| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Полнота асимметричных произведений гармонических функций и единственность решения уравнения М. М. Лаврентьева в обратных задачах волнового зондирования М. Ю. Кокурин Марийский государственный университет, г. Йошкар-Ола, республика Марий Эл
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9253e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Постановка задачи. Основная теоремаПусть $\mathcal{H}(D)$ есть класс всех функций из $C^2(\overline{D})$, гармонических в ограниченной области $D \subset \mathbb{R}^n$, $n \geqslant 2$, и $\mathcal{H}_j = \mathcal{H}_j (D)\subset \mathcal{H}(D)$ – некоторые семейства функций из $\mathcal{H}(D)$, $j=1,2$. Под областью всюду понимается открытое связное множество. При исследовании единственности решений различных классов коэффициентных обратных задач для уравнений математической физики оказываются полезными утверждения, дающие тот или иной ответ на следующий вопрос, относящийся к проблематике теории приближения функций: в каких случаях порожденное $\mathcal{H}_1$, $\mathcal{H}_2$ семейство всех попарных произведений
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}_1 \cdot \mathcal{H}_2 = \{ u_1 u_2\colon u_1 \in \mathcal{H}_1,\, u_2 \in \mathcal{H}_2 \}
\end{equation*}
\notag
$$
обладает тем свойством, что для фиксированной функции $h\in L_p(D)$, $p\in [2,\infty]$, равенство
$$
\begin{equation}
\int_D h(x) u_1(x) u_2(x)\, dx=0 \quad \forall \, u_j \in \mathcal{H}_j,\quad j=1,2,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
влечет $h=0$ п. в. в $D$. В случае $p=2$ равенство (1.1) означает, что семейство $\mathcal{H}_1 \cdot \mathcal{H}_2$ полно в $L_2(D)$, так что любая функция $v\in L_2(D)$ с любой точностью аппроксимируется в $L_2(D)$ конечными линейными комбинациями функций вида $u_{1 k}(x) u_{2 k}(x)$, где $u_{j k} \in \mathcal{H}_j(D)$, $j=1,2$. Прокомментируем некоторые известные результаты в этом направлении. История вопроса берет начало со следующего утверждения А. Кальдерона (1980 г.), относящегося к простейшему случаю, когда каждое из двух семейств гармонических функций есть просто весь класс $\mathcal{H}(D)$. Предложение 1 (см. [1], [2; разд. 5.3]). Пусть $n \geqslant 2$, $\mathcal{H}_1=\mathcal{H}_2=\mathcal{H}(D)$, $h\in L_2(D)$. Тогда (1.1) влечет $h=0$ п. в. в $D$. С точки зрения проблематики теории приближений естественно попытаться в этом утверждении сузить семейства $\mathcal{H}_1$, $\mathcal{H}_2$ без нарушения свойства полноты попарных произведений. Как мы увидим далее, такое сужение играет важную роль при обосновании единственности решений ряда прикладных обратных задач с минимальными требованиями к размерности массива входных данных. Отметим следующий результат, относящийся к гармоническим функциям с фиксированными значениями на части границы. Обозначим Предложение 2 (см. [3; теорема 7.1]). Пусть $n \geqslant 2$, $x_0 \in \partial D$, $\partial D \in C^{\infty}$ и Известны обобщения предложения 1 с заменой уравнения Лапласа $\Delta u=0$ уравнениями более общего вида $P(-i\partial)u+c(x)u=0$, $x\in D$. Приведем в этой связи следующее утверждение для эллиптических уравнений второго порядка. Пусть $c_j \in L_{\infty}(D)$ и $\mathcal{H}_j$ есть семейство всех обобщенных решений уравнения $\Delta u+c_j(x) u=0$, принадлежащих $L_2(D)$, $j=1,2$. Предложение 3 (см. [2; следствие 5.3.5]). Пусть $n \geqslant 3$, $h\in L_{\infty}(D)$ и выполняется (1.1). Тогда $h=0$ п. в. в $D$. Отметим, что в предложении 3 и его обобщениях [2; разд. 5.3] семейства $\mathcal{H}_1$, $\mathcal{H}_2$ образованы решениями в общем случае разных уравнений. Нетрудно заметить, что в приведенных примерах семейства $\mathcal{H}_1$, $\mathcal{H}_2$ совпадают с множеством всех решений рассматриваемого уравнения в области, возможно, с наложением граничного условия на части границы $\partial D$. В интересующем нас случае, когда оба семейства порождены одним и тем же уравнением Лапласа, указанные семейства совпадают. В этом смысле предложение 1 утверждает полноту симметричных произведений гармонических функций. В дальнейшем удалось показать, что свойство полноты из предложения 1 остается в силе и в том случае, когда одно из участвующих семейств $\mathcal{H}_1$, $\mathcal{H}_2$ значительно уже другого. В этих случаях будем говорить об асимметричных произведениях функций, гармонических в области. Имеет место следующее усиление предложения 1, утверждающее полноту асимметричных произведений гармонических функций в указанном смысле. Предложение 4 (см. [4]). Пусть $n \geqslant 3$, $L$ – прямая в $\mathbb{R}^n$, $L \cap \overline{D}=\varnothing$, $Y$ есть открытое множество на $L$, Тогда семейство $\mathcal{H}_1 \cdot \mathcal{H}_2$ полно в $L_{2}(D)$. В предложении 4 класс $\mathcal{H}_2$ образован лишь ньютоновыми потенциалами точек открытого одномерного подмножества прямой. Отметим также аналогичный результат для уравнения Гельмгольца [5]. Настоящая работа мотивирована желанием снять условие $L \cap \overline{D}=\varnothing$, которое существенно использовалось при доказательстве предложения 4 и в то же время представляется непринципиальным. Ниже мы ограничимся случаем $n=3$, имеющим непосредственные приложения к обратным задачам волнового зондирования в $\mathbb{R}^3$. Ключевым результатом работы является следующее утверждение, усиливающее предложение 4 при $n=3$. Теорема 1. Пусть $L$ – прямая в $\mathbb{R}^3$, $Y$ есть открытое множество, принадлежащее неограниченной компоненте дополнения $L\setminus \overline{D}$, Тогда семейство $\mathcal{H}_1 \cdot \mathcal{H}_2$ полно в $L_{2}(D)$. План дальнейшего изложения следующий. В § 2 проводится доказательство теоремы 1. Последующие параграфы статьи посвящены приложениям этой теоремы к проблемам единственности решений обратных задач волнового зондирования в различных постановках. Упомянутые приложения сводятся к использованию указанной теоремы при анализе единственности решения линейного интегрального уравнения М. М. Лаврентьева, которое естественным образом связано с рассматриваемыми обратными задачами. В § 3 мы кратко напоминаем вывод этого уравнения и, применяя теорему 1, обосновываем единственность решения коэффициентной обратной задачи для гиперболического уравнения в пространственно непереопределенной постановке. В § 4 исследуется обратная задача волнового зондирования гармоническими по времени полями в бесфазной постановке. Здесь показано, что теорема 1 по сравнению с известными результатами позволяет понизить размерность носителя данных и обеспечить непереопределенность постановки обратной задачи. В § 5 для рассматриваемых обратных задач устанавливаются теоремы о связи осевой симметрии входных данных и такой же симметрии зондируемой неоднородности. Указанные результаты аналогичны теореме С. Карпа и ее вариантам, устанавливающим связь сферической симметрии амплитуды рассеяния и сферической симметрии исследуемой неоднородности. § 2. Доказательство теоремы 1Сформулируем доказываемое утверждение в виде, удобном для последующих рассуждений. Согласно (1.1) достаточно убедиться, что соотношение
$$
\begin{equation}
\int_D \frac{h(x) u(x)\, dx}{|x-y|}=0 \quad \forall \, y\in Y, \quad u\in \mathcal{H}(D),
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
с $h\in L_2(D)$ влечет $h(x)=0$ п. в. в $D$. Заметим, что функция $f(y)$, определенная выражением в левой части равенства (2.1), гармонична по $y \in \mathbb{R}^3 \setminus \overline{D}$ и тем самым вещественно аналитична вне $\overline{D}$. Отсюда следует, что сужение $f$ на $L \setminus \overline{D}$ также вещественно аналитично. Поэтому равенство $f(y)=0$, $y\in Y$, продолжается по аналитичности на всю неограниченную компоненту прямой $L$, содержащую интервал $Y$ [6; гл. I, § 1]. Выберем на прямой $L$ произвольно точку и рассмотрим шар с центром в этой точке, содержащий множество $\overline{D}$ внутри. Без ограничения общности можем считать, что выбранная точка совпадает с началом координат, а шар, содержащий $\overline{D}$, имеет радиус $R<1$. Таким образом, $|x|\leqslant R$ для всех $x\in \overline{D}$. Пусть для определенности $L=\{ (0,0,x_3)\colon x_3\,{\in}\,\mathbb{R}\}$. Обозначим $L_a^+=\{ x\in L\colon x_3 \geqslant a \}$. Можем считать, что $f(y)=0$ для точек $y$, принадлежащих неограниченной компоненте множества $L_0^+ \setminus \overline{D}$. Указанная компонента содержит луч $L_R^+$, поэтому на основании (2.1) имеем
$$
\begin{equation}
\int_D \frac{h(x) u(x)\, dx}{|x-y|}=0 \quad \forall \, y\in L_R^+, \quad u\in \mathcal{H}(D).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Переходим к доказательству теоремы 1 с учетом сделанных уточнений. Доказательство теоремы 1. Необходимо показать, что равенство (2.2) влечет $h(x)=0$ п. в. в $D$. Введем в пространстве $\mathbb{R}^3=(x_1,x_2,x_3)$ сферическую систему координат $x_1=\rho\sin \theta \cos\varphi$, $x_2=\rho\sin \theta \sin\varphi$, $x_3=\rho\cos\theta$, где $\theta \in [0,\pi]$, $\varphi \in [0,2\pi)$. Нам потребуются сферические функции $\{Y_{lm} \}$, $l=0,1,\dots$, $|m|\leqslant l$, определяемые равенствами [7; § 23], [8; § 5.2]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Y_{lm}(\theta,\varphi)&=e^{i m\varphi} \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\, \frac{(l-m)!}{(l+m)!}}\, P_l^m (\cos\theta), \qquad 0\leqslant m \leqslant l, \\ Y_{l, -m}(\theta,\varphi)&=(-1)^m Y_{lm}(\theta,-\varphi). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
P_l^m(t)=(1-t^2)^{m/2}\, \biggl( \frac{d}{dt} \biggr)^m P_l(t)
\end{equation*}
\notag
$$
есть присоединенная функция Лежандра, $P_l(t)=P_l^0(t)$ – полином Лежандра степени $l$ [7; § 23]. Как следует из (2.3),
Для точек $y \in L_1^{+}$ обозначим $\tau=|y|^{-1}$, тогда $\tau$ принимает произвольные значения в интервале $(0,1]$. Поскольку $L_1^{+} \subset L_R^+$, равенство (2.2) имеет место для всех $y\in L_1^{+}$. Для произвольных точек $x\in D$, $y\in L_1^{+}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{|x-y|}=\frac{\tau}{|\tau x- y^0|}, \qquad y^0=(0,0,1).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $(\rho,\theta,\varphi)$ – сферические координаты точки $x\in D$. Поскольку для всех $x\in D$ выполняется $|\tau x|\leqslant|x|\leqslant R<1=|y^0|$, справедливо разложение [7; § 8]
$$
\begin{equation}
\frac{1}{|x-y|}=\frac{\tau}{\sqrt{1-2\tau\rho \cos\theta+(\tau \rho)^2}}=\tau \sum_{l=0}^{\infty} P_l(\cos\theta) (\tau \rho)^l.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Подставляя (2.5) в (2.2), получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{l=0}^{\infty} \tau^l \biggl( \int_D h(x) u(x) \rho^l P_l(\cos\theta)\, dx \biggr)=0
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
для всех $\tau\,{\in}\, (0,1]$. Законность перестановки операций интегрирования и суммирования обоснована равномерной сходимостью разложения (2.5) по $x\,{\in}\,D$, $\tau\in [0,1]$. Поскольку $|P_l(t)|\leqslant 1$ при $t\in [-1,1]$ [7; § 7] и $\rho\leqslant R<1$ при $x\in D$, степенной ряд в (2.6) имеет положительный радиус сходимости по переменной $\tau$. Отсюда следует, что для всех целых $l \geqslant 0$ и всех функций $u\in \mathcal{H}(D)$. Используя представление (2.4), перепишем равенство (2.7) в виде
$$
\begin{equation}
\int_D h(x) u(x) \rho^l Y_{l0}(\theta,\varphi)\, dx =0, \qquad l\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Выберем в качестве регулярной гармонической функции $u$ в (2.8) гармонический полином с произвольными целыми $L\geqslant 0$ и $|M|\leqslant L$. Таким образом, для всех целых $l, L \geqslant 0$ и $|M|\leqslant L$ выполняется равенство
$$
\begin{equation}
\int_D h(x) \rho^{L+l} Y_{LM}(\theta,\varphi) Y_{l0}(\theta,\varphi)\, dx =0.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Обозначим Для любой суммируемой функции $F=F(x)$ с компактным носителем имеет место равенство [9; гл. I, п. 4.14]
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^3} F(x)\, dx=\int_S \biggl( \int_0^{\infty} \rho^2 F(\rho\eta)\, d\rho \biggr)\, d\sigma =\int_0^{\infty} \rho^2 \biggl( \int_S F(\rho\eta)\, d\sigma \biggr) \, d\rho,
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
где точка $\eta$ пробегает сферу $S$, $d\sigma$ есть мера Лебега на $S$. Считая функцию $h$ продолженной нулем вне $D$ и используя (2.10), перепишем равенство (2.9) в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\int_0^{\infty} \rho^{L+l+2} \biggl( \int_S h(\rho\eta) Y_{LM}(\theta,\varphi) Y_{l0}(\theta,\varphi)\, d\sigma \biggr)\, d\rho=0.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
В (2.11) вектор $\eta=x/|x|\in S$ имеет сферические координаты $(1,\theta,\varphi)$. Заметим, что в силу сделанных выше предположений, внешнее интегрирование в (2.11) фактически ведется по отрезку $[0,R].$ Поскольку ортонормированная система сферических функций $\{ Y_{lm} \}$, $l=0,1,\dots$, $|m|\leqslant l$, полна в $L_2(S)$, при п. в. $\rho\geqslant 0$ имеет место разложение
$$
\begin{equation}
h(\rho\eta) =\sum_{\lambda=0}^{\infty} \sum_{\mu=-\lambda}^{\lambda} a_{\lambda \mu}(\rho) Y_{\lambda\mu}(\theta,\varphi), \qquad \sum_{\lambda=0}^{\infty} \sum_{\mu=-\lambda}^{\lambda}|a_{\lambda \mu}(\rho)|^2 <\infty.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Действительно, $h(r\eta)$ принадлежит $L_2$ как функция $(r,\theta,\varphi)$. Поэтому сужение этой функции на плоскость $r=\rho$ принадлежит $L_2(S)$ при п. в. $\rho \geqslant 0$, см., например, [10; лемма 1.3.8].
Из (2.11) и (2.12) следует, что для всех целых $L,l \geqslant 0$, $|M|\leqslant L$ выполняется равенство
$$
\begin{equation}
\int_0^{\infty} \rho^{L+l+2} \biggl\{ \sum_{\lambda=0}^{\infty} \sum_{\mu=-\lambda}^{\lambda} a_{\lambda \mu}(\rho) \biggl( \int_S Y_{\lambda\mu}(\theta,\varphi) Y_{LM}(\theta,\varphi) Y_{l0}(\theta,\varphi)\, d\sigma \biggr) \biggr\}\, d\rho=0.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Законность перестановки операций суммирования и интегрирования вытекает из замкнутости системы сферических функций в $L_2(S)$ [11; гл. VII, § 3].
Дальнейшие рассуждения существенно используют свойства внутреннего интеграла в (2.13). Интегралы такого вида возникают в различных разделах квантовой механики при вычислении матричных элементов векторных физических величин [12; гл. XIV]. Перечислим здесь известные факты относительно указанного интеграла, см., например, [8; § 5.9], [12; § 107]. Прежде всего, имеет место явное представление
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_S Y_{\lambda\mu}(\theta,\varphi) Y_{LM}(\theta,\varphi) Y_{l0}(\theta,\varphi)\, d\sigma \\ &\qquad=\sqrt{\frac{(2\lambda+1)(2L+1)(2l+1)}{4\pi}}\, \begin{pmatrix} \lambda & L & l \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda & L & l \\ \mu & M & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, из (2.13) следует
$$
\begin{equation}
\int_0^{\infty} \rho^{L+l+2} \biggl\{ \sum_{\lambda=0}^{\infty} \sum_{\mu=-\lambda}^{\lambda} b_{\lambda \mu}(\rho)\begin{pmatrix} \lambda & L & l\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda & L & l\\ \mu & M & 0 \end{pmatrix} \biggr\}\, d\rho=0,
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
где обозначено
$$
\begin{equation*}
b_{\lambda \mu}(\rho)=\sqrt{2\lambda+1}\, a_{\lambda \mu}(\rho).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее через
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} j_3 & j_1 & j_2 \\ m_3 & m_1 & m_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} j_2 & j_3 & j_1 \\ m_2 & m_3 & m_1 \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
обозначается $3jm$-символ (коэффициент Вигнера), явное представление которого для произвольных $m_1$, $m_2$, $m_3$ ввиду громоздкости мы не приводим, эти выражения можно найти в [8; § 8.1, § 8.2], [12; § 106], см. также (2.18). Коэффициенты (2.15) являются вещественными функциями целочисленных аргументов $(j_1,\dots,m_3)$. Нам потребуются еще коэффициенты Клебша–Гордана $C_{j_1 m_1 \, j_2 m_2}^{j_3 m_3}$, связанные следующим образом с коэффициентами Вигнера (2.15):
$$
\begin{equation}
C_{j_1 m_1 \, j_2 m_2}^{j_3 m_3}=(-1)^{j_1-j_2+m_3} \sqrt{2j_3+1}\, \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Целые $j_k$, $m_k$, удовлетворяют условиям $j_k \geqslant 0$, $|m_k|\leqslant j_k$, $1\leqslant k\leqslant 3$. Известно [8; с. 201, 202], что коэффициент Вигнера (2.15) равен нулю при нарушении хотя бы одного из ограничений
$$
\begin{equation}
|j_1-j_2|\leqslant j_3 \leqslant j_1+j_2, \qquad m_1+m_2+m_3=0.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Кроме того [8; § 8.5, п. 2], [12; § 106], для целого $p\ge 0$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \nonumber \\ &=\begin{cases} \biggl( \dfrac{(j_1+j_2-j_3)!\, (j_1-j_2+j_3)!\, (-j_1+j_2+j_3)!}{(2p+1)!} \biggr)^{1/2} & \\ \quad\times\dfrac{(-1)^p p!}{(p-j_1)!\, (p-j_2)!\, (p-j_3)!}, &j_1+j_2+j_3=2p, \\ 0, &j_1+j_2+j_3=2p+1. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
В справочных целях выпишем также интегральное представление для коэффициента Клебша–Гордана [8; § 8.3]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &C_{a\alpha\, b\beta}^{c\gamma}=\frac{(-1)^{a-c+\beta}}{2^{J+1}} \nonumber \\ &\times \biggl( \frac{(c+\gamma)!\, (J-2c)!\, (J+1)!\, (2c+1)}{(a-\alpha)!\, (a+\alpha)!\, (b-\beta)!\, (b+\beta)!\, (c-\gamma)!\, (J-2a)!\, (J-2b)!} \biggr)^{1/2} \nonumber \\ &\times\int_{-1}^1 (1-t)^{a-\alpha} (1+t)^{b-\beta} \biggl( \frac{d}{dt} \biggr)^{c-\gamma} [(1-t)^{J-2a} (1+t)^{J-2b}]\, dt, \qquad J=a+b+c. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Воспользуемся равенствами (2.16) и (2.19) чтобы показать, что для любых целых $N, s\geqslant 0$ и $\mu$ таких, что выполняется
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} N-2s & N-s & s\\ \mu & -\mu & 0 \end{pmatrix} \neq 0.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Как видно из (2.16), величина (2.20) отличается от коэффициента Клебша–Гордана $C_{N-2s \,\, \mu \,\, N-s \,\, -\mu}^{s 0}$ ненулевым сомножителем. В свою очередь, согласно (2.19), последняя величина с точностью до ненулевого сомножителя совпадает с интегралом Отсюда и следует требуемое утверждение (2.20). Зафиксируем произвольно $\mu_0 \in \mathbb{Z}$ и положим в (2.14) $M=-\mu_0$. Будем считать, что Из (2.15), (2.17), (2.18) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \lambda & L & l \\ \mu & -\mu_0 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} L & l & \lambda \\ -\mu_0 & 0 & \mu \end{pmatrix}=0
\end{equation*}
\notag
$$
при любых $\lambda$, если $\mu\neq \mu_0$, и при нарушении условия $|L-l|\leqslant \lambda \leqslant L+l$, если $\mu=\mu_0$.
Используя (2.21), заключаем, что во внутренней сумме в (2.14) могут быть отличны от нуля лишь слагаемые c $\mu=\mu_0$, а во внешней сумме – слагаемые, для которых $L-l\leqslant \lambda \leqslant L+l$. Поэтому (2.14) принимает вид
$$
\begin{equation}
\int_0^{\infty} \rho^{L+l+2} \biggl\{ \sum_{\lambda=L-l}^{L+l} b_{\lambda \mu_0}(\rho) \begin{pmatrix} \lambda & L & l \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda & L & l \\ \mu_0 & -\mu_0 & 0 \end{pmatrix} \biggr\}\, d\rho=0.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Равенство (2.22) имеет место для всех целых неотрицательных $L$, $l$, удовлетворяющих условию (2.21).
Зафиксируем теперь $K=L+l$ так, что Проанализируем равенства (2.22), соответствующие различным представлениям $K$ в виде суммы $L+l$ с соблюдением условия (2.21).Рассмотрим вначале случай $L=K$, $l=0$, тогда (2.21) выполняется в силу (2.23). Интервал изменения индекса $\lambda$ в (2.22) сводится к одному значению $\lambda=K$. Следовательно, сумма в (2.22) сводится к одному слагаемому
$$
\begin{equation*}
b_{K\mu_0}(\rho) \begin{pmatrix} K & K & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} K & K & 0\\ \mu_0 & -\mu_0 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь первый коэффициент Вигнера отличен от нуля в силу (2.18), второй не равен нулю в силу (2.20) при $N=K$, $s=0$, $\mu=\mu_0$. Итак, функция $b_{K \mu_0}(\rho)$ присутствует в (2.22) с ненулевым коэффициентом, поэтому
$$
\begin{equation}
\int_0^{\infty} \rho^{K+2} b_{K\mu_0}(\rho)\, d\rho=0.
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Пусть теперь $L=K-1$, $l=1$ и при этом в дополнение к (2.23) справедливо Это условие обеспечивает выполнение неравенства (2.21). Интервал изменения индекса $\lambda$ в (2.22) в данном случае есть $K-2\leqslant \lambda \leqslant K$, сумма в (2.22) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &b_{K-2 \, \mu_0}(\rho)\begin{pmatrix} K-2 & K-1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} K-2 & K-1 & 1 \\ \mu_0 & -\mu_0 & 0 \end{pmatrix} \\ &\qquad+ b_{K-1 \, \mu_0}(\rho) \begin{pmatrix} K-1 & K-1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} K-1 & K-1 & 1 \\ \mu_0 & -\mu_0 & 0 \end{pmatrix} \\ &\qquad+b_{K\mu_0}(\rho) \begin{pmatrix} K & K-1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} K & K-1 & 1 \\ \mu_0 & -\mu_0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь сомножитель при $b_{K-1 \,\mu_0}(\rho)$ равен нулю в силу (2.18), а сомножитель при $b_{K-2 \, \mu_0}(\rho)$ отличен от нуля. Это следует из (2.18) и (2.20), в последнем соотношении следует положить $N=K$, $s=1$, $\mu=\mu_0$. Пользуясь (2.22) и уже доказанным равенством (2.24), заключаем, что
$$
\begin{equation}
\int_0^{\infty} \rho^{K+2} b_{K-2 \,\mu_0}(\rho)\, d\rho=0.
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Подобным же образом при $L=K-2$, $l=2$ в предположении в (2.22) получаем сумму функций $b_{K-4 \, \mu_0}(\rho)$, $b_{K-3 \, \mu_0}(\rho)$, $b_{K-2 \, \mu_0}(\rho)$, $b_{K-1\, \mu_0}(\rho)$, $b_{K\, \mu_0}(\rho)$ с коэффициентами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{pmatrix} K-3 & K-2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} K-3 & K-2 & 2 \\ \mu_0 & -\mu_0 & 0 \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} K-1 & K-2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} K-1 & K-2 & 2 \\ \mu_0 & -\mu_0 & 0 \end{pmatrix} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
при $b_{K-3 \, \mu_0}(\rho)$, $b_{K-1 \, \mu_0}(\rho)$, равными нулю. Здесь в произведениях первые сомножители обращаются в нуль в силу (2.18). С другой стороны, коэффициент
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} K-4 & K-2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} K-4 & K-2 & 2 \\ \mu_0 & -\mu_0 & 0 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
при $b_{K-4 \, \mu_0}(\rho)$ отличен от нуля. Это следует из (2.18) и (2.20). Равенство (2.22) с учетом ранее полученных соотношений (2.24) и (2.25) влечет
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\infty} \rho^{K+2} b_{K-4 \, \mu_0}(\rho)\, d\rho=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Продолжая рассуждения, получаем, что для всех $j=0,1,\dots$ таких, что $K-2j\geqslant| \mu_0|$, справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\int_0^{\infty} \rho^{K+2} b_{K-2j \, \mu_0}(\rho)\, d\rho=0.
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
При доказательстве (2.26) ключевым является соотношение
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} K-2j & K-j & j \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} K-2j & K-j & j \\ \mu_0 & -\mu_0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0, \qquad j=0,1,\dots, \biggl[\frac{K-|\mu_0|}2\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
вытекающее из (2.18) и (2.20). Здесь квадратные скобки обозначают целую часть числа.
Зафиксируем теперь целое $\lambda_0 \geqslant 0$ так, что $\lambda_0 \geqslant|\mu_0|$. Из (2.26) при $K=\lambda_0$, $j=0$ следует
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\infty} \rho^{\lambda_0+2} b_{\lambda_0\mu_0}(\rho)\, d\rho=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая в (2.26) $K=\lambda_0+2$ и $j=1$, затем $K=\lambda_0+4$ и $j=2$, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\infty} \rho^{\lambda_0+4} b_{\lambda_0\mu_0}(\rho)\, d\rho=0, \qquad \int_0^{\infty} \rho^{\lambda_0+6} b_{\lambda_0\mu_0}(\rho)\, d\rho=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Продолжая аналогично, получаем
$$
\begin{equation}
\int_0^{\infty} \rho^{\lambda_0+2j+2} b_{\lambda_0\mu_0}(\rho)\, d\rho=0, \qquad j=0,1,\dots\,.
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Поскольку величины $(\lambda_0+2j+2)^{-1}$ при суммировании по $j=0,1,\dots$ образуют расходящийся числовой ряд, на основании (2.27) и теоремы Мюнца [13; § 27] заключаем, что для п. в. $\rho \geqslant 0$ выполняется равенство $b_{\lambda_0\mu_0}(\rho)=0$. Значит, Поскольку индексы $\lambda_0 \geqslant 0$ и $|\mu_0|\leqslant \lambda_0$ были выбраны произвольно, представление (2.12) влечет $h(\rho\eta)=0$ п. в. на $S$ для п. в. $\rho \geqslant 0$, т. е. $h(x)=0$ почти всюду в области $D$. Доказательство теоремы 1 завершено. Обратимся к приложениям доказанной теоремы к вопросам единственности решений некоторых коэффициентных обратных задач. § 3. Уравнение М. М. ЛаврентьеваРассмотрим обратную задачу волнового зондирования ограниченной неоднородности набором точечных источников, расположенных вне этой неоднородности [14]. Волновое поле $u(x,t)=u(x,t;y)$, возбуждаемое источником, находящимся в точке $y$, определяется решением задачи Коши
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{1}{c^2(x)} u_{tt}(x,t) = \Delta u(x,t) - \delta(x - y) g(t),\qquad x\in\mathbb{R}^3, \quad t\geqslant 0, \\ u(x,0)=u_t(x,0) = 0, \quad x\in\mathbb{R}^3. \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Здесь $c(x) > 0$ – скорость распространения сигнала в точке $x\in\mathbb{R}^3$. Для многих прикладных обратных задач волновой томографии характерна ситуация, когда функция $c(x)\equiv c_0$ вне априори заданной ограниченной области $D\subset \mathbb{R}^3$, постоянная $c_0$ известна, а значения $c(x)$ при $x\in D$ подлежат определению. Такая модель отвечает зондированию ограниченной неоднородности, содержащейся в однородной среде. Всюду далее предполагаем, что ${\mathbb R}^n \setminus \overline{D}$ есть область. Будем считать, что функция $c \in L_{\infty}(D)$, непрерывная функция $g$ удовлетворяет условиям
$$
\begin{equation}
\int_0^{\infty} g(t) dt \neq 0, \qquad |g(t)|\leqslant C_0 e^{-\beta t},\quad \beta > 0,\quad t \geqslant 0.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Для отыскания $c(x)$ при $x\in D$ волновое поле $u = u(x,t;y)$ измеряется при $t > 0$ в точках $x=z \in Z$, где $Z\subset \mathbb{R}^3$ – множество детекторов, $Z\cap \overline D = \varnothing$. Будем считать, что в эксперименте зондирования используется множество источников $y\in Y$, $Y\cap \overline D = \varnothing$. Множества $Y$ и $Z$ далее считаем областями, расположенными на многообразиях в $\mathbb{R}^3$, при этом $Y \cap Z=\varnothing$. Обозначим сформулированную обратную задачу через $\{ Y, Z \}$. Поскольку априори известно, что наблюдаемое волновое поле соответствует некоторой функции скорости $c(x)$, рассматриваемая обратная задача имеет как минимум одно решение. Далее нас всюду будет интересовать вопрос о том, определяется ли эта функция данными наблюдения однозначно. Термин “единственность решения” в применении к $\{ Y, Z\}$ и другим обратным задачам понимается в работе именно в этом смысле. В работах [15], [16] М. М. Лаврентьев предложил подход к решению нелинейных коэффициентных обратных задач для широкого класса уравнений в частных производных, позволяющий сводить такие задачи к линейным интегральным уравнениям. Проиллюстрируем этот подход в применении к обратной задаче $\{ Y, Z \}$. Для суммируемой функции $f = f(t)$, $t \geqslant 0$, определим преобразование Лапласа $\widetilde{f}(p) = \int_0^{\infty} e^{-pt} f(t)\, dt$. Будем считать, что все функции $u(z,t;y)$, $y\in Y$, и их производные по $t$ до второго порядка включительно достаточно быстро убывают при $t\to +\infty$, когда $z\in Z$, так что их преобразования Лапласа существуют. Кроме того предполагаем, что $u(x,t;y)\to 0$ при $|x|\to \infty$ равномерно по $y\in Y$ и $t > 0$. Условия на функцию $c(x)$, обеспечивающие эти требования, обсуждаются в [17], [18]. Обозначим
$$
\begin{equation}
\xi(x) = \frac{1}{c^2(x)} - \frac{1}{c_0^2},\qquad x\in D,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
и перепишем уравнение (3.1) в виде
$$
\begin{equation}
\Delta u - \frac{1}{c_0^2}\, u_{tt}(x,\,t) = \xi(x) u_{tt}(x,t) + \delta(x - y) g(t).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Согласно (3.3) функция $c$ однозначно определяется по $\xi$, поэтому далее будет идти речь об отыскании $\xi(x)$ при $x\in D$. Применяя к обеим частям равенства (3.4) преобразование Лапласа по времени, получаем
$$
\begin{equation}
\Delta \widetilde{u}(x,p;y) - \frac{p^2}{c_0^2}\,\widetilde{u}(x,p;y) = p^2\xi(x)\widetilde{u}(x,p;y) + \widetilde{g}(p)\delta(x - y),\qquad x\in \mathbb{R}^3.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
В силу сделанных предположений $\widetilde{u}(x,p;y)\to 0$, $|x|\to\infty$ при $y\in Y$, $p\geqslant 0$. Нам потребуется фундаментальное решение (функция Грина)
$$
\begin{equation}
G(x, x_0; p) = -\frac{e^{-(p/c_0)|x - x_0|}}{4\pi|x - x_0|}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
уравнения
$$
\begin{equation*}
\Delta u(x) - \frac{p^2}{c_0^2} u(x) = \delta(x - x_0), \qquad p \geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
с условием на бесконечности $u(x)\to 0$, $|x|\to \infty$. Из (3.5) с учетом (3.6) следует равенство
$$
\begin{equation}
\widetilde{u}(x,p;y) = \widetilde{g}(p) G(x,y;p)+p^2 \int_{D} G(x, x'; p) \widetilde{u}(x',p; y) \xi(x')\, dx' ,\qquad x\in\mathbb{R}^3.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Введем обозначение Дифференцируя дважды равенство (3.7) по $p$, с учетом (3.8) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\widetilde{u}_{pp}(x,p;y)=H_{pp}(x,y;p)+2\int_D G(x,x';p) \widetilde{u}(x',p;y) \xi(x')\, dx' \nonumber \\ &\qquad +4p \int_D [ G_p(x,x';p) \widetilde{u}(x',p;y)+G(x,x';p) \widetilde{u}_p(x',p;y)] \xi(x')\, dx' \nonumber \\ &\qquad+p^2 \int_D [G_{pp}(x,x';p) \widetilde{u}(x',p;y)+ 2 G_p(x,x';p) \widetilde{u}_p(x',p;y) \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad +G(x,x';p) \widetilde{u}_{pp}(x',p;y)] \xi(x')\, dx'. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Полагая в (3.7) и (3.9) $p=0$, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{u}(x,0;y)=H(x,y;0)=\widetilde{g}(0) G(x,y;0), \\ \begin{aligned} \, \widetilde{u}_{pp}(x,0;y) &=\int_0^{\infty} t^2 u(x,t;y)\, dt=H_{pp}(x,y;0)+2\int_D G(x,x';0) \widetilde{u}(x',0;y) \xi(x')\, dx' \\ &=H_{pp}(x,y;0)+ 2\widetilde{g}(0) \int_D G(x,x';0) G(x',y;0) \xi(x')\, dx'. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.6) следует, что искомая функция $\xi(x)$ удовлетворяет линейному интегральному уравнению
$$
\begin{equation}
\int_{D} \frac{\xi(x)\, dx}{|x- y||x-z|} = f_0(y,z),\qquad (y,z)\in Y\times Z,
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
называемому в работе уравнением М. М. Лаврентьева. Правая часть в уравнении (3.10) имеет вид
$$
\begin{equation}
f_0(y,z)=\frac{8\pi^2}{\widetilde{g}(0)} \biggl( \int_0^{\infty} t^2 u(z,t;y)\, dt- H_{pp}(z,y;0) \biggr).
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Заметим, что $\widetilde{g}(0) \neq 0$ в силу первого условия в (3.2). Для второго слагаемого в скобках в правой части (3.11) ввиду (3.8) имеем представление
$$
\begin{equation}
H_{pp}(z,y;0)=-\frac{\widetilde{g}(0)|y-z|}{4\pi c_0^2}+\frac{\widetilde{g}'(0)}{2\pi c_0}- \frac{\widetilde{g}''(0)}{4\pi|y-z|}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Таким образом, входными данными для определения $\xi$ служит величина волнового поля $u(z,t;y)$, усредненная по времени с весом $t^2$, для различных $(y,z)\in Y\times Z$. К уравнению (3.10) сводятся также обратные задачи зондирования неоднородности точечными гармоническими по времени источниками с частотой $\omega\in(0,\omega_0]$, см. подробнее в [19; гл. VII, § 1], [20], [21]. В том случае, когда оператор уравнения (3.10) инъективен, имеет место единственность решения исходной нелинейной обратной задачи. Указанное свойство выполняется, например, если $Y$, $Z$ – области на плоскости, не пересекающей $D$, либо ограниченные поверхности, содержащие множество $D$ внутри. Подчеркнем, что во всех перечисленных случаях размерность пространственного носителя данных $Y\times Z$ в (3.10) равна четырем, в то время как искомая функция $\xi$ зависит от трех переменных. Тем самым постановка соответствующих обратных задач в указанных работах оказывается переопределенной. Описанная конструкция включает и случай $y=z$, соответствующий задаче реконструкции неоднородности по данным обратного рассеяния. В этом случае единственность решения удается установить в непереопределенном случае, когда $Y=Z$ есть область $\mathbb{R}^3$, не пересекающая $\overline{D}$ [21]. Поясним связь вопроса об инъективности интегрального оператора в (3.10) и проблематики теории приближений, которой были посвящены § 1, § 2. Необходимо установить, что соответствующее (3.10) однородное уравнение
$$
\begin{equation}
\int_{D} \frac{\xi(x)\, dx}{|x- y||x - z|} = 0,\qquad (y,z)\in Y\times Z,
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
имеет лишь тривиальное решение. В этом случае наряду с уравнением (3.10) исходная обратная задача $\{ Y, Z \}$ имеет единственное решение. Поскольку $y,z$ входят в уравнение (3.13) симметрично, то же самое верно и для обратной задачи $\{ Z, Y \}$. Нетрудно видеть, что если семейства гармонических функций
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}_1 =\biggl\{ \frac{1}{|x-y|}\colon y \in Y \biggr\}, \qquad \mathcal{H}_2 =\biggl\{ \frac{1}{|x-z|}\colon z \in Z \biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
таковы, что $\mathcal{H}_1 \cdot \mathcal{H}_2$ полно в $L_2(D)$, то уравнение (3.10) имеет лишь нулевое решение. Укажем один общий способ выбора таких множеств $Y$, $Z$. Будем говорить, что $\mathcal{M} \subset \mathbb{R}^3 \setminus \overline{D}$ есть множество единственности (для гармонических функций в $\mathbb{R}^3 \setminus \overline{D}$), если для любой регулярной гармонической в $\mathbb{R}^3 \setminus \overline{D}$ функции $u$ такой, что равенство $u|_{\mathcal{M}}=0$ влечет $u \equiv 0$ в $\mathbb{R}^3 \setminus \overline{D}$. В качестве примера множества единственности укажем замкнутую поверхность, не пересекающую $\overline{D}$, либо область на плоскости, не пересекающей $\overline{D}$. Множеством единственности является также область на аналитической поверхности, например, сфере, не пересекающей $\overline{D}$.Следующее предложение позволяет применить теорему 1 для доказательства однозначной разрешимости однородного уравнения (3.13). Предложение 5 (см. [22]). Пусть $\mathcal{M}$ есть множество единственности. Тогда семейство линейных комбинаций функций $\{|x-w|^{-1}\colon w \in \mathcal{M} \}$ плотно в $\mathcal{H}(D)$ в смысле метрики $L_2(D)$. Из предложения 5 следует, что если $Z$ есть множество единственности в указанном выше смысле, то равенство (3.13) влечет
$$
\begin{equation}
\int_{D} \frac{\xi(x) u(x)\, dx}{|x-y|}=0\quad \forall \, y\in Y, \quad u\in \mathcal{H}(D).
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Если $Y$ также является множеством единственности, то применяя к (3.14) предложение 5, получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{D} \xi(x) u(x) v(x)\, dx=0\quad \forall \, u,v\in \mathcal{H}(D).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя теперь предложение 1, заключаем, что $\xi=0$ п. в. в $D$. Упомянутые выше переопределенные постановки задачи $\{ Y,Z \}$ соответствуют выбору в качестве $Y$ и $Z$ двумерных множеств единственности. В то же время предложение 4 и теорема 1 показывают, что (3.14) влечет искомое равенство $\xi=0$ п. в. в $D$ и в том случае, когда $Y$ не является множеством единственности. Действительно, сопоставляя (3.14) с (2.1) и используя теорему 1, получаем следующий результат. Теорема 2. Пусть $Z$ есть множество единственности, $L$ – прямая в $\mathbb{R}^3$, $Y$ – открытое множество, принадлежащее неограниченной компоненте дополнения $L\setminus \overline{D}$. Тогда для любой правой части $f_0$ уравнение (3.10) имеет не более одного решения. Если при этом $Y \cap Z =\varnothing$, то обратные задачи $\{ Y, Z \}$ и $\{ Z, Y \}$ также имеют единственное решение. Если в качестве $Z$ выбрано двумерное множество единственности, например, область на плоскости, либо замкнутая поверхность, не пересекающая $\overline{D}$, то в условиях теоремы 2 размерность пространственного носителя данных $Y\times Z$ в задачах $\{ Y, Z \}$ и $\{ Z, Y \}$ оказывается равной трем, как и размерность носителя $D$ искомой функции. В этом смысле рассматриваемые обратные задачи оказываются пространственно непереопределенными. Заметим, что при этом полный набор данных $\{ u(z,t;y)\colon y\in Y,\, z\in Z,\, t>0 \}$, необходимый для формирования функции $f_0$ в (3.10), содержит переменную $t$ и поэтому имеет размерность на единицу большую по сравнению с $\operatorname{dim} D$. В [23] установлен близкий результат о единственности решения уравнения, полученного преобразованием уравнения М. М. Лаврентьева к дифференциальной форме с последующей аппроксимацией преобразованного уравнения по схеме Галёркина. § 4. Обратная задача зондирования в бесфазной постановкеВ этом параграфе рассмотрим обратную задачу для уравнения Гельмгольца
$$
\begin{equation}
\Delta u(x)+ k^2 n(x)u(x)=-\delta(x-y), \qquad x\in \mathbb{R}^3.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Уравнение (4.1) решается вместе с условием излучения на бесконечности
$$
\begin{equation}
\lim_{r\to \infty} r \biggl( \frac{\partial u}{\partial r}- iku \biggr)=0, \qquad r=| x|.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Здесь $k>0$ – волновое число. Предполагается, что коэффициент рефракции $n(x) \equiv 1$, для $x \in \mathbb{R}^3\setminus D$, $n \in L_{\infty}(D)$, где $D$ – заданная ограниченная область в $\mathbb{R}^3$. Система (4.1), (4.2) описывает скалярное гармоническое по времени волновое поле $U(x,t)=\operatorname{Re}(e^{-ikt} u(x))$ в неоднородной среде, инициированное точечным гармоническим по времени источником и характеризуемое комплексной амплитудой $u(x)$. Классическая постановка обратной задачи рассеяния для (4.1), (4.2) сводится к восстановлению функции $n(x)$, $x\in D$, по известным значениям решения $u=u(x;y,k)$ задачи (4.1), (4.2) при $x=z\in Z$, $y \in Y$, $k\in [k_1,k_2]$, для подходящих множеств $Y$, $Z$ и выбранных значений $0<k_1\leqslant k_2$. Как и выше, $Z$ есть множество детекторов рассеянного волнового поля, инициированного источником в точке $y\in Y$, $Y$ – множество точечных зондирующих источников и предполагается, что $(Y \cup Z) \cap \overline{D}=\varnothing$. Обратной задаче рассеяния в такой и близких постановках при различных способах выбора множеств источников и детекторов посвящено значительное число публикаций, см. монографии [2], [20], [24] и ссылки в них. Часто в качестве входных данных обратной задачи выступает амплитуда рассеяния в дальней зоне, т. е. главный член асимптотики $u(x;y,k)$ при $|x|\to \infty$. При этом источником волнового поля может быть также приходящая плоская волна. Вместе с тем во многих прикладных задачах экспериментальное измерение комплексной величины $u(x;y,k)$, подразумевающее получение как модуля (амплитуды) $|u(x;y,k)|$ так и фазы $\operatorname{arg} u(x;y,k)$ волнового поля, является весьма ограничительным требованием. Во многих случаях экспериментально доступна лишь амплитуда рассеянного неоднородностью сигнала, т. е. значение $|u(x;y,k)|$. В этой связи ниже, следуя [25]–[29], рассмотрим задачу реконструкции функции $n(x)$, $x\in D$, по известной амплитуде $|u(z;y,k)|$ волнового поля, где $z\in Z$, $y \in Y$, $k\in [k_1,k_2]$, $0<k_1<k_2$. Будем предполагать, что $Y \cap Z=\varnothing$. Нас интересует возможность однозначного восстановления этой функции при наличии указанных данных. Для краткости обозначим рассматриваемую обратную задачу через $[Y,Z]$. Далее покажем, что анализ единственности решения задачи $[Y,Z]$ также сводится к вопросу об инъективности интегрального оператора уравнения М. М. Лаврентьева (3.10). Как известно [24; § 8.2], задача (4.1), (4.2) эквивалентна интегральному уравнению
$$
\begin{equation}
u(x)=k^2 \int_{D} \Phi(x,x';k) (n(x')-1) u(x')\, dx'+\Phi(x,y;k), \qquad x\in D,
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где При условии $n\in L_{\infty}(D)$ интегральный оператор в правой части уравнения (4.3) вполне непрерывен в пространстве $L_2(D)$ для любого $k \in \mathbb{C}$ [30; § 8.5], при этом правая часть (4.3) аналитически зависит от параметра $k$. Согласно [24; теоремы 8.4, 8.7] задачи (4.3) и (4.1), (4.2) однозначно разрешимы для всех вещественных $k\geqslant 0$ и для комплексных $|k|\leqslant \delta$ с достаточно малым $\delta>0$. Из теоремы о голоморфных семействах фредгольмовых операторов [24; § 8.5], [17; гл. VI, § 4] следует, что функция $u(x;y,k)$ при фиксированных $x\neq y$ голоморфно продолжима по $k$ в окрестность положительной вещественной полуоси. Сохраняя за продолженной функцией аргумента $k=\kappa_1+i \kappa_2$ прежнее обозначение, заметим, что вещественная и мнимая части $\operatorname{Re} u(x;y,k)$, $\operatorname{Im} u(x;y,k)$ являются регулярными гармоническими функциями переменных $(\kappa_1,\kappa_2)$. Поэтому при $x\neq y$ функция
$$
\begin{equation*}
|u(x;y,k)|^2= (\operatorname{Re} u(x;y,k))^2 + (\operatorname{Im} u(x;y,k))^2
\end{equation*}
\notag
$$
вещественно аналитична по $k>-\delta$. Введем обозначение Согласно принятым предположениям $\xi(x) \equiv 0$ для $x\in \mathbb{R}^3 \setminus D$. Перепишем уравнение (4.1) в виде Решение $u(x)=u(x;y,k)$ задачи (4.2), (4.5) удовлетворяет интегральному уравнению
$$
\begin{equation}
u(x; y,k)=k^2 \int_{D} \Phi (x,x';k) \xi(x') u(x'; y,k)\, d x'+\Phi(x,y;k), \qquad x\in \mathbb{R}^3 \setminus\{ y \}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Из (4.6) для указанных $x$ следует равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &u(x; y,k)=k^2 \int_{D} \Phi(x,x';k) \xi(x') \\ &\qquad\times\biggl(k^2 \int_{D} \Phi(x',x'';k) \xi (x'') u(x''; y,k)\, d x''+\Phi(x',y;k) \biggr) \, dx'+\Phi(x,y;k) \\ &=k^2 \int_{D} \Phi(x,x';k) \Phi(x',y;k) \xi(x')\, d x' \\ &\qquad+k^4 \int_{D} \Phi(x,x';k) \xi(x') \biggl( \int_{D} \Phi(x',x'';k) \xi(x'') u(x''; y,k) \, d x'' \biggr)\, dx'+ \Phi(x,y;k). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь тождеством
$$
\begin{equation*}
|z_1+z_2|^2=|z_1|^2+2 \operatorname{Re}(\overline{z}_1 z_2)+|z_2|^2, \qquad z_1,z_2 \in \mathbb{C},
\end{equation*}
\notag
$$
отсюда получаем, что для всех $y\in Y$, $z\in Z$ и $k\geqslant 0$ выполняется соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|u(z; y,k)|^2=|\Phi(z,y;k)|^2 \nonumber \\ &\qquad+2 k^2 \operatorname{Re}\biggl(\overline{\Phi(z,y;k)} \int_{D} \Phi(z,x';k) \Phi(x',y;k) \xi(x')\, d x'\biggr)+O(k^4). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Из (4.7) следует, что при $y\in Y$, $z\in Z$ справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re}\biggl( \overline{\Phi(z,y;0)} \int_{D} \Phi(z,x';0) \Phi(x',y;0) \xi(x')\, d x'\biggr) =f_1(y,z),
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
где
$$
\begin{equation}
f_1(y,z)=\lim_{k\to 0} (2 k^2)^{-1} \bigl(|u(z; y,k)|^2-|\Phi(z,y;k)|^2\bigr).
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Заметим, что функция $\Phi(z,y;0)=(4\pi|z-y|)^{-1}$ вещественнозначная. Поэтому из (4.4), (4.8) следует, что вещественнозначная функция $\xi$ удовлетворяет уравнению М. М. Лаврентьева
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_{D} \frac{\xi(x)\, dx}{|x-y||x-z|} =f_2(y,z), \qquad (y,z) \in Y \times Z, \\ f_2(y,z) =64 \pi^3|y-z|f_1(y,z). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Поскольку функция $|u(z;y,k)|^2$ вещественно аналитична по $k>-\delta$, ее задание для $k \in [k_1,k_2]$ и $(y,z)\in Y \times Z$ однозначно определяет значение $|u(z;y,k)|^2$ при всех $k>-\delta$, $(y,z)\in Y \times Z$. Таким образом, функция в правой части уравнения (4.10) однозначно определяется входными данными обратной задачи $[Y,Z]$. Поэтому вопрос о единственности решения $[Y,Z]$ эквивалентен наличию у соответствующего однородного уравнения (3.13) лишь тривиального решения. Применяя теорему 1, приходим к следующему утверждению. Теорема 3. Пусть $Z$ есть множество единственности, $L$ – прямая в $\mathbb{R}^3$, $Y$ – открытое множество, принадлежащее неограниченной компоненте дополнения $L\setminus \overline{D}$, $Y\cap Z=\varnothing$. Тогда обратные задачи $[ Y, Z ]$ и $[ Z, Y ]$ имеют единственное решение. Выбирая в качестве $Z$ двумерное множество единственности, на основании теоремы 3 получаем утверждения о единственности решений нелинейных коэффициентных обратных задач $[Y, Z]$ и $[Z, Y]$ в пространственно непереопределенной постановке, когда размерность пространственного носителя данных $Y\times Z$ совпадает с размерностью носителя $D$ искомой функции. Отметим, что в предшествующих работах [26]–[29] теоремы единственности устанавливались для обратных задач с пространственными носителями данных вида $\{ (y,z)\colon y\in \Sigma,\, z\in O_{\varepsilon}(y) \}$, $\{ (y,z)\colon y,\, z\in \Sigma \}$, размерность которых не менее четырех. Здесь $\Sigma$ – замкнутая поверхность, содержащая внутри $\overline{D}$. В [26] установлена теорема единственности для непереопределенной бесфазной обратной задачи при наличии в (4.1) единственного зондирующего источника распределенного типа. Этот результат получен при достаточно жестких условиях на вид и гладкость искомой функции $n(x)$. В § 5 обсудим некоторые следствия теорем 2, 3. § 5. Осевая симметрия неоднородностейЗаметим, что выражения в знаменателе под знаком интеграла в уравнениях (3.10), (4.10) инвариантны относительно ортогональных преобразований переменных. При надлежащем расположении множеств источников и детекторов это свойство в совокупности с теоремами 2, 3 может быть использовано для установления свойств симметрии неоднородности при наличии аналогичной симметрии входных данных обратных задач $\{ Y, Z\}$, $[Y, Z]$. Проиллюстрируем это в применении к свойству осевой симметрии. Рассмотрим вначале задачу $\{ Y, Z\}$, эквивалентную интегральному уравнению (3.10). Примем для определенности, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, D = O_1(0), \qquad Y=\{ x\in \mathbb{R}^3\colon x=(0,0,x_3),\, x_3 \in (\chi_1, \chi_2) \}, \quad 1<\chi_1< \chi_2, \nonumber \\ Z=\{ x\in \mathbb{R}^3\colon (x_1, x_2, \kappa),\, x_1^2+x_2^2 < r^2 \}, \qquad r>0,\quad \kappa<-1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Здесь $Z$ как открытое подмножество плоскости $\{ x\in \mathbb{R}^3\colon x_3=\kappa \}$, не пересекающей $\overline{D}$, является множеством единственности. Обозначим через $R_{\varphi}$ матрицу поворота $\mathbb{R}^3$ на угол $\varphi\in [-\pi,\pi)$ вокруг оси $x_3$. Предположим, что
$$
\begin{equation}
u(R_{\varphi}z,t;y)=u(z,t;y) \quad \forall \, (y,z)\in Y\times Z,\quad t>0,\quad \varphi\in [-\pi,\pi).
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Поскольку $|y-R_{\varphi}z|=|y-z|$ для всех $(y,z)\in Y\times Z$, из (3.11), (3.12) следует, что при выполнении (5.2) справедливо
$$
\begin{equation}
f_0 (y,R_{\varphi}z)= f_0 (y,z) \quad \forall \, (y,z)\in Y\times Z,\quad \varphi\in [-\pi,\pi).
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Поскольку $R_{-\varphi}(D)=D$ и $\operatorname{det}R_{\varphi}=1$, замена переменных $x=R_{\varphi} x'$ в левой части уравнения (3.10) с учетом (5.3) дает
$$
\begin{equation}
\int_D \frac{\xi(R_{\varphi} x')\, dx'}{|R_{\varphi} x'-y||R_{\varphi} x'-z|}=\int_D \frac{\xi(R_{\varphi} x')\, dx'}{|x'-y||x'-R_{-\varphi} z|}=f_0(y,z)=f_0(y,R_{-\varphi}z)
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
для всех $(y,z)\in Y \times Z$. Здесь мы воспользовались равенствами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |R_{\varphi}x-y|=|R_{\varphi} (x-y)|=|x-y|, \qquad |R_{\varphi}x-z|= |R_{\varphi}(x-R_{-\varphi}z)|=|x-R_{-\varphi}z|, \\ x\in D, \qquad y\in Y, \qquad z\in Z, \qquad \varphi\in [-\pi,\pi), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
вытекающими из ортогональности матрицы $R_{\varphi}$. Поскольку при фиксированном $\varphi$ точка $\widetilde{z}=R_{-\varphi}z$ пробегает все множество $Z$, когда $z$ меняется в пределах $Z$, из (5.4) получаем
$$
\begin{equation}
\int_D \frac{\xi(R_{\varphi} x')\, dx'}{|x'-y||x'-\widetilde{z}|} =f_0(y,\widetilde{z}), \qquad (y,\widetilde{z}) \in Y \times Z.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Сопоставляя (5.5) и (3.10), видим, что уравнение (3.10) наряду с $\xi=\xi(x)$ имеет решение $\xi=\xi(R_{\varphi}x)$. Из (3.3) следует, что решением задачи $\{ Y, Z\}$ наряду с функцией $c=c(x)$ является также $c(R_{\varphi}x)$. Используя теорему 2, с учетом произвольности угла $\varphi\in [-\pi,\pi)$ получаем следующий результат. Теорема 4. Пусть в задаче $\{ Y,Z \}$ или $\{ Z,Y \}$ множества $Y$, $Z$ выбраны согласно (5.1) и выполняется условие (5.2). Тогда решение $c(x)$ рассматриваемой задачи обладает свойством осевой симметрии: Замечание 1. Аналогично получаем, что если (5.2) имеет место для углов поворота $\varphi=\varphi_k=\pi k/N$, $-N \leqslant k \leqslant N-1$, $N\geqslant 2$, то $c(R_{\varphi_k} x)=c(x)$, $-N \leqslant k \leqslant N-1$. Замечание 2. Нетрудно убедиться, что при выполнении условия (5.6) имеет место (5.2). Это следует непосредственно из уравнений (3.1), в которых необходимо положить $x=R_{\varphi} x'$ и воспользоваться единственностью решения задачи (3.1). Теорема 4 является обратным утверждением по отношению к этому замечанию. В качестве известного аналога теоремы 4 укажем теорему С. Карпа [24; § 5.1, § 7.1] и ее обобщения [31]. Однако в этих работах речь идет о сферической симметрии амплитуды рассеяния $A(\eta,\eta')$ как функции двух векторов $\eta$, $\eta'$ единичной сферы $S$. Поэтому проверка соответствующего условия симметрии $A(U\eta, U\eta')=A(\eta,\eta')$ для всех $\eta,\eta' \in S$ и всех ортогональных $(3\times 3)$-матриц $U$ с $\operatorname{det}U=1$ предполагает решение переопределенной задачи рассеяния с данными на четырехмерном многообразии $S \times S$. Условия теоремы 4 могут быть проверены при решении обратных задач $\{ Y,Z \}$, $\{ Z, Y \}$ с трехмерным носителем данных $Y \times Z$. В то же время, в теореме 4 и замечании 1 идет речь о более узких группах преобразований. Обратимся теперь к обратной задаче $[Y,Z]$, в которой $Y$, $Z$, $D$ выбраны согласно (5.1). Нетрудно видеть, что при выполнении условия аналогичной симметрией обладает и решение задачи (4.1), (4.2), т. е. для всех $\varphi\in [-\pi,\pi)$ справедливо Для доказательства достаточно в (4.3) положить $x=R_{\varphi}\widetilde{x}$ и в интеграле сделать замену переменной $x'=R_{\varphi} x''$.Обратно, пусть выполняется равенство
$$
\begin{equation}
|u(R_{\varphi}z,y;k)|=|u(z,y;k)|\quad \forall \, (y,z)\in Y\times Z,\quad \varphi\in [-\pi,\pi).
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Поскольку функции аргумента $k$ в обеих частях (5.7) аналитичны по $k>-\delta$, равенство продолжается по аналитичности на все значения $k\geqslant 0$. Отсюда с учетом (4.9), (4.10) следует, что
$$
\begin{equation*}
f_2(R_{\varphi}z,y)=f_2(z,y), \qquad (y,z)\in Y\times Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассуждая теперь, как и при доказательстве теоремы 4, получаем следующее утверждение. Теорема 5. Пусть в задаче $[ Y,Z ]$ или $[ Z,Y ]$ множества $Y$, $Z$ выбраны согласно (5.1) и выполняется условие (5.7). Тогда решение $n(x)$ соответствующей обратной задачи обладает свойством В условиях теоремы 5 справедливо утверждение, аналогичное замечанию 1. Замечание 3. Преобразуя интеграл в (2.1) с использованием инверсии в качестве замены переменных и пользуясь инвариантностью гармоничности при преобразовании Кельвина, можно показать, что теорема 1 и последующие результаты верны также и в случае, когда $Y$ лежит в ограниченной компоненте множества $L\setminus \overline{D}$. Автор признателен рецензенту, которому обязан последним замечанием. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kok22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|