| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Оснащенные мотивные Г. А. Гаркушаa, И. А. Панинbc, П. А. Остваерdc a Department of Mathematics, Swansea University, United Kingdom b Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук c Department of Mathematics, University of Oslo, Oslo, Norway d Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Milano, Milano, Italy
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9246e 
Реферативные базы данных:
     Памяти В. А. Воеводского § 1. ВведениеКатегория Γ многозначных функций на конечных множествах имеет фундаментальное значение в топологии [1]. Следуя Бордману и Фогту [2], работа Сигала о Γ-пространствах доставляет удобную модель для E∞-пространств – пространств с умножениями, которые унитальны, ассоциативны и коммутативны с точностью до высших когерентных гомотопий – и для бесконечнократных пространств петель. Сигал применил указанные идеи, чтобы доказать знаменитую теорему Баррата–Придди–Квиллена, отождествляющую групповое пополнение дизъюнктного объединения ⨆nBΣn классифицирующих пространств симметрических групп с бесконечнократным пространством петель сферического спектра S. Вскоре после этого Бусфелд и Фридландер сумели отождествить гомотопические категории связных спектров и Γ-пространств, что стало огромным достижением для стабильной гомотопической категории [3]. Более того, Γ-пространства имеют то преимущество, что они очень просто определяются, а также внутренне связаны с K-теорией и топологическими гомологиями Хохшильда [4]. В настоящей работе вводится понятие оснащенных мотивных Γ-пространств, для которого требуется ряд аксиом. Основная цель нашей машинерии – значительно продвинуться в исследовании бесконечнократных пространств петель, а также связных и вполне эффективных спектров в алгебро-геометрическом контексте A1-гомотопической теории [5], [6]. Данное направление исследований было предвосхищено Воеводским в его работе по оснащенным соответствиям в мотивной гомотопической теории [7]. Работая над полем k, наш подход состоит в том, чтобы собрать вместе категорию Сигала Γ с симметрической моноидальной категорией Воеводского Sm/k+ оснащенных соответствий уровня нуль [7] – небольшое расширение категории Sm/k категории гладких отделимых схем конечного типа над Spec(k). Напомним (см. [8]), что оснащенное мотивное пространство – это пунктированный симплициальный пучок Нисневича на категории оснащенных соответствий Fr+(k). Как отмечено в § 2, категория Sm/k+, категория конечных пунктированных множеств Γop и категория оснащенных мотивных пространств Mfr обогащены над замкнутой симметрической моноидальной категорией пунктированных мотивных пространств M [9]. В соответствии с указанным обогащением мы будем рассматривать “непрерывные функторы двух переменных” из моноидального произведения Γop и Sm/k+ со значениями в оснащенных мотивных пространствах и называть их оснащенными мотивными Γ-пространствами (см. определение 2.1). Следует отметить, что имеет место канонический унивалентный функтор индуцированный композицией функторов Определение оснащенных соответствий, введенное в [7], использует алгебраический аналог оснащения на стабильном нормальном расслоении многообразия. Мы напомним соответствующие пререквизиты в (1), (2) и (3) (см. § 2).В нашей задаче по переносу программы Сигала о Γ-пространствах в A1-гомотопический контекст мы сначала накладываем некоторые гомотопические аксиомы на оснащенные мотивные Γ-пространства. Эти аксиомы затрагивают как переменную Γop, так и Sm/k+ в (1). Говоря неформально, пунктированные конечные множества отвечают за S1-надстройку, а оснащенные соответствия отвечают за Gm-надстройку в стабильной мотивной гомотопической теории. Мы можем и будем рассматривать Γop как полную подкатегорию категории пунктированных конечных множеств с объектами n+={0,…,n}, пунктированными нулем для каждого целого числа n⩾. Каждое \Gamma-пространство задает симплициальный функтор и, следовательно, ассоциированный S^1-спектр (подробнее см. [4; гл. 2]). Аналогично в мотивном контексте (см. (9)) мы показываем, что каждое U\in \mathrm{Sm}/k_+ и каждый \mathcal X, как в (1), задает предпучок S^1-спектров \mathcal X(\mathbb S,U). Мы отсылаем к [10] за подробным введением в гомотопическую алгебру таких предпучков. Ниже в аксиомах мы используем понятие локальной эквивалентности симплициальных пучков из [10; гл. 4] и понятие стабильной локальной эквивалентности для предпучков S^1-спектров из [10; гл. 10]. Для n\geqslant 0 и каждого конечно порожденного расширения полей K/k будем писать \widehat{\Delta}^n_{K/k} вместо полулокализации стандартного алгебраического n-симплекса
\begin{equation*}
\Delta^n_K = \operatorname{Spec}\bigl(K[x_0,\dots,x_n]/(x_0+\dots+x_n-1)\bigr)
\end{equation*}
\notag
с замкнутыми точками v_{0},\dots,v_n\in \Delta^n_K в качестве вершин (см. [6; § 3]), где описан функтор реализации из симплициальных множеств в симплициальные пучки Нисневича, который сохраняет копределы. Напомним, что v_{i} – это замкнутая подсхема в \Delta^n_K, заданная уравнениями x_{j}=0, где j\neq i, 0\leqslant i\leqslant n. Следуя [11; § 2], будем обозначать \widehat{\Delta}^{\bullet}_{K/k} соответствующую косимплициальную полулокальную схему. Введем основной объект изучения настоящей статьи. Аксиома. Оснащенное мотивное \Gamma-пространство \mathcal X называется специальным, если выполнены следующие свойства. 1. Для всех n\geqslant 0 и U\in \mathrm{Sm}/k_+ имеем \mathcal X(0_+,U)=\ast=\mathcal X(n_+,\varnothing), а для всех n\geqslant 1 и каждой непустой U\in \mathrm{Sm}/k_+ естественно индуцированный морфизм
\begin{equation*}
\mathcal X(n_+,U) \to \mathcal X(1_+,U) \times \overset{n}{\cdots} \times \mathcal X(1_+,U)
\end{equation*}
\notag
является локальной эквивалентностью пунктированных мотивных пространств. 2. Для всех n\geqslant 0 и U\in \mathrm{Sm}/k_+ оснащенный предпучок стабильных гомотопических групп является {\mathbb A}^1-инвариантным, раддитивным и \sigma-стабильным (см. замечание 1.1).3. (Сокращение.) Пусть \mathbb{G} обозначает конус морфизма единицы \mathrm{Spec}(k)\to\mathbb G_m в \Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+. Тогда для каждых n\geqslant 0 и U\in \mathrm{Sm}/k_+ канонический морфизм
\begin{equation*}
\mathcal X(\mathbb S,\mathbb{G}^{\wedge n}\times U) \to \underline{\mathrm{Hom}}(\mathbb{G},\mathcal X(\mathbb S,\mathbb G^{\wedge n+1}\times U))
\end{equation*}
\notag
является стабильной локальной эквивалентностью. 4. ({\mathbb A}^1-инвариантность.) Для всех U\in \mathrm{Sm}/k_+ индуцированный морфизм
\begin{equation*}
\mathcal X(\mathbb S,U\times\mathbb A^1)\to\mathcal X(\mathbb S,U)
\end{equation*}
\notag
является стабильной локальной эквивалентностью. 5. (Вырезание по Нисневичу.) Для каждого элементарного квадрата Нисневича в категории \mathrm{Sm}/k квадрат гомотопически декартов относительно стабильной локальной модельной структуры.Более того, специальное оснащенное мотивное \Gamma-пространство \mathcal X называется вполне эффективным, если выполнено свойство 6, и очень специальным, если выполнено свойство 7. 6. (Стягиваемость по Суслину.) Для всех U\in \mathrm{Sm}/k_+ и для каждого конечно порожденного расширения полей K/k геометрическая реализация симплициального S^1-спектра
\begin{equation*}
\mathcal X(\mathbb S,\mathbb G\times U)(\widehat{\Delta}^{\bullet}_{K/k})
\end{equation*}
\notag
стабильно эквивалентна тривиальному спектру. 7. (Группоподобие.) Для всех U\in \mathrm{Sm}/k_+ пучок Нисневича \pi^{\mathsf{nis}}_{0}\mathcal X(1_+,U), ассоциированный с предпучком связных компонент на \mathrm{Sm}/k, принимает значения в абелевых группах.Замечание 1.1. Свойства 1 и 7 аксиомы – это пучковые версии соответственно специальных и очень специальных \Gamma-пространств Сигала [3], [1]. Свойство 2 аксиомы опирается на то предположение, что \mathcal X – это оснащенное мотивное \Gamma-пространство. Оснащенный пучок \mathcal F является \sigma-стабильным, если \mathcal F(\sigma_{V})=\operatorname{id}_{\mathcal F(V)} для всех V\in\mathrm{Sm}/k. Здесь явное оснащенное соответствие уровня один (\{0\}\times V,{\mathbb A}^1\times V,\operatorname{pr}_{\mathbb A^1},\operatorname{pr}_{V})\in\mathrm{Fr}_{1}(V,V) задает морфизм \sigma_{V}\colon V\to V в \mathrm{Fr}_+(k) (см. [8; § 2]). Предпучок \mathcal F на \mathrm{Sm}/k является раддитивным, если \mathcal F(\varnothing)=* и \mathcal F(X_1\sqcup X_2)=\mathcal F(X_1)\times\mathcal F(X_2) для всех X_1,X_2\in\mathrm{Sm}/k. В свойстве 3 аксиомы объект \mathbb{G} – это симплициальный объект в \mathrm{Sm}/k_+ со смэш-произведением \mathbb G^{\wedge n}, образованным в \Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+ [8; замечание 8.1]. Свойства 2–5 аксиомы имеют дело с предпучками S^1-спектров, как в [10; ч. IV]. Свойство 6 аксиомы восходит к разделу о рационально стягиваемых предпучках из работы Суслина [11] (см. также [12], [13]). Пример 1.1. Важнейшее специальное оснащенное мотивное \Gamma-пространство задается правилом
\begin{equation*}
(n_+,U) \in \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+ \mapsto C_*\mathrm{Fr}(-,n_+\otimes U) \in \mathcal{M}^{\mathsf{fr}}.
\end{equation*}
\notag
Здесь \mathrm{Fr} обозначает стабильные оснащенные соответствия, а C_*\mathrm{Fr}(-,X') – симплициальный оснащенный функтор X\mapsto \mathrm{Fr}(X\times {\Delta}^{\bullet}_k,X') (см. [7], [8]). Под K\otimes U, где K\in\Gamma^{\mathrm{op}} и U\in\mathrm{Sm}/k, мы имеем в виду дизъюнктное объединение копий U, индексированное элементами отличными от выделенного элемента множества K. Функтор эвалюации в (15) каждому оснащенному мотивному \Gamma-пространству \mathcal X сопоставляет некоторый объект категории оснащенных мотивных спектров в смысле [13; определение 2.1]:
\begin{equation*}
\mathcal X_{S^1,\mathbb G} \in \mathbf{Sp}^{\mathsf{fr}}_{S^1,\mathbb G}(k).
\end{equation*}
\notag
Напомним, что триангулированная категория оснащенных биспектров \mathbf{SH}^{\mathsf{fr}}_{\mathsf{nis}}(k), чьи объекты являются объектами категории \mathbf{Sp}^{\mathsf{fr}}_{S^1,\mathbb G}(k), эквивалентна стабильной мотивной гомотопической категории \mathbf{SH}(k) посредством тождественного функтора с квазиобратным равным функтору большого оснащенного мотива [13; теорема 2.2]. Функтор большого оснащенного мотива тесно связан с примером 1.1 (подробнее см. [8; § 12]). Для целей этой статьи обсуждение модельных структур на категории оснащенных мотивных \Gamma-пространств необязательно. Следующее определение инспирировано определением Сигала гомотопической категории \Gamma-пространств [1]. Определение 1.1. Определим гомотопическую категорию оснащенных мотивных \Gamma-пространств как категорию чьи объекты – это специальные оснащенные мотивные \Gamma-пространства, а морфизмы заданы равенствомВ § 3 мы обсуждаем, как связана категория \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k) с нестабильной категорией пунктированных мотивных пространств \mathbf{H}(k) и с категорией связных мотивных спектров \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0} посредством коммутативной диаграммы (с точностью до эквивалентности) пар сопряженных функторов: Здесь \mathcal X\in \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k) посылается в его подлежащее мотивное пространство \mathcal X (1_+,\mathsf{pt})\in \mathbf{H}(k), а также в его оснащенный мотивный спектр \mathcal X_{S^1,\mathbb G}\in\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0} посредством эквивалентности между категориями \mathbf{SH}^{\mathsf{fr}}_{\mathsf{nis}}(k) и \mathbf{SH}(k) из [13]. Мы отсылаем к замечанию 3.1 за определением функтора \Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}} – версии функтора большого оснащенного мотива, введенного в [8; § 12].Теорема 1.1. Для каждого бесконечного совершенного поля k имеет место эквивалентность категорий
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k) \xrightarrow{\simeq} \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}, \\ \mathcal X \mapsto \mathcal X_{S^1,\mathbb G}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5}
Ее квазиобратная эквивалентность \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0} \,{\xrightarrow{\simeq}}\,\mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k) посылает \mathcal E{\kern1pt}{\in}{\kern1pt}\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0} в явно заданное оснащенное мотивное \Gamma-пространство \Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}} \in\mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k). Пусть \mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k) – это полная подкатегория категории \mathbf{SH}(k), порожденная мотивными {\mathbb P}^1-надстроечными спектрами гладких схем и замкнутая относительно гомотопических копределов и расширений. Эта категория важна, так как она порождает вполне эффективную слайс-фильтрацию, введенную в [14]. Заметим, что \mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k) содержится в триангулированной категории \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}, порожденной мотивными {\mathbb P}^1-надстроечными спектрами вида \Sigma^{p,q}U_+ с p\geqslant q и U\in\mathrm{Sm}/k, и замкнутой относительно гомотопических копределов и расширений. Мы изучим категорию \mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k) с точки зрения оснащенных мотивных \Gamma-пространств. Определение 1.2. Определим гомотопическую категорию вполне эффективных оснащенных мотивных \Gamma-пространств как полную подкатегорию в \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k), состоящую из вполне эффективных оснащенных мотивных \Gamma-пространств.Покажем, что свойство 6 аксиомы о стягиваемости по Суслину для специальных оснащенных мотивных \Gamma-пространств в точности улавливает зазор между \mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k) и \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}. Наконец, мы используем свойство 7 аксиомы для нашего принципа распознавания бесконечнократных мотивных пространств петель. Теорема 1.3. Для каждого бесконечного совершенного поля k и каждого \mathcal E\in \mathbf{SH}(k) существует очень специальное оснащенное мотивное \Gamma-пространство \Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E} и локальная эквивалентность пунктированных мотивных пространств:
\begin{equation}
\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(1_+,\mathsf{pt})\simeq \Omega^{\infty}_{S^1}\Omega^{\infty}_\mathbb{G}\mathcal E.
\end{equation}
\tag{7}
Если \mathcal X является очень специальным оснащенным мотивным \Gamma-пространством, то \mathcal X(1_+,\mathsf{pt}) является бесконечнократным мотивным пространством петель. Структура статьи следующая. Для удобства читателя мы начинаем § 2 с напоминания основ теории обогащенных категорий с целью определить оснащенные мотивные \Gamma-пространства. В качестве первых примеров мы обсуждаем мотивный сферический спектр \mathbf{1}, алгебраические кобордизмы \mathbf{MGL}, мотивные когомологии \mathbf{MZ} и мотивные когомологии Милнора–Витта \widetilde{\mathbf{M}}\mathbf{Z}. Наши основные результаты (теоремы 1.1–1.3) сформулированы в § 3. Наконец, в § 4 мы выделяем некоторые новые гомотопические свойства оснащенных мотивных \Gamma-пространств. В статье используются следующие обозначения: k – бесконечное совершенное поле экспоненциальной характеристики e; \mathsf{pt} – схема \mathrm{Spec}(k); \mathrm{Sm}/k – гладкие отделимые схемы конечного типа; \mathrm{Sm}/k_+ – оснащенные соответствия уровня нуль; \mathrm{Shv}_{\bullet}(\mathrm{Sm}/k) – замкнутая симметрическая моноидальная категория пунктированных пучков Нисневича; \mathcal{M}=\Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Shv}_{\bullet}(\mathrm{Sm}/k) – пунктированные мотивные пространства, другими словами, пунктированные симплициальные пучки Нисневича; \mathrm{Fr}_+(k) – категория оснащенных соответствий Воеводского; \mathrm{Pre}^{\mathsf{fr}}(k) – оснащенные предпучки, т. е. предпучки множеств на категории \mathrm{Fr}_+(k); i\colon \mathrm{Sm}/k\to\mathrm{Fr}_+(k) – композиция функторов \mathrm{Sm}/k\to\mathrm{Sm}/k_+\to\mathrm{Fr}_+(k); S^{s,t}, \Omega^{s,t}, \Sigma^{s,t} – мотивные (s,t)-сфера, пространство петель и надстройка; \mathbf{S}_{\bullet} – пунктированные симплициальные множества. Наше стандартное соглашение о мотивных сферах таково, что S^{2,1}\simeq\mathbb{P}^1\simeq T и S^{1,1}\simeq\mathbb{A}^1\setminus \{0\}, как в [5]. Наш подход в настоящей статье – это дань работе Сигала о категориях и теориях когомологий [1]. Следуя той же линии, мы используем минимальную машинерию, чтобы получить конкретную модель для бесконечнократных мотивных пространств петель и мотивных спектров с предписанными свойствами. Основываясь на записках Воеводского [7], теория оснащенных мотивов была развита в [8]. В качестве применения дано явное вычисление бесконечнократных пространств петель. А именно, \Omega_{\mathbb P^1}^{\infty}\Sigma_{\mathbb P^1}^{\infty}A, A\in\mathcal M, локально эквивалентно пространству C_{\ast}\mathrm{Fr}(A^c)^{\mathrm{gp}} (здесь “gp” обозначает групповое пополнение), а A^c – это проективная кофибрантная замена пространства A (см. [8; § 10]). Основываясь на [8], [15]–[17], принцип распознавания бесконечнократных мотивных пространств петель, использующий язык “бесконечность категорий”, приведен в [18]. § 2. Оснащенные мотивные \Gamma-пространстваМы отсылаем к [19] и [20] за описанием проективной мотивной модельной структуры на замкнутой симметрической категории пунктированных мотивных пространств \mathcal{M}. Эта модельная структура является комбинаторной, собственной, симплициальной, симметрической моноидальной и слабо конечно порожденной. Пусть \Delta[\,{\bullet}\,] – стандартное косимплициальное симплициальное множество n\mapsto\Delta[n]. Если не возникает путаницы, мы временами рассматриваем его как косимплициальную схему, где каждый \Delta[n] рассматривается как дизъюнктное объединение \bigsqcup_{\Delta[n]}\mathsf{pt}. Симплициальный \mathrm{Hom}-объект между пунктированными мотивными пространствами A и B задается правилом
\begin{equation*}
\mathbf{S}_{\bullet}(A,B)=\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(A\wedge\Delta[\,{\bullet}\,]_+,B) =\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}\bigl(A,B(\Delta[\,{\bullet}\,]\times-)\bigr).
\end{equation*}
\notag
Для каждого U\in\mathrm{Sm}/k лемма Йонеды отождествляет \mathbf{S}_{\bullet}(U_+,A) с пунктированным симплициальным множеством A(U). Напомним, что пространство A\in\mathcal{M} является конечно представимым, если функтор \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(A,-) сохраняет направленные копределы. Например, представимое пунктированное мотивное пространство U_+ является конечно представимым для каждой k-гладкой схемы U\in \mathrm{Sm}/k. Семейство \mathcal C конечно представимых пунктированных мотивных пространств может быть обогащено над категорией \mathcal{M} посредством \mathcal{M}-обогащенного \mathrm{Hom}-функтора:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, [A,B](X) &:= \underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal{M}}(A,B)(X)\,{=}\, \mathbf{S}_{\bullet}(A\wedge X_+,B) \,{=}\,\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}\bigl(A\wedge\Delta[\,{\bullet}\,]_+,B(X\times-)\bigr) \nonumber \\ &\,=\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}\bigl(A,B(X\times\Delta[\,{\bullet}\,]\times-)\bigr), \qquad A,B\in\mathcal C,\quad X\in \mathrm{Sm}/k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
Обогащенная композиция в \mathcal C наследуется из обогащенной композиции в \mathcal{M}. Мы будем обозначать [\mathcal C,\mathcal{M}] категорию \mathcal{M}-обогащенных функторов из \mathcal C в \mathcal{M} (отсылаем к [21; § 4] за описанием проективной модельной структуры на ней), в которой слабые эквивалентности и расслоения определены пообъектно. Воеводский в [7] определил морфизмы в \mathrm{Sm}/k_+, положив
\begin{equation*}
\mathrm{Sm}/k_+(X,Y) := \mathrm{Hom}_{\mathrm{Shv}_{\bullet}(\mathrm{Sm}/k)}(X_+,Y_+), \qquad X,Y\in \mathrm{Sm}/k.
\end{equation*}
\notag
Если X связна, то \mathrm{Sm}/k_+(X,Y)=\mathrm{Hom}_{\mathrm{Sm}/k}(X,Y)_+ в силу [7; пример 2.1]. Лемма 2.1. В указанных выше обозначениях имеем отождествления постоянных симплициальных множеств
\begin{equation*}
[U_+,V_+](X)= \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}\bigl((U\times X)_+,V_+\bigr) = \mathrm{Sm}/k_+(U\times X,V),
\end{equation*}
\notag
где U,V,X\in \mathrm{Sm}/k. Доказательство. По определению имеем
\begin{equation*}
[U_+,V_+](X)=\underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal{M}}(U_+,V_+)(X)= \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}((U\times X)_+,V_+).
\end{equation*}
\notag
Кроме того, ясно, что \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}((U\times X)_+,V_+)=\mathrm{Sm}/k_+(U\times X,V). Лемма доказана. Замечание 2.1. Отметим, что \mathrm{Sm}/k_+(-,V), V\in \mathrm{Sm}/k, – это пучок Нисневича, ассоциированный с предпучком U\mapsto\mathrm{Hom}_{\mathrm{Sm}/k}(U,V)\sqcup \mathsf{pt}. Наш первый пример – это категория Сигала \Gamma^{\mathrm{op}} конечных пунктированных множеств и пунктированных отображений. Пример 2.1. Следуя [8; § 5], мы рассматриваем \Gamma^{\mathrm{op}} как полную подкатегорию в \mathcal{M}, отождествляя множество K\in\Gamma^{\mathrm{op}} со схемой (\bigsqcup_{K\setminus\ast} \mathsf{pt})_+, где копроизведение индексируется неотмеченными элементами множества K. Это превращает \Gamma^{\mathrm{op}} в симметрическую моноидальную \mathcal{M}-категорию. Следовательно, [\Gamma^{\mathrm{op}},\mathcal{M}] – это замкнутая симметрическая моноидальная категория в силу [22]. Мы утверждаем, что [\Gamma^{\mathrm{op}},\mathcal{M}] можно отождествить с категорией \Gamma\mathcal{M} ковариантных функторов из \Gamma^{\mathrm{op}} в \mathcal{M}, переводящих объект 0_+ в отмеченный объект * категории \mathcal M. В этом случае \mathcal C=\bigl\{\bigsqcup_{K\setminus *} \mathsf{pt}\bigm| K\in\Gamma^{\mathrm{op}}\bigr\}. \mathcal{M}-обогащенный функтор \mathcal X\in[\Gamma^{\mathrm{op}},\mathcal{M}] переводит K\in\Gamma^{\mathrm{op}} в \mathcal X\bigl(\bigsqcup_{K\setminus *} \mathsf{pt}\bigr)\in\mathcal M, и для K,L\in\Gamma^{\mathrm{op}} имеет место морфизм
\begin{equation*}
\alpha_{K,L} \colon \mathcal X\biggl(\bigsqcup_{K\setminus *}\mathsf{pt}\biggr) \bigwedge_{\mathcal{M}}\biggl[\bigsqcup_{K\setminus *}\mathsf{pt},\bigsqcup_{L\setminus *}\mathsf{pt}\biggr] \to \mathcal X\biggl(\bigsqcup_{L\setminus *}\mathsf{pt}\biggr).
\end{equation*}
\notag
Здесь мотивное пространство \bigl[\bigsqcup_{K\setminus*}\mathsf{pt},\bigsqcup_{L\setminus*}\mathsf{pt}\bigr] задано правилом
\begin{equation*}
U \mapsto \Gamma^{\mathrm{op}}\biggl(\bigsqcup_{K\times n(U)_+\setminus (*,+)}\mathsf{pt},\bigsqcup_{L\setminus*}\mathsf{pt}\biggr),
\end{equation*}
\notag
где n(U) – число связных компонент схемы U\,{\in}\,\mathrm{Sm}/k, а n(U)_+{=}\,\{0,1,\dots,n{(U)}\}. Так как \mathcal X\in[\Gamma^{\mathrm{op}},\mathcal{M}] принимает значение в симплициальных пучках, то
\begin{equation*}
\mathcal X(K)(U) = \mathcal X(K)(U_1)\times\overset{n(U)}{\cdots}\times\mathcal X(K)(U_{n{(U)}}),
\end{equation*}
\notag
и, следовательно, мы имеем равенства
\begin{equation*}
\alpha_{K,L}(U) = \alpha_{K,L}(U_1)\times\overset{n(U)}{\cdots}\times\alpha_{K,L}(U_{n{(U)}}).
\end{equation*}
\notag
Морфизму f\colon K\to L in \Gamma^{\mathrm{op}} мы сопоставляем морфизм \mathcal X\bigl(\bigsqcup_{K\setminus *}\mathsf{pt}\bigr)\to \mathcal X\bigl(\bigsqcup_{L\setminus *}\mathsf{pt}\bigr), чье значение на U – это
\begin{equation*}
\alpha_{K,L}(U_1)(f)\times\overset{n(U)}{\cdots}\times\alpha_{K,L}(U_{n{(U)}})(f).
\end{equation*}
\notag
Ясно, что это доставляет отождествление [\Gamma^{\mathrm{op}},\mathcal{M}] с пунктированными функторами из \Gamma^{\mathrm{op}} в \mathcal{M}. Переходим к определению категории оснащенных мотивных пространств \mathcal{M}^{\mathsf{fr}} и к ее естественному обогащению над категорией \mathcal{M}. Пусть \mathrm{Fr}_+(k) – категория оснащенных соответствий, как в [8; § 2]. Пусть \mathrm{Pre}^{\mathsf{fr}}(k) – это категория оснащенных предпучков, т. е. категория предпучков множеств на \mathrm{Fr}_+(k). Пусть i\colon \mathrm{Sm}/k\to\mathrm{Sm}/k_+\to\mathrm{Fr}_+(k) – это композиция функторов. Напомним из [8; § 2], что оснащенные пучки Нисневича на \mathrm{Sm}/k – это оснащенные предпучки, ограничение которых на категорию \mathrm{Sm}/k посредством функтора i – это пучки Нисневича. Пусть \mathrm{Shv}_\bullet^{\mathsf{fr}}(k) обозначает категорию пунктированных пучков Нисневича. Морфизмы в ней – это просто морфизмы пунктированных онащенных предпучков. Определим категорию оснащенных мотивных пространств \mathcal M^{\mathsf{fr}} как категорию симплициальных объектов в категории \mathrm{Shv}_\bullet^{\mathsf{fr}}(k). Имеет место канонически индуцированный унивалентный функтор \iota\colon\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}\to\mathcal{M}, полученный композицией с i\colon\mathrm{Sm}/k\to\mathrm{Sm}/k_+\to\mathrm{Fr}_+(k). Следуя [7; § 6], рассмотрим естественное спаривание \mathrm{Sm}/k_+ \times \mathrm{Fr}_+(k)\xrightarrow{\otimes} \mathrm{Fr}_+(k), переводящее (X,Y) в X\times Y и (f,\alpha) в f\times \alpha. В дальнейшем это спаривание будет использоваться систематически без ссылок на него. Мы также используем его, чтобы естественно обогатить категорию \mathcal{M}^{\mathsf{fr}} над категорией \mathcal M. Во-первых, каждому оснащенному пучку Нисневича \mathcal F и каждому X\in \mathrm{Sm}/k_+ мы можем сопоставить оснащенный пучок Нисневича \mathcal F(X\times -). Более детально, для \alpha\in \mathrm{Fr}_n(U',U) положим \alpha^*\colon \mathcal F(X\times U)\to \mathcal F(X\times U') равным (\operatorname{id}_X\times \alpha)^*. Если \mathcal F – это пунктированный оснащенный пучок Нисневича, то и оснащенный пучок Нисневича \mathcal F(X\times -) тоже пунктирован. Во-вторых, каждый морфизм f\colon X'\to X в \mathrm{Sm}/k_+ индуцирует морфизм оснащенных пучков Нисневича f^*\colon \mathcal F(X\times -)\to \mathcal F(X'\times -). А именно, если U\in \mathrm{Fr}_+(k), то положим f^*\colon \mathcal F(X\times U)\to \mathcal F(X'\times U) равным (f\times \operatorname{id}_U)^*. Если \mathcal F – это пунктированный оснащенный пучок Нисневича, то указанный морфизм оснащенных пучков является морфизмом f^*\colon \mathcal F(X\times -)\to \mathcal F(X'\times -) пунктированных оснащенных пучков Нисневича. Наконец, следуя (8), \mathcal{M}^{\mathsf{fr}} имеет естественное обогащение над \mathcal M. А именно,
\begin{equation*}
{\mathcal{M}}(A,B)(X):=\mathrm{Hom}_{\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}} \bigl(A,B(X\times\Delta[\,{\bullet}\,]\times-)\bigr), \qquad A,B\in\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}, \quad X\in \mathrm{Sm}/k.
\end{equation*}
\notag
Обогащенная композиция в \mathcal{M}^{\mathsf{fr}} наследуется из обогащенной композиции в \mathcal M. Наш второй пример – категория Воеводского оснащенных соответствий уровня нуль. Пример 2.2. Мы обогатим \mathrm{Sm}/k_+ над \mathcal{M}, положив
\begin{equation*}
[U,V] := \underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal{M}}(U_+,V_+),\qquad U,V\in \mathrm{Sm}/k_+.
\end{equation*}
\notag
Это превратит \mathrm{Sm}/k_+ в симметрическую моноидальную \mathcal{M}-категорию с тензорным произведением U\times V\in\mathrm{Sm}/k. Таким образом, согласно [22] категория [\mathrm{Sm}/k_+,\mathcal{M}] является симметрической моноидальной \mathcal{M}-категорией. Оснащенные соответствия уровня нуль образуют подлежащую категорию \mathcal M-категории \mathrm{Sm}/k_+. В соответствии с леммой 2.1 сечения пунктированного мотивного пространства [U,V] на схеме Y – это постоянное симплициальное множество
\begin{equation*}
[U,V](Y) = \mathrm{Hom}_{\mathcal M}\bigl((U\times Y)_+,V_+\bigr) = \mathrm{Sm}/k_+(U\times Y,V).
\end{equation*}
\notag
Благодаря \mathcal{M}-обогащению каждый \mathcal X\in[\mathrm{Sm}/k_+,\mathcal{M}] задает морфизм в \mathcal{M}
\begin{equation*}
[U,V] \to \underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal M}\bigl(\mathcal X(U),\mathcal X(V)\bigr).
\end{equation*}
\notag
Беря его значение на схеме Y, мы получим морфизм из [U,V](Y) в множество
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal M}\bigl(\mathcal X(U),\mathcal X(V)\bigr)(Y) &= \mathbf{S}_{\bullet}\bigl(\mathcal X(U)\wedge Y_+,\mathcal X(V)\bigr) =\mathbf{S}_{\bullet}\bigl(\mathcal X(U),\mathcal X(V)(Y\times-)\bigr) \\ &= \mathrm{Hom}_{\mathcal M}\bigl(\mathcal X(U)\wedge\Delta[\,{\bullet}\,]_+,\mathcal X(V)(Y\times-)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Моноидальное произведение \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+ – это \mathcal{M}-категория с объектами \mathrm{Ob}\Gamma^{\mathrm{op}}\times \mathrm{Ob}\mathrm{Sm}/k_+ и с \mathcal{M}-морфизмами Заметим, что \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+ – это симметрическая моноидальная \mathcal{M}-категория.Определение 2.1. 1) Мотивное \Gamma-пространство – это \mathcal{M}-обогащенный функтор \mathcal X\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+\to\mathcal{M}. 2) Оснащенное мотивное \Gamma-пространство – это \mathcal{M}-обогащенный функтор \mathcal X\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+\to\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}. Замечание 2.2. Пусть \Gamma^{\mathrm{op}}\times\mathrm{Sm}/k_+ – это подлежащая категория \mathcal M-категории \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes\mathrm{Sm}/k_+. Каждое мотивное \Gamma-пространство \mathcal X\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+\to\mathcal{M} задает функтор \mathcal X\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\times \mathrm{Sm}/k_+\to\mathcal{M}, обозначаемый той же буквой. Раскрывая предыдущее определение, оснащенное мотивное \Gamma-пространство равносильно заданию следующих данных: – некоторого \mathcal M-функтора \mathcal X\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+\to\mathcal{M}; – некоторого функтора \mathcal X'\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\times \mathrm{Sm}/k_+\to\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}; – индуцированного функтора \mathcal X\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\times\mathrm{Sm}/k_+\to\mathcal M равного композиции \Gamma^{\mathrm{op}}\times\mathrm{Sm}/k_+\xrightarrow{\mathcal X'}\mathcal M^{\mathsf{fr}}\xrightarrow{\iota}\mathcal M такого, что канонический морфизм
\begin{equation*}
[U,V](Y)\to \mathrm{Hom}_{\mathcal M}\bigl(\mathcal X(K,U),\mathcal X(K,V)(Y\times-)\bigr)
\end{equation*}
\notag
пропускается через \mathrm{Hom}_{\mathcal M^{\mathsf{fr}}}(\mathcal X'(K,U),\mathcal X'(K,V)(Y\times-)) для каждых K\in\Gamma^{\mathrm{op}}, U,V,Y\in\mathrm{Sm}/k_+. Функторы эвалюацииКаждое мотивное \Gamma-пространство, а именно, \mathcal X\in [\Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+,\mathcal{M}] и U\in \mathrm{Sm}/k_+ задают обогащенный функтор \mathcal X(U)\in [\Gamma^{\mathrm{op}},\mathcal{M}]. В примере 2.1 мы отождествили задание \mathcal X(U) с заданием пунктированного функтора из \Gamma^{\mathrm{op}} в \mathcal{M}. Следуя [4; пример 2.1.2.1], под сферическим спектром мы имеем в виду включение \mathbb S\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\hookrightarrow \mathbf{S}_{\bullet}. Беря левое расширение Кана вдоль сферического спектра \mathbb S\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\hookrightarrow \mathbf{S}_{\bullet}, получим функтор эвалюации со значениями в мотивных S^1-спектрах
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathsf{ev}_{S^1} \colon [\Gamma^{\mathrm{op}},\mathcal{M}] \to \mathbf{Sp}_{S^1}(k), \\ \mathcal X(U)\mapsto \mathcal X(\mathbb S,U) = (\mathcal X(S^{0})(U),\mathcal X(S^1)(U),\mathcal X(S^2)(U),\dots). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{9}
Мы называем \mathcal X(\mathbb S,\mathsf{pt}) подлежащим мотивным S^1-спектром пространства \mathcal X. С другой стороны, для K\in\Gamma^{\mathrm{op}} получим обогащенный функтор \mathcal X(K)\in [\mathrm{Sm}/k_+,\mathcal{M}] (см. пример 2.2). Более того, для каждых U,V\in \mathrm{Sm}/k_+ задан естественный морфизм в \mathcal{M}
\begin{equation*}
V_+ \to [U,U\times V]\to\underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal{M}}\bigl(\mathcal X(K)(U),\mathcal X(K)(U\times V)\bigr).
\end{equation*}
\notag
По присоединенности мы получим морфизмы
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal X(K)(U)\wedge V_+\to\mathcal X(K)(U\times V), \\ \mathcal X(K)(U)\to\underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal M}\bigl(V_+,\mathcal X(K)(U\times V)\bigr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10}
Симплексы \mathbb{G}\in\Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+ состоят из конечных дизъюнктных объединений \mathbb{G}^{\bigsqcup_{<\infty}}_m копий мультипликативной групповой схемы \mathbb{G}_m и точки \mathsf{pt}. А именно, симплексами являются схемы \mathbb{G}_m, \mathbb{G}_m\sqcup\mathsf{pt}, \mathbb{G}_m\sqcup\mathsf{pt}\sqcup\mathsf{pt}, \dots (см. также [8; замечание 8.1]). В качестве специального случая (10) мы имеем морфизмы
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal X(K)(U)\wedge (\mathbb{G}^{\bigsqcup_{<\infty}}_m)_+ \to \mathcal X(K)\bigl(U\times \mathbb{G}^{\bigsqcup_{<\infty}}_m\bigr), \\ \mathcal X(K)(U)\to\underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal M}\bigl(\bigl(\mathbb{G}^{\bigsqcup_{<\infty}}_m\bigr)_+, \mathcal X(K)\bigl(U\times \mathbb{G}^{\bigsqcup_{<\infty}}_m\bigr)\bigr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{11}
Для смэш-степеней \mathbb{G} определим морфизмы
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal X(K)(\mathbb{G}^{\wedge n})\wedge\mathbb{G}_+\to\mathcal X(K)(\mathbb G^{\wedge n+1}), \\ \mathcal X(K)(\mathbb{G}^{\wedge n})\to\underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal M}\bigl(\mathbb{G}_+,\mathcal X(K)(\mathbb G^{\wedge n+1})\bigr) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{12}
как геометрические реализации морфизмов
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, l \mapsto\bigl\{\mathcal X(K)((\mathbb G^{\wedge n})_l)\wedge(\mathbb{G}_+)_l \to \mathcal X(K)((\mathbb G^{\wedge (n+1)})_l)\bigr\}, \\ l \mapsto\bigl\{\mathcal X(K)((\mathbb G^{\wedge n})_l) \to\underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal M} \bigl((\mathbb{G}_+)_l,\mathcal X(K)((\mathbb G^{\wedge (n+1)})_l)\bigr)\bigr\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
полученных из (11). Благодаря (12) получим функтор эвалюации со значениями в мотивных \mathbb{G}-спектрах
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathsf{ev}_\mathbb{G} \colon [\mathrm{Sm}/k_+,\mathcal{M}] \to \mathbf{Sp}_{\mathbb{G}}(k), \\ \mathcal X(K)\mapsto \bigl(\mathcal X(K)(\mathsf{pt}),\mathcal X(K)(\mathbb{G}),\mathcal X(K)(\mathbb G^{\wedge 2}),\dots\bigr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{13}
Мы отсылаем к [9; гл. 3, § 2.3] за обсуждением категории \mathbf{Sp}_{S^1,\mathbb{G}}(k) мотивных (S^1,\mathbb{G})-биспектров. Ассоциированная с ней гомотопическая категория эквивалентна категории \mathbf{SH}(k). Собрав вместе (9) и (13), мы получим функтор эвалюации
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}} \colon [\Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+,\mathcal{M}] \to \mathbf{Sp}_{S^1,\mathbb{G}}(k), \\ \mathcal X \mapsto \mathcal X_{S^1,\mathbb G} = \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\mathcal X). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{14}
Более точно, для каждых i,j\geqslant 0 имеем
\begin{equation*}
\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\mathcal X)_{i,j}=\mathcal X(S^{i},\mathbb G^{\wedge j})\in\mathcal{M}.
\end{equation*}
\notag
Очевидные структурные морфизмы превращают \mathcal X_{S^1,\mathbb G} в мотивный (S^1,\mathbb{G})-биспектр. В свою очередь, пусть [\Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+,\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}] обозначает категорию \mathcal M-обогащенных функторов из \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+ в \mathcal{M}^{\mathsf{fr}}. Следуя определению 2.1, ее объекты – оснащенные мотивные \Gamma-пространства. Если \mathcal X – оснащенное мотивное \Gamma-пространство, то структурные морфизмы
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal X(S^{i},\mathbb G^{\wedge j})\to\underline{\mathrm{Hom}}\bigl(S^1,\mathcal X(S^{i+1},\mathbb G^{\wedge j})\bigr), \\ \mathcal X(S^{i},\mathbb G^{\wedge j})\to\underline{\mathrm{Hom}}\bigl(\mathbb G_+,\mathcal X(S^{i+1},\mathbb G^{\wedge j+1})\bigr) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
являются морфизмами в \mathcal M^{\mathsf{fr}}. Поэтому \mathcal X_{S^1,\mathbb G}\in \mathbf{Sp}^{\mathsf{fr}}_{S^1,\mathbb{G}}(k) является оснащенным мотивным (S^1,\mathbb G)-биспектром в смысле [13; определение 2.1]. Аналогично (14), получим функтор эвалюации
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}} \colon [\Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+,\mathcal{M}^{\mathsf{fr}}] \to \mathbf{Sp}_{S^1,\mathbb{G}}^{\mathsf{fr}}(k), \\ \mathcal X \mapsto \mathcal X_{S^1,\mathbb G} = \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\mathcal X). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{15}
Пример 2.3. Для каждого X\in\mathrm{Sm}/k мы можем образовать мотивное \Gamma-пространство вида
\begin{equation*}
(K,U) \mapsto \mathrm{Sm}/k_+\bigl(-,K\otimes (X\times U)\bigr).
\end{equation*}
\notag
Его эвалюация – это надстроечный биспектр \Sigma^\infty_{S^1}\Sigma^\infty_{\mathbb{G}}X_+ схемы X. Аналогично, мы можем образовать специальное оснащенное мотивное \Gamma-пространство \underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathrm{Fr}) вида
\begin{equation*}
(K,U) \mapsto C_{\ast}\mathrm{Fr}\bigl(-,K\otimes (X\times U)\bigr).
\end{equation*}
\notag
Его подлежащий мотивный S^1-спектр \underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathrm{Fr})(\mathbb S,\mathsf{pt}) – это оснащенный мотив X из [8]. Имеется естественный морфизм мотивных \Gamma-пространств
\begin{equation}
\mathrm{Sm}/k_+\bigl(-,-\otimes (X\times-)\bigr)\to C_{\ast}\mathrm{Fr}\bigl(-,-\otimes (X\times-)\bigr).
\end{equation}
\tag{16}
Согласно [8; теорема 11.1] функтор эвалюации из (14) посылает морфизм (16) в стабильную мотивную эквивалентность. А именно, специальное мотивное \Gamma-пространство \underline{\mathrm{Hom}}(\mathsf{pt},C_{\ast}\mathrm{Fr}) – это модель мотивной сферы \mathbf {1}. Линеаризуя, мы получим, в частности, специальное мотивное \Gamma-пространство \underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathbb Z\mathrm{F}) вида
\begin{equation*}
(K,U) \mapsto C_{\ast}\mathbb Z\mathrm{F}\bigl(-,K\otimes (X\times U)\bigr).
\end{equation*}
\notag
Его подлежащий мотивный S^1-спектр \underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathbb Z\mathrm{F})(\mathbb S,\mathsf{pt}) – это линейный оснащенный мотив схемы X из [8]. Пример 2.4. Пусть \mathcal E – мотивный симметрический T- или T^{2}-спектр Тома с ограничивающей константой d\leqslant 1 и стягиваемым действием группы четных перестановок в смысле [23; § 1]. Основные примеры – это спектр алгебраических кобордизмов Воеводского \mathbf{MGL} [6] и T^2-спектры \mathbf {MSL}, \mathbf {MSp} из [24] (во всех указанных случаях d=1). В этих предположениях имеет место специальное оснащенное мотивное \Gamma-пространство \underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathrm{Fr}^{\mathcal E}) вида
\begin{equation*}
(K,U) \mapsto C_{\ast}\mathrm{Fr}^{\mathcal E}\bigl(-,K\otimes (X\times U)\bigr).
\end{equation*}
\notag
Эвалюация \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathrm{Fr}^{\mathcal E})) согласована с \mathcal E \wedge X_+ согласно доказательству [23; теорема 9.13]. Более того, \underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathrm{Fr}^{\mathcal E})(\mathbb S,\mathsf{pt}) – это \mathcal E-оснащенный мотив X в смысле [23; § 9]. Также получаем специальное мотивное \Gamma-пространство \underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathbb Z\mathrm{F}^{\mathcal E}), чей подлежащий мотивный S^1-спектр – это линейный \mathcal E-оснащенный мотив X, определенный в [23; § 9]. Пример 2.5. Предположим, что \mathbf{A} – это строгая категория соответствий Воеводского в смысле [25; определение 2.3], и что имеет место функтор \mathrm{Fr}_+(k)\to\mathbf{A} тождественный на объектах. Примеры включают соответствия Милнора–Витта \widetilde{\mathrm{Cor}} [26], конечные соответствия Воеводского \mathrm{Cor} [27] и K_0^{\oplus}-соответствия [28]. Мы определим C_{\ast}\mathbf{A} как очень специальное мотивное \Gamma-пространство с сечениями равными комплексу Суслина пучка Нисневича \mathbf{A}(-,K\otimes U)^{\mathsf{nis}}, т. е. мотивное \Gamma-пространство вида
\begin{equation*}
(K,U) \mapsto C_{\ast}\mathbf{A}(-,K\otimes U)^{\mathsf{nis}}.
\end{equation*}
\notag
Заметим, что \underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathbf{A})(\mathbb S,\mathsf{pt}) – это \mathbf{A}-мотив X, определенный в [25; § 2], где \underline{\mathrm{Hom}}(X,C_{\ast}\mathbf{A}) обозначает очень специальное оснащенное мотивное \Gamma-пространство вида (K,U)\mapsto C_{\ast}\mathbf{A}(-,K\otimes (X\times U)). Замечание 2.3. Мотивные \Gamma-пространства в примерах 2.3–2.5 имеют общую черту: они пропускаются через функтор \otimes\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes \mathrm{Sm}/k_+\to\mathrm{Sm}/k_+. § 3. Специальные оснащенные мотивные \Gamma-пространства и бесконечнократные мотивные пространства петельПусть \mathcal E – это мотивный (S^1,\mathbb{G})-биспектр. Используя его n-е веса, т. е. мотивные S^1-спектры \mathcal E(n) биспектра \mathcal E, определенные правилом \mathcal E(n)_{i}=\mathcal E_{i,n}, мы пишем \mathcal E=(\mathcal E(0),\mathcal E(1),\dots). Для целых чисел p,n\in\mathbb Z пусть \pi^{\mathbb A^1}_{p,n}\mathcal E – это пучок Нисневича на \mathrm{Sm}/k, ассоциированный с предпучком
\begin{equation*}
U \mapsto \mathbf{SH}(k)(U_+\wedge S^{p-n}\wedge\mathbb{G}^{\wedge n},\mathcal E).
\end{equation*}
\notag
Напомним, что \mathcal E связен, если \pi^{\mathbb A^1}_{p,n}\mathcal E=0 для всех p<n. Аналогично, мотивный S^1-спектр \mathcal E\in \mathbf{Sp}_{S^1}(k) связен, если \pi^{\mathbb A^1}_n\mathcal E=0 для всех n<0. Для пучка Нисневича F абелевых групп на \mathrm{Sm}/k пусть F_{-1} обозначает пучок Нисневича, заданный правилом U\mapsto\ker(1^{\ast}\colon F(U\times\mathbb G_m)\to F(U)). Лемма 3.1. Оснащенный мотивный (S^1,\mathbb{G})-биспектр \mathcal E=(\mathcal E(0),\mathcal E(1),\dots) в смысле [13; § 2] является связным тогда и только тогда, когда \mathcal E(n) – связный мотивный S^1-спектр для каждого n\geqslant 0. Доказательство. Без ограничения общности можем считать, что подлежащий мотивный биспектр \mathcal E является фибрантным (мы используем здесь [13; лемма 2.6]). Обозначая через |\,{-}\,| абсолютное значение числа, имеем равенства \pi_{p,n}^{\mathbb A^1}\mathcal E=\pi_{p-n}^{\mathsf{nis}}\mathcal E(|n|), если n\leqslant 0. В то время как \pi_{p,n}^{\mathbb A^1}\mathcal E=\pi_{p-n}^{\mathsf{nis}}\Omega_{\mathbb G^{\wedge n}}\mathcal E(0), если n>0. Здесь \pi_{\ast}^{\mathsf{nis}} – это пучок Нисневича, ассоциированный с \pi_{\ast}. Доказательство подлеммы в [8; § 12] показывает, что
\begin{equation*}
\pi_{p-n}^{\mathsf{nis}}\Omega_{\mathbb G^{\wedge n}}\mathcal E(0) = \pi_{p-n}^{\mathsf{nis}}\mathcal E(0)_{-n}.
\end{equation*}
\notag
Если \mathcal E связен, то \pi_{p-n}^{\mathsf{nis}}\mathcal E(|n|)=0 для всех n\leqslant 0 и p<n. В частности, для всех s>0 и n\leqslant 0 пучок \pi_{-s}^{\mathsf{nis}}\mathcal E(|n|) тривиален. Обратная импликация очевидна. Лемма 3.1 доказана. Напомним, что категория \mathbf{Sp}_{S^1}(k) естественно обогащена над \mathcal M (см. доказательство теоремы [29; теорема 6.3]). А именно, для \mathcal E,\mathcal F\in\mathbf{Sp}_{S^1}(k) определим \mathcal M(\mathcal E,\mathcal F) как уравнитель диаграммы
\begin{equation}
\prod_n\mathcal M(\mathcal E_n,\mathcal F_n)\quad \Longrightarrow \quad \prod_n\mathcal M\bigl(\mathcal E_n,\underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal M}(S^1,\mathcal F_{n+1})\bigr).
\end{equation}
\tag{17}
Здесь мы используем морфизмы \mathcal M(\mathcal E_n,\mathcal F_n)\to\mathcal M(\mathcal E_n,\underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal M}(S^1,\mathcal F_{n+1})), индуцированные присоединенными к структурным морфизмам спектра \mathcal F, и канонически индуцированные морфизмы
\begin{equation*}
\mathcal M(\mathcal E_{n+1},\mathcal F_{n+1}) \to \mathcal M(\mathcal E_n\wedge S^1,\mathcal F_{n+1}) \cong \mathcal M\bigl(\mathcal E_n,\underline{\mathrm{Hom}}_{\,\mathcal M}(S^1,\mathcal F_{n+1})\bigr).
\end{equation*}
\notag
Мы будем называть \mathbf{Sp}_{S^1}([\mathrm{Sm}/k_+,\mathcal M]) категорией спектральных функторов (см. [13; § 5]). Объектами являются S^1-спектры в замкнутой симметрической моноидальной \mathcal M-категории [\mathrm{Sm}/k_+,\mathcal M], введенной в примере 2.2. Аналогично (13) (см. [13; § 5, (3)]) имеет место функтор эвалюации
\begin{equation*}
\mathsf{ev}_\mathbb{G}\colon \mathbf{Sp}_{S^1}([\mathrm{Sm}/k_+,\mathcal M])\to \mathbf{Sp}_{S^1,\mathbb G}(k).
\end{equation*}
\notag
Мы теперь готовы доказать теорему 1.1. Доказательство теоремы 1.1. Для \mathcal X\in \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k) и n\geqslant 0 согласно определению 1.1 функтор геометрической реализации задает ассоциированный \mathcal M-обогащенный функтор
\begin{equation*}
\mathcal X(\mathbb{G}^{\wedge n})\colon =\bigl|l\mapsto \mathcal X\bigl(-,(\mathbb G^{\wedge n})_l\bigr)\bigr| \in [\Gamma^{\mathrm{op}},\mathcal M^{\mathsf{fr}}].
\end{equation*}
\notag
Благодаря примеру 2.1 это просто пунктированный функтор из \Gamma^{\mathrm{op}} в \mathcal M^{\mathsf{fr}}. Применив функтор \mathsf{ev}_{S^1} из (9), получим мотивный S^1-спектр \mathsf{ev}_{S^1}(\mathcal X(\mathbb{G}^{\wedge n}))=\mathcal X(\mathbb S,\mathbb{G}^{\wedge n}). Согласно [13; лемма 2.5] S^1-спектр \mathcal X(\mathbb S,\mathbb{G}^{\wedge n}) является \mathbb A^1-локальным. Более того, \mathcal X(\mathbb S,\mathbb{G}^{\wedge n}) является посхемно связным, так как он посхемно ассоциирован с \Gamma-пространством. Следовательно, \mathcal X(\mathbb S,\mathbb{G}^{\wedge n}) – связный мотивный S^1-спектр для каждого n\geqslant 0. Для функтора эвалюации \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}} из (14) имеем
\begin{equation*}
\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\mathcal X)(n)= \mathcal X(\mathbb S,\mathbb{G}^{\wedge n}).
\end{equation*}
\notag
Вместе с леммой 3.1 это показывает, что \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\mathcal X)\in \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}. Поэтому функтор эвалюации (15) принимает значение в \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}:
\begin{equation}
\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}\colon \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k)\to \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}.
\end{equation}
\tag{18}
Согласно конструкции категории \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k) (см. определение 1.1) указанный функтор \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}} из (18) является вполне унивалентным. Остается показать его существенную сюръективность – это наиболее интересная часть доказательства.
Предположим, что \mathcal E – кофибрантный и фибрантный симметрический мотивный (S^1,\mathbb{G})-биспектр. Тогда имеется спектральный функтор \mathcal M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}} в смысле [13; определение 6.1] такой, что \mathsf{ev}_\mathbb{G}(\mathcal M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}) естественно изоморфен \mathcal E в категории \mathbf{SH}(k) (см. [13; § 6]). На самом деле, \mathcal M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}} осуществляет эквивалентность категории \mathbf{SH}(k) и категории оснащенных спектральных мотивных функторов (см. [13; теорема 6.3, определение 6.5]). Кратко напомним конструкцию \mathcal M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}, так как она важна для деталей нашего доказательства. Мотивные пространства C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E_{i,j}) образуют мотивный (S^1,\mathbb{G})-биспектр C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E). Для каждого n\geqslant 0 пусть R^n_{\mathbb{G}} C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E) обозначает \underline{\mathrm{Hom}}(\mathbb{G}^{\wedge n},C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E[n])), где \mathcal E[n] – это сдвиг на n биспектра \mathcal E в \mathbb{G}-направлении. В каждом весе i\geqslant 0 мы имеем мотивный S^1-спектр
\begin{equation*}
R^n_{\mathbb{G}} C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E)(i)= \underline{\mathrm{Hom}}\bigl(\mathbb{G}^{\wedge n},C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E(n+i))\bigr).
\end{equation*}
\notag
Имеется канонический морфизм (S^1,\mathbb{G})-биспектров
\begin{equation*}
R^n_{\mathbb{G}} C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E)\to R^{n+1}_{\mathbb{G}} C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E),
\end{equation*}
\notag
и мы положим
\begin{equation*}
R^\infty_{\mathbb{G}} C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E):= \operatorname{colim}\bigl(C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E)\to R^1_{\mathbb{G}} C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E)\to R^2_{\mathbb{G}} C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E)\to\cdots\bigr).
\end{equation*}
\notag
Благодаря [13; § 6, требование 2] имеется стабильная мотивная эквивалентность
\begin{equation*}
\mathcal E\to C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E)\to R^\infty_{\mathbb{G}} C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E).
\end{equation*}
\notag
Для каждого n\geqslant 0 определим спектральный функтор \mathbb GC_{\ast}\mathrm{Fr}^{\mathcal E}[n] посхемно правилом
\begin{equation*}
U\mapsto \underline{\mathrm{Hom}}\bigl(\mathbb{G}^{\wedge n},C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E(n)\wedge U_+)\bigr).
\end{equation*}
\notag
Согласно конструкции имеют место естественные морфизмы спектральных функторов
\begin{equation*}
\mathbb GC_{\ast}\mathrm{Fr}^{\mathcal E}[n]\to \mathbb GC_{\ast}\mathrm{Fr}^{\mathcal E}[n+1],
\end{equation*}
\notag
и мы положим
\begin{equation*}
\mathcal M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}:= \operatorname{colim}(\mathbb GC_{\ast}\mathrm{Fr}^{\mathcal E}[0]\to\mathbb GC_{\ast}\mathrm{Fr}^{\mathcal E}[1]\to\cdots).
\end{equation*}
\notag
Согласно [13; лемма 6.6] имеется морфизм мотивных (S^1,\mathbb{G})-биспектров
\begin{equation}
\mathsf{ev}_\mathbb{G}(\mathcal M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E})\to R^\infty_{\mathbb{G}}C_{\ast}\mathrm{Fr}(E^c).
\end{equation}
\tag{19}
В каждом весе морфизм (19) – это стабильная локальная эквивалентность мотивных S^1-спектров благодаря [13; лемма 6.7], что доставляет зигзаг в стабильную мотивную эквивалентность
\begin{equation*}
\mathcal E\to R^\infty_{\mathbb{G}} C_{\ast}\mathrm{Fr}(\mathcal E) \leftarrow \mathsf{ev}_\mathbb{G}(\mathcal M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}),
\end{equation*}
\notag
и поэтому изоморфизм в \mathbf{SH}(k)
\begin{equation}
\mathsf{ev}_\mathbb{G}(\mathcal M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}) \cong \mathcal E.
\end{equation}
\tag{20}
Для U\in\mathrm{Sm}/k_+ мотивный S^1-спектр \mathcal M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U) не обязательно является посхемно \Omega-спектром. Однако указанное свойство имеет место для спектрального функтора {\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}, заданного правилом
\begin{equation*}
U\mapsto \Theta^{\infty}_{S^1}\mathcal M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U).
\end{equation*}
\notag
Здесь \Theta^{\infty}_{S^1} – это функтор мотивной S^1-стабилизации, определенный в [29; определение 4.2]. Согласно конструкции существует канонический морфизм
\begin{equation}
{\mathcal M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U)\to {\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U).
\end{equation}
\tag{21}
Отметим, что морфизм (21) является посхемной стабильной эквивалентностью мотивных S^1-спектров.
Далее используем (17), чтобы определить мотивное \Gamma-пространство \Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}, полагая
\begin{equation*}
\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(n_+,U) := \mathcal M(\mathbb S^{\times n},\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)),\qquad n\geqslant 0,\quad U\in\mathrm{Sm}/k.
\end{equation*}
\notag
Здесь S^1-спектр \mathbb S^{\times n}:=\mathbb S\times\overset{n}{\cdots}\times\mathbb S рассматривается как постоянный мотивный S^1-спектр. Для всех U,V\in\mathrm{Sm}/k_+ и пары сопряженных функторов (\mathsf{ev}_{S^1},\Phi) из [3; § 5] между \Gamma-пространствами и спектрами имеем равенства
\begin{equation}
\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(n_+,U)(V)= \Phi\bigl(\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V)\bigr)(n_+)= \mathbf{S}_{\bullet}\bigl(\mathbb S^{\times n},\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V)\bigr).
\end{equation}
\tag{22}
Это выражение задает значение функтора \Phi на S^1-спектре \mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V). Более того, коединица \mathsf{ev}_{S^1}\circ\Phi\to\operatorname{id} индуцирует морфизм спектральных функторов
\begin{equation}
\mathsf{ev}_{S^1}(\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E})\to\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}.
\end{equation}
\tag{23}
По построению \Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E} – это оснащенное мотивное \Gamma-пространство в смысле определения 2.1. Более того, в каждом весе n\geqslant 0 морфизм (21) индуцирует посхемную стабильную мотивную эквивалентность мотивных S^1-спектров
\begin{equation*}
\mathsf{ev}_{\mathbb{G}}(\mathcal M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}})(n) \to \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}(\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}})(n).
\end{equation*}
\notag
В комбинации с (20) получаем изоморфизм \mathbf{SH}(k)
\begin{equation}
\mathsf{ev}_{\mathbb{G}}(\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}})\cong \mathcal E.
\end{equation}
\tag{24}
Покажем, что \Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E} удовлетворяет свойствам 1–4 аксиомы и удовлетворяет свойству 5 при условии, что \mathcal E\in \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}.
Ясно, что \Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(0_+,U)=\ast=\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(n_+,\varnothing) для всех U\in\mathrm{Sm}/k_+ и n\geqslant 0. Более того, каноническая посхемная стабильная эквивалентность кофибрантных мотивных S^1-спектров
\begin{equation*}
\mathbb S\vee\overset{n}{\cdots}\vee\mathbb S \to \mathbb S\times\overset{n}{\cdots}\times\mathbb S
\end{equation*}
\notag
индуцирует посредством (17) и (22) посхемную эквивалентность мотивных пространств
\begin{equation*}
\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(n_+,U) = \mathcal M\bigl(\mathbb S^{\times n},\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)\bigr)\to \mathcal M\bigl(\mathbb S^{\vee n},\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)\bigr) \cong \Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(1_+,U)^{\times n}.
\end{equation*}
\notag
Это устанавливает свойство 1 аксиомы. Далее следует, что для U\in\mathrm{Sm}/k_+ предпучок стабильных гомотопических групп \pi_n\mathsf{ev}_{S^1}({\Gamma\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U)) изоморфен \pi_n({\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U)), если n\geqslant 0, и тривиален, если n<0 (это следует из [3; теорема 5.1]). Согласно (21) имеет место изоморфизм предпучков \pi_{\ast}({\mathcal M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U)) и \pi_{\ast}({\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U)). Так как последний является оснащенным вдобавок к тому, что он \mathbb A^1-инвариантен и \sigma-стабилен, то же самое имеет место и для предпучка \pi_{\ast}\mathsf{ev}_{S^1}({\Gamma\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U)). Это показывает, что выполнено свойство 2 аксиомы. Свойства 3 и 4 аксиомы выполнены, так как {\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}} – оснащенный спектральный функтор, и предпучки стабильных гомотопий \pi_n\mathsf{ev}_{S^1}({\Gamma\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U)) связного \mathbb A^1-локального мотивного S^1-спектра \mathsf{ev}_{S^1}({\Gamma\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U)) изоморфны \pi_n({\mathbb M}^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U)) для всех n\geqslant 0 и всех U\in\mathrm{Sm}/k_+. Проверим, что свойство 5 аксиомы выполнено, если мы предположим, что \mathcal E\in \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}. Действительно, доказательство [13; теорема 6.3] показывает, что \mathcal E\wedge U_+\in \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0} изоморфен \mathsf{ev}_\mathbb{G}(\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(-\times U)) для всех U\in\mathrm{Sm}/k_+. Здесь \mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(-\times U) – это спектральный функтор, заданный правилом По лемме 3.1 \mathbb A^1-локальный мотивный S^1-спектр \mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U) связен. Действительно, \mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U) является нулевым весом оснащенного мотивного биспектра \mathsf{ev}_\mathbb{G}(\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(-\times U)), чьи веса \mathbb A^1-локальны согласно [13; лемма 2.6]. Таким образом, для всех U\in\mathrm{Sm}/k_+ морфизм (23) доставляет стабильную локальную эквивалентность связных мотивных S^1-спектров
\begin{equation*}
\Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(\mathbb S,U) \to \mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(U).
\end{equation*}
\notag
Следовательно, \Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(\mathbb S,-) – это оснащенный спектральный функтор, и оснащенное мотивное \Gamma-пространство \Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}} удовлетворяет вырезанию по Нисневичу как в свойстве 5 аксиомы. Это заканчивает доказательство теоремы 1.1. Замечание 3.1. Доказательство теоремы 1.1 показывает, что квазиобратный функтор \Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}} к эквивалентности \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}\colon \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k){\to}\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0} задается следующим образом: для \mathcal E\in\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0} возьмем функториальную кофибрантно-фибрантную замену \mathcal E' в стабильной модельной структуре на симметрических мотивных (S^1,\mathbb G)-биспектрах. И затем сопоставим \mathcal E оснащенное мотивное \Gamma-пространство \Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E'}. При наличии теоремы 1.1 мы можем доказать теорему 1.2. Доказательство теоремы 1.2. Следуя [30; § 3, с. 1131], [14; § 5], имеем равенство
\begin{equation*}
\mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k)=\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}\cap \mathbf{SH}^{\mathsf{eff}}(k),
\end{equation*}
\notag
где \mathbf{SH}^{\mathsf{eff}}(k) – полная подкатегория в \mathbf{SH}(k), натянутая на эффективные биспектры. Для \mathcal X\in \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{veffr}}(k) эвалюация \mathcal X_{S^1,\mathbb G} содержится в \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0} по теореме 1.1. По свойству 6 аксиомы S^1-спектр
\begin{equation*}
\bigl|\mathcal X(\mathbb S,\mathbb{G}\times U)\bigl(\widehat{\Delta}^\bullet_{K/k}\bigr)\bigr|
\end{equation*}
\notag
стабильно стягиваем для любого конечно порожденного расширения полей K/k и любого U\in\mathrm{Sm}/k. Поэтому
\begin{equation*}
\bigl|\mathcal X(\mathbb S,\mathbb{G}^{\wedge n})\bigl(\widehat{\Delta}^\bullet_{K/k}\bigr)\bigr|
\end{equation*}
\notag
стабильно тривиален для каждого n>0. Следовательно, \mathcal X_{S^1,\mathbb G}\in\mathbf{SH}^{\mathsf{eff}}(k) и таким образом \mathcal X_{S^1,\mathbb G}\in\mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k) согласно [12; теорема 4.4] и [13; определение 3.5, теорема 3.6].
Мы показали, что ограничение эквивалентности \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}\colon \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k)\xrightarrow{\simeq}\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0} из теоремы 1.1 на полную подкатегорию \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{veffr}}(k) принимает значение в \mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k). Остается показать существенную сюръективность. Предположим, что \mathcal E – вполне эффективный кофибрантный и фибрантный симметрический мотивный (S^1,\mathbb G)-биспектр. По теореме 1.1 имеется оснащенное мотивное \Gamma-пространство \Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}} и изоморфизм между \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}) и \mathcal E в \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}. Более того, доказательство теоремы 1.1 показывает, что для каждой U\in\mathrm{Sm}/k_+ имеется изоморфизм в \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0} между \mathcal E\wedge U_+ и \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(-\times U)). Здесь \Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(-\times U) – оснащенное мотивное \Gamma-пространство вида
\begin{equation*}
(n_+,X)\mapsto \Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(n_+,X\times U).
\end{equation*}
\notag
Напомним, что согласно [14; лемма 5.6] \mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k) замкнута относительно смэш-произведений в \mathbf{SH}(k). В частности, \mathcal E\wedge U_+\in \mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k). Чтобы заключить, что S^1-спектр
\begin{equation*}
\bigl|\Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}(\mathbb S,\mathbb{G}\times U)\bigl(\widehat{\Delta}^\bullet_{K/k}\bigr)\bigr|
\end{equation*}
\notag
стабильно тривиален, достаточно сослаться на [13; теорема 3.6]. Следовательно, оснащенное мотивное \Gamma-пространство \Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}} эффективно, и поэтому \mathcal E изоморфен \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\Gamma\mathbb M^{\mathcal E}_{\mathsf{fr}}) в \mathbf{SH}^{\mathsf{veff}}(k). Теорема 1.2 доказана. Предположим, что \mathcal E – мотивный (S^1,\mathbb G)-биспектр с мотивно фибрантной заменой \mathcal E^{f}. Мы будем обозначать \Omega_{S^1}^{\infty}\Omega_\mathbb{G}^{\infty} \mathcal E пунктированное мотивное пространство \mathcal E^{f}_{0,0}. Определение 3.1. Пунктированное мотивное пространство A называется мотивным бесконечнократным пространством петель, если существует мотивный (S^1,\mathbb G)-биспектр \mathcal E и локальная эквивалентность A\simeq\Omega_{S^1}^{\infty}\Omega_\mathbb{G}^{\infty} \mathcal E. Лемма 3.2. Предположим, что \mathcal X – очень специальное оснащенное мотивное \Gamma-пространство. Тогда биспектр {\mathcal X}^{f}_{S^1,\mathbb{G}}, полученный из {\mathcal X}_{S^1,\mathbb{G}} поуровневой локальной фибрантной заменой, является мотивно фибрантным. Доказательство. Это следует из [13; лемма 2.6], так как S^1-спектр, ассоциированный с очень специальным \Gamma-пространством, становится \Omega-спектром после взятия поуровневой фибрантной замены [4; следствие 2.2.1.7]. Вышесказанное подводит нас к доказательству теоремы 1.3. Доказательство теоремы 1.3. Не умаляя общности, мы можем считать, что \mathcal E\in\mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0}. Действительно, как показано в [31; с. 374] для каждого \mathcal E связное накрытие \tau_{\geqslant 0}\mathcal E\to\mathcal E доставляет посхемную эквивалентность
\begin{equation*}
\Omega^\infty_{S^1}\Omega^\infty_\mathbb{G}(\tau_{\geqslant 0}\mathcal E) \to \Omega^\infty_{S^1}\Omega^\infty_\mathbb{G}(\mathcal E).
\end{equation*}
\notag
Согласно доказательству теоремы 1.1 каждый биспектр \mathcal E\in \mathbf{SH}(k)_{\geqslant 0} изоморфен биспектру \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}) для некоторого специального оснащенного мотивного \Gamma-пространства \Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}. Для n\geqslant 0 и U,V\in\mathrm{Sm}/k_+ равенства (22) показывают, что
\begin{equation*}
\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(n_+,U)(V)= \Phi\bigl(\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V)\bigr)(n_+)= \mathbf{S}_{\bullet}\bigl(\mathbb S^{\times n},\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V)\bigr).
\end{equation*}
\notag
Здесь \mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V) – это \Omega-спектр \Theta^{\infty}_{S^1}\mathcal M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V), введенный в доказательстве теоремы 1.1. Следовательно, \Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(1_+,U)(V) – нулевое пространство {\mathbb M}_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V)_0 нашего \Omega-спектра {\mathbb M}_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V). Таким образом, \pi_0(\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(U)(V)_0) – абелева группа, и пучок \pi_0^{\mathsf{nis}}\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(1_+,U) – это пучок Нисневича абелевых групп. Это показывает, что \Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E} – очень специальное оснащенное мотивное \Gamma-пространство (см. свойство 7 аксиомы).
По лемме 3.2 биспектр \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E})^f, полученный поуровневой локально фибрантной заменой из \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}), является мотивно фибрантным. Поэтому имеет место посхемная эквивалентность пунктированных мотивных пространств
\begin{equation*}
\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(1_+,\mathsf{pt})^f= \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E})^f_{0,0} \simeq \Omega^{\infty}_{S^1}\Omega^{\infty}_\mathbb{G}\mathcal E.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, \Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}^{\mathcal E}(1_+,\mathsf{pt}) локально эквивалентно \Omega^{\infty}_{S^1}\Omega^{\infty}_\mathbb{G}\mathcal E.
Предположим, что \mathcal X – очень специальное оснащенное мотивное \Gamma-пространство. По лемме 3.2 {\mathcal X}^{f}_{S^1,\mathbb{G}} – мотивно фибрантный биспектр, и мы заключаем, что
\begin{equation*}
\mathcal X(1_+,\mathsf{pt})^f = \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\mathcal X)^f_{0,0} \simeq \Omega^{\infty}_{S^1}\Omega^{\infty}_\mathbb{G}{\mathcal X}^{f}_{S^1,\mathbb{G}}.
\end{equation*}
\notag
Так как \mathcal X(1_+,\mathsf{pt}) локально эквивалентно \mathcal X(1_+,\mathsf{pt})^f, то \mathcal X(1_+,\mathsf{pt}) – бесконечнократное мотивное пространство петель в смысле определения 3.1. Теорема 1.3 доказана. Замечание 3.2. Каждое специальное оснащенное мотивное \Gamma-пространство \mathcal X\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes\mathrm{Sm}/k_+\to\mathcal M имеет канонически ассоциированное очень специальное оснащенное мотивное \Gamma-пространство, заданное правилом
\begin{equation*}
(n_+,U)\mapsto \Omega_{S^1}\mathrm{Ex}^{\infty}\mathcal X(S^1\wedge n_+,U).
\end{equation*}
\notag
В этом выражении, \mathrm{Ex}^{\infty} – это функтор фибрантной замены Кана в категории \mathbf{S}_{\bullet}, и применяется он посхемно. Мы закончим этот параграф обсуждением диаграммы (4) пар сопряженных функторов из введения: Функтор u\colon \mathbf{H}_{\Gamma\mathcal{M}}^{\mathsf{fr}}(k)\to\mathbf{H}(k) переводит оснащенное мотивное \Gamma-пространство \mathcal X в его подлежащее мотивное пространство \mathcal X(1_+,\mathsf{pt}). Функтор C_{\ast}\mathrm{Fr} переводит мотивное пространство A в C_{\ast}\mathrm{Fr}(A^c\otimes-), где A^c – проективная кофибрантная замена пространства A. Напомним, что A^c является направленным копределом в \Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+ симплициальных гладких схем.Композиция функторов \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}\circ C_{\ast}\mathrm{Fr} эквивалентна функтору \Sigma^{\infty}_{S^1,\mathbb G} ввиду [8; § 11]. Теорема 1.3 влечет, что композиция u\circ\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}} эквивалентна функтору \Omega^{\infty}_{S^1,\mathbb G}. Таким образом, пара сопряженных функторов (\Sigma^{\infty}_{S^1,\mathbb G},\Omega^{\infty}_{S^1,\mathbb G}) эквивалентна паре сопряженных функторов (\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}\circ C_{\ast}\mathrm{Fr},u\circ\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}). По теореме 1.1 пара (\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}},\Gamma\mathbb M_{\mathsf{fr}}) – это пара сопряженных эквивалентностей. Поэтому (C_{\ast}\mathrm{Fr},u) – тоже пара сопряженных функторов. Следствие 3.1. Диаграмма (4) пар сопряженных функторов является коммутативной с точностью до эквивалентности функторов. § 4. Дальнейшие свойства мотивных \Gamma-пространствПусть \mathcal X\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\boxtimes\mathrm{Sm}/k_+\to \mathcal M^{\mathsf{fr}} – оснащенное мотивное \Gamma-пространство. Имеет место обогащенный функтор
\begin{equation*}
\mathcal X(1_+,-)\colon \mathrm{Sm}/k_+ \to \mathcal M^{\mathsf{fr}},\qquad U \mapsto \mathcal X(1_+,U).
\end{equation*}
\notag
Для всех U,V\in\mathrm{Sm}/k_+ мы имеем элементарный квадрат Нисневича: Если \mathcal X (очень) специальное в смысле аксиомы, тогда свойства 1 и 5 аксиомы влекут стабильную локальную эквивалентность
\begin{equation}
\mathcal X(\mathbb S,U)\vee\mathcal X(\mathbb S,V)\to\mathcal X(\mathbb S,U\sqcup V).
\end{equation}
\tag{25}
С другой стороны, посхемная стабильная эквивалентность
\begin{equation*}
\mathcal X(\mathbb S,U)\vee\mathcal X(\mathbb S,V)\to\mathcal X(\mathbb S,U)\times\mathcal X(\mathbb S,V)
\end{equation*}
\notag
факторизуется как
\begin{equation*}
\mathcal X(\mathbb S,U)\vee\mathcal X(\mathbb S,V)\to\mathcal X(\mathbb S,U\sqcup V)\to\mathcal X(\mathbb S,U)\times\mathcal X(\mathbb S,V).
\end{equation*}
\notag
Следовательно, правый морфизм – локальная стабильная эквивалентность. Это показывает, что морфизм мотивных пространств
\begin{equation*}
\mathcal X(1_+,U\sqcup V)\to\mathcal X(1_+,U)\times\mathcal X(1_+,V)
\end{equation*}
\notag
есть локальная эквивалентность. И, аналогично, локальной эквивалентностью являются
\begin{equation*}
\mathcal X(1_+,n_+\otimes U)\to\mathcal X(1_+,U)\times\overset{n}{\cdots}\times\mathcal X(1_+,U),\qquad n\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
Здесь мы пишем n_+\otimes U:=U\sqcup\,{\overset{n}{\cdots}}\,\sqcup U\in\mathrm{Sm}/k_+. Свойство 1 аксиомы показывает, что \mathcal X(1_+,0_+\otimes U)=\ast, так как по определению 0_+\otimes U:=\varnothing. Более того, так как \mathcal X очень специальное, то пучок Нисневича \pi^{\mathsf{nis}}_{0}\mathcal X(1_+,U) – это пучок абелевых групп по свойству 7 аксиомы. Мы оформим эти наблюдения в виде следующей леммы. Лемма 4.1. Для каждого очень специального оснащенного мотивного \Gamma-пространства \mathcal X и каждой U\in\mathrm{Sm}/k_+ функтор является локально очень специальным \Gamma-пространством.Зафиксируем функтор A\to A^{\mathrm{c}} кофибрантной замены в проективной модельной структуре на категории \mathcal M в смысле [19; § 3], [20]. Тогда A^{\mathrm{c}} – это направленный копредел в категории симплициальных k-гладких схем \Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+. Для мотивного \Gamma-пространства \mathcal X определим функтор \mathcal X(1_+,-)\colon \mathcal M\to\mathcal M, положив
\begin{equation*}
\mathcal X(1_+,A):= \operatorname{colim}_{(\Delta[n]\times U)_+\to A}\mathcal X(1_+,\Delta[n]_+\otimes U),\qquad A\in\mathcal M.
\end{equation*}
\notag
Здесь мы отождествляем пунктированное мотивное пространство A с пространством \operatorname{colim}_{(\Delta[n]\times U)_+\to A}(\Delta[n]\times U)_+. Ключевое свойство \Gamma-пространств гласит, что если f\colon K\to L – это эквивалентность в \mathbf{S}_\bullet, то F(f)\colon F(K)\to F(L) – эквивалентность для каждого \Gamma-пространства F\colon \Gamma^\mathrm{op}\to\mathbf{S}_\bullet (см. [3; утверждение 4.9], [4; лемма 2.2.1.3]). Следующий результат – мотивный аналог этого свойства. Теорема 4.1. Для каждого очень специального оснащенного мотивного \Gamma-пространства \mathcal X функтор
\begin{equation*}
\mathcal X(1_+,-)\colon \mathcal M \to \mathcal M,\qquad A \mapsto \mathcal X(1_+,A^{\mathrm{c}}),
\end{equation*}
\notag
переводит мотивные эквивалентности в локальные эквивалентности мотивных пространств. Следовательно, если \mathcal X – специальное оснащенное мотивное \Gamma-пространство, то функтор
\begin{equation*}
\mathcal X(\mathbb S,-)\colon \mathcal M \to \mathbf{Sp}_{S^1}(k),\qquad A\mapsto \mathcal X(\mathbb S,A^{\mathrm{c}}),
\end{equation*}
\notag
переводит мотивные эквивалентности в стабильные мотивные эквивалентности S^1-спектров. Наше доказательство теоремы 4.1 инспирировано теорией Воеводского левых производных раддитивных функторов, как в [32; теорема 4.19]. Основные понятия, необходимые в настоящей статье, приводятся ниже. В этом контексте категория \mathrm{Sm}/k_+ имеет конечные копроизведения. Напомним, что морфизм e\colon A\to X в категории \mathcal C называется копроекцией, если он является каноническим морфизмом A\to A\sqcup Y для некоторого Y [32; § 2]. Морфизм f\colon A\to X в \Delta^{\mathrm{op}}\mathcal C является почленной копроекцией, если для всех i\geqslant 0 морфизм f_i\colon A_i\to X_i – копроекция. Как замечено в [32; § 2], любой морфизм f\colon B\to A и любой объект X включаются в кодекартов квадрат: Следовательно, кодекартовы квадраты существуют для всех пар морфизмов (e,f) с копроекцией e, если \mathcal C – категория с копроизведениями, равно как и для всех пар морфизмов (e,f) в \Delta^{\mathrm{op}}\mathcal C, где e – почленная копроекция. Следуя [32; § 2], квадрат в \Delta^{\mathrm{op}}\mathcal C называется элементарным кодекартовым квадратом, если он изоморфен кодекартову квадрату для некоторой пары морфизмов (e,f), где e – почленная копроекция.Если \mathcal C имеет конечные копроизведения, то для каждого коммутативного квадрата Q вида определим объект K_Q посредством элементарного кодекартового квадрата: Имеется канонически индуцированный морфизм p_Q\colon K_Q\to X. Важный пример – это цилиндр \operatorname{cyl}(f) морфизма f\colon X\to X'. А именно, в терминах приведенной конструкции – это объект, ассоциированный с квадратом вида Согласно [32; лемма 2.9] естественные морфизмы X'\to\operatorname{cyl}(f) и \operatorname{cyl}(f)\to X' являются взаимно обратными гомотопическими эквивалентностями.Лемма 4.2. Предположим, что \mathcal X – это специальное оснащенное мотивное \Gamma-пространство. Тогда \mathcal X(\mathbb S,-) переводит элементарные кодекартовы квадраты из категории \Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+ в гомотопически кодекартовы квадраты в стабильной локальной модельной структуре на мотивных S^1-спектрах. Доказательство. Рассмотрим корасслоенный квадрат в \Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+, в котором горизонтальные стрелки суть копроекции: Ассоциированный квадрат S^1-спектров является гомотопически кодекартовым, поскольку согласно (25) он стабильно локально эквивалентен кодекартовому квадрату вида По определению элементарный кодекартов квадрат изоморфен кодекартовому квадрату морфизма (e,f), где e – это почленная копроекция. Остается заметить, что геометрическая реализация симплициального гомотопически кодекартового квадрата является гомотопически кодекартовым квадратом. Лемма доказана. Следствие 4.1. Предположим, что \mathcal X – это специальное оснащенное мотивное \Gamma-пространство, и есть элементарный кодекартов квадрат в категории \Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+, отвечающий паре (e,f), где e – почленная копроекция. Если стрелка \mathcal X(\mathbb S,e) – это стабильная локальная эквивалентность S^1-спектров, то такова и \mathcal X(\mathbb S,e'). Доказательство теоремы 4.1. Пусть Q – это элементарный квадрат Нисневича в \mathrm{Sm}/k: Применяя конструкцию цилиндра и образуя кодекартовы квадраты в категории \mathcal M, получим коммутативную диаграмму Заметим, что U'_+\to\operatorname{cyl}(U'_+\to X'_+) является почленной копроекцией и проективным корасслоением между проективно кофибрантными объектами в \mathcal M. Поэтому s(Q):=\operatorname{cyl}(U'_+\to X'_+)\bigsqcup_{U'_+}\!U_+ проективно кофибрантен [33; следствие 1.1.11], и U_+\to s(Q) – это почленная копроекция. Аналогично, применяя конструкцию цилиндра к морфизму s(Q)\to X_+ и полагая t(Q):=\operatorname{cyl}(s(Q)\to X_+), получим проективное корасслоение Здесь \operatorname{cyl}(Q) – это почленная копроекция и локальная эквивалентность в \mathcal M.
Положим J_{\mathrm{mot}}=J_{\mathrm{proj}}\cup J_{\mathsf{nis}}\cup J_{\mathbb A^1}, где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_{\mathrm{proj}} &= \{\Lambda^{r}[n]_+\wedge U_+\to \Delta[n]_+\wedge U_+\mid U\in\mathrm{Sm}/k,\, n>0,\, 0\leqslant r\leqslant n\}, \\ J_{\mathsf{nis}} &= \biggl\{\Delta[n]_+\wedge s(Q)\bigsqcup_{\partial\Delta[n]_+\wedge s(Q)}\partial\Delta[n]_+\wedge t(Q) \\ &\qquad\qquad \to \Delta[n]_+\wedge t(Q)\biggm| Q \text{ - элементарный квадрат Нисневича}\biggr\}, \\ J_{\mathbb A^1} &= \biggl\{\Delta[n]_+\wedge U\times\mathbb A^1_+\bigsqcup_{\partial\Delta[n]_+\wedge U\times\mathbb A^1_+} \partial\Delta[n]_+\wedge \operatorname{cyl}(U\times\mathbb A^1_+\to U_+) \\ &\qquad\qquad \to\Delta[n]_+\wedge\operatorname{cyl}(U\times\mathbb A^1_+\to U_+)\biggm| U\in\mathrm{Sm}/k\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Заметим, что морфизмы из J_{\mathrm{mot}} – это почленные копроекции. В соответствии с [20; лемма 2.15] морфизм является расслоением с фибрантной областью значений в проективной мотивной модельной структуре, если и только если он обладает свойством правого подъема относительно семейства морфизмов из J_{\mathrm{mot}}.
Следуя аргументам из [3; утверждение 4.9], заключаем, что функтор \mathcal X(1_+,-) переводит члены семейства J_{\mathrm{proj}} в локальные эквивалентности. Заметим, что \mathcal X(1_+,-) сохраняет наивные симплициальные гомотопии: если A – пунктированное мотивное пространство, то \mathcal X(1_+,\Delta[1]_+\otimes A^{\mathrm{c}}) – это цилиндр для \mathcal X(1_+,A^{\mathrm{c}}). Свойство 4 аксиомы влечет, что имеет место канонически индуцированная локальная эквивалентность
\begin{equation*}
\mathcal X(1_+,U\times\mathbb A^1)\to\mathcal X\bigl(1_+,\operatorname{cyl}(U\times\mathbb A^1\to U)\bigr).
\end{equation*}
\notag
Свойство 5 аксиомы влечет, что то же самое справедливо для \mathcal X(1_+,\operatorname{cyl}(Q)).
Чтобы показать, что \mathcal X(1_+,-) переводит члены семейства J_{\mathsf{nis}} в локальные эквивалентности, начнем с корасслоения симплициальных множеств K\hookrightarrow L и индуцированной коммутативной диаграммы: Применяя лемму 4.1 к a_0=K_+\wedge\operatorname{cyl}(Q), получаем, что индуцированный морфизм \mathcal X(1_+,a_0) – это локальная эквивалентность. Аналогично, a_2=L_+\wedge\operatorname{cyl}(Q) и \mathcal X(1_+,a_2) – локальные эквивалентности. Так как \mathcal X очень специальное, то следствие 4.1 показывает, что \mathcal X(1_+,a_1) – это локальная эквивалентность. Таким образом, \mathcal X(1_+,a_3) – это локальная эквивалентность, и наше утверждение про J_{\mathsf{nis}} доказано. Аналогично, \mathcal X(1_+,-) переводит члены семейства J_{\mathbb A^1} в локальные эквивалентности.К данному моменту мы установили, что \mathcal X(1_+,-) переводит члены семейства J_{\mathrm{mot}} в локальные эквивалентности. Для каждой мотивной эквивалентности f\colon A\to B индуцированный морфизм f^{\mathrm{c}}\colon A^{\mathrm{c}}\to B^{\mathrm{c}} – также мотивная эквивалентность. Остается доказать, что канонический морфизм
\begin{equation*}
\mathcal X(1_+,f^{\mathrm{c}})\colon \mathcal X(1_+,A^{\mathrm{c}}) \to \mathcal X(1_+,B^{\mathrm{c}})
\end{equation*}
\notag
есть локальная эквивалентность. С этой целью применим “аргумент малого объекта” [33; теорема 2.1.14].
Сначала заметим, что все морфизмы в J_{\mathrm{mot}} имеют конечно представимые области определений и значений. Для каждого пунктированного мотивного пространства A\in\mathcal M, пусть \alpha\colon A\to \mathcal L A – это трансфинитная композиция \aleph_{0}-последовательности:
\begin{equation*}
A=E^0\xrightarrow{\alpha_0}E^1\xrightarrow{\alpha_1}E^2\xrightarrow{\alpha_2}\cdots,
\end{equation*}
\notag
построенной следующим образом. Для n\geqslant 0 мы рассмотрим множество S_n всех коммутативных квадратов вида где g\in J_{\mathrm{mot}}, и образуем кодекартов квадрат вида Ясно, что эта конструкция функториальна по A. По определению \alpha – это тривиальное мотивное корасслоение в \mathcal M, принадлежащее семейству J_{\mathrm{mot}}-cell [33; определение 2.1.9].
Мы утверждаем, что горизонтальные морфизмы в коммутативной диаграмме являются локальными эквивалентностями. Действительно, следствие 4.1 показывает, что \mathcal X(1_+,-) переводит козамены базы членов семейства J_{\mathrm{mot}} в локальные эквивалентности (здесь использовано то, что \mathcal X очень специально). Поскольку локальные эквивалентности замкнуты относительно взятия направленных копределов, и \mathcal X(1_+,-) сохраняет направленные копределы, то же самое справедливо и для членов семейства J_{\mathrm{mot}}-cell. Так как {\mathcal L}(A^{\mathrm{c}}) и {\mathcal L}(B^{\mathrm{c}}) – кофибрантны и фибрантны, то {\mathcal L}(f^{\mathrm{c}}) – гомотопическая эквивалентность. Как замечено выше, функтор \mathcal X(1_+,-) сохраняет наивные симплициальные гомотопии, и поэтому \mathcal X(1_+,{\mathcal L}(f^{\mathrm{c}})) – гомотопическая эквивалентность. Таким образом, \mathcal X(1_+,f^{\mathrm{c}}) – локальная эквивалентность. Теорема 4.1 доказана.Пусть M\mathbb Z – мотивный кольцевой спектр, представляющий целочисленные мотивные когомологии в смысле Воеводского–Суслина [6]. С точностью до обращения экспоненциальной характеристики e основного поля k, категория M\mathbb Z-модулей эквивалентна триангулированной категории мотивов Воеводского (см. [34; теорема 58], а также [35; теорема 5.8]). Решающая часть доказательства показывает, что для каждой U\in\mathrm{Sm}/k естественный морфизм является изоморфизмом в \mathbf{SH}(k)[1/e]. Для \Gamma-пространства F\colon \Gamma^{\mathrm{op}}\to\bf S_\bullet соответствующее утверждение значит, что морфизм
\begin{equation*}
\mathsf{ev}_{S^1}(F)\wedge K \to \mathsf{ev}_{S^1}(F(-\wedge K))
\end{equation*}
\notag
есть стабильная эквивалентность для каждого пунктированного симплициального множества K\in\mathbf S_\bullet (см. [3; лемма 4.1]). Мы докажем аналогичное свойство для специальных оснащенных мотивных \Gamma-пространств. Теорема 4.2. Предположим, что k – бесконечное совершенное поле экспоненциальной характеристики e. Пусть U\in\mathrm{Sm}/k таков, что U_+ строго дуализируем в категории \mathbf{SH}(k), например, U – гладкое проективное алгебраическое многообразие. Для каждого очень специального оснащенного мотивного \Gamma-пространства \mathcal X естественный морфизм биспектров
\begin{equation}
\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}(\mathcal X)\wedge U_+= \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(\mathbb S,-)\bigr)\wedge U_+\to \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(\mathbb S,-\otimes U)\bigr)= \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(-\otimes U)\bigr)
\end{equation}
\tag{26}
есть стабильная мотивная эквивалентность. Более того, для каждого пунктированного мотивного пространства A\in\mathcal M естественный морфизм биспектров
\begin{equation}
\mathsf{ev}_{S^1,\mathbb G}(\mathcal X)\wedge A^{\mathrm{c}} \to \mathsf{ev}_{S^1,\mathbb G}\bigl(\mathcal X(-\otimes A^{\mathrm{c}})\bigr)
\end{equation}
\tag{27}
является изоморфизмом в \mathbf{SH}(k)[1/e]. Доказательство. Не умаляя общности, можно предположить, что \mathcal X – очень специальное мотивное \Gamma-пространство (см. замечание 3.2). Мы рассматриваем \mathcal X(1_+,-) как \mathcal M-обогащенный функтор из \mathrm{Sm}/k_+ в \mathcal M.
Следуя § 2, рассмотрим \mathcal M-категорию конечно представимых мотивных пространств f\mathcal M. Посредством обогащенного левого расширения Кана функтор включения \mathcal M-категорий \iota\colon \mathrm{Sm}/k_+\hookrightarrow f\mathcal M доставляет функтор
\begin{equation*}
\Upsilon \colon [\mathrm{Sm}/k_+,\mathcal M]\to[f\mathcal M,\mathcal M].
\end{equation*}
\notag
Записав \mathcal Y\in[\mathrm{Sm}/k_+,\mathcal M] как коконец
\begin{equation*}
\mathcal Y=\int^{U\in\mathrm{Sm}/k_+}\mathcal Y(U)\wedge_{\mathcal M}[U,-],
\end{equation*}
\notag
получим
\begin{equation*}
\Upsilon(\mathcal Y)= \int^{U\in\mathrm{Sm}/k_+}\mathcal Y(U)\wedge_{\mathcal M}[\iota(U),-].
\end{equation*}
\notag
Согласно конструкции \Upsilon(\mathcal Y)(V)=\mathcal Y(V) для всех V\in\Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+. В целом, имеем \Upsilon(\mathcal Y)(A^{\mathrm{c}})=\mathcal Y(A^{\mathrm{c}}) для каждого пунктированного мотивного пространства A\in\mathcal M.
Теорема 4.1 показывает, что \Upsilon(\mathcal X(1_+,-)) переводит мотивные эквивалентности проективных кофибрантных мотивных пространств в локальные эквивалентности. Благодаря [34; следствие 56] \mathbb G-эвалюация канонического морфизма
\begin{equation*}
\Upsilon\bigl(\mathcal X(1_+,-\otimes\mathbb S)\bigr)\wedge U_+\to \Upsilon\bigl(\mathcal X(1_+,-\otimes\mathbb S\otimes U)\bigr)
\end{equation*}
\notag
есть стабильная мотивная эквивалентность между мотивными (S^1,\mathbb G)-биспектрами, если U_+ строго дуализируем в \mathbf{SH}(k). Здесь \mathcal X(1_+,-\otimes\mathbb S\otimes U) – это эвалюация на сферическом спектре \mathbb S, указанного в лемме 4.1 \Gamma-пространства. Поскольку \Upsilon(\mathcal X(1_+,V))=\mathcal X(1_+,V) для всех V\in\Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+, то же самое выполнено и для \mathbb G-эвалюации морфизма
\begin{equation*}
\mathcal X(1_+,-\otimes\mathbb S)\wedge U_+\to \mathcal X(1_+,-\otimes\mathbb S\otimes U).
\end{equation*}
\notag
Для n>0 пусть \mathcal X(S^n,-) – очень специальное оснащенное мотивное \Gamma-пространство, заданное правилом Заменив \mathcal X на \mathcal X(S^n,-), получим стабильную мотивную эквивалентность мотивных (S^1,\mathbb G)-биспектров
\begin{equation}
\mathsf{ev}_{\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(S^n,-\otimes\mathbb S)\bigr)\wedge U_+ \to \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(S^n,-\otimes\mathbb S\otimes U)\bigr).
\end{equation}
\tag{28}
Собрав вместе (28) и [3; лемма 4.1], получим стабильные мотивные эквивалентности мотивных (S^1,S^1,\mathbb G)-триспектров
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(\mathbb S,-\otimes\mathbb S)\bigr)\wedge U_+\to \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(\mathbb S,-\otimes\mathbb S\otimes U)\bigr), \\ \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(\mathbb S,-)\bigr)\wedge U_+\wedge\mathbb S\to \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(\mathbb S,-\otimes U)\bigr)\wedge\mathbb S. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Для кофибрантных замен \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}(\mathcal X(\mathbb S,-))\wedge U_+ и \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}(\mathcal X(\mathbb S,-\otimes U)) в \mathbf{Sp}_{S^1,\mathbb G}(k) мы получим стабильные мотивные эквивалентности между кофибрантными мотивными (S^1,S^1,\mathbb G)-триспектрами
\begin{equation*}
\bigl(\mathsf{ev}_{\mathbb{G}}(\mathcal X(\mathbb S,-))\wedge U_+\bigr)^{\mathrm{c}}\wedge\mathbb S \to \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(\mathbb S,-\otimes U)\bigr)^{\mathrm{c}}\wedge\mathbb S.
\end{equation*}
\notag
Поскольку -\wedge S^1 – это автоэквивалентность Квиллена на \mathbf{Sp}_{S^1,\mathbb G}(k), то морфизм
\begin{equation*}
\bigl(\mathsf{ev}_{\mathbb{G}}(\mathcal X(\mathbb S,-))\wedge U_+\bigr)^{\mathrm{c}} \to \mathsf{ev}_{\mathbb{G}}\bigl(\mathcal X(\mathbb S,-\otimes U)\bigr)^{\mathrm{c}}
\end{equation*}
\notag
есть стабильная мотивная эквивалентность между кофибрантными мотивными (S^1,\mathbb G)-биспектрами (см. [29; теорема 5.1]). Поэтому и (26) – это стабильная мотивная эквивалентность. Напомним, что U_+ строго дуализируем в \mathbf{SH}(k)[1/e] для каждого U\in\mathrm{Sm}/k (см. [36; приложение B]). Предыдущие аргументы показывают, что (26) – это e^{-1}-стабильная мотивная гомотопическая эквивалентность. Действительно, хотя в утверждении [34; следствие 56] рассматриваются только стабильные модельные структуры на мотивных функторах, оно дословно переносится и на e^{-1}-стабильные модельные структуры. Наконец, если A\in\mathcal M, то A^{\mathrm{c}} – это направленный копредел объектов из \Delta^{\mathrm{op}}\mathrm{Sm}/k_+. Поскольку функтор геометрической реализации сохраняет e^{-1}-стабильные мотивные эквивалентности, мы заключаем, что (27) – это изоморфизм в \mathbf{SH}(k)[1/e]. Теорема 4.2 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GarPanOst23}
Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|