| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Арифметика некоторых Л. В. Кузьмин Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва, Россия
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9241e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПусть $\ell$ – регулярное нечетное простое число, $k=\mathbb Q(\zeta_0)$, где $\zeta_0$ – первообразный корень степени $\ell$ из единицы, и $K=k(\sqrt[\ell]{a}\,)$, где $a$ – натуральное число вида (3.1) такое, что его простые делители $p_1$, $p_2$, $p_3$ остаются простыми в круговом $\mathbb Z_\ell$-расширении $k_\infty$ поля $k$. Арифметика поля $K$, представляющая много интересных особенностей, была предметом исследования в [1] и [2]. Так, оказалось, что $\ell$-компонента группы классов $\operatorname{Cl}(K)_\ell$ поля $K$ не равна нулю, она имеет порядок не выше $\ell^{\ell-1}$ и период $\ell$. В самом простом случае $\ell=3$ эмпирическим путем были найдены поля $K$, для которых точки, лежащие над $\ell$, порождают в группе $\operatorname{Cl}(K)_\ell$ подгруппу порядка $\ell$ – поля типа A1 по терминологии работы [2] и поля, в которых все точки, лежащие над $\ell$ являются главными дивизорами – поля типа A2. Что касается случая $\ell>3$, то про него, фактически, ничего не было известно, хотя в [1] и было доказано, что в случае, когда модуль Тэйта $T_\ell(K_\infty)$ поля $K_\infty$ бесконечен, образующая $\gamma_0$ группы $\Gamma=G(K_\infty/K)$, действующая на корни из единицы $\ell$-примарной степени по правилу $\gamma_0(\zeta_n)=\zeta_n^{\varkappa(\gamma_0)}$, где $\varkappa(\gamma_0)\in \mathbb Z_\ell$, действует на $T_\ell(K_\infty)$ как умножение на $\sqrt{\varkappa(\gamma_0)}$ [1; теорема 5.1]. В [2] было доказано, что в случае конечного модуля Тэйта $T_\ell(K_\infty)$ существует некоторая бо́льшая группа $E'(K_\infty)$, содержащая $T_\ell(K_\infty)$, на которую $\gamma_0$ также действует как умножение на $\sqrt{\varkappa(\gamma_0)}$. В настоящей работе мы используем новый метод исследования арифметики поля $K$. Именно, наряду с $K$ мы рассматриваем еще поле $L$ вида (3.2) такое, что в $L/k$ разветвлены только две точки $p_1$ и $p_2$. Поле $L$ имеет более простую арифметику, чем поле $K$. Кроме того, мы можем фиксировать поле $L$ и менять простое число $p_3$. Таким образом, мы рассматриваем семейство полей $K=K(p_3)$, что позволяет получить ряд интересных следствий. В § 3 рассматриваются группы когомологий Галуа $H^i(G(L/k),U(L))$ и $H^i(G(K/k), U(K))$. Мы выделяем в группе единиц $U(L)$ или $U(K)$ некоторую критически важную подгруппу $\overline U_2(L)$ или $\overline U_2(K)$ и доказываем, что $\overline U_2(L)$ – когомологически тривиальный модуль. Что касается поля $K$, то в настоящий момент мы не можем сказать, может ли модуль $\overline U_2(K)$ не быть когомологически тривиальным. В настоящей работе используются только результаты, относящиеся к полю $L$, но поскольку доказательства для поля $L$ и для поля $K$ совершенно одинаковы, мы приводим и те и другие доказательства, хотя результаты для поля $K$ будут использованы только в следующей нашей работе. В § 4 рассматриваются некоторые общие свойства $G$-модулей, где $G=G(K/\mathbb Q)$ или $G=\widetilde G=G(L/\mathbb Q)$, и применяются полученные результаты для характеризации модуля Галуа $\mathcal{A}(L)/\mathcal{A}(L)^\ell$ (теорема 4.1), где $\mathcal{A}(L)=\prod_{v|\ell}U^{(1)}(L_v)$ и $U^{(1)}(L_v)$ – группа главных единиц локального поля $L_v$. В § 5 мы применяем полученные результаты для описания некоторых абелевых расширений поля $L$. Именно, через $N=N(p_3)$ обозначаем максимальное абелево $\ell$-расширение поля $L$ такое, что $N\supset K$, $N/K$ не разветвлено, и группа Галуа $G(N/L)$ имеет период $\ell$. Используя полученные знания о группе $\mathcal{A}(L)/\mathcal{A}(L)^\ell$, мы можем вычислить куммерову группу расширения $N/L$, что позволяет вычислить и степень этого расширения. Оказывается, что всегда $[N:L]=\ell^r$ с четным $r$, $2\le r\le \ell-1$. Наконец, используя теорему плотности Чеботарёва, мы доказываем, что каждое из возможных значений $r$ реализуется для бесконечного множества значений $p_3$. Если $r<\ell-1$, то все точки, лежащие над $\ell$, вполне распадаются в расширении $N/L$. В случае $r=\ell-1$ с использованием теоремы Чеботарёва удается доказать, что существует бесконечно много $p_3$ с $r=\ell-1$, для которых точки, лежащие над $\ell$, вполне распадаются в $N/L$ и бесконечно много $p_3$ с $r=\ell-1$, для которых точки, лежащие над $\ell$, имеют степень инерции $\ell$ в расширении $N/L$. В § 6 применяются результаты, полученные для расширений $N/L$, к расширениям поля $K$. Мы доказываем, что для любого простого $p_3$ порядок $\ell$-группы классов поля $K=K(p_3)$ не ниже $\ell^2$ (теорема 6.1). В случае $\ell=3$ получаем, что существует бесконечно много $p_3$, для которых поле $K(p_3)$ имеет тип A1, и бесконечно много $p_3$, для которых $K(p_3)$ имеет тип A2. § 2. Обозначения и определенияМы стараемся следовать обозначениям работ [1], [2]. Для простого регулярного нечетного $\ell$ пусть $\zeta_n$ – первообразный корень из единицы степени $\ell^{n+1}$. Пусть $k=\mathbb Q(\zeta_0)$, $k_n=\mathbb Q(\zeta_n)$ и $k_\infty=\bigcup_{n=1}^\infty k_n$ – круговое $\mathbb Z_\ell$-расширение поля $k$. Простое число $p\neq\ell$ остается простым в поле $k_\infty$ тогда и только тогда, когда $p$ является первообразным корнем по модулю $\ell^2$. Множество всех таких простых $p$ обозначаем через $\mathbb P_0$. Рассматриваем два поля $K$ и $L$, определенные условиями (3.1) и (3.2). Мы полагаем $H=G(K/k)$ и $\widetilde H=G(L/k)$, где через $G(K/k)$ обозначается группа Галуа расширения $K/k$. Таким образом, $K$ и $L$ – это расширения Галуа степени $\ell(\ell-1)$ с изоморфными группами Галуа $G=G(K/\mathbb Q)$ и $\widetilde G=G(L/\mathbb Q)$. Группа Галуа $\Delta=G(k/\mathbb Q)$ действует на $H$ (или на $\widetilde H$) с помощью характера Тейхмюллера $\omega\colon\Delta\to(\mathbb Z/\ell\mathbb Z)^\times$. Везде, где не оговорено противное, под группами когомологий понимаются группы когомологий Тэйта. Через $S$ мы обозначаем множество всех простых точек рассматриваемого поля, лежащих над $\ell$. Через $\operatorname{Cl}(K)_\ell$ обозначается $\ell$-компонента группы классов поля $K$, а через $\operatorname{Cl}_S(K)_\ell$ – факторгруппа группы $\operatorname{Cl}(K)_\ell$ по подгруппе, порожденной всеми точками из $S$. Пусть $\overline{\mathbf N}$ – максимальное абелево неразветвленное $\ell$-расширение поля $K_\infty$, и $\mathbf{N}$ – максимальное подполе поля $\overline{\mathbf N}$ такое, что в расширении $\mathbf{N}/K_\infty$ вполне распадаются все точки, лежащие над $\ell$. Группы Галуа расширений $\overline{\mathbf N}/K_\infty$ и $\mathbf{N}/K_\infty$ будем обозначать через $\overline T_\ell(K_\infty)$ и $T_\ell(K_\infty)$ соответственно. Эти группы являются модулями относительно действия группы Галуа $\Gamma=G(K_\infty/K)$. Для поля $K$ или его пополнения $K_v$ через $U(K)$ и $U(K_v)$ мы обозначаем группу единиц соответствующего поля, через $\mu_\ell(K)$ обозначается группа всех $\ell$-примарных корней из единицы в поле $K$. Для локального поля $K_v$ через $U^{(1)}(K_v)$ обозначается группа главных единиц в поле $K$. Через $D(K)$ обозначается группа дивизоров поля $K$. Для абелевой группы $A$ через $A[\ell]$ обозначается про-$\ell$-пополнение группы $A$. Через $\overline U(K)$ обозначается группа $U(K)/\mu(K)$, где $\mu(K)$ – группа всех корней из единицы в поле $K$. Через $\mathcal{A}(K)$ обозначается группа $\prod_{v\in S} U^{(1)}(K_v)$, а через $\overline{\mathcal{A}}(K)$ – группа $\prod_{v\in S}\overline U^{\,(1)}(K_v)$, где $\overline U^{\,(1)}(K_v)=U^{(1)}(K_v)/\mu_\ell(K_v)$ и $\mu_\ell(K_v)$ – $\ell$-компонента группы $\mu(K_v)$. Мы часто будем, не оговаривая этого специально, использовать аддитивные обозначения для записи операции умножения, так как операция сложения нигде в работе не используется. § 3. Когомологии некоторых групп единицИтак, пусть $p_1,p_2,p_3\in \mathbb P_0$ и $K=k(\sqrt[\ell]{a}\,)$, где
$$
\begin{equation}
a=p_1^{r_1}p_2^{r_2}p_3^{r_3},\qquad r_1r_2r_3\not\equiv 0\pmod \ell,\qquad a^{\ell-1}\equiv 1\pmod{\ell^2}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Тогда $K/k$ – это расширение, описанное в [1; предложение 2.1]. Это расширение разветвлено в точках $\mathfrak {p}_1$, $\mathfrak {p}_2$ и $\mathfrak {p}_3$, где $\mathfrak{p}_i=(p_i)$ для $i=1,2,3$, и в нем вполне распадается точка $v$ поля $k$, лежащая над $\ell$. Аналогичный результат справедлив при любом $n$ и для расширения $K_n/k_n$, где $K_n=K\cdot k_n$. Точки $\mathfrak p_i$ остаются простыми в поле $k_n$ и ветвятся в расширении $K_n/k_n$. В поле $k_n$ имеется единственная точка $v_n$, лежащая над $\ell$, и точка $v_n$ вполне распадается в расширении $K_n/k_n$. Наряду с полем $K$ мы будем рассматривать поле $L\colon =k(\sqrt[\ell]{b}\,)$, где
$$
\begin{equation}
b=p_1^{s_1}p_2^{s_2},\qquad s_1s_2\not\equiv 0\pmod{\ell}, \qquad b^{\ell-1}\equiv 1\pmod{\ell^2}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Расширение $L/k$ разветвлено в точках $\mathfrak p_1$, $\mathfrak p_2$, и в нем вполне распадается точка $v$. Как было показано в [1; предложение 2.1], для заданной тройки простых чисел $p_1,p_2,p_3\in \mathbb P_0$ существуют $\ell-2$ различных поля $K$, соответствующих различному выбору чисел $r_1$, $r_2$, $r_3$. В отличие от этого, числа $p_1$, $p_2$ определяют поле $L$ однозначно. Следующее утверждение аналогично теореме 4.1 из [1]. Предложение 3.1. Справедливы равенства $\overline T_\ell(L_\infty)=T_\ell(L_\infty)=0$ и $\operatorname{Cl}(L)_\ell=\operatorname{Cl}_S(L)_\ell=0$. Доказательство. Рассмотрим $\widetilde H$-модуль $\overline T_\ell (L_\infty)$. Пусть $f$ – минимальное число его образующих как $\widetilde H$-модуля. Тогда $f$ равно минимальному числу образующих абелевой группы $C:=\overline T_\ell(L_\infty)/(\widetilde\sigma-1)\overline T_\ell(L_\infty)$. Как и в [1], отсюда следует, что $C$ изоморфна $\mathbb F^f_\ell$ как абелева группа.
Пусть $\overline N$ – расширение поля $L_\infty$, группа Галуа которого естественно изоморфна группе $\overline T_\ell(L_\infty)$, и $\overline N_0$ – подполе поля $\overline N$, неподвижное относительно действия группы Галуа $(\widetilde\sigma-1)\overline T_\ell(L_\infty)$, где $\widetilde \sigma$ – некоторая образующая группы $\widetilde H$. Тогда, как и в [1], мы получаем, что $G(\overline N_0/k_\infty)$ – абелева группа периода $\ell$ и порядка $\ell^{f+1}$. Чтобы вычислить $f$, мы воспользуемся теорией Куммера. Пусть $M$ – некоторое подполе поля $\overline N_0$ степени $\ell$ над $L_\infty$. Тогда $M=k_\infty(\sqrt[\ell]{\alpha}\,)$. Применяя к полю $M$ те же аргументы, которые использовались при доказательстве теоремы 4.1 из [1], мы получаем, что элемент $\alpha$ определен однозначно с точностью до возведения в степень, взаимно простую с $\ell$, и умножения на некоторую $\ell$-ю степень. Это означает, что $M=\overline N_0$, но тогда $\overline N_0=L_\infty$ и $f=0$. Следовательно, $\overline T_\ell(L_\infty)=0$. Поскольку имеются эпиморфизмы $\overline T_\ell(L_\infty)\to T_\ell(L_\infty)$, $\overline T_\ell(L_\infty)\to\operatorname{Cl}(L)_\ell$ и $\overline T_\ell(L_\infty)\to\operatorname{Cl}_S(L)_\ell$, мы получаем, что $T_\ell(L_\infty)=0$ и $\operatorname{Cl}(L)_\ell=\operatorname{Cl}_S(L)_\ell=0$. Предложение 3.1 доказано. Замечание. Можно дать более короткое, но менее прямое доказательство предложения 3.1. А именно, покажем, что $\overline T_\ell(L_\infty)=0$. Применяя к расширению $L_\infty/k_\infty$ формулу Римана–Гурвица (см., например, [1; теорема 1.1]), мы получаем, что $d(L_\infty)=\lambda'(L_\infty)=\lambda''(L_\infty)=r''(L_\infty)=0$. Следовательно, модуль $\overline T_\ell(L_\infty)$ не более чем конечен, и $D(L_\infty)=0$ (определение модуля $D(L_\infty)$ можно найти в [1; § 6]). Тогда и модуль $E'(L_\infty)$, определенный в [1; предложение 6.3] равен нулю. Согласно [2; теорема 3.1] модуль $E'(L_\infty)$ содержит подмодуль $E'_2(L_\infty)$, который изоморфен $\overline T_\ell(L_\infty)$. Следовательно, $\overline T_\ell(L_\infty)=0$. Наша ближайшая цель – изучить группы когомологий $H^i(H,U(K))$ и $H^i(\widetilde H,U(L))$, а также группы когомологий некоторых подгрупп и факторгрупп этих групп единиц. Точная последовательность $H$-модулей где $D_K^0$ – группа главных дивизоров поля $K$, индуцирует точную последовательность групп когомологий
$$
\begin{equation}
1\to U(k)\to k^\times\to (D_K^0)^H\xrightarrow{\eta} H^1(H,U(K))\to 1.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
В силу теоремы Гильберта 90 любой элемент группы $H^1(H,U(K))$ представим коциклом $f\colon H\to U(K)$ вида $f=f_c$, где $f_c(h)=h(c)/c$, $c\in K^\times$, и главный дивизор $(c)$ неподвижен относительно действия $H$. Любой такой дивизор $(c)$ имеет вид $(c)=a_1a_2$, где $a_1\in D(k)$ и $a_2$ – произведение некоторых простых дивизоров поля $K$, разветвленных в расширении $K/k$. В частности, в группе $H^1(H,U(K))$ содержится элемент, представленный коциклом $f_{\overline a\,}(h)$, где $\overline a=\sqrt[\ell]{a}$ и $a$ – элемент из (3.1). Аналогично, группа $H^1(\widetilde H, U(L))$ содержит элемент, представленный коциклом $f_{\overline b\,}(h)$, где $\overline b=\sqrt[\ell]{b}$ и $b$ – элемент из (3.2). Эти коциклы принимают значения в группах $\mu_\ell(K)$ и $\mu_\ell(L)$ соответственно. Предложение 3.2. Вложение $\mu_\ell(K)\hookrightarrow U(K)$ индуцирует вложения Аналогично, вложение $\mu_\ell(L)\hookrightarrow U(L)$ индуцирует вложения Доказательство. Класс $\operatorname{cls}(f_{\overline a\,}(h))$ коцикла $f_{\overline a\,}(h)$ порождает группу $H^1(H,\mu_\ell(K))$. Предположим, что $i_1(\operatorname{cls}(f_{\overline a\,}(h)))=0$. Это означает, что существует единица $u\in U(K)$ такая, что $h(u)/u=h(\overline a)/\overline a$ для любого $h\in H$. Тогда $u/\overline a\in k^\times$, $u_1:=u^\ell\in k$ и $K=k(\sqrt[\ell]{u}\,)$, но это невозможно. Действительно, в расширении $K/k$ вполне распадается точка $v$ поля $k$, лежащая над $\ell$, но любая единица $u_1$ поля $k$, которая является $\ell$-й степенью в локальном поле $k_v$, является также $\ell$-й степенью в поле $k$ (иначе $k(\sqrt[\ell]{u_1}\,)/k$ было бы неразветвленным расширением степени $\ell$). Этим доказано, что отображение $i_1$ в (3.4) является вложением. Мономорфность отображения $j_1$ в (3.5) доказывается совершенно аналогично.
Чтобы доказать мономорфность отображения $i_2$ в (3.4), достаточно проверить, что $\zeta_0$ не является нормой в расширении $K/k$. Для этого заметим, что дивизор $\mathfrak p_1=(p_1)$ разветвлен в расширении $K/k$ и в расширении локальных полей $K_{\mathfrak P_1}/k_{\mathfrak p_1}$, где $\mathfrak P_1$ – простой делитель $\mathfrak p_1$ в поле $K$. Согласно локальной теории полей классов это означает, что
$$
\begin{equation}
\bigl(U(k_{\mathfrak p_1}):N(U(K_{\mathfrak P_1}))\bigr)=\ell,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где $N$ обозначает норму из $K_{\mathfrak P_1}$ в $k_{\mathfrak p_1}$. Поскольку $\mathfrak p_1$ остается простым в поле $k_\infty$, поле $k_{\mathfrak p_1}$ не содержит первообразный корень из единицы $\zeta_1$ степени $\ell^2$, т. е. $\ell$-компонента группы $U(k_{\mathfrak p_1})$ порождается элементом $\zeta_0$. Тогда (3.6) означает, что $\zeta_0$ не является нормой в расширении $K_{\mathfrak P_1}/k_{\mathfrak p_1}$ и, тем более, в расширении $K/k$. Это доказывает мономорфность $j_1$ в (3.5). Мономорфность $j_2$ проверяется совершенно аналогично. Предложение 3.2 доказано. Для локального или глобального поля алгебраических чисел $F$ через $\overline U(F)$ мы будем обозначать факторгруппу $U(F)/\mu(F)$. Доказательство. Точная последовательность $H$-модулей индуцирует точную последовательность когомологий
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\cdots\to H^0(H,\mu(K))\xrightarrow{\alpha}H^0(H,U(K))\to H^0(H,\overline U(K))\to H^1(H,\mu(K)) \nonumber \\ &\qquad\xrightarrow{\beta}H^1(H,U(K))\to H^1(H,\overline U(K))\xrightarrow{\gamma} H^2(H,\mu(K))\to\cdots\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Поскольку $H^i(H,\mu(K))=H^i(H,\mu_\ell(K))$ для любого $i$, из предложения 3.2 следует, что $\alpha$ и $\beta$ являются вложениями. Далее, для любого $i$ и любого $H$-модуля $A$ существует естественный изоморфизм $H^i(H,A)\cong H^{i+2}(H,A)$, поэтому последовательность (3.9) периодична с периодом $2$, и из мономорфности отображения $\alpha$ следует, что $\gamma=0$. Таким образом, (3.9) индуцирует короткие точные последовательности
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 0\to H^0(H,\mu(K))\xrightarrow{\alpha}H^0(H,U(K))\to H^0(H,\overline U(K))\to 0, \\ 0\to H^1(H,\mu(K))\xrightarrow{\beta} H^1(H,U(K))\to H^1(H,\overline U(K))\to 0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует утверждение предложения для поля $K$. Доказательство для поля $L$ совершенно аналогично. Предложение 3.3 доказано. Пусть $F$ – произвольное поле алгебраических чисел, $F_v$ – пополнение поля $F$ относительно некоторой точки $v$, лежащей над $\ell$, и $F_{v,\infty}$ – круговое $\mathbb Z_\ell$-расширение поля $F_v$. Положим $\Gamma_v=G(F_{v,\infty}/F_v)$. Если расширение $F_{v,\infty}/F_v$ чисто разветвлено, то согласно локальной теории полей классов определен канонический эпиморфизм $U^{(1)}(F_v)\to \Gamma_v$, ядро которого совпадает с группой $\mathcal{U}(F_v)$ универсальных норм из всех групп $U^{(1)}(F_{v,n})$ в расширении $F_{v,\infty}/F_v$, т. е. $\mathcal{U}(F_v)=\cap_n N_n(U^{(1)}(F_{v,n}))$, где $N_n$ – норма из $F_{v,n}$ в $F_v$. Как и в [2; § 3], через $P(F)$ мы обозначим ядро естественного отображения $\chi_F\colon \prod_{v\in S}\Gamma_v\to \Gamma$, где $\Gamma=G(F_\infty/F)$, и $\Gamma_v$ вкладывается в $\Gamma$ как подгруппа разложения точки $v$. Таким образом, если все точки над $\ell$ чисто разветвлены в расширении $F_\infty/F$, то существуют точные последовательности
$$
\begin{equation}
1\to P(F)\to \prod_{v\in S}\Gamma_v\xrightarrow{\chi_F}\Gamma\to 1,
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
$$
\begin{equation}
1\to \prod_{v\in S}\mathcal{U}(F_v)\to \prod_{v\in S}U^{(1)}(F_v)\xrightarrow{\pi_F}\prod_{v\in S}\Gamma_v\to 1.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Если $F$ нормально над $\mathbb Q$, то все группы, входящие в (3.10) и (3.11), являются $G(F/\mathbb Q)$-модулями. Диагональное вложение $U(F)[\ell]\hookrightarrow P(F)$ вместе с (3.11) индуцирует отображение $\varphi_F\colon U(F)[\ell]\to P(F)$, ядро которого, обозначаемое через $U_2(F)$, – это подгруппа всех локальных универсальных норм из $F_\infty$ в группе $U(F)[\ell]$. В частности, в случаях $F=K$ или $F=L$ определены отображения $\varphi_K$, $\varphi_L$ и группы $U_2(K)$ и $U_2(L)$. Предложение 3.4. Отображения $\varphi_K$ и $\varphi_L$ являются эпиморфизмами. Другими словами, точны последовательности Доказательство. Для поля $K$ утверждение предложения было уже доказано в [2; предложение 4.2]. Для поля $L$ доказательство еще проще. Пусть $M$ – максимальное абелево $\ell$-расширение поля $L$, которое неразветвлено вне $\ell$, а для любой точки $v\in S$ поле $M_v$ содержится в круговом $\mathbb Z_\ell$-расширении поля $L_w$, где $w$ – точка поля $L$, лежащая под $v$. Тогда, учитывая, что $\operatorname{Cl}(L)_\ell=0$ в силу предложения 3.1, и применяя теорию полей классов, мы получаем, что $G(M/L_\infty)\cong P(L)/\operatorname{Im}\varphi_L$, но согласно предложению 3.1 $\overline T_\ell(L_\infty)=0$, откуда следует, что $M=L_\infty$. Предложение 3.4 доказано. В каждом из расширений $K/k$ и $L/k$ точка $v\in S$ поля $k$ вполне распадается, поэтому из (3.10) следует, что где $I_H$ и $I_{\widetilde H}$ – идеалы аугментации в групповых кольцах $\mathbb Z_\ell[H]$ и $\mathbb Z_\ell[\widetilde H]$ соответственно. В частности, $H^0(H,P(K))=0$ и $H^{-1}(H,P(K))\cong \mathbb Z_\ell/\ell \mathbb Z_\ell$. Аналогичный результат верен и для $P(L)$.Мы положим $\overline U_2(K)=U_2(K)/\mu_\ell(K)$ и $\overline U_2(L)=U_2(L)/\mu_\ell(L)$. Предложение 3.5. Пусть $\mathfrak P_1$ – простой делитель в поле $K$ (или поле $L$) дивизора $\mathfrak p_1=(p_1)$, где $p_1$ – простое число, входящее в число $a$ в (3.1) (или в число $b$ в (3.2)). Пусть порядок дивизора $\mathfrak P_1$ в группе $\operatorname{Cl}(K)$ (соответственно в группе $\operatorname{Cl}(L))$ взаимно прост с $\ell$. (Заметим, что для поля $L$ последнее условие всегда выполняется в силу предложения 3.1.) Тогда справедливы равенства Доказательство. Пусть $x\in K^\times$ – такой элемент, что $(x)=\mathfrak P_1^h$ для некоторого $h$, взаимно простого с $\ell$. Элемент $x$ определен с точностью до умножения на произвольную единицу из $U(K)$. Тогда элемент $x$ так же, как и $p_1$, является единицей в локальном поле $K_v$ для любой точки $v$, лежащей над $\ell$. Таким образом, при диагональном вложении $K^\times\hookrightarrow \prod_{v\in S}K_v^\times$ элементы $x$ и $p_1$ попадают в группу $\prod_{v\in S} U(K_v)$, поэтому мы можем рассматривать их также как элементы группы $\prod_{v\in S}U(K_v)[\ell]=\prod_{v\in S}U^{(1)}(K_v)$. Очевидно, что $N_{K/k}(x)=p_1^hu$, где $u$ – некоторая единица из $U(K)$. Пусть $x_1=\pi_k(x)$, где $\pi_k$ – отображение из (3.11) для поля $K$.
Поскольку $\mathfrak P_1^\ell=\mathfrak p_1=(p_1)$, мы получаем, что в группе $\Gamma$ в (3.10) выполняется соотношение $\chi_K(\pi_K(x)^\ell))=\chi_K(\pi_K(p_1^h))$, но $\chi_K(\pi_K(p_1^h))$ порождает группу $\Gamma^\ell$. Следовательно, элемент $y=\chi_K(\pi_K(x))$ порождает группу $\Gamma$. Если $y'$ – некоторый подъем элемента $y$ в группе $\prod_{v\in S}\Gamma_v$, то $y'$ порождает эту группу как $H$-модуль. Пусть $z$ – образ элемента $(\sigma-1)(x)$ в группе $\overline U(K)$. Тогда $z$ определяет некоторый элемент группы $H^{-1}(H,\overline U(K))$, причем $\pi_K(z)$ порождает группу $H^{-1}(H,P(K))\cong H^1(H,P(K))$. Следовательно, естественное отображение $H^{-1}(H,\overline U(K)[\ell])\to H^{-1}(H,P(K))$, индуцированное отображением $\varphi_K$ из (3.11), является эпиморфизмом. Тогда точная последовательность когомологий для (3.12) дает точные последовательности
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 0=H^{-2}(H,P(K))\to H^{-1}(H,\overline U_2(K))\to H^{-1}(H,\overline U(K)[\ell]\to H^{-1}(H,P(K))\to 0, \\ 0\to H^0(H,\overline U_2(K))\to H^0(H,\overline U(K)[\ell])\to H^0(H,P(K))=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Это доказывает утверждение предложения для поля $K$. Доказательство для поля $L$ совершенно аналогично (с использованием точной последовательности (3.13)). Предложение 3.5 доказано. Теорема 3.1. Для поля $K$ имеются две возможности. (A) Все три дивизора $\mathfrak{P}_1$, $\mathfrak{P}_2$, $\mathfrak{P}_3$ имеют порядок, взаимно простой с $\ell$ в группе $\operatorname{Cl}(K)$. В этом случае
$$
\begin{equation*}
|H^0(H,\overline U_2(K))|=|H^1(H,\overline U_2(K))|=\ell.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот случай всегда имеет место, если $|{\operatorname{Cl}_\ell(K)}|<\ell^{\ell-1}$. (B) Хотя бы один из дивизоров $\mathfrak{P}_1$, $\mathfrak{P}_2$, $\mathfrak{P}_3$ представляет ненулевой элемент в группе $\operatorname{Cl}(K)_\ell$. Тогда Для поля $L$ всегда Доказательство. Пусть $\mathfrak A=\mathfrak P_1^{m_1}\mathfrak P_2^{m_2}\mathfrak P_3^{m_3}$ – некоторое произведение простых дивизоров, разветвленных в расширении $K/k$. Если $\mathfrak A$ – главный дивизор, то согласно (3.3) элемент $\mathfrak A\in (D_K^0)^H$ определяет некоторый элемент $\eta(\mathfrak A)$ в группе $H^1(H,U(K))$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A} = (\mathbb Z\mathfrak P_1\oplus \mathbb Z\mathfrak P_2\oplus\mathbb Z\mathfrak P_3)/(\mathbb Z\mathfrak p_1\oplus\mathbb Z\mathfrak p_2\oplus\mathbb Z\mathfrak p_3)\cong (\mathbb Z/\ell\mathbb Z)^3.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда имеет место точная последовательность
$$
\begin{equation}
0\to (D_K^0)^H/D_k\to \mathcal{A}\xrightarrow{\psi}\operatorname{Cl}(K)_\ell^H.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Из [1; теорема 4.1] следует, что $\operatorname{Cl}(K)_\ell$ является циклическим $H$-модулем, который аннулируется норменным отображением $N_H$, поэтому в силу [1; лемма 3.1] группа $\operatorname{Cl}(K)_\ell^H$ имеет порядок $\ell$.
Таким образом, из (3.15) следует, что группа $H^1(H,U(K))=(D_K^0)^H/D_k$ имеет порядок $\ell^2$, если $\psi\neq 0$, или имеет порядок $\ell^3$, если $\psi=0$. В случае (A) $\psi=0$, т. е. $|H^1(H,U(K))|=\ell^3$. Вычисляя индекс Эрбрана $h(U(K))$ с помощью теоремы Дирихле, мы получаем
$$
\begin{equation*}
h(U(K))=|H^0(H,U(K))|/|H^1(H,U(K))|=\ell^{-1}, \quad \text{ т. е. } |H^0(H,U(K))|=\ell^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда согласно предложению 3.2 мы получаем, что $|H^1(H,\overline U(K))|=\ell^2$ и $|H^0(H,\overline U(K))|=\ell$. Условие $\psi=0$ означает, что выполнены предпосылки предложения 3.5, т. е.
$$
\begin{equation*}
|H^1(H,U_2(K))|=\ell \quad\text{и}\quad |H^0(H,U_2(K))|=\ell.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим нижний центральный ряд для $H$-модуля $\operatorname{Cl}(K)_\ell$. Первый фактор этого ряда изоморфен $\mathbb F_\ell(1)$ как $\Delta$-модуль. Тогда из [1; лемма 3.2] следует, что в случае, когда $|{\operatorname{Cl}(K)_\ell}|<\ell^{\ell-1}$, этот центральный ряд не содержит факторов, которые изоморфны $\mathbb F_\ell(0)$ как $\Delta$-модули, что возможно только в случае (A).
Рассмотрим теперь случай (B). Если один из дивизоров $\mathfrak P_i$, например $\mathfrak P_1$, представляет ненулевой элемент группы $\operatorname{Cl}(K)$, то этот элемент неподвижен относительно действия $G$. Тогда, применяя опять лемму 3.2 из [1] и учитывая, что $\operatorname{Cl}(K)_\ell/(\sigma-1)\operatorname{Cl}(K)_\ell\cong \mathbb F_\ell(1)$ как $\Delta$-модуль, мы получаем, что нижний центральный ряд $H$-модуля $\operatorname{Cl}(K)_\ell$ имеет длину не менее $\ell-1$, но его длина не может быть и больше, так как группа $\operatorname{Cl}(K)_\ell$ имеет период $\ell$ согласно следствию 3.1 из [2]. Следовательно, в этом случае $|{\operatorname{Cl}(K)_\ell}|=\ell^{\ell-1}$. Так как $\psi\neq 0$ в (3.15), мы получаем, что
$$
\begin{equation*}
|H^1(H,U(K))|=\ell^2\quad\text{и}\quad |H^0(H,U(K))|=\ell.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, из предложения 3.2 следует, что $|H^1(H, \overline U(K))|=\ell$ и $|H^0(H,\overline U(K))|=1$. Это завершает доказательство теоремы для поля $K$.
Для поля $L$ доказательство аналогично. Мы можем снова написать аналог формулы (3.15) для поля $L$, но в этом случае $\operatorname{Cl}(L)_\ell^H=0$ в силу предложения 3.1, и $\mathcal{A}\cong (\mathbb Z/\ell\mathbb Z)^2$, поэтому $|H^1(\widetilde H,U(L))|=\ell^2$ и $|H^0(\widetilde H,U(L))|=\ell$. В силу предложения 3.2 мы имеем $|H^1(\widetilde H,\overline U(L))|=\ell$ и $|H^0(\widetilde H,\overline U(L))|=1$. Тогда из предложения 3.5 следует, что $H^1(\widetilde H, U_2(L))=H^0(\widetilde H, U_2(L))=0$. Теорема 3.1 доказана. § 4. Строение некоторых групп единиц для поля $L$Пусть $\mathcal{A}(L)=\prod_{v\in S}U^{(1)}(L_v)$ и $\overline{\mathcal{A}}(L)=\prod_{v\in S}\overline U^{\,(1)}(L_v)$ – максимальный $\mathbb Z_\ell$-свободный фактормодуль модуля $\mathcal{A}(L)$. Наша ближайшая цель – охарактеризовать $\mathcal{A}(L)$ как $\mathbb Z_\ell[\widetilde G]$-модуль, для чего нам будут нужны некоторые общие результаты о $\mathbb Z_\ell[\widetilde G]$-модулях, которые аналогичны результатам из [1; § 3]. Поскольку группы $G=G(K/\mathbb Q)$ и $\widetilde G=G(L/\mathbb Q)$ изоморфны, наши общие результаты будут сформулированы для случая $G$-модулей. Будем рассматривать нётеров $G$-модуль $A$, который свободен как $\mathbb Z_\ell[H]$-модуль. Эти условия на $A$ эквивалентны одновременному выполнению следующих двух условий: (i) $A$ нётеров и не имеет кручения над $\mathbb Z_\ell$; (ii) $A$ – когомологически тривиальный $\mathbb Z_\ell[H]$-модуль. Как и в [1], мы предполагаем, что фиксировано некоторое сечение $f\colon \Delta \to G$, $\delta'=f(\delta)$ – фиксированная образующая группы $f(\Delta)$ и $e_i$ – идемпотент кольца $\mathbb Z_\ell[f(\Delta)]$, соответствующий характеру $\omega^i$, где $\omega$ – характер Тейхмюллера. Для $a\in A$ через $a[i]$ будем обозначать $e_ia$. Пусть $\sigma$ – некоторая фиксированная образующая группы $H$. Пусть, как и в [1], $F_1=\mathbb Z_\ell[G]$ – свободный $G$-модуль ранга $1$. Тогда $F_1/(\ell,(\sigma- 1))F_1\cong\bigoplus_{i=0}^{\ell-2}\mathbb F_\ell(i)$. Если $a\in F_1$ – некоторая образующая $G$-модуля $F_1$, то $a=\sum_{i-0}^{\ell-2}a[i]$ и соответственно
$$
\begin{equation}
F_1=Q(0)+Q(1)+\dots +Q(\ell-2), \text{ где } Q(i)=\mathbb Z_\ell[H]a[i].
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Любой из модулей $Q(i)$ является $G$-модулем и имеет ранг не выше $\ell$ как $\mathbb Z_\ell$-модуль. Тогда из (4.1) следует, что этот ранг в точности равен $\ell$, и (4.1) определяет разложение модуля $F_1$ в прямую сумму $G$-модулей $Q(i)$ для $i=0,1,\dots,\ell-2$. Следовательно, каждый из модулей $Q(i)$ проективен как $G$-модуль. Предложение 4.1. Пусть $A$ – нётеров $G$-модуль, который свободен как $\mathbb Z_\ell[H]$-модуль. Тогда существует изоморфизм $G$-модулей (не канонический) где показатели $r_i$ однозначно определены модулем $A$. В частности, если $A$ – циклический $H$-модуль, то $A\cong Q(i)$ для некоторого $i$. Следствие 4.1. Пусть дана точная последовательность нётеровых $\mathbb Z_\ell[G]$-модулей в которой $A,B,C$ свободны как $\mathbb Z_\ell$-модули. Если какие-то два модуля этой последовательности проективны, то проективен и третий модуль. Итак, если $A$ – свободный $\mathbb Z_\ell[H]$-модуль ранга $1$, то согласно предложению 4.1 $A\cong Q(i)$ для некоторого $i$. В этом случае $A/(\ell,(\sigma -1))A\cong \mathbb F_\ell(i)$. Вообще, если $A/(\ell,(\sigma-1))A\cong \mathbb F_\ell(i)$, то мы говорим, что $A$ начинается с $\mathbb F_\ell(i)$. Если при тех же предположениях $A$ конечен и $A^H\cong \mathbb F_\ell(k)$, то мы говорим, что $A$ кончается на $\mathbb F_\ell(k)$. Пусть $A\cong Q(i)$ и $B=A/\ell A$. Тогда $B$ – когомологически тривиальный $\mathbb F_\ell[H]$-модуль, и определен нижний центральный ряд
$$
\begin{equation*}
B=B_0\supset B_1\dots \supset B_\ell=0, \quad \text{где}\quad B_j/B_{j+1}\cong \mathbb F_\ell(i+j)
\end{equation*}
\notag
$$
для $j=0,1,\dots,\ell-1$, что легко следует из леммы 3.2 работы [1]. Следующее предложение является аналогом предложения 4.1 для случая $\mathbb F_\ell[G]$-модулей и может быть доказано теми же рассуждениями. Предложение 4.2. Пусть $\mathscr A$ – нётеров $G$-модуль, который свободен как $\mathbb F_\ell[H]$-модуль. Тогда существует изоморфизм $G$-модулей (не канонический) где $\mathscr Q(i)=Q(i)/\ell Q(i)$, и показатели $r_i$ однозначно определены модулем $\mathscr A$. В частности, если $\mathscr A$ – циклический $H$-модуль, то $\mathscr A\cong \mathscr Q(i)$ для некоторого $i$. Следствие 4.2. Пусть дана точная последовательность $\mathbb F_\ell[G]$-модулей Если какие-то два модуля этой последовательности проективны в категории нётеровых $\mathbb F_\ell[G]$-модулей, то проективен и третий модуль. Предложение 4.3. Пусть дана точная последовательность нётеровых $\mathbb Z_\ell[G]$-модулей которые свободны как $\mathbb Z_\ell$-модули. Если $G$-модуль $A$ проективен, то существует разложение в прямую сумму $B\cong A'\oplus C'$, где $A\cong A'$ и $C\cong C'$. Доказательство. Пусть $A^0=\operatorname{Hom}_{\mathbb Z_\ell}(A,\mathbb Z_\ell)$ и аналогичный смысл имеют $B^0$ и $C^0$. Пусть $A^0$, $B^0$ и $C^0$ снабжены стандартной структурой левых $G$-модулей, как это объясняется в [3]. Тогда точна последовательность $G$-модулей с проективным модулем $A^0$. Следовательно, она расщепляется, т. е. $B^0\cong C^0\oplus \widetilde A^0$, где $\widetilde A^0\cong A^0$. Таким образом, $B\cong (B^0)^0 \cong(C^0\oplus \widetilde A^0)^0\cong C^{00}\oplus \widetilde A^{00}\cong C\oplus \widetilde A\cong A\oplus C$. Предложение 4.3 доказано. Пусть $M(L)$ – ядро естественного отображения $\mathcal{A}(L)\to\overline{\mathcal{A}}(L)$. Таким образом, $M(L)=\prod_{v\in S}\mu_\ell(L_v)$. Предложение 4.4. Модуль $M(L)$ изоморфен $(\mathbb Z/\ell\mathbb Z)^\ell$ как абелева группа. Он цикличен и когомологически тривиален как $\widetilde H$-модуль, где $\widetilde H=G(L/k)$. Модуль $M(L)$ начинается с $\mathbb F_\ell(1)$ и кончается на $\mathbb F_\ell(1)$. Таким образом, с учетом введенных выше обозначений, имеется изоморфизм $\widetilde G$-модулей $M(L)\cong \mathscr Q(1)$. Доказательство. Первое утверждение очевидно. Группа $\widetilde H$ переставляет множители $\mu_\ell(L_v)$, поэтому $M(L)$ – индуцированный $\widetilde H$-модуль. Следовательно, он когомологически тривиален. Норма $N_{L/k}$ является $\Delta$-гомоморфизмом, который отображает $M(L)$ на $M(k)=\mu_\ell(k)\cong \mathbb F_\ell(1)$. Следовательно, $M(L)$ начинается с $\mathbb F_\ell(1)$. Предложение 4.4 доказано. Мы видим, что $\widetilde G$-модуль $\overline{\mathcal{A}}(L)$ индуцирован как $\widetilde H$-модуль и, следовательно, когомологически тривиален как $\widetilde H$-модуль, поэтому в силу предложения 4.1 для него имеется разложение вида (4.2), причем каждое прямое слагаемое $Q(i)$ входит в это разложение с кратностью $1$, так как $N_{L/k}$ индуцирует изоморфизм
$$
\begin{equation}
\overline{\mathcal{A}}(L)/(\widetilde\sigma-1)\overline{\mathcal{A}}(L)\cong \overline{\mathcal{A}}(k)\cong \bigoplus_{i=0}^{\ell-2}\mathbb Z_\ell(i),
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где $\widetilde\sigma$ – некоторая образующая группы $\widetilde H$ и $\mathbb Z_\ell(i)$ обозначает $\widetilde G$-модуль, который изоморфен $\mathbb Z_\ell$ как абелева группа, на которую $\widetilde H$ действует тождественно, а $\Delta$ действует умножением на $\omega^i$. Для дальнейшего нам потребуется разложение модуля $\mathcal{A}(L)$, обладающее некоторыми дополнительными свойствами. Предложение 4.5. Для $\widetilde G$-модуля $\mathcal{A}(L)$ существует разложение в прямую сумму $\widetilde G$-модулей $\mathcal{A}(L)=\bigoplus_{i=0}^{\ell-2}\mathcal{A}[i]$, где $\mathcal{A}[i]\cong Q(i)$ как $\widetilde G$-модуль, причем выполняются следующие условия: 1) $\mathcal{A}[2i]\subset U_2(L)$ для $i=1,\dots,(\ell-3)/2$; 2) прямое слагаемое $\mathcal{A}[0]$ обладает образующей $\mathbf{a}_0$ такой, что группа $\Delta$ действует на $\mathbf{a}_0$ тривиально и $(\widetilde\sigma-1)\mathbf{a}_0\in \overline U(L)$. Доказательство. Из когомологической тривиальности модуля $\overline U_2(L)$ (см. теорему 3.1) следует, что $(\widetilde\sigma-1)\overline U_2(L)\cong \overline U(k)$ и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\overline U_2(L)\cong \bigoplus_{i=1}^{(\ell-3)/2} Q(2i).
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Тогда $\widetilde G$-модуль $\overline{\mathcal{A}}(L)/\overline U_2(L)$ проективен в силу следствия 4.1, поэтому имеется разложение в прямую сумму $\overline{\mathcal{A}}(L)\cong (\overline{\mathcal{A}}(L)/\overline U_2(L))\oplus\overline U_2(L)$. Тогда мы положим $\overline{\mathcal{A}}[2i]=Q(2i)$, где $Q(2i)$ – это компоненты модуля $\overline U_2(L)$ из разложения (4.5).
Пусть $\overline{\mathcal{A}}_2(L)$ – подгруппа локальных универсальных норм (из поля $L_\infty$) в группе $\overline{\mathcal{A}}(L)$, так что имеется естественный изоморфизм
$$
\begin{equation}
\overline{\mathcal{A}}(L)/\overline{\mathcal{A}}_2(L)\cong\prod_{v\in S}\Gamma_v,
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где группа $\prod_{v\in S}\Gamma_v$ имеет тот же смысл, что и в (3.9) и (3.10). Таким образом, $\overline{\mathcal{A}}(L)/\overline{\mathcal{A}}_2(L)$ – когомологически тривиальный $\widetilde H$-модуль, имеющий $\mathbb Z_\ell$ ранг $\ell$ и допускающий естественный $\widetilde G$-эпиморфизм $\varphi\colon\overline{\mathcal{A}}(L)/\overline{\mathcal{A}}_2(L)\to \Gamma=G(L_\infty/L)$. Следовательно, в силу предложения 4.2 $\overline{\mathcal{A}}(L)/\overline{\mathcal{A}}_2(L)\cong Q(0)$.
Рассмотрим теперь $\widetilde G$-модуль $\overline{\mathcal{A}}(L)/\overline U_2(L)$. В силу предложения 4.2 и формул (4.3), (4.5) имеем изоморфизм $B:=\mathcal{A}(L)/\overline U_2(L)\cong\bigoplus_{i=0}^{(\ell-3)/2} Q(2i+1)\oplus Q(0)$. Пусть $C=\mathcal{A}_2(L)/U_2(L)$, и $P(L)$ имеет тот же смысл, что и в (3.12). Тогда мы можем рассматривать $C$ и $P(L)$ как подмодули модуля $B$, причем $C\cong \bigoplus_{i=0}^{(\ell-3)}Q(2i+1)$ и, учитывая, что $C$ и $P(L)$ не пересекаются в $B$, мы получаем точную последовательность с проективным $\widetilde G$-модулем $C$, откуда, факторизуя по $P(L)$, получаем точную последовательность с проективным модулем $C$. Применяя к этой последовательности предложение 4.3, мы получаем, что в модуле $B/P(L)$ содержится подмодуль $\Gamma'$, который изоморфен $\Gamma$ как $\widetilde G$-модуль, т. е. $\Gamma'$ изоморфен $\mathbb Z_\ell$ как абелева группа, и $\widetilde G$ действует тривиально на $\Gamma'$. Таким образом, точна последовательность где $C'\cong C$. Пусть $a'$ – некоторая образующая группы $\Gamma'$. Тогда, поднимая $a'$ до некоторого элемента $a''\in B$, мы получаем в $B$ такой элемент $a''$, что $b:=(\widetilde \sigma-1)a''\in P(L)$. Если бы $\widetilde H$-подмодуль, порожденный элементом $b$, был бы собственным подмодулем в $P(L)$, то, заменив $b$ на элемент $b'=b+x$ для подходящего $x\in P(L)$, мы получили бы, что $\widetilde\sigma (b')=b'$. Это означало бы, что $B\cong C\oplus P(L)\oplus \mathbb Z_\ell b'$ как $\widetilde H$-модуль, что противоречит проективности $B$.Наконец, мы полагаем $\mathbf{a}_0=a''[0]$. Очевидно, что $a''$ и $\mathbf{a}$ равны по модулю $P(L)$, $\mathbf{a}$ порождает в $B$ подмодуль, изоморфный $Q(0)$, и $\mathbf{a}$ неподвижен под действием $\Delta$, что завершает доказательство предложения 4.5. Используя предложение 4.5, мы получим некоторое специальное разложение для модуля $\mathscr B(L):=\overline{\mathcal{A}}(L)/\ell\overline{\mathcal{A}}(L)$, которое будем использовать в следующем параграфе. Мы построим разложение в прямую сумму $\mathscr B(L)=\bigoplus_{i=0}^{\ell-2}\mathscr B[i]$, где для $i\neq 1$ положим $\mathscr B[i]=\mathcal{A}[i]/\ell\mathcal{A}[i]$, а для $i=1$ определим компоненту $\mathscr B[1]$ следующим образом. Пусть $L_v$ – пополнение поля $L$ в точке $v$, лежащей над $\ell$. Группа $U(L_v)$ содержит $\ell$-примарные элементы, т. е. такие элементы $u_v$, что $L_v(\sqrt[\ell]{u_v}\,)$ является неразветвленным расширением поля $L_v$ степени $\ell$. Мы будем рассматривать $u_v$ как элемент группы $\overline U(L_v)/(\overline U(L_v))^\ell$. Таким образом, имеется $\ell-1$ примарный элемент, который вместе с единицей образуют подгруппу, которую мы будем обозначать через $\mathcal{P}_v$, группы $\overline U(L_v)/\overline U(L_v)^\ell$. Мы положим $\mathscr B[1]=\prod_{v\in S}\mathcal{P}_v$ и будем рассматривать ее как подгруппу в $\mathscr B$. Очевидно, что $\mathscr B[1]$ является подмодулем Галуа в $\mathscr B(L)$. Группа $\widetilde H$ переставляет компоненты $\mathcal{P}_v$ группы $\mathscr B[1]$, поэтому $\mathscr B[1]\cong \mathbb F_\ell[\widetilde H]$ как $\widetilde H$-модуль. Доказательство. Пусть $G_v^{\mathrm{un}}=G(L_v(\sqrt[\ell]{u_v}\,)/L_v)$.
Тогда согласно локальной теории полей классов существует канонический изоморфизм $G_v^{\mathrm{un}}\cong L^\times_v/(L_v^\times)^\ell U(L_v)$. Таким образом, если $D_S$ – группа дивизоров поля $L$ с носителями в $S$, то $D:=\prod_{v\in S}G_v^{\mathrm{un}}\cong D_S/D_S^\ell$, что задает на группе $D$ структуру модуля Галуа. Так как существует эпиморфизм модулей Галуа $D\to \mathbb F_\ell(0)$, индуцированный норменным отображением, получаем, что $D\cong \mathscr B[0]$, т. е. $D$ начинается с $\mathbb F_\ell(0)$ и кончается на $\mathbb F_\ell(0)$. С другой стороны, согласно теории Куммера имеется невырожденное спаривание между модулями $D$ и $\mathscr B[1]$, поэтому $\mathscr B[1]$ начинается с $\mathbb F_\ell(1)$ и кончается на $\mathbb F_\ell(1)$. Предложение 4.6 доказано. Предложение 4.7. Для модуля Галуа $\mathscr B(L)$ существует разложение в прямую сумму Доказательство. Положим
$$
\begin{equation}
\mathscr B'(L)=\bigoplus_{i=0,i\neq 1}^{i=\ell-2}\mathscr B[i].
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Чтобы доказать формулу (4.8) достаточно проверить, что $C:=\mathscr B'(L)\cap\mathscr B[1]=0$ в группе $\mathscr B(L)$. Для этого достаточно проверить, что $C^{\widetilde H}=0$. Очевидно, что $C^{\widetilde H}=\mathscr B'(L)^{\widetilde H}\cap \mathscr B[1]^{\widetilde H}$, но $\mathscr B'(L)^{\widetilde H}\cong \bigoplus_{i=0,\, i\neq 1}^{\ell-2}\mathscr B[i]^{\widetilde H}\cong \bigoplus_{i=0,\, i\neq 1}^{i=\ell-2}\mathbb F_\ell(i)$, в то время как $\mathscr B[1]^{\widetilde H}\cong\mathbb F_\ell(1)$. Это доказывает существование разложения (4.8). Предложение 4.7 доказано. Основные результаты этого параграфа мы можем сформулировать в виде следующей теоремы. Теорема 4.1. Для поля $L$ модуль Галуа $\mathcal{A}(L)/\mathcal{A}(L)^\ell$ содержится в распадающейся точной последовательности модулей Галуа Этот же результат можно представить и в другой форме, учитывая, что $M(L)$ и $\mathscr B[1]$ определены канонически как подмодули в $\mathcal{A}(L)/\mathcal{A}(L)^\ell$. А именно, имеет место распадающаяся точная последовательность модулей Галуа
$$
\begin{equation}
0\to \mathscr B[1]\oplus M(L)\to \mathcal{A}(L)/\mathcal{A}(L)^\ell \to \mathscr B'(L)\to 0,
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
где модуль $\mathscr B'(L)$ был определен в доказательстве предложения 4.7. § 5. Некоторые $\ell$-расширения поля $L$В этом параграфе мы предполагаем, что поле $L=k(\sqrt[\ell]{b})$, определенное, как в (3.2), фиксировано. В частности, фиксирована пара простых чисел $p_1,p_2\,{\in}\,\mathbb P_0$ таких, что $b=p_1^{s_1}p_2^{s_2}$. Пусть $p_3\in \mathbb P_0$, где $p_3$ имеет тот же смысл, что и в (3.1). Пусть $N=N(p_3)$ – максимальное абелево $\ell$-расширение поля $L$ такое, что группа Галуа $G(N/L)$ имеет период $\ell$, и в расширении $N/L$ могут быть разветвлены только простые делители $p_3$. Мы хотим получить спектр возможных значений для степени $[N:L]$, причем отметим, что всегда $[N:L]>1$, поскольку $N\supseteq K\cdot L$. Чтобы не писать лишних индексов, будем в этом параграфе обозначать $p_3$ через $q$. Через $(\mathfrak q)$ мы будем обозначать главный дивизор $q$, который является простым дивизором в поле $\mathbb Q$ или $k$. Доказательство. Если $\mathfrak q$ остается простым в расширении $L/k$, то $\mathfrak q$ остается простым в расширении $L/\mathbb Q$. Это означает, что $\widetilde G=G(L/\mathbb Q)$ совпадает с подгруппой разложения $\mathfrak q$. Но дивизор $\mathfrak q$ не разветвлен в $L/\mathbb Q$, поэтому его подгруппа разложения должна быть циклической и, следовательно, не может совпадать с $\widetilde G$, что завершает доказательство. Пусть, как и в начале § 3, фиксировано некоторое сечение $f\colon \Delta\to \widetilde G$. Поскольку в группе $\widetilde G$ имеется ровно $\ell$ подгрупп порядка $\ell-1$, и все эти подгруппы сопряжены между собой, можно считать, что простые делители $\mathfrak q_1,\dots,\mathfrak q_\ell$ занумерованы так, что $f(\Delta)$ совпадает с подгруппой разложения дивизора $\mathfrak q_1$. Поскольку группа Галуа $G(N/L)$ имеет период $\ell$, для описания поля $N$ мы можем воспользоваться теорией Куммера. Предположим, что $L(\sqrt[\ell]{\alpha}\,)\subseteq N$. Это означает, что все дивизоры, не делящие $q$, входят в $\alpha$ с показателями, кратными $\ell$. Пусть $ h$ – число классов поля $L$, которое взаимно просто с $\ell$ в силу предложения 3.1, и $\bf h$ – такое число, что $\mathbf{h}\equiv 0\pmod h$, и $\mathbf{h}\equiv 1\pmod\ell$. Тогда, полагая $\alpha'=\alpha^{\mathbf{h}}$, получаем $L(\sqrt[\ell]{\alpha}\,)=L(\sqrt[\ell]{\alpha'}\,)$. Если $\alpha$ содержит некоторый простой дивизор, отличный от $\mathfrak q_1,\dots,\mathfrak q_\ell$, например, $\mathfrak p^{r_\mathfrak p}$, то $r_{\mathfrak p}\equiv 0\pmod\ell$ и $(\alpha')$ содержит $\mathfrak p$ в степени $r_\mathfrak p\mathbf{h}$, но $\mathfrak p^{\mathbf{h}}$ – главный дивизор, поэтому, изменяя в случае необходимости $\alpha'$ на $\ell$-ю степень, мы можем считать, что в $\alpha'$ могут входить только простые дивизоры $\mathfrak q_1,\dots, \mathfrak q_\ell$. Таким образом, нам нужно охарактеризовать все элементы $\alpha'\in L$ такие, что $(\alpha')$ содержит только простые дивизоры $\mathfrak q_1,\dots,\mathfrak q_\ell$, а все точки $v\in S$ распадаются или остаются не разветвленными в расширении $L(\sqrt[\ell]{\alpha'}\,)/L$. Предложение 5.2. Пусть $\alpha_1,\alpha_2\in L$ – такие элементы, что $L_1:=L(\sqrt[\ell]{\alpha_1}\,)\subseteq N$ и $L_2:=L(\sqrt[\ell]{\alpha_2}\,)\subseteq N$. Тогда из равенства дивизоров $(\alpha_1)=(\alpha_2)$ следует, что $L_1=L_2$ и $\alpha_1=\alpha_2u^\ell$, где $u$ – некоторая единица поля $L$. Доказательство. Положим $u_1=\alpha_1\alpha_2^{-1}$. Тогда $u_1$ – единица поля $L$ и $L(\sqrt[\ell]{u_1}\,)\subseteq N$. Расширение $L(\sqrt[\ell]{u_1}\,)/L$ не может иметь ветвление вне $S$, но оно не может иметь ветвление и в $S$ согласно определению поля $N$. Следовательно, $L(\sqrt[\ell]{u_1}\,)/L$ – неразветвленное расширение, но тогда из предложения 3.1 следует, что $L(\sqrt[\ell]{u_1}\,)=L$, т. е. $u_1=u^\ell$ для некоторой единицы $u\in U(L)$. Предложение 5.2 доказано. Пусть $\beta_1\in L^\times$ – такой элемент, что $(\beta_1)=\mathfrak q_1^{\mathbf{h}}$. В этом случае элемент $u:=\beta^{1-\delta}$ является единицей. Так как $H^{-1}(\Delta,U(L)[\ell])=0$, мы получаем, что существуют единицы $u_1$ и $u_2$ такие, что $u=u_1^{1-\delta}u_2^\ell$. Тогда, положив $\beta=\beta_1u^{-1}$, получаем такой элемент $\beta$, что
$$
\begin{equation}
(\beta)=\mathfrak q_1^{\mathbf{h}} \text{ и } \beta^{1-\delta}=u_2^\ell\quad \text{для некоторой } u_2\in U(L)[\ell].
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Любой дивизор с носителями в $\mathfrak q_1,\dots,\mathfrak q_\ell$ можно записать (в аддитивной записи) в виде $\eta(\beta)$ для некоторого $\eta\in \mathbb Z_\ell[\widetilde H]$. Элемент $\eta\beta$ является единицей в локальном поле $L_v$ для всех $v\in S$, поэтому $\eta\beta$ можно рассматривать как элемент группы $\mathcal{A}(L)$. Через $\pi(\eta\beta)$ обозначим образ $\eta\beta$ в группе $\mathcal{A}(L)/\ell\mathcal{A}(L)$. Используя точную последовательность (4.11), мы можем получить из $\pi(\eta\beta)$ элемент $\pi'(\eta\beta)\in\mathscr B'(L)$. Тогда из (4.9) следует, что $\pi'(\eta\beta)=\bigoplus_{i=0,\,i\neq 1}^{i=\ell-2}\pi_i(\eta\beta)$, где $\pi_i(\eta\beta)\in\mathscr B[i]$. Из 4.5 и определения компоненты $\mathscr B[i]$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\bigoplus_{i=1}^{(\ell-3)/2}\mathscr B[2i]\cong \overline U_2(L)/\ell\overline U_2(L),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому, исправив элемент $\beta$ на подходящую единицу из группы $\overline U_2(L)$, мы можем считать и будем считать в дальнейшем, что $\pi_i(\beta)=0$ для $i=2,4,\dots,\ell\,{-}\,3$. Тогда этим же свойством будут обладать и элементы $\pi(\eta\beta)$ для любого $\eta$ и $i=2,4,\dots,\ell-3$. Итак, мы можем считать, что выбран некоторый элемент $\beta\in L^\times$, так что $\pi(\beta)^\delta=\pi(\beta)$, причем $\pi_i(\beta)=0$ для $i=2,4,\dots,\ell-3$. Будем рассматривать некоторую систему $\eta_1,\dots,\eta_{\ell^\ell}\in \mathbb Z_\ell[\widetilde H]$, представляющую все элементы из $\mathbb F_\ell[\widetilde H]$, и нам нужно определить все $\eta_j$ такие, что $L(\sqrt[\ell]{\eta_j\beta}\,)\subseteq N$. Условие, которому должны удовлетворять элементы $\eta_j\beta$ состоит в том, что
$$
\begin{equation}
\pi_i(\eta_j\beta)=0 \text{ для } i=2,\dots,\ell-2\quad\text{и}\quad \pi_M(\eta_j\beta)=0,
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где $\pi_M\colon\mathcal{A}(L)/\ell\mathcal{A}(L)\to M(L)$ – проекция, определяемая распадающейся точной последовательностью (4.10). При этом, мы можем считать, что для четных $i>0$ условия (5.2) уже выполнены. Условия, возникающие в случае $i=0$, обсудим ниже (см. предложение 5.3). Очевидно, что образы тех представителей $\eta_1,\dots,\eta_{\ell^\ell}$, для которых выполняется условие (5.2), образуют некоторый идеал $I$ в $\mathbb F_\ell[\widetilde H]$, причем $I=I(q)$ имеет вид $I=I_{\mathrm{max}}^i$, где $I_{\mathrm{max}}$ – максимальный идеал в $\mathbb F_\ell[\widetilde H]$. Доказательство. Действительно, всегда существует расширение $KL/L$, которому соответствует элемент $\eta=\sum_{h\in \widetilde H}h$, поэтому $I$ всегда содержит идеал $\mathbb F_\ell(\sum_{h\in \widetilde H}h)$. Предложение 5.4. Для поля $L$ всегда имеется строгое включение $I\subset \mathbb F_\ell[\widetilde H]$. Доказательство. Предполагаем, что $(q)$ остается простым в расширении $k_\infty/k$. Это означает, что символ Артина дивизора $(q)$ является образующей группы $\Gamma=G(k_\infty/k)$. Отображение ограничения автоморфизмов с поля $L_\infty$ на $k_\infty$ отображает изоморфно группу $\Gamma_1:=G(L_\infty/L)$ на группу $\Gamma$. Это отображение согласовано с отображением нормы $N_{L/k}$, которое переводит $\mathfrak q_1$ в $(q)$. Значит, для любого элемента $\beta\in L^\times$ такого, что $(\beta)=\mathfrak q_1^{\mathbf{h}}$, существует точка $v\in S$ поля $L$ такая, что при вложении $v:L\hookrightarrow L_v$ элемент $\beta$ переходит в образующую группы $\Gamma_v$, где $\Gamma_v$ имеет тот же смысл, что и (3.10). Из локальной теории полей классов известно, что для такого $\beta$ расширение $L(\sqrt[\ell]{\beta}\,)/L$ разветвлено, поэтому, например, $1\notin I$. Предложение 5.4 доказано. Замечание. Рассмотрим элемент $\eta\beta$ такой, что $\eta\in I_{\mathrm{max}}$. Тогда $\pi_0(\eta\beta)$ попадает в $\pi_0(P(L))$, где $P(L)$ имеет тот же смысл, что и в (3.10). Это означает, что, исправив $\beta$ на некоторую единицу из $P(L)$, мы всегда можем добиться выполнения условия $\pi_0(\eta\beta)=0$ (в предположении, что $\eta\in I_{\mathrm{max}}$). Посмотрим теперь, какие ограничения налагает условие $\pi_i(\eta\beta)=0$ для некоторого нечетного $i=3,5,\dots,\ell-2$. Напомним, что мы используем аддитивную запись для операции умножения. Нижний центральный ряд модуля Галуа $\mathscr B[i]$ начинается с $\mathbb F_\ell(i)$. В то же время элемент $\beta$ неподвижен относительно действия группы $\Delta$. Если $\pi_i(\beta)=0$, то никаких препятствий, связанных с проекцией $\pi_i$, не возникает. Если же $\pi_i(\beta)\neq 0$, то, применяя в этом случае лемму 3.2 из [1], получаем, что $\pi_i$ переводит элемент $\beta$ в образующую группы $\mathscr B[i]^{(\widetilde\sigma-1)^{\ell-1-i}}$ (группа $\Delta$ действует на $\beta$ тождественно, а модуль $\mathscr B[i]^{(\widetilde\sigma-1)^{\ell-1-i}}$ начинается с $\mathbb F_\ell(0)$). Тогда элемент $\pi_i(\beta)$ порождает в $\mathscr B[i]$ подмодуль порядка $\ell^{i+1}$. Таким образом, в этом случае $\pi_i(\eta\beta)=0$ тогда и только тогда, когда $\eta\in I_{\mathrm{max}}^{i+1}$. Осталось рассмотреть еще два частных случая – поведение элемента $\pi_1(\beta)$ и поведение элемента $\pi_M(\beta)$. В случае $i=1$ мы, повторяя все предыдущие рассмотрения, получаем, что $\pi_1(\beta)$ порождает в $\mathscr B[1]$ подмодуль порядка $\ell^2$, но поскольку $I$ – собственный идеал, то либо $\pi_1(\eta\beta)=0$, что соответствует расширению $L(\sqrt[\ell]{\eta\beta}\,)/L$, в котором вполне распадаются все точки, лежащие над $\ell$, либо $\pi_1(\eta\beta)\neq 0$, и это соответствует случаю, когда точки, лежащие над $\ell$ в поле $L$, остаются неразветвленными в расширении $L(\sqrt[\ell]{\eta\beta}\,)/L$. Наконец, рассмотрим $\pi_M(\beta)$. Поскольку $M$ начинается с $\mathbb F_\ell(1)$ и кончается на $\mathbb F_\ell(1)$, получаем, как и в случае $i=1$, что $\pi_M(\eta\beta)\in M^{\widetilde H}=\mu_\ell(L)$, поэтому, подправив элемент $\eta\beta$ на подходящий корень из единицы из группы $\mu_\ell(L)$, мы можем считать, что $\pi_M(\eta\beta)=0$. Сформулируем результаты наших рассмотрений в виде следующей теоремы. Теорема 5.1. Пусть $X:=3,5,\dots, \ell-2$ и $X_1$ – подмножество тех $i\in X$, для которых $\pi_i(\beta)\neq 0$. Пусть $i_0$ – максимальный индекс, содержащийся в $X_1$. Тогда Если $X_1$ пусто, то $I(q)=I_{\mathrm{max}}$, при этом точки, лежащие над $\ell$, либо вполне распадаются в $N/L$, либо каждая из них имеет степень инерции $\ell$. Доказательство. Для каждого нечетного индекса $i>1$, т. е. для каждого $i\in X_1$ должно выполняться условие $I(q)\subseteq I_{\mathrm{max}}^{i+1}$. Отсюда следует (5.3). Если $X_1$ пусто, то любой элемент $\eta\beta$ является допустимым, т. е. $I(q)=I_{\mathrm{max}}$. Если $\pi_1(\eta\beta)=0$ для любого $\eta$, то все точки, лежащие над $\ell$, распадаются в расширении $N/L$. В противном случае точки, лежащие над $\ell$, имеют отличную от единицы степень инерции, которая, как легко проверяется, равна $\ell$. Теорема 5.1 доказана. Действительно, $|(I(q))|$ – это порядок куммеровой группы расширения $N/L$, которая совпадает с $I(q)$. Индекс $i_0$ нечетен по определению, $|(I_{\mathrm{max}})|=\ell^{\ell-1}$, поэтому из (5.3) следует, что $|I(q)|$ является четной степенью $\ell$, но тогда степень $[N:L]$ равна $\ell^{r(q)}$ с четным $r(q)=\ell-i_0-2$. В случае $\ell=3$ множество $X_1$ пусто, поэтому $[N:L]=9$, и точки, лежащие над $\ell$, или вполне распадаются (в случае, когда $\pi_1(\beta)= 0$), или имеют степень инерции $3$ (в случае, когда $\pi_1(\beta)\neq 0$). До сих пор мы выясняли, как по заданному простому натуральному $q$ определить свойства поля $N(q)$, в частности его степень над $L$. Сейчас мы рассмотрим обратную задачу: как доказать существование простого $q$, для которого поле $N(q)$ обладает заданными свойствами. Точнее, справедлива следующая теорема. Теорема 5.2. Пусть для множества индексов $i=1,2,\dots,\ell-2$ задан набор элементов $\alpha_i\in\mathscr B[i]$ таких, что $\alpha_i$ неподвижны относительно действия $f(\Delta)$. Тогда существует бесконечно много простых дивизоров $(q)$ поля $\mathbb Q$ таких, что $(q)$ остается простым в поле $k_\infty$, $(q)$ вполне распадается в расширении $L/k$, и таких, что для простого делителя $\mathfrak q_1$ дивизора $(q)$ в поле $L$, неподвижного относительно действия группы $f(\Delta)$, существует элемент $\beta=\beta(\mathfrak q_1)$ такой, что главный дивизор $\beta$ равен $\mathfrak q_1$ со следующими свойствами: 1) $\pi_0(\beta(\mathfrak q_1))\notin P(L)/\ell P(L)$; 2) $\pi_i(\beta(\mathfrak q_1)) =\alpha_i$ для $i=1,2,\dots,\ell-2$. Доказательство. Рассмотрим конечный модуль Галуа $\mathscr B(L)=\mathcal{A}/\ell\mathcal{A}$. Пусть $\widetilde U(L)$ – образ группы $U(L)/\ell U(L)$ в группе $\mathscr B(L)$. Как было показано в предложениях 4.5 и 4.6, в группе $\widetilde U(L)$ имеются подгруппа $U_2(L)/\ell U_2(L)$ и подгруппа $P(L)\ell P(L)$, которая попадает в компоненту $\mathscr B_0$.
Согласно глобальной теории полей классов группу $R(L):=\mathscr B(L)/\widetilde U(L)$ можно интерпретировать как группу Галуа некоторого абелева расширения $F_1(L)/L$. Положим $F(L)=F_1(L)^{M(L)}$. Тогда элемент $\varphi:=\prod_{i=1}^{\ell-2}\alpha_i^{-1}$ можно рассматривать как элемент группы $R(L)$, т. е. как некоторый автоморфизм $\varphi$ расширения $F(L)/L$. Согласно теореме плотности Чеботарёва существует бесконечно много простых дивизоров $\mathfrak q_1'$ поля $L$ таких, что $\varphi$ совпадает с автоморфизмом Фробениуса, соответствующим дивизору $\mathfrak q_1'$. Построенный нами дивизор $\mathfrak q_1'$ имеет нужные проекции $\alpha_i^{-1}$, но необходимо еще выяснить, остается ли лежащий под ним дивизор $(q)$ простым в поле $k_\infty$? Это условие равносильно тому, что $(q)$ остается простым и в расширении $\mathbb Q_\infty/\mathbb Q$, и в расширении $k/\mathbb Q$. То, что $(q')$ остается простым в расширении $\mathbb Q_\infty/\mathbb Q$, следует из того, что $\pi_0(\beta(q'_1))$ не содержится в группе $P(L)/\ell P(L)\subset \mathscr B[0]$. Эту ситуацию мы уже подробно обсуждали в доказательстве предложения 5.4. Рассмотрим башню полей $F(L)\supset L\supset \mathbb Q$. В группе $G(L/\mathbb Q)$ содержится подгруппа $f(\Delta)$, которая оставляет на месте дивизор $\mathfrak q'_1$. Так как $G(L/\mathbb Q)$ действует на $F(L)$ сопряжением, мы получаем, что $\varphi\in G(F(L)/L)$ коммутирует с образующей $\widetilde\delta$ группы $f(\Delta)$. Тогда произведение этих двух коммутирующих элементов $\varphi$ и $\widetilde\delta$ порождают в группе $G(F(L)/\mathbb Q)$ циклическую подгруппу $C$ порядка $\ell(\ell-1)$. Согласно теореме плотности Чеботарёва для каждого $\mathfrak q'_1$ существует бесконечно много простых дивизоров $\mathfrak Q_1$ поля $F(L)$ таких, что подгруппа разложения $\mathfrak Q_1$ совпадает с $C$. Пусть $\varphi_1$ – автоморфизм Фробениуса в группе $G(F(L)/\mathbb Q)$, соответствующий $\mathfrak Q_1$. Не ограничивая общности, можно считать, что $\varphi_1^{\ell-1}=\varphi$. Дивизор $\mathfrak Q_1$ остается простым в расширении $F(L)/F(L)^\varphi$, т. е. $\mathfrak Q_1$ – простой дивизор поля $F(L)^\varphi$. Пусть $\mathfrak q_1$ – простой дивизор поля $L$, лежащий под $\mathfrak Q_1$. Тогда $N(\mathfrak Q_1)=\mathfrak q_1$, где $N$ – норма относительно расширения $F(L)^\varphi/L$, и для элемента $\beta_1=\beta_1(\mathfrak q_1)$ такого, что главный дивизор $(\beta_1)$ равен $\mathfrak q_1$, получаем, что проекции $\pi_i(\beta^{\ell-1})$ равны $\alpha_i$ т. е. $\mathfrak q_1^{\ell-1}$ является подходящим дивизором. Теорема 5.2 доказана. Следствие 5.2. Для любой пары различных простых чисел $p_1,p_2\in \mathbb P_0$ существует бесконечно много простых $p_3=q\in \mathbb P_0$ таких, что $[N:L]=\ell^i$ для любого четного $i$, где $2\le i\le \ell-1$. Следствие 5.3. Для любой пары различных простых чисел $p_1,p_2\in \mathbb P_0$ существует бесконечно много простых $p_3=q\in \mathbb P_0$ таких, что $[N:L]=\ell^{\ell-1}$ и все точки, лежащие над $\ell$, вполне распадаются в расширении $N/L$, и бесконечно много простых $p_3=q\in\mathbb P_0$ таких, что все точки, лежащие над $\ell$, имеют степень инерции $\ell$ в расширении $N/L$. § 6. Приложения к арифметике поля $K$Предложение 6.1. Пусть $\ell > 3$, $p_3=q$, и $N=N(q)$ имеет тот же смысл, что и в § 5, тогда следующие три условия равносильны: (i) $d(\operatorname{Cl}_S(K)_\ell)\ge 2$; (ii) $d(\operatorname{Cl}_S(LK)_\ell)\ge 1$; (iii) $d(G(N/L))\ge 2$. Доказательство. (i) $\Rightarrow$ (ii). Пусть $d(\operatorname{Cl}_S(K)_\ell)\ge 2$. Это означает, что над $K$ существует неразветвленное расширение $N_1/K$ с группой Галуа $(\mathbb Z/\ell\mathbb Z)^2$, в котором вполне распадаются все точки, лежащие над $\ell$. Тогда $N_1L/LK$ – неразветвленное абелево $\ell$-расширение, в котором распадаются все точки, лежащие над $\ell$, т. е. $d(\operatorname{Cl}_S(LK)_\ell)\ge 1$.
(ii) $\Rightarrow$ (iii). Пусть $N_2$ – максимальное абелево неразветвленное $\ell$-расширение поля $LK$, в котором вполне распадаются все точки над $\ell$. Тогда группа Галуа $G(KL/L)\cong \mathbb Z/\ell \mathbb Z$ действует сопряжениями на абелеву $\ell$-группу $G(N_2/KL)$, и существует нетривиальная факторгруппа $C=G(N_2/KL)/B$, на которую $G(KL/L)$ действует тождественно. Пусть $N_3=N_2^B$. Тогда группа Галуа $G(N_3/KL)$ содержится в точной последовательности откуда следует, что $G(N_3/L)$ – абелева $\ell$-группа порядка не менее $\ell^2$. В расширении $N_3/L$ могут ветвиться только точки $\mathfrak q_1,\dots,\mathfrak q_\ell$, лежащие над $q$, причем группа $G(N_3/L)$ порождается подгруппами инерции этих точек, и каждая из этих подгрупп инерции имеет порядок $\ell$ или $1$. Следовательно, $N_3\subseteq N$ и группа $G(N_3/L)$ имеет период $\ell$, поэтому $d(G(N/L))\ge d(G(N_3/L))\ge 2$.(iii) $\Rightarrow$ (i). Поскольку $K\subseteq N$, из условия $d(G(N/L))\ge 2$ следует, что $[N:KL]\ge \ell$. Таким образом, $[N:K]\ge \ell^2$. Пусть $N_4$ – максимальное абелево неразветвленное расширение поля $KL$, в котором вполне распадаются все точки над $\ell$. Тогда, используя тот же прием, который был применен выше для построения поля $N_3$, а также аналог точной последовательности (6.1), который в данном случае имеет вид где $C'$ – максимальная факторгруппа группы $G(N_4/KL)$, на которую $G(KL/K)$ действует тривиально, мы получаем абелево неразветвленное $\ell$-расширение $N_5/K$ степени $\ge\ell^2$, в котором вполне распадаются все точки над $\ell$. Согласно теореме 4.1 из [1] $H$-модуль $G(N_5/K)$ цикличен, поэтому согласно теореме 3.1 из [1], если период группы $\operatorname{Cl}_S(K)_\ell$ больше $\ell$, то $d(\operatorname{Cl}_S(K)_\ell)\ge \ell-1$. Таким образом, из условия $[N_5:K]\ge \ell^2$ следует, что $d({\rm CL}_S(K)_\ell)\ge 2$. Предложение 6.1 доказано.Из следствия 5.2 и предложения 6.1 непосредственно следует теорема 6.1. Теорема 6.1. Пусть $\ell > 3$ и поле $K$ имеет вид (3.1). В этом случае всегда $d(\operatorname{Cl}_S(K)_\ell)\ge 2$. В случае $\ell=3$ нам потребуется следующий вариант предложения 6.1. Предложение 6.2. В условиях предложения 6.1 предположим, что $\ell\,{=}\,3$. Пусть $N_6$ – максимальное абелево $\ell$-расширение поля $L$, не разветвленное вне простых дивизоров $\mathfrak q_1$, $\mathfrak q_2$, $\mathfrak q_3$, делящих $(q)=(p_3)$, и такое, что группа $G(N_6/L)$ имеет период $\ell$. При этом точки, лежащие над $\ell$, должны быть не разветвленными, но не предполагаются вполне распадающимися в $N_6/L$. Тогда следующие три условия равносильны: (i) $d(\operatorname{Cl}(K)_\ell)\ge 2$; (ii) $d(\operatorname{Cl}(KL)_\ell)\ge 1$; (iii) $d(G(N_6/L))\ge 2$. Из следствия 5.2, теоремы 6.1 и предложения 6.2 непосредственно вытекает следующая теорема. Теорема 6.2. Пусть $\ell=3$ и $K$ имеет вид (3.1). Тогда для любой пары $p_1,p_2\in \mathbb P_0$ существует бесконечно много простых $p_3\in \mathbb P_0$ таких, что $d(\operatorname{Cl}_S(K)_\ell)=1$, и бесконечно много таких $p_3$, что $d(\operatorname{Cl}_S(K)_\ell)>1$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kuz22} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|