| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Детерминистские и случайные аттракторы волновых уравнений со знакопеременной диссипацией Ч. Чангa, Д. Лиa, Ч. Сунa, С. В. Зеликabc a School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University, China b University of Surrey, Department of Mathematics, United Kindom c Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9250e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеРабота посвящена детальному изучению полулинейного волнового уравнения
$$
\begin{equation}
\partial_t^2 u+\gamma(t)\, \partial_t u-\Delta_x u+f(u)=g
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
в ограниченной гладкой области $\Omega$ пространства $\mathbb{R}^3$, рассматриваемого при граничных условиях Дирихле. Здесь $\Delta_x$ – лапласиан по переменным $x\in\Omega$, $f(u)$ и $g(x)$ – заданные нелинейная функция взаимодействия и внешняя сила соответственно, $\gamma(t)$ – заданный коэффициент диссипации, который, в отличие от стандартной ситуации, может менять знак. Уравнения вида (1.1) привлекают к себе постоянный интерес. С одной стороны, они моделируют ряд важных явлений в различных областях современной науки, например, связанных с квантовой механикой, см. [1], [2], полупроводниковыми устройствами (например, джозефсоновские контакты, см. [3] и цитируемую там литературу), распространением волн в проводах (например, телеграфное уравнение, см. [4], [5]), геофизических течений (см., например, [6], [7]), математической биологии (см., например, [8]) и так далее. С другой стороны, этот тип уравнений допускает построение изящной и глубокой математической теории, объединяющей различные направления, такие как обратная задача рассеяния, гармонический анализ, оценки Штрихарца и Похожаева–Моравец и так далее, что делает важным и интересным изучение таких уравнений с теоретической точки зрения (см. [9]–[12] и цитируемую там литературу). Как предполагается, аналитические свойства решений уравнения (1.1) зависят в основном от знака и скорости роста нелинейности $f$ (диссипативное слагаемое $\gamma(t)\, \partial_t u$ является подчиненным и несущественно при рассмотрении решений на конечном интервале по времени). А именно, если что всегда предполагается выполненным в данной работе, то эти свойства зависят от значения экспоненты $p$ (условие на знак уже содержится в этом предположении, а нелинейности вида $f(u)\sim-u|u|^p$, типичные для случая самофокусировки, в работе не рассматриваются).Основным инструментом при изучении этих уравнений является так называемое энергетическое равенство, которое может быть получено формальным умножением уравнения (1.1) на $\partial_t u$ и интегрированием по $x$:
$$
\begin{equation}
\frac d{dt}\biggl(\frac12\|\partial_t u\|^2_{L^2}+\frac12\|\nabla_x u\|^2_{L^2}+(F(u),1)-(g,u)\biggr)+\gamma(t)\|\partial_t u\|^2_{L^2}=0,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где $F(u):=\int_0^uf(v)\,dv$, которое определяет энергетическое фазовое пространство рассматриваемой задачи
$$
\begin{equation*}
E:=[H^1_0(\Omega)\cap L^{p+2}(\Omega)]\times L^2(\Omega),\qquad \xi_u:=\{u,\partial_t u\}\in E
\end{equation*}
\notag
$$
и дает естественную возможность контроля энергетической нормы решения. В случае (энергетически) субкритического $p<2$ и критического $p=2$ показателей роста, глобальное существование и единственность энергетических решений (т. е. решений с конечной энергией) может быть получено достаточно просто, потому что контроля (1.3) энергии решения достаточно для того, чтобы трактовать нелинейное слагаемое $f(u)$ как возмущение (см., например, [13]–[15]). В отличие от этого, в суперкритическом случае $p>4$ глобальная разрешимость уравнения (1.1) остается открытой проблемой. Действительно, аналогично случаю трехмерной системы уравнений Навье–Стокса, доказано глобальное существование слабых энергетических решений (без единственности) и локальное существование гладких решений (которые априори могут взрываться за конечное время) (см. [16], [17] и цитируемую там литературу). Наиболее интересным является промежуточный случай $2<p\leqslant 4$. В этом случае одного только контроля энергии (1.3) недостаточно для того, чтобы трактовать нелинейность как возмущение, однако она остается подчиненной линейной части, если использовать более тонкие оценки пространственно-временных норм для решений линейного уравнения. Глобальная корректность этой задачи в классе энергетических решений для случая $\Omega=\mathbb{R}^3$ и $p<4$ была получена в работах [18], [19]. Случай нелинейности пятой степени ($p=4$) является существенно более сложным, так как непонятно как “поднять” дополнительную пространственно-временную регулярность решений с линейного уравнения на случай нелинейной задачи (по крайней мере, это не удается сделать с помощью теории возмущений). Например, чтобы гарантировать единственность решения, необходимы так называемые оценки Штрихарца для решений уравнения (1.1) вида (см. [12], [20], [21] и цитируемую там литературу). Для того чтобы доказать, что штрихарцевские нормы не взрываются за конечное время, обычно используются так называемые оценки отсутствия концентрации и оценки Похожаева–Моравец (см. [10]–[12]). Эти результаты были сначала получены для случая $\Omega=\mathbb{R}^3$, а потом распространены на случай ограниченных областей, основываясь на сравнительно недавних результатах, касающихся оценок Штрихарца для линейных уравнений в ограниченных областях (см. [21]–[23]). Отметим, что вопрос о дополнительной регулярности (1.4) для всех энергетических решений остается открытым, поэтому мы будем называть энергетические решения, удовлетворяющие (1.4), решениями Шата–Штруве (ШШ-решениями).Перейдем теперь к обсуждению асимптотического поведения решений (1.1) при $t\to\infty$. Свойства диссипативного слагаемого $\gamma(t)\, \partial_t u$ играют при этом ключевую роль. Наиболее изучен случай, когда коэффициент диссипации $\gamma(t)$ строго положителен и отделен от нуля, например, $\gamma\equiv \mathrm{const}>0$. В этом случае энергетическое равенство (1.3) сразу дает глобальную функцию Ляпунова. Наличие этой функции тривиализирует динамику и дает сходимость траекторий при больших временах к множеству положений равновесия. Однако даже в этом случае проверка асимптотической компактности (которая необходима для доказательства сходимости в метрике энергетического фазового пространства), а также получение гладкости так называемого глобального аттрактора, может быть нетривиальной задачей. Для энергетически субкритического случая $p<2$ этот результат был получен в работах [24], [25] (см. также [14], [15], [26]–[28] и цитируемую там литературу), энергетически критический случай $p=2$ был изучен в [14], [29] (см. также [17] по поводу неавтономного случая и [30] по поводу вырожденного случая), субкритический случай $p<4$ был изучен в [31] и [32] для случая всего пространства $\Omega=\mathbb{R}^3$ и случая периодических граничных условий соответственно. Критический случай $p=4$ в ограниченных областях общего вида был рассмотрен в [33]. Отметим, что доказательство, приведенное там, критическим образом использует наличие функции Ляпунова и не может быть обобщено на неавтономный случай. Этот недостаток был устранен в [34] для случая периодических граничных условий, используя так называемые оценки Штрихарца через энергию, однако существование таких оценок в критическом случае для ограниченных областей общего вида остается открытой проблемой. Это является причиной того, что в данной работе мы в основном рассматриваем субкритический случай $p<4$. Отметим также, что некоторые из полученных результатов можно перенести и на суперкритический случай $p>4$, используя технику траекторных аттракторов для обхода проблемы возможной неединственности (подробнее см. [16], [17]). Следующий хорошо изученный случай – это случай, когда коэффициент диссипации $\gamma$ все еще неотрицательный, но может обращаться в нуль на некотором нетривиальном подмножестве области $\Omega$. В этом случае тождество (1.3) не дает сразу глобальной функции Ляпунова, поэтому необходимо использовать некоторые новые методы. В случае, когда $\gamma=\gamma(x)$ может вырождаться в нуль, но все еще неотрицательно, результаты о существовании и дополнительной гладкости аттракторов обычно доказываются, комбинируя два типа оценок: 1) карлемановские оценки, которые позволяют построить глобальную функцию Ляпунова и 2) оценки экспоненциального убывания для линейного уравнения ($f(u)=0$), которые требуют выполнения так называемых условий геометрического контроля на носитель функции $\gamma$ (см. [27], [35]–[39] и цитируемую там литературу). Альтернативный случай, когда вырождающийся в нуль коэффициент диссипации $\gamma=\gamma(t)\geqslant0$ зависит только от времени $t$, также активно изучался в работах [40]–[43] (см. также цитируемую там литературу), хотя общий случай $\gamma=\gamma(t,x)\geqslant0$ все еще недостаточно изучен. В отличие от вышеизложенного, очень мало известно о случае, когда коэффициент диссипации может менять знак. Ключевая разница здесь заключается в том, что правая часть энергетического равенства (1.3) не является более неотрицательной, поэтому глобальная функция Ляпунова исчезает, и даже доказательство глобальной ограниченности решений и их диссипативности становится нетривиальной задачей. Отметим также, что при отсутствии функции Ляпунова рассматриваемая динамика легко может быть хаотической, что наблюдается даже в простейших примерах (см., например, [44]). Насколько нам известно (по крайней мере, для уравнений с частными производными вида (1.1)), только случай, когда отрицательная часть коэффициента диссипации мала по сравнению с его положительной частью и может трактоваться как возмущение, рассматривался ранее (см. [40]–[42], [45]–[48] и цитируемую там литературу). Более того, во всех этих работах линейное уравнение (которое соответствует $f(u)=g=0$) предполагается устойчивым, а нелинейность, которая интерпретируется как некоторое возмущение, не влияет на природу диссипативного механизма. Некоторым исключением является работа [49], где было рассмотрено сильно диссипативное волновое уравнение с двумя нелинейностями и диссипацией, которая может менять знак.Однако классический модельный пример здесь – это уравнение Ван-дер- Поля которое описывает возникновение автоколебаний в различных физических системах, например, в радиоэлектронике, классической механике, биологии и так далее (см. [44] и цитируемую там литературу). Аналогичное уравнение в частных производных, а также связанное с ним уравнение Фитца–Нагумо, описывают колебательные процессы в активных средах (см., например, [50]). Уравнение (1.1) может рассматриваться как упрощенная модель для таких задач, в которых нелинейная диссипация заменена на $\gamma(t):=y^2(t)-1$ для некоторого специального решения $y(t)$ обыкновенного уравнения, например, уравнения Ван-дер-Поля или его многомерного аналога.Пример уравнения Ван-дер-Поля подсказывает нам, что предположение об устойчивости линейной части уравнения является очень ограничительным и, что уравнение может быть стабилизировано за счет нелинейных слагаемых. Как мы увидим далее, именно это и происходит в уравнении (1.1). Удивительно то, что анализ глобальной устойчивости нелинейного уравнения (1.1), где $f(u)$ удовлетворяет (1.2) с $p>0$, оказывается проще, чем в линейном случае, и можно сформулировать разумные условия на функцию $\gamma(t)$, гарантирующие устойчивость в нелинейном случае. Таким образом, главной целью данной работы является детальное исследование уравнения (1.1) в суперлинейном случае, когда $f$ удовлетворяет (1.2) с $p>0$. Основное условие на коэффициент диссипации, которое мы предполагаем выполненным, формулируется следующим образом:
$$
\begin{equation}
\liminf_{T\to\infty}\frac1T\int_{\tau-T}^\tau \biggl(\frac12\gamma_+(t)-\frac{p+2}{p+4}\gamma_-(t)\biggr)\, dt>0,\qquad \tau\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
где $\gamma_+=\max\{0,\gamma\}$, $\gamma_-=\gamma_+-\gamma$. Некоторые эвристические соображения, показывающие, что данное условие может быть также и необходимым, приведены в § 2. Начнем с пояснения, почему условия вида (1.6) не работают в линейном случае. Простейшим модельным примером здесь является обыкновенное уравнение с периодическим по времени коэффициентом $\gamma$, где анализ устойчивости уже является нетривиальной и интересной задачей. Действительно, стандартная периодическая замена переменной (см. § 2) преобразует это уравнение к классическому уравнению Матье–Хилла где $\langle\gamma\rangle$ – среднее значение $\gamma$ за период, а периодическая функция $\psi(t)$ вычисляется по $\gamma(t)$. Это уравнение описывает явление параметрического резонанса в механических системах (см. [44] и цитируемую там литературу), устойчивость и бифуркации предельных циклов (см., например, [51]) и так далее. Оно также может быть интерпретировано (по крайней мере, в случае $\langle\gamma\rangle$=0) как уравнение Шрёдингера с периодическим потенциалом, которое является ключевым для квантовой теории твердых тел (см., например, [52]). Известно, что анализ устойчивости этого уравнения – весьма нетривиальная задача, которая не описывается условиями типа (1.6) (см. [53] и цитируемую там литературу). В случае, когда $\gamma$ не является периодической (а, например, является случайной), ситуация еще более усложняется, например, появляются новые эффекты, связанные с локализацией Андерсона (см. [52]).В настоящей работе мы еще раз подтверждаем недостаточность условий вида (1.6) в линейном случае, доказывая следующий результат (см. предложение 2.1). Предложение 1.1. Пусть $a,b,\omega>0$ выбраны произвольно. Тогда существует $\pi/\omega$-периодическая функция $\gamma\in L^1(0,\pi/\omega)$ такая, что $\langle\gamma_+\rangle=a$, $\langle\gamma_-\rangle=b$, и уравнение (1.7) экспоненциально неустойчиво. Однако такой механизм неустойчивости не работает в суперлинейном случае $p>0$, потому что, в отличие от линейного случая, частота внутренних колебаний растет с ростом энергии, и параметрический резонанс становится невозможным при больших энергиях. По этой причине при выполнении условия (1.6), диссипация энергии становится доминирующей при больших энергиях, что и делает рассматриваемое уравнение диссипативным (см. § 2). Для сохранения этого эффекта в случае, когда $\gamma(t)$ не является периодической, необходимо наложить дополнительное условие регулярности на функцию $\gamma$, которое бы гарантировало, что частота “внешних осцилляций” функции $\gamma$ не растет со временем. А именно, предполагается, что функция $\gamma$ трансляционно компактна в $L^1$-метрике: Грубо говоря, предположение (1.9) означает, что $\gamma$ может быть равномерно приближена в среднем по времени гладкими ограниченными функциями (см. строгое определение в § 3). Это условие также выглядит естественным, потому что при его нарушении растущие по времени решения нелинейной задачи могут быть построены аналогично линейному случаю (см. доказательство предложения 1.1).Как будет показано в настоящей работе, существуют два принципиально различных случая поведения решений в зависимости от того, является ли предел (1.6) равномерным по $\tau\in\mathbb{R}$. Первый случай (когда этот предел равномерный) является более стандартным и связан с детерминистским выбором показателя диссипации $\gamma(t)$, например, когда $\gamma(t)$ – периодична или квази/почти периодична по времени, второй же случай более естественен для хаотического или случайного показателя диссипации. Начнем с равномерного случая. Ключевым результатом здесь является следующая диссипативная оценка для ШШ-решений уравнения (1.1). Теорема 1.1. Пусть коэффициент диссипации $\gamma(t)$ удовлетворяет условию (1.9), а также условию (1.6) равномерно по $\tau\in\mathbb{R}$. Предположим, что $g\in L^2(\Omega)$, и нелинейность $f$ удовлетворяет (1.2) для некоторого $0<p\leqslant4$. Тогда для любого $\xi_\tau\in E$ существует единственное ШШ-решение $u(t)$, $t\geqslant\tau$, задачи (1.1) с начальным условием $\xi_u\big|_{t=\tau}=\xi_\tau$, и справедлива следующая оценка: где положительная константа $\alpha$ и монотонная функция $Q$ не зависят от $t$, $\tau$, $u$ и $g$. Здесь и далее $\xi_u(t):=\{u(t),\partial_t u(t)\}$. Доказательство этой теоремы приведено в § 4. Диссипативная оценка (1.10) позволяет применить методы теории аттракторов к уравнению (1.1) более или менее стандартным образом. Действительно, теорема 1.1 позволяет определить динамический процесс $U(t,\tau)$, $t\geqslant\tau$, действующий в энергетическом пространстве $E=H^1_0(\Omega)\times L^2(\Omega)$ (при выполнении условия $p\leqslant4$ справедливо вложение Соболева $H^1\subset L^{p+2}$, поэтому включать пространство $L^{p+2}$ в определение $E$ не нужно), и изучать его аттракторы. Поскольку рассматриваемое уравнение явно зависит от времени, необходимо использовать соответствующие обобщения понятия глобального аттрактора на неавтономный случай. Одним из таких обобщений является так называемый равномерный аттрактор (см. [16] и цитируемую там литературу). По определению равномерный аттрактор $\mathcal A_{\mathrm{un}}$ – это минимальное компактное множество в $E$, которое притягивает образы всех ограниченных подмножеств в $E$ равномерно по $\tau\in\mathbb{R}$. А именно, для любого ограниченного подмножества $B$ имеет место притяжение
$$
\begin{equation}
\lim_{s\to\infty}\sup_{\tau\in\mathbb{R}}\operatorname{dist}_E\bigl(U(\tau+s,\tau)B,\mathcal A_{\mathrm{un}}\bigr)=0,
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
где “$\operatorname{dist}$” означает расстояние Хаусдорфа в $E$ (см. § 4). Следующая теорема также доказана в § 4. Теорема 1.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1, и пусть дополнительно $p<4$. Тогда динамический процесс $U(t,\tau)$, порожденный разрешающими операторами задачи (1.1), обладает равномерным аттрактором $\mathcal A_{\mathrm{un}}$, который является ограниченным множеством в более гладком энергетическом пространстве $E^1:=[H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)]\times H^1_0(\Omega)$. Для описания структуры равномерного аттрактора необходимо рассмотреть, согласно общей теории (см. [16]), не только уравнение (1.1), но и все его сдвиги по времени, а также их замыкания в соответствующей топологии. А именно, нужно рассмотреть оболочку $\mathcal H(\gamma)$ исходного коэффициента диссипации $\gamma$:
$$
\begin{equation}
\mathcal H(\gamma):=[T_h\gamma,\, h\in\mathbb{R}]_{L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})},\qquad (T_h\gamma)(t):=\gamma(t+h),
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
где через $[\,\cdot\,]_V$ обозначено замыкание в $V$. В частности, предположение (1.9) гарантирует, что $\mathcal H(\gamma)$ является компактом в $L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$. Для каждого $\eta\in \mathcal H(\gamma)$ рассматривается уравнение (1.1), в котором $\gamma$ заменено на $\eta$, и через $\mathcal K_\eta\subset L^\infty(\mathbb{R},E)$ обозначается множество всех решений этого уравнения, определенных для всех $t\in\mathbb{R}$ и ограниченных при $t\to-\infty$, – так называемое ядро этого уравнения в терминологии Вишика и Чепыжова (см. [16]). Тогда равномерный аттрактор $\mathcal A_{\mathrm{un}}$ задачи (1.1) может быть описан следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mathcal A_{\mathrm{un}}=\bigcup_{\eta\in\mathcal H(\gamma)}\mathcal K_\eta\big|_{t=0}.
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Более того, следуя общей схеме, можно определить сечения этих ядер
$$
\begin{equation}
\mathcal K_\eta(\tau):=\mathcal K_\eta\big|_{t=\tau},\qquad \eta\in\mathcal H(\gamma),\quad \tau\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
Как известно (см. [16], [54]), эти сечения компактны в $E$ и строго инвариантны:
$$
\begin{equation*}
U_\eta(t,\tau)\mathcal K_\eta(\tau)=\mathcal K_\eta(t),
\end{equation*}
\notag
$$
где $U_\eta(t,\tau)$ – динамический процесс, порожденный уравнением (1.1), в котором $\gamma$ заменено на $\eta\in\mathcal H(\gamma)$. Более того, данные сечения обладают свойством обратного притяжения:
$$
\begin{equation}
\lim_{s\to\infty}\operatorname{dist}_E\bigl(U_\eta(\tau,\tau-s)B,\mathcal K_\eta(\tau)\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
По этой причине введенные выше сечения ядра $\mathcal K_\eta(t)$, $t\in\mathbb{R}$, часто называются обратным аттрактором динамического процесса $U_\eta(t,\tau)$ (см. [16], [54]–[56]). Подобно глобальным аттракторам в автономном случае, эти сечения обычно компактны и имеют конечные хаусдорфову и фрактальную размерности, но, в отличие от равномерных аттракторов, скорость притяжения в (1.15) обычно не является равномерной по $\tau\in\mathbb{R}$ (и $\eta\in\mathcal H(\gamma)$). По этой причине притяжения вперед в общей ситуации обычно нет. Более того, как показывают элементарные примеры, экспоненциально отталкивающая вперед по времени неподвижная точка легко может быть обратным “аттрактором” рассматриваемого динамического процесса. Одной из возможностей обойти эту проблему является использование понятия экспоненциального аттрактора, введенного в работе [57] и обобщенного позднее на неавтономный случай в работах [58], [59] (см. также обзор [60] и цитируемую там литературу). Согласно определению неавтономным экспоненциальным аттрактором $\mathcal M_\eta(t)$, $t\in\mathbb{R}$, динамического процесса $U_\eta(t,\tau)$ является полуинвариантное семейство компактных множеств, которые имеют конечные хаусдорфовы и фрактальные размерности и обладают свойством равномерного экспоненциального притяжения, а именно, существуют положительная константа $\alpha$ и монотонная функция $Q$ такие, что для любого ограниченного подмножества $B$ в $E$ выполняется оценка
$$
\begin{equation}
\operatorname{dist}_E\bigl(U_\eta(\tau+s,\tau)B,\mathcal M_\eta(\tau+s)\bigr)\leqslant Q(\|B\|_E)e^{-\alpha s},
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
которая равномерна по $\tau\in\mathbb{R}$ (а также по $\eta\in\mathcal H(\gamma)$). В частности, как нетрудно видеть, $\mathcal K_\eta(t)\subset\mathcal M_\eta(t)$, если экспоненциальный аттрактор существует. Подчеркнем также, что в отличие от сечений ядер, неавтономный экспоненциальный аттрактор $\mathcal M_\eta(t)$, $t\in\mathbb{R}$, является не только обратно притягивающим, но также обладает свойством (экспоненциального) притяжения вперед по времени. Следующая теорема, доказанная в § 5, устанавливает существование неавтономного экспоненциального аттрактора для уравнения (1.1). Теорема 1.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.2, и пусть дополнительно коэффициент диссипации $\gamma$ является чуть более регулярным: $\gamma\in L^{1+\varepsilon}_b(\mathbb{R})$ для некоторого $\varepsilon>0$. Тогда динамический процесс $U_\eta(t,\tau)$, $\eta\in\mathcal H(\gamma)$, связанный с уравнением (1.1), обладает неавтономным экспоненциальным аттрактором $\mathcal M_\eta(t)$, который равномерно ограничен в более гладком энергетическом пространстве $E^1$. Рассмотрим теперь второй (возможно более интересный) случай, когда условие диссипативности (1.6) не является равномерным по $\tau\in\mathbb{R}$. В этом случае диссипативный механизм не является достаточно сильным, чтобы обеспечить ограниченность траекторий и диссипативность вперед по времени, потому равномерный аттрактор может не существовать. Более того, ядра $\mathcal K_\eta(t)$, определенные выше как множества всех ограниченных решений, могут не содержать никаких траекторий вообще или быть слишком маленькими для того, чтобы обладать какими-либо свойствами притяжения. Таким образом, требуется соответствующая модификация теории. Естественным подходом к решению этой проблемы, который пришел из теории случайных аттракторов (см. [55], [56], [61] и цитируемую там литературу), является замена условия ограниченности траекторий на условие их умеренного роста и соответственно замена ограниченных множеств на множества умеренного роста. А именно, полная траектория $u(t)$, $t\in\mathbb{R}$, уравнения (1.1) является траекторией умеренного роста, если $\|\xi_u(t)\|_E$ растет при $t\to-\infty$ медленнее любой экспоненты, а семейство ограниченных множеств $B(t)$, $t\in\mathbb{R}$, обладает умеренным ростом, если $\|B(t)\|_E$ растет при $t\to-\infty$ медленнее любой экспоненты. При этой модификации теория сечений ядер, разработанная в работах [16], [54], обобщается на случай умеренного роста, рассматривая ядра умеренного роста (т. е. множества полных траекторий умеренного роста) и сечения этих ядер умеренного роста, которые совпадают с обратными аттракторами умеренного роста (см. [55], [56] и цитируемую там литературу). Формализм аттракторов умеренного роста и является основным техническим средством для изучения уравнения (1.1) в неравномерном случае (подробнее см. в § 6). Однако, аналогично ограниченному случаю, сечения ядер ограниченного роста обладают тем же самым внутренним недостатком, связанным с отсутствием притяжения вперед, который исчезает при переходе к случайным аттракторам, где притяжение вперед обычно имеет место в смысле сходимости по вероятности. Имея в виду тот факт, что неравномерность по $\tau\in\mathbb{R}$ в диссипативном условии (1.6) естественно возникает при рассмотрении случайных (или хаотических) коэффициентов диссипации, мы вводим случайный формализм с самого начала. А именно, предполагаем, что на оболочке $\mathcal H(\gamma)$ задана борелевская вероятностная мера $\mu$, которая является инвариантной и эргодической по отношению к группе сдвигов по времени, действующей на оболочке:
$$
\begin{equation}
T_h\colon\mathcal H(\gamma)\to\mathcal H(\gamma),\quad h\in\mathbb{R},\qquad (T_h\eta)(t)=\eta(t+h).
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
Тогда предположение (1.6) заменяется на
$$
\begin{equation}
\int_{\eta\in\mathcal H(\gamma)} \biggl(\int_0^1\frac12\eta_+(t)-\frac{p+2}{p+4}\eta_-(t)\,dt\biggr)\, \mu(d\eta)>0,
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
а исходное предположение (1.6) будет выполнено для почти всех $\eta\in\mathcal H(\gamma)$ благодаря эргодической теореме Биркгофа. Напомним, что $\mu$-измеримая множествозначная функция $\eta\to\mathcal A(\eta)\subset E$ называется случайным аттрактором умеренного роста для семейства динамических процессов $U_\eta(t,\tau)\colon E\to E$, если 1) $\mathcal A(\eta)$ определены и компактны в $E$ для почти всех $\eta\in\mathcal H(\gamma)$; 2) семейство ограниченных множеств $t\to \mathcal A(T_t\eta)$ имеет умеренный рост для почти всех $\eta\in\mathcal H$; 3) выполнено условие строгой инвариантности $U_\eta(t,0)\mathcal A(\eta)=\mathcal A(T_t\eta)$, $t\geqslant0$; 4) для любого другого семейства $\eta\to B(\eta)$ ограниченных множеств умеренного роста выполнено условие
$$
\begin{equation*}
\lim_{s\to\infty}\operatorname{dist}_E\bigl(U_\eta(0,-s)B(T_{-s}\eta),\mathcal A(\eta)\bigr)=0
\end{equation*}
\notag
$$
для почти всех $\eta\in\mathcal H(\gamma)$. Следующая теорема, доказанная в § 6, задает условия существования случайного аттрактора умеренного роста для уравнения (1.1). Теорема 1.4. Пусть $g\in L^2(\Omega)$, нелинейность $f$ удовлетворяет условию (1.2) с $0<p<4$, а $\gamma$ удовлетворяет условию (1.9). Предположим также, что задана борелевская вероятностная мера $\mu$ на оболочке $\mathcal H(\gamma)$, которая инвариантна и эргодична по отношению к группе сдвигов по времени, и пусть выполнено условие (1.18). Тогда семейство динамических процессов $U_\eta(t,\tau)$, $\eta\in\mathcal H(\gamma)$, обладает случайным аттрактором $\mathcal A(\eta)$ умеренного роста. Более того, этот аттрактор обладает свойством притяжения вперед по времени в смысле сходимости по мере: для любого случайного множества $B(\eta)$ умеренного роста. Как обычно, этот случайный аттрактор строится с помощью сечений ядер $\mathcal K_\eta(t)$ умеренного роста, существование которых доказывается для почти всех $\eta\in\mathcal H(\gamma)$, с последующим выбором $\mathcal A(\eta):=\mathcal K_\eta(0)$. Ключевым модельным примером случайной диссипации является следующая кусочно постоянная функция:
$$
\begin{equation}
\eta(t):=\eta_n,\qquad t\in[n,n+1),\quad n\in\mathbb Z,
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
где $\{\eta_n\}_{n\in\mathbb Z}\in \Gamma:=\{a,-b\}^{\mathbb Z}$ – элементы схемы Бернулли с двумя символами $a>0$ и $b>0$. Предполагается, что значение $a$ выпадает с вероятностью $q$ (для некоторого $0<q<1$), а значение $-b$ встречается с вероятностью $1-q$, т. е. $\mu$ является стандартным декартовым произведением таких мер на $\Gamma$. Тогда, как известно (см., например, [51]), эта мера инвариантна и эргодична по отношению к дискретным сдвигам Бернулли $T_l\colon \Gamma\to\Gamma$, $l\in\mathbb Z$. Более того, схема Бернулли $\Gamma$, наделенная тихоновской топологией, обладает плотными траекториями, каждая из которых может быть рассмотрена в качестве исходного коэффициента диссипации $\gamma$, определяя $\gamma(t)$ по формуле (1.20). Тогда оболочка $\mathcal H(\gamma)$ порождает всю схему Бернулли $\Gamma$. Отметим также, что дискретные сдвиги Бернулли на $\Gamma$ сопряжены дискретным сдвигам на оболочке $\mathcal H(\gamma)$. Таким образом, условия теоремы 1.4 будут выполнены, если мы проверим условие (1.18). Непосредственные вычисления показывают, что это условие выполнено если и только если Поэтому при выполнении условия (1.21) уравнение (1.1) с коэффициентом диссипации, построенном с помощью схемы Бернулли, обладает случайным аттрактором умеренного роста. До этого момента применение общей теории случайных аттракторов к уравнению (1.1) выглядит более или менее стандартно. Однако здесь имеется одно принципиальное отличие. А именно, в отличие от стандартной ситуации, мы не можем доказать, что построенный случайный аттрактор имеет конечный первый момент. Более того, предполагаем, что
$$
\begin{equation}
\int_{\eta\in\mathcal H(\gamma)}\|\mathcal A(\eta)\|_{E}\, \mu(d\eta)=\infty.
\end{equation}
\tag{1.22}
$$
По крайней мере, мы имеем такое равенство для случайного поглощающего множества, построенного в теореме 1.4 в случае схемы Бернулли, которая удовлетворяет условию (1.21), но не удовлетворяет более сильному условию и непонятно, как получить конечность этого момента для аттрактора. Эта бесконечность первого момента очень существенно влияет на динамику рассматриваемой случайной системы. Действительно, если величина (1.22) бесконечна, нет оснований предполагать, что случайные ляпуновские показатели (см. [62]–[64]) будут конечны, а это, в свою очередь, может привести к бесконечномерности соответствующего случайного аттрактора $\mathcal A(\eta)$. Наша гипотеза заключается в том, что случайный аттрактор $\mathcal A(\eta)$ действительно бесконечномерен для почти всех $\eta\in\mathcal H(\gamma)$ в этом случае. Так как возможность возникновения бесконечномерности при случайном/стохастическом возмущении “хорошей” диссипативной системы с конечномерным аттрактором имеет принципиальное значение для теории случайных динамических систем и, насколько нам известно, ранее не рассматривалась, в § 7 мы приводим простой модельный пример, демонстрирующий этот эффект. А именно, рассмотрим следующую бесконечную систему обыкновенных уравнений в гильбертовом пространстве $H=l_2$:
$$
\begin{equation}
u_1'+\eta(t)u_1=1,\qquad u_n'+n^4u_n=u_1u_n-u_n^3,\quad n=2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{1.24}
$$
В этом случае, если $\eta$ порождается схемой Бернулли, такой что условие (1.21) выполнено, а условие (1.23) нарушено (оба с $p=0$), то соответствующий случайный аттрактор существует, но имеет бесконечные хаусдорфову и фрактальную размерности (см. подробности в § 7). Отметим, что для этого уравнения размерность аттрактора очевидно конечна в детерминистском случае, например, если $\gamma=\mathrm{const}>0$ или удовлетворяет условию (1.6) равномерно по $\tau\in\mathbb{R}$. Статья организована следующим образом. Параграф 2 в основном состоит из эвристических рассуждений, показывающих, что наложенные ограничения являются естественными. Кроме того, доказано предложение 1.1, а также приведен строгий анализ обыкновенного уравнения вида (1.1). В § 3 приведено доказательство ключевой диссипативной оценки (1.10). Кроме того, сформулированы строгие определения слабых энергетических решений, ШШ-решений, а также основные результаты о глобальной разрешимости уравнения (1.1). Оценки асимптотической компактности, которые гарантируют существование ограниченного шара в $E^1$, который притягивает все решения (1.1) в равномерно диссипативном случае, приведены в § 4, а равномерные и экспоненциальные аттракторы для этого случая построены в § 5. Случаи неравномерной и случайной диссипации рассмотрены в § 6. В частности, там доказана теорема 1.4. Наконец, описанный выше модельный пример бесконечномерного случайного аттрактора исследован в § 7. § 2. Предварительные сведения и эвристикаВ этом параграфе мы покажем, что наши предположения на среднее значение коэффициента диссипации $\gamma(t)$ не работают в линейном случае, а также объясним почему они являются естественными и, в некотором смысле, необходимыми в суперлинейном случае. 2.1. Линейное обыкновенное уравнениеНачнем с простейшего, но уже весьма нетривиального случая скалярного уравнения где для простоты предполагается, что функция $\gamma(t)$ является гладкой и $T$-периодической. Пусть $\gamma_0:=(1/T)\int_0^T\gamma(t)\,dt$ обозначает среднее значение $\gamma$. Тогда стандартная периодическая по времени замена переменной
$$
\begin{equation*}
y(t)=\exp\biggl\{-\frac12\int_0^t(\gamma(s)-\gamma_0)\,ds\biggr\}z(t)
\end{equation*}
\notag
$$
сводит рассматриваемое уравнение к диссипативной версии классического уравнения Матье–Хилла
$$
\begin{equation}
z''+\gamma_0z'+(1+\psi(t))z=0,\qquad \psi(t):=\frac14\bigl(\gamma_0^2-\gamma^2(t)-2\gamma'(t)\bigr).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Наиболее изучен консервативный случай $\gamma_0=0$ и $\psi(t)=\varepsilon\sin(\omega t)$, что соответствует изначальному уравнению Матье. Неустойчивость в этом уравнении вызвана так называемыми параметрическими резонансами, а зона неустойчивости (в которой имеются экспоненциально устойчивые/неустойчивые решения (2.2)) касается прямой $\varepsilon=0$ на плоскости параметров $(\omega,\varepsilon)$ в бесконечном числе точек $\omega=n/2$, $n\in\mathbb Z$, и формирует знаменитые языки Арнольда, см. [44], [51], [53]. При ненулевой диссипации $\gamma_0>0$ количество языков, пересекающих прямую $\varepsilon=\varepsilon_0>0$, становится конечным, но это число растет при $\gamma_0\to0$. Описанная выше картина устойчивости остается похожей для периодической функции $\psi$ общего вида, но существенно усложняется при нарушении условия периодичности (см. [52]). Таким образом, устойчивость решений уравнения (2.1) является весьма интересной и деликатной задачей, более или менее точное решение которой вряд ли может быть сформулировано в простом виде. Следующее предложение описывает альтернативный способ породить неустойчивость непосредственно в уравнении (2.1), который представляет независимый интерес. Рассмотрим класс функций
$$
\begin{equation*}
\Gamma_{a,b}:=\biggl\{\gamma\in L^1_{\mathrm{per}}(0,\pi),\ \int_0^{\pi}\gamma_+(t)\,dt=a,\ \int_0^{\pi}\gamma_-(t)\,dt=b\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $a,b\geqslant0$ – два заданных числа, $\gamma_+=\max\{\gamma,0\}$ и $\gamma_-=\gamma_+-\gamma$. Тогда справедлив следующий результат. Предложение 2.1. Пусть $\gamma\in \Gamma_{a,b}$, и пусть $\mu_+(\gamma)$ и $\mu_-(\gamma)$ – максимальный и минимальный показатели Ляпунова для уравнения (2.1) соответственно. Тогда Доказательство. Заметим прежде всего, что благодаря теореме Лиувилля поэтому необходимо проверить лишь первое равенство в (2.3). Начнем с оценки сверху. Умножив уравнение (2.1) на $y'(t)$, получим Интегрирование этой оценки дает и, следовательно, $\mu_+(\gamma)\leqslant b/\pi$.
Для получения оценки снизу мы используем явную конструкцию функции $\gamma_h(t)\in\Gamma_{a,b}$, зависящую от малого параметра $h$:
$$
\begin{equation}
\gamma_h(t)=\begin{cases} \dfrac{a}{h}, &t\in[0,h], \\ 0, &t\in\biggl(h,\dfrac{\pi}2\biggr)\cup\biggl(\dfrac{\pi}2+h,\pi\biggr), \\ -\dfrac{b}{h}, &t\in\biggl[\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2+h\biggr]. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Для нахождения показателей Ляпунова необходимо найти собственные значения отображения за период, связанный с нашим выбором функции $\gamma_h$. Обозначим через $U_h(t,s)$ разрешающую матрицу уравнения (2.1), т. е.
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} y(t)\\y'(t)\end{pmatrix}:=U_h(t,s)\begin{pmatrix} y(s)\\y'(s) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
разложим матрицу отображения за период следующим образом:
$$
\begin{equation*}
P(h)=U_h\biggl(\pi,\frac{\pi}2+h\biggr)U_h\biggl(\frac{\pi}2+h,\frac{\pi}2\biggr) U_h\biggl(\frac{\pi}2,h\biggr)U_h(h,0),
\end{equation*}
\notag
$$
и найдем предел $P(h)$ при $h\to0$. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
U_h\biggl(\frac{\pi}2,h\biggr)=U_h\biggl(\pi,\frac{\pi}2+h\biggr) =\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}+O(h),
\end{equation*}
\notag
$$
и что матрицы $U_h(h,0)$ и $U_h(\pi/2+h,\pi/2)$ совпадают с точностью до замены $a$ на $-b$. Наконец, как показывают непосредственные вычисления, использующие явную формулу для решений, и, следовательно, Таким образом, $\mu_+(\gamma_h)=b/{\pi}+O(h)$, и предложение доказано. Замечание 2.1. Используя энергетические аргументы, аналогичные изложенным при доказательстве оценки сверху, вместе с тем, что решение $y(t)$ не может быть тождественным нулем ни на каком интервале, можно показать, что ни супремум, ни инфимум в (2.3) не достигаются, если $ab\ne0$. Заметим также, что согласно доказанному результату каждый класс $\Gamma_{a,b}$ с $ab\ne0$ содержит хотя бы один элемент $\gamma$, дающий положительный показатель Ляпунова. 2.2. Суперлинейное обыкновенное уравнениеКак мы видим, условий на средние значения $\gamma_+$ и $\gamma_-$ недостаточно, чтобы исключить появление растущих решений в линейном случае. Неожиданно ситуация становится проще в случае нелинейного уравнения с суперлинейным ростом нелинейности. Как уже было отмечено в § 1, это связано с тем, что в отличие от линейного случая, частота внутренних колебаний растет с ростом энергии. Поэтому добавление энергии в систему разрушает механизм параметрического резонанса. Мы начнем с эвристического вывода диссипативной оценки, который будет обоснован позднее. Рассмотрим уравнение Если $\gamma=0$, то уравнение инвариантно относительно перенормировки $t\to tE^{-p/(2(p+2))}$, $u\to uE^{1/(p+2)}$, следовательно, $E$ и частота $\omega$ внутренних колебаний связаны соотношением а диссипативное слагаемое $\gamma y'$ будет порядка $E^{-p/(2(p+2))}$ в перенормированном времени, поэтому оно не может разрушить осцилляции решений (по крайней мере, если $\gamma$ остается ограниченным). Поэтому все решения уравнения (2.6) являются быстроосциллирующими по времени при больших энергиях.Выпишем теперь энергетическое равенство
$$
\begin{equation}
\frac d{dt} E(t):=\frac d{dt}\biggl(\frac12 y'(t)^2+\frac1{p+2}|y(t)|^{p+2}\biggr)=-\gamma(t) y'(t)^2.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Из этого равенства видно, что полная энергия $E(t)$ не осциллирует, более того, если фиксировать достаточно короткий интервал времени $t\in[0,\varepsilon]$, мы получим
$$
\begin{equation}
E(t)\approx E(0),\quad \text{т. е. }\quad |E(t)-E(0)|\leqslant C\varepsilon,\qquad t\in[0,\varepsilon].
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
В отличие от этого, как кинетическая $E_k(t):=|y'(t)|^2/2$, так и потенциальная $E_{p}(t):=E(t)-E_k(t)$ энергии являются быстроосциллирующими, поэтому правую часть (2.7) можно усреднить (если начальная энергия $E(0)$ достаточно велика, а $\varepsilon$ фиксировано), что дает
$$
\begin{equation}
E(\varepsilon)-E(0)=-\int_0^\varepsilon\gamma(t)y'(t)^2\,dt\approx -2\int_0^\varepsilon\gamma(t)\,dt\langle E_k\rangle,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где $\langle E_k\rangle:=(1/\varepsilon)\int_0^\varepsilon E_k(t)\,dt$ – среднее значение кинетической энергии на интервале $t\in[0,\varepsilon]$. Для нахождения этого среднего умножим уравнение (2.6) на $y(t)$ и проинтегрируем по времени:
$$
\begin{equation}
(p+2)\langle E_p\rangle-2\langle E_k\rangle=-\langle\gamma y'y\rangle+\frac{y'(0)y(0)-y'(\varepsilon)y(\varepsilon)}\varepsilon:=H.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Используя тот факт, что потенциальная энергия суперлинейна, с помощью неравенства Юнга и (2.8) нетрудно показать, что где $\beta>0$ произвольно, а $C_\beta$ не зависит от $E(0)$. Таким образом, при достаточно большой начальной энергии $E(0)$ справедливо соотношение
$$
\begin{equation*}
(p+2)\langle E_p\rangle\approx 2\langle E_k\rangle+C,\qquad C=C_{\beta,\varepsilon},
\end{equation*}
\notag
$$
которое вместе с нелинейным балансом энергии $\langle E_k\rangle+\langle E_p\rangle\approx E(0)$ дает фундаментальное соотношение
$$
\begin{equation}
\langle E_k\rangle\approx\frac{p+2}{p+4}\langle E\rangle+C \approx \frac{p+2}{p+4}E(0)+C.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Подставив это соотношение в тождество (2.9), получим
$$
\begin{equation*}
E(\varepsilon)\approx \biggl(1-\frac{2(p+2)}{p+4}\int_0^\varepsilon \gamma(t)\,dt\biggr)E(0)+C.
\end{equation*}
\notag
$$
Повторяя эти же аргументы на интервалах $t\in[n\varepsilon,(n+1)\varepsilon]$, мы, наконец, получаем соотношение
$$
\begin{equation}
E\bigl((n+1)\varepsilon\bigr)\approx \biggl(1-\frac{2(p+2)}{p+4}\int_{n\varepsilon}^{(n+1)\varepsilon} \gamma(t)\,dt\biggr)E(n\varepsilon)+C.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Если мы теперь предположим, что
$$
\begin{equation}
\lim_{\varepsilon\to0}\sup_{n\in\mathbb N} \int_{n\varepsilon}^{(n+1)\varepsilon}\gamma(t)\,dt=0
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
и
$$
\begin{equation}
\liminf_{T\to\infty}\inf_{t\geqslant0}\frac1T\int_t^{t+T}\gamma(s)\,ds>0,
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
можно зафиксировать $\varepsilon > 0$ достаточно малым и, используя, что $\ln(1+x)\approx x$, получить для некоторых положительных констант $\alpha$, $C$ и $C_*$. Это и дает искомую диссипативную оценку. Аналогично, если
$$
\begin{equation}
\limsup_{T\to\infty}\sup_{t\geqslant0}\frac1T\int_t^{t+T}\gamma(s)\,ds<0,
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
то решения уравнения (2.6) будут расти экспоненциально, если начальная энергия достаточно велика. Таким образом, среднее значение коэффициента диссипации действительно является определяющим в вопросе о том, будет ли соответствующее уравнение диссипативным. Замечание 2.2. Предположение (2.14) также является существенным для диссипативности. Действительно, оно гарантирует, что коэффициент диссипации не осциллирует слишком быстро и делает возможным осреднение по внутренним осцилляциям в энергетическом равенстве (в дальнейшем мы заменим его на чуть более сильное предположение о трансляционной компактности $\gamma$ в $L^1_b(\mathbb{R})$). Также нетрудно видеть, что если это условие нарушено, мы можем дестабилизировать уравнение (2.6) аналогично линейному случаю (см. доказательство предложения 2.1), но используя импульсы, расположенные в моменты времени ($t=t_n$) с параметрами $h=h_n$, зависящими от энергии неустойчивого решения, которое мы строим. Теперь мы готовы привести строгое доказательство диссипативности уравнения (2.6) при выполнении более сильного (чем (2.14)) предположения, что $\gamma$ имеет ограниченную производную, которое будет ослаблено в дальнейшем. Предложение 2.2. Пусть функция $\gamma(t)$ удовлетворяет (2.15), и пусть дополнительно Доказательство. Хотя эвристические аргументы, приведенные выше, также могут быть сделаны строгими, мы предпочитаем проверить (2.18) более простым способом, адаптируя соответствующим образом стандартные энергетические оценки. А именно, умножим уравнение (2.6) на $y'(t)+(2/(p+4))\gamma(t)y(t)$. Тогда после элементарных преобразований мы приходим к следующему соотношению:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac d{dt}\biggl(E(t)+\frac2{p+4}\gamma(t)y'(t)y(t)\biggr)+\frac{2(p+2)}{p+4}\gamma(t)E(t) \nonumber \\ &\qquad=\frac2{p+2}\bigl(\gamma'(t)-\gamma^2(t)\bigr)y'(t)y(t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Пусть $\mathcal E(t):=E(t)+(2/(p+4))\gamma(t)y'(t)y(t)$. Тогда, используя предположение (2.17) и тот факт, что $p>0$ (аналогично (2.11)), получим
$$
\begin{equation}
C_2(E(t)-1)\leqslant\mathcal E(t)\leqslant C_1 (E(t)+1)
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
для некоторых положительных $C_1$ и $C_2$, а также
$$
\begin{equation*}
\frac d{dt}\mathcal E(t)+\biggl(\frac{2(p+2)}{p+4}\gamma(t)-\kappa\biggr)\mathcal E(t)\leqslant C_\kappa,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\kappa>0$ произвольно. Интегрирование этого неравенства дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal E(t) &\leqslant \mathcal E(0)\exp\biggl\{-\int_0^t\biggl(2\frac{p+2}{p+4}\gamma(\tau)-\kappa\biggr)\,d\tau\biggr\} \nonumber \\ &\qquad+ C_\kappa\int_0^t\exp\biggl\{-\int_s^t\biggl(2\frac{p+2}{p+4}\gamma(\tau)-\kappa\biggr)\,d\tau \biggr\}\,ds. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Согласно условию (2.15) существуют $T>0$ и $\alpha>0$ такие, что
$$
\begin{equation*}
2\frac{p+2}{p+4}\int_s^{s+nT}\gamma(\tau)\,d\tau\geqslant 2\alpha nT,\qquad s\geqslant0,\quad n\in\mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с условием (2.17) это дает
$$
\begin{equation*}
2\frac{p+2}{p+4}\int_s^t\gamma(\tau)\,d\tau\geqslant 2\alpha(t-s)+C,\qquad t\geqslant s\geqslant0,
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого положительного $C$, которое не зависит от $t$ и $s$. Зафиксировав теперь $\kappa=\alpha$ и подставив эту оценку в (2.21), придем к желаемой оценке которая завершает доказательство предложения. 2.3. Нелинейное уравнение в частных производных. Ключевое наблюдениеМы возвращаемся к модельному уравнению в частных производных
$$
\begin{equation}
\partial_t^2 u+\gamma(t)\, \partial_t u-\Delta_x u+u|u|^p=0,\qquad x\in\Omega,\quad u\big|_{\partial\Omega}=0
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
в ограниченной области $\Omega$ пространства $\mathbb{R}^3$. Глобальная корректность этой задачи будет обсуждаться в следующем параграфе, а сейчас сконцентрируемся на условиях диссипативности. Аналогично случаю обыкновенного уравнения, формальное умножение этого уравнения на $\partial_t u$ и интегрирование по $x\in\Omega$ приводит к энергетическому равенству
$$
\begin{equation}
\frac d{dt}E(t):=\frac d{dt}\biggl(\frac12\|\partial_t u\|^2_{L^2}+\frac12\|\nabla_x u\|^2_{L^2}+\frac1{p+2}\|u\|_{L^{p+2}}^{p+2}\biggr)=-2\gamma(t)E_k(t),
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
где
$$
\begin{equation*}
E_k(t):=\frac12\|\partial_t u\|^2_{L^2},\qquad E_p(t):=\frac12\|\nabla_x u\|^2_{L^2}+\frac1{p+2}\|u\|^{p+2}_{L^{p+2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, рассуждая так же, как и в случае обыкновенного уравнения, мы приходим к соотношению
$$
\begin{equation}
E(\varepsilon)-E(0)\approx-2\biggl( \frac{\langle E_k\rangle}{\langle E\rangle}\int_0^\varepsilon\gamma(\tau)\,d\tau\biggr)E(0).
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Однако в отличие от обыкновенного уравнения потенциальная энергия $E_p$ больше не является однородной функцией $u$ (благодаря присутствию дополнительного квадратичного слагаемого $\|\nabla_x u\|^2_{L^2}$/2), поэтому отношение между усредненной кинетической и потенциальной энергией больше не является константой и может существенно зависеть от рассматриваемой траектории. Действительно, умножая уравнение (2.22) на $u$ и интегрируя по $x$ и $t$, мы приходим к следующему аналогу (2.10):
$$
\begin{equation*}
\langle\|u\|^{p+2}_{L^{p+2}}\rangle+\langle\|\nabla_x u\|^2_{L^2}\rangle-2\langle E_k\rangle=-\langle\gamma (\partial_t u,u)\rangle+\frac{(\partial_t u(0),u(0))-(\partial_t u(\varepsilon),u(\varepsilon))}\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
где $(f,g)$ обозначает стандартное скалярное произведение в $L^2(\Omega)$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
2\langle E_k\rangle\approx \langle\|\nabla_x u\|^2_{L^2}\rangle +\langle\|u\|^{p+2}_{L^{p+2}}\rangle.
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Используя соотношения
$$
\begin{equation*}
2\langle E_p\rangle\leqslant \langle\|\nabla_x u\|^2_{L^2}\rangle +\langle\|u\|^{p+2}_{L^{p+2}}\rangle \leqslant (p+2)\langle E_p\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к окончательной оценке
$$
\begin{equation}
\frac12 \lessapprox \frac{\langle E_k\rangle}{\langle E\rangle} \lessapprox \frac{p+2}{p+4}.
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Таким образом, при итерации оценки (2.24) в худшей ситуации отношение $\langle E_k\rangle/\langle E\rangle$ будет близко к $1/2$, когда $\gamma$ положительно, и к $(p+2)/(p+4)>1/2$, когда $\gamma$ отрицательно. По этой причине условие диссипативности (2.15) естественно заменяется на более сильное:
$$
\begin{equation}
\liminf_{T\to\infty}\inf_{t\geqslant0}\frac1T\int_t^{t+T} \biggl(\frac12\gamma(s)_+-\frac{p+2}{p+4}\gamma(s)_-\biggr)\, ds>0,
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
которое совпадает с условием, сформулированным в § 1. Замечание 2.3. С одной стороны, мы не знаем, как построить явный пример, который бы показал, что условия (2.15) недостаточно для диссипативности уравнения (2.22). С другой стороны, мы не видим никакого механизма, который помешал бы реализовываться худшему сценарию, описанному выше. Действительно, оценка снизу в (2.26) “достигается”, если слагаемое $\langle\|\nabla_x u\|_{L^2}^2\rangle$ в усредненной потенциальной энергии является доминирующим (т. е. если решение быстро осциллирует по пространству и остается не очень большим по амплитуде). Для достижения верхней оценки необходимо найти большое по амплитуде решение, которое осциллирует не очень сильно по пространству (в этом случае слагаемое $\langle\|u\|^{p+2}_{L^{p+2}}\rangle$ будет доминирующим). Решения этих двух различных типов могут быть построены в гамильтоновом случае $\gamma=0$ (например, в классе периодических по времени решений, используя технику теории возмущений). Если мы дополнительно предположим, что эта гамильтонова система является хаотической на каждом уровне энергии $E$, тогда худший сценарий становится естественным. По этой причине мы и предполагаем, что условия (2.15) недостаточно для диссипативности, и что оно должно быть заменено на (2.27). § 3. Постановка задачи и диссипативностьВ этом параграфе мы напомним известные факты о существовании и единственности решений диссипативного волнового уравнения и дадим строгое доказательство диссипативной оценки, которая обсуждалась в § 2. Напомним, что рассматривается волновое уравнение
$$
\begin{equation}
\partial_t^2u+\gamma(t)\, \partial_t u-\Delta_x u+f(u)=g, \qquad u\big|_{\partial\Omega}=0,\quad u\big|_{t=\tau}=u_\tau,\quad \partial_t u\big|_{t=\tau}=u'_\tau
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
в ограниченной области $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ с гладкой границей. Предполагается, что $g\in L^2(\Omega)$, и что нелинейность $f\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$ имеет следующую структуру:
$$
\begin{equation}
f(u)=u|u|^p+f_0(u),\qquad \lim_{|u|\to\infty}\frac{|f_0'(u)|}{|u|^{p}}=0,\quad f_0(0)=0,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
для некоторого $p>0$. Таким образом, главный член нелинейности имеет вид $u|u|^p$, что совпадает со случаем, рассмотренным в § 2. Коэффициент диссипации $\gamma$ предполагается принадлежащим равномерно локальному пространству $L^1_b(\mathbb{R})$:
$$
\begin{equation}
\gamma\in L^1_b(\mathbb{R}),\qquad \|\gamma\|_{L^1_b}:=\sup_{t\in\mathbb{R}}\|\gamma\|_{L^1((t,t+1))}<\infty,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
и являющимся трансляционно компактным в нем, т. е.
$$
\begin{equation}
\gamma\in L^1_{\textrm{tr-c}}(\mathbb{R}):=[C^\infty_b(\mathbb{R})]_{L^1_b(\mathbb{R})},
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где $[\,\cdot\,]$ обозначает замыкание. Напомним, что функция $\gamma\in L^1_b(\mathbb{R})$ трансляционно компактна, если и только если она обладает равномерным $L^1$-модулем непрерывности:
$$
\begin{equation}
\lim_{h\to0}\sup_{t\in\mathbb{R}}\int_t^{t+1}|\gamma(\tau+h)-\gamma(\tau)|\,d\tau=0
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
(подробнее см. в [16]). Кроме того, предполагается, что выполнен следующий равномерный аналог условия диссипативности (2.27):
$$
\begin{equation}
\liminf_{T\to\infty}\inf_{t\in\mathbb{R}}\frac1T\int_t^{t+T} \biggl(\frac12\gamma_+(s)-\frac{p+2}{p+4}\gamma_-(s)\biggr)\, ds>0.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Как обычно, обозначим $\xi_u(t):=\{u(t),\partial_t u(t)\}$ и рассмотрим энергетическое пространство
$$
\begin{equation*}
E:=[H^1_0(\Omega)\cap L^{p+2}(\Omega)]\times L^2(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $H^1_0(\Omega)$ обозначает обычное пространство Соболева $H^1(\Omega)$ с дополнительным условием $u\big|_{\partial\Omega}=0$. Начнем с определения энергетических решений задачи (3.1). Определение 3.1. Функция $u(t)$, $t\geqslant\tau$, является слабым энергетическим решением задачи (3.1), если и уравнение удовлетворяется в смысле обобщенных функций. Последнее означает, что для любой тестовой функции $\varphi\in C_0^\infty((\tau,\infty)\times\Omega)$, Известно, что рассматриваемая задача корректна в классе энергетических решений при $p\leqslant2$. В случае $2<p\leqslant4$ задача остается корректной в слегка более сильном классе решений, который базируется на так называемых оценках Штрихарца. Определение 3.2. Слабое энергетическое решение $u(t)$ называется решением Шата–Штруве (ШШ-решением), если дополнительно Известные результаты о существовании и единственности решений задачи (3.1) собраны в следующем предложении. Предложение 3.1. Пусть функции $f$ и $\gamma$ удовлетворяют сформулированным выше условиям, и пусть $\xi_u(\tau):=\{u_\tau,u'_\tau\}\in E$. Тогда справедливо следующее. 1) Существует хотя бы одно слабое энергетическое решение задач (3.1) (вне зависимости от значения экспоненты $p$). 2) Пусть дополнительно $0\leqslant p\leqslant2$. Тогда слабое энергетическое решение единственно, функция
$$
\begin{equation*}
t\to\|\xi_u(t)\|_{\mathcal E}^2:=\frac12\|\partial_t u(t)\|^2_{L^2}+\frac12\|\nabla_x u(t)\|^2_{L^2}+(F(u(t)),1)
\end{equation*}
\notag
$$
абсолютно непрерывна по времени (здесь и далее $F(u):=\int_0^uf(v)\,dv$), и энергетическое равенство
$$
\begin{equation*}
\frac d{dt}\|\xi_u(t)\|^2_{\mathcal E}=-\gamma(t)\|\partial_t u(t)\|^2_{L^2}
\end{equation*}
\notag
$$
выполнено для почти всех $t$. 3) Пусть $0\leqslant p\leqslant 4$. Тогда существует единственное ШШ-решение задачи (3.1). Это решение также удовлетворяет энергетическому равенству в указанном выше смысле. Замечание 3.1. Действительно, доказательство первого утверждения является стандартным упражнением на применение метода аппроксимаций Галёркина, и может быть найдено, например, в [16]. Второе утверждение также является классическим (см. [15], [16] и цитируемую там литературу). Третье утверждение является более деликатным. Локальное существование ШШ-решений доказывается с помощью аргументов теории возмущений на основе оценок Штрихарца для линейного уравнения. А именно, пусть $V$ решает
$$
\begin{equation*}
\partial_t^2V-\Delta_x V=h(t),\qquad V\big|_{\partial\Omega}=0,\quad \xi_v\big|_{t=0}=\xi_0
\end{equation*}
\notag
$$
с $\xi_0\in E:=H_0^1(\Omega)\times L^2(\Omega)$ и $h\in L^1(0,T;L^2(\Omega))$. Тогда
$$
\begin{equation}
\|\xi_V\|_{C(0,T;E)}+\|V\|_{L^4(0,T;L^{12}(\Omega))}\leqslant C_T(\|\xi_0\|_{E}+\|h\|_{L^1(0,T;L^2(\Omega))})
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
(подробнее см. в [21]). Здесь и далее мы будем использовать тот факт, что благодаря вложению Соболева $H^1\subset L^6$ и предположению $p\leqslant4$ не требуется включать пространство $L^{p+2}$ в определение энергетического пространства $E$. Поэтому будем использовать упрощенную версию энергетической нормы
$$
\begin{equation*}
\|\xi_u(t)\|_{E}^2: =\frac12\|\partial_t u(t)\|^2_{L^2}+\frac12\|\nabla_x u(t)\|^2_{L^2},
\end{equation*}
\notag
$$
тогда как обозначение $\|\xi_u(t)\|^2_{\mathcal E}$ будет использоваться для полной энергии (включая $L^{p+2}$-норму). В субкритическом случае $p<4$ глобальная разрешимость в классе ШШ-решений непосредственно следует из локальной разрешимости и так называемой оценки Штрихарца через энергию для ШШ-решений уравнения (3.1):
$$
\begin{equation}
\|u\|_{L^4(t,t+1;L^{12})}\leqslant Q(\|\xi_u(t)\|_E)+Q(\|g\|_{L^2}),
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
где $Q$ – некоторая монотонная функция, которая не зависит от $u$ и $t$. Эта оценка (которая также следует из оценки Штрихарца (3.9) с помощью методов теории возмущений, см., например, [33]) является критичной для теории, так как позволяет контролировать норму Штрихарца с помощью энергетической нормы. В частности, диссипативность в норме Штрихарца получается задаром, если мы докажем диссипативность в энергетической норме. Мы существенно используем это наблюдение в следующем параграфе. Отметим также, что в субкритическом случае $p<4$ функция $Q(z)$ является полиномом по $z$: где экспонента $N_p$ может неограниченно расти, когда $p\to4$.Отметим однако, что оценка Штрихарца через энергию (3.10) является проблемой в критическом случае $p=4$. Насколько нам известно, она доказана только для случая периодических граничных условий, а вопрос о ее справедливости для других граничных условий остается открытым (см. [34]). Поэтому глобальное существование ШШ-решений в критическом случае доказывается с помощью так называемого неравенства Похожаева–Моравец и соответствующих аргументов отсутствия концентрации (см. [9], [10], [12]). Отметим, что в отличие от субкритического случая, эти аргументы дают только глобальное существование ШШ-решений без каких-либо количественных оценок на норму Штрихарца. В частности, эта норма может априори неконтролируемо расти при $t\to\infty$, что не позволяет строить соответствующую теорию аттракторов. В настоящее время данная проблема решена только в автономном случае (см. [33]). По этой причине мы строим теорию аттракторов для уравнения (3.1) только для субкритического случая $p<4$ (см. [19] по поводу единственности энергетических решений при $p<4$ во всем пространстве). Наконец, справедливость энергетического тождества для ШШ-решений и их единственность (при $p\leqslant4$) доказывается стандартным образом (см., например, [33]). Отметим, что единственность энергетических решений при $p>2$ и ШШ-решений при $p>4$ в настоящее время не доказана. Следствие 3.1. Пусть $0<p\leqslant 4$, и функции $\gamma$ и $f$ удовлетворяют перечисленным выше условиям. Тогда уравнение (3.1) определяет динамический процесс $U_\gamma(t,\tau)$, $t\geqslant\tau$, в энергетическом пространстве $E$ по формуле Теперь мы готовы сформулировать и доказать основной результат этого параграфа. Теорема 3.1. Пусть функции $f$, $\gamma$ и $g$ удовлетворяют предположениям, сформулированным в начале параграфа, и пусть $p\leqslant4$. Тогда для ШШ-решений уравнения (3.1) справедлива следующая оценка: для некоторых положительных констант $C$ и $\alpha$, которые не зависят от $\tau\in\mathbb{R}$, $t\geqslant \tau$ и $\xi_u(\tau)$. Доказательство. Сначала используем тот факт, что $\gamma$ трансляционно компактна в $L^1_b(\mathbb{R})$, и, следовательно, для любого $\varepsilon>0$ мы можем найти функцию $\overline\gamma\in C^1_b(\mathbb{R})$ такую, что Эта функция может быть построена, используя свертку со стандартными усредняющими ядрами: где ядро $k\in C_0^\infty(\mathbb{R}_+)$ такое, что $\int_0^\infty k(s)\,ds=1$, а $\nu=\nu(\varepsilon)$ достаточно мало.
Отметим также, что функция $\overline\gamma$ тоже удовлетворяет (3.6), если $\varepsilon>0$ достаточно мало. Более того, так как $p\leqslant4$, ШШ-решение удовлетворяет энергетическому равенству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac d{dt}\biggl(\frac12\|\partial_t u\|^2_{L^2}+\frac12\|\nabla_x u\|^2_{L^2}+\frac1{p+2}\|u\|^{p+2}_{L^{p+2}}+(F_0(u(t)),1)\biggr) \nonumber \\ &\qquad+\overline\gamma(t)\|\partial_t u\|^2_{L^2}=-\widetilde\gamma(t)\|\partial_t u\|^2_{L^2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
где $\widetilde\gamma(t):=\gamma(t)-\overline\gamma(t)$ и $F_0(u):=\int_0^uf_0(v)\,dv$. На следующем шаге мы умножим уравнение (3.1) на $(1/2)\overline\gamma_+(t)u-(2/(p+4))\overline\gamma_-(t)u$, что даст
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac d{dt}\biggl(\biggl(\frac12\,\overline\gamma_+(t)-\frac2{p+4}\overline\gamma_-(t)\biggr)(\partial_t u,u)\biggr)-\biggl(\frac12\,\overline\gamma_+(t)-\frac2{p+4}\overline\gamma_-(t)\biggr) \|\partial_t u\|^2_{L^2} \nonumber \\ &\qquad\qquad+\biggl(\frac12\,\overline\gamma_+(t)-\frac2{p+4}\overline\gamma_-(t)\biggr) \bigl(\|\nabla_x u\|^2_{L^2}+\|u\|^{p+2}_{L^{p+2}}\bigr) \nonumber \\ &\qquad=\biggl(\frac12\,\overline\gamma_+(t)-\frac2{p+4}\overline\gamma_-(t)\biggr) \bigl((g,u)-(f_0(u),u)-\gamma(t)(\partial_t u,u)\bigr) \nonumber \\ &\qquad\qquad+\biggl(\frac12\,\overline\gamma_+^{\,\prime}(t) -\frac2{p+4}\overline\gamma_-^{\,\prime}(t)\biggr) (\partial_t u,u):=H_u(t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Аналогично (2.25), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 2\biggl(\frac12\|\nabla_x u\|^2_{L^2} +\frac1{p+2}\|u\|^{p+2}_{L^{p+2}}\biggr) &\leqslant \|\nabla_x u\|^2_{L^2}+\|u\|^{p+2}_{L^{p+2}} \\ &\leqslant(p+2)\biggl(\frac12\|\nabla_x u\|^2_{L^2}+\frac1{p+2}\|u\|^{p+2}_{L^{p+2}}\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, используя то, что $\overline\gamma_\pm(t)\geqslant0$ и $\overline\gamma_+(t)\overline\gamma_-(t)\equiv0$, получим
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac12\,\overline\gamma_+(t)-\frac2{p+4}\overline\gamma_-(t)\biggr) \bigl(\|\nabla_x u\|^2_{L^2}+\|u\|^{p+2}_{L^{p+2}}\bigr) \geqslant 2\biggl(\frac12\,\overline\gamma_+(t) -\frac{p+2}{p+4}\overline\gamma_-(t)\biggr) E_p(t)
\end{equation*}
\notag
$$
с $E_p(t):=(1/2)\|\nabla_x u\|^2_{L^2}+(1/(p+2))\|u\|^{p+2}_{L^{p+2}}$. Суммируя (3.17) и (3.16) и используя, что $\overline\gamma(t) =\overline\gamma_+(t)-\gamma_-(t)$, мы получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac d{dt}\mathcal E_u(t)+ 2\biggl(\frac12\,\overline\gamma_+(t)-\frac{p+2}{p+4}\overline\gamma_-(t)\biggr) \nonumber \\ &\qquad\times \biggl(\frac12\|\partial_t u\|^2_{L^2}+\frac12\|\nabla_x u\|^2_{L^2}+\frac1{p+2}\|u\|^{p+2}_{L^{p+2}}\biggr) \leqslant H_u(t)-\widetilde\gamma(t)\|\partial_t u\|^2_{L^2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal E_u(t) &:=\frac12\|\partial_t u\|^2_{L^2}+\frac12\|\nabla_x u\|^2_{L^2}+\frac1{p+2}\|u\|^{p+2}_{L^{p+2}} \\ &\qquad+\bigl(F_0(u(t)),1\bigr)+ \biggl(\frac12\,\overline\gamma_+(t) -\frac2{p+4}\overline\gamma_-(t)\biggr)(\partial_t u,u). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\overline\gamma\in C^1_b(\mathbb{R})$, $p>0$, и $F_0(u)$ подчинена $u|u|^p$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac12\biggl(\frac12\|\partial_t u\|^2_{L^2}+\frac12\|\nabla_x u\|^2_{L^2}+\frac1{p+2}\|u\|^{p+2}_{L^{p+2}}\biggr)-C_\varepsilon \nonumber \\ &\qquad\leqslant\mathcal E_u\leqslant 2\biggl(\frac12\|\partial_t u\|^2_{L^2}+\frac12\|\nabla_x u\|^2_{L^2}+\frac1{p+2}\|u\|^{p+2}_{L^{p+2}}\biggr)+C_\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Аналогично, используя снова предположение $p>0$ и подчиненность $f_0$ функции $u|u|^p$, мы можем оценить слагаемое $H_u(t)$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H_u(t) &\leqslant C_\varepsilon\bigl(|(|g|,|u|)+|(f_0(u)),u)|+(1+|\gamma(t))|(|\partial_t u|,|u|)\bigr) \nonumber \\ &\leqslant \kappa\bigl(|\gamma(t)|+1\bigr)\mathcal E_u(t) +C_{\kappa,\varepsilon}\bigl(1+|\gamma(t)|+\|g\|^2_{L^2}\bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
где $\varepsilon>0$ и $\kappa>0$ могут быть выбраны сколь угодно малыми. Подставив полученные оценки в (3.18), приходим к
$$
\begin{equation}
\frac d{dt}\mathcal E(t)+\beta_\varepsilon(t)\mathcal E(t)\leqslant C_{\kappa,\varepsilon}\bigl(1+\|g\|^2_{L^2}+|\gamma(t)|\bigr),
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
где
$$
\begin{equation}
\beta_\varepsilon(t):=2\biggl(\frac12\,\overline\gamma_+(t)-\frac{p+2}{p+4}\overline\gamma_-(t) -|\widetilde\gamma(t)|-\kappa|\gamma(t)|-\kappa\biggr).
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Благодаря тому, что $\gamma\in L^1_b(\mathbb{R})$ удовлетворяет (3.6), и $\widetilde \gamma$ – величина порядка $\varepsilon$ (см. (3.14)), мы можем фиксировать положительные константы $\varepsilon$ и $\kappa$ таким образом, чтобы предположение (3.6) оставалось верным и для функции $\beta_\varepsilon(t)$. А именно,
$$
\begin{equation*}
\liminf_{T\to\infty}\frac1T\inf_{t\in\mathbb{R}}\int_{t}^{t+T}\beta_\varepsilon(s)\,ds>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично доказательству предложения 2.2, это дает
$$
\begin{equation}
\int_s^t\beta_\varepsilon(\tau)\,d\tau\geqslant 2\alpha(t-\tau)+C,\qquad t\geqslant s,
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
где положительные константы $\alpha$ и $C$ не зависят от $t$ и $\tau$. Проинтегрировав неравенство (3.21) по времени, получим
$$
\begin{equation}
\mathcal E(t)\leqslant \mathcal E(\tau)\exp\biggl\{-\int_\tau^t\beta_\varepsilon(s)\,ds\biggr\}+ C\int_\tau^t(1+\|g\|^2+|\gamma(s)|)\exp\biggl\{-\int_s^t\beta_\varepsilon(l)\,dl\biggr\}\,ds,
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
что вместе с (3.23) дает искомую оценку (3.13) и заканчивает доказательство теоремы. Замечание 3.2. Как видно из доказательства, ни тот факт, что область $\Omega$ трехмерна, ни ограничения сверху на показатель роста $p$ нигде существенно не использованы при выводе диссипативной оценки. На самом деле эти предположения введены только для того, чтобы иметь глобальную корректность задачи и энергетическое равенство. Таким образом, оба этих ограничения могут быть устранены, но тогда мы не сможем проверить диссипативную оценку для всех энергетических (или ШШ) решений, а сможем лишь утверждать, что для любых начальных данных из энергетического пространства существует решение, которое удовлетворяет диссипативной оценке. Следствие 3.2. Пусть выполнены предположения теоремы 3.1, и пусть дополнительно $p<4$. Тогда в дополнении к (3.13) мы также имеем диссипативность для нормы Штрихарца. А именно, для любого ШШ-решения $u(t)$ уравнения (3.1) справедлива следующая оценка: для некоторой положительной константы $\alpha$ и монотонной функции $Q$. Действительно, оценка (3.25) следует из (3.13) и оценки Штрихарца через энергию (3.10). Следствие 3.3. Пусть выполнены предположения следствия 3.2. Тогда динамический процесс $U(t,\tau)$ является липшиц-непрерывным на ограниченных множествах пространства $E$. А именно, для любых двух ШШ-решений $u(t)$ и $v(t)$ уравнения (3.1), справедлива следующая оценка: Доказательство. Пусть $w(t):=u(t)-v(t)$. Тогда эта функция удовлетворяет
$$
\begin{equation}
\partial_t^2 w+\gamma(t)\, \partial_t w-\Delta_x w+l(t)w=0, \qquad \xi_w\big|_{t=\tau}=\xi_u(\tau)-\xi_v(\tau),
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
где $l(t):=\int_0^1f'(su(t)+(1-s)v(t))\,ds$. Так как и $u$ и $v$ удовлетворяют энергетическому равенству, мы можем умножить это уравнение на $\partial_t w$ и проинтегрировать по $x\in\Omega$, что даст
$$
\begin{equation*}
\frac12\frac d{dt}(\|\partial_t w\|^2_{L^2}+\|\nabla_x w\|^2_{L^2})=-\gamma(t)\|\partial_t w\|^2_{L^2}-\bigl(l(t)w,\partial_t w\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
и нам лишь необходимо оценить последнее слагаемое в правой части этого равенства. Так как $f'(u)$ растет как $|u|^p$ с $p<4$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigl(l(t)w,\partial_t w\bigr) &\leqslant\|l(t)\|_{L^3}\|w\|_{L^6}\|\partial_t w\|_{L^2} \nonumber \\ &\leqslant C\bigl(1+\|u(t)\|^4_{L^{12}}+\|v\|^4_{L^{12}}\bigr)(\|\partial_t w\|^2+\|\nabla_x w\|^2) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac12\frac d{dt}(\|\partial_t w\|^2_{L^2}+\|\nabla_x w\|^2_{L^2}) \nonumber \\ &\qquad\leqslant \bigl(|\gamma(t)|+C(1+\|u(t)\|^4_{L^{12}}+\|v\|^4_{L^{12}})\bigr) (\|\partial_t w\|^2_{L^2}+\|\nabla_x w\|^2_{L^2}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Интегрируя это неравенство и используя оценку (3.25) вместе с тем, что $\gamma\in L^1_b(\mathbb{R})$, мы придем к (3.26) и завершим доказательство следствия. § 4. Асимптотическая регулярностьВ этом параграфе мы докажем, что аналогично случаю постоянной диссипации имеет место асимптотическое свойство сглаживания для ШШ-решений уравнения (3.1). А именно, разобьем решение $u(t)$ этого уравнения на две части: где $w(t)$ более регулярно, а $v(t)$ экспоненциально убывает. Однако, в отличие от стандартного случая, мы не можем взять в качестве $v$ решение линейного уравнения с $f=g=0$ (как показано в § 2, это решение может быть неустойчивым) и должны действовать более аккуратно. Ключевым техническим средством для этого является следующее предложение. Предложение 4.1. Пусть функция $\gamma(t)$ удовлетворяет (3.3), (3.4) и (3.6) с $p=0$. Предположим также, что $h\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R},L^2(\Omega))$. Тогда существует положительная константа $L=L(\gamma)$ такая, что энергетическое решение $v(t)$ уравнения Доказательство. Заметим, прежде всего, что достаточно доказать диссипативную оценку (4.2) только для энергетической нормы. Оценка нормы Штрихарца будет следовать тогда из оценки (3.9). Более того, достаточно проверить (4.2) только для случая $h=0$, общий случай следует тогда из формулы вариации постоянных.
Аналогично доказательству теоремы 3.1, разобьем функцию $\gamma(t):=\overline\gamma(t)+\widetilde \gamma(t)$, где $\overline\gamma\in C^1_b(\mathbb{R})$, а $\widetilde\gamma$ удовлетворяет (3.14). Умножив уравнение (4.1) на $\partial_t u+(1/2)\overline\gamma u$, после элементарных преобразований получим
$$
\begin{equation}
\frac d{dt}\mathcal E_v(t)+\overline\gamma(t)\mathcal E_v(t)=H_v(t),
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathcal E_v(t):=\frac12\|\partial_t v\|^2_{L^2}+\frac12\|\nabla_x v\|^2_{L^2}+\frac L2\|v\|^2_{L^2}+\frac12\,\overline\gamma(t)(\partial_t v,v)
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
H_v(t):=\frac12\,\overline\gamma^{\,\prime}(t)(\partial_t v,v) +\frac12\,\overline\gamma^{\,2}(t)(\partial_t v,v)-\widetilde\gamma(t)\|\partial_t v\|^2_{L^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\overline\gamma$ глобально ограничено, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac12\biggl(\frac12\|\partial_t v\|^2_{L^2}+\frac12\|\nabla_x v\|^2_{L^2}+\frac L2\|v\|^2_{L^2}\biggr) \nonumber \\ &\qquad\leqslant \mathcal E_v(t)\leqslant 2\biggl(\frac12\|\partial_t v\|^2_{L^2}+\frac12\|\nabla_x v\|^2_{L^2}+\frac L2\|v\|^2_{L^2}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
если $L>L_0:=L_0(\varepsilon)$. Аналогично, так как $\overline\gamma$ и $\overline\gamma^{\,\prime}$ ограничены, для любого $\kappa>0$ существует $L_0=L_0(\kappa,\varepsilon)$ такое, что
$$
\begin{equation*}
H_v(t)\leqslant \kappa\mathcal E_v(t)+2|\widetilde\gamma(t)| \mathcal E_v(t)
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\frac d{dt}\mathcal E_v(t)+\bigl(\overline\gamma(t)-\kappa-2|\widetilde\gamma(t)|\bigr) \mathcal E_v(t)\leqslant0
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
при $L>L_0(\kappa,\varepsilon)$. Зафиксировав $\kappa>0$ и $\varepsilon>0$ достаточно малыми, чтобы
$$
\begin{equation*}
\liminf_{T\to\infty}\frac1{T}\inf_{\tau\in\mathbb{R}}\int_\tau^{\tau+T} \bigl(\overline\gamma(t)-\kappa-2|\widetilde\gamma(t)|\bigr)\,dt>0
\end{equation*}
\notag
$$
и проинтегрировав оценку (4.5) по времени, мы придем к желаемой оценке для нормы энергии, что заканчивает доказательство предложения. Теперь мы готовы сформулировать и доказать основной результат этого параграфа о существовании гладкого экспоненциально притягивающего множества для динамического процесса, порожденного уравнением (3.1). К сожалению, мы не можем сделать это для нелинейности пятой степени, поэтому вынуждены наложить дополнительное ограничение субкритичности: Теорема 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.1, и пусть нелинейность $f$ субкритична ($p<4$). Тогда, если $R=R(\gamma,f,g)$ достаточно большое, замкнутый шар $\mathcal B_R^1$ радиуса $R$ в пространстве Доказательство. Используем стандартную схему пошагового улучшения гладкости вместе с транзитивностью экспоненциального притяжения (см., например, [60]). Пусть $G=G(x)$ решает эллиптическую задачу Тогда согласно эллиптической регулярности $G\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ и Пусть $\xi_u(t):=U_\gamma(t,\tau)\xi_\tau$ – решение уравнения (3.1). Тогда без ограничения общности можно считать, что $\xi_\tau$ принадлежит равномерно поглощающему шару $\mathcal B^0_R$ пространства $E$. Такой шар существует благодаря оценке (3.13). Таким образом, используя также (3.25), мы можем предположить без потери общности, что
$$
\begin{equation}
\|\xi_u(t)\|^2_E+\int_t^{t+1}\|u(s)\|^4_{L^{12}}\,ds\leqslant Q(\|g\|_{L^2}).
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Пусть $v(t)$ решает линейную задачу
$$
\begin{equation}
\partial_t^2 v+\gamma(t)\, \partial_t v-\Delta_x v+Lv=0,\qquad \xi_v\big|_{t=\tau}=\{u(\tau)-G,\partial_t u(\tau)\},
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
где $L>0$ выбрано так, чтобы выполнялись условия предложения 4.1, а остаток $w(t)$ удовлетворяет
$$
\begin{equation}
\partial_t^2 w+\gamma(t)\,\partial_t w-\Delta_x w+Lw =-f(u(t))+L(u(t)-G):=h_u(t),\qquad \xi_w\big|_{t=\tau}=0.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Тогда, очевидно, $u(t)=v(t)+G+w(t)$. Более того, согласно предложению 4.1
$$
\begin{equation}
\|\partial_t v(t)\|^2_{L^2}+\|\nabla_x v(t)\|^2_{L^2}\leqslant Ce^{-\alpha (t-\tau)},
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
где положительные константы $C$ и $\alpha$ не зависят от $\xi_\tau\in \mathcal B^0_R$ и $t\geqslant\tau$. Для получения оценки более гладкой компоненты $w$ мы используем тот факт, что $|f'(u)|\leqslant C(1+|u|^p)$ с $p<4$. Действительно, согласно интерполяционному неравенству
$$
\begin{equation*}
\|f(u)\|_{L^2}\leqslant C(1+\|u\|_{L^{10}}^5)\leqslant C(1+\|u\|^4_{L^{12}}\|u\|_{L^6})\leqslant C_1(1+\|u\|^4_{L^{12}})
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\|f(u)\|_{L^1(t,t+1;L^2)}\leqslant C,\qquad t\geqslant\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, используя неравенство Гёльдера,
$$
\begin{equation}
\|\nabla_x f(u)\|_{L^\kappa}=\|f'(u)\nabla_x u\|_{L^\kappa}\leqslant C\|(1+|u|^p)|\nabla_x u|\|_{L^\kappa}\leqslant C(1+\|u\|_{L^{12}}^p)\|\nabla_x u\|_{L^2},
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
где $1/\kappa=1/2+p/12$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\|f(u)\|_{L^1(t,t+1;W^{1,\kappa})}\leqslant C,\qquad t\geqslant\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя вложение $W^{1,\kappa}\subset H^\beta$, где $1/2=1/\kappa-(1-\beta)/3$, т. е. мы приходим к оценке
$$
\begin{equation}
\|f(u)\|_{L^1(t,t+1;H^\beta)}\leqslant C,\qquad t\geqslant\tau.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Применив теперь оператор $(-\Delta_x)^{\beta/2}$ к обоим частям уравнения (4.10) и использовав предложение 4.1, получим
$$
\begin{equation}
\|\partial_t w(t)\|_{H^\beta}^2+\|\nabla_x w(t)\|^2_{H^{\beta}}\leqslant C,
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
где мы также неявно использовали оценку
$$
\begin{equation*}
\|L(u-G)\|_{L^1(t,t+1;H^1)}\leqslant C,\qquad t\geqslant\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценки (4.11) и (4.14) показывают, что шар $\mathcal B^\beta_R$ в более гладком энергетическом пространстве является равномерно экспоненциально притягивающим для динамического процесса $U_\gamma(t,\tau)$. Таким образом, первый (и, в некотором смысле, наиболее сложный) шаг доказательства завершен.
Для инициализации следующего шага заметим, что, если взять $\xi_u(\tau)\in \mathcal B_R^\beta$ с самого начала, можно также применить оператор $(-\Delta_x)^{\beta/2}$ к уравнению для $v(t)$ и получить
$$
\begin{equation*}
\|\partial_t v(t)\|^2_{H^\beta}+\|\nabla_x v(t)\|^2_{H^\beta}\leqslant Ce^{-\alpha(t-\tau)},\qquad t\geqslant\tau,
\end{equation*}
\notag
$$
что вместе с (4.14) показывает, что динамический процесс $U_\gamma(t,\tau)$ корректно определен и диссипативен в более гладком пространстве $E^\beta$. В частности, теперь мы контролируем градиент решения $\nabla_x u(t)$ не только в $L^2$, но и в более гладком пространстве $H^\beta$. Благодаря вложению Соболева, это позволяет контролировать норму $\nabla_x u$ в пространстве $L^q$ с $1/q=1/2-\beta/3$. В свою очередь, рассуждая как и прежде, но используя эту улучшенную оценку для $\nabla_x u$, мы улучшаем также оценку (4.13): где Это дает нам аналог оценки (4.14), в которой $\beta$ заменено на $\beta_1>\beta$. Таким образом, динамический процесс $U_\gamma(t,\tau)$, определенный в $\mathcal B_R^\beta$, обладает экспоненциально притягивающим шаром $\mathcal B^{\beta_1}_R$ в пространстве $E^{\beta_1}$, если $R$ достаточно большое. Более того, так как $U_\gamma(t,\tau)$ глобально липшицевы в $\mathcal B^0_R$ (см. следствие 3.3), транзитивность экспоненциального притяжения показывает, что $\mathcal B^{\beta_1}_R$ – равномерно экспоненциально притягивающее множество и для процесса $U_\gamma(t,\tau)$, действующего в исходном фазовом пространстве.
Наконец, итерируя описанную выше процедуру, мы придем к экспоненциально притягивающему шару в $E^1$, который соответствует значению $\beta=1$. Действительно, из (4.16) мы можем заключить, что $\beta_n=n(1-p/4)$, а это гарантирует, что мы достигнем значения $\beta=1$ за конечное число шагов. Теорема доказана. § 5. АттракторыВ этом параграфе мы используем результаты, полученные выше, для построения глобальных и экспоненциальных аттракторов для динамического процесса $U_\gamma(t,\tau)$, порождаемого уравнением (3.1). Предположения, наложенные в § 3 на неавтономный символ $\gamma(t)$ этого уравнения, хорошо приспособлены к использованию так называемого равномерного аттрактора. Для его построения, следуя общей схеме (см. [16]), необходимо рассмотреть не только исходное (3.1), но также все его сдвиги по времени и их пределы в соответствующей топологии. А именно, нужно рассмотреть оболочку $\mathcal H(\gamma)$ исходного символа $\gamma$, определяемую следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mathcal H(\gamma):=[T_h\gamma,\, h\in\mathbb{R}]_{L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})},\qquad (T_h\gamma)(t):=\gamma(t+h).
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Тогда, очевидно, Более того, так как $\gamma$ трансляционно компактна, оболочка $\mathcal H(\gamma)$ является компактным множеством в $L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$ (см. [16]). С этого момента мы наделяем оболочку $\mathcal H(\gamma)$ топологией пространства $L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$ и не будем рассматривать другие топологии на этой оболочке. Для любого $\eta\in\mathcal H(\gamma)$ рассмотрим соответствующее волновое уравнение
$$
\begin{equation}
\partial_t^2u+\eta(t)\, \partial_t u-\Delta_x u+f(u)=g,\qquad u\big|_{\partial\Omega}=0,\quad \xi_u\big|_{t=0}=\xi_\tau
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
и обозначим через $U_\eta(t,\tau)\colon E\to E$, $t\geqslant\tau$, разрешающий оператор этого уравнения. Тогда, как нетрудно видеть, (3.6), (3.3) и (3.14) выполнены равномерно по $\eta \in\mathcal H(\gamma)$ и, следовательно, все оценки, полученные в § 3 и § 4, также выполняются равномерно по $\eta\in\mathcal H(\gamma)$. Отметим также, что семейство процессов $\{U_\eta(t,\tau),\, \eta\in\mathcal H(\gamma)\}$ удовлетворяет так называемому трансляционному тождеству которое, в свою очередь, позволяет свести рассматриваемую неавтономную динамическую систему к автономной полугруппе $\mathbb S(t)$, действующей в расширенном фазовом пространстве $\mathbb E:= E\times\mathcal H(\gamma)$ по формуле
$$
\begin{equation}
\mathbb S(t)\{\xi,\eta\}:=\{U_\eta(t,0)\xi,\, T_t\eta\}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
(подробнее см. в [16]). Таким образом, мы можем определить глобальный аттрактор $\mathbb A$ для полугруппы $\mathbb S(t)$ в расширенном фазовом пространстве $\mathbb E$. Определение 5.1. Множество $\mathbb A$ называется глобальным аттрактором полугруппы $\mathbb S(t)\colon \mathbb E\to\mathbb E$, если a) $\mathbb A$ компактно в $\mathbb E$; b) $\mathbb A$ строго инвариантно: $\mathbb S(t)\mathbb A = \mathbb A$ для всех $t\geqslant0$; c) $\mathbb A$ притягивает образы ограниченных множеств в $\mathbb E$ при $t\to\infty$, т. е. для любого ограниченного $\mathbb B\subset \mathbb E$ и любой окрестности $\mathcal O(\mathbb A)$ существует $T = T(\mathbb B, \mathcal O)$ такое, что
$$
\begin{equation}
\mathbb S(t)\mathbb B\subset\mathcal O(\mathbb A),\qquad t\geqslant T.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Если аттрактор $\mathbb A\subset\mathbb E$ существует, его проекция $\mathcal A_{\mathrm{un}} := \Pi_1\mathbb A\subset E$ на первую компоненту декартова произведения называется равномерным аттрактором семейства $U_\eta(t,\tau)$, $\eta\in\mathcal H(\gamma)$, динамических процессов, порожденных уравнением (5.2). Существование глобальных/равномерных аттракторов обычно проверяется, используя следующий стандартный результат (см., например, [16]). Предложение 5.1. Пусть полугруппа $\mathbb S(t)\colon\mathbb E\to\mathbb E$ a) непрерывна как отображения из $\mathbb E$ в $\mathbb E$ для любого фиксированного $t\geqslant0$; b) обладает компактным притягивающим множеством $\mathcal B\subset\mathbb E$, т. е. для любого ограниченного множества $\mathbb B\subset\mathbb E$ и любой окрестности $\mathcal O(\mathbb B)$, существует $T = T(\mathbb B, \mathcal O)$ такое, что выполнено (5.4) (с заменой $\mathbb A$ на $\mathcal B$). Тогда полугруппа $\mathbb S(t)$ обладает глобальным аттрактором $\mathbb A$. Более того, если полугруппа $\mathbb S(t)$ является расширенной полугруппой для некоторого семейства процессов $U_\eta(t,\tau)\colon E\to E$, $\eta\in\mathcal H(\gamma)$, то равномерный аттрактор $\mathcal A_{\mathrm{un}}=\Pi_1\mathbb A$ этого семейства допускает следующее описание:
$$
\begin{equation}
\mathcal A_{\mathrm{un}} =\bigcup_{\eta\in\mathcal H(\gamma)}\mathcal K_\eta\big|_{t=0},
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathcal K_\eta:= \{\xi_u\in L^\infty(\mathbb{R},E)\colon \xi_u(t)= U_\eta(t,\tau)\xi_u(\tau),\ \tau\in\mathbb{R},\, t\geqslant\tau\}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
есть множество всех полных (определенных для всех $t\in\mathbb{R}$) ограниченных решений уравнения (5.2) с фиксированным символом $\eta$ (так называемое ядро уравнения (5.2) в терминологии Вишика и Чепыжова, см. [16]). Используя оценки, полученные в двух предыдущих параграфах, мы приходим к следующему результату. Теорема 5.1. Пусть выполнены условия теоремы 4.1. Тогда семейство $U_\eta(t,\tau)$ динамических процессов, связанных с волновым уравнением (5.2), обладает равномерным аттрактором $\mathcal A_{\mathrm{un}}$, который является ограниченным множеством в $E^1$. Более того, этот аттрактор порождается всеми ограниченными полными траекториями уравнений (5.2), т. е. выполняется формула (5.5). Доказательство. Действительно, непрерывность полугруппы $\mathbb S(t)$ может быть проверена так же, как и в следствии 3.3 (нетрудно доказать непрерывность по отношению к $\eta\in\mathcal H(\gamma)$). Более того, оценка (4.7) показывает, что множество $\mathbb B:= \mathcal B_R^1\times\mathcal H(\gamma)$ является компактным притягивающим множеством для полугруппы $\mathbb S(t)$. Здесь мы также использовали компактность вложения $E^1\subset E$ и компактность оболочки $\mathcal H(\gamma)$, снабженной топологией пространства $L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$. Таким образом, все условия предложения 5.1 проверены, и, следовательно, существование равномерного аттрактора $\mathcal A_{\mathrm{un}}$ доказано, и теорема также доказана. Замечание 5.1. Существует альтернативное определение равномерного аттрактора, которое не использует сведение к автономной расширенной полугруппе и которое эквивалентно вышеизложенному (по крайней мере, когда $\mathbb S(t)$ непрерывна, см. [16]). А именно, множество $\mathcal A_{\mathrm{un}}\subset E$ называется равномерным аттрактором динамического процесса $U_\gamma(t,\tau)\colon E\to E$, если 1) $\mathcal A_{\mathrm{un}}$ компактно в $E$; 2) $\mathcal A_{\mathrm{un}}$ притягивает ограниченные подмножества $B\subset E$ равномерно по $\tau\in\mathbb{R}$, т. е. для любого ограниченного $B\subset E$ и любой окрестности $\mathcal O(\mathcal A_{\mathrm{un}})$ существует $T=T(B, \mathcal O)$ такое, что
$$
\begin{equation*}
U_\gamma(t,\tau)B\subset \mathcal O(\mathcal A_{\mathrm{un}}),\quad\text{если}\quad t-\tau\geqslant T;
\end{equation*}
\notag
$$
3) $\mathcal A_{\mathrm{un}}$ минимальное множество, которое удовлетворяет 1) и 2). Однако для описания структуры аттрактора с помощью (5.5) в любом случае необходимо вводить оболочку неавтономного символа $\gamma$. Так как это представление имеет критически важное значение для теории аттракторов, мы предпочитаем определять равномерный аттрактор, используя с самого начала расширенную полугруппу. Замечание 5.2. Для каждого $\eta\in\mathcal H(\gamma)$ можно определить так называемые сечения ядра соответствующего уравнения по формуле Тогда, как нетрудно видеть, множества $\mathcal K_\eta(\tau)$ компактны и строго инвариантны, т. е. $\mathcal K_\eta(t)= U_\eta(t,\tau)\mathcal K_\eta(\tau)$, $t\geqslant\tau\in\mathbb{R}$. Более того, как доказано в [16], [54], для любого фиксированного $\eta$ эти сечения ядер обладают так называемым свойством обратного притяжения, т. е. для любого ограниченного $B\subset E$, любого фиксированного $t\in\mathbb{R}$ и любой окрестности $\mathcal O(\mathcal K_\eta(t))$ существует $T = T(t,B,\mathcal O)$ такое, что
$$
\begin{equation}
U_\eta(t,\tau)B\subset O(\mathcal K_\eta(t)),\quad \text{если}\quad t-\tau>T.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
По этой причине семейство множеств $t\to\mathcal K_\eta(t)$, зависящее от времени, часто называют обратным аттрактором уравнения (5.2) (см. [55], [56] и цитируемую там литературу). Заметим также, что в отличие от равномерных аттракторов, скорость притяжения в (5.8) неравномерна по $t\in\mathbb{R}$ и по этой причине притяжения вперед по времени может и не быть. Перейдем теперь к экспоненциальным аттракторам. Это понятие было введено в работе [57] в автономном случае для устранения основного недостатка глобальных аттракторов, а именно того, что скорость сходимости к глобальному аттрактору может быть сколь угодно медленной, а возможность контролировать эту скорость через физические параметры рассматриваемой системы фактически отсутствует. Это приводит к чувствительности аттрактора к возмущениям и делает его, в некотором смысле, ненаблюдаемым экспериментально. Грубо говоря, идея экспоненциального аттрактора состоит в добавлении некоторых дополнительных точек к глобальному аттрактору таким образом, чтобы, с одной стороны, скорость притяжения к этому объекту стала бы экспоненциальной и контролируемой, а, с другой стороны, размер полученного нового аттрактора не стал бы слишком большим, например, его фрактальная размерность оставалась бы конечной. В качестве цены за это, экспоненциальный аттрактор только полуинвариантен и не единствен (см. [59], [60] и цитируемую там литературу). В случае неавтономных уравнений ситуация становится более интересной, так как появляются новые существенные недостатки теории глобальных аттракторов. Действительно, равномерный аттрактор обычно огромен (бесконечномерен) даже когда “настоящий” аттрактор состоит из одной экспоненциально притягивающей траектории, а сечения ядер (обратные аттракторы) не являются аттракторами в привычном смысле (вперед по времени). Все эти недостатки могут быть устранены, используя понятие неавтономного экспоненциального аттрактора, который, с одной стороны, остается конечномерным, а, с другой стороны, обладает не только свойством обратного притяжения, но и притягивает вперед по времени. Мы используем в дальнейшем конструкцию, предложенную в [59]. Определение 5.2. Пусть $U(t,\tau)\colon E\to E$ есть динамический процесс в банаховом пространстве $E$. Семейство множеств $\mathcal M(t)\subset E$, $t\in\mathbb{R}$, называется неавтономным экспоненциальным аттрактором для $U(t,\tau)$, если 1) множества $\mathcal M(t)$ компактны в $E$; 2) они положительно полуинвариантны: $U(t,\tau)\mathcal M(\tau)\subset\mathcal M(t)$; 3) фрактальная размерность $\mathcal M(t)$ конечна и равномерно ограничена: для всех $t\in\mathbb{R}$;4) существуют положительная константа $\alpha$ и монотонно растущая функция $Q$ такие, что для любого ограниченного $B\subset E$ равномерно по $t\geqslant\tau$ и $\tau\in\mathbb{R}$.Теперь мы готовы сформулировать основной результат этого параграфа. Теорема 5.2. Пусть выполнены предположения теоремы 4.1, и пусть дополнительно $f\in C^2(\mathbb{R})$ и для некоторого положительного $\varepsilon$. Тогда динамический процесс $U_\gamma(t,\tau)\colon E\to E$, порожденный уравнением (3.1), обладает неавтономным экспоненциальным аттрактором $t\to\mathcal M(t)=\mathcal M_\gamma(t)$, который равномерно ограничен в $E^1$ и непрерывен по Гёльдеру в следующем смысле: где положительные константы $C$ и $0<\kappa<1$ не зависят от $t$ и $\tau$, а $\operatorname{dist}^{\mathrm{sym}}$ означает симметричное хаусдорфово расстояние в $E$. Доказательство. Мы следуем подходу, разработанному в [59]. В качестве первого шага достаточно построить экспоненциальный аттрактор не на всем пространстве $E$, а только на экспоненциально притягивающем шаре $\mathcal B^1_R$ более гладкого пространства $E^1$, который построен в теореме 4.1. Действительно, уже упомянутое выше свойство транзитивности экспоненциального притяжения позволит тогда получить нужный результат для всего пространства $E$.
В качестве следующего шага введем семейство дискретных динамических процессов
$$
\begin{equation}
\overline U_\tau(m,n):=U_\gamma(nT+\tau,\, mT+\tau),\qquad n,m\in\mathbb Z,\quad n\geqslant m,
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
зависящих от параметра $\tau\in\mathbb{R}$. Здесь $T$ – достаточно большое положительное число, которое будет фиксировано позднее. Если мы построим экспоненциальные аттракторы $\mathcal M_{d,\tau}(n)$ для этих процессов, искомый “непрерывный” экспоненциальный аттрактор строится по стандартной формуле
$$
\begin{equation}
\mathcal M(\tau):=\bigcup_{s\in[0,T]}U_\gamma(\tau,\, \tau-s)\mathcal M_{d,\tau-s}(0)
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
(подробнее см. в [59], [60]). Для построения дискретных экспоненциальных аттракторов $\mathcal M_{d,\tau} (n)$ необходимо проверить ряд предположений абстрактной теоремы о существовании экспоненциального аттрактора, сформулированной в [59]. А именно, сначала нужно проверить, что
$$
\begin{equation}
\overline U_\tau(n +1,n)\bigl( \mathcal O^{E^1}_\varepsilon(\mathcal B_R^1)\bigr)\subset\mathcal B_R^1,\qquad \tau\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
для достаточно малого $\varepsilon>0$. Здесь через $\mathcal O^{E^1}_\varepsilon (V )$ мы обозначили $\varepsilon$-окрестность множества $V\subset E^1$ в топологии $E^1$. Действительно, как следует из доказательства теоремы 4.1, динамический процесс $U_\gamma(t,\tau)$ корректно определен в $E^1$ и обладает равномерно поглощающим множеством в нем. По этой причине, выбрав $\varepsilon>0$ достаточно малым и увеличив радиус $R$, если это необходимо, мы получим выполнение (5.13) для всех $\tau\in\mathbb{R}$, если $T> 0$ достаточно велико.
Далее мы должны проверить свойство сжатия (асимптотическое сглаживание для разности решений) для операторов $\overline U_\tau(n,m)$. Пусть $u_1(t)$ и $u_2(t)$ – два решения уравнения (3.1), стартующие с $t=\tau$ и окрестности $\mathcal O^{E^1}_\varepsilon(\mathcal B^1_R)$. Тогда, благодаря диссипативной оценке в $E^1$,
$$
\begin{equation}
\|\partial_t u_i(t)\|_{H^1} + \|u_i(t)\|_{H^2}\leqslant C,\qquad t\geqslant\tau,\quad i=1,2,
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
где константа $C$ не зависит от $t$ и $u_i$. Пусть $v(t):= u_1(t)-u_2(t)$. Тогда эта функция решает уравнение (3.27). В частности, выполнена оценка (3.26). Разложим $v(t)= v_1(t)+ v_2(t)$, где функция $v_1(t)$ решает
$$
\begin{equation}
\partial_t^2 v_1+\gamma(t)\, \partial_t v_1-\Delta_x v_1+Lv_1=0,\qquad \xi_{v_1}\big|_{t=\tau}=\xi_v\big|_{t=\tau},
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
где $L$ достаточно велико, чтобы выполнялись условия предложения 4.1. Тогда из оценки (4.2) следует
$$
\begin{equation}
\|\partial_t v_1(t)\|_{L^2}^2+ \|\nabla_x v_1(t)\|^2_{L^2}\leqslant Ce^{-\alpha(t-\tau)}\bigl( \|\partial_t v(\tau)\|^2_{L^2}+ \|\nabla_x v(\tau)\|^2_{L^2}\bigr).
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
Остаток $v_2(t)$ решает уравнение
$$
\begin{equation}
\partial_t^2v_2+\gamma(t)\, \partial_t v_2-\Delta_x v_2+Lv_2 = Lv-l(t)v:=h_v(t),\qquad \xi_{v_2}\big|_{t=\tau}=0.
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
Используя тот факт, что $u_i(t)$ ограничены в $H^2$, а $f\in C^2$ вместе с (3.26), нетрудно видеть, что
$$
\begin{equation}
\|h_v(t)\|_{H^1_0}^2\leqslant C\|\nabla_x v(t)\|^2_{L^2}\leqslant Ce^{K(t-\tau)}\bigl(\|\partial_t v(\tau)\|^2_{L^2}+\|\nabla_x v(\tau)\|^2_{L^2}\bigr).
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
Таким образом, применив оператор $(-\Delta_x)^{1/2}$ к обеим частям уравнения (5.17) и использовав оценку (4.2), получим
$$
\begin{equation}
\|\partial_t v(t)\|_{H^1}^2+\|\nabla_x v(t)\|^2_{H^1}\leqslant Ce^{K(t-\tau)}\bigl(\|\partial_t v(\tau)\|^2_{L^2}+\|\nabla_x v(\tau)\|^2_{L^2}\bigr),
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
где константы $C$ и $K$ не зависят от $u_1$, $u_2$, $t$ и $\tau$.
Пусть теперь $\xi_v:= \overline U_\tau(n +1,n)\xi_1-\overline U_\tau(n +1,n)\xi_2$. Тогда согласно полученным оценкам $\xi_v$ представляется в виде суммы $\xi_v = \xi_{v_1}+\xi_{v_2}$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\|\xi_{v_1}\|_E\leqslant Ce^{-\alpha T}\|\xi_1-\xi_2\|_E, \qquad \|\xi_{v_2}\|_{E^1}\leqslant Ce^{KT}\|\xi_1-\xi_2\|_E
\end{equation*}
\notag
$$
и, фиксируя $T>0$ так, чтобы $Ce^{-\alpha T}\leqslant 1/2$, мы приходим к желаемому свойству сжатия.
Теперь необходимо оценить расстояние между процессами, которые соответствуют различным символам из оболочки $\mathcal H(\gamma)$, например, $\gamma$ и $T_{-s}\gamma$. Пусть $\xi_{u_1}(t):=U_\gamma(t,\tau)\xi_\tau$ и $\xi_{u_2}(t):=U_{T_{-s}\gamma}(t,\tau)\xi_\tau$. Тогда эти функции также удовлетворяют равномерной оценке (5.14). Пусть $v(t):=u_1(t)-u_2(t)$. Тогда она решает уравнение
$$
\begin{equation*}
\partial_t^2 v+\gamma(t)\partial_t v-\Delta_x v+l(t)v=(\gamma(t)-\gamma(t-s))\partial_t u_2(t),\qquad \xi_v\big|_{t=\tau}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
и, рассуждая так же, как и при выводе оценки (3.26), мы приходим к желаемой оценке
$$
\begin{equation}
\|\xi_v(t)\|_E^2\leqslant C\int_\tau^t e^{K(t-l)}|\gamma(l)-\gamma(l-s)|dl.
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
Таким образом, все условия абстрактной теоремы о существовании экспоненциального аттрактора проверены и, следовательно, дискретные экспоненциальные аттракторы $\mathcal M_{d,\tau}(n)$ построены (подробнее см. в [59]). Наконец, для перехода от дискретных к непрерывным экспоненциальным аттракторам, используя (5.12), необходимо проверить, что траектории динамического процесса $U_\gamma(t,\tau)$ (стартующие с $\mathcal O^{E^1}_\varepsilon(\mathcal B^1_R))$ равномерно гёльдер-непрерывны по времени (со значениями в $E$). Непрерывность и даже липшиц-непрерывность $u(t)$ в $H^1$ очевидна, так как мы контролируем норму $\partial_t u$ в $H^1$, но гёльдер-непрерывность $\partial_t u$ в $L^2$ является более деликатной. Действительно, если мы знаем только, что $\gamma\in L^1_b(\mathbb{R})$, из уравнения (3.1) и (5.14) мы можем заключить только, что $\partial_t^2 u\in L^1_b(L^2)$, а этого недостаточно для гёльдер-непрерывности по времени функции $\partial_t u$. Для решения этой проблемы мы наложили дополнительное условие (5.9), которое гарантирует, что $\partial_t^2 u\in L^{1+\varepsilon}_b(L^2)$, а это уже дает необходимую гёльдер-непрерывность $\partial_t u$ и завершает доказательство теоремы. Замечание 5.3. Гёльдер-непрерывность (5.10) критична для соответствия с автономным случаем. Действительно, она гарантирует, что в автономном случае $\gamma\equiv \mathrm{const}$ неавтономный экспоненциальный аттрактор совпадает с автономным. Более того, если $\gamma$ периодична, квази/почти периодична, то же самое будет верно и для неавтономных аттракторов. В действительности, именно для получения этой гёльдер-непрерывности мы и накладываем дополнительное условие (5.9). Эта гёльдер-непрерывность траекторий по времени иногда трактуется как существенное ограничение, которое, однако, не может быть снято без потери соответствия с автономным случаем. В частности, без этого условия мы можем иметь “патологическую” зависимость от времени для экспоненциального аттрактора, соответствующему автономному случаю $\gamma\equiv \mathrm{const}$. Замечание 5.4. Так как сечения ядер $\mathcal K_\gamma(\tau)$ всегда являются подмножествами соответствующих экспоненциальных аттракторов: то мы автоматически получаем конечномерность сечений $\mathcal K_\gamma(\tau)$ для всех $\tau\in\mathbb{R}$. § 6. Случайный коэффициент диссипацииВ этом параграфе мы ослабим предположения на диссипативный коэффициент $\gamma(t)$ для того, чтобы поучить возможность рассматривать случайную диссипацию. Действительно, хотя условие (3.6) хорошо работает в случае периодической или почти периодической диссипации, равномерность среднего по $\tau\in\mathbb{R}$, предполагаемая там, очень ограничительна, если мы хотим рассматривать хаотическую или случайную диссипацию, и должна быть ослаблена. Здесь мы предполагаем, что на оболочке $\mathcal H(\gamma)$ задана борелевская вероятностная мера $\mu$, которая инвариантна и эргодична по отношению к группе сдвигов $\{T_s,\, s\in\mathbb{R}\}$ по времени: Мы заменяем (3.6) более слабым предположением
$$
\begin{equation}
\int_{\eta\in\mathcal H(\gamma)}\biggl(\int_0^1\biggl(\frac12\gamma_+(s)-\frac{p+2}{p+4}\gamma_-(s)\biggr)\,ds\biggr) \, \mu(d\eta)=\overline\beta>0.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Тогда согласно эргодической теореме Биркгофа для любого $\tau\in\mathbb{R}$
$$
\begin{equation}
\lim_{T\to\infty}\frac1{2T}\int_{\tau-T}^{\tau+T}\beta(s)\,ds= \lim_{T\to\infty}\frac1{T}\int_{\tau-T}^{\tau}\beta(s)\,ds=\overline\beta
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
для почти всех $\eta\in\mathcal H(\gamma)$, где $\beta(t)=\beta_\eta(t):=(1/2)\eta_+(s)-((p+2)/(p+4))\eta_-(s)$. Однако, в отличие от предыдущих параграфов, этот предел не является равномерным по $\tau\in\mathbb{R}$, и это приводит к существенным изменениям в теории. В частности, как мы увидим ниже, условие (6.3) не гарантирует диссипативность уравнения (5.2) вперед по времени, более того, большинство траекторий могут быть неограниченными при $t\to\infty$. Для устранения этой трудности мы будем использовать свойство обратного притяжения и теорию обратных случайных аттракторов, развитую в [55], [61], [63] (см. также цитируемую там литературу). Мы начнем с необходимых определений и простых результатов. Определение 6.1. Функция $t\to\varphi(t)\in\mathbb{R}$, $t\in\mathbb{R}$, называется функцией умеренного роста, если Аналогично, семейство ограниченных множеств $B(t)\subset E$, $t\in\mathbb{R}$, называется семейством умеренного роста, если функция $\varphi_B(t):=\|B(t)\|_{E}$ является функцией умеренного роста. Сформулируем теперь “умеренные” аналоги поглощающих и притягивающих множеств. Определение 6.2. Семейство $\mathbb B(t)$, $t\in\mathbb{R}$, ограниченных множеств в $E$ называется (обратным) поглощающим множеством для процесса $U_\eta(t,\tau)\colon E\to E$, если оно обладает умеренным ростом, и для любого другого семейства множеств $B(t)$, $t\in\mathbb{R}$, умеренного роста и любого фиксированного $t\in\mathbb{R}$ если $s\geqslant S(B,t)$ достаточно велико. Семейство $\mathcal B(t)$, $t\in\mathbb{R}$, в $E$ называется (обратным) притягивающим множеством умеренного роста, если оно обладает умеренным ростом, и для любого другого семейства $B(t)$ и любого фиксированного $t\in\mathbb{R}$ Теперь мы готовы определить “умеренные” аналоги сечений ядер (обратных аттракторов). Определение 6.3. Семейство ограниченных множеств $\mathcal K_\eta(t)$ умеренного роста называется обратным аттрактором умеренного роста, если 1) $\mathcal K_\eta(t)$ компактны в $E$ для любого фиксированного $t\in\mathbb{R}$; 2) выполняется условие строгой инвариантности $U_\eta(t,\tau)\mathcal K_\eta(\tau)=\mathcal K_\eta(t)$; 3) семейство $\mathcal K_\eta(t)$ является притягивающим множеством умеренного роста. Следующее предложение дает аналог предложения 5.1 для случая умеренного роста (подробнее см. в [55]). Предложение 6.1. Пусть $U_\eta(t,\tau)$ – динамический процесс в $E$, который состоит из непрерывных операторов в $E$ и обладает компактным (для любого $t\in\mathbb{R}$) притягивающим множеством умеренного роста. Тогда $U_\eta(t,\tau)$ обладает обратным аттрактором $\mathcal K_\eta(t)$ умеренного роста, который допускает следующее описание: где $\mathcal K_\eta$ – множество всех полных траекторий умеренного роста динамического процесса $U_\eta(t,\tau)$ (ядро умеренного роста процесса $U_\eta(t,\tau)$). Замечание 6.1. Предположение о существовании компактного притягивающего множества умеренного роста может быть ослаблено, если известно существование ограниченного поглощающего множества умеренного роста. Тогда, как обычно, только асимптотическая компактность важна для существования аттрактора. Однако предположение об умеренном росте ограниченного поглощающего множества важно для справедливости формулы (6.5). Это свойство можно потерять, если поглощающее множество не обладает ограниченным ростом, что, в свою очередь, приводит к другим патологическим эффектам (например, неединственности обратного аттрактора). Следующая теорема может рассматриваться как основной результат этого параграфа. Теорема 6.1. Пусть нелинейность $f\in C^1(\mathbb{R})$ удовлетворяет условиям (3.2) с $p<4$, и пусть $\gamma\in L^1_{\textrm{tr-c}}(\mathbb{R})$ удовлетворяет (6.2). Тогда для почти всех $\eta\in\mathcal H(\gamma)$ динамический процесс $U_\eta(t,\tau)$, порожденный уравнением (5.2), обладает обратным аттрактором $\mathcal K_\eta(t)$, который имеет умеренный рост в $E^\beta$ для некоторого $\beta>0$. Доказательство. Для проверки условий предложения 6.1 необходимо адаптировать доказательства теорем 3.1 и 4.1 к случайному случаю. Эта адаптация является довольно простой, поэтому ниже мы лишь кратко отметим основные отличия, связанные с проверкой умеренности роста построенных поглощающих/притягивающих множеств. Мы начнем с теоремы 3.1, которая дает существование поглощающего множества.
Действительно, рассуждая как и в доказательстве теоремы 3.1, мы получим оценку (3.24) с $\beta_\varepsilon(t)=\beta_{\varepsilon,\eta}$, определенной по формуле (3.22) (где $\gamma$ заменено на $\eta\in\mathcal H(\gamma)$). Более того, определив $\overline\gamma$ (соответственно $\overline\eta$), используя (3.15), мы видим, что функция $\eta\to\int^1_0\beta_{\varepsilon,\eta}(s)\,ds$ непрерывна на компакте $\mathcal H(\gamma)$. По этой причине существует среднее
$$
\begin{equation*}
\int_{\eta\in\mathcal H(\gamma)} \biggl(\int_0^1\beta_{\varepsilon,\eta}(s)\,ds\biggr)\, \mu(d\eta) =\overline\beta_\varepsilon<\infty
\end{equation*}
\notag
$$
и, зафиксировав $\varepsilon>0$ и $\kappa>0$ достаточно малыми, мы можем предположить, что $\overline\beta_\varepsilon>0$ (благодаря условию (6.2)). Эргодическая теорема Биркгофа гарантирует теперь, что для любого $\tau\in\mathbb{R}$
$$
\begin{equation}
\lim_{T\to\infty}\frac1T\int_{\tau-T}^\tau\beta_{\varepsilon,\eta}(s)\,ds= \lim_{T\to\infty}\frac1T\int_{\tau}^{\tau+T}\beta_{\varepsilon,\eta}(s)\,ds =\overline\beta_\varepsilon>0
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
для почти всех $\eta\in\mathcal H(\gamma)$. Очевидно, что $T_s\eta$ также удовлетворяет (6.6), если $\eta$ удовлетворяет этому свойству, поэтому существует множество полной меры $\mathcal H_{\mathrm{erg}}\subset \mathcal H(\gamma)$, инвариантное относительно $T_s$, такое, что (6.6) справедливо для любых $\eta\in\mathcal H_{\mathrm{erg}}$.
Следующая техническая лемма имеет принципиальное значение для дальнейшего. Лемма 6.1. Пусть $\phi\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$ такая, что функция $t\to\int_t^{t+1}|\phi(s)|\,ds$ имеет умеренный рост, а $\beta_\varepsilon\in L^1_b(\mathbb{R})$ удовлетворяет (6.6). Тогда функция корректно определена и имеет умеренный рост. Более того, если $A(t)$ имеет умеренный рост, то существует $\alpha>0$ такое, что для всех $t\in\mathbb{R}$. Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что $t\leqslant0$. Разложим
$$
\begin{equation*}
\int_s^t\beta_\varepsilon(l)\,dl=\int_s^0\beta_\varepsilon(l)\,dl -\int_t^0\beta_\varepsilon(l)\,dl
\end{equation*}
\notag
$$
и запишем
$$
\begin{equation*}
|R(t)|\leqslant \exp\biggl\{\int_t^0\beta_\varepsilon(l)\,dl\biggr\} \int_{-\infty}^t|\phi(s)|\exp\biggl\{-\int^0_s\beta_\varepsilon(l)\,dl\biggr\}\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, благодаря (6.6), для любого $\nu>0$ можно написать
$$
\begin{equation}
-(\overline\beta_\varepsilon-\nu)s-C_\nu\leqslant\int_s^0\beta_\varepsilon(l)\,dl\leqslant -(\overline\beta_\varepsilon+\nu)s+C_\nu
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
(для некоторого $C_\nu$), и предыдущая оценка дает
$$
\begin{equation*}
|R(t)|\leqslant C'_\nu e^{-(\overline\beta_\varepsilon+\nu)t} \int_{-\infty}^t|\phi(s)|e^{(\overline\beta_\varepsilon-\nu)s}\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
В заключение мы используем, что интеграл$\int_t^{t+1}|\phi(s)|\,ds$ имеет ограниченный рост. Поэтому и Так как $\nu>0$ произвольное, функция $R(t)$ действительно имеет ограниченный рост.
Для проверки второго утверждения достаточно проверить (6.8) только при $t=0$ (равномерность по $t\in\mathbb{R}$ в (6.8) не предполагается). В этом случае оценка (6.9) немедленно дает нам (6.8) для любого $\alpha<\overline\beta_\varepsilon$ и завершает доказательство леммы. Теперь мы готовы завершить доказательство теоремы. Действительно, пусть $\eta\in\mathcal H_{\mathrm{erg}}$ и
$$
\begin{equation}
R_\eta(t):=2C\int_{-\infty}^t(1+\|g\|^2_{L^2}+|\eta(s)|) \exp\biggl\{-\int_s^t\beta_{\varepsilon,\eta}(l)\,dl\biggr\}\,ds,
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
где все константы и функции такие же, как и в (3.24). Тогда согласно оценке (3.24) и лемме 6.1 множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal B^0_E(R_\eta(t)):=\{\xi\in E,\, \mathcal E(\xi)\leqslant R_\eta(t)\}
\end{equation*}
\notag
$$
является обратно поглощающим для процесса $U_\eta(t,\tau)$, порожденного уравнением (5.2), и имеет умеренный рост. Более того, так как $R_{\eta}(t)$ решает интегральное уравнение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_\eta(t) &=R_\eta(\tau) \exp\biggl\{-\int_\tau^t\beta_{\varepsilon,\eta}(s)\,ds\biggr\} \\ &\qquad+2C\int_{\tau}^t \bigl(1+\|g\|^2_{L^2}+|\eta(s)|\bigr) \exp\biggl\{-\int_s^t\beta_{\varepsilon,\eta}(l)\,dl\biggr\}\,ds \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $\tau\leqslant t$ (сравни с (3.24)), то построенное поглощающее множество является полуинвариантным:
$$
\begin{equation*}
U_{\eta}(t,\tau)\mathcal B^0_E(R_{\eta}(\tau))\subset\mathcal B^0_E(R_{\eta}(t)).
\end{equation*}
\notag
$$
Для получения обратного притягивающего множества необходим случайный аналог оценок, полученных в § 4. Заметим, прежде всего, что случайный аналог оценки (4.2) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathcal E_v(t)\leqslant C\mathcal E_v(\tau) \exp\biggl\{-\int_\tau^t\beta_{\varepsilon,\eta}(l)\,dl\biggr\}+ C\biggl(\int_s^te^{-\beta_{\varepsilon,\eta}(l)\,dl}\|h(s)\|_{L^2}\,ds\biggr)^2,
\end{equation*}
\notag
$$
а большая константа $L$ может быть выбрана равномерно по $\eta\in\mathcal H(\gamma)$ (см. (4.3) и (4.5)). Таким образом, решение $\xi_v(t)$ уравнения (4.9), стартующее с поглощающего множества умеренного роста $\xi_u(\tau)\in\mathcal B^0_E(R_\eta(\tau))$, будет экспоненциально убывать при $\tau\to-\infty$ согласно лемме 6.1. Поэтому для построения притягивающего множества умеренного роста достаточно показать, что функция $h_u(t)$ в правой части (4.10) имеет умеренный рост при $\tau\to-\infty$. Точнее, нужно показать, что функция $\tau\to \|h_u\|_{L^1(\tau,\tau+1;H^\beta)}$ имеет умеренный рост при $\tau\to-\infty$. Но это сразу следует из того, что $\xi_u(t)$ принадлежит поглощающему множеству умеренного роста и оценки (3.11) (см. доказательство теоремы 4.1). Таким образом, притягивающее множество умеренного роста для процесса $U_\eta(t,\tau)$ построено (в виде шаров в $E^\beta$, $\beta>0$, умеренного роста) и теорема доказана. Замечание 6.2. Рассуждая аналогично доказательству теоремы 4.1, можно доказать, что аттрактор $\mathcal K_\eta(t)$ имеет умеренный рост в $E^1$, но для этого нужно использовать случайную версию транзитивности экспоненциального притяжения. Так как этот результат не нужен нам для дальнейшего, мы предпочли не доказывать его здесь. Отметим также, что радиус $R_\eta(t)$ поглощающего шара измерим (для любого фиксированного $t$ как функция $\eta\in\mathcal H(\gamma)$). Действительно, он может быть представлен как предел почти всюду последовательности непрерывных функций:
$$
\begin{equation*}
R_\eta(t):=\lim_{n\to \infty}\int_{-n}^t\bigl(1+\|g\|^2_{L^2}+|\eta(s)|\bigr) \exp\biggl\{-\int_s^t\beta_{\varepsilon,\eta}(l)\,dl\biggr\}\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
По этой причине множествозначная функция $\eta\to \mathcal B_E^0(R_\eta(t))$ является измеримой. Тогда, следуя стандартным аргументам, мы получаем (см., например, [61], [65]), что аттрактор $\mathcal K_\eta(t)$ также измерим как множествозначная функция $\eta\to\mathcal K_\eta(t)$ при любом фиксированном $t$. Теперь мы готовы завершить построение случайного аттрактора для уравнения (5.2). Напомним, прежде всего, его определение, адаптированное к нашему случаю (подробнее см. в [55]). По определению случайным множеством умеренного роста называется множествозначная измеримая функция $\eta\to B(\eta)\subset E$ такая, что функция $t\to \|B(T_t\eta)\|_E$ имеет умеренный рост для почти всех $\eta$. Определение 6.4. Случайное множество $\eta\to\mathcal A(\eta)\subset E$ умеренного роста называется случайным аттрактором семейства процессов $U_\eta(t,\tau)$, $\eta\in\mathcal H(\gamma)$, если 1) $\mathcal A(\eta)$ компактны для почти всех $\eta\in\mathcal H(\gamma)$; 2) выполняется условие строгой инвариантности $U_{\eta}(t,0)\mathcal A(\eta)=A(T_t\eta)$ для всех $t\geqslant0$ и почти всех $\eta$; 3) для любого случайного множества $\eta\to B(\eta)$ умеренного роста и почти всех $\eta\in\mathcal H(\gamma)$ Следствие 6.1. Пусть выполнены условия теоремы 6.1. Тогда семейство процессов $U_\eta(t,\tau)\colon E\to E$, $\eta\in\mathcal H(\gamma)$, обладает случайным аттрактором $\mathcal A(\eta)$, который является случайным множеством умеренного роста в $E^\beta$ для некоторого $\beta>0$. Доказательство. Действительно, определим
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\eta):=\begin{cases} \mathcal K_\eta(0), &\eta\in\mathcal H_{\mathrm{erg}}(\gamma), \\ \varnothing, &\eta\notin\mathcal H_{\mathrm{erg}}(\gamma), \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
где $\mathcal K_\eta(t)$ – обратный аттрактор умеренного роста, построенный в теореме 6.1. Тогда все условия определения 6.4 уже фактически проверены выше. Таким образом, искомый случайный аттрактор построен. Замечание 6.3. Как мы уже отмечали, обратный аттрактор обычно не притягивает вперед по времени. Однако ситуация становится существенно лучше для случайных аттракторов, где обычно имеет место притяжение вперед по времени в смысле сходимости по мере (см. [61]). Действительно, теорема Лебега о мажорируемой сходимости и сходимость (6.11) позволяют сделать вывод, что Мы завершим этот параграф рассмотрением естественного модельного примера, когда динамика $T_s\colon\mathcal H(\gamma)\to\mathcal H(\gamma)$ определяется сдвигами Бернулли. А именно, пусть $\Gamma:=\{a,-b\}^{\mathbb Z}$ – двусторонняя схема Бернулли с двумя символами $\{a,-b\}$, и обозначим через
$$
\begin{equation*}
(T_l\gamma)(n)=\gamma(n+l),\qquad l\in\mathbb Z,\quad \gamma=(\dots,\gamma_{-n},\dots,\gamma_n,\dots)\in\Gamma,
\end{equation*}
\notag
$$
соответствующий процесс Бернулли. Множество $\Gamma$ наделяется тихоновской топологией и на нем вводится борелевская вероятностная мера $\mu$, порождаемая вероятностной мерой на сечении Тогда, как известно (см., например, [51]), динамическая система $(T_l,\Gamma,\mu)$ транзитивна и эргодична. Расширим каждый элемент $\gamma\in\Gamma$ до функции $\mathcal R(\gamma)\in L^\infty(\mathbb{R})$ по формуле где $[t]$ – целая часть $t$. Очевидно, что для всех $l\in\mathbb Z$. Нетрудно показать также, что тихоновская топология на $\Gamma$ порождает $L^1_{\mathrm{loc}}$-топологию на $\mathcal R(\gamma)$, таким образом, $\mathcal R(\gamma)$ трансляционно компактно для любого $\gamma\in\Gamma$. Более того, если взять транзитивную траекторию $\gamma\in\Gamma$, ее оболочка $\mathcal H(\mathcal R(\gamma))$ будет содержать образ всей схемы Бернулли $\Gamma$. Следовательно, элементы оболочки $\mathcal H(\gamma):=\mathcal H(\mathcal R(\gamma))$ параметризуются элементами $\eta\in\Gamma$, и динамика на оболочке порождается классическим процессом Бернулли. Для полной строгости нужно бы было сначала расширить дискретную схему Бернулли до непрерывной, действующей на расширенном пространстве $\Gamma\times[0,1]$ (для параметризации нецелых сдвигов), и только после этого устанавливать эквивалентность, но чтобы избежать технических деталей, мы пропускаем этот шаг и отождествляем элемент $\gamma\in\Gamma$ с $\mathcal R(\gamma)\in L^\infty(\mathbb{R})$, а также дискретные сдвиги на $\Gamma$ с непрерывными сдвигами на $\mathcal H(\gamma)$. Ключевое условие (6.2) в этом примере имеет вид
$$
\begin{equation}
\int_{\eta\in\mathcal H(\gamma)} \int_0^1\biggl(\frac12\gamma_+(s)-\frac{p+2}{p+4}\gamma_-(s)\biggr)\, ds\,\mu(d\eta)=\frac12 aq-\frac{p+2}{p+4}b(1-q)>0.
\end{equation}
\tag{6.15}
$$
Таким образом, мы доказали следующий результат. Теорема 6.2. Пусть числа $a$ и $b$ и вероятность $q$ удовлетворяют условию (6.15). Тогда волновое уравнение (5.2) с коэффициентом диссипации $\eta$, порожденным процессом Бернулли, описанном выше, обладает случайным аттрактором $\mathcal A(\eta)$ в энергетическом пространстве $E$. § 7. Бесконечномерность случайных аттракторов: игрушечный примерРезультаты о существовании случайных аттракторов, изложенные в § 6, выглядят более или менее стандартными (см. [55] и цитируемую там литературу). Однако есть существенная разница между нашим случаем и случайными аттракторами, рассмотренными в упомянутых выше работах. Эта разница становится более понятной, если мы попытаемся посчитать среднее нормы поглощающего множества, построенного в теореме 6.1. Действительно, взяв среднее от выражения (6.10), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\eta\in\mathcal H(\gamma)}R_\eta(0)\, \mu(d\eta) \nonumber \\ &\qquad\sim C\int_{\eta}\biggl(\sum_{k=-\infty}^0 \exp\biggl\{-\varepsilon k-2\sum_{l=-k}^0\frac12\eta_+(l)-\frac{p+2}{p+4}\eta_-(l)\biggr\}\biggr)\, \mu(d\eta) \nonumber \\ &\qquad=\sum_{k=-\infty}^0e^{\varepsilon(-k+1)} \int_\eta \prod_{l=-k}^0 \exp\biggl\{-\eta_+(l)+\frac{2(p+2)}{p+4}\eta_-(l)\biggr\}\, \mu(d\eta) \nonumber \\ &\qquad=\sum_{k=-\infty}^0e^{-\varepsilon k} \biggl(\int_\eta \exp\biggl\{-\eta_+(0)+\frac{2(p+2)}{p+4}\eta_-(0)\biggr\} \, \mu(d\eta)\biggr)^{-k+1} \nonumber \\ &\qquad=\sum_{k=0}^\infty \exp\bigl\{(k+1) \bigl(\varepsilon+\ln\bigl(e^{-a}q+e^{2(p+2)/(p+4)b}(1-q)\bigr)\bigr)\bigr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
где мы используем тот факт, что $\eta(n)$ и $\eta(m)$ – независимые случайные величины, если $m\ne n$. Таким образом, выражение в правой части будет конечным, если и только если
$$
\begin{equation*}
\ln\bigl(e^{-a}q+e^{2(p+2)/(p+4)b}(1-q)\bigr)<-\varepsilon<0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, если вероятность $q$ и числа $a>0$ и $b>0$ выбраны так, что
$$
\begin{equation}
\ln\bigl(e^{-a}q+e^{2(p+2)/(p+4)b}(1-q)\bigr)>0>-aq+\frac{2(p+2)}{p+4}b(1-q),
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
полученная оценка энергии $R_\eta(t)$ будет иметь бесконечное среднее (в отличие от [61], [63], где это среднее конечно). Отсутствие первого момента для энергии может существенно изменить рассматриваемую динамику, в частности, сделать ее бесконечномерной. Это наблюдение базируется на следующем стандартном дополнении к эргодической теореме Биркгофа (см., например, [66] по поводу дальнейших результатов в этом направлении). Предложение 7.1. Пусть $(X,\mu)$ – компактное метрическое пространство с борелевской вероятностной мерой $\mu$ на нем и пусть $T\colon X\to X$ – эргодическое отображение. Предположим, что $f\colon X\to\mathbb{R}$ – неотрицательная измеримая функция такая, что $\int_X f(x)\,\mu(dx)=\infty$. Тогда для почти всех $x\in X$. Доказательство. Действительно, по определению интеграла Лебега, существует последовательность простых функций $f_l\in L^1(X,\mu)$ таких, что и $\int_X f_l(x)\,\mu(dx)\to\infty$. Выберем $x\in X$ такое, что эргодическая теорема Биркгофа выполняется для всех $l$. Тогда при $l\to\infty$, и предложение доказано. Доказанное утверждение позволяет ожидать, что в случае, когда первого момента энергии нет, глобальные ляпуновские экспоненты, а также глобальная ляпуновская размерность, могут быть бесконечными (потому что эргодические суммы, использующие энергию, обычно присутствуют, по крайней мере, в оценках этих величин, см. подробности в [63], [64]). В свою очередь, это позволяет предположить, что хаусдорфова и фрактальная размерности аттрактора также могут быть бесконечны. Это позволяет нам выдвинуть следующую гипотезу. Гипотеза 7.1. Пусть $p$, $a$, $b$ и вероятность $q$ удовлетворяют (7.2). Тогда существуют нелинейность $f$ и правая часть $g$, удовлетворяющие условиям теоремы 6.2 такие, что соответствующий случайный аттрактор $\mathcal A(\eta)$ имеет бесконечные хаусдорфову и фрактальную размерности в $E$. В настоящий момент мы не можем доказать или опровергнуть эту гипотезу. Однако для поддержки этой гипотезы мы завершим этот параграф рассмотрением упрощенного модельного примера, для которого эта гипотеза справедлива. Пример 7.1. Пусть $H=l_2$ (пространство квадратично суммируемых последовательностей). Рассмотрим случайную динамическую систему в $H$, порождаемую следующими уравнениями: Система уравнений (7.4) достаточно проста и может быть решена явно. В частности, если $aq-(1-q)b>0$, то
$$
\begin{equation}
u_1(t)=u_{1,\eta}(t)=\int_{-\infty}^t \exp\biggl\{-\int_s^t\eta(l)\,dl\biggr\}\,ds
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
является единственным полным решением умеренного роста первого уравнения (для почти всех $\eta\in\Gamma$). Более того, рассуждая как и в (7.1), получим
$$
\begin{equation}
\int_{\eta\in\Gamma}u_{1,\eta}(0)\, \mu(d\eta)=\infty,
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
если Мы утверждаем, что при этом предположении случайный аттрактор, порождаемый (7.4), является бесконечномерным. Теорема 7.1. Пусть $a,b>0$ и вероятность $q\in(0,1)$ удовлетворяют (7.7). Тогда случайный аттрактор $\mathcal A(\eta)$ системы (7.7) в $H$ имеет бесконечные хаусдорфову и фрактальные размерности в $H$: для почти всех $\eta\in\Gamma$. Доказательство. Мы кратко обсудим сначала существование случайного аттрактора. Существование случайного поглощающего множества умеренного роста для первой компоненты $u_1$ системы (7.4) следует из явной формулы для решения и леммы 6.1. Предположим теперь, что $u_1(\tau)$ уже принадлежит этому поглощающему множеству, и получим оценки для $u_k$. Умножив $k$-е уравнение на $\operatorname{sgn}(u_k)$ и взяв сумму, после стандартных оценок получим Проинтегрировав это неравенство по времени и использовав тот факт, что $u_1(t)$ имеет умеренный рост, мы получим случайный поглощающий шар умеренного роста для $u$ в $l_1\subset H$. Для получения компактного поглощающего множества достаточно использовать стандартное параболическое свойство сглаживания. Таким образом, существование случайного аттрактора $\mathcal A(\eta)$ проверено.
Напомним также, что случайный аттрактор состоит из всех полных траекторий умеренного роста рассматриваемой системы, поэтому достаточно найти все такие траектории. Первое уравнение не зависит от остальных и имеет единственную такую траекторию, заданную формулой (7.5). Поэтому для нахождения $\mathcal K_\eta$ необходимо фиксировать $u_1(t)=u_{1,\eta}(t)$ в остальных уравнениях (7.5) и найти случайный аттрактор умеренного роста $\mathcal A^k(\eta)$, $k=2,3,\dots$, отдельно для каждой компоненты системы (7.5). Тогда искомый аттрактор $\mathcal A(\eta)$ полной системы будет иметь вид декартова произведения
$$
\begin{equation}
\mathcal A(\eta)=\{u_{1,\eta}(0)\}\times\bigotimes_{k=2}^\infty\mathcal A^k(\eta).
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
Более того, так как аттрактор всегда связен, то каждый из $\mathcal A^k(\eta)$ является замкнутым интервалом, поэтому для доказательства бесконечномерности достаточно показать, что $\mathcal A^k(\eta)\ne\{0\}$ для всех $k$. Другими словами, нужно найти ненулевую полную траекторию $u_k=u_k(t)$ умеренного роста для уравнений используя тот факт, что $u_{1,\eta}(t)$ имеет умеренный рост и бесконечное среднее.
Для этого мы прежде всего заметим, что любое решение уравнения (7.10) либо имеет умеренный рост при $t\to-\infty$, либо взрывается назад по времени (это легко показывается с помощью принципа сравнения, используя тот факт, что $u_{1,\eta}(t)$ имеет умеренный рост), следовательно, любое полное решение $u_k(t)$, $t\in\mathbb{R}$, автоматически имеет умеренный рост. Искомое полное решение (7.10) может быть найдено явно:
$$
\begin{equation*}
u_{k,\eta}(t):=\biggl(2\int_{-\infty}^t\exp\biggl\{2\int_s^t(k^4-u_{1,\eta}(l))\,dl\biggr\} \,ds\biggr)^{-1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, конечность интеграла гарантируется (7.6) и предложением 7.1 (аналогично доказательству леммы 6.1). Таким образом, $\mathcal A^k(\eta)\ne \{0\}$ для почти всех $k$, что завершает доказательство теоремы. Замечание 7.1. На самом деле, мы нашли явное выражение для случайного аттрактора в последнем примере: Было бы интересно посчитать (например, используя это выражение) типичную эпсилон энтропию Колмогорова для этого бесконечномерного аттрактора. Авторы благодарны Д. Тураеву и В. Калантарову за плодотворные дискуссии и полезные советы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ChaLiSun23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|