| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Оснащенные мотивные Г. А. Гаркушаa, И. А. Панинbc, П. А. Остваерdc a Department of Mathematics, Swansea University, United Kingdom b Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук c Department of Mathematics, University of Oslo, Oslo, Norway d Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Milano, Milano, Italy
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9246e 
Реферативные базы данных:
    Памяти В. А. Воеводского § 1. ВведениеКатегория $\Gamma$ многозначных функций на конечных множествах имеет фундаментальное значение в топологии [1]. Следуя Бордману и Фогту [2], работа Сигала о $\Gamma$-пространствах доставляет удобную модель для $E_{\infty}$-пространств – пространств с умножениями, которые унитальны, ассоциативны и коммутативны с точностью до высших когерентных гомотопий – и для бесконечнократных пространств петель. Сигал применил указанные идеи, чтобы доказать знаменитую теорему Баррата–Придди–Квиллена, отождествляющую групповое пополнение дизъюнктного объединения $\bigsqcup_n B\Sigma_n$ классифицирующих пространств симметрических групп с бесконечнократным пространством петель сферического спектра $\mathbb S$. Вскоре после этого Бусфелд и Фридландер сумели отождествить гомотопические категории связных спектров и $\Gamma$-пространств, что стало огромным достижением для стабильной гомотопической категории [3]. Более того, $\Gamma$-пространства имеют то преимущество, что они очень просто определяются, а также внутренне связаны с $K$-теорией и топологическими гомологиями Хохшильда [4]. В настоящей работе вводится понятие оснащенных мотивных $\Gamma$-пространств, для которого требуется ряд аксиом. Основная цель нашей машинерии – значительно продвинуться в исследовании бесконечнократных пространств петель, а также связных и вполне эффективных спектров в алгебро-геометрическом контексте ${\mathbb A}^1$-гомотопической теории [5], [6]. Данное направление исследований было предвосхищено Воеводским в его работе по оснащенным соответствиям в мотивной гомотопической теории [7]. Работая над полем $k$, наш подход состоит в том, чтобы собрать вместе категорию Сигала $\Gamma$ с симметрической моноидальной категорией Воеводского $\mathrm{Sm}/k_+$ оснащенных соответствий уровня нуль [7] – небольшое расширение категории $\mathrm{Sm}/k$ категории гладких отделимых схем конечного типа над $\operatorname{Spec}(k)$. Напомним (см. [8]), что оснащенное мотивное пространство – это пунктированный симплициальный пучок Нисневича на категории оснащенных соответствий $\mathrm{Fr}_+(k)$. Как отмечено в § 2, категория $\mathrm{Sm}/k_+$, категория конечных пунктированных множеств $\Gamma^{\mathrm{op}}$ и категория оснащенных мотивных пространств $\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}$ обогащены над замкнутой симметрической моноидальной категорией пунктированных мотивных пространств $\mathcal{M}$ [9]. В соответствии с указанным обогащением мы будем рассматривать “непрерывные функторы двух переменных” из моноидального произведения $\Gamma^{\mathrm{op}}$ и $\mathrm{Sm}/k_+$ со значениями в оснащенных мотивных пространствах
$$
\begin{equation}
\mathcal X \colon \Gamma^{\mathrm{op}} \boxtimes \mathrm{Sm}/k_+ \to \mathcal{M}^{\mathsf{fr}}
\end{equation}
\tag{1}
$$
и называть их оснащенными мотивными $\Gamma$-пространствами (см. определение 2.1). Следует отметить, что имеет место канонический унивалентный функтор индуцированный композицией функторов
$$
\begin{equation}
\mathrm{Sm}/k \to \mathrm{Sm}/k_+ \to \mathrm{Fr}_+(k).
\end{equation}
\tag{3}
$$
Определение оснащенных соответствий, введенное в [7], использует алгебраический аналог оснащения на стабильном нормальном расслоении многообразия. Мы напомним соответствующие пререквизиты в (1), (2) и (3) (см. § 2). В нашей задаче по переносу программы Сигала о $\Gamma$-пространствах в $\mathbb{A}^1$-гомотопический контекст мы сначала накладываем некоторые гомотопические аксиомы на оснащенные мотивные $\Gamma$-пространства. Эти аксиомы затрагивают как переменную $\Gamma^{\mathrm{op}}$, так и $\mathrm{Sm}/k_+$ в (1). Говоря неформально, пунктированные конечные множества отвечают за $S^1$-надстройку, а оснащенные соответствия отвечают за $\mathbb G_m$-надстройку в стабильной мотивной гомотопической теории. Мы можем и будем рассматривать $\Gamma^{\mathrm{op}}$ как полную подкатегорию категории пунктированных конечных множеств с объектами $n_+=\{0,\dots,n\}$, пунктированными нулем для каждого целого числа $n\geqslant 0$. Каждое $\Gamma$-пространство задает симплициальный функтор и, следовательно, ассоциированный $S^1$-спектр (подробнее см. [4; гл. 2]). Аналогично в мотивном контексте (см. (9)) мы показываем, что каждое $U\in \mathrm{Sm}/k_+$ и каждый $\mathcal X$, как в (1), задает предпучок $S^1$-спектров $\mathcal X(\mathbb S,U)$. Мы отсылаем к [10] за подробным введением в гомотопическую алгебру таких предпучков. Ниже в аксиомах мы используем понятие локальной эквивалентности симплициальных пучков из [10; гл. 4] и понятие стабильной локальной эквивалентности для предпучков $S^1$-спектров из [10; гл. 10]. Для $n\geqslant 0$ и каждого конечно порожденного расширения полей $K/k$ будем писать $\widehat{\Delta}^n_{K/k}$ вместо полулокализации стандартного алгебраического $n$-симплекса
$$
\begin{equation*}
\Delta^n_K = \operatorname{Spec}\bigl(K[x_0,\dots,x_n]/(x_0+\dots+x_n-1)\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
с замкнутыми точками $v_{0},\dots,v_n\in \Delta^n_K$ в качестве вершин (см. [6; § 3]), где описан функтор реализации из симплициальных множеств в симплициальные пучки Нисневича, который сохраняет копределы. Напомним, что $v_{i}$ – это замкнутая подсхема в $\Delta^n_K$, заданная уравнениями $x_{j}=0$, где $j\neq i$, $0\leqslant i\leqslant n$. Следуя [11; § 2], будем обозначать $\widehat{\Delta}^{\bullet}_{K/k}$ соответствующую косимплициальную полулокальную схему. Введем основной объект изучения настоящей статьи. Аксиома. Оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство $\mathcal X$ называется специальным, если выполнены следующие свойства. 1. Для всех $n\geqslant 0$ и $U\in \mathrm{Sm}/k_+$ имеем $\mathcal X(0_+,U)=\ast=\mathcal X(n_+,\varnothing)$, а для всех $n\geqslant 1$ и каждой непустой $U\in \mathrm{Sm}/k_+$ естественно индуцированный морфизм
$$
\begin{equation*}
\mathcal X(n_+,U) \to \mathcal X(1_+,U) \times \overset{n}{\cdots} \times \mathcal X(1_+,U)
\end{equation*}
\notag
$$
является локальной эквивалентностью пунктированных мотивных пространств. 2. Для всех $n\geqslant 0$ и $U\in \mathrm{Sm}/k_+$ оснащенный предпучок стабильных гомотопических групп является ${\mathbb A}^1$-инвариантным, раддитивным и $\sigma$-стабильным (см. замечание 1.1).3. (Сокращение.) Пусть $\mathbb{G}$ обозначает конус морфизма единицы $\mathrm{Spec}(k)\to\mathbb G_m $ в $\Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+$. Тогда для каждых $n\geqslant 0$ и $U\in \mathrm{Sm}/k_+$ канонический морфизм
$$
\begin{equation*}
\mathcal X(\mathbb S,\mathbb{G}^{\wedge n}\times U) \to \underline{\mathrm{Hom}}(\mathbb{G},\mathcal X(\mathbb S,\mathbb G^{\wedge n+1}\times U))
\end{equation*}
\notag
$$
является стабильной локальной эквивалентностью. 4. (${\mathbb A}^1$-инвариантность.) Для всех $U\in \mathrm{Sm}/k_+$ индуцированный морфизм
$$
\begin{equation*}
\mathcal X(\mathbb S,U\times\mathbb A^1)\to\mathcal X(\mathbb S,U)
\end{equation*}
\notag
$$
является стабильной локальной эквивалентностью. 5. (Вырезание по Нисневичу.) Для каждого элементарного квадрата Нисневича в категории $\mathrm{Sm}/k$ квадрат гомотопически декартов относительно стабильной локальной модельной структуры.Более того, специальное оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство $\mathcal X$ называется вполне эффективным, если выполнено свойство 6, и очень специальным, если выполнено свойство 7. 6. (Стягиваемость по Суслину.) Для всех $U\in \mathrm{Sm}/k_+$ и для каждого конечно порожденного расширения полей $K/k$ геометрическая реализация симплициального $S^1$-спектра
$$
\begin{equation*}
\mathcal X(\mathbb S,\mathbb G\times U)(\widehat{\Delta}^{\bullet}_{K/k})
\end{equation*}
\notag
$$
стабильно эквивалентна тривиальному спектру. 7. (Группоподобие.) Для всех $U\in \mathrm{Sm}/k_+$ пучок Нисневича $\pi^{\mathsf{nis}}_{0}\mathcal X(1_+,U)$, ассоциированный с предпучком связных компонент на $\mathrm{Sm}/k$, принимает значения в абелевых группах.Замечание 1.1. Свойства 1 и 7 аксиомы – это пучковые версии соответственно специальных и очень специальных $\Gamma$-пространств Сигала [3], [1]. Свойство 2 аксиомы опирается на то предположение, что $\mathcal X$ – это оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство. Оснащенный пучок $\mathcal F$ является $\sigma$-стабильным, если $\mathcal F(\sigma_{V})=\operatorname{id}_{\mathcal F(V)}$ для всех $V\in\mathrm{Sm}/k$. Здесь явное оснащенное соответствие уровня один $(\{0\}\times V,{\mathbb A}^1\times V,\operatorname{pr}_{\mathbb A^1},\operatorname{pr}_{V})\in\mathrm{Fr}_{1}(V,V)$ задает морфизм $\sigma_{V}\colon V\to V$ в $\mathrm{Fr}_+(k)$ (см. [8; § 2]). Предпучок $\mathcal F$ на $\mathrm{Sm}/k$ является раддитивным, если $\mathcal F(\varnothing)=*$ и $\mathcal F(X_1\sqcup X_2)=\mathcal F(X_1)\times\mathcal F(X_2)$ для всех $X_1,X_2\in\mathrm{Sm}/k$. В свойстве 3 аксиомы объект $\mathbb{G}$ – это симплициальный объект в $\mathrm{Sm}/k_+$ со смэш-произведением $\mathbb G^{\wedge n}$, образованным в $\Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+$ [8; замечание 8.1]. Свойства 2–5 аксиомы имеют дело с предпучками $S^1$-спектров, как в [10; ч. IV]. Свойство 6 аксиомы восходит к разделу о рационально стягиваемых предпучках из работы Суслина [11] (см. также [12], [13]). Пример 1.1. Важнейшее специальное оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство задается правилом Функтор эвалюации в (15) каждому оснащенному мотивному $\Gamma$-пространству $\mathcal X$ сопоставляет некоторый объект категории оснащенных мотивных спектров в смысле [13; определение 2.1]:
$$
\begin{equation*}
\mathcal X_{S^1,\mathbb G} \in \mathbf{Sp}^{\mathsf{fr}}_{S^1,\mathbb G}(k).
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что триангулированная категория оснащенных биспектров $\mathbf{SH}^{\mathsf{fr}}_{\mathsf{nis}}(k)$, чьи объекты являются объектами категории $\mathbf{Sp}^{\mathsf{fr}}_{S^1,\mathbb G}(k)$, эквивалентна стабильной мотивной гомотопической категории $\mathbf{SH}(k)$ посредством тождественного функтора с квазиобратным равным функтору большого оснащенного мотива [13; теорема 2.2]. Функтор большого оснащенного мотива тесно связан с примером 1.1 (подробнее см. [8; § 12]). Для целей этой статьи обсуждение модельных структур на категории оснащенных мотивных $\Gamma$-пространств необязательно. Следующее определение инспирировано определением Сигала гомотопической категории $\Gamma$-пространств [1]. Определение 1.1. Определим гомотопическую категорию оснащенных мотивных $\Gamma$-пространств как категорию чьи объекты – это специальные оснащенные мотивные $\Gamma$-пространства, а морфизмы заданы равенством В § 3 мы обсуждаем, как связана категория $\mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k)$ с нестабильной категорией пунктированных мотивных пространств $\mathbf{H}(k)$ и с категорией связных мотивных спектров $\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}$ посредством коммутативной диаграммы (с точностью до эквивалентности) пар сопряженных функторов: Здесь $\mathcal X\in \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k)$ посылается в его подлежащее мотивное пространство $\mathcal X (1_+,\mathsf{pt})\in \mathbf{H}(k)$, а также в его оснащенный мотивный спектр $\mathcal X_{S^1,\mathbb G}\in\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}$ посредством эквивалентности между категориями $\mathbf{SH}^{\mathsf{fr}}_{\mathsf{nis}}(k)$ и $\mathbf{SH}(k)$ из [13]. Мы отсылаем к замечанию 3.1 за определением функтора $\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}$ – версии функтора большого оснащенного мотива, введенного в [8; § 12].Теорема 1.1. Для каждого бесконечного совершенного поля $k$ имеет место эквивалентность категорий Ее квазиобратная эквивалентность $\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0} \,{\xrightarrow{\simeq}}\,\mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k)$ посылает $\mathcal E{\kern1pt}{\in}{\kern1pt}\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}$ в явно заданное оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство $\Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}} \in\mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k)$. Пусть $\mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k)$ – это полная подкатегория категории $\mathbf{SH}(k)$, порожденная мотивными ${\mathbb P}^1$-надстроечными спектрами гладких схем и замкнутая относительно гомотопических копределов и расширений. Эта категория важна, так как она порождает вполне эффективную слайс-фильтрацию, введенную в [14]. Заметим, что $\mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k)$ содержится в триангулированной категории $\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}$, порожденной мотивными ${\mathbb P}^1$-надстроечными спектрами вида $\Sigma^{p,q}U_+$ с $p\geqslant q$ и $U\in\mathrm{Sm}/k$, и замкнутой относительно гомотопических копределов и расширений. Мы изучим категорию $\mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k)$ с точки зрения оснащенных мотивных $\Gamma$-пространств. Определение 1.2. Определим гомотопическую категорию вполне эффективных оснащенных мотивных $\Gamma$-пространств как полную подкатегорию в $\mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k)$, состоящую из вполне эффективных оснащенных мотивных $\Gamma$-пространств. Покажем, что свойство 6 аксиомы о стягиваемости по Суслину для специальных оснащенных мотивных $\Gamma$-пространств в точности улавливает зазор между $\mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k)$ и $\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}$. Наконец, мы используем свойство 7 аксиомы для нашего принципа распознавания бесконечнократных мотивных пространств петель. Теорема 1.3. Для каждого бесконечного совершенного поля $k$ и каждого $\mathcal E\in \mathbf{SH}(k)$ существует очень специальное оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство $\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}$ и локальная эквивалентность пунктированных мотивных пространств: Если $\mathcal X$ является очень специальным оснащенным мотивным $\Gamma$-пространством, то $\mathcal X(1_+,\mathsf{pt})$ является бесконечнократным мотивным пространством петель. Структура статьи следующая. Для удобства читателя мы начинаем § 2 с напоминания основ теории обогащенных категорий с целью определить оснащенные мотивные $\Gamma$-пространства. В качестве первых примеров мы обсуждаем мотивный сферический спектр $\mathbf{1}$, алгебраические кобордизмы $\mathbf{MGL}$, мотивные когомологии $\mathbf{MZ}$ и мотивные когомологии Милнора–Витта $\widetilde{\mathbf{M}}\mathbf{Z}$. Наши основные результаты (теоремы 1.1–1.3) сформулированы в § 3. Наконец, в § 4 мы выделяем некоторые новые гомотопические свойства оснащенных мотивных $\Gamma$-пространств. В статье используются следующие обозначения: $k$ – бесконечное совершенное поле экспоненциальной характеристики $e$; $\mathsf{pt}$ – схема $\mathrm{Spec}(k)$; $\mathrm{Sm}/k$ – гладкие отделимые схемы конечного типа; $\mathrm{Sm}/k_+$ – оснащенные соответствия уровня нуль; $\mathrm{Shv}_{\bullet}(\mathrm{Sm}/k)$ – замкнутая симметрическая моноидальная категория пунктированных пучков Нисневича; $\mathcal{M}=\Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Shv}_{\bullet}(\mathrm{Sm}/k)$ – пунктированные мотивные пространства, другими словами, пунктированные симплициальные пучки Нисневича; $\mathrm{Fr}_+(k)$ – категория оснащенных соответствий Воеводского; $\mathrm{Pre}^{\mathsf{fr}}(k)$ – оснащенные предпучки, т. е. предпучки множеств на категории $\mathrm{Fr}_+(k)$; $i\colon \mathrm{Sm}/k\to\mathrm{Fr}_+(k)$ – композиция функторов $\mathrm{Sm}/k\to\mathrm{Sm}/k_+\to\mathrm{Fr}_+(k)$; $S^{s,t}$, $\Omega^{s,t}$, $\Sigma^{s,t}$ – мотивные $(s,t)$-сфера, пространство петель и надстройка; $\mathbf{S}_{\bullet}$ – пунктированные симплициальные множества. Наше стандартное соглашение о мотивных сферах таково, что $S^{2,1}\simeq\mathbb{P}^1\simeq T$ и $S^{1,1}\simeq\mathbb{A}^1\setminus \{0\}$, как в [5]. Наш подход в настоящей статье – это дань работе Сигала о категориях и теориях когомологий [1]. Следуя той же линии, мы используем минимальную машинерию, чтобы получить конкретную модель для бесконечнократных мотивных пространств петель и мотивных спектров с предписанными свойствами. Основываясь на записках Воеводского [7], теория оснащенных мотивов была развита в [8]. В качестве применения дано явное вычисление бесконечнократных пространств петель. А именно, $\Omega_{\mathbb P^1}^{\infty}\Sigma_{\mathbb P^1}^{\infty}A$, $A\in\mathcal M$, локально эквивалентно пространству $C_{\ast}\mathrm{Fr}(A^c)^{\mathrm{gp}}$ (здесь “gp” обозначает групповое пополнение), а $A^c$ – это проективная кофибрантная замена пространства $A$ (см. [8; § 10]). Основываясь на [8], [15]–[17], принцип распознавания бесконечнократных мотивных пространств петель, использующий язык “бесконечность категорий”, приведен в [18]. § 2. Оснащенные мотивные $\Gamma$-пространстваМы отсылаем к [19] и [20] за описанием проективной мотивной модельной структуры на замкнутой симметрической категории пунктированных мотивных пространств $\mathcal{M}$. Эта модельная структура является комбинаторной, собственной, симплициальной, симметрической моноидальной и слабо конечно порожденной. Пусть $\Delta[\,{\bullet}\,]$ – стандартное косимплициальное симплициальное множество $n\mapsto\Delta[n]$. Если не возникает путаницы, мы временами рассматриваем его как косимплициальную схему, где каждый $\Delta[n]$ рассматривается как дизъюнктное объединение $\bigsqcup_{\Delta[n]}\mathsf{pt}$. Симплициальный $\mathrm{Hom}$-объект между пунктированными мотивными пространствами $A$ и $B$ задается правилом
$$
\begin{equation*}
\mathbf{S}_{\bullet}(A,B)=\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(A\wedge\Delta[\,{\bullet}\,]_+,B) =\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}\bigl(A,B(\Delta[\,{\bullet}\,]\times-)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $U\in\mathrm{Sm}/k$ лемма Йонеды отождествляет $\mathbf{S}_{\bullet}(U_+,A)$ с пунктированным симплициальным множеством $A(U)$. Напомним, что пространство $A\in\mathcal{M}$ является конечно представимым, если функтор $\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(A,-)$ сохраняет направленные копределы. Например, представимое пунктированное мотивное пространство $U_+$ является конечно представимым для каждой $k$-гладкой схемы $U\in \mathrm{Sm}/k$. Семейство $\mathcal C$ конечно представимых пунктированных мотивных пространств может быть обогащено над категорией $\mathcal{M}$ посредством $\mathcal{M}$-обогащенного $\mathrm{Hom}$-функтора:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, [A,B](X) &:= \underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal{M}}(A,B)(X)\,{=}\, \mathbf{S}_{\bullet}(A\wedge X_+,B) \,{=}\,\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}\bigl(A\wedge\Delta[\,{\bullet}\,]_+,B(X\times-)\bigr) \nonumber \\ &\,=\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}\bigl(A,B(X\times\Delta[\,{\bullet}\,]\times-)\bigr), \qquad A,B\in\mathcal C,\quad X\in \mathrm{Sm}/k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Обогащенная композиция в $\mathcal C$ наследуется из обогащенной композиции в $\mathcal{M}$. Мы будем обозначать $[\mathcal C,\mathcal{M}]$ категорию $\mathcal{M}$-обогащенных функторов из $\mathcal C$ в $\mathcal{M}$ (отсылаем к [21; § 4] за описанием проективной модельной структуры на ней), в которой слабые эквивалентности и расслоения определены пообъектно. Воеводский в [7] определил морфизмы в $\mathrm{Sm}/k_+$, положив
$$
\begin{equation*}
\mathrm{Sm}/k_+(X,Y) := \mathrm{Hom}_{\mathrm{Shv}_{\bullet}(\mathrm{Sm}/k)}(X_+,Y_+), \qquad X,Y\in \mathrm{Sm}/k.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $X$ связна, то $\mathrm{Sm}/k_+(X,Y)=\mathrm{Hom}_{\mathrm{Sm}/k}(X,Y)_+$ в силу [7; пример 2.1]. Лемма 2.1. В указанных выше обозначениях имеем отождествления постоянных симплициальных множеств где $U,V,X\in \mathrm{Sm}/k$. Доказательство. По определению имеем Кроме того, ясно, что $\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}((U\times X)_+,V_+)=\mathrm{Sm}/k_+(U\times X,V)$. Лемма доказана. Замечание 2.1. Отметим, что $\mathrm{Sm}/k_+(-,V)$, $V\in \mathrm{Sm}/k$, – это пучок Нисневича, ассоциированный с предпучком $U\mapsto\mathrm{Hom}_{\mathrm{Sm}/k}(U,V)\sqcup \mathsf{pt}$. Наш первый пример – это категория Сигала $\Gamma^{\mathrm{op}}$ конечных пунктированных множеств и пунктированных отображений. Пример 2.1. Следуя [8; § 5], мы рассматриваем $\Gamma^{\mathrm{op}}$ как полную подкатегорию в $\mathcal{M}$, отождествляя множество $K\in\Gamma^{\mathrm{op}}$ со схемой $(\bigsqcup_{K\setminus\ast} \mathsf{pt})_+$, где копроизведение индексируется неотмеченными элементами множества $K$. Это превращает $\Gamma^{\mathrm{op}}$ в симметрическую моноидальную $\mathcal{M}$-категорию. Следовательно, $[\Gamma^{\mathrm{op}},\mathcal{M}]$ – это замкнутая симметрическая моноидальная категория в силу [22]. Мы утверждаем, что $[\Gamma^{\mathrm{op}},\mathcal{M}]$ можно отождествить с категорией $\Gamma\mathcal{M}$ ковариантных функторов из $\Gamma^{\mathrm{op}}$ в $\mathcal{M}$, переводящих объект $0_+$ в отмеченный объект $*$ категории $\mathcal M$. В этом случае $\mathcal C=\bigl\{\bigsqcup_{K\setminus *} \mathsf{pt}\bigm| K\in\Gamma^{\mathrm{op}}\bigr\}$. $\mathcal{M}$-обогащенный функтор $\mathcal X\in[\Gamma^{\mathrm{op}},\mathcal{M}]$ переводит $K\in\Gamma^{\mathrm{op}}$ в $\mathcal X\bigl(\bigsqcup_{K\setminus *} \mathsf{pt}\bigr)\in\mathcal M$, и для $K,L\in\Gamma^{\mathrm{op}}$ имеет место морфизм
$$
\begin{equation*}
\alpha_{K,L} \colon \mathcal X\biggl(\bigsqcup_{K\setminus *}\mathsf{pt}\biggr) \bigwedge_{\mathcal{M}}\biggl[\bigsqcup_{K\setminus *}\mathsf{pt},\bigsqcup_{L\setminus *}\mathsf{pt}\biggr] \to \mathcal X\biggl(\bigsqcup_{L\setminus *}\mathsf{pt}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мотивное пространство $\bigl[\bigsqcup_{K\setminus*}\mathsf{pt},\bigsqcup_{L\setminus*}\mathsf{pt}\bigr]$ задано правилом
$$
\begin{equation*}
U \mapsto \Gamma^{\mathrm{op}}\biggl(\bigsqcup_{K\times n(U)_+\setminus (*,+)}\mathsf{pt},\bigsqcup_{L\setminus*}\mathsf{pt}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $n(U)$ – число связных компонент схемы $U\,{\in}\,\mathrm{Sm}/k$, а $n(U)_+{=}\,\{0,1,\dots,n{(U)}\}$. Так как $\mathcal X\in[\Gamma^{\mathrm{op}},\mathcal{M}]$ принимает значение в симплициальных пучках, то
$$
\begin{equation*}
\mathcal X(K)(U) = \mathcal X(K)(U_1)\times\overset{n(U)}{\cdots}\times\mathcal X(K)(U_{n{(U)}}),
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, мы имеем равенства
$$
\begin{equation*}
\alpha_{K,L}(U) = \alpha_{K,L}(U_1)\times\overset{n(U)}{\cdots}\times\alpha_{K,L}(U_{n{(U)}}).
\end{equation*}
\notag
$$
Морфизму $f\colon K\to L$ in $\Gamma^{\mathrm{op}}$ мы сопоставляем морфизм $\mathcal X\bigl(\bigsqcup_{K\setminus *}\mathsf{pt}\bigr)\to \mathcal X\bigl(\bigsqcup_{L\setminus *}\mathsf{pt}\bigr)$, чье значение на $U$ – это Ясно, что это доставляет отождествление $[\Gamma^{\mathrm{op}},\mathcal{M}]$ с пунктированными функторами из $\Gamma^{\mathrm{op}}$ в $\mathcal{M}$.Переходим к определению категории оснащенных мотивных пространств $\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}$ и к ее естественному обогащению над категорией $\mathcal{M}$. Пусть $\mathrm{Fr}_+(k)$ – категория оснащенных соответствий, как в [8; § 2]. Пусть $\mathrm{Pre}^{\mathsf{fr}}(k)$ – это категория оснащенных предпучков, т. е. категория предпучков множеств на $\mathrm{Fr}_+(k)$. Пусть $i\colon \mathrm{Sm}/k\to\mathrm{Sm}/k_+\to\mathrm{Fr}_+(k)$ – это композиция функторов. Напомним из [8; § 2], что оснащенные пучки Нисневича на $\mathrm{Sm}/k$ – это оснащенные предпучки, ограничение которых на категорию $\mathrm{Sm}/k$ посредством функтора $i$ – это пучки Нисневича. Пусть $\mathrm{Shv}_\bullet^{\mathsf{fr}}(k)$ обозначает категорию пунктированных пучков Нисневича. Морфизмы в ней – это просто морфизмы пунктированных онащенных предпучков. Определим категорию оснащенных мотивных пространств $\mathcal M^{\mathsf{fr}}$ как категорию симплициальных объектов в категории $\mathrm{Shv}_\bullet^{\mathsf{fr}}(k)$. Имеет место канонически индуцированный унивалентный функтор $\iota\colon\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}\to\mathcal{M}$, полученный композицией с $i\colon\mathrm{Sm}/k\to\mathrm{Sm}/k_+\to\mathrm{Fr}_+(k)$. Следуя [7; § 6], рассмотрим естественное спаривание $\mathrm{Sm}/k_+ \times \mathrm{Fr}_+(k)\xrightarrow{\otimes} \mathrm{Fr}_+(k)$, переводящее $(X,Y)$ в $X\times Y$ и $(f,\alpha)$ в $f\times \alpha$. В дальнейшем это спаривание будет использоваться систематически без ссылок на него. Мы также используем его, чтобы естественно обогатить категорию $\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}$ над категорией $\mathcal M$. Во-первых, каждому оснащенному пучку Нисневича $\mathcal F$ и каждому $X\in \mathrm{Sm}/k_+$ мы можем сопоставить оснащенный пучок Нисневича $\mathcal F(X\times -)$. Более детально, для $\alpha\in \mathrm{Fr}_n(U',U)$ положим $\alpha^*\colon \mathcal F(X\times U)\to \mathcal F(X\times U')$ равным $(\operatorname{id}_X\times \alpha)^*$. Если $\mathcal F$ – это пунктированный оснащенный пучок Нисневича, то и оснащенный пучок Нисневича $\mathcal F(X\times -)$ тоже пунктирован. Во-вторых, каждый морфизм $f\colon X'\to X$ в $\mathrm{Sm}/k_+$ индуцирует морфизм оснащенных пучков Нисневича $f^*\colon \mathcal F(X\times -)\to \mathcal F(X'\times -)$. А именно, если $U\in \mathrm{Fr}_+(k)$, то положим $f^*\colon \mathcal F(X\times U)\to \mathcal F(X'\times U)$ равным $(f\times \operatorname{id}_U)^*$. Если $\mathcal F$ – это пунктированный оснащенный пучок Нисневича, то указанный морфизм оснащенных пучков является морфизмом $f^*\colon \mathcal F(X\times -)\to \mathcal F(X'\times -)$ пунктированных оснащенных пучков Нисневича. Наконец, следуя (8), $\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}$ имеет естественное обогащение над $\mathcal M$. А именно,
$$
\begin{equation*}
{\mathcal{M}}(A,B)(X):=\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}} \bigl(A,B(X\times\Delta[\,{\bullet}\,]\times-)\bigr), \qquad A,B\in\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}, \quad X\in \mathrm{Sm}/k.
\end{equation*}
\notag
$$
Обогащенная композиция в $\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}$ наследуется из обогащенной композиции в $\mathcal M$. Наш второй пример – категория Воеводского оснащенных соответствий уровня нуль. Пример 2.2. Мы обогатим $\mathrm{Sm}/k_+$ над $\mathcal{M}$, положив Моноидальное произведение $\Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+$ – это $\mathcal{M}$-категория с объектами $\mathrm{Ob}\Gamma^{\mathrm{op}}\times \mathrm{Ob}\mathrm{Sm}/k_+$ и с $\mathcal{M}$-морфизмами Заметим, что $\Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+$ – это симметрическая моноидальная $\mathcal{M}$-категория.Определение 2.1. 1) Мотивное $\Gamma$-пространство – это $\mathcal{M}$-обогащенный функтор $\mathcal X\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+\to\mathcal{M}$. 2) Оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство – это $\mathcal{M}$-обогащенный функтор $\mathcal X\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+\to\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}$. Замечание 2.2. Пусть $\Gamma^{\mathrm{op}}\times\mathrm{Sm}/k_+$ – это подлежащая категория $\mathcal M$-категории $\Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes\mathrm{Sm}/k_+$. Каждое мотивное $\Gamma$-пространство $\mathcal X\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+\to\mathcal{M}$ задает функтор $\mathcal X\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\times \mathrm{Sm}/k_+\to\mathcal{M}$, обозначаемый той же буквой. Раскрывая предыдущее определение, оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство равносильно заданию следующих данных: – некоторого $\mathcal M$-функтора $\mathcal X\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+\to\mathcal{M}$; – некоторого функтора $\mathcal X'\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\times \mathrm{Sm}/k_+\to\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}$; – индуцированного функтора $\mathcal X\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\times\mathrm{Sm}/k_+\to\mathcal M$ равного композиции $\Gamma^{\mathrm{op}}\times\mathrm{Sm}/k_+\xrightarrow{\mathcal X'}\mathcal M^{\mathsf{fr}}\xrightarrow{\iota}\mathcal M$ такого, что канонический морфизм пропускается через $\mathrm{Hom}_{\mathcal M^{\mathsf{fr}}}(\mathcal X'(K,U),\mathcal X'(K,V)(Y\times-))$ для каждых $K\in\Gamma^{\mathrm{op}}$, $U,V,Y\in\mathrm{Sm}/k_+$.Функторы эвалюацииКаждое мотивное $\Gamma$-пространство, а именно, $\mathcal X\in [\Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+,\mathcal{M}]$ и $U\in \mathrm{Sm}/k_+$ задают обогащенный функтор $\mathcal X(U)\in [\Gamma^{\mathrm{op}},\mathcal{M}]$. В примере 2.1 мы отождествили задание $\mathcal X(U)$ с заданием пунктированного функтора из $\Gamma^{\mathrm{op}}$ в $\mathcal{M}$. Следуя [4; пример 2.1.2.1], под сферическим спектром мы имеем в виду включение $\mathbb S\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\hookrightarrow \mathbf{S}_{\bullet}$. Беря левое расширение Кана вдоль сферического спектра $\mathbb S\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\hookrightarrow \mathbf{S}_{\bullet}$, получим функтор эвалюации со значениями в мотивных $S^1$-спектрах
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathsf{ev}_{S^1} \colon [\Gamma^{\mathrm{op}},\mathcal{M}] \to \mathbf{Sp}_{S^1}(k), \\ \mathcal X(U)\mapsto \mathcal X(\mathbb S,U) = (\mathcal X(S^{0})(U),\mathcal X(S^1)(U),\mathcal X(S^2)(U),\dots). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{9}
$$
Мы называем $\mathcal X(\mathbb S,\mathsf{pt})$ подлежащим мотивным $S^1$-спектром пространства $\mathcal X$. С другой стороны, для $K\in\Gamma^{\mathrm{op}}$ получим обогащенный функтор $\mathcal X(K)\in [\mathrm{Sm}/k_+,\mathcal{M}]$ (см. пример 2.2). Более того, для каждых $U,V\in \mathrm{Sm}/k_+$ задан естественный морфизм в $\mathcal{M}$
$$
\begin{equation*}
V_+ \to [U,U\times V]\to\underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal{M}}\bigl(\mathcal X(K)(U),\mathcal X(K)(U\times V)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
По присоединенности мы получим морфизмы
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal X(K)(U)\wedge V_+\to\mathcal X(K)(U\times V), \\ \mathcal X(K)(U)\to\underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal M}\bigl(V_+,\mathcal X(K)(U\times V)\bigr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Симплексы $\mathbb{G}\in\Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+$ состоят из конечных дизъюнктных объединений $\mathbb{G}^{\bigsqcup_{<\infty}}_m$ копий мультипликативной групповой схемы $\mathbb{G}_m$ и точки $\mathsf{pt}$. А именно, симплексами являются схемы $\mathbb{G}_m$, $\mathbb{G}_m\sqcup\mathsf{pt}$, $\mathbb{G}_m\sqcup\mathsf{pt}\sqcup\mathsf{pt}$, $\dots$ (см. также [8; замечание 8.1]). В качестве специального случая (10) мы имеем морфизмы
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal X(K)(U)\wedge (\mathbb{G}^{\bigsqcup_{<\infty}}_m)_+ \to \mathcal X(K)\bigl(U\times \mathbb{G}^{\bigsqcup_{<\infty}}_m\bigr), \\ \mathcal X(K)(U)\to\underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal M}\bigl(\bigl(\mathbb{G}^{\bigsqcup_{<\infty}}_m\bigr)_+, \mathcal X(K)\bigl(U\times \mathbb{G}^{\bigsqcup_{<\infty}}_m\bigr)\bigr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Для смэш-степеней $\mathbb{G}$ определим морфизмы
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal X(K)(\mathbb{G}^{\wedge n})\wedge\mathbb{G}_+\to\mathcal X(K)(\mathbb G^{\wedge n+1}), \\ \mathcal X(K)(\mathbb{G}^{\wedge n})\to\underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal M}\bigl(\mathbb{G}_+,\mathcal X(K)(\mathbb G^{\wedge n+1})\bigr) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{12}
$$
как геометрические реализации морфизмов
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, l \mapsto\bigl\{\mathcal X(K)((\mathbb G^{\wedge n})_l)\wedge(\mathbb{G}_+)_l \to \mathcal X(K)((\mathbb G^{\wedge (n+1)})_l)\bigr\}, \\ l \mapsto\bigl\{\mathcal X(K)((\mathbb G^{\wedge n})_l) \to\underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal M} \bigl((\mathbb{G}_+)_l,\mathcal X(K)((\mathbb G^{\wedge (n+1)})_l)\bigr)\bigr\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
полученных из (11). Благодаря (12) получим функтор эвалюации со значениями в мотивных $\mathbb{G}$-спектрах
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathsf{ev}_\mathbb{G} \colon [\mathrm{Sm}/k_+,\mathcal{M}] \to \mathbf{Sp}_{\mathbb{G}}(k), \\ \mathcal X(K)\mapsto \bigl(\mathcal X(K)(\mathsf{pt}),\mathcal X(K)(\mathbb{G}),\mathcal X(K)(\mathbb G^{\wedge 2}),\dots\bigr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Мы отсылаем к [9; гл. 3, § 2.3] за обсуждением категории $\mathbf{Sp}_{S^1,\mathbb{G}}(k)$ мотивных $(S^1,\mathbb{G})$-биспектров. Ассоциированная с ней гомотопическая категория эквивалентна категории $\mathbf{SH}(k)$. Собрав вместе (9) и (13), мы получим функтор эвалюации
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}} \colon [\Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+,\mathcal{M}] \to \mathbf{Sp}_{S^1,\mathbb{G}}(k), \\ \mathcal X \mapsto \mathcal X_{S^1,\mathbb G} = \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\mathcal X). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{14}
$$
Более точно, для каждых $i,j\geqslant 0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\mathcal X)_{i,j}=\mathcal X(S^{i},\mathbb G^{\wedge j})\in\mathcal{M}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидные структурные морфизмы превращают $\mathcal X_{S^1,\mathbb G}$ в мотивный $(S^1,\mathbb{G})$-биспектр. В свою очередь, пусть $[\Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+,\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}]$ обозначает категорию $\mathcal M$-обогащенных функторов из $\Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+$ в $\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}$. Следуя определению 2.1, ее объекты – оснащенные мотивные $\Gamma$-пространства. Если $\mathcal X$ – оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство, то структурные морфизмы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal X(S^{i},\mathbb G^{\wedge j})\to\underline{\mathrm{Hom}}\bigl(S^1,\mathcal X(S^{i+1},\mathbb G^{\wedge j})\bigr), \\ \mathcal X(S^{i},\mathbb G^{\wedge j})\to\underline{\mathrm{Hom}}\bigl(\mathbb G_+,\mathcal X(S^{i+1},\mathbb G^{\wedge j+1})\bigr) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
являются морфизмами в $\mathcal M^{\mathsf{fr}}$. Поэтому $\mathcal X_{S^1,\mathbb G}\in \mathbf{Sp}^{\mathsf{fr}}_{S^1,\mathbb{G}}(k)$ является оснащенным мотивным $(S^1,\mathbb G)$-биспектром в смысле [13; определение 2.1]. Аналогично (14), получим функтор эвалюации
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}} \colon [\Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+,\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}] \to \mathbf{Sp}_{S^1,\mathbb{G}}^{\mathsf{fr}}(k), \\ \mathcal X \mapsto \mathcal X_{S^1,\mathbb G} = \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\mathcal X). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Пример 2.3. Для каждого $X\in\mathrm{Sm}/k$ мы можем образовать мотивное $\Gamma$-пространство вида Его эвалюация – это надстроечный биспектр $\Sigma^\infty_{S^1}\Sigma^\infty_{\mathbb{G}}X_+$ схемы $X$. Аналогично, мы можем образовать специальное оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство $\underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathrm{Fr})$ вида Его подлежащий мотивный $S^1$-спектр $\underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathrm{Fr})(\mathbb S,\mathsf{pt})$ – это оснащенный мотив $X$ из [8]. Имеется естественный морфизм мотивных $\Gamma$-пространств
$$
\begin{equation}
\mathrm{Sm}/k_+\bigl(-,-\otimes (X\times-)\bigr)\to C_{\ast}\mathrm{Fr}\bigl(-,-\otimes (X\times-)\bigr).
\end{equation}
\tag{16}
$$
Согласно [8; теорема 11.1] функтор эвалюации из (14) посылает морфизм (16) в стабильную мотивную эквивалентность. А именно, специальное мотивное $\Gamma$-пространство $\underline{\mathrm{Hom}}(\mathsf{pt},C_{\ast}\mathrm{Fr})$ – это модель мотивной сферы $\mathbf {1}$. Линеаризуя, мы получим, в частности, специальное мотивное $\Gamma$-пространство $\underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathbb Z\mathrm{F})$ вида
$$
\begin{equation*}
(K,U) \mapsto C_{\ast}\mathbb Z\mathrm{F}\bigl(-,K\otimes (X\times U)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Его подлежащий мотивный $S^1$-спектр $\underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathbb Z\mathrm{F})(\mathbb S,\mathsf{pt})$ – это линейный оснащенный мотив схемы $X$ из [8]. Пример 2.4. Пусть $\mathcal E$ – мотивный симметрический $T$- или $T^{2}$-спектр Тома с ограничивающей константой $d\leqslant 1$ и стягиваемым действием группы четных перестановок в смысле [23; § 1]. Основные примеры – это спектр алгебраических кобордизмов Воеводского $\mathbf{MGL}$ [6] и $T^2$-спектры $\mathbf {MSL}$, $\mathbf {MSp}$ из [24] (во всех указанных случаях $d=1$). В этих предположениях имеет место специальное оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство $\underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathrm{Fr}^{\mathcal E})$ вида Эвалюация $\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathrm{Fr}^{\mathcal E}))$ согласована с $\mathcal E \wedge X_+$ согласно доказательству [23; теорема 9.13]. Более того, $\underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathrm{Fr}^{\mathcal E})(\mathbb S,\mathsf{pt})$ – это $\mathcal E$-оснащенный мотив $X$ в смысле [23; § 9]. Также получаем специальное мотивное $\Gamma$-пространство $\underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathbb Z\mathrm{F}^{\mathcal E})$, чей подлежащий мотивный $S^1$-спектр – это линейный $\mathcal E$-оснащенный мотив $X$, определенный в [23; § 9]. Пример 2.5. Предположим, что $\mathbf{A}$ – это строгая категория соответствий Воеводского в смысле [25; определение 2.3], и что имеет место функтор $\mathrm{Fr}_+(k)\to\mathbf{A}$ тождественный на объектах. Примеры включают соответствия Милнора–Витта $\widetilde{\mathrm{Cor}}$ [26], конечные соответствия Воеводского $\mathrm{Cor}$ [27] и $K_0^{\oplus}$-соответствия [28]. Мы определим $C_{\ast}\mathbf{A}$ как очень специальное мотивное $\Gamma$-пространство с сечениями равными комплексу Суслина пучка Нисневича $\mathbf{A}(-,K\otimes U)^{\mathsf{nis}}$, т. е. мотивное $\Gamma$-пространство вида Заметим, что $\underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathbf{A})(\mathbb S,\mathsf{pt})$ – это $\mathbf{A}$-мотив $X$, определенный в [25; § 2], где $\underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathbf{A})$ обозначает очень специальное оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство вида $(K,U)\mapsto C_{\ast}\mathbf{A}(-,K\otimes (X\times U))$. Замечание 2.3. Мотивные $\Gamma$-пространства в примерах 2.3–2.5 имеют общую черту: они пропускаются через функтор $\otimes\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+\to\mathrm{Sm}/k_+$. § 3. Специальные оснащенные мотивные $\Gamma$-пространства и бесконечнократные мотивные пространства петельПусть $\mathcal E$ – это мотивный $(S^1,\mathbb{G})$-биспектр. Используя его $n$-е веса, т. е. мотивные $S^1$-спектры $\mathcal E(n)$ биспектра $\mathcal E$, определенные правилом $\mathcal E(n)_{i}=\mathcal E_{i,n}$, мы пишем $\mathcal E=(\mathcal E(0),\mathcal E(1),\dots)$. Для целых чисел $p,n\in\mathbb Z$ пусть $\pi^{\mathbb A^1}_{p,n}\mathcal E$ – это пучок Нисневича на $\mathrm{Sm}/k$, ассоциированный с предпучком
$$
\begin{equation*}
U \mapsto \mathbf{SH}(k)(U_+\wedge S^{p-n}\wedge\mathbb{G}^{\wedge n},\mathcal E).
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что $\mathcal E$ связен, если $\pi^{\mathbb A^1}_{p,n}\mathcal E=0$ для всех $p<n$. Аналогично, мотивный $S^1$-спектр $\mathcal E\in \mathbf{Sp}_{S^1}(k)$ связен, если $\pi^{\mathbb A^1}_n\mathcal E=0$ для всех $n<0$. Для пучка Нисневича $F$ абелевых групп на $\mathrm{Sm}/k$ пусть $F_{-1}$ обозначает пучок Нисневича, заданный правилом $U\mapsto\ker(1^{\ast}\colon F(U\times\mathbb G_m)\to F(U))$. Лемма 3.1. Оснащенный мотивный $(S^1,\mathbb{G})$-биспектр $\mathcal E=(\mathcal E(0),\mathcal E(1),\dots)$ в смысле [13; § 2] является связным тогда и только тогда, когда $\mathcal E(n)$ – связный мотивный $S^1$-спектр для каждого $n\geqslant 0$. Доказательство. Без ограничения общности можем считать, что подлежащий мотивный биспектр $\mathcal E$ является фибрантным (мы используем здесь [13; лемма 2.6]). Обозначая через $|\,{-}\,|$ абсолютное значение числа, имеем равенства $\pi_{p,n}^{\mathbb A^1}\mathcal E=\pi_{p-n}^{\mathsf{nis}}\mathcal E(|n|)$, если $n\leqslant 0$. В то время как $\pi_{p,n}^{\mathbb A^1}\mathcal E=\pi_{p-n}^{\mathsf{nis}}\Omega_{\mathbb G^{\wedge n}}\mathcal E(0)$, если $n>0$. Здесь $\pi_{\ast}^{\mathsf{nis}}$ – это пучок Нисневича, ассоциированный с $\pi_{\ast}$. Доказательство подлеммы в [8; § 12] показывает, что
$$
\begin{equation*}
\pi_{p-n}^{\mathsf{nis}}\Omega_{\mathbb G^{\wedge n}}\mathcal E(0) = \pi_{p-n}^{\mathsf{nis}}\mathcal E(0)_{-n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\mathcal E$ связен, то $\pi_{p-n}^{\mathsf{nis}}\mathcal E(|n|)=0$ для всех $n\leqslant 0$ и $p<n$. В частности, для всех $s>0$ и $n\leqslant 0$ пучок $\pi_{-s}^{\mathsf{nis}}\mathcal E(|n|)$ тривиален. Обратная импликация очевидна. Лемма 3.1 доказана. Напомним, что категория $\mathbf{Sp}_{S^1}(k)$ естественно обогащена над $\mathcal M$ (см. доказательство теоремы [29; теорема 6.3]). А именно, для $\mathcal E,\mathcal F\in\mathbf{Sp}_{S^1}(k)$ определим $\mathcal M(\mathcal E,\mathcal F)$ как уравнитель диаграммы
$$
\begin{equation}
\prod_n\mathcal M(\mathcal E_n,\mathcal F_n)\quad \Longrightarrow \quad \prod_n\mathcal M\bigl(\mathcal E_n,\underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal M}(S^1,\mathcal F_{n+1})\bigr).
\end{equation}
\tag{17}
$$
Здесь мы используем морфизмы $\mathcal M(\mathcal E_n,\mathcal F_n)\to\mathcal M(\mathcal E_n,\underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal M}(S^1,\mathcal F_{n+1}))$, индуцированные присоединенными к структурным морфизмам спектра $\mathcal F$, и канонически индуцированные морфизмы
$$
\begin{equation*}
\mathcal M(\mathcal E_{n+1},\mathcal F_{n+1}) \to \mathcal M(\mathcal E_n\wedge S^1,\mathcal F_{n+1}) \cong \mathcal M\bigl(\mathcal E_n,\underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal M}(S^1,\mathcal F_{n+1})\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы будем называть $\mathbf{Sp}_{S^1}([\mathrm{Sm}/k_+,\mathcal M])$ категорией спектральных функторов (см. [13; § 5]). Объектами являются $S^1$-спектры в замкнутой симметрической моноидальной $\mathcal M$-категории $[\mathrm{Sm}/k_+,\mathcal M]$, введенной в примере 2.2. Аналогично (13) (см. [13; § 5, (3)]) имеет место функтор эвалюации
$$
\begin{equation*}
\mathsf{ev}_\mathbb{G}\colon \mathbf{Sp}_{S^1}([\mathrm{Sm}/k_+,\mathcal M])\to \mathbf{Sp}_{S^1,\mathbb G}(k).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы теперь готовы доказать теорему 1.1. Доказательство теоремы 1.1. Для $\mathcal X\in \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k)$ и $n\geqslant 0$ согласно определению 1.1 функтор геометрической реализации задает ассоциированный $\mathcal M$-обогащенный функтор
$$
\begin{equation*}
\mathcal X(\mathbb{G}^{\wedge n})\colon =\bigl|l\mapsto \mathcal X\bigl(-,(\mathbb G^{\wedge n})_l\bigr)\bigr| \in [\Gamma^{\mathrm{op}},\mathcal M^{\mathsf{fr}}].
\end{equation*}
\notag
$$
Благодаря примеру 2.1 это просто пунктированный функтор из $\Gamma^{\mathrm{op}}$ в $\mathcal M^{\mathsf{fr}}$. Применив функтор $\mathsf{ev}_{S^1}$ из (9), получим мотивный $S^1$-спектр $\mathsf{ev}_{S^1}(\mathcal X(\mathbb{G}^{\wedge n}))=\mathcal X(\mathbb S,\mathbb{G}^{\wedge n})$. Согласно [13; лемма 2.5] $S^1$-спектр $\mathcal X(\mathbb S,\mathbb{G}^{\wedge n})$ является $\mathbb A^1$-локальным. Более того, $\mathcal X(\mathbb S,\mathbb{G}^{\wedge n})$ является посхемно связным, так как он посхемно ассоциирован с $\Gamma$-пространством. Следовательно, $\mathcal X(\mathbb S,\mathbb{G}^{\wedge n})$ – связный мотивный $S^1$-спектр для каждого $n\geqslant 0$. Для функтора эвалюации $\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}$ из (14) имеем
$$
\begin{equation*}
\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\mathcal X)(n)= \mathcal X(\mathbb S,\mathbb{G}^{\wedge n}).
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с леммой 3.1 это показывает, что $\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\mathcal X)\in \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}$. Поэтому функтор эвалюации (15) принимает значение в $\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}$:
$$
\begin{equation}
\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}\colon \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k)\to \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Согласно конструкции категории $\mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k)$ (см. определение 1.1) указанный функтор $\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}$ из (18) является вполне унивалентным. Остается показать его существенную сюръективность – это наиболее интересная часть доказательства.
Предположим, что $\mathcal E$ – кофибрантный и фибрантный симметрический мотивный $(S^1,\mathbb{G})$-биспектр. Тогда имеется спектральный функтор $\mathcal M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}$ в смысле [13; определение 6.1] такой, что $\mathsf{ev}_\mathbb{G}(\mathcal M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E})$ естественно изоморфен $\mathcal E$ в категории $\mathbf{SH}(k)$ (см. [13; § 6]). На самом деле, $\mathcal M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}$ осуществляет эквивалентность категории $\mathbf{SH}(k)$ и категории оснащенных спектральных мотивных функторов (см. [13; теорема 6.3, определение 6.5]). Кратко напомним конструкцию $\mathcal M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}$, так как она важна для деталей нашего доказательства. Мотивные пространства $C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E_{i,j})$ образуют мотивный $(S^1,\mathbb{G})$-биспектр $C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E)$. Для каждого $n\geqslant 0$ пусть $R^n_{\mathbb{G}} C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E)$ обозначает $\underline{\mathrm{Hom}}(\mathbb{G}^{\wedge n},C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E[n]))$, где $\mathcal E[n]$ – это сдвиг на $n$ биспектра $\mathcal E$ в $\mathbb{G}$-направлении. В каждом весе $i\geqslant 0$ мы имеем мотивный $S^1$-спектр
$$
\begin{equation*}
R^n_{\mathbb{G}} C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E)(i)= \underline{\mathrm{Hom}}\bigl(\mathbb{G}^{\wedge n},C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E(n+i))\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеется канонический морфизм $(S^1,\mathbb{G})$-биспектров
$$
\begin{equation*}
R^n_{\mathbb{G}} C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E)\to R^{n+1}_{\mathbb{G}} C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E),
\end{equation*}
\notag
$$
и мы положим
$$
\begin{equation*}
R^\infty_{\mathbb{G}} C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E):= \operatorname{colim}\bigl(C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E)\to R^1_{\mathbb{G}} C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E)\to R^2_{\mathbb{G}} C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E)\to\cdots\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Благодаря [13; § 6, требование 2] имеется стабильная мотивная эквивалентность
$$
\begin{equation*}
\mathcal E\to C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E)\to R^\infty_{\mathbb{G}} C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E).
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $n\geqslant 0$ определим спектральный функтор $\mathbb GC_{\ast}\mathrm{Fr}^{\mathcal E}[n]$ посхемно правилом
$$
\begin{equation*}
U\mapsto \underline{\mathrm{Hom}}\bigl(\mathbb{G}^{\wedge n},C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E(n)\wedge U_+)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно конструкции имеют место естественные морфизмы спектральных функторов
$$
\begin{equation*}
\mathbb GC_{\ast}\mathrm{Fr}^{\mathcal E}[n]\to \mathbb GC_{\ast}\mathrm{Fr}^{\mathcal E}[n+1],
\end{equation*}
\notag
$$
и мы положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}:= \operatorname{colim}(\mathbb GC_{\ast}\mathrm{Fr}^{\mathcal E}[0]\to\mathbb GC_{\ast}\mathrm{Fr}^{\mathcal E}[1]\to\cdots).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно [13; лемма 6.6] имеется морфизм мотивных $(S^1,\mathbb{G})$-биспектров
$$
\begin{equation}
\mathsf{ev}_\mathbb{G}(\mathcal M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E})\to R^\infty_{\mathbb{G}}C_{\ast}\mathrm{Fr}(E^c).
\end{equation}
\tag{19}
$$
В каждом весе морфизм (19) – это стабильная локальная эквивалентность мотивных $S^1$-спектров благодаря [13; лемма 6.7], что доставляет зигзаг в стабильную мотивную эквивалентность
$$
\begin{equation*}
\mathcal E\to R^\infty_{\mathbb{G}} C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E) \leftarrow \mathsf{ev}_\mathbb{G}(\mathcal M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}),
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому изоморфизм в $\mathbf{SH}(k)$
$$
\begin{equation}
\mathsf{ev}_\mathbb{G}(\mathcal M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}) \cong \mathcal E.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Для $U\in\mathrm{Sm}/k_+$ мотивный $S^1$-спектр $\mathcal M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U)$ не обязательно является посхемно $\Omega$-спектром. Однако указанное свойство имеет место для спектрального функтора ${\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}$, заданного правилом
$$
\begin{equation*}
U\mapsto \Theta^{\infty}_{S^1}\mathcal M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\Theta^{\infty}_{S^1}$ – это функтор мотивной $S^1$-стабилизации, определенный в [29; определение 4.2]. Согласно конструкции существует канонический морфизм
$$
\begin{equation}
{\mathcal M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U)\to {\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U).
\end{equation}
\tag{21}
$$
Отметим, что морфизм (21) является посхемной стабильной эквивалентностью мотивных $S^1$-спектров.
Далее используем (17), чтобы определить мотивное $\Gamma$-пространство $\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}$, полагая
$$
\begin{equation*}
\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(n_+,U) := \mathcal M(\mathbb S^{\times n},\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)),\qquad n\geqslant 0,\quad U\in\mathrm{Sm}/k.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $S^1$-спектр $\mathbb S^{\times n}:=\mathbb S\times\overset{n}{\cdots}\times\mathbb S$ рассматривается как постоянный мотивный $S^1$-спектр. Для всех $U,V\in\mathrm{Sm}/k_+$ и пары сопряженных функторов $(\mathsf{ev}_{S^1},\Phi)$ из [3; § 5] между $\Gamma$-пространствами и спектрами имеем равенства
$$
\begin{equation}
\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(n_+,U)(V)= \Phi\bigl(\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V)\bigr)(n_+)= \mathbf{S}_{\bullet}\bigl(\mathbb S^{\times n},\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V)\bigr).
\end{equation}
\tag{22}
$$
Это выражение задает значение функтора $\Phi$ на $S^1$-спектре $\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V)$. Более того, коединица $\mathsf{ev}_{S^1}\circ\Phi\to\operatorname{id}$ индуцирует морфизм спектральных функторов
$$
\begin{equation}
\mathsf{ev}_{S^1}(\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E})\to\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}.
\end{equation}
\tag{23}
$$
По построению $\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}$ – это оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство в смысле определения 2.1. Более того, в каждом весе $n\geqslant 0$ морфизм (21) индуцирует посхемную стабильную мотивную эквивалентность мотивных $S^1$-спектров
$$
\begin{equation*}
\mathsf{ev}_{\mathbb{G}}(\mathcal M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}})(n) \to \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}(\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}})(n).
\end{equation*}
\notag
$$
В комбинации с (20) получаем изоморфизм $\mathbf{SH}(k)$
$$
\begin{equation}
\mathsf{ev}_{\mathbb{G}}(\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}})\cong \mathcal E.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Покажем, что $\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}$ удовлетворяет свойствам 1–4 аксиомы и удовлетворяет свойству 5 при условии, что $\mathcal E\in \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}$.
Ясно, что $\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(0_+,U)=\ast=\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(n_+,\varnothing)$ для всех $U\in\mathrm{Sm}/k_+$ и $n\geqslant 0$. Более того, каноническая посхемная стабильная эквивалентность кофибрантных мотивных $S^1$-спектров
$$
\begin{equation*}
\mathbb S\vee\overset{n}{\cdots}\vee\mathbb S \to \mathbb S\times\overset{n}{\cdots}\times\mathbb S
\end{equation*}
\notag
$$
индуцирует посредством (17) и (22) посхемную эквивалентность мотивных пространств
$$
\begin{equation*}
\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(n_+,U) = \mathcal M\bigl(\mathbb S^{\times n},\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)\bigr)\to \mathcal M\bigl(\mathbb S^{\vee n},\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)\bigr) \cong \Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(1_+,U)^{\times n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это устанавливает свойство 1 аксиомы. Далее следует, что для $U\in\mathrm{Sm}/k_+$ предпучок стабильных гомотопических групп $\pi_n\mathsf{ev}_{S^1}({\Gamma\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U))$ изоморфен $\pi_n({\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U))$, если $n\geqslant 0$, и тривиален, если $n<0$ (это следует из [3; теорема 5.1]). Согласно (21) имеет место изоморфизм предпучков $\pi_{\ast}({\mathcal M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U))$ и $\pi_{\ast}({\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U))$. Так как последний является оснащенным вдобавок к тому, что он $\mathbb A^1$-инвариантен и $\sigma$-стабилен, то же самое имеет место и для предпучка $\pi_{\ast}\mathsf{ev}_{S^1}({\Gamma\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U))$. Это показывает, что выполнено свойство 2 аксиомы. Свойства 3 и 4 аксиомы выполнены, так как ${\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}$ – оснащенный спектральный функтор, и предпучки стабильных гомотопий $\pi_n\mathsf{ev}_{S^1}({\Gamma\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U))$ связного $\mathbb A^1$-локального мотивного $S^1$-спектра $\mathsf{ev}_{S^1}({\Gamma\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U))$ изоморфны $\pi_n({\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U))$ для всех $n\geqslant 0$ и всех $U\in\mathrm{Sm}/k_+$. Проверим, что свойство 5 аксиомы выполнено, если мы предположим, что $\mathcal E\in \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}$. Действительно, доказательство [13; теорема 6.3] показывает, что $\mathcal E\wedge U_+\in \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}$ изоморфен $\mathsf{ev}_\mathbb{G}(\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(-\times U))$ для всех $U\in\mathrm{Sm}/k_+$. Здесь $\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(-\times U)$ – это спектральный функтор, заданный правилом
$$
\begin{equation*}
X \mapsto \mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(X\times U).
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 3.1 $\mathbb A^1$-локальный мотивный $S^1$-спектр $\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U)$ связен. Действительно, $\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U)$ является нулевым весом оснащенного мотивного биспектра $\mathsf{ev}_\mathbb{G}(\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(-\times U))$, чьи веса $\mathbb A^1$-локальны согласно [13; лемма 2.6]. Таким образом, для всех $U\in\mathrm{Sm}/k_+$ морфизм (23) доставляет стабильную локальную эквивалентность связных мотивных $S^1$-спектров
$$
\begin{equation*}
\Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(\mathbb S,U) \to \mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(\mathbb S,-)$ – это оснащенный спектральный функтор, и оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство $\Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}$ удовлетворяет вырезанию по Нисневичу как в свойстве 5 аксиомы. Это заканчивает доказательство теоремы 1.1. Замечание 3.1. Доказательство теоремы 1.1 показывает, что квазиобратный функтор $\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}$ к эквивалентности $\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}\colon \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k){\to}\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}$ задается следующим образом: для $\mathcal E\in\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}$ возьмем функториальную кофибрантно-фибрантную замену $\mathcal E'$ в стабильной модельной структуре на симметрических мотивных $(S^1,\mathbb G)$-биспектрах. И затем сопоставим $\mathcal E$ оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство $\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E'}$. При наличии теоремы 1.1 мы можем доказать теорему 1.2. Доказательство теоремы 1.2. Следуя [30; § 3, с. 1131], [14; § 5], имеем равенство
$$
\begin{equation*}
\mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k)=\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}\cap \mathbf{SH}^{\mathsf{eff}}(k),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf{SH}^{\mathsf{eff}}(k)$ – полная подкатегория в $\mathbf{SH}(k)$, натянутая на эффективные биспектры. Для $\mathcal X\in \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{veffr}}(k)$ эвалюация $\mathcal X_{S^1,\mathbb G}$ содержится в $\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}$ по теореме 1.1. По свойству 6 аксиомы $S^1$-спектр
$$
\begin{equation*}
\bigl|\mathcal X(\mathbb S,\mathbb{G}\times U)\bigl(\widehat{\Delta}^\bullet_{K/k}\bigr)\bigr|
\end{equation*}
\notag
$$
стабильно стягиваем для любого конечно порожденного расширения полей $K/k$ и любого $U\in\mathrm{Sm}/k$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\bigl|\mathcal X(\mathbb S,\mathbb{G}^{\wedge n})\bigl(\widehat{\Delta}^\bullet_{K/k}\bigr)\bigr|
\end{equation*}
\notag
$$
стабильно тривиален для каждого $n>0$. Следовательно, $\mathcal X_{S^1,\mathbb G}\in\mathbf{SH}^{\mathsf{eff}}(k)$ и таким образом $\mathcal X_{S^1,\mathbb G}\in\mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k)$ согласно [12; теорема 4.4] и [13; определение 3.5, теорема 3.6].
Мы показали, что ограничение эквивалентности $\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}\colon \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k)\xrightarrow{\simeq}\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}$ из теоремы 1.1 на полную подкатегорию $\mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{veffr}}(k)$ принимает значение в $\mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k)$. Остается показать существенную сюръективность. Предположим, что $\mathcal E$ – вполне эффективный кофибрантный и фибрантный симметрический мотивный $(S^1,\mathbb G)$-биспектр. По теореме 1.1 имеется оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство $\Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}$ и изоморфизм между $\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}})$ и $\mathcal E$ в $\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}$. Более того, доказательство теоремы 1.1 показывает, что для каждой $U\in\mathrm{Sm}/k_+$ имеется изоморфизм в $\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}$ между $\mathcal E\wedge U_+$ и $\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(-\times U))$. Здесь $\Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(-\times U)$ – оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство вида
$$
\begin{equation*}
(n_+,X)\mapsto \Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(n_+,X\times U).
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что согласно [14; лемма 5.6] $\mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k)$ замкнута относительно смэш-произведений в $\mathbf{SH}(k)$. В частности, $\mathcal E\wedge U_+\in \mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k)$. Чтобы заключить, что $S^1$-спектр
$$
\begin{equation*}
\bigl|\Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(\mathbb S,\mathbb{G}\times U)\bigl(\widehat{\Delta}^\bullet_{K/k}\bigr)\bigr|
\end{equation*}
\notag
$$
стабильно тривиален, достаточно сослаться на [13; теорема 3.6]. Следовательно, оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство $\Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}$ эффективно, и поэтому $\mathcal E$ изоморфен $\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}})$ в $\mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k)$. Теорема 1.2 доказана. Предположим, что $\mathcal E$ – мотивный $(S^1,\mathbb G)$-биспектр с мотивно фибрантной заменой $\mathcal E^{f}$. Мы будем обозначать $\Omega_{S^1}^{\infty}\Omega_\mathbb{G}^{\infty} \mathcal E$ пунктированное мотивное пространство $\mathcal E^{f}_{0,0}$. Определение 3.1. Пунктированное мотивное пространство $A$ называется мотивным бесконечнократным пространством петель, если существует мотивный $(S^1,\mathbb G)$-биспектр $\mathcal E$ и локальная эквивалентность $A\simeq\Omega_{S^1}^{\infty}\Omega_\mathbb{G}^{\infty} \mathcal E$. Лемма 3.2. Предположим, что $\mathcal X$ – очень специальное оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство. Тогда биспектр ${\mathcal X}^{f}_{S^1,\mathbb{G}}$, полученный из ${\mathcal X}_{S^1,\mathbb{G}}$ поуровневой локальной фибрантной заменой, является мотивно фибрантным. Доказательство. Это следует из [13; лемма 2.6], так как $S^1$-спектр, ассоциированный с очень специальным $\Gamma$-пространством, становится $\Omega$-спектром после взятия поуровневой фибрантной замены [4; следствие 2.2.1.7]. Вышесказанное подводит нас к доказательству теоремы 1.3. Доказательство теоремы 1.3. Не умаляя общности, мы можем считать, что $\mathcal E\in\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}$. Действительно, как показано в [31; с. 374] для каждого $\mathcal E$ связное накрытие $\tau_{\geqslant 0}\mathcal E\to\mathcal E$ доставляет посхемную эквивалентность
$$
\begin{equation*}
\Omega^\infty_{S^1}\Omega^\infty_\mathbb{G}(\tau_{\geqslant 0}\mathcal E) \to \Omega^\infty_{S^1}\Omega^\infty_\mathbb{G}(\mathcal E).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно доказательству теоремы 1.1 каждый биспектр $\mathcal E\in \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}$ изоморфен биспектру $\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E})$ для некоторого специального оснащенного мотивного $\Gamma$-пространства $\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}$. Для $n\geqslant 0$ и $U,V\in\mathrm{Sm}/k_+$ равенства (22) показывают, что
$$
\begin{equation*}
\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(n_+,U)(V)= \Phi\bigl(\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V)\bigr)(n_+)= \mathbf{S}_{\bullet}\bigl(\mathbb S^{\times n},\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V)$ – это $\Omega$-спектр $\Theta^{\infty}_{S^1}\mathcal M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V)$, введенный в доказательстве теоремы 1.1. Следовательно, $\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(1_+,U)(V)$ – нулевое пространство ${\mathbb M}_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V)_0$ нашего $\Omega$-спектра ${\mathbb M}_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V)$. Таким образом, $\pi_0(\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V)_0)$ – абелева группа, и пучок $\pi_0^{\mathsf{nis}}\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(1_+,U)$ – это пучок Нисневича абелевых групп. Это показывает, что $\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}$ – очень специальное оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство (см. свойство 7 аксиомы).
По лемме 3.2 биспектр $\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E})^f$, полученный поуровневой локально фибрантной заменой из $\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E})$, является мотивно фибрантным. Поэтому имеет место посхемная эквивалентность пунктированных мотивных пространств
$$
\begin{equation*}
\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(1_+,\mathsf{pt})^f= \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E})^f_{0,0} \simeq \Omega^{\infty}_{S^1}\Omega^{\infty}_\mathbb{G}\mathcal E.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(1_+,\mathsf{pt})$ локально эквивалентно $\Omega^{\infty}_{S^1}\Omega^{\infty}_\mathbb{G}\mathcal E$.
Предположим, что $\mathcal X$ – очень специальное оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство. По лемме 3.2 ${\mathcal X}^{f}_{S^1,\mathbb{G}}$ – мотивно фибрантный биспектр, и мы заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\mathcal X(1_+,\mathsf{pt})^f = \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\mathcal X)^f_{0,0} \simeq \Omega^{\infty}_{S^1}\Omega^{\infty}_\mathbb{G}{\mathcal X}^{f}_{S^1,\mathbb{G}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\mathcal X(1_+,\mathsf{pt})$ локально эквивалентно $\mathcal X(1_+,\mathsf{pt})^f$, то $\mathcal X(1_+,\mathsf{pt})$ – бесконечнократное мотивное пространство петель в смысле определения 3.1. Теорема 1.3 доказана. Замечание 3.2. Каждое специальное оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство $\mathcal X\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes\mathrm{Sm}/k_+\to\mathcal M$ имеет канонически ассоциированное очень специальное оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство, заданное правилом В этом выражении, $\mathrm{Ex}^{\infty}$ – это функтор фибрантной замены Кана в категории $\mathbf{S}_{\bullet}$, и применяется он посхемно. Мы закончим этот параграф обсуждением диаграммы (4) пар сопряженных функторов из введения: Функтор $u\colon \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k)\to\mathbf{H}(k)$ переводит оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство $\mathcal X$ в его подлежащее мотивное пространство $\mathcal X(1_+,\mathsf{pt})$. Функтор $C_{\ast}\mathrm{Fr}$ переводит мотивное пространство $A$ в $C_{\ast}\mathrm{Fr}(A^c\otimes-)$, где $A^c$ – проективная кофибрантная замена пространства $A$. Напомним, что $A^c$ является направленным копределом в $\Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+$ симплициальных гладких схем.Композиция функторов $\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}\circ C_{\ast}\mathrm{Fr}$ эквивалентна функтору $\Sigma^{\infty}_{S^1,\mathbb G}$ ввиду [8; § 11]. Теорема 1.3 влечет, что композиция $u\circ\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}$ эквивалентна функтору $\Omega^{\infty}_{S^1,\mathbb G}$. Таким образом, пара сопряженных функторов $(\Sigma^{\infty}_{S^1,\mathbb G},\Omega^{\infty}_{S^1,\mathbb G})$ эквивалентна паре сопряженных функторов $(\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}\circ C_{\ast}\mathrm{Fr},u\circ\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}})$. По теореме 1.1 пара $(\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}},\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}})$ – это пара сопряженных эквивалентностей. Поэтому $(C_{\ast}\mathrm{Fr},u)$ – тоже пара сопряженных функторов. Следствие 3.1. Диаграмма (4) пар сопряженных функторов является коммутативной с точностью до эквивалентности функторов. § 4. Дальнейшие свойства мотивных $\Gamma$-пространствПусть $\mathcal X\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes\mathrm{Sm}/k_+\to \mathcal M^{\mathsf{fr}}$ – оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство. Имеет место обогащенный функтор
$$
\begin{equation*}
\mathcal X(1_+,-)\colon \mathrm{Sm}/k_+ \to \mathcal M^{\mathsf{fr}},\qquad U \mapsto \mathcal X(1_+,U).
\end{equation*}
\notag
$$
Для всех $U,V\in\mathrm{Sm}/k_+$ мы имеем элементарный квадрат Нисневича: Если $\mathcal X$ (очень) специальное в смысле аксиомы, тогда свойства 1 и 5 аксиомы влекут стабильную локальную эквивалентность
$$
\begin{equation}
\mathcal X(\mathbb S,U)\vee\mathcal X(\mathbb S,V)\to\mathcal X(\mathbb S,U\sqcup V).
\end{equation}
\tag{25}
$$
С другой стороны, посхемная стабильная эквивалентность
$$
\begin{equation*}
\mathcal X(\mathbb S,U)\vee\mathcal X(\mathbb S,V)\to\mathcal X(\mathbb S,U)\times\mathcal X(\mathbb S,V)
\end{equation*}
\notag
$$
факторизуется как
$$
\begin{equation*}
\mathcal X(\mathbb S,U)\vee\mathcal X(\mathbb S,V)\to\mathcal X(\mathbb S,U\sqcup V)\to\mathcal X(\mathbb S,U)\times\mathcal X(\mathbb S,V).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, правый морфизм – локальная стабильная эквивалентность. Это показывает, что морфизм мотивных пространств
$$
\begin{equation*}
\mathcal X(1_+,U\sqcup V)\to\mathcal X(1_+,U)\times\mathcal X(1_+,V)
\end{equation*}
\notag
$$
есть локальная эквивалентность. И, аналогично, локальной эквивалентностью являются
$$
\begin{equation*}
\mathcal X(1_+,n_+\otimes U)\to\mathcal X(1_+,U)\times\overset{n}{\cdots}\times\mathcal X(1_+,U),\qquad n\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы пишем $n_+\otimes U:=U\sqcup\,{\overset{n}{\cdots}}\,\sqcup U\in\mathrm{Sm}/k_+$. Свойство 1 аксиомы показывает, что $\mathcal X(1_+,0_+\otimes U)=\ast$, так как по определению $0_+\otimes U:=\varnothing$. Более того, так как $\mathcal X$ очень специальное, то пучок Нисневича $\pi^{\mathsf{nis}}_{0}\mathcal X(1_+,U)$ – это пучок абелевых групп по свойству 7 аксиомы. Мы оформим эти наблюдения в виде следующей леммы. Лемма 4.1. Для каждого очень специального оснащенного мотивного $\Gamma$-пространства $\mathcal X$ и каждой $U\in\mathrm{Sm}/k_+$ функтор является локально очень специальным $\Gamma$-пространством. Зафиксируем функтор $A\to A^{\mathrm{c}}$ кофибрантной замены в проективной модельной структуре на категории $\mathcal M$ в смысле [19; § 3], [20]. Тогда $A^{\mathrm{c}}$ – это направленный копредел в категории симплициальных $k$-гладких схем $\Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+$. Для мотивного $\Gamma$-пространства $\mathcal X$ определим функтор $\mathcal X(1_+,-)\colon \mathcal M\to\mathcal M$, положив
$$
\begin{equation*}
\mathcal X(1_+,A):= \operatorname{colim}_{(\Delta[n]\times U)_+\to A}\mathcal X(1_+,\Delta[n]_+\otimes U),\qquad A\in\mathcal M.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы отождествляем пунктированное мотивное пространство $A$ с пространством $\operatorname{colim}_{(\Delta[n]\times U)_+\to A}(\Delta[n]\times U)_+$. Ключевое свойство $\Gamma$-пространств гласит, что если $f\colon K\to L$ – это эквивалентность в $\mathbf{S}_\bullet$, то $F(f)\colon F(K)\to F(L)$ – эквивалентность для каждого $\Gamma$-пространства $F\colon \Gamma^\mathrm{op}\to\mathbf{S}_\bullet$ (см. [3; утверждение 4.9], [4; лемма 2.2.1.3]). Следующий результат – мотивный аналог этого свойства. Теорема 4.1. Для каждого очень специального оснащенного мотивного $\Gamma$-пространства $\mathcal X$ функтор переводит мотивные эквивалентности в локальные эквивалентности мотивных пространств. Следовательно, если $\mathcal X$ – специальное оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство, то функтор переводит мотивные эквивалентности в стабильные мотивные эквивалентности $S^1$-спектров. Наше доказательство теоремы 4.1 инспирировано теорией Воеводского левых производных раддитивных функторов, как в [32; теорема 4.19]. Основные понятия, необходимые в настоящей статье, приводятся ниже. В этом контексте категория $\mathrm{Sm}/k_+$ имеет конечные копроизведения. Напомним, что морфизм $e\colon A\to X$ в категории $\mathcal C$ называется копроекцией, если он является каноническим морфизмом $A\to A\sqcup Y$ для некоторого $Y$ [32; § 2]. Морфизм $f\colon A\to X$ в $\Delta^{\mathrm{op}}\mathcal C$ является почленной копроекцией, если для всех $i\geqslant 0$ морфизм $f_i\colon A_i\to X_i$ – копроекция. Как замечено в [32; § 2], любой морфизм $f\colon B\to A$ и любой объект $X$ включаются в кодекартов квадрат: Следовательно, кодекартовы квадраты существуют для всех пар морфизмов $(e,f)$ с копроекцией $e$, если $\mathcal C$ – категория с копроизведениями, равно как и для всех пар морфизмов $(e,f)$ в $\Delta^{\mathrm{op}}\mathcal C$, где $e$ – почленная копроекция. Следуя [32; § 2], квадрат в $\Delta^{\mathrm{op}}\mathcal C$ называется элементарным кодекартовым квадратом, если он изоморфен кодекартову квадрату для некоторой пары морфизмов $(e,f)$, где $e$ – почленная копроекция.Если $\mathcal C$ имеет конечные копроизведения, то для каждого коммутативного квадрата $Q$ вида определим объект $K_Q$ посредством элементарного кодекартового квадрата: Имеется канонически индуцированный морфизм $p_Q\colon K_Q\to X$. Важный пример – это цилиндр $\operatorname{cyl}(f)$ морфизма $f\colon X\to X'$. А именно, в терминах приведенной конструкции – это объект, ассоциированный с квадратом вида Согласно [32; лемма 2.9] естественные морфизмы $X'\to\operatorname{cyl}(f)$ и $\operatorname{cyl}(f)\to X'$ являются взаимно обратными гомотопическими эквивалентностями.Лемма 4.2. Предположим, что $\mathcal X$ – это специальное оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство. Тогда $\mathcal X(\mathbb S,-)$ переводит элементарные кодекартовы квадраты из категории $\Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+$ в гомотопически кодекартовы квадраты в стабильной локальной модельной структуре на мотивных $S^1$-спектрах. Доказательство. Рассмотрим корасслоенный квадрат в $\Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+$, в котором горизонтальные стрелки суть копроекции: Ассоциированный квадрат $S^1$-спектров является гомотопически кодекартовым, поскольку согласно (25) он стабильно локально эквивалентен кодекартовому квадрату вида По определению элементарный кодекартов квадрат изоморфен кодекартовому квадрату морфизма $(e,f)$, где $e$ – это почленная копроекция. Остается заметить, что геометрическая реализация симплициального гомотопически кодекартового квадрата является гомотопически кодекартовым квадратом. Лемма доказана. Следствие 4.1. Предположим, что $\mathcal X$ – это специальное оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство, и есть элементарный кодекартов квадрат в категории $\Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+$, отвечающий паре $(e,f)$, где $e$ – почленная копроекция. Если стрелка $\mathcal X(\mathbb S,e)$ – это стабильная локальная эквивалентность $S^1$-спектров, то такова и $\mathcal X(\mathbb S,e')$. Доказательство теоремы 4.1. Пусть $Q$ – это элементарный квадрат Нисневича в $\mathrm{Sm}/k$: Применяя конструкцию цилиндра и образуя кодекартовы квадраты в категории $\mathcal M$, получим коммутативную диаграмму Заметим, что $U'_+\to\operatorname{cyl}(U'_+\to X'_+)$ является почленной копроекцией и проективным корасслоением между проективно кофибрантными объектами в $\mathcal M$. Поэтому $s(Q):=\operatorname{cyl}(U'_+\to X'_+)\bigsqcup_{U'_+}\!U_+$ проективно кофибрантен [33; следствие 1.1.11], и $U_+\to s(Q)$ – это почленная копроекция. Аналогично, применяя конструкцию цилиндра к морфизму $s(Q)\to X_+$ и полагая $t(Q):=\operatorname{cyl}(s(Q)\to X_+)$, получим проективное корасслоение Здесь $\operatorname{cyl}(Q)$ – это почленная копроекция и локальная эквивалентность в $\mathcal M$.
Положим $J_{\mathrm{mot}}=J_{\mathrm{proj}}\cup J_{\mathsf{nis}}\cup J_{\mathbb A^1}$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_{\mathrm{proj}} &= \{\Lambda^{r}[n]_+\wedge U_+\to \Delta[n]_+\wedge U_+\mid U\in\mathrm{Sm}/k,\, n>0,\, 0\leqslant r\leqslant n\}, \\ J_{\mathsf{nis}} &= \biggl\{\Delta[n]_+\wedge s(Q)\bigsqcup_{\partial\Delta[n]_+\wedge s(Q)}\partial\Delta[n]_+\wedge t(Q) \\ &\qquad\qquad \to \Delta[n]_+\wedge t(Q)\biggm| Q \text{ - элементарный квадрат Нисневича}\biggr\}, \\ J_{\mathbb A^1} &= \biggl\{\Delta[n]_+\wedge U\times\mathbb A^1_+\bigsqcup_{\partial\Delta[n]_+\wedge U\times\mathbb A^1_+} \partial\Delta[n]_+\wedge \operatorname{cyl}(U\times\mathbb A^1_+\to U_+) \\ &\qquad\qquad \to\Delta[n]_+\wedge\operatorname{cyl}(U\times\mathbb A^1_+\to U_+)\biggm| U\in\mathrm{Sm}/k\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что морфизмы из $J_{\mathrm{mot}}$ – это почленные копроекции. В соответствии с [20; лемма 2.15] морфизм является расслоением с фибрантной областью значений в проективной мотивной модельной структуре, если и только если он обладает свойством правого подъема относительно семейства морфизмов из $J_{\mathrm{mot}}$.
Следуя аргументам из [3; утверждение 4.9], заключаем, что функтор $\mathcal X(1_+,-)$ переводит члены семейства $J_{\mathrm{proj}}$ в локальные эквивалентности. Заметим, что $\mathcal X(1_+,-)$ сохраняет наивные симплициальные гомотопии: если $A$ – пунктированное мотивное пространство, то $\mathcal X(1_+,\Delta[1]_+\otimes A^{\mathrm{c}})$ – это цилиндр для $\mathcal X(1_+,A^{\mathrm{c}})$. Свойство 4 аксиомы влечет, что имеет место канонически индуцированная локальная эквивалентность
$$
\begin{equation*}
\mathcal X(1_+,U\times\mathbb A^1)\to\mathcal X\bigl(1_+,\operatorname{cyl}(U\times\mathbb A^1\to U)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Свойство 5 аксиомы влечет, что то же самое справедливо для $\mathcal X(1_+,\operatorname{cyl}(Q))$.
Чтобы показать, что $\mathcal X(1_+,-)$ переводит члены семейства $J_{\mathsf{nis}}$ в локальные эквивалентности, начнем с корасслоения симплициальных множеств $K\hookrightarrow L$ и индуцированной коммутативной диаграммы: Применяя лемму 4.1 к $a_0=K_+\wedge\operatorname{cyl}(Q)$, получаем, что индуцированный морфизм $\mathcal X(1_+,a_0)$ – это локальная эквивалентность. Аналогично, $a_2=L_+\wedge\operatorname{cyl}(Q)$ и $\mathcal X(1_+,a_2)$ – локальные эквивалентности. Так как $\mathcal X$ очень специальное, то следствие 4.1 показывает, что $\mathcal X(1_+,a_1)$ – это локальная эквивалентность. Таким образом, $\mathcal X(1_+,a_3)$ – это локальная эквивалентность, и наше утверждение про $J_{\mathsf{nis}}$ доказано. Аналогично, $\mathcal X(1_+,-)$ переводит члены семейства $J_{\mathbb A^1}$ в локальные эквивалентности.К данному моменту мы установили, что $\mathcal X(1_+,-)$ переводит члены семейства $J_{\mathrm{mot}}$ в локальные эквивалентности. Для каждой мотивной эквивалентности $f\colon A\to B$ индуцированный морфизм $f^{\mathrm{c}}\colon A^{\mathrm{c}}\to B^{\mathrm{c}}$ – также мотивная эквивалентность. Остается доказать, что канонический морфизм
$$
\begin{equation*}
\mathcal X(1_+,f^{\mathrm{c}})\colon \mathcal X(1_+,A^{\mathrm{c}}) \to \mathcal X(1_+,B^{\mathrm{c}})
\end{equation*}
\notag
$$
есть локальная эквивалентность. С этой целью применим “аргумент малого объекта” [33; теорема 2.1.14].
Сначала заметим, что все морфизмы в $J_{\mathrm{mot}}$ имеют конечно представимые области определений и значений. Для каждого пунктированного мотивного пространства $A\in\mathcal M$, пусть $\alpha\colon A\to \mathcal L A$ – это трансфинитная композиция $\aleph_{0}$-последовательности:
$$
\begin{equation*}
A=E^0\xrightarrow{\alpha_0}E^1\xrightarrow{\alpha_1}E^2\xrightarrow{\alpha_2}\cdots,
\end{equation*}
\notag
$$
построенной следующим образом. Для $n\geqslant 0$ мы рассмотрим множество $S_n$ всех коммутативных квадратов вида где $g\in J_{\mathrm{mot}}$, и образуем кодекартов квадрат вида Ясно, что эта конструкция функториальна по $A$. По определению $\alpha$ – это тривиальное мотивное корасслоение в $\mathcal M$, принадлежащее семейству $J_{\mathrm{mot}}$-cell [33; определение 2.1.9].
Мы утверждаем, что горизонтальные морфизмы в коммутативной диаграмме являются локальными эквивалентностями. Действительно, следствие 4.1 показывает, что $\mathcal X(1_+,-)$ переводит козамены базы членов семейства $J_{\mathrm{mot}}$ в локальные эквивалентности (здесь использовано то, что $\mathcal X$ очень специально). Поскольку локальные эквивалентности замкнуты относительно взятия направленных копределов, и $\mathcal X(1_+,-)$ сохраняет направленные копределы, то же самое справедливо и для членов семейства $J_{\mathrm{mot}}$-cell. Так как ${\mathcal L}(A^{\mathrm{c}})$ и ${\mathcal L}(B^{\mathrm{c}})$ – кофибрантны и фибрантны, то ${\mathcal L}(f^{\mathrm{c}})$ – гомотопическая эквивалентность. Как замечено выше, функтор $\mathcal X(1_+,-)$ сохраняет наивные симплициальные гомотопии, и поэтому $\mathcal X(1_+,{\mathcal L}(f^{\mathrm{c}}))$ – гомотопическая эквивалентность. Таким образом, $\mathcal X(1_+,f^{\mathrm{c}})$ – локальная эквивалентность. Теорема 4.1 доказана.Пусть $M\mathbb Z$ – мотивный кольцевой спектр, представляющий целочисленные мотивные когомологии в смысле Воеводского–Суслина [6]. С точностью до обращения экспоненциальной характеристики $e$ основного поля $k$, категория $M\mathbb Z$-модулей эквивалентна триангулированной категории мотивов Воеводского (см. [34; теорема 58], а также [35; теорема 5.8]). Решающая часть доказательства показывает, что для каждой $U\in\mathrm{Sm}/k$ естественный морфизм является изоморфизмом в $\mathbf{SH}(k)[1/e]$. Для $\Gamma$-пространства $F\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\to\bf S_\bullet$ соответствующее утверждение значит, что морфизм
$$
\begin{equation*}
\mathsf{ev}_{S^1}(F)\wedge K \to \mathsf{ev}_{S^1}(F(-\wedge K))
\end{equation*}
\notag
$$
есть стабильная эквивалентность для каждого пунктированного симплициального множества $K\in\mathbf S_\bullet$ (см. [3; лемма 4.1]). Мы докажем аналогичное свойство для специальных оснащенных мотивных $\Gamma$-пространств. Теорема 4.2. Предположим, что $k$ – бесконечное совершенное поле экспоненциальной характеристики $e$. Пусть $U\in\mathrm{Sm}/k$ таков, что $U_+$ строго дуализируем в категории $\mathbf{SH}(k)$, например, $U$ – гладкое проективное алгебраическое многообразие. Для каждого очень специального оснащенного мотивного $\Gamma$-пространства $\mathcal X$ естественный морфизм биспектров Доказательство. Не умаляя общности, можно предположить, что $\mathcal X$ – очень специальное мотивное $\Gamma$-пространство (см. замечание 3.2). Мы рассматриваем $\mathcal X(1_+,-)$ как $\mathcal M$-обогащенный функтор из $\mathrm{Sm}/k_+$ в $\mathcal M$.
Следуя § 2, рассмотрим $\mathcal M$-категорию конечно представимых мотивных пространств $f\mathcal M$. Посредством обогащенного левого расширения Кана функтор включения $\mathcal M$-категорий $\iota\colon \mathrm{Sm}/k_+\hookrightarrow f\mathcal M$ доставляет функтор
$$
\begin{equation*}
\Upsilon \colon [\mathrm{Sm}/k_+,\mathcal M]\to[f\mathcal M,\mathcal M].
\end{equation*}
\notag
$$
Записав $\mathcal Y\in[\mathrm{Sm}/k_+,\mathcal M]$ как коконец
$$
\begin{equation*}
\mathcal Y=\int^{U\in\mathrm{Sm}/k_+}\mathcal Y(U)\wedge_{\mathcal M}[U,-],
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation*}
\Upsilon(\mathcal Y)= \int^{U\in\mathrm{Sm}/k_+}\mathcal Y(U)\wedge_{\mathcal M}[\iota(U),-].
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно конструкции $\Upsilon(\mathcal Y)(V)=\mathcal Y(V)$ для всех $V\in\Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+$. В целом, имеем $\Upsilon(\mathcal Y)(A^{\mathrm{c}})=\mathcal Y(A^{\mathrm{c}})$ для каждого пунктированного мотивного пространства $A\in\mathcal M$.
Теорема 4.1 показывает, что $\Upsilon(\mathcal X(1_+,-))$ переводит мотивные эквивалентности проективных кофибрантных мотивных пространств в локальные эквивалентности. Благодаря [34; следствие 56] $\mathbb G$-эвалюация канонического морфизма
$$
\begin{equation*}
\Upsilon\bigl(\mathcal X(1_+,-\otimes\mathbb S)\bigr)\wedge U_+\to \Upsilon\bigl(\mathcal X(1_+,-\otimes\mathbb S\otimes U)\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
есть стабильная мотивная эквивалентность между мотивными $(S^1,\mathbb G)$-биспектрами, если $U_+$ строго дуализируем в $\mathbf{SH}(k)$. Здесь $\mathcal X(1_+,-\otimes\mathbb S\otimes U)$ – это эвалюация на сферическом спектре $\mathbb S$, указанного в лемме 4.1 $\Gamma$-пространства. Поскольку $\Upsilon(\mathcal X(1_+,V))=\mathcal X(1_+,V)$ для всех $V\in\Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+$, то же самое выполнено и для $\mathbb G$-эвалюации морфизма
$$
\begin{equation*}
\mathcal X(1_+,-\otimes\mathbb S)\wedge U_+\to \mathcal X(1_+,-\otimes\mathbb S\otimes U).
\end{equation*}
\notag
$$
Для $n>0$ пусть $\mathcal X(S^n,-)$ – очень специальное оснащенное мотивное $\Gamma$-пространство, заданное правилом Заменив $\mathcal X$ на $\mathcal X(S^n,-)$, получим стабильную мотивную эквивалентность мотивных $(S^1,\mathbb G)$-биспектров
$$
\begin{equation}
\mathsf{ev}_{\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(S^n,-\otimes\mathbb S)\bigr)\wedge U_+ \to \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(S^n,-\otimes\mathbb S\otimes U)\bigr).
\end{equation}
\tag{28}
$$
Собрав вместе (28) и [3; лемма 4.1], получим стабильные мотивные эквивалентности мотивных $(S^1,S^1,\mathbb G)$-триспектров
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(\mathbb S,-\otimes\mathbb S)\bigr)\wedge U_+\to \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(\mathbb S,-\otimes\mathbb S\otimes U)\bigr), \\ \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(\mathbb S,-)\bigr)\wedge U_+\wedge\mathbb S\to \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(\mathbb S,-\otimes U)\bigr)\wedge\mathbb S. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для кофибрантных замен $\mathsf{ev}_{\mathbb{G}}(\mathcal X(\mathbb S,-))\wedge U_+$ и $\mathsf{ev}_{\mathbb{G}}(\mathcal X(\mathbb S,-\otimes U))$ в $\mathbf{Sp}_{S^1,\mathbb G}(k)$ мы получим стабильные мотивные эквивалентности между кофибрантными мотивными $(S^1,S^1,\mathbb G)$-триспектрами
$$
\begin{equation*}
\bigl(\mathsf{ev}_{\mathbb{G}}(\mathcal X(\mathbb S,-))\wedge U_+\bigr)^{\mathrm{c}}\wedge\mathbb S \to \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(\mathbb S,-\otimes U)\bigr)^{\mathrm{c}}\wedge\mathbb S.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $-\wedge S^1$ – это автоэквивалентность Квиллена на $\mathbf{Sp}_{S^1,\mathbb G}(k)$, то морфизм
$$
\begin{equation*}
\bigl(\mathsf{ev}_{\mathbb{G}}(\mathcal X(\mathbb S,-))\wedge U_+\bigr)^{\mathrm{c}} \to \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(\mathbb S,-\otimes U)\bigr)^{\mathrm{c}}
\end{equation*}
\notag
$$
есть стабильная мотивная эквивалентность между кофибрантными мотивными $(S^1,\mathbb G)$-биспектрами (см. [29; теорема 5.1]). Поэтому и (26) – это стабильная мотивная эквивалентность. Напомним, что $U_+$ строго дуализируем в $\mathbf{SH}(k)[1/e]$ для каждого $U\in\mathrm{Sm}/k$ (см. [36; приложение B]). Предыдущие аргументы показывают, что (26) – это $e^{-1}$-стабильная мотивная гомотопическая эквивалентность. Действительно, хотя в утверждении [34; следствие 56] рассматриваются только стабильные модельные структуры на мотивных функторах, оно дословно переносится и на $e^{-1}$-стабильные модельные структуры. Наконец, если $A\in\mathcal M$, то $A^{\mathrm{c}}$ – это направленный копредел объектов из $\Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+$. Поскольку функтор геометрической реализации сохраняет $e^{-1}$-стабильные мотивные эквивалентности, мы заключаем, что (27) – это изоморфизм в $\mathbf{SH}(k)[1/e]$. Теорема 4.2 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GarPanOst23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|