теоремы 2 решение $u$ непрерывно и поэтому равномерно отделено от $r_0$.
Из определения (2.13) несложно вывести, что функция $f$ (2.3) тогда и только тогда строго вогнута в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ справа (слева), когда
$$
\begin{equation}
\frac{f(\,\cdot\,,r_1)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r_1-r_0}< \frac{f(\,\cdot\,,r)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r-r_0}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
п. в. для $r_0<r<r_1$ ($r_1<r<r_0$). Аналогичным образом, из определения (2.14) несложно вывести, что функция $f$ тогда и только тогда строго выпукла в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ справа (слева), когда
$$
\begin{equation}
\frac{f(\,\cdot\,,r_1)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r_1-r_0}> \frac{f(\,\cdot\,,r)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r-r_0}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
п. в. для $r_0<r<r_1$ ($r_1<r<r_0$). Эти свойства монотонности разностных отношений позволяют установить существование соответствующих производных в правых частях выражений (2.16) и, как следствие, корректность постановки задачи (2.15), подробнее см. лемму 5 в 5. Таким образом, из теорем 6 и 3 вытекает следующее утверждение. Теорема 7 (существование и единственность решения). Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.5) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Тогда справедливы следующие утверждения. (a) Предположим, что функция $f$ строго вогнута в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ справа и $w$ – субсобственная функция соответствующей задачи (2.15), (2.16), принадлежащая отрицательному значению $\lambda$, для которой $\operatorname*{ess\,inf}_{x\in X}w(x)>0$. Если числа $r_0$ и $N$, $r_0<N$, являются субрешением и суперрешением уравнения (2.5), то это уравнение имеет единственное решение $u$, для которого $r_0<u$ п. в. (b) Предположим, что функция $f$ строго выпукла в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ слева и $w$ – суперсобственная функция соответствующей задачи (2.15), (2.16), принадлежащая отрицательному значению $\lambda$, для которой $\operatorname*{ess\,sup}_{x \in X}w(x)<0$. Если числа $r_0$ и $N$, $r_0>N$, являются суперрешением и субрешением уравнения (2.5), то это уравнение имеет единственное решение $u$, для которого $u<r_0$ п. в. Дополнением теоремы 7 служит следующее утверждение. Теорема 8 (постоянность решения). Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.5) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Тогда справедливы два утверждения. (a) Предположим, что функция $f$ строго вогнута в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ справа и $w$ – суперсобственная функция задачи (2.15), (2.16), принадлежащая неотрицательному значению $\lambda$, для которой $\operatorname*{ess\,inf}_{x \in X}w(x)>0$. Тогда, если число $r_0$ – суперрешение, а функция $u$ – решение уравнения (2.5), п. в. удовлетворяющие неравенству $r_0 \leqslant u$, то $u=r_0$ п. в. (b) Предположим, что функция $f$ строго выпукла в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ слева и $w$ – субсобственная функция задачи (2.15), (2.16), принадлежащая неотрицательному значению $\lambda$, для которой $\operatorname*{ess\,sup}_{x\in X}w(x)<0$. Тогда, если число $r_0$ – субрешение, а функция $u$ – решение уравнения (2.5), п. в. удовлетворяющие неравенству $u \leqslant r_0$, то $u=r_0$ п. в. Если в операторе $L$ (2.2) $b=0$ и $c=0$, то уравнение (2.5) принимает вид а задача (2.15) – Поскольку $\Delta-F$ – самосопряженный эллиптический оператор, то его минимальное собственное значение $\lambda_1$ – вещественное и простое, а принадлежащая ему собственная функция $w_1$ может быть выбрана положительной, см., например [7; § 8.12]. Поэтому в рассматриваемом случае из теорем 6, 7 и 8 вытекают следующие утверждения.Следствие 1. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.20) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Тогда справедливы следующие утверждения. (a) Предположим, что функция $f$ (2.3) п. в. имеет в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ правую производную, принадлежащую $L^\infty(X)$, и минимальное собственное значение $\lambda_1$ задачи (2.16), (2.21) отрицательно. Если числа $r_0$ и $N$, $N>r_0$, являются субрешением и суперрешением уравнения (2.20), то это уравнение имеет решение $u$, для которого $r_0<u \leqslant N$ п. в. (b) Предположим, что функция $f$ (2.3) п. в. имеет в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ левую производную, принадлежащую $L^\infty(X)$, и минимальное собственное значение $\lambda_1$ задачи (2.16), (2.21) отрицательно. Если числа $r_0$ и $N$, $N<r_0$, являются суперрешением и субрешением уравнения (2.20), то это уравнение имеет решение $u$, для которого $N \leqslant u<r_0$ п. в. Следствие 2. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.20) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Тогда справедливы следующие утверждения. (a) Предположим, что функция $f$ строго вогнута в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ справа и минимальное собственное значение $\lambda_1$ задачи (2.16), (2.21) отрицательно. Если числа $r_0$ и $N$, $N>r_0$, являются субрешением и суперрешением уравнения (2.20), то это уравнение имеет единственное решение $u$, для которого $r_0<u$ п. в. (b) Предположим, что функция $f$ строго выпукла в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ слева и минимальное собственное значение $\lambda_1$ задачи (2.16), (2.21) отрицательно. Если числа $r_0$ и $N$, $N<r_0$, являются суперрешением и субрешением уравнения (2.20), то это уравнение имеет единственное решение $u$, для которого $u<r_0$ п. в. Следствие 3. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.20) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Тогда справедливы следующие утверждения. (a) Предположим, что функция $f$ строго вогнута в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ справа и минимальное собственное значение $\lambda_1$ задачи (2.16), (2.21) неотрицательно. Тогда если число $r_0$ является суперрешением, а $u$ – решением уравнения (2.20), п. в. удовлетворяющим неравенству $r_0 \leqslant u$, то $u=r_0$ п. в. (b) Предположим, что функция $f$ строго выпукла в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ слева и минимальное собственное значение $\lambda_1$ задачи (2.16), (2.21) неотрицательно. Тогда если число $r_0$ является субрешением, а $u$ – решением уравнения (2.20), п. в. удовлетворяющим неравенству $u \leqslant r_0$, то $u=r_0$ п. в. § 3. Существование решения3.1. Вспомогательное утверждениеДля доказательства теоремы 1 воспользуемся следующим вспомогательным результатом. Лемма 1. Пусть выполнены все условия, наложенные в теореме 1 на коэффициенты дифференциального оператора $L$ (2.2). Тогда справедливы следующие утверждения. (a) Найдется такое положительное число $\mu_1$, что для $\mu \geqslant \mu_1$ и $u \in W^{1,2}(X)$
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}(u,u) \geqslant \frac{a_0}{2} \langle du,du\rangle_{L^2(T^* X)}- \mu\langle u,u\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
(b) Найдутся такие положительные числа $\mu_2$ и $C=C(\mu_2)$, что для $\mu \geqslant \mu_2$ и $u \in W^{1,2}(X)$ справедлива априорная оценка
$$
\begin{equation*}
\langle u,u\rangle_{W^{1,2}(X)} \leqslant C(\mathcal{L}(u,u)+\mu\langle u,u\rangle).
\end{equation*}
\notag
$$
(c) Найдется такое положительное число $\mu_3$, что если при $\mu \geqslant \mu_3$ функции $u_0,u_1 \in W^{1,2}(X)$ удовлетворяют неравенству для любой неотрицательной функции $v \in C^\infty(X)$, то $u_0 \leqslant u_1$ п. в. Доказательство. Утверждение (a) устанавливается посредством оценки левой части доказываемого неравенства с использованием определения (2.7) и условия равномерной эллиптичности (2.1), см., например, [7; § 8.2]. Утверждение (b) – очевидное следствие (a). Утверждение (c) вытекает из сильного принципа максимума для слабых субрешений, см., например, [7; § 8.7]. Лемма доказана. 3.2. Доказательство теоремы 1Поскольку функция $f$ (2.3) п. в. удовлетворяет условию Липшица (2.4), то для любых
$$
\begin{equation*}
\mu \geqslant \mu_0 (\max\{\|w_0\|_{L^\infty(X)},\|w_1\|_{L^\infty(X)}\})
\end{equation*}
\notag
$$
и функций $v_0$ и $v_1$, п. в. удовлетворяющих оценке $w_0 \leqslant v_0 \leqslant v_1 \leqslant w_1$, п. в. выполняется неравенство $f(\,\cdot\,,v_0)+\mu v_0 \leqslant f(\,\cdot\,,v_1)+\mu v_1$, ср. с [11; прилож. к гл. IV, § 2]. Из него вытекает, что
$$
\begin{equation}
\langle f(\,\cdot\,,v_0)+\mu v_0,v\rangle+ \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \leqslant \langle f(\,\cdot\,,v_1)+\mu v_1,v\rangle+\langle h,dv\rangle_{L^2(T^*X)},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
для неотрицательных функций $v \in C^\infty(X)$. Положим
$$
\begin{equation}
c_0=\max\bigl\{\mu_0(\max\{\|w_0\|_{L^\infty(X)},\|w_1\|_{L^\infty(X)}\}), \mu_1,\mu_2,\mu_3\bigr\},
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $\mu_1$, $\mu_2$ и $\mu_3$ – положительные числа из утверждений (a), (b) и (c) леммы 1. Очевидно, что уравнение (2.5) эквивалентно уравнению Построим по индукции две последовательности приближений $\{u_{0,l}\}$ и $\{u_{1,l}\}$: пусть $u_{j,0}=w_j$ при $j=0,1$, а $u_{j,l}$ при $l=1,2,\dots$ является решением уравнения
$$
\begin{equation*}
Lu_{j,l}+c_0 u_{j,l}=f(\,\cdot\,,u_{j,l-1})+d_g^* h+c_0 u_{j,l-1},
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. для всякой функции $v \in C^\infty(X)$
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}(u_{j,l},v)+c_0\langle u_{j,l},v\rangle= \langle f(\,\cdot\,,u_{j,l-1})+c_0 u_{j,l-1},v\rangle+ \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
В силу свойства (a) леммы 1 ограниченная квадратичная форма $\mathcal{L}(u,u)+c_0\langle u,u\rangle$ коэрцитивна в гильбертовом пространстве $W^{1,2}(X)$, и по теореме Лакса–Мильграма уравнение (3.4) однозначно разрешимо в этом пространстве, см., например, [7; § 5.8]. Для всякого решения $u$, удовлетворяющего оценке (2.11), согласно неравенству (3.1) и утверждению (c) леммы 1 п. в. выполняются соотношения
$$
\begin{equation*}
w_0=u_{0,0} \leqslant u_{0,1} \leqslant u_{0,2} \leqslant\dots\leqslant u \leqslant\dots\leqslant u_{1,2} \leqslant u_{1,1} \leqslant u_{1,0}=w_1.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу монотонности и ограниченности последовательностей п. в. существуют их пределы
$$
\begin{equation}
u_0=\lim_{l \to +\infty} u_{0,l},\qquad u_1=\lim_{l \to +\infty}u_{1,l},
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
для которых п. в.
$$
\begin{equation}
w_0=u_{0,0} \leqslant u_{0,1} \leqslant u_{0,2} \leqslant\dots\leqslant u_0 \leqslant u \leqslant u_1 \leqslant\dots\leqslant u_{1,2} \leqslant u_{1,1} \leqslant u_{1,0}=w_1.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Поэтому по теореме Лебега о мажорированной сходимости равенства (3.5) имеют место и в норме ${\|\cdot\|_{W^{0,2}(X)}}$. Далее, согласно выбору $c_0$ (3.2) и утверждению (b) леммы 1 найдется такая постоянная $C$, что для $j=0,1$ и всех $l,m=1,2,\dots$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle u_{j,l+m}-u_{j,l},u_{j,l+m}-u_{j,l}\rangle_{W^{1,2}(X)} &\leqslant C\bigl(\mathcal{L}(u_{j,l+m}-u_{j,l},u_{j,l+m}-u_{j,l}) \\ &\qquad +c_0\langle u_{j,l+m}-u_{j,l},u_{j,l+m}-u_{j,l}\rangle\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку по определению формы $\mathcal{L}$ (2.7)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{L}(u_{j,l+m}-u_{j,l},u_{j,l+m}-u_{j,l})+ c_0\langle u_{j,l+m}-u_{j,l},u_{j,l+m}-u_{j,l}\rangle \\ &\qquad=\mathcal{L}(u_{j,l+m},u_{j,l+m}-u_{j,l}) +c_0\langle u_{j,l+m},u_{j,l+m}-u_{j,l}\rangle \\ &\qquad\qquad-\mathcal{L}(u_{j,l},u_{j,l+m}-u_{j,l}) -c_0\langle u_{j,l},u_{j,l+m}-u_{j,l}\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то по построению (3.4) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\langle u_{j,l+m}-u_{j,l},u_{j,l+m}-u_{j,l}\rangle_{W^{1,2}(X)} \\ &\qquad\leqslant C\langle f(\,\cdot\,,u_{j,l+m-1})+c_0 u_{j,l+m-1},u_{j,l+m}-u_{j,l}\rangle \\ &\qquad\qquad-C\bigl\langle f(\,\cdot\,,u_{j,l-1})+ c_0 u_{j,l-1},u_{j,l+m}-u_{j,l}\bigr\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, по теореме Лебега о мажорированной сходимости построенные последовательности приближений $\{u_{0,l}\}$ и $\{u_{1,l}\}$ фундаментальны в норме $\|\,{\cdot}\,\|_{W^{1,2}(X)}$ и сходятся к функциям $u_0$ и $u_1$ (3.5), так что, переходя к пределу в (3.4), при $j=0,1$ получаем
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}(u_j,v)+c_0\langle u_j,v\rangle= \langle f(\,\cdot\,,u_j),v\rangle+ c_0\langle u_j,v\rangle+\langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}
\end{equation*}
\notag
$$
для $v \in C^\infty(X)$, т. е. функции $u_0$ и $u_1$ являются решениями уравнения (3.3). Выполнение для $u$ неравенств (2.10) и (2.12) вытекает из оценки (3.6). Теорема 1 доказана.
§ 4. Единственность решения4.1. Вспомогательные утвержденияПри доказательстве теорем о единственности решения будут использоваться следующие леммы. Лемма 2. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.5) удовлетворяют всем условиям теоремы 1 и заданы такие функции $u,u_0 \in W^{1,2}(X) \cap L^\infty(X)$, что $u_0 \leqslant u$ п. в. Если $u_0$ и $u$ – такие субрешение и суперрешение уравнения (2.5), что $\operatorname*{ess\,sup}_{x \in X}(u_0-u)(x)=0$, то $u_0=u$ п. в., и, следовательно, $u$ и $u_0$ – решения уравнения (2.5). Доказательство. По условию $u_0$ – субрешение, $u$ – суперрешение уравнения (2.5), и их разность $w=u_0-u \leqslant 0$ п. в. По определениям (2.9) и условию Липшица (2.4) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\geqslant \mathcal{L}(w,v)-\langle f(\,\cdot\,,u_0)- f(\,\cdot\,,u),v\rangle \\ &\geqslant \mathcal{L}(w,v)+ \bigl(\mu_0(\max\{\|u_0\|_{L^\infty(X)},\|u\|_{L^\infty(X)}\})\bigr) \langle w,v\rangle \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех неотрицательных функций $v \in C^\infty(X)$, так что разность $w$ является субрешением уравнения $Lw+\mu w=0$ для любых $\mu \in \mathbb{R}$, таких что $\mu \geqslant \mu_0(\max\{\|u_0\|_{L^\infty(X)},\|u\|_{L^\infty(X)}\})$. А поскольку по условию $\operatorname*{ess\,sup}_{x\in X}w(x)=0$ и $X$ компактно, то $w=0$ п. в. в силу сильного принципа максимума для субрешений, см., например, [7; § 8.7]. Лемма доказана. Лемма 3. Для функционала $\mathcal{L}$ (2.7) и любых чисел $r,\alpha \in \mathbb{R}$ и функций $w,v \in W^{1,2}(X)$ Доказательство. В силу замечания 2 билинейная форма $\mathcal{L}$ (2.7) и линейная форма $\theta(r_0,\,\cdot\,)$ (2.8) в равенствах (4.1) и (4.2) определены корректно. Согласно замечанию 1
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}(r+\alpha w,v)=\mathcal{L}(r,v)+\mathcal{L}(\alpha w,v)= \alpha\mathcal{L}(w,v)+r\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)},
\end{equation*}
\notag
$$
так что (4.1) справедливо. А поскольку $u$ – решение уравнения (2.5), то (4.2) вытекает из (4.1) при $w=u$ и $r=(1-\alpha)r_0$ по определению (2.6) и построению $\theta$. Лемма доказана. Лемма 4. Пусть $u$ – решение, постоянная $r_0 \in \mathbb{R}$ – субрешение (суперрешение) уравнения (2.5) и функция $f$ (2.3) строго вогнута (выпукла) в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ или справа и $r_0<u$ п. в., или слева и $r_0>u$ п. в. Тогда при $0<\alpha<1$ функция $r_0+\alpha(u-r_0)$ является строгим субрешением (суперрешением) уравнения (2.5). Доказательство. В случае, когда постоянная $r_0 \in \mathbb{R}$ является субрешением уравнения (2.5), $\theta(r_0,v)\leqslant 0$ для всякой неотрицательной функции $v \in C^\infty(X)$ согласно замечанию 3. Отсюда в силу равенства (4.2) из леммы 3 и определению вогнутости (2.13) для неотрицательных функций $v \in C^\infty(X)$ выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{L}\bigl(r_0+\alpha(u-r_0),v\bigr)= \alpha\langle f(\,\cdot\,,u),v\rangle+(1-\alpha)\theta(r_0,v)+ (1-\alpha)\langle f(\,\cdot\,,r_0),v\rangle \\ &\qquad+\langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}\leqslant\bigl\langle f(\,\cdot\,,(1-\alpha)r_0+\alpha u),v\bigr\rangle+\langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $0<\alpha<1$, причем в силу строгости неравенства (2.13) при $v=1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{L}(r_0+\alpha(u-r_0),1)=\alpha\langle f(\,\cdot\,,u),1\rangle+ (1-\alpha)\theta(1,v)+(1-\alpha)\langle f(\,\cdot\,,r_0),1\rangle \\ &\qquad\leqslant \langle\alpha f(\,\cdot\,,u)+(1-\alpha)f(\,\cdot\,,r_0),1\rangle <\langle f(\,\cdot\,,(1-\alpha)r_0+\alpha u),1\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для $0<\alpha<1$ функция $r_0+\alpha(u-r_0)$ является строгим субрешением уравнения (2.5) в соответствии с определением (2.9) и замечанием 3. Случай, когда постоянная $r_0 \in \mathbb{R}$ – суперрешение уравнения (2.5), доказывается аналогично. Лемма доказана. 4.2. Доказательство теоремы 3По условию многообразие $X$ компактно, и по утверждению (a) теоремы 2 можно считать решения $u_1$ и $u_2$ непрерывными. (a) Поскольку по условию постоянная $r_0$ – субрешение уравнения (2.5), а функция $f$ (2.3) строго вогнута в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ справа, то функция $r_0+\alpha(u_j\,{-}\,r_0)$ является строгим субрешением уравнения (2.5) при $0<\alpha<1$ и $j=1,2$ по лемме 4. А так как решения $u_1$ и $u_2$ непрерывны и $r_0<u_1$, $r_0<u_2$ п. в., то для $j=1,2$ величина
$$
\begin{equation*}
\alpha_j=\sup\{\alpha>0 \mid u_{3-j} \geqslant r_0+\alpha(u_j-r_0)\text{ п. в.}\}
\end{equation*}
\notag
$$
существует и является положительным числом, ср. с [3; п. 3.2]. Если $0\,{<}\,\alpha_j\,{<}\,1$, то $\operatorname*{ess\,sup}_{x \in X} \bigl(r_0+\alpha_j(u_j-r_0)-u_{3-j}\bigr)(x)=0$, и $u_{3-j}=r_0+\alpha_j(u_j-r_0)$ п. в. по построению $\alpha_j$ и лемме 2. Но это противоречит тому, что функция $r_0+\alpha_j(u_j- r_0)$ решением уравнения (2.5) не является. Следовательно, $\alpha_j \geqslant 1$, и поэтому $u_{3-j} \geqslant r_0+\alpha_j(u_j-r_0) \geqslant r_0+1(u_j-r_0)=u_j$ п. в. для $j=1,2$. Случай (b) рассматривается аналогично. Теорема 3 доказана. 4.3. Доказательство теоремы 4(a) Поскольку $r_0 \leqslant u \leqslant r_0+Aw$ п. в., то величина
$$
\begin{equation*}
\alpha_0=\inf\{0<\alpha \leqslant A \mid u \leqslant r_0+\alpha w \text{ п. в.}\}
\end{equation*}
\notag
$$
существует и $0 \leqslant \alpha_0 \leqslant A$, ср. с [3; п. 3.2]. Поэтому если $\alpha_0>0$, то $\operatorname*{ess\,sup}_{x \in X} (u-r_0-\alpha_0 w)(x)=0$, и так как функция $r_0+\alpha w$ является строгим суперрешением уравнения (2.5) для $0<\alpha \leqslant A$, то $u=r_0+\alpha_0 w$ п. в. по лемме 2, а это противоречит тому, что $r_0+\alpha_0 w$ решением не является. Следовательно, $\alpha_0=0$ и $u=r_0$ п. в. Случай (b) рассматривается аналогично. Теорема 4 доказана. 4.4. Доказательство теоремы 5Многообразие $X$ компактно, и по утверждению (a) теоремы 2 решения $u_1$ и $u_2$ можно, не ограничивая общности, считать непрерывными. (a) Поскольку по условию $r_0\leqslant u_1\leqslant u_2$ п. в., то величина
$$
\begin{equation*}
\varepsilon=-\operatorname*{ess\,sup}_{x \in X}(u_1-u_2)(x)
\end{equation*}
\notag
$$
неотрицательна. Если $\varepsilon=0$, то $u_1=u_2$ п. в. по лемме 2, и теорема доказана. Если же $\varepsilon>0$, то в силу непрерывности $u_2$ и компактности $X$ величина $R=\|u_2-r_0\|_{L^\infty(X)}$ конечна, так что п. в. выполняются соотношения
$$
\begin{equation*}
0 \leqslant u_1-r_0 \leqslant u_2-r_0-\varepsilon \leqslant u_2-r_0-\varepsilon\frac{u_2-r_0}{R}= \biggl(1-\frac{\varepsilon}{R}\biggr)(u_2-r_0),
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому $r_0 \leqslant u_1 \leqslant r_0+(1-\varepsilon/R)(u_2-r_0)$ п. в. А так как постоянная $r_0$ является суперрешением уравнения (2.5) и функция $f$ строго выпукла в точке $r_0$ справа, то по лемме 4 функция $r_0+\alpha(u_2-r_0)$ является строгим суперрешением уравнения (2.5) при $0<\alpha<1$. Следовательно, $u_1=r_0$ п. в. по теореме 4. Случай (b) рассматривается аналогично. Теорема 5 доказана. § 5. Задачи на собственные значения5.1. Вспомогательное утверждениеУточним условия существования производных функции $f$ (2.3), о которых говорилось перед теоремой 7 в п. 2.4. Лемма 5. Если функция $f$ (2.3) удовлетворяет условиям Липшица (2.4) и вогнутости (выпуклости) в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ справа, то она п. в. обладает в этой точке правой производной, принадлежащей $L^\infty(X)$. Аналогично, если функция $f$ (2.3) удовлетворяет условиям Липшица (2.4) и вогнутости (выпуклости) в точке $r_0 \in \mathbb{R}$ слева, то она п. в. обладает в этой точке левой производной, принадлежащей $L^\infty(X)$. Доказательство. Если функция $f$ строго вогнута в точке $r_0$ справа (слева), то согласно условию Липшица (2.8) и свойству монотонности разностных отношений (2.18) существует правая (левая) производная в точке $r_0$, удовлетворяющая неравенству
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{f(\,\cdot\,,r)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r-r_0}< \frac{\partial f}{\partial r}(\,\cdot\,,r_0+0)\leqslant \mu_0(\max\{|r_0|,|r_1|\}) \\ \biggl(-\mu_0(\max\{|r_0|,|r_1|\})\leqslant \frac{\partial f}{\partial r} (\,\cdot\,,r_0-0)<\frac{f(\,\cdot\,,r)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r-r_0}\biggr) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
п. в. для $r_0<r<r_1$ ($r_1<r<r_0$). Случай, когда функция $f$ строго выпукла в точке $r_0$ слева (справа), рассматривается аналогично. Лемма доказана. 5.2. Доказательство теоремы 6(a) По условию $\lambda<0$, $w \in L^\infty(X)$ и $\operatorname*{ess\,inf}_{x\in X}w(x)>0$. По определению правой производной найдется такое $\delta>0$, что для всех $0<\alpha<\delta$
$$
\begin{equation*}
\frac{\lambda}{2}\alpha w<f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w)- f(\,\cdot\,,r_0)-\alpha w\, \frac{\partial f}{\partial r}(\,\cdot\,,r_0+0)\quad\text{п. в}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку по условию выполняются соотношения (2.17), (2.16), то отсюда выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\geqslant \alpha \mathcal{L}(w,v)-\alpha\biggl\langle\frac{\partial f} {\partial r}(\,\cdot\,,r_0+0)w,v\biggl\rangle-\lambda\alpha\langle w,v\rangle \\ &\geqslant \alpha\mathcal{L}(w,v)-\langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),v\rangle+ \langle f(\,\cdot\,,r_0),v\rangle+\frac{\lambda}{2}\alpha\langle w,v\rangle- \lambda\alpha\langle w,v\rangle \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для неотрицательных функций $v \in C^\infty(X)$, ср. с [3; п. 3.2]. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\alpha\mathcal{L}(w,v)+r_0\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)}- \langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),v\rangle- \langle h,dv\rangle_{L^2 (T^* X)} \\ &\qquad\leqslant r_0\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)}- \langle f(\,\cdot\,,r_0),v\rangle-\langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}+ \frac{\lambda}{2}\alpha\langle w,v\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда согласно равенству (4.1) из леммы 3 и построению $\theta$ (2.8)
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}(r_0+\alpha w,v)-\bigl(f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),v\bigr)- \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \leqslant \theta(r_0,v)+ \frac{\lambda}{2}\alpha\langle w,v\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $0<\alpha<\beta$. В силу замечания 3 число $r_0$ тогда и только тогда является субрешением уравнения (2.5), когда $\theta(r_0,v) \leqslant 0$ для всякой неотрицательной функции $v \in C^\infty(X)$. А так как по условию $\operatorname*{ess\,inf}_{x \in X}w(x)>0$ и $\lambda<0$, то при $0<\alpha<\delta$ функция $r_0+\alpha w$ является субрешением уравнения (2.5). Далее, по условию число $N$ является суперрешением уравнения (2.5), $N>r_0$, и $w \in L^\infty(X)$, так что для достаточно малого положительного числа $\alpha_0$ при $0<\alpha<\alpha_0$ п. в. выполняется неравенство $r_0+\alpha w \leqslant N$. Поэтому доказываемое утверждение вытекает из теоремы 1. Случай (b) рассматривается аналогично. Теорема 6 доказана. 5.3. Доказательство теоремы 8(a) По условию $\operatorname*{ess\,inf}_{x \in X}w(x)>0$, поэтому согласно оценке (5.1) для всех $\alpha>0$ имеем
$$
\begin{equation}
f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w)-f(\,\cdot\,,r_0)< \alpha w\, \frac{\partial f}{\partial r}(\,\cdot\,,r_0+0)\quad\text{п. в}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Поскольку по условию выполняются соотношения (2.17), (2.16), то отсюда выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\leqslant \alpha\mathcal{L}(w,v)- \biggl\langle\frac{\partial f}{\partial r}(\,\cdot\,,r_0+0)w,v\biggr\rangle- \lambda\alpha\langle w,v\rangle \\ &\leqslant \alpha\mathcal{L}(w,v)-\langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),v\rangle+ \langle f(\,\cdot\,,r_0),v\rangle-\lambda\alpha\langle w,v\rangle \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для неотрицательных функций $v \in C^\infty(X)$, ср. с [3; п. 3.2]. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\alpha \mathcal{L}(w,v)+r_0\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)}- \langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),v\rangle-\langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \\ &\qquad\geqslant r_0\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)}- \langle f(\,\cdot\,,r_0),v\rangle-\langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}+ \lambda\alpha\langle w,v\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда согласно равенству (4.1) из леммы 3 и построению $\theta$ (2.8) выводим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}(r_0+\alpha w,v)-\langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),v\rangle- \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \geqslant \theta(r_0,v)+\lambda\alpha\langle w,v\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
причем в силу строгости неравенства (5.2) при $v=1$
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}(r_0+\alpha w,1)-\langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),1\rangle> \theta(r_0,1)+\lambda\alpha\langle w,1\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно замечанию 3 число $r_0$ тогда и только тогда является суперрешением уравнения (2.5), когда $\theta(r_0,v)\geqslant 0$ для всякой неотрицательной функции $v \in C^\infty(X)$, и так как по условию $\operatorname*{ess\,inf}_{x \in X}w(x)>0$ и $\lambda \geqslant 0$, то при $\alpha > 0$ функция $r_0+\alpha w$ является строгим суперрешением уравнения (2.5). Далее, по утверждению (a) теоремы 2 решение $u$ непрерывно, так что для достаточно большого положительного числа $A$ п. в. справедлива оценка $r_0 \leqslant u \leqslant r_0+Aw$, из которой в силу теоремы 4 вытекает доказываемое утверждение. Случай (b) рассматривается аналогично. Теорема 8 доказана. Автор выражает благодарность А. А. Давыдову за постановку задачи и полезные обсуждения.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tun22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|