| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Модификация конструкции Пуанкаре и ее применение в В. К. Белошапкаab a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9249 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВедущим элементом метода модельной поверхности является конструкция Пуанкаре, которую он применял как в небесной механике, так и в $CR$-геометрии (гомологический оператор Пуанкаре или Пуанкаре–Дюлака). Применение в $CR$-геометрии представлено в работе 1907 г. [1] (см. также [2]). Эта конструкция, по существу, представляет собой версию теоремы о неявном отображении в классе формальных степенных рядов. Обычно в $CR$-геометрии эта конструкция используется так. Пусть имеется некоторое нелинейное дифференциальное или функциональное соотношение $F(x,\phi(x))=0$. Пусть в кольце формальных степенных рядов от $x$ введена некоторая градуировка (вес), причем $\mu$-я компонента нашего соотношения имеет вид
$$
\begin{equation*}
L(x,\phi_{\mu}(x))=\text{выражению, зависящему от } \phi_{\nu} \text{ при } \nu \leqslant \mu-1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $L(x,y)$ линейно зависит от $y$. Тогда, очевидно, размерность линейного пространства решений уравнения $L(x,\phi(x))=0$ мажорирует размерность семейства решений исходного уравнения $F(x,\phi(x))=0$. В работе [3] для оценки размерности алгебры Ли инфинитезимальных автоморфизмов произвольной голоморфно невырожденной вещественной гиперповерхности пространства $\mathbf{C}^3$ была использована некоторая модификация этой конструкции (редукция на глубину два). А именно, пусть $\mu$-я компонента нашего соотношения $F(x,\phi(x))=0$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
L_1(x,\phi_{\mu}(x))+L_2(x, \phi_{\mu -1}(x))=\text{выражению, зависящему от } \phi_{\nu} \text{ при } \nu \leqslant \mu-2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $L_1(x,y)$ и $L_2(x,y)$ линейно зависят от $y$. Тогда, очевидно, размерность линейного пространства решений уравнения $L_1(x,\phi(x))+L_2(x,\phi(x))=0$ мажорирует размерность семейства решений исходного уравнения $F(x,\phi(x))=0$. Аналогично определяется обобщение этой конструкции – редукция на произвольную глубину $k$. В данной работе мы даем еще одну демонстрацию применения редукции на глубину два и три. С помощью этой модификации конструкции Пуанкаре дается оценка сверху на размерность алгебры Ли инфинитезимальных автоморфизмов произвольной голоморфно невырожденной вещественной гиперповерхности пространства $\mathbf{C}^4$ (теорема 2). Этот результат подтверждает старую гипотезу [4]: либо размерность группы автоморфизмов произвольного ростка вещественно аналитической гиперповерхности не превышает размерности для любой невырожденной стандартной гиперквадрики (в $\mathbf{C}^4$ она равна $24$), либо она бесконечна. Отметим, что для получения известной оценки для гиперповерхностей пространства $\mathbf{C}^2$ достаточно обычной (однократной) конструкции Пуанкаре. Для получения же такой оценки в пространстве размерности $(n+1)$ потребуется использование всех вариантов редукции на глубину от $1$ до $n$. Поскольку $k$-кратная конструкция Пуанкаре отличается от классической, изложим схему ее применения в общем виде. Пусть $V$ – линейное пространство бесконечных последовательностей вещественных чисел, пусть $x \in V$. Пусть далее эта последовательность разбита на конечные отрезки, которые мы будем обозначать $x_j$. Соответственно $x=(x_1,x_2, \dots)$, при этом $x_j$ – элемент некоторого конечномерного вещественного линейного пространства. Фиксируем некоторое натуральное число $k$. Вот общая формулировка, которую естественно назвать схемой рекурсии на глубину $k$. Ниже предполагается, что индексы всех переменных группы $x$ положительны, и, если в записи появляется переменная с неположительным индексом, то полагаем, что ее нет. Теорема 1. Пусть имеется бесконечная система полиномиальных соотношений вида Доказательство. Пусть $W$ – прямое дополнение $\operatorname{Ker} L$ до $V$. Это дополнение можно определить так. В конечномерном пространстве $\widetilde{V}_l$ произвольно выберем прямое дополнение $\widetilde{W}$ к $ \operatorname{Ker} L$ и дополним его подпространством $V_l=\{(0,\dots,0,x_{l+1},x_{l+2},\dots)\} $. Таким образом, уравнение $L(x)=0$ имеет в пространстве $W$ единственное решение $x=0$. Просматривая последовательно уравнения $\Theta_j(x)=L_j(x)+\theta_j(x)=0$, убеждаемся, что эта система также имеет в $W$ не более одного решения. Произвольный вектор $x' \in V$ имеет вид $x\,{+}\,a$, где $x \in W$, $a\in\operatorname{Ker} L$. Рассмотрим нашу систему при фиксированном $a$. Получаем $\Theta_j(x+a)=L_j(x)+\theta_j(x+a)=0$. Также видим, что эта система имеет не более одного решения. Таким образом, совокупность решений (1.1) параметризуется некоторым подмножеством $\operatorname{Ker} L$. Теорема доказана. Пусть $\Gamma$ – вещественно аналитическая гиперповерхность в области пространства $\mathbf{C}^4$, $\Gamma_{\xi}$ – росток этой гиперповерхности в точке $\xi$. Пусть далее $\operatorname{aut} \Gamma_{\xi}$ – алгебра Ли, состоящая из ростков вещественных вещественно аналитических векторных полей в точке $\xi$, касательных к $\Gamma_{\xi}$. Если $\Gamma$ вне собственного аналитического подмножества Леви-невырождена, то в рамках стандартного подхода (однократная редукция) мы получаем стандартную оценку: $\dim\operatorname{aut}\Gamma_{\xi}$ не превосходит размерности алгебры автоморфизмов касательной невырожденной гиперквадрики, которая, независимо от сигнатуры, равна $24$. Рассчитывать на получение оценки мы можем только в случае, если $\Gamma$ – голоморфно невырождена. Для гиперповерхности в $\mathbf{C}^4$ голоморфная невырожденность эквивалентна $l$-невырожденности вне собственного аналитического подмножества, причем $l \leqslant 3$ (см. [5]). Таким образом, для получения общей оценки нам необходимо рассмотреть две разных ситуации: 1) $\Gamma$ равномерно $2$-невырождена в окрестности ${\xi}$, 2) $\Gamma$ равномерно 3-невырождена в окрестности ${\xi}$. Примеров равномерно 2-невырожденных гиперповерхностей в $\mathbf{C}^4$ достаточно много. Например, они содержатся в известной работе Г. Фелса и В. Каупа [6]. В частности, там описаны трубчатые гиперповерхности над вещественными конусами и их голоморфные автоморфизмы. В $\mathbf{C}^4$ группы таких конусов имеют размерность $15$. Примеров равномерно $3$-невырожденных гиперповерхностей в $\mathbf{C}^4$ нам известно два. Один от В. Каупа [6] и один от А. Санти [7]. Оба – голоморфно однородные, причем в примере Санти известна размерность алгебры автоморфизмов, которая равна $8$. Рассмотрим оба случая – 3-невырожденный и 2-невырожденный – последовательно. Отметим, что для получения оценки нам пришлось не только использовать гомологический оператор на глубину больше, чем один. Также для анализа $2$-невырожденных мы использовали двухкратную процедуру. А именно, рекуррентная процедура с одним весом, затем смена веса и анализ ядра старого гомологического оператора с точки зрения новой весовой рекурсии, что ведет к новому гомологическому оператору. Далее для анализа специального случая (большое ядро) – еще одна смена веса и новая рекурсия. В итоге мы получим две оценки размерности. Для $2$-невырожденных – $17$, а для 3-невырожденных – $20$. При этом для 2-невырожденных наша техника дает оценку $18$, но использование недавнего результата И. Зеленко и Д. Сайкса [8] позволило улучшить ее до $17$. § 2. 3-невырожденные гиперповерхностиОбозначим координаты в $\mathbf{C}^4$ через $(z, \zeta, \eta, w=u+iv)$. Пусть $\Gamma$ – равномерно $3$-невырождена в окрестности $\xi\in \Gamma$. Имея в виду нашу цель – получение оценки на размерность группы автоморфизмов, – мы можем ограничиться так называемыми жесткими гиперповерхностями. Действительно, если алгебра автоморфизмов содержит поле, трансверсальное комплексной касательной, то после локального распрямления мы можем полагать, что группа содержит сдвиги вдоль оси $u$ и, тем самым, локальное уравнение $\Gamma$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
v =F(z,\overline{z},\zeta,\overline{\zeta},\eta,\overline{\eta}\, ),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. правая часть не зависит от $u$. В силу $3$-невырожденности ранг формы Леви в общей точке равен единице, и мы можем записать локальное уравнение $\Gamma$ в виде $ v =|z|^2 +F_3+F_4+ \cdots,$ где $F_j(z,\overline{z},\zeta,\overline{\zeta},\eta,\overline{\eta}\, )$ – однородный полином степени $j$. При этом простыми преобразованиями мы можем удалить все плюригармонические компоненты правой части уравнения, а также все члены, линейные по $z$ и $\overline{z}$, за исключением $|z|^2$. Необходимым условием равномерной $3$-невырожденности является условие, что ранг комплексного гессиана $F(z,\overline{z},\zeta,\overline{\zeta},\eta,\overline{\eta}\, )$ всюду не превосходит единицы. Это условие, учитывая, что $F_{z \overline{z}}$ в нуле равна единице, можно записать как условие равенства нулю трех миноров второго порядка. А именно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \delta_1(F) &=F_{z \overline{z}}F_{\zeta \overline{\zeta}}-|F_{z \overline{\zeta}}|^2=0, \\ \delta_2(F) &=F_{z \overline{z}}F_{\zeta \overline{\eta}}-F_{\zeta \overline{z}}F_{z \overline{\eta}}=0, \\ \delta_3(F) &=F_{z \overline{z}}F_{\eta \overline{\eta}}-|F_{z \overline{\eta}}|^2=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Лемма 1. Если $\Gamma$ равномерно $3$-невырождена, то уравнение этой гиперповерхности после полиномиальной замены можно записать в виде где Доказательство. Запишем общий вид $F_3$ с учетом наших упрощений. Выделяя в соотношениях (2.1) компоненту степени один, получаем, что $F_3=2\operatorname{Re}(a_1\zeta+a_2\eta)\overline{z}^{\,2}$. Поскольку $F_3$ не есть тождественный нуль, то $(a_1,a_2) \neq 0$ и мы можем заменить $a_1\zeta+a_2\eta$ на новую переменную $\zeta$. Теперь простым преобразованием можно удалить из всех последующих компонент $F$ слагаемые вида $2\operatorname{Re}(A(z,\zeta,\eta)\overline{z}^{\,2})$ с голоморфным коэффициентом $A$.
Запишем общий вид $F_4$ с учетом наших упрощений. Выделяя в соотношениях (2.1) компоненту степени два, получаем, что $F_4=2\operatorname{Re}\overline{z}^{\,3}(a_3\eta+a_4\zeta)+4|z|^2|\zeta|^2$. Из равномерной $3$-невырожденности следует, что $a_3 \neq 0$ и мы можем заменить $a_3\eta+a_4\zeta$ на новую переменную $\eta$. Простым преобразованием удаляем из всех последующих компонент $F$ слагаемые вида $2\operatorname{Re}(B(z,\zeta,\eta)\overline{z}^{\,3})$ с голоморфным коэффициентом $B$. Выделяя компоненту степени три, получаем указанный вид $F_5$. А затем из компоненты степени четыре – вид $F_6$. Лемма доказана. Рассмотрим отображение ростка одной гиперповерхности $\Gamma$ в начале координат вида (2.2) на другую такую гиперповерхность $\widetilde{\Gamma}$. Пусть координаты ростка отображения в начале координат имеют вид
$$
\begin{equation*}
\Phi=\bigl(z \to f(z,\zeta,\eta,w), \, \zeta \to g(z,\zeta,\eta,w), \, \eta \to h(z,\zeta,\eta,w), \, w \to e(z,\zeta,\eta,w)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Будем считать эти гиперповерхности фиксированными. Введем в пространстве степенных рядов от $(z,\overline{z},\zeta, \overline{\zeta},\eta, \overline{\eta},u)$, а также от $(z,\overline{z},\zeta,\overline{\zeta}, \eta, \overline{\eta}, w,\overline{w}\,)$ градуировку, назначая веса переменным:
$$
\begin{equation*}
[z]=[\overline{z}\, ]=[\zeta]=[ \overline{\zeta}\, ]=[\eta]=[ \overline{\eta}\,]=1, \qquad [w]=[\overline{w}\, ]=[u]=2.
\end{equation*}
\notag
$$
Набор весовых компонент $(f_{\mu-1},g_{\mu-2},h_{\mu-3},e_{\mu})$ обозначим через $\phi_{\mu}$ ($\mu$-я весовая компонента $\Phi$). Запишем соотношение, отражающее тот факт, что $\Phi$ отображает $\Gamma$ на $\widetilde{\Gamma}$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \Theta(z,\overline{z},\zeta, \overline{\zeta},u) &=- 2\operatorname{Im}e(z,\zeta,\eta,w) +2|f|^2 +4 \operatorname{Re}(f^2 \overline{g}\, ) +4 \operatorname{Re}(f^3 \overline{h}\,) \\ &\qquad+ 8|f|^2|g|^2+2F_4(f,\overline{f},g, \overline{g},h,\overline{h}\,) +2F_5(f,\overline{f},g, \overline{g},h,\overline{h}\,) \\ &\qquad +2F_6(f,\overline{f},g, \overline{g},h,\overline{h}\,) +\cdots=0 \end{aligned} \\ \text{при}\quad w=u+i\bigl(|z|^2+2\operatorname{Re}(z^2\overline{\zeta}\,)+2 \operatorname{Re}(z^3\overline{\eta}\, )+4|z|^2|\zeta|^2+\cdots\bigr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Среди всех голоморфных в начале координат отображений выделим класс отображений вида
$$
\begin{equation}
\mathcal{V}_5=\bigl\{ \Phi=\mathrm{Id}+\phi_5+ \dots=\bigl(z+O(4), \, \zeta+O(3), \, \eta +O(2), \, w+O(5)\bigr) \bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Оценку размерности семейства таких отображений $\Gamma$ на $\widetilde{\Gamma}$ проведем по схеме кратной рекурсии глубины $k=3$ (см. теорему 1). Для этого выделим в $\Theta_{\mu}$ – $\mu$-й весовой компоненте (2.3) – члены, зависящие от $(\phi_{\mu}, \phi_{\mu-1},\phi_{\mu-2})$, т. е. от
$$
\begin{equation*}
(e_{\mu}, e_{\mu-1},e_{\mu-2}, f_{\mu-1}, f_{\mu-2},f_{\mu-3},g_{\mu-2}, g_{\mu-3},g_{\mu-4},h_{\mu-3}, h_{\mu-4},h_{\mu-5}).
\end{equation*}
\notag
$$
Введем обозначения $\Delta_1\psi(u)=iF_3\psi'(u)$, $\Delta_2\psi(u)=iF_4\psi'(u)$. Выделим последовательно в слагаемых выражения $\Theta$, начиная от $-2\operatorname{Im}e$ до $F_6$, члены указанного вида, получим следующий результат. Лемма 2. Для всех $\mu \geqslant 5$ $\mu$-я компонента $\Theta$ имеет вид Отметим, что выражение $L (\phi)= L_1 (\phi)+ L_2(\phi)+ L_3(\phi)$ линейно по $\phi$ и не зависит от $\mu$. Пусть $V_5$ – линейное пространство, состоящее из ростков формальных степенных рядов в начале координат вида
$$
\begin{equation*}
\Phi=\phi_5+\phi_6 +\dots=(f_4 +f_5+\cdots,\, g_3 +g_4+\cdots,\, h_2 +h_3+\cdots,\, e_5+e_6+\cdots).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в соответствии с теоремой 1 размерность семейства отображений $\Gamma$ на $\widetilde{\Gamma}$ из $\mathcal{V}_5$ не превосходит размерности ядра $L$ на $V_5$. Перейдем к оценке размерности ядра оператора $L$, т. е. пространства решений соотношения Обозначим
$$
\begin{equation*}
f(0,0,0,u)=a(u), \quad g(0,0,0,u)=b(u), \quad h(0,0,0,u)=c(u), \quad e(0,0,0,u)=d(u).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим в (2.5) $ \overline{z}= \overline{\zeta}=\overline{\eta}=0$, получим соотношение, из которого сразу находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, e(z,\zeta,\eta,u) &=d(u)+2iz\overline{a}\,(u)+2iz^2\overline{b}\,(u)+2iz^3\overline{c}\,(u) \nonumber \\ &\qquad+4iz^4(\overline{r}_2\overline{c}\,(u)+\overline{r}_1\overline{b}\,(u)) +2i\overline{s}_4 z^5\overline{c}\,(u), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
причем $d(u)$ – вещественна. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} f'_z(0,0,0,u) &=k_1(u), &\qquad g'_z(0,0,0,u)&=k_2(u), &\qquad h'_z(0,0,0,u)&=k_3(u), \\ f'_{\zeta}(0,0,0,u)&=m_1(u), &\qquad g'_{\zeta}(0,0,0,u)&=m_2(u), &\qquad h'_{\zeta}(0,0,0,u)&=m_3(u), \\ f'_{\eta}(0,0,0,u)&=n_1(u), &\qquad g'_{\eta}(0,0,0,u)&=n_2(u), &\qquad h'_{\eta}(0,0,0,u)&=n_3(u). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляем полученное значение $e$ в $L$ (обозначение $L$ сохраняем). Подставим $\overline{z}= \overline{\zeta}=\overline{\eta}=0$ в $L_{\overline{z}}$, $L_{\overline{\zeta}}$, $L_{\overline{\eta}}$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &2z^2\overline{k}_2(u)+2z^3\overline{k}_3(u)+10\eta^4s_8h(z, \zeta, \eta, u)+24 \overline{c}\,(u)\zeta^2z^2+2z^5\overline{s}_4\overline{k}_3(u) \\ \nonumber &\qquad+8h(z, \zeta, \eta, u)\eta^3\overline{r}_4+4z^4\overline{r}_2\overline{k}_3(u) +2\overline{c}\,(u)z^4\overline{s}_3+4z^4\overline{r}_1\overline{k}_2(u)-2a(u) \\ \nonumber &\qquad+2z\overline{k}_1(u)+8\zeta^2\overline{b}\,(u)+ 4\zeta\overline{a}\,(u) -2d'(u)z+2f(z, \zeta, \eta, u)+12\zeta z^2\overline{c}\,(u) \\ \nonumber &\qquad-4iz^2a'(u)-(4i)z^4\overline{c}^{\,\prime}(u)-4iz^3\overline{b}^{\,\prime}(u)+4h(z, \zeta, \eta,u)\zeta^2\eta r_3+16\overline{c}\,(u)\zeta z^3\overline{r}_2 \\ &\qquad-8iz^5\overline{r}_2\overline{c}^{\,\prime}(u)-8i\overline{r}_1z^5\overline{b}^{\,\prime}(u)- 4i\overline{s}_4z^6\overline{c}^{\,\prime}(u)+4\zeta^2\eta r_3g(z, \zeta, \eta, u)=0, \\ \nonumber &16h(z, \zeta, \eta, u)\eta^3zr_4-4iz^5\overline{c}^{\,\prime}(u) -2iz^7\overline{s}_4c'(u) -4iz^6 \overline{r}_1\overline{b}^{\,\prime}(u)+2z^2\overline{m}_2(u) \\ \nonumber &\qquad+2z^3\overline{m}_3(u)+2z\overline{m}_1(u)-2z^2e'(u)+4zf(z, \zeta, \eta, u)+8h(z, \zeta, \eta, u)\zeta^2\eta zr_3 \\ \nonumber &\qquad+2\overline{c}\,(u)z^4\overline{s}_6 +24\overline{c}\,(u)\zeta z^3 -4iz^4\overline{b}^{\,\prime}(u)-4iz^3a'(u)-8iz^6\overline{r}_2\overline{c}^{\,\prime}(u) \\ \nonumber &\qquad+4z^4\overline{r}_2\overline{m}_3(u)+2z^5\overline{s}_4\overline{m}_3(u) +8\zeta z\overline{a}\,(u)+16\zeta z\overline{b}\,(u) +4z^4\overline{r}_1\overline{m}_2(u)=0, \\ \nonumber &4z^4\overline{r}_1\overline{n}_2(u)+4z^4\overline{s}_7\overline{c}\,(u)+2z^5\overline{s}_4 \overline{n}_3(u)+6z^2f(z, \zeta, \eta, u) +4z^4\overline{r}_2\overline{n}_3(u) \\ \nonumber &\qquad-4iz^5\overline{b}^{\,\prime}(u)-4iz^4a'(u)-4iz^7\overline{r}_2 \overline{c}\,(u)-2z^3e'(u) -4iz^7\overline{r}_1 \overline{b}^{\,\prime}(u) \\ \nonumber &\qquad-2iz^8\overline{s}_4\overline{c}^{\,\prime}(u)-4iz^6\overline{c}^{\,\prime}(u)+2z\overline{n}_1(u) +2z^2\overline{n}_2(u)+2z^3\overline{n}_3(u)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Из третьего соотношения (2.7) следует, что $n_1(u)=0$ и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &3f(z, \zeta, \eta, u)= -\overline{n}_2(u)+z\bigl(e'(u)-\overline{n}_3(u)\bigr) \nonumber \\ \nonumber &\qquad+2z^2\bigl(-\overline{r}_1\overline{n}_2(u)-\overline{s}_7 \overline{c}\,(u)-\overline{r}_2\overline{n}_3(u)+i\overline{a}^{\,\prime}(u)\bigr) +z^3\bigl(2i\overline{b}^{\,\prime}(u)-\overline{s}_4\overline{n}_3(u)\bigr) \\ &\qquad+ 2iz^4\overline{c}^{\,\prime}(u) +2iz^5\bigl(\overline{r}_2\overline{c}^{\,\prime}(u)+\overline{r}_1 \overline{b}^{\,\prime}(u)\bigr) +iz^6\overline{s}_4\overline{c}^{\,\prime}(u). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Подставляя полученное значение $f$ в первое и второе соотношения (2.7) и выделяя старшую компоненту по $\eta$, получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, 2r_3\zeta^2 g(z,\zeta,\eta,u)+(2r_3\zeta^2+5s_8\eta^2)h(z,\zeta,\eta,u) =0, \\ (r_3\zeta^2+2r_4\eta^2)h(z,\zeta,\eta,u)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Оставшиеся после выполнения (2.9) условия, обеспечивающие выполнение (2.7), сводятся к следующей системе соотношений:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, a=b=c=n_1=n_2=k_3=0, \\ d'=-2\operatorname{Re}n_3, \qquad k_2=\frac{2}{3}\,r_2n_3, \qquad m_2=\frac{1}{3}(n_3-\overline{n}_3), \qquad m_3=\frac{4}{3}\,r_2n_3, \\ r_1r_2n_3=0, \qquad s_4n_3=0, \qquad (r_1-s_4+4r_2^2)n_3=r_1\overline{n}_3. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
При этом
$$
\begin{equation*}
e(z,\zeta,\eta,u)=d(u), \qquad f(z,\zeta,\eta,u)=\frac{d'(u)-\overline{n}_3(u)}{3} z -\frac{2}{3} \, \overline{r}_2\overline{n}_3(u)z^2 -\frac{\overline{s}_4 \overline{n}_3(u)}{3}z^4.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим два случая. 1. Пусть $r_3 \neq 0$, тогда из (2.9) сразу следует, что $g=h=0$. Оставшиеся соотношения позволяют заключить, что $f=0$ и $d$ – вещественная константа. Итак, в этом случае $\operatorname{Ker}L=V^0=\{ (0,0,0,d_0)\}$, причем $d_0 \in \mathbf{R}$. 2. Пусть $r_3=0$. Пусть $(r_4,s_8) \neq 0$, тогда из (2.9) следует, что $h=0$. Возвращаясь к соотношениям (2.7), получаем $n_3=n_2=d'=0$. Откуда $f=0,$ а $e$ – вещественная константа. Обозначим $g''_{zz}(0,0,0,u)$ через $k_{22}(u)$. Вычисляя теперь $L''_{\overline{z}\, \overline{z}}$ при $\overline{z}=\overline{\zeta}= \overline{\eta}=0$, получаем
$$
\begin{equation*}
g(z,\zeta,\eta,u)=2iz^5\overline{r}_1\overline{k}^{\,\prime}_2(u)-z^4\overline{r}_1\overline{k}_{22}(u) +iz^3\overline{k}^{\,\prime}_2(u)-\frac12 z^2\overline{k}_{22}(u)-4\zeta^2\overline{k}_2(u).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя это значение $g$ в $L$ и приравнивая к нулю коэффициенты при $z^2\overline{\zeta}^{\,2}$ и $z^2\overline{z} \, |\zeta|^2$, получаем, что $k_2=k_{22}=0$, т. е. $g=0$. Следовательно, $\operatorname{Ker}L=V^0$. Пусть $r_4=s_8= 0$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
h''_{zz}(0,0,0,u)=k_{32}(u), \qquad h'''_{zzz}(0,0,0,u)=k_{33}(u).
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисляя $L''_{\overline{z}\, \overline{z}}$ при $\overline{z}=\overline{\zeta}=\overline{\eta}=0$, как и ранее, получаем выражение для $g$, вычисляя $L'''_{\overline{z} \, \overline{z}\, \overline{z}}$ при $\overline{z}=\overline{\zeta}= \overline{\eta}=0$, получаем выражение для $h$. После чего анализ младших коэффициентов $L$ дает $n_3=d'=k_2=k_{22}=k_{32}=k_{33}=0$, откуда получаем $f=g=h=0$, $e$ – вещественная константа. Следовательно, $\operatorname{Ker}L=V^0$. Таким образом, нами доказана и лемма 3. Лемма 3. Если $L(\phi)=0$, то $\phi=(0,0,0,d_0)$, где $d_0$ – вещественная постоянная. В частности, на пространстве $V_5$ ядро тривиально. Выясним, как устроены младшие струи отображения $\Gamma$ на $\widetilde{\Gamma}$, сохраняющего нуль на месте. Выделяя компоненты (2.3) веса один и два, сразу получаем, что
$$
\begin{equation*}
e_1=0, \qquad e_2=|\lambda|^2w, \qquad f_1=\lambda z, \qquad \lambda \in \mathbf{C}^*.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть далее
$$
\begin{equation*}
e_3=|\lambda|^2(d_3+d_1w), \qquad f_2=\lambda(aw+a_2), \qquad g_1=b_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $d_3$, $d_1$, $a_2$, $b_1$ – однородные голоморфные формы от $(z,\zeta,\eta)$ соответствующих степеней, $a$ – постоянная. Третья весовая компонента (2.3) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\lambda|^2 \operatorname{Im}\bigl[i2\operatorname{Re}\bigl(z^2\overline{\zeta}+ d_1(z,\zeta,\eta)(u+i|z|^2)\bigr)\bigr] \\ &\qquad=|\lambda|^2 2\operatorname{Re}[(a(u+i|z|^2)+a_2(z,\zeta,\eta))\overline{z}\, ]+2 \operatorname{Re}[\lambda^2 z^2\overline{b}_1 (\overline{z},\overline{\zeta},\overline{\eta}\, )]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выделяя члены, линейные по $u$, получаем $d_1=2i\overline{a} \,z$. Теперь среди членов бистепени $(2,1)$ выпишем по отдельности компоненты, линейные по $\overline{z}$, по $\overline{\zeta}$ и по $\overline{\eta}$. Получим
$$
\begin{equation*}
a_2(z,\zeta,\eta)=\biggl(2i\overline{a} -\frac{\lambda}{\overline{\lambda}^{\phantom{2}}}\, \overline{b}_1^{\,1}\biggr)z^2, \qquad b_1^2=\frac{\lambda}{\overline{\lambda}^{\phantom{2}}}, \quad b_1^3=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $b_1= b_1^1z+b_1^2\zeta+b_1^3\eta$. Здесь и далее верхними индексами указываем на связь коэффициентов и переменных. Пусть $b_1^1=\alpha\lambda / \overline{\lambda}$, получаем
$$
\begin{equation*}
e_3=2i|\lambda|^2 \overline{a} \, zw, \qquad f_2= \lambda\bigl(aw+(2i\overline{a}- \overline{\alpha}\, )z^2\bigr), \qquad g_1=\frac{\lambda}{\overline{\lambda}^{\phantom{2}}} (\alpha z+\zeta).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть далее
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, e_4=|\lambda|^2(d_4+d_2w+d_0w^2), \qquad f_3=\lambda(a_3+a_1w), \\ g_2=\frac{\lambda}{\overline{\lambda}^{\phantom{2}}}(b_2+b_0 w), \qquad h_1=\frac{\lambda}{\overline{\lambda}^{\,2}}c_1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где коэффициенты – это голоморфные однородные формы от $(z,\zeta,\eta)$ соответствующих степеней. Выпишем компоненту (2.3) веса четыре (общий множитель $|\lambda|^2$ убираем):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\operatorname{Im}[d_4(z,\zeta,\eta)+d_2(z,\zeta,\eta)(u+i|z|^2)+d_0(u^2+2i|z|^2u-|z|^4) \\ \nonumber &\ \qquad+2\overline{a} z(z^2\overline{\zeta}+ \overline{z}^{\,2}\zeta)+i(z^3\overline{\eta}+\overline{z}^{\,3}\eta)+4|z|^2|\zeta|^2 ] \\ &\ =2\operatorname{Re}[(a_3(z,\zeta,\eta)+a_1(z,\zeta,\eta)(u+i|z|^2))\overline{z}\, ] +|a|^2(u^2+|z|^4) \nonumber \\ \nonumber &\ \qquad-2\operatorname{Re}[(a(u+i|z|^2)(2ia+\alpha)\overline{z}^{\,2})]+ |2ia+\alpha|^2|z|^4 +2\operatorname{Re}\bigl[a\bigl(2i \operatorname{Re}(z^2\overline{\zeta}\,)\bigr)\bigr] \\ \nonumber &\ \qquad+2\operatorname{Re}\bigl[2\bigl(a(u+i|z|^2)+(2i\overline{a} -\overline{\alpha}\, )z^2\bigr) z(\overline{\alpha} \, \overline{z}+\overline{\zeta}\,)\bigr] \\ &\ \qquad+2\operatorname{Re}\bigl[\bigl(b_2(z,\zeta,\eta)+b_0(u+i|z|^2)\bigr) \overline{z}^{\,2}\bigr]+ 2\operatorname{Re}[c_1(z,\zeta,\eta)\overline{z}^{\,3}]+4|z|^2 |\alpha z+ \zeta|^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Отделяя в (2.11) коэффициент при $u^2$, получаем $\operatorname{Im} d_0=|a|^2$. Положим $d_0=\gamma+i|a|^2$. Отделяя в (2.11) коэффициент при $u$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Im}[d_2(z,\zeta,\eta)] +|a|^2|z|^2 &= 2\operatorname{Re}[a_1(z,\zeta,\eta)\overline{z}\, ] -2\operatorname{Re}[a(2ia+\alpha)\overline{z}^{\,2}] \\ &\qquad+2\operatorname{Re}[az(\overline{\alpha} \, \overline{z}+\overline{\zeta}\,)] +2\operatorname{Re} [b_0\overline{z}^{\,2}]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда имеем
$$
\begin{equation*}
d_2=(2i\overline{a}^2 - \overline{a} \, \overline{\alpha}+\overline{\beta}\, )z^2,\qquad a_1 =\bigl((|a|^2- 2 \operatorname{Re}(a\overline{\alpha}\, ))+i\delta\bigr)z+\overline{a} \, \zeta,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta=b_0$, $\delta =\operatorname{Im}a_1^1$. Компонента бистепени $(4,0)$ сразу дает $d_4=0$. В бистепени $(3,1)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &id_2(z,\zeta,\eta)|z|^2 - \overline{a} \, z^3\overline{\zeta}+z^3\overline{\zeta} = a_3(z,\zeta,\eta)\overline{z} \\ &\qquad+i\overline{a}(-2i\overline{a}+\overline{\alpha}\, ) z^3\overline{z}-i\overline{\beta} \, z^3\overline{z}+ z^3\overline{c_1(z,\zeta,\eta)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
a_3=(-4\overline{a}^2-2i\overline{a}\, \overline{\alpha}+2\overline{\beta}- \overline{\nu}\,) z^3, \qquad c_1=\nu z-a\zeta +\eta,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nu=c_1^1$. В бистепени $(2,2)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2\operatorname{Re}[-i\overline{a}\, z\zeta\overline{z}^{\,2}+ia_1z \overline{z}^{\,2} +2ia z^2\overline{z}\, (\overline{\alpha}\, \overline{z}+\overline{\zeta}\,) +b_2\overline{z}^{\,2}+4 \alpha z^2\overline{z} \, \overline{\zeta}\, ] \\ &\qquad+(|a|^2+4|\alpha|^2+|2ia+\alpha|^2)|z|^4=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, b_2 &= \biggl(\delta-2|\alpha|^2 -\frac{|a|^2}{2}-\frac{1}{2}\, |2ia+\alpha|^2- 2 \operatorname{Re}(ia\overline{\alpha}+i\kappa)\biggr) z^2+(ia+2\alpha) z\zeta, \\ c_1 &= \nu z-a\zeta +\eta, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\kappa=\operatorname{Im} b_2^{1}$. Итак, нами доказана следующая лемма. Лемма 4. a) Всякое локально обратимое отображение $\Gamma$ на $\widetilde{\Gamma}$, сохраняющее начало координат, представимо в виде композиции отображения вида b) Причем
$$
\begin{equation*}
\lambda \in \mathbf{C}^*,\quad a, \alpha, \beta, \nu \in \mathbf{C}, \quad \gamma, \delta, \kappa \in \mathbf{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Что дает $13$ вещественных параметров. c) Такое отображение однозначно определяется заданием $3$-струи в начале координат. Теперь мы готовы доказать следующее утверждение. Утверждение 1. Если $\Gamma$ – вещественно аналитическая гиперповерхность пространства $ \mathbf{C}^4$, которая в точке общего положения является $3$-невырожденной, то размерность псевдогруппы локальных голоморфных автоморфизмов в любой точке не превосходит $20$. Доказательство. Размерность группы в произвольной точке не превосходит суммы размерности гиперповерхности и размерности стабилизатора в точке общего положения. Размерность гиперповерхности равна $7$. Размерность стабилизатора в силу теоремы 1 и лемм 1–4 не превосходит $13$. Поскольку $7+13 =20$, утверждение доказано.
§ 3. Общие 2-невырожденные гиперповерхностиОбозначим координаты в $\mathbf{C}^4$ через $(z=(z_1,z_2),\, \zeta,\, w=u+iv)$ и перейдем к рассмотрению $2$-невырожденного случая. Так же, как и выше, мы можем ограничиться жесткими гиперповерхностями. Пусть $\Gamma$ – равномерно $2$-невырождена в окрестности $\xi\in \Gamma$. Форма Леви равномерно $2$-невырожденной гиперповерхности повсюду имеет минимальное вырождение, а именно, ее ранг равен $2$. Таким образом, мы можем записать локальное уравнение $\Gamma$ в виде
$$
\begin{equation}
v=\langle z, \overline{z}\, \rangle+F_3(z,\overline{z},\zeta, \overline{\zeta}\,)+F_4 (z,\overline{z},\zeta, \overline{\zeta}\,)+ \cdots,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $F_j$ – однородный вещественный полином степени $j$, а $\langle z, \overline{z} \, \rangle$ – невырожденная эрмитова форма от переменного $z \in \mathbf{C}^2$. Простыми треугольно-полиномиальными заменами переменных $z$ и $w$ можно добиться того, что правая часть уравнения $\Gamma$ не будет содержать плюригармонических слагаемых (т. е. слагаемых бистепеней $(m,0)$ и $(0,m)$) и слагаемых, линейно зависящих от $z$ и $\overline{z}$, за исключением формы $\langle z, \overline{z}\, \rangle$. Выпишем слагаемые, которые после этого останутся в $F_3$ и $F_4$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_3 &=2 \operatorname{Re}\bigl(K(z,z)\overline{\zeta}+A_1(z)|\zeta|^2+A_2\zeta^2 \overline{\zeta}\,\bigr), \\ F_4 &= 2\operatorname{Re}\bigl((P(z,z,\overline{z}\,)+Q(z,z,z))\overline{\zeta}+R(z,z) \overline{\zeta}^{\,2}\bigr)+S(z,\overline{z}\,) |\zeta|^2 +T(z,z,\overline{z},\overline{z}\,) \\ &\qquad+2\operatorname{Re}\bigl(B_1(z,z)|\zeta|^2+B_2(z)\zeta^2 \overline{\zeta}+ B_3(z)\zeta \overline{\zeta}^{\,2}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Отметим, что из условия $2$-невырожденности $\Gamma$ следует, что форма $K(z,z)$ не равна нулю тождественно. Для дальнейших вычислений нам потребуется приведение пары форм $(\langle z, \overline{z}\rangle, K(z,z))$ на $\mathbf{C}^2$ комплексно линейными заменами к виду, содержащему минимум параметров. Имеет место следующая классификация (см. также [9]). Лемма 5. Пусть $\langle z, \overline{z} \, \rangle$ невырождена, а $K(z,z)$ отлична от тождественного нуля, тогда невырожденным комплексно-линейным преобразованием можно привести эту пару к одной из следующего списка: $1^*$) $(|z_1|^2+|z_2|^2,\, kz_1^2+mz_2^2)$, $k,m >0$, $k \neq m$; $2^*$) $(|z_1|^2+|z_2|^2,\, k(z_1^2+z_2^2))$, $k>0$; $3^*$) $(|z_1|^2+|z_2|^2,\, kz_1^2)$, $k>0$; $4^*$) $(|z_1|^2-|z_2|^2,\, kz_1^2+mz_2^2)$, $k,m>0$, $k \neq m$; $5^*$) $(|z_1|^2-|z_2|^2,\, k(z_1^2+z_2^2))$, $k>0$; $6^*$) $(|z_1|^2-|z_2|^2,\, kz_1^2)$, $k>0$; $7^*$) $(2 \operatorname{Re}(z_1\overline{z}_2),\, z_1^2+ mz_2^2)$, $m \notin \mathbf{R}$; $8^*$) $(2 \operatorname{Re}(z_1\overline{z}_2),\, z_1^2+ mz_2^2)$, $m \in \mathbf{R}^*$; $9^*$) $(2 \operatorname{Re}(z_1\overline{z}_2),\, z_1^2)$. Доказательство. Пусть $\langle z, \overline{z} \rangle$ положительно определена и $\nu$ – собственный вектор оператора, заданного матрицей Выбирая в качестве первого вектора нового базиса вектор и подбирая второй из условия ортонормированности, получаем в зависимости от ранга $K$ пары $1^*)$–$3^*)$. Положительности параметров $k$ и $m$ можно добиться поворотами в плоскостях $z_1$ и $z_2$.
Пусть $\langle z, \overline{z}\, \rangle$ имеет сигнатуру $(1,1)$. Если оператор имеет собственный вектор $\nu$ такой, что $\langle \nu, \overline{\nu}\,\rangle\neq 0$, то годится то же самое рассуждение, и это дает пары $4^*)$–$6^*)$. Пусть $(e_1,e_2)$ – базис $\mathbf{C}^2$, в котором $K(z,z)$ диагональна, т. е. $K(z,z)= kz_1^2+mz_2^2$, причем $\langle e_1, \overline{e}_1\rangle = \langle e_2, \overline{e}_2 \rangle =0$. Тогда если $z=z_1e_1+z_2e_2$, то После растяжения по $z_1$ эрмитова форма принимает вид $\langle z,\overline{z}\,\rangle = 2 \operatorname{Re}(z_1\overline{z}_2)$. Используя преобразование которое не меняет эрмитовой формы получаем пары $7^*)$–$9^*)$. Лемма доказана.Лемма 6. Если форма Леви гиперповерхности $\Gamma$, заданной уравнением (3.1), тождественно вырождена, то $F_3$ и $F_4$ можно записать в виде (3.2), причем $A_1=A_2=B_1=B_2=B_3=0$, а форма $S$ в зависимости от номера пары из леммы 5 имеет следующий вид: $1^*)$ $S=4(k^2|z_1|^2+m^2|z_2|^2)$; $2^*)$ $S=4k^2(|z_1|^2+ |z_2|^2)$; $3^*)$ $S=4k^2|z_1|^2$; $4^*)$ $S=4(k^2|z_1|^2-m^2|z_2|^2)$; $5^*)$ $S=4k^2(|z_1|^2-|z_2|^2)$; $6^*)$ $S=4k^2|z_1|^2$; $7^*)$ $S=4(\overline{m}\,z_1\overline{z}_2+mz_2\overline{z}_1)$; $8^*)$ $S=4m(z_1\overline{z}_2+z_2\overline{z}_1)$; $9^*)$ $S=0$. Доказательство. Вычисляя определитель матрицы комплексного гессиана по переменным $(z_1,z_2,\zeta)$ и отделяя в нем компоненты степени один, получаем, что $A_1=A_2=0$ . Отделяя далее компоненты степени два, получаем $B_1=B_2=B_3=0$ и указанный вид формы $S$. Лемма доказана. Теперь можем написать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_3 &= 2 \operatorname{Re}[K(z,z)\overline{\zeta}\,], \\ F_4 &= 2 \operatorname{Re}\bigl[(P(z,z,\overline{z}\,)+Q(z,z,z))\overline{\zeta}+R(z,z) \overline{\zeta}^{\,2}\bigr]+S(z,\overline{z}\,)|\zeta|^2+T(z,z,\overline{z},\overline{z}\,), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. уравнение гиперповерхности имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber v &=\langle z, \overline{z}\, \rangle + 2 \operatorname{Re}[K(z,z)\overline{\zeta}\, ]+ 2\operatorname{Re} \bigl[(P(z,z,\overline{z}\,)+Q(z,z,z))\overline{\zeta}+R(z,z) \overline{\zeta}^{\,2}\bigr] \\ &\qquad+S(z,\overline{z}\,)|\zeta|^2 +T(z,z,\overline{z},\overline{z}\,) +O(5). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Введем в пространстве степенных рядов от $(z,\overline{z},\zeta, \overline{\zeta},u)$, а также от $(z,\overline{z},\zeta,\overline{\zeta}, w,\overline{w}\,)$ градуировку, назначая веса переменным
$$
\begin{equation*}
[z]=[\overline{z}\,]=[\zeta]=[\overline{\zeta}\,]=1, \qquad [w]=[\overline{w}\,]=[u]=2.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\Gamma$ и $\widetilde{\Gamma}$ – гиперповерхности, заданные уравнениями
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v &=\langle z, \overline{z}\, \rangle +2\operatorname{Re}(K(z,z)\overline{\zeta}\,) +O(4), \\ v &= \langle z, \overline{z}\, \rangle +2\operatorname{Re}(\widetilde{K}(z,z)\overline{\zeta}\,) +O(4), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
и
$$
\begin{equation*}
\phi=\bigl(z \to f=f_1+f_2+O(3), \, \zeta \to g=g_1+O(2), \, w \to h=h_1+h_2+h_3+O(4)\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
– локально обратимое голоморфное отображение первой на вторую, оставляющее начало координат на месте. Причем компоненты координат отображения – это компоненты фиксированного веса и $O(j)$ – сумма слагаемых веса не ниже $j$. То, что это отображение переводит $\Gamma$ в $\widetilde{\Gamma}$, аналитически можно записать в виде следующего соотношения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Theta=-2 \operatorname{Im} h +2\langle f,\overline{f}\, \rangle +4 \operatorname{Re}(\widetilde{K}(f,f)\overline{g}\, )+ \widetilde{F}_4+ \cdots =0 \\ \text{при } w=u+i(\langle z, \overline{z}\, \rangle +2\operatorname{Re}(K(z,z)\overline{\zeta}\,) +F_4+O(5)). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Отделяя в этом соотношении компоненту веса $1$, получаем $h_1=A(z)+B\zeta=0$. Пусть $h_2=\Phi_2(z,\zeta)+\rho w$, $f_1=Cz+d\zeta$, где $\Phi_2$ – форма степени два от $(z,\zeta)$. Отделяя в (3.5) компоненту веса $2$, получаем $\Phi_2(z,\zeta)=0$, $\langle Cz, \overline{Cz}\, \rangle = \rho \langle z, \overline{z}\, \rangle$, т. е. $f_1=Cz$, $h_2=\rho w$. Отметим, что в силу обратимости отображения матрица $C$ – невырождена и $\rho \neq 0$. Пусть далее
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, h_3= \rho \bigl(\Phi_3+(A(z)+B\zeta)w\bigr), \qquad f_2= C\bigl(aw+b(z,z)+c(z)\zeta+d\zeta^2\bigr), \\ g_1= \langle z, \overline{\alpha}\, \rangle +\beta\zeta, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Phi_3$ – форма степени три от $(z,\zeta)$. Тогда, отделяя в (3.5) компоненту веса $3$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, h_3=2i\rho \langle z,\overline{a}\,\rangle w, \qquad f_2=C\bigl(aw+2i \langle z,\overline{a}\, \rangle z-K(z,z)\mu\bigr), \\ g_1= \langle z, \overline{\alpha}\, \rangle +\beta \zeta, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
причем в силу обратимости отображения $\beta \neq 0$. Из наших вычислений видно, что при определении весовой $j$-струи удобно принять следующую точку зрения:
$$
\begin{equation*}
\phi=\sum \phi_j, \qquad \phi_j=(f_{j-1}, g_{j-2}, h_j).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, весовая $j$-струя отображения понимается как набор струй координат, где у $h$ берем $j$-ю весовую cтрую, у $f$ – $(j-1)$-ю, у $g$ берем $(j-2)$-ю. Проведенное выше вычисление дает описание действия голоморфных отображений на 3-струю уравнения гиперповерхности вида (3.4). Лемма 7. a) На совокупности весовых 3-струй 2-невырожденных гиперповерхностей вида (3.4) псевдогруппа локально обратимых голоморфных отображений, сохраняющих начало координат, действует следующим образом: причем $C \in \operatorname{GL}(2,\mathbf{C})$, $\rho \in \mathbf{R}^*$, $a,\alpha \in \mathbf{C}^2$, $\beta \in \mathbf{C}^*$, а также b) Любое обратимое голоморфное отображение $\Gamma$ на $\widetilde{\Gamma}$, сохраняющее начало координат, с точностью до этого действия имеет вид Пусть речь идет об отображении гиперповерхности $\Gamma$ на себя. Тогда рассмотрим подгруппу группы автоморфизмов $\Gamma$, состоящую из линейных автоморфизмов вида
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, G_0=\{ (z \to Cz,\, \zeta \to \beta\zeta, \, w \to \rho w)\} \text{ с условием} \\ \langle Cz, \overline{Cz}\, \rangle =\rho \langle z, \overline{z}\, \rangle, \qquad K(Cz,Cz)= \frac{\rho^{\phantom{2}}}{\overline{\beta}}\, K(z,z). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Вычислим размерность этой группы для каждой из шести пар форм, перечисленных в лемме 6. Лемма 8. Пусть $G_0^j$ – это группа $G_0$ для $j$-й пары из списка леммы 6. Тогда Доказательство. Для пар $1^*)$–$3^*)$ $\langle z,\overline{z}\, \rangle =|z_1|^2+|z_1|^2$, тогда $C= \lambda \, U, \; \rho =|\lambda|^2,$ где $U \in SU(2)$, а $\lambda \in \mathbf{C}^*$. Записывая $U$ в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} p &q \\ -\overline{q} &\overline{p} \end{bmatrix}, \quad \text{где}\quad |p|^2+|q|^2=1,
\end{equation*}
\notag
$$
и подставляя это во второе соотношение, получаем, что Откуда $\operatorname{Im} pq =0$, т. е. $q= \sigma\overline{p}$, где $\sigma$ вещественно, при этом $|p|^2(1+\sigma^2)=1$. Пусть $p=\exp(i\phi)/\sqrt{1+\sigma^2}$, тогда имеем Откуда следует, что для $U$ из малой окрестности единицы $\phi=0$. Далее имеем либо $k=m$, либо $\sigma=0$. Так же получаем ответ для третьей пары. Для пары $1^*)$ свободный параметр – это $\lambda$, для $2^*)$ – $(\lambda,\sigma)$, для $3^*)$ – $(\lambda,\phi)$.
Пары $4^*)$–$6^*)$ рассматриваются вполне аналогично с учетом того, что $U$ – псевдоунитарная матрица вида
$$
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} p &q \\ \overline{q} &\overline{p} \end{bmatrix}, \quad \text{где}\quad |p|^2-|q|^2=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Свободные параметры – те же.
Для эрмитовой формы пар $7^*)$–$9^*)$ псевдоунитарная матрица с единичным определителем, близкая к единичной, имеет вид Откуда получаем значения размерностей. Для пары $7^*)$ свободные параметры – это $(\lambda,p)$, для $8^*)$ – $(\lambda,r)$, для $9^*)$ – $(\lambda,p)$. Лемма доказана.Зафиксируем гиперповерхности $\Gamma$ и $\widetilde{\Gamma}$ вида (3.4) и дадим оценку числа параметров, от которых зависит отображение одной на другую вида (3.7) в соответствии со схемой рекурсии глубины $k=2$ (теорема 1). С этой целью опишем вид $\mu$-й компоненты соотношения (3.5). При этом явно выпишем слагаемые, зависящие от $\phi_{\mu}$ и $\phi_{\mu-1}$, игнорируя члены, зависящие от $\phi_{\nu}$ при $\nu\leqslant\mu-2$. Пусть $f=(f^1,f^2)$. Введем также обозначение $\Delta \psi(u)=2i\operatorname{Re} (K(z,z)\overline{\zeta}\,) \psi'(u)$. Лемма 9. $\mu$-я весовая компонента выражения (3.5) $\Theta_{\mu}$ имеет вид Отметим, что выражение $L (\phi)= L_1 (\phi)+ L_2(\phi)$ линейно по $\phi$ и не зависит от $\mu$. Пусть $V_4$ – линейное пространство, состоящее из ростков формальных степенных рядов в начале координат вида
$$
\begin{equation*}
\Phi=\phi_4+\phi_5 +\dots=(f_3 +f_4+\cdots,\, g_2 +g_3+\cdots,\, h_4 +h_5+\cdots).
\end{equation*}
\notag
$$
В соответствии с теоремой 1 число параметров, от которых может зависеть отображение вида (3.7) $\Gamma$ на $\widetilde{\Gamma}$ не превосходит размерности $\operatorname{Ker} L$ на пространстве $V_4$. Это, вместе с оценкой числа параметров в 3-струе, даст общую оценку числа параметров, от которых может зависеть отображение и, в частности, оценку размерности группы локальных автоморфизмов гиперповерхности $\Gamma$. Таким образом, для получения оценки размерности автоморфизмов 2-невырожденной гиперповерхности нам осталось дать оценку размерности $\operatorname{Ker} L$ на $V_4$. Оператор $L$ содержит большое число произвольных постоянных. Для того чтобы упростить работу по оценке размерности ядра применим к уравнению $L(f,g,h)=0$ тот же самый прием, т. е. рекурсию на глубину два, но предварительно поменяв веса основных переменных. Зададим новые веса так:
$$
\begin{equation*}
[z]=[\overline{z}\, ]=2, \qquad [\zeta]=[\overline{\zeta}\, ]=1, \qquad [w]=[u]=4.
\end{equation*}
\notag
$$
Если теперь, используя новое весовое разложение $\phi=(f,g,h)$, положить $\phi_{\mu}=(f_{\mu-2},g_{\mu-4},h_{\mu})$, то $\mu$-я весовая компонента $L(\phi)=0$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber L_{\mu} &=2 \operatorname{Re} [ih_{\mu}+i \Delta(h_{\mu-1})] +2\operatorname{Re}[2\langle f_{\mu-2},\overline{z}\, \rangle +2\langle\Delta (f_{\mu-3}),\overline{z}\, \rangle + 4K(f_{\mu-3},z)\overline{\zeta}\, ] \\ \nonumber &\qquad+2\operatorname{Re}\bigl[2\overline{K}(\overline{z}, \overline{z}\,)g_{\mu-4} +2\overline{K}( \overline{z}, \overline{z}\,)\Delta(g_{\mu-5})+ \bigl(2\overline{R}(\overline{z}, \overline{z}\,) \zeta+S(z,\overline{z}\,) \overline{\zeta}\,\bigr) g_{\mu-5} \\ &\qquad+\bigl(2\overline{P}(\overline{z}, \overline{z},z)+ \overline{Q}(\overline{z}, \overline{z},\overline{z}\,)\bigr) g_{\mu-6}\bigr], \quad \text{где}\quad w=u+i\langle z,\overline{z}\, \rangle =0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Лемма 10. Размерность пространства решений (3.9) не превосходит размерности пространства решений $\mathcal{L}(f,g,h)=0$: Отметим при этом, что рекурсия, описанная оператором $\mathcal{L}$, стартует с $\mu=5$. При этом нас интересует размерность ядра $L$ на пространстве $V_4$ в старой весовой градуировке. Поэтому лемма 10 нуждается в небольшой коррекции. Пусть $\widetilde{V}_5$ состоит из наборов $(f,g,h)$, где $f=\widetilde{O}(3)$, $g=\widetilde{O}(2)$, $h=\widetilde{O}(5)$ в соответствии с новым весом. Непосредственно убеждаемся в справедливости следующей леммы. Лемма 11. Если $\phi=(f,g,h) \in V_4 \cap \operatorname{Ker}\mathcal{L}$, то $\phi \in \widetilde{V}_5$. Доказательство. Если $\phi \in V_4$, то $\phi=\chi +\psi$, где $\psi \in \widetilde{V}_5$, а $\chi=(0,0,\gamma\zeta^4)$. Отделяя в соотношении $\mathcal{L}(\chi +\psi)=0$ компоненту веса четыре, получаем $\mathcal{L}(\chi)= 0$. Откуда сразу следует, что $\chi=0$. Лемма доказана. Переходя к оценке размерности ядра оператора $\mathcal{L}$, отметим, что оператор зависит от параметров $(k,m)$, ограничения на которые содержатся в лемме 4 (допустимые значения), и от трех коэффициентов квадратичной формы $R(z,z)=r_1z_1^2+r_2z_1z_2+r_3z_2^2$, которые не связаны никакими ограничениями. Также отметим, что независимо от значений параметров $\operatorname{Ker}\mathcal{L}$ содержит двумерное подпространство (тривиальные решения), которое, впрочем, не пересекается с $\widetilde{V}_5$:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &(f_1=f_2=g=0, \ h=t_1), &\qquad t_1 &\in \mathbf{R}, \\ &(f_1= t_2z_1, \, f_2=t_2z_2, \, g=0, \ h=t_2^2w), &\qquad t_2 &\in \mathbf{R}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Лемма 12. Пусть $\phi=(f,g,h) \in \phi \in \widetilde{V}_5 \cap \operatorname{Ker}\mathcal{L}$. a) Если $(k=1,m=0)$ (пара $9^*)$ из леммы 6) и $R(z,z)=r_1z_1^2$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_1=i\overline{n}_1z_1^1, \qquad f_2=2i\overline{n}_1z_1z_2-\overline{n}_2z_1^2+n_1w, \\ g=\frac{n_2z_1-in_1z_2+2i\overline{n}_1z_1\zeta}{1+2\overline{r}_1\zeta}, \qquad h=2i\overline{n}_1z_1w, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $n_1$ и $n_2$ – комплексные числа. Соответственно $\dim (\widetilde{V}_5 \cap \operatorname{Ker}\mathcal{L})=4$. b) Во всех остальных случаях $\phi =0$. Соответственно $\dim (\widetilde{V}_5 \cap \operatorname{Ker}\mathcal{L})=0$. Доказательство представляет собой рутинное, но объемное вычисление, которое осуществляется средствами компьютерной алгебры (Maple). Это вычисление проводится отдельно для пар $1^*)$–$6^*)$ и отдельно для $7^*)$–$9^*)$. Для единообразного рассмотрения пар $1^*)$–$3^*)$ и $4^*)$–$6^*)$ вводится параметр $\varepsilon=\pm 1$, учитывающий сигнатуру формы Леви. Введем также обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \bigl(f_1(0,0,0,u), f_2(0,0,0,u)\bigr)=\bigl(a_1(u), a_2(u)\bigr)=a(u), \\ g(0,0,0,u)=b(u), \qquad h(0,0,0,u)=c(u), \\ \frac{\partial f_1}{\partial z_1}(0,0,0,u)=a_{11}(u), \qquad \frac{\partial f_2}{\partial z_1}(0,0,0,u)=a_{21}(u), \\ \frac{\partial f_1}{\partial z_2}(0,0,0,u)=a_{12}(u), \qquad \frac{\partial f_2}{\partial z_2}(0,0,0,u)=a_{22}(u), \\ \frac{\partial g}{\partial z_1}(0,0,0,u)=b_{1}(u), \qquad \frac{\partial g}{\partial z_2}(0,0,0,u)=b_{2}(u), \qquad \frac{\partial^2 g}{\partial z_1^2}(0,0,0,u)=B(u). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Схема вычисления в первом и втором случаях отличается мелкими деталями. Опишем ее на примере второго случая (пар $7^*)$–$9^*)$).
Шаг 1. Положим в соотношении $\overline{z}=0$, $\overline{\zeta}=0$, получим выражение $h(z_1,z_2,\zeta,u)$ через $(a_1(u),a_2(u),b(u),c(u))$. Это выражение имеет вид
$$
\begin{equation*}
h(z_1,z_2,\zeta,u)=\overline{c}\,(u)+2i\langle z,\overline{a}\,(u)\rangle+ 2i\overline{b}\,(u)K(z,z).
\end{equation*}
\notag
$$
При этом, подставляя $(z=0,\, \zeta=0)$, убеждаемся, что $\overline{c}\,(u)=c(u)$.
Шаг 2. Подставляем полученное значение $h$ в (3.12), вычисляем $\mathcal{L}'_{\overline{z}_1}$ и $ \mathcal{L}'_{\overline{z}_2}$, подставляем $\overline{z}=0$, $\overline{\zeta}=0$, и из этих соотношений получаем выражения для $f_1$ и $f_2$ через $(a_1(u),a_2(u),b(u),c(u),a_{11},a_{12},a_{21},a_{22})$. Они имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_1 &=a_1(u)+2i\overline{b}^{\,\prime}(u)mz_1z_2^2+2i\overline{b}^{\,\prime}(u)z_1^3 -4\overline{m}\,z_1\zeta\overline{b}\,(u)+c'(u)z_1 +2i\overline{a}^{\,\prime}_2(u)z_1^2 \\ &\qquad+2i\overline{a}^{\,\prime}_1(u)z_1z_2 -\overline{b}_2(u)mz_2^2-2\zeta\overline{a}_2(u)\overline{m} -\overline{b}_2(u)z_1^2-\overline{a}_{22}(u)z_1-\overline{a}_{12}(u)z_2, \\ f_2 &=a_2(u)+2i\overline{b}^{\,\prime}(u)mz_2^3+2i\overline{b}^{\,\prime}(u)z_1^2z_2 -\overline{b}_1(u)mz_2^2-4mz_2\zeta\overline{b}\,(u)+c'(u)z_2 \\ &\qquad+2i\overline{a}^{\,\prime}_2(u)z_1z_2+2i\overline{a}^{\,\prime}_1(u)z_2^2 -\overline{b}_1(u)z_1^2 -\overline{a}_{11}(u)z_2-\overline{a}_{21}(u)z_1-2\zeta\overline{a}_1(u). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя $(z=0,\, \zeta=0)$, получаем
$$
\begin{equation*}
a_{22}(u)=c'(u)-\overline{a}_{11}(u), \qquad \operatorname{Re}a_{12}(u)= \operatorname{Re} a_{21}(u)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг 3. Подставим полученные значения $f_1$ и $f_2$ в (3.12), вычислим $\mathcal{L}''_{\overline{z}^{\,2}_1}$, подставим $\overline{z}=0$, $\overline{\zeta}=0$, и из этого соотношения получим выражение для $g$ через $(a_1(u),a_2(u),b(u),c(u),a_{11},a_{12},a_{21},a_{22},b_1(u),b_2(u),B(u))$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g &=\frac{1}{2(2\overline{r}_1\zeta+1)}\bigl(2\,b(u)+4i\overline{b}^{\,\prime}_1(u)z_2z_1^2 -\overline{B}(u)mz_2^2+12i\zeta\overline{a}^{\,\prime}_1(u)z_2-2c'(u)\zeta \\ &\qquad+4a_{22}(u)\zeta+2b_1(u)z_1-\overline{B}(u)z_1^2+2b_2(u)z_2 -8\overline{b}_1(u)m\zeta z_2 \\ &\qquad-2i\overline{a}^{\,\prime}_{12}(u)z_2z_1+2i\overline{a}^{\,\prime}_{12}(u)z_1z_2+ 4i\overline{a}^{\,\prime}_2(u)\zeta z_1+20imz_2^2\zeta\overline{b}^{\,\prime}(u) -2ia_{22}(u)z_2^2 \\ &\qquad+4i\overline{b}^{\,\prime}(u)\zeta z_1^2+4\overline{b}^{\,\prime\prime}(u)z_2^4m +4\overline{b}^{\,\prime\prime}(u)z_2^2z_1^2+4\overline{a}^{\,\prime}_2(u)z_2^2z_1 \\ &\qquad+2i\overline{a}^{\,\prime}_{11}(u)z_2^2+4i\overline{b}^{\,\prime}_1(u)z_2^3m +2\overline{a}^{\,\prime\prime}_1(u)z_2^3\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя $(z=0,\, \zeta=0)$, получаем $B=-(1/2)\overline{B}$, откуда следует, что $B=0$.
Шаг 4. После подстановки в (3.12) полученного выражения для $g$ мы получаем выражение, которое имеет вид вещественного полинома по $(z,\overline{z},\zeta,\overline{\zeta}\,)$, коэффициенты которого суть дифференциальные полиномы от введенных функций переменного $u$ и их производных. Приравниваем к нулю все коэффициенты. Анализ полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет завершить доказательство леммы. § 4. 2-невырожденные гиперповерхности специального видаВ соответствии с леммой 12 нетривиальное ядро имеется только для некоторого специального класса 2-невырожденных гиперповерхностей таких, что в каждой своей точке они могут быть заданы уравнением вида
$$
\begin{equation*}
v=2 \operatorname{Re}(z_1\overline{z}_2)+2\operatorname{Re}(z_1^2\overline{\zeta}\,) +2\operatorname{Re}(r_1z_1^2\overline{\zeta}^{\,2}) +\dotsb.
\end{equation*}
\notag
$$
После замены $\zeta \to \zeta+ \overline{r}_1\zeta^2$ уравнение принимает вид
$$
\begin{equation}
v=2 \operatorname{Re}(z_1\overline{z}_2)+2 \operatorname{Re}(z_1^2\overline{\zeta}\,) +\text{мономы нового веса 7 и выше}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Для изучения таких гиперповерхностей нам будет удобно сделать перестановку координат и еще раз поменять веса. Пусть теперь Тогда гиперповерхность (взвешенная модельная поверхность) задается соотношением
$$
\begin{equation}
Q=\bigl\{v=2 \operatorname{Re}(z_1\overline{\zeta}+z_2\overline{\zeta}^{\,2}) \bigr\},
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
при таком выборе весов $Q$ – это график квазиоднородного вещественного полинома веса $3$, что позволяет применить рекурсию на глубину один и получить исчерпывающий ответ. Отметим также, что использование взвешенных модельных поверхностей применяется достаточно давно (см. [4], [10], [11]), и эта техника вполне стандартна. Подгруппа $\mathcal{Q}$ автоморфизмов гиперповерхности $Q$, которая обеспечивает голоморфную однородность $Q$, состоит из преобразований вида
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, z_1 \to a+z_1,\qquad z_2 \to b+2\overline{a} \, \zeta+z_2, \qquad \zeta \to c+\zeta, \\ w \to d+2i\bigl(a\overline{b}+a^2\overline{c}+(\overline{b}+2a\overline{c}\,)z_1+\overline{a} z_2 + \overline{a}^2\zeta+\overline{c} \, z_1^2\bigr)+w, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где $(a,b,c,d)$ – произвольная точка $Q$. Пусть $\Gamma_{0}$ – росток гиперповерхности в начале координат вида
$$
\begin{equation}
v=2 \operatorname{Re}(z_1\overline{\zeta}+z_2\overline{\zeta}^{\,2}) +O(4),
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где $O(4)$ – слагаемые веса четыре и выше. Рассмотрим отображение $\phi=(f, g,h,e)$ этого ростка на другой росток такого же вида. Причем
$$
\begin{equation}
f=z_1+f_3+\cdots, \quad g=z_2+g_2+\cdots, \quad h=\zeta+h_2+\cdots, \quad e=w+e_4+\cdots
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
(нижние индексы обозначают веса компонент). Тогда, записывая в виде аналитического соотношения тот факт, что это отображение переводит первую гиперповерхность во вторую, и отделяя в нем $\mu$-ю весовую компоненту, получаем
$$
\begin{equation*}
-\operatorname{Im}e_{\mu}+2\operatorname{Re}(f_{\mu-1}\overline{\zeta} +g_{\mu-2}\overline{\zeta}^{\,2} +h_{\mu-2}(\overline{z}_1 + 2\overline{z}_2\zeta)) =\cdots,
\end{equation*}
\notag
$$
где $w=u+2i\operatorname{Re}(z_1\overline{\zeta}+z_2\overline{\zeta}^{\,2})$, а многоточие означает выражение, зависящее от компонент с меньшим весом (т. е. для $f$ – меньше $\mu-1$, для $g$ и $h$ – меньше $\mu-2$, для $e$ – меньше $\mu$). Таким образом, мы видим, что размерность семейства отображений вида (4.5) контролируется размерностью ядра гомологического оператора
$$
\begin{equation}
L(f,g,h,e)= 2\operatorname{Re}\bigl(ih +2f\overline{\zeta} +2g\overline{\zeta}^{\,2} +2h(\overline{z}_1 +2\overline{z}_2\zeta)\bigr)
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
при $w=u+2i\operatorname{Re}(z_1\overline{\zeta}+z_2\overline{\zeta}^{\,2})$. С другой стороны, если
$$
\begin{equation*}
X=2 \operatorname{Re} \biggl(f \,\frac{\partial}{\partial z_1}+g \,\frac{\partial}{\partial z_2}+ h \,\frac{\partial}{\partial \zeta}+e \,\frac{\partial}{\partial w} \biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
есть росток векторного поля в начале координат такой, что $(f, g,h,e)$ – голоморфно в нуле, тогда равенство $L(f, g,h,e)=0$ равносильно тому, что $X $ – элемент алгебры Ли инфинитезимальных автоморфизмов $Q$ в начале координат: $\operatorname{aut} Q$. Веса, введенные нами для координат пространства, естественно продолжаются и на дифференцирования по этим координатам. Дифференцирование по $z_1$ имеет вес $(-2)$, по $z_2$ и по $\zeta$ – вес $(-1)$, по $w$ – вес $(-3)$. Это превращает $\operatorname{aut} Q$ в градуированную алгебру Ли вида $g_{-3}+g_{-2}+\cdots$. Подалгебра $g_0$ содержит градуирующее поле
$$
\begin{equation*}
X_0 =2 \operatorname{Re} \biggl(2z_1 \, \frac{\partial}{\partial z_1}+ z_2 \, \frac{\partial}{\partial z_2}+ \zeta\, \frac{\partial}{\partial \zeta}+3w \,\frac{\partial}{\partial w}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В такой ситуации, если некоторое поле есть элемент алгебры, то каждая его градуированная компонента – тоже. Рассуждение из работы В. Каупа [12] позволяет утверждать, что алгебра $\operatorname{aut} Q$ в таком случае обязана быть конечно градуированной (полиномиальной). Но мы не будем использовать это утверждение, а вычислим алгебру явно. Переходим к вычислению алгебры $\operatorname{aut} Q$, которая совпадает с ядром оператора (4.6). Процедура вычисления аналогична той, что описана в доказательстве леммы 12. Однако само вычисление проще. Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f(0,0,0,u) =a(u), \qquad g(0,0,0,u)=b(u), \qquad h(0,0,0,u)=c(u), \\ e(0,0,0,u)=d(u), \qquad \frac{\partial f}{\partial z_1}(0,0,0,u)=a_{1}(u), \qquad \frac{\partial f}{\partial \zeta}(0,0,0,u)=a_{3}(u), \\ \frac{\partial g}{\partial z_1}(0,0,0,u)=b_{1}(u), \qquad \frac{\partial g}{\partial \zeta}(0,0,0,u)=b_{3}(u), \\ \frac{\partial h}{\partial z_1}(0,0,0,u)=c_{1}(u), \qquad \frac{\partial h}{\partial \zeta}(0,0,0,u)=c_{3}(u),\qquad \frac{\partial^2 g}{\partial z_1^2}(0,0,0,u)=B(u). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим в соотношении $\overline{z}_1=0$, $\overline{z}_2=0$, $\overline{\zeta}=0$, получим выражение для $h$. Это полином степени два от $(z_1,z_2,\zeta)$ с коэффициентами, зависящими от $(a(u),b(u),c(u),d(u))$. Подставляя это значение $h$ в (4.7), вычисляем $\mathcal{L}'_{\overline{\zeta}}$, подставляем $\overline{z}=0$, $\overline{\zeta}=0$, и из найденного соотношения получаем выражение для $f$, которое является полиномом степени три с коэффициентами, зависящими от $(a,a',b',c',d,a_3,b_3,c_3)$. Вычисляем $\mathcal{L}'_{\overline{z}_1}$, подставляем $\overline{z}=0$, $\overline{\zeta}=0$, и из этого соотношения получаем выражение для $h$, которое является полиномом степени два с коэффициентами, зависящими от $(a,a',b',c,c',a_1,b_1,c_1)$. Подставляя эти значения $f$ и $h$ в (4.7), вычисляем $\mathcal{L}''_{\overline{\zeta}^{\,2}}$, положим $\overline{z}=0$, $\overline{\zeta}=0$, и из найденного соотношения получим выражение для $g$, которое является полиномом степени четыре с коэффициентами, зависящими от $(a',a'',b,b',b'',c',c'',d',a'_1,b_1,b_3,b'_1,c'_1,c'_3,B)$. Дальнейший анализ соотношения (4.7) дает
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{Im} d=\operatorname{Re} c_1=\operatorname{Re} B=0, \qquad b_3=ic',\qquad c_3=d'-\overline{a}_1, \\ a'=b'=c''=d''=a'_1=a_3=b'_1=c'_1=B'=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Подсчитаем число свободных вещественных параметров:
$$
\begin{equation*}
a-2, \ \ b - 2, \ \ c - 4, \ \ d - 2,\ \ a_1 - 2, \ \ a_3 - 0, \ \ b_1 - 2, \ \ b_3 - 0, \ \ c_1 - 1, \ \ c_3 - 0, \ \ B - 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, получаем, что размерность $\operatorname{aut} Q$ не превосходит $16$. С другой стороны, не трудно выписать несколько младших весовых компонент $\operatorname{aut}Q$. Вот эти компоненты:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g_{-3} &=\{(0,\, 0,\, 0,\, d)\}, \\ g_{-2} &=\{(a,\, 0,\, 0,\, 2i\overline{a}\,\zeta)\}, \\ g_{-1} &=\{(-2\overline{c}\, z_2+ie\zeta,\, b,\, c,\, 2i\overline{c}\, z_1+2i\overline{b} \, \zeta^2)\}, \\ g_{0} &= \{(\alpha_1z_1-\overline{\alpha}_2\zeta^2, \, (2\alpha_2-\alpha_3)z_2+\alpha_2\zeta,\, (\alpha_3-\overline{\alpha}_1)\zeta, \, \alpha_3w)\}, \\ g_{1} &=\{(2i\overline{\beta}_1z_1\zeta+\beta_1w, \, 2i\overline{\beta}_1z_2\zeta-i\beta_1z_1+i\beta_2\zeta^2, \, i\overline{\beta}_1\zeta^2,\, 2i\overline{\beta}_1\zeta w)\}, \\ &\qquad\qquad\qquad a,b,c,\alpha_1,\alpha_2,\beta_1 \in \mathbf{C}, \qquad d,e,\alpha_3,\beta_2 \in \mathbf{R}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Видим, что размерность суммы этих пяти компонент равна $16$. Таким образом, алгебра вычислена. Для дальнейшего нам будет удобно представить $g_{-1}$ в виде прямой суммы $g'_{-1}+g''_{-1}$, где
$$
\begin{equation*}
g'_{-1}=\{(-2\overline{c}\,z_2,\, b, \,c, \, 2i\overline{c}\, z_1+2i\overline{b} \, \zeta^2)\}, \qquad g''_{-1}=\{(ie\zeta,\, 0,\, 0,\, 0) \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сформулируем полученный результат. Теорема 2. a) Алгебра $\operatorname{aut} Q$ – это сумма пяти градуированных компонент $g_{-3}+g_{-2}+g_{-1}+g_{0}+g_{1}$, сами компоненты выписаны выше (4.8), $\dim \operatorname{aut} Q =16$. b) При этом $\operatorname{aut}_0 Q$, стабилизатор начала координат в $\operatorname{aut} Q$, т. е. поля из алгебры, обращающиеся в нуль в начале координат – это $g''_{-1}+g_0+g_1$, его размерность равна $9$. c) Подалгебра $g_{-3}+g_{-2}+g'_{-1}$ – это алгебра Ли подгруппы $\mathcal{Q}$ (группы “сдвигов”). Причем $Q$ находится в естественном взаимно однозначном соответствии с $\mathcal{Q}$. Это позволяет перенести на $\mathcal{Q}$ структуру $\mathrm{CR}$-многообразия (гиперповерхности в $\mathbf{C}^4$). d) Если $\Gamma_0$ – росток гиперповерхности вида (4.4), имеет место оценка как для всей алгебры, так и отдельно для стабилизатора начала координат: Для полноты картины выпишем автоморфизмы, порожденные этими полями. Алгебра $g_{-3}+g_{-2}+g'_{-1}$ соответствует группе “сдвигов” $\mathcal{Q}$ . Она параметризуется набором $(a,b,c,d)$, соответственно $\dim gs=7$. Сама подгруппа $\mathcal{Q}$, которая обеспечивает голоморфную однородность $Q$, состоит из преобразований вида
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, z_1 \to A+z_1, \qquad z_2 \to B+2\overline{A}\,\zeta+z_2, \qquad \zeta \to C+\zeta, \\ w \to D+2i(A\overline{B}+A^2\overline{C}+(\overline{B} +2A\overline{C}\,)z_1+\overline{A} \, z_2 +\overline{A}^{\,2}\zeta+\overline{C} \, z_1^2)+w, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
где $(A,B,C,D)$ – произвольная точка $Q$; $\dim g''_{-1}=1$, поле $(i\zeta,0,0,0)$ порождает подгруппу, которая имеет вид
$$
\begin{equation*}
z_1 \to z_1+it\zeta, \qquad z_2 \to z_2, \qquad \zeta \to \zeta, \qquad w \to w.
\end{equation*}
\notag
$$
Алгебра $g_0$ параметризуется набором $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$, соответственно $\dim g_0=5$. Для вычисления группы $G_0$, соответствующей $g_0$, положим $\gamma=\alpha_1+\overline{\alpha}_1-\alpha_3$. Если $\gamma \neq 0$, то получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, z_1 &\to \biggl(z_1-\overline{\alpha}_2\biggl(\frac{e^{\gamma t}-1}{\gamma}\biggr)\zeta^2 \biggr) e^{\alpha_1 t}, \\ z_2 &\to \biggl(z_2+\alpha_2\biggl(\frac{e^{1-\overline{\gamma} \, t}}{\overline{\gamma}}\biggr) \zeta \biggr) e^{(2\alpha_1-\alpha_3)t}, \end{aligned} \\ \zeta \to \zeta e^{(\alpha_3-\overline{\alpha}_1)t}, \qquad w \to we^{\alpha_3 t}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Вырожденные направления $\gamma=0$ получаем предельным переходом. Подалгебра $g_{+}$ состоит из единственной компоненты $g_1$, которая параметризуется набором $(\beta_1,\beta_2)$, соответственно $\dim g_1=3$. Поле $(0,i\zeta^2,0,0)$ из $g_{1}$ ($\beta_1=0, \, \beta_2=1$) порождает преобразование
$$
\begin{equation}
z_1 \to z_1, \qquad z_2 \to z_2+it\zeta^2, \qquad \zeta \to \zeta, \qquad w \to w.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Преобразования из $g_1$ при $\beta_2=0$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, z_1 \to\frac{z_1}{(1-i\overline{\beta}_1\zeta t)^2}, \qquad z_2 \to\frac{z_2-i\beta_1z_1t}{(1-i\overline{\beta}_1\zeta t)^2}, \\ \zeta \to \frac{\zeta}{1-i\overline{\beta}_1\zeta t}, \qquad w \to \frac{w}{(1-i\overline{\beta}_1\zeta t)^2}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Преобразования (4.10) и (4.11) порождают группу $G_{+}$, соответствующую $g_{+}$. Гиперповерхность $Q$ замечательна во многих отношениях. Она представляет собой общее начало двух последовательностей гиперповерхностей пространства $\mathbf{C}^N$ при $N \geqslant 4$ (больше у них пересечений нет). Первая последовательность была рассмотрена в работе А. Лабовского [13] как пример голоморфно однородных $l$-невырожденных гиперповерхностей с произвольным $l$. Если эта гиперповерхность расположена в $\mathbf{C}^N$, то она равномерно $(N-2)$-невырождена. С другой стороны, в недавней работе И. Зеленко и Д. Сайкса [8] была описана серия голоморфно однородных 2-невырожденных гиперповерхностей пространства $\mathbf{C}^N$ с алгеброй голоморфных автоморфизмов размерности $(N-1)^2+7$ и доказано, что эти гиперповерхности оптимальны в классе голоморфно однородных. Таким образом, никакая голоморфно однородная гиперповерхность не может иметь алгебру автоморфизмов большей размерности. Отметим, что эта работа использует технику, весьма далекую от нашей. Это дифференциальная геометрия в стиле Э. Картана и Н. Танаки. Утверждение 2. a) Если вещественная гиперповерхность $\Gamma$ всюду, кроме собственного аналитического подмножества, является 2-невырожденной, то для любой ее точки $\xi$ размерность алгебры автоморфизмов ростка гиперповерхности в этой точке $\operatorname{aut}\Gamma_{\xi}$ не превосходит $17$. b) Если же эта гиперповерхность в точке общего положения принадлежит специальному классу (4.1) (или более широкому классу (4.4)), то $\dim \operatorname{aut}\Gamma_{\xi} \leqslant 16$. Доказательство. Размерность $\operatorname{aut}\Gamma$ не превосходит размерности гиперповерхности, которая равна $7$ плюс размерность стабилизатора точки. Для оценки стабилизатора в произвольной точке достаточно провести оценку в точке 2-невырожденности. В соответствии с теоремой 1 и всеми последующими леммами размерность стабилизатора оценивается через размерность младшей струи (леммы 3 и 6) и размерность ядра $\mathcal{L}$ на $\widetilde{V}_5$ (которая равна нулю). Размерность группы параметров $(C,\rho,\beta)$ не превышает $3$. Параметры $(a, \alpha)$ дают еще $8$. Итого $7+ 3+8=18$. Однако, чтобы получить $18$ надо, чтобы орбита начала координат была 7-мерной. Это означает голоморфную однородность. Но тогда, в соответствии с [8], размерность не выше $16$. Поэтому мы можем считать, что размерность орбиты меньше $7$. Откуда получаем оценку $6+3+8=17$.
В случае b) мы можем воспользоваться теоремой 2, d). Утверждение доказано. Теорема 3. Пусть $\Gamma$ – голоморфно невырожденная вещественно аналитическая гиперповерхность в $\mathbf{C}^4$, точка $\xi \in \Gamma$ и $\Gamma_{\xi}$ – росток $\Gamma$ в точке $\xi$. Пусть $\operatorname{aut}\Gamma_{\xi}$ – алгебра Ли инфинитезимальных голоморфных автоморфизмов ростка. Тогда 1) $\dim \operatorname{aut}\Gamma_{\xi} \leqslant 24$; 2) если известно, что $\Gamma$ является 2-невырожденной всюду, кроме собственного аналитического подмножества, то можно утверждать, что $\dim \operatorname{aut}\Gamma_{\xi} \leqslant 17$; 3) если известно, что $\Gamma$ является 3-невырожденной всюду, кроме собственного аналитического подмножества, то можно утверждать, что $\dim \operatorname{aut}\Gamma_{\xi} \leqslant 20$. Теорема 4. Пусть $\Gamma_{\xi}$ – росток произвольной вещественно аналитической гиперповерхности в $\mathbf{C}^4$ такой, что $\dim \operatorname{aut}\Gamma_{\xi}=24$, тогда $\Gamma_{\xi}$ эквивалентен одной из двух стандартных невырожденных гиперквадрик (т. е. Леви-невырожден и сферичен). Доказательство. Если $\Gamma_{\xi}$ не является Леви-невырожденной в общей точке, то, как следует из теоремы 3, размерность не превосходит $20$. Таким образом, $\Gamma_{\xi}$ Леви-невырождена в общей точке. Если она там не сферична, то, как доказано в [14], размерность не превосходит $13$. Поэтому она сферична. Но тогда, в соответствии с результатом Б. Кругликова [15], если $\Gamma_{\xi}$ не эквивалентна гиперквадрике (произвольной сигнатуры), то размерность не выше $17$. Теорема доказана. Аналогичные оценки для $\mathbf{C}^2$ и $\mathbf{C}^3$ – это $8$ и $15$. Они также достигаются только на гиперквадриках. Проблемными, как и в $\mathbf{C}^4$, являются гиперповерхности, которые в общей точке являются сферическими. Результат для $\mathbf{C}^2$ – это работа И. Коссовского и Р. Шафикова [16], а для $\mathbf{C}^3$ – А. Исаева и Б. Кругликова [17]. Эти результаты вместе с известным критерием конечномерности дают следующий список возможностей. Пусть $d=\dim \operatorname{aut}\Gamma_{\xi}$. Тогда 1) $d=\infty$ тогда и только тогда, когда $\Gamma$ голоморфно вырождена; 2) $d=24$ тогда и только тогда, когда $\Gamma$ эквивалентна одной из двух невырожденных стандартных гиперквадрик; 3) если $\Gamma_{\xi}$ несферичен, но $\Gamma$ сферична в точке общего положения, то $d \leqslant 17$; 4) если $\Gamma$ в точке общего положения 1-невырождена (Леви-невырождена) и несферична, то $d \leqslant 13$; 5) если $\Gamma$ – 2-невырождена в точке общего положения, то $d \leqslant 17$; 6) если $\Gamma$ – 2-невырождена в точке общего положения и однородна (в окрестности $\xi$), то $d \leqslant 16$; 7) если $\Gamma$ – 3-невырождена в точке общего положения, то $d \leqslant 20$. В этом списке оценки пунктов 1) и 2) точны. То же следует сказать и о п. 3). Действительно, в работе [15] имеется пример гиперповерхности такого типа, для которой оценка $17$ реализуется. То же самое касается и п. 4). В [14] имеется пример такой гиперповерхности, у которой размерность алгебры автоморфизмов равна $13$. Пункт 6) также точен и подкреплен примером. Поэтому для точной оценки из п. 5) есть ровно две возможности – $16$ и $17$. Последний п. 7) самый неопределенный. Пока можно сказать только, что максимум не меньше $8$ и не больше $20$. Поэтому уместно сформулировать следующий вопрос. Вопрос 2. Верно ли, что альтернатива остается верной для гиперповерхностей размерности $5$ и выше? А именно, либо бесконечность, либо не больше, чем у гиперквадрики, у которой в $\mathbf{C}^N$ размерность $(N+1)^2-1$. У этого довольно старого вопроса [4] есть более общая версия (см. [18; предположения (5.a), (5.b)]). Верно ли, что максимум размерности локальных автоморфизмов достигается на невырожденных модельных поверхностях?
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bel22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|