| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Оценки интегралов от производных рациональных функций в многосвязных областях на плоскости А. Д. Барановa, И. Р. Каюмовb a Санкт-Петербургский государственный университет b Казанский (Приволжский) федеральный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9248e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеС. Н. Мергелян [1] 70 лет назад доказал, что существует ограниченная и аналитическая в круге $\mathbb{D}=\{|z|<1\}$ функция $f$ такая, что где $dA(z) = (1/\pi)\, dx\,dy$, $z=x+iy$. Развивая исследования в этом направлении, У. Рудин [2] построил пример бесконечного произведения Бляшке
$$
\begin{equation*}
B(z)=\prod_{k=1}^\infty \frac{|z_k|}{z_k}\, \frac{z_k-z}{1-\overline{z_k} z}
\end{equation*}
\notag
$$
такого, что $I(B)=\infty$ и, более того, $\int_{0}^1 |B'(re^{i\theta})|\, dr = \infty$ для почти всех $\theta\in[0, 2\pi]$. Похожий, но конкретный пример был построен Дж. Пираняном [3]. Естественно задаться следующим вопросом: что произойдет, если $B$ – конечное произведение Бляшке порядка $n$? Очевидно, что для фиксированного $n$ величина $I(B)$ ограничена, но она не может быть равномерно ограничена по $n$, поскольку любая ограниченная функция может быть приближена конечными произведениями Бляшке локально равномерно в круге $\mathbb{D}$. Нами получен точный порядок роста таких интегралов. А именно, имеет место следующая теорема. Теорема 1. Пусть $B$ – конечное произведение Бляшке порядка $n$. Тогда С другой стороны, существует абсолютная постоянная $c>0 $ такая, что для любого $n \in \mathbb{N}$ существует конечное произведение Бляшке степени $n$, для которого $I(B) \geqslant c(1+\sqrt{\log n}\,)$. Доказательство точности этого неравенства основано на тонких результатах Н. Г. Макарова [4] и Р. Бануэлоса и Ч. Н. Мура [5] о граничном поведении функций из пространства Блоха. Отметим также, что существует обширная литература, посвященная принадлежности производных произведений Бляшке различным функциональным пространствам, например, пространствам Бергмана в круге (см. [6]–[8] и ссылки в них). Однако большинство этих результатов относятся к бесконечным произведениям, а условия сформулированы в терминах нулей. Поскольку произведение Бляшке представляет собой ограниченную рациональную функцию в единичном круге, вопрос об оценке интеграла от производной произведения Бляшке оказался связан с оценками интегралов от ограниченных рациональных функций. Такие оценки впервые были исследованы Е. П. Долженко [9] для достаточно гладких областей. Будем называть кривой типа $\mathrm{K}$ замкнутую жорданову кривую с непрерывной кривизной $k(s)$, удовлетворяющей (как функция длины $s$ дуги кривой) условию Гельдера. Пусть $G$ – конечносвязная область, граничные кривые которой удовлетворяют условию типа $\mathrm{K}$. Предположим, что $1\leqslant p \leqslant 2$, а $R$ – рациональная функции степени не выше $n$ с полюсами вне $\overline{G}$. Долженко [9; теорема 2.2] показал, что тогда найдется константа $C$, зависящая от области $G$ и от $p$, такая, что
$$
\begin{equation}
\int_{G}|R'(w)|^p\, dA(w) \leqslant C n^{p-1} \|R\|_{H^\infty(G)}^p, \qquad p \in (1,2],
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
$$
\begin{equation}
\int_{G}|R'(w)|\, dA(w) \leqslant C \ln (n+1) \|R\|_{H^\infty(G)}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Здесь $H^\infty(G)$ обозначает множество всех функций, ограниченных и аналитических в $G$, а $\|f\|_{H^\infty(G)} = \sup_{w\in G} |f(w)|$. В дальнейшем неравенства для производных рациональных функций (преимущественно в круге) исследовались в статьях В. В. Пеллера [10], С. Семмса [11], А. А. Пекарского [12], [13], В. И. Данченко [14], [15] и многих других авторов (см., например, [16]–[20]). Короткое доказательство неравенств Долженко в случае круга с заменой $H^\infty$-нормы на более слабую $\mathrm{BMOA}$-норму можно найти в [19]. В настоящей работе неравенства (1.2) и (1.3) доказаны при существенно более слабом ограничении на область, а именно, при условии отсутствия внутренних нулевых углов (точнее, для областей класса Джона – см. определение в § 3). Теорема 2. Пусть $G$ – конечносвязная область класса Джона со спрямляемыми границами, $1\leqslant p \leqslant 2$. При $p=1$ дополнительно предполагаем, что область $G$ ограничена. Тогда найдется такая константа $C>0$, зависящая от области $G$ и от $p$, что для произвольной рациональной функции $R$ степени не выше $n$ выполнены неравенства (1.2) и (1.3). Точность неравенства (1.2) видна уже на простейшем примере функции $R(z) = z^n$ в круге (очевидно, мы можем рассматривать полиномы как частный случай рациональных функций с полюсом в бесконечности). Вопрос о точности оценки (1.3) в условиях теоремы 2 пока остается открытым. Однако оказывается, что при дополнительных условиях регулярности области $G$ неравенство (1.3) может быть усилено. Теорема 3. Пусть $G$ – односвязная область со спрямляемой границей. Предположим, что $\varphi' \in H^2$, где $\varphi$ – конформное отображение круга $\mathbb{D}$ на $G$. Тогда найдется такая константа $C>0$, зависящая от области $G$, что для любой рациональной функции $R$ степени не выше $n$ выполнено Как следует из теоремы 1, это неравенство уже является точным по порядку. Наконец, приведем утверждение, относящееся к случаю $p>2$ (здесь $q$ – сопряженный с $p$ показатель). Теорема 4. Пусть $G$ – ограниченная односвязная область, $G_\rho = \{ z\in G$: $\operatorname{dist}(z, \partial G) >\rho\}$. Тогда для любой рациональной функции $R$ степени не выше $n$ и $p>2$ имеет место неравенство В статье [9] неравенство (1.5) было установлено для областей класса $\mathrm{K}$, но, как показывает наш результат, никаких ограничений на регулярность области не требуется. В [20] получено другое обобщение неравенства Долженко для случая $p>2$ и для рациональных функций в круге. Предположим, что $R$ – рациональная функция степени не выше $n$, полюса которой лежат в дополнении круга $\{|z| <1+\rho\}$. Из [19; теорема 8.2] немедленно вытекает неравенство
$$
\begin{equation*}
\|R'\|_{A^p(\mathbb{D})} \leqslant C(p) n^{1/q} \rho^{1/p-1/q} \|R\|_{\mathrm{BMOA}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathrm{BMOA}$ обозначает аналитическое пространство функций ограниченной средней осцилляции. Отметим, что зависимость от $n$ в теореме 4 существенно слабее (так как в этом случае функция $R$ предполагается ограниченной на более широком множестве). В § 5 получены более общие неравенства для весовых норм производных рациональных функций, где вес представляет собой некоторую степень расстояния до границы. Подходящим аппаратом исследования оказалась теория пространств Харди. Пусть $p>0$. Пространство Харди $H^p$ – множество голоморфных функций в круге $\mathbb{D}$, удовлетворяющих условию $\|f\|_{H^p}<\infty$, где
$$
\begin{equation*}
\|f\|^p_{H^p}:=\sup_{0<r<1}\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(re^{it})|^p\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что при $p \geqslant 1$ последняя величина является нормой, относительно которой $H^p$ – банахово пространство.
§ 2. Оценка интеграла от модуля производной произведения БляшкеДля доказательства теоремы 1 нам потребуется следующая лемма. Лемма 1. Предположим, что функция $g(z)\,{=}\sum_{k=0}^\infty b_k z^k$ аналитична в круге $\mathbb{D}$. Если $\|g\|_\infty \leqslant 1$ и $p(z) = \sum_{k=0}^n b_k z^k$, $n\geqslant 2$, то найдется абсолютная константа $C_0$ такая, что и Доказательство. Поскольку $|b_k| \leqslant 1$ и $|z|^k \leqslant 1/n^2$ для $|z|\leqslant 1-2\log n/ n$ и $k\geqslant n$, ясно, что $|g(z) - p(z)|$ допускает равномерную оценку при $|z|\leqslant 1-2\log n/ n$, откуда вытекает первая оценка леммы.
Очевидно, что что доказывает второе неравенство леммы. Доказательство теоремы 1. Воспользуемся следующими известными фактами: для любого конечного произведения Бляшке степени $n$ и для любой функции $f(z) = \sum_{n\geqslant 0} a_n z^n$ из пространства Харди $H^2$.
Пусть $s \in [0,1]$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{\{s<|z| <1\}} |B'(z)|\, dA(z)= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \int_s^1 |B'(re^{it})| r\, dr\, dt \leqslant 2n \int_s^1 r\, dr= n (1-s^2).
\end{equation*}
\notag
$$
В оставшейся части применим неравенство Коши–Шварца
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\{0 <|z| \leqslant s\}} |B'(z)|\, dA(z) \\ &\qquad\leqslant \biggl( \int_{\{0 <|z| \leqslant s\}} |B'(z)|^2 (1-|z|^2)\, dA(z) \biggr)^{1/2} \biggl( \int_{\{0 <|z| \leqslant s\}} \frac{dA(z)}{1-|z|^2} \biggr)^{1/2} \\ &\qquad\leqslant \sqrt{2\int_0^s \frac{r\, dr}{1-r^2}} = \sqrt{\log\frac{1}{1-s^2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
I(B) \leqslant n (1-s^2)+ \sqrt{ \log\frac{1}{1-s^2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $s^2=1-1/n$, получаем (1.1).
Оценка снизу может быть получена методами, основанными на законе повторного логарифма Макарова [4]. Напомним, что класс Блоха $\mathcal{B}$ состоит из аналитических в $\mathbb{D}$ функций, для которых конечна полунорма $ \|f\|_{\mathcal{B}} = \sup_{z\in \mathbb{D}} (1-|z|^2) |f'(z)|$. В статье [5] Р. Бануэлос и Ч. Н. Мур, отвечая на вопрос Н. Г. Макарова и Ф. Пжитыцкого, построили такую функцию $f(z) = \sum_{k=1}^\infty a_k z^k$ из класса Блоха, что ее асимптотическая энтропия допускает оценку снизу
$$
\begin{equation*}
\liminf_{r\to 1-} \frac{\sum_{k=1}^\infty |a_k|^2 r^{2k}}{\log(1/(1-r))} >0,
\end{equation*}
\notag
$$
но для всех $\zeta$ таких, что $|\zeta| =1$, выполнено
$$
\begin{equation*}
\limsup_{r\to 1-} \frac{f(r \zeta)}{\sqrt{\log(1/(1-r)) \log\log\log(1/(1-r))}} =0.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом в [5; с. 852] построена последовательность многочленов
$$
\begin{equation*}
p_n(z)=\sum_{k=4}^{4^{n+1} -1} a_k z^k=\sum_{j=1}^{n} b_j(z), \quad \text{где} \quad b_j(z)=\sum_{k=4^j}^{4^{j+1} -1} a_k z^k,
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющих оценкам $\|b_j\|_\infty \leqslant 1$,
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{4^{n+1} -1} |a_k|^2 \geqslant c \log m, \qquad \|p_n\|_{H^\infty} \leqslant C\sqrt{\log m},
\end{equation*}
\notag
$$
где $m = \operatorname{deg} p_n = 4^{n+1} -1$, а $C,c>0$ – некоторые абсолютные константы.
Из неравенства $\|b_j\|_\infty \leqslant 1$ нетрудно вывести, что $\sup_n \|p_n\|_{\mathcal{B}} <\infty$. Действительно, по лемме Шварца $|b_j(rz)| \leqslant r^{4^j}$, откуда по классическому неравенству Бернштейна $|b_j' (rz)| \leqslant 4^j r^{4^j}$. Известно (и легко показать), что $\sum_{j\geqslant 1} 4^j r^{4^j} \leqslant C_1/(1-r^2)$ для некоторой константы $C_1>0$ и, таким образом, $\sup_n \|p_n\|_{\mathcal{B}} <\infty$. Не умаляя общности, можем считать, что $\|p_n\|_{\mathcal{B}} \leqslant 1$. Пусть $r=1-1/m$. Тогда для некоторых абсолютных констант $C', c'>0$
$$
\begin{equation*}
c' \log\frac{1}{1-r} \,{\leqslant} \sum_{k=1}^m |a_k|^2 r^{2k} \,{\leqslant}\, 2 \int_{|z|<r}|p_n'(z)|^2(1-|z|^2)\,dA(z) \leqslant C'\int_{|z|<r}|p_n'(z)|\,dA(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь положим $q_n = p_n/(C\sqrt{\log m}\,)$. Тогда $\|q_n\|_\infty \leqslant 1$ и
$$
\begin{equation*}
\int_{|z|<1-1/m}|q_n'(z)|\, dA(z) \geqslant c_1\sqrt{\log m}
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторой абсолютной константы $c_1>0$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{1-2\log m/m < |z|<1-1/m}|q_n'(z)| \, dA(z) \\ &\qquad \leqslant \int_{1-2\log m /m < |z|<1-1/m} \frac{dA(z)}{1-|z|^2}=O(\log\log m), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
мы имеем для некоторого $c_2>0$
$$
\begin{equation}
\int_{|z|<1-2\log m/m}|q_n'(z)|\,dA(z) \geqslant c_2 \sqrt{\log m}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Пусть $B$ – произведение Бляшке степени $m+1$ такое, что его первые $m$ коэффициентов Тейлора совпадают с соответствующими коэффициентами многочлена $q_n$. В силу леммы 1
$$
\begin{equation*}
|q_n'(z)-B'(z)| \leqslant 2C_0, \qquad |z| \leqslant 1-2\frac{\log m}{m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из (2.2) следует, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{D}}|B'(z)|\, dA(z) \geqslant c_3\sqrt{\log m}
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторой абсолютной константы $c_3$. Теорема 1 доказана. § 3. Оценки интегралов от рациональных функцийНапомним, что конечносвязная область $\Omega$ называется областью класса Джона, если существует константа $C>0$ такая, что любые две точки $a,b\in \Omega$ могут быть соединены кривой $\gamma$ в $\Omega$ так, что для любого $x\in\gamma$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\min \bigl( \operatorname{diam}\gamma(a,x), \operatorname{diam}\gamma(x,b) \bigr) \leqslant C \operatorname{dist} (x, \partial \Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\gamma (a,x)$ и $\gamma (x,b)$ – части кривой $\gamma$, на которые ее разбивает точка $x$. Данное определение имеет много различных эквивалентных формулировок (см. [21], [22]). По существу оно означает отсутствие у области внутренних нулевых углов. В частности, такому определению удовлетворяют области с условием конуса: можно коснуться границы области изнутри некоторым достаточно маленьким треугольником с фиксированными углами. В дальнейшем мы будем существенно использовать следующее свойство односвязных областей класса Джона: если $\varphi$ – конформное отображение круга $\mathbb{D}$ на односвязную область класса Джона, то для некоторых $\alpha\in(0,1)$ и $C>0$ (см. [22; с. 96–100]).В доказательстве теоремы 2 мы будем использовать лемму 2. Доказательство. Пусть $g(z) = \sum_{k=0}^\infty a_kz^k$. Тогда Здесь мы воспользовались простым неравенством $kr^{k-1}(1-r) \leqslant 1$, $k\geqslant 1$, $r \in [0,1)$. Поскольку функция $g$ не более чем $n$-листна в круге $\mathbb{D}$, то в силу классической теоремы площадей имеет место неравенство Доказательство теоремы 2. Предположим сначала, что область $G$ ограничена. Без ограничения общности можно считать, что $G$ – односвязная область класса Джона со спрямляемой границей. Действительно, проводя гладкие разрезы (и контролируя углы), можно легко представить нашу область в виде объединения конечного числа односвязных областей класса Джона.
Пусть $w=\varphi(z)$ – конформное отображение $\mathbb{D}$ на $G$. В силу спрямляемости границы $G$ имеем $\varphi' \in H^1$. Также $\varphi'$ удовлетворяет неравенству (3.1). Перепишем наш интеграл в терминах переменной $z$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{G}|R'(w)|^p\, dA(w) &= \int_{\mathbb{D}}|R'(\varphi(z))|^p|\varphi'(z)|^2\, dA(z) \\ &=\int_{\mathbb{D}} |(R\circ \varphi)'(z)|^p |\varphi'(z)|^{2-p}\, dA(z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что при $p=2$ последний интеграл не превосходит $nM^2$, поскольку функция $R\circ\varphi$ является не более чем $n$-листной в круге $\mathbb{D}$.
Последний интеграл мы разобьем на две части – интегралы по множеству $\{|z| \leqslant r_n\}$ и по множеству $\{r_n < |z| < 1\}$, где $r_n = 1- 1/(n+1)^{K}$, а число $K>0$ будет выбрано позже. Оценка интеграла по множеству $\{|z| \leqslant r_n\}$. Пусть $M = \|R\|_{H^\infty(G)}$. Положим
$$
\begin{equation*}
J := \int_{\{|z|\leqslant r_n\}} |(R\circ \varphi)'(z)|^p\, |\varphi'(z)|^{2-p}\, dA(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Для $p=1$ воспользуемся оценкой $(1-|z|^2) |(R\circ \varphi)'(z)| \leqslant M$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J &\leqslant \frac{M}{\pi} \int_0^{r_n} \frac{1}{1-r}\int_0^{2\pi} |\varphi'(re^{it})|\, dt\, dr \\ &\leqslant 2 \|\varphi'\|_{H^1} M \int_0^{r_n} \frac{dr}{1-r} = 2K \|\varphi'\|_{H^1} \log(n+1) M. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $1<p<2$ рассмотрим отдельно интегралы по множествам $\{|z| \leqslant 1-1/(n+1)\}$ и $\{1-1/(n+1) <|z| \leqslant r_n\}$. Поскольку $\varphi' \in H^1$, имеем $\varphi'\in H^{2-p}$ и $\|\varphi'\|_{H^{2-p}} \leqslant \|\varphi'\|_{H^1}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\{|z| \leqslant 1- 1/(n+1)\}} |(R\circ \varphi)'(z)|^p\, |\varphi'(z)|^{2-p} \, dA(z) & \leqslant 2\|\varphi'\|_{H^1}^{2-p} \int_0^{1-1/(n+1)} \frac{M^p}{(1-r)^p}\, dr \\ &=2\|\varphi'\|_{H^1}^{2-p} (p-1)^{-1} (n+1)^{p-1} M^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для оценки по множеству $\{1-1/(n+1)<|z| \leqslant r_n\}$ применим неравенство Гёльдера с показателями $(2-p)^{-1}$ и $(p-1)^{-1}$:
$$
\begin{equation*}
J \,{\leqslant}\, 2 \int_{1-1/(n+1)}^{r_n} \biggl(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |(R\circ \varphi)'(re^{it})|^{p/(p-1)}\, dt\biggr)^{p-1} \!\biggl(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |\varphi'(re^{it})|\, dt\biggr)^{2-p} dr.
\end{equation*}
\notag
$$
Последовательно используя неравенство $(1-|z|^2) |(R\circ \varphi)'(z)| \leqslant M$ и лемму 2, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J &\leqslant 2 \|\varphi'\|_{H^1}^{2-p} M^{p-2(p-1)} \int_{1-1/(n+1)}^{r_n} \frac{1}{(1-r)^{p-2(p-1)}} \\ &\qquad\times \biggl(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |(R\circ \varphi)'(re^{it})|^2 \, dt\biggr)^{p-1}\, dr \\ &\leqslant 2 \|\varphi'\|_{H^1}^{2-p} M^p n^{p-1} \int_{1-1/(n+1)}^{r_n} \frac{dr}{(1-r)^{2-p +p-1}} \\ &=2 \|\varphi'\|_{H^1}^{2-p} M^p n^{p-1} \int_{1-1/(n+1)}^{1-1/(n+1)^K} \frac{dr}{1-r} = 2 \|\varphi'\|_{H^1}^{2-p} K n^{p-1} M^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценка интеграла по множеству $\{r_n<|z| <1\}$. В этом случае рассуждение применимо для всех $p\in [1, 2)$. Выберем число $\delta$ такое, что $0<\delta<1-p/2$. Тогда $2-p-\delta \in (0,1)$. Пусть $\beta$ – показатель, сопряженный c $(2-p-\delta)^{-1}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I &:= \int_{r_n<|z|<1} |(R\circ \varphi)'(z)|^p \, |\varphi'(z)|^{2-p} \, dA(z) \\ &\leqslant C^\delta \int_{r_n<|z|<1} \frac{|(R\circ \varphi)'(z)|^p \, |\varphi'(z)|^{2-p-\delta}}{(1-|z|)^{\alpha\delta}}\, dA(z) \\ &\leqslant 2C^\delta \int_{r_n}^1 \frac{1}{(1-r)^{\alpha\delta}} \biggl(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |(R\circ \varphi)'(re^{it})|^{p\beta}\, dt\biggr)^{1/\beta} \\ &\qquad\times \biggl(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |\varphi'(re^{it})|\, dt\biggr)^{2-p-\delta} \, dr. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что из условия $\delta<1-p/2$ следует, что $p\beta>2$. Последовательно применяя оценки $(1-|z|^2) |(R\circ \varphi)'(z)| \leqslant M$ и лемму 2, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I &\leqslant 2 C^\delta\|\varphi'\|_{H^1}^{2-p-\delta} M^{(p\beta - 2)/\beta} \int_{r_n}^1 \frac{1}{(1-r)^{\alpha\delta + (p\beta - 2)/\beta}} \\ &\qquad\times \biggl(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |(R\circ \varphi)'(re^{it})|^2\, dt\biggr)^{1/\beta}\, dr \\ &\leqslant 2 C^\delta\|\varphi'\|_{H^1}^{2-p-\delta} M^p n^{1/\beta} \int_{r_n}^1 \frac{dr}{(1-r)^{\alpha\delta + (p\beta-2)/\beta +1/\beta}} \\ &=2 C^\delta\|\varphi'\|_{H^1}^{2-p-\delta} M^p n^{1/\beta} \int_{r_n}^1 \frac{dr}{(1-r)^{\alpha\delta + p -1/\beta}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается заметить, что $\alpha\delta +p- 1/\beta = \alpha\delta +p- (1- (2-p-\delta)) = 1-(1-\alpha)\delta$, откуда
$$
\begin{equation}
I \leqslant 2(1-\alpha)^{-1}\delta^{-1}C^\delta\|\varphi'\|_{H^1}^{2-p-\delta} M^p n^{1/\beta} .
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Зафиксировав $\delta\in (0, 1-p/2)$ и выбрав достаточно большое $K$ в равенстве $r_n = 1- 1/(n+1)^K$, мы получаем, что $I \leqslant C^\delta \|\varphi'\|_{H^1}^{2-p-\delta} M^p$ (и даже $o(1)$ при $n\to\infty$).
Разберем теперь случай, когда $\infty \in G$. Ясно, что такую область можно представить как объединение (возможно с пересечением) внешности круга достаточно большого радиуса с конечносвязной ограниченной областью. Для конечносвязных ограниченных областей нами этот факт уже доказан, а для внешности круга он следует из вышеупомянутых результатов Долженко. Теорема 2 полностью доказана. § 4. Доказательства теорем 3 и 4 Доказательство теоремы 3. Как в доказательстве теоремы 2 положим $r_n=1-1/(n+1)^K$, где $K>0$. Поскольку $\varphi' \in H^2 \subset H^1$ и условие (3.1) выполнено для $\alpha=1/2$, воспользуемся оценкой (3.2) для интеграла по множеству $\{r_n<|z|<1\}$, найденной в доказательстве теоремы 2. При достаточно большом $K$ этот интеграл равномерно ограничен по $n$ (и даже стремится к нулю при $n\to\infty$).
Таким образом, нам достаточно оценить
$$
\begin{equation*}
J:=\int_{0<|z| \leqslant r_n} |(R\circ \varphi)'(z)| |\varphi'(z)|\, dA(z).
\end{equation*}
\notag
$$
По неравенству Коши–Шварца
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J & \leqslant \biggl(\int_{0<|z|\leqslant r_n} (1-|z|) |(R\circ \varphi)'(z)|^2\, dA(z) \biggr)^{1/2} \biggl(\int_{0<|z| \leqslant r_n} \frac{|\varphi'(z)|^2}{1-|z|}\, dA(z) \biggr)^{1/2} \\ & \leqslant M \biggl( \int_{0<|z| \leqslant r_n} \frac{|\varphi'(z)|^2}{1-|z|}\, dA(z) \biggr)^{1/2} \leqslant \sqrt{2} M \|\varphi'\|_{H^2} \biggl( \int_0^{r_n} \frac{dr}{1-r} \biggr)^{1/2} \\ & =\sqrt{2} M \|\varphi'\|_{H^2} \sqrt{K\ln (n+1)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3 доказана. Доказательство теоремы 4. Пусть $\varphi$ – конформное отображение $\mathbb{D}$ на $G$, $D_\rho = \varphi^{-1}(G_\rho)$. Поскольку $\rho \leqslant (1-|z|^2)|\varphi'(z)|$, $z\in D_\rho$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{G_\rho} |R'(\zeta)|^p\, dA(\zeta) & = \int_{D_\rho} |(R\circ \varphi)'(z)|^p |\varphi'(z)|^{2-p}\, dA(z) \\ & \leqslant \rho^{2-p} \int_{D_\rho} |(R\circ \varphi)'(z)|^p (1-|z|^2)^{p-2}\, dA(z) \\ & \leqslant \rho^{2-p} M^{p-2} \int_{D_\rho} |(R\circ \varphi)'(z)|^2\, dA(z) \leqslant \rho^{2-p} n M^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
На последнем шаге мы воспользовались тем, что $R\circ \varphi$ накрывает каждую точку круга радиуса $M$ с кратностью не выше $n$. Теорема 4 доказана. § 5. Весовые неравенства типа Долженко и ПеллераЕстественным обобщением неравенств Долженко будет рассмотрение весовых интегралов от производных рациональных функций. Подобные неравенства интенсивно изучались в контексте весовых пространств Бергмана (или Бесова) в круге. Например, известное неравенство В. В. Пеллера [10] утверждает, что для рациональной функции $R$ степени $n$ с полюсами вне $\overline{\mathbb{D}}$ имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\|R\|_{B_p^{1/p}} \leqslant C n^{1/p} \|R\|_{\mathrm{BMOA}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $B_p^{1/p}$ – пространство Бесова, $p>0$, $C=C(p)$. Отсюда, в частности, следует, что при $1<p<\infty$
$$
\begin{equation*}
\int_\mathbb{D} |R'(z)|^p (1-|z|)^{p-2}\, dA(z) \leqslant C n \|R\|^p_{H^\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Различные доказательства и обобщения этого неравенства можно найти в [11]–[13], [19]. Используя методы § 3, можно получить более общие весовые оценки, в которых вес равен расстоянию до границы в некоторой степени. Сформулируем соответствующий результат. Для ограниченной области $G\subset \mathbb{C}$ и $z\in G$ положим Для $p\geqslant 1$, $\beta \in \mathbb{R}$ и аналитической в $G$ функции $f$ положим
$$
\begin{equation*}
I_{p,\beta} (f) := \int_G |f'(\zeta)|^p \, d_G^\beta(\zeta)\, dA(\zeta)
\end{equation*}
\notag
$$
(величина $I_{p,\beta} (f)$, вообще говоря, может быть бесконечной). Нас интересуют оценки вида
$$
\begin{equation*}
I_{p,\beta}(R) \leqslant C\Psi(n) \|R\|^p_{H^\infty(G)},
\end{equation*}
\notag
$$
справедливые для всех рациональных функций $R$ степени $n$ с полюсами вне $\overline{G}$ и с константой $C$, зависящей от $G$, $p$ и $\beta$, но не от $n$ и $R$. Здесь $\Psi$ – некоторая зависящая только от $n$ функция. Такие оценки возможны только при $\beta \geqslant p-2$; как видно уже на примере $G=\mathbb{D}$ и рациональных дробей $R(\zeta) = 1/(\zeta-\lambda)$, при $\beta< p-2$ интеграл $I_{p,\beta} (f)$ не допускает оценку, зависящую только от $n$, нужно учитывать также расстояние от полюсов $R$ до $\partial G$. Чтобы не загромождать запись, в дальнейшем мы пишем $X(R,n) \lesssim Y(R,n)$, если $X(R, n)\leqslant CY(R,n)$ c константой $C$, зависящей только от $G$, $p$ и $\beta$, но не от $n$ и $R$. Теорема 5. Пусть $G$ – односвязная ограниченная область, $\varphi$ – конформное отображение единичного круга $\mathbb{D}$ на $G$, $p\geqslant 1$, $\beta \geqslant p-2$. Тогда выполняется следующее. 1) Если $\beta > p-1$ и $\varphi'\in H^{\gamma}$ для некоторого $\gamma>1$, то $I_{p,\beta}(R) \lesssim \|R\|^p_{H^\infty(G)}$, т. е. зависимость от $n$ пропадает. 2) Если $\beta = p-1$, $1\leqslant p <2$ и $\varphi'\in H^{2/(2-p)}$, то
$$
\begin{equation*}
I_{p,\beta}(R) \lesssim (\log n)^{1- p/2} \|R\|^p_{H^\infty(G)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\beta = p-1$, $p \geqslant 2$ и $\varphi'\in H^\infty$, то $I_{p,\beta}(R) \lesssim \|R\|^p_{H^\infty(G)}$. 3) Если $p-2 \leqslant \beta <p-1$, $p\geqslant 2$, $\varphi' \in H^1$ и $G$ – область Джона, то Неравенства в теореме 5 являются точными по порядку зависимости от $n$ уже в случае единичного круга. В утверждении 3) оптимальный рост достигается на $R(z) = z^n$, а точность неравенства утверждения 2) легко проверить, рассматривая пример Бануэлоса–Мура (в качестве $R$ можно взять многочлен или произведение Бляшке). Отметим, что утверждение 3) теоремы не покрывает случай $p-2 \leqslant \beta <p-1$ и $1<p<2$. В этом случае было бы достаточно доказать следующий аналог неравенства Пеллера:
$$
\begin{equation*}
\int_\mathbb{D} |(R\circ\varphi)'(z)|^p (1-|z|)^{p-2}\, dA(z) \lesssim n\|R\|_{H^\infty(G)}^p,
\end{equation*}
\notag
$$
где $G = \varphi(\mathbb{D})$ – область класса Джона, а $R$ – рациональная функция степени не выше $n$ с полюсами вне $\overline{G}$. Однако мы не знаем, справедливо ли это неравенство. Доказательство теоремы 5. Положим $M = \|R\|_{H^\infty(G)}$. Сделаем замену $\zeta = \varphi(z)$. Учитывая, что $d_G(\zeta) \leqslant |\varphi'(z)|(1-|z|^2)$, получаем
Утверждение 3) следует из теоремы 2. В самом деле, $1<p-\beta \leqslant 2$ и, используя неравенство $|(R\circ\varphi)'(z)| (1-|z|) \leqslant M$, получаем
$$
\begin{equation*}
I_{p,\beta}(R) \lesssim M^\beta \int_{\mathbb{D}} |(R\circ\varphi)'(z)|^{p-\beta} |\varphi'(z)|^{2-(p-\beta)}\, dA(z) \lesssim n^{p-\beta-1}M^p.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем утверждение 1). Величина $d_G(z)$ ограничена, поэтому достаточно доказать утверждение для $\beta \in (p-1, p-2 +\gamma]$. Для таких $\beta$ из неравенства $p-\beta <1$ и включения $\varphi' \in H^\gamma \subset H^{2-p+\beta}$ следует, что
$$
\begin{equation*}
I_{p,\beta}(R) \lesssim M^p \int_0^1 \biggl(\int_0^{2\pi}|\varphi'(re^{it})|^{2-p+\beta} \, dt\biggr)\, \frac{r\, dr}{(1-r)^{p-\beta}} \lesssim M^p.
\end{equation*}
\notag
$$
На первом шаге мы опять использовали неравенство $|(R\circ\varphi)' (z)|(1-|z|) \leqslant M$.
Рассмотрим наиболее интересный случай 2): $\beta = p-1$. Пусть $1\leqslant p <2$. Положим $s=1-1/n$. Применяя неравенство Гёльдера с показателями $2/p$ и $2/(2-p)$ и неравенство (2.1), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\{|z|\leqslant s\}} |(R\circ\varphi)'(z)|^p\, |\varphi'(z)| (1-|z|)^{p-1}\, dA(z) \\ &\ \leqslant \biggl( \int_{\{|z|\leqslant s\}} |(R\circ\varphi)'(z)|^2 (1-|z|)\, dA(z) \biggr)^{p/2} \biggl( \int_{\{|z|\leqslant s\}} \frac{|\varphi'(z)|^{2/(2-p)}}{1-|z|}\, dA(z) \biggr)^{1-p/2} \\ &\ \lesssim M^p \biggl( \int_0^s \biggl(\int_0^{2\pi} |\varphi'(re^{it})|^{2/(2-p)}\, dt \biggr) \frac{r\, dr}{1-r} \biggr)^{1-p/2} \lesssim (\log n)^{1- p/2} M^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось оценить интеграл по кольцу $\{s<|z| <1\}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\{s<|z| <1\}} |(R\circ\varphi)'(z)|^p\, |\varphi'(z)| (1-|z|)^{p-1}\, dA(z) \\ &\ \leqslant M^{p-1} \int_{\{s<|z| <1\}} |(R\circ\varphi)'(z)| \, |\varphi'(z)|\, dA(z) \\ &\ \lesssim M^{p-1} \biggl(\int_{\{s<|z| <1\}} |(R\circ\varphi)'(z)|^2\, dA(z)\biggr)^{1/2} \biggl(\int_{\{s<|z| <1\}} |\varphi'(z)|^2\, dA(z)\biggr)^{1/2} \,{\lesssim}\, M^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В последнем неравенстве мы воспользовались тем, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\{s<|z| <1\}} |(R\circ\varphi)'(z)|^2\, dA(z) \lesssim n M^2,
\end{equation*}
\notag
$$
так как $R\circ\varphi$ покрывает круг радиуса $M$ с кратностью не выше $n$, а также тем, что $\varphi'\in H^2$.
Случай $p\geqslant 2$ тривиален:
$$
\begin{equation*}
I_{p, p-1}(R) \lesssim M^{p-2} \int_\mathbb{D} |(R\circ\varphi)'(z)|^2 (1-|z|)\, dA(z)\lesssim M^p,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. величина $I_{p, p-1}(R)$ равномерно ограничена по $R$ и $n$.
Теорема 5 полностью доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BarKay22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|